Precis d ElectroaCousTique

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page i — #3

Dominique Fellot

Précis d’électro-acoustiquePrise de son et reproduction

17, avenue du HoggarParc d’activités de Courtabœuf, BP 112

91944 Les Ulis Cedex A, France

Administrateur

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“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page ii — #4

Conception graphique de la couverture : Juliette BailyPhotographies de couverture : tête microphoniqueTrinnov c© Sébastien Montoya ; enceinte Elipson 4240. c© Elipson

Figures 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 6.2, 6.3, 6.4, 6.6, 6.7, 6.8, 6.9, 6.10 extraites del’ouvrage Théorie et pratique de la prise de son stéréophonique de ChristianHugonnet et Pierre Walder ; avec l’aimable autorisation des éditions Eyrolles.c© Groupe Eyrolles 1998

Composition : e-pressImprimé en France

c© 2007, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,91944 Les Ulis Cedex A

Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservéspour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelqueprocédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisationde l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, lesreproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utili-sation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifiqueou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent êtreréalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droitde copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.

ISBN EDP Sciences 978-2-86883-960-2

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Table des matières

Remerciements vii

Préface ix

Avant-propos xi

1 Notions d’acoustique 11.1 Propagation des ondes sonores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Rappels de thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Propagation d’ondes planes dans un tuyau

de section constante S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Propagation d’ondes dans l’espace . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Vitesse du son. Influence de P et de T . . . . . . . . . . 121.1.5 Considérations énergétiques. Intensité acoustique

ou niveau sonore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.6 Impédances acoustiques complexes . . . . . . . . . . . . 131.1.7 Application aux ondes planes et sphériques . . . . . . . 151.1.8 Sources théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.9 Propagation d’ondes planes dans les pavillons . . . . . 23

1.2 Analyse par schémas équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.1 Analogies mécano-électro-acoustiques . . . . . . . . . . 291.2.2 Énergies mises en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Haut-parleurs 332.1 Haut-parleur électrodynamique à cône . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.1 Fonction de transfert en courant xI . . . . . . . . . . . . 34

2.1.2 Fonction de transfert en tension xU . . . . . . . . . . . . 35

2.1.3 Impédance du haut-parleur . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.4 Rendement du haut-parleur . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1.5 Formule du rendement selon Thiele et Small . . . . . . . 402.1.6 Schéma équivalent acoustique . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2 Enceinte close . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Enceinte à évent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

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iv Précis d’électro-acoustique

2.3.1 Analyse du schéma équivalent . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.2 Rendement du bass-reflex à évent . . . . . . . . . . . . . 482.3.3 Impédance d’entrée du système . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4 Haut-parleurs à pavillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4.1 Schéma équivalent acoustique . . . . . . . . . . . . . . . 512.4.2 Schéma simplifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.4.3 Courbe de réponse théorique et rendement . . . . . . . 532.4.4 Autres limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.5 Haut-parleur à coïncidence ou coaxial . . . . . . . . . . . . . . 542.6 Filtres répartiteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.6.1 Élaboration des schémas électriques . . . . . . . . . . . 572.6.2 Filtres de Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6.3 Ensemble à trois haut-parleurs . . . . . . . . . . . . . . 642.6.4 Exemples numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.7 Exemple de caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3 Caractéristiques du son 693.1 Étendue spectrale des sons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2 Niveau sonore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3 Effet de masque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4 Réverbération, champ direct et champ réverbéré . . . . . . . . 703.5 Aspect perceptif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.6 Rapport champ direct/champ réverbéré Sd

Sr. . . . . . . . . . . 72

3.7 Flutter écho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.8 Réverbération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.9 Temps de réverbération optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.10 Distance critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4 Microphones 754.1 Le microphone dans le champ sonore . . . . . . . . . . . . . . . 754.2 Mode d’action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3 Mouvement du diaphragme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.4 Conversion en vitesse et en élongation . . . . . . . . . . . . . . 764.5 Force développée sur une face de diaphragme . . . . . . . . . . 764.6 Mode d’action en pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.6.1 Conversion en vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.6.2 Conversion en élongation . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.7 Mode d’action en gradient de pression . . . . . . . . . . . . . . 794.7.1 Comportement en ondes planes progressives . . . . . . . 804.7.2 Comportement en ondes sphériques . . . . . . . . . . . . 804.7.3 Comportement aux fréquences élevées . . . . . . . . . . 814.7.4 Conditions de réalisation d’un microphone à gradient

de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.8 Mode d’action mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.9 Microphone combiné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

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Table des matières v

5 Exemples de microphones 855.1 Microphone dynamique omnidirectionnel . . . . . . . . . . . . 855.2 Microphone dynamique cardioïde . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3 Microphone dynamique à deux voies . . . . . . . . . . . . . . . 875.4 Microphone dynamique à ruban . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.5 Microphones électrostatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.5.2 Préamplificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.5.3 Alimentation fantôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.5.4 Bruits dans les microphones électrostatiques . . . . . . . 93

5.6 Microphones à électret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.7 Caractéristiques de directivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6 Prise de son stéréophonique 996.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2 Localisation d’une source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.2.1 Localisation par différence d’intensité . . . . . . . . . . 1006.2.2 Localisation par déphasage ou différence de temps . . . 1006.2.3 Localisation par les deux effets conjugués . . . . . . . . 101

6.3 Prise de son stéréophonique d’intensité . . . . . . . . . . . . . . 1026.3.1 Système stéréosonic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.3.2 Système M-S (Middle-Side) . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.4 Prise de son stéréophonique de temps . . . . . . . . . . . . . . 1066.4.1 Système AB avec deux capsules omnidirectionnelles . . 107

6.5 Prise de son stéréophonique de temps et d’intensité . . . . . . 1076.5.1 Système en couple, utilisant deux microphones

faiblement espacés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.5.2 Système AB avec grand espacement

(de quelques décimètres à plusieurs mètres) . . . . . . . 1096.5.3 Système avec obstacle entre les deux microphones . . . 1106.5.4 Tête artificielle (avec les micros dans les oreilles) . . . . 110

6.6 Prise de son en multicanal dite 5.1(5 canaux discrets + 1 d’extrême-grave) . . . . . . . . . . . 111

7 Quelques enceintes acoustiques célèbres 115

Bibliographie 123

Exercices et corrigés 125

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Remerciements

Cet ouvrage est dédié à la mémoire de Pierre Cochereau, organiste deNotre-Dame de Paris de 1955 à 1984, qui joignait à son immense talent d’im-provisateur un très grand intérêt pour l’électro-acoustique (il avait un diplômede metteur en ondes ORTF dont il n’était pas peu fier). Il fit rayonner dansle monde entier son prestigieux instrument qu’il qualifiait souvent de « plusbelle orgue du monde ».

Cet ouvrage n’aurait jamais vu le jour sans l’aide précieuse du professeurVoichita Bucur, grande spécialiste de l’acoustique des bois et des instrumentsde musique, qui a assuré la finalisation du manuscrit, après avoir encouragél’auteur à le retravailler en vue d’une édition. Qu’elle en soit ici chaleureuse-ment remerciée.

Mes remerciements vont aussi au professeur Mario Rossi (EPFL), spé-cialiste renommé de l’électro-acoustique, à qui cet ouvrage doit beaucoup,à Bogdan Grabowski, ancien chef du département Électronique à l’ENSTA,ainsi qu’à Jean-Paul Vabre, du CNAM et de l’INT, Charles Hubert, mathé-maticien de Thales et professeur à l’EUROSAE, enfin à Christian Hugonnet,dont les compétences en prise de son ont franchi les frontières.

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Préface

L’électro-acoustique est une science de compromis entre une approche pu-rement théorique et l’exposé de résultats expérimentaux, ce dans la mesure où,à l’analyse des phénomènes physiques, se mêle la psycho-acoustique. Il faut, eneffet, tenir compte d’une dimension subjective, voire affective, qui tient au faitque toute reproduction sonore est facteur d’émotion. Cela commence à la prisede son, se poursuit dans la chaîne d’amplification électronique, pour aboutir àune écoute majoritairement affectée par les caractéristiques des haut-parleurset des enceintes acoustiques associées. Cette évidence n’a pas échappé à l’au-teur du présent ouvrage qui rassemble des données techniques essentielles desmaillons extrêmes que sont les microphones et les haut-parleurs avec leurs dis-positifs d’adaptation à l’environnement acoustique. La pertinence des choixdans les sujets exposés n’a pu que bénéficier d’une longue expérience de laprise de son en environnements diversifiés, ainsi que d’une maîtrise tout aussigrande des installations à haute fidélité.

Il s’agit ici d’un précis qui rassemble des techniques ramenées à l’essentiel,dans un souci de clarté pédagogique, fruit d’un passé d’enseignant en écoled’ingénieur et en milieu industriel. Il en résulte toujours une progression sa-vamment dosée dans les explications et, plus particulièrement, des conclusionsau plan pratique dont la compréhension se trouve facilitée par des illustrationsjudicieusement choisies.

Même si l’exposé mathématique peut rebuter le lecteur, le recueil d’exer-cices du dernier chapitre est là pour faciliter la mise en application desconcepts exposés préalablement. Quoique destiné en priorité aux étudiantsen spécialité acoustique, cet ouvrage, rassemblant des bases essentielles pourla compréhension des phénomènes mis en jeu dans les dispositifs de reproduc-tion sonore, devrait intéresser tout amateur exigeant soucieux de combattrel’ésotérisme de bien des publications relevant du domaine audiovisuel.

Pierre Loyez

Ingénieur en chef honoraire des télécommunications,ancien membre du comité de rédaction de la Revue du son

et de la revue l’Audiophile

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Avant-propos

Ce précis, dérivé d’un cours donné en 2002 à l’Institut Supérieur d’Élec-tronique de Paris (ISEP), est destiné à l’Enseignement supérieur (facultéset écoles d’ingénieurs). Il tente de pallier la rareté des ouvrages consacrés àl’acoustique et à son application la plus courante, l’électro-acoustique, qui apratiquement disparu des programmes d’études, alors qu’elle est omniprésentedans les médias.

Cet ouvrage, volontairement court, expose en termes clairs et concis l’es-sentiel de ce qu’il faut savoir pour démarrer dans ces techniques avec desbases solides. Les connaissances nécessaires préalables en mathématiques eten physique sont celles qui sont enseignées dans les écoles d’ingénieurs et lesfacultés des sciences. Sont traités successivement :

– les bases essentielles de l’acoustique (propagation, niveaux d’énergie) ;

– les haut-parleurs (rayonnements, fonctions de transfert, enceintes acous-tiques, pavillons) ;

– les caractéristiques du son ;

– les principes des microphones (moyens d’obtention d’une tension élec-trique) ;

– les différents types de microphones (dynamiques, statiques) et leurs direc-tivités.

Suit en dernier lieu un chapitre traitant rapidement des techniques de prise deson actuelles. Enfin, pour égayer un peu cet ouvrage souvent aride, quelquesenceintes acoustiques ayant fait date sont décrites, lorsque leurs principesn’ont pas vieilli. Quelques exercices, pour les courageux, sont donnés avecleurs corrigés.

L’auteur

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Chapitre 1

Notions d’acoustique

N.B. : Le système d’unités utilisé dans cet ouvrage est évidemment lesystème international MKS.

1.1 Propagation des ondes sonores

1.1.1 Rappels de thermodynamiqueLorsqu’un milieu (gaz, liquide ou solide) est soumis à un endroit donné

à des variations de pression, celles-ci se propagent dans le milieu avec unevitesse c, dépendant principalement de deux facteurs : la densité du milieu etson élasticité. En acoustique aérienne, objet de ce livre, les variations détec-tables à l’oreille sont extrêmement faibles. En effet, le seuil de sensibilité del’oreille humaine (maximale vers 1 à 3 kHz) est d’environ 20 µPa (ou 0,2 na-nobar) et se situe (heureusement pour nous) légèrement au-dessus du bruitthermique de l’air (aux températures habituelles). Et le seuil de douleur, àenviron 120 dB au-dessus, c’est-à-dire 20 Pa (0,2 mBar), reste largement in-férieur à la pression atmosphérique (105 Pa). La pression sonore p peut doncêtre considérée comme un infiniment petit de la pression atmosphérique P ,ce qui légitime l’écriture : p = dP .

1.1.1.1 Lois thermodynamiques applicables à l’air

L’air est considéré comme un gaz parfait répondant à l’expression :

PV = nRT (1.1)

où P et V sont la pression (pascals) et le volume (m3) d’une quantité d’airdéterminée par son nombre n de moles ; R est la constante des gaz parfaits(R= 8,314 joules/mole/degré K) et T la température absolue. Lorsque T estconstante, cette loi s’intitule loi de Mariotte (1620-1684) ou de Boyle (1627-1691) chez les Anglo-Saxons.

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2 Chapitre 1 : Notions d’acoustique

Autrement, on l’appelle loi de Gay-Lussac si T est variable. Enfin, lors-qu’il n’y a pas d’échange de chaleur avec le milieu extérieur, les transforma-tions de P et V des n moles sont dites adiabatiques et répondent alors à laloi de Laplace (1749-1827) :

PV γ = Constante (1.2)

où γ = C/c = chaleur spécifique à pression constante/chaleur spécifique à vo-lume constant. Dans l’air γ = 1,4. La combinaison des deux expressions (1.1et 1.2), dans le cas d’une transformation adiabatique, permet d’écrire, les in-dices i et f signifiant initial et final :

Pf

Pi=

(Vi

Vf

)γTf

Ti=

(Pf

Pi

) γ−1γ

=(

Vi

Vf

)γ−1

1.1.1.2 Conséquences de ces loisLes premiers calculs de la vitesse du son, où l’on pensait que T était

constante dans les variations de pression dues à la propagation d’un ébran-lement, donnèrent une valeur de c = 270 m/s, assez éloignée, au grand damdes théoriciens, de la réalité (autour de 340 m/s).

Ceci amena Laplace à considérer que les variations de P et de V , dans lapropagation du son, ne répondaient pas à la loi de Mariotte, mais étaientadiabatiques, c’est-à-dire sans échanges de chaleur au sein du fluide, car ilsn’ont pas le temps de s’établir.

La vitesse du son alors obtenue par le calcul (§ 1.1.4), parfaitement véri-fiée expérimentalement, montre la perspicacité de Laplace. Actuellement, ondéduit la valeur précise de γ de celle de c.

1.1.2 Propagation d’ondes planes dans un tuyaude section constante S

1.1.2.1 Comportement d’une tranche d’air d’épaisseur dx

Considérons une tranche d’air d’épaisseur dx, de surface S, de masse m,de volume V = Sdx (Fig. 1.1), les vitesses de déplacement étant v (en x), etv + dv (en x + dx). Elle est soumise aux pressions sonores p(x) et p(x + dx),qui ne sont pas égales.

À l’arrivée d’une onde sonore (surpression p), la force qui s’exerce sur cettemasse est :

F = [p(x) − p(x + dx)]S (1.3)

d’où :F = − ∂p

∂xdxS = − ∂p

∂xV

La vitesse v n’étant pas la même en x et x + dx, le volume V occupé parla masse m, au temps t + dt, n’est plus le même qu’en t, et a varié de dV,

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 3 — #17

Précis d’électro-acoustique 3

Fig. 1.1 – Tranche d’air d’épaisseur dx soumise à une pression sonore.

les faces se sont déplacées de :

vxdt et(

vx +∂v

∂xdx

)dt

dV = S

(vx +

∂v

∂xdx − vx

)dt = S

∂v

∂xdxdt

dV = V∂v

∂xdt (1.4)

Puisque Sdx = V . Or la masse m = ρV est constante, il se produit doncune variation δρ de la densité ρ si V varie de dV :

δρV + ρdV = 0

Finalement :1ρ

∂δρ

∂t+

∂v

∂x= 0 (1.5)

D’autre part, en appliquant la loi de Newton, avec :

Γ =dv

dt(accélération)

F = mΓ,

et avec (1.3)

ρV∂v

∂t+

∂p

∂xV = 0 → ρ

∂v

∂t+

∂p

∂x= 0 (1.6)

Le système d’équations (1.5) et (1.6) contient 3 inconnues v , p et δρ.En tenant compte du fait que les variations de volume (donc de den-sité) et de pression suivent la loi de Laplace (transformation adiabatique)

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PV γ = Constante :

Pγ.V γ−1dV + V γ .dP = 0 ici dP = p (§ 1.1.1)

Ou encorep

P+ γ

dV

V= 0

où P = pression atmosphérique, et puisque m = ρV , on a finalement :

p

P+ γ

δρ

ρ= 0 (1.7)

En portant la valeur δρ = ργ

pP dans (1.5), on obtient :

∂p

∂t− γP

∂v

∂x= 0 (1.8)

On a maintenant un système de 2 équations à 2 inconnues, p et v.Dérivons (1.6) en ∂v

∂t et (1.8) en ∂v∂x , pour éliminer p :

ρ∂2v

∂t2+

∂p

∂x

∂v

∂t= 0 (1.9)

∂p

∂t

∂v

∂x− γP

∂v

∂x2= 0 (1.10)

En soustrayant (1.10) de (1.9), nous avons :

∂2v

∂t2+

γP

ρ

∂2v

∂x2= 0 (1.11)

De même, en dérivant (1.6) en ∂p∂x et (1.8) en ∂p

∂t , nous avons :

ρ∂v

∂t

∂p

∂x+

∂2p

∂x2= 0 (1.12)

∂2p

∂t2− γp

∂v

∂x

∂p

∂t= 0 (1.13)

On obtient :∂2p

∂t2+

γP

p

∂2p

∂x2(1.14)

Le terme γP/ρ a les dimensions du carré d’une vitesse c

c2 = γP/ρ (1.15)

où c = vitesse du son (m/s).À ces équations peuvent répondre des solutions générales de la forme, parexemple pour v :

v = F (t − x/c) + f(t + x/c) (1.16)

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F (t−x/c) représente une onde de profil quelconque, se propageant vers lesx > 0, donc une onde progressive, de même :

f(t + x/c) représente une onde rétrograde.Une fois v choisi, il en résulte pour p une fonction similaire [(1.4) et (1.5)

sont liées].p = ρc

[F

(t − x

c

)+ f

(t +

x

c

)](1.17)

Notons que, pour F seule, on a :

p = ρcv, ou p/v = ρc = zi(voir ci-après)

et pour f seulep = −ρcv

dans le cas général où F et f coexistent (cas particulier des « ondes station-naires »), les relations entre p et v sont plus compliquées.

1.1.2.2 Impédance acoustique

De même qu’avec une ligne électrique, on a une impédance itérative :

zi =v

i= tension/courant ←→ pression/débit

Dans le cas du tuyau sonore, on a d’une manière analogue, le débit étant Sv :

zi =pressiondébit

=ρc

S(1.18)

pour une onde progressive (f = 0), pour toute valeur de x.Si on veut éviter l’apparition de f dans un tuyau, celui-ci doit donc être

terminé par un dispositif d’absorption de l’énergie dont l’impédance est égaleà l’impédance itérative du tuyau zi = ρc

S ; tout comme une ligne électriquedoit être fermée sur une résistance pure :

R = zi =

√L

C− (ligne sans perte) (Fig. 1.2)

Fig. 1.2 – Ligne sans perte terminée par son impédance itérative.

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Fig. 1.3 – Analogies entre les lignes acoustiques et les lignes électriques.

On retrouve donc avec un tuyau sonore tous les résultats obtenus avec uneligne électrique, comme le montre la figure 1.3.

En acoustique R = zi peut être obtenu en réalisant une terminaison consti-tuée d’une paroi percée d’une grande quantité de fins tuyaux où l’énergie sedissipe par la viscosité de l’air (paroi poreuse, capillaires, etc.).

1.1.2.3 Détermination de f

Si le tuyau se termine par une impédance Z quelconque, on a pour x = l,Z = p

Sv , donc

p

Sv=

ρc

S

F(t − l

c

) − f(t + l

c

)F

(t − l

c

)+ f

(t + l

c

)d’où :

f

(t +

l

c

)= F

(t − l

c

) 1 − ZSρc

1 + ZSρc

(1.19)

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 7 — #21


On obtient donc pour un tuyau fermé (Z = ∞) :

f

(t +

l

c

)= −F

(t − l

c

)

et pour un tuyau ouvert (Z = 0) (supposé incapable d’engendrer une pres-sion, ce qui n’est pas tout à fait vrai en réalité) :

f

(t +

l

c

)= F

(t − l

c

)

Toutes ces propriétés sont exploitées dans les instruments de musique àvent (tuyaux d’orgue ouverts ou bouchés, flûtes, trompettes, etc).

1.1.3 Propagation d’ondes dans l’espace

1.1.3.1 Petit volume soumis à une pression sonore

On considère maintenant un petit volume V = dx.dy.dz de masse m,soumis à une pression sonore p(x, y, z).

F = mΓ se traduit dans les 3 directions :

Fx = [p(x) − p(x + dx)]dydz = −∂px

∂xdxdydz

Fx = −∂px

∂xV

Par symétrie :

Fy = −∂py

∂yV

Fz = −∂pz

∂zV

C’est-à-dire :#»F = − #»

V# »

grad p (1.20)

D’autre part, l’accélération est d #»vdt :

d #»v

dt=

∂ #»v x

∂x

dx

dt+

∂ #»v y

∂y

dy

dt+

∂ #»v z

∂z

dz

dt

donc

ρd #»v

dt+

# »

grad.p = 0 (1.21)

à rapprocher de (1.6).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 8 — #22


Comme précédemment, les vitesses sont différentes sur les faces homo-logues :(x et x + dx, y et y + dy, z et z + dz), elles entraînent une variation du vo-lume V et par conséquent une variation δρ de la densité, la masse m étantconstante.

Fig. 1.4 – Propagation d’ondes dans les trois axes.

On retrouve évidemment l’équation (1.7) :

p

P+ γ

δρ

ρ= 0

d’où∂p

∂t− γP

(∂vx

∂x+

∂vy

∂y+

∂vz

∂z

)= 0 (1.22)

à rapprocher de (1.8).Cette relation est non tourbillonnaire, c’est-à-dire que :

# »rot. #»v = 0.

C’est la condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une fonction Φscalaire, appelée « potentiel des vitesses » ; ce qui signifie que l’on peut

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 9 — #23


écrire (signe – arbitraire) :

vx = −∂Φ∂x

, vy = −∂Φ∂y

, vz = −∂Φ∂z

ou encore :#»v = − # »

gradΦ (1.23)

où la vitesse #»v dérive de Φ.En dérivant dans le temps l’équation (1.21), avec (1.23), on obtient :

∂dΦ∂t

=1ρdρ (1.24)

ou en intégrant dΦ dans l’espace :

∂Φ∂t

=∫

dp

ρ=

p

ρ(1.25)

où ρ est considéré comme constante.De tout ce qui précède on tire :

∂2Φ∂t2

= γP

ρ

(∂2Φ∂x2

+∂2Φ∂y2

+∂2Φ∂z2

)

c’est-à-dire∂Φ2

∂t2= c2.∆Φ (1.26)

∆Φ = laplacien =∂2Φ∂x2

+∂2Φ∂y2

+∂2Φ∂z2

avec :c2 = γP/ρ (1.15)

1.1.3.2 Pression et élongation

Des équations précédentes on tire par intégration :

p = ρ∂Φ∂t

+ cste (1.27)

et l’élongation δ x est l’intégrale de v dans le temps. On voit que toutes lesgrandeurs acoustiques peuvent s’exprimer en fonction de Φ.

1.1.3.3 Ondes sphériques

Avec les ondes planes, les ondes sphériques sont les ondes le plus souventrencontrées. Dans ce type d’onde, la progression est radiale. Considérons unepellicule d’épaisseur dr sur la sphère de propagation, son volume est doncdV = 4πr2dr.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 10 — #24


En raisonnant de la même façon que pour les ondes planes, le principe deconservation de la masse permet d’écrire :

4πr2dr∂δρ

∂t+ ρ

∂

∂r(4πr2v)dr = 0 (1.28)

De même, la loi de Newton s’exprime comme pour les ondes planes :

1ρ

∂p

∂r+

∂v

∂t= 0 (1.29)

à rapprocher de (1.6).L’équation (1.28) peut s’écrire

r2 ∂δρ

∂t+ ρ

(2rv + r2 ∂v

∂r

)= 0

En éliminant δρ grâce à p = −γP δρρ , on obtient :

∂p

∂t− γP

(2rv +

∂v

∂r

)= 0 (1.30)

à rapprocher de (1.8).On peut maintenant éliminer soit p soit v pour aboutir à 2 équations de

propagation. On obtient alors en éliminant p :

∂2v

∂t2= c2 ∂

∂r

(1r2

∂(r2v)∂r

)

qu’on peut développer :

∂2v

∂t2= c2

(∂2v

∂r2+

2r

∂v

∂r− 2v

r2

)(1.31)

De même, en éliminant v :

∂2p

∂t2= c2

(∂2p

∂r2+

2r

∂p

∂r

)(1.32)

équation qui est différente de celle de v. Il est cependant plus intéressantd’utiliser la notion de potentiel des vitesses Φ (r, t). L’équation (1.26) devient,le laplacien étant en coordonnées sphériques : r, θ, φ, avec

(∂Φ∂θ = ∂Φ

∂φ = 0)

(Angot 1952, p. 132)∂Φ∂t2

= c2

(2r

∂Φ∂r2

+∂2Φ∂2

)(1.33)

en posant β = rΦ, on aboutit à :

∂2β

∂t2= c2 ∂2β

∂r2(1.34)

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 11 — #25


d’où

Φ =βF (ct − r)

r+

βf (ct + r)r

onde centrifuge onde centripète (1.35)

On se soucie rarement de la centripète (sauf peut-être si l’onde passe parun foyer).Soit donc la centrifuge Φ = βF (ct−r)

r .On en déduit comme précédemment :

v = −∂Φ∂r

=1r

∂βF

∂(ct − r)+

βF

r2(1.36)

On observe que pour r assez grand βF

r2 est négligeable. L’onde est assi-milable à une onde plane

p =∂Φ∂t

=ρc

r

∂βF

∂(ct − r)(1.37)

progressive, décroissant en 1/r. En revanche, pour r petit, le terme βF

r2 estprépondérant. Cela signifie que la forme d’onde de vitesse se déforme ense propageant. En revanche la pression p ne subit qu’une atténuation sansdéformation. Cette particularité joue un grand rôle dans les micro-phones : ceux répondant à la pression ne manifestent pas de sensibilité à ladistance de la source en fonction de la fréquence, au contraire des microphonesdits « de vitesse » qui accentuent les fréquences basses à proximité dela source (Fig. 1.5), ce qui est un inconvénient dont il faut se souvenir enexploitation (voir § 4.7.2).

Fig. 1.5 – Variation de la vitesse en fonction de r, pour les ondes sphériques.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 12 — #26


1.1.4 Vitesse du son. Influence de P et de T

La loi de Mariotte Gay-Lussac s’écrit PV = nRT où (R ≈ 2 J) est uneconstante et T la température absolue. T = t C + 273 K, n = nombre demoles. Si T est constante :

dPP + dV

V = 0. Comme ρ = mV , densité de l’air, on a V = m

ρ , ce qui donnePmρ = nRT .

D’où δPP − δρ

ρ = 0 lorsque la pression atmosphérique subit une variation δP .Ceci entraîne :

2dc

c= γ

(δP

P− δρ

ρ

)= 0 (1.38)

La vitesse du son c est donc pratiquement indépendante de la pres-sion atmosphérique, en revanche elle dépend de la température :

c =

√γ

PV

m=

√γ

nRT

m[m/s] (1.15)

En appelant c0 la vitesse à 0 C :

c = c0

√1 +

t C273

∼= c0

(1 +

t C546

)

pour les valeurs habituelles de températures ambiantes.En valeurs numériques, aux conditions de référence habituelles :

– température (t C = 0), → T = 273 K, γ = 1,40 ;

– pression atmosphérique P0 à 76 cmHg → P0 = 0,76 × 13,6 à 0 C

→ P0 = 1 033,6 millibars ou hecto pascals ;

– densité de l’air ρ0 = 1,293 kg.m−3 à t = 0 C ;

– vitesse de l’air à 0 C :

c20 = γP0/ρ0 = 1,4 (1,034/1,293) 105 ;

c0 = 334,53 m/s.

Cherchons la variation de température ∆t pour qu’un orgue à tuyaux monted’un quart de ton (racine 24e de 2)(rappel : 1/2 ton = racine 12e de 2).

24√

2 = 1,0293 = 1 + ∆t/2 × 273 → ∆t ≈ 0, 0293× 2 × 273 = 16 C

1.1.5 Considérations énergétiques. Intensité acoustiqueou niveau sonore

Le terme intensité est utilisé ici dans un sens très différent de son sens enélectricité. Il eut été préférable de parler de puissance unitaire (par m2).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 13 — #27


Soit un élément de surface dS soumis à une pression p. La force exercéeperpendiculairement à dS est donc dF = p.dS, entraînant une vitesse acous-tique v. Le travail élémentaire accompli est donc dW = pdSdx suivant lanormale à dS, d’où la puissance dW

dt :

dW

dt= pdS

dx

dt

où : S dxdt = débit (m3 s−1), d’où par définition de l’intensité acoustique :

I = Ψ = (pv) (valeur moyenne de pv) en W.m−2 (1.39)

La puissance acoustique à travers une surface S sera donc :

Pd =∫

S

I.dS

Si β désigne un angle constant entre la normale à S et la direction de propa-gation :

Pd = I.S cosβ

Nous verrons plus loin que pour l’oreille humaine I (§ 3.2) s’étend de :I0 = 10−12 W.m−2 (seuil d’audibilité) à environ I = 1 W.m−2 (seuil de

douleur).Les définitions précédentes permettent donc aisément de calculer les puis-

sances émises par les sources sonores, connaissant S et leur vitesse v, ou leurélongation x, dans le cas d’ondes sinusoïdales. Comme en électricité, on em-ploiera avec succès les nombres complexes ou la transformation de Laplace(avec s = jω, symbole de ∂

∂t ).

1.1.6 Impédances acoustiques complexes

Jusqu’ici nous avons eu affaire à des ondes aériennes où le rapport zi = pv ,

dans le cas de pression et vitesse sinusoïdales, est réel ; en d’autres termes, iln’y avait pas de déphasage entre eux. Or, on rencontre en acoustique, commeen électricité, des impédances réactives (inductance et capacitance), tradui-sant les phénomènes de stockage d’énergie cinétique :

(inertances←→inductances) ou potentielle(volumes comprimés←→condensateurs).

Comme on le démontre en automatismes, connaître la fonction de transfertH(jω) d’un système physique c’est connaître aussi sa fonction de transfertH(s), avec s = α + jω, variable de Laplace (on utilise s pour ne pas em-ployer p).

Nous emploierons désormais les notations habituelles aux fonctions d’ex-citation et des réponses des systèmes.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 14 — #28


L’excitation x(t) sera généralement de la forme :

x(t) = [

# »

X.est].u(t)

avec u(t) = échelon unité, = partie réelle de. . . ; = partie imaginaire. . .

#»X = |X |ejθ = A + jB, et s = α + jω

Si :

s = α; x(t) = Keαtu(t) régime transitoire

s = jω; x(t) = Xejωt = |X | cos(ωt + φ) régime forcés = α + jω, → sinusoïdes d’amplitude croissante ou décroissante

suivant le signe de α.Les fonctions de réponse sont de la forme :

y(t) = y0(t) + yf (t)

où y0(t) est la réponse naturelle et yf (t) est la réponse forcée.Si x(t) est sinusoïdal :

#»x (t) = X cosωt la réponse sera #»y (t) = [Y cos(ωt + ϕ)]

avec Y/X = H(s) = H(jω) en régime forcé.

Fig. 1.6 – Échelon unité et impulsion de Dirac.

On se rappellera (Fig. 1.6) également que si :

L est la transformée de Laplace,

L [u(t)] = 1/s, échelon unité,

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 15 — #29


L [δ(t)] = 1, impulsion de Dirac,

L[

df(t)dt

]= sF (s) → jωF (jω),

L [∫

f(t)dt] = F (s)/s → 1jw F (jw)

H(s) = sR(s) avec R(s) = réponse à u(t).Tous les systèmes à constantes localisées (ou considérées comme telles)

peuvent donc être facilement analysés avec cette méthode : microphones, haut-parleurs, enceintes acoustiques, etc.

1.1.7 Application aux ondes planes et sphériques

1.1.7.1 Ondes planes

Le potentiel des vitesses s’écrit :

Φ(ct − x) = Φ0 sinω

c(ct − x) = Φ0 sin(ωt − kx) (1.40)

où k = ωc = nombre d’ondes. On écrit aussi :

Φ(ct − x) = Φ0 sin 2π

(t

T− x

λ

)(1.41)

où : λ = cT = c/f = longueur d’onde, Φ0 = constante ; ωT = 2π ;T = période, f = 1/T = fréquence.

En notation complexe :

Φ(ct − x) = Φ0ej(ωt−kx) = Φ0e

jωte−jkx

d’où

p(x) = ρ∂Φ∂t

= Φ0ρjω.e−kx (1.42)

v(x) =∂Φ∂x

= Φ0jke−kx (1.43)

zc =p

v=

ρ.j.ω

j.k= ρc, exprimée en [Pa.s.m−1]

zc = impédance caractéristique, ou spécifique, du milieu (air engénéral).(Rappel : zi = ρc

S (1.18), pour le tuyau.)

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 16 — #30


1.1.7.2 Ondes sphériques

Le potentiel des vitesses s’écrit :

Φ(ct − r) =Φ1

re−j.k.r; Φ1 = valeur de Φ à r = 1 m

p(r) = ρ∂Φ∂t

=Φ1

rjωρe−jkr (1.44)

v(r) = −∂Φ∂r

=[− 1

r2e−jkr − jk

re−jkr

]

v(r) =Φ1

r

(1r

+ jk

)e−jkr (1.45)

d’où

zc =p(r)v(r)

=jωρ

1r + jk

=ωρ

ωc − j

r

=ρc

1 − jkr

(1.46)

qui peut s’écrirezc = Rc + jXc

Partie réelle :Rc =

ρc

1 + 1(kr)2

→ r → ∞; Rc → ρc = zc

Partie imaginaire :

Xc =ρckr

1 + 1(kr)2

→ r → ∞; Xc → 0

1.1.8 Sources théoriques

1.1.8.1 Sphère pulsante

Son volume varie dans le temps, le rayon a étant modulé d’une petitequantité r(t). Le débit acoustique vaut :

qr(t) = Svr(t) [m3s−1]

Écrivons vr(t) pour r = a, de la formule (1.45)

vr(t) =q(t)S(a)

=q(t)4πa2

=Φ1

a

(1a

+ jk

)e−jka

d’où on tire :

Φ1 =q

4π

ejka

ka − j

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 17 — #31


et enfin p(r) et v(r), en portant ce résultat dans (1.44) et (1.45), avec zc = ρc

p(r) =zckq

4πr(ka − j)e−jk(r−a) (1.47)

v(r) =kr − j

ka − j

q

4π.r2.e−jk(r−a) (1.48)

On introduit alors deux impédances Zar et Zmr :a) Z ar = impédance acoustique de rayonnement, en r = a

Zar =p(a)q

=zck

4πa(ka − j)[N.s.m−5 ou Pa.s.m−3] (1.49)

(car q = 4πa2v)En outre, la force exercée sur la sphère est F = p(a).S, d’où :

b) Zmr = impédance mécanique de rayonnement

Zmr =F

v(a)=

Sp(a)v(a)

orp(a)v(a)

=Sp(a)

q= SZar

d’où :Zmr = S2Zar [Nsm−1] (1.50)

Zmr représente le quotient d’une force par une vitesse, celle que cetteforce produit à la surface de la sphère. Nous verrons plus loin le sens de cettenotion à l’étude des pistons (haut-parleurs).

1.1.8.2 Propriétés

Pour généraliser, on introduit l’impédance réduite :

zr = rr + j.xr =ZS(a)

zc=

ZarS

zc=

Zmr

S.zc

ce qui donne :

rr =(ka)2

1 + (ka)2et xr =

ka

1 + (ka)2(1.51)

rr → 1 pour ka → ∞ ; xr → 0 pour ka → ∞

Pour : ka < 1, c’est-à-dire ωac = 2πfa

c = 2πaλ < 1

ka < 1 → r1 ≈ (ka)2; xr ≈ ka

La figure 1.7 montre la variation d’impédance réduite en fonction de ka.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 18 — #32


Fig. 1.7 – Variation de l’impédance réduite zr = rz +jxr en fonction de ka (d’aprèsRossi 1986).

1.1.8.3 Masse de rayonnement

Pour ka < 1, la réactance Xmr vaut Xmr = xaZcS ≈ kaZc4πa2

Avec k = ω/c et Zc = ρc et V = 4/3πa3, volume de la sphère

Xmr ≈ ω.c−1a.ρc.4πa2 = 3ωρV (1.52)

La réactance mécanique (inertie) vue par le moteur de force F est doncenviron 3 fois celle de la sphère remplie d’air. Elle ne joue pas de rôledans la puissance acoustique rayonnée, mais intervient dans la fonction detransfert. Nous verrons plus en détail cette propriété, dans l’étude des haut-parleurs.

La résistance de rayonnement varie pour ka < 1 en (ka)2, c’est-à-dire enω2a2

c2 , à raison de + 12 dB /oct, pour ensuite devenir constante pour ka > 1.On retrouvera cette propriété à peine modifiée dans les haut-parleurs.

1.1.8.4 Piston circulaire sur écran infini

Dans cette configuration, les rayonnements avant et arrière n’interfèrentpas (Fig. 1.8). L’impédance de ce rayonnement est calculée en supposant quechaque élément dS de la surface se comporte comme une demi-sphère pulsante.

Si ka << 1 (sphère petite devant λ), la pression selon (1.47) s’écrit :

p(r) = jzckq

4πre−j.k.r

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 19 — #33


Fig. 1.8 – Piston circulaire dans un écran infini.

Comme toute l’énergie est émise vers l’avant, l’expression précédente devient,à débit q constant, p étant doublée :

dp = jzckdq

2πrie−jkri

ri étant la distance de dS au point considéré A. (Fig. 1.9)La pression en A s’obtient en intégrant dp sur la surface S du piston avec

dq = v0dS :

p =∫S

dp = jzck.v0

2π

∫S

e−j.k.ri

ridS

dS s’écrit : dS = ρdρdϕ, et on confond ri et r, si on peut considérer

ri = r + ρ cosφ sin θ ≈ r, en champ lointain

On peut alors écrire :

p(r, θ) = jzckv0e−jkr

2π.r

∫S

e−jkρ. cos ϕ. sin θdS (1.53)

L’intégrale s’écrit :∫ a

0ρdρ

∫ 2π

0e−j.k.ρ. cos ϕ. sin θdϕ

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 20 — #34


Fig. 1.9 – Rayonnement du piston.

L’intégrale en ϕ vaut J0 (kρ sin θ) (elle représente le rayonnement d’uneantenne circulaire de rayon ρ). Celle en ρ vaut πa22J1(ka sin θ)

ka sin θoù J0 et J1 sont des fonctions de Bessel d’ordre 0 et 1 (voir Angot, 1952).

Le diagramme (Fig. 1.10) représente le facteur de directivité du pistonen fonction de ka sin θ. Pour ka < 1 (c’est-à-dire lorsque la circonférence dupiston est < λ), il rayonne comme demi-sphère pulsante. Au contraire pourka > 2, la directivité s’accentue et dès ka = 3,83 (1er zéro de J1), des lobessecondaires apparaissent.

1.1.8.5 Impédances de rayonnement

Comme pour la sphère pulsante, on définit les impédances de rayonne-ment :

zr =SZar

zc=

Zmr

Szcavec zr =

F

zcSv0

où F est la force de réaction du milieu. zr = impédance réduite ; zc = ρc.On a :

Zar = pression/débit = p(a)Sv0

= zrzc

S = impédance acoustique derayonnement.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 21 — #35


Fig. 1.10 – Facteur de directivité du piston (Rossi 1986).

Zmr= force/vitesse = p(a).Sv0

= zrzcS = impédance mécanique derayonnement.

Le calcul de Zar a été effectué par Lord Rayleigh, il aboutit aux expres-sions suivantes, avec zr = rr + jxr, paramètres réduits (Fig. 1.11) :

rr = 1 − 2J1(2ka)2ka

et xr = − 4π

π/2∫0

sin(2 ka cosϕ) sin2 ϕ.dϕ (1.54)

ϕ = position angulaire de dS sur le piston (Fig. 1.9).rr peut être écrit sous la forme d’un développement en série, on obtient,

pour ka << 1 (Olson, 1957, p. 92) :

rr =(ka)2

2− (ka)4

12+

(ka)6

144+. . . et xr =

8 ka

3 π

(1 − (2 ka)2

15+ . . .

)(1.55)

rr est la moitié de (1.51) ; xr est 85 % de (1.51).Lorsque le piston est petit devant λ, rr est petit devant xr . Ce dernier

terme, si ka est petit, peut s’écrire : xr = 8ka3π et Xmr = xrzcS = 8ka

3π ρcπa2

Xmr = ωρhS (1.56)

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 22 — #36


3,01,00,30,10,030,01

2,0

1,0

0,50,30,2

0,1

0,01

0,0050,0030,002

0,001

0,00050,00030,0002

0,0001

0,050,030,02

analogue électrique de l’impédance

Fig. 1.11 – Composantes réelle et imaginaire de l’impédance de rayonnement dupiston (Beranek 1954).

avec h = 8a3π , et k = ω

c , hS est le volume d’un cylindre de même diamètre quele piston et de hauteur h = 8a

3π , d’où :

Mr = ρhS = ρ8a

3ππa2 = ρ

D3

3(1.57)

où : D est le diamètre du piston, la masse d’air de ce cylindre se rajoutedirectement à celle du piston, et de chaque côté si les deux facesrayonnent dans tout l’espace.

Le piston rayonne comme une demi-sphère pulsante pour ka << 1, c’est-à-dire pour les fréquences les plus basses, et le terme rr croît alors commele carré de la fréquence. Il atteint la valeur 1 pour le 1er zéro de J1,c’est-à-dire : ka = 3,83. Au-delà, le piston rayonne pratiquement droit devantlui, comme dans un cylindre de même diamètre (en supposant qu’il estindéformable).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 23 — #37


1.1.9 Propagation d’ondes planes dans les pavillons

Un piston est capable d’engendrer de fortes pressions, mais son inertie nele rend susceptible que de faibles déplacements. En rayonnant directementdans l’atmosphère, il ne pourra pas développer des pressions élevées : c’est undispositif à impédance élevée, et l’air est au contraire à très basse impédance. Ily a donc désadaptation. Un pavillon, présentant une surface faible à la gorgeet une surface importante en bouche, permet de réaliser une bien meilleureadaptation : il fonctionne comme un transformateur. Nous étudierons lespavillons les plus répandus parce que les meilleurs, dont la loi de croissance dela section (surface S) est de nature exponentielle : les pavillons exponentiels enex et leurs dérivés hyperboliques (loi en Ch x et Sh x ) un peu plus sophistiqués.

1.1.9.1 Équations de propagation

Les équations sont différentes de celles obtenues pour le tuyau à sectionconstante S : ici la section S augmente de dS (Fig. 1.12) lorsque x augmentede dx.

Fig. 1.12 – Propagation d’ondes planes dans un pavillon.

Pendant le temps dt, il rentre en S la quantité d’air (ρSv)xdt, il sort enS + dS la même quantité, mais écrite (ρSv)x+dxdt, ce qui donne :

S∂ρ

∂t+

∂

∂x(ρSv) = 0

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 24 — #38


En développant :∂2v

∂x∂t= −1

ρ

∂2p

∂x,

et enfin,S∂ρ

∂t+ Sv

∂ρ

∂x+ ρv

∂S

∂x+ ρS

∂v

∂x= 0

Le deuxième terme, produit de deux infiniment petits, est négligeable. Onnéglige aussi les variations de ρ, sauf évidemment pour le terme en ∂ρ

∂t .En outre, la loi de Newton permet d’écrire (comme pour les ondes planes

§ 1.1.2.1) :1ρ

∂p

∂x+

∂v

∂t= 0 (1.6)

avec :1ρ

∂p

∂t+

1S

∂S

∂xv∂v

∂x= 0 (équation de Webster) (1.58)

En procédant par élimination comme pour les ondes planes (§ 1.1.2.1.), ettoujours avec l’équation (1.7) p

P + γ δρρ = 0, c’est-à-dire :

1ρ

∂ρ

∂t=

1γP

∂p

∂t, on obtient le système :

ρ∂v

∂t+

∂p

∂x= 0

1γ.P

∂p

∂t+

1S

∂S

∂xv +

∂v

∂x= 0 d’où, en éliminant p

∂2v

∂x2+

(1S

∂S

∂x

)∂v

∂x+ v

∂

∂x

(1S

∂S

∂x

)=

ρ

γP

∂2v

∂t2(1.59)

et aussi1

γP

∂2p

∂t2+

(1S

∂S

∂x

)∂v

∂t+

∂2v

∂x∂t= 0

L’équation (1.6) donne :∂v

∂t= −1

ρ

∂p

∂x.

C’est-à-dire :∂2v

∂x∂t= −1

ρ

∂2p

∂x2, en dérivant en x

d’où finalement :ρ

γP

∂2p

∂t2=

(1S

∂S

∂x

)∂p

∂x+

∂2p

∂x2(1.60)

où on retrouvec2 =

γP

ρ(1.15)

Les deux équations 1.59 et 1.60 ne sont pas les mêmes, ce qui signifieque la pression p et la vitesse v évoluent très différemment le longde l’axe du pavillon.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 25 — #39


1.1.9.2 Cas du pavillon exponentiel

La section S croît suivant la loi : S = S0emx, S0 étant la section pour

x = 0. On en déduit tout de suite :

1S

∂S

∂x= m et

∂

∂x

(1S

∂S

∂x

)= 0

Les équations 1.59 et 1.60 deviennent alors :

c2

(∂2v

∂x2+ m

∂v

∂x

)=

∂2v

∂t2(1.61)

c2

(∂2p

∂x2+ m

∂p

∂x

)=

∂2p

∂t2(1.62)

qui sont semblables, et dans ce pavillon seulement.

1.1.9.3 Propagation dans le pavillon exponentiel

Soit la vitesse v(t) = V ejωt, en portant dans (1.61), on obtient :

∂2V

∂x2+ m

∂V

∂x+

ω2

c2V = 0

Posons maintenant V = erx, on obtient l’équation caractéristique :

r2 + mr + ω2/c2 = 0

c’est-à-dire :

r = −m

2±

√m2

4− w2

c2(1.63)

Si le pavillon s’ouvre lentement :

m2

4<

ω2

c2

Dans ce cas, les racines sont :

r = −m

2± j

√ω2

c2− m2

4

c’est-à-dire :V = V0e

−mx2 +j.

√ωc2

−m24 . (1.64)

On obtient bien une onde sinusoïdale amortie avec la distance x, mais avecune vitesse c′ qui est telle que ω2

c′2 = ω2

c2 − m2

4 . Soit :

c′ =c√

1 − m2c2

4ω2

avec c′ > c (1.65)

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 26 — #40


Mais il s’agit de la vitesse de phase. La vitesse de propagation d’une ondede forme quelconque décomposable en série de Fourier, ou encore vitesse degroupe, est < c. Soit en effet une onde :

v =n∑1

A cosn

(ωt − 2π

λ+ ϕ

); (n = entier).

La phase d’une composante en (x+∆x) au temps (t+∆t) sera inchangée si :δω∆t − δ 2π

λ ∆x = 0. Autrement dit, le groupe de composantes se transpor-tera comme un tout.

La vitesse de propagation de groupe s’écrit :

cg =∆x

∆t=

dω

d(

2πλ

) =dω

d(

ωc′

) ,

or :d

(ωc′

)dω

=c′ − ω dc′

dω

c12 =1 − ω

c′dc′dω

c′Comme

c′ = c

(1 − m2c2

4ω2

)− 12

→ dc′

dω= −1

2c−2

(m2c2

4ω3

)(1 − m2c2

4ω2

) 32

d’où :ω

c′· dc′

dω=

m2c2

4ω2(1 − m2

4ω2

) 32− 1

2=

m2c2

4ω2

1 − m2c2

4ω2

et enfin :

cg =dω

d(

ωc′

) = c′(

1 − m2c2

4ω2

)=

c(1 − m2c2

4ω2

) 12.

(1 − m2c2

4ω2

)

cg = c

√1 − m2c2

4ω2< c (1.66)

(D’après Yves Rocard, Dynamique des vibrations. 1949.)

1.1.9.4 Fréquence de coupure

Pour qu’il y ait propagation de tranche en tranche, il faut que ω2

c2 > m2

4 ,c’est-à-dire ω > ω0 (voir 1.65). Si ω < ω0, il n’y a plus de propagation etl’amplitude dans une tranche en x est de la forme :

A.er1x + Ber2x(A et B dépendant des conditions initiales)

Si ω → 0, r1 → 0 et r2 → −m.Et d’autre part la vitesse varie comme e−x, régime d’écoulement d’un

fluide incompressible, ou hydrodynamique. La fréquence de coupure ω02π se

présente donc comme une frontière entre un régime acoustique proprementdit pour ω > ω0, et hydrodynamique pour ω < ω0. Dans le deuxième cas, il ya transfert d’énergie, mais assez mauvais.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 27 — #41


1.1.9.5 Transfert d’impédance

L’impédance acoustique de rayonnement Zg = Zar du pavillon, s’il nes’ouvre pas trop rapidement (m petit) et s’il est de longueur pratiquementgrande devant la plus grande longueur d’onde à transmettre, s’écrit :

p

q= Zg =

ρ.c

S0à la gorge (entrée)

S0 étant la surface de gorge (à x = 0). Cette impédance est beaucoup plusélevée que celle que voit un piston sur écran (§ 1.1.8.4.) lorsque λ < π D, ce quiest très favorable pour produire un son avec un piston vibrant, qui est à hauteimpédance (§ 1.1.9). Si le pavillon est sans pertes (cas général), l’impédanced’une tranche en x peut s’écrire, le débit total q étant constant :

q = vX.SX = cste, ce qui donne Zx =ρc

Sxet Zg =

ρc

S0ou encore Zx = Zg

S0

Sx

L’impédance décroît donc régulièrement avec x et si Dx est le diamètreen Sx et D0 en S0 :

Zx = Zg

(D0

Dx

)2

(1.67)

Cette formule est à rapprocher de celle présentée du primaire d’un transfor-mateur de rapport

n1

n2: Zs =

(n1

n2

)2

Zp

On pourrait déjà utiliser le pavillon en le plaçant directement sur un pis-ton vibrant. On y gagnerait une bien meilleure adaptation du piston à l’airsur toute la bande de fréquence comprise entre la fréquence de coupure dupavillon (qui peut être basse) et la fréquence de transition où l’impédance derayonnement du piston devient :

Zx =ρc

S0à l’air libre (§ 1.1.8.4)

1.1.9.6 Pavillon hyperbolique

Ce pavillon, étudié vers 1940 par Vincent Salmon aux États-Unis (Jensen)est un perfectionnement intéressant du pavillon exponentiel. Son équation estdonnée par l’expression suivante :

√S =

√S0

(Ch

mx

2+ MSh

mx

2

)(1.68)

On retrouve S = S0emx pour M = 1, et pour M = 0, on a le pavillon

caténoïdal (chaînette) :S = S0Ch2 mx

2

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 28 — #42


La figure 1.13 donne la résistance de rayonnement pour différentes valeursde M : on y voit l’intérêt de choisir M entre 1/2 et 1/

√2 ; valeurs qui donnent

une bien meilleure adaptation aux fréquences basses que pour le classiquepavillon exponentiel.

a)

b)

hyperbolique

conique

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

fréquence hertz

Fig. 1.13 – Impédance de gorge des pavillons hyperboliques. a) en fonction de M(Rossi 1986) ; b) comparaison entre les pavillons hyperboliques et coniques (Beranek1954).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 29 — #43


1.2 Analyse par schémas équivalents

1.2.1 Analogies mécano-électro-acoustiquesOn peut imaginer de nombreuses analogies mécano-électro-acoustiques.

Celle qui vient le plus naturellement à l’esprit est la suivante (Tab. 1.1.) :

Tab. 1.1 – Analogies mécaniques, électriques, acoustiques.

DomaineMécanique Électrique AcoustiqueForce F Tension U Pression pVitesses v Courant I Débit acoustique q

Cette méthode est féconde car elle permet d’optimiser les structures acous-tiques en partant des circuits électriques bien maîtrisés par les électri-ciens. Ainsi un haut-parleur est un générateur de pression : on passe duschéma électrique au schéma acoustique par l’intermédiaire d’un schéma mé-canique (Tab. 1.2) :

Tab. 1.2 – Équivalences entre les schémas du haut-parleur.

Électrique Mécanique AcoustiqueI F = BlI p = F

S = BlIS

Dans un circuit acoustique complexe on trouve, comme dans un circuitélectrique :

a) un (ou des) générateur(s) de pression (haut-parleurs) et/ou un (oudes) récepteur(s) (microphones) ;

b) des résistances acoustiques (←→ résistances électriques) ;

c) des inertances (←→ inductances électriques) ;

d) des élasticités (←→ capacitances électriques).

On transformera donc le schéma électro-mécano-acoustique en un seulschéma acoustique en tenant compte évidemment des formules deconversion (où on suppose toujours les vitesses normales à la surface consi-dérée).

a) Générateur de pression pAinsi la source de pression acoustique est déterminée, dans un haut-parleur

de surface Sd, par :

p =F

Sd=

BlI

Sd=

BlU

SdZt

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 30 — #44


où : U est la tension de sortie à vide de l’amplificateur, de résistance interne

Rg → Zt = Rg + jLω + Re

(on néglige la f.c.é.m, Blv au-delà de la résonance principale du haut-parleur),d’où

p ≈ BlU

Sd(Rg + Re + jLω)

(Voir plus loin § 2.1.3.)

b) Les résistances acoustiques (rayonnement et/ou dissipation par frot-tement d’air) sont déterminées par le rapport pression

débit considéré.Comme la résistance mécanique est donnée par :

Rmec =F

v, que F = pSd et v =

q

Sd

p

q= Ra =

Rmec

S2d

[Pa.s.m−3] (1.69)

c) Les masses mécaniques M se transforment en inertances acous-tiques Ja

∗

F = Mdv

dt→ pSd =

M

Sd

dq

dt→ p = Ja

dq

dt

où M est la masse du fluide (volume Sh considéré indéformable) ou la massemécanique d’un diaphragme passif, de surface Sd :

Jd =M

S2d

[kg.m−4] (1.70)

Exemple : l’inertance d’un évent de surface S et de longueur h rempli d’air :

Ja =ρSh

S2=

ρh

Soù ρ = 1,3 kg/m3

d) Les élasticités acoustiques Ca (ou souplesses) sont par définition issuesde l’égalité :

q = Cadp

dtou

dp

qdt=

1Ca

Or la raideur Kb d’un volume d’air Vb, soumis à l’action d’un piston de surfaceS se déplaçant de x s’écrit :

F

x= Kb =

SdP

x=

−S2dP

dVb=

−S2dP

−pdtavec dVb = −qdt = −Sx

∗Pour éviter les confusions, on ne parle pas de « masse acoustique ».

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 31 — #45


La loi de Laplace PV γ = Constante donne :

dp

P= −γ

dVb

Vbd’où :

dp

dVb=

−γP

Vbou encore :

1Ca

=dp

−qdt=

Kb

S2.

Or :

KbS2γP

Vb=

S2ρc2

Vb(1.15)

CaVb

γP=

Vb

ρc2[m3 Pa−1] (1.71)

On remarque que dans cette dernière expression la surface S a disparu.

1.2.2 Énergies mises en œuvrea) Résistance acoustique : Ra

Pw = Raq2 =p2

Ra[Watts] (1.72)

(à rapprocher de P = RI2 = U2

R en électricité).

b) Inertance acoustiqueIl y a, comme dans une inductance, stockage d’énergie cinétique :

Wc =12Jaq2 =

12

M

S2(Sv)2 =

12Mv2 [joules] (1.73)

c) Élasticité acoustiqueOn y emmagasine de l’énergie potentielle (comme dans un condensateur) :

Wp =12Cap2 =

12Kbx

2 =12

S2γPx2

Vb=

12

γP

Vb(∆Vb)2 [joules] (1.74)

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 32 — #46

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 33 — #47

Chapitre 2

Haut-parleurs

2.1 Haut-parleur électrodynamique à cône

Le haut-parleur est supposé monté sur un écran plan infini (2 rayonne-ments, Fig. 2.1).

Fig. 2.1 – Vue en coupe d’un haut-parleur standard.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 34 — #48

34 Chapitre 2 : Haut-parleurs

Soit :Mt : la masse totale du cône et des cylindres (voir § 1.1.8.5)

d’air entraînés (kg)D = 2a, le diamètre du cône effectif rayonnant (m)ωS : pulsation de résonance principale du cône (rad.sec−1)fS : fréquence de résonance = ωS/2π (Hz)S : surface du cône (assimilable à un piston plan) (m2)

S = πa2 = πD2

4B : induction dans l’entrefer (teslas)l : longueur du fil de la bobine mobile (m)x : déplacement du cône (m)R : résistance de la bobine mobile (Ω)K : raideur de la suspension du cône (Nm−1)C = 1

K = souplesse de la suspension (mN−1)L : inductance de la bobine mobile (H)f : coefficient de pertes dues au rayonnement

et frottements divers.

2.1.1 Fonction de transfert en courant xI

La force motrice exercée sur le cône est F = BlIOn a donc :

BlI = Mtd2x

dt2+ f

dx

dt+ Kx

c’est-à-dire :BlI = (−ω2Mt + jωf + K)x

d’où :x

I=

Bl

K

1

1 + jωf

K− Mtω

2

K

(2.1)

en identifiant le dénominateur à la forme canonique d’un système de secondordre :

1 + 2 mjω

ωS− ω2

ω2S

où :ω2

S =K

Mt

et ωS = la pulsation spécifique :

ωS =√

K

Mt

f

K=

2 m

ωS= 2 m

√Mt

K2m = ωS

f

K=

√K

Mt

1K

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 35 — #49


on pose m = ma = coefficient d’amortissement acoustique :

2 ma =f√

KMc

(2.2)

2.1.2 Fonction de transfert en tension xU

La tension de sortie de l’amplificateur U (Fig. 2.2) attaque le circuit :

Fig. 2.2 – Schéma électrique d’un haut-parleur électrodynamique.

U = (R + jLω)I + Bljωx

où Blv est la f.c.é.m de la bobine mobile :

jωx =dx

dt

I =x

Bl(−Mω2 + jωf + K)

U

x=

1Bl

(R + jLω)(−Mtω2 + jωf + K) + jωBl

et finalement :x

U=

Bl

RK

1

1 +(

f

K+

L

R+

B2l2

RK

)jω −

(Mt

K+

fL

KR

)ω2 − L

R

Mt

Kjω3

Cette fonction est du 3e ordre. Si on néglige l’influence de L dans la bande defréquences pour ne regarder qu’aux environs de ωS , on peut écrire :

x

U∼= Bl

RK

1

1 +f +

B2l2

RK

jω − Mt

Kω2

(2.3)

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 36 — #50


qui ressemble beaucoup à la précédente (2.1). En identifiant de nouveau à

1 + 2 mjω

ωS− ω2

ω2S

où ωS est inchangé ; le terme d’amortissement est totalement différent etcomposite :

a) fK , identique au précédent et de nature mécanique, dû aux frottements

et au rayonnement ;

b) B2l2

RK , d’origine électrique = 2me

ωS.

Nous écrirons

2mt = 2ma + 2me; 2me = ωSB2l2

KR(t = total)

D’où :

2mt = 2(ma + me) = ωS

(f

K+

B2l2

RK

)(2.4)

La littérature technique (Thiele et Small, 1971) a préféré écrire toutesces relations en assimilant à l’autre forme canonique, avec Q = surtension =1/2 m

1 +1Q

jω

ωS− ω2

ω2S

ce qui est assez maladroit. On obtient, avec leurs notations :

2ma =1

QMS=

f√KMt

→

QMS =√

KMt

RAS=

1RAS

√MMS

CMS: surtension mécanique

2me =1

QES=

B2l2

R√

KM→

QES =R

B2l2

√KM =

RES

B2l2

√MMS

CMS: surtension électrique

1QTS

=1

QMS+

1QES

QTS =√

MMS

CMS.

1

RAS +B2l2

RES

: surtension totale ;

(2.5)

avec

RAS = f ; CMS =1K

= souplesse ; RES = R ; MMS = Mt ;

QES = Qélectrique ; QMS = Qmécanique ; QTS = Qtotal

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 37 — #51


Ceci a pour but de permettre le lien avec les termes des catalogues,appelés paramètres de Thiele et Small.

Ordre de grandeur : QMS est de l’ordre 5 à 10, QES est d’autant plusfaible (c’est en général souhaitable) que le produit Bl est élevé. On voit quele terme B2l2

R a la dimension d’une résistance mécanique, c’est la résistancemécanique ramenée par voie électrique. On verra plus loin que l’ordre degrandeur de QTS est aux environs de 0,5 (m = 1) en général, ce qui signifieque le produit Bl doit être suffisant, et le plus élevé possible, la plupart dutemps.

2.1.3 Impédance du haut-parleur

U = (R + jLω)I + jωBlx

Or :

x =BlI

K

B2l2

f + j

(Mtω − K

ω

) (2.6)

à la résonance :

Mtω =K

ω→ U

I= R + jLω +

B2l2

f

on obtient donc une impédance motionnelle complexe qui s’ajoute à l’impé-dance électrique R + jLω avec :

Zm = Rm + jXm

Rm =B2l2f

f2 +(

Mtω − K

ω

)2 Xm = −B2l2

ω.

Mtω − K

ω

f2 +(

Mtω − K

ω

)2

En posant :

Rm + jXm = ρ.ej.ϕ =B2l2

f + j

(Mtω − K

ω

)

ρ =B2l2√

f2 +(

Mtω − K

ω

)2

Or :cosϕ =

f√f2 +

(Mtω − K

ω

)2

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 38 — #52


(l’inverse d’une droite est un cercle), il vient :

ρ

cosϕ=

B2l2

f= cste

ce qui est l’équation d’un cercle de diamètre B2l2

f = cste, dit cercle deKennelly (Fig.2.3).

Fig. 2.3 – Cercle de Kennelly.

2.1.4 Rendement du haut-parleurIl est le quotient de la puissance acoustique rayonnée par la puissance

électrique fournie.La puissance rayonnée est donnée par : Pr = Rmrv

2, v étant la vitesse ducône de surface S, on a :

v

U=

Bl

RK

jω

1 +f +

B2l2

RK

jω − M

Kω2

en négligeant les 2 premiers termes du dénominateur de xU (équation 2.3) pour

ω ωS =√

KMt

mais avec ka 1, c’est-à-dire la partie montante en ω2 dela résistance de rayonnement que l’on peut écrire :

Rmr = rrZtS ∼= ρ.c.S(ka)2

2(équation 1.55), pour ka =

ω.a

c∠1

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 39 — #53


On a vU

∼= BljωRMt

(on y remarque que K a disparu)

Pa = Rmrv2 =

U2B2l2

R2M2t ω2

Rmr =U2B2l2

R2M2t ω2

.ω2a2

2c2.ρ.c.S

Pa =U2B2l2a2cρS

2R2M2t c2

Or a2 = Sπ , et Pe.fournie = U2

R , si le rendement est très petit, ce qui esttoujours vrai en rayonnement direct (<3 %). Finalement

η0 =Pa

Pl=

B2l2ρS2

2πcRM2t

(2.7)

Cette formule est donc valable dans la partie horizontale du diagrammede Bode (en puissance) (Fig. 2.4).

Fig. 2.4 – Diagramme de Bode en puissance.

On y voit qu’entre ωS (résonance principale) et ωd où, rr → 1, le rayonne-ment est à puissance constante ; ceci à la condition qu’en fonctionnement

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 40 — #54


le piston du cône soit effectif, c’est-à-dire qu’il soit indéformable.En réalité, aux alentours de ωd le cône ne vibre plus d’un bloc et la courbede puissance s’étend plus que dans ce diagramme théorique, mais onne maîtrise pas bien la régularité de la réponse ; le cône étant sièged’ondes stationnaires.

Le rayonnement du cône est très bien étudié dans l’ouvrage de PierreLoyez sur les haut-parleurs (voir la bibliographie).

2.1.5 Formule du rendement selon Thiele et Small

Ces auteurs ont transformé vers 1970 la formule 2.7 et en ont établi unequi donne le rendement en fonction de fs, de VAS , volume d’air (§ 1.2.1)de même raideur que le cône suspendu, et du terme d’amortissementélectrique :

2me =1

QES=

B2l2

R√

KM; K =

√S2ρ.c2

VAS

η0 =4π2f3VAS

c3QES.xs

que l’on peut écrire :

η =8π2f3

s meVAS

c3(2.8)

avec c = 340 m/s, c3 = 39 304 000 = 39,3 × 106 ; 4π2 = 39,5

η0 =39,5 f3

s 2me VAS

(340)3≈ 10−6 f3

s 2me VAS (2.9)

Exemple : soit VAS = 300 l = 0,3 m3 ; fs = 25 Hz ; me = 2 ; (QES = 0,25)

η0 = 10−6(25)32.2.0,3 = 2.10−6.15 625.0,6 = 1,88 %

valeur faible, même pour un haut-parleur de qualité, car me est élevé (B2l2

Rélevé).

L’expression du rendement en fonction de VAS et de f3s montre tout de

suite les influences contradictoires des termes d’amortissement et dela fréquence de résonance principale fs, qui doit cependant être faiblepour étendre la réponse vers les fréquences basses. Le lecteur vérifiera que lesformules 2.7 et 2.8 sont bien équivalentes (voir exercice 3).

2.1.6 Schéma équivalent acoustique

Le haut-parleur sur écran infini peut être représenté par un schéma acous-tique équivalent. Dans ce schéma (Fig. 2.5) (§ 1.1.8.5) p = F

S = BlUS(Rg+Re) où

U est tension à vide de l’amplificateur de résistance interne Rg :

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 41 — #55


Fig. 2.5 – Schéma équivalent acoustique du haut-parleur.

p débite q dans un circuit RLC où :

Ras =f

S2(rayonnement) ;

Rae =B2l2

S2(Rg + Re)(électrique)

Cas = S2Cms =S2

K

Ja =Mt

S2

Noter que (Ja.Cas = Mt

K = 1ω2

s).

Ce schéma n’ajoute rien dans le cas présent, mais ses modifications en-traînées par les enceintes acoustiques mènent à des optimisations (enceintescloses et ouvertes).

2.2 Enceinte closeL’emploi d’un haut-parleur monté sur écran infini étant rare et peu pra-

tique, on est amené tout naturellement, pour neutraliser l’onde arrière, aucoffret clos, habituellement garni d’absorbant. Considérons d’abord le mon-tage du haut-parleur dans un coffret sans pertes (Fig. 2.6) (c’est-à-dire sansabsorbant acoustique).

Le seul paramètre du haut-parleur à être changé est la raideur K du cône,car s’y ajoute la raideur Kb de l’air enfermé de volume Vb. Le schéma acous-tique se transforme légèrement, car on y ajoute la souplesse Cab de l’enceinte :en série avec la souplesse du cône Ct,

1Ct

=1

Cas+

1Cab

La raideur du haut-parleur, K (Fig. 2.7) est augmentée de celle de laboîte Kb : Cab = S2

Kb.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 42 — #56


Fig. 2.6 – Enceinte acoustique close.

Fig. 2.7 – Schéma équivalent acoustique de l’enceinte close.

Toutes les valeurs de fréquence centrale, d’amortissement et de réponsesont donc modifiées :

ω2S devient ω2

c =K + Kb

Mt→ 2m = ωc

f

K + Kb=

f√(K + Kb)Mt

Si on veut une réponse correcte aux fréquences basses, il faut choisir K et ωS

très faibles. En outre, il est important de noter que la présence d’absorbantacoustique dans la boîte fait diminuer fortement le coefficient γ (de 1,4à 1,2 environ) ce qui diminue Kb à volume égal ou Vb à Kb égal. En effet, latransformation thermodynamique a tendance à passer d’adiabatique (γ = 1,4)à isotherme (γ = 1) à cause des pertes d’énergie dans l’absorbant.

De toute façon, on a intérêt à remplir complètement Vb d’absorbant, cequi, en outre, évite les ondes stationnaires. Les meilleurs résultats sont obtenus

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 43 — #57


avec 2 mt ≈ 0,9, (Qtc ≈ 1,1). L’influence de la boîte se manifeste égalementdans le rendement η, qui est le meilleur pour Qtc ≈ 1,1. Nous n’insisteronspas longtemps sur cette technique qui fut développée dans les années 1950et 1960 par Acoustic Research, mais qui à l’heure actuelle est pratiquementabandonnée pour l’enceinte à évent, qui donne de bien meilleurs résultats àtous les points de vue (rendement, encombrement, puissance rayonnée).

2.3 Enceinte à évent

Baptisée à l’origine « bass-reflex » par son inventeur (Thuras, des BellLaboratories, en 1930), elle a été popularisée dès la fin des années trente parle fabricant de haut-parleurs américain Jensen. Malheureusement, à l’époque,les analyses de Thiele et Small n’existaient pas et l’empirisme régnait, cequi donna lieu souvent à des réalisations exécrables qui ternirent rapidementl’image de cette enceinte accusée de donner « toujours la même note », oud’avoir un « son de tonneau ». Depuis Thiele et Small (1971), le bass-reflexenfin maîtrisé a presque relégué au musée l’enceinte close.

Le principe consiste à incorporer le haut-parleur dans un résonateur deHelmholtz (Fig. 2.8) constitué d’une boîte de volume Vb et d’un évent conte-nant une masse d’air déterminée.

Fig. 2.8 – Enceinte à évent.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 44 — #58


On considère que la fréquence propre du résonateur est donnée parω2

b = Kb

Me, Kb étant la raideur de l’air contenu dans Vb et Me la masse d’air

dans l’évent. Kb dépend de l’absorbant interne et Me est calculé en tenantcompte des effets d’extrémité (Fig. 2.9).

e

Fig. 2.9 – Schéma de principe de l’enceinte à évent.

Mais si ωb est bien connu, les résultats des calculs sont bien vérifiés. Lecouplage de deux systèmes du deuxième ordre donne un système de 4e ordreen ω4.

Thiele et Small ont eu la remarquable idée d’essayer d’aligner laréponse de l’ensemble sur une réponse prédéterminée des filtresélectriques passe-haut dits polynomiaux : Butterworth et Tchebychev,dont les fonctions de transfert peuvent s’écrire, avec x = ω

ω0, où ω0 est la

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 45 — #59


pulsation propre :

G(jx) =(jx)4

(jx)4 + a3(jx)3 + a2(jx)2 + a1(jx) + 1(2.10)

En choisissant les valeurs de a1, a2 et a3 en fonction des résultats voulus, onest conduit à dimensionner l’enceinte et l’évent.

2.3.1 Analyse du schéma équivalentOn néglige les résistances acoustiques de la boîte (Rab) de l’évent (Rae).

Le schéma équivalent acoustique (Fig. 2.10) se présente alors comme suit :

Fig. 2.10 – Schéma équivalent acoustique de l’enceinte à évent (d’après Rossi 1986).

Où :

Cas = S2

K ; Cab = Vb

γ.P (voir § 1.2.1) ; Ras = fS2 ; Rae = B2l2

S2(Rg+Re) ;

Jae = Mt

S2 est l’inertance acoustique de l’évent avec ses corrections d’ex-trémité(avec πa2 = Se, qui est la surface de l’évent) ;

−qd = qb + qe ; qb = −(qd + qe) = le débit haut-parleur + évent

qb représente les débits (haut-parleur + évent) extérieurs ;

Mt est la masse du cône avec les masses de rayonnement :Mt = Mc + 2Mr (Mc = masse du cône) ;

« Masse acoustique » (référence de p = 0).

Les relations entre ces paramètres sont les suivantes :

Jac =Mt

S2; Ras =

f

S2;: Cas =

S2

K; Rae =

B2l2

S2(Rg + Re);

Me = ρSe(0,61a + l + 0,85a)

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 46 — #60


bout interne : ∆.l1 = 0,61a (à l’extrémité de l’évent en champ libre, dansl’enceinte)bout externe : ∆.l2 = 0,85a (à l’extrémité de l’évent débouchant en faceavant plane)

Jae =Me

S2e

; Cab =Vb

γ.P; Mr = ρ

D3

3(1.57)

ωS

ωS

ω0 ωb ω

h ωSh = ω0 h

À la pulsation de résonance ω0 du cône s’ajoute maintenant celle du résonateurde Helmholtz ω2

b = 1Cab.Jab

, on introduit ainsi le rapport h = ωb

ωSet le rapport

de souplesse α = Cas

Cab= Kb

K .Les termes d’amortissement restent inchangés : 2mt = 2(ma + me) =

ωS( fK + B2l2

RK ) où on n’oubliera pas d’inclure la résistance interne del’amplificateur et des câbles de liaison dans R.

Dans ces conditions, la puissance rayonnée s’écrit :

Pa

Pr= η0[G(jx)]2,

où G(jx) est la fonction de transfert du haut-parleur et de l’évent :

Pg

qb=

−pg

qd + qe(haut-parleur + évent)

G(jx) =(jx)4h−2

(jx)4h−2 + 2(jx)3h−2mt + (jx)2[1 + h−2(1 + α)] + 2jxmt + 1(2.11)

C’est la fonction de transfert d’un passe-haut du 4e ordre [une pente + 4 àl’origine, (24 dB/oct) suivie d’une pente 0]. En identifiant à l’équation (2.10),on a tout de suite :

h =a1

a3=

ωb

ωs; α = a2h − h2 − 1;

ω0

ωs=

√h =

ωb

ω0; 2mt =

√a1a3

On y voit que la fréquence propre du filtre est la moyenne géo-métrique des deux fréquences propres : haut-parleur et enceinte. Il fautmaintenant déterminer les coefficients a1, a2 et a3 qui mènent aux filtres poly-nomiaux : Butterworth, Tchébyshev, etc. dont les réponses sont connues.Le polynôme de Butterworth où a1 = a3 = 2,613 et a2 = 3,414 aboutit àla caractéristique « maximally flat », c’est-à-dire la plus plate, de la courbede réponse, mais également à l’une des enceintes les plus encombrantes,puisque : h = 1 ; α =

√2 ;

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 47 — #61


2mt = 1/0,383 = 2,613 = 1/Qt et ωb = ωS. À cette valeur, la puissancerayonnée est tombée de moitié (−3dB). La caractéristique Tchebyshev T4 (k =0,5) permet d’obtenir un système descendant encore plus bas en fréquenceque B4, ou en d’autres termes, une fréquence de coupure plus basse que celle duhaut-parleur (alors que l’opinion généralement admise était que la résonanceprincipale du haut-parleur donnait la limite inférieure). On obtient les valeurssuivantes, données dans le tableau 2.1 et les courbes de réponse (Fig. 2.11)correspondantes.

Tab. 2.1 – Valeurs usuelles des paramètres de réponse.

N Paramètre h α Q−1t = 2mt Qt

ω3

ωS

ωb

ω0=

ω0

ωSη/η0

1 B4 1√

2 2,613 0,383 1 1

2 T4 (k = 0,5) 0,77 0,589 1,98 0,505 0,65 0,877 1,953 QB3, B = 3,25

√2 4,46 3,86 0,259 1,77

4 HM 39 0,6 0,3 1,25 0,8 0,465 HM 50 1 1 2,23 0,447 0,87

Note : QB3 : Quasi-Butterworth.HM : Hubert Massin, collaborateur de M. Rossi ; (ω3 = ω à puissancemoitié).

Fig. 2.11 – Courbes de réponse théorique de l’enceinte à évent (Rossi 1986).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 48 — #62


2.3.2 Rendement du bass-reflex à évent

En mettant l’expression du rendement η selon Thiele et Small :

η = knf3c Vb (2.12)

où fc = fréquence de coupure à −3dB et en comparant à la formule (2.8), ontrouve :

kn =me

mt

VAS

Vb

(fs

fc

)3

2mt4π2

c3

kn = 10−6

(fs

fc

)3VAS

Vb2me

L’alignement T4 (k = 0,5) conduit à la valeur (d’après Rossi 1986) :

ηmax = 3,9.10−6f3c Vb (2.13)

C’est presque deux fois le rendement d’une enceinte close qui vaut2.10−6.f3

c Vb. Le bass-reflex est donc à l’heure actuelle l’enceinte la plus per-formante (hormis les enceintes à pavillon). De plus, l’excursion du côneaux fréquences basses est beaucoup plus réduite qu’avec une enceinte close(le rayonnement se faisant surtout par l’évent). La puissance admissible sansdistorsion due aux limitations du cône est donc nettement plus élevée.

2.3.3 Impédance d’entrée du système

Le système peut être représenté par un schéma électrique équivalent sim-plifié (enceinte supposée sans pertes) (Fig. 2.12).

Fig. 2.12 – Schéma électrique équivalent simplifié.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 49 — #63


Nous utiliserons les notations suivantes :

C′0 =

Mt

(Bl)2=

JaS2D

(Bl)2[correspond aux inertances

(haut-parleur + air + boîte)]

Ls =(Bl)2

K= Cas

(Bl)2

S2D

(correspond à la souplesse du cône1K

)

Lb = Cab(Bl)2 =(Bl)2

Kb(correspond à la souplesse de la boîte

1Kb

)

C′p =

Me

(Bl)2=

Jae.S2e

(Bl)2(correspond à l’inertance de l’évent Jae)

Rs =(Bl)2

f=

(Bl)2

Ras.S2D

(correspond aux pertes suspension +

rayonnement).

On peut vérifier que ω2b = Kb

Me, du résonateur de Helmholtz (raideur volume

boîte et masse évent), est retrouvé dans le produit Lb.C′p :

ω2b =

Kb

Me=

1LbC′

p

=1

Cab

1(Bl)2

(Bl)2

Me=

1CabMe

de même pour haut-parleur (raideur suspension + masse totale cône) :

ω2S =

K

Mt=

1LsC′

0

=K

(Bl)2(Bl)2

Mt=

1CmsMt

(Cms =

1K

)

À partir de ce schéma, on trouve l’impédance d’entrée réduite :

z =ZHP

Re= 1 +

me

ma

2jxmah−2(jx)2 + 1D′(jx)

(2.14)

où D′(jx) est le dénominateur de l’équation 2.11 où ma a été substitué à mt.On montre que le plan R, X , Z parcourt deux fois le cercle cinétique (§ 2.2).Ceci est dû évidemment au doublement de l’ordre de la fonction de transfert,qui est du 4e ordre. On y retrouve les propriétés des circuits accordés couplés(Fig. 2.13) (où l’on se souvient que lorsque le coefficient de couplage M√

L1L2

augmente, les pics de résonance s’écartent).La figure 2.14 représente le module de z en fonction de la fréquence pour

les deux alignements les plus usités : B4 et T4 (k = 0,5), dans lesquels on aQms = 1

2ma= 5 et Qe = 1

2me= 0,42(B4) et 0,56 (T4) pour que les valeurs de

mt soient conformes (deux moteurs différents). Les courbes présentent 2 bossesde résonance à fb

fs= h, oùz = 1 (pour B4 : h = 1 et pour T4 : h = 0,77).

À cette anti-résonance, le mouvement du diaphragme est presque nulet le rayonnement est essentiellement dû à l’évent, où la vitesse peut êtregrande (au point de souffler une bougie).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 50 — #64


Fig. 2.13 – Circuits électriques accordés couplés.

Fig. 2.14 – Courbes d’impédance théoriques (Rossi 1986).

2.4 Haut-parleurs à pavillonLes haut-parleurs à pavillon sont représentés dans la figure 2.15.La plupart du temps, le diaphragme de surface Sd est actionné par un

moteur électrodynamique métallique (duralumin, béryllium). Il rayonne dansune cavité appelée « chambre de compression » débouchant à l’entrée Sg d’unpavillon (exponentiel ou hyperbolique). Si on suppose la fréquence suffisam-ment faible pour que l’air soit considéré comme incompressible (écoulementhydrodynamique), les débits q du diaphragme et de la gorge sont égaux, ona donc : q = Sd.vd = Sg.vg, ce qui signifie que l’impédance acoustique derayonnement est la même pour le diaphragme et la gorge : Zard = p

q = Zarg,p étant constant.

En revanche, il n’en est pas de même pour les impédances méca-niques de rayonnement. On a vu que :

Zmrg = S2gZarg et Zmrd = S2

dZard (1.50)

ou encore :Zmrd

Zmrg=

(Sd

Sg

)2

(2.15)

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 51 — #65


Fig. 2.15 – Schéma de principe du haut-parleur à pavillon.

La chambre de compression agit comme un transformateur de rapport

Sd

Sg=

vg

vd(2.16)

Ceci est très intéressant car on sait que le diaphragme est capable de forcesimportantes mais à faible vitesse. La chambre de compression permet ainside fournir une vitesse beaucoup plus élevée aux molécules d’air à l’entrée dela gorge, donc d’améliorer nettement le rendement. Habituellement Sd

Sgest de

l’ordre 4 à 10.

2.4.1 Schéma équivalent acoustique

Le schéma équivalent acoustique est illustré par la figure 2.16.

Le moteur et le boîtier arrière constituent une enceinte close, de pulsationpropre ωd. On forme alors le schéma équivalent acoustique (Fig. 2.16).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 52 — #66


Fig. 2.16 – Schéma équivalent acoustique du haut-parleur à pavillon (Rossi 1986).

Cae =Le.S

2d

B2l2Souplesse ramenée, due à l’inductance bobine

Rae =B2l2

Sd(Rg + Re)Résistance acoustique ramenée électriquement

Jad =Mt

SInertance de l’équipage mobile

Cas = S2dCms =

S2d

KSouplesse acoustique du diaphragme

Cab =S2

d

KbSouplesse acoustique boîtier arrière (Vb)

Cac Souplesse acoustique chambre de compression

Jac Inertance de l’air dans la chambre de compression

Jab Inertance de l’air dans l’enceinte arrière (close)

Jat = Jad + Jab + Jac Inertance totale

Rad Pertes mécaniques

Zag =ρc

SgImpédance acoustique de gorge du pavillon

2.4.2 Schéma simplifié

Autour de la pulsation de résonance ωd, les souplesses Cae et Cac ne jouentpratiquement pas de rôle et peuvent être supprimées du schéma, en outre lapression p est donnée par :

p =BlU

Sd(Rg + Rc)

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 53 — #67


Le schéma devient alors (Fig. 2.17) :

Fig. 2.17 – Schéma acoustique simplifié du haut-parleur à pavillon.

avec :1

Cad=

1Cas

+1

Cab

C’est un circuit résonant série où le terme d’amortissement dépend de larésistance totale :

Rat = Rae + Rad +ρc

Sg

le pavillon étant considéré comme une résistance pure. Pour obtenir unegrande largeur de bande, il faut évidemment que ce circuit soit très amorti.

2.4.3 Courbe de réponse théorique et rendement

La puissance rayonnée Pap est celle qui est développée dans l’impédancede gorge : à la résonance :

Pap = q2Zac =(

p

Rat

)2

Zac =U2

g

Re + Rg

Rac.Zac

(Rat)2

et on peut écrire :

Pd = Pap[Gp(jx)]2; avec Gp(jx) =2mjx

1 + 2mjx − x2et x =

ω

ωd

Le module Gp(jx) sera d’autant plus proche de 1 lorsque ω varie que m,coefficient d’amortissement, sera élevé. Le rendement (Fig. 2.18) est simple-ment donné par :

η =Zac

Ratet Zac =

ρc

Sg

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 54 — #68


Fig. 2.18 – Adaptation en puissance.

Si on veut extraire de la source le maximum de puissance, il faut que Zac =Rac+Rad, d’où l’extraction de puissance maximale peut atteindre 50 %. Cettevaleur, incomparablement supérieure à celle du rendement des haut-parleursà rayonnement direct, explique son emploi dans les grandes salles de cinéma.On obtient ce maximum en jouant évidemment sur le rapport Sd

Sgpour réaliser

l’adaptation du diaphragme à la gorge du pavillon, ainsi que sur le produit Blpermettant d’obtenir la plus grande largeur de bande possible (coûteux).

2.4.4 Autres limitations

Si on ne néglige plus la souplesse de l’air de la chambre de compression,qui se comporte comme une capacité en parallèle sur l’impédance de gorgeρcSg

, on se trouve avec un pôle supplémentaire dans la fonction de transfert. Ilfaut évidemment réduire cette souplesse au maximum en réduisant Vc ; maison se heurte alors aux dimensions minimum nécessaires à l’élongation dudiaphragme aux fréquences les plus faibles : un compromis est nécessaire.En outre, pour les fréquences basses, l’impédance de gorge tend à diminuer.Si le pavillon est exponentiel, il vaut mieux, si on désire descendre très bas,utiliser un pavillon hyperbolique (Figs. 2.19 et 2.20).

2.5 Haut-parleur à coïncidence ou coaxial

La firme anglaise Tannoy commercialise depuis 1947 environ un haut-parleur mixte (Fig. 2.21) où on trouve, avec un même circuit magnétiquedeux haut-parleurs différents. Le cône du haut-parleur de basses, classique,est cependant à profil exponentiel pour servir de pavillon au haut-parleurd’aiguës à chambre de compression. La fréquence de transition entre les deuxhaut-parleurs est de 1 kHz, obtenue grâce à un filtre du 2e ordre dont leschéma de principe est le suivant (Fig. 2.22).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 55 — #69


Fig. 2.19 – Haut-parleur « public address » (Rossi 1986).

Fig. 2.20 – Moteur à chambre de compression (200 Hz à 2 kHz) (Rossi 1986).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 56 — #70


TANNOYà aimant ferrite

φ = 38cm

diaphragme d’aigus

canaux de transfert chambre

gorge

renforts radiaux

cône à profil exponentiel

env. 17 cm λ à 1kHz

2=

Fig. 2.21 – Haut-parleur à coïncidence, Tannoy, fabrication 2000.

Fig. 2.22 – Filtre répartiteur de fréquences, Tannoy (du 2e ordre, voir § 2.6).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 57 — #71


Le réseau de compensation permet de relever la courbe de réponse auxfréquences élevées, la résistance Ra diminuant le niveau général des aiguës (lerendement du haut-parleur à compression étant beaucoup plus élevé que celuide basses). Le commutateur permet de plus d’ajuster l’équilibre en fonctiondu rendement de l’enceinte du haut-parleur de basses.

2.6 Filtres répartiteurs

Comme il est très difficile, pour ne pas dire impossible, de réaliser deshaut-parleurs couvrant entièrement le spectre acoustique audible (16 Hz–20 kHz), on réalise des haut-parleurs spécialisés dans une zone déterminéede fréquences. On aboutit ainsi à réaliser des enceintes à deux voies (basses-aiguës) ou à trois voies (basses-médium-aiguës). Les filtres électriques chargésd’aiguiller les fréquences correspondant à ces haut-parleurs doivent répondreà trois critères essentiels :

1) atténuer suffisamment les fréquences hors bande (pour ne pas risquerde surcharger les haut-parleurs d’aiguës par les fréquences basses quiamèneraient les équipages mobiles à talonner, en particulier) ;

2) présenter une impédance de charge aussi constante que possible à l’am-plificateur, de façon à ce que la puissance absorbée par l’ensemble soitconstante et indépendante de la fréquence ;

3) les conditions (1) et (2) étant remplies, le rayonnement global doitêtre à intensité acoustique constante, ce qui implique qu’aux fréquencesde transition l’addition vectorielle des rayonnements soit à moduleconstant (en supposant les haut-parleurs les plus rapprochés possible).

2.6.1 Élaboration des schémas électriques

Pour satisfaire aux conditions ci-dessus, il faut faire appel aux filtres deButterworth (dits à résistance constante).

2.6.1.1 Filtre passe-bas

Par définition, il doit avoir :

1) une courbe de réponse la plus plate possible dans sa bande passante, de0 à f0 (Hz) ;

2) une atténuation la plus forte possible au-dessus de f0.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 58 — #72


Fig. 2.23 – Haut-parleur Tannoy, 2002.19 : bobine mobile en aluminium. 20 : isolant thermique. 21 : connexion électriquede la bobine mobile. 22 : chassis ajouré. 23 : anneau de diffraction. 24 : cône traitépour assurer un bon collage. 25 : cône traité au voisinage de la bobine mobile pouraméliorer la radiation acoustique. 26 : cône séché par air sec. 27 : cône de profilhyperbolique servant de pavillon au tweeter à guide d’ondes acoustiques.28 : suspension externe en élastomère nitrile, permettant une grande excursion.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 59 — #73


On est donc conduit à proposer une structure de Butterworth telle que lerapport de la puissance transmise B2

R à la puissance disponible E2

R soit :

(B

R

)2

=1

1 +(

ω

ω0

)2n =1

1 + x2n(2.17)

B étant la tension transmise au haut-parleur et E la tension d’entrée du filtre(à la sortie de l’amplificateur), n un entier et x = ω

ω0= f

f0.

Le filtre est bien sûr d’autant plus efficace que n est élevé.

2.6.1.2 Filtre passe-haut

Si on veut que la puissance délivrée par l’amplificateur soit constante quelque soit f , il faut que : ∣∣∣∣HE

∣∣∣∣2

= 1 −∣∣∣∣BE

∣∣∣∣2

H étant la tension de sortie du filtre passe-haut (E est commun aux deuxfiltres).

Or :

1 −∣∣∣∣BE

∣∣∣∣2

= 1 − 11 + x2n

=x2n

1 + x2n

Ce résultat est également obtenu en changeant x en 1x dans la formule 1

1+x2n .Or, c’est ce que l’on fait quand on cherche à définir le filtre passe-haut

idéal : ∣∣∣∣HE∣∣∣∣2

=1

1 +(

1x

)2n =x2n

1 + x2n(2.18)

En conséquence, seuls les filtres passe-bas et passe-haut répondant à ces for-mules satisfont à la condition de puissance constante.

2.6.2 Filtres de Butterworth

En partant de (BE )2 = 1

1+x2n , on est conduit à chercher à réaliser un filtrede fonction de transfert :

b(jx) =1

1 + a1jx + a2(jx)2 + .... + an(jx)n(2.19)

tel que

b(jx).b∗(jx) =∣∣∣∣BE

∣∣∣∣2

=1

1 + x2n(2.20)

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 60 — #74


Tab. 2.2 – Coefficients du polynôme, dit de Butterworth.

n a1 a2 a3 a4 a5

1 12

√2

3 2 2 14 2,613 3,414 2,613 15 3,236 5,236 5,236 3,236 1

On devrait donc avoir :

b(jx).b∗(jx) =1

1 + a1jx + ... + an(jx)n

11 + a1(−jx) + ... + an(−jx)n

=1

1 + x2n

On en déduit aussitôt que : an = 1. Les autres coefficients du polynôme, ditde Butterworth, sont donnés dans le tableau 2.2.

Ces coefficients sont obtenus en cherchant les racines complexes de l’équa-tion 1 + x2n = 0 que l’on peut écrire :

x2n = −1 = ej(π+2kπ) avec k = 0, 1, 2, . . ., 2n + 1 ou encore x = ej π2n .ej kπ

n

2.6.2.1 Choix de n

Il reste à déterminer l’ordre n des filtres pour satisfaire à la conditiond’addition des rayonnements. Pour cela, il faut calculer le module de b(jx) +h(jx), h(jx) étant la fonction de transfert du filtre passe-haut, soit donc :

h(jx) =(jx)n

1 + a1jx + . . . + an(jx)n

Nous devons calculer (b + h)(b + h)∗, c’est-à-dire[b(jx) + h(jx)] . [b(−jx) + h(−jx)], car nous sommes alertés par le fait,par exemple, que pour n = 2 :

s = b(jx) + h(jx) =1 − x2

1 + j√

2x − x2

où nous voyons que s = 0 pour x = 1, c’est-à-dire pour f = f0, ce qui estfâcheux.

Nous avons donc :

[b(jx) + h(jx)] . [b(−jx) + h(−jx)] =[1 + jnxn] [1 + (−j)nxn]

1 + x2n

=1 + [jn + (−j)n]xn + x2n

1 + x2n

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 61 — #75


Si n est pair : n = 2k, et :

j2k+1 + (−j)2k+1 = j(−1)k + j(−1)k = 2(−1)k = 0

Si n est impair : n = 2k + 1, et :

j2k + (−j)2k = (−1)k − (−1)k = 0

Le coefficient de xn = 0 et

(b + h)(b + h)∗ =1 + x2n

1 + x2n= 1

Nous en tirons aussitôt la deuxième conclusion, aussi importante que la pre-mière, à savoir que le polynôme de Butterworth doit être d’ordre im-pair. Les filtres d’ordre pair doivent être éliminés. Pratiquement, nous avonsdonc le choix entre les filtres du 1er ordre et du 3e ordre.

Les filtres du 1er ordre sont évidemment d’une extrême simplicité, commele montre la figure 2.24, avec Lω0 = 1

Cω0= R, résistance nominale de chacun

des haut-parleurs.

Fig. 2.24 – Filtre élémentaire du premier ordre.

Ils conviennent rarement (protection insuffisante du HP d’aiguës). Lesfiltres du 2e ordre sont, malgré l’inconvénient signalé plus haut, assez em-ployés, car on tente de pallier le défaut de principe par deux procédés(assez discutables) : par inversion de polarité sur le HP d’aiguës (Fig. 2.25),ou par recul de λ0

2 (ce qui paraît être le cas du coaxial Tannoy, Fig. 2.21).La figure 2.25 illustre ce cas, avec L =

√2R

ω0et C = 1√

2Rω0. Ceci donne :

b(jx) =1

1 + j√

2x − x2et h(jx) =

−x2

1 + j√

2x − x2

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 62 — #76


Fig. 2.25 – Filtre du second ordre avec inversion.

Le lecteur pourra vérifier que :

b(jx).b∗(jx) =1

1 + x4

Il s’agit bien du polynôme de Butterworth d’ordre 2.Les filtres du 3e ordre (Fig. 2.26) ont la structure suivante :

Fig. 2.26 – Filtre du 3e ordre à 3 voies.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 63 — #77


La fonction de transfert du passe-bas est :

B

E(jω) =

1

1 + jωL1+ + C2

R+ (jω)2L1C3 + (jω)3

L1L2C3

R

(2.21)

en identifiant àB

E=

11 + 2jx + 2(jx)2 + (jx)3

on obtient :

ω30 =

R

L1L2L3; ω2

0 =R

L1C3; ω0 =

2R

L1 + L2

d’où l’on tire :

L2 =R

2ω0; L1 = 3L2 =

3R

2ω0; C3 =

43Rω0

(2.22)

D’autre part, pour le filtre passe-haut, nous avons :

H

E=

RL3C1C2(jω)3

1 + jωRC2 + (jω)2(C1 + C2)L3 + (jω)3RL3C1C2(2.23)

et en identifiant de même à :

H

E=

(jx)3

1 + 2jx + 2(jx)2 + (jx)3

ω30 =

1RC1C2L3

; ω20 =

2L3(C1 + C2)

; ω0 =2

RC2(2.24)

d’où l’on tire également :

C1 =2

3Rω0; C2 = 3C1 =

2Rω0

; L3 =3R

4ω0

Le lecteur pourra vérifier que l’impédance d’entrée est bien égale à R.

2.6.2.2 Phase du signal additif rayonné

L’expérience a montré que l’oreille n’est pas sensible au déphasage ducontenu harmonique d’un signal complexe. Mais il est tout de même bonde connaître l’évolution du déphasage ϕT du signal additif. Celui-ci estdonné par :

ϕT = arg1 − jx3

1 − 2x2 + j (2x − x3)

c’est-à-dire :

ϕT = ϕN − ϕD = arctg(−x3

) − arctg2x − x3

1 − 2x2

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 64 — #78


Fig. 2.27 – Phase de b(jx) + h(jx) pour n = 3.

Le diagramme de la figure 2.27 montre que le vecteur b(jx) + h(jx) décritle cercle complet, en particulier à f = f0 ; ϕT = −π, b(jx) et h(jx) ayantchacun un module de 1√

2(−3dB) et des déphasages respectifs de −3 π/4 et

de −5 π/4.Remarque : certains auteurs ont développé des filtres très complexes, à mo-dule constant et à déphasage nul, en écrivant b(jx) + h(jx) = 1.

Mais ces filtres ne remplissent pas les conditions énergétiques. Il est pro-bable que la réponse totale en ambiance réverbérante est moins favorable quecelle des ensembles à résistance constante décrits ci-dessus.

2.6.3 Ensemble à trois haut-parleurs

L’impédance d’entrée d’un couple passe-bas et passe-haut étant égale à unerésistance pure R, on peut donc remplacer l’une quelconque des résistancespar un couple de même nature mais à une fréquence de transition différente.

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“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 65 — #79


Fig. 2.28 – Filtre du 3e ordre à 3 voies.

Ceci permet immédiatement de bâtir un ensemble à trois haut-parleurs à deuxfréquences de transition f1 et f2, selon le schéma présenté figure 2.28.

L’impédance de l’ensemble est encore égale à R. Il convient de noter quele HP d’aiguës est bien mieux protégé que dans les schémas tradi-tionnels utilisant un filtre passe-bande (maladresse assez répandue).

2.6.4 Exemples numériques

a) Ensemble à deux haut-parleurs, 8 Ω

ω0 = 6.103(≈955 Hz)

L2 =8

12.103=

23

mH

L1 = 3L2 = 2 mH

C3 =4

3.8.6.103= 27,7 µF

C1 =2

3.8.6.103= 13,9 µF

C2 = 3C1 = 41,7 µF

L3 =3.8

4.6.103= 1 mH

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 66 — #80


b) Ensemble à trois haut-parleurs, 8 Ω

ω1 = 3.103 (f1 ≈ 477 Hz) ; ω2 = 30.103 (f2 ≈ 4770 Hz)

L2 = 1,3 mH ; L1 = 4 mH ; C3 = 55, 5 µF ; L′2 = 0,13 mH ; L′

1 = 0,4 mH ;C3 = 5,5 µF ; C1 = 27,7 µF ; C2 = 83,3 µF ; L3 = 2 mH ; C′

1 = 2,7 µF ;C′

2 = 8,3 µF ; L′3 = 0,2 mH

Il n’est pas indispensable, pour le séparateur médium-aiguës, d’utiliser uncouple du 3e ordre, un de 2e ordre (ici λ/2 est très petit ≈ 3,6 cm à 4 700 Hz)ou même un 1er ordre peut parfaitement convenir si le haut-parleur d’aiguësn’est pas trop fragile.

2.7 Exemple de caractéristiquesHaut-parleur Tannoy type K 3838 (1990)

Puissance d’entrée maximum :70 à 1 000 Hz : 120 watts permanents (31 Veff )

500 watts crête (63 V crête)1 à 20 kHz : 60 watts permanents (22 Veff )

250 watts crête (44,7 V crête)

Puissance de l’amplificateur 150–200 Watts par canalrecommandée : sur 8 ohms

Sensibilité :sur la largeur de bande de définition(en chambre sourde) : 92 dB/1 Watt/1 mètre

Largeur de bande reproduite : 30 Hz à 20 kHz ± 4 dB(dépend de l’enceinte aux fréquences basses)Dispersion : 90 vertical et horizontalincluant les angles à −6 dB à 10 kHzFréquence de raccordement : 1 kHzFréquence de coupure du pavillon : 500 HzDiamètre nominal du châssis : 381 mmDiamètre maximum du châssis : 420 mmProfondeur hors tout : 195 mmTrous de fixation :sur un cercle de diamètre 395 mmDiamètre du trou en fixation frontale : 340 mmMasse : 7,3 kg

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 67 — #81


Paramètres de Thiele et Small

(mesurés avec une source de résistance interne 0,1 Ohm, le HP à l’air libre,suspendu par des ressorts)

Fréquence de résonance : fs 22 HzSurtension mécano-acoustique : Qm 2,4Surtension électrique : Qe 0,19Masse dynamique (charge d’air exclue) : Mmd 68.10−3 kgSouplesse de la suspension : Cms 5,8.10−4 m.N−1

Charge d’air : Mma 22.10−3 kgVolume d’air équivalent à la souplesse : Vas 483 litresSurface effective de rayonnement : Sd 0,077 m2

Induction dans l’entrefer : B 0,78 teslaLongueur effective du fil de la bobinemobile : l 24 mRésistance de la bobine mobile : Re 5,5 ohmsRésistance apparente à la résonance : Re + Res 38 ohmsSurtension totale : Qt 0,18Rendement sur le demi-espace : η 3,5 %Perte d’insertion : E −14,5 dBVolume balayé en déplacement linéaire : VD 0,31 litrePuissance thermique nominale : Pth 120 wattsRayon du piston effectif : a 0,156 m

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 68 — #82

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 69 — #83

Chapitre 3

Caractéristiques du son

3.1 Étendue spectrale des sons

L’échelle fréquentielle des instruments de musique et des voix est illustréefigure 3.1. On y remarque l’étendue record de l’orgue : de 16 Hz à 12 kHz (oumême >16 kHz), en fondamentale (mixtures suraiguës). À 16 Hz, on entendautant avec l’estomac qu’avec les oreilles !

3.2 Niveau sonore

C’est à 1 000 Hz environ que l’oreille humaine est la plus sensible, leseuil d’audibilité étant de l’ordre de 10−12 W.m−2. Le seuil de la douleurest de l’ordre de 1 W.m−2. On voit que la dynamique de l’oreille est d’environ120 dB, ce qui est énorme ; la sensation double environ tous les 10 dB.En revanche, la sensibilité décroît beaucoup (60 dB/décade) au-dessous de200 Hz, pour le seuil de perception. Les courbes (Fig. 3.2) d’égale sensationsonore sont très connues et n’ont guère été remaniées depuis les premièresmesures.

Les appareils de mesure des niveaux sonores sont obligés de tenir compte dece qui précède pour donner des évaluations des nuisances des bruits (Fig. 3.3).

3.3 Effet de masque

Un bruit ou un son peuvent masquer un son plus faible (Fig. 3.4). Ceci estdû à l’auto-adaptation de l’oreille, ce phénomène est maintenant très utilisédans les techniques de compression numérique. On arrive, paraît-il, à réduire ledébit numérique d’une retransmission stéréo (2 fois 15 kHz) sur 12 à 14 bits deniveau, à 32 kHz d’échantillonnage, à 64 kbit.s−1 seulement. Des algorithmesde compression sont normalisés (pour le cinéma : le DTS, Digital Theater

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 70 — #84

70 Chapitre 3 : Caractéristiques du son

Fig. 3.1 – Échelle fréquentielle des instruments de musique et des voix.

Sound en 5.1, peu compressé et d’excellente qualité, mais numériquementencombrant ; le Dolby Digital, nettement plus compressé mais d’une qualitéinférieure ; pour la musique, le musicam de Philips et le MP3 de Thomson sesont imposés mais ne peuvent prétendre à une haute qualité).

3.4 Réverbération, champ direct et champréverbéré

Dans une salle, le son parvenant aux oreilles de l’auditeur est dû :

a) à l’onde directe, ligne droite entre la source et l’auditeur ;

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 71 — #85


Seuil de douleur

Fig. 3.2 – Courbes d’égale sensation sonore (Robinson et Dadson, norme ISO-226).

Fig. 3.3 – Filtres de pondération normalisés.

b) aux ondes dues à la première réflexion (sur le sol) et quelques suivantes ;

c) aux ondes innombrables dues aux multiples réflexions suivantes.

Les ondes a) et b) forment le champ direct, les ondes c) forment le champdiffus.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 72 — #86


Fig. 3.4 – Effet de masque.

3.5 Aspect perceptif

La première réflexion renseigne l’auditeur sur les dimensions de la salle.Si les premières réflexions suivent l’onde directe avec ∆t < 50 ms, la sourcesemble enrichie, le champ diffus apportant la sensation de volume sonore. Àceci s’ajoute l’effet d’antériorité : si on éloigne progressivement le haut-parleuramplifiant la voie d’un orateur, celui-ci paraît parfaitement localisé tant quel’écart ∆t entre les deux sources est <50 ms, même si le haut-parleur est à10 dB de mieux que l’orateur. Dans une salle, toutes les réflexions arrivantavec ∆t < 50 ms ne sont pas prises en compte dans la localisation et fusionnentavec l’onde directe. Si ∆t > 50 ms, la fusion ne se fait plus et on perçoit unécho.

3.6 Rapport champ direct/champ réverbéré Sd

Sr

Le rapport Sd

Srpermet d’apprécier l’éloignement d’une source. En prise de

son, l’application est immédiate, c’est lorsque le rapport Sd

Srest voisin de 1 que

la présence semble naturelle. Ceci montre que la prise de son est très différente,dans une église par exemple, lorsque celle-ci est vide ou pleine d’auditeurs.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 73 — #87


3.7 Flutter écho

Celui-ci apparaît facilement entre deux parois parallèles d’un local, suffi-samment éloignées : la fusion ne peut se faire (∆t > 50 ms, pour les allers-retours). Il peut être très net en présence de sons très brefs (claquements desmains).

3.8 Réverbération

La persistance du son après extinction de la source est due aux réflexionsmultiples. On définit le temps de réverbération par la durée d’une baisse deniveau de 60 dB (convention universellement admise). Le temps se calcule(approximativement) par la formule de Sabine, valable pour les salles peuabsorbantes :

T =0,161 V∑

S.α

V = volume de la salle ;∑

S.α = somme de toutes les surfaces pondérées parleur coefficient d’absorption α.

3.9 Temps de réverbération optimal

Les zones de temps de réverbération optimales en fonction du volume dela salle sont illustrées figure 3.5.

Fig. 3.5 – Réverbération optimale.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 74 — #88


3.10 Distance critiqueC’est la distance source-auditeur où Sd

Sr= 1, elle dépend du volume du

local et du temps de réverbération. Elle est d’importance pour la clartéet le naturel d’une prise de son, elle diminue avec le temps de réverbéra-tion, d’où les problèmes en cas de sources multiples (orchestre) dans un localtrès réverbérant : les distances critiques ne sont pas les mêmes pour chaqueinstrument et les problèmes peuvent être insolubles. L’emploi de microphonesdirectifs permet de résoudre les problèmes plus facilement.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 75 — #89

Chapitre 4

Microphones

4.1 Le microphone dans le champ sonore

Les dimensions d’un microphone n’étant pas nulles, il a obligatoirementune influence sur le champ sonore, qui serait différent en son absence. Cetteinfluence dépend surtout de la longueur d’ondes des sons dans le milieu. Lescalculs ne sont pas très compliqués dans le cas des deux formes principalesdes microphones : une sphère et un cylindre semi-infini (Fig. 4.1), où l’onconsidère deux paramètres principaux : l’angle θ et le rapport r

λ .

Fig. 4.1 – Incidence des sons sur les microphones.

4.2 Mode d’action

On distingue les modes d’action suivants :

a) en pression, lorsque celle-ci ne s’exerce que sur une seule face du dia-phragme sensible ;

b) en gradient de pression lorsqu’elle s’exerce sur les deux faces (on ditaussi « en vitesse ») ;

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 76 — #90

76 Chapitre 4 : Microphones

c) mixte, lorsqu’elle s’exerce directement en face avant, et après un trajetacoustique en face arrière.

4.3 Mouvement du diaphragmeLe système le plus simple est un diaphragme circulaire suspendu sur son

pourtour, ceci constituant un résonateur mécanique. On a de manière géné-rale :

vd =F

Zm

où F = résultante des forces appliquées, Zm = impédance mécanique, vd =vitesse du diaphragme.

4.4 Conversion en vitesse et en élongationLe mouvement du diaphragme est converti en :

a) vitesse, si la tension de sortie est proportionnelle à la vitesse v du dia-phragme : E = Kv.v ;

b) élongation, si E est proportionnelle au déplacement δx du diaphragme :E = Kx.δx.

Il pourrait également exister des conversions en accélération (comme les ac-céléromètres, utilisés en particulier pour asservir des membranes de haut-parleur) (voir exercice n 6, « Haut-parleur asservi »).

4.5 Force développée sur une facede diaphragme

La force développée sur une surface (πa2) dépend de l’incidence θ (Fig. 4.2)et du rapport a

λ = ak2π . Le graphique ci-après (Fig. 4.3) représente la force

en fonction de ka pour θ = 90 et ceci sans tenir compte de la diffraction,qui complique le phénomène. C’est pourquoi on s’efforce de réaliser desdiaphragmes plus petits que λ (à la limite des fréquences audibles).

4.6 Mode d’action en pressionSi ka est faible (petit microphone) F = Fd = Sd.p où Sd = surface du

diaphragme. Cette force s’exerce sur un système mécanique (Fig. 4.4) du2e ordre constitué d’une masse M , d’une résistance acoustique R et d’uneélasticité C. (Rappel du diaphragme par la suspension et le volume d’airderrière celui-ci.)

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 77 — #91


Fig. 4.2 – Force développée par une onde sonore sur un diaphragme.

Fig. 4.3 – Force en fonction de ka (Rossi 1986).

4.6.1 Conversion en vitesse

La tension de sortie est alors de la forme :

E =KvSd

Zmp

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 78 — #92


Fig. 4.4 – Mode d’action en pression.

Pour que E soit indépendant de la fréquence, il faut que Zm soit le pluspossible purement résistif : on l’obtient en écrasant la surtension méca-nique, par amortissement par frottement d’air (trous fins). La résonance f0

étant placée à la moyenne géométrique de la bande passante (Fig. 4.5). Lesmicros les plus courants de ce type sont les micros « dynamiques » avec dia-phragme et bobine mobile (comme pour un haut-parleur ou un écouteur).

Fig. 4.5 – Courbe de réponse avec ou sans amortissement.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 79 — #93


4.6.2 Conversion en élongation

Dans ce cas, le système mécanique doit être contrôlé dans la bande pas-sante surtout par la raideur du diaphragme (ou sa souplesse), la fréquence derésonance f0 du système mécanique doit être rejetée à la limite supérieurede la bande passante : d’où l’emploi d’un diaphragme le plus léger possibleet d’un rappel élastique important : la cavité C doit être minimale.

4.7 Mode d’action en gradient de pression

La pression acoustique s’exerce sur les deux parois du diaphragme, etF = F1 − F2 = Sd(p1 − p2). On trouve finalement (Fig. 4.6) :

F = jωρv1Sde cos θ

où v1 est la vitesse en 1, e l’épaisseur du diaphragme, l = e cos θ. On voit qu’unmicrophone à gradient de pression peut s’intituler « microphone à vitesse ».

Fig. 4.6 – Mode d’action en gradient de pression.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 80 — #94


4.7.1 Comportement en ondes planes progressives

Comme p et v sont proportionnels,

F = jωSde cos θ

cp1

F est proportionnelle à Sde (volume du diaphragme), dépend de cos θ (parprincipe on a des microphones bidirectionnels) et est proportionnelle à lafréquence (pente + 6 dB/oct).

4.7.2 Comportement en ondes sphériques

Pour kr > 1 (Fig. 4.7), on retrouve la sensibilité en ondes planes (égalitéprécédente). En revanche, pour kr < 1, on a :

Fs ≈ Sd

rp1.

Fig. 4.7 – Effet de proximité (Rossi 1986).

La force est inversement proportionnelle à la distance r de la source : lesfréquences basses sont relevées par rapport aux fréquences élevées : c’estl’effet de proximité et dans ce cas il est fréquent de placer un filtrecoupe-basses du 1er ordre (réseau CR) dans le microphone, mis en serviceà volonté (§ 1.1.3.3).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 81 — #95


4.7.3 Comportement aux fréquences élevées

Lorsque λ diminue et devient de l’ordre de grandeur de l, on obtient p12 =p1 − p2 = p1(1 − ej.k.l). Si kl = 2nπ ; n entier > 0, p12 = 0. Si kl = nπ ; nimpair, p12 passe par un maximum 2p1 (6 dB, Fig. 4.8).

Fig. 4.8 – Comportement aux fréquences élevées (Rossi 1986).

4.7.4 Conditions de réalisation d’un microphoneà gradient de pression

Pour obtenir une courbe de réponse plate dans un microphone « à vitesse »et à conversion en vitesse en ayant : E = Kv

Sdjω cos θcZm

p, il faut donc que Zm

soit de la forme : Zm ≈ jωmm. Il faut donc que la fréquence de résonance soitcette fois-ci située à l’extrémité inférieure du spectre audible.

D’autre part, la sensibilité est contrôlée par cos θ (Fig. 4.9) : on obtientainsi un capteur bidirectionnel d’ordre 1 (microphone type : à ruban).

4.8 Mode d’action mixte

On peut combiner les deux modes précédents et obtenir ainsi des directi-vités variées. Le schéma équivalent (Fig. 4.10) est constitué de deux sources

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 82 — #96


Fig. 4.9 – Diagramme polaire d’un microphone à ruban.

p1 et p2 débitant sur une impédance commune Zab à travers Zas et Zap res-pectivement. On a : p2 = p1(1 − jkd cos θ), où d est la distance entre pointshomologues avant et arrière, selon la direction de propagation.

Fig. 4.10 – Mode d’action mixte.

On obtient :

qd =

(1 +

Zab

Zap

)jkd cos θ

Zas

(1 +

Zab

Zap

)+ Zab

p1 =N

D

En multipliant N et D par 1 − β, (0 < β < 1), N devient :

(1 − β) + (1 − β).Zab

Zapjkd cos θ.

Si on réalisej.kd.(1 − β).

Zab

Zap= β

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 83 — #97


N devient (1 − β) + β cos θ : unidirectionnel d’ordre 1. Pour une directivitécardioïde, il faut β = 0,5 et on a :

Zab =Zap

jωd

c

On peut réaliser cette condition de deux façons, comme le montre la fi-gure 4.11.

Fig. 4.11 – Obtention d’un diagramme cardioïde (Rossi 1986).

Conditions de réalisation : si N est indépendant de la fréquence, il fautaussi que D le soit :

D = Zab = Zas + Zasβ

(1 − β)jωd

c

+ Zab

Si on veut un microphone à mode mixte et conversion en vitesse, il faut que|Zat| soit aussi constant que possible dans la bande de fréquence prévue. Si onveut un microphone à conversion en élongation, il faut que Zat soit inversementproportionnel à la fréquence.

4.9 Microphone combinéIl est constitué de deux microphones, le premier omnidirectionnel (pres-

sion), le deuxième bidirectionnel (gradient de pression), montés en coïncidence

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 84 — #98


(aussi près que possible l’un de l’autre) et dont les tensions de sortie E1 et E2

sont pondérées :

E = α.E1 + β.E2 = (αM1 + βM2 cos θ).p ;

où M1 et M2 sont les sensibilités [V.Pa−1].Si on réalise αM1

M2= 1−β, on obtient une caractéristique unidirectionnelle :

E = [(1 − β) + β. cos θ]M2.p

La sommation pondérée est souvent effectuée par des transformateurs à prisesmultiples. On peut donc obtenir, par simple commutation, plusieurstypes de directivité, allant de l’omnidirectionnel (β = 0) au bidirectionnel(β = 1), en passant par le cardioïde (β = 0,5), le super-cardioïde (β = 0,67)et l’hypercardioïde (β = 0,75) (Fig. 4.12).

Fig. 4.12 – Diagramme de directivité (Rossi 1986).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 85 — #99

Chapitre 5

Exemples de microphones

5.1 Microphone dynamique omnidirectionnel

Le microphone dynamique omnidirectionnel est illusté par la figure 5.1.La conversion étant en vitesse, le contrôle se fait par résistance : Ra1 etRa3 surtout. On améliore la réponse aux fréquences basses par la résonancema2 Ca2 (trou d’égalisation de pression), aux fréquences élevées par la réso-nance ma1 Ca1 (grille avant).

Fig. 5.1 – Schéma d’un microphone dynamique omnidirectionnel (Rossi 1986).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 86 — #100

86 Chapitre 5 : Exemples de microphones

Fig. 5.2 – Schéma électrique équivalent (Rossi 1986).

5.2 Microphone dynamique cardioïde

En partant de la structure précédente, on remplace le trou d’égalisationpar une résistance acoustique (Fig. 5.3). On augmente aussi la souplesse Ca3

en réalisant l’aimant central creux. La résonance de l’équipage mobile doitêtre aussi basse que nécessaire, car le contrôle doit être fait par la masse(conversion en vitesse) contrairement au précédent.

Fig. 5.3 – Schéma d’un microphone dynamique cardioïde (Rossi 1986).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 87 — #101


5.3 Microphone dynamique à deux voies

Les microphones précédents n’atteignant que rarement une grande bandepassante, on a réalisé des microphones à deux voies : graves et aiguës, avecsommation à travers un filtre répartiteur. On peut ainsi obtenir une bandepassante globale 20 à 20 000 Hz (AKG D202).

5.4 Microphone dynamique à ruban

Le ruban métallique gaufré est suspendu dans l’entrefer d’un aimant(Fig. 5.4). La conversion en vitesse requiert un contrôle par la masse : lafréquence de résonance du ruban doit donc être placée à l’extrémité inférieurede la bande passante. Le mode d’action est en gradient de pression et le mi-crophone est bidirectionnel. Si on place un tube rempli d’absorbant sur uneface du ruban, on obtient un microphone omnidirectionnel (à pression). Enmettant le tube sur la moitié seulement de la hauteur du ruban, on réalise

Fig. 5.4 – Microphone à ruban (Rossi 1986).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 88 — #102


emplacement du transformateur

tube enroulé

aimants

ruban

section à pression

section à vitesse

écran de soie

aimants

Fig. 5.5 – Microphone à ruban cardioïde (Olson 1957).

un microphone cardioïde. Ces microphones (Fig. 5.5) sont d’excellente qua-lité mais sensibles au vent, ce qui interdit leur utilisation en extérieur. Ony trouve souvent un commutateur parole-musique permettant de couper lesgraves pour compenser l’effet de proximité (§ 4.7.2).

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5.5 Microphones électrostatiquesCes microphones sont à l’heure actuelle les plus utilisés, parce que les plus

fidèles. On y trouve par conséquent les microphones étalon et les microphonesdestinés à la prise de son professionnelle de haute qualité. Ce sont des mi-crophones à mode d’action en pression et à conversion en élongation : ceciimplique que la fréquence de résonance des diaphragmes soit à la limite su-périeure de la bande passante, ceci conduit à réaliser un diaphragme sousforme de membrane tendue.

5.5.1 PrincipeOn utilise un condensateur plan, constitué d’une membrane et d’une élec-

trode fixe. En supposant que la membrane se déplace (Fig. 5.6) d’un bloc de laquantité δd en face de l’électrode fixe (à la distance d0) on a : d(t) = d0−δd(t).La capacité vaut :

C =εS

d0

d0

d(t)=

C0

1 − δd(t)d0

La tension aux bornes de C vaut, en partant d’une charge Q pour δd = 0,

u(t) =1 − δd(t)

d0

C0Q(t)

Pour que u(t) soit linéaire en fonction de l’élongation δx, il faut que Q(t)soit une constante ne dépendant pas de δd, ce que l’on obtient en chargeantle condensateur vibrant à travers une très forte résistance R.On a donc, en supposant la charge Q = C0E

u(t) =1 − δx

d0

C0C0E

On voit que u(t) est indépendant de C0 (en première approximation).En réalité, les paramètres intervenants sont beaucoup plus nombreux : lamembrane ne reste plus plane, elle se déforme, même si la pression acoustiqueest nulle, par effet d’attraction électrostatique ; d’autre part, la tension u(t) està très haute impédance et nécessite un préamplificateur placé immédiatementà côté du condensateur.

Ordre de grandeur : soit une membrane de Φ = 20 mm, d’épaisseur10 µm.

Avec d0 = 30 µm. La membrane, tendue, résonne vers 20 kHz. On a C0 =ε0Sd0

≈ 92 pF . La masse du diaphragme vaut environ 8,5.10−6 kg, la souplessedu diaphragme, compte-tenu de celle de l’air entre les deux électrodes, vautenviron : γm = 7,5.10−6 m.N−1

Pour une pression de 1 Pa, la force motrice vaut F = 3,14.10−4 N. L’im-pédance mécanique valant Zm = 1

γmω , le module de la vitesse vibratoire sera

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 90 — #104


Fig. 5.6 – Schéma électrique d’un microphone à condensateur.

3,14.10−14 γm.ω, et l’amplitude du mouvement 23,5.10−10 m, à 1 000 Hz, doncδdd0

= 7,85.10−5. Avec E = 300 V, le module de E(t) sera de : 23,5 mV.Pa−1.En pratique, on travaille avec des valeurs de E de l’ordre de 50 à 150 V,

les sensibilités habituelles sont de l’ordre de 10 mV.Pa−1. On utilise des dia-phragmes soit métalliques (Al, Ni, Ti, etc.) soit en plastique métallisé (à l’oren général).

5.5.2 Préamplificateurs

Les premiers microphones électrostatiques (dès les années 1920) utilisaientévidemment des tubes électroniques, le plus souvent montés en cathodyne, àhaute impédance d’entrée, comme le préamplificateur Bruël et Kjaer (Fig. 5.7)suivant :

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 91 — #105


Fig. 5.7 – Obtention d’une impédance élevée par « bootstrap ».

Les impédances sont augmentées dynamiquement en effet « bootstrap »,pour R2’ et R1’ où R2 atteint 150 MΩ et R1 400 MΩ environ. À l’heureactuelle, les schémas à tube sont pratiquement abandonnés (sauf par quelques« puristes ») au profit des transistors à effet de champ (TEC) qui ont permisde simplifier considérablement les schémas. Les TEC conviennent idéalementpour ce faire. On n’hésite pas à placer des résistances de 0,5 à 1 GΩ entregate et masse.

On place habituellement deux résistances égales dans la source et le drain,d’où obtention de deux signaux de polarité opposés (symétrisation). Suit engénéral un étage adaptateur d’impédance destiné à attaquer le câble de liaisonà l’équipement.

5.5.3 Alimentation fantôme

Il est possible d’alimenter le préamplificateur microphonique par la mé-thode dite du « circuit fantôme ». Le premier schéma a été établi du tempsoù l’emploi de transformateurs dans les liaisons était monnaie courante. Leprincipe consiste à faire passer un courant continu par les points milieu destransformateurs, annulant ainsi l’induction continue dans les circuits magné-tiques.

Le schéma (Fig. 5.8) permet une consommation en courant continu va-riant dans de grandes proportions. Cependant il nécessite deux transforma-teurs, onéreux, car ils doivent être à large bande passante et faible distorsion.(En revanche, l’emploi de transformateur apporte la meilleure réjection dumode commun parasitaire sur la ligne.)

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 92 — #106


Fig. 5.8 – Microphone alimenté par circuit fantôme.

Fig. 5.9 – Norme DIN 45.596 pour circuit fantôme.

Lorsqu’on ne dispose pas de transformateur à point milieu, on utilise un Yformé de deux résistances R appairées (à mieux de 0,4 % de préférence)pour réaliser un point milieu artificiel.

Cette façon de procéder a été normalisée (norme DIN 45.596) et les valeursretenues sont les suivantes (Tab. 5.1) :

Tab. 5.1 – Tension et résistance – valeurs normalisées selon DIN 45.596.

Tension U [Volts] 12 24 48Résistance R [Ω] 680 1 200 6 800

Le choix le plus répandu est U = 48 V, R = 6 800 Ω. L’emploi de cettenorme permet, et l’usage s’en répand de plus en plus, de réaliser des liaisons

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sans aucun transformateur : voici le schéma d’un préamplificateur de micro-phone (Fig. 5.10) et d’un ampli de pupitre (Fig. 5.11). On y trouve :

1. un convertisseur continu-continu (T4) délivrant une tension de 120 Vpour polariser la capsule microphonique à travers R1(500 MΩ) ;

2. le TEC, délivrant deux tensions de signe contraire (T1) (R4 et R5 + R6) ;

3. un étage de sortie à deux transistors PNP montés en émetteurs suiveurs(T2 ET T3).

Fig. 5.10 – Préamplificateur Schoeps CMT30.

Dans le pupitre de mélange on utilise maintenant des circuits inté-grés spécialisés comme le SSM 2017, à très faible bruit (1 nV/

√Hz →

≈ 0,14 µV/20 kHz, bruit d’une résistance de 60 Ω).Le gain est simplement réglable par Rv (Fig. 5.11) et l’amplificateur

de transfert délivre un signal Vs référencé à la masse utilisateur(élimination des bruits entre masses). La réjection des parasites en modecommun sur la ligne est au minimum de 80 dB, elle atteint normalement plusde 110dB. On rejoint donc les chiffres obtenus avec les transformateurs, sansavoir leurs limitations (bande passante et distorsion).

5.5.4 Bruits dans les microphones électrostatiques

Le bruit d’origine électrique est aisé à évaluer avec les microphones dyna-miques, mais beaucoup moins avec les microphones à condensateur. Lorsque la

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 94 — #108


Fig. 5.11 – Amplificateur de microphone à circuit intégré.

capsule est reliée à un TEC, on a habituellement le schéma suivant (Fig. 5.12)où l’on trouve le bruit de la résistance équivalente du circuit (R amenant lapolarisation + résistance entrée du TEC), les bruits en courant (IBA) et entension (EBA) du TEC.

Fig. 5.12 – Sources de bruit dans un microphone électrostatique.

La tension de bruit due à R est filtrée par la capacité C de la capsule,ainsi que le courant de bruit (IBA). La densité de bruit eBρ vaut :

eBρ =√

4kTρ par√

Hz

où : ρ = 1 GΩ ; k = Constante de Boltzmann = 1,38.10−23 ; T = 300 K

eBρ =(4.1,38.10−23.3.102.109

) 12

eBρ = 4,07 µV par√

Hz

La capacité C shuntant le circuit, il faut évaluer la densité à ses bornes :

eBC =

√4kTρ

1 + (2πFρC)2par

√Hz

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 95 — #109


et intégrer sur 20 à 20 kHz :

EBC =

√√√√√F2∫

F1

4kTρ

(2πFρC)2 + 1dF

en posant x = 2πρCF on trouve :

2kT

πC

∫ x2

x1

dx

1 + x2=

2kT

πC. (arctgx2 − arctgx1)

Exemple : C = 100 pF ; ρ = 1 G Ω ; F1 = 20 Hz ; F2= 20 kHz

2kT

πC=

2.1,38.300.10−23

π.100.10−12= 2,63.10−11

arctgx2 ≈ 1,57(≈ π

2

)arctgx1 ≈ arctg 6,3.109.100.10−12.20 = arctg (12,5) = 1,49 radianF2∫

F1

()dF = 2,63.10−11.(1,57 − 1,49) = 2,63.10−11(0,08) = 2,1.10−12

EBC = 1,45 µV

Évidemment le bruit est concentré aux basses fréquences, ce qui est moinsgênant qu’aux fréquences moyennes ou élevées, où l’oreille est beaucoup plussensible. Il faut maintenait évaluer le bruit dû au TEC : le courant de bruitIBA passe dans l’ensemble ρ et C, déterminant une densité spectrale :

eIBA(F ) =IBAρ√

1 + (2πFρC)2

Un calcul similaire au précédent permet d’obtenir :

EIBA = IIBA

√ρ

2πC. (arctgx2 − arctgx1)

Avec les valeurs précédentes et IBA = 3,1 × 10−15 A/√

Hz :

EIBA = 3,1.10−15.

√109

6,3.10−10(1,57 − 1,49) c’est-à-dire EIBA = 1,1 µV

La contribution de IBA n’est donc pas négligeable. Le bruit total, les bruitspartiels étant de nature aléatoire, s’obtient en calculant la moyenne

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 96 — #110


quadratique. Avec les valeurs ci-dessus :

EBC = 1,45µV ; EIBA = 1,1 µV et enfin la valeur de

EBA = eBA.√

2.104 = 12.10−9.√

2.102 = 1,7 µV d’où :

EBTotal =√

E2BC + E2

IBA + E2BA =

√2,1.10−12 + 1,2.10−12 + 2,9.10−12

c’est-à-dire : 2,5 µV

Ce bruit, rapporté à 1 Volt, est de l’ordre de :

NdB/V = −20 log106

2,5≈ −112 dB

5.5.4.1 Bruit pondéré

L’oreille humaine est moins sensible au-dessus et au-dessous de 3 000 Hz.Pour en tenir compte, la CEI a normalisé les courbes de pondération dessonomètres (voir § 3.2 Fig. 3.3).

La courbe A s’applique évidemment aux microphones, elle a dans les bassesfréquences une pente d’ordre de 7 dB par octave. Pour F > 1 500 Hz, ilest fréquent d’être obligé de tenir compte des bruits d’origine acoustiquedes microphones amortis par résistance acoustique, comme le montrent lestableaux 5.2 et 5.3

Tab. 5.2 – Tension efficace de bruits bruts non pondérés.

Origine des bruits 20 à 1 500 Hz 1500 à 20 000 HzAcoustique 4.10−7V 1,4.10−6 VRésistance ρ 300 MΩ 3,08.10−6 V 0,35.10−6VIBA 1,3.10−6 V 0,15.10−6VEBA 4,23.10−7V 1,5.10−6V

NB : Somme quadratique : 4.10−6 V = 4 µV, soit –108dB/1V.

Tab. 5.3 – Tensions efficaces des bruits, avec la pondération approximative adoptée.

Origine des bruits 20 à 1 500 Hz 1 500 à 20 000 HzAcoustique 2,7.10−7V 1,4.10−6 VRésistance ρ 300 MΩ 6,4.10−7 V 0,35.10−6VIBA 9.10−16 V 0,15.10−6VEBA 2,9.10−7V 1,5.10−6V

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5.6 Microphones à électretLa possibilité de réaliser des électrets dont la charge ne diminue pas trop

dans le temps permet de construire des microphones électrostatiques de faibleprix, cependant de haute qualité. On utilise des films électrets comme arma-ture mobile, ou comme dépôt sur l’armature fixe. Les meilleurs matériauxsont les téflons FEP (fluoro-éthylène propylène) et PTFE (poly-tétra-fluoroéthylène). Un film de téflon FEP de 10 à 25 µm a une polarisation de l’ordrede 100 à 200 µC/m2, et la perte de charge est de 2,5 % en 10 ans environ,après vieillissement artificiel initial. Les charges électriques sont injectées parbombardement, à chaud, de la surface par des électrons ou des ions : comme iln’y a pas de charges complémentaires susceptibles de se recombiner, la duréede vie peut être longue.

L’absence de tension de polarisation simplifie notablement le schéma élec-trique du préamplificateur, car il n’y a plus besoin de fabriquer sur placeune tension continue élevée. Certains préamplificateurs sont particulièrementsimples : 1 TEC et un transformateur de ligne (≈ 200 Ω) comme le PrimoEMU 420. On trouve comme pour les micros statiques à polarisation des cel-lules omnidirectionnelles et cardioïdes.

5.7 Caractéristiques de directivitéLes dimensions des microphones statiques résultent d’un compromis né-

cessaire entre le rapport signal/bruit désiré et la petitesse souhaitable pour nepas avoir trop d’effets de diffraction aux fréquences élevées (rapport d/λ) oùles courbes polaires de directivité ne sont pas aussi idéales qu’aux fréquencesbasses et moyennes (d/λ petit).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 98 — #112

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 99 — #113

Chapitre 6

Prise de son stéréophonique

6.1 IntroductionL’usage généralisé de la stéréophonie à deux canaux, gauche, droite,

a conduit à de nombreuses méthodes pour essayer de donner lameilleure « image » d’une scène sonore, l’écoute se faisant soit sur haut-parleurs, soit sur casque. Tout le monde s’est à peu près mis d’accord pour sebaser, pour l’écoute sur haut-parleurs, sur le triangle équilatéral, où les deuxhaut-parleurs occupent deux sommets, et l’auditeur le troisième (Fig. 6.1).

Fig. 6.1 – Écoute stéréophonique.

Une bonne prise de son permet, avec deux sources sonores seulement, dereconstituer assez correctement le champ acoustique d’un ensemble orchestral

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 100 — #114

100 Chapitre 6 : Prise de son stéréophonique

où l’auditeur localise sans trop de difficultés les instruments, aussi bien aucentre que sur les côtés. En effet les oreilles de l’auditeur localisent la positiond’une source sonore par deux effets complémentaires : l’intensité, diffé-rente sur les haut-parleurs, si la source n’est pas centrale, et la phase relativedes deux signaux perçus par les oreilles, ce dernier effet étant évidemment plusaccusé aux fréquences moyennes.

6.2 Localisation d’une source

6.2.1 Localisation par différence d’intensité

La localisation de la source réelle et virtuelle est indiqué dans la figure 6.2.La figure 6.3 montre la direction angulaire de la source virtuelle en fonctionde la différence d’intensité des signaux sonores. Dans le système ci-dessus,l’auditoire localise la source à droite si l’atténuation à gauche a atteint environ15 à 17 dB.

Fig. 6.2 – Localisation d’une source par différence d’intensité.

6.2.2 Localisation par déphasage ou différence de temps

À la place de l’atténuateur du § 6.2.1, on a introduit un retard va-riable (Fig. 6.4). Pour localiser la source à droite, il faut un retard de 0,9à 1,1 ms environ. Si le retard est accentué jusqu’à 2 ms, l’espace entre leshaut-parleurs peut s’accroître. Au-delà de 40 à 50 ms, on distingue deuxsignaux au lieu d’un.

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Fig. 6.3 – Relevés expérimentaux.

Fig. 6.4 – Localisation par différence de temps.

6.2.3 Localisation par les deux effets conjugués

Si les effets s’ajoutent, le déplacement latéral paraît plus important ; si enrevanche les effets se retranchent, le déplacement paraît plus faible, voire nul(compensation).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 102 — #116


6.2.3.1 Système Dolby « surround »

Utilisé au cinéma dès les années 1970, le système (Fig. 6.5) utilise quatrecanaux matricés sur deux pistes stéréo normales (il peut donc fonctionneravec le son stéréo TV à deux canaux). Le haut-parleur central (pas obligatoireen écoute domestique) focalise surtout les dialogues. Les signaux d’ambiancesont déphasés de 90 sur une voie et de –90 sur l’autre, ce qui permet deles extraire, puis avec dématriçage ils sont retardés (∆t réglable) et envoyésconjointement (1 seul signal) sur les haut-parleurs arrière. Ce système est envoie d’abandon pour le système « 5.1 » (cinq voies + une voie extrême grave– voir § 6.5.4).

Fig. 6.5 – Écoute en « Dolby surround ».

6.3 Prise de son stéréophonique d’intensité

On utilise dans ce cas deux microphones cardioïdes coïncidant (pas de ∆t)(Fig. 6.6) orientés vers la source, formant entre deux un angle θ. Lorsque lasource se déplace à droite (α

2 ), l’image dans les haut-parleurs paraît à droitelorsque la différence d’intensité ∆I atteint 15 dB.

Au-delà, la position apparente ne bouge plus. Si on réduit θ, ∆I = 15 dBsera atteint pour un angle (α

2 ) plus grand que le précédent, ceci signifie quel’angle de prise de son α a augmenté. Inversement si θ augmente, α diminue.La fourchette de θ s’établit de 80 à 130, au-delà l’homogénéité de l’espaceest altérée.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 103 — #117


Fig. 6.6 – Ajustement de l’angle des microphones.

Ce système est appelé usuellement XY (attention au branchement pour nepas intervertir gauche et droite). Ce système souffre d’un manque d’espace etde profondeur de par l’absence de ∆t, mais sa compatibilité monophoniqueest excellente, l’angle de prise de son pouvant atteindre 180. La correspon-dance entre les angles α et θ est indiquée dans le tableau 6.1.

Tab. 6.1 – Correspondance entre les angles α et θ, pour la prise de son stéréopho-nique.

Angle α 80 90 100 110 120 130Angle θ 180 170 160 150 140 130

Pour la prise de son avec la variante à microphones omnidirection-nels, on place les deux microphones avec leurs axes perpendiculaires ; on nejoue donc que sur la directivité des diagrammes polaires, qui ne se manifestequ’aux fréquences élevées. Un seul avantage : pas d’effet de proximitéaux fréquences basses.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 104 — #118


6.3.1 Système stéréosonic

On utilise deux microphones bidirectionnels orientés à 45 de la source età 90 entre eux (Fig. 6.7).

La source est reproduite au niveau constant de 315 à 45, de 45 à 135,la somme est théoriquement nulle d’où zone d’ombre, de 135 à 225, la sourceparaît de déplacer en sens contraire, et enfin, de 225 à 315, il y de nouveauune zone d’ombre. Ce système demande à être utilisé avec précaution, de plusil y a une chute (due aux directionnels) dans les fréquences basses.

Fig. 6.7 – Système stéréosonic.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 105 — #119


6.3.2 Système M-S (Middle-Side)

On utilise deux microphones superposés (Fig. 6.8), comme pour le procédéXY. Le premier, cardioïde, apporte les informations centrales et délivre lesignal M (Middle = milieu) correspondant à l’information monophonique.

Fig. 6.8 – Système M-S.

Le second, obligatoirement bi-directionnel, est orienté perpendiculairementau premier (et à la source sonore) et délivre le signal S (Side = latéral). Onextrait les signaux gauche, droite, en réalisant la somme et la différence :

G = M + SD = M − S

Comme dans le procédé XY, c’est une stéréophonie d’intensité. Son prin-cipal avantage est de pouvoir modifier l’angle utile de prise de son sans inter-vention sur les microphones, par le jeu de la pondération du signal S ; en effet,plus on augmente le niveau S

M , plus on diminue l’angle utile de prise deson (Tab. 6.2).

Le procédé MS est très apprécié en prise de son cinématographique ettélévisuelle, par sa parfaite compatibilité monophonique et la possibilité, enpost-production, de pouvoir ajuster la largeur de l’image stéréophoniqueaux différents plans-image (S/M variable).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 106 — #120


Tab. 6.2 – Correspondance entre les angles α et S/M pour la prise de son sys-tème MS.

Microphone cardioïde Microphone omnidirectionnelS/M [dB] Angle α utile [] S/M [dB] Angle α utile []–6 150 –6 180–3 120 –3 1500 90 0 110

+3 60 +3 70

6.4 Prise de son stéréophonique de temps

Elle consiste (Fig. 6.9) à n’utiliser que l’un de deux paramètres nécessairesà la localisation, à savoir la différence de temps.

Fig. 6.9 – Ajustage de la distance entre les capsules.

Lorsque celle-ci atteint environ 1 ms, la source paraît venir uniquement duhaut-parleur de droite. Si la source reste en S1, et que l’écartement diminue,l’image se rétrécit apparemment. Pour que l’image soit de nouveau à droite, ilfaut déplacer la source vers la droite. L’angle utile de prise de son a augmenté.Donc, lorsqu’on diminue l’espacement entre deux microphones, onaugmente l’angle utile de prise de son, et inversement (Tab. 6.3).

En deçà de 25 cm et au-delà de 50 cm, on ne latéralise plus la source ouon tasse les sources virtuelles sur les haut-parleurs.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 107 — #121


Tab. 6.3 – Correspondance entre la distance et l’angle pour la prise de son stéréo-phonique de temps.

Distance (cm) 50 45 40 35 30 25Angle (α) 130 140 150 160 170 180

6.4.1 Système AB avec deux capsulesomnidirectionnelles

Conformément à ce qui précède, on utilise deux omnidirectionnels appai-rés, avec un espacement de plusieurs dizaines de centimètres. Le système res-titue avec beaucoup d’ampleur les grandes masses sonores. La précision de lalocalisation dépend de la durée des notes. La compatibilité monophonique estparfois défectueuse, à cause de l’effet de filtrage en peigne (longueurd’onde de même valeur que l’espacement des microphones d’où annulation deniveau pour certaines fréquences).

6.5 Prise de son stéréophonique de tempset d’intensité

On utilise les deux paramètres de localisation simultanément : les diffé-rences de temps et d’intensité. Deux microphones cardioïdes sont placés faceà la source, les capsules à une distance e et les axes formant un angle phy-sique θ. Pour une certaine valeur, les différences de temps et d’intensité, lasource S1, paraît être complètement à droite, par exemple en S′

1. Si S1 estfixe mais que l’on réduit e ou θ, les différences diminuent et S′

1 paraît revenirvers le centre. Il faut alors que la source soit en S2, au-delà de S1, pour queS′

2 soit perçu à droite.En résumé, on augmente l’angle α de prise de son si l’on réduit la distance

e ou si l’on réduit l’angle θ des microphones.

6.5.1 Système en couple, utilisant deux microphonesfaiblement espacés

On utilise donc deux microphones infra-cardioïdes, cardioïdes ou hyper-cardioïdes. Un même angle α peut être obtenu pour des valeurs couplées dee et de θ.

De nombreuses études et expérimentations ont abouti à des normes dedisposition (e et θ) dans différents pays (Fig. 6.10).

Le « couple ORTF » (e = 17 cm et θ = 110) est d’un usage trèsrépandu, le fabricant allemand Schoeps en commercialise une version trèsrenommée et très pratique d’utilisation (un seul câble à deux paires torsadéesdans un blindage commun) (Fig. 6.11).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 108 — #122


Fig. 6.10 – Normes de disposition du système en couple.

Fig. 6.11 – Couple ORTF de Schoeps.

La compatibilité monophonique n’est pas aussi bonne qu’avec le systèmeXY ou MS. Si on ajoute G + D, on constate une perte de brillance qui diffèreselon la valeur de e. Cependant, ce système représente un bon compromis entrespatialisation et précision de localisation. Les grandes masses sonores sontrendues avec ampleur même en milieu réverbérant. De légers mouvementslatéraux d’une voix, d’un instrument soliste peuvent produire des sauts entreles haut-parleurs (effet de loupe introduit par la différence de temps).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 109 — #123


6.5.2 Système AB avec grand espacement (de quelquesdécimètres à plusieurs mètres)

On ne peut plus parler, dans ce cas, d’angle de prise de son, mais plutôtde zone de prise de son, où la différence de temps ne dépasse pas 1,4 msenviron : cette zone est très étroite et s’élargit légèrement avec l’éloignementdes sources (pour e = 1 m). Toutes les autres sources sonores situées hors decette zone semblent tassées sur les haut-parleurs : d’où l’utilisation pour dessources éloignées.

Une variante consiste à utiliser deux omnidirectionnels avec un espacementà peu près égal à celui des haut-parleurs.

Fig. 6.12 – Tête stéréophonique d’André Charlin (vers 1956).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 110 — #124


6.5.3 Système avec obstacle entre les deux microphones

La différence d’intensité entre les microphones dépend, dans ce cas, de lafréquence. On peut citer surtout :

a) La tête stéréophonique d’André Charlin (vers 1956) (Fig. 6.12) : deuxmicrophones sont placés de part et d’autre d’une sphère aplatie, d’environΦ = 20 cm, absorbante.

b) La sphère Schoeps (Fig. 6.13) : ce dispositif est assez récent : deux capsulesomni-directionnelles sont placées sur un diamètre (180) d’une sphère deΦ = 20 cm. Les résultats sont paraît-il excellents.

c) Le disque Jecklin (environ 30 cm) absorbant, placé entre deux micros àenviron 16 cm.

Fig. 6.13 – Sphère Schoeps.

6.5.4 Tête artificielle (avec les micros dans les oreilles)

Les résultats sont excellents, évidemment, pour l’écoute au casque ; surhaut-parleurs, les résultats sont moins convaincants.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 111 — #125


6.6 Prise de son en multicanal dite 5.1(5 canaux discrets + 1 d’extrême-grave)

La recommandation ITU-R-BS775 pour l’écoute en 5.1 est indiquée sur lafigure 6.14.

À cette disposition correspondent une multitude d’agencements de mi-crophones et la littérature technique actuelle (2005) est foisonnante. Noussuggérons la suivante, en cours d’expérimentation, et qui semble donner desrésultats prometteurs en écoute 5.1 ou réduite à la stéréo traditionnelle (parmixage).

Fig. 6.14 – Disposition normalisée des haut-parleurs en système 5.1.

Une disposition traditionnelle utilise trois sortes de microphones : uncouple « ORTF », un hypercardioïde pour la voie centrale, et enfin deuxomnis pour les voies arrière, selon le schéma ci-après (Fig. 6.15). L’incon-vénient d’un tel système est de multiplier le nombre des sources apparentesà l’écoute, comme le montre bien la figure où les vecteurs représentent lesintensités sonores émises par les cinq haut-parleurs. C’est pourquoi une jeunesociété française, Trinnov, a repensé complètement le problème. Une plate-forme de huit microphones omnidirectionnels, disposés en fer à cheval, estreliée à une centrale de traitement numérique après passage à travers des

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 112 — #126


Fig. 6.15 – Disposition traditionnelle en 5.0 (Trinnov 2004).

Fig. 6.16 – Microphone multicanal 5.0 idéal (Trinnov 2004).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 113 — #127


convertisseurs AD (Fs = 44,1-48-96 kHz). Le traitement tient compte de ladirection de la source et des intervalles de temps entre les signaux délivrés parles micros pour élaborer seulement deux signaux d’intensité adéquate, afin decréer une source fantôme entre deux des cinq haut-parleurs. On peut ainsirécréer, en partant d’une source à intensité constante tournant autour de laplate-forme (sur un rayon constant et dans son plan), une source image ho-mothétique avec les cinq haut-parleurs. Les concepteurs réalisent par calculdes diagrammes de directivité asymétriques, fonction de leur emplacementsur la plate-forme, ce que pour le moment aucun microphone ne possède parconstruction (Fig. 6.16). Ce système est en cours d’expérimentation à l’ORTFet a fait l’objet de publications à l’AES (Audio Engineering Society).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 114 — #128

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 115 — #129

Chapitre 7

Quelques enceintes acoustiquescélèbres

Les enceintes acoustiques représentées dans les pages suivantes ont marquéleur époque. L’enceinte à pavillon exponentiel « Klipschorn » (Fig. 7.1a et b)date de 1945 environ. Elle doit être placée dans une encoignure, les mursterminant le pavillon. Son rendement est très élevé (environ 30 %), et sesdimensions ne sont pas si rédhibitoires (h ∼= 1 m). Le pavillon des graves (30à 400 Hz environ) est complété d’un haut-parleur à chambre de compression(400 à 15 000 Hz). Cette enceinte est encore fabriquée en 2003 presquesans modifications.

L’enceinte montrée sur la figure 7.2a et b a été conçue dans les années1950 pour le fameux haut-parleur Jensen « Triaxial » (38 cm), de conceptiontrès analogue au coaxial Tannoy (Fig. 2.23). C’est un pavillon hyperboliqueassez encombrant (1,5 sur 0,9 m en face avant) mais plus facile à construirepar un amateur que la « Klipschorn ». On peut y monter un Tannoy récentde même diamètre.

L’enceinte Tannoy à pavillon exponentiel replié « Autograph » (Fig. 7.3)des années 1950 était équipée du haut-parleur de diamètre 38 cm « DualConcentrics » (qui est décliné depuis plus de 50 ans, voir § 2.5 et Fig. 2.21).Elle était d’une construction très compliquée, son prix était bien supérieur àcelui des deux précédentes. Son rendement était aussi de l’ordre de 30 %. Sonprix actuel (2005) est très élevé, car elle est très recherchée.

L’enceinte d’André Charlin (Fig. 7.4) des années 1950 a servi pendant unequinzaine d’années de référence à l’Académie du Disque français. Elle com-portait, au centre du diffuseur (dont la conception remonterait à 1932), undispositif « anti-tourbillonnaire » et un large et court pavillon en fonte d’alumi-nium (50 cm). La suspension du cône (remplaçable en quelques minutes) étaiten peau (solution coûteuse mais très durable). L’« anti-tourbillonnaire », ré-gularisant la réponse aux fréquences élevées, est encore très répandu dans leshaut-parleurs modernes. Son rendement (environ 10 %, c’est-à-dire près de

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 116 — #130

116 Chapitre 7 : Quelques enceintes acoustiques célèbres

Fig. 7.1a – L’enceinte à pavillon « Klipschorn » (États-Unis), vue en perspective(Electronics 1946).

100 dB/w/m) pour le modèle à excitation (2 teslas environ dans l’entrefer ;version pour salles de cinéma) était très élevé pour un HP à rayonnementdirect. Ce haut-parleur était complété d’un tweeter électrostatique push-pull(derrière la grille). L’enceinte elle-même (haute de 1,5 m environ) était deforme pyramidale (pour éviter les ondes stationnaires internes), la face avantformant la base. Un large et étroit évent près du sol, surmonté intérieurementd’une épaisse cloison en laine de verre, complétait cette enceinte, remarquablepour l’époque.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 117 — #131


mur

porte d’accès

section A-Ade (D)

mur

vue horizontale du pavillon d’aigus

vue latéraledu pavillon d’aigus

section C-Cde (C)

section B-Bde (C)

join

ture

des

de

ux m

urs

Fig. 7.1b – Plans de l’enceinte à pavillon « Klipschorn » (États-Unis) (98 cm dehauteur).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 118 — #132


Fig. 7.2a – Plans de l’enceinte à pavillon « Triaxial » de Jensen (États-Unis) (Re-production sonore à haute fidélité, G.A. Briggs 1951).

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Fig. 7.2b – Vue en perspective de l’enceinte à pavillon « Triaxial » de Jensen(États-Unis).

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Fig. 7.3 – Vue de l’enceinte Tannoy « Autograph » à pavillon replié (Royaume-Uni,années 1950). (HP Dual Concentrics 38 cm, hauteur 1,4 m, plans dans l’Audiophilen 28, mai 1983.)

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 121 — #135


Fig. 7.4 – Enceinte d’André Charlin (années 1950).

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“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 123 — #137

Bibliographie

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124 Bibliographie

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Trinnov-audio (2004) High spatial resolution multichannel microphone.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 125 — #139

Exercices et corrigés

Exercice 1a) Niveau sonore d’un haut-parleur

Soit un haut-parleur rayonnant une puissance acoustique de 0,1 Watt,monté sur un baffle plan infini. Calculer la puissance sur 1cm−2 à 2 m duhaut-parleur, assimilable à une 1/2 sphère pulsante, et de niveau sonorecorrespondant (0 dB = 10−16 W.cm−2).

b) On demande la vitesse et l’amplitude vibratoire, à 1 kHz, au seuil d’au-dition, la référence 0 dB étant de 20 µPa. On donne ρ = 1,3 kg.m−3 etc = 340 m.s−1.

c) Une sphère pulsante rayonne dans tout l’espace une puissance de 1 Wattacoustique à 1 kHz.

Calculer la pression p et la vitesse v, ainsi que leur déphasage relatif, àune distance de 30 cm du centre de la sphère (ρ et c identiques à b).

Corrigé de l’exercice 1a) La puissance est uniformément répartie sur une surface.

S = 2π.r2 = 8π [m2]

sur 1 cm2 → p = p sS = 0,1x(0,01)2

8π = 0,4 µWL’intensité sonore est donc, à 2 m :

I = 10 log4.10−7

10−16= 4.109 → 96 db.

C’est un niveau assourdissant à 1000 Hz.

b) On a p = ρcv = 1,3 × 340v = 442vdonc

v =p

ρc=

20.10−6

442= 0,048 µm.s−1,

ou encore 48 nanomètres.s−1

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 126 — #140

126 Exercices et corrigés

L’amplitude correspondante est, comme v = jωx :

|x| =v

ω=

49.10−9

6,3.103= 7,6.10−12 = 0,076 A

(Rappel : 1 A = 10−10 m.)C’est à peu près 1/10 du rayon d’un atome de chlore.(G. Ney, voir la bibliographie.)

c) L’intensité sonore est, à 30 cm :

I =W

4π.r2=

14π.(0,3)2

= 0,885 W.m−2

La pression correspondante est tirée de :

I =p2

ρc→ p =

√Iρc

p =√

0,885.442 = 19,8 N.m−2

La vitesse est tirée de l’expression :

vr =pr

ρ.c

(1 − j

kr

); k =

ω

cavec kr =

ω

cr =

2π.103

340.0,3 = 5,54

donc, on aura

|vr| =p2

ρ.c.

√1 + k2r2

kr=

19,8442

.

√1 + (5,54)2

5,54= 0,0455 m.s−1

Le déphasage entre p et v est donné par :

ϕ = 90 − arctg kr = 90−80 = 10

Niveau (SPL = Sound Pressure Level)

SPL = 20 log19,8

20.10−6= 20 log 0,99.106 ≈ 120 dB.

Ce niveau est très élevé. Un grand orchestre à quelques mètres donne unecentaine de dB, le grand-orgue de Notre-Dame de Paris délivre environ114 dB à une dizaine de mètres (d’après Pierre Cochereau, 1924-1984,titulaire de l’instrument et metteur en ondes ORTF).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 127 — #141


Exercice 2

a) Montrer l’équivalence entre la référence d’intensité acoustique I0 =10−12 W.m−2 et le niveau SPL0 en dB : SPL0 = 20 µPa

On donne ρ.c = 400 [MKS Rayls].

On rappelle les définitions :

I(dB) = 10. log10

I1

I0(1) et SPL = 20. log10

p

p0(2)

b) Calculer la vitesse et l’amplitude (crête) d’un cône de haut-parleur deΦ = 30 cm rayonnant 1 W acoustique à 40 Hz dans les deux conditionssuivantes, avec ρ.c = 400 (en sinusoïdal) :

1) le cône rayonne à la gorge d’un pavillon exponentiel de fréquencede coupure f 40 Hz (surface de gorge = surface du cône) ;(Zg = ρ.c

S ) ;

2) le cône rayonne à travers un plan de très grandes dimensions (consi-déré infini). On se limitera au premier terme du développement ensérie (formule 1.55 : rr = (ka)2

2 ).

Corrigé de l’exercice 2

a) L’intensité sonore s’écrit

I =p2

ρ.cW.m−2 [dB] (3)

En portant (3) dans (2), et en écrivant que le niveau 0 dB SPL0 est le mêmeque I0 dB :

par définition : SPL = 20 log10

p

p0= 10 log10 .

p2

p20

Or, p20 = I0.ρ.c.

Le niveau SPL pour I0 = 10−12 s’écrit :

SPL0 = 10 log10

I0ρc

(20.10−6)2= 10 log

10−12

400.10−12ρc

donc SPL0 = I0 → 20 µPa → 10−12 W.m−2, si ρc = 400.Cette valeur est suffisamment proche de la réalité pour ne pas remettre en

question l’équivalence entre I and SPL.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 128 — #142


b) La vitesse et l’amplitude d’un cône de haut-parleur :

1) Le cône a une surface S = πa2 = 3.14(0,15)2 = 0,0707 m2, à l’entrée dupavillon il est chargé d’une impédance acoustique Zar =

ρ.c

S.

La puissance rayonnée s’écrit P = Zarq2eff = Zar.S

2v2eff = ρcSv2

eff , d’où

1 W = 440.0,0707.v2

Donc :

v =(

1440.0,0707

)1/2

=1

17,6= 5,67 cm.s−1

La vitesse de crête = 5,67 ×√2 = 8,02 cm.s−1

À 40 Hz, on a donc v = j.ω.x et xcrête =vcrête

ω=

8,022π.40

= 0,32 mmC’est très faible, pas de problème d’amplitude.

2) Le cône rayonne uniformément dans le 1/2 espace (2πr2) (a = 0,15 = D/2).La puissance s’écrit cette fois :

P = Rarq2 =

ρc

Srrq

2

où rr est la partie réelle de l’impédance réduite :

rr =(ka)2

2.

On a

k =ω

c=

2π.40340

=8π

34

ka =8π

34.0,15 = 0,111

rr =(0,111)2

2= 6,16.10−3

1 =ρ.c

S.rr.S

2.v2 = ρ.c.S.rr.v2

donc

1 = 440.0,0707.6,16.10−3.v2

v =(

103

191,6

) 12

= 2,28 m.s−1

vcrête = 2,28√

2 = 3,22 m.s−1

xcrête =3,22ω

=3,222π.40

= 12,8 mm

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 129 — #143


Cette valeur est12,80,32

≈ 40 fois plus élevée qu’avec le pavillon, c’est une valeur

difficile à tenir avec un haut-parleur de 30 cm, d’où l’obligation d’un pavillonou d’un bass-reflex à évent.

Exercice 3

Démonstration de la formule de Thiele et Small. Montrer que :

η =B2l2ρS

2πcRM2=

4π2

c3f3

s

VAS

QESoù QES =

12me


On a :

ω2S = 4π2f2

s ; η =ω2

S

c3

ωS

2π.

ω2S =

K

M→ η =

K

MωS

VAS

2πc3QES, or : VAS =

S2ρc2

K

1QES

=B2l2

R√

KM= 2me

η =K

M

√K√M

ρc2S2

2πc3K

B2l2

R.√

MK; η =

B2l2ρS

2πcRM2C.Q.F.D.

Exercice 4

Montrer que l’on doit avoir h = 1 pour obtenir une fonction de transfertde Butterworth en partant de la formule (2.11).


Le polynôme s’écrit

(jx)4 + a3(jx)3 + a2(jx)2 + a1(jx) + 1

où :

a1 = a3 = 2,613 et a2 = 3,414

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 130 — #144


Identification avec (2.11) :(

jω

ω0

)4

=(

jω

ωS

)4

.h−2;1ω4

0

=1

ω4S

.h−2 (A)

a3

(j

ω

ω0

)3

= 2mt

(j

ω

ω0

)3

.h−2;2,613ω3

0

=2mt

ω3S

.h−2 (B)

a2

(j

ω

ω0

)2

=[1 + h−2(1 + α)

] (j

ω

ωS

)2

; (C)

a1jω

ω0= 2mtj

ω

ωS;

2,613ω0

=2mt

ωS(D)

On déduit :

– de A : h =ω2

0

ω2s

;√

h =ω0

ωs; h−2 =

ω4s

ω40

– de B :2,613ω3

0

=2mt

ω3s

.ω4

s

ω40

=2mt.ωs

ω40

; 2,613ω0 = 2mtωs ;

2,613√

h = 2mt ;√

h =2mt

2,613

– de C : 3,414 = h[1+h−2(1+α)] = 2+√

2 ;(2 +

√2)h = h2 +(1+α) ;

α =(2 +

√2).h − h2 − 1 ;

– de D :2,613ω0

=2mt

ωs;

2mt

2,613=

1√h

Pour que B et D soient compatibles, il faut que√

h =1√h

; c’est-à-dire

h = 1, donc le haut-parleur et l’enceinte doivent avoir la mêmefréquence propre. Le polynôme de Butterworth exige h = 1, et 2mt =

2,613 ; Qt =1

2,613= 0,383. On y vérifie que :

α =(2 +

√2)

h − h−2 − 1 =√

2

Exercice 5. Calcul d’une enceinte acoustiqueCalculer le volume et les dimensions de l’évent cylindrique interne (dé-

bouchant en affleurement en face avant (Fig. 2.9 et § 1.2.2.1) sachant quesa longueur l vaut deux fois son diamètre ; pour le haut-parleur suivant dediamètre nominal 38 cm (Focal), fs = 21 Hz, Qts = 0,22, Vas = 0,75 m3.On essaiera de se rapprocher de la courbe « quasi-Butterworth » QB3 donton choisira les valeurs h =

√2 ; α = 4,46 ; f3/fs = 1,77 (bien que le Qts du

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 131 — #145


haut-parleur (0,22) soit plus petit que Qts = 0,259 de QB3). On calculera lesvaleurs du module de G(x), x = f/f0 ; pour x = 1 et x = 2.

Commenter les valeurs obtenues par comparaison à QB3 (Tab. 2.1). Ondonne :

ρ = 1,293 kg/m3 ; c = 340 ms−1.

Solution de l’exercice 5 proposée

a) Calcul du volume de l’enceinteOn commence par déterminer le volume de l’enceinte en partant des rela-

tions :

α =Cas

Cab=

Élasticité − H.P.

Élasticité − Enceinteet ω2

b =1

Cab.Jae,

Jae étant l’inertance de la masse d’air Me de l’évent.On a : Cas = Vas/ρ.c2 et Cas = Vb/ρ.c2

d’où α = Cas/Cab = Vas/Vb = 4,46 ; on en tire tout de suite

Vb =0,754,46

= 0,168 m3, c’est-à-dire V b = 168 litres.

b) Calcul de l’éventLe résonateur de Helmholtz formé par Vb et son évent a pour fréquence

propre :

fb = ωb/2π avec ω2b = 1/Cab.Jae,

où Jae est l’inertance de l’évent.

Jae = Me/S2e avec Me = ρSe(0,61a+ l+0,85a) [kg], avec la section de l’évent

Se = πa2 [m2] ou encore, dans le cas présent : Me = ρSe(1,46a+ 4a), puisquel = 4a

Cab est obtenu par : Cab = Vas/aρc2. C’est-à-dire :

Cab = 0,75/4,46 × 1,293 × 3402 = 1,125.10−6

Les valeurs de ωb et de ω3 sont tirées de h = ωb/ωs = fb/fs =√

2 et ω3/ωs =1,77.

La fréquence propre de l’enceinte fb =√

2fs =√

2 × 21 = 29,7 Hz et lacoupure à – 3dB (ω3) sera donnée par f3 = 1,77 × 21 = 37,2 Hz.

On a maintenant : Jae = 1/Cabω2b = Me/S2

e

Avec Me = 5,46aρSe, d’où :

Jae =5,46ρ.Se.a

S2e

=5,46ρ.a

π.a2

avec ωb = 2π.29,7 = 186,6 [rad.s−1].

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 132 — #146


Jae =1

Cab.ω2b

=106

1,125 × 186,62= 25,53 d’où 25,53 =

5,46 × 1,293π.a

,

d’où a = 8,8.10 −2 [m].C’est-à-dire d = 2a = 17,6 cm, et, l = 2d = 35 cm.

c) Fonction de transfert

À partir des valeurs fs = 21 Hz, fb = 29,7 Hz, il faut d’abord connaîtrela fréquence propre f0 du filtre passe-haut ainsi formé : f0 = fb/

√h =

29,7/1,19 = 25 Hz.La fonction de transfert de l’ensemble est tirée de la formule générale, avec

x = f/f0

G(jx) = h−2(jx)41+2jxmt+(jx)2[1+h−2(1+α)]+2(jx)3h−2mt+h−2(jx)4−1

soit avec les valeurs h−2 = 1/2 et 2mt = 1/Qts = 1/0,22 :

G(x) = 0,5x4.

[1 − x2

(1 +

1 + α

2

)+ 0,5x4 + j

(x − 0,5x3

0,22

)]−1

Pour x = 1 nous obtenons :

G(1) = 0,5.

[1 −

(1 +

5,462

)+ 0,5 + j

(1 − 0,50,22

)]−1

dont le module vaut 0,157.D’où G (dB) = –16 dB.

Ce chiffre est très peu éloigné de la courbe de la figure 2.11.Pour x = 2 (une octave plus haut → 50 Hz)

| G(2) | =

∣∣∣∣∣ 8

1 − 4(3,73) + 8 + j (2−4)0,22

∣∣∣∣∣ = 0,74

G(2)[dB] = 20. log 0,74 → −2,6 dBOn voit que l’écart par rapport à la courbe idéale avec Qt = 0,259 est très

faible, car on obtient pour cette dernière valeur :

G(2) =

∣∣∣∣∣ 8−5,92 − j 2

0,259

∣∣∣∣∣ = 0,82

G(2)[dB] = 20. log 0,82 = −1,7 dB (ce qui diffère de 0,9 dB seulement).La diminution du niveau n’est due qu’au terme Qts = 0,22 < 0,259.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 133 — #147


NB : Il serait judicieux de scinder l’évent en deux évents plus petits, encalculant les dimensions d’un évent ayant une inertance moitié de la valeurthéorique, ce qui donne J ′

ae = 25,532 , d’où

25,532

=5,46.1,293

πa′ ; a′ =14,1680,2

= 4,4.10−2 m ;

d’où pour chacun de deux évents :

d′ = 2a′ = 8,8 cm et l′ = 2d′ = 17,6 cm.

Pour augmenter le rendu des fréquences basses, il serait sans doute heureuxde prévoir une fb plus faible en augmentant légèrement la valeur de Jae, parexemple fb = 27 Hz ou même 25 Hz. Les valeurs de α et h seront légèrementchangées. Il suffit alors de calculer G(1) et G(2) avec les nouvelles valeurs.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 134 — #148


Problème : asservissement d’un haut-parleur

(Institut national des Télécommunications, contrôle des connaissances,Systèmes Asservis, 1984)

Fig. 1 – Schéma du système.

On considère un haut-parleur (Fig. 1) (HP Focal) dont les paramètres sontles suivants :

– raideur du cône : k = 1180 Nm−1 ;

– masse du cône : M = 65,6 g ;

– coefficient de frottement visqueux, dû au rayonnement: f =1,3 N.m−1.s ;

– induction dans l’entrefer : B = 1,2 tesla ;

– longueur du fil de la bobine mobile plongé dans l’entrefer l = 12,58 m ;

– résistance du fil de la bobine mobile : R = 6 Ω ;

– inductance de la bobine mobile : L = 0,94 mH ;

– déplacement du cône : x (m).

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 135 — #149


Pour mesurer l’accélération du cône, on y fixe un accéléromètre délivrant latension :

Va = Dd2x

dt2

Questions à résoudre1) Déterminer les fonctions de transfert Va

I et Va

V , l’amplificateur ayantpour fonction de transfert A

1+τAs , où A = constante ; s = jω.Peut-on négliger l’influence d’une constante de temps, si oui laquelle ?

Montrer que dans ce cas les fonctions sont simplifiées.2) On désire asservir le cône pour travailler dans la bande de fréquences

basses (20 Hz . . . 200 Hz) à accélération constante (afin d’obtenir un rayon-nement d’amplitude constante dans l’axe du haut-parleur et de gommer larésonance principale. Des deux fonctions de transfert précédentes, laquelleest la mieux adaptée, en d’autres termes faut-il réaliser un amplificateur depuissance source de tension ou source de courant ?

On veut avoir un gain de boucle de 30 dB entre 21 Hz et 100 Hz. Tracer lediagramme de Bode de la fonction retenue. Le système peut-il être bouclé ? Sinon, donner le schéma de principe des réseaux correcteurs à placer, ainsi queleur fonction de transfert, justifier les constantes de temps choisies, sachantque les fréquences de coupure basse et haute (où le gain est de 0 dB) sontrespectivement de 2,2 Hz et 1 kHz et les fréquences de cassure (changementde pente) à une ordonnée commune de 10 dB, et enfin que l’un des réseauxcorrecteurs a le même pôle simple que l’ampli. Quelle doit être la valeur dece pôle ? On emploiera la transformation de Laplace (avec s = jω).

Projet proposé au problèmeLa force exercée sur la bobine mobile est :F = BlI

d’où :

BlI = Md2x

dt2+ f

dx

dt+ Kx

I =Ms2 + fs + K

Blx

La tension V aux bornes de la bobine est :

V = RI + LdI

dt+ Bl

dx

dt,

d’où :

V =[(R + sL)

Ms2 + fs + K

Bl+ Bls

]x

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 136 — #150


Finalement

x

I=

Bl

K.

11 + f

K s + MK s2

x

V=

Bl

KR.

1

1 +(

LR + f

K + B2l2

KR

)s +

(MK + L

RfK

)s2 + L

RMK s3

Application numérique

L

R=

0,946

10−3 = 0,156.10−3

f

K=

1,31180

= 1,1.10−3

B2l2

KR=

15,12

6.1180= 32,2.10−3

M

K=

65,61180

.10−3 = 55,6.10−6

On voit que l’on peut négliger le terme LR devant les autres valeurs, l’expression

se simplifie :x

V≈ Bl

KR.

1

1 +(

fK + B2l2

KR

)s + M

K s2

que l’on peut écrire sous la forme canonique :

x

V≈ Bl

KR.

11 + (2mm + 2mc)j ω

ω0− ω2

ω20

ou encore, avec x = ωω0

mm étant d’origine mécanique et me d’origine électrique ; mT étant lecoefficient d’amortissement total (mT = mm + me)

x

V≈ Bl

KR.

11 + 2mT jx − x2

On obtient :x

V≈ Bl

KR.

11 + 33,3.10−3s + 55,6.10−6s2

Ce système du deuxième ordre amorti avec pulsation propreω2

0 = KM = 106

55,6 = 134,1C’est-à-dire une fréquence propre (fréquence de résonance principale) :

f0 = ω02π = 21,34 Hz.

Il est évident que le système doit être attaqué par une source de tension(ampli à résistance interne nulle) car sinon le coefficient d’amortissement total

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 137 — #151


mT est privé du terme électrique me = B2l2

KR qui est de loin le plus impor-tant. Dans ce cas, en effet, la parenthèse du terme en s devient f

K s = 2mmsω0

.

2mm = ω0.1,25.103 = 134.1,25.10−3 = 0,167

En termes habituels, la surtension mécanique devient QM = 12mm

= 10,167 = 6.

Ceci donne une très forte remontée du gain (≈16dB) à la résonance(21,34 Hz).

En revanche, le terme B2l2

KR donne le coefficient d’amortissement électriqueme et la surtension électrique : 2me = ω0

B2l2

KR = 134.32,2.10−3 = 4,32 etQe = 0,23.

Le coefficient d’amortissement total mT est la somme de deux coefficientsprécédents :

2mT = 2mm + 2me = 0,167 + 4,315 = 4,48

QT =1

4,48= 0,223

L’attaque par une source de tension entraîne donc une réponse beaucoup plusrégulière et surtout beaucoup mieux amortie.

Diagramme de Bode

La fonction de transfert complétée avec l’amplificateur et l’accéléromètres’écrit, en négligeant le terme L

R : G(s) = Va

I = Va

xxV

VI

G(s) = Ds2 Bl

KR

1

1 +(

fK + B2l2

KR

)s + M

K s2

A

1 + τAs

G(s) =DBlA

KR

s2

(1 + τAs)(1 + 2mT

sω0

+ s2

ω20

)Le diagramme de Bode comporte ainsi (Fig. 2) :

1) une asymptote de pente +2 à l’origine ;

2) une asymptote de pente 0 de ω = ω0 jusqu’à ω2 = 1/τA ;

3) une asymptote de pente –1 au-delà de ω2 = 1/τA.

Le système ne correspond pas au cahier des charges (coupure à 1 kHz)et n’est pas bouclable (pente +2 à l’origine). On rappelle que les pentes,aux fréquences de coupure, basse et haute, doivent être inférieures à 2 envaleur absolue, et donc proches de 1. Il faut donc introduire des réseauxcorrecteurs.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 138 — #152


Fig. 2 – Diagramme de Bode.

a) Côté des fréquences basses : il faut placer en série dans la boucle un

intégrateur « cassé » de transmittance1 + s

ω1

s, avec ω1 = 2π×6,5. De la sorte,

la stabilité sera assurée aux fréquences basses (l’ordonnée de la cassure est à+10 dB) (Fig. 3)

Fig. 3 – Traçé de Bode d’un Intégrateur « cassé ».

b) Côté des fréquences élevées : si on veut couper (0 dB) à 1 kHz, il fautavoir une pente −1 au-delà de 300 Hz et une pente de –2 entre 100 Hz et300 Hz. Ceci peut être assuré par un réseau correcteur de la forme :1 + s

ω3

1 + sω2

, l’amplificateur lui-même ayant une transmittance A1+τAs , avec

ω2 = 1τA

= 2π.100, et ω3 = 2π.300.

“acoustique” — 2007/1/10 — 15:39 — page 139 — #153


En effet, il n’est pas prudent d’essayer de monter plus haut en fréquence,compte tenu des problèmes de propagation qui risquent de se poser dansle cône, qui ne travaille probablement plus en piston. Le réseau correcteur(Fig. 4) pourra se présenter sous la forme :

Fig. 4 – Réseau correcteur aux fréquences élevées.

Vs

Ve=

R2 + 1Cs

R1 + R2 + 1Cs

=1 + R2Cs

1 + (R1 + R2)Cs

avec :ω3 =

1R2C

, et : ω2 =1

(R1 + R2)C.

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