1

1

بسم اهلل الرحمن الرحيم

الحمد هلل رب العالمين والصالة والسالم على

أشرف األنبياء والمرسلين

ريض 140حل تمارين المقرر

precalculus

Chapter 1

أستاذ مشارك بجامعة الملك سعود ) عبد اهلل بن عثمان المغيره . إعداد د

(سابقًا واآلن متقاعد

أعزائي طالب وطالبات السنة التحضيرية ؛ إن رأيتم أن هذا العمل مفيد

إخبار زمالئكم فالدال على الخير كفاعلهفالرجاء

أرحب بآرائكم ومقترحاتكم وللتواصل بريد الكتروني

elmo1502@hotmail.com

و 11صفحة EXERCISES( 1.1) حل تمارين

في الكتاب 11

In Exercises 1-3 , list all elements in the following sets using set notation .

أكتب كل العناصر في المجموعات اآلتية مستخدمًا رمز المجموعة 3 -1في التمارين

1. Vowels in the English alphabet

الحروف المتحركة في األبجدية االنجليزية

Vowels in the English alphabet =

2

2

2.First seven prime numbers

أول سبعة أعداد أولية

ال يقبل القسمة على أي عدد آخر ما عدى العدد نفسه و 1أكبر من العدد naturalعدد طبيعي العدد األولي هو

والعدد واحد

First seven prime numbers =

3. Even integers between 50 and 63

33و 05األعداد الصحيحة الزوجية التي بين

Even integers between 50 and 63 =

In Exercises 4 – 13 answer by True or False

( F)أو خطأ ( T)أجب بصح 13 – 4في التمارين

4. 0

Nخطأ ألن العدد صفر ليس عنصرًا من عناصر مجموعة األعداد الطبيعية 4التمرين رقم

Rهي مجموعة جزئية من مجموعة األعداد الحقيقية Qصح ألن مجموعة األعداد النسبية 0التمرين رقم

بل Rليست عنصرًا من عناصر I (Irrational )خطأ ألن مجموعة األعداد غير النسبية 3التمرين رقم

Rهي مجموعة جزئية من

Zليست مجموعة جزئية من مجموعة األعداد الصحيحة Qخطأ ألن مجموعة األعداد النسبية 7التمرين رقم

بل العكس هو الصحيح

8. = T 9. = T 10. 1 = F

11. 1 F

لذلك فهما متساويتين 2صح ألن كل من المجموعتين تحوي عنصر واحد فقط وهو العدد 8التمرين رقم

صح ألن كل من المجموعتين تحوي نفس العناصر وترتيب العناصر ال يهم 9التمرين رقم

1ال يساوي المجموعة التي تحوي العدد 1خطأ ألن العدد 15التمرين رقم

تكون بين المجموعات ( مجموعة جزئية من ) ليس مجموعة والعالقة 1خطأ ألن العدد 11م التمرين رق

sets

12 . F 13 . T

ال تكون بين مجموعتين بل تكون بين عنصر ومجموعة خطأ ألن العالقة 12التمرين رقم

3

3

من المجموعة subsetهي مجموعة جزئية صح ألن المجموعة 13التمرين رقم

In exercises 14 – 22 identify the elements in each set . assuming

A = , B = , C = And D =

بفرض أن . حدد العناصر في كل مجموعة 22 – 14في التمارين

A = , B = , C = وD =

14 . AB= 15 . AB= 16 . BC=

17 . . BD={ }=Ф 18 . BD=

19 . B(CD) = B =

20 . (AC) D= =

21 . BФ = B = 22 . CФ = Ф

أو فيهما Bأو في المجموعة Aجميع العناصر التي في المجموعة مجموعة تعني AB الحظ أن

صرللعنامعًا ولكن بدون تكرار

Bوفي نفس الوقت في المجموعة Aتعني مجموعة جميع العناصر التي في المجموعة ABوأن

Bو Aأي العناصر المشتركة بين

تعني المجموعة الخالية أي التي ال تحوي أي عنصر { }أو Фحظ أن ال

23. Put a check mark in each box if the number is an element of that set

إذا كان العدد عنصرًا في تلك المجموعة( مربع ) ضع عالمة صح في كل صندوق

Real Irrational Rational Integer Natural العدد أو الرمز

√

√

√

√

2

√

√

√

√

4

4

√ √

√

√

0.35

√

√

√

0

√

√

√

2 –

√

√

0.25481931…

√

√

ــــــ

0.262626…

√

√

√

√

24 . Determine if the statement is True or False

( F) أو خاطئة ( T) حدد إذا كانت العبارة صحيحة

a) Any natural number is an integer T

b) Any integer is a rational number T

c) A real number can be only irrational F

d) A terminating decimal is an irrational number F

e)

= 0 T

f) A rational number can be either a terminating decimal or non-

terminating decimal with a repeating pattern T

5

5

25. List the elements of the set of even integers between -4 and 8.

the set of even integers between -4 and 8 = { -2,0,2,4,6 }

26. List the elements of the set of all natural numbers that are multiples of 5.

the set of all natural numbers that are multiples of 5 = { 5,10,15,20,… }

27. Write the set of the even natural numbers .

the set of the even natural numbers = { 2,4,6,… }

28. Determine if is a real number or not.

is not a real number

In exercises 29 – 35 perform the indicated operations.

(هنا النقطة تعني عملية الضرب ) أجري العمليات المحددة 30 – 29في التمارين

29.

+

=

+

=

+

=

=

30. 2.

-

=

-

=

-

=

-

=

=

32. [

].2 – 9 =

.2 -9 = 3.2 – 9= 6-9=-3

33. -6

.

= -

.

= -

.

= -

34. 5[ ( 6+3.2)-2(8-5)]= 5[ 6+6-2(3)]=5[12-6]=5.6=30

- 12= -12 = -13+ 35. -(41-7.4)+

-12 = -(41-28) +

= -25 +3= -22

6

6

11صفحة EXERCISES( 1.1) حل تمارين

في الكتاب

In Exercises 1 – 9 simplify and express answers using positive exponents

only

يسط وعبر عن األجوبة باستخدام األسس الموجبة فقط 9 – 1في التمارين

1. x5x-2 = x5-2=x3

2. (6x3)(4x7)(x-5)=24x3+7-5= 24x5

3. y1/5 . y4/5 =y1/5+4/5 = y5/5 = y1 = y

4.(49 a4 b-2)1/2 = (7.7)1/2(a4)1/2(b-2)1/2 = 7a4/2 b-2/2 = 7a2b-1 =

5. (2y)(3y2)(5y-4) = (2.3.5) y1+2-4 = 30y-1=

2

7

7

In Exercises 10- 13 .illustrate common errors involving rational exponent.

In each case ,find numerical example that show the left side is not

equal to the right side.

8

8

وفي كل حالة أوجد مثال . وضح األخطاء المشتركة والتي تحوي األسس النسبية 13 – 15في التمارين

عددي يوضح أن الجانب األيسر ال يساوي الجانب األيمن

هي ضرب األسس التي على القوس باألسس التي داخل القوس 12و 11و 15األخطاء المشتركة للتمارين

عمليات جمع أو طرح وهذا غير صحيح في حالة أن ما بداخل القوس

= 21/3 = 1/3(1 + 1 )فيكون الجانب األيسر : x=1 , y =1 15مثال للتمرين

واأليمن

1+1=2

(المقام يساوي واحد لذلك لم نكتبه ( فيكون الجانب األيسر : x=-3 , y =4 11مثال للتمرين

1 = 4 + 3-واأليمن 5 = 251/2 = 1/2(16 + 9 )

= 21/3 = 1/3(1 + 1 )فيكون الجانب األيسر x=1 , y =1 : 12مثال للتمرين

واأليمن

عدد موجب أم سالب فإ ذا كانت عدد موجب فالعبارة صحيحة أما إذا xهو هل 13الخطأ في التمرين

كانت عدد سالب فالعبارة خاطئة

3 - واأليمن = = 3 األيسر فيكون الجانب x=-3مثال

In exercises 14 – 17 write in the simplest form.

أكتب في أبسط صورة 17 – 14في التمارين

14. x. = x .

. .

= x . .

.

= x(3xyy)

. . = 3x2 y2

15. 2a.

= 2a . [ (2)3(a3)3(b4)3]1/3 = 2a.(2a3b4) = 4a4b4

16.

=

9

9

17.

.

=

=

في الكتاب 12صفحة ( 1.3) تمارين

In Exercises 1 – 7 reduce answer to the simplest form

الجواب إلى أبسط صورة( أي اختصر ) خفض أو قلل 7 – 1في التما رين

1.

ال تنسى في قسمة الكسور نشقلب المقسوم عليه ونحول القسمة إلى ضرب

2.

3.

4.

11

11

ال تنسى

5.

=

=

=

6.

=

7.

11

11

In exercises 8 – 15 reduce each fraction to the

simplest form.

كل كسر ( يعني إختصر ) قلل أو إخفض 10 – 8في التمارين

إلى أبسط صورة

8.

9.

10.

12

12

11.

12.

( ال تنسى أن

13.

=

13

13

14.

15.

ال تنسى

14

14

و 72 صفحة EXERCISES( 1.4) حل تمارين

في الكتاب 73

In exercises 1-4 find the values of x and y ,

where x and y are real numbers , that satisfy

the given equation.

أعدادًا yو xحيث yو xأوجد قيم 4 – 1في التمارين

والتي تحقق المعادلة المعطاة حقيقية

1. 4+(2y)i = x – 2i , x=4, 2y=-2 , y=-2/2= -1

2.

3.

4.

In Exercises 5 – 11 write each complex

number in the standard form a+bi and clearly

identify the values of a and b

15

15

أكتب كل عدد مركب في الصيغة القياسية 11 – 0في التمارين

a+bi وبوضوح حدد أو عرف قيمa وb

16

16

In exercises 12 – 29 perform each of the

following operations and write your answer in

standard form

17

17

قم بإجراء كل من العمليات اآلتية 29 – 12في التمارين

واكتب جوابك في الصيغة القياسية

12. (2+3i)+(-5-i) = 2+3i-5-i = (2-5)+(3i-i) = -3 +2i

13. (3-2i)+(5+2i) = (3+5)+(-2i+2i) = 8+0i=8

14. (4-5i)-(2+3i) = 4-5i-2-3i = 2-8i

18

18

ال تنسى

19

19

conjugate ال تنسى

خاصية المرافق

21

21

In Exercises 30 – 36 write in standard

form

أكتب في الصيغة 33 – 35في التمارين

القياسية

21

21

22

22

In exercises 37 – 41 ,evaluate

إحسب 41 – 37في التمارين

فاقسم 4أكبر من العدد األس في مثل هذا النوع من التمارين إذا كان

ويكون الجواب هو أس الباقي 4األس على

23

23

42. show that

وضح أن

a. z + 3i = z – 3i

مرافق + فق األول احاصل الجمع يساوي مر مرافق أواًل لنوضح أن

الثاني

Let z=a+bi , w=c+di

Z+w = a+bi+c+di = (a+c)+(b+d)i=(a+c)-(b+d)i = a+c-

bi-di=a-bi + c-di

24

24

= a+bi + c+di = z + w

z + 3i = z + 0 + 3i = z +0 – 3i = z – 3i

ال تنسى مرافق المرافق هو العدد نفسه

b. iz = -i z

Let z= a+bi

i(a+bi) = ai+bi2 = ai – b = -b + ai = -b – ai = (-1)b –

ai = i2. b – ai

= i(ib – a) = -i(-ib + a) = -i(a – bi) = -i z

i2 ال تنسى 1- =

c. (2-i)

2 = (2-i)(2-i) = 4 – 4i + i

2 = 4 – 4i – 1 = 3 – 4i

= 3 + 4i

25

25

43. let z1 = 4-3i , z2 = 5-3i , z3 = -2i , find

أوجد z1 = 4-3i , z2 = 5-3i , z3 = -2i لتكن

26

26

بسم اهلل الرحمن الرحيم

الحمد هلل رب العالمين والصالة والسالم على

أشرف األنبياء والمرسلين

ريض 140حل تمارين المقرر

precalculus

Chapter 2

أستاذ مشارك بجامعة الملك سعود ) عبد اهلل بن عثمان المغيره . إعداد د

(سابقًا واآلن متقاعد

27

27

أعزائي طالب وطالبات السنة التحضيرية ؛ إن رأيتم أن هذا العمل مفيد

فالرجاء إخبار زمالئكم فالدال على الخير كفاعله

أرحب بآرائكم ومقترحاتكم وللتواصل بريد الكتروني

elmo1502@hotmail.com

EXERCISES (1.1) حل تمارين

في الكتاب 73 و 72صفحة

28

28

29

29

In Exercises 1 – 11 solve each of the following equations and

check your answer.

.من جوابك ( شيك ) حل كل من المعادالت اآلتية وتأكد 11 – 1في التمارين

1. 5x = 3x – (1 – 3x)

أواًل نفك القوس

5x= 3x – 1 + 3x

خطأ شائع وهو عدم تغيير إشارات مابداخل

القوس عندما تسبقه إشارة ناقص

إلى الجهة اليسرى ونغير إشارتيهما من زائد إلى ناقص 3xو 3xننقل الحدين

5x – 3x – 3x = -1

نجمع جبريًا الحدود في كل جهة

5x – 6x = -1

-x = -1

1- لذلك نقسم الطرفين على x–لوحدها وليس xاآلن نريد

1في المعادلة األصلية بالعدد xولتأكد نعوض عن كل x=1إذًا الحل هو

31

31

LHS= 5x =5(1) = 5 , RHS = 3x – ( 1 – 3x ) = 3(1) – ( 1 – 3(1) ) = 3

– ( - 2) = 3 + 2 = 5

LHS = 5 = RHS

LHS إختصار للجملLeft Hand Side جانب اليد اليسرى

RHS إختصار للجملRight Hand Side جانب اليد اليمنى

2. 4( 2y – 17 ) + 5( 3y – 8 ) = 0

وإسم المتغير ال يهم فيمكن أن يكون أي حرف yالمتغير هنا هو

أواًل نفك األقواس

8y – 68 + 15y – 40 = 0

من الجهة اليسرى إلى اليمنى ونغير إشارتيهما 40 –و 68 –ننقل األعداد

8y + 15y = 0 +68 + 40

بالجمع

23y = 108

23نقسم الطرفين على

نختصر ويكون الحل هو

بقيمتها yللتأكد نعوض في المعادلة األصلية عن كل

31

31

أي أن الجانبين متساويان LHS = 0ووجدنا أن RHS= 0 في المعادلة األصلية

لذلك الحل صحيح

نفك القوس الصغير

نفك القوس الكبير

بالتجميع

13y + 10 = 0

10-إلى الجهة اليمنى مع تغيير إشارته ليصبح 10+ننقل العدد

13y = -10

13 نقسم الطرفين على معامل المتغير وهو

نختصر ويكون الحل هو

32

32

بقيمتها yللتأكد نعوض في المعادلة األصلية عن كل

إذًا الحل صحيح LHS=RHS=0 إذًا

خطأ شائع وهو عدم تغيير إشارة الحد المنقول

من جهة إلى أخرى

واإلختصار للتخلص من الكسور ينتج 6بضرب جميع الحدود بالعدد

12

للتأكد

واإلختصار للتخلص من الكسور ينتج 8 بضرب جميع الحدود بالعدد

33

33

الحظ أن الطرف األيسر هو نفسه الطرف األيمن أي أن المعادلة هي متطابقة أي أن

أي عدد هو حل أي يوجد ماال نهاية من الحلول

خاطئة وهذا يعني أن المعادلة ليس لها حل 1= 24توصلنا إلى عبارة

أي أن الطرف األيسر هو معادلة مستقيم والطرف األيمن أيضًا معادلة مستقيم

نوهذين المستقيمين متوازيي

أي ال يوجد بينهما نقاط مشتركة

واإلختصار للتخلص من الكسور ينتج 12 بضرب جميع الحدود بالعدد

34

34

أو بضرب جميع الحدود ) للتخلص من الكسور 91بضرب جميع الحدود بالعدد

(المقامات بحاصل ضرب كل

35

35

LHS = RHS

أو بضرب جميع الحدود ) للتخلص من الكسور 12بضرب جميع الحدود بالعدد

(بحاصل ضرب كل المقامات

LHS = RHS

36

36

للتخلص من الكسور 8بضرب جميع الحدود بالعدد

LHS = RHS

12. If an integer number is increased by 15 , the result is half

the original number . what is the number ?

ماهو , فإن الناتج يساوي نصف العدد األصلي 15صحيح بمقدار إذا زيد عدد

العدد؟

فإن الناتج يساوي نصف x+15أي 15إذا زيد بمقدار xعدد هو نفرض أن ال

x أي أن

37

37

13. Find two consecutive odd integers such that three times

the smaller one exeeds two times the larger one by 7.

أوجد عددين فرديين متتابعين بحيث أن ثالثة أمثال األصغر يزيد عن ضعف األكبر

, 7بمقدار

فيكون العدد الفردي التالي أي األكبر هو xنفرض أن العدد الفردي األصغر هو

x + 2 3و ثالثة أمثال األصغر أيx 2يزيد عن ضعف األكبر أي( x + 2 )

أي أن 7أي أن ثالثة أمثال األصغر يساوي ضعف األكبر مضافًا إليه 7بمقدار

= 2 + 11ده هو فيكون العدد الفردي الذي بع 11إذًا العدد الفردي األصغر هو

13

وكذلك بالنسبة 2في األعداد الفردية المتتابعة كل عدد يزيد عن سابقه بمقدار

لألعداد الزوجية المتتابعة

14. If the width of rectangle is 5 cm more than one-half its

length and the perimeter is 46 cm . what are the dimensions of

the rectangle ?

46سم ومحيطه يساوي 5إذا كان عرض مستطيل يزيد عن نصف طوله بمقدار

؟( أي الطول والعرض ) ماهي أبعاد المستطيل . سم

لما إستطعنا إيجاد الطول بداللة العرض ولكن xالحظ لو فرضنا أن العرض هو

العكس صحيح

38

38

5ويكون نصف الطول زائد x/2فيكون نصف الطول xنفرض أن الطول هو

ويكون ضعف الطول x/2 + 5يساوي عرض المستطيل أي أن العرض يساوي

زائد ضعف العرض يساوي المحيط أي أن

والعرض يساوي نصف الطول 6ونصف الطول يساوي 12إذًا الطول يساوي

11=5+6أي أن العرض يساوي 5زائد

15. A father is three times as old as his son now , but 15 years

from now he will be only twice as old as his son now at the

same time . How old are they now ?

سنة من اآلن يصبح عمر األب 15 أب عمره اآلن ثالثة أمثال عمر إبنه وبعد

ما عمر كل منهما اآلن ؟. ضعف عمر إبنه

سنة يكون 15و بعد 3xفيكون غمر األب اآلن xنفرض أن عمر اإلبن اآلن

ويكون عمر األب ضعف عمر 3x + 15ويكون عمر األب x + 15عمر اإلبن

إبنه أي

45 = 3.15سنة وعمر األب اآلن 15إذًا عمر اإلبن اآلن

16. Find a number such that 10 less than two – third the

number is one – fourth the number .

يساوي ربع العدد 11ناقص أوجد عدد بحيث أن ثلثي العدد

فيكون xنفرض العدد يساوي

39

39

17. Find four consecutive odd integers so that the sum of the

first three is one more than twice the fourth .

و متتابعة وفردية بحيث أن مجموع الثالثة األول يزيد أوجد أربعة أعداد صحيحة

1عن ضعف الرابع بمقدار العدد

ويكون x + 4ويكون الثالث x + 2فيكون الثاني x نفرض أن العدد األول هو

ويكون مجموع الثالثة األول هو x + 6الرابع

x + x + 2 + x + 4 = 3x + 6 2ويكون ضعف الرابع هو( x + 6 ) = 2x +

ويكون 12

18. Find the dimensions of a rectangle with perimeter of 54

meters , if its length is 3 meters less than twice its width.

إذا كان طوله يقل عن ضعف عرضه , متر 54محيطه أوجد أبعاد المستطيل الذي

.أمتار 3بمقدار

2x - 3ويكون طوله يساوي 2xويكون ضعف عرضه xنفرض أن عرضه

ومنه

17 = 3 – 20 = 3 – 2.10ويكون طوله

41

41

19. The sale price of camera after a 20% discount is SR 72 .

What was the price before the discount ?

ماذا كان . ريال 72من قيمتها هو % 21بعد خصم السعر المخفض آللة تصوير

سعرها قبل التخفيض ؟

– xويكون سعرها بعد التخفيض هو xنفرض أن سعرها قبل التخفيض هو

20% x أي أنx – 20% x = 72 ومنه

في الكتاب 85صفحة ( 2.2) تمارين

In Exercises 1 – 4 , rewrite the following intervals in inequality

notation and graph it on real number line .

أعد كتابة الفترات اآلتية بصيغة المتباينات وارسمها على خط 4 – 1في التمارين

األعداد الحقيقية

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

2.

41

41

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

In exercises 5 – 8 rewrite in interval notation and graph it on

real number line .

أعد الكتابة في صيغة الفترة وارسمها على 8 – 5في التمارين

خط األعداد الحقيقية

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

42

42

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

In exercises 9 – 14 graph the indicated sets and write it as a

single interval , if possible.

ارسم المجموعات المعينة واكتبها كفترة واحدة إن أمكن 14 – 9ي التمارين ف

.ذلك

43

43

في االتحاد إذا كان يوجد عناصر مشتركة بين الفترتين فإن حاصل إتحادهما هي

الفترة التي بدايتها العدد األكبر بين عددي بداية الفترتين

ونهايتها العدد األصغر بين عددي نهاية 7هو 5و 7هنا العدد األكبر بين

-5هو -5و 4الفترتين هنا العدد األصغر بين

أما إذا كان ال يوجد بينهما عناصر مشتركة فإنه ال ( خذ األعداد مع أقواسها )

يمكن كتابة االتحاد كفترة واحدة

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

التقاطع إذا كان يوجد عناصر مشتركة بين الفترتين فإن حاصل تقاطعهما في

هي الفترة التي بدايتها العدد األصغر بين عددي بداية الفترتين

ونهايتها العدد األكبر بين عددي نهاية 5هو 5و 7هنا العدد األصغر بين

4هو -5و 4الفترتين هنا العدد األكبر بين

أما إذا كان ال يوجد بينهما عناصر مشتركة فإن ( ألعداد مع أقواسها خذ ا)

تقاطعهما هو المجموعة الخالية

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

11أنظر التمرين السابق تقاطع

44

44

أنظر , ال يوجد بينهما عناصر مشتركة ال يمكن كتابة االتحاد كفترة واحدة

9التمرين رقم

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

1والعدد األصغر بين النهايتين هو 5اتحاد لذلك العدد األكبر بين البدايتين هو

( 5 , 1 )هي مجموعة جزئية من [ 3 , 2 ]الحظ أن 9أنظر التمرين

11تقاطع أنظر التمرين السابق رقم

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

In Exercises 15 – 26 solve and graph the following inequalities .

حل وارسم المتباينات اآلتية 26 – 15في التمارين

حل المتباينات مثل حل المعادالت فقط االختالف أنه عند الضرب أو القسمة على

عدد سالب نغير إتجاه إشارة المتباينة

45

45

إلى الجهة اليمنى ونغير إشارته -9إلى الجهة اليسرى ونغير إشارتها وننقل العدد 3xننقل

بجانبها ) إذا كان القوس عند رسم بداية الفترة نضع دائرة مفرغة , اآلن ارسم على خط األعداد هذه الفترة

بجانبها ] ونضع دائرة مصمتة إذا كان القوس

أما عندما تكون البداية هي رمز الماالنهاية فتكون [ أو القوس ( وبالمثل عند رسم نهاية الفترة هل هو القوس

نهاية الرسم عبارة عن مستقيم يمتد إلى اليمين وتكون نهايته سهم يشير إلى اليمين وعندما تكون النهاية هي

رمز ناقص الماالنهاية فتكون نهاية الرسم عبارة عن مستقيم يمتد إلى اليسار وتكون نهايته سهم يشير إلى

أنظر الرسومات السابقة , ار اليس

اآلن ارسم هذه الفترة على خط األعداد

noوهذه عبارة غير صحيحة وهذا يعني أنه ال يوجد حل 5الحظ أن الحل إنتهى بأن صفر أكبر من

solution

في الطرف األيمن والوسط لذلك نحل xال حظ أن هنا اآلن وسط وطرفين في المتباينة وبما أنه يوجد المتغير

أواًل المتباينة المكونة من الطرف األيمن والوسط ثم نحل المتباينة المكونة من الوسط والطرف األيسر ثم نجمع

الحلين في فترة واحدة

46

46

إذًا الحل هو

الفترة على خظ األعداد هذه واآلن ارسم

بعد أن نغير إشارتهإلى الطرفين - 7إنتبه هنا ننقل العدد

واآلن ارسم هذه الفترة على خظ األعداد

للتخلص من الكسور ينتج 12بضرب جميع الحدود بالعدد

للتخلص من الكسور ينتج 21بضرب جميع الحدود بالعدد

47

47

للتخلص من الكسور 4بضرب جميع الحدود بالعدد

لذلك غيرنا إتجاه إشارات المتباينات -3إنتبه قسمنا على العدد السالب

للتخلص من الكسور ينتج 3بضرب جميع الحدود بالعدد

للتخلص من الكسور 5بضرب جميع الحدود بالعدد

لذلك غيرنا إتجاه إشارات المتباينات -2إنتبه قسمنا على العدد السالب

للتخلص من الكسور 31بضرب جميع الحدود بالعدد

48

48

لذلك غيرنا اتجاه المتباينة -1ضربنا جميع الحدود بالعدد السالب

للتخلص من الكسور 12بضرب جميع الحدود بالعدد

85صفحة ( 2.3) حل تمارين

EXERCISES (2.3)في الكتاب

page 68

In Exercises 1 – 10 solve the given equation.

.حل المعادلة المعطاة 11 – 1في التمارين

49

49

X = 2 or x= -8

The solution set is { 2 , - 8 }

X+5 = 7 or x+5 = - 7

X=7 – 5 = 2 or x = -7 – 5 = -12

The solution set is { - 12 , 2 }

9

-9 – 9 = -18

K = 0 or k = 18

The solution set is { 0 , 18 }

51

51

2.5 -أكبر من أو تساوي xشرط الحل هو أن تكون قيمة

7 – 3x = 2x + 5 or 7 – 3x = -2x-5

7 – 5 = 2x +3x or 7 + 5 = -2x +3x

2 = 5x or 12 =x

xإذًا شرط الحل محقق لقيمتي

1أكبر من أو تساوي العدد xشرط الحل هو أن تكون قيمة

2x+3 = x-1 or 2x+3 = -x +1

2x –x = -1- 3 or 2x+x=1-3

no solutionالشرط غير محقق لهاتين القيمتين إذًا ال يوجد حل

3x + 5 = 2x + 6 or 3x +5 = - 2x - 6

3x – 2x = 6 – 5 or 3x +2x = -6 – 5

x = 1 or 5x = - 11

51

51

6جميع الحدود بالعدد يضرب

2y = 6 – 5 = 1 or 2y = - 6 – 5 = - 11

-9( 2x + 5 ) =2x - 12 or -9( 2x + 5 ) = - 2x + 12

-18x – 45 = 2x – 12 or -18x – 45 = - 2x + 12

-18x – 2x = 45 – 12 or -18x + 2x = 45 + 12

-20x = 33 or - 16x = 57

لذلك ال يوجد حل 6أكبر من xستكون بالسالب بينما الشرط للحل هو أن تكون xالحظ أن قيم

X – 4 = 16 or x – 4 = - 16

X= 20 or x = - 12

The solution set is { - 12 , 20 }

X – 5 = 6 or x – 5 = - 6

52

52

X = 11 or x = - 1

The solution set is { - 1 , 11 }

In exercises 11 – 20 , write the solution set of the given inequalities in interval

notation

فترة أكتب مجموعة الحل للمتباينات المعطاة في صيغة ال 21 - 11في التمارين

ال تنسى

53

53

حل آخر

تقاطع andإتحاد و orال تنسى

22بالضرب بالعدد

54

54

إذًا تصبح المسألة

ال يوجد حل ألن

91بضرب جميع الحدود بالعدد

55

55

أي أن المتباينة صحيحة ألي عدد حقيقي أي أن

المتباينات من الشكل

m = 45.5توجد باستمرار في االحصاء فإذا كانت

,s=3.2 وn=1 فحل المتباينة بالنسبة لx

22. The daily production p in an automobile assembly plant is within 20 units of

500 units . Express the daily production as an absolute value inequality

عبر عن االنتاج . وحدة منتجة 511وحدة لكل 21لمصنع تجميع عربات هو في مدى pاالنتاج اليومي

.اليومي كمتباينة في القيمة المطلقة

511 – 21و 511+21يتراوح بين pأي أن االنتاج اليومي

أي أن

ينتج( عكس حل المتباينة ) للطرفين والوسط - 511بإضافة

56

56

في الكتاب 58و 58صفحة ( 2.2) تمارين

EXERCISES ( 2.4 ) page 86 , 87

لحل معادلة الدرجة الثانية بالتحليل نقوم بما يلي

نكتب المعادلة في الصورة القياسية أي -1

bوحاصل جمعهما يساوي العدد cو aنبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي حاصل ضرب العددين -2

(األعداد بإشاراتها )

mو nنفرض أن العددين اللذين وجدناهما هما -3

أي mx +nxنضع bxنعيد كتابة المعادلة بداللة هذين العددين أي بدل -4

أو

الترتيب هنا ال يهم كال الحالتين ستعمالن في الخطوات الالحقة

أو بين الحدين nx , cوأكبر عامل مشترك بين الحدين خذ أكبر عامل مشترك بين الحدين -5

mx , cوبين الحدين

من الخطوة السابقة ستجد أنه يمكن أخذ عامل مشترك بحيث تتحول المعادلة إلى حاصل ضرب عاملين -6

72سنحل المثال المحلول في الكتاب صفحة : مثال

c= - 7و b= - 19و a=6المعادلة في الصورة القياسية لذلك

a.c= 6( - 7 ) = - 42

– 19وحاصل جمعهما - 42نريد عددين حاصل ضربهما

حاصل الضرب سالب إذًا أحدهما موجب واآلخر سالب

حاصل الجمع سالب إذًا القيمة المطلقة للعدد السالب أكبر من العدد الموجب

2و - 21من الواضح أن العددين بهذه الخصائص هما

57

57

إذًا

أصبح عامل مشترك أي ( 2x – 7 )الحظ أن

أيضًا عدد إذًا عددان حاصل ضربهما يساوي صفر إذا على األقل أحدهما ( 3x + 1 )عدد و ( 2x – 7 )اآلن

يساوي صفر أي

في الكتاب أي 73صفحة related problem(2)سنحل المعادلة : مثال

و 5y -المعادلة ليست في الصيغة القياسية لذلك نعيد كتابتها في الصيغة القياسية وذلك بنقل الحدين

للجهة اليسرى مع تغيير إشا رتيهما+ 3

a=2 , b=5 , c= - 3 , a.c= - 6

5وحاصل جمعهما - 6عددان حاصل ضربهما

إذًا أحدهما موجب واآلخر سالبحاصل الضرب سالب

حاصل الجمع موجب إذًا العدد الموجب أكبر من القيمة المطلقة للعدد السالب

– 1و 6من الواضح أن العددين هما

58

58

In Exercises 1 – 4 , solve the following equations by factoring.

حل المعادالت اآلتية بالتحليل 4 – 1في التمارين

a=1 , b= - 2 , c= - 3 , a.c = - 3

1و -3أن العددين هما من الواضح

X +1 =0 or x-3 = 0

X= - 1 or x = 3 , the solution set is { - 1 , 3 }

للتأكد

The solution set is { 0 , 4 }

59

59

The solution set is { 5 , - 5 }

ال تنسى

In Exercises 5 – 8 , solve the following equations by completing the

square.

بإكمال المربعحل المعادالت اآلتية 8 – 5في التمارين

4أي yاآلن نضيف إلى الطرفين مربع نصف معامل

اآلن أصبح الطرف األيمن مربع كامل أي من الشكل

4أي yاآلن نضيف إلى الطرفين مربع نصف معامل

3

اآلن أصبح الطرف األيمن مربع كامل أي من الشكل

61

61

جذر مكرر

In Exercises 9 - 12 , solve the following equations by quadratic formula.

بالقانون حل المعادالت اآلتية 12 – 9 في التمارين

في القانون ال تنس إشارة الناقص إذا كان العدد سالب a , b , c إنتبه عند تعويض قيم

61

61

ويرمز لها بالرمز discriminantبالمميز تسمى الكمية

أي أن

فإن للمعادلة جذرين حقيقيين مختلفين هما إذا كانت

فإن للمعادلة جذر حقيقي واحد ومكرر وهو إذا كانت

هما مركبين كل منهما مرافق لآلخر وفإن للمعادلة جذرين إذا كانت

حتى يسهل الحساب وتتضح الصورة دائما إبدأ بحساب

جذرين حقيقيين مختلفين هما

62

62

جذرين حقيقيين مختلفين هما

جذرين مركبين مترافقين

63

63

In Exercises 13 – 21 solve the following equations by any method

حل المعادالت اآلتية بأي طريقة 21 - 13في التمارين

i

I

}

64

64

a=1 , b = -4 , c= 8

A= 1 , b = 48 , c = - 100

48ومجموعهما - 111عددان حاصل ضربهما

– 2و 51واضح أنهما

65

65

66

66

22. Consider the quadratic equation

Where c is a real number . Discuss the relationship between the value of

c and the three types of roots .

إعتبر معادلة الدرجة الثانية

وأنواع الجذور الثالثة cناقش العالقة بين قيمة . عدد حقيقي cحيث

4 – 4c =0 , 4 = 4c , c=1

حقيقي واحد مكرر أيويكون للمعادلة جذر =0تكون c = 1 إذًا عندما

67

67

4 – 4c > 0 , 4 > 4c , 1 > c , c<1

همامختلفين ويكون للمعادلة جذرين حقيقيين >0تكون c<1عندما

4 – 4c < 0 , 4 < 4c , 1 < c , c>1

ويكون للمعادلة جذرين مركبين مترافقين هما <0تكون c>1عندما

لمعادلةن لجذري x2و x1 وضح أنه إذا كانت

فإن

إذًاجذرين للمعادلة x2و x1 بما أن

68

68

بالجمع ينتج

بالضرب ينتج

ال تنسى

ال تنسى أن

24. Find the two numbers such that their sum is 21 and their product is

104.

114وحاصل ضربهما 21أوجد عددين بحيث أن مجموعهما

yو xنفرض أن العددين هما

Y + x = 21 , y= 21 – x , xy = 104 , x(21 – x) = 104

69

69

8+13=21 , 8(13)=105

25. Find two consecutive positive even integers whose product is 168.

168أوجد عددين متتابغين وموجبين وزوجيين وصحيحين وحاصل ضربهما

ومنه x + 2فيكون العدد الثاني x نفرض العدد أألول

14 = 2 + 12و 12غير مقبول ألنه ليس موجب والحل هو - 14العدد

26. Find the base b and the height h of a triangle with an area of 8

square feet if its base equal its height and the formula of the area

أقدام مربعة إذا كانت قاعدته تساوي 8لمثلث مساحته hواالرتفاع bأوجد القاعدة

إرتقاعه وقانون المساحة هو

القاعدة تساوي االرتفاع إذًا بما أن

71

71

27. If a projectile is shot vertically into the air ( from the ground ) with

an initial velocity of 176 feet per second , its distance y ( in feet ) above

the ground t second after it is shot is given by

a. Find the time when y = 0 and interpret the results physically.

b. Find the times when the projectile is 16 feet off the ground .

( compute answers to two decimal places.

قدم في الثانية 176بسرعة إبتدائية قدرها ( من األرض ) إذا أطلقت قذيفة في الهواء عموديًا

معادلةثانية تعطى بال tفوق األرض بعد أطالقها بمقدار ( بالقدم ) yومسافتها

بإهمال مقاومة الهواء

.وفسر النتائج فيزيائيًا y=0أوجد الزمن عندما . أ

إحسب األجوبة مقربة. ) قدم فوق األرض 16أوجد األوقات عندما تكون القذيفة . ب

(.خانتين

لحظة إنطالق القذيفة من األرض كان الزمن صفر وعند العودة إلى األرض بعد االنطالق

ثانية 11أي أنها ظلت في الهواء ثانية 11كان الزمن