Pratique US

Pratique des mesures ultrasonores

Marc François

Laboratoire FAST, Univ. Paris XI, [email protected]

Polycopiés en pdf :http://www.fast.u-psud.fr/~francois/

2.4 Équation et tenseur de Christoffel

On injecte la forme de l’onde plane (65) dans l’équation de propagation (64). Et on s’accroche pour le calcul

suivant. Notons que l’on suppose ici que �a ne dépends ni de xp ni de t (conservation de l’énergie). Pour le

premier membre :

uk = ak f�t −

npxp

C

�(66)

uk,l = −ak

npδpl

Cf �

�t −

npxp

C

�

uk,l = −ak

nl

Cf �

�t −

npxp

C

�(67)

uk,lj = ak

nl

C

npδpj

Cf ��

�t −

npxp

C

�

uk,lj = ak

njnl

C 2f ��

�t −

npxp

C

�(68)

Cijkluk,lj = Cijklak

njnl

C 2f ��

�t −

npxp

C

�(69)

(70)

Quand au second

ui,tt = ai f ��t −

npxp

C

�(71)

(72)

On peut alors égaliser et, pour une onde à accélération f ��non identiquement nulle, il vient :

Cijklak

njnl

C 2= ρai

njCijklnlak = ρC 2ai

njCjiklnlak = ρC 2ai (73)

Il suffit d’observer l’écriture intrinsèque de cette équation pour exhiber le tenseur acoustique (tenseur de Chris-

toffel), du second ordre Γ. Et on se rend compte que la direction de vibration des particules �a n’est pas quel-

conque : c’est un vecteur propre de Γ.

�n.C.�n.�a = ρC 2�a (74)

Soit, pour bien voir les choses :

Γ = �n.C.�n (75)

Γ.�a = ρC 2�a (76)

2.5 Conséquences de cette équation

Commençons par montrer que Γ est un tenseur symétrique. Commençons par inverser les indices muets i

et l :

Γjk = niCijklnl (77)

= nlCljkini

Ensuite on exploite les grandes et petites symétries de C :

Γjk = nlCkiljni

= niCikjlnl

Γjk = Γkj

12

} C(n)

Que peut-t-on faire!?

• Propagation influencée par C :

→ mesure de C

• Réflexion et réfraction sur les interfaces!:→ contrôle non destructif→ sonar→ échographie

Comment créer des ondes élastiques!?

• Le son (20-20k) Hz

• Les ultrasons (20k-1M-500M) Hz

• Les chocs

• Les explosions

• Les séismes (1-10 Hz)

• Voix, haut-parleurs, machines…

• Piézoélectricité

• Impacteur

• Explosifs

• Naturels!!

Piézo-électricité

Principe

• 1817, Abbé R. J. Haüy

• 1880, P. et J. CurieWikipedia

Tourmaline Quartz

Signes…

PZT (titano-zirconate de plomb)• Céramiques piézoélectriques «optimales»

• Conversion tension - déformation

Haut parleur d’aigus (tweeter) Capteur de pression Platine piézo(précision 0,1 nm)

Des pastilles en PZT1"

Équations en 1D

D = dσ + �T e

ε = sEσ + de l

u

e=ul

D déplacement électriqueε déformationσ contraintee champ électriquese complaisance (1/E)

Using equations (28, 29) in (30) comes:

ue = −σ

d

�L

E+ 2ls

E − ld2

�T

�(31)

ε � − d

Lue (32)

Mechanical and piezoelectrical properties of interest (for the axial discmotion mode) of the used PZT (PI Ceramics type PIC255) are presentedtable (2). They allow to neglect the two last members of (31) as, for atypically high modulus for wood of 10 GPa and retained lengths (L=55mm,l=4mm), their value are respectively (5.5, 0.17, -0.04)10−12. This lead to theapproximation (32) that shows that the imposed tension ue is proportionalto the specimen’s strain ε.

Table 2: PIC255 properties

sE33 �T

33 d33

20.7 10−12 m2N−1 1750 �0 = 15.5 10−9 Fm−1 400 10−12 CN−1

With previous values and ue = 220 V, the stress and strain state in thespecimen is σ = 16 kPa and ε = 1.610−6, a weak value is compatible withdynamic stress in musical instruments. Using (31 and 27) leads to the thefollowing expression for the specimen’s Young’s modulus:

E =Gur/ue

1 + Hur/ue(33)

G =�T

L

d2l(34)

H = 1− 2sE�T

d2(35)

Approximation used in (32) corresponds to H = 0. Figure (5) illustratesthe quality of the approximation: for E=1 GPa, the relative error on E

is 0.23% and 2.2% for E=10 GPa. As primary function of the device isnot the Young modulus measurement, this hypothesis will be done in nextpart. Nevertheless, for the aluminium reference specimen, the high modulusE=72GPa needs to consider H. Concerning G, which has major role, it is

13

Fonctionnementen récepteur

D = dσ + �T e

ε = sEσ + de

ur

σ

ur = − ld

�Tσ

D=0 (haute impédance)

PIC 255 : 25 V/Mpa (pour l=1mm)

e=ue

l

Fonctionnement en émetteur ur

σD = dσ + �T e

ε = sEσ + de

εe = sEσ +d

lue

e=ue

l

PIC 255 : déformation élec. de 4.10-7/volt (pour l=1mm)

déformationmécanique

déformationélectrique

Les composants

La chaîne de mesures

géné. de signal 5V

ampli HTn.100V

transd.emett.

transd.récept.matériau

oscilloscope

voie 1 ou synchrovoie 2

0E

+0

1E

-5

2E

-5

3E

-5

4E

-5

5E

-5

temps (s)

inte

nsi

té (

U.A

rbit

rair

es)

signal quasi-longitudinal

deux signaux quasi-tranverses

(conditionneur)

Un transducteur

céramique PZTPanametrics

le signal et la réponse du capteur

Panametrics V153 1-0,5 : FC 1 MHz- BP 0,5 Mhz à -6 dB

certificat fourni par le constructeur

réponse à un “dirac” électrique (±100V) bande passante

Les types de mesures

Echelle1:1

REP. NB. DESIGNATION MATIERE OBS.

MONTAGE DE MESURESVISCOELASTIQUES

A4

Dessiné par:

François

Le: 26/11/02

1

2

3

1

2

6

TUBE 27 kHz bruni

VIS ChC M4-20

Vis HC M4-25

4 6 ECROU HM4

XC 10

1

2

3

4

A B C

A B

C

eprouvette

téton possible

Révision du 25/04/03

Echelle1:1

REP.NB.DESIGNATIONMATIEREOBS.


A4

Dessiné par:

François

Le: 26/11/02

1

2

3

1

2

6

TUBE 27 kHzbruni

VIS ChC M4-20

Vis HC M4-25

46ECROU HM4

XC 10

1

2

3

4

ABC

AB

C

eprouvette

téton possible


Echelle1:1



A4

Dessiné par:

François

Le: 26/11/02

1

2

3

1

2

6

TUBE 27 kHz bruni

VIS ChC M4-20

Vis HC M4-25

4 6 ECROU HM4

XC 10

1

2

3

4

A B C

A B

C

eprouvette

téton possible


Echelle1:1



A4

Dessiné par:

François

Le: 26/11/02

1

2

3

1

2

6

TUBE 27 kHzbruni

VIS ChC M4-20

Vis HC M4-25

46ECROU HM4

XC 10

1

2

3

4

ABC

AB

C

eprouvette

téton possible


incidence normalecontact direct immersion

Technical Notes4.TRANSDUCER SPECIFIC PRINCIPLES

a.Dual Element TransducersDual element transducers utilize separate transmitting and receivingelements, mounted on delay lines that are usually cut at an angle (see diagram on page 6). This configuration improves near surfaceresolution by eliminating main bang recovery problems. In addition, the crossed beam design provides a pseudo focus that makes dualsmore sensitive to echoes from irregular reflectors such as corrosionand pitting.One consequence of the dual element design is a sharply defineddistance amplitude curve. In general, a decrease in the roof angle or an increase in the transducer element size will result in a longerpseudo-focal distance and an increase in useful range, as shown inFigure (13).

Fig. 13

b.Angle Beam TransducersAngle beam transducers use the principles of refraction and modeconversion to produce refracted shear or longitudinal waves in the testmaterial as shown in Figure (14).

Fig. 14

The incident angle necessary to produce a desired refracted wave (i.e. a 45° shear wave in steel) can be calculated from Snell’s Law as shown in Equation (12). Because of the effects of beam spread,this equation doesn't hold at low frequency and small active elementsize. Contact Panametrics for details concerning these phenomena.

Eqn. 12 SinU i/ci = SinU rl/crl = SinU rs/crs

U i = Incident Angle of the WedgeU rl = Angle of the Refracted Longitudinal WaveU rs = Angle of the Refracted Shear Waveci = Velocity of the Incident Material

(Longitudinal)crl = Material Sound Velocity

(Longitudinal)crs = Velocity of the Test Material (Shear)

Figure (15) shows the relationship between the incident angle and the relative amplitudes of the refracted or mode convertedlongitudinal, shear, and surface waves that can be produced from a plastic wedge into steel.

Fig. 15

Angle beam transducers are typically used to locate and/or size flawswhich are oriented non-parallel to the test surface. Following are someof the common terms and formulas used to determine the location of a flaw.

Fig. 16

PAGE 36!

TECHNICAL NOTES

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

D7075 5.0 MHz 0 DEG.

D7077 5.0 MHz 3.5 DEG.

D7078 5.0 MHz 2.6 DEG.

D7075

D7078

D7077

LINEAR DISTANCE AMPLITUDE ON STEEL

DISTANCE (INCHES)

AM

PL

ITU

DE

(%

)

Technical Notes4.TRANSDUCER SPECIFIC PRINCIPLES

a.Dual Element TransducersDual element transducers utilize separate transmitting and receivingelements, mounted on delay lines that are usually cut at an angle (see diagram on page 6). This configuration improves near surfaceresolution by eliminating main bang recovery problems. In addition, the crossed beam design provides a pseudo focus that makes dualsmore sensitive to echoes from irregular reflectors such as corrosionand pitting.One consequence of the dual element design is a sharply defineddistance amplitude curve. In general, a decrease in the roof angle or an increase in the transducer element size will result in a longerpseudo-focal distance and an increase in useful range, as shown inFigure (13).

Fig. 13

b.Angle Beam TransducersAngle beam transducers use the principles of refraction and modeconversion to produce refracted shear or longitudinal waves in the testmaterial as shown in Figure (14).

Fig. 14

The incident angle necessary to produce a desired refracted wave (i.e. a 45°shear wave in steel) can be calculated from Snell’s Law as shown in Equation (12). Because of the effects of beam spread,this equation doesn't hold at low frequency and small active elementsize. Contact Panametrics for details concerning these phenomena.

Eqn. 12SinUi/ci=SinUrl/crl= SinUrs/crs

Ui=Incident Angle of the WedgeUrl=Angle of the Refracted Longitudinal WaveUrs=Angle of the Refracted Shear Waveci=Velocity of the Incident Material

(Longitudinal)crl=Material Sound Velocity

(Longitudinal)crs=Velocity of the Test Material (Shear)

Figure (15) shows the relationship between the incident angle and the relative amplitudes of the refracted or mode convertedlongitudinal, shear, and surface waves that can be produced from a plastic wedge into steel.

Fig. 15

Angle beam transducers are typically used to locate and/or size flawswhich are oriented non-parallel to the test surface. Following are someof the common terms and formulas used to determine the location of a flaw.

Fig. 16

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TECHNICAL NOTES

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40

30

20

10

0

00.511.522.533.544.55

D7075 5.0 MHz 0 DEG.

D7077 5.0 MHz 3.5 DEG.

D7078 5.0 MHz 2.6 DEG.

D7075

D7078

D7077

LINEAR DISTANCE AMPLITUDE ON STEEL

DISTANCE (INCHES)

AMPLITUDE (%)

incidence obliquecontact direct immersion

Echelle1:1



A4

Dessiné par:

François

Le: 26/11/02

1

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3

1

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TUBE 27 kHz bruni

VIS ChC M4-20

Vis HC M4-25

4 6 ECROU HM4

XC 10

1

2

3

4

A B C

A B

C

eprouvette

téton possible


Echelle1:1



A4

Dessiné par:

François

Le: 26/11/02

1

2

3

1

2

6

TUBE 27 kHzbruni

VIS ChC M4-20

Vis HC M4-25

46ECROU HM4

XC 10

1

2

3

4

ABC

AB

C

eprouvette

téton possible


Le faisceau

«grosse» pastille :faisceau collimaté - cherpastilles convexes

l =d2 − λ2

4λ(1)

1

sin(γ) = 1, 2λ

DD

l

Quelle fréquence ?

• soit d taille d’un défaut

• λ<<d : il se comporte en miroir : CND

• λ>>d : l’onde «voit» un milieu homogène équivalent : mesures de module

• λ≈d : l’onde peut être absorbée (principe de la digue)

Le contrôle non destructif (CND)

Mesureur d’épaisseur

• mesure du temps de vol

• célérité «donnée»

• Docs. Sofranel

• http://www.sofranel.com/

Détecteurs de défaut

• Un défaut se comporte en miroir pour l’ultrason.

• Il réduit le temps de vol.

Avec précautions…

Pb. surface inclinée

Pb. ouverture du faisceau

A-scan

l =d2 − λ2

4λ(1)

sin(γ) = 1, 2λ

D(2)

A-scani(t) (3)

1

t

En abscisse on a une conversion directe en distance : x=Ct

balayage en x : B-scan

l =d2 − λ2

4λ(1)

sin(γ) = 1, 2λ

D(2)

A-scani(t) (3)

VL =x

t1(4)

VT =x

t2(5)

(6)

E = ρV 2T

�3V 2

L − 4V 2T

V 2L − V 2

T

�

(7)

ν =V 2

L − 2V 2T

2 (V 2L − V 2

T )(8)

B-scani(x, t) (9)

1

x

t

balayage en x

A-scanen niveaux de gris

l =d2 − λ2

4λ(1)

sin(γ) = 1, 2λ

D(2)

A-scani(t) (3)

VL =x

t1(4)

VT =x

t2(5)

(6)

E = ρV 2T

�3V 2

L − 4V 2T

V 2L − V 2

T

�

(7)

ν =V 2

L − 2V 2T

2 (V 2L − V 2

T )(8)

B-scani(x, t) (9)

y ≈ Ct (10)

C-Scani(x, t) (11)

1

profondeurombre

flaw : défaut

Un exemple de B-scan

L’échographie médicale

l =d2 − λ2

4λ(1)

sin(γ) = 1, 2λ

D(2)

A-scani(t) (3)

VL =x

t1(4)

VT =x

t2(5)

(6)

E = ρV 2T

�3V 2

L − 4V 2T

V 2L − V 2

T

�

(7)

ν =V 2

L − 2V 2T

2 (V 2L − V 2

T )(8)

B-scani(x, t) (9)

y ≈ Ct (10)

t(θ) ≈ r(θ)

C(11)

C-Scani(x, t) (12)

1

l =d2 − λ2

4λ(1)

sin(γ) = 1, 2λ

D(2)

A-scani(t) (3)

VL =x

t1(4)

VT =x

t2(5)

(6)

E = ρV 2T

�3V 2

L − 4V 2T

V 2L − V 2

T

�

(7)

ν =V 2

L − 2V 2T

2 (V 2L − V 2

T )(8)

B-scani(x, t) (9)

y ≈ Ct (10)

t(θ) ≈ r(θ)

C(11)

C-Scani(x, t) (12)

1

Balayage x-y le C-scan

l =d2 − λ2

4λ(1)

sin(γ) = 1, 2λ

D(2)

A-scani(t) (3)

VL =x

t1(4)

VT =x

t2(5)

(6)

E = ρV 2T

�3V 2

L − 4V 2T

V 2L − V 2

T

�

(7)

ν =V 2

L − 2V 2T

2 (V 2L − V 2

T )(8)

B-scani(x, t) (9)

y ≈ Ct (10)

t(θ) ≈ r(θ)

C(11)

C-Scanimax(x, y) (12)

1En chaque point (A-scan…) on retient l’intensité max.Si «faiblesse» : absorption, moins d’intensité.

x

y

Exemples de C-scans

composite délaminé

brasure sur cuivre

D-scans

l =d2 − λ2

4λ(1)

sin(γ) = 1, 2λ

D(2)

A-scani(t) (3)

VL =x

t1(4)

VT =x

t2(5)

(6)

E = ρV 2T

�3V 2

L − 4V 2T

V 2L − V 2

T

�

(7)

ν =V 2

L − 2V 2T

2 (V 2L − V 2

T )(8)

B-scani(x, t) (9)

y ≈ Ct (10)

t(θ) ≈ r(θ)

C(11)

C-Scanimax(x, y) (12)

D-Scantmin(x, y) (13)

1

En chaque point (A-scan…) on retient le temps de volSi fissure : temps de vol (mini) écourté

D-scan (t min)

Ultrasonic testing of composite castingsAuthors J. Pohl, D. Wiedemann, K.-O. Prietzel

C-scan (max i)Incidences obliques

sabot

conversion de modes dépend de l’angle

Ondes de surface

longitudinales (P) transverses (S)

de Rayleigh de Love

de surface

http://www.geo.uib.no/jordskjelv/index.php?topic=earthquakes&lang=en

Applications

Détection de défautsperpendiculaires à la surface

contrôle de soudures

Autres méthodes acoustiques

Sonar

• dès 1915

• couches thermiques : variations de célérité

écholocation

dans la nature…

cartographie sous-marine…

Microscopie acoustique

table XY et sondetransd. focalisé

Grains d’un acier Défauts cachés

Au laboratoire (aujourd’hui…)

!T

"

x1

x2

e

Eprouvette

Transducteurlongitudinal

Bain liquide thermostaté Génération designal impulsionnel

et acquisition

I tQT

QL!L

tran

slat

ion

par identification des surfaces de lenteur!:application : composites

Mesure de C anisotrope

Mesure de C anisotrope

par propagation dans différentes directions de l’espace :identification de C par problème inverseapplication : roches, bois

86 29 31 1 2 −229 66 23 −1 1 432 23 67 1 1 −21 −1 1 21 −3 −02 1 1 −3 25 −3−2 4 −2 −0 −3 23

Tenseur d’élasticité du marbre de Carrare

2.3 Publications

Chapitre d’ouvrage

M. FRANÇOIS ET G. ROYER CARFAGNI, 2005. Mechanical Modelling and Computational Issues in CivilEngineering, tome 23 de Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, chapitre Material Da-mage Description via Structured Deformations, pages 235–253. Éditeurs : Michel Frémond et FrancoMaceri. Springer. DOI 10.10073-540-32399-6_11

Revues internationales à comité de lecture

S. LE CONTE, S. VAIDELICH ET M. FRANÇOIS, 2007. A wood viscoelasticity measurement technique andapplications to musical instruments : first results. J. Violin Soc. Am. : VSA Papers, 21(1) :1–7.

M. FRANÇOIS, Mai 2008. A new yield criterion for the concrete materials. Comptes rendus - Mécanique,336(5) :417–421.

M. FRANÇOIS, 2007. Behavior of cracked materials. Key Engineering Materials, 349 :589–592.

A. OUGLOVA, Y. BERTHAUD, F. FOCT, M. FRANÇOIS, F. RAGUENEAU ET I. PETRE-LAZAR, june 2008. Theinfluence of corrosion on bond properties between concrete and reinforcement in concrete structures.Materials and Structures (RILEM), 41 :969–980

A. OUGLOVA, Y. BERTHAUD, M. FRANÇOIS ET F. FOCT, 2006. Mechanical properties of an iron oxide for-med by corrosion in reinforced concrete structures. Corrosion Science, 48 :3988–4000.

M. FRANÇOIS ET G. ROYER CARFAGNI, 2005. Structured deformation of damaged continua with cohesive-frictional sliding rough fractures. Eur. J. of Mech. A/Solids, 24 :644–660.

M. FRANÇOIS, 2001. A plasticity model with yield surface distortion for non proportional loading. Int. J.Plast., 17(5) :703–718.

M. FRANÇOIS, G. GEYMONAT ET Y. BERTHAUD, 1998. Determination of the symmetries of an experimen-tally determined stiffness tensor ; application to acoustic measurements. Int. J. Solids and Structures,35 :31–32.

M. FRANÇOIS, Y. BERTHAUD ET G. GEYMONAT, 1996. Une nouvelle analyse des symétries d’un matériauélastique anisotrope. exemple d’utilisation à partir de mesures ultrasonores. C.R. Mécanique, 322 :87–94.

Revues nationales à comité de lecture

A. OUGLOVA, M. FRANÇOIS, Y. BERTHAUD, S. CARÉ ET F. FOCT, 2006. Mechanical properties of an ironoxide formed by corrosion in reinforced concrete structures. Journal de Physique IV, 136 :99–107.

M. FRANÇOIS, 2000. Vers une mesure non destructive de la qualité des bois de lutherie. Revue descomposites et des matériaux avancés, 10 :261–279.

11

Identification de la viscoélasticité

par mesure du déphasage contrainte-déformationApplication : bois de lutherie, polymères ?

1A B C

transducteur

eprouvette

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20!0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Loss angle (°)

Frequency (kHz)

Lo

ss a

ng

le d

iscre

pa

ncy (

°)

Angle de perte d’un épicéa réticulé

2.3 Publications

Chapitre d’ouvrage

M. FRANÇOIS ET G. ROYER CARFAGNI, 2005. Mechanical Modelling and Computational Issues in CivilEngineering, tome 23 de Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, chapitre Material Da-mage Description via Structured Deformations, pages 235–253. Éditeurs : Michel Frémond et FrancoMaceri. Springer. DOI 10.10073-540-32399-6_11

Revues internationales à comité de lecture

S. LE CONTE, S. VAIDELICH ET M. FRANÇOIS, 2007. A wood viscoelasticity measurement technique andapplications to musical instruments : first results. J. Violin Soc. Am. : VSA Papers, 21(1) :1–7.

M. FRANÇOIS, Mai 2008. A new yield criterion for the concrete materials. Comptes rendus - Mécanique,336(5) :417–421.

M. FRANÇOIS, 2007. Behavior of cracked materials. Key Engineering Materials, 349 :589–592.

A. OUGLOVA, Y. BERTHAUD, F. FOCT, M. FRANÇOIS, F. RAGUENEAU ET I. PETRE-LAZAR, june 2008. Theinfluence of corrosion on bond properties between concrete and reinforcement in concrete structures.Materials and Structures (RILEM), 41 :969–980

A. OUGLOVA, Y. BERTHAUD, M. FRANÇOIS ET F. FOCT, 2006. Mechanical properties of an iron oxide for-med by corrosion in reinforced concrete structures. Corrosion Science, 48 :3988–4000.

M. FRANÇOIS ET G. ROYER CARFAGNI, 2005. Structured deformation of damaged continua with cohesive-frictional sliding rough fractures. Eur. J. of Mech. A/Solids, 24 :644–660.

M. FRANÇOIS, 2001. A plasticity model with yield surface distortion for non proportional loading. Int. J.Plast., 17(5) :703–718.

M. FRANÇOIS, G. GEYMONAT ET Y. BERTHAUD, 1998. Determination of the symmetries of an experimen-tally determined stiffness tensor ; application to acoustic measurements. Int. J. Solids and Structures,35 :31–32.

M. FRANÇOIS, Y. BERTHAUD ET G. GEYMONAT, 1996. Une nouvelle analyse des symétries d’un matériauélastique anisotrope. exemple d’utilisation à partir de mesures ultrasonores. C.R. Mécanique, 322 :87–94.

Revues nationales à comité de lecture

A. OUGLOVA, M. FRANÇOIS, Y. BERTHAUD, S. CARÉ ET F. FOCT, 2006. Mechanical properties of an ironoxide formed by corrosion in reinforced concrete structures. Journal de Physique IV, 136 :99–107.

M. FRANÇOIS, 2000. Vers une mesure non destructive de la qualité des bois de lutherie. Revue descomposites et des matériaux avancés, 10 :261–279.

11

Mesure de la masse volumique ρ

ρ =m

V

Pesée directe• si la géométrie est

simple

• V=xyz…

• balance de précision

• calcul d’erreur

au microgramme

au milligramme

mesure par immersion• Balance de Mohr

• Si géométrie compliquée

• Pesée P

• Pesée immergée P1

• Attention si porosité…

Pycnomtre

P = ρgV (14)

P1 = ρgV − ρ0gV (15)P1

P=

ρ− ρ0

ρ(16)

ρ = ρ0P

P − P1(17)

2

Pycnomtre

P = ρgV (14)

P1 = ρgV − ρ0gV (15)P1

P=

ρ− ρ0

ρ(16)

ρ = ρ0P

P − P1(17)

2

Pycnomtre

P = ρgV (14)

P1 = ρgV − ρ0gV (15)P1

P=

ρ− ρ0

ρ(16)

ρ = ρ0P

P − P1(17)

2

Bibliographie

• Dieulesaint et Royer Ondes élastiques dans les solides, Masson 1974

• Krautkramer Ultrasonic testing of materials, Springer 1977

• http://measure.feld.cvut.cz/groups/edu/diag.sys/Zadani/Ultrazvuk1/PAN-NDTechNote.pdf

• http://www.piceramic.com/ (pastilles PZT)

• http://www.sofranel.com/ (revendeur France)

• http://www.olympus-ims.com/en/panametrics-ndt-ultrasonic/ (transducteurs Panametrics)

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