PRCTICA 3

CURSO DE VERANO III/2014

CLCULO II (Ing. COMERCIAL)

Lic: BLADIMIR ARIAS MEJIA

Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11) Se estima que la produccin semanal en cierta planta est dada por la funcin:

( ) [unidades], donde x es el nmero de trabajadores calificados y y es el

nmero de trabajadores no calificados empleados en la planta. En la actualidad, la fuerza laboral est conformada por

30 trabajadores calificados y 60 no calificados. Aplique el anlisis marginal para calcular el cambio resultante en la

produccin semanal al adicionar un trabajador calificado, si el nmero de trabajadores no calificados no cambia.

12) Una empresa estima que el nmero de unidades que vende cada ao es una funcin de los gastos de publicidad por

radio y televisin. La funcin que expresa esta relacin es:

Donde z es el nmero de unidades vendidas, x indica la cantidad destinada a la publicidad por TV y y la cantidad

que se gasta en publicidad por radio ( las dos en miles de dlares). Actualmente la firma est destinando 60000 $us a

la publicidad de TV y 30000 $us a la publicidad por radio.

a) Cules se espera que sean las ventas anuales?

b) Estime el efecto en las ventas anuales, si se asignan 1000 $us ms a la publicidad por TV.

c) Estime el efecto en las ventas anuales, si se asignan 1000 $us ms a la publicidad por radio.

d) En qu tipo de publicidad se obtiene mayores resultados con una inversin de 1000 $us?

13) Una empresa fabrica dos tipos de esqus, el modelo A y el B. Suponga que la funcin de costos conjuntos de producir

x pares de A y y pares de B por semana es: ( ) . Determine los costos

marginales cuando y e interprete los resultados.

14) La funcin de cierta empresa est dada por: ( ) . Donde P es la produccin

semanal en miles de unidades, L es el tamao de la fuerza laboral dada en miles de horas-hombre por semana y K es

la inversin de capital en miles de $us por semana. Determine las productividades marginales, cuando L = 5 y K=12 e

interprete los resultados.

15) En cierta fbrica la produccin diaria es ( )

unidades, donde K representa la inversin de capital

medida en unidades de Bs 1000 y L el tamao de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Suponga que la

inversin de capital actual es de bs 900000 y que utilizan 1000 horas-trabajador de mano de obra cada da. Aplique el

anlisis marginal para calcular el efecto provocado en la produccin diaria por la inversin adicional de capital de Bs

1000, si el tamao de la fuerza laboral no cambia.

F x y( ) x3

y6

x5

y7

x8

y6

F x y( ) x2y 5

x 7

y 5x y

F x y( ) x2

5 7

y3

2y 100

F x y( ) 2x 5( )2x y

5x

2y

cos x2

y3

ln x3 y6 x

F x y( ) 7 y 5( )2 x

3 y

7x cos y( )

sin x2

y3

ln x3y F x y( ) sin x

5y

7 x2y ycos x( )

F x y( ) sin x2

y7 x y

22

y3

1 cos x( )

F x y( ) cos 2x 3y ln x7y5 2x 4y F x y z( ) cos 2x 3z

5y ln x7 y5 2z7 4y

F x y z( ) x3

y5

x5

z7

y6

z5

16) La utilidad diaria que un tendero obtiene por la venta de dos marcas de jugo de naranja es:

( ) ( )( ) ( )( )

Centavos, donde x es el precio por lata de la primera marca y y es el precio por lata de la segunda marca. En la

actualidad la primera marca se vende a 50 centavos la unidad y la segunda en 52 centavos la unidad. Aplique l anlisis

marginal para calcular el cambio resultante en la utilidad diaria si el tendero aumenta en un centavo por lata el precio

de la segunda marca, pero no cambia el precio de la primera marca.

17) Las demandas de los productos A y B estn dadas por las funciones:

En donde pA y pB son los precios unitarios de A y B, respectivamente. Determine las cuatro funciones de demanda

marginal e investigue si los productos A y B son competitivos o complementarios entre s.

18) Las demandas de los productos A y B estn dadas por las funciones:

En donde pA y pB son los precios unitarios de A y B, respectivamente. Determine las cuatro funciones de demanda

marginal e investigue si los productos A y B son competitivos o complementarios entre s.

19) Las demandas de los productos A y B estn dadas por las funciones:

En donde pA y pB son los precios unitarios de A y B, respectivamente. Determine las cuatro funciones de demanda

marginal e investigue si los productos A y B son competitivos o complementarios entre s.

20) Hallar las derivadas parciales de segundo orden de las siguientes funciones:

a)

b)

c)

d) Q x y( ) e

x2

y2

e)

21) Hallar

si: ; ;

22) Hallar

si: ; ;

23) Hallar

si: ( ) ; ;

24) Hallar

si: ( ) ; ;

25) Una farmacia vende 2 tipos de vitaminas mltiples, la marca A y la marca B. Las cifras de ventas indican que si la

marca A se vende a x dlares al frasco y la marca B a y dlares el frasco, la demanda de la marca A ser:

( ) frascos por mes. Se estima que dentro de t meses el precio de la marca A ser

dlares por frasco y el precio de la marca B ser: dlares por frasco. A qu razn

cambiar la demanda de la marca A con respecto al tiempo dentro de 4 meses?

26) La demanda de cierto producto es ( ) unidades por mes, donde x es el precio del

producto y y el precio de un producto competidor. Se estima que dentro de t meses el precio del producto

competidor ser x=10+0.5t dlares por unidad, mientras que el precio del producto competidor ser y=12.8+0.2 t2

dlares por unidad. A qu razn cambiar la demanda del producto con respecto al tiempo dentro de 4 meses?

27) Calcular la diferencial total de las siguientes funciones:

a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( )

Q x y( ) 10 x y 5 x2

20 x 7 y2

240 y 5300

Q x y( ) x4

y5

x6

y3

Q x y( ) x2

3 2y 3

Q x y( ) sin x2

y3

28) En cierta fbrica la produccin es unidades, donde K representa la inversin de capital en unidades

de 1000 $us y L el tamao de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Actualmente la inversin de capital es

400000 $us y se emplean 1000 horas-trabajador. Aplique la diferencia total de Q para estimar el cambio resultante en

la produccin si la inversin del capital aumenta en 500 $us y la mano de obra se incrementa en 4 horas-trabajador.

29) La lata de una bebida gaseosa (de forma cilndrica) tiene 12 cm de alto y un radio de 3 cm. El fabricante planea

reducir la altura de la lata en 0.2 cm y el radio en 0.3 cm. Aplique la diferencial total para calcular cunto menos

bebern los consumidores en cada lata despus de que aparezcan los nuevos envases.

30) En cierta fbrica la produccin diaria es unidades, donde K representa la inversin de capiatl,

medida en unidades de $us 1000 y L el tamao de la fuerza laboral medido en horas-trabajador cada da. Calcule el

cambio que resultara en la produccin si la inversin de capital aumenta en 1000 $us y la mano de obra en 2 horas-

trabajador.

Algunas soluciones:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11) 2100

xF x y( )

d

d3 x

2 y

6 5 x

4 y

7 8 x

7

yF x y( )

d

d6 x

3 y

5 7 x

5 y

6 6 y

5

xF x y( )

d

d14 x x

25

6

yF x y( )

d

d100 2 y y

3

99

3 y2

2

xF x y( )

d

d

3

2 x2 x cos x

2y

3 7x cos y( ) ln 7( ) cos y( ) 6 x2 ln 7 y 5( ) 7 y 5( )2 x

3 y

yF x y( )

d

d

1

2 y3 y

2 cos x

2y

3 7 y 2 x3 7 y 5( )2 x

3 y 1

ln 7 y 5( ) 7 y 5( )2 x

3 y

7x cos y( )

x ln 7( ) sin y( )

xF x y( )

d

d

xy

21

y2

2 ln y3 1 sin x( ) y3 1 cos x( )

2 x y7

cos x2

y7

2 sin x2

y7

xy2

2 y

31

cos x( )

yF x y( )

d

d

7 x2

y6

cos x2

y7

3 y2 cos x( ) y3 1 cos x( ) 1

2 xy

22

y ln x( )

2 sin x2

y7

xy2

2 y

31

cos x( )

xF x y z( )

d

d

7 x6

y5

x7

y5

4 y 2 z7

sin 2 x 3 y z5

2 x 3 y z5

yF x y z( )

d

d

5 x7

y4

4

x7

y5

4 y 2 z7

3 z5

sin 2 x 3 y z5

2 2 x 3 y z

5

zF x y z( )

d

d

15 y z4

sin 2 x 3 y z5

2 2 x 3 y z

5

14 z6

x7

y5

4 y 2 z7

12)

13) 77;75; Con el aumento en una unidad en A el costo es mayor, cuando se aumenta una unidad en B

14)

15) La produccin aumenta en 31.62 unidades

16)

17) Los productos son competitivos

18)

19) Los productos son competitivos

20)

21) 22)

23) 42-60t

24)

25) Dentro de 4 meses, habr una disminucin de la demanda de A de 5 frascos por mes

26)

27) a) ( ) ( ) b) ( ) ( )

28)

29) Aproximadamente 23 cm3 menos