Practica de Resonancia

7/21/2019 Practica de Resonancia

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Instituto Tecnológico de Celaya

Practica delaboratorio:

Resonancia

Benjamín Arroyo Ramírez

Vibraciones

Mecánicas Arroyo Torres OswaldoBocanegra Ruiz José Gerardo

Puga Martínez Jorge EduardoJonathan Rodríguez Cabrera

Ingeniería Mecánica



Tabla de contenido

Introducción ....................................................................................................................................................... 2

Objetivo .............................................................................................................................................................. 2

Objetivos específicos ..................................................................................................................................... 2

Marco teórico ..................................................................................................................................................... 2

Procedimiento de Practica .................................................................................................................................. 3

Metodología ............................................................................................................................................... 4

Descripción ................................................................................................................................................ 4

Reconocimiento .................................................................................................................................... 4

Obtención de características de elementos ........................................................................................ 4

Masas ................................................................................................................................................ 4

Constante K experimental ......................................................................................................................... 5

Montaje de elementos fijos. ................................................................................................................ 6

Montaje de las posiciones del motor y puesta a andar. .................................................................... 7

Longitudes ........................................................................................................................................ 8

Desmontaje y almacenamiento de todas las piezas, material y herramientas. ............................... 9

Cálculos prácticos y teóricos, comparaciones y reporte. ................................................................ 10

Calculo teórico de la deflexión del resorte ..................................................................................... 10

Porcentaje de error del valor experimental y teórico de la constante K .......................................... 11

Frecuencia angular

................................................................................................................... 11

Coeficiente de amortiguamiento .................................................................................................. 12

Conclusiones .................................................................................................................................................... 13

Apéndice A ....................................................................................................................................................... 14

Equipo utilizado ........................................................................................................................................... 14

Apéndice B ....................................................................................................................................................... 16

Graficas de frecuencia .................................................................................................................................. 16

Apéndice C ....................................................................................................................................................... 17

Desarrollo de la ecuación para el cálculo de

............................................................................................ 17

Apéndice D ....................................................................................................................................................... 19

Desarrollo de la ecuación para el cálculo de .............................................................................. 19

Apéndice E ........................................................................................................................................................ 21

Desarrollo de la ecuación para el cálculo de .................................................................. 21



Introducción

La vibración forzada se presenta cuando una fuerza de excitación armónica externa actúa en

un sistema capaza de vibrar. Cuando se aplica una fuerza que varía armónicamente a un

sistema, éste tenderá a vibrar a su propia frecuencia natural, superponiéndose a la frecuenciade la fuerza de excitación. Sin embargo, debido a la fricción o amortiguamiento, la porción

de la amplitud total que no es ocasionada por la fuerza externa desaparece lentamente. Esto

significa que después de un tiempo, el sistema vibra a la frecuencia de la fuerza de excitación,

sin importar las condiciones iníciales ni la frecuencia natural del sistema. Una situaciónespecial, que en la mayoría de los casos resulta ser indeseable, se presenta cuando la

frecuencia de la fuerza de excitación es igual o muy próxima a la frecuencia natural delsistema y que da como resultado una gran amplitud de vibración, aunque la fuerza de

excitación sea muy pequeña. Esta situación es conocida como resonancia.

Objetivo

Comprobar experimentalmente que un sistema entra en resonancia cuando actúa sobre elmismo, una fuerza que varía armónicamente con una frecuencia similar la frecuencia natural del sistema. Esto con ayuda de los instrumentos del laboratorio de Vibraciones del ITC.

Objetivos específicos Conocer los instrumentos para una prueba y análisis de vibraciones mecánicas.

Implementar la teoría adquirida en clase.

Desarrollar una habilidad e intuitividad en el análisis de vibraciones.

Entender la diferencia entre el análisis teórico y el práctico.

Marco teóricoLa resonancia es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometidoa la acción de una fuerza periódica, cuyo periodo de vibración se acerca al periodo de

vibración característico de dicho cuerpo. En el cual una fuerza relativamente pequeña

aplicada en forma repetida, hace que una amplitud de un sistema oscilante se haga muy

grande.En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del

movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza.

En teoría, si se consiguiera que una pequeña fuerza sobre un sistema oscilara a la mismafrecuencia que la frecuencia natural del sistema se produciría una oscilación resultante con

una amplitud indeterminada.

Este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos como el vaso que se rompe

cuando una soprano canta y alcanza y sostiene la frecuencia de resonancia del mismo. Por lamisma razón, no se permite el paso por puentes de tropas marcando el paso, ya que pueden

entrar en resonancia y derrumbarse.

Una forma de poner de manifiesto este fenómeno consiste en tomar dos diapasones capaces

de emitir un sonido de la misma frecuencia y colocados próximos el uno del otro, cuandohacemos vibrar uno, el otro emite, de manera espontánea, el mismo sonido, debido a que

las ondas sonoras generadas por el primero presionan a través del aire al segundo.

http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza

http://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADodo_de_oscilaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_de_resonancia


http://es.wikipedia.org/wiki/Diapas%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_sonora

http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_sonora

http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Diapas%C3%B3n



http://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADodo_de_oscilaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza



El viejo puente de Tacoma Narrows ha sido popularizado en los libros de física como un

ejemplo clásico de resonancia; sin embargo la descripción extendida no es del todo correcta.

Este puente falló debido a la acción de unas fuerzas conocidas en el campo de la aerodinámica

de puentes como fuerzas autos excitados, por un fenómeno conocidocomo fluttering o flameo las cuales empujando en forma periódica provocaron el aumento

del movimiento del puente. Robert H. Scanlan, padre de la aerodinámica de puentes, escribióun artículo criticando este malentendido. Ningún puente se termina si no pasa la prueba del"tubo de viento".

Procedimiento de PracticaPara comprobara que frecuencia a la que un elemento entra en resonancia y corroborar si es

la frecuencia natural, el equipo se dirigió al Laboratorio de Vibraciones que se encuentra el

Laboratorio de Mecánica del ITC; aquí con ayuda del Marco de Estudio de Vibraciones queaparece en la Figura 1 y con el material y herramientas de la Figura 2, se montó una barra en

cantiléver única a un resorte en el extremo voladizo y un motor en diferentes zonas de la

barra, además de graficador para observar el frecuencia, la amplitud y el periodo.

Figura 1.Marco de Estudio de Vibraciones

http://es.wikipedia.org/wiki/Puente_de_Tacoma_Narrows

http://es.wikipedia.org/wiki/Flameo

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Robert_H._Scanlan&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Robert_H._Scanlan&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Flameo

http://es.wikipedia.org/wiki/Puente_de_Tacoma_Narrows



Figura 2. M aterial y herramientas.

Metodología

1. Reconocimiento.

2. Pesaje de elementos.

3. Obtención de la K del resorte.

4.

Montaje de elementos fijos.5. Montaje de la posiciones del motor y puesta a andar.

6. Desmontaje y almacenamiento de todas las piezas, material y herramientas.

7. Cálculos teóricos, comparaciones y reporte.

Descripción

ReconocimientoPrimeramente se dirigió al Laborario de Vibraciones Mecánicas ubicado en el Laboratorio ode Mecánica, y el equipo se dispuso a identificar las herramientas que se utilizarían según lo

explicado en clase por el profesor. Todas estas herramientas y material aparecen en el

Apéndice A y con ellas fue que se llevó a cabo la experimentación, dividiéndolas en la

herramientas para la instalación, los instrumentos fijos del sistema, los instrumentos móvilesdel sistema (es decir los que se estarán moviendo de lugar para realizar el experimento en

varias posiciones) y los materiales extras al sistema.

Obtención de características de elementosDespués de saber que herramientas utilizaríamos, se comenzó con el pesaje de los

instrumentos, esto con el fin de saber las fuerzas que estaban aplicadas sobre el sistema.También se realizó el pesaje de piezas que aplicarían una fuerza sobre un resorte para queconforme al cambio de longitud se pudiera conocer su K (rigidez).

Masas

Se continuó a obtener nuestras masas del sistema, ya que son necesarias para la ecuación

donde obtendremos la rigidez teórica.



m2=2.255 kg (Barra)

m1=3.730 kg (Motor)

Constante K experimental

Para obtener la constante k se hicieron 11 mediciones con 6 pesos de masa 0.380 kg, el

procedimiento fue ir agregando uno por uno de los peso y tomar la medición de ladeformación del resorte, y al finalizar con los 6 pesos, ir quitando uno por uno de los mismos

y volver a tomar la medición; al tener los dos valores se sacó un promedio entre las

deformaciones con el mismo número de pesos. Los valores registrados se muestran en la

tabla siguiente.

Deformación X (mm) Masa F(N) F*X Xˆ2

8.295 0.375 3.67875 30.51 68.80

10.135 0.75 7.3575 74.56 102.71

13.285 1.125 11.03625 146.61 176.49

16 1.5 14.715 235.44 256

18.35 1.875 18.39375 337.52 336.72

21.27 2.25 22.0725 469.48 452.41

∑= 87.335 77.25 1294.14 1393.15

Pesaje de barra rectangular. Pesaje de servomotor.



Una vez realizados los cálculos de las deformaciones con 6 pesos distintos se calcula la

constante de rigidez del resorte (K)

= ∑ ∗ ∑ ∑

∑

∑

Sustituyendo los valores de la tabla se obtiene

= 6∗1294.14746 87.335∗77.253756∗1393.15188 87.335

k=1.3915 N/mm= 1391.54 N/m

Esta es nuestra constante de rigidez del resorte K experimental.

Montaje de elementos fi jos.Con estos dos pasos, ahora se llevó a cabo la instalación de las piezas fijas, pues estas nocambiarían de posición durante la experimentación de la resonancia en las tres posiciones del

motor excitador como se muestra en las figuras 3 y 4. Es decir se montó, la barra como viga

en cantiléver, el resorte que sostuvo a la barra y la hoja que marca la frecuencia. Después del

primer análisis se colocó el embolo.

Figura 3. Montaje del sistema

Grafica de regresión lineal



Figura 4. Montaje del sistema estático

Figura 5. Montaje del sistema dinámico.

Montaje de las posiciones del motor y puesta a andar .El siguiente paso fue colocar el motor en cada una de las posiciones esto para poder demostrar

que la frecuencia natural era la misma. El servo-motor contaba de dos componentes uno el

rotor que por medio de una banda dentada transmitía una excitación a una polea, y estas se posicionaban en una de las dimensiones como se muestra en la figura 5.



Figura 5. Montaje del servo-motor.

LongitudesUna vez obtenidas nuestras masas para utilizar en la ecuación (2) obtenemos nuestras

longitudes del sistema dinámico. En la siguiente figura 6 se muestra las variables de

nuestras longitudes en la cual posicionamos el sistema.

Figura 6. Posiciones del servo-motor.

En el sistema solo la variable que se modificara será L3 (distancia del motor) ya que L1

(distancia del resorte) será el sismo en toda la prueba al igual que L2 longitud de la barra.

L1 = 53 cmL2 = 73 cm

L31 = 73 cmL32 = 39 cm

L33 = 12.5 cm

Donde L3 llega a tener 3 posiciones en el sistema para comparar la diferencia de la frecuencia

del mismo en diferentes puntos.



Después de fijar con las herramientas de instalación en alguna de las posiciones decididas se

puso a andar el servo-motor desde 0 RPM, y con incrementos de 50 RPM se observaron los

cambios hasta detenerse en las RPM que generaban la resonancia del sistema como se

muestra en la figura 7.

Figura 7. Sistema puesto a andar.Se colocó una cinta de papel para capturar el espectro en el dominio de la frecuencia del

sistema y así poder apreciar su mayor amplitud de esta manera fue más fácil apreciar cuando

entraba en resonancia el sistema como se muestra en la figura 8. Una vez captada la amplituddel espectro más alto se le hizo una marca con la cual tomamos como referencia para posterior

mente medir su amplitud de pico a pico. El procedimiento anterior se realizó con las 3

longitudes diferentes donde se posiciono el motor. Como resultado se obtuvieron los

espectros que se muestran en el Apéndice B.

Figura 8. Registro de la frecuencia.

Desmontaje y almacenamiento de todas las piezas, materi al y herramientas.Por ultimo en el laboratorio y después de haber documentado cada aspecto de la práctica serealizó el desmontaje de cada elemento utilizado y se colocó en el lugar correspondiente para

mantener en buen estado estos dispositivos.



Cálculos prácti cos y teór icos, comparaciones y reporte.Para finalizar, con los datos obtenidos en la práctica el equipo se sentó a discutir sobre ellos

y se realizaron los cálculos teóricos correspondientes para simular una práctica pero ahora de

manera analítica y poder así comparar los resultados.

Calculo teórico de la deflexión del resorteLas relaciones deflexión-fuerza se obtienen fácilmente mediante el teorema de Castigliano.La energía total de deformación de un resorte helicoidal está formada por una componente

de torsión y una de cortante. De esta manera se obtiene la energía de deformación es

Sustituyendo T = FD/2, l = πDN, J = πd4/32 y A = πd2/4 resulta

Donde N = Na = número de espiras activas. Después, usando el teorema de Castigliano, para

encontrar la deflexión total y se obtiene

Como C = D/d, la ecuación anterior puede reordenarse para obtener

La razón del resorte, también llamada escala del resorte, es k = F/y, y por lo tanto



Donde se obtiene la constante del resorte teóricamented.- Diámetro de la espiraD.- Diámetro medio del resorte

N.- Número de espiras activas

G.- Deflexión por torsiónLos datos para el resorte que se seleccionó son los siguientes.

d = 3.44 mm

D = 32.09 mm

N = 23G = 61.2 Gpa

= 3.44 61.210 8 32.09 23

=./ = , . /

Porcentaje de error del valor experimental y teórico de la constante K = 1391.54 /

ó = 1,451.43 /

% = |ó ó | ∗1 0 0

% = |1,427.711,392.541,471.71 | ∗1 0 0 % = 4.05 %

Con esto corroboramos que el experimental está bien calculado, y se tomara para realizarlos siguientes cálculos de la frecuencia.

Frecuencia angular Usando el valor de K experimental obtenida anteriormente y con los valores tomados en la

práctica, se calcula la frecuencia natural , sustituyendo K experimental y agregando los valores para cada caso donde se colocó el servo-motor excitador. Para la frecuencia natural teórica

utilizaremos la ecuación (2) cuyo desarrollo aparece en el Apéndice C.

= [12 ( + ) + 2 1 + 6] →2



Para la frecuencia natural experimental utilizaremos la ecuación (3).

exp

=

1 60

2 1 → 3

Dado que la polea motriz es de 22 ranuras y la polea del rotor desbalanceado es de 72 ranuras,la resonancia experimental se multiplica por esta relación (72/22) para obtener una velocidad

angular respecto a la del motor.

A continuación mostramos en una tabla cada uno de los casos con sus parámetros yresultados, donde también se calculó el porcentaje error.

% = − .

Tabla de valores calculados con la constante del resorte K experimental

N l 1 (m) l 2 (m) l 3 (m) m1 kg m2 kg K (/

Frec

RPM

(rad/s)

(rad/s) % E

1 0.53 0.86 0.73 2.55 3.71 1,392.54 430.00 47.12 45.83 2%

2 0.53 0.86 0.39 2.55 3.71 1,392.54 620.00 71.21 64.05 5%

3 0.53 0.86 0.13 2.55 3.71 1,392.54 700.00 78.75 64.94 12%

Coeficiente de amortiguamiento

Con nuestro valor de experimel obtenido ahora se puede calcular el valor del coeficiente de

amortiguamiento, sabiendo que 2= ̈=2,220.3 rad/s2 y que =θ ̇=47.12 rad/s, entonces ahora

utilizaremos la ecuación (5) que se deduce en el Apéndice E:

= ̈ [ 112 + 112 + + 2 ] + ̇ →5

Y para el valor de utilizamos, sabiendo que = 7.5 = 3.5 y = 3 .

= → 7

Para el error se tomara la siguiente ecuación, y en la tabla siguiente se muestran los valores

encontrados:

% = − .



NK (/

(rad/s)

(N.s/m)

(N.s/m)

% E

1 1,392.54 47.12 360,4 302,0 16%

2 1,392.54 71.21 402,7 353,2 12%

3 1,392.54 78.75 339,3 303,6 11%

ConclusionesLas ecuaciones de cuerpo libre estático así como dinámico se realizaron paramétricamente para así sustituir los valores de las 3 longitudes más prácticamente. Como resultado en lo

practico se puede observar que al colocar la polea desbalanceada más lejos del pivote el

sistema oscilaba más, y al acércalo más al pivote oscilaba muy poco, tal que se aprecia con

dificultad las revoluciones a la cual el sistema llegaba a su amplitud máxima, esto influye enlos cálculos teóricos.

Sobre el cálculo de la rigidez experimental y la teoría, vimos un error del 5% y este error

puede ser un tanto cierto ya que el módulo de elasticidad utilizado, las medidas del resorte yla deformación puede variar por apreciaciones o falta de información; es así que este error es

incierto por lo cual aun así se debe confiar en la rigidez experimental pues lo que realmente

está sucediendo.En el análisis dinámico para encontrar el coeficiente de amortiguación

existió un error mayor de 16%, esto se puede deber a que tiene más variantes en lasmediciones.

En el caso de las masas el posible error que se podría tener es la medición de su valor. Al

cuantificar las masas no se verifico el instrumento de medición, y este podría tener un factorde error en su precisión así como en su exactitud. Es importárteme considerar este variable

para tener los resultados deseados.

En el caso de las longitudes el posible error en la lectura de la medición, ya sea por paralaje

o el instrumente de medición tenga una mala calibración.Es importante reconocer las variables del sistema que influyen en el resultado esperado, así

se tendrá un amplio conocimiento de donde proviene el posible error y corregirlo o

modificarlos de tal manera que sea mínimo el error.Con la práctica se cumplen los objetivos se puede ya tener una mejor perspectiva con esta

experimentación y los conceptos adquiridos en clase son ratificados en esta actividad.



Apéndice A

Equipo utilizado

Rotor desbalanceado Servomotor

Soporte para resortes Tornillos

Banda dentada Flexómetro y Vernier

Resorte Pesas

Llaves Allen y Cinta Masquen



Apéndice B

Graficas de frecuencia



Apéndice C


Se realizó el siguiente estudio creando un bosquejo del dispositivo utilizado, de donde se

obtuvo el diagrama de cuerpo libre estático y el diagrama de cuerpo libre dinámico.

∑ =∑

DCL Estático DCL Dinámico

+ 2 + = + + 2 → 1

Considerando que, t a n = . .

= ∴ =

y que = + , entonces:



= + → Ahora la fuerza inercial + 2 = ̈ + ̈ 2 →

La fuerza angular = 112 ̈ + 112 ̈ →

Sustituyendo (a), (b) y (c) en (1) + + + = 112 ̈ + 112 ̈ + ̈ + ̈ 2

+ + = 112 ̈ + 112 ̈ + ̈ + ̈ 2 +

+ + = ̈ +

[ 112

+ 112

+ +

2]

Estas ahora son la ecuación estática (izquierda) y la ecuación dinámica (derecha).Tomando la ecuación dinámica podemos obtener el valor de la frecuencia angular porque

esta cuenta con la forma ̈ + = 0:

= [12 ( + ) + 2 1 + 6] →2

Y la deformación de la viga la podemos obtener con la ecuación estática ya que ∑ = 0:

= +



Apéndice D


Se realizó el siguiente estudio creando un bosquejo del dispositivo utilizado, de donde se

obtuvo el diagrama de cuerpo libre estático y el diagrama de cuerpo libre dinámico.

∑ =∑

DCL Estático DCL Dinámico

f

+ + 2 + = + + 2 → 4

Considerando que, t a n = . .

= ∴ =

y que = + , entonces:

Fd

Fd



= + →1 = ̇ →2 Ahora la fuerza inercial + 2 = ̈ + ̈ 2 →

La fuerza angular = 112 ̈ + 112 ̈ →

Sustituyendo (b1, b2), (d) y (e) en (4) + + ̇ + + = 112 122 ̈ + 112 222 ̈ + 1 ̈ 3 + 2 ̈ 22 + +

= 112 122 ̈ + 112 222 ̈ + 1 ̈ 3 + 2 ̈ 22 + ̇42

+ + = ̈ ̇42 +

[ 112 + 112 + + 2]

Estas ahora son la ecuación estática (izquierda) y la ecuación dinámica (derecha). De la

ecuación de equilibrio dinámico, obtenemos:

= ̈ [ 112 + 112 + + 2 ] + ̇ →5



Apéndice E


Partiendo de la ecuación: = 1√ 1 + 2 →6

Como nuestro análisis es en la resonancia entonces

= 1 = =

= 2 ∴ = →7

Practica de Resonancia

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