Orbit, Cycle, dan Grup Alternating

Kelompok 2 :

Fahmi Hidayatul A. (12-1006)Winda Riyanti (12-1007)Viqedina Rizky N. (12-1008)Teddy Prawira W. (12-1009)Wahyu Nikmatus S. (12-1010)Siti Zumrotus K. (12-1011)Deny Ardianto (12-1012)Fenty Eka A. (12-1014)Devita Arum S. (12-1015)Ahmad Ginanjar (12-1017)Erni Rahayu (12-1019)Ade Irma O. (12-1020)Irawati (12-1021)Adita Cahya I. (12-1022)Ikfi Ulyawati (12-1023)Ahmad Saifudin (12-1024)Zainul Anwar (12-1025)Falviana Yulia D. (12-1026)

Struktur

Aljabar I

Orbit

Definisi Misalkan merupakan sebuah permutasi pada himpunan A. Kelas-kelas ekuivalensi yang ditentukan oleh relasi ekuivalensi

Merupakan orbit-orbit untuk

Kelompok 2

Contoh : Orbit-orbit untuk permutasi

Pada S dapat dicari dengan mengaplikasikan berulangkali sampai kembali pada elemen semula. Berikut ini alur yang didapatkan dari permutasi di atas

Jadi, orbit-orbitnya adalah

Kelompok 2Orbit

Bila diperhatikan maka setiap orbit pada contoh di atas dapat menentukan sebuah permutasi baru dalam S dengan ketentuan bahwa elemen yang menjadi anggota orbit akan ditransformasikan sedangkan elemen-elemen lainnya tetap. Misalkan orbit pertama {1,2,8} dengan alur

Dapat membentuk sebuah permutasi

Dengan demikian permutasi hanya memiliki 1 orbit yang beranggotakan lebih dari 1 elemen. Permutasi yang demikian disebut sebagai cycle.

Kelompok 2

Cycle

Cycle

Definisi Sebuah permutasi S disebut cycle jika memiliki paling banyak satu orbit yang memuat lebih dari satu elemen. Panjang sebuah cycle adalah banyaknya elemen pada orbit terbesar.

Kelompok 2

Himpunan orbit sebuah permutasi merupakan partisi dari S, sehingga orbit sebuah permutasi merupakan himpunan yang saling asing.

Teorema setiap permutasi pada himpunan berhingga merupakan hasil perkalian dari cycle yang salaing asing (disjoint)

contoh

Kelompok 2

Cycle

Definisi Suatu cycle dengan panjang 2 dinamakan transposisi

Setiap cycle dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi-transposisi dengan aturan (a,a,...a)=(a,a)(aa)...(a,a)

Contoh cycle merupakan transposisi. Dalam S,

Kelompok 2

Cycle

Transposisi Teorema Misalkan dan merupakan

sebuah transposisi pada , maka selisih banyaknya orbit untuk dan adalah 1.

Kelompok 2

Definisi Sebuah permutasi pada himpunan hingga adalah ganjil bila dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian sejumlah ganjil transposisi; dan genap bila dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian sejumlah genap transposisi

Kelompok 2

Permutasi Ganjil dan Genap

ContohPermutasi (2,7,4) di Sdapat dinyatakan sebagai

Sehingga merupakan permutasi ganjil

Kelompok 2

Permutasi Ganjil dan Genap

Grup Alternating Definisi Subgrup pada S yang

beranggotakan permutasi genap pada angka disebut grup alternating A pada angka

Kelompok 2

Terimakasih dan

Semoga Bermanfa

at

Kelompok 2