Implementacin, Uso e Interpretacin del FanChart

Juan Manuel Julio

Mayo de 2005

Abstract

El Fan Chart representa la funcion de probabilidades de los valores fu-turos de una variable, condicional a la informacion conocida en el presente.En el caso del Informe de Inflacion el Fan Chart cumple con dos objetivos:Primero, comunicar al publico las previsiones de la autoridad monetaria sobrela evolucion futura de la inflacion con base en el mejor conocimiento actual dela economia. Este proposito esta relacionado con la transparencia del esquemade metas de inflacion y con la credibilidad de las polticas para alcanzar dichasmetas. Y segundo, organizar la forma como la autoridad monetaria abordael problema de pronosticar la inflacion, lo cual tiene que ver con el desarrollodel Informe de Inflacin y su distribucin temtica. En esta nota se describeen detalle la implementacion actual del Fan Chart que utiliza el Banco dela Republica para su Informe de Inflacion, se presentan ejemplos que ilustranadecuada utilizacion, se describe la manera como este se debe interpretar y sedescribe el uso de un programa que facilita su aplicacion. Con esto, se persigueexplicitar el uso e interpretacion del Fan Chart.

1 Introduccin

El Fan Chart representa la funcin de probabilidades de los valores futuros de unavariable, condicional a la informacin conocida en el presente. En contraste con lasenda de pronsticos puntuales de la variable, el Fan Chart provee ms informacin

Las opiniones y conclusiones contenidas en este documento son responzabilidad exclusiva delautor y en consecuencia no compromenten la visin del Banco de la Repblica ni de su juntaDirectiva. El autor agradece los valiosos comentarios y sugererencias de los doctores NorbertoRodrguez y Luisa Charris del Banco de la Repblica.

Para obtener la macro en Visual Basic para Excel haga cklick aqu.Departamento de Modelos Macroeconomicos, Banco de la Republica y Departamento de Es-

tadistica, Universidad Nacional de Colombia.E-mail address: jjulioro@banrep.gov.co

1

ya que este describe la densidad condicional del pronstico, marginal en cada uno delos periodos del horizonte. A partir de esta densidad se puede conocer la probabilidadcondicional de que la variable asuma valores en intervalos particulares en cualquierperiodo del horizonte de pronstico. Estas probabilidades se interpretan como elriesgo de que la variable asuma ciertos valores en un horizonte de pronostico dado.

El termino Fan Chart proviene del Banco de Inglaterra, quienes lo vienen pub-licando desde 1977 en su Informe de Inflacin. Vase [2]. En el caso del Informe deInflacin el Fan Chart cumple con dos propsitos: Primero, comunicar al publicolas previsiones de la autoridad monetaria sobre la evolucin futura de la inflacin conbase en su mejor conocimiento actual de la economa. Este propsito esta rela-cionado con la transparencia del esquema de metas de inflacin y con la credibilidadde las polticas para alcanzar dichas metas. Y segundo, organizar la manera como laautoridad monetaria aborda el problema de pronosticar la inflacin, lo cual tiene quever con el desarrollo del Informe de Inflacin y su distribucin temtica.

En el caso Colombiano, desde 1999 el Banco de la Repblica, BR, realiza unesfuerzo considerable en la determinacin de los factores que podran presionar la in-flacin en el mediano plazo. Una vez identificados estos factores, el Banco cuantificasu efecto sobre la distribucin de probabilidades del pronostico de la inflacin, es de-cir, el Fan Chart. De acuerdo con la mecnica del esquema de metas de inflacin, laJunta Directiva del Banco de la Repblica, JDBR, emite seales monetarias que min-imizan la distancia entre el pronstico puntual de la inflacin y la meta establecida,llevando en consecuencia la inflacin futura hacia su meta. El resultado del ejerci-cio anterior conforma el ncleo del Informe sobre la Inflacin (que el Banco de laRepblica hace pblico desde 1999), y la distribucin de probabilidades condicionalde la inflacin futura se plasma en el reconocido Fan Chart, uno de los elementoscentrales del citado informe.

Debido a la necesidad de que los miembros de la autoridad monetaria realicen suspropios ejercicios, la implementacin del Fan Chart se restringe a que sea flexible,sencilla, formal y a que sea independiente de modelos particulares. Esto obedece adiferentes factores: Primero, en Inglaterra el Monetary Policy Committee, MPC1,tiene una gran ingerencia en la produccin del Informe de inflacin, particularmenteen la produccin del fan Chart. Segundo, el pronstico de inflacin no provienede un modelo particular sino que surge del anlisis de los pronsticos de una suitede modelos. Tercero, aunque la mayora de los insumos para la produccin del FanChart provienen del Modelo de Mecanismos de Transmisin, MMT, en ocasionesmuy especiales estos podran provenir de trabajos especficos comisionados para re-sponder preguntas muy puntuales. Finalmente, la implementacin debera permitirla introduccin de informacin a priori o experta en la produccin del Fan Chart.

En comparacin con otras metodologas, el Fan Chart no solo es mas sencillode aplicar sino que presenta varias ventajas; Primero, refleja riesgos asimtricos de

1El MPC es un comite encabezado por los miembros de la Junta directiva del Banco de Inglaterra,en el cual se definen los elementos primordiales del Informe de Inflacion.

2

que la inflacin futura asuma valores por encima o por debajo del pronostico puntual,los cuales reflejan la asimetra en el riesgo de que los factores que la afectan asumanvalores por encima o por debajo del supuesto en que se basa la senda central de pronos-tico de la inflacin. Segundo, el Fan Chart incorpora multiplicadores subjetivos dela incertidumbre sobre los valores futuros de los factores y la inflacin, permitiendono solo mayor flexibilidad en su aplicacin sino tambin mayor adaptabilidad en unentorno en que la inflacin esta en descenso. Y tercero, permite la introduccin deuna variedad muy amplia de factores que podran afectar a la inflacin futura.

En el fan Chart se pueden incluir factores que se pueden clasificar en algunode los siguientes grupos: 1) Innovaciones a los residuos asociados a ecuaciones quedeterminan el comportamiento de variables endgenas. 2) Choques a los procesosque determinan la evolucin de variables exgenos. Y 3) Choques a parmetros clavede la economa.

En esta nota se describe en detalle la implementacin actual del Fan Chart queutiliza el Banco de la Republica para su Informe de Inflacin, se presentan ejemplosque ilustran adecuada utilizacin, se describe la manera como este se debe interpre-tar y se describe el uso de un programa en Visual Basic para Excel que facilita suaplicacin. Con esto, se persigue desmitificar la implementacin del Fan Chart yde paso clarificar su interpretacin. El escrito se divide en tres secciones aparte deesta corta introduccin. En la primera se discute la interpretacin del Fan Chart.En la segunda se describe la econometra y supuestos detrs de la implementacinactual, las cuales se utilizan en el programa adjunto, y se describen la implementacincomputacional. En la tercera se describen varios ejemplos que ayudan a entender suutilizacin prctica.

2 Interpretacin

El grfico 1 muestra un ejemplo de Fan Chart calculado con informacin histricahasta 2005Q1. La lnea slida hasta esta fecha es la inflacin total observada, y desde2005Q2 es la senda que con mayor probabilidad puede asumir la inflacin. Es decir, esel pronostico modal en el sentido del valor que maximiza la funcin de probabilidadesmarginal de pronostico en cada periodo de tiempo del horizonte. A partir de 2005Q2se abre un abanico con distintas densidades de color, las cuales representan las franjasde probabilidad desde 5% hasta 95% a intervalos de de 5%. El abanico se calcula,por defecto, para nueve periodos t = 1, 2, ..., 9, a partir del ltimo dato observado talcomo se muestra en el grfico.

Para entender ms claramente este grfico, nos referimos a la tabla 1 que contienelas estadsticas descriptivas de las distribuciones de pronostico para los t = 1, 2, ..., 7periodos iniciales del horizonte. Las tres primeras columnas muestran las sendas quedefinen las medidas de tendencia central; la moda o valor que maximiza la densidadmarginal de pronstico en cada periodo del horizonte, la mediana o valor que divide ladensidad en dos partes iguales y la media o pronstico esperado. La cuarta columna

3

"Fan Chart" Inflacin Total

2

3

4

5

6

7

8

2002 Q2 2003 Q2 2004 Q2 2005 Q2 2006 Q2 2007 Q2

Figure 1: Fan Chart Inflacion Total con Info. Hasta 2005Q1

contiene la meta de inflacin fijada por la JDBR. La quinta contiene la senda de lasvarianzas de dicha distribucin, y la sexta contiene el sesgo o tercer momento de esta.

La senda modal (t para t = 1, 2, ..., 7), la meta de inflacin (t para t = 1, 2, ..., 7)y la varianza del error de pronstico de la inflacin (2t para t = 1, 2, ..., 7) son in-sumos para el calculo del Fan Chart. La media (E0 (t) para t = 1, 2, ..., 7), mediana(M e0 (t) para t = 1, 2, ..., 7) y sesgo (S0 (t) para t = 1, 2, ..., 7) son resultados delejercicio.

La senda modal, t para t = 1, 2, ..., 9, es un insumo para el calculo del FanChart, y corresponde al pronostico mas probable, en el sentido que maximiza ladensidad marginal del pronostico de la inflacin en cada periodo de tiempo del hor-

t Fecha Moda Mediana Media Meta Varianza Sesgo

1 2005Q2 4.81 4.81 4.81 5.25 0.10 0.002 2005Q3 4.80 4.79 4.80 5.12 0.20 0.003 2005Q4 4.75 4.74 4.74 5.00 0.30 0.004 2006Q1 4.92 4.92 4.92 4.88 0.40 -0.015 2006Q2 4.71 4.70 4.70 4.75 0.50 -0.016 2006Q3 4.25 4.26 4.25 4.63 0.56 0.007 2006Q4 4.10 4.14 4.11 4.50 0.61 0.01

Table 1: Estadisticas Descriptivas Densidad de Pronostico

4

izonte de pronostico. La evolucin de esta senda se explica por diferentes factorescomo los mecanismos de transmisin, los valores histricos de las variables que com-ponen los diferentes modelos y las sendas modales (pronosticadas o supuestas) devariables que aparecen como exgenos en los modelos de pronostico.

Un punto importante que se debe tener en cuenta al interpretar la senda modales que en su calculo se supone que se esta realizando una poltica monetaria activaque lleva el pronstico de inflacin a su meta en el mediano plazo. Es decir, estesera el pronstico de inflacin consistente con una poltica monetaria activa en todoperiodo del horizonte. Al comparar la senda modal con la senda de metas lo nicoque se observa son movimientos que reflejan condiciones de corto plazo, pero comose esta pronosticando con poltica monetaria activa, en el mediano a largo plazoel pronostico llega a la meta dado un horizonte suficientemente largo de tiempo.Desafortunadamente esta senda no es fcilmente interpretable ya que no se presentala senda de tasas de inters que llevan a la inflacin proyectada hacia su meta.

La senda de varianzas es tambin un insumo para el clculo del Fan Chart ytiene tres componentes. El primer componente es la estimacin histrica (no basadaen modelos) de la desviacin estndar del error de pronstico a horizontes de 4 y 9trimestres, 4 y

9 . El segundo componente son multiplicadores,

4 y

9 , que ajustan

la incertidumbre histrica de pronstico por informacin a priori sobre incrementoso reducciones de esta. La varianza reportada en las filas 4 y 9 de la columna 5corresponden a la desviaciones estandar ajustadas 4 = w

4

4 y

9 = w

9

9 . El

tercer componente son los factores de distribucin de la incertidumbre a lo largo delhorizonte t, t = 1, 2, ..., 9 y cumplen con la restriccion de que

4t=1t = 1 y

9t=5t = 1,

de tal forma que 1 = 14 ,

2 = (1 + 2)

4 ,

3 = (1 + 2 + 3)

4 ,

5 = 5

9 ,

6 = (5 + 6)9 , ..., y

8 = (5 + ...+ 8)

9 .

El sesgo es un resultado del calculo del Fan Chart. En la tabla 1 se puedeobservar que el sesgo es cero en los periodos de tiempo en que los pronsticos medios,modales y medianos son iguales (descontanto la aproximacin de los decimales).Como la mediana es el valor que divide la densidad en dos partes iguales; tenemosque P [t M e0 (t)] = P [t M e0 (t)] = 0.5, y entonces es claro que el balance deriesgos, medido como P [t M e0 (t)] es neutro. En 2006Q2 el sesgo es -0.1, lo cualindica que la moda es superior a la mediana y esta es a su vez superior a la media.Esto implica que P [t M e0 (t)] > 0.5, con lo cual el balance riesgos indica que esms probable que en este periodo particular la inflacin tienda a estar por debajo dela senda modal que por encima. En 2006Q2 el sesgo es positivo y ocurre lo contrario.

El cuadro 2 contiene en las primeras siete columnas las probabilidades de quela inflacin asuma valores en diferentes intervalos disjuntos y en la columna final elbalance de riesgos, P [t M e0 (t)]. Estos valores son ms precisos que los de latabla anterior en donde hay un efecto importante de redondeo. Se observa que entremas largo el horizonte, mayor es la incertidumbre en pronstico, lo cual hace que lasprobabilidades estn menos concentradas. Se observa adicionalmente que durante losprimeros cinco periodos del horizonte el balance de riesgos esta por debajo (es mas

5

t Fecha 6.5Balance

Riesgos

1 2005Q2 0.00 0.12 97.30 2.58 0.00 0.00 0.00 50.882 2005Q3 0.00 7.22 77.73 15.03 0.02 0.00 0.00 50.883 2005Q4 0.73 20.46 59.51 18.78 0.53 0.00 0.00 50.884 2006Q1 1.18 13.92 43.23 34.63 6.74 0.30 0.00 50.885 2006Q2 8.26 26.26 38.15 22.01 4.89 0.41 0.01 50.886 2006Q3 32.42 34.76 23.88 7.69 1.16 0.08 0.00 49.907 2006Q4 42.66 30.95 18.91 6.25 1.11 0.11 0.01 49.90

Table 2: Distribucion de Probabilidades del Pronostico

probable que la inflacin sea inferior al valor de la senda modal), mientras que enlos dos siguientes trimestres el balance de riesgos esta por encima, es decir es masprobable que la inflacin observada sea superior al valor de la senda modal a que estasea inferior. Desafortunadamente estos sesgos son muy pequeos para ser observadosa simple vista en el Fan Chart.

El balance riesgos de la distribucin de pronostico de la inflacin se explica porcuatro insumos de la distribucin de del factor i-esimo que afecta a la inflacin,i = 1, 2, ..., n1; Primero, los balances de riesgo a un horizonte de 4 y 9 trimestres, loscuales denotamos pi4 y p

i9 para el i-esimo factor. Segundo, las desviaciones estandar

histricas (no de modelos) de los factores a los mismos horizontes, i4 y i9 para el

i-simo factor. Tercero, multiplicadores de la incertidumbre a los mismos horizontes,i4 y

i9, para el factor i-simo, las cuales ajustan la incertidumbre histrica por

informacin a priori sobre incrementos o reducciones de esta. Cuarto, la respuestacontempornea y luego de cuatro trimestres de la inflacin a una innovacin de unaunidad en el factor i-simo, i0 y

i4 para i = 1, 2, ..., n1.

El procedimiento para el clculo del balance de riesgos de la inflacin a partir delos insumos anteriores es sencillo. El siguiente esquema, aunque no exacto, describea grandes rasgos el proceso:

A partir de las desviaciones estndar histricas y los multiplicadores de la in-certidumbre, se determina para cada factor la desviacin estndar definitiva delfactor, i4 =

i4

i4 y

i9 =

i9

i9 para i = 1, 2, ..., n1.

Se mapea la dupleta (i4, pi4) al sesgo de la distribucin del factor i-esimo a loshorizontes de cuatro y nueve trimestres, Si4 y S

i9 para i = 1, 2, ..., n1. De acuerdo

con las ponderaciones de distribucin de la incertidumbre t para t = 1, 2, ..., 9 secalculan los sesgos para cada factor en cada periodo del horizonte de pronstico,Sit para t = 1, 2, ..., 9 e i = 1, 2, ..., n1.

Con las ponderaciones de respuesta de la inflacin a los factores, se mapeadinmicamente el sesgo de cada factor a la inflacin y estos se suman para dar

6

NOMBRE DE LOS FACTORES

DESV. ESTANDAR HISTORICA

MULTIPLICADOR INCERTIDUMBRE

DESV. ESTANDAR HISTORICA

MULTIPLICADOR INCERTIDUMBRE

CONTEMPORANEO

LUEGO DE 4 TRIMESTRES

Consumo Privado 0.0060 1.1000 0.4000 0.0072 1.1000 0.5000 0.1657 0.3007Inversin Total 0.0019 1.1000 0.4000 0.0022 1.1000 0.5000 0.0377 0.0685Consumo Pblico 0.0019 1.1000 0.5000 0.0022 1.1000 0.4000 0.0375 0.0681Exportaciones 0.0019 1.1000 0.6000 0.0023 1.1000 0.5000 0.0344 0.0625Importaciones 0.0017 1.1000 0.3000 0.0021 1.1000 0.4000 -0.0380 -0.0689Inflacin de Alimentos 0.0430 0.7000 0.4000 0.0516 0.7000 0.5000 0.7633 -2.3126Expectativas de Inflacin 0.0042 0.8000 0.5000 0.0050 0.8000 0.5000 0.2947 0.1844Precios de los Importados 0.0270 1.1000 0.6000 0.0324 1.1000 0.6000 0.0497 0.0661Inflacin Bsica 0.0120 0.7000 0.5000 0.0144 0.7000 0.5000 0.7277 0.4554Expec Depreciacin 0.0900 1.1000 0.7000 0.1080 1.1000 0.6000 0.0070 0.0028

RESPUESTA DE LA INFLACION ANUAL A INNOVACIONES DE UNA

UNIDAD DE LOS FACTORES

FUNCION DE IMPULSO RESPUESTADISTRIBUCION LUEGO 4 TRIMESTRES

INCERTIDUMBRE

DISTRIBUCION LUEGO 9 TRIMESTRES

INCERTIDUMBRE BALANCE DE

RIESGOSBALANCE DE

RIESGOS

Figure 2: Propiedades Factores Afectan Inflacion

la respuesta de la inflacin al sesgo, el cual denotamos St para t = 1, 2, ..., 9.

Para cada periodo de tiempo se determina la densidad a partir de los paramen-tros (t , S

t ,

t ) y se dibuja.

El cuadro que se presenta en el grafico 2 muestra los insumos necesarios paralos pasos descritos anteriormente. En la siguiente seccin se muestra en detalle laeconometria detrs del clculo Fan Chart.

3 Entendiendo el Fan Chart

En esta seccin se describen la racionalidad economtrica y cmputo del Fan Chart,demostrando entonces la razn por la cual este surge de un proceso formal perosencillo. El Fan Chart se construye bajo el supuesto de que tanto la distribucincondicional de los factores que afectan a la inflacin como la distribucin condicionalde esta son normales de dos piezas. En la primera sub-seccin describimos la densidadnormal de dos piezas y enumeramos sus propiedades. En la segunda demostramosque esta se puede caracterizar alternativamente por las tres tripletas mencionadas enla introduccin. En la tercera sub-seccin describimos el mapeo de las tripletas quedeterminan la densidad de los factores a la tripleta que determina la densidad delpronstico de la inflacin.

3.1 La Distribucin Normal de dos piezas

Se dice que una variable aleatoria tiene una densidad normal de dos piezas si sufuncin de densidad de probabilidades tiene la forma:

fX (x;, 1, 2) =

C exp

{ 1

221

(x )2}

para x C exp

{ 1

222

(x )2}

para x > (1)

7

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

-4,0 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0,0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0

(0,1,1) (0,1,0.5) (0,1,1.5)

Figure 3: Densidades Normales de dos Piezas

donde - < < es la moda o valor ms probable de la distribucin, 1 > 0 y1 > 0 son dos parmetros indicadores de la incertidumbre, y C =

2(1 + 2)

1

es un valor que garantiza que 1 sea una funcin de probabilidades. De esta ecuacines claro que la distribucin normal es un caso particular cuando 1 = 2, y quela densidad queda completamente especificada si se conoce el valor de la tripleta(, 1, 2).

El grfico 3 muestra tres de estas densidades para (, 1, 2) = (0, 1, 1), (, 1, 2) =(0, 1, 0.5) y (, 1, 2) = (0, 1, 1.5). En este se puede observar que cuando 1 > 2 ladensidad se sesga a la izquierda y entonces el balance de riesgos P [X ] > 0.5est por debajo. Cuando 2 > 1 ocurre lo contrario, pero cuando 1 = 2 ladensidad se reduce a una normal y se dice que el riesgo esta balanceado.

Apartir de la ecuacin 1 podemos determinar la probabilidad de cualquier eventoa partir de

P [L1 X L2] = L2L1

fX (x) dx (2)

=

211+2

[(L21

)

(L11

)]si L1 < L2

221+2

[(L22

)

(L12

)]si L1 < L2

2[2

(L2

2

)1

(L1

1

)+12

2

]1+2

si L1 < L2

8

donde (x) es la distribucin normal estndar acumulada, y por lo tanto el balancede riesgos toma el valor

p = P [X ] = 11 + 2

(3)

Adicionalmente, la media y varianza de la distribucin estn dadas por

= E [X] =

2

(2 1) + (4)

y

2 = V [X] =

(1 2

)(2 1)2 + 12 (5)

y el sesgo o coeficiente de asimetra toma el valor

E[(X )3] = 2

(2 1)

[(4

1

)(2 1)2 + 12

](6)

el cual es proporcional a

= =

2

(2 1) (7)

Por otra parte, para un valor 0 < < 1, el percentil -simo de la distribucinnormal de dos piezas es el valor k tal que P [X k] = . De la ecuacin 2 sabemosque

P [X k] =

211+2

(k1

)para k

21+2

[2

(k2

)+ 12

2

]para k >

de donde obtenemos

k =

11(a(1+2)

21

)+ para p = P [x ]

21((1+2)a

22 12

22

)+ para > p = P [x ]

(8)

3.2 Equivalencia Entre Conjuntos De Parmetros

De la seccin anterior vimos que la densidad queda completamente especificada si seconoce la tripleta (, 1, 2). En esta seccin probamos que esta tripleta es equivalente

a conocer(, p = P [X ] , =V (X)) , lo cual a su vez es equivalente a conocer

la tripleta (, , ), donde es una aproximacin al sesgo de la densidad.En efecto, si 1 y 2 son conocidos, las ecuaciones 3 y 5 determinan el valor de

p = P [X ] y = V (X). Ahora, si p y son conocidos, estas ecuacionesdefinen un sistema en las incognitas 1 y 2 de la forma

p =1

1 + 2(9)

2 =

(1 2

)(2 1)2 + 12

9

que resolvemos para obtener los valores de 1 y 2 como

1 = p2

1 p =p2

3p2 3p+ 8p2 + 8p 2 (10)

2 =(1 p)

2

3p2 3p+ 8p2 + 8p 2Para encontrar la equivalencia con la tercera tripleta, podemos escribir la densidad

1 como

fX (x;, , ) = C exp

{ 122

[(x )2 +

[x |x |

](x )2

]}(11)

la cual depende de la tripleta (, , ) de donde es claro que

1 =

2

1

2 =

2

1+

(12)

lo cual soluciona el problema de determinar 1 y 2 cuando y son conocidas.De otra parte, de la primera ecuacin de 10 combinada con 12 encontramos que

se expresa como

=1 2p

1 2p+ 2p2 (13)

el cual depende solamente del balance de riesgos. Sin embargo, a partir de esta ltimaecuacin podemos determinar la aproximacin al sesgo de la ecuacin 7 como

= =

2

(2 1) = (14)

=

2

(2

1

2

1 +

)

la cual depende de y .Ahora, si conocemos y 2, tenemos que

=

222 =

(1

1

1

1 +

)2de donde

(1 2) = 2 21 2

es decir,y2 = 2 2y

10

podemos resolver primero esta ecuacin para y y luego para , de donde hallamos lasolucin,

=

1

(121

)2si > 0

1(

121

)2si < 0

(15)

la cual depende de y .Las dems ecuaciones necesarias para completar la equivalencia se obtienen direc-

tamente de las anteriores.

3.3 Transformando la Densidad de los Factores a la Densidad

de la Inflacin

Suponga que queremos realizar el Fan Chart de la inflacin anual a un horizontede h = 9 trimestres. Es decir, queremos hallar la densidad condicional de t parat = 1, 2, 3, ..., 9, donde el trimestre actual es t = 0.

Suponga que identificamos un total de n = n1 + n2 factores que afectan a lainflacin, los cuales denotamos como X it para i = 1, 2, 3, ..., n y t = 1, 2, 3, ..., h.Suponemos que los primeros n1 factores se caracterizan porque su balance de riesgosen algn periodo de tiempo del horizonte no es 0.5, es decir, pit = 0.5 para algnt = 1, 2, 3, ..., h y para i = 1, 2, 3, ..., n1. Suponemos adicionalmente que el valor msprobable del factor i-simo en el periodo t est dado por it y su varianza en el periodot es 2it . Con esto completamos el valor de la tripleta (

it, p

it,

i) que determina ladensidad condicional de cada X it en cada periodo de tiempo en el horizonte.

Finalmente, supongamos que los valores de los factoresX it para t = ...,3,2,1, 0se conocen sin incertidumbre.

Nuestro trabajo consiste en transformar la secuencia de tripletas {(it, pit, 2it )}9t=1para i = 1, 2, 3, .., n1, en una secuencia de tripletas {(t , pt , 2t )}9t=1 . Este procesose realiza de la siguiente manera.

3.3.1 La Senda Central t

La senda central de la inflacin es la secuencia 1 , 2 ,

2 , ...

9 de valores ms

probables de la inflacin en el horizonte de pronstico. Es decir, es la senda msprobable de pronstico condicional al mejor conocimiento del funcionamiento dela economa, su estado actual y su desempeo futuro ms probable. Esta senda seobtiene al unir las modas de las densidades de pronstico condicional o incondicionala las sendas modales de los diferentes factores.

El mejor conocimiento sobre el funcionamiento de la economa es un conjuntode ideas o de funciones de impulso respuesta que representan el efecto dinmico delas diferentes innovaciones sobre las variables macroeconmicas clave. Por excelencia,

11

Notacin Significado

h = 9 Horizonte de pronstico

X itFactor o variable que afecta a t

i = 1, 2, 3, ..., n = n1 + n2it Valor ms probable factor i periodo tpit = P [X

it it] Balance riesgos factor i periodo t

it Desv. estndar factor i periodo tn2 Nmero de X

it tales que p

it = 0.5

t Inflacin en el periodo tt Valor ms probable inflacin en tpt Balance riesgos Inflacin en t2t Varianza Inflacin en t

ij Respuesta t+j a impulso Xit

it Aprox. sesgo factor i tiempo tt Aprox. sesgo tiempo tit Indicador sesgo factor i tiempo tt Indicador sesgo tiempo t

Table 3: Notacin

esta ideas o funciones de impulso respuesta se derivan del llamado Modelo de mecan-ismos de Transimsin, MMT, el cual es una caracterizacin de los hechos empricosestilizados de la economa en un marco estructural macroeconmico. Vase [5], [7],[6] y [4].

El estado actual de la economa se obtiene de los valores observados de las variablesy factores, sean o no observables, hasta el periodo t = 0 de nuestra notacin. Es decir,X it para i = 1, 2, 3, ..., n y t = ...,3,2,1, 0. Si hay algn factor no observable,este se estima a partir de la informacin histrica o del criterio de expertos. Losfactores son en general las variables que componen los diferentes modelos, y si hayalguno no contemplado en por lo menos un modelo, sera necesario el desarrollo de unmodelo satlite que incluya este factor hasta que este se pueda incluir en los modelosms grandes como el MMT. Sin embargo, si esto no es posible, siempre se puedeconsiderar el criterio de expertos2 para suponer los valores o parametros necesarios.

El desempeo futuro ms probable de la economa se compone de las sendas,supuestas, previstas o pronosticadas, ms probables en el sentido de la moda, de losfactores X it . Es decir, el conjunto de valores

it para i = 1, 2, 3, ..., n y t = 1, 2, 3, ..., 9.

Los valores de la senda central de la inflacin se obtienen como la modade la distribucin de la inflacin, condicional a que los factores asuman sus

2El criterio de expertos es una metodologa estadstica muy convencional en ciencias puras y dela salud, la cual ha sido de gran utilidad en casos de gran incertidumbre. En principio esta es unametodologa Bayesiana y el criterio experto se incluye en las densidades a priori de los parmetrossobre los cuales pesa la incertidumbre.

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valores ms probales, X it = ut y a los valores de las variables contenidos

en el conjunto de informacin 0, que contiene toda la informacin de la

economa hasta el periodo actual, t = 0. Es decir,

pt =M

[t|0, Xit = ut para 1 = 1, 2, .., n y t = 1, 2, ..., h

](16)

o tambin como la moda de la densidad conjunta codicional al conjunto de informacinhasta el trimestre actual 0

pt =M [t|0] (17)

o algn intermedio de las dos, en el que se supone que algunos factores asumen susvalores ms probables pero otros no.

El BR cuenta con un conjunto extenso de modelos a partir de los cuales se puedeobtener la densidad de pronstico condicional o incondicional a las sendas modalesde los factores, o condicional a algunos pero incondicional a otros factores. Cada unode estos modelos enfatiza diferentes aspectos de la economa, y el desempeo de suspronsticos cambia en la medida que estos factores sean ms o menos relevantes en elperiodo particular. Entre el conjunto de los pronsticos se selecciona el ms adecuadode acuerdo con su comportamiento histrico, el conocimiento actual de la economay su funcionamiento a travs de una regla Bayesiana de criterio experto.

En conclusin, la senda ms probable de la inflacin es unin de las modas de lasdensidades de la inflacin en el horizonte de pronstico, condicionales a que todos losn factores asuman su valor ms probable o modal.

Para la realizacin de esta transformacin de las modas de los factores a la modade la inflacin, realizamos tres supuestos

La distribucin de los factores es normal en dos piezas. La densidad condicional de la inflacin es normal en dos piezas. La senda ms probable de la inflacin depende solamente de las sendas msprobables de los n factores y no de otras caractersticas de la distribucin delos factores.

3.3.2 El Balance de Riesgos

En la seccin anterior se describi la forma como se obtiene la senda ms probablede la inflacin futura a partir de la distribucin condicional a las sendas ms prob-ables de los n factores. En esta describimos la manera como el balance de riesgos eincertidumbre de los factores se traduce en el balance de riesgos de la inflacin.

El proceso consiste en determinar para cada periodo de tiempo el sesgo aproxi-mado 14 para cada uno de los n1factores que tienen un balance de riesgos distinto aun medio en algn periodo de tiempo. A tavs de una funcin de respuesta de

13

Respuesta del Sesgo Aprox. de t a Sesgo Aprox. de:t Factor 1 Factor 2 Factor n1 Todos t1 10

11

20

21 n10 n11

n1i=1

i0

i1

2 1012 +

11

11

20

22 +

21

21 n10 n12 + n11 n11

n1i=1

i0

i2 +

i1

i1

......

......

...

tt1

j=0 1j

1tj

t1j=0

2j

2tj

t1j=0

n1j

n1tj

n1i=1

t1j=0

ij

itj

......

......

...

98

j=0 1j

1tj

8j=0

2j

2tj

8j=0

n1j

n1tj

n1i=1

8j=0

ij

itj

Table 4: Respuesta del Sesgo de la Inflacin a sesgo de factores

la inflacin anual a impulsos de una unidad en cada uno de los factores,se traduce el sesgo de cada factor en un sesgo de la inflacin explicado por el factorparticular. Al sumar los sesgos de la inflacin explicados por los n1 factores, se generael sesgo de la densidad de la inflacin explicado por los factores para cada periodo detiempo.

No se tienen en cuenta los factores con balance de riesgos igual a un medio entodos los periodos de tiempo porque estos tienen densidades simtricas que generanrespuestas nulas sobre el sesgo de la inflacin.

Ms precisamente, sea

it = it it para t = 1, 2, 3, ..., 9 y i = 1, 2, 3, ..., n1 (18)

la aproximacin del sesgo correspondiente a cada uno de los n1 factores para los 9trimestres de la ecuacin 14, y sea is para i = 1, 2, 3, ..., n1 y s = 0, 1, 2, ..., 8 larespuesta de la inflacin anual t a un impulso de una unidad del factor i-simo speriodos antes.

Bajo el supuesto de que el sesgo de la inflacin t se explica de manera exclusiva ylinealmente por los sesgos de los diferentes factores, it. Se puede generar fcilmente larespuesta del sesgo de la inflacin a los sesgos de cada factor de acuerdo con la tabla4 como la respuesta acumulada en el sentido convencional de la funcin de impulsorespuesta.

Las funciones de impulso respuesta son un insumo del Fan Chart y provienen engeneral del modelo central, MMT, pero para algunos casos muy particulares puedenprovenir de modelos satlite diseados especficamente para este propsito.

En resumen, para el clculo de la respuesta del sesgo aproximado de t, t , a

los sesgos aproximados de los factores, it, se necesitan como insumos los siguientesvalores:

La respuesta is de la inflacin anual a un impulso de una unidad en el factori-simo para cada horizonte s = 0, 1, 2, ..., 8 y para cada factor i = 1, 2, 3..., n1

14

El balance de riesgos pit para cada factor en cada periodo de tiempo del hori-zonte.

La incertidumbre it de cada factor para cada periodo de tiempo del horizonte.

A partir del segundo y tercer insumos se calcula en cada periodo de tiempo elsesgo aproximado del factor i-simo, it, de acuerdo con la ecuaciones 13 y 14. Alcombinar este resultado con el primer insumo se halla t tal como lo describe la tabla4.

En adicin a los tres supuestos anteriores, el clculo de la senda de sesgos aprox-imados de la inflacin futura con base en los sesgos aproximados de los factoressupusimos que:

El sesgo aproximado de la distribucin futura de la inflacin se explica exclusi-vamente por el sesgo aproximado de los factores y no por otras caractersticasde su distribucin.

El sesgo aproximado de la distribucin futura de la inflacin es una funcinlineal de los sesgos aproximados de los diferentes factores cuyas ponderacionesson los coeficientes de la funcin de impulso-respuesta.

El sesgo aproximado de la distribucin futura de la inflacin en un periodode tiempo particular del horizonte es la suma de los sesgos aproximados de lainflacin explicados por cada factor.

3.3.3 La Incertidumbre 2t

La varianza de la inflacin para un periodo particular del horizonte de pronstico,2t , se estima con base en los errores de pronstico histricos del informe de inflacin.

3.3.4 El Fan Chart

Una vez se han obtenido las tripletas (t , t ,

2t ) que contienen las sendas de los

valores ms probables de la inflacin, t , el sesgo aproximado, t , y la incertidumbre,

t , se puede determinar el valor de la tripleta equivalente (t ,

1t,

2t). A partir de

esta tripleta podemos obtener los percentiles 1, 2, ...., m simos de la densidad dela inflacin en cada periodo de tiempo, los cuales denotaremos klt, y que se definen deacuerdo con la ecuacin 8 como el valor klt tal que P [t klt] = l para l = 1, 2, ...,m.

Al unir las sendas {klt}9t=1 para cada l = 1, 2, 3, ...,m se obtiene el grfico del FanChart.

15

4 Usando el Fan Chart

En la seccin anterior explicamos los supuestos y derivamos las frmulas para elcmputo del Fan Chart. En esta se presentan algunas consideraciones prcticaspara su uso, las cuales se relacionan con la implementacin computacional del archivoen Excel adjunto.

4.1 El Multiplicador de la Incertidumbre

Uno de los resultados del ejercicio que lleva a producir el Fan Chart es la determi-nacin subjetiva del grado de incertidumbre en el horizonte de pronstico relativa ala incertidumbre histrica. Esto aplica para las distribuciones de los factores comopara la de la inflacin.

En cualquier ejercicio de pronstico es tentador pensar que el grado actual de in-certidumbre sobre el pronstico es superior a su incertidumbre histrica. Sin embargo,esto no necesariamente es verdad en todos los casos. Por ejemplo, si se identifica queun factor importante en la determinacin de la inflacin futura es un posible incre-mento de los impuestos sobre los combustibles, en el presente se tiene un mayor gradode incertidumbre sobre el valor del impuesto y su efecto sobre la inflacin futura. Sinembargo, una vez haya sucedido este incremento, la incertidumbre sobre el valor delincremento se reduce a cero y la incertidumbre con respecto al efecto sobre la inflacindisminuye.

De igual manera, el multiplicador sirve para ajustar la incertidumbre de unainflacin que tiene tendencia decreciente, consistente con una incertidumbre tambindecreciente.

Es importante anotar que el multiplicador de la incertidumbre es una medidarelativa a la incertidumbre histrica, y que este multiplicador es subjetivo peroderivado de un proceso formal.

4.2 Informacin Anual en Vez de Trimestral

Realizar supuestos, pronsticos o escenarios de los valores modales, balances de riesgoe incertidumbre para cada uno de los factores en cada trimestre del horizonte depronstico puede ser un trabajo difcil e innecesario, sobre todo si se incluyen factoresque an no han sido considerados en los modelos.

La implementacin actual del Fan Chart se basa en que se realizan supuestoso escenarios slo para el cuarto y novemo trimestre del horizonte de pronstico. Porcomodidad nos referimos a ellos como final del primer ao y final del segundoao. Es decir, en lugar de suponer valores (pit,

it) y (p

t ,

t ) para los 9 periodos de

tiempo del horizonte, se necesitan slamente los valores al final del primer y segundoao, (pi4,

i4), (p

4 ,

4 ), (p

i9,

i9) y (p

9 ,

9 ).

Sin embargo, este procedimiento implica la existencia de una regla a travs de laque se llenen los valores para los periodos intermedios. En la implementacin actual

16

Smbolo Nombre Periodos

t Inflacin Observada t = 20,19, ..., 0t Senda ms probable Inflacin t = 1, 2, 3, ..., 9t Meta de Inflacin t = 1, 2, 3, ..., 9

4 y 9

Desv. Estndar HistricaPronstico Inflacin

t = 4 y 9

w4 y w9

Multiplicador IncertidumbrePronstico Inflacin

t = 4 y 9

i4 y i9

Desv. Estndar Histricadel factor i-simo

i = 1, 2, ..., n1 t = 4 y 9

wi4 y wi9

Multiplicador Incertidumbredel factor i-simo

i = 1, 2, ..., n1 t = 4 y 9

pi4 y pi9

Balance de Riesgosdel factor i-simo

i = 1, 2, ..., n1 t = 4 y 9

i0 y i4

Resp. de t a impulso1 unidad del factor i-simo

i = 1, 2, ..., n1 t = 0 y 4

t Ponderaciones Intra Ao t = 1, 2, 3, ..., 9Lj Rangos Presentacin Tabla j = 1, 2, 3, .., 6j = 0.05 j Probabilidades para el dibujo del Fan Chart j = 1, 2, 3, .., 18

Table 5: Insumos Para la Construccin del Fan Chart"

suponemos que la distribucin de los valores al final de cada ao es uniforme a lolargo de los trimestres, y que la transicin del primer a segundo ao se interpolalinealmente.

Las ponderaciones de cada trimestre se conocen como Ponderadores Intra Aoy sus valores son 0.25 para los cuatro trimestres del primer ao y 0.20 para los cincodel segundo ao.

4.3 Insumos

La tabla 5 contiene una lista de los insumos necesarios para la construccin del FanChart. Los pasos necesarios se describen a continuacin y la obtencin de los insumosen la siguiente sub-seccin.

4.3.1 Pasos para la Costruccin del Fan Chart

1. Multiplique las desviaciones estndar histricas de cada variable por sus multi-plicadores de incertidumbre para hallar la medida de incertidumbre futura.

2. Convierta la incertidumbre y balance de riesgos de los factores en la aproxi-macin al riesgo correspondiente para cada factor en cada periodo de tiempo,t = 4 y 9.

17

3. Con la ayuda de la funcin de impulso respuesta transforme el sesgo aproximadode cada factor en el sesgo aproximado de la inflacin explicado por cada factor.

4. En cada periodo de tiempo, t = 4 y 9, sume los sesgos aproximados explicadospor cada uno de los factores en un sesgo total aproximado de la inflacin.

5. Con ayuda de las ponderaciones intra ao genere la incertidumbre y aproxi-macin total al sesgo de la inflacin para los periodos t = 1, 2, 3, ..., 9.

6. Para cada periodo de tiempo convierta la incertidumbre y aproximacin al sesgoanterior en 1t y

2t.

7. Complete la tripleta (t , 1t,

2t) para cada periodo de tiempo.

8. Determine los percentiles para las probabilidades determinadas y el resultadoes el Fan Chart.

4.3.2 Determinacin de los Insumos

Como se explic anteriormente, la senda ms probable de la inflacin, t , se obtiene apartir de los pronsticos de los diferentes modelos, basados en los supuestos, escenarioso pronsticos ms probables, t de los n factores considerados. Las metas de inflacinson determinadas por la JDBR y la inflacin observada es conocida de antemano. Ladesviacin estndar histrica de la inflacin se obtiene como el RMSE del pronsticode inflacin reportado en los informes de inflacin pasados.

Los n factores Xit que se incluyen en el cmputo de la senda ms probable de lainflacin son el resultado del informe de inflacin.

En general estos factores son variables que entran como variables exgenas en losmodelos de pronstico, o que son variables endgenas en modelos conjuntos como elMMT. Sin embargo, estos no son los nicos tipos de factores que se pueden incluir.Estos factores se clasifican en: (a) Choques a las innovaciones de alguna variableimportante del MMT, tales como innovaciones al cosumo, productividad, etc. (b)Choques a los procesos que determinan alguna variable exgena como las tasa deinters externa. Y (c) Choques a parmetros clave que reflejan un cambio del mecan-ismo de transmisin tales como los cambios en el pass-trough o en la pendiente de lacurva de Phillips debido a la prdida de credibilidad de las politicas para alcanzar lameta de inflacin.

La senda ms probable de los factores, it, proviene de los pronsticos, supuestoso escenarios que se discuten en el interior del informe de inflacin. Estas sendasalimentan los diferentes modelos de pronstico de la inflacin, de los cuales se obtienet .

Luego de establecer la senda central, se estudia el balance de riesgos de cadauno de los factores con base en el conocimiento actual de la economa. El valor delbalance de riesgos para cada factor es subjetivo y se expresa en un conjunto de

18

valores pit = P [Xit it]. Estos factores se clasifican en n1 que tienen balance de

riesgos diferente a 0.5 en algn periodo de tiempo y los dems que tienen un balancesimtrico de riesgos en todos los periodos.

Para los n1 factores con balance asimtrico de riesgos se necesita la desviacinestndar histrica, la cual se calcula como la varianza residual estimada si el factores una innovacin a una ecuacin, o la desviacin estndar histrica estimada de lavariable exgena que recibe la innovacin, o la desviacin estndar estimada de unmodelo en el que el parmetro en cuestn cambie en el tiempo. En cualquier otrocaso se puede utilizar el criterio de expertos.

Las funciones de impulso respuesta correspondientes se obtienen del MMT o dealgn modelo diseado para el fn especfico. Sin embargo hay que tener en cuentaque estos son la respuesta de la inflacin total a una innovacin de una unidad enel factor particular.El grfico ?? describe los pasos para la construccin del FanChart y muestra como su construccin se realciona con un esquema para pensar enla evolucin futura de la inflacin.

5 Discusin

El Fan Chart es una herramienta muy til para los bancos centrales que siguen elesquema de metas de inflacin. Sus usos primordiales son: Primero, comunicar alpblico la visin actual del banco acerca de la evolucin de la inflacin, condicional almejor conocimiento del funcionamiento de la economa, el estado actual de esta y sudesempeo futuro. Y segundo, sirve como un esquema para pensar en la evolucin fu-tura de la inflacin. Si bien podemos obtener un Fan Chjart de cualquier modelo depronstico, la implementacin que usa actualmente el Banco de la Repblica cumplecon la condicin de ser formal pero sencilla. La sencillez se deriva de la necesidad delos miembros de la JDBR de replicar sus propios ejercicios a partir de la informacinentregada por el staff, es decir, sin la complicacin de un modelo particular.

Nuestra implementacin del Fan Chart es similar a la del Informe de Inflacindel Banco de inglaterra el cual se basa en los supuestos descritos anteriormente en elescrito. Si bien el Fan Chart es cada vez ms aceptado por los bancos que siguenel esquema de metas de inflacin, este ha sido blanco de crticas por la sencillez desus supuestos.

En particular, se han cuestionado dos supuestos: Primero, el supuesto de que ladistribucin condicional de la inflacin sea normal en dos piezas dado que la condi-cional de los factores es tambin de este tipo. Y segungo, el supuesto de que el efectodel sesgo aproximado de los factores sobre el sesgo aproximado de la inflacin seaaditivo. El primer supuesto es muy fcil de sostener ya que la densidad normal endos piezas es una buena aproximacin para una familia extensa de funciones de den-sidad asimtricas y unimodales. El segundo supuesto es ms dificil de sostener porsu naturaleza restricitiva.

19

Figure 4: El Fan Chart Como un Esquema Para Pensar en la Evolucin de laInflacin

20

Sin embargo, varios autores como [3] y [8] han realizado algunas comparacionesque podran servir como punto de partida para un formalizacin ms estricta.

21

References

[1] Blix, M. y Sellin, P. (1998) Uncertainty bands for Inflation Forectasts, mimeoSeveriges Riksbank.

[2] Britton, E., Fisher, P. y Whitley, J. (1998) The Inflation Report Projections:Understanding the Fan Chart, Bank of England Quarterly Bulletin, Feb. 1998.

[3] Cogley, T., Morozov, S. y Sargent, T. (2003) Bayesian Fan Charts for UK In-flation: Forecasting and Sources of Uncertainty in an Evolving Monetary Sys-tem, CFS-Bundesbank Conference on xpectations, Learning and Monetary Pol-icy, Eltville, Alemania Agosto del 2003.

[4] Hamman, F., Julio, J., Restrepo, P. y Riascos, A. (2004) Inflation Targeting in aSmall Open Economy: The Colombian Case, Borradores Semanales de Economa# 308. Banco de la Repblica, Bogot, Colombia.

[5] Gomez, J. y Julio, J. (2001) Transmission Mechanisms and Inflation Targeting:The Case of Colombias Disinflation, Borradorese Semanales de Economa # 168.Banco de la Repblica, Bogot, Colombia.

[6] Gomez, J. y Julio, J. (2005) Transmission Mechanisms and Inflation Targeting:The Case of Colombias Disinflation, Captulo 6 del libro How Monetary Pol-icy Works, editado por Mahadeva, L. y Sinclair, P., Central Banks GovernorsSymposium Series, Routledge, pag. 139-168.

[7] Gomez, J., Uribe, J. y Vargas, H. (2002) The Implementation of Inflation Tar-geting in Colombia, Borradores Semanales de Economa # 202. Banco de laRepblica, Bogot, Colombia.

[8] Vega, M. (2003) Reportando la Distribucin de la Proyeccin de Inflacin; Re-vista de Estudios Economicos, Banco Central de la Reserva del Peru, Noviembrede 2003.

[9] Vega, M. (2004) Policy Makers Priors and Inflation Density forecasts, WorkingPaper, Banco Central de la reserva del Peru. 2004.

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