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4장 2차원 운동

4.1 위치, 속도, 가속도 벡터

if rrr −≡Δ : 변위벡터

jdt

ydidt

xdjdt

dvi

dtdvjia

vva

va

jdtdyi

dtdxjiv

rrv

rjir

2

2

2

2yx ˆˆˆˆˆˆ

)(

ˆˆˆˆ

)(

ˆˆ

0

0

lim

lim

00

00

+=+=+=

=ΔΔ

≡

ΔΔ

≡

+=+=

=ΔΔ

≡

ΔΔ

≡

+=

>−Δ

>−Δ

yx

tt

yx

tt

aa

dtd

tt

t

vv

dtd

tt

tv

yx =>위치벡터

=>평균속도벡터

=>순간속도벡터

=>가속도벡터

=>순간가속도벡터

A점에서의 속도v의 방향

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

ji

ji

jijijiavrr

ji

ji

jijiavv

ˆˆ

ˆ21ˆ

21

ˆˆ21ˆˆˆˆ

21

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆ

22

22

ff

yyixxi

yxyixiiif

yfxf

yyixxi

yxyixiif

yx

tatvytatvx

taatvvyxtt

vv

tavtav

taavvt

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

+++++=++=

+=

+++=

+++=+=

4.2 등가속도 2차원 운동

성분별로 생각! (xy평면)

등가속도 a로 운동하는 입자의 속도의 벡터표현과 성분분석

( ) ( )( ) ( )

ji

ji

jijiavv

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆ

yfxf

yyixxi

yxyixiif

vv

tavtav

taavvt

+=

+++=

+++=+=

등가속도 a로 운동하는 입자의 위치의 벡터표현과 성분분석

ji

ji

avrr

ˆˆ

ˆ21ˆ

21

21

22

2

ff

yyiixxii

iif

yx

tatvytatvx

tt

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

++=

예제4.1 평면운동

시간 t=0일 때, 입자가 x성분은 20m/s이고 y성분은 -15m/s인 처음속도를 갖고 원점에서운동하기 시작한다. 이 입자는 xy평면에서 x 성분의 가속도 ax=4m/s2을 갖고 운동한다.

(a) 속도의 성분을 시간의 함수로 표현하고, 임의 시간에서 전체 속도 벡터를 구하라.

(b) t=5초일 때 입자의 속도와 속력을 구하라.

(c) 임의의 시간 t 에서 위치x와 y를 구하고 위치벡터를 구하라.

( ) ( ) [m/s]ˆ15ˆ4ˆˆm/s15m/s0m/s15

m/s4m/s20m/s4

0,0,0,m/s15,m/s202

ji20jiv -tvv

tvtavvtvtavv

a

tyxatvv

yx

yyyiy

xxxix

x

yixi

++=+=

−=+−=→+=+=→+=

=

===−== 초

( ) ( )[m/s]43)15(40

[m/s]ˆ15ˆ40ˆ15ˆ5420ˆ15ˆ4202222 =−+=→+=

−=−×+=→−+=

vv

jijijiv

yx vv

vt

( ) [m]ˆ15ˆ0.220ˆˆ

15021150

21

0.220421200

21

2

22

222

jijir tttyx

tttytatvyy

ttttxtatvxx

ff

fyyiif

fxxiif

−+→+=

−=+−=→++=

+=++=→++=

(A)

(B)

(C)

4.3 포물체 운동•중력가속도g는 일정하고 아래로 향함

•공기저항 무시

•x방향의 가속도는 없다!

가정

iixi vv θcos=

iiyi vv θsin=

2

ˆ

tt

tg

a21vrr

avvja

ii

i

++=

+=−=

tvttvx

tvva

xixif

xix

x

=++=

+==

20210

00

22

21

210 gttvgttvy

gtvv

ga

yiyif

yiy

y

−=−+=

−=

−=

• x성분:

• y성분:

포물선운동에서

원점에서 출발하면,

iixi vv θcos=iixf vv θcos=

tvtvx iixif θcos==

iiyi vv θsin=

22

21sin

21

sin

gttvgttvy

gtvv

iiyif

iiyf

−=−=

−=

θ

θ

gv

gvg

gvvy

ii

iiiiiif

2sin

sin21sinsin

22

2

θ

θθθ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

• x성분 :등속운동

:수직이동거리

• y성분 :자유낙하운동

땅에 떨어질 때까지의 시간

gv

tgttv yiyi 2

210 2 =→−=

°=→=→

=

==

4512sin

2sin

cossin22

2

2

ii

ii

iiiyixif

gv

gv

gv

vx

θθ

θ

θθ

위해서는최대수평거리를

:수평이동거리

gvt ii θsin

=

최고점에 도달하는데걸리는 시간

대입

예제) 공이 지면과 37도 를 이루며 초속도 20m/s로 날아갔다.

(a)최대높이, (b)땅에 떨어질 때 까지 걸린 시간, (c)떨어진 지점의 수평거리

[m/s]126.02037sin20sin[m/s]168.02037cos20cos

[m/s],20

=×=°×===×=°×==

=

iiyi

iixi

i

vvvv

v

θθ

gv

t

gtv

gtvv

yi

yi

yiyf

=→

−=→

−=

0

[m]35.78.9

1221

21

21

21

22

2

2

===→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=→

−=

gv

y

gv

gg

vvy

gttvy

yif

yiyiyif

yif

:이 시간 후면 y성분속도는 0, 즉 최대높이

y성분 속도 y성분 변위(높이)

[s]44.28.91222

0

210

210

21

2

2

=×

===→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=→−=→

−=

gv

tt

gtvtgttv

gttvy

yi

yiyi

yi

혹은

[m]2.3944.21644.237cos =×=×°=→=

xi

xi

vxtvx

수평으로 간 거리는 vx에 의한 거리임

포물선운동에서 수평운동은 등속운동

떨어질 때 간 거리는 떨어질 때까지 걸린 시간을 수평성분에 대입

땅에 떨어질 때 -> y=0을 의미

처음속력 50m/s로 쏘아 올린 포물체의 여러 각도에 대한 궤적

다른 각도들이 동일한 수평이동거리(R) 값을 가짐.

4.4 등속 원운동(Uniform Circular Motion): 일정한 속력 v 로 원주 위를 도는 물체 => 등속 원운동

* 일정한 속력에서도 가속도는 있다!

rt

t

r

vvvvvvvvv

Δ+Δ=Δ=ΔΔ

=ΔΔ

성분수평인와성분수평의

성분수직인와성분수직의

: :

rtrt

rt

if

if

dtd

dtd

ttttt

aavv

vvvvva

+=+=

ΔΔ

+ΔΔ

=ΔΔ

=−

−≡

: 접선가속도

: 법선가속도

평균가속도

라 두면

벡터의 동등성을 이용하여 평행이동

!두 삼각형은 닮은꼴 삼각형!

등속원운동 하는 물체의 경우

=> |vi | = |vf | = v, |ri|= |rf| = r

rv

dtdr

rv

dtdva

drrvdv

rrvv

rr

vv

rv

2====>

=⇒Δ

×=Δ⇒

Δ=

Δ⇒

Δ=

Δ rv

: 구심가속도

(법선가속도)

v

주기T : 한번 회전하는데 걸리는 시간

한번 회전하는 동안의 이동 거리

: 2πr = 속도ⅹ 한번 회전하는데 걸리는 시간 T

=> T= 2πr / v

예제 4.5) 태양 주위 궤도로 지구가 운동할 때 구심 가속도를 구하라.

( )23

2

112

11

2

2

2

2

2

/1093.5360024365

10496.14

3600243651 10496.1

42

22,

sma

Tmr

Tr

rT

r

rva

Trv

vrT

rva

−×=××

××==>

××===>

×==>

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

===>

==>==

π

ππ

ππ

초시간일년공전주기

지구간의거리태양과

이고

4.5 접선 및 지름 가속도

(Tangential and Radial Acceleration)

•접선 가속도(at): 입자의 속력변화에 의해 발생

•지름 가속도(ar): 입자의 속도벡터 방향의 변화에 의해 발생

=법선가속도=구심가속도=> 원의 중심을 향하고 크기는 v2/r

예제4.6) 어떤 차가 도로를 따라 0.300m/s2의 등가속도로 달리고 있다. 차가 도로에 있는 언덕을넘어가는데 그 꼭대기가 반지름 500m인 원 모양이다. 언덕 꼭대기에 차가 있을 때 속도 벡터는수평이고 크기는 6.0m/s이다. 이 순간 차의 전체 가속도 방향은 어디인가?

법선가속도(구심가속도) => ar = v2/r = (62/500) m/s2

접선가속도=> at = 0.300 m/s2

( ) ( )( )( )( )( ) °−==⇒

==

=+=+=

− 5.13/300.0/0720.0tan

/300.0/0720.0tan

/309.0/300.0/0720.0

2

21

2

2

2222222

smsm

smsm

aa

smsmsmaaa

t

r

rt

φ

φ

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