pouzdanost

7/18/2019 pouzdanost

http://slidepdf.com/reader/full/pouzdanost-56d65fc8062cd 1/256

Rifat M. Ramović

Workstation

WorkstationIBM Compatible

Workstation

Satellite dish

Radio tower

Satellite dish

Satellite dish

!!!

!!!

POUZDANOST SISTEMA

ELEKTRONSKIH TELEKOMUNIKACIONIH I INFORMACIONIH

Beograd 2005. god.



Dr Rifat M. Ramović, prof.

POUZDANOST SISTEMA

ELEKTRONSKIH, TELEKOMUNIKACIONIH I INFORMACIONIH

Recezenti :

Dr Vitomir Milanović, prof.

Dr Slavko Pokorni, pukovnik, prof.

Dr Zoran Petrović, prof.

Izdavač :

Katedra za Mikroelektroniku i tehničku fiziku

Tehni č ka obrada:

Nemanja Lj. Đoković, dipl. ing.

Beograd 2005. god.



PREDGOVOR

Razvoj teorije pouzdanosti rezultat je velikog tehničko-tehnološkog napretka udvadesetom veku. Vremenom, sve složeniji sistemi preuzimali su u automatizovanim procesima

sve veći broj ljudskih obaveza. Jasno je da su ti sistemi morali da zadovolje određene kriterijume po pitanjima ispravnog rada, eksploatacije i održavanja. Dakle, bilo je potrebno dati odgovore na pitanja kvantitativne ocene pouzdanosti jednog sistema (ili uređaja), kao i na pitanja kako pouzdanost komponenti i održavanje sistema utiče na rad istog. Može se reći da je teorija pouzdanosti svoj največi razvoj doživela kroz elektrotehniku. Glavni razlozi za to leže učinjenicama da je u elektrotehnici najlakše vršiti merenja pouzdanosti i upoređivati sa teorijskim

predviđanjima. Takođe, pošto su elektronske naprave generalno sastavljene od mnogo višekomponenti nego, recimo, mehaničke, jasno je da je za njih potrebniji i mnogo složeniji proračun

pouzdanosti. Korišćenjem matematike otkrivene su nove metode koje omogućavaju da pri projektovanju, izradi i eksploataciji elemenata sklopova se postigne zavidan nivo pouzdanosti. Nagli razvoj informatike i pojava veoma moćnih računara omogućile su izvođenje izuzetno

složenih simulacija funkcionisanja sistema.Pouzdanost kao naučna disciplina se već dugi niz godina neguje na Elektrotehničkom

fakultetu u Beogradu. Formirano je i nekoliko kurseva (predmeta) koji tretiraju problematiku pouzdanosti kao što su: Pouzdanost mikroelektronskih naprava, Pouzdanost i efektivnosttehničkih sistema, Pouzdanost i raspoloživost telekomunikacionih sistema, Pouzdanosttelekomunikacionih mreža i drugi.

Autor ove knjige izvodio je i izvodi nastavu iz navedenih predmeta i ima veliko iskustvoiz analize pouzdanosti tehničkih sistema. Urađen je određeni broj projekata i objavljeno višenaučnih radova iz modelovanja pouzdanosti i raspoloživosti telekomunikacionih sistema. Izbormaterijala za knjigu baziran je na stečenom iskustvu, a prilagođen je nastavnom planu predmeta

Pouzdanost sistema (elektronskih, telekomunikacionih i informacionih) koji će se po najnovijemnastavnom planu i programu (usvojenom 2005. god.) predavati na završnim godinama redovnih(dodiplomskih) studija. Međutim knjiga može korisno poslužiti širokom krugu ljudi koji sezanimaju za problematiku pouzdanosti tehničkih sistema.

Koristim priliku da se zahvalim recezentima prof. dr Vitomiru Milanoviću, prof. dr SlavkuPokornom, pukovniku i prof. dr Zoranu Petroviću na stručno obavljenoj recenziji i korisnimsugestijama pri izradi knjige. Takođe se zahvaljujem dipl. ing. Nemanji Đokoviću za kvalitetnutehničku i stručnu obradu.

Biću zahvalan svima koji mi ukažu na propuste, greške i nedostatke ove knjige.

Beograd 2005. Autor



Sadržaj

i

SADRŽAJ

1. UVOD......................................................................................................................................................................... 1

2. POKAZATELJI POUZDANOSTI.......................................................................................................................... 5 2.1. Određ ivanje pokazatelja pouzdanosti................................................................................................................. 5

2.2. Funkcije raspodele otkaza, pouzdanosti i gustine otkaza................................................................................... 7

2.3. Funkcija intenziteta otkaza................................................................................................................................. 7

2.4. Oč ekivano vreme bezotkaznog rada................................................................................................................... 9

2.5. Funkcija intenziteta otkaza i vek trajanja sistema............................................................................................ 10

3. OTKAZI ELEMENATA I SISTEMA................................................................................................................... 12

4. NEKI ZAKONI RASPODELE SLUČAJNIH VELIČINA KOJE SE KORISTE U TEORIJI

POUZDANOSTI ......................................................................................................................................................... 17 4.1. Sluč ajni događ aj. Verovatnoća događ aja. Sluč ajne velič ine i zakoni njihove raspodele................................. 17

4.1.1. Funkcija raspodele. Niz raspodele ........................................................................................................... 18 4.1.2. Gustina raspodele..................................................................................................................................... 20 4.1.3. Brojne karakteristike slučajnih veličina................................................................................................... 21

4.2. Neki kontinualni zakoni raspodele pojvljivanja otkaza .................................................................................... 24 4.2.1. Eksponencijalna raspodela....................................................................................................................... 24 4.2.2. Normalna raspodela ................................................................................................................................. 26 4.2.3. Lognormalna raspodela............................................................................................................................ 30 4.2.4. Vajbulova raspodela................................................................................................................................. 33 4.2.5. Gama raspodela........................................................................................................................................ 35 4.2.6. Beta raspodela.......................................................................................................................................... 38

4.2.7. Studentova raspodela ............................................................................................................................... 40 4.2.8. Fišerova raspodela, Snedekorova raspodela............................................................................................ 41

4.3. Neki diskretni zakoni raspodele za prorač un pouzdanosti ............................................................................... 41 4.3.1. Binomna raspodela................................................................................................................................... 41 4.3.2. Poasonova raspodela................................................................................................................................ 44 4.3.3. Geometrijska raspodela............................................................................................................................ 45 4.3.4. Hipergeometrijska raspodela.................................................................................................................... 46

5. ODREĐIVANJE ZAKONA RASPODELE NA OSNOVU EMPIRIJSKIH PODATAKA.............................. 47

5.1. Određ ivanje zakona raspodele grafič kim metodama ....................................................................................... 47 5.1.1. Određivanje zakona raspodele na osnovu empirijske funkcije raspodele (metodom konstrukcijehistograma) ........................................................................................................................................................ 47 5.1.2. Određivanje funkcije raspodele verovtnoće primenom papira vervoatnoće............................................ 49

5.2. Određ ivanje zakona raspodele analitič kim metodama..................................................................................... 54 5.2.1. Određivanje zakona raspodele metodom momenata................................................................................ 54 5.2.2. Određivanje zakona raspodele metodom maksimalne verodostojnosti.................................................... 54

5.3. Određ ivanje tač nosti parametara raspodele.................................................................................................... 55

6. ANALIZA POUZDANOSTI DVOSTACIONARNIH SISTEMA...................................................................... 58

6.1. Metode određ ivanja pouzdanosti vremenski nezavisniih sistema..................................................................... 58 6.1.1. Pouzdanost u slučaju redne veze blokova pouzdanosti............................................................................ 58 6.1.2. Pouzdanost u slučaju paralelne konfiguracije blokova pouzdanosti ........................................................ 59 6.1.3. Pouzdanost u slučaju kombinovane konfiguracije blokova pouzdanosti ................................................. 61

6.1.4. Određivanje pouzdanosti metodom rastavljanja ...................................................................................... 63 6.1.5. Pouzdanost u slučaju modela „r od n“..................................................................................................... 64 6.1.6. Pouzdanost u slučaju pripravnosti............................................................................................................ 66



Sadržaj

ii

6.2. Metode određ ivanja pouzdanosti vremenski zavisnih sistema.......................................................................... 67 6.2.1. Pouzdanost u slučaju redne konfiguracije elemenata............................................................................... 67 6.2.2. Pouzdanost u slučaju paralelne konfiguracije elemenata......................................................................... 69 6.2.3. Pouzdanost u slučaju pripravnosti............................................................................................................ 71

7. ANALIZA POUZDANOSTI SISTEMA SA VIŠESTACIONARNIM ELEMENTIMA.................................. 77 7.1. Pouzdanost u sluč aju višestacionarnih vremenski zavisnih elemenata ............................................................ 86

8. EFEKTIVNOST SISTEMA I POKAZATELJI EFEKTIVNOSTI.................................................................... 88

8.1. Koncepti efektivnosti sistema............................................................................................................................ 88

8.2. Pokazatelji efikasnosti sistema......................................................................................................................... 90

8.3. Vremenske kategorije efektivnosti sistema ....................................................................................................... 93

9. PRORAČUN POUZDANOSTI KOMPONENATA SISTEMA METODOM MIL - HDBK- 217D................ 95

9.1. Opšte napomene ............................................................................................................................................... 95 9.1.1. Osnovna podela........................................................................................................................................ 95 9.1.2. Faktor kvaliteta ........................................................................................................................................ 96 9.1.3. Faktor amibijenta ..................................................................................................................................... 96 9.1.4. Ostali korekcioni faktori .......................................................................................................................... 97

9.2.Mikroelektronska kola ....................................................................................................................................... 98

9.3. Diskretni poluprovodnici................................................................................................................................ 102

9.4. Vakuumske cevi .............................................................................................................................................. 106

9.5. Laseri.............................................................................................................................................................. 107

9.6. Otpornici ........................................................................................................................................................ 108

9.7. Kondenzatori .................................................................................................................................................. 112

9.8. Induktivni elementi ......................................................................................................................................... 118 9.9. Motori............................................................................................................................................................. 121

9.10. Relea............................................................................................................................................................. 123

9.11. Prekidač i ...................................................................................................................................................... 124

9.12. Konektori...................................................................................................................................................... 125

9.13. Štampane ploč e............................................................................................................................................. 127

9.14. Spojevi .......................................................................................................................................................... 127

9.15. Ostali elementi.............................................................................................................................................. 128

10. PRORAČUN POUZDANOSTI POMOĆU MARKOVLJEVIH MODELA ................................................. 129 10.1. Markovljevi modeli....................................................................................................................................... 129

10.1.1. Poasonov proces................................................................................................................................... 129

10.2. Matrica verovatnoća prelaza........................................................................................................................ 134

10.3. Rešavanje jednač ina Markova...................................................................................................................... 134

10.4. Određ ivanje pouzdanosti nepopravljivih sistema......................................................................................... 138 10.4.1. Oređivanje pouzdanosti nepopravljivog sistema sa jednim elementom............................................... 138

10.4.2. Određ ivanje pouzdanosti nepopravljivog sistema sa dva elementa .......................................................... 141

10.5. Pouzdanost i raspoloživost popravljivih sistema.......................................................................................... 147 10.5.1. Pouzdanost i raspoloživost popravljivog sistema sa jednim elementom.............................................. 148

10.5.2. Pouzdanost i raspoloživost popravljivog sistema sa rednom vezom dva elementa.............................. 153



Sadržaj

iii

10.5.3. Pouzdanost i raspoloživost popravljivog sistema sa paralelnom vezom dva elementa ili sa jednimaktivnim elementom i jednim elementom u pripravnosti................................................................................. 156 10.5.4. Proračun pouzdanosti i raspoloživosti sistema kada intenziteti otkaza i popravke nisu konstantni.... . 164

10.6. Teorija obnavljanja ...................................................................................................................................... 168

11. ALOKACIJA POUZDANOSTI......................................................................................................................... 175 11.1. Pojam alokacije pouzdanosti........................................................................................................................ 175

11.2. Metode alokacije pouzdanosti ...................................................................................................................... 176 11.2.1. Metoda jednake alokacije..................................................................................................................... 176 11.2.2. AGREE metoda alokacije .................................................................................................................... 177 11.2.3. ARINC metoda alokacije..................................................................................................................... 179 11.2.4. Metoda alokacije uz minimalan uložen napor...................................................................................... 182

12. UGRADNJA POUZDANOSTI U KONSTRUKCIJU NOVOG UREĐAJA ................................................. 185

12.1. Pouzdanost u procesu konstruisanja ............................................................................................................ 185

12.2. Pogodnost održavanja u procesu konstruisanja........................................................................................... 185

12.3. Principi konstruisanja u pogledu pouzdanosti ............................................................................................. 187

12.4. Pogodnost održavanja i pouzdanost uređ aja................................................................................................ 189

13. OPTIMIZACIJA TROŠKOVA POUZDANOSTI........................................................................................... 190

13.1. Različ iti aspekti troškova pouzdanosti.......................................................................................................... 190

13.2. Matematič ki model optimizacije troškova pouzdanosti ................................................................................ 192

13.3. Matematič ki model za utvr đ ivanje opravdanosti multipliciranja elemenata................................................ 193

14. POUZDANOST SOFTVERA ............................................................................................................................ 195

14.1. Kvalitet softvera............................................................................................................................................ 195 14.2. Pokazatelji pouzdanosti softvera.................................................................................................................. 197

14.3. Greške u softveru.......................................................................................................................................... 199

14.4. Modelovanje pouzdanosti softvera ............................................................................................................... 202

15. POUZDANOST I RASPOLOŽIVOST TELEKOMUNIKACIONIH SISTEMA......................................... 205

15.1. Uvod ............................................................................................................................................................. 205 15.1.1. Prstenaste i paučinaste strukture .......................................................................................................... 206 15.1.2. Metod prekrivanja prstenova................................................................................................................ 208 15.1.3. Osnovni model paučinaste strukture .................................................................................................... 209 15.1.4. Vrste paučinastih modela ..................................................................................................................... 210

15.1.5. Koncept p – krugova ........................................................................................................................... 212 15.2. Mreže za Internet saobraćaj......................................................................................................................... 214

15.2.1. Sposobnost brzog oporavka kod IP/MPLS modela.............................................................................. 215 15.2.1.1. Statičke šeme za oporavak..................................................................................................... 215 15.2.1.2. Dinamičke ION šeme za oporavak ........................................................................................ 216

15.2.2. Rekonfiguracija IP topologije .............................................................................................................. 218

15.3. Projektovanje IP mreža ................................................................................................................................ 219 15.3.1. QoS (kvalitet servisa)........................................................................................................................... 219 15.3.2. Diferencirani QoS ................................................................................................................................ 219 15.3.3. Proširenje QoS-a .................................................................................................................................. 220 15.3.4. MPLS opcije za oporavak.................................................................................................................... 221 15.3.5. Veza RD-QoS-a i MPLS mehanizama oporavka................................................................................. 223

15.3.6. Upravljanje transportom kod RD-QoS arhitekture .............................................................................. 223 15.4. Uticaj kvarova na mreže sa bežič nim pristupom .......................................................................................... 226



Sadržaj

iv

15.4.1. Uvodna razmatranja............................................................................................................................. 226 15.4.2. Osnovni model za projektovanje preživljivih mreža sa bežičnim pristupom....................................... 227 15.4.3. Analiza preživljivosti GSM mreža....................................................................................................... 228

15.5. UMTS: projektovanje pouzdane mreže za pristup........................................................................................ 231 15.5.1. PTA algoritam...................................................................................................................................... 234

15.5.2. Algoritmi za povećavanje pouzdanosti ................................................................................................ 234 15.5.2.1. GRE algoritam ....................................................................................................................... 235 15.5.2.2. RRE algoritam ....................................................................................................................... 235

15.6. Pouzdanost i raspoložovost složenih sistema komunikacija......................................................................... 237 15.6.1. Inteziteti otkaza komponenata, modula, uređaja i kanala veza ............................................................ 237 15.6.2. Tipične vrednosti pouzdanosti za prenosne sisteme............................................................................. 237 15.6.3. Pouzdanost i raspoloživost telefonske mreže....................................................................................... 237

15.6.3.1. Raspoloživost usled otkaza.................................................................................................... 237 15.6.3.2. Servis raspoloživosti .............................................................................................................. 238 15.6.3.2.1. Telefonski servisi................................................................................................................ 239

15.6.4. Granične vrednosti za raspoloživost i pouzdanost sistema .................................................................. 241 15.6.5. Granične vrednosti za mrežne elemente............................................................................................... 243

15.6.5.1. Grupa kanala i kanal .............................................................................................................. 243 15.6.5.2. Uređaji linijskih prenosnih sistema........................................................................................ 244 15.6.5.3. Multipleksni i pomoćni uređaji za terminale.......................................................................... 246

15.6.6. Uputstva za raspodelu osnovnih resursa u zavisnosti od ulaganja....................................................... 246 15.6.6.1. Napajanje ............................................................................................................................... 246 15.6.6.2. Linijski sistemi....................................................................................................................... 247 15.6.6.3. Prenosne deonice ................................................................................................................... 247 15.6.6.4. Klase kanala u zavisnosti od raspoloživosti.......................................................................... 247 15.6.6.5. Raspored mreža...................................................................................................................... 247 15.6.6.6. Centrale.................................................................................................................................. 248

LITERATURA.......................................................................................................................................................... 249



Uvod

1

1. UVOD

U svakodnevnom životu vrlo često su u upotrebi pojmovi koji se odnose na pouzdanost

tehničkih proizvoda i objekata. Njihovo značenje se obično podrazumeva. Međutim, radikvantitativnog određivanja pojednih veličina i parametara koji karakterišu te pojmove neophodnoih je precizno definisati. Egzaktan pristup ovom problemu bazira se na teoriji pouzdanosti kaonaučnoj disciplini koja se bavi proučavanjem zakonitosti kojih se treba pridžavati pri

projektovnju, konstrukciji, ispitivanju, proizvodnji i eksploataciji tehničkih proizvoda kako bi oniimali što duži radni vek a time i maksimalni radni učinak.

U zavisnosti od preciznosti, za pouzdanost kao pojam mogu se sresti definicije koje semeđusobno neznatno razlikuju.

Najjednostavnije rečeno pouzdanost je sposobnost objekta (komponente, uređaja, sistema)da uspešno obavlja zadatu mu funkciju, pod određenim uslovima, u datom vremenskom intervalu.

Šta je, zapravo, pouzdanost najpotpunije objašnjava sledeća definicija:

Pouzdanost je vervotnoća, na određ enom nivou poverenja, da će sistem uspešno, bezotkaza, obaviti funkciju za koju je namenjen, unutar specificranih granica performansi, u toku

specificiranog vremena trajanja zadataka, kada se koristi na propisani nač in i u svrhu za koju jenamenjen, pod specificiranim nivoima opterećenja, uzimajući u obzir i prethodno vremekoriš ćenja sistema.

Pa i u standardima pojeniih zemalja postoje neke male razlike u definiciji pojma pouzdanosti. Na primer:

Prema ruskom standardu (GOST) pouzdanost se definiše kao svojstvo objekta da

ispunjava zadate funkcije i održava vrednost eksploatacionih parametara tokom vremena uzadatim granicama, koje su određene zadatim režimima i uslovima korišćenja, tehničkogopsluživanja, remonta, skladištenja i transporta.

Prema američkom MIL standardu pod pouzdanošću se podrazumeva verovtnoća da ćeneki predmet svoju namensku funkciju obavljati u datom vremenskom intervalu, pod zadatimuslovima.

Nemački standard DIN definiše pouzdanost kao sposobnost nekog proizvoda ili robe dazadovolji, u toku primene, uslovljene zahteve koji se postavljaju u pogledu ponašanja iliodržavanja njihovih osobina za duži vremenski period.

Ove dfinicije ukazuju na kompleksnost pouzdanosti, koja u zavisnosti od namene objekatai uslova njegove eksploatacije može obuhvatiti bezotkaznost, trajnost, pogodnost za opravke ilisposobnost da se sačuva skup određenih svojstava u dužem vremenskom periodu, pri čemu se tasvojstva mogu odnositi na celokupan objekat ili samo na neke njegove delove.

U svim navedenim definicijama prisutna su dva nezaobilazna faktora : vreme rada i uslovirada. Podaci koji se daju za pouzdanost objekta merodavni su samo u navedenom vremenskomintervalu i specificiranim uslovima korišćenja.

Vidi se da je pouzdanost verovatnoća, što znači broj između 0 i 1 ili 0 i 100%. Može se predstaviti kao odnos između broja uspešnih zadataka sistema ( )t n1 prema ukupnom broju ovihzadataka n :



Uvod

2

( ) ( )

n

t nt R 1ˆ = (1.1)

gde je t vreme trajanja zadatka. ( )t R̂ je procena pouzdanosti jer je broj zadataka sistema ( )t n konačan broj. Stvarna pouzdanost se dobija kada broj zadataka sistema teži beskonačnosti, tj.

( ) ( )t Rt Rn

ˆlim∞→

= (1.2)

Zbog nepodudarnosti procene sa stvarnom vrednošću, uvodi se pojam nivoa poverenja. To jeverovatnoća da je neki parametar unutar datih granica ili je iznad donje granice. Statističke

procene se obično predstavljaju u vidu intervala, uz verovatnoću tj. poverenje da će stvarnavrednost biti u tom intervalu. Krajnje tačke tog intervala zovu se granice poverenja. Ako se kaže,na primer, da je pouzdanost nekog sistema 0,95 na nivou poverenja 0,9 to znači da postoji rizik od

10% da je pouzdanost tog sistema manja od 0,95. Dakle, u toku konstruisanja nekog sistema, nijedovoljno samo postaviti zahtev u vezi sa vrednošću pouzdanosti koju sistem mora da zadovolji,već treba dodati i nivo poverenja tako da bude poznat rizik u vezi sa postizanjem te pouzdanosti.

Rad bez otkaza dobija se kada su sve performanse sistema u skladu sa specifikacijama.Prethodno vreme korišćenja sistema je veom važno i mora se uzeti u obzir prilikom izračunavanja

pouzdanosti izvršenja tog zadatka. Matematički, to se može izraziti jednačinom:

( ) ),()( t T RT Rt T R ⋅=+ (1.3)

Samo u slučaju konstantnih (slučajnih) otkaza pouzdanost ne zavisi od prethodnog vremenakorišćenja tj. tada važi:

( ) ( ) )(, t Rt T Rt T R ==+ (1.4)

Vreme trajanja zadatka je obrnuto proprcionalno nivou pouzdanosti. Ako se želi veomavisoka pouzdanost onda vreme trajanja zadatka treba da je što kraće.

Neprekidni porast složenosti tehničkih sistema kao i značaj funkcije koju oni obavljajuneizbežno iziskuju neophodnost korišćenja i razvijanja ideja i metoda teorije pouzdanosti. Takavrazvitak traži dobro poznavanje svih fizičkih i hemijskih procesa koji dovode do smanjenja

pouzudanosti tehinčkih proizvoda kao i odgovarjaući odnos proizvođača prema tehnološkim procesima izrade, prema ispitivanju pouzdanosti i procesima čuvanja i transporta.

Nema sumnje da ideje, metode i rezultate teorije pouzdanosti moraju poznavti ne smaoistraživači, nego i široki krug inženjera, ekonomista, matematičara, organizatora procesa

proizvodnje te oblasti, što omogućuje izbegavanje mnogih grešaka koje se pojavljuju u fazi projektovanja ali i proizvodnje. Posledice nerazumevanja pouzdanosti mogu biti ogromnimaterijalni gubici, izgubljeno vreme, usporvanje tehnološkog napretka u mnogim vitalnimoblastima a u odr đenim slučajevima čak i ljudski gubici. U cenu nepouzdanositi nekog sistema neuračunava se samo cena proizvodnje elementa koji je otkazao, nego se u obzir uzimaju i pratećiefekti koji su nastali usled otkaza. Cena nepouzdanosti zavisi i od funkcije koju obavlja dati

sistem. Na primer, otkaz tranzistora u radioprijemniku ne nosi iste troškove kao otkaz tranzistorau nekom vitalnom delu satelita. Osim toga, moraju se imati u vidu i troškovi održavanja koji



Uvod

3

podrazumevaju gubitak vremena za lociranje i opravku kvara, zatim cena rezervnog dela, troškoviodržavanja tog dela na skladištu, transporta itd.

Snažan podsticaj razvoju pouzdanosti dali su i daju vojna industrija, kosmička istaživanja, primena nuklearne energije u mirnodopske svrhe, vazduhoplovna industrija, sistemi saobraćaja i

veza, oštra konkurencija na tržištu i mnogi drugi faktori.Početak brzog razvoja pouzdanosti kao naučne discipline vezuje se za 30-te godine ovog

veka, kada je počeo i nagli razvoj vazduhoplovne industrije.

Iskustva stečena u drugom svetskom ratu, a kasnije i u lokalnim ratovim u Koreji,Vijetnamu, na Bliskom istoku i sl. bila su dragocena za kasnije svestrane analize pouzdanostielemenata i sistema i akcije u cilju povećanja pouzdanosti.

Sledećih nekoliko primera, zasnovnih na stvarnim praćenjima rada sistema ilustrujuogromne koristi ostvarene sagledavanjem značaja organizovnog, planskog i detaljnog praćenja

pouzdanosti:

• U 1958. godini amerikanci su lansirali uspešno samo 28% satelita, dok je sada tacifra 92% i ima stalnu tendenciju porasta;

• U 1959. godini, period garancije za automobil iznosio je 90 dana ili 6000kilometara, dok danas neki proizvođači već nude garanciju od 5 godina ili 80.000km;

• Hidraulična pumpa na avionu DC-8 prvobitno je imala vreme između remonta1200 h. Kontinualnim prikupljanjem podataka o otkazima, omogućene sukonstrukcijske izmene koje su povećale pouzdanost pumpe. Kao rezultat toga

povećano je srednje vreme između remonta na 2 000 h, zatim 4000 h i najzad 5800h. Znači, povećana pouzdanost rezultirala je smanjenjem troškova održavanja;

• Dobro postavljenim i vođenim programom, pouzdanost sistema naoružanja naavionu F-105 podignuta je sa 0,7263 na 0,8986. Troškovi pouzdanosti bili suvisoki –25,5 miliona dolara, ali su zato i uštede bile ogromne -54 miliona dolaragodišnje u troškovima održavanja.

U mnogim bogatijim zemljama sveta formirane su agencije i Komiteti za praćenje ianalizu pouzdanosti elektronskih komponenata i sistema. Oni su propisivali specifikacije sa

preciznim zahtevima po pitanju pouzdanosti koje proizvođač mora da zadovolji. U sadašnjimspecifikacijama zahteva se da proizvođač bude u stanju da demonstrira postignutu pouzdanost.Danas ne samo vojna tehnika, već i druge oblasti primene tehnike nameću konkretne zahteverazvoju pouzdanosti, što je uslovljeno sve širom primenom složenih uređaja i sistema.

Na kraju ovog uvodnog dela korisno je dati definicije nekih pojmova koji se koriste uteoriji pouzdanosti.

Proizvod – je širok pojam pod kojim se mogu podrazumevati: sistem, uređaj, sklop ilikomponenata.

Komponenta - osnovna jedinica ili deo koji se ne može rastaviti na manje delove beznjenog uništenja.

Sklop – je samostalna celina, koja se sastoji od više komponenata, a koja ima specifičnufunkciju.

Uređ aj – predstavlja kompletnu jedinicu za upotrebu, a sastoji se od izvesnog brojasklopova smeštenih u jednom zajedničkom okviru.



Uvod

4

Sistem – je tehnička organizaciona celina. odnosno integrisana grupa uređaja, zasamostalno izvršenje neke grupe zadataka.



Pokazatelji pouzdanosti

5

2. POKAZATELJI POUZDANOSTI

2.1. Određivanje pokazatelja pouzdanosti

Sa problemom kvantitativnog izražavanja pouzdanosti povezan je pojam pokazatelja pouzdanosti. Pod ovim pojmom podrazumeva se kvantitativna karakteristika nekog od svojstavakoje određuje pouzdanost.

Do kvantitativnih podataka o pouzdanosti može se uglavnom doći na sledeća tri načina: proračunom, laboratorijski i u toku eksploatacije.

Prvi način je posebno interesantan za uređaje ili sisteme. Postupak se sastoji u utvr đivanju

stepena pouzdanosti na osnovu poznavanja pouzdanosti komponenata ili blokova, kola uređaja i predviđenih režima rada. Tako utvr đena pouzdanost je proračunata pouzdanost. Od značaja je prirazvijanju novih tipova uređaja i sistema, kada se u fazi projektovanja uzima u obzir potrebna

pouzdanost kao jedan od zahteva koji treba da ispuni projektovani uređaj.

Drugi način dobijanja podataka o pouzdanosti je laboratorijski. Postoje razne normalne iubrzane statičke i dinamičke metode utvr đivanja pouzdanosti u laboratorijskim uslovima.Ispitivanja se vrše bilo u normalnim bilo u posebnim režimima rada.

Najzad, najprirodniji način dobijanja podataka o pouzdanosti je na osnovu eksploatacije.Specifičan problem koji se pri tome javlja je organizacija dobijanja informacija i verodostojnostdobijenih informacija.

S obzirom na to kako je podatak o pouzdanosti formiran, govori se o utvr đenoj, ocenjenoj,ekstrapoliranoj, prognoziranoj i stvarnoj pouzdanosti. Bilo kojoj karakteristici pouzdanosti daje se

jedna od ovih verzija. Verzija “utvr đen” odnosi se na podatke dobijene na osnovu ispitivanja ukojem svi ispitni uzorci nisu prestali da rade. Verzija “ocenjen” odnosi se na podatke koji suodređeni sa odgovarajućim nivoom verodostojnosti i predstavljaju graničnu vrednost intervalaverodostojnosti. Verzija “ekstrapoliran” odnosi se na podatke o pouzdanosti u datim uslovimarada koji su definisani ekstrapolacijom ili interpolacijom utvr đenih ili ocenjenih podataka o

pouzdanosti u drugim uslovima rada. Verzija “prognoziran” odnosi se na podatke proračunate naosnovu utvr đene, ocenjene ili ekstrapolirane pouzdanosti. Verzija “stvarna” odnosi se na podatakdobijen na osnovu ispitivanja u toku kojeg su svi uzorci prestali da rade.

Matematička predstava pokazatelja pouzdanosti je povezana sa teorijom verovatnoće imatematičkom statistikom. Pri praktičnom određivanja pokazatelja pouzdanosti važno je da u

partiji komponenata, na osnovu kojih se izvode zaključci o pouzdanosti komponente, uzrociotkaza svake komponente budu isti. Ovakva partija komponenata je statistički homogena.Praktično je moguće realizovati statistički homogenu partiju. Homogenu partiju predstavljajuuređaji proizvedeni na istoj proizvodnoj traci od komponenata koje su proizvodili isti proizvođači.

Izbor pokazatelja zavisi, u osnovi, od opšte namene sistema, ali na njega može takođeuticati i značaj funkcija, koje izvršava sistem. Pri izboru pokazatelja pouzdanosti tehničkogsistema, treba imati u vidu neke očigledne preporuke:

• Broj pokazatelja pouzdanosti treba da bude što je moguće manji;




6

• Treba izbegavati složene kompleksne pokazatelje, koji se dobijaju u obliku nekihgrupa kriterijuma;

• Izabrani pokazatelji pouzdanosti moraju obezbediti mogućnost provere u etapi projektovanja;

• Izabrani pokazatelji pouzdanosti moraju imati prost fizički smisao;

• Izabrani pokazatelji pouzdanosti moraju omogućiti statističku (eksperimentalnu) procenu pri specijalnim ispitivanjima ili po rezultatima eksploatacije;

• Izabrani pokazatelji pouzdanosti moraju omogućiti zadavanje pouzdanosti ukvantitativnom obliku.

Treba imati na umu da podatak o pouzdanosti komponente nije dobijen matematiziranjemveć ga svi veliki proizvođači daju kao tehnički podatak se ne dobija na bazi obrade mnoštvaeksperimentalnih podataka i to kao funkciju mnogih faktora kao što su mehanička i termičkaopterećenja, uticaj okoline, uslovi upotrebe, klasa kvaliteta komponenata itd. Prema tome,

prognoza pouzdanosti sistema je matematička metoda bazirana na eksperimentalno utvr đenim podacima o pouzdanosti komponenata. U zavisnosti od postavljenog cilja i od faze i razvoja, prognoza pouzdanosti se može izvesti sledećim trima metodama:

• metod sličnosti opreme

• metod nabrajanja komponenata

• metod opterećenja

Metod sličnosti opeme se upotrebljava u fazi stvaranja koncepcija uređaja i daje ocenu parametara pouzdanosti koja se može koristiti kod ugovaranja i postavljanja tehničkih zahteva.Kako u ovoj fazi procene sadržaja uređaja postoji samo specifikacija funkcija, a ne stepena kojistvaraju tu funkciju, ocena pouzdanosti se zasniva na podacima o pouzdanosti sličnih sklopova nasličnim funkcijama. Naravno da je za ovakvu vrstu prognoze pouzdanosti potrebana datoteka

podataka koja će poslužiti prilikom okvirnog definisanja uređaja, kad još stepeni nisukonstruisani, ali se zna koje funkcije uređaj mora da zadovolji. Ova procena mora biti vrlo

pažljivo izvedena i to sa više alternativa i sa određenom rezervom, jer postaje predmet tehničkogzahteva koji se u fazi konstrukcije mora i ispuniti.

Metoda prognoze pouzdanosti pomoću nabrajanja komponenata (elemenata) koristikonstruktoru za komparaciju između stepena sa identičnim funkcijama, ali različito izvedenim.

Međutim, ova tehnika prognoziranja ne daje informacije da li su pojedine komponente preopterećene, jer se metoda proračuna zasniva na prosečnim intenzitetima otkaza zaodgovarajuću klasu i tip komponente. To znači da ova metoda služi konstruktoru kao orjentacija

prilikom optimiziranja i kao informacija koji kvalitet, koliko elemenata i kakvu konfiguraciju smemaksimalno da koristi za svoju konstrukciju i da ostane unutar okvira zahtevane pouzdanostistepena.

Metoda opterećenja se koristi kao nastavak metode nabrajanja komponenata i to vezanaza konkretni proračun opterećenja pojedinih komponenata. Prvenstvena svrha ove metode je da seotkriju preopterećene i ugrožene komponente, što omogućava da se već u fazi konstrukcije zatakve slučajeve nađu druga rešenja, a ujedno da se realnije proceni sada već poznat specifičanuticaj okoline i radnih uslova, a u skladu sa električnim i termičkim naprezanjem sklopa, odnosnosvake komponente pojedinačno.




7

2.2. Funkcije raspodele otkaza, pouzdanosti i gustine otkaza

Ako je T slučajna promenljiva veličina koja označava vreme pojave otkaza onda će

verovatnoća otkaza u funkciji vremena biti:

0),()( ≥=≤ t t F t T P (2.1)

Funkcija F (t ) zove se funkcija raspodele otkaza i ona pokazuje verovatnoću da će sistemotkazati do vremena t . U teoriji verovatnoće ova funkcija se zove kumulativna funkcija raspodele.Ako se pouzdanost sistema označi kao verovatnoća bezotkaznog rada u vremenskom intervalu t ,može se pisati:

)()(1)( t T P t F t R >=−= (2.2)

gde R(t ) označava funkciju pouzdanosti.

Funkciju gustine otkaza se obeležava sa f (t ), a na osnovu osnovnih zakona iz teorijeverovatnoće može se napisati da je:

dt

t dF t f

)()( = (2.3)

Prema teoriji verovatnoće ova funkcija se zove funkcija gustine verovatnoće. Na osnovu

gornjih definicija može se napisati izraz za funkciju pouzdanosti:

∫ ∫∞

=−=−=t

t

dt t f dt t f t F t R0

)()(1)(1)( (2.4)

Dakle dovoljno je znati oblik funkcije f (t ) pa da se dobije funkcija pouzdanosti R(t ).

2.3. Funkcija intenziteta otkaza

Pretpostavlja se da se istovremeno ispituje n sistema. Posle određenog vremena t , n1 sistema nisu otkazali, a n2 sistema su otkazali pri čemu je n2 = n − n1. Prema ovome i na osnovudo sada rečenog o pouzdanosti, R(t ) se može izraziti kao:

)()(

)()()(

21

11

t nt n

t n

n

t nt R

+== (2.5)

Znači da ova jednačina pokazuje verovatnoću bezotkaznog rada bilo kog od n sistema utoku vremena t , jer je ona kao što je rečeno funkcija vremena. Po logici stvari, jasno je da kako t




8

raste, sve više i više sistema otkazuje što znači da će pouzdanost opadati. Prethodna jednačina semože napisati u sledećem obliku:

n

t n

n

t nnt R

)(1

)()( 22 −=

−= (2.6)

Leva i desna strana gornje jednačine se mogu diferencirati pa se dobija sledeće:

dt

t dn

ndt n

t nd

dt

t dR )(1)(

1)( 2

2

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −= (2.7)

gde je n konstantno. Na osnovu ovog se dobija izraz za frekvenciju sa kojom sistem otkazuje:

dt

t dRn

dt

t dn )()(2 −= (2.8)

Sada je moguće obe strane gornje jednačine podeliti sa n1(t ):

dt

t dR

t n

n

dt

t dn

t n

)(

)(

)(

)(

1

1

2

1

−= (2.9)

Iz gornje jednačine se može definisati funkcija intenziteta otkaza λ(t ):

dt

t dR

t Rdt

t dn

t nt

)(

)(

1)(

)(

1)( 2

1

−==λ (2.10)

Odavde se može dobiti opšta formula za funkciju pouzdanosti R(t ). Može se napisati da je:

dt t dt

t dR)(

)(λ −= (2.11)

odnosno:

∫∫ −=t R

dt t t R

t dR

01

)()(

)(λ (2.12)

odnosno:

∫−=

t

dt t t R0

)()(ln λ (2.13)




9

i konačno:

∫=

−t

dt t

et R 0

)(

)(λ

(2.14)

Formula (2.14) matematički opisuje pouzdanost na najopštiji način i može se primeniti za bilo koju funkciju gustine otkaza. Iz jednačine (2.2) može se napisati da je:

)(1)( t Rt F −= (2.15)

pa se zamenom u jednačini (2.3) dobija:

dt

t dRt f

)()( −= (2.16)

Imajući u vidu izraz (2.16), funkcija intenziteta otkaza kako je definisano izrazom (2.10)može se napisati i u sledećem obliku:

)(

)()(

t R

t f t =λ (2.17)

Značaj ove funkcije je u tome što pokazuje kako se u toku vremena menja intenzitet

otkaza nekog sistema.

2.4. Očekivano vreme bezotkaznog rada

Očekivano vreme bezotkaznog rada definiše se na osnovu sledeće jednačine:

∫∞

⋅=0

)( dt t f t T SR (2.18)

Izraz za T SR može se dobiti i u drugom obliku. Ako se jednačina (2.16) zameni u jednačinu(2.18) dobija se sledeće:

∫∫∞

∞∞

+−=⋅−=0

0

0

)()()( dt t Rt tRt Rd t T SR (2.19)

Jasno je da prvi deo zbira teži nuli za obe granice na osnovu definicije R(t ) preko λ(t ) jer jeu pitanju eksponencijalna funkcija a xe-x kada x teži ∞ teži nuli. Na osnovu ovoga, drugi oblik zaočekivano vreme bezotkaznog rada sistema je dat sledećim izrazom:




10

∫∞

=0

)( dt t RT SR (2.20)

Ako se sistem koji se ispituje obnavlja održavanjem ili popravkama, tj. u slučajutakozvanih popravljivih sistema, očekivano vreme bezotkaznog rada je poznato pod nazivomsrednje vreme između otkaza ( MTBF – Mean Time Between Failure). Pri tome je jasno da se

polazi od pretpostavke da je ponašanje popravljenog sistema u pogledu intenziteta otkaza isto kaokod novog sistema. Kod takozvanih nepopravljivih sistema govori se o srednjem vremenu do

prvog otkaza, ili jednostavno o srednjem vremenu do otkaza ( MTTF– Mean Time To Failure).Veličine MTBF tj. MTTF treba uvek koristiti kada je specificirana funkcija gustine otkaza, jernivo pouzdanosti koji se može pripisati određenoj vrednosti MTBF tj. MTTF zavisi od oblika tefunkcije. Ako se posmatra n sistema koji se ispituju, pri čemu se beleže vremena rada izmeđuotkaza t 1, t 2, ... ,t n onda će MTBF biti:

∑=

=n

iit n

MTBF 1

1 (2.21)

2.5. Funkcija intenziteta otkaza i vek trajanja sistema

U početku korišćenja nekog sistema obično se javlja veći broj otkaza koji se mogu pripisati početnim slabostima ili propuštenim defektima u toku proizvodnje. Kasnije, ovi

takozvani rani otkazi ustupaju mesto otkazima za koje je teško utvrditi uzrok nastajanja. To sutakozvani slučajni otkazi čije se vreme pojavljivanja ne može predvideti ali zato se znafrekvencija pojavljivanja otkaza. Starenjem sistema počinju da se javljaju otkazi usledistrošenosti. Na sledećoj slici 2.1.a su prikazani periodi promene λ(t ) za sva tri intervala, a na slici2.1.b oblici funkcije gustine raspodele otkaza f (t ).




11

t

tt2

t1

λ(t)

f (t)

a)

b)

Slika 2.1 Opšti oblik funkcija λ (t) i f(t)

U periodu ranih otkaza (0 do t 1) λ(t ) i f (t ) su opadajuće funkcije. Za karakteristikuslučajnih otkaza (t 1 do t 2) približno je konstantna vrednost λ(t ) i približno eksponencijalnafunkcija f (t ). U periodu starenja (t 2 do ∞) λ(t ) je rastuća funkcija, dok f (t ) ima jedan vrh oko kogase dešava najveći broj otkaza. Iz ovog razmatranja može se videti da je funkcija λ(t ) pogodnija od

f (t ) kada se želi napraviti razlika između raznih oblika otkaza.Iskustvo je pokazalo da mnogi sistemi imaju krivu intenziteta otkaza kako je već pokazano

na slici 2.1.a. Mnogi proizvođači opreme visoke pouzdanosti puštaju tu opremu da radi kako bi jedoveli na početak intervala konstantnih otkaza. Tek onda je ugrađuju u neki sistem.

Na žalost, mnogi sistemi imaju kontinualno opadajuću i kontinualno rastuću funkcijuintenziteta otkaza, pa se na njih ne može primeniti oblik krive λ(t ) sa slike 2.1.a.



Otkazi elemenata i sistema

12

3. OTKAZI ELEMENATA I SISTEMA

Pod otkazom u smislu pouzdanosti podrzumeva se prestanak sposobnosti uređaja da vrši

zahtevanu funkciju. U toku eksploatacije uređaji i sistemi i njihovi sastavni delovi (elementi)mogu se naći u jednom od dva moguća stanja: ispravnom ili neispravnom. U ispravnom stnjusistema (elemenata) njegove karakteristike zadovoljavaju propisane zahteve, kako radne, tako isporedne kao što su izgled, pogodnost za eksploataciju i sl. Svako odstupanje od propisanih radnihzahteva može se smatrati otkazom ili neispravnošću.

Otkaz je događaj koji dovodi do prelaza iz isprvnog stanja (stanja radne sposobnosti) uneisprano stanje. Dakle, otkaz predstavlja potpuni ili delimični gubitak radne sposobnosti sistema.

Kod sistema se mogu sresti i tzv. drugostepene neispravnosti – defekti, koje ne narušavajunjihov ispravan rad i sistemi se mogu koristiti i posle te vrste neispravnosti bez bojazni zaispravno obavljanje zadataka. Takve neispravnosti su, na primer, greška na uzemljenju (pri čemu

uređaj i dalje radi) ili, pregrevanje signalnih sijalica i sl.Osim toga, moguće je govoriti o relevantnim i irelevantnim otkazima (tj. oni koji se

uzimaju odnosno ne uzimaju u proračunu). Pod relevantnim se podrazumevaju greške u aplikaciji,greške konstrukcije, greške izrade kao i promena karakteristika izvan onih utvr đenihspecifikacijom. Pod irelevantnim otkazima podrazumevaju se grške instaliranja i postavljanja,grške rukovanja, sva slučajna oštećenja kao i greške izazvane nepravilnom primnom opremem zaispitivanje.

Pod dejstvom različitih faktora, u toku eksploatacije elemenata (sistema) menja se veličnanekog od parametara elemenata ( )n x x x x ,.....,, 21 u toku vremena u okviru dopuštenih granica a i

b. Pod parametrom se podrazumeva bilo koja karakteristika elemenata (sistema). U toku te promene parametar 1 x dostiže jednu od granica a ili b, a izlazak izvan okvira dopuštenih granicakvalifikauje se kao otkaz. Na taj način, pod otkazom se podrazumeva događaj koji se dešava utrenutku kada je vrednost parametra 1 x dostigla jednu od granica ili je izašla izvan njih.

Međutim promena parametra 1 x van odr đenih granica ne mora uvek označavati i gubljenjeradne sposobnosti elemenata. Na primer, kod radioprijemnika, može se desiti da mu osetljivost

bude manja od dozvoljene granice koja je odr đena tehničkim uslovima. To se smatra otkazom, bez obzira što prijemni može i dalje da radi. Zbog toga je nužno da se za svaki sistem unapredformulišu obeležja stanja radne sposobnosti i neispravnog stanja, zavisno od namene sistema,uslova eksploatacije, zahteva prema kvalitetu funkcionisanja it., i da ona budu usklađena između

naručioca i proizvođača.




13

x

b1 2

2

a

t1 t2 t3 t Slika 3.1 Grafič ko predstavljanje iznenadnog (1) i postepenog (2) otkaza

Da bi se lakše analizirli, otkazi se klasifikuju. Kriterijuma klasifikacije ima više, pa je utabeli 3.1 dat pregled vrsta otkaza prema raznim kriterijumima klasifikacije. Jedan otkaz mođeodgovarati raznim kriterijumima pa će na taj način biti razvrstan u više vrsta.

1. Neočekivani (iznenadni) otkaz

Otkaz koji je nastao kao rezulatat nagle promene jednog ili više parametara elemenatazove se neočekivani otkaz. Javlja se usled nagomilavanja neispravnosti i oštećenja. Naziv potičeotuda što obično izostaju vidni znaci njihovog približavanja, tj. pre nastupanja takvog otkazaobično se ispoljavaju kvntitativne promene karakteristika elemenata. Uzorci neočekivanog otkaz uvećini slučajeva su skriveni defekti materijala i delova elemenata, ali i nepravilna upotrebaelemenata. Ovi otkazi se obično ispoljavaju u mehaničkim i elektičnim oštečenjima elemenata(lomovi, pukotine, prekidi, proboji izolacije itd.), zbog čega se često zovu i grubi otkazi. Ovajotkaz je konačan i dovodi komponentu do potpunog gubljenja radne sposobnost.

2. Postepeni otkaz

On se karakteriše postepenom izmenom jednog ili više parametara elemenata. Postepeniotkazi se javljaju kao posledica istrošenosti materijala, starenja materijala, promena naponanapajanja itd. Karakteristično je da se promena parametra x može registrovati pomoću mernihinstrimenata. Parametri proizvoda mogu u toku rada dostići kritične vrednosti, pri kojim je stanjenezadovoljavajuće, tj. dolazi do njegovog otkaza. Pošto trenutak u kome parametar x napuštasvoje granice nije tačno određen, teško je ustanoviti da li je otkaz nastao usled neočekivane ili

postepene promene. U tom smislu, podela na neočekivane i postepene otkaze je uslovna i međunjima nema principijelne razlike. Neočekivani otkazi, u velikom broju slučajeva, nastaju kaorezultat postepene ali skrivene promene paramera x. Na primer, lomljenje elemenata će seklasificirati kao neočekivani otkaz, i ako je do toga došlo usled postepenog habanja. Sa drugestrane, postepeni otkaz može biti posledica nagomilavanja malih promena, koje izazivajuneočekivane otkaze u elementima




14

Tabela 3.1 Podela otkaza po raznim kriterijumima klasifikacije

KRITERIJUMKLASIFIKACIJE

VRSTA OTKAZA

Neočekivani (iznenadni ) otkazVrsta izmene stanjaPostepeni (degradacioni) otkaz

Nezavisni otkazVeza sa drugim otkazima

Zavisni otkaz

Potpuni otkazMogućnost korišćenja posle otkaza Delimični otkaz

Permanentni otkaz

Prolazni otkazPeroda eliminisanjaOtkaza Otkaz koji se

sam otklanja Povratni otkaz

Očigledan otkazSpoljna manifestacija

Prikriven otkaz

Konstrukcioni otkaz(greška konstruktora, nesavršenmetod konstrukcije)

Tehnološki otkaz(greška pri proizvodnji,nesavršena tehnologija)

Uzrok nastajanjaOtkaza

Eksploatacioni otkaz(greška u eksploataciji,nepredviđeni spoljašnji uslovi)

Prirodni otkazPrirode nastajanjaOtkaza

Veštački otkaz

Otkazi pri ispitivanju

Otkazi u periodu priprema

Otkazi pri normalnoj eksploataciji

Vreme nastajanjaOtkaza

Otkazi pri kraju perioda eksploatacije

Slučajni otkazPo intenzitetu otkaza

Sistematski otkaz




15

drugorazrednog značaja za rad sistema. Sa metodama koje se danas primnjuju za merenje parametra x, nije moguće, dok se elemenat nalazi u ispranom stanju, uočiti takva odstupanja parametra x koja bi blagovremeno ukazivala na bliskost grnice ispravnog stanja.

3. Zavisni i nezavisni otkaz

Otkazi su slučajni događaji, koji mogu biti zuavisni i nezavisni. Otkaz je zavisan, ako se pri pojavi jednog orkaza menja verovatnoća pojavljivanja drugog otkaza. Kod nezavisnih otkazaverovtnoća pojavljivanja jednog otkaza ne zavisi od činjenice da li su se desili drugi otkazi ili ne.

Nezavisan je otkaz elementa, koji nije uslovnljen kvarovima i otkazima drugih lemanatasistema. Najčešće nastaje u jednom elementu.

Zavisan otkaz je otkaz elementa, koji je uslovljen kvarovima i otkazima drugih elemenata.

4. Potpun i delimičan otkaz

Po osnovu kriterijuma mogućnosti korišćenja posle nastajanja otkaza, otkazi se dele na potpune i delimiočne. Otkaz, posle čijeg se nastanka sistem ne može koristiti do popravke je potpuni otkaz. Mnogi elementi se posle potpunog otkaza ne mogu opraviti (proboj kondenzatora, pregrevanje žičanog otpornika i sl.).

Posle nastajanja delimičnog otkaza, postoji mogućnost delimičnog korišćenja elementa.On ima za posledicu samo pogoršanje neke karakteristike sistema.

5. Permanentni otkaz i otkaz koji se sam otklanja

Po prirodi eleiminisanja otkaza razlikuju se permanentne otkazi i otkazi koji se samiotklanjaju.

Pri permanentnim otkazima radi uspostavljanja radne sposobnosti elementa neophodno jeizvršiti njegovu opravku (regulisanje). Na primer, otkaz rada televizora usled pregrevanja žičnogotpornika.

Otkaz koji se sam otklanja i čije je trajanje malo u poređenju sa vremenom roka dosledećeg otkaza je prolazni otkaz. Na primer, ako u kondenzatou sa metalizovanom hartijom dođedo neželjenog spoja, pri uključenju napona metalni sloj u neposrednoj blizini provodnog spojaispari i kondezator se regeneriše.

Ukoliko se prolazni otkazi pojavljuju u nizu, jedan za drugim, onda su to povratni otkazi.Otkazi takvog tipa se mogu pojaviti u elektronskim impulsnim sistemima i radio uređajima pridelovnju raznih vrsta smetnji.

6. Slučajni otkazi

Otkazi kod kojih je intenzitet otkaza konstantan zovu se slučajni otkazi. Tada su otkaziuslovnljeni mnogim statističkim uticajima koji potiču od međusobno nezavsnih faktora.

7. Sistematski otkazi




16

Intenzitet otkaza kod ove vrste otkaza je promenjljiv u toku vremena, i uslovnljeni suodređenim uticajem nekog od mehanizama otkaza. U ovu grupu spadaju rani otkazi i otkazi usledstarenja. U početku korišćenja nekog sistema obično se javlja veći broj otkaza koji se mogu

pripisati početnim slabostima ili propuštenim efektima u toku proizvoidnje. To su tzv. rani otkazi.Kod njih se intenzitet otkaza naglo smanjuje u toku vremena a plajvljuju se u relativno kartatkom

periodu vremena.

Slika 3.2 Intenzitet otkaza u funkciji vremena rada

U početnom periodu rada, koji se u praksi obično zove trenaža (“burnin”), odmah posleuključivanja uređaja nepouzdani elementi brzo otkazuju. Statistički podaci o eksploatacijirazličitih uređaja pokazuju da se 50% svih otkaza otkriva u prvih mekokiko minuta rada posleuključivanja. Period trenaže traje nekoliko destina, pa i nekoliko stotina sati, zavisno odsloženosti, namene i komplikovnosti uređaja. Ispitivanja pokazuju da se posle trenaže intenzitetotkaza značajno smanjuje. Međutim, treba napomenuti i da vreme trenaže utiče na povećanje cene

proizvodnje.

Otkazi kao posledica dotrajalosti i strenja pojavljuju se kao posledica procesa istrošenosti imehaničkog habanja elemenata i njihov intenzitet otkaza raste sa vremenom.



Neki zakoni raspodele sluč ajnih veli č ina koje se koriste u teoriji pouzdanosti

17

4. NEKI ZAKONI RASPODELE SLUČAJNIH VELIČINA KOJE

SE KORISTE U TEORIJI POUZDANOSTI

4.1. Slučajni događaj. Verovatnoća događaja. Slučajne veličine izakoni njihove raspodele

Osnovni pojam u teoriji verovatnoće je pojam događaja. Pod pojmom događaj u nekomeksperimentu podrazumeva se svaka činjenica koja može da proizađe ili ne iz tog eksperimenta.Karakteristično za događaje raznih vrsta je da oni imaju neku meru (stepen) mogućnosti da seostvare. Da bi se omogućilo da se događaji upoređuju po stepenu mogućnosti da se ostvare,neophodno je da se sa događajem poveže određeni broj, koji je utoliko veći, ukoliko je većamogućnost ostvarenja tog događaja. Za poređenje raznih događaja po verovatnoći, usvojena je

jedinica merenja: verovatnoća izvesnog događaja, tj. događaja koji će sigurno proizići. Zaverovatnoću takvog događaja usvojen je broj 1, a svi ostali događaji koji su mogući, ali ne iizvesni, imaju verovatnoću manju od 1. Događaju koji u datom eksperimentu uopšte ne može dase ostvari, pridodeljena je verovatnoća jednaka nuli, što je sasvim prirodno u odnosu naverovatnoću izvesnog događaja.

Izračunavanje verovatnoće slučajnog događaja bazira se na zakonu velikih brojeva, premakome se, pri neograničenom povećavanju broja opita, može tvrditi sa praktičnom sigurnošću da seučestalost događaja malo razlikuje od njegove verovatnoće pojavljivanja u jednom opitu.Učestalost događaja (ili statistička verovatnoća) definisana je na osnovu rezultata opita i

izračunava se iz izraza:

n

m P S =

gde je m - broj pojavljivanja događaja A, n - ukupan broj izvršenih opita.

Ne određuje se verovatnoća svakog događaja preko rezultata opita. U teoriji verovatnoće postoje mnoge metode za posredno određivanje verovatnoće jednih događaja preko verovatnoćedrugih, ali i u takvom postupku u krajnoj liniji se dolazi do korišćenja rezultata opita.

Pored osnovnog pojma događaj, u teoriji verovatnoće jedan od najvažnijih osnovnih pojmova je pojam slučajne veličine.

Slučajna veličina je veličina, koja kao rezultat opita može da dobije neku vrednost koja seunapred ne može predvideti.

Slučajne veličine, koje mogu da dobiju vrednost iz prebrojivog skupa vrednosti nazivajuse prekidnim ili diskretnim slučajnim veličinama.

Postoji i druga vrsta slučajne veličine, tzv. neprekidna slučajna veličina, koja može dadobije vrednost iz skupa vrednosti koje neprekidno popunjavaju neki odsečak.

U klasičnoj teoriji verovatnoće operisalo se sa događajima, dok se u savremenoj radi sa

slučajnim veličinama, što je u rešavanju mnogobrojnih zadataka iz prakse pogodnije. Najčešće se




18

izračunavanje verovatnoće nekog događaja vezuje za neku slučajnu veličinu ili sistem slučajnihveličina, na osnovu čijih osobina se izražava i verovatnoća slučajnog događaja.

U teoriji pouzdanosti izvode se operacije sa slučajnim veličinama da bi se dobili pokazatelji pouzdanosti.

4.1.1. Funkcija raspodele. Niz raspodele

Da bi se moglo operisati sa slučajnim veličinama, daju se načini, pomoću kojih se slučajnaveličina može opisati i okarakterisati.

Slučajna veličina X (prekidna i neprekidna) potpuno je okarakterisana, s tačke gledištaverovatnoće, funkcijom raspodele, koja izražava verovatnoću događaja da se ostvari nejednakost

X < x

gde je x - tekuća promenljiva.

Verovatnoća P ovoga događaja je funkcija promenljive x i označava se sa F ( x ).

F( x ) = P( X < x )

Funkcija raspodele F ( x ) naziva se često još i integralnom funkcijom raspodele iliintegralnim zakonom raspodele.

Za diskretne slučajne veličine postoji još jedan specijalni oblik zakona raspodele, koji dajevezu između mogućih vrednosti slučajne veličine i odgovarajućih verovatnoća. Forma zadavanjazakona raspodele diskretne slučajne veličine može da bude dvojaka:

• u vidu tablice u kojoj su date vrednosti slučajne veličine i odgovarajuće verovatnoće(niz raspodele slučajne veličine X ),

• mnogougaonik raspodele, koji predstavlja grafički prikaz zakona raspodele, gde se naosi apscise predstavljaju moguće vrednosti slučajne promenljive( x i) a na ordinatiodgovarajuće verovatnoće.

Za neprekidne slučajne promenljive oblik zakona raspodele, kao što je niz raspodele, ne

postoji. Međutim funkcija raspodele F ( x ) je univerzalna i potpuna karakteristika svih slučajnihveličina (prekidnih i neprekidnih).

Opšte osobine funkcije raspodele su sledeće:

1. F( x ) je neopadajuća funkcija argumenta x, F( x 2) > F( x 1), ako je x 2 > x 1;

2. F(−∞) = 0

3. F(+∞) = 1

Ako se zna niz raspodele diskretne slučajne promenljive, lako se može formirati funkcijaraspodele:




19

∑<

==<= x x

i

i

x X P x X P x F )()()(

gde nejednakost u znaku sume označava da se sumiranje verovatnoća odnosi na sve vrednosti x i

koje su manje od x . Na taj način se uvek može formirati funkcija raspodele za prekidnu slučajnuveličinu.

U vezi izučavanja slučajnih promenljivih u praksi se često javlja problem da se izračunaverovatnoća da slučajna veličina X uzme neku vrednost iz zadatog intervala [a, b]. Problem sesvodi na određivanje verovatnoće P sledećeg događaja:

a ≤ X < b

Verovatnoća toga događaja može se izraziti preko funkcije raspodele slučajne veličine X .Da bi se to učinilo, treba posmatrati tri sledeća događaja:

• događaj A: X < b

• događaj B: X < a

• događaj C: a ≤ X < b

Događaj A će proizaći ako se dogodi bilo događaj B bilo događaj C , odakle, premaosnovnim pravilima algebre slučajnih događaja, sledi:

A = B + C

odnosno:

P ( A) = P (B) + P (C )

ili

P(X < b) = P(X < a) + P(a ≤ X < b) (4.1)

Kako je:

P ( X < b) = F (b)

i

P ( X < a) = F (a)

iz relacije (4.1) sledi:

F (b) = F (a) + P ( a ≤ X < b)




20

odnosno:

P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a) (4.2)

Na osnovu relacije (4.2) može se odrediti i verovatnoća da će slučajna veličina X dobiti jednu određenu vrednost, odnosno da će pasti na određeni beskonačno mali interval. Ako se urelaciji (4.2) uzme granična vrednost b → a, dobija se:

))()((lim)(lim a F b F b X a P abab

−=<≤→→

(4.3)

Granična vrednost izraza (4.3) zavisi od prirode funkcije raspodele, odnosno da li je F ( x )neprekidna funkcija ili ima skokove. Ako je F ( x ) u tački x = a neprekidna, tada je ta graničnavrednost jednaka nuli. Drugim rečima, ako je funkcija raspodele F ( x ) svugde neprekidna, tada je

verovatnoća bilo koje izdvojene vrednosti slučajne veličine jednaka nuli.

4.1.2. Gustina raspodele

Ako je funkcija raspodele F ( x ) slučajne veličine X neprekidna i diferencijabilna, može seizračunati verovatnoća da će ta slučajna veličina uzeti neku vrednost iz intervala [ x , x + Δ x ].

P(x < X < x + Δx) = F(x + Δx) − F(x) (4.4)

Verovatnoća po izrazu (4.4) predstavlja priraštaj funkcije raspodele u tom intervalu.Odnos ove verovatnoće prema dužini intervala u graničnom prelazu kada Δ x → 0 predstavljaizvod funkcije raspodele:

)(')()(

lim0

x F x

x F x x F x

=Δ

−Δ+→Δ

(4.5)

Izvod funkcije raspodele koji se označava sa f ( x ) = F ’( x ) je karakteristika u izvesnomsmislu gustine sa kojom su raspodeljene vrednosti slučajne veličine u tački x . Zbog toga se ta

funkcija naziva gustinom raspodele neprekidne slučajne veličine. Za istu funkciju postoji još inaziv “diferencijalna funkcija raspodele” ili “diferencijalni zakon raspodele”.

Gustina raspodele f ( x ) je takođe jedan od oblika zakona raspodele slučajne promenljive,ali za razliku od funkcije raspodele F( x ), taj oblik nije univerzalan, jer postoji samo za neprekidneslučajne promenljive.

Verovatnoća da će slučajna veličina X uzeti neku vrednost na elementarnom odsečku d x data je izrazom:

f ( x ) d x




21

Verovatnoća da će veličina X pasti na odsečak [a, b] može se izraziti preko gustineraspodele:

∫=<<

b

a dx x f b X a P )()( (4.6)

Funkcija raspodele F ( x ) može se na osnovu relacije (4.6) izraziti preko gustine raspodele:

∫∞−

=<<−∞=<= x

dx x f x X P x X P x F )()()()( (4.7)

Osnovne osobine gustine raspodele slede iz osobina funkcije raspodele i prethodnonavedenih relacija između ove dve funkcije:

1. Gustina raspodele je nenegativna funkcija

f ( x ) ≥ 0

što sledi iz osobine funkcije F ( x ) da je neopadajuća funkcija.

2. Osobina

∫

∞

∞−

= 1)( dx x f

sledi iz relacije (4.7) i iz osobine F (∞) = 1.

Grafik koji predstavlja gustinu raspodele, naziva se krivom raspodele

4.1.3. Brojne karakteristike slučajnih veličina

Navedeni oblici zakona raspodele za diskretne i neprekidne slučajne veličine (funkcija

raspodele, niz raspodele, gustina raspodele) predstavljaju neke funkcije koje potpuno opisujuslučajnu veličinu.

U mnogim slučajevima iz prakse nije neophodno da se slučajna veličina opiše u potpunosti, i da se određuju zakoni njene raspodele. Najčešće je dovoljno da se znaju neki brojni parametri, koji u određenom stepenu karakterišu suštinske osobine raspodele slučajne promenljive. Na primer, od interesa je brojni parametar koji pokazuje neku srednju vrednost okokoje se grupišu moguće vrednost slučajne promenljive; ili parametar koji pokazuje stepenrazbacanosti vrednosti slučajne veličine u odnosu na srednju vrednost.

Ovakvi brojni parametri nazivaju se brojnim karakteristikama slučajne promenljive(parametri raspodele).




22

Brojne karakteristike slučajne promenljive imaju važnu ulogu u teoriji verovatnoće. Mnogi problemi se rešavaju samo operacijama sa brojnim karakteristikama, a da se o zakonima raspodelei ne vodi računa. Naročito je značajna osobina da, ukoliko se u nekoj pojavi javlja više slučajnihveličina, od kojih svaka ima izvesni uticaj na ishod pojave, tada zakon raspodele rezultujućeslučajne veličine ne zavisi od zakona raspodele pojedinih slučajnih veličina, tako da nije potrebnoda se znaju zakoni raspodele pojedinačnih slučajnih veličina. Na osnovu brojnih karakteristika tihveličina, znajući da će se rezultantni uticaj ponašati po tzv. normalnom zakonu raspodele, moguće

je odrediti njegove parametre.

Jedna od najvažnijih brojnih karakteristika slučajne veličine, koja daje neku srednjuvrednosti slučajne veličine, naziva se matematičko očekivanje slučajne veličine ili srednjavrednost slučajne veličine. Ova karakteristika opisuje položaj slučajne veličine na brojnoj osi.

Matematičko očekivanje M [ X ] = m x diskretne slučajne veličine X , koja može da dobijevrednost x 1, x 2, ... , x n sa odgovarajućim verovatnoćama p1, p2, ..., pn , definisano je izrazom:

∑

∑

=

==+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++

== n

ii

n

iii

n

nn x

p

p x

p p p

p x p x p xm X M

1

1

21

2211][

Kako je:

∑=

=n

ii p

1

1

dobija se za m x izraz:

∑=

=n

iii x p xm

1

(4.8)

Slučajna veličina X , čija je funkcija raspodele F( x ), ima matematičko očekivanje u viduStiltjesovog integrala:

∫∞

∞−

= )( x xdF m x

Matematičko očekivanje neprekidne slučajne veličine X , čija je gustina raspodele f( x ),izražava se integralom:

∫∞

∞−

= dx x xf m x )( (4.9)




23

Analogija između izraza (4.8) i (4.9) je očigledna: umesto prekidne vrednosti slučajne promenljive x i uzima se neprekidna vrednost x , umesto verovatnoće pojedinih vrednosti x i dolazielement verovatnoće f ( x )d x , a umesto zbira integral. Treba imati u vidu da egzistencija vrednostim x zavisi od egzistencije izraza (4.8) odnosno (4.9).

Osim karakteristika položaja (srednjih vrednosti), koje predstavljaju tipične vrednostislučajne veličine, upotrebljavaju se karakteristike raspodele vrednosti slučajne promenljive okosrednjih vrednosti. Ove brojne karakteristike nazivaju se momenti po analogiji sa momentima izmehanike. Najčešće se koriste centralni momenti, koji se definišu preko centralne slučajneveličine X c:

xc m X X −=

Centralni momenti k - tog stepena diskretne slučajne veličine X naziva se matematičkoočekivanje k - tog stepena odgovarajuće centrirane slučajne veličine:

∑=

−==−n

ii

k xik

k x pm xmm X M

1

)(])[(

Za neprekidnu slučajnu veličinu X odgovarajući centralni momenat k -tog reda dobija seizraz:

∫∞

∞−

−= dx x f m xm k xk )()(

Od centralnih momenata od posebnog je interesa drugi centralni momenat, koji se jošnaziva i disperzijom slučajne veličine X . Za diskretnu slučajnu veličinu disperzija D x je dataizrazom:

∑∑==

−=−==n

i xii

n

ii xi x m p x pm xm D

1

22

1

22 )( (4.10)

a za neprekidnu:

∫∞

∞−

−== dx x f m xm D x x )()( 22

Disperzija je karakteristika razbacanosti vrednosti slučajne promenljive oko njenogmatematičkog očekivanja. Ukoliko je manja veličina disperzije, utoliko je veći procenat vrednostislučajne veličine iz oblasti koja neposredno okružuje matematičko očekivanje.

Umesto disperzije D x koja ima razmeru kvadrata slučajne promenljive, često je pogodnijada se koristi veličina koja ima razmeru same slučajne promenljive. Ta veličina se naziva srednje

kvadratno odstupanje ili standardna vrednost i obeležava se sa σx :




24

x x D=σ (4.11)

4.2. Neki kontinualni zakoni raspodele pojvljivanja otkaza

Funkcija pouzdanosti i funkcija intenziteta otkaza su jedinstveni, tj. određenoj funkciji pouzdanosti odgovara samo određena funkcija intenziteta otkaza i obrnuto. U ovom odeljku će biti date funkcije gustine otkaza koje su najčešće koriste u proučavanju pouzdanosti, zajedno safunkcijom pouzdanosti i funkcijom intenziteta otkaza koje se na njih odnose. Isto tako, biće datiizrazi za očekivano vreme bezotkaznog rada za svaki od ovih slučajeva.

4.2.1. Eksponencijalna raspodela

Funkcija gustine otkaza u slučaju eksponencijalne raspodele glasi:

0,0,)( >≥= − λ λ λ t et f t (4.12)

gde je λ parametar a t vreme otkaza. Oblik eksponencijalne raspodele dat je na slici (4.1)

tt

f (t)

0

λF(t)

f (t)

R(t) = 1 - F(t)

Slika 4.1 Eksponencijalna raspodela




25

t

R(t)

0

1,0

Slika 4.2 Funkcija pouzdanosti u sluč aju eksponencijalne raspodele

Korišćenjem jednačine (3.8) može se dobiti funkcija pouzdanosti:

∫ −−=−=t

t dt et F t R0

1)(1)( λ λ (4.13)

odnosno:

t et R λ −=)( (4.14)

Oblik funkcije pouzdanosti prikazan je na slici 4.2.

Funkcija intenziteta otkaza je po definiciji (jednačinu 3.17) jednaka:

λ λ

λ λ

λ

=== −

−

t

t

e

e

t R

t f t

)(

)()( (4.15)

Prema tome, u slučaju eksponencijalne raspodele intenzitet otkaza ne zavisi od vremena iuvek ima konstantnu vrednost. To je veoma povoljna okolnost koja mnogo uprošćavaizračunavanje u slučajevima kada se može primeniti eksponencijalna raspodela, a to je slučaj kodelektronskih sistema. Proizilazi da se određivanjem parametra λ eksponencijalne raspodele, u istovreme dobija i vrednost intenziteta otkaza. Intenzitet otkaza se može predstaviti pravom linijomkao na slici 4.3.




26

t

λ(t)

0

λ

λ = const.

Slika 4.3 Funkcija intenziteta otkaza u sluč aju eksponencijalne raspodele

Očekivano vreme bezotkaznog rada dobija se iz jednačine (3.18) ili (3.20):

∫∫∞

−∞

===00

1)(

λ

λ dt edt t RT t SR (4.16)

Znači, očekivano vreme bezotkaznog rada je jednako recipročnoj vrednosti intenziteta

otkaza λ. Ta vrednost se često obeležava sa MTTF , pa je znači:

λ

1= MTTF (4.17)

Ovo je još jedna povoljna okolnost kada je u pitanju eksponencijalna raspodela, jer seodređivanjem intenziteta otkaza λ vrlo lako može dobiti vrednost MTTF , i obrnuto.

Slika 4.1. može da posluži za grafičko predstavljanje veza datih jednačina (3.1), (3.2) i(3.4). Poznato je iz teorije verovatnoće da je površina ispod krive f (t ) jednaka jedinici. Površina od

0 do vremena t jednaka je verovatnoći pojave otkaza F (t ) (jednačina 3.1) dok je površina odvremena t do ∞ jednaka verovatnoći bezotkaznog rada R(t ), tj. 1 − F (t ) (jednačine 3.2 i 3.3). Istotumačenje može se primeniti bez obzira na oblik raspodele, što znači da su navedeni odnosi opšte

primenljivi.

4.2.2. Normalna raspodela

Jednačina za funkciju gustine otkaza u slučaju normalne raspodele je:




27

0,0,0,2

1)(

2

2

1

>>≥= ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

σ μ π σ

σ

μ

t et f t

(4.18)

gde je μ - srednja vrednost, σ - standardna devijacija i t - vreme otkaza.To je dvoparametarska raspodela sa parametrima μ i σ, koja predstavlja dobar model u

slučajevima kada dolazi do postepenog starenja sistema u toku upotrebe tj. kada se javljaistrošenost. Pri određivanju pouzdanosti retko se koristi oblik normalne raspodele dat jednačinom(4.18), jer se integral te jednačine ne može izračunati u konačnoj formi. Zbog toga se koristi tzv.standardizovana normalna raspodela ϕ( z), za koju postoje tabele iz kojih se mogu naći površineispod funkcije gustine otkaza za bilo koju normalnu raspodelu. Jednačina (4.18) može se prevestiu standardizovani oblik uvođenjem smene:

σ

−=

t z (4.19)

Pošto površine ispod f (t ) i ϕ( z) moraju biti jednake važi odnos:

dz zdt t f )()( = (4.20)

Iz jednačine (4.20) sledi:

dz

dt t f z

)()( =ϕ (4.21)

dok se diferenciranjem jednačine (4.19) dobija:

σ

dt dz = (4.22)

Zamenom u jednačinu (4.21) dobija se:

)()( t f z ⋅= σ ϕ (4.23)

Uzimajući u obzir jednačinu (4.18) može se napisati konačan oblik standardizovanenormalne raspodele:

∞<<−∞= ⋅−

ze z z

,2

1)(

2

2

1

π ϕ (4.24)

gde je z dato jednačinom (4.19). Funkcija kumulativne raspodele biće jednaka:




28

∫ ∫∞− ∞−

⋅−==

z z z

dzedz z z F 2

2

1

2

1)()(

π ϕ (4.25)

Na slici 4.4 dat je izgled normalne raspodele.

t

f(t) ϕ(z)

0 μ

0 z= t - μ- μ

σσ

Slika 4.4 Normalna raspodela

t

R(t)

0

1,0

Slika 4.5 Funkcija pouzdanosti u sluč aju normalne raspodele

Korišćenjem jednačine (3.4) i uvođenjem standardizovane normalne raspodele, funkcija pouzdanosti se može dobiti u obliku:




29

∫∫∞∞

== zt

dz zdt t f t R )()()( ϕ (4.26)

odnosno:

)(1)(1)( z F dz zt R z

−=−= ∫∞−

ϕ (4.27)

Na slici 4.5 dat je oblik funkcije pouzdanosti.

Funkcija intenziteta otkaza λ(t) dobija se iz jednačina (3.17) i (4.23):

)(

)(

)(

)()(

t R

z

t R

t f t

σ

ϕ λ == (4.28)

To je monotono rastuća funkcija vremena, a njen izgled dat je na slici 4.6.

t

λ(t)

0

Slika 4.6 Funkcija intenziteta otkaza u sluč aju normalne raspodele

Korišćenjem jednačina (3.18) i (4.18) može se dobiti očekivano vreme bezotkaznog rada E (T ). Posle određenih operacija, dobija se da je:

=SRT (4.29)

tj. očekivano vreme bezotkaznog rada jednako je srednjoj vrednosti μ.

Ovde treba dati napomenu koja se odnosi na površinu ispod funkcije f (t ) tj. ϕ( z). Ova

funkcija je definisana za vrednosti t , tj. z, od −∞ do +∞, i onda je površina ispod nje jednaka 1.Međutim, kako vreme ne može da bude negativno, u teoriji pouzdanosti se normalna raspodela




30

definiše za vrednosti t od 0 do ∞. To je sasvim prihvatljivo, jer na primer, kada je t = μ − 4,5σ = 0,tj. z = −4,5 (slika 4.7), površina za t ≤ 0 je svega 0,0000034 što se može zanemariti. Kad je t = μ − 3,5σ = 0, tj. z = −3,5 površina za t ≤ 0 je 0,00023 što je takođe malo, itd.

U praksi, otkazi u zoni tzv. negativnih vremena označavali bi otkaze koji su se desili pre

nego što je sistem pušten u korišćenje. Tada se uzima da su ovakvi otkazi desili u vremenu t = 0, anjihovi uzroci su u greškama koje nije otkrila kontrola kvaliteta. Verovatnoća dešavanja ovakvevrste otkaza može se izračunati ako se zna koeficijent varijacije, tj. odnos između standardnedevijacije σ i srednje vrednosti μ. Recipročna vrednost koeficijenta varijacije je μ / σ, a vrednostit = 0 odgovara vrednost z = − μ / σ (sliku 4.4 i jednačina 4.19). Prema tome, ostaje da se iztablica pročita vrednost površine ispod normalne raspodele levo od − μ / σ, što će dativerovatnoću dešavanja ovakve vrste otkaza.

Isto tako, u teoriji pouzdanosti vrednost za μ uvek je pozitivna jer je to vremenskakategorija, dok u ostalim primenama ova vrednost može biti od −∞ do ∞.

t

f(t) ϕ(z)

0 μ−4σ μ−3σ μ−2σ μ−1σ μ μ+1σ μ+2σ μ+3σ μ+4σ

0-1-2-3-4 1 2 3 4 z

4,5σ

0.0000034

Slika 4.7 Ilustracija definisanosti normalne raspodele za sluč aj t = μ − 4,5 σ = 0, tj. z = − 4,5

4.2.3. Lognormalna raspodela

Lognormalna funkcija gustine otkaza ima oblik:

0,0,0,2

1)(

2ln

2

1

>>>⋅

= ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

σ μ π σ

σ

μ

t et

t f t

(4.30)

gde su μ i σ parametri, a t slučajna promenljiva veličina koja označava vreme otkaza. Na slici 4.8

dat je izgled jedne lognormalne raspodele.




31

t

f (t)

0

Slika 4.8 Lognormalna raspodela

Ako se definiše nova slučajna promenljiva x kao x = ln t , onda će x imati normalnuraspodelu sa srednjom vrednošću μ i standardnom devijacijom σ. Funkcija pouzdanosti biće:

∫ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

⋅−=−=

t t

dt et

t F t R0

ln

2

12

2

11)(1)( σ

μ

π σ (4.31)

Ako se ima na umu jednačina (4.19), može se napisati:

σ σ

μ −=

−=

t x z

ln (4.32)

pa se izraz za funkciju pouzdanosti može napisati u obliku:

∫∞−

−= z

dz zt R )(1)( ϕ (4.33)

gde je z dato jednačinom (4.32). Oblik funkcije pouzdanosti dat je na slici 4.9. Diferenciranjem jednačine (4.32) dobija se:

σ t

dt dz = (4.34)

pa se zamenom u jednačinu (4.20) dobija:

)()( t f t z ⋅= σ ϕ (4.35)




32

gde je z određeno jednačinom (4.32). Sada će funkcija intenziteta otkaza biti:

)(

)(

)(

)()(

t Rt

z

t R

t f t

⋅==

σ

ϕ λ (4.36)

njen oblik dat je na slici 4.10.

t

R(t)

0

1,0

Slika 4.9 Funkcija pouzdanosti za sluč aj lognormalne raspodele

Izraz za očekivano vreme bezotkaznog rada T SR dobija se iz jednačina (3.18) i (4.30).Posle određenih matematičkih operacija dobija se:

2

2

1σ μ +

= eT SR (4.37)

t

λ(t)

0

Slika 4.10 Funkcija intenziteta otkaza u sluč aju lognormalne raspodele




33

Lognormalna raspodela ima veliku primenu u održavanju sistema. Isto tako, to je veomadobar model za proučavanje otkaza čiji je uzrok zamor materijala.

4.2.4. Vajbulova raspodela

Funkcija gustine otkaza za Vajbulovu raspodelu glasi:

0,0,,)(1

>>≥⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−

η β γ η

γ

η

β β

η

γ β

t et

t f t

(4.38)

gde je t vreme otkaza, γ parametar položaja, β parametar oblika i η parametar razmere. Negativna

vrednost parametra γ bi značila da sistem može da otkaže pre početka korišćenja. U momentu puštanja sistema u rad parametar γ jednak je 0, a vreme otkaza t uvek je veće ili jednako γ.

Korišćenjem veze date jednačinom (3.4), funkcija pouzdanosti se može dobiti u sledećemobliku:

β

η

γ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

=t

et R )( (4.39)

t

f (t)

0

β=0,5

β=1

β=2

β=3

1η

Slika 4.11 Vajbulova raspodela za γ = 0, η = const. i razne vrednosti parametra β




34

t

R(t)

0

1,0

β=0,5

β=1β=2

β=4

Slika 4.10 Funkcija pouzdanosti u sluč aju Vajbulove raspodele za γ = 0, η = const. i raznevrednosti parametra β

Funkcija intenziteta otkaza biće:

1

)(

)()(

−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==

β

η

γ

η

β λ

t

t R

t f t (4.40)

Oblik funkcija f (t), R(t) i λ(t) veoma zavisi od parametra γ, β i η. Na slici 4.11 prikazani surazni oblici funkcije gustine otkaza zavisno od vrednosti parametra β, pri čemu je γ = 0 i η =const.

Vajbulova raspodela je veoma složenog oblika, a zavisno od svojih parametara može prećiu neku jednostavniju raspodelu. Tako za γ = 0 i β = 1 ona prelazi u eksponencijalnu raspodelu čiji

je parametar λ u tom slučaju jednak 1 / η, a kada je γ = 0 i β = z dobija se tzv. Rajlijeva raspodela.

Na slici 4.12 dat je izgled funkcije pouzdanosti zavisno od parametra β

Na oblik funkcije intenziteta otkaza najveći uticaj ima parametar β (slika 4.13).

Kada je 0 < β < 1 funkcija intenziteta otkaza opada sa vremenom, kada je β = 1 intenzitetotkaza ne zavisi od vremena (eksponencijalna raspodela), a kada je β > 1 funkcija intenzitetaotkaza je rastuća.

Izraz za očekivano vreme bezotkaznog rada glasi:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +Γ+= 1

1

β η γ SRT (4.41)

gde je ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +Γ 1

1

β

tzv. gama funkcija od ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +1

1

β

.




35

t

λ(t)

0

β=0,5

β=1

β=2

β=4

1η

Slika 4.13 Funkcija intenziteta otkaza u sluč aju Vajbulove raspodele za γ = 0, η = const. i raznevrednosti parametra β

Vajbulova raspodela se uprkos svoje složenosti veoma često koristi u praktičnim primenama. Razlog je u tome što se mnogi oblici otkaza mogu njome veoma dobro aproksimirati.Dok je primena eksponencijalne raspodele ograničena zbog pretpostavke o konstantnoj vrednostiintenziteta otkaza, dotle Vajbulova raspodela može da uključi opadajuće, konstantne i rastućefunkcije intenziteta otkaza. Kako mnogi otkazi u praktičnim situacijama, naročito u slučajevima

neelektronskih sistema, pokazuju rastuću tendenciju u toku vremena, primena Vajbuloveraspodele, omogućuje razmatranje oblika ovakvih otkaza.

4.2.5. Gama raspodela

Gama raspodela ima sledeću funkciju gustine otkaza:

0,0,,)(

1)(

1

>>≥⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Γ=

−−

−

η β γ η

γ

β η η

γ β

t et

t f

t

(4.42)

gde je t vreme otkaza, γ parametar položaja, β parametar oblika, η parametar razmere i Γ(β) gamafunkcija. Ono što je rešeno kod Vajbulove raspodele važi i za gama raspodelu.

Funkcija pouzdanosti biće:

∫−

−−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Γ

−=−=t t

dt et

t F t Rγ

η

γ β

η

γ

β η

1

)(

11)(1)( (4.43)




36

Vrednost površine ispod gama funkcije gustine otkaza može se odrediti iz tabela koje su utu svrhu napravljene. Kada je parametar β ceo broj, može se pokazati da se integral u jednačini(4.43) može izračunati preko redova, tako da je:

∑∑ −

=

−−∞

=

−−

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ −−=

1

0 !1

!11)(

β η

γ

β

η γ

η

γ

η

γ

k

t k

k

t k et

k et

k t R (4.44)

Funkcija intenziteta otkaza data je opštom jednačinom (3.17), a kada je β ceo broj može seizračunati iz izraza:

∑−

=

−−

−−

−

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Γ

==1

0

1

!1

)(

1

)(

)()(

β

η

γ

η

γ β

η γ

η

γ

β η λ

k

t k

t

et k

et

t R

t f t (4.45)

U slučaju kada je β ceo broj, gama funkcija Γ(β) dobija se iz obrasca:

)!1()( −=Γ β β (4.46)

Oblik funkcija f (t), R(t) i λ(t) zavisi od vrednosti γ, β i η.Na slici (4.14) dati su razni oblicifunkcije gustine otkaza f(t) zavisno od parametra β, pri čemu je γ = 0 i η = const.

Slika 4.15 prikazuje razne oblike funkcije pouzdanosti R(t ) zavisno od parametra β, pričemu je γ = 0 i η = const.

Razni oblici funkcije intenziteta otkaza λ(t) zavisno od parametra β, pri čemu je γ = 0 i η =const. prikazani su na slici 4.16.

t

f (t)

0

β=0,5

β=1

β=2

β=3

1η

Slika 4.14 Gama raspodela za γ = 0, η = const. i razne vrednosti parametra β




37

Kao kod Vajbulove raspodele, funkcija intenziteta otkaza λ(t ) opada sa vremenom kada je0 < β <1, ne zavisi od vremena kada je β =1 i raste sa vremenom kada je β > 1.

Očekivano vreme bezotkaznog rada u slučaju gama raspodele izračunava se iz obrasca:

ηβ γ +=SRT (4.47)

β=1

β=3

β=2

t

R(t)

0

1,0

Slika 4.15 Funkcija pouzdanosti u sluč aju gama raspodele za γ = 0, η = const. i razne vrednosti parametra β

t

λ(t)

0

β=0,5

β=1

β=2β=3

1

η

Slika 4.16 Funkcija intenziteta otkaza u sluč aju gama raspodele za γ = 0, η = const. i raznevrednosti parametra β




38

Gama raspodela je fleksibilan model koji može da se primeni u pouzdanosti za opisivanjeraznih vrsta otkaza. Za vrednosti parametra γ = 0 i β = 1 gama raspodela prelazi ueksponencijalnu sa parametrom λ = 1 / η. Gama raspodela može da se koristi i za vreme do n-togotkaza sistema, ako je raspodela vremena otkaza eksponencijalna. U tom slučaju, ako su t 1, t 2, ...

t n, nezavisne slučajne promenljive veličine koje imaju eksponencijalnu raspodelu sa parametromλ, onda je T = t 1+ t 2+ ... + t n slučajna promenljiva veličina koja ima gama raspodelu sa parametrima η = 1 / λ i β = n (pri čemu je γ = 0).

4.2.6. Beta raspodela

Ova raspodela koristi se za opis slučajne veličine koja može da uzima vrednosti izzatvorenog intervala. Ova vrsta raspodele ima veliku ulogu u statističkoj kontroli kvaliteta i teoriji

pouzdanosti.

Funkcija gustine raspodele otkaza data je izrazom:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>><<−ΓΓ+Γ

≥≤= −− )0,0(10)1(

)()(

)(1,00

)( 11 β α β α

β α β α t t t

t t t f (4.48)

Funkcija raspodele je:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

≥

≤≤≤

=

11

10),(

),( 00)(

t

t B

B t t F t

β α

β α (4.49)

gde je B(α, β) takozvana beta funkcija:

)(

)()(),(

β α

β α β α

+ΓΓΓ

= B (4.50)

a Bt (α, β) nepotpuna beta funkcija:

10)1(),(0

11 ≤≤−= ∫ −− t dz z z Bt

t β α β α (4.51)

Očekivano vreme bezotkaznog rada je:

β α

α

+

=SRT (4.52)




39

Neke krive za funkciju B(α, β) date su na slici 4.17.

t

B( , )α β

0 0,5 1

Β(6, 2)

Β(1/2,1/2)

Β(8, 8)

Β(1, 3)

1

2

3

Slika 4.17 Gustine beta raspodele

Specijalni slučajevi beta raspodele su:

1) Ravnomerna raspodela

Dobija se za α = β = 1. Gustina raspodele je:

⎪⎩

⎪⎨⎧

∉

∈=

)1,0(1

)1,0(0)(

t za

t zat f (4.53)

Funkcija raspodele je:

⎪

⎩

⎪⎨

⎧

>

∈

<

=11

)1,0(

00

)(t za

t zat

t za

t F (4.54)

2) Trougaona raspodela

Dobija se za α = 2, β = 1 ili α = 1, β = 2. Gustina raspodele je:

⎪⎩

⎪⎨⎧

∉

∈=

)1,0(1

)1,0(2)(

t za

t zat t f (4.55)

3) Parabolična raspodela

Dobija se za slučaj α = β = 2. Gustina raspodele je:




40

⎪⎩

⎪⎨⎧

∉

∈−=

)1,0(1

)1,0()1(6)(

t za

t zat t t f (4.56)

4.2.7. Studentova raspodela

Gustina raspodele data je izrazom:

∞<<−∞⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ Γ

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

Γ==

+−

1,2

1

2

2

11

)()(2

12

n

t n

n

nt S t f

π (4.57)

Ona se zove još i Studentova t raspodela sa n stepeni slobode. Parametar n može biti proizvoljan pozitivan broj, ali se ova raspodela uobičajeno koristi kada je n prirodan broj.

Matematičko očekivanje je:

TSR = 0 (4.58)

Za velike vrednosti n ova raspodela prelazi u normalnu raspodelu kod koje je μ = 0 i σ =1. Izgled Studentove raspodele za razne vrednosti n dat je na slici 4.18.

0,1

0,2

f t ( )

0-1-2 1 2 t

2

515

Slika 4.18 Gustine Studentove raspodele za n = 2, 5, 15 u poređ enju sa normalnom raspodelomkod koje je μ = 0 i σ = 1 (isprekidana linija)




41

4.2.8. Fišerova raspodela, Snedekorova raspodela

Gustina Fišerove raspodele sa parametrima m i n data je izrazom:

∞<<

+

⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ Γ⋅⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ Γ

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

Γ= +

−

t

t

t nm

nm

t f nm

m

0,

)1(22

2)(

2

12

(4.59)

Parametri m i n nazivaju se stepenima slobode. Matematičko očekivanje je:

2

2

>

−

= n za

n

mT SR (4.60)

Smenom t = 1t n

m⋅ dobija se Snedekorova F raspodela slučajne veličine t 1. Njena gustina

raspodele je:

21

121

22

)(),(

)(nm

mnm

mt n

t

nm B

nm F f +

−

−

+

⋅⋅

= (4.61)

Matematičko očekivanje za slučajnu veličinu t 1 je:

21 −=

n

nT SR (4.62)

4.3. Neki diskretni zakoni raspodele za proračun pouzdanosti

U slučaju eksponencijalne, normalne, lognormalne, Vajbulove, gama, beta, Studentove,Fišerove i Snedekorove raspodele slučajna promenljiva veličina (vreme) bila je kontinualnog tipa.U nastavku je dato razmatranje sledećih raspodela: binomne, Poasonove, geometrijske ihipergeometrijske, kod kojih je slučajna promenljiva veličina diskretnog tipa.

4.3.1. Binomna raspodela

Neka u jednoj prostoriji imamo ukupno n identičnih, ali međusobno nezavisnih sijalica.Svaka sijalica može biti ispravna ili neispravna. Označimo sa p verovatnoću da će sijalica biti




42

ispravna, što znači da će 1 − p biti verovatnoća da je sijalica neispravna. Recimo da je zahtevtakav da se smatra zadovoljavajućim ako od n funkcioniše x ili više sijalica, što znači da jesituacija nezadovoljavajuća ako funkcioniše x − 1 ili manje sijalica. Ako sa X označimo slučajnu

promenljivu veličinu koja predstavlja broj ispravnih sijalica, onda se verovatnoća da će biti x

ispravnih sijalica može izračunati iz izraza:

n x p p x

n x X P x f xn x ,...,2,1,0,)1()()( =−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ === − (4.63)

Funkcija data jednačinom (4.63) predstavlja funkciju gustine verovatnoće u slučaju

binomne raspodele. Član⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ x

n može da se izračuna iz relacije:

!)!( ! x xn n xn −=⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ (4.64)

Na slici 4.19 dat je izgled funkcije gustine verovatnoće f ( x ).

x

f(t)

0

Slika 4.19 Binomna raspodela

U ovom primeru zahtev će biti zadovoljen ne samo kada je broj ispravnih sijalica jednak x već i kada je njihov broj veći od x . Prema tome, interesantna je verovatnoća funkcionisanja x , x +1, . . . , n sijalica. Znači:

inini

xi

ni

xi

p pi

ni X P x X P −

=

=

=

=

−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ===≥ ∑∑ )1()()( (4.65)

Jednačina (4.65) može se napisati i u obliku:




43

ini xi

i

p pi

n x X P x X P −

−=

=

−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=−≤−=≥ ∑ )1(1)1(1)(

1

0

(4.66)

Funkcija oblika P( X ≤ x − 1) predstavlja kumulativnu funkciju raspodele. U navedenom primeru, ako sa y obeležimo broj neispravnih sijalica, onda je uslov da ima x − 1 ili manjeispravnih sijalica isto što i uslov da ima y ili više neispravnih sijalica, tj.:

1)1( +−=−−= xn xn y (4.67)

Slučajna promenljiva veličina Y koja predstavlja broj neispravnih sijalica, imaće analogno jednačini (4.63) sledeću funkciju gustine verovatnoće:

n y p p y

n

yY P y f

yn y

,...,1,0,)1()()( =−⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

===

−

(4.68)

Ako se uvede oznaka 1 − p = q onda je:

n yqq y

n yY P y f yn y ,...,1,0,)1()()( =−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ === − (4.69)

Sada se jednačina (4.66) može pisati u sledećem obliku:

inini

yi

ni

yi

qqi

niY P x X P −

=

=

=

=

−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==−=≥ ∑∑ )1(1)(1)( (4.70)

odnosno:

ini yi

i

qqi

n yY P x X P −

−=

=

−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=−≤=≥ ∑ )1(1)1()(

1

0

(4.71)

Srednja vrednost funkcije gustine verovatnoće date jednačinom (4.63) biće:

np X T SR =)( (4.72)

a predstavlja očekivani broj sistema koji će uspešno obaviti neki zadatak, ako je n ukupan brojsistema, a p verovatnoća da će jedan sistem uspešno obaviti zadatak.

Srednja vrednost funkcije gustine verovatnoće date jednačinom (4.68) biće:

nqY T SR =)( (4.73)




44

a predstavlja očekivani broj sistema koji će otkazati u toku nekog zadatka, gde je n ukupan brojsistema, a q verovatnoća da će jedan sistem otkazati u toku zadatka.

4.3.2. Poasonova raspodela

Kao i binomna i Poasonova raspodela spada u grupu diskretnih raspodela. Funkcijagustine verovatnoće za Poasonovu raspodelu data je jednačinom:

,...2,1,0,!

)()( ====−

x x

e x X P x f

x α α (4.74)

gde je X slučajna promenljiva veličina koja označava broj otkaza, a α je parametar (α > 0) kojioznačava najverovatniji broj otkaza. Kada je kod binomne raspodele date jednačinom (4.69) n >20 i q ≤ 0,05 ona se može zadovoljavajuće aproksimirati Poasonovom raspodelom, pri čemu je α = nq.

Oblik funkcije gustine verovatnoće za Poasonovu raspodelu dat je na slici 4.20.

Kumulativna funkcija raspodele data je izrazom:

...2,1,0,!

)()(0

==≤= ∑=

−

x x

e x X P x F

x

i

i α α (4.75)

x

f(t)

0

Slika 4.20 Poasonova raspodela

Funkcija gustine verovatnoće za Poasonovu raspodelu može se napisati u obliku:

,...2,1,0,!

)()()( =⋅=== ⋅− xi

et x X P x f t x λ λ (4.76)




45

gde je λ konstanta koja označava frekvenciju odigravanja određenih događaja u jedinici vremena,a t je fiksirani vremenski interval. To znači, ako je λ frekvencija dešavanja otkaza u jedinicivremena, u vremenskom intervalu t može se očekivati ukupno λ⋅t otkaza. Prema tome, u ovomslučaju parametar Poasonove raspodele α jednak je λ⋅t. Kada je broj otkaza x jednak nuli,

jednačina (4.74) direktno daje izraz za pouzdanost identičan sa obrascem za pouzdanost u slučajueksponencijalne raspodele.

Srednja vrednost Poasonove raspodele data je jednačinom:

α =)( X T SR (4.77)

a predstavlja očekivani broj otkaza.

4.3.3. Geometrijska raspodela

Neka se izvodi niz eksperimenata pri čemu je verovatnoća uspeha svakog od njih p, averovatnoća neuspeha q = 1 − p. Ovo su tzv. Bernoullijevi eksperimenti. Slučajna veličina X

predstavlja događaj da je potrebno izvršiti tačno n eksperimenata do prvog neuspeha (na primerotkaza) ima geometrijsku raspodelu. Ova raspodela data je izrazom:

...,2,1)1()()( 1 =−=== − xqq x X P x f x (4.78)

Matematičko očekivanje je jednako:

q xT SR

1)( = (4.79)

Izgled raspodele za q = 0,5 dat je na slici 4.21.




46

f t ( )

0

Slika 4.21 Izgled geometrijske raspodele za q = 0,5

4.3.4. Hipergeometrijska raspodela

Neka je od n elemenata nekog skupa njih m posebno označeno. Bira se slučajan uzorak odr elemenata. Neka je X slučajna promenljiva koja označava broj posebno označenih elemenata uuzorku. Ova slučajna promenljiva ima hipergeometrijsku raspodelu. Ovaj zakon raspodele lako seizvodi poznavanjem kombinatorike i glasi:

...,2,1,)()( =

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=== x

r

n

xr

mn

x

m

x X P x f (4.80)

Na slici 4.22 dat je izgled hipergeometrijske raspodele za n = 10, m = 5 i r = 5.

f t ( )

0 Slika 4.22 Hipergeometrijska raspodela za n = 10, m = 5 i r = 5



Određ ivanje zakona raspodele na osnovu empirijskih podataka

47

5. ODRE ĐIVANJE ZAKONA RASPODELE NA OSNOVU

EMPIRIJSKIH PODATAKA

Ispitivanjem veka trajanja nekog sistema ili njegvim korišćenjem, odnosno posmatranjemslučajnih pojava u tom sistemu, koje nastaju u praktičnim situacijama, kao što je npr. posmatranjevremena do otkaza nekog uređaja, dobija se skup statističkih podataka, koji karakterišu ovuslučajnu pojavu i koji se naziva statistički materijal. Sređivanjem i obrađivanjem ovog materijala

primenom raznih statističkih metoda, može se naći odgovarajuća funkcija raspodele kao i njeni parametri, a tom funkcijom najjednostavnije se može aproksimirati posmatrani statističikimaterijal.

Jasno se mogu izdvojiti tri zadatka vezana za pronalaženje karakteristika slučajne veličinena bazi eksperimentalnih podataka. To su:

• postavljanje hipoteze o klasi funkcije raspodele kojoj pripada slučajna veličina naosnovu posmatranja statističkog materijala,

• provera ispravnosti postavljene hipoteze

• određivanje nepoznatih parametara raspodele i ocena njihove tačnosti.

U nastavku će biti izložene metode za određivanje funkcije raspodele i njenih parametara .

5.1. Određivanje zakona raspodele grafičkim metodama

Grafičke metode prestavljaju jednostavne postupke za pronalaženje klase funkcijeraspodele i njenih parametara, tako da se najvernije može aproksimirati određeni skup statističkih

podataka. Upravo ova jednostavnost čini ovu metodu najzastupljenijom u inžinjerskoj praksi.

5.1.1. Određivanje zakona raspodele na osnovu empirijske funkcijeraspodele (metodom konstrukcije histograma)

Određivanje zakona raspodele na osnovu epmirijske funkcije raspodele daje dobrerezultate, kada se raspolaže skupom statističkih podataka velkog obima. Kao rezultat dobija sehistogram, odnosno izlomljena kriva koja predstavlja aproksimaciju grafika funkcije gustine

raspodele. Na taj način mogu se dobiti statističko matematičko očekivanje ∗ xm i statistička

disperzija ∗ x D .

Neka je na raspodlaganju skup eksperimentalno dobijenih podataka: .,..., 21 nt t t Postupak

određivanja zakona raspodele sprovodi se u više sledećih koraka:

1. Normalizuje se skup elemenata nt t t ,..., 21 i na taj način dobija novi skup sa

elementima n x x x ,..., 21 , koji se računaju po formuli:




48

o

ii T

t x = (5.1)

pri čemu je:

∑=

=n

iio t

nT

1

1 (5.2)

2. Deli se celokupni interval vrednosti elemenata skupa ,,..., 21 n x x x na intervale.

Optimalan broj intervala dobija se po formuli:

nl log3,31 += (5.3)

3. Svi intervali imaju istu širinu xΔ koja se dobija na sledeći način:

n

x x x

log3,31minmax

+−

=Δ (5.4)

gde su max x i min x maksimalna i minimalna vrednost iz skupa

,,..., 21 n x x x respektivno.

4. Prebrojavaju se elementi i x , koji pripadaju svakom od intervala, u oznaci id . Na

osnovu id mogu se određivati još neke veličine. Učestanosti i-tog intervala ∗i p se

računa po formuli:

n

d p i

i =∗ (5.5)

Suma učestanosti svih intervala jednaka je jedinici odnosno:

11 =∑=

∗l

ii p (5.6)

Ako se *i p podeli sa širinom intervala xΔ dobija se veličina ∗

i f koja odgovara

vrednosti funkcije raspodele na i-tom intervalu.

5. Na osnovu prethodnih tačaka, pristupa se crtanju histograma. Na apscisu se nanosiopseg minmax x x − i ucrtavaju se intervali. Nad svakim intervalom crta se

pravougaonik, čija visina odgovara vrdnosti f ∗i . Ukupna površina ispod histograma

jednaka je jedinici. Oblik histograma govori o kojoj se raspodeli radi, na osnovu

sličnosti sa graficima funkcije gustine raspodele ( ) x f nekih važnijih raspodela.




49

6. Kada se izvrše svi prethodni koraci, mogu da se izračunaju statističko matematičko

očekivanje ∗ xm i statistička disperzija ∗

x D po formulama:

∑=

∗∗

⋅=

l

iii x p xm

1 (5.7)

( )∑=

∗∗∗ ⋅−=l

ii xi x pm x D

1

2 (5.8)

gde je i x predstavlja srednju vrednost slučajne promenljive na i-tom intervalu.

Takođe se može izračunati i k-ti centralni momenat, ∗k m po formuli:

∗

=

∗ ⋅= ∑ i

l

i

k ik p xm

1

(5.9)

f i*

0 1 2 3 4 5 6 7 interval

Slika 5.1 Histogram sluč ajne promenljive (aproksimacija gustine raspodele sluč ajne promenljive)

Glavni nedostatak ovog metoda je nemogućnost razlikovanja uzroka greške, tačnije dali jegreška poslednica fluktuacije skupa statističkih podataka ili teoriskog modeliranja.

5.1.2. Određivanje funkcije raspodele verovtnoće primenom papiravervoatnoće




50

Ova metoda se može primeniti u slučaju odr đivanja funkcije raspodele kada se radi o jednoparametarskim i dvoparametarskim zakonima raspodele. U slučaju da se imavišeparametarska raspodela sa N parametara ( )2> N , svodi se na slučaj dvoparametarskeraspodele.

Dvoparametarska funkcija raspodele se predstavlja u obliku r =F(t,a,b) gde su a i b parametri raspodele, a t slučajni parametar vremena. Cilj je da se izvrše sledeće transformacije:

( )

( )t r

t t

β

α

=

=∗

* (5.10)

tako da svaka funkcija raspodele iz posmatrane klase raspodela predstavlja u ravni (t*,r*) pravuliniju:

*r = ),(),( * bat ba ψ φ + (5.11)

gde su ( )ba,φ i ( )ba, koeficijent pravca i slobodan član respektivno. Na osnovu njih seodređuju nepoznati parametri raspodele.

U nastavku će biti prikazane eksponencijalna, Vajbulova, normalna i logaritamsko-normalna raspodela, zato sto su najzastupljenije u inžinjerskoj praksi.

Eksponencijalna funkcija raspodele predstavlja jednoparametarsku funkciju raspodele:

( ) t et F λ λ −−= 1, (5.12)

Logaritmovanjem leve i desne strane, a zatim sređivanjem tako dobijenog izraza dobija seda je :

( )t

t F λ

λ =

− ,1

1ln (5.13)

Iz ovoga se vidi da je tražena transformacija ravni (t,r) u ravan (t

*

,r

*

) data sa :

( )

t t

t F r

=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=

*

*

,1

1ln

λ (5.14)

Odavde se dobija jednakost:

** t r λ = (5.15)

koja u ravni (t*,r *) predstavlja pravu sa koeficijentom pravca λ .




51

Papir verovatnoće za eksponencijalnu raspodelu predstavlja koordinatni sistem u kome jena apscisi linearna podela po promenljivoj t, a na ordinati logaritamska tj. ln(1/(1-F(t,λ))).

Vajbulova funkcija raspodele predstavlja u sledećem zapisu dvoparametarsku funkcijuraspodle:

η λ η λ )(1),,( t et F −−= (5.16)

Sređivanjem ovog izraza dobija se:

( )η λ η λ ,,1)( t F e t −=− (5.17)

ili:

),,(1

1)(

η λ

η λ

t F e t

−= (5.18)

Logaritmovanjem leve i desne strane dobija se :

( )⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=η λ

λ η

,,1

1ln)(

t F t (5.19)

a nakon toga ponovnim logaritmovanjem konačno se dobija sledeći izraz :

( ) λ η η

η λ lnln

,,1

1lnln +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

t t F

(5.20)

tako da tražena transformacija (t,r)→(t*,r *) ima oblik :

( )

t t

t F r

ln

,,1

1ln

*

*

=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= η λ (5.21)

Zamenom ovih izraza u jednačinu (5.20) dobija se jednakost :

λ η η ln** += t r (5.22)

“Papir verovatnoće” za Vajbulovu raspodelu predstavlja koordinatni sistem u kome je na

apscisi logaritamska podela po promenljivoj t, tj. ln(t), a na ordinati dvostruka logaritamska podela, tj. ln(ln(1/(1-F(t,λ,η)))).




52

Normalana raspodela spada takođe u dvoparametarske raspodele :

( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= σ

μ φ σ

t mt F ,, (5.23)

Uvođenjem smene z=(t-μ)/σ dobija se izraz za kumulativnu verovatnoću koji glasi :

( ) ∫∞−

−=

z z

dze z F 2

2

2

1

π (5.24)

Posle niza matematičkih operacija dolazi se do traženih relacija, odnosno :

t t

t t r

=

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= −

*

1*

σ

μ

σ

μ φ φ

(5.25)

na osnovu kojih se zaključuje da je jednačina prave u ravni (t*,r *) data sledećim izrazom :

σ

μ

σ −=

** t

r (5.26)

“Papir verovatnoće” za normalnu raspodelu predstavlja koordinatni sistem u kome je naapscisi linearna podela po promenljivoj t, a na ordinati podela koja odgovara φ-1[φ((t-μ)/σ)].

Logaritamsko-normalna raspodela kao i prethodne dve, spada u dvoparametarskeraspodele. Za nju važi da je :

( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −+=

2

ln1

2

1,,

σ

μ σ μ

t erf t F (5.27)

Posle niza matematičkih operacija pronalaženja transformacije dobija se da “papirverovatnoće” za logaritamsko normalnu raspodelu predstavlja koordinatni sistem u kome je naapscisi logaritamska podela po promenljivoj t, a na ordinati podela koja odgovara normalnojraspodeli.

Obzirom da je u prethodnom tekstu iznet način formiranja “papir verovatnoće” zaodređene klase funkcija raspodela, u nastavku će u celosti biti prikazan način određivanja klasefunkcije raspodele i njenih parametara primenom ove metode.

1. Na osnovu skupa statističkih podataka, predpostavlja se funkcija raspodele koja će

modelirati pomenuti skup i uzima se “papir verovatnoće” koji odgovara toj raspodeli.




53

2. Preuredi se posmatrani skup statističkih podataka, koji je u opštem slučaju neuređeni nizt1,t2,...,tn u neopadajući niz t(1),t(2),...,t(n).

3. Svaki podatak se ucrtava na “papir verovatnoće” kao tačka čije su koordinate( ) ( )[ ]niit /5,0, − , ako se verovatnoća daje u apsolutnim vrednostima ili kao tačka

( ) ( )[ ],/5,0100, niit − ako se verovatnoća zadaje u procentima.4. Ako je moguće aproksimira se ucrtani skup tačaka pravom linijom koja je povučena od

oka ili korišćenjem metode najmanjh kvadrata. Parametri m i k, prave y = mt + k, nalazese metodom najmanjih kvadrata, minimiziranjem funkcije S koja je data jednačinom:

( )∑=

−+=n

iii ymt k S

1

2 (5.28)

što se postiže izjednačavanjem parcijalnih izvoda po m i k sa nulom:

( ) 021

=−+=∂∂

∑=

n

iiii ymt k t

m

S (5.29)

( ) 01

=−+=∂∂ ∑

=

n

iii ymt k

k

S (5.30)

Odavde se dobija sistem od dve jednačine sa dve nepoznate:

∑ ∑ ∑= = ==+

n

i

n

i

n

iiiii yt t mt k

1 1 1

2 (5.31)

∑ ∑= =

=+n

i

n

iii yt mnk

1 1

(5.32)

čijim se rešavanjem dobijaju parametri m i k, uz korišćenje sledećeih relacija:

( )

n

t m yk

t t n

yt yt n

m

n

i

n

iii

n

i

n

iii

n

i

n

i

n

iiiii

∑ ∑

∑ ∑∑ ∑ ∑

= =

= =

= = =

⋅−=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅

⋅−⋅=

1 1

1

2

1

2

1 1 1

(5.33)

5. U ovom koraku dolazi do izražaja subjektivnost ove metode. Potrebno je da se proceni dali povučena prava verno aproksimira ucrtane tačke. Rešavanjem sistema jednačina:




54

( )bam ,φ =

( )bak ,= (5.34)

određuju se nepoznati parametri a i b funkcije raspodele verovatnoće. Međutim, ukoliko seuoči sistematsko odstupanje tačaka od povučene prave, pretpostavljeni model nijeadekvatan i cela procedura se sprovodi iz početka.

5.2. Određivanje zakona raspodele analitičkim metodama

Od analitičkih metoda, kojima se određuju zakoni raspodele, u okviru ovog odeljkaizložene su: metoda momenata i metoda maksimalne verodostojnosti:

5.2.1. Određivanje zakona raspodele metodom momenata

Neka je t1,t2,...tn skup eksperimentalno dobijenih podataka, koji pretstavlja uzorak koji posmatramo. Na osnovu ovog uzorka pretpostavi se zakon raspodele, na taj način, što se naosnovu dobijenih podataka, proceni koja raspodela najbolje odgovata tim podacima, a zatim seračunaju nepoznati parametri pretpostavljenog zakona raspodele. Procenjena vrednost k-togmomenta u odnosu na koordinatni početak (k-ti centralni momenat) računa se po sledećoj formuli:

∑=

=n

i

k ik t

nm

1

1 (5.35)

Procenjena vrednost momenta teži ka stvarnoj vrednosti momenta kada obim uzorka teži beskonačnosti. Stvarna vrednost k-tog centralnog momenta izračunava se iz pretpostvljenogzakona raspodele f(t) po formuli:

( )dt t f t m k k ∫= (5.36)

Metoda momenata, svodi se na to da se izjednači r prvih momenata dobijenih iz zakonaraspodele i procena tih momenata dobijenih na osnovu eksperimentalnog uzorka i da se na osnovutih r jednačina izračuna r nepoznatih parametara koji figurišu u pretpostavljenom zakonuraspodele.

5.2.2. Određivanje zakona raspodele metodom maksimalne verodostojnosti

Prednost ovog metoda je da su procene koje iz njega proizilaze, sa teorijskog stanovišta,

asimptotski centrirane i asimptotski najefikasnije. Mana je da su izračunavanja, često vrlokomplikovana. Neka slučajna promenljiva T ima zakon raspodele ( )k t f θ θ θ ,...,, 21 gde su




55

1θ , k θ θ ,...2 nepoznati parametri. Iz eksperimenta se dobija skup vrednosti slučajne promenljive

t1,t2,...tn. Funkcija maksimalne verodostojnosti se definiše na sledeći način:

( ) ( ) ( ) k nk k K t f t f t f L θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ,...,,,...,,,...,,,..., 2121221121 ⋅⋅= (5.37)

Ocena ∗iθ parametra iθ je ocena metodom maksimalne verodostojnosti ako funkcija L

ima maksimum za vrednost ∗= ii θ θ , tj. ako je:

( )0

,..,...1 =∂

∂∗= ii

i

k i Lθ θ θ

θ θ θ (5.38)

Na ovaj način se dobija k jednačina, iz kojih se izračunavaju ocene parametara ∗iθ . Radi

olakšavanja ove metode često se umesto funkcije L korisit funkcija:

( ) ( )∑=

=n

ik k t f L

121121 ,...,,ln,...,ln θ θ θ θ θ θ (5.39)

a ocene parametara se tada račuaju iz jedančina tipa:

( )0

,...,...ln 1 =∂

∂∗= ii

i

k i Lθ θ θ

θ θ θ (5.40)

5.3. Određivanje tačnosti parametara raspodele

Sasvim je logično, da ne postoji mogućnost, da se u praktičnim situacijama izvrši veomaveliki broj eksperimenata. Posmatrano sa te strane, pouzdanost prestavlja verovatnoću saodređenim nivoom poverenja. To znači da se ocenjeni parametri neke raspodele mogu razlikovatiod stvarnih vrednosti. U interesu je da se zna sa kakvim se poverenjem može računati, da će ta

greška biti unutar nekih granica. U tom cilju definiše se interval poverenja I p za ocenu parametraa* nekog stvarnog parametra a. Prema tome :

( )ε ε +−= ** , aa I p (5.41)

gde je ε izabrano tako da je verovatnoća P(-ε <a-a*<ε ) = p.

Interval poverenja može biti jednostran i dvostran. Verovatnoća data sledećim izrazom :

( ) β α −−=≤≤ 121 aaa P (5.42)




56

naziva se dvostrana verovatnoća, a a1 i a2 su donja i gornja granica intervala poverenja.

U slučaju jednostranjh intervala poverenja donja i gornja granica intervala poverenjaodređene su sledećim jednačinama :

( )( ) α

β

−=≤−=≥

11

2

1

aa P aa P

(5.43)

gde su 1-α i 1- β jednostrane verovatnoće. Najčešće se usvaja da su α i β jednaki.

Nalaženje intervala poverenja za ocenu parametra a* nije poznat i zavisi od zakonaraspodele slučajne promenljive X, kao i od same vrednosti parametra a. Zato se često primenjuju

približni postupci.

Jedan od načina određivanja intervala poverenja za matematičko očekivanje i disperziju sesvodi na to da je ocena m x

* (ocena matematičkog očekivanja) suma n nezavisnih slučajnihvrednosti x I koje sve imaju isti zakon raspodele. Prema tome može se predpostaviti da je zakonraspodele ocene m x

* normalan i da ima karakteristike m x i D x /n za matematičko očekivanje idisperziju. Uz predpostavku da je veličina D x poznata, procena intervala poverenja saverovatnoćom p računa se iz jednačine :

( ) 12* −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =≤−σ

ε φ ε x x mm P (5.44)

pri čemu je :

n

D x=σ (5.45)

Dakle, vrednost ε se izračunava iz formule :

p=−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ 12σ

ε φ (5.46)

tj. ne zavisi od vrednosti m x. Ako D x nije poznato, može se umesto toga uzeti statistička vrednost D x

*. Prema tome :

( )2*1

2

* x

n

ii

x mn

x D −=

∑= (5.47)

Na isti način može se naći i interval poverenja za disperziju.

Za gore opisan način određivanja intervala poverenja nije bilo neophodno da se zna tip

zakona raspodele. Međutim, ako se zna tip zakona raspodele, mogu se izvesti tačniji postupci.Ideja ovih postupaka je da se umesto nejednakosti u kojima figuriše ocena parametra a* koristi




57

neka druga funkcija eksperimentalno dobijenih podataka x1 ,…,xn slučajne veličine X i obimaeksperimenta n.

U okviru ovog poglavlja prikazane su razne metode za pronalaženje funkcija raspodele,koje najvernije aproksimiraju neki skup statističkih podataka. Proučavane su one funkcije koje su

najrasprostranjenije u inžinjerskoj praksi.



Analiza pouzdanosti dvostacionarnih sistema

58

6. ANALIZA POUZDANOSTI DVOSTACIONARNIH SISTEMA

Prilikom analize pouzdanosti nekog kompleksnog sistema, nužno je razložiti taj sistem na

funkcionalne celine koje mogu predstavljati podsisteme, uređaje, blokove, elemente i sl. U ovojglavi razmatraju se tzv. vremenski nezavisni i vremenski zavisni sistemi.

6.1. Metode određivanja pouzdanosti vremenski nezavisniihsistema

U ovoj glavi razmatra se slučaj kada je pouzdanost sistema i pouzdanost sastavnih delovasistema konstantna, što znači da je pretpostavljen jedan nepromenljivi vremenski interval. Analiza

pouzdanosti sistema u ovom slučaju bazira se na poznavanju pouzdanosti sastavnih delova injihovog uticaja na rad sistema. Taj uticaj može biti različit za razne konfiguracije, pa postoje irazličiti pristupi proračunu pouzdanosti. Dobijena pouzdanost na ovaj način naziva se

prognozirana ili proračunata pouzdanost, a tek naknadnim ispitivanjem protoripa proverava senjena vrednost.

6.1.1. Pouzdanost u slučaju redne veze blokova pouzdanosti

Sistem od n elemenata za čiji je ispravan rad potrebno da svih n elemenata ispravno radi predstavlja se rednom vezom blokova pouzdanosti tih elemenata.

U analizi pouzdanosti sistema veoma često se javlja redna veza blokova pouzdanosti. Blokdijagram ove konfiguracije prikazan je na slici 6.1.

Slika 6.1 Redna konfiguracija

Dakle, da bi ceo sistem uspešno funkcionisao svaki od elemenata mora da bude ispravan.Ovaj sistem može da predstavlja proceduru lansiranja satelita u orbitu koji se sastoji od n operacija ili, jednostavnije, sistem od n redno vezanih prekidača ( svi moraju da se zatvore da bistruja proticala). Neka je xi događaj koji označava uspešno funkcionisanje i-tog elementa, a i x

događaj njegovog neuspešnog funkcionisanja. Tada će pouzdanost, tj. verovatnoća uspešnogfunkcionisanja i-tog elementa biti P(xi ), a verovatnoća da će i-ti element da otkaže P( i ).

Pouzdanost čitavog sistema R biće u tom slučaju jednaka verovatnoći uspešnog funkcionisanja tog

sistema Ps, tj. verovatnoći preseka događaja x1,x2,...,xn. Kako je za uspešno funkcionisanjesistema neophodno da svi elementi sistema budu ispravni, pouzdanost sistema biće:




59

R = P s = P ( x1 ∩ x2 ∩ x3 ∩ ... ∩ xn ) (6.1)

odnosno:

R = P ( x1 ) P ( x2/ x1) P ( x3/ x1 x2)... P ( xn/ x1 x2... xn-1) (6.2)

U jednačini (6.2) postoje kondicione verovatnoće, jer nije uvedena pretpostavkanezavisnosti otkaza između elemenata 1,2,...,n. Na primer, P(xn/x1...xn-1) označava verovatnoćuispravnog funkcionisanja n-tog elementa pod uslovom da su svi elementi od 1 do n-1 ispravni.Međutim, ako elementi pri funkcionisanju ne utiču jedni na druge onda su njihovi otkazinezavisni, pa se jednačina (6.2) može napisati u jednostavnijem obliku:

R = P ( x1 ) P ( x2 )... P ( xn) =1

( )i n

ii

P x=

=∏ (6.3)

U slučaju kad su otkazi nezavisni i elementi identični, pri čemu je pouzdanost svakogelementa p, pouzdanost sistema biće

R=pn (6.4)

Pouzdanost sistema može se računati i na drugi način. Naime, sistem će otkazati ako bilokoji od elemenata u nizu otkaže. Zato je:

R= P s = 1 – F = 1 – P (

1 2 3... )

n x x x∪ ∪ ∪ ∪ (6.5)

gde je F verovatnoća otkaza, odnosno nepouzdanost sistema.

6.1.2. Pouzdanost u slučaju paralelne konfiguracije blokova pouzdanosti

Sistem od n elemenata za čiji je ispravan rad dovojlno da bar jedan element ispravno radi predstavlja se paralelnom vezom blokova pouzdanosti.

Paralelna konfiguracija se susreće u dva slučaja: kao rezultat strukture samog sistema, ikao posledica konstrukcijskog rešenja kada se radi povećanja pouzdanosti ugrađuju rezervnielementi koji ili rade u toku rada sistema, ili se uključuju kada neki element otkaže.

Dakle, kod paralelne konfiguracije, sistem uspešno funkcioniše ako je bilo koji odelemenata 1,2,...,n ispravan. Verovatnoća uspešnog funkcionisanja sistema, tj. pouzdanostsistema, bicće jednaka verovatnoći unije svih događaja x1, x2,..., xn:

R = P s = P( x1 U x2 U ... U xn ) (6.6)




60

Slika 6.2 Paralelna konfiguracija

Računanje verovatnoće unije događaja je komplikovano pa se zato računanje vrši prekonepouzdanosti F . Naime, sistem će otkazati samo ako svi elementi otkažu. Zato se može napisatisledeće:

1 2 31 1 ( ... )n R F P x x x x= − = − ∩ ∩ ∩ ∩ =

1 2 1 3 1 2 1 2 11 ( ) ( / ) ( / )... ( / ... )n n P x P x x P x x x P x x x x −= − (6.7)

U slučaju da su otkazi elemenata nezavisni, jednačina (6.7) se pojednostavljuje i dobija sesledeće:

R = 1 - P ( 1 ) P ( 2 )... P ( n x ) = 1 -1

( )i n

ii

P x=

=∏ (6.8)

U slučaju da su svi elementi identični, pri čemu je pouzdanost svakog od njih p,nepouzdanost će biti 1-p pa se dobija:

R =1 - ( 1 – p )n (6.9)

U prethodnim razmatranjima polazi se od pretpostavke da svi elementi sistema otpočinjusa radom u momentu uključenja sistema, kao i da je za uspešno funkcionisanje veze dovoljnaispravnost makar jednog elementa. Međutim, kasnije će se videti da postoje sistemi sa elementimau pripravnosti gde svi elementi ne startuju od početka kad i sistem, kao i sistemi gde je zaispravno funkcionisanje potrebno da bude ispravno više od jednog elementa.




61

6.1.3. Pouzdanost u slučaju kombinovane konfiguracije blokovapouzdanosti

U slučaju kombinacije redne i paralelne veze blokova pouzdanosti, pouzdanost takvogsistema dobija se razlaganjem na prostije celine koje imaju ili samo rednu ili samo paralelnukonfiguraciju i primenjuje se već izloženi postupak proračuna. Na slici 6.3 prikazan je slučajredno-paralelne konfiguracije.

x 11 x 1n

x 21 x 2n

x i1 x in

x m1 x nn

Slika 6.3 Redno paralelna konfiguracija

Ova struktura je sačinjena od n redno vezanih grupa koje se sastoje od jednakog broja m paralelno vezanih blokova.Analogno dosadašnjim razmatranjima, pouzdanost j-te grupe će biti:

1 21

1 ( ) ( )... ( ) 1 ( )i m

j j j mj iji

R P x P x P x P x=

=

= − = − ∏ (6.10)

Pošto je R j pouzdanost j-te grupe, ukupna pouzdanost cele redno-paralelne veze će biti:

1 21 1 1... [1 ( )]

j n j n i m

n j ij j j i R R R R R P x

= = =

= = == = = −∏ ∏ ∏ (6.11)

Ako su svi elementi identični i verovatnoća uspešnog funkcionisanja svakog od njih jednaka p, jednačina (6.11) dobija oblik:

R =1

[n

j=∏ 1 – (1- p)m] = [ 1 – ( 1 – p )m ]n (6.12)

Procedura određivanja pouzdanosti kada se broj elemenata u grupama razlikuje ista je kaoi kad je broj elemenata u grupama isti. Prema tome, za redno-paralelnu konfiguraciju, gde su




62

blokovi pouzdanosti vezani paralelno, a grupe blokova redno, najpre se izračuna pouzdanostsvake grupe, pa se onda množenjem tih vrednosti dobija pouzdanost sistema.

Na slici 6.4 dat je oblik paralelno–redne konfiguracije blokova pouzdanosti.

x 11 x 12 x 1n

x 21 x 22 x 2n

x m1 x m2 x mn

Slika 6.4 Paralelno redna konfiguracija

U ovom slučaju je m pravaca sa po n elemenata na svakom pravcu. Pretpostavlja se da susvi otkazi međusobno nezavisni. Da bi se našla pouzdanost cele konfiguracije najpre je potrebnoodrediti pouzdanost i-tog pravca. Direktnom analogijom sa jednačinom (6.3) dobija se:

Ri = P ( xi1) P ( xi2 )... P ( xin) =1

( )ni j

j

P x=

∏ (6.13)

Pošto je Ri pouzdanost i-tog pravca i pošto imamo paralelnu vezu od m ovakvih pravacadobija se izraz za pouzdanost paralelno redne veze:

1 21

1 (1 )(1 )...(1 ) 1 (1 )i m

m ii

R R R R R=

=

= − − − − = − − =∏1 1

1 [1 ( )] j ni m

iji j

P x==

= =

− −∏ ∏ (6.14)

Kada su svi elementi identični, pouzdanost tj. verovatnoća uspešnog funkcionisanjasvakog od njih je p, pa je pouzdanost sistema:

1

1 (1 ) 1 (1 )i m

n n m

i

R p p=

=

= − − = − −∏ (6.15)

Znači kod paralelno-redne konfiguracije, gde su blokovi pouzdanosti više paralelnih pravaca redno vezani, najpre se odrede vrednosti pouzdanosti svakog pravca, pa se onda zaodređivanje pouzdanosti sistema primenjuje pravilo koje važi za paralelnu konfiguraciju.




63

6.1.4. Određivanje pouzdanosti metodom rastavljanja

Postoje takve konfiguracije elemenata za koje se ne mogu primeniti procedureizračunavanja pouzdanosti kao kod rednih elemenata, paralelnih elemenata i elemenata u

pripravnosti. Na slici 6.5 dat je blok dijagram pouzdanosti za jedan takav sistem.

A

B D

C E

Slika 6.5 Složena konfiguracija

Da bi se izračunala pouzdanost ovog sistema koristi se teorema kondicionalne verovatnoćekoja glasi:

∑=

=2

1

)()/()(i

ii Z P Z S P S R (6.16)

gde S označava određeni događaj, a Z i su međusobno isključivi događaji, pri čemu je:

1)(2

1

=∑=i

i Z P (6.17)

Koristiće se specijalan slučaj kad je n = 2:

)()/()()/()( 2211 Z P Z S P Z P Z S P S P += (6.18)

gde su Z 1 i Z 2 međusobno isključivi događaji.Da bi se primenila jednačina (6.18) za određivanje pouzdanosti moraju se definisati

događaji S , Z 1 i Z 2. Događaj S predstavljaće uspešno funkcionisanje sistema, pa će kao posledicatoga P(S) biti pouzdanost tog sistema. Kako je u tom slučaju S događaj koji označava otkazsistema, )(S P biće nepouzdanost sistema F = 1 − R. Događaj Z 1 označavaće da je neki element x ispravan, a događaj Z 2 da je taj isti element neispravan. Pouzdanost sistema će tada biti:

)()/()()/()( x P xS P x P xS P S P R +== (6.19)

Prema tome, pouzdanost sistema se dobija kad se verovatnoća uspešnog funkcionisanjasistema pod uslovom da je element x ispravan pomnoži sa verovatnoćom ispravnosti tog elementa,




64

pa se to sabere sa proizvodom između verovatnoće uspešnog funkcionisanja sistema pod uslovomda je elemenat x neispravan i verovatnoće neispravnosti tog elementa.

U nekim slučajevima je lakše prvo naći nepouzdanost sistema, pa onda oduzimanjem od 1naći pouzdanost. Analogno sa jednačinom (6.19) izraz za nepouzdanost sistema ima oblik:

)()/()()/()( x P xS P x P xS P S P F +== (6.20)

U poslednje dve jednačine za R i F element x može biti bilo koji u okviru datog sistema,što znači da su te jednačine uvek primenljive. Izbor elementa x veoma je značajan u pogledudužine trajanja određivanja pouzdanosti sistema. Ako se izabere element koji, na osnovu blokdijagrama pouzdanosti, najviše utiče na pouzdanost sistema - procedura će biti kraća, i obrnuto.Znači, odabiranjem pogodnog elementa jedna relativno složena operacija rastavlja se na dve

prostije. U veoma složenim konfiguracijama ovaj proces rastavljanja može se ponavljati više puta,sve dok se ne dobiju konfiguracije čiju pouzdanost je lako odrediti.

Gledajući konfiguraciju na slici 6.5 može se pisati sledeće:

)()/()()/()( A P AS P A P AS P S P += (6.21)

jer je očigledno da je najlakše rastavljanje vršiti po elementu A. Ako je element A dobar, sistem ćeotkazati u slučaju da otkaže element D i makar jedan od elemenata C i E . Prema tome, može se

pisati:

[ ])()(1)()/( E P C P D P AS P −= (6.22)

U slučaju da element A ne radi sistem će otkazati u slučaju sa redna veza elemenata B i D otkaže. Prema tome:

)()(1)/( D P B P AS P −= (6.23)

Pošto su nađene kondicionalne verovatnoće, mogu se zameniti u izraz (6.21) te se takodobija izraz za )(S P odnosno nepouzdanost sistema:

[ ] [ ] )()()(1)()()(1)()( A P D P B P A P E P C P D P S P −+−= (6.24)

pa se oduzimanjem ove jednačine od 1 dobija pouzdanost.

6.1.5. Pouzdanost u slučaju modela „r od n“

U razmatranju paralelne veze elemenata vide se da je za njeno uspešno funkcionisanje

dovoljna ispravnost makar jednog elementa. Međutim, u nekim slučajevima to nije tako. Na primer, u jednom sistemu za napajanje fabričkog pogona električnom energijom putem četiri




65

motorna agregata minimalno je potrebno da barem dva agregata budu ispravna. Posmatra se paralelna konfiguracija od n elemenata od kojih barem r mora uspešno da funkcioniše da bi ceosistem ispravno funkcionisao.

Da bi se došlo do tražene pouzdanosti moraju se razmotriti sva moguća stanja u kojima

sistem može da se nađe pa se onda posmatra za koja stanja sistem ispravno radi, a za koja ne. Neka je xi događaj da i-ti element radi a i x događaj da ne radi. Tada (xi+ i x ) predstavlja skup svih

događaja tog elementa. Ako se sistem sastoji iz tri elementa, tada su sva njegova stanja dataizrazom:

321321321

321321321321321332211 ))()((

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

++

++++++=+++

(6.25)

Svaki član sa desne strane (6.25) predstavlja određenu kombinaciju stanja elemenata. Na primer, x1 x2 x3 označava da su svi ti elementi ispravni. Stanje koje vodi uspešnom funkcionisanjumože se odrediti iz blok dijagrama pouzdanosti. Tako, ako su elementi x1, x2 i x3 u rednoj vezi,onda će samo stanje x1 x2 x3 označavati uspešno funkcionisanje sistema.

Ako se pretpostavi da su x1, x2 i x3 u paralelnoj vezi, i ako se zahteva da budu ispravnanajmanje dva elementa onda je sistem ispravan ako se nalazi u jednom od sledećih stanja: x1 x2 x3,

x1 x2 3 x , x1 2 x x3, 1 x2 x3. Pouzdanost sistema je zbir verovatnoća onih stanja koja obezbeđuju

uspešno funkcionisanje sistema. Tako se dobija:

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) R P x x x P x x x P x x x P x x x= + + + (6.26)

Ako su otkazi elemenata nezavisni, dobija se sledeće:

1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R P x P x P x P x P x P x= + + 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P x P x P x P x P x P x+

(6.27)

U opštem slučaju, ako je dato n elemenata od kojih treba da je ispravno barem r i ako suotkazi elemenata nezavisni događaji, pri čemu je p verovatnoća ispravnog funkcionisanja jednogelementa, primenom znanja o binomnoj raspodeli, dobija se sledeće:

( ) (1 )n

x n x

x r

n R P x r p p

x−

=

⎛ ⎞= ≥ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ (6.28)

gde je x broj ispravnih elemenata.

Ako je n=3 i r=2 dobija se izraz za pouzdanost u sledećem obliku:

33 2 2

2

3( 2) (1 ) 3 2 x x

x

R P x p p p p x

−

=

⎛ ⎞= ≥ = − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ (6.29)




66

6.1.6. Pouzdanost u slučaju pripravnosti

Kod paralelne konfiguracije svi elementi se uključuju u momentu uključenja sistema ifunkcionišu dok ne dođe do otkaza. Međutim, kada su elementi u pripravnosti (rezervi) oni se

aktiviraju jedan po jedan samo u slučaju otkaza elementa koji je obezbeđivao funkcionisanjesistema. Na slici 6.5 prikazana su dva elementa od kojih je jedan u pripravnosti (rezervi).

A A’

P

B B’

a) b)

Slika 6.6 Sistem sa dva elementa u slucaju a) paralelne

konfiguracije i b)pripravnosti

Sistem sa aktivnim elementom A’ i elementom u pripravnosti B’ ponaša se nešto drugačijeod sistema na slici 6.6 a). Na početku rada prekidač P, za koji se pretpostavlja da besprekornofunkcioniše, uključuje element A’. Za to vreme, element B’ nije aktivan i nalazi se u rezervi. Umomentu kada prekidač „P“ oseti da je element A’ otkazao, on prebacuje vezu na element B’ isistem nastavlja sa radom. Pretpostavlja se da je vreme prebacivanja veze sa elementa A’ naelement B’ dovoljno kratko, kao i da B’ odmah počinje sa radom, tako da prebacivanje vezeizmeđu ta dva elementa nema uticaja na funkcionisanje sistema. Kao primer može se uzeti sistemza napajanje električnom energijom kod koga se automatski po nestanku mrežnog napajanjauključuje motorni agregat. Ovakav sistem će otkazati ako element A’ otkaže, idealni prekidač P

prebaci vezu na element B’ i zatim B’ otkaže. Pouzdanost u ovom slučaju je:

1 ( ' ') 1 ( ') ( '/ ') R P A B P A P B A= − ∩ = − (6.30)

Čini se da je u slučaju A=A’ i B=B’ pouzdanost u izrazu (6.30) jednaka kao kod paralelneveze. Međutim, treba primetiti da je značenje kondicionalnih verovatnoća ( / ) P B A i

( '/ ') P B A sasvim različito. U slučaju paralelne konfiguracije ( / ) P B A može da bude jednako

( ) P B ako se pretpostavi da su otkazi nezavisni, ili se ovaj izraz može malo razlikovati akoelementi A i B imaju međusobni uticaj. Element B startuje u isto vreme kad i element A, tj u t=0.U slučaju pripravnosti ( '/ ') P B A uvek je uslovna verovatnoća, jer element B’ ne otpočinje sa

radom dok element A’ ne otkaže. Dakle, važno je uočiti da je ( '/ ') P B A funkcija vremena.




67

Ako se uvedu sledeće pretpostavke: 1) prekidač besprekorno radi; 2) vreme uključenja urad elementa u pripravnosti je dovoljno malo da se može zanemariti; 3) element u pripravnosti seodmah startuje kad se prekidač prebaci na njega; 4) intenziteti otkaza elemenata u pripravnosti nezavise od vremena; onda se pouzdanost sistema sa slike 6.6b, za slučaj da su oba elementa

jednaka može izračunati primenom Poasonove raspodele. Sistem sa slike 6.6b funkcionišeuspešno ako ima 0 ili 1 otkaz. Tako se dobija sledeći izraz za pouzdanost:

∑=

−−−−

+=+==1

0

)1(!i

i

eeei

e R α α

α α α α α

(6.31)

gde je α očekivani broj otkaza. U opštem slucaju, kada je n identičnih elemenata od kojih je (n-1) elemenata u pripravnosti, pri čemu važe navedene pretpostavke, pouzdanost takvog sistema dobijase primenom izraza:

0 !

ii n

i

e Ri

α α −=

=

= ∑ (6.32)

Kada je sistem sa elementima u pripravnosti, čiji otkazi zavise od vremena, kad su tielementi različiti i kad prekidači ne funkcionišu besprekorno, onda se Poasonova raspodela nemože primeniti. U tom slučaju se mora razmatrati vreme i pronaći odgovarajuće funkcije gustineraspodele otkaza koje određuju ponašanje elemenata koji se nalaze u takvom sistemu.

6.2. Metode određivanja pouzdanosti vremenski zavisnih sistema

Do sada su razmatrani sistemi kod kojih pouzdanost sastavnih elemenata ne zavisi odvremena, tj. svi elementi rade u istom vremenskom intervalu. U ovoj glavi obrađuju sefunkcionalane veze između pouzdanosti elemenata i vremena njihovog rada što znači da ćeodređivanje pouzdanosti sistema rezultirati u funkciji pouzdanosti elemenata koja je zavisna odvremena. Teorija pouzdanosti vremenski zavisnih sistema je uopštenija, ali se neki rezultati iz

prethodne glave mogu jednostavnom analogijom i proširivanjem primeniti i ovde.

6.2.1. Pouzdanost u slučaju redne konfiguracije elemenata

Poznato je da je najjednostavniji oblik povezivanja elemenata u sistemu predstavljenrednom konfiguracijom. Model redne konfiguracije predstavlja svaki sistem čije ispravnofunkcionisanje zavisi od svakog elementa od koga se sastoji.

Neka je vreme do otkaza i-tog elemena prikazano slučajnom promenljivom Ti. U tomslučaju će pouzdanost sistema koji se sastoji iz n elemenata u rednoj vezi biti:

R( t ) = P ( T 1 > t ∩ T 2 > t ∩...∩ T n > t ) (6.33)

Pošto je pretpostavljena nezavisnost rada elemenata, dobija se:




68

R( t ) = P ( T 1 > t ) P ( T 2 > t )... P ( T n > t ) (6.34)

Pošto je svaki član u gornjem proizvodu zapravo pouzdanost odgovarajućeg i-togelementa, izraz za pouzdanost sistema u slučaju redne konfiguracije elemenata dobija oblik:

1

( ) ( )n

ii

R t R t =

= ∏ (6.35)

Logaritmovanjem leve i desne strane jednačine (6.35) dobija se :

1

ln ( ) ln ( )n

ii

R t R t =

= ∏ (6.36)

Na osnovu uopštene veze između intenziteta otkaza i pouzdanosti sistema prikazaneeksponencijalnom zavisnosću u jednačini (2.13) dobija se sledeće:

[ln ( )]( )

d R t t

dt λ = − (6.37)

Diferencirajući jednačinu (6.28) po vremenu i množeći je sa -1 najpre se dobija:

1

[ln ( )][ln ( )] ni

i

d R t d R t

dt dt =

− = −∑ (6.38)

pa se korišćenjem jednačine (6.37) dobija konačan izraz za funkciju intenziteta otkaza sistema saelementima u rednoj vezi:

1

( ) ( )n

ii

t t λ λ =

= ∑ (6.39)

Ovde se vidi da je funkcija intenziteta otkaza sistema sa elementima u rednoj vezi jednaka

zbiru intenziteta otkaza elemenata koji taj sistem čine, pod pretpostavkom nezavisnosti otkaza pojedinih elemenata i bez obzira na oblik funkcija gustine otkaza elemenata.

U slučaju da se sistem sastoji on n elemenata u rednoj vezi, koji imaju konstantneintenzitete oktaza λi (vreme do otkaza svakog elementa ima eksponencijalnu raspodelu), intenzitetotkaza sistema λ ce takođe biti konstantna vrednost. U tom slučaju funkcija pouzdanosti sistema

biće:

1( )

n

ii

t

R t eλ

=

− ∑= (6.40)

Izraz za očekivano vreme bezotkaznog rada, tj, srednje vreme između otkaza u slučaju popravljivih sistema je:




69

1

1 1n

ii

MTBF λ

λ =

= =

∑ (6.41)

6.2.2. Pouzdanost u slučaju paralelne konfiguracije elemenata

Poznato je da je za ispravno funkcionisanje sistema koji se sastoji od n paralelno povezanih elemenata dobvoljno da ispravno funkcioniše bar jedan element. Pri tom se uvodi pretpostavka da svi elementi otpočinju sa radom u momentu uključivanja sistema i funkcionišu dokraja rada sistema ili do otkaza.

Kao što je već poznato, kod paralelne veze je pogodnije najpre napisati izraz za

nepouzdanost:

F ( t ) = P ( T 1 ≤ t ∩ T 2 ≤ t ∩...∩ T n ≤ t ), t ≥ 0 (6.42)

Uvođenjem pretpostavke o nezavisnosti pojave otkaza može se napisati:

F ( t ) = P ( T 1 ≤ t ) P( T 2≤ t ) ... P( T n ≤ t ) (6.43)

Nezavisnost označava da se verovatnoća otkaza ispravnih elemenata neće promeniti posleotkaza drugih elemenata.

Pošto su članovi u proizvodu na desnoj strani jednačine (6.43) zapravno nepouzdanosti pojedinih elemenata sistema, jednačina (6.43) prelazi u:

1

( ) [1 ( )]n

ii

F t R t =

= −∏ (6.44)

pa se oduzimanjem nepouzdanosti od 1 dobija pouzdanost sistema u slučaju paralelnekonfiguracije elemenata:

1

( ) 1 [1 ( )]n

ii

R t R t =

= − −∏ (6.45)

U slučaju da je sistem sačinjen od n elemenata koji imaju konstantne intenzitete otkaza(vreme do otkaza svakog elementa ima eksponencijalnu raspodelu), određivanje pouzdanostitakvog sistema se pojednostavljuje. Jednačina (6.45) tada se može napisati u sledećem obliku:

1

( ) 1 (1 )i

nt

i

R t e λ −

=

= − −∏ (6.46)




70

Primenjujući jednačinu (6.46) na slučaj kad se sistem sastoji od dva elementa saintenzitetima otkaza λ1 i λ2 dobija se:

1 2 1 2( )( ) t t t R t e e eλ λ λ λ − − − += + − (6.47)

a u slučaju da je λ1=λ2=λ (identični elementi):

R(t)=2e-λt-e-2λt (6.48)

Korišćenjem jednačine (6.48) u izrazu za intenzitet otkaza (2.10) može se proveriti daintenzitet otkaza sistema sa elementima u paralelnoj konfiguraciji nije konstantna vrednost već jefunkcija vremena, bez obzira na to što elementi imaju konstantne intenzitete otkaza. Međutim ,očekivano vreme bezotkaznog rada može se dobiti integracijom po vremenu od 0 do

beskonačnosti što je predstavljeno jednačinom (2.19). Za slučaj da postoje dva elementa sa

konstantnim intenzitetima otkaza λ1 i λ2, ova integracija je jednostavna pa se dobija sledeće:

1 2 1 2( )

0

[ ]t t t sr T e e e dt λ λ λ λ

∞− − − += + −∫ (6.49)

odnosno:

1 2 1 2

1 1 1 sr T

λ λ λ λ = + −

+ (6.50)

Ako je λ1=λ2=λ (identični elementi) dobija se:

3

2 sr T λ

= (6.51)

U opštem slučaju, očekivano vreme bezotkaznog rada sistema, koji se sastoji od n identičnih elemenata sa intenzitetom otkaza λ, biće:

1

1 1n

sr i

T iλ =

= ∑ (6.52)

Ako se u jednačinama (6.12) i (6.15) koje se odnose na redno – paralelnu, odnosno na paralelno – rednu vezu, kod vremenski nezavisnih sistema umesto R i p stavi R(t ) i p(t ) dobija sevremenski zavisna funkcija pouzdanosti datih konfiguracija. Isto tako, ako je za uspešnofunkcionisanje sistema neophodno da od n identičnih elemenata u paralelnoj konfiguraciji budeispravno najmanje r elemenata , pouzdanost takvog sistema dobija se primenom jednačine (6.28),gde umesto R i p treba staviti R(t ) i p(t ).




71

6.2.3. Pouzdanost u slučaju pripravnosti

Na slici 6.7 prikazan je sistem sa elementima u pripravnosti pri čemu samo jedan elementfunkcioniše, a n-1 se nalazi u pripravnosti. U sklopu sistema je i prekidač P čiji je zadatak da po

otkazu elementa koji funkcioniše uključi sledeći element. Ako i taj element otkaže uključuje sesledeći i tako dalje redom. Za razliku od razmatranja u odeljku 6.1.5 ovde će se uzeti u obzirvremenske zavisnosti pouzdanosti svakog od elemenata koji čine sistem. Razmatranje je

podeljeno na slučaj kad prekidač idealno funkcioniše i kada prekidač ima neku verovatnoćuotkaza (funkcija gustine verovatnoće otkaza).

1

P 2

n

Slika 6.7 Sistem sa jednim aktivnim elementom i (n-1) elementom u pripravnosti

Neka je sa xi označen događaj uspešnog funkcionisanja i-tog elementa, a sa i x događaj

otkaza i-tog elementa. Slučajno promenljiva veličina, koja označava vreme otkaza i-togelemnta,označena je sa T i, a njena funkcija gustine biće f i (t ).

1. Slučaj kada je prekidač idealan

U ovom poglavlju posmatraće se pojednostavljen slucaj kada prekidač besprekornofunkcioniše, tj. kada ne može da otkaže. Takođe se pretpostavlja da elementi u pripravnosti ne

mogu da otkažu u stanju mirovanja. Razmatraće se pouzdanost sistema koji se sastoji od elementa1 u stanju funkcionisanja i elementa 2 u stanju pripravnosti. U tom slučaju, sistem će biti ispravanu određenom trenutku vremena t ukoliko ili a) element 1 radi do tog vremena t , ili b) element 1otkaže u trenutku vremena T 1<t , a element 2 radi od vremena T 1 do t . Ove varijnate uspešnogfunkcionisanja sistema prikazane su na slici 6.8.




72

Slika 6.8 Moguće varijante rada sistema sa aktivnim elementom 1 i elementom 2 u pripravnosti

Pouzdanost ovakvog sistema biće

R(t ) = P [( T 1 > t ) U (T 1 ≤ t ∩ T 2 > t - T 1 )] (6.53)

Pošto su varijante funkcionisanja sistema a) i b) uzajamno isključivi događaji, može se

napisati:

R(t ) = P (T 1 > t ) + P ( T 1≤ t ∩ T 2 > t – T 1 ) (6.54)

odnosno :

1 1 1 2 1 1

0

( ) ( ) ( ) ( )t

R t R t f t R t t dt = + −∫ (6.55)

Prema tome, ako se znaju funkcije gustine otkaza elemenata, iz jednačine (6.55) može seodrediti pouzdanost sistema sa jednim aktivnim elementom i jednim elementom u pripravnosti.

Ako se pretpostavi da elementi 1 i 2 imaju konstantne intenzitete otkaza λ1 i λ2, primenom jednačine (6.55) dobija se:

1 1 1 2 1( )1 1

0

( )t

t t t t R t e e e dt λ λ λ λ

− − − −= + ∫ (6.56)

koja posle jednostavnih matematičkih operacija prelazi u:




73

1 2 11

1 2

( ) ( )t t t R t e e eλ λ λ λ

λ λ

− − −= + −−

(6.57)

Kada oba elementa imaju isti intenzitet otkaza λ1 = λ2 =λ, ponovo se primenjuje jednačina

(6.55), pa se dobija:

1 1 1( )1

0

( )t

t t t t R t e e e dt λ λ λ λ − − − −= + ∫ (6.58)

odnosno:

( ) (1 )t R t e t λ λ −= + (6.59)

Pouzdanost sistema, koji se sastoji od aktivnog elemetna 1 i elementa 2 i 3 u pripravnosti,može se odrediti sličnim razmatranjem. Sve moguće varijante uspešnog funkcionisanja ovakvogsistema prikazane su na slici 6.9.

Pouzdanost sistema će biti:

R(t ) = P [(T 1>t ) U (T 1≤t ∩ T 2>t – T 1) U (T 1≤ t ∩ T 2≤ t – T 1 ∩ T 3 > t – T 1 – T 2)](6.60)

Kako su varijante a, b i c međusobno isključivi događaji, može se napisati:

R(t ) = P [( T 1 > t ) + P ( T 1≤t ∩ T 2>t – T 1) + P (T 1 ≤ t ∩ T 2 ≤ t – T 1 ∩ T 3 > t – T 1 – T 2)(6.61)

odnosno:

1

1 1 1 2 1 1 1 1 2 3 1 2 2 1

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t

R t R t f t R t t dt f t f R t t t dt dt −

= + − + − −∫ ∫ ∫ (6.62)




74

Slika 6.9 Moguće varijante rada sistema sa aktivnim elementom 1 i elemetima 2 i 3 u pripravnosti

Može se primetiti da su prva dva člana jednačine (6.53) identična sa jednačinom (6.55) što je i logično jer su sve varijante rada sistema sa jednim aktivnim elementom i jednim elementom u pripravnosti sadržane u ovom sistemu.

Ako se razmotri specijalan slučaj kada su sva tri elementa identična i imaju konstantanintenzitet otkaza λ, pouzdanost sistema se primenom jednačine (6.53) može dobiti u sledećemobliku:

2( )( ) 1

2t t

R t e t λ λ λ − ⎡ ⎤

= + +⎢ ⎥⎦⎣

(6.63)

Na osnovu dosadašnjih razmatranja analogno se mogu napisati jednačine i za sistem kojise sastoji od aktivnog elementa 1 i elemenata 2,3 i 4 u pripravnosti i tako dalje redom za svesloženije i složenije sisteme. U opštem obliku, pouzdanost sistema koji se sastoji od n elemenatasa konstantnim intenzitetom otkaza λ, pri čemu je jedan element aktivan a (n-1) u pripravnosti,

data je jednačinom:

( ) ( ) ( ) ( ) 111

0

)1()1()( dt t t Rt f t Rt R n

t

nnn −+= ∫ −− (6.64)

gde je:

( )t R n)( - pouzdanost sistema od n elemenata (n-1 elemenat u pripravnosti)

( )t R n )1( − - pouzdanost sistema od n-1 elemenata (n-2 elemenata u pripravnosti)

)1( −n f - funkcija gustine raspodele za sistem od n-1 elemenata




75

( )t Rn - pouzdanost n-tog elementa.

U slučaju n identičnih elemanata dobija se

1

0( )( )

!

in

t

it R t e

iλ λ

−

−

== ∑ (6.65)

2. Slučaj kad prekidač nije idealan

U prethodnom poglavlju razmatran je slučaj kada prekidač idealno obavlja svoju funkciju.Međutim, u praktičnim situacijama verovatnoća otkaza prekidača ima značajan uticaj na

pouzdanost sistema. Otkazi prekidača mogu da se jave u više oblika pri čemu oni zavise odmehanizma uključivanja i od samog sistema. U ovom poglavlju razmatraće se dve mogućnostiotkaza prekidača.

Prva mogućnost otkaza prekidača je situacija kada on ne izvrši uključivanje elemenata u pripravnosti u momentu kada se to zahteva. Ako sa p p obelezimo verovatnoću da će prekidač uključiti element u pripravnosti onda kada se to zahteva, pouzdanost sistema sa aktivnimelementom 1 i elementom 2 u pripravnosti, analogno sa jednačinom (6.55) biće:

1 1 1 2 1 1

0

( ) ( ) ( ) ( )t

p R t R t p f t R t t dt = + −∫ (6.66)

Isto tako, primenom jednačine (6.62) može se dobiti pouzdanost sistema sa aktvinimelementom 1 i elementima 2 i 3 u pripravnosti.:

1

21 1 1 2 1 1 1 1 2 2 3 1 2 2 1

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t

p p R t R t p f t R t t dt p f t f t R t t t dt dt −

= + − + − −∫ ∫ ∫

(6.67)

Druga mogućnost otkaza prekidača je situacija kada je prekidač kompleksan uređaj čija jefunkcija gustine otkaza f p(t ) i pouzdanost R p(t ). Prema tome, dozvoljava se mogućnost da prekidač može da otkaže pre nego što se zahteva od njega da uključi element u pripravnosti. U tom slučaju,

pouzdanost sistema sa aktivnim elementom 1 i elementom 2 u pripravnosti biće:

R(t ) = P [( T 1 > t ) U (T 1 ≤ t ∩ T p > T 1 ∩ T 2 > t – T 1)] (6.68)

odnosno:

R(t ) = P ( T 1 > t ) + P ( T 1 ≤ t ∩ T p > T 1 ∩ T 2 > t – T 1 ) (6.69)

gde je T p slučajna promenljiva veličina koja označava vreme do otkaza prekidača. U integralnoj

formi, jednačina (6.69) dobija sledeći oblik:




76

1 1 1 1 2 1 1

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

p R t R t f t R t R t t dt = + −∫ (6.70)

Ako se pretpostavi da oba elementa imaju konstantne intenzitete otkaza i da prekidač imakonstantan intenzitet otkaza λ p, onda se primenom jednačina (6.70) i posle jednostavnihmatematičkih operacija dobija izraz za pouzdanost takvog sistema:

( ) [1 (1 )] pt t

p

R t e e λ λ λ

λ

−−= + − (6.71)

Sličnim razmatranjem može se odrediti pouzdanost sistema koji se sastoji od aktivnogelementa 1 i elementa 2 i 3 u pripravnosti. Analogno sa jednačinom (6.61) može se napisati da je :

R( t ) = P (T 1 > t ) + P ( T 1 ≤ t ∩ T p > T 1 ∩ T 2 > t - T 1 ) +

+ P ( T 1 ≤ t ∩ T 2 < t - T 1∩ T p > T 1 + T 2 ∩ T 3 > t - T 1 – T 2 ) (6.72)

Odnosno u integralnoj formi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1221321

0

221

0 0

11121111

1

dt dt t t t Rt t Rt f t f dt t t Rt Rt f t Rt R p

t t t t

p −−++−+= ∫∫ ∫−

(6.73)

U praktičnim situacijama sreću se i drugi oblici otkaza prekidača. Na primer, prekidač može da otkaže tako što isključuje aktivni element, kada je on ispravan. Svaka situacija mora

pojedinačno da se analizira i na osnovu toga da se odredi izraz za izračunavanje pouzdanosti za tajslučaj.

U nekim slučajevima se može uzeti u obizr mogućnost da elementi u pripravnosti mogu daotkažu još pre nego što se zahteva njihovo uključivanje. Ako postoji ta mogućnost, na primer, kodsistema sa jednim aktivnim elementom i elementom 2 u pripravnosti, izraz za određivanje

pouzdanosti će analogno sa jednačinom (6.70) biti:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1131211

0

11 dt t t Rt Rt Rt f t Rt R p

t

−+= ∫ (6.74)



Analiza pouzdanosti sistema sa višestacionarnim elementima

77

7. ANALIZA POUZDANOSTI SISTEMA SA VIŠESTACIONARNIM

ELEMENTIMA

Do sada su razmatrani slučajevi kada postoje samo dva isključiva događaja – elementfunkcioniše uspešno, ili neuspešno, tj. element je ili dobar ili loš. Međutim, mnogi elementi moguimati više stanja, pa se tada moraju formulisati drugačiji izrazi za pouzdanost sistema kojiobjedinjuju te elemente. Na primer, jedan otpornik može ispravno da funkcioniše, da otkaže zbogkratkog spoja ili zbog prekida u kolu. Tranzistor može da ima i više od tri stanja, ako se svi obliciotkaza uzmu u obzir. Ovakvi elementi nazivaju se multistacionarni elementi. Svi oblici otkazatakvog elementa ne znace neminovno otkaz sistema, već se svako stanje elementa mora procenitiu odnosu na konfiguraciju svih elemenata i u odnosu na korišćenje.

Jedna poluprovodnička dioda funkcioniše tako što propušta struju u jednom smeru, a ne

propušta je u povratnom smeru, što se može uporediti sa ulogom koju ima kontrolni ventil unekom toku fluida. Kada ispravno funkcioniše, otpornost u željenom smeru je teoretski jednakanuli, a u povratnom smeru jednaka je beskonačnosti. Dioda može da otkaze na dva načina: možeda napravi prekid, kada je otpornost u oba pravca jednaka beskonačnosti, ili može napraviti kratakspoj, kada je otpornost jednaka nuli u oba smera.Prema tome, dioda može da se nalazi u tri stanja :ispravna, prekid i kratak spoj. Ako se sa x obeleži događaj da je dioda dobra, a sa p da je dioda

otkazala usled prekida, a sa k da je dioda otkazala usled kratkog spoja, onda su to tri uzajamno

isključiva događaja, pa se može napisati da je:

( ) ( ) ( ) ( ) 1 p k p k P x x x P x P x P x+ + = + + = (7.1)

Pouzdanost jedne takve diode biće:

( ) 1 ( ) 1 [ ( ) ( )] p k p k R P x P x x P x P x= = − + = − + (7.2)

Takođe se i kondenzator može posmatrati kao trostacionarani elemnt jer i on ili radiispravno, ili ako otkazuje, otkazuje usled kratkog spoja ili usled prekida. Zato se sve ono što jerečeno do sada za diodu kao i relacije (7.1) i (7.2) može primeniti i na kondenzator.

U sledećem tekstu razmatra se izračunavanje pouzdanosti sistema kada su date raznekonfiguracije elemenata, pri čemu svaki element može da bude u tri stanja. Takođe će biti

pomenut slučaj elemenata koji mogu imati više od tri stanja.

Treba napomenuti da je logika za računanje pouzdanosti i za kondenzator i za diodu kaotrostacionarne elemente ista. Zato je u poglavljima 1, 2, 3 i 4 svejedno da li su nacrtane veze sadiodama ili kondenzatorima jer sve relacije ostaju iste.

1. Redna konfiguracija trostacionarnih elemenata

Da bi se odredila pouzdanost sistema koji se sastoji iz redno vezanih trostacionarnihelemenata potrebno je definisati otkaz sistema. Sistem na slici 7.1 otkazaće : 1) ako i element x1 i




78

element x2 naprave kratak spoj i 2) ako ili element x1 ili element x2 naprave prekid. Neka jeobeležen sa 1 p x događaj da je element x1 napravio prekid, a sa 1k x događaj da je element x1

napravio kratak spoj i tako dalje po toj logici i za element x2. Pošto su događaji 1) i 2) isključivi,sledi:

x1 x2

Slika 7.1 Dve redno vezane diode

)()(2121 p pk k

x x P x x P F ∪+∩= (7.3)

Pretpostavlja se da su otkazi elemenata nezavisni. Tada je verovatnoća da će i element x1 ielement x2 napraviti kratak spoj, tj. presek ovih događaja, jednaka:

1 2 1 2( ) ( ) ( )k k k k P x x P x P x∩ = (7.4a)

Verovatnoća da će ili element x1 ili element x2 napraviti prekid, tj. unija ovih događaja je jednaka:

=−+=∪ )()()()()( 212121 p p p p p p x P x P x P x P x x P

1 2 1 21 ( ) 1 ( ) ( ) p p p p P x x P x P x= − ∩ = − =

1 21 [1 ( )][1 ( )] p p P x P x= − − − (7.4b)

Gde je iskorisćena činjenica da se verovatnoća P( x 1p U x 2p ) može dobiti oduzimanjem od1 verovatnoće da ni element x1 ni element x2 neće otkazati zbog prekida. Sabiranjem jednačina

(7.4a) i (7.4b) i oduzimanjem od 1 dobila je izraz za pouzdanost sistema:

1 2 1 21 [1 ( )][1 ( )] ( ) ( ) p p k k R F P x P x P x P x= − = − − − (7.5)

Ovaj izraz se lako može uopštiti za slučaj n redno vezanih elemenata, pa se dobija:

1 1

[1 ( )] ( )n n

ip ik i i

R P x P x= =

= − −∏ ∏ (7.6)

Ako su svi elementi identinčni, pri čemu je P ( x 1p ) = q p i P ( xik ) = qk , jednačina (7.6) preći će u:




79

R = ( 1 – q p )n - qk

n (7.7)

gde je q p verovatnoća da će element otkazati zbog prekida, a qk verovatnoća da će elementotkazati zbog kratkog spoja.

Interesantno je još napomenuti da je moguće odrediti optimalni broj ovih elemenata urednoj vezi, diferenciranjem izraza (7.7) po n.

0

lnln

ln(1 )

1ln

k

p

p

k

q

qn

q

q

−=

− (7.8)

2. Paralelna konfiguracija trostacionarnih elemenata

Kada je data paralelna konfiguracija trostacionaranih elemenata kakva je prikazana na slici7.2 sistem će otkazati: 1) ako bilo koji od elemenata napravi kratak spoj(događaj A) i 2) ako svielementi naprave prekid (događaj B). Na osnovu ovih obeležavanja može se napisati sledecće:

1 2 ...k k nk A x x x= ∪ ∪ ∪ (7.9)

odnosno:

1 2 ... p p np B x x x= ∩ ∩ ∩ (7.10)

Prema tome P ( A) je verovatnoća da će makar jedan element u paraleli naraviti kratak spojdok je P ( B) verovatnoća da će svi elementi napravati prekid. Zbir ove dve verovatnoće predstavljaverovatnoću otkaza sistema odnosno njegovu nepouzdanost. Sada se može pisati:

1 2 1 2( ) ( ... ) 1 ( ... )k k nk k k nk P A P x x x P x x x= ∪ ∪ ∪ = − ∩ ∩ ∩ =

1 2

1 2

1 ( ) ( )... ( )

1 [1 ( )][1 ( )]...[1 ( )]k k nk

k k nk

P x P x P x

P x P x P x

= − =

= − − − − (7.11)

odnosno:

1 2 1 2( ) ( ... ) ( ) ( )... ( ) p p np p p np P B P x x x P x P x P x= ∩ ∩ ∩ = (7.12)




80

x1

x2

xn

Slika 7.2 Paralelna konfiguracija kondenzatora

Sabiranjem P ( A) i P ( B) i oduzimanjem od 1, dobija se pouzdanost sistema u opštemslučaju:

1 1

[1 ( )] ( )n n

ik ipi i

R P x P x= =

= − −∏ ∏ (7.13)

Kada su svi elementi identični pri čemu je q p i qk već definisano, može se formula za pouzdanost pojednostaviti:

R = ( 1 – qk )n - q p

n (7.14)

Takođe se i ovde može odrediti optimalni broj n koji daje najveću pouzdanost i todiferenciranjem poslednjeg izraza po n i izjednačavanjem sa nulom. Tako se dobija:

0

lnln

ln(1 )1ln

p

k

k

p

q

qnq

q

−= − (7.15)

3. Redno paralelna konfiguracija trostacionarnih elemenata

Na slici 7.3 je prikazana redno – paralelna konfiguracija dve na red vezane konfiguracijesa po n paralelno vezanih elemenata. Ovako definisani sistem će otkazati: 1)ako grupa koja se

sastoji od elemenata x11 , x21 , ...,xn1 ili grupa koja se sastoji od elemenata x12 , x22 , ..., xn2 otkažuzbog prekida (događaj A) ili kratkog spoja (događaj B).




81

x 11 x 21

x 21 x 22

x n1 x n2

Slika 7.3 Redno paralelna konfiguracija kondenzatora

Neka su sa 11 21 1, ,..., p p n p x x i 12 22 2, ,..., p p n p x x x obeleženi otkazi elemenata zbog prekida i sa

11 21 1, ,...,k k n k x x x i 12 22 2, ,...,k k n k x x x otkazi elemenata zbog kratkog spoja. Pretpostavlja se da su

otkazi elemenata nezavisni. Na osnovu dosadašnjih definicija izrazi za događaje A i B bice:

11 21 1 12 22 2( ... ) ( ... ) p p n p p p n p A x x x x x x= ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ (7.16)

odnosno:

11 21 1 12 22 2( ... ) ( ... )k k n k k k n k B x x x x x x= ∪ ∪ ∪ ∩ ∪ ∪ ∪ (7.17)

Sada je verovatnoca da će ili jedna ili druga grupa otkazati usled prekida jednaka:

11 21 1 12 22 2( ) [( ... ) ( ... )] p p n p p p n p P A P x x x x x x= ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ =

11 21 1 12 22 21 [( ... ) ( ... )]

p p n p p p n p P x x x x x x= − ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ =

11 21 1 12 22 21 [1 ( ) ( )... ( )][1 ( ) ( )... ( )] p p n p p p n p P x P x P x P x P x P x= − − − (7.18)

Verovatnoća da će i jedna i druga grupa otkazati zbog kratkog spoja je jednaka:

11 1 12 2( ) {1 [1 ( )]...[1 ( )]}{1 [1 ( )]...[1 ( )]}k n k k n k P B P x P x P x P x= − − − − − − (7.19)

Sabiranjem poslednje dve jednačine i oduzimanjem od 1 dobija se izraz za pouzdanost

sistema sa slike 7.3:




82

2 2

1 1 1 1

[1 ( )] {1 [1 ( )]}n n

ijp ijk j i j i

R P x P x= = = =

= − − − −∏ ∏ ∏ ∏ (7.20)

Uopštavanjem ove jednačine dobija se izraz za pouzdanost sistema koji se sastoji od n grupa sa po m elemenata u svakoj grupi:

1 1 1 1

[1 ( )] {1 [1 ( )]}n m n m

ijp ijk j i j i

R P x P x= = = =

= − − − −∏ ∏ ∏ ∏ (7.21)

gde je i =1,2,3,...,m broj elemenata u grupi ( do sada smo taj broj označavali sa n), j = 1,2,3,..., n broj grupa.

Ako su svi elementi jednaki pri čemu je P ( xijp ) = q p i P ( xijk ) = qk , poslednja jednačina prelazi u :

R = ( 1- q pm)n – [ 1 – ( 1- qk )

m]n (7.22)

Optimalno m i n može se naći parcijalnim diferenciranjem (7.22) po m i n, iizjednačavanjem ovih izraza sa nulom.

Paralelno redna konfiguracija trostacionarnih elemenata

Sistem na slici 7.4 sastoji se od dva paralelno vezana niza od kojih svaki ima po n

trostacionarnih elemenata. Ovo je, dakle, jedan slučaj paralelno-redne konfiguracije.

x 11 x 12 x 1n

x 21 x 22 x 2n

Slika 7.4 Paralelno redna konfiguracija dioda

Ovaj sistem će otkazati: 1) ako i gornji i donji pravac otkažu zbog prekida (događaj C) i 2)ako ili gornji ili donji pravac otkažu zbog kratkog spoja (događaj D). Zadržana su istaobeležavanja kao i u slučaju redno-paralelne konfiguracije i pretpostavlja se da su otkazielemenata nezavisni. Prema navedenim definicijama izrazi za događaje C i D biće:

11 12 1 21 22 2( ... ) ( ... ) p p np p p npC x x x x x x= ∪ ∪ ∪ ∩ ∪ ∪ ∪ (7.23)




83

odnosno:

11 12 1 21 22 2( ... ) ( ... )k k nk k k nk D x x x x x x= ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ (7.24)

Sada će verovatnoća da će i jedan i drugi pravac otkazati zbog prekida biti jednaka:

11 12 1 21 22 2 P( ) [( ... ) ( ... )] p p np p p npC P x x x x x x= ∪ ∪ ∪ ∩ ∪ ∪ ∪ =

11 12 1 21 22 2=P( ... ) ( ... ) p p np p p np x x x P x x x∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ =g

11 1 21 2{1 [1 ( )]...[1 ( )]}{1 [1 ( )]...[1 ( )]} p np p np P x P x P x P x= − − − − − − (7.25)

Verovatnoća da ce ili jedan ili drugi pravac otkazati zbog kratkog spoja biće jednaka:

11 12 1 21 22 2( ) [( ... ) ( ... )]k k nk k k nk P D P x x x x x x= ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ =

11 12 1 21 22 21 [( ... ) ( ... )]k k nk k k nk P x x x x x x= − ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ =

11 12 1 21 22 21 ( ... ) ( ... )k k nk k k nk P x x x x x x= − ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩g =

11 12 1 21 22 2

1 [1 ( ... )][1 ( ... )]k k nk k k nk

P x x x P x x x= − − ∩ ∩ ∩ − ∩ ∩ ∩ =

= 11 12 1 21 22 21 [1 ( ) ( )... ( )][1 ( ) ( )... ( )]k k nk k k nk P x P x P x P x P x P x− − − (7.26)

Sabiranjem poslednje dve jednačine i oduzimanjem od jedan dobija se izraz za pouzdanostsistema sa slike (7.4):

2 2

1 1 1 1

[1 ( )] {1 [1 ( )]}n n

ijk ijpi j i j

R P x P x= = = =

= − − − −∏ ∏ ∏ ∏ (7.27)

Ova jednačina se može uopštiti za slučaj kada je dat sistem koji se sastoji od m pravaca sa po n elemenata u svakom pravcu pa se dobija:

1 1 1 1

[1 ( )] {1 [1 ( )]}m n m n

ijk ijpi j i j

R P x P x= = = =

= − − − −∏ ∏ ∏ ∏ (7.28)

Kada su svi elementi jednaki pri čemu je P ( ijk ) = qk i P ( ijp x ) = q p, dobija se

R = ( 1- qk n)m – [ 1 – ( 1- q p)n]m (7.29)




84

I u ovom slučaju je moguće traženjem parcijalnih izvoda po m i n i njihovimizjednačavanjem sa nulom naći optimalne vrednosti za m i n pri kojima sistem ima maksimalnu

pouzdanost.

Pouzdanost u slučaju sistema sa elementima sa više od tri stanja

Kad se neki sistem sastoji od elemenata koji mogu imati više od tri stanja, pouzdanost togsistema se može oderditi sličnim razmatranjem kao i u slučaju sistema sa elementima sa tri stanja.Međutim, jednačine postaju kompleksnije pa se u praktičnim situacijama može koristiti proceduraodređivanja pouzdanosti koja će u ovom odeljku biti izložena.

Posmatra se sistem koji se sastoji od dva električna prekidača čiji je zadatak da kontrolišu protok struje ka nekoj eleketričnoj mreži. To mogu biti, na primer, neka relea.

P1

Električna

I mreža

P2

Slika 7.5 Zaustavni prekidač i na ulazu u neku električ nu mrežu

vezani paralelno

Svaki od ova dva prekidača može da se nađe u jednom od sledećih pet stanja;

1) Prekidač ispravan (događaj D)2) Prekidač otkazao u zatvorenom položaju kada je zatraženo da se prekine protok

struje (događaj Lz1)3) Prekidač otkazao u zatvorenom položaju kada se ne traži da se prekine protok

struje (događaj Lz2)4) Prekidač oktazao u otvorenom položaju kada se ne traži prekidanje protoka struje (

događaj Lo1) i5) Prekidač otkazao u otvorenom položaju kada je zatraženo prekidanje struje

(događaj Lo2)Da bi se pristupilo određivanju pouzdanosti ovog sistema mora se definisati šta se

podrazumeva pod uspešnim funkcionisanjem. Sistem je ispravan : 1) ako nema protoka struje prema električnoj mreži kada se zahteva otvaranje prekidača i 2) ako nema prekida u protokustruje kada se ne zahteva otvaranje prekidača.




85

Tabela 7.1 Određ ivanje pouzdanosti sistema na slici 7.5

Elementi i njihovastanjaBroj

Varijacija1 2

Sistem

dobar / loš

Verovatnoćauspešnog

funkcionisanja

sistema1 D D D R1R2 2 D LO1 D R1Q2O1

3 D LO2 D R1Q2O2

4 D LZ1 L

5 D LZ2 L

6 LO1 D D Q1O1R2

7 LO1 LO1 L

8 LO1 LO2 D Q1O1Q2O2

9 LO1

LZ1

L

10 LO1 LZ2 L

11 LO2 D D R2Q2O2



14 LO2 LZ1 L

15 LZ1 LZ2 L

16 LZ1 D L

17 LZ1 LO1 L

18 LZ1 LO1 L

19 LZ1 LZ1 L

20 LZ2 LZ2 L

21 LZ2 D L

22 LZ2 LO1 L

23 LZ2 LO1 L

24 LZ2 LZ1 L

25 LZ2 LZ2 L

Sistem na slici 7.5 imaće ukupno V = 52 = 25 mogućih kombinacija funkcionisanjaelemenata u njemu. Radi lakšeg manipulisanja, korisno je izračunavanje prikazati tabelarno(tabela 7.1)

U koloni „ Elementi i njihova stanja“ upisu se svih 25 mogućih varijanti stanja prekidača 1i 2, a u sledećoj koloni se unese da li će sistem uspešno funkcionisati (D) ili će otkazati (L) zadatu kombinaciju stanja prekidača. U poslednjoj koloni se utvr đuju verovatnoće uspešnogfunkcionisanja sistema za datu kombinaciju prekidača. Pouzdanost sistema biće jednaka zbirusvih verovatnoća uspešnog funkcionisanja sistema za određenu kombinaciju stanja prekidača.Ako su sa R1 i R2 obeležene pouzdanosti prekidača 1 i 2, a sa Q101 i Q201 verovatnoća otkaza

prekidača u otvorenom položaju kada se ne traži prekid protoka struja, sa Q102 i Q202 verovatnoćaotkaza prekidača 1 i 2 u otvorenom položaju kada se traži prekid toka struje, pouzdanosti sistema

sa slike 7.5 na osnovu tabele 7.1 biće:




86

R = R 1R 2 + R 1Q201 + R 1Q202 + Q101R 2 + Q101Q202 + Q102R 2 + Q102Q202 + Q102Q202

(7.30)

Može se primetiti da je pouzdanost ovog sistema dosta niska i da bi se verovatno povećala

vezivanjem prekidača na red.Ukupan broj stanja u kojima se može naći sistem koji se sastoji od n elemenata, pri čemu

svaki i-ti element ( i=1,2,3,...,m) čiji je broj xi se može naći u Yi-to, broju stanja, dobija se poobrascu (varijacije sa ponavljanjem):

31 21 2 3 ... m x x x x

mV Y Y Y Y = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (7.31)

gde je 1 2 3 ... m x x x n+ + + + =

Vidi se da je broj stanja u kojima se mogu naći sistemi sa višestacionarnim elementima

vrlo veliki i da je porar čun pouzdanosti takvih sistema kompleksan.

7.1. Pouzdanost u slučaju višestacionarnih vremenski zavisnihelemenata

Kao što se moglo videti u odeljku 7.1 mnogi elementi mogu da imaju više od dva stanja(dobar ili loš) pa se tada za njih kaže da su to multistacionarni elementi. Kao primer jednogtakvog elementa navedena je poluprovodnička dioda, koja može da bude u tri stanja: ispravna,

otkazala zbog prekida i otkazala zbog kratkog spoja. Sada će se razmotriti određivanje pouzdanosti u slučaju trostacionarnih elemenata, kada je vreme do otkaza jednog takvog elementaslučajna promenljiva veličina sa odgovarajućom funkcijom gustine otkaza f i(t ). Pri tome će se

pretpostaviti da ovi trostacionarni elementi mogu da se nalaze u sledeća tri sanja: ispravan, otkazzbog prekida i otkaz zbog kratkog spoja.

Neka je qip uslovna verovatnoća otkaza zbog prekida, a qik uslovna verovatnoća otkazazbog kratkog spoja pod uslovom da je i-ti element otkazao. Tada će zbir ove dve verovatnoćekada je i-ti element otkazao biti jednak 1:

qip + qik = 1 (7.32)

Pretpostavlja se da su ove dve uslovne verovatnoće otkaza nezavisne od vremena, što jenajčešći slučaj u praksi. Međutim, kada to nije slučaj, onda qip treba napisati kao qip(t ), a qik kaoqik (t ).

Prema tome verovatnoća da će element otkazati zbog prekida pre nekog vremena t biće qip qi(t ), dok će verovatnoća da će element otkazati zbog kratkog spoja biti qik qi(t ), gde je qi(t )verovatnoća otkaza i-tog elementa pre vremena t , pa se definiše izrazom:

1

0

( ) ( )t

iq t f t dt =

∫ (7.33)




87

Izračunavanje pouzdanosti redne, paralelne, redno-paralelne i parelelno-redne veze vrši sena osnovu navedenih obrazaca, pri čemu treba izvršiti zamene u obrascima

P ( ip x )→ qip qi(t ) i P ( ik x ) → qik qi(t ).

Tako se, na primer, dobija izraz za pouzdanost redne veze koji glasi:

1 1

( ) [1 ( )] ( )n n

ip i ik ii i

R t q q t q q t = =

= − −∏ ∏ (7.34)

Ako su svi elementi identični, pri čemu su qip = q p, qik = qk i qi= q(t ), dobija se:

R(t ) = [ 1 - q p q(t ) ]n – [ qk q(t ) ]n (7.35)

Sličnim razmatranjem određuje se i pouzdanost sistema koji se sastoji od n trostacionarnihelemenata u paralelnoj konfiguraciji. Odgovarajućim zamenama u izraz izveden u poglavlju 7.1

pod 2) dobija se sledeći izraz:

1 1

( ) [1 ( )] ( )n n

ik i ip ii i

R t q q t q q t = =

= − −∏ ∏ (7.36)

Kada su svi elementi identični, pri cemu su qik = qk , qip = q p i qi(t )= q(t ), gornji izraz

prelazi u :

R(t ) = [ 1 – qk q(t ) ]n – [ qn q(t ) ]n (7.37)



Efektivnost sistema i pokazatelji efektivnosti

88

8. EFEKTIVNOST SISTEMA I POKAZATELJI EFEKTIVNOSTI

Efektivnost sistema je širi pojam od pojma pouzdanosti sistema i predstavlja sposobnostsistema da obavi funkciju za koju je namenjen, uključujući tu frekvenciju sa kojom se dešavajuotkazi, teškoće koje se javljaju u toku popravki i održavanja, kao i podobnost sistema da obavifunkciju kada radi u skladu sa konstrukcijskim karakteristikama.

Opšte prihvaćeni pokazatelji efektivnosti sistema su: pouzdanost, raspoloživost i učinak.Zbog toga, kada se govori o pouzdanosti, nužno je razmatrati i efektivnost sistema, kako bi sesagledala uloga pouzdanosti u konceptu efektivnosti.

8.1. Koncepti efektivnosti sistema

Danas su, najčešće, u upotrebi tri koncepta efektivnsoti sistema, pri čemu svaki od njihsadrži pomenute pokazatelje a neznatno se međusobno razlikuju. Ova tri koncepta se obično,označavaju slovima A,B i C.

A koncept efektivnosti sistema. A koncept efektivnosti sistema obuhvata tri pokazatelja ito: operativnu gotovost , pouzdanost zadatka i funkcionalnu podobnost . Efektivnost se po ovomkonceptu definiše kao verovatnoća da će sistem uspešno zadovoljiti operativni zahtev u toku

datog vremena kada radi pod specificiranim uslovima. Prema tome, uzimajući u obzir navedene pokazatelje, efektivnost sistema se može napisati u obliku:

FP PZ OG ES P P P P ⋅⋅= (8.1)

gde su:

PES – verovatnoća efektivnosti sistema,

POG – verovantoća operativne gotovosti,

PPZ – verovatnoća pouzdanosti zadatka,

PFP – verovatnoća funkcionalne podobnosti.

B koncept efektivnosti sistema. Po ovom konceptu, efektivnost sistema se definiše kaostepen do kojeg se od sistema može očekivati da ostvari skup specificiranih zahteva zadatka.Efektivnost se izražava u funkciji od raspoloživosti, izdrživosti i sposobnosti.

Raspoloživost – A je stepen operativnosti sistema na početku izvršenja zadatka, ali seizvršenje zadatka može tražiti i u bilo kom drugom trenutku vremena.

Izdržljivost – D je mera stanja operativnosti sistema u bilo kom trenutku vremena u tokuizvršenja zadatka, pri čemu su uključeni efekti raspoloživosti.




89

Sposobnost – C je mera mogućnosti sistema da ostvari ciljeve zadatka, pri čemu je dataizdržljivost.

Dakle u kontekstu koncepta B, efektivnsot sistema – E, može se napisati u sledećemobliku:

C D A E ⋅⋅= (8.2)

odakle se vidi da postoji velika sličnost sa definicijom efektivnosti sistema po konceptu A.

C koncept efektivnosti sistema. Po ovom konceptu, efektivnost sistema se definiše kaostepen do kojeg se može očekivati da će sistem obaviti dodeljeni zadatak unutar specificiranogvremenskog okvira pod formulisanim uslovima okoline. I u ovom slučaju efektivnost sistemaobuhvata tri parametra: učinak, raspoloživost i korišćenje, a može se izraziti kao:

U A P E S ⋅⋅= (8.3)

gde su:

ES – indeks efektivnosti sistema,

P – indeks učinka sistema,

A – indeks raspoloživosti sistema i

U – indeks korišćenja sistema.

Posmatrajući ova tri koncepta efektivnsoti, dolazi se do zaključka, da su elementi ukupneefektivnosti u osnovi isti, iako postoji određena razlika u terminologiji. Za dalje potrebe izlaganjarazmatraće se A koncept, za koji će se detaljnije definisati osnovni parametri i vremenskekategorije.

Bez obzira na različitu terminologiju, zadatak efektivnosti sistema u sva tri koncepta jedavanje odgovora na sledeća tri pitanja:

1. Da li je sistem spreman za izvršenje svoje funkcije, kada se to od njega zahteva?

2. Da li će sistem nastaviti da funkcioniše u toku specificiranog vremena trajanja

zadatka, ukoliko je odgovor na prvo pitanje pozitivan?3. Da li će sistem ispuniti željene ciljeve zadatka, pod uslovom da je odgovor na

prva dva pitanja pozitivan?

U A konceptu efektivnosti sistema, odgovor na prvo pitanje daje operativna gotovost, nadrugo pouzdanost zadatka i na treće funkcionalna podobnost. Svaki od ova tri parametra zavisi odzahteva u pogledu korišćenja, od stanja sistema i od njegovih performansi. Vreme je kritičanelemenat i za operativnu gotovost i za pouzdanost zadatka, dok je od manjeg značaja zafunkcionalnu podobnost.




90

8.2. Pokazatelji efikasnosti sistema

Na osnovu definicije efektivnosti sistema, može se uočiti da efektivnost zavisi od

mnogobrojnih fakotra i da obuhvata različite pokazatelje i vremenske kategorije. Takođe, kada segovori o efektivnosti, mogu se izdvojiti pojedini sistemi kod kojih postoji jasna razlika u odnosuna ostale sisteme. Primer takvih sistema, jesu sistemi za jednokratna dejstva. Kod njih, za razlikuod drugih sistema, vreme nije od primarnog značaja i nije dozvoljena mogućnost popravki,obzirom da se očekuje da obave zadatak, kada se to od njih zahteva, pod specificiranim uslvoima(npr. raketa da uništi cilj).

Postoje sistemi od kojih se zahteva da rade u kontinuitetu. Samim tim, efektivnost sistemase smanjuje ako sistem sam otkaže ili ako se planski prekine njegov rad, odnosno ako jeneophodno održavanje.

Održavanje sistema povećava efektivnost jedino ako se radi o sistemu koji se povremeno

korisit ili ako se od sitema u tom trenutku ne zahtva upotreba.Ponekad operativni zahtevi prevazilaze mogućnost sistema. U tom slučaju efektivnost

sistema je drastično smanjena.

Efektivnost sistema najbolje može da se sagleda, kroz pokazatelje i vremenske kategorije,kao i kroz njihov uzajamni odnos, koji je predstavljen na slici 8.1.

Da bi se razmotrio način na koji se određuju parametri efektivnosti sistema, potrebno jedati njihove definicije.

Slika 8.1 Pokazarelji i vremenske kategorije




91

Pouzdanost zadatka je pokazatelj koji predstavlja verovatnoću da sitem, kada se korisit usvrhe za koje je napravljen i pod predviđenim uslovima, funkcioniše u toku trajanja zadatka, poduslovom da je bio ispravan na početku zadatka.

Operativna gotovost je takođe, pokazatelj efektivnosti, na osnovu kojeg se razmatra

spremnost sistema da izvrši zadatak u datom trenutku vremena. Ona zapravo predstavljaverovantoću, da sistem pod određenim uslovima funkcioniše, u bilo kom trenutku, ili je spremanza upotrebu kada se to zahteva. Osnova za izračunavanje operativne gotovosti je ukupno vremekoje obuhvata vreme skladištenja, slobodno vreme, vreme korišćenja i vreme zastoja. Prema tomemože se napisati da je:

MDT MTBM

MTBM

t t t

t t GOTOVOST OPERATIVNA

znk k

nk k

+=

++

+= _ (8.4)

U relaciji 8.4 uvedena su sledeća obeležavanja za vremena:

tk – vreme korišćenja,

tnk – vreme kada se sistem ne korisiti, ali je spreman za upotrebu,

tz – vreme zastoja (vreme zasotja)

MDT – srednje vreme zastoja (srednje vreme u otkazu)

MTBM – srednje vreme između održavanja.

Za srednje vreme između održavanja važi sledeća formula:

k p MTBM MTBM

MTBM 111

+= (8.5)

gde su:

MTBM p – srednje vreme između preventivnih održavanja,

MTBMk – srednje vreme između korektivnih održavanja.

Operativna raspoloživost sistema se definiše na isti način kao operatina gotovost. Razlikaizmeđu operatine gotovosti i operativne raspoloživosti je u tome što operatina raspoloživostsistema ne uzima u obzir vreme skladištenja i vreme kada se ne planira korišćenje sistema. Zbogtoga u slučaju operatine raspoloživosti može da se napiše sledeća relacija:

MTTR MTBM

MTBM

t t

t OST RASPOLOZIV OPERATIVNA

zk

k

+=

+= _ (8.6)

gde je:

MTTR – srednje vreme između korektivnih popravki (srednje vreme aktivne popravke

korektivnog održavanja), dok tk ,tz i MTBM imaju isti smisao kao u relaciji 8.4.




92

Funkcionalna podobnost sistema je pokazatelj koji zavisi od konstrukcijskihkarakteristika sistema. To je verovatnoća, da će sistem da izvrši zadatak, pod uslovom da jezadatak u saglasnosti sa mogućnostima sistema, koje proizilaze iz konstrukcije sistema. Sistem jeveoma često moguće, koristiti u različite svrhe, pri čemu nije podjednako uspešan. Naime, bezobzira na visinu pouzdansoti zadatka i visinu operativne gotovosti, efektivnost je niska ukoliko sesistem koristi u svrhe koje mu nisu osnovna namena.

Pogodnost održavanja je konstrukciona karakteristika koja govori o pogodnostima pri popravci sistema ( pronalaženja i otklanjanja neispravnosti). To je verovanoća da će sistem koji jeotkazao biti vraćen u operativno stanje u toku specificiranog vremena zastoja, koje obuhvataaktivno vreme popravke, logističko vreme i administrativno vreme. Bolja pogodnost rezultirakraćim aktivnim vremenom popravke.

Popravljivost je osobina uređaja koja određuje mogućnost dobijanja zahtevanih vrednosti parametara po otklanjanju neispranosti. Inače, popravaljivost se definiše na isit način kao pogodnost održavanja. Razlika je u tome, što popravljivost uzima u obzir samo aktivno vreme

popravke. Podobnost servisiranja definiše lakoću sa kojom sistem može bitit popravljen i predstavlja

konstrukcijsku karakteristiku sistema koja bitno utiče na popravljivost. Međutim, to su ipak dvarazličita pojma, obzirom da se popravljivost izražava preko verovatnoće, uključukući i određenevremenske kategorije, dok se podobnost servisiranja izražava kvalitativno, u smislu poređenja dvaili više sistema.

Sopstvena raspoloživost sistema, kao i operativna gotovost i operativna raspoloživost predstavlja verovatnoću da sistem kada se koristi pod određenim uslovima uspešno izvršavazadatak u bilo kom trenutku vremena. Razlika je u tome, što vreme koje se ovde razmatraobuhvata vreme korišćenja i aktivno vreme popravke. Iz toga sledi da je:

MTTR MTBF

MTBF

t t

t OST RASPOLOZIV SOPSTVENA

apk

k

+=

+= _ (8.7)

gde su:

tap – aktivno vreme popravke,

MTBF – srednje vreme između otkaza, koje je definisano u prvom poglavlju,

a t k i MTTR ima isti smisao kao u relacijama 8.4 i 8.6 respektivno.

Kad raspodela vremena rada do otkaza odgovara eksponencijalnom zakonu raspodele,sopstvena raspoloživost se može odrediti relacijom:

( ) t eOST RASPOLOZIV SOPSTVENA ⋅+−

++

+= λ μ

λ μ λ μ _ (8.8)

gde su:

MTTR

1

=μ - intenzitet opravki,




93

MTBF

1=λ - intenzitet otkaza.

Kada ∞→t , sopstvena raspoloživost je:

λ μ +=i A (8.9)

Sopstvena raspoloživost je veća ili jednaka operativnoj raspoloživosti sistema.

Dostignuta raspoloživost uzima u obzir vrste održavanja koje se vrše na sistemu, tj. planirano (preventivno) i neplanirano (korektivno) održavanje.

8.3. Vremenske kategorije efektivnosti sistema

Ukupno vreme života sistema, ili vreme eksploatacije sisema, koje se računa počev odtrenutka puštanja sistema u korišćenje, pa sve do njegovog povlačenja iz upotrebe, može da se

podeli na raspoloživo vreme i neraspoloživo vreme. Ova raspodela prikazana je na slici 8.2.

Raspoloživo vreme je vreme u toku kojeg se sistem koristi ili je spreman za korišćenjedok neraspoloživo vreme obuhvata vreme zastoja sistema. Sistem koji se posmatra može bitioperativan (kada je u ispravnom stanju) ili neoperativan ( kada je u otkazu i kada obuhavta

administrativno vreme, logističko vreme i aktivno vreme popravke). Od sistema može da sezahteva da se koristi ili da se ne koristi. Vreme koje sistem provodi u pasivnom stanju, odnosnokada se ne zahteva njegova upotreba, obuhvata vreme skladištenja i slobodno vreme. U skladu sa

pomenutim podelama napravljena je dvodimenzionalna klasifikacija vremenskih kategorija, koja je prikazana u tabeli 8.1.

UKUPNO VREME

Raspoloživo vreme Neraspoloživo vreme Raspoloživo vreme

S l o b o d n o v r e m e

V r e m e k o r i š ć e n j a



L o g i s t i č k o v r e m e

A k t i v n o v r e m e

P o p r a v k e

A d m i n i s t r a t i v n o v r e m e




Vreme

Slika 8.2 Principijelna podela ukupnog vremena




94

Idealno povećanje efektivnosti sistema postiže se smanjenjem otkaza i efikasnim meramaodržavanja.

U vremenske kategorije spadaju: vreme korišćenja, vreme zastoja, slobodno vreme, vremeskladištenja, vreme popravljivosti i vreme reakcije.

Tabela 8.1 Dvodimenzionalna klasifikacija vremenskih kategorija

Ne zahteva sekorišćenje sistema

Zahtev u pogledukorišćenja sistema

Stanje sistema

Zahteva sekorišćenje sistema Slobodno

vremeVreme

skladištenja

Sistem operativan Nema problema Nema problema

Sistem neoperativan- aktivno vreme popravke

- logističko vreme- administrativno vreme

Efikasnost sistemasmanjena

Problemi postojeali ne utiču naefikasnost sistema

Vreme koriš ć enja predstavlja vreme u toku kojeg sistem funkcioniše na zadovoljavajućinačin. Ovo vreme je osnova za izračunavanje pouzdanosti.

Vreme zastoja predstavlja period vremena u kojem je sistem neoperativan. Kao što se vidina slici 8.2 vreme zastoja obuhvata aktivno vreme popravke, logističko vreme i administrativnovreme . A k t i v n o v r e m e p o p r a v k e je vremenski interval u toku kojeg se sprovodeaktivnsoti u vezi sa popravkom sistema: vreme za pripremu, vreme za dijagnozu otkaza, vreme zaotklanjanje otkaza i vreme potrebno za funkcionalnu proveru sistema posle opravke. Osnova je zaizračunavanje popravljivosti. L o g i s t i č k o v r e m e je vreme koje protekne u čekanjurezervnih delova, kada se konstatuje vrsta otkaza. A d m i n i s t r a t i v n o v r e m e jevremenski interval, koji se odnosti kako na neophodne administrativne aktivnsoti (izdavanjenaloga za popravku itd.), tako i na administrativne propuste pre i u toku izvršenja popravke.Vreme zastoja je osnova za izračunavanje pogodnsoti održavanja.

Slobodno vreme je ono vreme u toku kojeg se ne zahteva korišćenje sistema ( ako se desida je sistem neisptavan onda je to deo vremena zastoja).

Vreme skladištenja je vreme u toku kojeg se sistem nalazi u skladištu kao rezervni deo, pričemu se pretpostavlja da je u operativnom stanju.

Vreme pripravnosti je deo vremena spremnosti za rad potreban za započinjanje zadatka,mereno od trenutka kada je primljena komanda.

Vreme reakcije je vreme od dobijanja komande do početka rada sistema.

Sve definisane vremenske kategorije, mogu da se predstave preko određenog brojavremenskih jedinica, što dalje omogućava određivanje operativne gotovosti, operativneraspoloživosti i sopstvene raspoloživosti.

Na osnovu svega što je rečeno u ovom poglavlju, može se zaključiti, da se efektivnostsistema odnosi na ono zbog čega kupujemo sistem – na izvršenje funkcije za koju je namenjen, a

pouzdanost sistema predstavlja bitan parametar efektivnosti.



Prorač un pouzdanosti komponenata sistema metodom MIL-HDBK-217D

95

9. PRORAČUN POUZDANOSTI KOMPONENATA SISTEMA

METODOM MIL - HDBK- 217D

Nalaženje intenziteta otkaza, kao osnovnog parametra u analiziranju pouzdanosti,zasnovano je na korišćenju priručnika MIL – HDBK – 217D Reliability Prediction ofElectronic Equipment.

Prognozirana pouzdanost, na osnovu procenjenog intenziteta otkaza, može se izraziti kao:

( ) SR pr T

t

t pr eet R

−⋅− == λ (9.1)

gde su pr λ procenjeni intenzitet otkaza i SRT procenjeno srednje vreme rada do otkaza.Osnovne metode izračunavanja intenziteta otkaza sistema, koje će biti korišćene u daljem

izlagnju, mogu se primentiti na većinu komponenati u savremenim elektronskim uređajima.Uvođenjem odgovarjućih relacija, osnovni model se može proširiti na druge grupe elemenata.Mehaničke i elektormehaničke komponente nisu obuhvaćene ovom analizom.

9.1. Opšte napomene

9.1.1. Osnovna podela

Osnovna podela elektronskih komponenti, sa stanovišta analize intenziteta otkaza izvršena je po sledećim grupama:

• mikro elektronska kola

• diskretni poluprovodnički elementi

• elektronske vakumske cevi

• laseri• otpornici

• kondenzatori induktivni elementi

• obrtni elementi

• relea

• prekidači

• konektori

• štampane ploče

• spojevi




96

• ostali elementi (vibratori, kvarcni kristali, osigurači,)

9.1.2. Faktor kvaliteta

Kvalitet neke komponente direktno utiče na njen intenzitet otkaza i u sovnovnom modelufigurše kao faktor qπ . Za većinu kategorija (osim za mikroelektronska kola i diskretne

poluprovodnike) usvojena je klasifikacija kvaliteta kompnenti u sldeće nivoe:

• L – nizak kvalitet

• M – srednji kvalitet

• P – precizni kvalitet

• R – rast pouzdanosti

• S – super kvalitet

Za starije tipove komponenti koje nisu klasifikovane po gore navedenim nivoima, postojesamo dva nivoa kvaliteta:

• MIL – vojni (visoki) kvalitet

• LO – niži (komercijalni) kvalitet

Mikroelektronska kola imaju sledeću gradaciju nivoa kvaliteta :

S,B,B-0,B-1,B-2, C,C-1,D,D-1

Diskretni poluprovodnici se po kvalitetu klasifijuju na sledeći način:

• JANTXV

• JANTX

• JAN

Neki elementi, po svojoj specifikaiji, mogu imati i drugačije oznake nivoa kvaliteta, alikorekcija intenziteta otkaza u odnosu na kvalitet obavezna je za sve grupe.

9.1.3. Faktor amibijenta

Uticaj amibijenta na intenzitet otkaza komponente dat je prko korekcionog faktora E π iodnosi se na sve elemente. U specijalnim slučajevima, kada se sisem kreće kroz više različitihsredina mora se uzeti u obzir uticaj svake sredine ponaosob. Standardna klasifikaija ambijenta

prema MIL- HDBK- 217D glasi:

• GB - stacionarni laboratorijski uslovi na zemlji

• GF - stacionarni uslovi na zemlji

• GM - pokretni uslovi na zemlji• SF - Zemljina orbita




97

• MP - prenosni uslovi na zemlji

• NS - uslovi na brodu (zaštićen od uslova okoline)

• NU - uslovi na brodu

• NUU - uslovi pod vodom• NSB - uslovi u podmornicama

• NH - uslovi u hidrogilseru

• AIT - kabine standardih letećih uređaja

• AIF - kabine specijalnih letelica

• AUT - druga mesta na letelicama

• AUF - druga mesta na specijalnim letelicama

• ARW - uslovi na helikopteru• ML - uslovi lanisranja

• CL - projktili sa topa

• USL - vodene rakete

• MFF - uslovi slobodnog pada

• MFA - uslovi lansiranja (uključujući i krstareće rakete)

9.1.4. Ostali korekcioni faktori

• za mikroelektronska kola:

Lπ - trenažni faktor

T π - temperatuni faktor

V π - faktor naponskog opterećenja

• za diskretne poluprovodnike:

A

π -faktor prilagođenja

Rπ - faktor snage

C π - kompleksni faktor

2S π - faktor naponskog opterećenja

• vakuumske elektronske cevi :

Lπ - trenažni faktor

• za otpornike:

Rπ - otporni faktor




98

C π - faktor konstrukcije

V π - naponski faktor

tapsπ - potenciometarski faktor

• za kondenzatore:

SRπ - faktor serijske otpornosti

CV π - kapacitivni faktor

C π - konstrukcioni faktor

• za induktivne elemente:

C π - konstrukcioni faktor

• za releje:

C π - kontaktni faktor

F π - faktor namene i konstrukcije

CYC π - obrtni faktor

• za preikidač e:

C π - kontaktni faktor

Lπ - faktor opterećenja

CYC π -obratni faktor

• za konektore :

P π - multiplikativni faktor

K π - faktor uključenja/isključenja

• za spojeve:

T π - faktor rukovanja

9.2.Mikroelektronska kola

Prema analizi otkaza sistema mikroelektronska kola mogu se podeleiti u sledeće osnovnegrupe:

• digitalno bipolarna i MOS kola (SSI/MSI)

• linearna bipolarna i MOS kola

• bipolarne i MOS memorije

Intenzitet otkaza mikroelektronskih kola generalno se računa prem formuli:




99

( )[ ] E V T LQ p C C C π π π π π λ ⋅++⋅⋅⋅= 321 otkaza / 106 časova (9.2)

gde su C1 i C2 kompleksni intenziteti otkaza zavisni od broja gejtova, a C3 kompleksni intenzitetotkaza pakovanja koji zavisi od tipa pakovanja i broj nožica. (Korekcioni faktori E LQ π π π ,, ... (i ostali u

narednom tekstu), nalaze se u odgovarajućim tabelama MIL-HDBK-217D).

Temperaturni faktor T π za sve elementa ove grupe računa se kao:

xT e⋅= 1.0π (9.3)

gde je:

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ −

+⋅−=

298

1

273

1

jT A x (9.4)

Konstanta A zavisi od tehnologije izrade komponenata. Temperatura T j ukoliko nije datamože se izračunati kao:

P T T JC C j ⋅+= θ (9.5)

gde je T C radna temperatura, JC θ termička otpornost spoja elementa i ploče i P snaga disipacije.

Faktor naponskog opterećenja V π , karakterističan samo za kola izrađena u CMOStehnologiji, zavisi samo od napona Vdd i izračunava se kao:

za Vdd=5V 1=V π (9.6)

za Vdd od 12-15V xV e⋅= 11.0π (9.7)

gde je:

( )298

273168.0 +⋅⋅= J S T V x (9.8)

-za Vdd od 18-20V xV e⋅= 068.0π (9.9)

gde je:

( )298

273135.0 +⋅⋅= J S T V

x (9.10)

Za sve ostale komponente 1=V π (9.11)




100

U prethodnim izrazima T j je temperatura spoja, a Vs radni napon.

Kompleksni intenzitet otkaza C1 i C2 zavisi od tipa komponente i broja gejtova odnostnotranzistora i računaju se kao:

• za bipolarna digitalna kola:

654.041 1048.7 G N C ⋅⋅= − (9.12)

364.042 1019.2 G N C ⋅⋅= −

gde je N G broj gejtova u kolu,

• za Mos digitalna kola:

357.031 1017.2 G N C ⋅⋅= − (9.13)

178.042 1019.2 G N C ⋅⋅= −

• za linearna kola:

78.031 1057.1 T N C ⋅⋅= − (9.14)

535.042 108 T N C ⋅⋅= −

gde je NT broj tranzistora u kolu,

• za bipolarnoe RAM memorije:

576.031 102.2 BC ⋅⋅= − (9.15)

554.05

2 103 BC ⋅⋅= −

gde je B broj bita memorije,

• za MOS i CCD RAM memorije:

61.041 105 BC ⋅⋅= − (9.16)

585.052 103 BC ⋅⋅= −

• za bipolarne ROM i PROM memorije:




101

338.041 108.8 BC ⋅⋅= − (9.17)

378.052 105.4 BC ⋅⋅= −

• za MOS ROM i PROM memorije:

425.031 102.1 BC ⋅⋅= − (9.18)

399.052 106.6 BC ⋅⋅= −

Kompleksni intenzitet pakovanja C3 izračunava se kao:

• za hermeti č ki DIP

08.143 108.2 P N C ⋅⋅= − (9.19)

• za nehermeti č ki DIP

23.143 102 P N C ⋅⋅= − (9.20)

gde je NP broj pinova.

Intenzitet otkaza mikroelektronskih kola ne zavisi od temperature ambijenta, međutim kaošto je moglo da se vidi zavisi od broja tranzistora, broja kola, broja pinova itd. Na slici 9.1

prikazana je zavisnost intenziteta otkaza od broja pinova kod mikroelektronskih kola, pri čemu je

λ p[1/106h]1.1

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Broj pinova

Slika 9.1 Zavisnost intenziteta otkaza od broja pinova kod mikroelektronskih kola




102

uzeto da ima 4 kola sa ukupno 40 tranzistora. Temperatura spoja je 25 C. Konkretne vrednosti nagrafiku odnose se na digitalna SSI/MSI kola u PMOS, NMOS i CMOS tehnologiji, doktranzistori u bipolarnoj tehnologiji imaju isti oblik zavisnosti sa nešto nižim vrednostima zaintenzitet otkaza. Tako, u slučaju bipolarnog digitalnog SSE/MSI kola, kada je broj pinova 14intenzitet otkaza iznosi 0.005986 otkaza / 106h.

Takođe, kada su u pitanju linearna, ROM i RAM mikroelektronska kola, oblik zavisnostiintenziteta otkaza je isti kao na slici 9.1, dok se vrednosti za intenzitet otkaza razlikuju od slučajdo slučaja.

Važno je napomenuti, da intenzitet otkaza raste, kada se povećava broj kola i temperaturaspoja, dok broj tranzistora u kolima neznatno utiče na intenzitet otkaza. Već kapacitet memorijekod RAM i ROM kola doprinsoi takođe, većem intenzitetu otkaza.

9.3. Diskretni poluprovodnici

Sa stanovišta analize otkaza, diskretne poluprovodnike možemo podeliti u četiri grupe :

• tranzistori

• diode

• mikrotalasni poluprovodnici

• optoelektronska kola

Za diskretne poluprovodnike intenzitet otkaza se generalno izračunava kao :

)C S AQ R E B P π π π π π π λ λ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 2 otkaza/106 h (9.21)

Bazni intenzitet otkaza nalazi se :

x B e A ⋅=λ otkaza/106h (9.22)

gde je:

P

M

T

T

S T T

S T T

N x ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅Δ+++

⋅Δ++=

273

273 (9.23)

faktor skaliranja

NT,TM,P-faktor stanja

T Δ - razlika maksimalne temperature kada kroz spoj protiče odnosno ne protiče struja

S- koeficient opterećenjaT- temperatrua ambijenta




103

Bipolarni tranzistori.

Tipovi: Si PNP, Si NPN, Ge PNP, Ge NPN

)C S AQ R E B p π π π π π π λ λ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 2 otkaza /106h (9.24)

Korekcioni faktor 2S π izračunava se:

20133..02 1014.0 S

S ⋅⋅=π za 252 ≥S

3.02 =S π za 252 <S (9.25)

gde je:

1002 ⋅=CEO

CE

V

V S (9.26)

naponsko opterećenje.

Fetovi.

Tipovi: Si FET, GaAs FET

)C Q R E B p π π π π λ λ ⋅⋅⋅⋅= otkaza/106h (9.27)

Spojni FET-ovi.

)Q E B P π π λ λ ⋅⋅= otkaza / 106h (9.28)

Diode.

Tipovi: Si,Ge

)C S AQ R E B P π π π π π π λ λ ⋅⋅⋅⋅⋅= 2 otkaza/106h (9.29)

Zener diode.

Tipovi: naponski regulatori, naponske feference

( ) AQ E B P π π π λ λ ⋅⋅⋅= otkaza/106h (9.30)

PIN i tunel dioda.Tipovi: varactor, PIN, IMPAT, tunel




104

) AQ R E B P π π π π λ λ ⋅⋅⋅⋅= otkaza/106h (9.31)

λ p[(1/106

h)10-3

]0.02

0.02

0.02

0.01

0.01

0.01

0.01

0.00

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]

Slika 9.2 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod diskretnih poluprovodnika prielektrič nom opterećenju 0.1

λ p[1/106h]

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]





105

λ p[1/106h]

240.00

180.00

120.00

60.00

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]


Optoelektronski poluprovodnici.

Tipovi: LED, fototranzistori, fotodioda

( )T Q E B P π π π λ λ ⋅⋅⋅= otkaza/106h (9.32)

Temperaturni faktor T π se izračunava kao:

374

8111

01.8 +

−

⋅= jT T eπ (9.33)

gde je T j temperatura spoja.

Zavisnost intenziteta otkaza od temperature za optoelektronske poluprovodnike prikazan je na slici 9.5. Navedene vrednosti za intenzitet otkaza na grafiku odnose se na LED diodu.

Intenziteta otkaza za fotodiodu, pri važećem temperaturnom opsegu je od 0,071 do 3,86otkaza/106h, a za fototranzistor u intervalu od 0.841 do 45,16 otkaza/106h.




106

λ p[1/106h]

4.00

3.00

2.00

1.00

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]

Slika 9.5 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod optoelektronskih provodnika

Intenzitet otkaza u ovom slučaju ne zavisi ni od snage, ni od električnog opterećenja, ni odnaponskog opterećenja.

9.4. Vakuumske cevi

Intenzitet otkaza vakuumske cevi izračunava se na sldeći način:

( ) L E B P π π λ λ ⋅⋅= otkaza/106h (9.34)

Korekcioni faktor obučenosti Lπ izračunava se:

1.210 −⋅= t Lπ za 31 << t

10= Lπ za 1<t (9.35)

1= Lπ za 3>t

gde je t broj godina obučavanja za korišćenje u vojne svrhe. Intenzitet otkaza u zavisnosti odtrenaže prikazan je na slici 9.6. Konkretne vrednosti na grafiku odnose se na prijemnetrode/tetrode/pentode. Ostali tipovi vakuumskih cevi imaju isti oblik zavisnosti od trenaže, dok sevrednosti za intenzitet otkaza razlikuju od slučaja do slučaja.




107

λ p[1/106h]

25.0

22.5

20.0

17.5

15.0

12.5

10.0

7.5

5.0

2.5

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 Trenaža

Slika 9.6 Zavisnost intenziteta otkaza od težine kod vakuumske cevi

9.5. Laseri

Sa stanovišta analize otkaza sistema lasere možemo podeliti u sledeće kategorije:• Helium/Neonski

• Argon jonski

• Ugljen dioksidni

Helijum - neonski laser .

E Ne He π λ ⋅= 1.84/ otkaza/106h (9.36)

Intenzitet otkaza ne zavisi od temperature i iznosi 16,82.

Argon jonski laseri .

E AI π λ ⋅= 3.46 otkaza/106h (9.37)

Intenzitet otkaza ne zavisi od temperature i iznosi 92,6.

Ugljen dioksidni laseri.




108

( ) OS E CO P π π λ ⋅⋅⋅= 3002 otkaza/106h (9.38)

Gde su

P- izlazna snaga u KWOS π -broj aktivnih optičkih površina

9.6. Otpornici

U okviru analize otkaza sistema, optornici se mogu generalno podeliti u sledeće grupe:

• fiksni

• varijabilni• termistori

Fiksne dalje delimo na osnovne podgrupe:

• kompozitni

• filmski

• žičani

Varijabilne delimo na:

• žičane

• nežičane

Intenzitet otkaza fiksnih otpornika izračunava se kao:

Q R E B P π π π λ λ ⋅⋅⋅= otkaza/106h (9.39)

Za varijabilne otpornike izračunava se prema sledećem izrazu:

C V tapsQ R E B P π π π π π π λ λ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= otkaza/106h (9.40)

dok se za termistore direktno uzima iz tablice 5.1.6.5 MIL-HDBK-217D.

Bazni intenzitet otkaza Bλ izračunava se iz relacije:




109

H T

N

S G

N

T B

B

J

S T ee A ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅

⋅⋅=273

273273

λ otkaza/106h (9.41)

gde su:

A - skalirajuća konstanta

NT - temperaturna konstanta

B - konstanta stanja

G,H,J - konstante ubrzanja

NS -konstanta opterećenja

T - temperatura ambijenta

S - faktor električnog opterećenja

Navedene konstante zavise od tipa otpornika i očitavaju se iz tablice 5.1.6-1MIL-HDBK-217D.

Kompozitni fiksni otpornici. Zavisnost intenziteta otkaza od temperature za kompozitnefiksne otpornike pri električnom opterećnjeu od 0,5 prikazana je na slici 9.7.

λ p[(1/106h)10-3]

0.32

0.24

0.16

0.08

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[

ο

C]

Slika 9.7 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod kompozitnih fiksnih otpornika prielektrič nom opterećenju 0.5

Filmski fiksni otpornici. Zavisnost intenziteta otkaza od temperature za filmske fiksneotpornike pri električnom opterećenju od 0,5 prikazana je na slici 9.8.




110

λ p[(1/106h)10-3]

0.16

0.12

0.08

0.04

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]

Slika 9.8 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod filmskih fiksnih otpornika prielektrič nom opterećenju 0.5

Ži č ani fiksni otpornici. Zavisnost intenziteta otkaza od temperature za žičane fiksneotpornike pri električnom opterećenju od 0,5 prikazana je na slici 9.9.

λ p[(1/106h)10-3]1.60

1.20

0.80

0.40

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]

Slika 9.9 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod žič anih fiksnih otpornika prielektrič nom opterećenju 0.5

Varijabilni otpornici. Zavisnost intenziteta otkaza od temperature za varijabilne žičaneotpornike prikazana je na slici 9.10, a za varijabilne nežičane otpornike na slici 9.11. U obaslučaja električno opterećenje iznosi 0,5.




111

Korekcioni potenciometarski faktor tapsπ izračunava se iz izraza:

792.0

25

5.1

+= tapstaps

N π (9.42)

gde Ntaps predstavlja broj potenciometarskih izvoda.

Treba napomenuti da je na svim slikama od 9.7. do 9.11. prikazan intenzitet otkaza uzavisnosti od temperature, pri električnoj snazi koja se kreće u granicama od 2 do 5 KW. Takođe,treba napomenuti da intenzitet otkaza raste pri povećanju električnog opterećenja, dok oblikzavisnsoti od temperature ostaje nepromenjen. Što se tiče termistora, intenzitet otkaza kod njih nezavisi od temperature i pri električnom opterećenju od 0,5 iznosi 0,021 otkaza/106h.

λ p[(1/106

h)10-3

]1.60

1.20

0.80

0.40

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]

Slika 9.10 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod varijabilnih žič anih otpornika prielektrič nom opterećenju 0.5




112

λ p[(1/106h)10-3]

2.00

1.50

1.00

0.50

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]

Slika 9.11 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod varijabilnih nežič anihotpornika pri električ nom opterećenju 0.5

9.7. Kondenzatori

Sa stanovišta analize otkaza sistema, kondenzatori se mogu podeliti u sledeće grupe:• papirni i plastični kondenzatori

• mika kondenzatori

• stakleni kondenzatori

• keramički kondenzatori

• elektrolitički kondenzatori

• varijabilni kondenzatori

Generalno intezitet otkaza kondenzatora nalazi se kao:

)C QSRCV E B P π π π π π λ λ ⋅⋅⋅⋅⋅= otkaza/106h (9.43)

Bazni intenzitet otkaza izračunava se kao:

G

N

T B

H

S B

T e N

S A

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

273

1λ otkaza/106h (9.44)

gde su:




113

• A - skalirajuća konstanta

• NT - temperaturna konstanta

• B - konstanta stanja

• G,H - konstante ubrzanja• NS - konstanta opterećenja

• S - naponsko opterećenje

• T - temperatrua ambijenta

Papirni i plastični kondenzatori. Intenzitet otkaza ovih kondenzator računa se prmeizrazu:

)QCV E B P π π π λ λ ⋅⋅⋅= , (9.45)

Korekcioni faktor CV π izračunava se:

095.02.1 C CV ⋅=π (9.46)

Gde je C kapacitet kondenzatora u PF. Zavisnost intenziteta otkaza od temperatrue za papirne i pločaste kondenzatore pri električnom optetrećenju od 0,5 prikazana je na slici (9.12.)

λ p[1/106

h]0.04

0.04

0.03

0.03

0.02

0.02

0.01

0.01

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]

Slika 9.12 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod papirnih i ploč astih kondenzatora prielektrič nom opterećenju od 0.5

Kerami č ki kondenzatori. Intenzitet otkaza keramičkih kondenzatora izračunava se:

( )QCV E B P π π π λ λ ⋅⋅⋅= (9.47)




114


11.041.0 C CV ⋅=π (9.48)

gde je C kapacitet kondenzatora u PF. Zavisnosti intenziteta otkaza od temperature zakeramičke kondenzatore pri elektir čnom opterećenju od 0,5 prikazana je na slici 9.13.

λ p[(1/106h)10-3]

0.12

0.11

0.09

0.07

0.06

0.04

0.03

0.02

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]

Slika 9.13 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod keramič kih kondenzatora prielektrič nom opterećenju od 0.5

Varijabilni kondenzatori. Kod varijabilnih kondenzatora intenzitet otkaza izračunava se prema izrazu:

)Q E B P π π λ λ ⋅⋅= (9.49)

Zavisnost intenziteta otkaza od temperature za varijabilne kondenzatore prikazana je naslici 9.14.




115

λ p[(1/106h)]

0.68

0.60

0.51

0.43

0.34

0.26

0.17

0.09

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]

Slika 9.14 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod varijabilnih kondenzatora prielektrič nom opterećenju 0.5

Mika kondenzatori. Intenzitet mika kondenzatora izračuna se:

( )QCV E B P π π π λ λ ⋅⋅⋅= (9.50)


14.045.0 C CV ⋅=π (9.51)

gde je C kapacitet kondenzatora u PF. Zavisnost intenziteta otkaza od temperature za mikakondenzatore pri električnom opterećenju od 0,5 prikazana je na slici 9.15.




116

λ p[(1/106h)103]

1.60

1.20

0.80

0.40

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]

Slika 9.15 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod mikro kondenzatora pri električ nomopterećenju od 0.5

Stakleni kondenzatori. Intenzitet otkaza staklenih kondenzatora izračunava se premaformuli:

)QCV E B P π π π λ λ ⋅⋅⋅= (9.52)

Korekcioni kapacitivni faktor CV π izračunava se:

14.062.0 C CV ⋅=π (9.53)

gde je C kapacitet kondenzatora PF. Zavisnost intenziteta otkaza od temperature zastaklene kondenzatore prkazana je na slici 9.16.




117

λ p[(1/106h)10-3]

0.24

0.18

0.12

0.06

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]

Slika 9.16 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod staklenih kondenzatora prielektrič nom opterećenju od 0.5

Elektri č ni kondenzatori. Intenzitet otkaza elektrolitičkih kondenzatora izračunava se:

( )QCV E B P π π π λ λ ⋅⋅⋅= (9.54)

Kapacitivni korekcioni faktror izračunava se:

18.034.0 C CV ⋅=π (9.55)

gde je C kapacitet kondenzatora PF. Zavisnost intenziteta otkaza od temperature zaelektrični kondenzator prikazan je na slici 9.17.




118

λ p[1/106h]

0.24

0.18

0.12

0.06

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]

Slika 9.17 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod elektrolitič nih kondenzatora prielektrič nom opterećenju od 0.5

9.8. Induktivni elementi

Sa stanovišta analize otkaza, indukivni elementi se mogu podeliti u dve osnovne

kategorije:• transformatori• kalemovi

Transformatori. Opšti izraz za nalaženje intenziteta otkaza transformatora je:

)Q E B P π π λ λ ⋅⋅= otkaza/106h (9.56)

Bazni intenzitet otkaza Bλ izračunava se :


gde je:

G

T

HS

N

T x ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

273 (9.58)

A-skalirajuća konstanta NT-temperaturna konsanta




119

G-konstanta ubrzanja

THS-hot spot temperatura

Zavisnost intenziteta otkaza od temperature za transformatore pri maksimalnim radnimtemperaturama od 85 ο C, 130 ο C i više od 170 ο C prikazana je na slikama 9.18, 9.19 i 9.20respektivno.

λ p[1/106h]

120.00

90.00

60.00

30.00

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]

Slika 9.18 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod transformatora pri maksimalnoj

radnoj temperaturi od 85

ο

C

λ p[(1/106h)10-3]

7.60

5.70

3.80

1.90

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]

Slika 9.19 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod transformatora pri maksimalnojradnoj temperaturi od 130οC




120

λ p[(1/106h)10-3]

8.00

6.00

4.00

2.00

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]

Slika 9.20 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod transformatora pri maksimalnojradnoj temperaturi višoj od 170 οC

Slike 9.18, 9.19 i 9.20 su nacrtane za slučaj kada porast temperature iznosi 10 ο C. Uslučajevima kada porast temperature iznosi više –intenzitet otkaza je veći.

Kalemovi. Intenzitet otkaza kalemova izračunava se prema izrazu:

)C Q E B P π π π λ λ ⋅⋅⋅= otkaza/106h (9.59)

Bazni intenzitet otkaza Bλ izračunava se:


gde je :

G

T

HS

N

T x ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

273 (9.61)

skalirajuća konstanta

NT- temperaturna konstanta

G- konstanta ubrzanja

THS- hot spot temperatura

Korekcioni konstrukcioni faktor C π zavisi od tipa konstrukicje i iznosi:




121

1=C π za fiksne

2=C π za varijabilne (9.62)

Oblik zavisnosti intenziteta otkaza od temperature pri maksimalnim radnim

temperaturama od 85οC,130

οC i višim od 170

οC isti je kao za transformatore i prikazan je na

slikam 9.18.,9.19. i 9.20., dok je opseg vrednosti niži. Tako je pri maksimalnoj radnoj temperaturi

od 85οC, interval vrednosti za intenzitet otkaza od 0,000011 do 0,0013 otkaza/106h kada se

temperaura kreće u intervalu od 0 do 85οC. U tom slučaju na temperaturi od 100

οC intenzitet

otkaza iznosi 0,7 otkaza/106h. Pri maksimalnoj radnoj temperaturi od 130οC, intenzitet otkaza,

kreće se do 0,000011 do 0,000047 otakza/106h kada se temperatura kreće u intervlau od 0 do100oC.

Ukoliko je maksimalna radna temperatura viša od 170

ο

C, pri temperaturnom opsegu od 0do 100

οC, intenzitet otkaza, nalazi se u intervlau od 0,000030 do 0,000049 otkaza/106h.

Kod kalemova je, kao i kod transformatora, razmatran slučaj kada porast temperature

iznosi 10οC. Pri većim porastima temperature i intenzitet otkaza je veći.

9.9. Motori

Analiza otkaza motora u ovom sluaču, zasnivaće se na tipovima motora čija snaga ne prelazi 1 KS (0.73 KW). Uvođenjem pogodnih relacija, ovaj model se može proširiti i na ostaletipove motora.

Intenzitet otkaza motora se računa prema sledećoj formuli:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

W B P

t

α α λ

13

2

otkaza/106h (9.63)

gde su:

t-vreme rada motora u časovima Bα - konstanta držanja

W α - konstanta namotavanja

1

273

450020

273

23575342

30010

110

−

+−

+−⋅

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

+=T

T Bα (9.64)

83.1273

2357

10 −

+= T W α (9.65)




122

Na slikama 9.21.,9.22. i 9.23 prikazana je zavisnost intenziteta otkaza od temperature, zaslučajeve kada broj radnih časova motora iznosi 100,500 i 3000 respektivno. Važno jenapomenuti, da je oblik zavisnosti sličan kada se broj radnih časova nalazi u okolini navedenihvrednosti, što znači da su posmatrana tri slučaja repezentativna.

λ p[1/106h]

36.00

31.50

27.00

22.50

18.00

13.50

9.00

4.50

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]

Slika 9.21 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod motora kada rade 100 č asova

λ p[1/106h]

36.00

27.00

18.00

9.00

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]





123

λ p[1/106h]

200.00

150.00

100.00

50.00

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]


9.10. Relea

Intenzitet otkaza relea izračunava se prema izrazu :

)Q F CYC C E B P π π π π π λ λ ⋅⋅⋅⋅⋅= otkaza/106 h (9.66)

Bazni intenzitet otkaza λB izračunava se kao :

LT B π λ λ ⋅= otkaza/ 106 h (9.67)

gde su :

xT e A ⋅=λ otkaza/106 (9.68)

y L e=π (9.69)

H

S N

S x ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ = (9.70)

G

T N

T y ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

273 (9.71)

A – skalirajuća konstanta




124

NT – temperaturna konstanta

NS – konstanta poremećaja

H,G – konstante ubrzanja

S – opterećenjeT – temperatura ambijenta

Zavisnost intenziteta otkaza od temperature za relea, kada je električno opterećenje 0.5 ikada postoji 100 prekida na čas, prikazana je na slici 9.24, pri čemu su u konkretnom slučajuvrednosti intenziteta otkaza navedene za armature i magnetska kola.

λ p[1/106h]

16.00

12.00

8.00

4.00

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]

Slika 9.24 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod relea pri električ nom opterećenju od0.5

Za sve vrste relea oblik zavisnosti intenziteta otkaza je isti, dok se vrednosti razlikuju, priistim temperaturama. Tako se na primer, kod solenoida intenzitet otkaza kreće u intervalu od2,341 do 27,567 otkaza/106h, kada se temperatura kreće u intervalu od 0 do 100οC. Takođe trbanaglasiti da kod svih relea intenzitet otkaza ima linearnu zavisnost od broja prekida na čas

9.11. Prekidači

Intenzitet otkaza prekidačkih kola izračunavamo prema sledećoj formuli :

( ) LCYC C E B P π π π π λ λ ⋅⋅⋅⋅= otkaza/106 (9.72)

Bazni intenzitet otkaza λB zavisi od namene prekidača, odnosno od kvaliteta izrade i nalazi

se iz tablice 5.1.11-1 MIL-HDBK-217D. Faktor πL se izračunava prema izrazu:




125

2

8.0 ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

=S

L eπ za rezistivne prekidače

2

4.0

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛

=

S

L eπ za induktivne prekidače (9.73)

2

2.0 ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

=S

L eπ za svetleće prekidače

gde je S strujno opterećenje. Zavisnost intenziteta otkaza strujnog opterećenja prikazana je na slici9.25 pri čemu je uzeto da broj prekidača na čas iznosi 100.

λ p[1/106h]

16.0

12.8

9.6

6.4

3.2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 S

Slika 9.25 Zavisnost intenziteta otkaza od strujnog opterećenja kod prekidač a

Intenzitet otkaza ne zavisi od temperature, dok od broja prekida na čas zavisi linearno.

9.12. Konektori

Intenzitet otkaza za ovu grupu elemenata izračunava se po formuli :

( ) P K E B P π π π λ λ ⋅⋅⋅= otkaza/106 (9.74)

Bazni intenzitet otkaza λB izračunava se kao:


gde su :




126

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

+=

0

273

273 T

T

T

N x T (9.76)

A – skalirajuća konstanta NT-temperatuna konstanta

P- konstanta ubrzanja

T-radna tempereatura

Radna temperatura T izračunava se:

T T T A Δ+= (9.77)

gde su:

TA- temperatura amibijenta

T Δ - porast temperature u zavisnosti od jačine struje koja protekne kroz kontakt iočitava se iz tablice 5.1.12.1-4 MIL-HDBK-217D.

Multiplikativni intenzitet otkaza P π izračunava se prema formuli:

51064.0

10

1⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

=

N

P eπ (9.78)

gde je N broj aktivnih kontakata. Zavisnost intenziteta otkaza od temperature za konektore

λ p[1/106h]

2.00

1.50

1.00

0.50

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 T[οC]

Slika 9.26 Zavisnost intenziteta otkaza od temperature kod konektora




127

prikazana je na slici 9.26, pri čemu je uzeto da je broj aktivnih kontakata 100, a brojuključenja/isključenja na 1000 časova rada, 50. Pri povećanju broja aktivnih kontakata i brojauključenja/iskljuenja na 1000 časova, raste i intenzitet otkaza. Konkretne vrednosti na grafiku

odnose se na teflonske konektore.

9.13. Štampane ploče

U okviru analize otkaza sistema, štampane ploče možemo podeliti u dve osnovne grupe:

• dvostrane

• višeslojne ploče

Intenzitet otkaza za ovu grupu elemenata izračunava se prema formuli:

E B P N π λ λ ⋅⋅= otkaza/106h (9.79)

gde je N broj obloga.

Bazni intenzitet otkaza Bλ zavisi od tipa ploče i iznosi:

6106 −⋅= Bλ otkaza/106h za dvostrane ploče

4105 −⋅= Bλ otkaza/106h za dvostrane ploče (9.80)

9.14. Spojevi

U okviru anliza otkaza sistema, spojeve možemo podeliti u tri osnovne kategorije:

• žičani

• lemljeni

• savitljivi

Intenzitet otkaza spoja izračunava se na sledeći način:

)QT E B P π π π λ λ ⋅⋅⋅= otkaza/106h (9.81)

Korekcioni faktori tipa obrade T π i kvaliteta kod žičanih lemljenih spojeva iznose:

1== QT π π (9.82)




128

Konkretne vrednosti za intenzitet otkaza pojedinih spojeva su sledeće:

= P λ 0,000003 za žičane spojeve,

= P λ 0,000080 za lemljene spojeve,

= P λ 0,002600 za ručno lemljene spojeve,

= P λ 0,000260 za savitljive spojeve,

= P λ 0,001300 za varene spojeve.

9.15. Ostali elementi

Vibratori : - 60-to ciklični 15= P λ otkaza/106h

- 120-to ciklični 20= P λ otkaza/106h

- 400-to ciklični 40= P λ otkaza/106h

Kvarcni kristali. 2.0= P λ otkaza/106h

Lampe : -neonske 2.0= P λ otkaza/106h

-sa ugljen dioksidom 1= P λ otkaza/106h

Mikrotalasni elmenti. 1.0= P λ otkaza/106h

Opti č ki kablovi. 1.0= P λ otkaza/106h

Osigurač i. 1.0= P λ otkaza/106h



Prorač un pouzdanosti pomoć u Markovljevih modela

129

10. PRORAČUN POUZDANOSTI POMOĆU MARKOVLJEVIH

MODELA

Za određivanje pouzdanosti i raspoloživosti nekog sistema bitno je definisati konfiguracijuelemenata u sistemu, način rada, proces otkaza elemenata, stanja koja predstavljaju otkaz sistema,kao i da li se sistem može svrstati u nepopravljive sisteme (kada se ne dozvoljava zamena iliodržavanje otkazalog elementa), odnosno popravljive sisteme (kada se dozvoljava zamena iliodržavanje otkazalog elementa). Pretpostavka da se u određenom trenutku vremena sistem nalaziu jednom od konačnog broja stanja i da elementi otkazuju stohastički tj. po eksponencijalnojraspodeli, omogućava primenu teorije Markova za određivanje pouzdanosti i raspoloživostisistema, odnosno primenu Markovljevih algoritama za proračun pouzdanosti i raspoloživostisistema.

10.1. Markovljevi modeli

Markovljevi modeli su funkcije dve slučajne promenljive veličine: stanja sistema Χ ( )t ivremena posmatranja tog sistema t . One mogu biti diskretne ili kontinualne slučajne promenljiveveličine. U zavisnosti od tipa slučajnih promenljivih veličina, Markovljevi modeli mogu imatičetiri različita oblika:

1. obe slučajne promenljive veličine ( )( )t t X ; su diskretnog tipa;

2. slučajna promenljiva veličina X ( )t ja kontinualnog tipa, a slučajna promenljivaveličina t je diskretnog tipa;

3. slučajna promenljiva veličina X ( )t je diskretnog tipa, dok je slučajna promenljivaveličina t kontinualnog tipa;

4. obe slučajne promenljive veličine ( )( )t t X ; su kontinualnog tipa;

Modeli Markova, gde je slučajna promenljiva veličina t diskretnog tipa, nazivaju se nizovi(lanci) Markova (1; 2), dok se modeli Markova sa slučajnom promenljivom veličinom t kontinualnog tipa zovu procesi Markova (3; 4). Sa aspekta pouzdanosti i raspoloživosti sistema,

od značaja je proces Markova gde je stanje sistema ( )t X slučajna promenljiva veličina diskretnogtipa, a vreme t slučajna promenljiva veličina kontinualnog tipa.

Model Markova je definisan skupom verovatnoća pij prelaska sistema iz stanja i u stanje j,gde i i j mogu biti bilo koja stanja u kojima se sistem može nalaziti, pri čemu ta verovatnoćazavisi samo od stanja i i j (od stanja iz kojeg prelazi i stanja u koje prelazi) i nijednog drugog.

10.1.1. Poasonov proces

Poasonov proces je specijalni slučaj procesa Markova, odnosno model sa diskretnimstanjem sistema i kontinualnim vremenom. U Poasonovom procesu od značaja je broj događaja u




130

toku vremena, gde je verovatnoća jednog događaja u malom intervalu Δt jednaka λ∆t, pri čemu jeλ konstantno.

Događaji se dešavaju jedan za drugim po određenom redu i diskretnog su tipa, dok jevreme kontinualnog tipa.

Da bi mogli matematički da se definišu Poasonovi procesi, uvode se pretpostavke:

1. verovatnoća prelaska iz stanja sa i događaja u stanje sa i+1 događaja, u tokuvremenskog intervala ∆t, jednaka je proizvodu neke konstante λ i vremenskogintervala ∆t, tj. iznosi λ∆t. Parametar λ označava događaje u jedinici vremena, doksa stanovišta pouzdanosti predstavlja intenzitet otkaza (otkaz / čas);

2. svi događaji su međusobno nezavisni, tj. događaji su nezavisni jedan u odnosu nadrugi;

3. događaji su nepovratni, tj. broj događaja, odnosno broj otkaza, raste sa vremenom(kada se razmatraju nepopravljivi sistemi gde se posle otkaza ne vrši održavanje,odnosno gde ne može biti povratka u prethodno stanje);

4. verovatnoća dva ili više događaja u vremenskom intervalu ∆t je zanemarljiva, tj. približno je jednaka nuli;

Shodno tome, iz sistema diferencijalnih jednačina koje predstavljaju verovatnoće stanja iverovatnoće prelaza, može se doći do opšteg izraza za verovatnoću od n događaja koji su se desiliu toku vremena t, u oznaci P ( )t n X ,= =Pn ( )t .

Verovatnoća da se u vremenu t + ∆t nije desio nijedan događaj, odnosno da se sistem nađeu nultom stanju jednaka je proizvodu verovatnoće da se nije dogodio nijedan događaj u vremenu ti verovatnoće da se nije odigrao nijedan događaj u vremenu ∆t:

P0(t+∆t) = P0(t)(1-λ∆t) (10.1)

Po istom principu, verovatnoća da se dogodio jedan događaj u vremenu t + ∆t, jednaka jezbiru verovatnoće da se nijedan događaj nije desio u vremenu t i da se jedan događaj odigrao uvremenu ∆t i verovatnoće da se jedan događaj desio u vremenu t i potom nijedan u intervalu ∆t:

P1(t+∆t) = P0(t)λ∆t + P1(1-λ∆t) (10.2)

Uopštenjem se dobija da je:

Pn(t+∆t) = Pn-1(t)λ∆t + Pn(t)(1- λ∆t) (10.3)

gde je n = 1, 2, 3, ... n

Očigledno je da je vreme podeljeno na intervale ∆t, tj. da je diskretnog tipa. S obzirom dase želi da t bude kontinualna veličina, mora se naći granična vrednost za ∆t → 0.

Na taj način se modifikuje sistem diferencijalnih jednačina u onaj koji odgovaraPoasonovom procesu sa kontinualnim vremenom. Iz jednačine koja određuje verovatnoću da senijedan događaj nije desio sledi:




131

( ) ( )( )t P

t

t P t t P 0

00λ −=

Δ−Δ+

(10.4)

Kada ∆t → 0 dobija se:

( ) ( )( )( )t P

t

t P t t P 0

0t

00

0tlimlim λ −=

Δ−Δ+

→Δ→Δ (10.5)

odnosno

( )( )t P

dt

t dP 0

0λ −= (10.6)

Analogno tome, za jedan događaj se dobija:

( ) ( )( ) ( )t P t P

t

t P t t P 10

11λ λ −=

Δ−Δ+

(10.7)

a kada ∆t → 0:

( ) ( )( ) ( )( )t P t P

t

t P t t P t t

100

11

0limlim λ λ −=

Δ−Δ+

→Δ→Δ (10.8)

odnosno

( )( ) ( )t P t P

dt

t dP 10

1λ λ −= (10.9)

Generalno:

( )( ) ( )t P t P

dt

t dP nn

nλ λ −= − 1 (10.10)

gde je n = 1, 2, 3, ...n.

Jednačine:

( )( )

( )( ) ( ) 1,2,3,...nnza ; 10

0=−=−= − t P t P

dt

t dP t P

dt

t dP nn

nλ λ λ (10.11)

čine kompletan skup diferencijalnih jednačina koje uz skup početnih uslova, koji određuju u kom je stanju bio sistem u početnom trenutku posmatranja (npr. ako nema događaja na početku - stanjenula P0(0)=1, P1(0)=P2(0)=P3(0)= ... =Pn(0) ), definišu Poasonov proces.




132

Ovaj sistem diferencijalnih jednačina može se rešavati na razne načine: metodomLaplasovih transformacija, metodom matrica, metodom neodređenih koeficijenata itd. Metodrešavanja je proizvoljan ali uvek treba birati najpogodniji.

Primenimo metodu neodređenih koeficijenata. Jednačina 10.6

( )( )t P

dt

t dP 0

0λ −=

je homogena diferencijalana jednačina sa opštim rešenjem oblika rt Ae čijom zamenom u prethodnu jednačinu se dobija:

rt rt rt

Ae Aredt

Aed λ −==

][ (10.12)

Dakle, očigledno je da je r = -λ što daje:

( ) t Aet P λ −=0 (10.13)

Uzimajući u obzir početni uslov P0(0)=1 dobija se:

( ) 100 == A P (10.14)

Znači, krajnji izraz za P0(t) je:

( ) t et P λ −=0 (10.15)

Za n = 1 jednačina je oblika (10.9):

( )( ) ( )t P t P

dt

t dP 10

1λ λ −=

Zamenom konačnog izraza za P0(t) i sređivanjem dobija se diferencijalna jednačinasledeće forme:

( )( ) t et P

dt

t dP λ λ λ −=+ 11

(10.16)

Opšte rešenje ove nehomogene diferencijalne jednačine sastoji se od zbira opšteg rešenjahomogene i partikularnog rešenja nehomogene polazne jednačine. Opšte rešenje homogene

jednačine je istog oblika kao i za P0(t), i iznosi t Ae λ − . Partikularno rešenje jednačine je oblikat Bte λ − . Posle zamene ovog izraza u prethodnu jednačinu dobija se:




133

t t t

e Btedt

Bted λ λ λ

λ λ −−−

=+][

(10.17)

⇒

t t t t e Bte Bte Be λ λ λ λ λ λ λ −−−− =+− (10.18)

odnosno

t t e Be λ λ λ −− = (10.19)

Dakle, dobija se da je B = λ. Rešenje diferencijalne jednačine je sada:

( ) t t te Aet P λ λ λ −− +=1 (10.20)

Uzimajući u obzir početni uslov P1(0) = 0 dobija se:

( ) 001 == A P (10.21)

Znači, konačno rešenje jednačine za n = 1 je:

( ) t tet P λ λ −=1 (10.22)

Analogno, rešavanje diferencijalnih jednačina za rezličite vrednosti n, tj. za n = 2, 3, ..., ndaje rešenje oblika:

( ) ( )

!n

et t P

t nn

λ λ −= (10.23)

Ovaj izraz predstavlja funkciju gustinu verovatnoće za Poasonovu raspodelu.

Verovatnoće P0(t) da u vremenu t neće biti nijednog događaja, pri čemu pod događajem se podrazumeva otkaz nekog elementa, ne predstavlja ništa drugo do izraz za pouzdanost tog

elementa R(t). Funkcija raspodele otkaza F(t) = 1-R(t) = 1-P0(t) = 1- t e λ − , čijim sediferenciranjem dobija funkcija gustine otkaza u obliku eksponencijalne raspodele:

( ) ( ) t

t e

dt

ed

dt

t dF t f λ

λ

λ −−

=−

==1

(10.24)

Dakle, vreme do prvog otkaza ima eksponencijalnu raspodelu, a pošto su svi događaji,odnosno otkazi, međusobno nezavisni, vreme između dva događaja, tj. otkaza imaće takođeeksponencijalnu raspodelu.




134

10.2. Matrica verovatnoća prelaza

Pokazano je da se, kod procesa Markova, prelazi između pojedinih stanja opisuju skupom

diferencijalnih jednačina prvog reda, gde je za određivanje verovatnoća od značaja samo poslednje stanje. Do konstanti u ovim jednačinama može se doći na osnovu matrice verovatnoća prelaza. Pored nepopravljivih sistema, gde nema vraćanja u prethodno stanje, mogu se imati i popravljivi sistemi, tako da sistem može nakon popravke da se vrati u neko prethodno stanje. Zatose uvodi verovatnoća da sistem može iz bilo kojeg stanja preći u bilo koje stanje, odnosno kodMarkovljevih modela uvodi se matrica verovatnoće prelaza iz bilo kojeg stanja u bilo koje stanje,koja je predstavljena u tabeli 10.1:

Tabela 10.1 Prikaz matrice verovatnoća prelaza

Krajnja stanja (t+∆t)Početna stanja (t)

0 1 .... N

0 p00 p01 .... p0n

1 p10 p11 .... p1n

…. …. …. …. ….

n pn0 pn1 …. pnn

Verovatnoća prelaza pij je verovatnoća da će sistem u toku vremenskog intervala ∆t preći

iz početnog stanja i u kojem se nalazi u trenutku vremena t, u krajnje stanje j u trenutku vremena t+ ∆t. Zbir verovatnoća p ij po bilo kojoj vrsti mora biti jednak jedinici. Verovatnoća proizvoljnogkrajnjeg stanja jednaka je zbiru proizvoda verovatnoće početnog stanja i odgovarajućeverovatnoće prelaza u to krajnje stanje.Na ovaj način se povezuju stanja sistema saverovatnoćama prelaza.

Na primer:

Pn(t+∆t) = P0(t)p0n+P1(t)p1n+....+Pn(t) (10.25)

Kada se nađu granične vrednosti za ∆t 0→ , dolazi se do odgovarajućih diferencijalnih

jednačina. Ukoliko su verovatnoće prelaza pij nezavisne od vremena (mogu da zavise samo odkonstantnih parametara sistema i vremenskog intervala ∆t), onda se takav proces nazivahomogenim procesom. Ako u homogenom procesu krajnja verovatnoća da se bude u proizvoljnomstanju ne zavisi od početnih uslova, takav proces predstavlja ergodič ki proces. Ako postoji stanjeiz koga se ne može preći ni u jedno drugo stanje, onda se takvo stanje zove apsorpciono stanje.

10.3. Rešavanje jednačina Markova

Kao što je već rečeno, dobijeni sistem diferencijalnih jednačina prvog reda može serešavati na razne načine, ali se uvek bira najpogodniji. Rešavanje je vrlo jednostavno primenom




135

Laplasovih transformacija i matričnih operacija. Za sistem sa tri stanja, matrica verovatnoća prelaza je kao u tabeli 10.2.

Tabela 10.2 Matrica verovatnoća prelaza Markovljevog procesa za sistem sa tri stanja.

Krajnja stanja (t+∆t)Početna stanja (t)

0 1 2

0 t Δ− 011 λ t Δ01λ 0

1 0 t Δ− 121 λ t Δ12λ

2 0 0 1

Na osnovu osobine matrice da se verovatnoća proizvoljnog krajnjeg stanja može dobitikao zbir proizvoda verovatnoće početnog stanja i odgovarajuće verovatnoće prelaza u to krajnjestanje, dolazi se do sledećih jednačina:

( ) ( ) ( )t P t t t P 0010 1 Δ−=Δ+ λ

( ) ( ) ( ) ( )t P t t tP t t P 1120011 1 Δ−+Δ=Δ+ λ λ (10.26)

( ) ( ) ( )t P t tP t t P 21122 +Δ=Δ+ λ

Kada se uzmu granične vrednosti za ∆t 0→ , dobija se odgovarajući sistem diferencijalnih jednačina prvog reda:

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) 0

0

0

1122

0011121

000

=−

=−+

=+

t P dt

t dP

t P t P

dt

t dP

t P dt

t dP

λ

λ λ

λ

(10.27)

Primenom Laplasove transformacije, odnosno diferencijalne toreme iz teorije Laplasovih

transformacija ( ( )

( )[ ] ( )0 f t f SLdt

t df −→ ), ovaj skup jednačina se može transformisati u drugi

oblik , pogodniji za rešavanje.




136

( ) ( )[ ] ( )

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )

( )[ ] ( )[ ] ( )0

0

0

22112

1112001

0001

P t P SLt P L

P t P LS t P L

P t P LS

=+−

=++−

=+

λ

λ λ

λ

(10.28)

Predstavljen preko matrica sistem postaje:

( )[ ]( )[ ]( )[ ]

( )( )

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+−

+

0

0

0

0

0

00

2

1

0

2

1

0

12

1201

01

P

P

P

t P L

t P L

t P L

S

S

S

λ

λ λ

λ

(10.29)

odnosno:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ] ( ) ( ) ( )[ ]000

00

0

0

2101212

0101

210 P P P

S

S

S

t P Lt P Lt P L =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

−+

λ λ

λ λ

(10.30)

Ako se uvedu obeležavanja:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( )10.31 000

00

0

0

210

1212

0101

210

P P P

S

S

S

t P Lt P Lt P L

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

−+

==

P

AT λ λ

λ λ

dobija se izraz:

PTA = (10.32)

Nakon množenja obe strane sa inverznom kvadratnom matricom A-1 dobija se:

111 PATPATAA −−− == tj. (10.33)

Na osnovu poznate formule za određivanje inverzne kvadatne matrice:

A

AA 1

det

adj=− (10.34)

dobija se:




137

( )( ) ( )( )

( )

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+++++

=−

S

S S S

S S S S S S

100

10

1

12

12

12

1201

1201

1201

0

01

λ

λ

λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ

λ

1A (10.35)

Sada, rešavanjem matrične jednačine, 1PAT −= , dobijaju se rešenja,( )[ ] ( )[ ] ( )[ ],,, 210 t P Lt P Lt P L u formi Laplasovih transformacija traženih verovatnoća.

Ukoliko se smatra da nema događaja na početku, tj. uz početne uslove( ) ( ) ( ) ,00,00,10 210 === P P P dobija se matrična jednačina:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ]t P Lt P Lt P L 210

( )( ) ( )( )

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+++++

S

S S S

S S S S S S

100

10

1

12

12

12

1201

1201

1201

0

01

λ

λ

λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ

λ

[ ]001= (10.36)

odakle su rešenja:

( )[ ] ( )

( )[ ]( )( )

( )

( )[ ]( )( )

( )10.39

10.38

10.37 1

1201

12012

1201

011

010

λ λ

λ λ

λ λ

λ

λ

++=

++=

+=

S S S t P L

S S t P L

S t P L

Rastavljanjem ovih izraza na koeficijente, tako da budu prikazani u obliku zbira, dobijajuse:

( )[ ]01

01

λ +=

S t P L (10.40)

( )[ ]( )( )

11

tPL12010112

01

12

0112

01

01

0112

01

1201

011 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−+−

=+−−

+−=

++=

λ λ λ λ

λ

λ

λ λ

λ

λ

λ λ

λ

λ λ

λ

S S S S S S

(10.41)




138

( )[ ]( )( ) 12

0112

01

01

0112

12

1201

12012

1

λ

λ λ

λ

λ

λ λ

λ

λ λ

λ λ

+−+

+−−=

++=

S S S S S S t P L (10.42)

Nalaženjem inverznih Laplasovih transformacija ( t eS S

λ

λ

−→+

→ 1 ;11 ) konačno se

dolazi do rešenja, odnosno traženih verovatoća:

( ) t et P 010

λ −= (10.43)

( ) ( )tt 1201

0112

011

λ λ

λ λ

λ −− −−

= eet P (10.44)

( ) tt 12

0112

01 01

0112

122 1 λ λ

λ λ

λ

λ λ

λ −−−

+−

−= eet P (10.45)

10.4. Određivanje pouzdanosti nepopravljivih sistema

10.4.1. Oređivanje pouzdanosti nepopravljivog sistema sa jednim

elementom

U ovom slučaju sistem se sastoji samo od jednog nepopravljivog elementa x1 tako da imasamo dva moguća stanja: stanje 0 (početno stanje) - sistem ispravan (x1) i stanje 1 (krajnje stanje)

- sistem neispravan ( 1 x ). Matrica verovatnoća prelaza za sistem sa jednim elementom koji imadva stanja prikazana je u tabeli 10.3.

Tabela 10.3 Matrica verovatnoća prelaza za sistem sa jednim elementom

Krajnja stanja (t+∆t)Početna stanja (t)0 1

0 1-λ(t)Δt λ(t)Δt

1 0 1

Na osnovu već poznate osobine matrice verovatnoća prelaza mogu se napisati sledeće jednačine:

( ) ( )( ) ( )t P t t t t P 00 1 Δ−=Δ+ λ (10.46)




139

Verovatnoća da će sistem u vremenu t + ∆t biti u stanju 0 jednaka je proizvoduverovatnoće da je sistem u stanju 0 u vremenu t ( P0(t) ) i verovatnoće da neće biti događaja,odnosno otkaza u vremenskom intervalu ∆t (1-λ(t)∆t.

( ) ( ) ( ) ( )t P t tP t t t P 101 1+Δ=Δ+ λ (10.47)

Verovatnoća da će sistem u vremenu t + ∆t biti u stanju 1 jednaka je zbiru proizvodaverovatnoće da je sistem u vremenu t u stanju 0 (P0(t)) i verovatnoće da se desio jedan događaj,odnosno otkaz u vremenskom intervalu ∆t (λ(t)∆t), kao i proizvoda verovatnoće da je sistem ustanju 1 u vremenu t (P1(t)) i verovatnoće da neće biti otkaza u vremenskom intervalu ∆t, odnosnoda će sistem ostati u stanju 1 (pošto je stanje 1- apsorpciono stanje, ova verovatnoća je jednaka 1).

Radi jednostavnijeg predstavljanja, vrlo često se koristi i grefički prikaz modela Markovazs sistem sa jednim elementom koji je prikazan na slici 10.1, gde čvorovi predstavljaju stanjasistema, a strelice odgovarajuće verovatnoće prelaza.

Slika 10.1 Grafič ki prikaz modela Markova za sistem sa jednim elementom

Karakteristično je da je zbir verovatnoća prelaza iz svakog pojedinačnog čvora, tj. stanja jednaka jedinici. Isto tako, na osnovu ovakvog prikaza, može se direktno doći do prethodnih jednačina, uzimajući u obzir da je verovatnoća da će sistem biti u proizvoljnom krajnjem stanju uvremenu t+Δt jednaka zbiru proizvoda verovatnoća da je sistem u nekom početnom stanju uvremenu t i odgovarajućih verovatnoća prelaza u to krajnje stanje u vremenskom intervalu Δt, tj.uzimaju se u obzir samo strelice koje dolaze do tog krajnjeg čvora odnosno stanja.

Nalaženjem graničnih vrednosti kada Δt → 0, prethodne jednačine svode se na

odgovarajući sistem diferencijalnih jednačina prvog reda za sistem sa jednim elementom:

( )( ) ( )

( )( ) ( ) 0

0

01

00

=−

=+

t P t dt

t dP

t P t dt

t dP

λ

λ

(10.48)

Smatrajući da je funkcija intenziteta otkaza λ(t) = λ = const., kada je i ova metodakorišćenja procesa Markova za određivanje pouzdanosti sistema uspešna (kada je funkcijaintenziteta otkaza λ(t) zavisna od vremena modifikuje se metoda uvođenjem tzv. prividnih stanja)




140

i uzimajući u obzir početne uslove P0(0) = 1 i P1(0) = 0 (nema događaja tj. otkaza na početku), primena Laplasove transformacije i odgovarajuće diferencijalne teoreme dovodi do:

( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] 0

1

10

0

=+−

=+

t P SLt P L

t P LS

λ

λ

(10.49)

Prikazujući jednačine pomoću matrica dobija se:

( )[ ]( )[ ] ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

+

0

10

1

0

t P L

t P L

S

S

λ

λ 10.50)

odnosno:

( )[ ] ( )[ ][ ] [ ]010

10 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

S

S t P Lt P L λ λ

(10.51)

Ukoliko se obeleže odgovarajuće matrice sa:

( )[ ] ( )[ ][ ]

[ ] 01

0 10

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+==

P

ATS

S t P Lt P L

λ λ

(10.52)

dobija se izraz:

PTA = (10.53)

Posle množenja leve i desne strane inverznom kvadratnom matricom A-1 sledi:

111 tj. −−− == PATPATAA (10.54)

pri čemu je:

( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡++=

−+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==−

S

S S S

S

S

S

S

adj1

0

1

0

0

det1 λ

λ

λ

λ λ

λ

λ

A

AA (10.55)

Rešavanjem matrične jednačine T=PA-1 dibija se:




141

( )[ ] ( )[ ][ ] [ ] ( )( )⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡++=

λ

λ

λ

λ

λ

λ

S S S S

S S S t P Lt P L1

10

1

0110 (10.56)

Znači rešenja u formi Laplasovih transformacija su:

( )[ ]λ +

=S

t P L1

0 (10.57)

( )[ ]( )λ

λ

+=

S S t P L 1 (10.58)

Rastavljanjem ovih izraza metodom koeficijenata, odnosno prikazivanjem u obliku zbiradobija se:

( )[ ]

( )[ ]λ

λ

+−=

+=

S S t P L

S t P L

11

1

1

0

(10.59)

Traženjem već poznatih inverznih Laplasovih transformacija prethodnih izraza dolazi sedo konačnog rešenja:

( ) ( )

( ) ( )10.61 1

10.60

1

0

t

t

et P

et P

λ

λ

−

−

−=

=

Očigledno je da je pouzdanost ovog sistema verovatnoća da će sistem u vremenu t biti u

stanju 0, tj. ispravan, pa važi R(t) = P0(t), dok je nepouzdanost sistema verovatnoća da će sistem uvremenu t biti u stanju 1, znači neispravan, što odgovara izrazu Q(t) = P1(t).

10.4.2. Određivanje pouzdanosti nepopravljivog sistema sa dvaelementa

Sistem od dva nepopravljiva elementa x1 i x2, ne vodeći računa o konfiguraciji, ima četirimoguća stanja: stanje 0 - oba elementa ispravna ( 21 xx ), stanje 1 - element x1 neispravan, a

element x2 ispravan ( 21 xx ), stanje 2 - element x1 ispravan, a element x2 neispravan ( 21 xx ) istanje 3 - oba elementa neispravna ( 21 xx ).




142

Matrica verovatnoća prelaza za sistem sa dva elementa koji može imati četiri stanja je datau tabeli 10.4.

Tabela 10.4 Matrica verovatnoća prelaza za sistem sa dva elementa

Krajnja stanja (t + Δt)Početnastanja(t)

0 1 2 3

0 1-[λ01(t)+λ02(t)]Δt λ01(t)Δt λ02(t)Δt 0

1 0 1-λ13(t)Δt 0 λ13(t)Δt

2 0 0 1-λ23(t)Δt λ23(t)Δt

3 0 0 0 1

Grafički prikaz modela Markova za sistem sa dva različita elementa predstavljen je na slici10.2.

Slika 10.2 Grafič ki prikaz modela Markova za sistem sa dva različ ita elementa

Na osnovu matrice ili grafičkog prikaza mogu se dobiti sledeće jednačine:

( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )t P t t t t t P 002010 1 Δ+−=Δ+ λ λ (10.62)




143

Verovatnoća da će sistem u vremenu t + Δt biti u stanju 0 jednaka je proizvoduverovatnoće da je sistem u vremenu t u stanju 0 ( P 0(t) ) i verovatnoće da neće biti otkaza uvremenskom intervalu Δt (1-[λ01(t)+λ02(t)]Δt).

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )t P t t t tP t t t P 1130011 1 Δ−+Δ=Δ+ λ λ (10.63)

Verovatnoća da će sistem u vremenu t + Δt biti u stanju 1 jednaka je zbiru proizvodaverovatnoća da je sistem u vremenu t u stanju 0 ( P0(t) ) i verovatnoće da se desio jedan otkaz tj.

prelaz u stanje 1 u vremenskom intervalu Δt ( λ01(t)Δt ), kao i proizvoda verovatnoće da je sistemu vremenu t u stanju 1 (P1(t)) i verovatnoće da neće biti otkaza u vremenskom intervalu Δt (1-λ13(t)Δt).

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )t P t t t tP t t t P 2230022 1 Δ−+Δ=Δ+ λ λ (10.64)

Verovatnoća da će sistem u vremenu t + Δt biti u stanju 2 jednaka je zbiru proizvodaverivatnoće da je sistem u vremenu t u stanju 0 ( P0(t) ) i verovatnoće da se desio jedan otkaz, tj.

prelaz u stanje 2 u vremenskom intervalu Δt ( λ02(t)Δt ), kao i proizvoda verovatnoće da je sistemu vremenu t u stanju 2 (P2(t)) i verivatnoće da neće biti otkaza u vremenskom intervalu Δt (1-λ23(t)Δt ).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t P t tP t t tP t t t P 32231133 1+Δ+Δ=Δ+ λ λ (10.65)

Verovatnoća da će sistem u vremenu t + Δt biti u stanju 3, jednaka je zbiru proizvodaverovatnoće da je sistem u vremenu t u stanju 1 ( P1(t) ) i verovatnoće da se desio jedan otkaz uvremenskom intervalu Δt ( λ13(t)Δt ), proizvoda verovatnoće da je sistem u vremenu t u stanju 2 (P2(t) ), verovatnoće da se desio jedan otkaz u vremenskom intervalu Δt ( λ23(t)Δt ), kao i proizvodaverovatnoće da je sistem u vremenu t u stanju 3 ( P 3(t) ) i verivatnoće da neće biti otkaza uvremenskom intervalu Δt, tj. da će sistem ostati u stanju 3 (pošto je stanje 3-apsorpciono stanje,ova verovatnoća jednaka je jedan).

Sada, traženjem graničnih vrednosti ovih jednačina za Δt → 0, može se formiratiodgovarajući sistem diferencijalnih jednačina prvog reda, kojima se opisuju stanja sistema, a

potom i naći verovatnoće nalaženja u pojedinim stanjima.

( ) ( ) ( )[ ] ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

0

0

0

2231133

2230022

1130011

002010

=−−

=+−

=+−

=++

t P t t P t dt t dP

t P t t P t dt

t dP

t P t t P t dt

t dP

t P t t dt

t dP

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

(10.66)




144

Ukoliko na ovaj skup jednačina primenimo Laplasovu transformaciju, tj. odgovarajućudiferencijalnu teoremu, uzimajući u obzir početne uslove P0(0) = 1, P1(0) = P2(0) = P3(0) = 0(nema otkaza na početku) i smatrajući da je funkcija intenziteta otkaz konstantna λ(t) = λ = const.dobija se:

( ) ( )[ ]

( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 0

0

0

1

3223113

223002

113001

00201

=+−−

=++−

=++−

=++

t P SLt P Lt P L

t P LS t P L

t P LS t P L

t P LS

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

(10.67)

Predstavljanje u matričnom obliku omogućava sledeću formu:

( )[ ]( )[ ]( )[ ]( )[ ] ⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+−

+−

++

0

0

0

1

00

00

00

000

3

2

1

0

23

2302

1301

0201

t P L

t P L

t P L

t P L

S

S

S

S

λ

λ λ

λ λ

λ λ

(10.68)

ili drugačije:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ]

[ ] (10.69) 0001

000

00

00

0

2323

1313

02010201

3210

=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

−+

−−++

S

S

S

S

t P Lt P Lt P Lt P Lλ λ

λ λ

λ λ λ λ

Uvodeći poznata obeležavanja:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ] == AT 3210 t P Lt P Lt P Lt P L

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

−+

−−++

S

S

S

S

000

00

00

0

2323

1313

02010201

λ λ

λ λ

λ λ λ λ

(10.70)

[ ]0001=P

dobija se izraz:




145

TA = P (10.71)

Nakon množenja obe strane inverznom kvadratnom matricom A-1 dobija se:

TAA-1 = PA-1 tj. T = PA-1 (10.72)

pri čemu je:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )( )( )

S

S

S

S

S S S

S S S S S

S S S S S

S S S S S S S S S

adj

000

00

00

0

000

00

00

det

2323

1313

02010201

02012313

02011323020113

02012313020123

132302231301130223012313

1

λ λ

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

−+

−+

−−++

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

++++++

++++++

+++++++

==−

A

AA

(10.73)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

++++

+++++++++++

=−

S

S S S

S S S

S S S S S S S S S S S

1000

100

01

0

1

23

23

23

13

13

13

020123

2302

020123

1301

020123

02

020113

01

0201

1

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ λ λ

λ λ

λ λ λ

λ λ

λ λ λ

λ

λ λ λ

λ

λ λ

A

(10.74)

Rešavanjem matrične jednačine T = PA-1 dobijaju se rešenja u formi Laplasovihtransformacija:

( )[ ] ( )

( )[ ]( )( )

( )

( )[ ]( )( )

( )

( )[ ]( )( ) ( )( )

( )10.81

10.80

10.79

10.78 1

020123

2302

020113

13013

020123

022

020113

011

02010

λ λ λ

λ λ

λ λ λ

λ λ

λ λ λ

λ

λ λ λ

λ

λ λ

++++

+++=

+++=

+++=

++=

S S S S t P L

S S t P L

S S t P L

S t P L

Rastavljanjem ovih izraza na koeficijente, tj. prikazujući ih u obliku zbira, sledi:




146

( )[ ]0201

01

λ λ ++=

S t P L (10.82)

( )[ ] ⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

++−+−+= 020113130201

01

1

11

λ λ λ λ λ λ

λ

S S t P L (10.83)

( )[ ] ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

−+−+

=020123230201

022

11

λ λ λ λ λ λ

λ

S S t P L (10.84)

( )[ ]23230201

02

13130201

013

111

λ λ λ λ

λ

λ λ λ λ

λ

+⋅

−++

+⋅

−+−=

S S S t P L

( )( )

1

0201230201130201

231323021301

λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ

++⋅

−+−+−+

+S

(10.85)

Primenom inverznih Laplasovih transformacija dobija se konačno rešenje:

( ) ( )t et P 02010

λ λ +−= (10.86)

( )

( )

( )t t eet P 020113

130201

011

λ λ λ

λ λ λ

λ +−− −−+

= (10.87)

( ) ( )( )t t eet P 020123

230201

022

λ λ λ

λ λ λ

λ +−− −−+

= (10.88)

( ) +−+

−−+

−= −− t t eet P 23

230201

0213

130201

01

3 1 λ λ

λ λ λ

λ

λ λ λ

λ

( )( )( )t e 0201

230201130201

231323021301 λ λ

λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ +−

−+−+−+

+ (10.89)

Za određivanje pouzdanosti sistema sa dva elementa, potrebno je poznavati konfiguracijutih elemenata. Ukoliko je u pitanju redna veza elemenata, sistem će biti ispravan kada su svielementi u njemu ispravni, pa je pouzdanost sistema jednaka verovatnoći da sistem bude u stanju0, tj.:

( ) ( ) ( )t et P t R 02010

λ λ +−== (10.90)




147

Za elemente u paralelnoj vezi, sistem će biti ispravan ukoliko je bar jedan od elemenata unjemu ispravan (jedan element može da otkaže, ali sistem i dalje ispravno funkcioniše), tako da je

pouzdanost sistema jednaka zbiru verovatnoća da sistem bude u stanju 0, 1 i 2:

( ) ( ) ( ) ( ) =++= t P t P t P t R 210

( ) ( )( ) ( )( ) 020123

2302

02020113

130201

010201

01

t t t t t eeeee λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ

λ

λ λ λ

λ +−−+−−+− −−+

+−−+

+=

(10.91)

Prethodna jednačina se može primeniti i na slučaj kada je jedan element aktivan, a drugi u pripravnosti, ukoliko je λ01 = λ1, λ02 = 0 (pretpostavljamo da element neće otkazati dok je u pripravnosti) i λ13 = λ2. Tada se dobija pouzdanost sistema sa dva elementa od kojih je jedan u

pripravnosti.

( ) ( )t t t eeet R 12

21

11 λ λ λ

λ λ

λ −−− −−

+= (10.92)

Očigledno, složenost Markovljevih algoritama zavisi od broja stanja sistema. Ukoliko iman elemenata u sistemu, broj stanja sistema m se , evidentno, dobija iz formule

n

n

nnnm 2

10 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ = Κ . Broj stanja je jednak broju diferencijalnih jednačina prvog reda

koje formiraju sistem čijim rešavanjem se dobija konačno rešenje. U slučaju velikog broja stanja

sistema, kada je prilično otežan rad, koristi se računar.

10.5. Pouzdanost i raspoloživost popravljivih sistema

Popravljivi sistemi su oni kod kojih se može vršiti održavanje u određenom vremenskomintervalu, pri cemu se sistem iz stanja otkaza vraća u operativno stanje, a ukoliko se to još može

brzo učiniti, efekat otkaza je znatno smanjen. Dakle, kod popravljivih sistema dozvoljava sevreme zastoja, sa tim što popravka pozitivno utiče na sistem. Ipak, kod nekih sistema otkaz može

izazvati katastrofu u izvesnom smislu, pa mogućnost opravke nema smisla uzimati u obzir. Kod popravljivih sistema uvodi se funkcija raspoloživosti koja ustvari, predstavlja verovatnoću dasistem raditi u trenutku vremena t, pod uslovom da je bio operativan u vremenu t = 0, dok funkcija

pouzdanosti predstavlja verovatnoću rada sistema u intervalu vremena 0 do t. Međutim, funkcijaraspoloživosti ne sadrži podatke o broju ciklusa otkaz - popravka do određenog vremenskogtrenutka t. Kod popravljivih sistema može se razmatrati i vreme popravke, vreme između otkaza,

broj otkaza u nekom intervalu vremena itd.

Evidentno je da je pouzdanost sistema strožiji zahtev od raspoloživosti sistema, tj. R(t) ≤ A(t) (znak jednakosti važi kod nepopravljivih sistema). Mogućnost popravke kod popravljivihsistema sa rednom vezom elemenata ne utiče na pouzdanost sistema R(t), ali zato ima pozitivan

efekat na raspoloživost sistema A(t), koja raste. Međutim, kod paralelne veze elemenata usistemu, odnosno kod sistema sa elementima u pripravnosti, popravka ima pozitivan efekat kakona raspoloživost A(t), tako i na pouzdanost sistema R(t). Da je to zaista tako, zaključuje se iz




148

činjenice da nepopravljiv sistem sa dva elementa otkazuje kada otlažu oba elementa, dok kod popravljivog sistema ako otkaže jedan element, drugi nastavlja da radi, u međuvremenu se popravlja otkazali element i ukoliko se popravi pre otkaza drugog elementa, sistem ponovo nećeotkazati i to se ponavlja sve dok je vreme popravke kraće od vremena između otkaza. Ipak, u

jednom momentu, to neće biti slučaj i sistem će otkazati. Dakle, posmatrano na ovaj način,očigledno je da popravka povećeva pouzdanost ovkvog sistema.

10.5.1. Pouzdanost i raspoloživost popravljivog sistema sa jednimelementom

U ovom slučaju u pitanju je popravljiv sistem koji se sastoji samo od jednog elementa x1, pri čemu se smatra da je konstantan intenzitet otkaza λ = const. i konstantan intenzitet popravke μ = const. Grafički prikaz modela Markova za pouzdanost ovakvog sistema dat je na slici 10.3.

Slika 10.3 Grafič ki prikaz modela Markova za pouzdanost popravljivog sistema sa jednimelementom

Ukoliko se, na osnovu ranije objašnjenih osobina grafičkih prikaza, formirajuodgovarajuće jednačine, dobija se:

( ) ( ) ( )t P t t t P 00 1 Δ−=Δ+ λ (10.93)

( ) ( ) ( )t P t tP t t P 101 1+Δ=Δ+ λ (10.94)

Kada se nađe granična vrednost za Δt→0 dobijaju se diferencijalne jednačine koje suočigledno iste kao za nepopravljiv sistem sa jednim elementom:

( )( ) 00

0=+ t P

dt

t dP λ (10.95)

( )( ) 00

1=− t P

dt

t dP λ (10.96)




149

Primenom Laplasovih transformacija, odnosno odgovarajuće diferencijalne teoreme,vodeći računa o početnim uslovima P0(0) = 1 i P1(0) = 0 (nema otkaza na početku) dolazi se dosledećeg sistema jednačina:

( ) ( )[ ] 10 =+ t P LS λ (10.97)

( )[ ] ( )[ ] 010 =+− t P SLt P Lλ (10.98)

Prikazujući jednačine pomoću matrica sledi:

( )[ ]( )[ ] ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+

0

10

1

0

t P L

t P L

S

S

λ

λ (10.99)

odnosno:

( )[ ] ( )[ ][ ] [ ]010

10 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

S

S t P Lt P L λ λ

(10.100)

Ako se obeleže odgovarajuće matrice sa:

( )[ ] ( )[ ][ ]

[ ] ( )10.101 01

0 10

=

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡ −+==

P

ATS

S t P Lt P L

λ λ

dobija se izraz:

TA=P (10.102)

Množenjem obe strane sa inverznom kvadratnom matricom A-1 sledi:

TAA-1 = PA-1 tj. T = PA-1 (10.103)

gde je:

( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡++==−

S

S S S adj1

0

1

det1 λ

λ

λ

A

AA (10.104)

Rešavanjem matrične jednačine T = PA-1 dobijaju se rešenja u formi Laplasovih

transformacija:




150

( )[ ]λ +

=S

t P L1

0 (10.105)

( )[ ] ( ) λ λ

λ

+−=+= S S S S t P L

111 (10.106)

Primenom inverznih Laplasovih transformacija nalaze se krajnja rešenja:

( ) t et P λ −=0 (10.107)

( ) t et P λ −−= 11 (10.108)

Izraz za pouzdanost ovog sistema R(t) = P0(t) = e-λt

je očigledno identičan sa izrazom za pouzdanost nepopravljivog sistema sa jednim elementom, iz čega se vidi da popravka ovde nemauticaja na samu pouzdanost jer je nakon otkazivanja element u apsorpcionom stanju i ne može sevratiti u prethodno stanje.

Grafički prikaz modela Markova za raspoloživost popravljivog sistema sa jednimelementom dat je na slici 10.4.

Slika 10.4 Grafič ki prikaz modela Markova za raspoloživost popravkljivog sistema sa jednimelementom

Jednačine koje proizilaze iz ovog grafičkog prikaza su:

( ) ( ) ( ) ( )t tP t P t t t P 100 1 Δ+Δ−=Δ+ λ (10.109)

( ) ( ) ( ) ( )t P t t tP t t P 101 1 Δ−+Δ=Δ+ λ (10.110)

Granična vrednost za Δt→0 dovodi do sledećih diferencijalnih jednačina:

( )( ) ( ) 010

0=−+ t P t P

dt

t dP μ λ (10.111)




151

( )( ) ( ) 001

1=−+ t P t P

dt

t dP λ μ (10.112)

Uz primenu Laplasove transformacije, poznate diferencijalne teoreme i početnih uslova

P0(0) = 1 i P1(0) = 0 sledi:

( ) ( )[ ] ( )[ ] 110 =−+ t P Lt P LS λ (10.113)

( )[ ] ( ) ( )[ ] 010 =++− t P LS t P Lλ (10.114)

Uvodeći matrice dobija se:

( )[ ]

( )[ ] ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+−

−+

0

1

1

0

t P L

t P L

S

S

μ λ

μ λ

(10.115)

tj.

( )[ ] ( )[ ][ ] [ ]0110 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

−+

μ μ

λ λ

S

S t P Lt P L (10.116)

Pomoću matričnih obeležavanja:

( )[ ] ( )[ ][ ]

[ ] ( )10.117 01

10

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

−+==

P

ATμ μ

λ λ

S

S t P Lt P L

formira se matrična jednačina:

TA =P (10.118)

Dejstvujući inverznom kvadratnom matricom A-1

na obe strane sledi:

TAA-1 = PA-1 tj. T = PA-1 (10.119)

pri čemu je :

( ) ( )

( ) ( )⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+

++

+++++

=

+−

−+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

+

==−

μ λ

λ

μ λ

μ μ λ

λ

μ λ

μ

μ μ

λ λ

λ μ

λ μ

S S

S

S S

S S S S

S

S

S

S

S

adj

A

AA

det1 (10.120)




152

Rešenje matrične jednačine T = PA-1 dobija se u formi Laplasovih transformacija:

( )[ ]( )μ λ ++

+=

S S

S t P L 0 (10.121)

( )[ ]( )μ λ

λ

++=

S S t P L 1 (10.122)

tj. rastavljanjem na koeficijente sledi:

( )[ ]μ λ

μ λ

λ

μ λ

μ

+++

++

=S S

t P L 0 (10.123)

( )[ ] ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

−+

=++

+−

+=

μ λ μ λ

λ

μ λ

μ λ

λ

μ λ

λ

S S S S t P L

111 (10.124)

Nalaženjem inverznih Laplasovih transformacija dobija se:

( ) ( )t et P μ λ

μ λ

λ

μ λ

+−

++

+=0 (10.125)

( ) ( ) ( )( )t t eet P μ λ μ λ

μ λ

λ

μ λ

λ

μ λ

λ +−+− −+

=+

−+

= 11 (10.126)

Funkcija raspoloživosti, očigledno, je data jednačinom:

( )t A = ( ) ( )t et P μ λ

μ λ

λ

μ λ

μ +−

++

+=0 (10.127)

i predstavljena je na slici 10.5.




153

Slika 10.5 Funkcija raspoloživosti za sistem sa jednim elementom

Razumljivo je da je za t → ∞ sve funkcije pouzdanosti teže nuli. Međutim, karakteristično je da sve funkcije raspoloživosti u istom slučaju teže određenoj konstantnoj vrednosti A -raspoloživost u stanju ravnoteže. U ovom slučaju, za sistem sa jednim elementom dobija se:

( )μ λ +

==∞→

t A At lim (10.128)

10.5.2. Pouzdanost i raspoloživost popravljivog sistema sa rednom vezomdva elementa

Kod proračunavanja pouzdanosti i raspoloživosti popravljivog sistema sa dva elementa,mora se voditi računa o konfiguraciji elemenata u sistemu, odnosno da li su u rednoj vezi,

paralelnoj vezi ili je možda jedan od elemenata aktivan, dok je drugi u rezervi.

Ovde se razmatra slučaj popravljivog sistema sa rednom vezom dva elementa kojekarakteriše isti intenzitet otkaza λ = const. i isti intenzitet popravke μ = const. (neka postoji samo

jedno mesto - radionica gde se vrši popravka otkazalog elementa). Postoje tri moguća stanja;sistem radi: stanje 0 - oba elementa ispravna; sistem ne radi: stanje 1 - jedan element neispravan, adrugi ispravan (smatra se da su elementi identični) i stanje 2 - oba elementa neispravna.

Kao što je već ranije naglašeno, kod sistema sa rednom vezom elemenata mogućnost popravke nema uticaja na funkciju pouzdanosti. Upravo zbog toga, matrica verovatnoća prelaza popravljivog sistema sa rednom vezom dva elementa ista je kao kod nepopravljivog sistema saistom konfiguracijom elemenat i data je u tabeli 10.5.




154

Tabela 10.5 Matrica verovatnoća prelaza za pouzdanost popravljivog sistema sa rednomvezom dva elementa

Krajnja stanja (t+Δt)Početna stanja (t)

0 1 2

0 1-2λΔt 2λΔt 0

1 0 1-λΔt λΔt

2 0 0 1

Na osnovu matrice mogu se napisati jednačine:

( ) ( ) ( )t tP t t P 00 21 Δ−=Δ+ λ (10.129)

( ) ( ) ( ) ( )t P t t tP t t P 101 12 Δ−+Δ=Δ+ λ λ (10.130)

( ) ( ) ( )t P t tP t t P 212 1+Δ=Δ+ λ (10.131)

odnosno za Δt→0:

( )( ) 02 0

0=+ t P

dt

t dP λ (10.132)

( )( ) ( ) 02 01

1=−+ t P t P

dt

t dP λ λ (10.133)

( )( ) 01

2=− t P

dt

t dP λ (10.134)

Uz npr. primenu Laplasovih transformacija, matričnog računa i inverznih Laplasovihtransformacija može se, na već prethodno opisan način kao kod nepopravljivog sistema sa dvaelementa, doći do konačnog rešenja za verovatnoće P0(t), P1(t) i P2(t), odnosno do izraza za

pouzdanost ovakvog sistema R(t) = P0(t) = e-2λt.

Matrica verovatnoća prelaza za raspoloživost popravljivog sistema sa dva elementa urednoj vezi data je u tabeli 10.6.




155

Tabela 10.6 Matrica verovatnoća prelaza za raspoloživost sistema sa rednom vezom dvaelementa

Krajnja stanja (t+Δt)Početna stanja (t)

0 1 20 1–2λΔt 2λΔt 0

1 μΔt 1–(λ+μ)Δt λΔt

2 0 μΔt 1– μΔt

Na već poznat način mogu se formirati jednačine:

( ) ( ) ( ) ( )t tP t tP t t P 100 21 Δ+Δ−=Δ+ λ (10.135)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )t tP t P t t tP t t P 2101 12 Δ+Δ+−+Δ=Δ+ μ λ λ (10.136)

( ) ( ) ( ) ( )t P t t tP t t P 212 1 Δ−+Δ=Δ+ λ (10.137)

tj. za Δt → 0 dobija se:

dt

t dP )(0 ( ) ( ) 02 10 =−+ t P t P λ (10.138)

dt

t dP )(1 ( ) ( ) ( ) ( ) 02 201 =−−++ t P t P t P λ λ (10.139)

dt

t dP )(2 ( ) ( ) 012 =−+ t P t P λ (10.140)

Opet, identično ranijim postupcima rešavanja ovakvih sistema diferencijalnih jednačina,uz primenu Laplasovih transformacija, početnih uslova, matričnog računa i na kraju inverznih

Laplasovih transformacija, dobijaju se konačne verovatnoće nalaženja u pojedinim stanjima P0(t),P1(t) i P2(t). Raspoloživost sistema je data izrazom A(t) = P0(t). Međutim, prevashodno je odinteresa raspoloživost sistema u stanju ravnoteže koja se dobija za t → ∞. Ova vrednost ne zavisiod početnog stanja, pa zato nije neophodno poznavati početne uslove. Upravo zbog toga, a i zbogčinjenice da funkcija raspoloživosti u stanju ravnoteže dostiže konstantnu vrednost, može se

pronaći ne rešavajući direktno prethodni sistem jednačina. Naime, za procese sa kontinualnim prelazima u vremenu važi:

( ) iit

P t P =∞→

lim odnosno( )

0lim =∞→ dt

t dP it

(10.141)




156

Uzimajući u obzir prethodne uslove i tražeći graničnu vrednost sistema diferencijalnih jednačina za t → ∞, formira se sistem algebarskih jednačina:

02 10 =+− P P λ (10.142)

( ) 02 210 =++− P P P μ λ λ (10.143)

021 =− P P λ (10.144)

Rešavanjem sistema po P0, P1, P2 uz uslov P0 + P1 + P2 = 1 (s obzirom da su samo dve odtri prethodne jednačine nezavisne), dobija se verovatnoća nalaženja sistema u stanjima 0, 1, 2 ustanju ravnoteže, kada t → ∞.

=0 P 22

2

22 λ λμ μ μ

++ (10.145)

=1 P 22 22

2

λ λμ μ

λ

++ (10.146)

=2 P 22

2

22

2

λ λμ μ

λ

++ (10.147)

Dakle, raspoloživost ovog sistema u stanju ravnoteže data je izrazom:

( ) ( ) ====∞→∞→

P t P t A At t

0limlim22

2

22 λ λμ μ

μ

++ (10.148)

10.5.3. Pouzdanost i raspoloživost popravljivog sistema sa paralelnomvezom dva elementa ili sa jednim aktivnim elementom i jednim elementom u

pripravnosti

Kao što je već ranije rečeno, kod paralelne veze elemenata u sistemu, i kod sistema saelementima u pripravnosti, popravka ima pozitivan efekat kako na raspoloživost A(t), tako i na

pouzdanost sistema R(t).

Konkretno, ovde se razmatra popravljiv sistem sa paralelnom vezom dva elementa zaslučaj konstantnog intenziteta otkaza i intentiteta popravke. Grafički prikaz modela Markova za

pouzdanost ovog sistema dat je na slici 10.6.




157

Slika 10.6 Grafič ki prikaz modela Markova za pouzdanost popravljivog sistema sa paralelnomvezom dva elementa

Očigledno postoje četiri stanja: stanje 0 – oba elementa ispravna (x1 x2); stanje 1 – elementx1 neispravan, a element x2 ispravan ( 1x x2); stanje 2 – element x1 ispravan, a element x2

neipravan (x1 2x ); stanje 3 – oba elementa neispravna ( 1x 2x ). Ukoliko su elementi identični,stanje 1 i stanje 2 mogu se objediniti u jedno stanje, intenziteti otkaza i popravke su isti tako da sedobija pojednostavljen grafički prikaz. Isti grafički prikaz može se iskoristiti za određivanje

pouzdanosti, kako popravljivog sistema sa paralelnom vezom dva elementa tako i popravljivogsistema sa jednim aktivnim elementom i jednim elementom u pripravnosti, označavajući sa λ' = λ intenzitet otkaza sistema sa jednim aktivnim elementom i jednim elementom u pripravnosti, a saλ' = 2λ intenzitet otkaza sistema sa paralelnom vezom dva elementa. Ukoliko se želi uzeti u obzir imogućnost da više od jedne osobe vrši popravku u isto vreme, smanjuje se srednje vreme

popravke 1/μ, odnosno, povećava se intenzitet popravke μ, tako da kod sistema kada k osoba vrši popravku intenzitet popravke se obeležava sa μ' = k μ, gde je μ intenzitet popravke sistema kodkoga samo jedna osoba vrši popravku. Vodeći računa o svemu prethodno rečenom dobija seuniverzalni grafički prikaz predstavljen na slici 10.7.




158

Slika 10.7 Grafič ki prikaz modela Markova za pouzdanost sistema sa paralelnom vezom dvaelementa ili sa jednim aktivnim elementom i jednim elementom u pripravnosti

λ' = 2λ za slučaj paralelne veze dva elementa

λ' = λ za slučaj jednog aktivnog elementa i jednog elementa u pripravnosti

μ' = μ kada jedna osoba vrši popravku

μ' = k μ kada k osoba vrši popravku (k>1)

Na osnovu grafičkog prikaza dobijaju se sledeće jednačine:

( ) ( ) ( ) ( )t tP t P t t t P 100 ''1 Δ+Δ−=Δ+ λ (10.149)

( ) ( ) ( )[ ] ( )t P t t tP t t P 101 '1' Δ+−+Δ=Δ+ λ λ (10.150)

( ) ( ) ( )t P t tP t t P 212 1+Δ=Δ+ λ (10.151)

tj. za Δt → 0:

dt t dP )(0 ( ) ( ) 0'' 10 =−+ t P t P μ λ (10.152)

dt

t dP )(1 ( ) ( ) ( ) 0'' 01 =−++ t P t P λ λ (10.153)

dt

t dP )(2 ( ) 01 =− t P λ (10.154)

Primenom Laplasovih transformacija i odgovarajuće diferencijalne teoreme uz početneuslove P0(0) = 1, P1(0) = P2(0) = 0 dobija se sistem:




159

( ) ( )[ ] ( )[ ] 1'' 10 =−+ t P Lt P LS λ (10.155)

( )[ ] ( ) ( )[ ] 0'' 10 =+++− t P LS t P L λ λ (10.156)

( )[ ] ( )[ ] 021 =+− t P SLt P Lλ (10.157)

Rešavanjem ovog sistema jednačina, npr. sada Kramerovim pravilima, označavajući sa ΔS determinantu sistema, a sa Δ0, Δ1, Δ2 determinante kod kojih su respektivno prva, druga, odnosnotreća kolona determinante sistema zamenjene kolonom slobodnih koeficijenata, dobija se:

S

S

S

s

'0

0''

0''

λ

μ λ λ

λ λ

−

++−

−+

=Δ ;S

S

λ

μ λ

μ

−

++

−

=Δ

0

0'0

0'1

0 ;

S

S

00

00'

01'

1 λ

λ

−

+

=Δ ;00

0''

1''

2

λ

μ λ λ

μ λ

−

++−

−+

=Δ S

S

; (10.158)

( )[ ] =t P L 0 S Δ

Δ 0 =( ) '''

'2 λλ μ λ λ

λ

++++

++

S S

S (10.159)

( )[ ] =t P L 1 S Δ

Δ1

= ( ) '''

'2 λλ μ λ λ ++++ S S (10.160)

( )[ ] =t P L 2 S Δ

Δ 2 =[ ( ) ]'''

'2

λλ μ λ λ

λλ

++++ S S S (10.161)

Ako se sa r 1,2 obeleže rešenja kvadratne jednačine u imeniocu, a zatim rešenja u formiLaplasovih transformacija rastave na koeficijente dobija se:

=2,1r ( ) ( )2

'4''''2

λλ μ λ λ μ λ λ −++±++− (10.162)

( )[ ] =t P L 0 ( )( )21

'

r S r S

S

−−++ λ

=1

21

1'

r S

r r

r

−

−

++λ

+2

12

2'

r S

r r

r

−

−

++ μ λ

(10.163)

( )[ ] =t P L1

( )( )21

'

r S r S −−

λ

= 1

21

'

r S

r r

−

−λ

+ 2

12

'

r S

r r

−

−λ

(10.164)




160

( )[ ] =t P L 2 ( )( )21

'

r S r S S −−λλ

=S

r r 21

'λλ

+( )

1

211

'

r S

r r r

−

−λλ

+( )

2

122

'

r S

r r r

−

−λλ

(10.165)

Na kraju, dobija se konačno rešenje za verovatnoće P0(t), P1(t), P2(t) primenom inverznihLaplasovih transformacija i osobine izražavanja proizvoda rešenja kvadratne jednačine prekonjenih koeficijenata, tj. Vijetovog pravila r 1r 2 = λλ'.

( ) =t P 0 21

1'

r r

r

−

++λ t r e 1 –21

2'

r r

r

−

++λ t r e 2 (10.166)

( ) =t P 1 21

'

r r −λ t r e 1 –

21

'

r r −λ t r e 2 (10.167)

( ) =t P 2 1 +21

2

r r

r

−t r

e 1 +

21

1

r r

r

−t r e 2 (10.168)

U zavisnosti od konfiguracije elemenata u sistemu dobijaju se različite vrednosti za pouzdanost. U slučaju sistema sa paralelnom vezom dva elementa ili sa jednim aktivnimelementom i jednim elementom u pripravnosti, pouzdanost je:

( ) ( ) ( ) =+= t P t P t R 10 21

1''

r r

r

−

+++ λ λ t r

e1

– 21

2''

r r

r

−

+++ λ λ t r

e2

(10.169)

Kod sistema sa rednom vezom dva elementa, pouzdanost se dobija iz jednačine R(t) =P0(t), uzimajući u obzir da je μ' = 0 (popravka kod redne veze elemenata u sistemu nema efekta nasamu pouzdanost) i Vijetova pravila za vrednosti zbira i proizvoda rešenja odgovarajućekvadratne jednačine u imeniocu tj. r 1 + r 2 = – (λ+λ'+μ') i r 1r 2 = λλ'. U tom slučaju izraz za

pouzdanost je:

( ) ( ) t et P t R λ 20

−== (10.170)

Potpuno analogno, izvodi se grafički prikaz modela Markova za raspoloživost sistema dva paralelno vezana elementa ili jednog aktivnog elementa i jednog elementa u pripravnosti. Taj prikaz dat je na slici 10.8. Praktično, jedina razlika je u mogućnosti održavanja, odnosno popravkeu bilo kom stanju sistema.




161

Slika 10.8 Grafič ki prikaz modela Markova za raspoloživost sistema sa paralelnom vezom dvaelementa ili sa jednim aktivnim elementom i elementom u pripravnosti

λ' = 2λ za slučaj paralelne veze dva elementa

λ' = λ za slučaj jednog aktivnog elementa i jednog elementa u pripravnosti

μ' = μ'' = μ kada jedna osoba vrši popravku

μ' = μ'' = k μ kada k osoba vrši popravku (k>1)

Na isti način kao ranije, iz grafičkog prikaza slede sledeće jednačine:

( ) ( ) ( ) ( )t tP t P t t t P 100 ''1 Δ+Δ−=Δ+ λ (10.171)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )t tP t P t t tP t t P 2101 '''1' Δ+Δ+−+Δ=Δ+ λ λ (10.172)

( ) ( ) ( ) ( )t P t t tP t t P 212 ''1 Δ−+Δ=Δ+ λ (10.173)

odnosno, za graničnu vrednost Δt → 0:

dt

t dP )(0 ( ) ( ) 0'' 10 =−+ t P t P λ (10.174)

dt

t dP )(1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0'''' 201 =−−++ t P t P t P λ λ (10.175)

dt

t dP )(2 ( ) ( ) 0'' 12 =−+ t P t P λ (10.176)

Primenom početnih uslova P0(0) = 1, P1(0) = P2(0) = 0, Laplasovih transformacija idiferencijalne teoreme dobija se:

( ) ( )[ ] ( )[ ] 1'' 10 =−+ t P Lt P LS λ (10.177)




162

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] 0'''' 210 =−+++− t P Lt P LS t P L λ λ (10.178)

( )[ ] ( ) ( )[ ] 0''' 21 =++− t P LS t P Lλ (10.179)

Korišćenjem Kramerovih pravila, obeležavajući sa ΔS determinantu sistema, a saΔ0, Δ1, Δ2 determinante kod kojih su redom prva, druga i treća kolona determinantesistema zamenjene kolonom slobodnih koeficijenata dobijaju se odgovarajuća rešenja uformi Laplasovih transformacija.

=ΔS

''0

''''

0''

μ λ

μ μ λ λ

μ λ

+−

++−

−+

S

S

S

; =Δ0

''0

'''0

0'1

μ λ

μ μ λ

μ

+−

−++

−

S

S ;

=Δ1

''00

''0'01'

μ

μ λ λ

+

−−+

S

S ; =Δ2

00

0''1''

λ

μ λ λ μ λ

−

++−−+

S S

(10.180a)

( )[ ] =t P L 0

S Δ

Δ 0 =( )

[ ( ) ]'''''''''''

''''''2

2

μ μ μ λ λλ μ μ λ λ

μ μ μ μ λ

+++++++

++++

S S S

S S (10.180)

( )[ ] =t P L 1

S Δ

Δ1 = ( )

[ ( ) ]'''''''''''

'''

2 μ μ μ λ λλ μ μ λ λ

λ

+++++++

+

S S S

S (10.181)

( )[ ] =t P L 2

S Δ

Δ 2 =[ ( ) ]'''''''''''

'2 μ μ μ λ λλ μ μ λ λ

λλ

+++++++ S S S (10.182)

Ukoliko se, kao i pre, sa r 3,4 označe rešenja kvadratne jednačine u imeniocu, a potom serešenja u formi Laplasovih transformacija rastave na odgovarajuće koeficijente, dobija se:

=4,3r

( ) ( ) ( )

2

''''''4'''''''' 2μ μ λμ λλ μ μ λ λ μ μ λ λ ++−+++±+++−

(10.183)

( )[ ] =t P L 0( )

( )( )43

2 ''''''

r S r S S

S S

−−

++++ μ μ μ μ λ =

=S

r r 43

''' μ μ

+

( )( )

3

433

32

3 ''''''

r S

r r r

r r

−

−

++++ μ μ μ μ λ

+

( )( )

4

344

42

4 ''''''

r S

r r r

r r

−

−

++++ μ μ μ μ λ

(10.184)




163

( )[ ] =t P L 1( )

( )( )43

'''

r S r S S

S

−−+λ

=S

r r 43

'''λ

+

( )( )

3

433

3 '''

r S

r r r

r

−

−

+λ

+

( )( )

4

344

4 '''

r S

r r r

r

−

−

+λ

(10.185)

( )[ ]( )( )

( ) ( )

4

344

3

43343

43

2

'''

'

r S

r r r

r S

r r r

S

r r

r S r S S t P L

−

−+

−

−+=

−−=

λλ λλ λλ

λλ (10.186)

Laplasova transformacija funkcije raspoloživosti za sistem sa dva elementa u paralelnojvezi ili sa jednim aktivnim elementom i jednim elementom u pripravnosti data je izrazom:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]t P Lt P Lt A L 10 += (10.187)

Imajući u vidu identitete:

( )''''43 λ λ +++−=+ r r (10.188)

i:

'''''''43 λ λλ ++=r r (10.189)

daljim sređivanjem dobija se da je:

( )[ ] ( ) ( )

4

344

3

43343

'''1

r S

r r r

r S

r r r

S

r r t A L

−

−−

−

−−

−

=

λλ λλ λλ

(10.190)

Primenom Laplasovih transformacija dobija se inverzna transformacija prethodne jednačine:

( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −

−−⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −=

434343

43''1r

er

er r r r

t A t r t r λλ λλ (10.191)

Ako su μ' i μ'' puno veći od λ i λ' (što je u praksi najčešće slučaj), onda će rešenjakvadratne jednačine r 3,4 približno biti:

( ) ( )2

'''4'''''' 2

4,3

μ λ μ μ μ μ −+±+−≈r (10.192)

Prvi član u jednačini 10.191 predstavlja raspoloživost u stanju ravnoteže A:




164

'''''''

'1

'1

43 μ μ μ λ λλ

λλ λλ

++−=−=

r r A (10.193)

Pošto λ i λ' imaju približno istu vrednost i mnogo su manji od μ' i μ'', prethodna jednačina

može se svesti na oblik:

'''

'1

μ μ

λλ −≈ A (10.194)

10.5.4. Proračun pouzdanosti i raspoloživosti sistema kada intenziteti otkazai popravke nisu konstantni

Pretpostavka o konstantnom intenzitetu otkaza je ispravna za veliki broj praktičnihsituacija, ali ni u kom slučaju za sve. U slučaju popravke je pretpostavka o konstantnomintenzitetu pod opravdanom sumnjom. To bi podrazumevalo da je verovatnoća izvršenja popravkeu intervalu vremena (t, t + Δt) ista kao i u intervalu (10t, 10t + Δt) tj. da je u oba slučaja μΔt. Naosnovu toga se izvodi zaključak da čovek koji vrši popravku ništa ne saznaje o uzroku otkaza utoku svoga rada. Pošto to često nije slučaj, pretpostavka o konstantnom intenzitetu popravke nijeuvek opravdana, već treba utvrditi odgovarajuću raspodelu koja uzima u obzir rastući intenzitet

popravke.

Za situaciju kada intenzitet otkaza i intenzitet popravke nisu konstantni model Markova se

mora modifikovati uvođenjem tzv. prividnih stanja. Na slici 10.9 prikazan je model Markova zaraspoloživost sistema sa jednim elementom u slučaju konstantnog intenziteta otkaza i rastućegintenziteta popravke.

Slika 10.9 Grafič ki prikaz modela Markova za raspoloživost popravljivog sistema sa jednimelementom u sluč aju konstantnog intenziteta otkaza i rastućeg intenziteta popravke

Vreme prelaska iz stanja 1 u stanje 0 je t10 i ono je jednako zbiru vremena t12 i t20. Prematome, t10 je zbir dve slučajne promenljive veličine koje pripadaju eksponencijalnoj raspodeli. Akose pretpostavi da je μ1 = μ2 = μ0, vreme t10 = t0 će pripadati gama raspodeli čija funkcija gustineverovatnoće ima oblik:




165

( ) t tet f 0200

μ μ −= (10.195)

Može se dobiti da odgovarajuća funkcija intenziteta popravke ima sledeći oblik:

( )t

t t

0

20

1 μ

μ μ

+= (10.196)

Izgled ove funkcije dat je na slici 10.10:

Slika 10.10 Funkcija intenziteta popravke data jednač inom 10.196

Na osnovu grafičkog prikaza, uzimajući u obzir μ1 = μ2 = μ0, dobijaju se sledeće jednačine:

( ) ( ) ( ) ( )t tP t P t t t P 2000 1 Δ+Δ−=Δ+ μ λ (10.197)

( ) ( ) ( ) ( )t P t t tP t t P 1001 1 Δ−+Δ=Δ+ λ (10.198)

( ) ( ) ( ) ( )t tP t P t t t P 10202 1 Δ+Δ−=Δ+ (10.199)

tj. za Δt → 0:

dt

t dP )(0 ( ) ( ) 0200 =−+ t P t P μ λ (10.200)

dt

t dP )(1

( ) ( ) 0010 =−+ t P t P λ (10.201)




166

dt

t dP )(2 ( ) ( ) 01020 =−+ t P t P (10.202)

Primenom Laplasovih transformacija, uz diferencijalnu teoremu i početne uslove P0(0) =

1, P1(0) = P2(0) = 0 dobija se:

( ) ( )[ ] ( )[ ] 1200 =−+ t P Lt P LS μ λ (10.203)

( )[ ] ( ) ( )[ ] 0100 =++− t P LS t P Lλ (10.204)

( )[ ] ( ) ( )[ ] 02010 =++− t P LS t P L (10.205)

Pomoću Kramerovih pravila za rešavanje sistema jednačina, označavajući sa ΔS

determinantu sistema, a sa Δ0, Δ1, Δ2 determinante kod kojih su respektivno prva, druga i trećakolona determinante sistema zamenjene kolonom slobodnih koeficijenata, dolazi se do rešenja za

potrebne verovatnoće u formi Laplasovih transformacija:

=Δ s

00

0

0

0

0

0

μ μ

μ λ

μ λ

+−

+−

−+

S

S

S

; =Δ 0

00

0

0

0

00

01

μ μ

μ

μ

+−

+

−

S

S ;

=Δ1

0

0

0000

1

μ λ

μ λ

+−

−+

S

S

; =Δ 2

000

10

0

0

μ μ λ

λ

−+−

+

S

S

(10.206)

( )[ ] =t P L 0

S Δ

Δ 0 =( )

[ ( ) ( )]λ μ μ λ μ

μ

02

002

20

22 ++++

+

S S S

S (10.207)

( )[ ] =t P L 1

S Δ

Δ1 = ( )

[ ( ) ( )]λ μ μ λ μ

μ λ

02

002

0

22 ++++

+

S S S

S (10.208)

( )[ ] =t P L 2 S Δ

Δ 2 =[ ( ) ( )]λ μ μ λ μ

λ

02

002

0

22 ++++ S S S (10.209)

Očigledno da raspoloživost sistema sa jednim elementom iznosi A(t) = P0(t), pa su samimtim jednake i odgovarajuće Laplasove transformacije L[A(t)] = L[P0(t)].

( )[ ] ( )[ ] == t P Lt A L 0 ( )

[ ( ) ( )]λ μ μ λ μ

μ

02

002

20

22 ++++

+

S S S

S (10.210)




167

U jednom od prethodnih poglavlja određena je raspoloživost sistema sa jednim elementomza slučaj konstantnog intenziteta otkaza (λ = const.) i intenziteta opravke (μ = const.) i ona iznosi:

A(t) = P0(t) = ( ) ( ) == t P t A 0 μ λ +

+ ( )t e μ λ

μ λ

λ +−

+ (10.211)

Odgovarajuća raspoloživost u stanju ravnoteže (za t → ∞) u tom slučaju je:

( ) ==∞→

t A At lim

μ λ + (10.212)

Može se sada izvršiti poređenje raspoloživosti sistema sa jednim elementom u slučajukonstantnog intenziteta otkaza (λ = const.) i intenziteta popravke (μ = const.) i sistema sa jednim

elementom za slučaj konstantnog intenziteta otkaza (λ = const.) i rastućeg intenziteta popravke(μ(t)). Da bi poređenje uopšte bilo moguće, moraju se izjednačiti srednje vrednosti odgovarajućihraspodela i to srednju vrednost eksponencijalne raspodele 1/μ i srednju vrednost gama raspodele

f(t0) = t-20

0te μμ koja iznosi 2/μ0. Uz jednakost μ0 = 2μ, dobija se sledeća forma za Laplasovu

transformaciju raspoloživosti sistema sa jednim elementom za slučaj konstantnog intenzitetaotkaza i rastućeg intenziteta popravke:

( )[ ] ( )[ ] == t P Lt A L 0 ( )

[ ( ) ( )]μλ+μ+λ+μ+

μ+

444

222

2

S S S

S (10.213)

Međutim, ne moraju se primenjivati inverzne Laplasove transformacije za dobijanje A(t),već se može direktno, što je jednostavnije, korišćenjem teoreme krajnjih vrednosti iz teorijeLaplasovih transformacija, doći do raspoloživosti u stanju ravnoteže. Naime, granična vrednost uvremenskom domenu,

∞→t lim A(t) , odgovara graničnoj vrednosti ( )[ ]t ASL

0Slim

→ u domenu Laplasovih

transformacija. Dakle, raspoloživost u stanju ravnoteže sistema sa jednim elementom za slučajkonstantnog intenziteta otkaza i rastućeg intenziteta popravke je:

A =∞→t

lim ( )t A = ( )[ ]t ASL0S

lim→

=0S

lim→

( )[ ( ) ( )]μλ+μ+λ+μ+

μ+

444

222

2

S S S

S =

μ λ +

(10.214)

Očigledno, poredeći odgovarajuće raspoloživosti u stanju ravnoteže, zaključuje se da se nerazlikuju, odnosno da vremenska zavisnost intenziteta popravke nema na ovu veličinu nikakavuticaj.




168

10.6. Teorija obnavljanja

Kao što je već rečeno, kod popravljivih sistema uvodi se funkcija raspoloživosti koja, u

stvari, predstavlja verovatnoću da će sistem raditi u trenutku vremena t, pod uslovom da je biooperativan u vremenu t = 0, Međutim, funkcija raspoloživosti ne sadrži podatke o broju ciklusaotkaz – popravka do određenog vremenskog trenutka t, što je vrlo bitno sa stanovišta planiranjasnabdevanja rezervnim delovima i rasporeda rada ljudi koji vrše održavanje, odnosno popravku.Pored ovoga, kod ovakvih sistema značajni su i razni drugi podaci koji omogućavajuizračunavanje različitih verovatnoća bitnih u pogledu funkcionisanja samog sistema. Na primer,za izračunavanje verovatnoće dugih perioda vremena u kojima sistem nije operativan, potrebni su

podaci o veličini operativnog vremena i vremena zastoja.

Rešavanje svih ovakvih problema omogućava teorija obnavljanja, koja proučavastohastičke procese gde se događaji odvijaju po određenoj statističkoj raspodeli i to tako da uvekkada se odigra događaj, proces ponovo započinje, čime se odigralo obnavljanje.

Posmatra se, u dugom vremenskom periodu, sistem od jednog elementa. Ukoliko dođe dootkaza elementa, pretpostavljeno je da se taj element praktično trenutno zamenjuje ispravnim,odnosno da je raspoloživost sistema približno jedan. Neka se prvi otkaz dogodi u trenutkuvremena t1, kada se element zamenjuje drugim i ispravnim koji, recimo, otkazuje u trenutkuvremena t2’ što znači da je radio t2 = t2’ – t1 časova do otkaza, kada se zamenjuje trećim ispravnimelementom itd. Saglasno tome, operativno vreme sistema τn, tj. vreme do pojave n-tog otkaza dokada postoji n-1 zamena, odnosno obnavljanje je:

τn = t1 + t2 + … + tn (10.215)

Neka su t1, t2,…,tn slučajne veličine. Funkcija gustine verovatnoće sume slučajnih veličina,odnosno funkcija gustine operativnog vremena za n obnavljanja, jednaka je višestrukom integralukonvolucije pojedinačnih funkcija gustine f(t1), f(t2),…,f(tn). Iz teorije Laplasovih transformacija,na osnovu teoreme konvolucija, konvolucija u vremenskom domenu jednaka je proizvodu udomenu Laplasovih transformacija.

L[f(τn)] = L[f(t1)]L[f(t2)]…L[f(tn)] (10.216)

U slučaju da su svi elementi isti dobija se:

L[f(τn)] = {L[f(t)]}n (10.217)

Za konstantan intenzitet otkaza (λ = const.), funkcija gustine vremena otkaza ima formu

eksponencijalne raspodele f(t) = λe-λt čija je Laplasova transformacija L[f(t)] =λ+

λ

S , tako da

data jednačina sada ima sledeći oblik:

L[f(τn)] =n

S ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ λ+

λ (10.218)




169

Na osnovu prethodne jednačine i inverznih Laplasovih transformacija dobijaju se funkcijegustine operativnih vremena za jedno, dva, odnosno u opštem slučaju n obnavljanja:

f(τ1) = λe-λt

f(τ2) = λ2te-λt: (10.219)

f(τn) =( )

( )!1

1

−λλ λ−−

n

et t n

Ova funkcija gustine zove se specijalna Erlangova raspodela n-tog reda. Znači, Poasonov proces je proces kod koga proces obnavljanja bez otkaza odgovara eksponencijalnoj raspodeli, aoperativno vreme Erlangovoj raspodeli.

Koristeći prethodne jednačine, može se izračunati, npr. verovatnoća da se n-to obnavljanjeodigralo pre određenog vremena t, što je vrlo bitno sa stanovišta planiranja snabdevanja rezervnimdelovima. Recimo, očekivana vrednost za τ1 predstavlja srednje vreme odigravanja prvogobnavljanja i iznosi:

E(τ1) = ( )∫∞

τ0

1 dt tf = ∫∞

λ−λ0

dt te t =λ1

(10.220)

Verovatnoća da se prvo obnavljanje odigralo pre vremena t = 1/λ iznosi:

P(λ

≤τ1

1 ) = ∫λ

λ−λ/1

0

dt te t = 1 – 1−e = 0.632 (10.221)

Na sličan način, srednje vreme odigravanja drugog obnavljanja je očekivana vrednost zaτ2:

E(τ2) = ( )∫∞

τ0

2 dt tf = ∫∞

λ−λ0

22 dt et t =λ2

(10.222)

Verovatnoća odigravanja dva obnavljanja do vremenskog trenutka t = 2/λ je:

P(λ

≤τ2

2 ) = ∫λ

λ−λ/2

0

22 dt et t = 1 – 23 −e = 0.594 (10.223)

Od interesa može biti podatak o verovatnoći da se tačno određeni broj obnavljanja odigrau intervalu od 0 do t. Označimo sa N(t) broj obnavljanja u t sati rada. Očigledno je da važi:




170

P[N(t) < n] = P(τ n > t) = 1 – P(τ n ≤ t) = 1 – F(τ n) = 1 – ( )∫ τt

n dt f 0

(10.224)

S obzirom da je n diskretna slučajna promenljiva veličina, sledi:

P[N(t)=n] = P[N(t) < n+1] – P[N(t) < n] = F(τ n) – F(τ n+1) = ( )∫ τt

n dt f 0

–

( )∫ +τt

n dt f 0

1

(10.225)

Za Poasonov proces nakon zamene odgovarajućih funkcija gustine dobija se:

P[N(t)=n] = F(τ n) – F(τ n+1) =( )

( )∫ −λλ λ−−t t n

dt n

et

0

1

!1 –

( )∫

λ−λλt t n

dt n

et

0 ! (10.226)

Zamenom datog rešenja integrala u prethodnu jednačinu dobija se Poasonova raspodelašto je i očekivano za broj obnavljanja.

F(τ n) =( )

( )∫

−

λλ λ−−t t n

dt

n

et

0

1

!1

= 1 –( )

∑−

=

λ− λ1

0 !

n

m

mt

m

t e (10.227)

P[N(t) = n] =( )

∑=

λ− λn

m

mt

m

t e

0 ! –

( )∑

−

=

λ− λ1

0 !

n

m

mt

m

t e =

( )!n

et t n λ−λ (10.228)

Srednji broj obnavljanja predstavlja očekivanu vrednost broja obnavljanja i data jeformulom:

E[N(t)] = ( )[ ]

∑

∞

=

=0n

nt N nP = ( ) ( )[ ] ( )

∑∑

∞

=

∞

= +

τ=τ−τ00 1 n nn nn

F F F n (10.229)

S obzirom da se smatra da su svi elementi identični i samim tim sve funkcije gustine jednake, pokazano je ranije da važi:

L[f(τn)] = {L[f(t)]}n (10.230)

Pomoću ovog izraza i na osnovu integralne teoreme iz teorije Laplasove transformacije,

koja integral ( )

∫

t

dt t f 0

u vremenskom domenu prevodi u oblik ( )[ ]t f L

S

1 u domenu Laplasove

transformacije, dobija se:




171

L[F(τ n)] = L[ ( )∫∞

τ0

dt f n ] =S

1L[f(τn)] =

S

1{L[f(t)]}n (10.231)

Primenom Laplasove transformacije na jednačinu, E[N(t)] = ( )∑∞

=τ

1nn F , iz koje se dobija

srednji broj obnavljanja, sledi:

L{E[N(t)]} = ( )[ ] ( )[ ]{ } ( )[ ] ( )[ ]{ }...11 2

11

++==τ ∑∑ ∞

=

∞

=

t f Lt f LS

t F LS

F Ln

n

nn (10.232)

Beskonačna geometrijska progresija iz prethodnog izraza izračunava se po formuli:

L[f(t)] + L[f(t)]2 + … = ( )[ ]( )[ ]t f L t f L−1 , tako da se dolazi do oblika:

L{E[N(t)]} =( )[ ]

( )[ ]{ }t f LS

t f L

−1 (10.233)

Za Poasonov proces, kada je intenzitet otkaza konstantan (λ = const.), funkcija gustine

vremena otkaza je f(t) = λe-λt, a Laplasova transformacija L[f(t)] =λ+

λ

S . U tom slučaju je:

L{E[N(t)]} =2S

λ (10.234)

odakle se inverznom Laplasovom transformacijom dobija srednji broj obnavljanja koji jelinearna funkcija vremena:

E[N(t)] = λt (10.235)

Intenzitet otkaza, odnosno prosečan intenzitet obnavljanja je:

λ pr =( )[ ]

dt

t N dE = λ = const. (10.236)

Pored ovoga, postoji mogućnost razmatranja popravke kao procesa kod koga postojinaizmenično ponavljanje otkaza i popravke tj. po redosledu prvi otkaz, prva popravka, drugiotkaz, druga popravka itd., odnosno gde postoji naizmenični proces obnavljanja.

Ukoliko sa t1, t2, … , tn označimo operativna vremena, a sa T1, T2, … , Tn vremena popravke, kao i u prethodnom izlaganju sledi:

τ = t1+T1+t2+T2+ … +tn+Tn = (t1+t2+…+tn) + (T1+T2+ … +Tn) (10.237)




172

Uvodeći dve nove slučajne promenljive: operativno vreme sistema O = t1+t2+ … +tn ivreme zastoja sistema

Z = T1+T2+ … +Tn dobija se da je:

τn = On + Zn (10.238)

Analogno kao i ranije, funkcija gustine verovatnoće sume slučajnih veličina jednaka jevišestrukom integralu konvolucije pojedinačnih funkcija gustine i to funkcija gustine otkaza f(t1),f(t2), … , f(tn) i funkcija gustine popravki f(T1), f(T2), … , f(Tn). S obzirom da je, na osnovuteoreme konvolucija iz teorije Laplasovih transformacija, konvolucija u vremenskom domenu

jednaka proizvodu u domenu Laplasovih transformacija, dobijaju se sledeći izrazi:

L[f(τn)] = L[f(t1)]L[f(T1)]L[f(t2)]L[f(T2)]…L[f(tn)]L[f(Tn)] (10.239)

L[f(On)] = L[f(t1)]L[f(t2)]…L[f(tn)] (10.240)

L[f(Zn)] = L[f(T1)]L[f(T2)]…L[f(Tn)] (10.241)

Nalaženjem inverznih Laplasovih transformacija može se dobiti vreme do n-togobnavljanja sistema (podrazumevajući n-ti ciklus popravke), raspodela operativnog sistema iliraspodela vremena zastoja sistema.

Za eksponencijalnu raspodelu funkcije gustine otkaza (λe-λt) i funkcije gustine popravke

(μe

-μt

) odgovarajuće Laplasove transformacije imaju sledeći oblik:

( )[ ]λ+

λ=

S t f L 1 ; ( )[ ]

μ+μ

=τS

f L 1 , (10.242)

odnosno važi:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )( )μ+λ+

λμ==

S S T f Lt f Lt f L 11 (10.243)

Za ovaj slučaj očekivani broj popravki se može dobiti koristeći jednačinu iz ranijegizlaganja:

L{E[N(t)]}= ( )[ ]

( )[ ]{ }( )( )

( )( )( ) 22

11 S S S

S S S

S S

t f LS

t f L μ λ

λμ

μ λ

λμ

μ λ

λμ

μ λ

λμ

+=

++=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++−

++=

− –

- ( ) ( )

μ λ

μ λ

λμ

μ λ

λμ

+++

=+

S S

22

(10.244)




173

Primenom inverznih Laplasovih transformacija ( t eS

t S S

λ−→λ+

→→1

;1

;11

2) dobija se

konačni izraz za očekivani broj popravki:

( )[ ]( )

( )[ ]t et t N E μ+λ−−μ+λ

λμ−μ+λ

λμ= 12

(10.245)

Očekivani broj otkaza E[N(t)] je:

L{E[N(t)]}= ( )[ ]{ }

( )[ ]( ) ( )

( ) 22

2

1 S S S

S

S

S S

T f L

t N E L μ+λλμ

=μ+λ+

μ+λ=

μ+μ

μ+λ+

λμ

= +

+ ( ) ( )

μ+λ+μ+λ

λ

−μ+λ

λ

S S

2

2

2

2

(10.246)

odnosno traženjem inverznih Laplasovih transformacija:

( )[ ]

( )

( )[ ]t et t N E μ+λ−−

μ+λ

λ−

μ+λ

λμ= 1

2

2

(10.247)

Na osnovu sledećih jednačina može se uspostaviti veza između raspoloživosti sistema,operativnog vremena i vremena zastoja, odnosno raspoloživosti sistema u stanju ravnoteže dobijase iz izraza:

( ) ( )

( ) ( )t Z t O

t O A

t +=∞

∞→lim (10.248)

ili

( )( )[ ]

( ) ( )[ ]t Z t O E

t O E A

t

t

+=∞

∞→

∞→

lim

lim=

( )[ ]

( ) ( )[ ]{ } zo

o

t

t

nmnm

nm

t Z t O E

t O E

+=

+∞→

∞→

lim

lim, (10.249)

pri čemu je:

mo – srednje operativno vreme

mz – srednje vreme zastoja




174

Za slučaj kada operativno vreme i vreme zastoja imaju eksponencijalnu raspodelu,odnosno respektivno imaju sledeće oblike λe-λt i μe-μt, srednje operativno vreme iznosi 1/λ, srednjevreme zastoja je 1/μ, dok prethodna jednačina u tom slučaju postaje:

( )μ+λ

μ=

μ+

λ

λ=+

=∞nn

n

nmnm

nm A

zo

o (10.250)

što i jeste vrednost u jednom od prethodnih poglavlja dobijene raspoloživosti u stanju ravnotežesistema sa jednim elementom.



Alokacija pouzdanosti

175

11. ALOKACIJA POUZDANOSTI

11.1. Pojam alokacije pouzdanosti

Pouzdanost nekog dela sistema zavisi od funkcije koju taj deo treba da obavi, složenostidela, načina na koji se izražava namenjena funkcija i značaja tog dela u okviru sistema. Proces ukom se raspoređuju (alociraju) zahtevi pouzdanosti pojedinim delovima sistema, naziva sealokacija pouzdanosti. Alokacija pouzdanosti je, prema tome, proces definisanja ciljeva ilizahteva pouzdanosti za pojedine delove sistema na takav način da se obezbedi zadovoljenje

postavljenog zahteva za pouzdanost sistema. Idealno alociranje pouzdanosti je ono kod kojeg se postiže najekonomičnije korišćenje različitih mogućnosti, uključujući vreme i troškove.

Veoma bitna karakteristika, koja ima veliki uticaj na mogućnost postizanja zahtevane pouzdanosti, je složenost sistema. Dakle, što je sistem složeniji to se on sastoji iz većeg broja podsistema, pa je teže i skuplje postići zahtevanu pouzdanost.

Problem alokacije pouzdanosti kod nekog sistema svodi se na rešavanje sledećenejednačine:

∗∗∗∗ ≥ R R R R f n ),...,,( 21 (11.1)

gde je:

R* - zahtevana pouzdanost sistema

Ri* - alocirana pouzdanost i-tog dela sistema.

Prethodna jednačina može se uopštiti, pa se u tom slučaju R* i Ri* posmatraju kao funkcije

vremena.

Pošto se većina modela alokacije pouzdanosti zasniva na pretpostavci da su otkazi delovasistema nezavisni i da otkaz jednog dela sistema znači otkaz čitavog sistema tada jednačina (11.1)

prelazi u specijalni slučaj:

)()(...)()( 21 t Rt Rt Rt R n∗∗∗∗

≥⋅⋅⋅ (11.2)

Prethodna jednačina ima beskonačno mnogo rešenja, ako se ne postave nikakvaograničenja po pitanju alokacije pouzdanosti.

Sistem, u kom je dobro izvršena alokacija pouzdanosti, pokazuje sledeće prednosti:

• kvantitativne vrednosti u pogledu zahtevane pouzdanosti primoravaju proizvođačada razmatra pouzdanost ravnopravno sa ostalim parametrima sistema, kao što su

performanse, masa, troškovi itd.

• kao posledica planiranja u pravcu postizanja zahtevane pouzdanosti, ostvariće se

mnoga poboljšanja u konstrukciji, proizvodnji i metodama ispitivanja;




176

• alokacija pouzdanosti usmerava pažnju na odnose između pouzdanosti delova,sklopova, podsistema i sistema, što doprinosi boljem razumevanju osnovnih

problema pouzdanosti svojstvenih konstrukciji;

• alokacija pouzdanosti će u većini slučajeva rezultovati u optimalnoj pouzdanosti

sistema, jer uzima u obzir faktore kao što su značajnost troškova, održavanje, masai prostor.

Alokacija pouzdanosti predstavlja kontinualan proces. Zahteve za pouzdanost sistema, kojisu bili postavljeni prilikom njegove konstrukcije, potrebno je stalno kritički razmatrati i vršitieventualne izmene na osnovu značenja stečenih u fazi razvoja i eksploatacije.

11.2. Metode alokacije pouzdanosti

11.2.1. Metoda jednake alokacije

Suština ove metode je u tome da se svakom delu sistema alociraju određeni, jednakizahtevi za pouzdanost, da bi se na taj način ispunio zahtev pouzdanosti za celokupni sistem. Uovom slučaju se pretpostavlja da se sistem sastoji od n redno vezanih podsistema. Prema tome,ova metoda se može modelovati sledećom jednačinom:

∏=

∗ =n

ii R R

1

* (11.3)

gde je:

R* - alocirana pouzdanost sistema

Ri* - alocirana pouzdanost i-tog dela sistema.

Dakle, da bi se ostvarila zahtevana pouzdanost sistema R*, kako su u ovom slučaju sve Ri*,

i = 1, 2, 3, ..., n međusobno jednake, potrebno je svakom podsistemu alocirati pouzdanost kojaiznosi:

( )ni R R

1** = , za i = 1, 2, 3, ..., n (11.4)

Upravo ovo je i glavni nedostatak ove metode, jer se ne vodi računa o složenosti pojedinih podsistema, pa otud i teškoće sa kojima se možemo susretati prilikom realizacije zahtevane pouzdanosti na nekom konkretnom sistemu.




177

11.2.2. AGREE metoda alokacije

Naziv ove metode potiče od skraćenice za Savetodavnu grupu za pouzdanost elektronskeopreme (AGREE – Advisory Group on Reliability of Electronic Equipment), koja je i razvila ovu

metodu 1957. godine. Treba pomenuti da ova metoda uzima u obzir i složenost i značaj svakog pojedinog dela jednog elektronskog sistema.

Kao pretpostavka u ovoj metodi uzima se činjenica da se otkazi svakog od n redno vezanihdelova sistema raspoređuju prema eksponencijalnom zakonu (tj. intenzitet otkaza je konstantan).

Da bi se na osnovu ove metode izvršila alokacija pouzdanosti, mora se najpre utvrditiminimalno prihvatljivo srednje vreme između otkaza ( θ i ) i-tog dela sistema.

Složenost sistema se definiše preko modula, gde se pod modulom podrazumevaelektronska cev, tranzistor, dok se dioda uzima kao polumodul.

Takođe, definiše se i faktor značajnosti određenog dela sistema kao verovatnoća otkaza

sistema u slučaju otkaza tog dela sistema. Ako je faktor značajnosti nekog dela sistema jednak 1,onda to znači da taj deo sistema mora biti funkcionalan, da bi sistem mogao da obavlja svojzadatak. Analogno prethodnom, ako neki deo sistema ima faktor značajnosti jednak 0, to ondaznači da sistem obavlja svoj zadatak bez obzira na stanje u kom se nalazi taj deo sistema.

Minimalno prihvatljiva vrednost srednjeg vremena otkaza i-tog dela sistema data jesledećim obrascem:

[ ]*)(ln t i

iii

R N

t w N

−⋅

⋅⋅=θ , za i = 1, 2, 3, ..., n (11.5)

gde je:

t – vreme rada sistema

t i – vreme rada i-tog dela sistema

N i – broj elemenata u i-tom delu sistema

N - ukupan broj modula u sistemu

R*(t) – zahtevana pouzdanost sistema u vremenu t

θ i – alocirana vrednost srednjeg vremena otkaza i-tog dela sistema

wi – faktor značajnosti i-tog dela sistema.

Vrednost pouzdanosti, na ovaj način alocirane i-tom delu sistema, za vreme t i iznosi:

i

it

i e R θ −

=* (11.6)

Treba napomenuti još, da ova metoda postiže najbolje rezultate u slučaju kada je faktorznačajnosti wi , svakog dela sistema blizak 1. U suprotnom, ako je wi veoma malo, alokacija

pouzdanosti izvršena ovom metodom je neadekvatna.




178

Da bi se ilustrovala ova metoda, posmatramo najopštiju šemu telekomunikacionog sistemakoji je dat na slici 11.1.

PREDAJNIK KANAL PRIJEMNIK

Slika 11.1 Blok šema telekomunikacionog sistema

U procesu alokacije pouzdanosti, koja se izvodi na prethodno prikazanom sistemu,zahtevana vrednost za pouzdanost, sa kojom on treba da izvršava zadatke u trajanju od 20 godinaiznosi 0.90. Predajnik se sastoji od četiri podsistema, koji su predstavljeni blok šemom na slici11.2. U predajniku se signal, koji se prenosi, najpre podvrgava statističkom, a zatim i zaštitnomkodovanju. Nakon odgovarajuće predajne obrade, signal se potom u linijskom koderu prilagođava

liniji veze na koju izlazi. Takođe, u tabeli 11.1. dati su pretpostavljeni neophodni podaci, da bi semogla sprovesti zahtevana alokacija pouzdanosti AGREE metodom.

STATISTICKIKODER

ZASTITNIKODER

PREDAJNAOBRADA

LINIJSKIKODER

Slika 11.2 Blok šema predajnika

Tabela 11.1 Podaci za podsisteme sa slike 11.2.

NAZIVPODSISTEMA ( i )

BROJMODULA ( N i )

FAKTORZNAČAJNOSTI ( wi )

VREMERADA ( t i )

1. Statist. koder 28 1 202. Zašt. koder 40 1 20

3. Pred. obrada 65 1 204. Linijski koder 32 1 20

Prema podacima iz tabele 11.1. izlazi da je ukupan broj modula u sistemu dat sledećomsumom:

165326540284

1

=+++== ∑=i

i N N

Potrebno je, potom, da se izračuna minimalno srednje vreme između otkaza za podsisteme1, 2, 3 i 4 prema jednačini (11.5):

[ ] godina61,1118

9.0ln28

2011651 =

−⋅⋅⋅

=θ




179

[ ] godina03,783

9.0ln40

2011652 =

−⋅⋅⋅

=θ

[ ] godina86,4819.0ln65

2011653 =−⋅

⋅⋅

=θ

[ ] godina78,978

9.0ln32

2011654 =

−⋅⋅⋅

=θ

Vrednosti pouzdanosti koje treba alocirati podsistemima 1, 2, 3 i 4 dobijaju se iz jednačine(11.6):

9823,0)20(

61,111820

*

1 ==

−

e R

9748,0)20( 03,78320

*2 ==

−e R

9593,0)20( 86,48120

*3 ==

−e R

9798,0)20( 78,97820

*4 ==

−e R

Ako se proveri vrednost pouzdanosti sistema dobiće se:

90002,09798,09593,09748.09823,0)20(* =⋅⋅⋅= R

što je upravo vrednost pouzdanosti koju je trebalo ostvariti.

11.2.3. ARINC metoda alokacije

Naziv ove metode potiče od skraćenice za Aeronautičku radio-korporaciju (ARINC –Aeronautical Radio, Inc.) koja je i razvila ovu metodu početkom 60-ih godina.

Pretpostavke za primenu ove metode su:

• sistem se sastoji od n redno vezanih delova, tako da otkaz bilo kog dela sistema predstavlja ujedno i otkaz celog sistema;

• intenziteti otkaza su konstantni

• vreme rada delova sistema jednako je vremenu rada celog sistema.

Ova metoda alokacije pouzdanosti traži da se zahtevi pouzdanosti izraze preko intenziteta

otkaza. Dakle, potrebno je odabrati λi* tako da bude ispunjeno:




180

∑=

≤n

ii

1

** λ λ , za i = 1, 2, ..., n (11.7)

gde je:

λi* - intenzitet otkaza alociran i-tom delu sistema

λ* - zahtevani intenzitet otkaza sistema.

Dakle, prvo je potrebno utvrditi intenzitet otkaza delova sistema ( λi*) na osnovu

iskustvenih podataka. Potom se za svaki deo sistema utvr đuje težinski faktor ( ui ) prema sledećemobrascu:

∑=

=n

ii

iiu

1

λ

λ , za i = 1, 2, ..., n (11.8)

Težinski faktor ( ui ) predstavlja relativnu osetljivost na otkaze i-tog dela sistema, pa važi:

∑=

=n

iiu

1

1 (11.9)

Potom se određuje zahtevani intenzitet otkaza i-tog dela sistema korišćenjem jednačine

(11.10):

iii u λ λ ⋅=* (11.10)

pri čemu se pretpostavlja da u relaciji (11.7) važi znak jednakosti.

Vrednosti intenziteta otkaza dobijeni iz relacije (11.10) su u stvari one vrednosti koje trebaalocirati pojedinim delovima sistema da bi se ostvario zahtevani intenzitet otkaza celokupnogsistema, odnosno da bi se ostvarila zahtevana pouzdanost sistema.

Na sledećem primeru telekomunikacionog sistema ilustrovana je ARINC metoda alokacije

pouzdanosti.U prethodno pomenutom sistemu učestvuju uređaji sa slike 11.3. na kojoj su punom

linijom ucrtani elementi u tranzitnoj, a isprekidanom u pristupnoj i učesničkoj ravni.

DT LC CK RRE

Slika 11.3 Blok šema telekomunikacionog sistema




181

Digitalni telefon (DT) namenjen je za komunikaciju učesnika u sistemu, a lokalna centrala(LC) za komutaciju telefonskih kanala u pristupnoj ravni ili višekanalni prenos. Centar zakomutaciju (CK) omogućuje integraciju komutacije i prenos govornih i negovornih signala na

bazi komutacije kanala, a radiorelejni uređaji (RRE) prenose informacije u opseguradiofrekvencija tranzitne ravni.

Podaci o pouzdanosti elementa sistema dobijeni su standardnim postupkom sumiranjaintenziteta otkaza sastavnih delova i modela pouzdanosti uređaja postavljenog na osnovufunkcionalne pouzdanosti njegovih sklopova.

Podaci o intenzitetu otkaza pojedinih elemenata sistema, λi i vrednosti srednjeg vremenaotkaza, mi (recipročnih sa λi) dati su u tabeli 11.2.

Za vreme rada prethodno prikazanog telekomunikacionog sistema od 20 godina zahteva se pouzdanost od 0,90. Potrebno je odrediti zahteve pouzdanosti za podsisteme odnosno izvršitialokaciju pouzdanosti istim.

Tabela 11.2 Intenziteti otkaza, λi i srednje vreme otkaza, mi elemenata sistema

UREĐAJ λ i [1/god] mi [god]

1. Digitalni telefon 3,254 0,3072. Lokalna centrala 26,479 0,038

3. Centar za komutaciju 38,252 0,0264. Radiorelejni uređaj 4,446 0,225

Pošto je zahtevana pouzdanost sistema:

90,0)20(*20* == ⋅− λ e R

odgovarajući intenzitet otkaza biće:

god

110268,5

20

90,0ln 3* −⋅=−=λ

Korišćenjem jednačine (11.8) dobiju se vrednosti težinskih faktora za podsisteme:

04493,0446.4252,38479.26254,3

254,3

4321

11 =

+++=

+++=

λ λ λ λ

λ u

36558,0446.4252,38479.26254,3

479,26

4321

22 =

+++=

+++=

λ λ λ λ

λ u

52812,0446.4252,38479.26254,3

252,38

4321

33 =

+++=

+++=

λ λ λ λ

λ u




182

06138,0446.4252,38479.26254,3

446,4

4321

44 =

+++=

+++=

λ λ λ λ

λ u

Sada se primenom jednačine (11.10) mogu izračunati vrednosti intenziteta otkaza kojetreba alocirati podsistemima:

god u

1102367,010268,504493,0 33*

1*1

−− ⋅=⋅⋅=⋅= λ λ

god u

1109259,110268,536558,0 33*

2*2

−− ⋅=⋅⋅=⋅= λ λ

god u1

107821,210268,552812,033*

3*3

−−

⋅=⋅⋅=⋅= λ λ

god u

1103233,010268,506138,0 33*

4*4

−− ⋅=⋅⋅=⋅= λ λ

Prema tome, odgovarajuće vrednosti pouzdanosti alocirane podsistemima biće:

9953,0)20(3102367,020*

1 == −⋅⋅−e R

9622,0)20(3109259,120*

2 == −⋅⋅−e R

9459,0)20(3107821,220*

3 == −⋅⋅−e R

9936,0)20(3103233,020*

4 == −⋅⋅−e R

11.2.4. Metoda alokacije uz minimalan uložen napor

Ova metoda se zasniva na minimalnom uloženom naporu za ostvarivanje zahtevane pouzdanosti sistema. U ovom slučaju se posmatra sistem koji se sastoji od n delova u rednojkonfiguraciji, pri čemu se u svakoj fazi razvoja sistema određuje ili vrši procena pouzdanostisistema. Ovom metodom nastoji se da se poboljša pouzdanost delova sistema sa nižom

pouzdanošću.

Neka su R1, R2, ..., Rn pouzdanosti delova sistema 1, 2, ..., n respektivno, onda je pouzdanost celokupnog sistema data sledećim obrascem:




183

∏=

=n

ii R R

1

(11.11)

Neka se zahteva pouzdanost sistema R* takva da je R* > R. Znači, potrebno je povećati bar

jednu od pouzdanosti Ri , da bi se zadovoljila zahtevana pouzdanost sistema R* . Da bi se postigloovo povećanje, potrebno je izvršiti određeni napor koji se raspoređuje na sve delove sistema.

Pretpostavka je, da je za svaki deo sistema vezana ista funkcija napora G(Ri , Ri* ) koja

izražava količinu napora potrebnu za povećanje pouzdanosti i-tog dela sistema sa Ri na Ri*.

Da bi se definisale neke osobine funkcije napora predstavljeni su njeni argumenti opštimoznakama G(x, y) i navedena njena svojstva u nastavku:

• ova funkcija je uvek veća ili jednaka nuli, tj:

0,0),( >>≥ x y y xG (11.12)

• G(x, y) je neopadajuća funkcija od y za konstantnu vrednost x, i nerastuća funkcijaod x za konstantnu vrednost y, tj:

0),,(),( >ΔΔ+≤ y y y xG y xG (11.13)

0),,(),( >ΔΔ+≥ x y x xG y xG (11.14)

• Ako je z≤≤ , tada je:

),(),(),( z xG z yG y xG =+ (11.15)

to se može objasniti i rečima: Količina napora uložena za povećanje pouzdanostisistema od x do z jednaka je zbiru napora uloženih za povećanje pouzdanosti od x do y i od y do z.

• G(0, y) ima izvod h( y) tako da je yh(y) striktno rastuća funkcija u intervalu(0< y<1).

Znači, ovom metodom se rešava zadatak koji se može formulisati na sledeći način:

Odrediti Ri* tako da izraz, ),( *

1i

n

ii R RG∑

=

, ima minimalnu vrednost, uz uslov da je:

*

1

* R Rn

ii ≥∏

=

(11.16)

Može se pokazati da rešenje navedenog problema ima oblik:




184

⎩⎨⎧

>

≤=

0

0*0*

,

,

k i R

k i R R

i

i (11.17)

gde je pouzdanost delova sistema poređana u monotono rastućem poretku, tj. n R R R ≤≤≤ ...21 .Broj k 0 predstavlja maksimalnu vrednost j tako da je:

n jr

R

R R j

j

n

jii

j ,...,2,1,

1

1

1

*

==

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

<

∏−

−=

(11.18)

gde je po definiciji Rn-1=1.Broj R0

* dat je izrazom:

0

0

1

1

1

**0

k

n

k j j R

R R

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

∏−

−=

(11.19)

Prema tome, zahtevana pouzdanost sistema se računa sledećim obrascem:

∏+

+=

=1

1

*0

*

0

0)(n

k j j

k R R R (11.20)



Ugradnja pouzdanosti u konstrukciju novog uređ aja

185

12. UGRADNJA POUZDANOSTI U KONSTRUKCIJU NOVOG

URE ĐAJA

12.1. Pouzdanost u procesu konstruisanja

Pri ugrađivanju pouzdanosti u fazi konstrukcije sistema neophodno je poštovati sledeće:

• konstruktor stvara konstrukciju i odgovoran je za sve njene karakteristike,uključujući i pouzdanost

• svaka konstrukcija ima sebi svojstven nivo pouzdanosti

• ovaj svojstveni nivo pouzdanosti se postiže kada se konstrukcija izrađuje u skladusa zahtevima, ali se retko stvarno postiže ili održava ta pouzdanost. Stvarna ilidostignuta pouzdanost je zbog određenih kompromisa proizvodnje, rukovanja,skladištenja itd, uvek manja od sopstvene pouzdanosti;

• svaki složeni proizvod mora startovati sa konstrukcijom koja ima vrlo visokusopstvenu pouzdanost da bi se takav proizvod isporučio kupcu sa željenom ilitraženom stvarnom pouzdanošću.

Postizanje visoke sopstvene pouzdanosti u nekom složenom sistemu može biti veomaskupo, kako po pitanju troškova, tako i po pitanju vremena, ali se može nadoknaditi smanjivanjem

proizvodnih i eksploatacionih problema kada se obezbedi tražena stvarna pouzdanost. Ukoliko

konstrukcija ne poseduje visoku svojstvenu pouzdanost, nemoguće je postići traženu stvarnu pouzdanost u eksploataciji.

Da bi se postigla visoka sopstvena pouzdanost, moraju se preduzeti mere, počev odkoncepta konstrukcije, pa sve do kraja razvoja i završetka konstrukcije. Postojanje kriterijuma u

pogledu pouzdanosti obezbediće potpuno i adekvatno razmatranje zahteva pouzdanosti. Glavnaopasnost je zbog mogućih previda konstruktora, nedostatka znanja iz specifičnih oblasti iopravdanja ponašanja nepostojećim razlozima. Kako ni jedan konstruktor ne zna sve, onkonsultuje stručne saradnike. Pod pritiskom vremenskih rokova, konstruktor ne vrši svaispitivanja, a posledice nepouzdanosti mogu biti posebno opasne ako su vezane za bezbednost.

Prvobitne zahteve postavljene u fazi konstruisanja potrebno je kritički razmatrati i

revidirati dobijanjem novih iskustava, znanja i podataka posle ispitivanja sistema u fazamarazvoja i proizvodnje.

12.2. Pogodnost održavanja u procesu konstruisanja

Proces konstruisanja sistema prilikom razmatranja pogodnosti održavanja se može shvatitirazumevanjem procesa konstruisanja datog na slici 12.2.




186

FORMULACIJAVREDNOSTI

MODELA

SINTEZAALTERNATIVNIH

REŠENJA

ANALIZA I/UISPITIVANJE

PROCENA ODLUKA

OPTIMIZACIJA

KRITERIJUMINFORMACIJA INFORMACIJA

Slika 12.2. Proces konstruisanja sistema

Ulazni parametar za proces konstruisanja je informacija o potrebama u vezi sa sistemom,

uslovima korišćenja, ograničenjima, njegovoj konstrukciji i ostalom što je značajno.Problem se definiše u delu formulacija vrednosti modela.

Tu se prihvataju i organizuju informacije koje se odnose na ciljeve i ograničenja sistema.Pored toga, ovde se formulišu i kriterijumi za efektivnost sistema, pomoću kojih se procenjujumoguća rešenja sistema. Bez ovih kriterijuma ne bi bila moguća optimizacija sistema. Kada je

problem definisan i uspostavljeni kriterijumi za efektivnost sistema, mogu se sintetizovati mogućarešenja za zadovoljenje zahteva. Ove mogućnosti se zatim analiziraju ili ispituju, a rezultati se

procenjuju u odnosu na uspostavljene kriterijume efikasnosti. Na osnovu toga se donosi odluka dali je konstrukcija optimalna ili je potrebna iteracija. Najčešće je potrebno izvršiti određeni brojiteracija i taj proces se naziva optimizacija. Isprekidanom linijom na slici 12.2. je prikazan slučaj

kada procena i iteracija zahtevaju modifikaciju modela.Kada je konstrukcija ustanovljena, ona se prenosi drugima na realizaciju.

Proces konstruisanja sistema može se primeniti prilikom razmatranja pogodnostiodržavanja.

1. Ulazna informacija – ulazni zahtevi u vezi sa pogodnošću održavanja često sunekompletni i u primitivnom obliku. Da bi se ova informacija iskoristila u

procesu konstruisanja sistema, potrebno je odgovoriti na sledeća pitanja:

i. Zašto se sistem konstruiše – operativni zahtevi

ii. Kakvi su zahtevi u pogledu uslova korišćenja – ograničenja vezana za

korišćenje i raspoloživa sredstva, politiku održavanja itd;iii. Koji su ciljevi održavanja – koncept održavanja, zahtevi u vezi sa

efektivnošću sistema, troškovi;

iv. Kada se sistem može održavati – profil zadatka koji sistem treba daobavi, preventivno u odnosu na korektivno održavanje,

v. Na kom nivou će se vršiti održavanje – prvi, drugi, treći nivo;

vi. Kako će se vršiti održavanje – popravka, zamena ili odbacivanje,remont itd.

vii. Ko će vršiti održavanje – posluga, kvalifikovano ljudstvo;




187

2. Formulacija vrednosti modela (kriterijum efikasnosti) – za formulisanjekvalitativnih i kvantitativnih ciljeva koristi se ulazna informacija. Kvantitativnikriterijumi pogodnosti odražavanja (dozvoljeno vreme zastoja, vreme izmeđuodržavanja itd.) doprinose uspostavljanju merila efikasnosti, koje će se koristitiza procenu konstrukcije sistema u vezi sa pogodnošću održavanja.

3. Sinteza modela pogodnosti održavanja konstrukcije – ova faza sekomplikuje činjenicom da nije moguće kvantitativno izraziti sve fizičke promenljive veličine koje su važne za pogodnost održavanja. Ne postoji opštimodel pogodnosti održavanja. Kombinovanjem faktora koji su značajni za

pogodnost održavanja (minimalno vreme zastoja itd.) moguće je konstruisati jedan koncept modela.

4. Analiza pogodnosti održavanja – ona se odnosi na predviđanje idemonstraciju postignutih rezultata date konstrukcije u pogledu pogodnostiodržavanja, pri čemu se obično izračunava, procenjuje ili meri vreme zastoja u

simuliranim operativnim uslovima. Tipične analitičke metode obuhvatajusimulaciju, predviđene pogodnosti održavanja, alokaciju i demonstracionaispitivanja.

5. Procena pogodnosti održavanja – sastoji se u poređenju pogodnostiodržavanja sa kriterijumima efektivnosti sistema, radi donošenja odluke da sekonstrukcija prihvati ili da se vrše dalje iteracije.

6. Donošenje odluke – u toku svake faze se donose odluke da je ona završena i dase može preći na drugu ili da je potrebno vršiti iteraciju tekuće faze što nekikriterijum nije optimalno zadovoljen.

7. Optimizacija – optimizacija je iterativni proces koji se koristi za

modifikovanje modela sistema, analizu rezultujućih promena, procenu idonošenje odluka. Proces se vrši sve dok troškovi naredne iteracije više nisu usrazmeri sa očekivanim povećanjem dobiti. Moguće je vršiti optimizacijuzahteva u vezi sa pogodnošću održavanja nezavisno od ostalih parametarasistema.

8. Izlazna informacija – ova informacija se odnosi na karakteristike konstrukcijekoje se pojavljuju na konstrukcijskim crtežima i koje uključuju i karakteristikeu vezi sa pogodnošću održavanja. Ukupni napori u vezi sa pogodnošćuodržavanja usmereni su na to da će, sa visokim nivoom poverenja, sistem koji je proizveden u skladu sa konstrukcijskim karakteristikama imati traženu

efektivnost.

12.3. Principi konstruisanja u pogledu pouzdanosti

U tabeli 12.1. dati su opšti principi konstruisanja u pogledu pouzdanosti, koji ni u komslučaju ne predstavljaju sve što se može javiti u nekoj situaciji u praksi. Sve što je navedeno uovoj tabeli treba pažljivo razmotriti i videti da li je primenjivo u datoj situaciji. Ove principe treba

poštovati u najvećoj mogućoj meri, a po potrebi se tabela može i proširivati.




188

U ovoj tabeli su nabrojani aspekti pouzdanosti koje treba razmotriti prilikom konstruisanjanekog sistema:

Tabela 12.1 Neki opšti principi konstruisanja u pogledu pouzdanosti

1. Konstruisati tako da se otkazi spreče ili svedu na minimum.

2. Konstruisati poštujući princip jednostavnosti.3. Predvideti stavljanje elemenata u pripravnosti kada je potrebno postići traženu pouzdanost.4. Predvideti periodična ispitivanja, ispitnu opremu i proveru delova koji su podložni otkazima.5. Predvideti elemente boljeg kvaliteta i materijal koji će zadovoljiti vek trajanja sistema i izdržati

maksimalno očekivana opterećenja. Cenu elemenata treba uporediti sa troškovima održavanja,nekorišćenjem sistema, itd.

6. Predvideti periodična održavanja.7. Koristiti elemente koji ne zahtevaju održavanje u toku dugog niza godina.8. Obezbediti jednostavna periodična podešavanja delova podložnih otkazu.9. Obezbediti samopodešavanje delova podložnih otkazu.

10. Povećati jednoobraznost delova (standardizacija, itd.)11. Identifikovati oblike otkaza, sprečiti početne otkaze i predvideti odgovarajuća upozorenja.12. Obezbediti odgovarajuće stepene sigurnosti između vrednosti kritičnog i radnog opterećenja.13. Koristiti konstrukcije sa dokazanom pouzdanošću.14. Koristiti delove sa dokazanom pouzdanošću.15. Koristiti manji broj delova za obavljanje više funkcija.16. Razmotriti sve uticaje ljudskog faktora.17. Koristiti modularne konstrukcije, da bi se olakšala zamena u slučaju otkaza u toku korišćenja.18. Smanjiti opterećenje elektrotehničkih i drugih delova da bi se povećao vek trajanja.19. Smanjiti ekstremna opterećenja i preterane varijacije opterećenja (npr. predvideti zaštitu od udara

visokih napona).20 Obezbediti temperaturnu stabilnost korišćenjem grejača ili klima uređaja.21. Kontrolisati nivo vlažnosti u svim uslovima korišćenja i uskladištenja.22. Obezbediti izolaciju od udara ili sposobnost da se takvi uslovi podnesu.23. Smanjiti izlaganje toploti i hladnoći ili povećati sposobnost da se podnesu takvi uslovi.24. Izbegavati međusobni kontakt nezaštićenih različitih elemenata.25. Predvideti sigurnosne uređaje za sprečavanje nenamernog razrešavanja.26. Predvideti zaštitnike da bi se sprečilo da nepozvana lica promene kalibraciju ili oštete delove.27. Omogućiti jednostavne provere od strane posluge u cilju konstatovanja otkaza koji postoje.28. Konstruisati tako da se spreče ili svedu na minimum otkazi u toku skladištenja.29. Predvideti signale uređaja koji upozoravaju na početak otkaza.30. Predvideti odgovarajuću dijagnostičku opremu za proveru otkaza koji predstoje.31. Koristiti hermetički zaptivene module da bi se sprečili otkazi tih modula u toku korišćenja i

skladištenja.32. Koristiti električne kontakte – odgovarajuće veličine i od kvalitetnog materijala da bi se sprečili otkazi.

Takvi kontakti su rastavljivi utikači, relea, četkice generatora i motora, itd. Pri tome se koristekvalitetne legure, srebrne prevlake, metali otporni na koroziju, živini prekidači, lemljeni spojevi, itd.

33. Koristiti u kalemovima (generatori, transformatori itd.) izolaciju provodnika koja može da podnesevisoke temperature.

34. Koristiti električnu izolaciju koja neće pucati sa starenjem i koje je dovoljno jaka da može izdržatigrube uslove pri pokretanju sistema ili pri radu na održavanju.

35. Konstruisati tako da se spreči pogrešna montaža ili izostavljanje delova. Tipične konstrukcione greškesu stavljanje identičnih rastavljivih utikača jedno pored drugog, delovi koje se mogu montirati na više

načina, sklopovi kod kojih nije moguća brza provera spojeva, itd.36. Omogućiti primenu ispitivanja bez razaranja kad god je to praktično i moguće.37. Predvideti automatsku montažu i proveru kada je potrebno obezbediti pouzdanost.38. Predvideti funkcionalna ispitivanja najveće moguće količine proizvoda koja je dozvoljena datim

troškovima, da bi se osigurala maksimalna pouzdanost serije.39. Predvideti dovoljne karakteristike bezbednosti da bi se zadovoljili propisi u pogledu bezbednosti.40. Analizirati iskustva sa istim ili sličnim sistemima, koji su ranije postojali, u vezi MTBF, MTTR, itd, da

bi se utvrdili načini i sredstva za poboljšanje sistema koji se razmatra.

41. Identifikovati standardne delove, alate i ispitnu opremu sa dokazanom pouzdanošću, koji će bitikompatibilni za korišćenje kod sistema koji se razmatra.




189

12.4. Pogodnost održavanja i pouzdanost uređaja

Da bi se zadovoljili zahtevi u pogledu pogodnosti održavanja treba poštovati principe dateu tabeli 12.2. Ni u kom slučaju to nisu svi principi, tako da se navedena lista može proširitizavisno od konkretne situacije. Sve što je navedeno u ovoj tabeli treba dobro razmotriti i videti dali je primenjivo u datoj situaciji.

U ovoj tabeli su nabrojani minimalni aspekti pogodnosti održavanja koje treba razmotriti prilikom konstruisanja nekog sistema:

Tabela 12.2 Neki opšti principi konstruisanja u pogledu pogodnosti održavanja

1. Smanjiti ili eliminisati potrebu za održavanjem.2. Smanjiti obim, frekvenciju i kompleksnost potrebnog zadatka održavanja.3. Smanjiti troškove održavanja u toku veka trajanja sistema.4. Smanjiti nivo potrebnih kvalifikacija ljudstva za održavanje i zahteve u pogledu dodatnog obučavanja.5. Uspostaviti maksimalnu frekvenciju i opseg preventivnog održavanja.6. Smanjiti obim složenosti teksta u uputstvima za održavanje.7. Predvideti takve karakteristike u okviru sistema i njegovih delova koje će rezultirati u minimalnom

vremenu zastoja.8. Obezbediti da posle isporuke sistema budu na raspolaganju jednostavni, adekvatni i zadovoljavajući

tehnički podaci u vezi održavanja.9. Smanjiti srednje vreme popravke sistema.

10. Obezbediti optimalan pristup svim delovima koji zahtevaju često održavanje, proveru ili zamenu.11. Predvideti brzu i sigurnu identifikaciju delova koji nezadovoljavajuće rade ili rade na granicama

performansi.12. Osigurati da su zadovoljeni svi aspekti u pogledu ljudskog faktora.13. Predvideti optimalnu sposobnost za verifikovanje performansi, predviđanje i lociranje

nezadovoljavajućeg rada i vršenje podešavanja.14. Predvideti adekvatnu, jasnu i brzu identifikaciju delova koji mogu biti popravljeni ili zamenjeni.15. Smanjiti količinu i vrstu alata i opreme neophodne za održavanje sistema. Eliminisati, gde god je

moguće potrebu za korišćenjem specijalnog alata.16. Izbegavati korišćenje kritičnih materijala, skupih i teških procesa.17. Predvideti maksimalnu zamenjivost.18. Osigurati maksimalnu bezbednost ljudstva i opreme u toku izvođenja održavanja.19. Osigurati da nema ozbiljnih neželjenih karakteristika sistema u pogledu operativnosti ili održavanja

koje utiču na ljudstvo ili na opremu (zračenje, buka itd.).20. Predvideti veličinu i vrstu elemenata koji zahtevaju minimum održavanja i servisiranja u toku veka

trajanja.21. Predvideti da se lako i brzo vrše provere i podešavanja u toku servisiranja elemenata za uključenje i

isključenje uređaja.

22. Predvideti dovoljan broj odgovarajućih ispitnih mesta i omogućiti da se njima može lako prići. Ispitnamesta treba da budu sposobna da prihvate automatsku opremu za ispitivanje, kada je to praktično.23. Osigurati da je na raspolaganju sva oprema za ispitivanje i za podešavanje.24. Obezbediti adekvatnu zaštitu ljudstva za održavanje od električnog udara.25. Obezbediti da se ne pojavljuju otrovni gasovi koji bi uticali na ljudstvo za održavanje.26. Obezbediti odgovarajuće uređaje za signaliziranje opasnosti.27. Predvideti jednostavnu, laku i brzu zamenu otkazanih elemenata.28. Predvideti da svi natpisi budu jasno čitljivi posle duge upotrebe.29. Predvideti da sistem bude konstruisan u odnosu na minimalnu težinu, uzimajući u obzir pouzdanost,

izdržljivost i održavanje.30. Ustanoviti vrednost srednjeg vremena između otkaza, srednjeg vremena popravke i vremena zastoja

sistema.



Optimizacija troškova pouzdanosti

190

13. OPTIMIZACIJA TROŠKOVA POUZDANOSTI

13.1. Različiti aspekti troškova pouzdanosti

Posmatranje pouzdanosti sa ekonomskog aspekta nameće pitanje u vezi sa veličinomnivoa pouzdanosti koji treba ugraditi u proizvod koji treba proizvesti i kasnije održavati. Odgovorna ovo pitanje bi mogao glasiti da je to optimalan nivo pouzdanosti pri kojem su nabavna cena,troškovi korišćenja i troškovi održavanja proizvoda minimalni.

Ovi troškovi se mogu posmatrati i sa stanovišta proizvođača i sa stanovišta potrošača. Zasvaki proizvod postoji nivo pouzdanosti pri kojem su ukupni troškovi proizvođača minimalni. To

je tzv. optimalni nivo za proizvođ ač e. Naravno, i sa druge strane postoji nivo pouzdanosti za koji

su ukupni troškovi kupca minimalni, i to je optimalni nivo pouzdanosti za kupca. Ovi optimalninivoi pouzdanosti za proizvođača i kupca nisu jednaki.

Ukupni troškovi proizvođača sastoje se iz dve komponente i to: troškovi isporuke itroškovi posle isporuke, kao što je prikazano na slici 13.1.

0 1

T r o š k o v i

Pouzdanost, R

Rop

Prodajna cena

Ukupni troskovi

Troskoviproizvodjaca pre

isporuke

Troškoviproizvodjaca

posle isporuke

Slika 13.1 Optimalna pouzdanost za proizvođ ač a

Troškovi pre isporuke obuhvataju: troškove vezane za nabavku materijala, istraživanje,razvoj, izmene u toku proizvodnje, alat, proizvodni rad, isporuku, administraciju, itd. Jasno je daovi troškovi sa povećanjem zahteva za pouzdanost sistema rastu, s obzirom da je potrebnoulaganje u sve prethodno pobrojane segmente da bi se ostvarila veća pouzdanost.

Troškovi posle isporuke obuhvataju, između ostalog, troškove instaliranja, puštanja u rad,troškove garancije (otkazi elemenata, podsklopova i sklopova u garantnom roku, troškovi servisa,

putni troškovi), transportni troškovi, troškovi u vezi sa gubitkom dobre reputacije. Povećavanjem




191

pouzdanosti ovi troškovi se smanjuju, što je i logično, jer se smanjuje i broj otkaza, pa samim timi svi troškovi koje oni za sobom povlače.

Sabiranjem troškova pre i posle isporuke dobijaju se ukupni troškovi proizvođača. Kada seovim ukupnim troškovima doda profit, dobija se prodajna cena. Sa grafika (slika 13.1) vidi se da

za određeni nivo pouzdanosti postoji minimalna prodajna cena i to je, prethodno spomenuti,optimalni nivo pouzdanosti za proizvođača, Rop.

Ukupni troškovi kupca sastoje se iz troškova kupovine proizvoda i dodatnih troškova. Naslici 13.2 prikazani su troškovi koje ima kupac nakon kupovine određenog proizvoda.

0 1

T r o š k o v i

Pouzdanost, R

Rop

Ukupni troskovikupca

Kupovna cena(=prodajna cena)

Dodatni troskovi

Rok

Slika 13.2 Optimalna pouzdanost za kupca

Dodatni troškovi obuhvataju: troškove održavanja vezane za materijal, troškoveodržavanja vezani za rad, troškove zamene delova koji su otkazali, a nisu pokriveni garancijom,troškove prouzrokovane zastojem zbog nefunkcionisanja proizvoda, troškove popravki. Ovidodatni troškovi opadaju sa porastom pouzdanosti sistema, jer se smanjuje broj otkaza sistema, asamim tim i troškovi popravki, nefunkcionisanja.

Na slici 13.2 se takođe uočava da postoji nivo pouzdanosti za koji su ukupni troškovi

kupca minimalni, i to je tzv. optimalni nivo pouzdanosti kupca, Rok . Takođe, sa iste slike seuočava da je uvek Rok > Rop .

Prema kojem od ovih optimalnih nivoa će se projektovati sistem, zavisi od više faktora ito: vrste kupca, namene proizvoda, dobiti proizvođača, konkurentne sposobnosti proizvoda, itd.

Određivanje optimalnog nivoa pouzdanosti moguće je tek po prikupljanju neophodnih podataka o vremenu do otkaza, vrsti otkaza, primarnim i sekundarnim otkazima, uslovima podkojima se proizvod koristi, šemi održavanja koja se primenjuje, itd.




192

13.2. Matematički model optimizacije troškova pouzdanosti

Da bi se konstruisao neki sistem koji ima optimalan nivo pouzdanosti uz minimalne

troškove, polazi se od sledećeg obrasca koji daje vezu između pouzdanosti sistema i troškovavezanih za ostvarivanje i održavanje tog nivoa pouzdanosti:

21 ln k mk C R +⋅= (13.1)

gde su:

k 1 i k 2 – konstante

C R – troškovi pouzdanosti i

m - srednje vreme između otkaza.

Gubitak koji nastaje usled otkaza sistema, dat je izrazom:

)1( R N C C G −⋅⋅= (13.2)

gde je:

C G – troškovi usled nastalih gubitaka,

C – troškovi za izvršavanje odrađenog zadatka, za koji je sistem namenjen i

N - broj zadataka koje sistem može da obavlja.

Takođe, poznato je da se u jednačini 13.2. pouzdanost R izračunava prema sledećemobrascu:

m

t

e R −

= (13.3)

gde je sa t označeno vreme izvršenja zadatka sistema.

Prema tome, ukupni troškovi dati su sa:

G RU C C C += (13.4)

tj. može se pisati u obliku:

)1(ln 21 R N C k mk C U −⋅⋅++⋅= (13.5)

Da bi se odredilo optimalno srednje vreme između otkaza sistema, m mora se rešiti sledeća jednačina:




193

0=dm

dC U (13.6)

tj. jednačina (13.7):

01 =⋅⋅−dm

dR N C

m

k (13.7)

Za visoke vrednosti srednjeg vremena između otkaza sistema (m) izraz sa desne strane jednačine (13.3) može se razviti u red, pa je u tom slučaju pouzdanost data sa:

m

t R −= 1 (13.8)

pa je

2m

t

dm

dR= (13.9)

Zamenom u relaciju (13.7) dobija se:

02

1 =⋅⋅−

m

t N C

m

k (13.10)

pa je otud optimalno srednje vreme između otkaza, m jednako:

1k

t N C m

⋅⋅= (13.11)

13.3. Matematički model za utvr đivanje opravdanostimultipliciranja elemenata

U slučaju da neki element sistema ima veliki broj otkaza, a da mu se ne može povećatinivo pouzdanosti, vrši se multipliciranje takvog elementa u okviru sistema. Ovo multipliciranjedovodi do povećanja vremena između otkaza, ali istovremeno uvodi nove troškove, troškovemultipliciranja, pored već postojećih troškove usled otkaza.

Troškovi gubitka usled otkaza dati su jednačinom:

)1( R N C N C C G −⋅⋅−Θ⋅⋅= (13.12)




194

gde su:

C – troškovi izvođenja zadatka,

N – broj zadataka i

Θ – verovatnoća otkaza

Kako je verovatnoća otkaza n paralelnih elemenata data sledećom jednačinom:

n R)1( −=Θ (13.13)

to su onda troškovi gubitka usled otkaza dati sa:

nG R N C C )1( −⋅⋅= (13.14)

Ako troškovi za izradu jednog elementa iznose K , onda za n elemenata troškovi izradeiznose:

K nC n ⋅= (13.15)

pa su ukupni troškovi:

nGU C C C += (13.16)

odnosno:

K n R N C C nU ⋅+−⋅⋅= )1( (13.17)

Da bi odredili optimalan broj multipliciranih elemenata sistema koji odgovaraminimalnom ukupnom trošku potrebno je rešiti sledeću jednačinu po n:

0)1ln()1( =+−−⋅⋅= K R R N C dn

dC nU (13.18)

S obzirom da je pouzdanost, R data sa izrazom 13.3 rešavanjem jednačine 13.18 dobija seizraz za optimalan broj multiplikacija određenog elementa u okviru sistema:

)1ln(

1ln(ln

mt

mt

e

e

N C

K

n −

−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⋅−

= (13.19)



Pouzdanost softvera

195

14. POUZDANOST SOFTVERA

14.1. Kvalitet softvera

Količina softverskih proizvoda naglo je porasla sa razvojem informacionih tehnologija.Upravljanje kvalitetom ovih proizvoda postalo je jako bitno i u tu svrhu definisana su uputstva zaobezbeđenje kvaliteta softvera.

Jedno od uputstava definisano je međunarodnim ISO 9003 standardom, gde su datesmernice za obezbeđenje kvaliteta softvera pri njihovom razvoju, isporučivanju i održavanju. Naosnovu ovih uputstava definisan je i JUS standard.

Standardom ISO / IEC 9126 definisano je sledećih šest karakteristika softvera:funkcionalnost, pouzdanost, upotrebljivost, efikasnost, pogodnost za održavanje i prenosivost.Ovih šest karakteristika obuhvata dvadeset jednu podkarakteristiku (slika 1.1).

Funkcionalnost predstavlja skup svojstava koja opisuju šta softver treba da radi da bizadovoljio postavljene zahteve.

Pouzdanost određuje skup svojstava koja predstavljaju mogućnost softvera da održi svojnivo performansi pod određenim uslovima i u određenom vremenskom intervalu. Ograničenja u

pouzdanosti su posledica grešaka u zahtevima, projektu i implementaciji.

Upotrebljivost predstavlja skup svojstava koja predstavljaju količinu uloženog trudaodređenog ili pretpostavljenog skupa korisnika koji upotrebljavaju softverski proizvod za njegovo

korišćenje, kao i pojedinačnu cenu takve upotrebe.

Efikasnost se definiše kao skup svojstava koja predstavljaju odnose između nivoa performansi softvera i količine upotrebljenih resursa pod određenim uslovima. Ovde se podresursima podrazumevaju drugi softverski proizvodi, hardverska oprema, materijali (papir, diskete...) i usluge osoblja koje rade na održavanju.

Pogodnost za održavanje se definiše kao skup svojstava koja predstavljaju neophodnukoličinu uloženog truda da bi se izvršila određena modifikacija. Modifikacije mogu biti korekcije,

poboljšanja i adaptacije softvera na promene u okruženju.

Prenosivost predstavlja skup svojstava koja predstavljaju mogućnost softvera da se

prenese iz jednog u drugo okruženje. Okruženje može biti organizaciono, hardversko i softversko.Sa slike 14.1 se vidi da su podkarakteristike pouzdanosti softvera: zrelost, otpornost prema

greškama i oporavljivost. Svaki od ovih pojmova će biti posebno definisan.

Zrelost odražava učestalost greške usled nedostatka u softveru.

Otpornost prema greškama odražava sposobnost softvera da održi određeni nivo performansi u slučaju greške u softveru ili narušavanja njegovog određenog interfejsa.

Oporavljivost odražava sposobnost softvera da u slučaju greške ponovo uspostavi svojnivo performansi i da povrati podatke na koje je direktno uticao, kao i vreme i napore potrebne zato.



Pouzdanost softvera

196

K A R A K T E R I S T I K E

K V A L I T E T A

S O F T V E R A

F U N K C I O N A L N O S T

POGODNOST

TACNOST

POVEZANOST

USAGLAŠENOST

SIGURNOST

P O U Z D A N O S T

U P O T R E B L J I V O S T

ZRELOST

OTPORNOST PREMA GREŠKAMA

OPORAVLJIVOST

RAZUMLJIVOST

POGODNOST ZA UCENJE

IZVRŠIVOST

E F I K A S N

O S T

P O G O D N O S T Z A

O D R Ž A V A N J E

P R E N O S I V O S T

PONAŠANJE U VREMENU

PONAŠANJE SA RESURSIMA

POGODNOST ZA ANALIZU

IZMENJIVOST

STABILNOST

POGODNOST ZA ISPITIVANJE

PRILAGODLJIVOST

POGODNOST ZA INSTALIRANJE

SAOBRAZNOST

ZAMENJIVOST

Slika 14.1 Karakteristike kvaliteta softvera po ISO 9126



Pouzdanost softvera

197

Da bi se ocenio kvalitet softvera moraju se sumirati rezultati vrednovanja različitihkarakteristika (slika 1.2). Prvo se mora pripremiti procedura pomoću npr. tabele odlučivanja ili

procenjive srednje vrednosti. Procedura vrednovanja ima tri koraka: merenje, rangiranje iocenjivanje. Merenje se primenjuje na softver kao proizvod. Rezultat je vrednost na skali metrike.

Rang se određuje na osnovu merene vrednosti. Ocenjivanje je završna faza procesa vrednovanjasoftvera. Rezultat ocenjivanja je iskaz kvaliteta softverskog proizvoda (zadovoljava ili nezadovoljava).

merena vrednost

metricka skala

vrlo dobro

dobro

dovoljno

loše

rangovi

zadovoljava

ne zadovoljava

Slika 14.2 Merna skala i rangovi

14.2. Pokazatelji pouzdanosti softvera

Pouzdanost softvera je jedna od karakteristika kvaliteta softvera. Više se odnosi nafunkcionalnost programa nego na njegov dizajn i više na njegovu dinamičnost nego na njegovustatičnost. Takođe, odnosi se na pojave otkaza i menja se tokom razvoja softvera.

Bitno je već na početku razdvojiti pojmove otkaza i greške. Otkaz se definiše kaoneprihvatljivo udaljavanje programskih operacija od programskih zahteva. Greška je softverskidefekt koji rezultira kao mana, gde pod manom smatramo softverski defekt koje uzrokuje otkaz.Otkaz se pojavljuje u vreme izvršenja programa, pa predstavlja dinamički proces. Otkaz može biti

i predugo izvršenje programa. Jedna greška može biti uzrok više otkaza, dok po definiciji višegrešaka ne može izazvati jedan otkaz. Grešku pravi programer i one nastaju usled:

• nedovoljne komunikacije između ljudi koji rade na istom projektu ili ista osoba, aliusled vremenske distance

• nedovoljnog znanja o područ ju primene, načina izrade i programskog jezika

• nekompletne analize slučajeva koji se mogu pojaviti

• greške u transkripciji

Pouzdanost softvera se može definisati kao verovatnoća da dati program radi po nameri

korisnika, tj. bez otkaza, u odgovarajućem okruženju i u određenom vremenskom intervalu.



Pouzdanost softvera

198

Naravno, cilj je da se verovatnoća učini što većom, po mogućstvu 1. Za određivanje pouzdanosti najčešće se koriste analitički modeli, čiji su parametri procenjeni iz prikupljenih podataka o ranijim otkazima sistema.

Često se pokazatelji pouzdanosti vezuju za vreme, koje možemo posmatrati sa tri aspekta:

• vreme izvršavanja, tj. CPU vreme (τ)

• kalendarsko vreme (τ)

• vreme časovnika, tj. suma vremena prolazaka od početka do kraja programa, neračunajući periode prekida

Najčešće je u upotrebi vreme izvršavanja.

Pojava otkaza se može opisati sa četiri veličine, a to su:

• vreme otkaza

• vreme između otkaza• broj otkaza u nekom vremenskom intervalu

• broj otkaza za zadato vreme

Sve ove veličine su slučajne, ali ne i nepredvidive, jer je mesto pojave greške u programunepoznato i jer su uslovi pod kojima će program biti izvršen nepoznati.

Slučajni procesi se karakterišu sa raspodelom verovatnoće i promenom procesa savremenom. Slučajni procesi čija raspodela varira sa vremenom nazivaju se nehomogeni.

Definišu se i dve funkcije slučajnog procesa:

• funkcija srednje vrednosti μ • funkcija intenziteta otkaza α; to je zapravo brzina promene funkcije srednje

vrednosti ili broj otkaza u jedinici vremena. Intenzitet otkaza je izvod po vremenufunkcije srednje vrednosti.

Proces se naziva homogenim, kada nema promene u softveru, tj. nema debagovanja iliispravljanja softvera, dok u suprotnom imamo nehomogen proces.

Neka je M(t) slučajan proces koji predstavlja broj otkaza do trenutka t. Tada se funkcijasrednje vrednosti definiše kao μ(t) = E[M(t)], tj. kao očekivani broj otkaza u trenutku t. Funkcijaintenziteta otkaza λ(t) predstavlja trenutnu brzinu promene očekivanog broja otkaza. Ovde vrememože biti bilo koje od prethodna tri navedena, ali se zbog kompatibilnosti sa pouzdanošću

hardvera koristi vreme izvršavanja. Na pouzdanost softvera utiču sledeći faktori: nalaženje grešaka, uklanjanje grešaka i

okruženje. Pronalaženje grešaka zavisi od karakteristika razvoja koda, da li je napravljen ilimodifikovan, od njegove veličine, faze razvoja, tehnologije korišćenog alata i iskustva

programera. Otklanjanje grešaka zavisi od vremena, operacionog profila i kvaliteta ispravljanja.Okruženje je uslovljeno operacionim profilom, a to je skup različitih akcija i operacija koje

program može da izvrši, i verovatnoće pojavljivanja ovih operacija.

Načini dobijanja pouzdanosti softvera su: merenje, procena i predviđ anje. Merenje pouzdanosti koristi podatke o intervalima otkaza dobijene aktiviranjem programa u njegovomstvarnom eksploatacionom okruženju. Procena pouzdanosti se zasniva na podacima o intervalima

pojave prekida pri testiranju softvera. Procena se koristi radi utvr đivanja trenutne ili buduće pouzdanosti. Predviđ anje pouzdanosti koristi karakteristike softvera, a ne intervale otkaza, radi



Pouzdanost softvera

199

utvr đivanja softverske pouzdanosti. Predviđanje u najvećem broju slučajeva uzima u obzir sledećefaktore: veličina programa, kompleksnost itd.

Kada su greške uklonjene, u fazi testiranja, intenzitet otkaza ima tendenciju opadanja savremenom, a pouzdanost tendenciju rasta. Ako je sistem stabilan i bez promene u kodu, intenzitet

otkaza i pouzdanost ostaju konstantni. U suprotnom, intenzitet otkaza teži manjem porastu, a pouzdanost manjem padu.

Može se govoriti o dva tipa intenziteta: intenzitet otkaza za vreme testiranja, λt , i intenzitetotkaza u operacionoj fazi, λop. Uvodi se faktor testiranja: A = λt / λop , koji je znatno veći od 1, jer je λt >> λop.

Gustina grešaka meri se brojem grešaka na 1000 linija izvornog koda (KSLOC – KiloSource Line of Code). Može se vršiti samo procena ove veličine. Za slučaj softvera velikog obima

prihvatljiva je gustina greške manja od 0.1 greške/KSLOC, dok je za ostale primene prihvatljivo 5grešaka/KSLOC. Greškama se može zadati nivo značajnosti prema otkazu koje prouzrokuju.

Raspoloživost softvera predstavlja očekivani deo vremena za koje će deo softvera ilisistem funkcionisati prihvatljivo. Korisnik treba da odredi šta podrazumeva pod terminom“prihvatljivo”, a u zavisnosti od toga šta predstavlja otkaz. Dakle, definicija zavisi od uticaja dateveličine na sistem, troškova eksploatacije drugih faktora. Korisnik teži da odredi različite klaseotkaza, različitih intenziteta i utvrdi zahteve za svaku od njih.

14.3. Greške u softveru

Poznata je činjenica da greške nastaju u svim fazama razvoja softvera. Prema tome, skoro

polovina vremena razvoja mora biti utrošena na otklanjanje grešaka ponovnim “prolaženjem”kroz program, inspekcijom i testiranjem, što često košta pola budžeta. Dodatni troškovi će postojati ako i posle isporuke ostanu greške.

Pažljive analize intenziteta greške prema vremenu projektovanja pomoću Rejlijeve(Raleigh) krive pokazuju da izvesni parametri imaju jak uticaj na ukupnu pouzdanost softvera:

1

2

3

4

5

Velicina sistema

Vreme razvoja

Velicina osoblja

Produktivnost

MBI indeks



Pouzdanost softvera

200

1. broj grešaka proporcionalan je veličini sistema (slika 14.3), što znači da srednjevreme do otkaza ( MTTF – Mean Time to Failure) opada sa porastom veličinesistema. Na taj način, manje grešaka može da se otkrije u nekom fiksnom

intervalu, što vodi padu efikasnosti (slika 14.4).broj grešaka

velicina sistema

prosecna standardna

devijacija

Slika 14.3 Zavisnost broja grešaka odvelič ine sistema

broj grešaka

otkrivenih u nekom

fiksnom intervalu

velicina sistema

prosecna standardna

devijacija

Slika 14.4 Zavisnost oktrivenih grešakaod velič ine sistema

2. Generalno, porast vremena razvoja softverskog sistema dovodi do smanjenja broja grešaka iz sledećih razloga:

i. potprogrami mogu biti izvršeni korektnim redosledom

ii. postoji dovoljno vremena da se završi faza dizajniranja

iii. mogući su kontrolisanje programa kao i njegovo testiranje

iv. novo osoblje može biti angažovano u cilju postizanja veće brzine

Na slici 14.5 prikazan je broj očekivanih defekta do postizanja pouzdanosti od99,9% u zavisnosti od vremena razvoja.

ocekivane greške sa

pouzdanošcu 99,9%

vreme razvoja

minimalno vremerazvoja

Slika 14.5 Zavisnost broja grešaka od vremena razvoja

Sa druge strane, treba imati na umu da povećanje vremena razvoja povećava

troškove.

3. Nije neophodno detaljno objašnjavati kako porast broja osoblja utiče na

smanjenje grešaka, ali je takođe potrebno imati na umu da i porast broja osoblja podrazumeva porast troškova.



Pouzdanost softvera

201

4. Broj defekta se smanjuje sa porastom produktivnosti. Na slici 14.6 prikazan jeodnos između broja defekta i indeksa produktivnosti (PI – Productivity Index)

posmatran za program koji sadrži 100 000 linija.

Veličina PI je izvedena iz parametra produktivnosti:

3

4

3

1Time

B

Effort

ESLOC ProdPar ∗

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= (14.1)

Vrednosti ove funkcije prikazuju se jednom od 36 kvantizovanih vrednosti.

broj grešaka sa

pouzdanošcu 99,9%

indeks produktivnosti

1000

2000

30008

10

13

1518

Slika 14.6 Zavisnost broja grešaka od indeksa produktivnosti

5. MBI (Manpower Buildup Index) predstavlja brzinu kojom raste broj osoblja zavreme glavnog projektovanja. Sastoji se iz skale od 1 do 6:

i. Sporo

ii. Umereno sporo

iii. Umereno

iv. Brzo

v. Veoma brzo

vi. Ekstremno brzo

Mali MBI indeks znači i mali broj grešaka.

Upravljanje razvojem softvera, očigledno, ima uticaja na njegovu pouzdanost. Evo štatreba preduzeti, da bi se ona povećala:

• Pažljivo analizirati sva mesta podložna greškama

• Tokom razvoja, trebalo bi da se formira zapis o greškama sa opisom tipa defekta,ozbiljnosti i mesta pojavljivanja



Pouzdanost softvera

202

• Rejlijevu krivu bi trebalo iskoristiti za planiranje broja defekta u toku vremenarazvoja i vremena održavanja. Kontinualno treba pratiti aktuelnu brzinu pojavegrešaka i porediti je sa planiranom.

• Parametre koji direktno utiču na pojavu grešaka bi trebalo modifikovati

• Proizvod ne bi trebalo isporučiti prerano.

14.4. Modelovanje pouzdanosti softvera

Prvi modeli pouzdanosti softvera bili su zasnovani na pretpostavkama koje su važile zamodele pouzdanosti hardvera i zbog toga su bili jako kritikovani.

Većina sadašnjih modela koristi elemente slučajnih procesa i najviše se zasnivaju na

vremenu. Opis modela svodi se, dakle, na opis neke funkcije vremena, npr. funkcija srednjevrednosti ili funkcija intenziteta otkaza. Vrednosti parametara nekog modela mogu se dobiti nasledeće načine:

• predikcijom : iz osobina softvera i procesa razvoja softvera. Može se uraditi presamog izvršavanja programa

• procenom: primenjuju se statističke metode nad podacima o ranijim otkazima programa. Jasno je da se ovaj postupak može sprovesti tek pošto se programizvršava dovoljno dugo.

Modeli nisu egzaktni i ne prezentuju stvarnost u celini. Takođe, mora se imati u vidu i

nepreciznost koja se javlja prilikom određivanja parametara. Iz ovih razloga, parametri se zadajusa određenim intervalima poverenja (opseg vrednosti u kome se sa određenom verovatnoćomočekuje da se parametar nalazi)

Dobar model pouzdanosti trebalo bi da ima sledeće karakteristike:

• daje dobru predikciju ponašanja otkaza u budućnosti

• omogućuje procenu i izračunavanje pokazatelja pouzdanosti

• jednostavan je

• može se primeniti na različite softverske proizvode

• zasniva se na jasnim pretpostavkamaMože se koristiti za:

• kvalitativnu procenu softverske tehnologije

• procenu razvoja za vreme testiranja

• kontrolu operativnih osobina softvera i kontrolu novih mogućnosti, kao i promeneu dizajnu

• upotpunjavanja pogleda na softverski proizvod, kao i proces razvoja softvera

Većina modela podrazumeva da se program izvršava u nepromenljivom okruženju, tj. da

se programski kod i operacioni profil ne menjaju. Neki od modela dozvoljavaju izvestan broj



Pouzdanost softvera

203

grešaka, što je naročito pogodno u slučaju programa koji se koristi, a za koji se zna da postojegreške.

Da bi moglo da se predvidi pojava otkaza u budućnosti, vrednosti parametara modela ne bitrebale da se menjaju za vreme za koje se vrši predikcija. U suprotnom, treba sačekati da se pojavi

dovoljan broj otkaza da bi se mogla izvršiti ponovna procena parametara ili treba uračunati promenu parametara, što je nepraktično zbog povećanja kompleksnosti.

Postoje dve osnovne vrste modela pouzdanosti softvera: modeli rasta pouzdanosti i statistič ki modeli. Modeli rasta pouzdanosti određuju pouzdanost koristeći podatke o otkazima programa u prošlosti, dok statistički modeli koriste odzive (uspeh/neuspeh) programa na slučajan broj test primera, bez ispravljanja uočenih grešaka.

Modeli rasta pouzdanosti se prema prirodi otkaza dela na:

• Modele na bazi vremena izmeđ u otkaza. Oni pretpostavljaju da vreme između i-togi (i-1)-vog otkaza sledi raspodelu sa parametrima koji zavise od preostalog broja

grešaka u programu za vreme ovog intervala i očekuje se da će ovi intervali bitiduži kako se greške ispravljaju. S obzirom da je vreme otkaza slučajna promenljivai posmatrane vrednosti podležu statističkim promenama, ovo ne može biti tačno zasvaki par susednih vremena otkaza. Ova klasa sadrži dosta jednostavnih modela,ali i par dosta složenih.

• Modele prebrojavanja otkaza. Ovi modeli posmatraju broj otkaza u određenomvremenskom intervalu. Očekuje se da se broj otkaza u jedinici vremena smanjujekako se greške ispravljaju.

• Modeli ubacivanja greški i modeli koji se zasnivaju na ulazima. Ovo su vremenskinezavisni modeli. U modelima koji ubacuju greške, izvestan broj grešaka se

ubacuje u program, zatim se program testira i snimaju se otkazi koji su rezultat postojećih i ubačenih grešaka. Koristeći ove podatke vrši se procena ukupnog brojagrešaka. U modelima koji se zasnivaju na ulazima, mogući ulazi u program se delena skupove ekvivalentnih klasa, a svaka klasa je najčešće u vezi sa nekom putanjom programa. Program se testira za svaki od ovih skupova. Pouzdanost seodređuje iz dobijenog broja otkaza za vreme izvršavanja ovih test slučajeva.

Dakle, svaki od ovih modela ima različite pretpostavke i može se primeniti samo uodređenim fazama razvoja softvera. Na primer, u fazi dizajna ne može se koristiti ni jedan odmodela, u fazi testiranja delova ne mogu se koristiti vremenski zavisni modeli, u integralnomtestiranju može se koristiti većina postojećih modela, pri testiranju prihvatljivosti primenjuju semodeli prebrojavanja otkaza i modeli koji se zasnivaju na ulazima, a u operacionoj fazinajpogodniji su modeli prebrojavanja otkaza.

Neki od zaključaka donetih nakon detaljne analize svih modela od kraja šezdesetih godinadvadesetog veka su sledeći: koristiti vreme izvršavanja u cilju uprošćavanja modela, razdvojitiotkaze i greške, za određivanje parametara modela koristiti metode procene, pronaći nekikriterijum za poređenje, izvršiti klasifikaciju modela, prikupiti dobre podatke, prilagoditi modelspecifičnostima različitih aplikacija, koristiti intenzitet otkaza umesto srednjeg vremena otkazaitd.

Modeli po kriterijumu vremena mogu koristiti kalendarsko vreme i vreme izvršenja.Modeli koji koriste vreme izvršenja su uspešniji. Na primer, jedan telefonski upravljani sistem

može da ima vreme izvršenja od 10 sati/danu, dok neka specijalna matematička procedura možeraditi samo nekoliko minuta/danu. U oba slučaja je kalendarsko vreme 24h, ali se njihova



Pouzdanost softvera

204

vremena izvršavanja dosta razlikuju, dok njihov intenzitet otkaza zavisi sa druge strane odvremena koliko se izvršavaju.



Pouzdanost i raspoloživost telekomunikacionih sistema

205

15. POUZDANOST I RASPOLOŽIVOST

TELEKOMUNIKACIONIH SISTEMA

15.1. Uvod

Svaka savremena mreža bi trebalo da poseduje osobinu detektovanja kvarova i da vršineku vrstu “samopopravke” pre nego što krajnji korisnik (end user ) registruje bilo kakav kvar ukomunikaciji.

Postoje dve vrste tehnika za povećanje pouzdanosti sistema i to su zaštitne tehnike itehnike ponovnog uspostavljanja veza. Za obnavljanje veze pogođene kvarom prve tehnike

koriste unapred dodeljene resurse, što rezultuje visokom redudansom (odnos ukupnog i radnogkapaciteta). Kod restauracionih tehnika koriste se trenutno raspoloživi resursi tj. traži se nova

putanja nakon što se desi kvar. Zbog toga se zaštitne tehnike u savremenim telekomunikacionimsistemima koriste u posebnim slučajevima, dok su restauracione tehnike zastupljene u mrežama

paučinastog tipa (mesh).

Osnovne zaštitne tehnike su zaštita tipa 1+1, 1:1, 1:N i zaštitni prstenovi prikazani naslikama 15.1-15.4.

Slika 15.1 1+1 šema za zaštitu

Slika 15.2 1:1 šema za zaštitu




206

Slika 15.3 1:N šema za zaštitu

Slika 15.4 Prstenovi sa zaštitom (UPSR i BLSR)

Najznačajnije restauracione tehnike su tehnike restauracije linkova i tehnike restauracije putanja, slike 15.5 i 15.6, respektivno. Plavom bojom je označena radna putanja, a crvenomrestauraciona. Mesto kvara je označeno sa p1.

Slika 15.5 Primer restauracije linkova Slika 15.6 Restauracija na bazi putanja

15.1.1. Prstenaste i paučinaste strukture

Postoje dva osnovna i potpuno različita pristupa mrežnom dizajnu – to su prsten topologija(ring ) i paučinasta topologija. Samim tim postoje i dva različita načina u rešavanju problema

ponovnog uspostavljanja veza usled kvara u mreži.

Prsten topologija je dobila ime zbog toga što podaci idu samo u jednom smeru. Stabilnost

na kvarove se kod ovakvih struktura postiže ili korišćenjem dvosmernih prstenova samogućnošću prebacivanja ( BLSR – Bidirectional Line Switched Rings) ili pomoću




207

jednosmernih prstenova sa prebacivanjem putanja (UPSR – Unidirectional Path Switched Rings). Mogu se koristiti i njihove optičke verzije – optički prstenovi sa dodatnom zaštitom(OSRP - Optical Shared Protection Ring ). U UPSR verziji svaki transportni tok koji ide od tačkedo tačke (point – to – point) je u svom izvorišnom čvoru dupliran i rutiran kroz prsten na obestrane. Na prijemu za svaki čvor je potrebno obezbediti selekciju tipa 1+1. U BLSR tipu čvorovikoji su povezani sa linkom koji je u kvaru “osećaju ” gubitak signala, zbog čega testiraju statuskanala za zaštitu pa ako je taj kanal slobodan, signal se prebacuje u njega i vraća se u suprotnomsmeru. Svaki od tih susednih čvorova “gleda” u suprotnom smeru od smera zaštitnog kanala kako

bi primio kopiju signala. Ovaj metod je efikasniji od prethodnog UPSR metoda.

Čvorove prstena čine dodaj/ukini multiplekseri ( ADM – Add/Drop Multiplexers) prikazani na slici 15.8. Ovi ADM – ovi mogu dodati ili ukinuti bilo koju pritoku korisnih signalaod linijskih signala koji teku kroz njega (slika 15.7).

Prstenovi koriste jednostavan princip prebacivanja (switching ) koji dozvoljava obnavljanjeza oko 50 ms, ali zato takve strukture zahtevaju minimalno 100% redundans (redundansa

pokazuje koliko se dodatnog kapaciteta mora uneti u mrežu da bi bio ispunjen uslov stopostotneobnovljivosti ) U velikim multiprstenastim mrežama redundansa dostiže vrednost od čak 200% pai 300%. Ovo pokazuje da su prstenovi u bilo kakvom obliku brza rešenja sa malom kapacitivnomefikasnošću.

Slika 15.7 ADM č vor u jednomkonkretnom sluč aja

Slika 15.8 ADM č vor




208

Paučinasta topologija je prvenstveno interesantna zbog svoje imunosti na kvarovekanala/čvorova, jer se tok podataka može rutirati oko nefunkcionalnih i zauzetih čvorova.Restauracija paučinastih mreža se zasniva na korišćenju digitalnih komutatora. U slučaju datokovi podataka naiđu na nefunkcionalnu tačku, tada se ovi tokovi preusmeravaju drugim,rezervnim (nezauzetim), putanjama. Ovim dinamičkim načinom rutiranja se postiže da se svaka

jedinica rezervnog kapaciteta može upotrebiti na bilo kom mestu u mreži, čime se postižestoprocentna redundansa.

15.1.2. Metod prekrivanja prstenova

Zbog pozitivnih osobina paučinaste mreže, kao što su kapacitvna efikasnost i fleksibilnost,većina mrežnih operatera se opredelila za, na dugoročnom planu isplativu, paučinastu DWDMarhitekturu ( Dense Wavelength Division Multiplex ). Kako uglavnom svi mrežni operateri

raspolažu sa prstenastom arhitekturom ekonomičan prelazak na paučinastu strukturu rešava semetodom prekrivanja prstenova. Ovaj prelazak podrazumeva razmontiranje i ponovno korišćenjekapaciteta prstena u paučinastom modu rada.

Iskorišćenje kapaciteta prstena u paučinastoj strukturi izvodi se preko ADM čvorova. Kaošto je prikazano na slici 15.8 ADM ima mogućnost pristupa zaštitnom kanalu i ima dodaj/pusti

pristup. Da bi multiplekser radio kao element paučinaste strukture mora se konvertovati tako štoće se “pusti” konfiguracija amputirati, a portovi se povezati na dodatni saobraćaj komutatora.Ideja je da se obezbedi pristup obema vezama ADM čvora u prstenu, kao i zaštitnom kapacitetu.

Na slici 15.9 se vidi plan prekrivanja jedne prstenaste strukture. Slika 15.9a pokazuje rasporeddodatnih kapaciteta, a slike 15.9 b-d pokazuju koji su ADM – ovi konvertovani za pristup

paučinastoj strukturi.

Slika 15.9 Postupak prekrivanja prstena




209

15.1.3. Osnovni model paučinaste strukture

Metod paučinaste strukture osnovnog modela posmatra retke mreže kao nove paučinastemreže koje se sastoje od posebnih podmreža koje se nazivaju lanci. Retka mreža prikazana je na

slici 15.10. To je bi – povezana mreža koja ssadrži lance sa čvorovima stepena 2. Paučinastemreže su nastale kao rezultat usavršavanja dizajna paučinastih struktura sa osobinom restauracijeveza kako bi se mogle prilagoditi retkim grafovima.

Slika 15.10 Karakteristič an primer topologije retkog mrežnog grafa koji sadrži 55 č vorova, 62veze, srednji stepen č vorova je 2.25 i sadrži 16 lanč anih pod-mreža

Rezervni kapacitet je postavljen pored najvećeg radnog kapaciteta bilo koje veze u lancu ito je osbina za sve podmreže stepena 2 (prsten i lanac). Prsten je podmreža sastavljena oddvostepenih čvorova uređenih u krug, a lanac je povezani segment istih čvorova koji se nezatvara. Kada se desi kvar nekog linka u lancu, sav radni kapacitet se preusmerava (loop – back) usuprotan smer lanca sve dok se ne naiđe na čvor stepena 3+. Na slici 15.11 a–b je prikazan načinlink – restauracionog dizajna na prstenastim strukturama zajedno sa fazom zaokretanja pri

postupku restauracije [8].

Slika 15.11 Konekciono-restauracioni dizajn osnovnog modela pauč inaste strukture; na istoj slici je prikazana i faza zaokretanja i faza odbijanja i vraćanja pri restauraciji




210

Međutim,u paučinastoj strukturi osnovnog modela se pravi razlika između tipovatransportnih tokova u vezi lanca. Zahtevi koji potiču i/ili se završavaju u čvoru lanca se nazivajulokalni ili intra-lančani tokovi, dok zahtev koji putuje kroz lanac i koji ima poreklo i odredišteizvan lanca ili u nekom od trostepenih čvorova se naziva ekspresni tok. Paučinasti dizajn nudirezervni kapacitet koji je dovoljan samo za obezbeđivanje zaokretanja za intra-lančane tokove. Za

preusmeravanja ekspresnih tokova nije obezbeđen rezervni kapacitet, zbog čega se dozvoljava dase ovi tokovi jednostavno odbiju i vrate ( fail-back ) do čvorova stepena 3+. Ovo preusmeravanjeobavljaju susedni ADM – ovi, ali su sada lokalni tokovi podjednako usmereni kroz multipleksere.Ovo premošćavanje ADM – ova tokovi postižu na drugim talasnim dužinama ili drugom fiberu,čime se čuve propusni opseg jezgra multipleksera. To se vidi na slici 15.11(c) kao i da strukturaekspresnih tokova ostaje nepromenjena bez obzira gde je nastao kvar u lancu (za razliku odlokalnih tokova koji su promenjeni dodaj/pusti akcijama u čvorovima) i nemaju potrebu zazaokretanjem, već se odbijaju i vraćaju do 3+ čvorova. Odavde se zaključuje da rezervni kapacitetnije potreban unutar lanca za restauraciju ekspresnih tokova što predstavlja i uštedu rezervnogkapaciteta. Ovo je glavna ideja ovog koncepta.

15.1.4. Vrste paučinastih modela

Podela paučinastih modela izvršena je na osnovu kapacitivnih zahteva.

• 1+1 zaštita putanja

Drugi naziv ove metode je automatsko zaštitno prebacivanje (APS) i ono podrazumeva rutiranje sa unapred dodeljenim zaštitnim putanjama pokojima se istovremeno šalje radni zahtev (DP). Ovde su zahtevi najkraća

rutirana putanja i jednaka alokacija resurasa sa obe strane čvora. U prijemnom delu bira se najbolji signal.

• Restauracija veza – šema sa dodeljivanjem rezervnog kapaciteta (SCA)

Ovo je prva varijanta restaurabilnog modela kod koga su zahtevi, prvanajkraća radna putanja i optimalno dodeljivanje rezervnog kapaciteta.

• Restauracija veza – šema sa dodeljivanjem zajednič kih kapaciteta (Joint CA)

Kod ovog modela minimizacija ukupnog i radnog kapaciteta vrši seoptimizacijom radnih putanja.

• Meta – pauč inasti modelOpisan u prethodnom poglavlju.

• Zaštita sa zajednič ki deljenim rezervnim putanjama – SBPP

Ovde su zahtevi najkraća rezervna putanja i pojedinačno rastavljenarezervna ruta tipa end – to – end i prethodno je određena za svaki radnizahtev. Postoji signalizaciona faza koja u realnom vremenu vršikomutaciju zajedničkog deljenog kapaciteta. SBPP metod se ponekadnaziva i metod zaštite putanja koji je nezavisan od kvarova. To je zbog togašto je ruta rezervne putanje nezavisna od mesta gde je na radnoj putanjinastao kvar.

• Restauracija putanja (Path Restoration) - "Path"




211

Ovde ne postoje unapred određene rezervne putanje u slučaju kvara kaokod SBPP, a zahtevi su prvo rutirani preko svojih najkraćih putanja pa setek onda optimizuje rezervni kapacitet.

Na slici 15.12 a je prikazana master mreža sa 32 čvora i 51 – im linkom (mreža iz koje su

izvedene ostali modeli 15.12 b – i ) [8]. Na slici 15.13 se vide rezultati ispitivanja [8] – zahtevi za radnim i rezervnim kapacitetom

svake šeme na svim test mrežama. Ukupni zahtevani mrežni kapacitet koji je potreban da bi sezadovoljili uobičajeni zahtevi je suma svih krivih, a njihov odnos se naziva redundansa(rezervni/radni). Može se primetiti da skoro ne postoji razlika između zahteva za radnimkapacitetom bilo koje od šema. Između šema orijentisanih "ka vezama" ( SCA, JCA) i šema kojesu orijentisane "ka putanjama" ( SBPP, Path) se nalazi paučinasti princip koji pokazujekapacitivnu efikasnost kao SBPP i Path, a ima osnovne mehanizme zasnovane na restauracijilinkova. Ovo ima veze sa interpretacijom specifičnog premošćivanja vezanog za ekspresne tokovelančanih pod-mreža kao specifičnog tipa delimične restauracije putanja.

Slika 15.12 Master mreža (a) i mreže koje su izvedene iz nje (b-i)




212

Slika 15.13 Zavisnost cene radnog i rezervnog kapaciteta od srednjeg stepena povezanosti

15.1.5. Koncept p – krugova

Metod p – krugova je nastao kao hibrid prstenastog i paučinastog pristupa, pa se možeokarakterisati kao unapred konfigurisani zaštitni krugovi u paučinastim mrežama.

Ovde se posmatraju p-krugovi koji su primenjeni na mreži sa osobinom prebacivanja pomoću električnih kola (circuit-switched ). Inače, postoje dve vrste p-krugova. Prvi su tzv. linkni p-krugovi i oni štite pojedinačne kanale u okviru linka. Drugi su čvorno-okružujući p-krugovi ioni su manje bitni. Na slici 15.14(a) je prikazana mreža sa jednim linknim p-krugom [10].

Slika 15.14 Mreža sa jednim p-krugom (a) koja može zaštiti kružne linkove (b) i tetivne linkove(c)-(d)




213

Taj p-krug je u mogućnosti da zaštiti sve kružnične linkove, kao što se vidi na slici15.14(b). Pored toga, p-krug može da zaštiti i tetivne linkove. U slučaju kvara jednog takvoglinka, svaki p-krug može zaštititi dve radne putanje na linku tako što obezbeđuje dve alternativne

putanje oko p-kruga, što se može videti na slici 15.14 (c-d).

Slika 15.15 Konkretan primer zaštite od kvarova

Da bi se malo detaljnije objasnio postupak obnavljanja kod p-krugova koristi se slika15.15(a)-(c). Na slici 15.15(a) je prikazan jedan primer p-kruga, a na slici 15.15(b) se javlja jedankružnični kvar.

Kao kod prstenova (posebno kod BLSR tipa), p-krugovi se zaštićuju od tih kružničnihkvarova pomoću zaokretanja (loop-back ). Na slici 15.15(c) se pokazuje kako se, na istom krugu,vrši restauracija kada se desi kvar tetivnih veza i linkova. Efikasnost pokrivanja u slučaju

prikazanim na slici 15.15(c) je dva puta veća nego kod kružničnih kvarova, zbog toga što su dvarezervna puta raspoloživa iz svake jedinice zaštitnog kapaciteta p-kruga. Svi dosadašnji prstenovi(UPSR, BLSR, itd.) su omogućavali najviše jednu takvu putanju po jedinici zaštitnog kapaciteta ikao takvi su mogli samo da podrže kružnične kvarove. Dozvoljavanjem da se isti zaštitnikapaciteti koriste i za kružnične i za tetivne kvarove, pronađeno je da skup p-krugova kojim semogu pokriti svi kvarovi zahtevaju 3 do 6 puta manje kapaciteta nego što bi se to zahtevalo uklasičnoj prstenastoj konfiguraciji.

P-krugovi mogu biti formirani od individualnih jedinica rezervnog kapaciteta na sistemimasa optičkim komutatorima i mogu biti logički preuređeni tako da se adaptiraju željenom obrascurasta što kod prstenova nije bilo moguće, jer su objedinjavali radni i zaštitni kapacitet. Kako su p-krugovi isključivo deo rezervnog kapaciteta oni se mogu prilagoditi radnom nivou u bilo kojevreme, bez uticaja na radne zahteve. Suprotno tome, prstenovi samo potvr đuju putanje koje tokovimoraju uzeti umesto da se prilagode putanjama koje tok "želi" da ima.

Ekvivalent ADM čvoru u strukturi p-kruga sličan je "klasičnom" ADM-u po tome što imadva linijska optička interfejsa na tzv. "istočnoj" i "zapadnoj" strani (svaki ima 50/50




214

radnog/rezervnog) i dodaj/pusti interfejs pomoću koga se može pristupiti pritokama. Razlika uodnosu na prstenasti ADM je u tome u ovom slučaju postoje dodatni radni interfejsi na "južnoj"strani tj. prema tetivnim vezama. Uopšteno, može postojati 2, 4, 6 ili više radnih veza/portova natoj strani. Rezultat svega je čvorni uređaj koji je prikazan na slici 15.16. Kvar može biti"obrađen" na bilo kom paru tetivnih interfejsa tako što se signali sa njih prebacuju naodgovarajuće "istočne" ili "zapadne" rezervne linije. Kombinacija osobina postavlja ovaj uređajizmeđu prstenastog ADM-a i potpuno digitalnog komutiranog sistema.

Slika 15.16 Č vorni uređ aj za mreže bazirane na p-krugovima, koji lič i na ADM č vor

15.2. Mreže za Internet saobraćaj

Rast Internet saobraćaja je pouzrokovao razvoj savremenijih i pouzdanijih mreža u odnosuna standardne mreže koje nisu mogle da zadovolje uslove koje im postavljaju sve obimniji protoci

podataka [11]. Mrežni modeli koji se danas razvijaju zasnovani su na optičkim transportnimmrežama (OTN ), među kojima je i IP/MPLS (slika 15.17), nastao kao odgovor na skupi IP/ATMmodel sa SDH prenosom preko optičke transportne mreže.




215

Slika 15.17 IP/MPLS OTN mreža

Glavne aplikacije vezane za MPLS su: upravljanje tokom podataka, QoS, CoS i virtuelne privatne mreže (VPN ).

15.2.1. Sposobnost brzog oporavka kod IP/MPLS modela

Ideja je zasnovana na mogućnosti da se oporavak od kvara obezbedi u optičkom nivou(premda se kvar može oporaviti i u IP/MPLS nivou). Razlog za to leži u činjenici da je uoptičkom nivou protreban manji broj akcija za opravak, čime se scenario kvara pojednostavljuješto povećava brzinu opravka mreže od kvara. Međutim, postoje kvarovi čiji se oporovak ne možeobaviti unutar optičkog nivoa. Primer je kvar IP rutera. Takođe, optički nivo nije u mogućnosti da

popravi putanje u optičkom nivou, koje potiču ili se završavaju u pokvarenom optičkomkomutatoru (OXC ). To se može videti na slici 15.17. Sve ovo ukazuje na to da ako je cilj damreža bude neosetljiva na kvarove, šeme za oporavak se moraju razvijati u oba nivoa mreže.

Pri projektovanju stabilne šeme (stabilna u odnosu na kvarove), javljaju se dve vrste problema. Prvi problem je povezan sa internom funkcionalnošću koja je potrebna u mreži da bi

postojala koordinacija raznih akcija oporavljanja koje se dešavaju u oba nivoa. Drugi problem setiče dodavanja rezervnog kapaciteta. Rezervni kapacitet u statičkim transportnim mrežama mora

biti predviđen u oba nivoa mreže. Nasuprot tome, u inteligentnim transportnim mrežama se koristivišenivoska šema oporavka i tada je rezervni kapacitet alociran samo na optičkom nivou.

15.2.1.1. Statičke šeme za oporavak

Oporavak mreže se vrši u oba nivoa. Kao primer, navodimo pojedine mogućnosti zaoporavak mreže od kvarova IP rutera u IP/MPLS nivou: MPLS sa ponovnim rutiranjem, FTCR sa

ponovnim rutiranjem i MPLS sa lokalnom zaštitom. U svim navedenim slučajevima rezervnikapacitet mora biti ugrađen u IP nivo. Što se tiče OTN nivoa primeri šema za oporavak su: zaštita




216

putanja ili linkova, 1+1 zaštita putanja itd. Kao i u IP/MPLS nivou i ovde je prisutan rezervnikapacitet.

Prva i jednostavnija opcija statičke višenivoske šeme za oporavak je nazvana dupla iliredundantna zaštita gde šema oporavka u optičkom nivou štiti i rezervne resurse IP/MPLS nivoa.

Zbog rasipanja optičkih resursa koje je prisutno kod prve opcije moralo se pribeći poboljšanju šeme oporavka. Takav pristup problemu je doneo opciju nazvanu šema nezaštićenogrezervnog IP-a. Kako i sam naziv šeme govori radni kapacitet IP nivou je zaštićen u optičkomnivou dok rezervni IP kapacitet nije.

Treća opcija takođe podrazumeva poboljšanja i naziva se koncept zajednič kih zaliha rezervnih resursa (common pool ). Glavno unapređenje u odnosu na prethodne dve opcije je to što

je u ovom slučaju potrebno manje resursa u transportnom nivou.

15.2.1.2. Dinamičke ION šeme za oporavak

ION mreža – inteligentna optička mreža ima prednost u odnosu na druge tipove jer onaobezbeđuje potrebne kapacitete samo kada zatreba. Praktično, ona omogućava ukidanje rezervnogkapaciteta u IP nivou radi oporavka od kvarova. Međutim, u optičkom nivou rezervni kapacitet se

podrazumeva zbog nastajanja kvarova u nižim nivoima mreže (presecanje kablova ili kvarovioptičkog komutatora). Takođe, prisutni su i zahtevi za određenim kapacitetom koji bi služio prirekonfigurisanju IP tehnologije i preusmeravanje toka podataka na istom nivou.

Na slici 15.18 se vide različiti scenariji ION struktura: jedan slučaj je bez kvarova(nominalni) i po jedan za svaku rekonfigurisanu topologiju (pri kvaru samo jednog rutera).

Slika 15.18 Planiranje višenivovskih mreža: dimenzionisanje IP i OTN nivoa




217

Pomenuta rekonfiguracija topologije tokom kvara može biti bazirana na dva principa. U prvoj opciji cilj je da u svakom momentu postoji optimalna topologija koja bi bila u skladu sanovim obrascem transporta (npr. ne sme se dozvoliti da transport ulazi ili izlazi iz mreže prekoneispravnog rutera). Dakle, pri nastanku kvara je potrebno ponovo proračunati i konfigurisati IPtopologiju ( Kleinrock metoda) da bi se postigla ona koja je optimalna. Preostali saobraćaj se tada

preusmerava preko nove konfiguracije. Takvu opciju nazivamo ION mreža sa globalnimrekonfigurisanjem ili kraće ION – globalna.

U drugoj opciji se podrazumeva manja rekonfiguracija IP topologije pri pojavi kvara patakvu strukturu zovemo ION sa lokalnim rekonfigurisanjem, kraće ION – lokalna. Zavisno od

potreba novog saobraćaja kapaciteti linkova su smanjeni ili prošireni.

Zbog lakšeg poređenja dveju šema posmatrana je mreža u Italiji, prikazana na slici 15.19. Na levoj strani te mreže prikazana je optička topologija mreže, a na desnoj logička topologija IP-akoja je optimizovana za situacije bez kvarova ( failure free) – nominalna IP topologija.

Slika 15.19 Mreža u Italiji na kojoj je vršena analiza procesa višenivovskog oporavka

Na slici 15.20 su prikazani rezultati dobijeni poređenjem statičkih i dinamičkih šema u pogledu troškova u izgradnji. Ukupna cena mreže je podeljena u tri dela: linijski troškovi – proporcionalni sa dužinom linkova, čvorni troškovi – proporcionalni broju kanala koji ulaze/izlazeiz optičkog komutatora i pritočni troškovi - za svaki ruter koji je pridružen optičkom komutatoru.




218

Slika 15.20 Rezultati poređ enja svih statič kih i dinamič kih šema u pogledu troškova

15.2.2. Rekonfiguracija IP topologije

Pri projektovanju mreže pored troškova izgradnje mora se voditi računa i o operacionimaspektima mreže. Kod statičkih šema sa osobinom brzog oporavka, IP topologija ostajenepromenjena, dok kod dinamičkih šema postoji IP rekonfiguracija, pa čak i reoptimizacija tokomstanja kvara. To doprinosi povećanju ili smanjenju količine saobraćaja na nekim logičkim

linkovima. Pravilo pri projektovanju mreža je da bude što manje rekonfiguracija u mreži jer setime smatra da je situacija u mreži bolja. Time se najviše rukovodimo kad pristupamo ovom

problemu mreže.

Slika 15.21 Broj operacija rekonfigurisanja i za lokalni (dole) i za globalni (gore) sluč aj




219

Na slici 15.21 prikazan je broj zahtevanih operacija rekonfigurisanja i za globalnu (gore) iza lokalnu (dole) rekonfiguraciju za mrežu prikazanu na slici 15.19. Na grafikonu se vidi da je

broj svetlosnih putanja koje ostaju na mestu i koje moraju da se postave za vreme uslova kvaraidentičan broju putanja u nominalnom stanju (ili stanju bez kvarova rutera), koje odgovaravrednosti od 100%.

Obe ION šeme, globalna i lokalna, uspevaju da rekonfigurišu IP topologiju tako da radizaobilazeći kvarove rutera. Dinamička višenivoska šema sa osobinom brzog oporavka i saograničenim brojem rekonfigurisanih logičkih linkova (ION – lokalna) se po pitanju cene

pokazala boljom u odnosu na komplikovanu, ali i efikasnu statičku višenivosku šemu sa osobinom brzog oporavka.

Napredna ION – globalna šema koja optimizuje IP topologiju u svim mogućimscenarijima kvarova zahteva znatno više rekonfigurisanja čime gubi na atraktivnosti uoperacionom pogledu. Takođe, ta šema zahteva instalaciju više resursa u optičkom nivou negolokalna, što je čini skupljom u odnosu na statičku šemu sa osobinom brzog oporavka.

Na kraju, najatraktivninje i najoptimalnije rešenje šeme za oporavak od kvara, u mrežamatipa IP/MPLS OTN, sa ograničenim brojem rekonfiguracija je ION lokalna šema koja obezbeđujetraženu sposobnost mreže za brzim oporavkom nakon kvara .

15.3. Projektovanje IP mreža

15.3.1. QoS (kvalitet servisa)

QoS tehnologija nam obezbeđuje korišćenje postojećeg propusnog opsega na najefikasnijinačin, dakle, bez povećanja propusnog opsega u mreži što je bio slučaj u prošlosti [14].

Ioako pruža moćne mogućnosti QoS tehnologija ne može eliminisati, pa čak ni redukovatinagomilavanja u mreži. Za jako opterećenu mrežu potrebno je uvesti dodatni propusni opseg. QoS“samo” daje prioritet transportu koji se zadesio u situaciji nagomilavanja.

Implementaciju QoS-a je moguće izvršiti hardverski i softverski i od načina sameimplementacije zavisi efikasnost koju će pružiti QoS. U realnim slučajevima, kombinacijahardvera i softvera je najbolje rešenje, jer hardver pruža dobru brzinu, a softver fleksibilnost idalje mogućnosti proširenja tehnologije. Implementacija QoS-a duž cele mreže, odnosno od jedne

do druge krajnje tačke (od-kraja-do-kraja), jedino daje prave rezultate, za razliku odimplementacija na ivicama ili na jezgru mreže. Postoje dve osnovne tehnologije takvog QoS-a:konekciono orijentisana (tok kola) i beskonekciono orjentisana (tok podataka).

Najvažniji atributi QoS-a su propusni opseg, kašnjenje i gubitak paketa.

15.3.2. Diferencirani QoS

Kako se u savremenim mrežama zahteva istovremeno postojanje i QoS-a i parametara brze

oporavljivosti na sve vrste kvarova, što dovodi do problema, jer nijedan od atributaobnovljivosti/oporavljivosti (raspoloživost mreže i vreme oporavka) nije podržan QoS




220

arhitekturom. Rešenje tog problema je predloženo u formi integrisanja QoS i zahtevaobnovljivosti, odnosno u formi RD-QoS ili diferencirane QoS (Resilience Differentiated QoS)arhitekture, koja obezbeđuje osobinu obnavljanja komunikacije od-kraja-do-kraja u IP mrežama.Tehnologija je koncipirana na signalizaciji za obnovljivost što nije bio slučaj kod ranijiharhitektura QoS-a. Zavisno od toga kakva se QoS arhitektura koristi, signalizacija može biti tipaod-kraja-do-kraja, ili između aplikacije i granice mreže.

Mreža mora voditi računa da zahtevani QoS nivo bude očuvan i u slučaju kvara u mreži ito sa minimalnim vremenom prekida servisa. Time se zahteva pažljivo upravljanje propusnimopsegom i resursima tako da se ostavlja dovoljno rezervnih kapaciteta radi kontinuiranog pružanjaservisa u svim mogućim slučajevima kvarova.

U normalnim uslovima (bez kvarova na mreži) transportom se upravlja pomoću QoSarhitekture, bez RD-QoS ekstenzije. U slučaju kvara na mreži paketi sa zahtevom za obnovljivostimaju prednost u odnosu na pakete niskog prioriteta, tj. pakete koji nemaju zahtev za obnovljivost.Ti zahtevi takođe imaju svoje stepene prioriteta, što znači da ukoliko se nađe, u isto vreme, više

zahteva jedan od njih će biti stavljen u red na čekanje, dok će drugi biti odmah usluženi.Postoji četiri klase oporavljivosti (u kojima su definisani pored ostalog i zahtevi za

oporavljivost), Tabela 15.1. Njihova osnovna razlika je u vremenu oporavka.

Tabela 3.1 Detaljne osobine klasa oporavaka

Servisna klasa RC1 RC2 RC3 RC4

Zahtevi za oporavak Visoki Srednji Niski -

Vreme oporavka 10-100ms 100ms-Is 1-l0s -

Šema za oporavak odkvara

Zaštita Restauracija Naknadno ratiranjeUnapred ugovoren

saobraćaj

Postavljenje putanjaza oporavak

Unapred ustanovljeno Hitno, po zahtevu Odloženo, po zahtevu -

Alokacija resursa Unapred rezervacija Po zahtevu (osigurano)Po zahtevu (ako su

dostupni)-

QoS nakon oporavka IstiMoguće privremeno

smanjenje

Može biti smanjen Nema QoS

15.3.3. Proširenje QoS-a

Definisana su dva modela od strane IETF grupe koja podržavaju kvalitet konekcionoorijentisanih servisa sa obradom u realnom vremenu. Prvi metod je IntServ arhitektura (IntegratedServices) sa RSVP (Resource Reservation Protocol) signalizacionim protokolom, prikazana naslici 15.22, a drugi je DiffServ arhitektura (Differentiated Services), prikazana na slici 15.23.




221

U IntServ modelu, QoS servisni zahtevi imaju signalizaciju na bazi transportnih tokovakroz mrežu, koji su tipa od-kraja-do-kraja, gde se zahtevani mrežni resursi rezervišu pomoćuRSVP protokola. Za zahteve za obnovljivost sa visokim prioritetom (RC1 ili RC2), mreža morada sačuva dovoljno rezervnog kapaciteta tako da u slučaju kvara mora biti pronađena alternativna

putanja sa zahtevanim QoS-om, koja se postavlja tek nakon događaja i detekcije kvara. Ovaarhitektura nije široko rasprostranjena zbog svojih problema sa skalabilnošću.

Kod DiffServ tehnike postoji mogućnost implementacije QoS-a za združene tokove podataka na bazi korak-po-korak: saobraćaj je razvrstan u servisne klase i onda se te klase usvakom koraku kroz mrežu posebno obrađuju. Pri pojavi kvara, mreža prosleđuje samo one

pakete koji imaju odgovarajuću kombinaciju bitova u zaglavlju, tj. bite koji predstavljaju zahteveobnovljivosti određene RC klase. Postupak rada DiffServ arhitekture je slikovito prikazan na slici15.23.

Slika 15.22 IntServ mrežna arhitektura

Slika 15.23 DiffServ mrežna arhitektura

15.3.4. MPLS opcije za oporavak

Problem brzog oporavljanja transportnih tokova, čije rešenje ne nudi QoS tehnologija,rešava MPLS princip. Najvažniji tipovi oporavka sistema su prikazani u tabeli 15.23.




222

Za slučaj zaštitnog prebacivanja, alternativna LSP (Label Switched Path) putanja jeunapred ustanovljena, čime se dobija najkraći poremećaj transporta u slučaju kvara. Moguće jerealizovati obe vrste zaštite, i 1+1 i 1:1. Kod 1+1 zaštite paketi se šalju istovremeno i po radnim i

po alternativnim putanjama. U slučaju kvara radne putanje, prijemna strana bira pakete izalternativne putanje. S druge strane, kod 1:1 tipa zaštite paketi se šalju na unapred definisanimalternativnim putanjama samo u slučaju kvara mreže. Takve putanje se nazivaju LSP-ovi zaoporavak i one se ne koriste samo u slučaju kvara. U normalnom stanju mreže ti LSP-ovi se mogukoristiti i za prenos saobraćaja niskog prioriteta, pod uslovom da u slučaju pojave kvara takavsaobraćaj bude ispušten iz transporta.

Tabela 15.2 Razne opcije oporavka

Model obnavljanja Zaštitno prebacivanje MPLS restauracija (ponovnorutiranje)

(IP) ponovno rutiranje

Alokacija resursa Unapred rezervisano Rezervisano po zahtevu

Korišćenje resursa Namenjeni resursi Deljeni resursi Dozvoljeni dodatni saobraćaj

Postavljanje putanja Unapred utvr đeno Unapred kvalifikovano Ustanovljeno po zahtevu

Područ je delovanjaLokalne

popravkeGlobalne popravke

Naizmeničniizlazni par

Višenivovska popravka

Koncentrisani domen popravki

Događaj koji startujeproces obnavljanja

Automatski ulazni signaliEksterno komandovanje

(OAM signalizacija)

Na slici 15.24 date su vrste MPLS šema za oporavak.

Slika 15.24 Vrste šema za oporavak




223

Šema sa zaštitnim prebacivanjem, kod koje je LSP za oporavak prethodno određen zasvaki link, se naziva MPLS šema sa brzim ponovnim rutiranjem ( fast reroute) i ona je prikazanana slici 15.24(a). Za ovu šemu nije potrebno uvođenje signalizacije tipa od-kraja-do-kraja jer čvordetektuje kvarove i odmah prebacuje ugroženi transport na putanju za oporavak. Pored

pomenutog metoda sa brzim ponovnim rutiranjem, postoji još jedan metod zasnovan na tom principu – Haskinov metod (slika 15.24(b)).

Zaštitne šeme sa prebacivanjem ( protection switchng ) sa globalnim popravljanjem kvarova se zajednički nazivaju zaštita putanja ( path protection),slika 15.24(c) . U ovom slucajuLSR ruter koji vrši funkciju prebacivanja mora biti obavešten da je radna LSP putanja ugašena da

bi se ista prebacila na zaštitnu LSP putanju. Samim tim, potrebno je uvesti signalizaciju koja bi podržala takva obaveštenja o kvarovima (prošireni RSVP).

Šeme zasnovane na principu MPLS restauracije (slika 15.24 (d,e,f)) imaju protokol pokome LSP putanje za oporavak bivaju postavljane na zahtev, nakon hardverske detekcije kvara.Zbog vremena zahtevanog za proračun novih ruta, signalizaciju i rezervaciju resursa, MPLS

restauracija je znatno sporija od odgovarajucih mehanizama zaštitnih metoda. Prednost im seogleda u jevtinijim postupcima.

15.3.5. Veza RD-QoS-a i MPLS mehanizama oporavka

Kod klase RC1, kada se uspostavi LSP putanja sa visokim zahtevima za obnovljivost,MPLS mreža signalizira alternativne rute koristeći proširenja postojećih signalizacionih protokola.

Nakon detekcije kvara na linku ili čvoru mreža odbacuje saobraćaj niskog prioriteta i prebacujekvarom pogođene transportne tokove na LSP alternativne putanje.

Kod klase RC2, pri uspostavljanju LSP putanje signalizacija se vrši na upravouspostavljenoj putanji. Mora se, takođe, obezbediti dovoljno rezervnog kapaciteta koji ceomogućiti pri pojavi kvara, alternativnu putanju sa zahtevanim stepenom QoS-a.

Za klasu RC3, važi pravilo da MPLS restauraciona šema nije konfigurisana i da nisurezervisani dodatni resursi. Nakon kvara, mreža pokušava da uspostavi kvarom pokvarenisobraćaj klase RC3, ali tek pošto su završeni procesi oporavljivosti klasa RC1 i RC2.Oporavljivost može biti izvršena u IP nivou ili putem MPLS mreže. Za prvi slučaj jekarakteristično vreme čekanja (hold-off time). Nakon tog vremena pomoću MPLS signalizacije,uspostavlja se LPS putanja koja ima redukovane QoS zahteve.

Transport sa klasom RC4 biva ispuštan iz transporta, kada nema dovoljno rezervnogkapaciteta, da bi se oslobodili resursi namenjenjeni servisima sa zahtevima obnovljivosti višihklasa (od RC1 do RC3). Kada nije prisutan kvar u MPLS domenu transport klase RC4 se tretirakao dodtani saobraćaj viših klasa.

15.3.6. Upravljanje transportom kod RD-QoS arhitekture

Sistem u kojem se vrši proračun za dodelu resursa svakog linka posebno, naziva se sistemza upravljanje mrežom (Network Menagement System – NMS). NMS dodeljuje resurse svakom

ulazno/izlaznom paru čvorova za odgovarajuću klasu zahteva za obnovljivost i time čvor unapred




224

može znati da li poseduje dovoljne resurse za novi saobraćajni tok. Podela resursa na linku je prikazana na slici 15.25.

Slika 15.25 Podela resursa na linku

U svrhu praktične analize, RD-QoS Traffic Engineering (TE) procesa upravljanjatransportom, razmatrana je pan-evropska COST 239 mreža prikazana na slici 15.26. Procesi suimplementirani u C++ programskom jeziku.

Slika 15.26 Evropska COST 239 mreža

Rezultati ispitivanja su prikazani na slici 15.27 i tabeli 15.3 [6]. Za scenario sa više klasaobnovljivosti pretpostavljen je odnos RC1:RC2:RC3:RC4 od 1:2:3:4. TE proces je analiziran zatri RC1 mehanizma oporavljanja (zaštita linkova, Haskin-ov i zaštita putanja) i za tri RC2mehanizma (restauracija putanja, restauracija linkova i restauracija između čvora koji se nalaziuzvodno od kvara i izlaznog čvora). Takođe, radi poređenja sa ostalim rezultatima izvršena sudodatna merenja za scenario bez rezervisanih dodatnih resursa (što odgovara 100%-nim RC3zahtevima), scenario sa punom restauracijom (100%-ni RC2 zahtevi) i scenario sa punomzaštitom (100%-ni RC1). Na slici 3.6 dati su dupli grafici za slučajeve od B do J iz razloga

primene dva slučaja klasa RC1 i RC2.




225

Slika 15.27 Rezultati ispitivanja COST 239 mreže: ukupni rezervisani mrežni kapaciteti za svakiod šesnaest posmatranih scenarija

Tabela 15.3 Rezultati ispitivanja COST 239 mreže

Opcije oporavka Korišćeni resursi po RC klasi Total

RCl RC2 RC1a RC2a RC3 RC4 RClb RC2b

A - - 0 0 5126 0 0 0 5126

B Zaštita putanja Glob. restaur. 507 1014 2028 1521 750 811 5464

C Zaštita putanja Lok. do izlaza 507 1014 2028 1521 750 1028 5712

D Zaštita putanja Lok. restaur. 507 1014 2028 1521 750 1160 5949

E Haskin Glob.restaur. 507 1014 2028 1521 909 831 5668

F Haskin Lok. do izlaza 507 1014 2028 1521 909 1041 5880

G Haskin Lok. restaur. 507 1014 2028 1521 909 1205 6080

H Zaštita linkova Glob. restaur. 507 1014 2028 1521 1056 805 5926

L Zaštita linkova Lok. do izlaza 507 1014 2028 1521 1056 1107 6209

J Zaštita linkova Lok. restaur 507 1014 2028 1521 1056 1350 6531

K - Glob. restaur. 0 5121 0 0 0 4861 9982L - Lok. do izlaza 0 5121 0 0 0 6371 11492

M - Lok. restaur 0 5121 0 0 0 8429 13550

N Zaštita putanja - 5089 0 0 0 7540 0 12629

O Haskin - 5081 0 0 0 9141 0 14222

P Zaštita linkova - 5070 0 0 0 10849 0 15919

Rezultati pokazuju da se kompleksnost TE procesa može opravdati dobitkom u propusnomopsegu (postiže se ušteda od 34% do 65%). Takođe je primećeno da su pojedini mehanizmi zaštite

bolji u pogledu ostvarivanja zahteva za propusnim opsegom od drugih. To se najlakše može

primetiti analizom tabele 15.3.




226

15.4. Uticaj kvarova na mreže sa bežičnim pristupom

15.4.1. Uvodna razmatranja

Usled povećanja potreba za mobilnim komunikacijama došlo je do porasta i razvoja bežičnih mreža. Od više tipova bežičnih mreža, mobilne ćelijske i PSC mreže (Phone/PersonalCommunications Services- PSC) predstavljaju sektor sa najbržim rastom i trenutno daju akcenatna mobilne servise podataka (Mobile Data Service) [20]. Sa apekta pouzdanosti servisa, korisnici

bežičnih mreža će vremenom zahtevati istu pouzdanost kao kod današnjih mreža sa fiksnim pristupom.

Strategije koje obezbeđuju preživljuvost mreža sa bežičnim prisrupom moraju bitidizajnirane na poseban način da se bore i sa prostornim i sa zemaljskim problemima. Preživljivost

mreže se koristi da opiše raspoložive performanse mreže nakon nekog kvara. Idealna osobina preživljivosti mreža podrazumeva da je kvar neprimetan za korisnika i da se obezbedi kontinuitetu pružanju servisa. Postoje različiti parametri koji nastaju kao rezultat merenja preživljivostimreža: verovatnoća blokiranja poziva i procenat poziva koji su ponovo uspostavljeni nakon kvara.

Uobičajna arhitektura mreža sa bežičnim pristupom druge generacije (2G) mobilnihkomunikacija je prikazana na slici 15.28. Na njoj je prikazano ono što je tipično za današnjećelijske/PSC mrže [20].

Slika 15.28 Tipič na ćelijska / PCS mreža sa osnovnim elementima




227

15.4.2. Osnovni model za projektovanje preživljivih mreža sa bežičnimpristupom

Da bi mreža imala epitet preživljive moraju postojati alternativne rute između mrežnihkomponenata sa odgovarajućim mehanizmima restauracije transporta ili moraju postojatiinteligentne rezrvne komponente. Mreže sa bežičnim pristupom se moraju ″nositi″ sa problemomkorisničke mobilnosti, održanjem snage u mobilnim stanicama, sigurnošću, lošim kvalitetomradio linkova i ograničenim frekvencijskim spektrom u kanalu da bi bile imune na kvarove.Pitanja preživljivosti naročito moraju uzeti u obzir korisničku mobilnost, koja može značajno dadegradira performanse mreže kada se desi kvar. Tehnike za preživljivost koje se koriste u žičnimmrežama ne mogu biti primenjene u mrežama sa bežičnim pristupom. Zato je razvijen okvir za

preživljivost koji predstavlja određene smernice u celokupnom postupku dizajna i analize takvihmreža [6]. Okvir predstavlja tri nivoa sa raznim strategijama preživljivosti u svakom nivou. Svakiod ovih nivoa karakterizuje određena mrežna funkcija, komponente i komunikacioni linkovi. To

se može videti u tabeli 15.4.

Tabela 15.4 Nivoi preživljivosti mreža sa bežič nim pristupom

Nivo Komponente Komunikacioni linkovi Funkcije

Pristupni radio nivoMobilne jedinice, bazne

stanice (BS)Digitalni radio kanali sa

TDMA, FDMA ili CDMA

Definisanje fizičkoginterfejsa za radio

komunikaciju

Linkni pristupni nivoBazne stanice, kontroleri

baznih stanica (BSC)

Zičani linkovi i/ili zemaljski

mikrotalasni linkovi

Upravljanje klasterima BS,

upravljanje radio kanalima

TransportniBazne stanice, kontroleri

baznih stanica, mobilni centriza prebacivanje (MSC)

Žičani linkovi i/ili zemaljskimikrotalasni, SS7 žičani

linkovi

Upravljanje pozivima/konekcijama,upravljanje mobilnošću

InteligentniMSC, HLR, VLR, EIR,

AUC,signalizaciona mreža

Zičani linkovi i/ili zemaljskimikrotalasni, SS7 žičani

linkovi

Upravljanje servisima,upravljanje mobilnošću

U tabeli 15.5 se vide sve moguće mere preživljivosti u zavisnosti od načina rada ponivoima i mogućim posledicama na servis:




228

Tabela 15.5 Tipič ni scenariji kvarova sa merama preživljivosti u svakom sloju

Nivo Scenario kvara Potencijalne posledice Moguće mere preživljivosti

Pristupni Gubitak BS-eParcijalni ili puni gubitakservisa u ćeliji, povećan

saobraćaj u ćelijam susednimsa kvarom

Verovatnoća blokiranja poziva, verovatnoća nasilnog

prekida veze

TransportniGubitak linka između BSC i

MSC

Parcijalni ili puni gubitakservisa u klasteru ćelija,

povećan saobraćaj u ćelijamakoje su susedne sa onom gde

je nastao kvar

Verovatnoća blokiranja poziva, verovatnoća nasilnog

prekida veze, kašnjenjeuspostavljanja veze,

kašnjenje prekida poziva,kašnjenje ažuriranja

Inteligentni Gubitak VLRGubitak servisa roaming-a u područ ju pokrivanja MSC-a

Gubitak korisničkog tereta (uErlanzima), kašnjenje u

pristupu bazama podataka

Da bi se moglo videti područ je koje je pogođeno kvaraom moraju se uzeti u obzirstacionarne performanse i performanse mreže u prelaznim uslovima, koji se javljaju nakon kvara.Za prelazne uslove je karakteristično da u tom periodu postoji povećanje zahteva za ponovnouspostavljanje veze od strane isključenih korisnika. Kod ovakvih mreža, korisnikova mobilnost

pogoršava prelazne uslove dok se isključeni korisnik kreće i pokušava ponovo da uspostavi vezukoja je pukla zbog nekog kvara.

15.4.3. Analiza preživljivosti GSM mreža

Posmatrajmo jednu tipičnu GSM mrežu, čiji je primer dat na slici 4.2. Da bi se predstavilakorisnikova mobilnost usvaja se model slučajne mobilnosti. U posmatranom slučaju generisane sudve vrste poziva:

• mobilno započeti pozivi (MOC-Mobile Originated Calls)• mobilno prekinuti pozivi(MTC-Mobile Terminated Calls)

Petpostavimo da pozivi stižu sa Poisson-om raspodelom i da imaju vreme trajanja saeksponencijalnom raspodelom.




229

Slika 15.29 Primer jedne GSM mreže

Mere koje se koriste da prikažu efekte kvarova u mreži su verovatnoća blokiranja MOC poziva, verovatnoća blokiranja MTC poziva i srednje vreme ažuriranja lokacije za celo područ jeservisa MSC. Uzmimo da korisnik pokušava jednom da uspostavi prekinuti poziv. Kako broj

neispravnih ćelija raste, dolazi do srazmernog povećanja blokiranih MOC i MTC poziva. To je ilogično, zbog toga što je veći broj korisnika pogođen kvarom. Vrednost kašnjenja ažuriranjalokacije je veća u slučaju kvarova nego u slučaju bez kvarova. Međutim, kašnjenje ažuriranjalokacije za kvarove na linkovima između BSC i MSC je manje nego nego u slučaju kvaranekoliko ćelija. Ovo je zbog toga što je broj VLR zahteva u slučaju kvara linka manji nego udrugom slučaju.

Na osnovu posmatranja mnogih scenarija kvarova, izvedeni su sledeći zaključci:

• Odmah nakon kvara mreže povećava se verovatnoća blokiranja poziva, iz tograzloga što oni korisnici čiji su pozivi bili prerano prekinuti pokušavaju ponovo dauspostve veze što izaziva nagomilavanje saobraćaja.

• Kvarovi odvojenih ćelija imaju gore efekte nego kvarovi klastera ili susednihćelija.

• Kvarovi ćelija koji se ne nalaze na ivicama lokacionih područ ja (LA) je gore negokvarovi koji se nalaze na ivicama LA.

• Kretanje korisnika je takođe veoma važno. Npr. determinisano kretanje je gorenego slučajno kretanje.

• Važno je i ponašanje korisnika. U ovom slučaju korisnik samo jednom pokušavada uspostavi vezu nakon prekida usled kvara, dok u realnom slučaju taj broj je veći




230

Tehnike mrežne preživljivosti se mogu razvrstati u svakom nivou za specifične scenarijekvarova. Primeri koji se tipovi strategija preživljivosti mogu koristiti na pojedinim nivoima mrežesu prikazane u tabeli 15.6.

Tabela 15.6 Uobič ajne strategije preživljivosti u svim slojevima ćelijskih mreža

Nivo Robustnost i redunđansa Restauracija saobraćaja

Nivo radio pristupaRezerve radiofrekvencijskih komponenata,

preklapajuće/skalabilne ćelije

Protokoli zadeljenje opterećenja,dinamička atokacija kanala, protokoli

sa adaptivnim kvalitetom kanala

Nivo pristupa linkuRezervni link izmedu BS i BSC, visestruko

navođenje BS prema BSC, prstenasta topologijaza veze između BS iBSC

Automatsko zaštitno prebacivanje, dinamički protokoli

rerutiranja, prstenovi koji samostalnoispravljaju kvarove

TransportniRezervni linkovi između BSC i MSC, prstenasta

topologija za veze BSC i MSC, višestrukonavođenje BSC prema MSC

Automatsko zaštitno prebacivanje, prstenovi koji samostalno ispravljaju

kvarove, dinamičko rerutiranje

InteligentniFizička raznolikost (diversity) u signalizacionim

linkovima, fizička raznolikost baza podatakaDinamičko rerutiranje, protokoli za

proveru (checkpoint protocols)

U pristupnom radio nivou ozbiljan kvar je kvar bežičnog linka ka korisniku. Zbog prepreke u vidu ograničenog spektra, moguć pristup tom problemu je dizajn mreže saarhitekturom preklapajućih ćelija. Takva arhitektira sistema je prikazana na slici 15.30(a). Svaka

bazna stanica podržava dve grupe radio kanala, kratkodometne (short-haul) i dugodometne (long-haul) kanale. Svaki mobilni terminal može pristupiti ili dugodometnim kanalima od bar dve baznestanice ili kratkodometnim kanalima od iste bazne stanice. Prema tome, veće preklapanjeobezbeđuje više pristupnih kanala za svaki mobilni terminal ali takodje povećava međukanalnuintreferenciju.

Na nivou pristupa linku i transportnom nivou glavna briga su kvarovikomponenata/linkova površinskog dela mreže. Ovde se primenjuju tradicionalne strategije

preživljivosti mreža uz određene promene. Npr. na nivou pristupa linku sve bazne stanice u

klasteru sa odgovarajućim BSC se mogu povezati u prsten koji ima osobinu samostalnogispravljanja kvarova. Slično tome, na transportnom nivou se može prihvatiti arhitektura

paučinastog tipa sa najmanje dvostrukim navođenjem u čvorovima između BSC i MSC i saodgovarajućim restauracionim protokolima saobraćaja. Primer takve strukture je dat na slici15.30(b).




231

Slika 15.30 (a) Arhitektura mreže sa preklapajućim ćelijama (b) Prstenasta arhitektura zatransportni nivo

Strategija preživljivivosti u inteligentnom nivou, kao što je fizička raznolikost baza podataka (HLR i VLR registri), zajedno sa protokolima za proveru mogu obezbediti imunost nakvarove.

Zbog kompleksnosti mrežne arhitekture i jedinstvenih karakteristika mreža sa bežičnim pristupom nije moguće generalizovati jedinstvenu tehniku koja će se boriti protiv raznih kvarova.Baš zato su i potrebne prethodno razmatrane višestruke strategije preživljivosti mreža.

15.5. UMTS: projektovanje pouzdane mreže za pristup

UMTS pripada trećoj generaciji mobilnih mreža i zamišljena je kao naslednik GSM.UMTS mreže se sastoje od tri međusobno zavisna domena: jezgro mreže (Core Network- CN),UMTS kopneni deo mreže sa radio pristupom (UMTS Terrestrial Radio Access Network-UTRAN) i korisničke opreme (User Equipment- UE). Detaljna blok šema celokupne UMTSmreže je data na slici 15.31 [17].




232

Slika 15.31 UMTS mreža

UTRAN mreže se sastoje od od dva tipa mrežnih elemenata: RBS-ova (Radio Base

Station), na slici 15.31 označen sa Node B i kontrolne opreme za RBS-ove koji se nazivaju RNC-ovi (Radio Network Controller). Pojednostavljena verzija slike 15.41 je data na slici 15.32 nakojoj je prikazana topologija pristupne mreže samo sa elementima koji su nama od interesa, RBS iRNC.

Slika 15.32 Osnovni elementi pristupne UTRAN mreže




233

U prvoj fazi projektovanja, potrebno je pronaći optimalno stablo RBS-ova za prethodnodefinisani RNC uzimajući u obzir pouzdanost takve strukture. U drugoj fazi, pouzdanost mreže se

povećava tako što se uvode novi linkovi, kojima se premoštavaju delovi meže koji su osetljivi nakvarove.

Jedan od bitnijih parametara pri projektovanju mreža je parametar raspoloživisti.Komponente modela UTRAN mreže: oprema, interfejs i link su prikazani na slici 15.33. U slučajuopreme i interfejsa, parametar raspoloživosti zavisi od procesiranja podataka ili kapacitetatransmisije podataka, dok u slučaju linka ta vrednost je određena sa dva parametra, dužina ilokacija. Između RNC-a i RBS-a definišu se putanje, čija se raspoloživost računa kaoraspoloživost svih elemenata koji joj pripadaju. Raspoloživost RBS-a će biti ukupna raspoloživostsvih putanja, jedna standardna i više rezervnih, koje mu pripadaju.

Slika 15.33 Komponente modela URAN mreže: oprema, interfejs i link

Zahtevi transporta za dva RBS-a mogu biti potpuno različiti uz istu raspoloživost, i zato sekoristi parametar gubitaka saobraćaja ( L) L=(1-A)*T, gde je A raspoloživost, a T je saobraćajnizahtev za posmatrani RBS.

Ako je poznat očekivani srednji gubitak saobraćaja Llim, koristeći odgovarajuću funkcijumože se opisati ″nepouzdanost″ svakog RBS-a. Izračunavajući sumu vrednosti funkcija dobija sevrednost za w, koja opisuje koliko trenutna pouzdanost sistema odstupa od zahtevnog nivoa

pouzdanosti. Na osnovu vrednosti w možemo da izračunamo takozvanu cenu pouzdanosti (Cpen).U posmatranom slučaju se kao funkcija koristi kvadratna funkcija na slici 15.34.

Slika 15.34 Kvadratna funkcija koja se koristi za izrač unavanje w




234

15.5.1. PTA algoritam

Nakon definisanja odgovarajuće funkcije cene ukupne mreže, radi se algoritamusavršavanja stabla ili PTA algoritam (Penalty-Tree Algorithm). Ukupna cena tekuće topologije

Ctotal je linearna kombinacija fizičkih i virtuelnih troškova i data je formulom:

Ctotal=β*Cpen + (1-β)*Ctop (15.1)

Podešavanjem veličine β može se namestiti da PTA algoritam posvećuje više pažnje pouzdanosti.

Sa rastom parametra β rastu i troškovi vezani za pouzdanost i oni postaju prioritetni uodnosu na strukturne troškove. Ukoliko parametar β čini cenu vezanu za pouzdanost tolikodominantnom, topologija stabla počinje da se transformiše u topologiju zvezde.

15.5.2. Algoritmi za povećavanje pouzdanosti

U ovim algoritmima se vrši povećavanja pouzdanosti mreža ubacivanjem dodatnihlinkova. Kao ulazna veličina postoji ograničenje u vidu parametra Llim i mrežnu topologiju stablakoja se mora proširiti. Kao izlazna veličina se generiše mrežna topologija sa garantovanomvrednošću srednjeg gubitka saobraćaja Llim.

Određene pretpostavke o mreži na kojoj se vrši optimizacija su:

• pretpostavlja se scenario pojedinačnog kvara• bilo koja rezervna putanja RBS-a nije duža od jednog koraka od njegove

standardne putanje

• pretpostavlja se da je stepen nekih RBS-ova u pristupnoj mreži manji nego što jedato stepeno ograničenje, u suprotnom ne bi mogli ubaciti nove linkove

• novi dodatni rezervni linkovi ne smeju nositi nikakav dodatni saobraćaj sem onogkoji je predviđen u slučaju kvarova.

Korišćenje strategije sa zajedničkom zaštitom je ilustrovano na slici 15.35. zaštićen jesaobraćaj koji potiče od RBS-ova i i j,dodavnjem novog linka između njih. Pošto su standardne

putanje prostorno razdvojene, u slučaju pojedinačnog kvara samo jedna putanja može biti prekinuta i data rezervni link mora da podnese maksimum kao što je prikazano na slici.




235

Slika 15.35 Strategija sa zajednič kom zaštitom

15.5.2.1. GRE algoritam

GRE (Greedz Reliability Enhacement) je baziran na pretpostavci da su RBS-ovi prvognivoa najosetljiviji na kvarove. Zbog toga rezervni linkovi se dodaju RBS-ovima prvog nivoa naisti način kao što je objašnjeno na slici 5.5. Zbog ograničene mogućnosti povećanja pouzdanostiovaj metod je veoma brz, ali neefikasan i koristi se samo kao teorijski primer.

15.5.2.2. RRE algoritam

RRE (Randomized Realiability Enhacement) agoritam nije ograničen samo na zaštitučvora prvog nivoa kao prethodni algoritam i sastoji se od nekoliko koraka:

• Prvo odvajaju se RBS-ovi koje treba zaštititi (koje je izvedeno iz parametra Llim)

• Bira se jedan RBS iz grupe na osnovu slučajne funkcije koja pretstavljasaobraćajne gubitke. Što RBS ima veći gubitak saobraćaja to je veća verovatnoćada će on biti izabran.

• Bira se odgovarajući sused RBS prethodno izabranom RBS-u i ubacuje se novi linkizmeđu njih. Odluka o izboru suseda se bira na osnovu formule:

(1 )mera C A vLλ μ = ⋅ Δ + − Δ + (15.2)

U formuli ΔC i ΔA predstavljaju promene cene i raspoloživosti, respektivno, zboglinka koji je kreiran prema susedu, a veličina L je dužina standardne putanje dosuseda. Parametri λ , μ i v su konstante koje se koriste da bi se pronašaokompromis između tri objekta.

• Na standardnoj putanji suseda, ako je to potrebno, vrši se inkrementiranjekapaciteta linkova, pošto u sluičaju kvara ta putanja mora biti u mogućnosti daizdrži preusmereni sobraćaj.




236

• Na kraju, pamti se nova rezervisana putanja u zaštićenom RBS-u i u svojoj deciRBS-ovima koji mu pripadaju (po definiciji, RBS je dete RBS-u i ako standardna

putanja iz j ide preko i).

Ovi koraci se ponavljaju sve dok u prvom koraku ne postoji nijedan RBS koji se mora

zaštititi. Na slici 15.36 su demonstrirani koraci RRE algoritma na jednostavnoj mreži koja sadrži 6

RBS-ova. U prvoj fazi se odvajaju RBS-ovi b,c i e (označeni crvenom) zbog toga što su oninajosetljiviji sa tačke gledišta pouzdanosti. Uzmimo prvo RBS e da zaštitimo, a RBS d je jedinisused koji ispunjava nametnute zahteve. U fazi dva se ubacuje novi link i povećava se kapacitetlinka između d i f, shodno novim zahtevima. U trećoj fazi dodeljuju se RBS-u e rezervne putanjekao i negovoj nezaštićenoj deci, čvorovima b i c. U sledećoj fazi (faza 4a) ponovo se izračunavajuraspoloživosti svakog RBS-a i pronalazi se da RBS b još uvek krši ograničenja gubitakasaobraćaja. Sada postoje dva moguća RBS-a prema kojima se može kreirati rezervni link, to su ai b. Bira se a na osnovu mere definisane sa formulom 15.2. Nakon uvođebnja novog linka u

mrežu, vrši se inkrementacija kapaciteta linka duž standardne putanje RBS-a a. Pošto RBS b imadve rezervne putanje na link između d i f, koji je zajednički za obe putanje, ne mora se vršitiinkrementacija kapaciteta.

Ukoliko se zameni redosled ubacivanja linkova (e, d) i (b, a), link (e, d) će biti potrebanniži kapacitet i RBS b će imati samo jednu rezervnu putanju, to se vidi na slici 5.36(4a). Vidimoda se u drugom slučaju pronalazi rešenje sa nižom cenom.

Slika 15.36 Koraci RRE algoritma




237

15.6. Pouzdanost i raspoložovost složenih sistema komunikacija

Za uređaje i sisteme pouzdanost se postiže, pored brižljivog izbora pouzdanih elemenata

od kojih je sastavljen, dobrom konstrukcijom, odnosno projektovanjem uređaja (sistema) pri čemuse elementi koji su po svojoj prirodi ili uslovima rada najmanje pouzdani udvoje (redunduju) itako poveća ukupna pouzdanost sistema. Kod savremenih telekomunikacionih sistema pouzdanost

je znatno poboljšana uvođenjem posebne opreme koja stalno nadgleda ispravnost funkcionisanjasvih delova telekomunikacionog sistema ili mreže čime se značajno povećava njegova

pouzdanost, a kroz značajno skraćivanje vremena za otklanjanje greške, višestruko povećavaraspoloživost.

15.6.1. Inteziteti otkaza komponenata, modula, uređaja i kanala veza

Pri projektovanju telekomunikacionih sistema jedna od bitnijih stvari je poznavanje pouzdanosti celog sistema (mreže), kao i konfiguracije samog sistema, odnosno raspoloživostsvakog bloka koji čini dati sistem.

15.6.2. Tipične vrednosti pouzdanosti za prenosne sisteme

U tabeli 15.7 date su raspoloživosti komunikacionih veza i uređaja.

Tabela 15.7 Raspoloživost komunikacionih veza

Uređaj Vrednost raspoloživosti

Optički kabl 0.999

Uređaj (na 200km) 0.9999 – 0.99999

Kabl i uređaj (na 200km) 0.999

Skok (propagacija ili uređaj-na 200km) 0.99999

Propagacija i uređaj sa zaštitom na 200km 0.9999

15.6.3. Pouzdanost i raspoloživost telefonske mreže

15.6.3.1. Raspoloživost usled otkaza

Uticaj otkaza u telekomunikacionoj mreži se ogleda kroz godišnju srednjuneraspoloživost nekog elementa mreže. Otkazom se smatra stanje kada postojeći servis postajedelimično ili potpuno neupotrebljiv. Tabela 15.4. daje vreme trajanja i efekat uticaja otkaza (kroz

broj degradiranih elemenata) za različite mrežne elemente. Godišnja srednja raspoloživost usledotkaza može se izračunati uz pomoć tabele 15.8. i formule 15.3:




238

U (%) = ( Ee / Et )( Le / 87.6 ) (15.3)

gde je Ee broj pretplatnika i neispravnih jedinica istog kao posledica otkaza, Et ukupan broj pretplatnika i identičnih jedinica u nekoj oblasti, Le vreme otkaza nekih događaja

definisanih u tabeli 1 kao posledica Ee pretplatnika ili identičnih jedinica u nekoj posmatranoj oblasti. Količnik h u formuli 4.4 predstavlja težinski faktor raspoloživosti:

h = Ee / Et (15.4)

Efekat otkaza nekog dela mreže je određen ovom vrednošću.

Tabela 15.8 Definicija otkaza u PSTN

Trajanje događaja Broj degradiranih elemenata

Karakterizacija degradiranih mrežnihelemenata časova minuta

Brojpretplatnika

Broj uređajaBroj linijskihsistema sakanalom

Lokalna telefonska centrala >15 >1000

Tranzitna telefonska centrala >15 >100

Telegraf ili teleks centrala >100

Lokalni pretplatnički kabl >12 >500

Lokalni kabl izmedju centrala >12 >100

Međugradski kabl za prenos govomeučestanosti

>12 >50

Medjugradski otvoreni vod >12 >10

Kabl, uređaj ili link koji sadrži više od 50%kanala izmedju dva grada

>2 >50%

Grupa kanala nekog višekanalnog kabla iliradio linka

>2 >60

Grupa kanala nekog višekanalnog kabla iliradio linka, ukoliko predstavlja jedinu vezu

izmedju dva mala grada>2 >12

Otkaz telegrafskog kanala za tonskeučestanosti za velike udaljenosti, uređaja i

radio linka>15 >1 VT

15.6.3.2. Servis raspoloživosti

Servis raspoloživosti podrazumeva srednju godišnju verovatnoću da korisnik servisa neće biti sprečen da razmenjuje informacije zbok tehničkog otkaza. ova verovatnoća sadrži i efekteotkaza koji su se desili u toku pristupa i korišćenja servisa.

Servis raspoloživosti se može proceniti na osnovu ukupnog vremena otkaza elemenata kojise koriste u nekoj vezi.




239

15.6.3.2.1. Telefonski servisi

Telefonske komutacione veze

Pokazatelji raspoloživosti za lokalne komutacione veze dati su u tabeli 15.9.

Korisnički aparati i korisničke linije su uračunati u proračun, ali nisu upisani u tabelu.

Tabela 15.9 Pokazatelj raspoloživosti lokalnih telefonskih komutacionih veza sa različ itim brojemkomutacionih uređ aja

Broj centrala u veziPokazatelji

raspoloživosti (%)Lokalnaveza

lokalne PABX koncentratorKorisničkalinija

Lokalni

prenosnik

Amin Ap

1 - - 2 - 97.45 98.65

1 - 1 2 1 97.10 98.35

1 - 2 2 2 96.85 98.05

2 - 1 2 2 96.70 98.10

2 - 2 2 3 96.40 97.80

1 1 - 1 1 98.38 99.10

1 1 1 1 2 98.10 98.80

U zemlji

Izmeđuglavnihstanica

Izmeđulokalnih

stanica iPABXcentrale

1 - - 2 - 95.8 98.4

1 - 1 2 1 95.5 98.1

1 - 2 2 2 95.2 97.8

2 - 1 2 2 95.1 97.9

2 - 2 2 3 94.8 97.6

1 1 - 1 1 97.6 99.0

1 1 1 1 2 97.3 98.7

Uvelikim

gradovima:

Između

glavnihstanicaIzmedjulokalnihstanica iPABX

centrale

- 1 - - - 99.8 99.86IzmeđustanicaPABX




240

Pokazatelji raspoloživosti za tranzitne veze između pretplatnika dati su u tabeli 15.10.

Tabela 15.10 Pokazatelji raspoloživosti međ umesnih komutacionih veza sa različ itim brojemkomutacionih uređ aja

Broj centrala u veziPokazatelji raspoloživosti

(%)Veza izmedjupretplatnika koji

se nalaze: PrimarnihSekundarni

hTercijarni h

Broj kanala

Amin Ap

U istoj primarnojoblasti

1 - - 2 97.6 98.6

U istoj

sekundarnojoblasti

12

11

--

34

97.596.7

98.598.0

U istoj tercijarnojoblasti

22

12

11

56

96.395.9

97.797.4

U različitojtercijamoj

oblasti

2-12

-222

2222

5567

96.996.596.095.5

97.797.797.497.1

Od glavnog kaokolnim sa

velikom gustinomnaseljenosti

- - 1 1 95.9 97.9

Od glavnog kaprimarnoj oblasti

1 - 1 2 95.4 97.4

Od glavnog kasekundarnoj

oblasti

- 1 1 2 95.5 97.4

Od glavnog kaprimarnoj preko

sekundarne1 1 1 3 95.2 97.1

Od glavnog katercijernoj

oblasti1 1 2 1 95.1 97.0




241

Direktne veze

Pokazatelji raspoloživosti direktnih veza predstavljeni su tabelom 15.11.

Tabela 15.11 Pokazatelji raspoloživosti direktnih veza

Veza kojase sastoji od kanala

Pokazateljiraspoloživosti (%)

Veza

Dužina ukm

komadaDužina u

kmkomada Amin Ap

4 1 - - 99.0 99.5

8 2 - - 98.0 99.0Lokalna uunutrašnjosti

12 3 - - 97.0 98.5

4 1 - - 98.2 98.4

8 2 - - 96.4 98.8

14 3 - - 95.8 98.4

Lokalna uvećim

gradovima

20 3 - - 95.2 98.0

8 2 30-280 1 97.9 98.9

8 2 400 2 97.7 98.8Međugradskau unutrašnjosti

8 2 600 3 97.5 98.7

8 2 30-280 1 97.1 98.8

8 2 400 2 96.9 98.7Međugradska

u većimgradovima

8 2 600 3 96.7 98.6

15.6.4. Granične vrednosti za raspoloživost i pouzdanost sistema

Pri određivanju pokazatelja raspoloživosti, potrebno je postaviti granične vrednostivremena otkaza za različite elemente i njihove karkteristike, i sistemski ih nadgledati kako bi seraspoloživost držala u odgovarajućim granicama.

Granične vrednosti za elemente se definišu kroz godišnje vreme otkaza i godišnji intenzitetotkaza. obe granične vrednosti imaju po dva pokazatelja:

• L godišnje akumulirano vreme otkaza (čas/godina)

• Lm maksimalno dozvoljeno godišnje akumulirano vreme otkaza za neki element,maksimalno 4 godišnje (čas/godina)




242

• P godišnji srednji intenzitet otkaza

• Pm maksimalni dozvoljeni godišnji intenzitet otkaza za neki retki element,maksimalno 4 godišnje

Granične vrednosti za sisteme napajanja, prenosne linijske sisteme i radio veze prikazanesu u tabeli 15.12.

Tabela 15.12 Granič ne vrednosti godišnjeg vremena otkaza i intenziteta otkazaredundantnih sistema koji se koriste u PST

Godišnje vrednosti

Vreme otkaza u časovima Intenzitet otkaza u otkazima godišnjeNaziv sistema

L Lm P Pm

Sistem zanapajanje

0.3 1 0.3 1

Analogni linijskisistem

3 6 0.5 2

Digitalni linijskisistem

1.5 3 0.2 1

Radio link sa N+1rezervom

3 6 0.2 2

Analogni linijskisistem 3 6 0.5 2

Digitalni linijskisistem

1.5 3 02 1




243

15.6.5. Granične vrednosti za mrežne elemente

15.6.5.1. Grupa kanala i kanal

Granične vrednosti za grupu linija i multipleksera, za grupu i pojedinačne kanale, date su utabeli 15.13. Granične vrednosti se odnose i na analogne i na digitalne grupe kanala.

Tabela 15.13 Granič ne vrednosti godišnjeg vremena otkaza i intenziteta okaza za grupukanala i kanale

Godišnje vrednosti

Vreme otkaza u časovima Intenzitet otkaza u otkazima godišnjeNaziv veze

L Lm P Pm

Grupa kanala odsekundarne kavišoj centrali za

dužine od 100 km

1 3 1.4 3.0

Grupa kanala odprimarne kasekundarnoj

centrali

0.7 2.0 1 2.1

Grupa kanala u

ruralnoj mreži

0.5 1.5 0.6 2.0

Grupa kanalaizmeđu lokalnih

centrala1.5 3.5 0.3 0.7

Kanal odsekundarne kavišoj centrali

4 8 5 10

Kanal od primarneka sekundarnoj

centrali2.8 5.6 3.5 7

Kanal od lokalneka primarnojcentrali

1.8 3.6 2 5

Udaljeni kanal sarezervom i ručnim

prebacivanjem1 2 5 8

Nacionalniudaljeni kanal bez

rezerve6 14 8 13

Međunarodni

udaljeni kanal bezrezerve 18 42 24 39




244

15.6.5.2. Uređaji linijskih prenosnih sistema

Granične vrednosti za uređaje stanica radio veza date su u tabeli 15.14.

Tabela 15.14 Granič ne vrednosti godišnjeg vremena otkaza i intenziteta otkaza za uređ ajeradio veze

Godišnje vrednosti

Vreme otkaza u časovima Intenzitet otkaza u otkazima godišnjeNaziv uređaja

L Lm P Pm

Antena sakonektorom

3 6 0.06 0.1

Prebacivač 3 6 0.06 0.1

Modulator 3 6 0.16 0.3

Demodulator 3 6 0.16 0.3

Predajnik 3 6 0.56 0.7

Priiemnik 3 6 0.1 0.2

Jedinice napajanjau modulu

1 3 0.1 0.2

Granične vrednosti za analogne i digitalne uređaje u repetitorskim stanicama date su u

tabeli 15.15.




245

Tabela 15.15 Granič ne vrednosti godišnjeg vremena otkaza i intenziteta otkaza za uređ ajekablovskih linijskih sistema

Godišnje vrednosti

Vreme otkaza u časovima Intenzitet otkaza u otkazimagodišnje

Linijski repetitori ilinijski terminali u

stanici

L Lm P Pm

Za analogni 12kanalni sistem

1 2 0.08 0.12


1 2 0.04 0.07

Za analogni 120-

480 kanalni sistem

1 2 0.02 0.03

Za analogni 960-2700 kanalni

sistem1 2 0.001 0.004

Za PCM 30kanalni sistem

1 2 0.0015 0.003


1 2 0.0025 0.005


1 2 0.003 0.006

Za analogni 12kanalni sistem 2 4.5 0.05 0.12


2 4.5 0.04 0.06


sistem2 4.5 0.01 0.03


sistem2 4.5 0.001 0.004

Za PCM 30

kanalni sistem2 4.5 0.0005 0.001


2 4.5 0.0008 0.002


2 4.5 0.001 0.003




246

15.6.5.3. Multipleksni i pomoćni uređaji za terminale

Granične vrednosti godišnjeg vremena otkaza i inteziteta otkaza za digitalne multipleksne

uređaje su prikazane u tabeli 15.16.

Tabela 15.16 Granič ne vrednosti godišnjeg vremena otkaza i intenziteta otkaza za zadigitalne multipleksne uređ aje

Godišnje vrednosti

Vreme otkaza u časovima Intenzitet otkaza u otkazima godišnjeNaziv uređaja

L Lm P Pm

1/30 kanalski

podmodul0.3 1 0.4 0.8

1/30 signalnikonvertorski

podmodul0.3 1 0.4 0.8

30/120 ili 120/480multipleksnipodmodul

0.5 1 0.6 1

15.6.6. Uputstva za raspodelu osnovnih resursa u zavisnosti od ulaganja

U svrhu produženja radnog veka parametara sistema, potrebno je izvršiti planiranjeraspoloživosti i određeno ulaganje. U daljem teskstu se navode osnovna uputstva koja biobezbedila zadovoljavajuću raspoloživost , a da pritom budu usaglašeni prethodno navedenistandardi.

15.6.6.1. Napajanje

Sistem napajanja se sastoji od baterije nominalnog napona 48V DC i od uređaja za punjenje koji je povezan na mrežno napajanje.

Jedinice napajanja u modulima i ramovima, koje napajaju prenosne sisteme, moraju bitiudvojene i napajane sa različitim osiguračima, ukoliko njihovi otkazi remete više od 300

pretplatnika ili veza. Problem se može rešiti raspodelom sekundarnih jedinica napajanja u isti ilidrugi modul, ali je tada veoma važno voditi računa da jedinice ostanu u radnom stanju da ne bidošlo do smanjenja perioda eksploatacije.




247

15.6.6.2. Linijski sistemi

Analogni linijski sistemi

Za kablovski linijski sistem ili linijski sistem radio veza najmanje 300-kanalnog sistemaudaljene mreže, planira se rezervni 15-supergrupni blok ili supergrupna veza.

Digitalni linijski sistem

Za minimalno tercijarni digitalni sistem mora postojati rezervni linijski sistem na drugojtrasi i moraju biti ispunjeni sledeći uslovi:

• zastupljenost digitalnih linijskih sistema u mreži treba da bude najmanje 30%

• obezbeđivanje zatvorenih digitalnih petlji u mreži

15.6.6.3. Prenosne deonice

Sekundarne i tercijarne centrale moraju biti spojene sa najmanje dva linijska sistema narazličitim trasama. U linijskom sistemu se mora obezbediti da njmanje 60 do 70 % deonicaosiguraju skraćivanje trase.

15.6.6.4. Klase kanala u zavisnosti od raspoloživosti

Klasifikacija kanala u zavisnosti od korišćenja rezervi može se obaviti na sledeći način:

• Kanal I klase radi praktično bez otkaza.

• Kanal II klase obnavlja se rezervnim kanalom 15 minuta nakon otkaza.

• Kanal III klase ne zahteva rezervu pri otkazu

15.6.6.5. Raspored mreža

Lokalna mreža

Za pretplatničke linije se planira kabl sa polietilenskim punjenjem, radi smanjenjaverovatnoće otkaza izolacije usled propuštanja vode kroz nju.

Koriste se kanali za spajanje lokalnih i udaljenih centrala, PCM sistemi ili optički kablovi.

Ruralna mreža

Mogu se planirati vazdušni, optički (za velike snage) i bakarni kablovi u zavisnosti odstanja na trasi.




248

Mreža širokopojasnih veza izmeđ u centrala

Za ovu vrstu mreža se ne planira otvoren vod ili vazdušni kabl. Proračun rezervne linije zadigitalni prenos se dobija analizom rada propisanog broja PCM sistema.

15.6.6.6. Centrale

Analogne lokalne i PABX centrale

Koriste se kanali III klase.Uvođenje alternativne trase je pogodno kod centrala koje susposobne da povećaju raspoloživost.

Digitalne lokalne centrale

Broj komutatora svake centrale se planira na osnovu očekivanog i od prognoziranogsaobraćaja od 6000 Erlanga ± 20%.



Literatura

LITERATURA

[1°] N. Vujanović, "Teorija pouzdanosti tehničkih sistema", Vojnotehnički i novinski

centar, Beograd, 1990.[2°] J. Perić, M. Jevtić, V. Stojanović, "Analiza pouzdanosti", Savremena administracija,

pouzdanost

Documents

Transcript of pouzdanost