Potencial Electrico

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Luis Felipe Mill án B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS SECCION DE FISICA LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO

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potencial electrico

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  • UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIAFACULTAD DE INGENIERIADEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTASSECCION DE FISICALUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO

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  • Potencial elctrico

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  • Unidad III3.1 Introduccin 3.2 Objetivo general 3.3 Objetivos especficos 3.4 Fuerza conservativa y energa potencial 3.5 Diferencia de potencial y potencial elctrico 3.6 Diferencia de potencial en un campo elctrico uniforme 3.7 Superficies equipotenciales 3.8 Conservacin de la energa

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  • 3 .9 Potencial elctrico debido a cargas puntuales 3.10 Energa potencial generada por cargas puntuales 3.11 Potencial elctrico de una distribucin continua de carga 3.12 Obtencin del campo elctrico a partir del potencial 3.13 Auto-evaluacin 3.14 Solucionario

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  • 3.1 IntroduccinEn este capitulo introducimos el mtodo de energa para el estudio de la electrosttica. La fuerza elctrica es conservativa, y as, una particula con carga o una coleccin de particulas cargadas tiene energa potencial. Esa energa potencial puede transformarse en energa cintica Comenzamos con la energa potencial elctrica, un escalar que caracteriza a una fuerza electrosttica. Luego, generalizamos hasta el potencial elctrico, calculamos el potencial para distribuciones continuas y discretas de cargas y demostraremos que el campo elctrico y el potencial elctrico estn relacionados estrechamente.En mecnica se introduce el concepto de energa (cantidad escalar), esta se utiliza para formular la ley de la conservacin de la energa. Al emplear la ley de la conservacin de la energa, podemos evitar trabajar directamente con fuerzas cuando se resuelven problemas mecnicos. La fuerza elctrica al igual que la fuerza gravitacional, es consecuencia de las leyes fundamentales de la naturaleza.

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  • 3.2 Objetivo generalDesarrollar en el alumno la capacidad de utilizar el concepto de energa potencial de un sistema continuo o discreto de cargas para ser aplicado en problemas de conservacin de la energa y as calcular la diferencia de potencial entre dos puntos dado el campo elctrico en la regin.

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  • 3.3 Objetivos especficosIntegrar conceptualmente la relacin entre el potencial elctrico y la intensidad del campo elctrico. Enfrentar con buenos fundamentos el estudio de los problemas tcnicos y cientficos de la energa elctrica que origina fenmenos, como las chispas o descargas elctricas.

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  • 3.4 Fuerza conservativa y energa potencialUna fuerza es conservativa cuando el trabajo (W) efectuado por la fuerza, sobre una partcula que se mueve bajo su influencia entre dos puntos es independiente de la trayectoria, solo depende de la posicin inicial y final del cuerpo y no de los detalles de cmo paso de su posicin inicial a la final, es decir, una fuerza es conservativa cuando el trabajo (W) realizado a lo largo de una trayectoria cerrada es a cero.Supongamos que tenemos un campo gravitacional g, (el campo apunta hacia los potenciales decrecientes) y colocamos dentro del campo un cuerpo de masa m.

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  • La energa potencial se presenta en conexin con fuerzas conservativas como la fuerza de gravedad y la fuerza elstica de un resorte. Cuando un cuerpo se desplaza en sentido contrario al campo gravitacional realiza un trabajo negativo.

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  • El movimiento de una partcula de masa m en un campo gravitacional (g), es anlogo al movimiento de una partcula de carga q positiva en un campo elctrico (E). Cuando una partcula de carga positiva se desplaza en sentido contrario al campo elctrico realiza un trabajo negativo. Supongamos que tenemos un campo elctrico E y colocamos dentro del campo una partcula de carga positiva.Para mover una partcula en sentido contrario al campo (gravitacional o elctrico) se requiere del trabajo de un agente externo. Si la fuerza externa es igual y opuesta a la fuerza debida al campo, la energa cintica (K) de la partcula no cambia. En este caso todo el trabajo externo se almacena como energa potencial (U) del sistema.

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  • La fuerza gravitacional (mg) es una fuerza conservativa, como la fuerza elctrica (EQ) tiene la misma forma de la fuerza gravitacional, por analoga, la fuerza elctrica es tambin una fuerza conservativa, por tanto los fenmenos electrostticos pueden describirse convenientemente en trminos de una energa potencial elctrica y de un potencial elctrico.

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  • La energa potencial gravitacional cerca de la tierra viene dada por: Ug = mgy. Se puede obtener una funcin que no dependa de la masa (m), definiendo el potencial gravitacional como la energa potencial en la unidad de masa. Vg = Ug / m. Tambin se puede obtener un potencial elctrico que no dependa de la carga (q). V = U / q, entonces, Voltio = (Julio / Columbio).El potencial gravitacional o elctrico en un punto, es el trabajo externo necesario para desplazar una unidad de masa m o de carga q desde el nivel inicial yi hasta una altura final yf dada sin cambiar su rapidez.

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  • El trabajo es igual a la variacin negativa de la energa potencial. El signo menos indica que el trabajo positivo realizado por la fuerza conservativa disminuye la energa potencial. Si la fuerza externa es igual y opuesta a la fuerza debida al campo, la energa cintica (K) de la partcula no cambia.W = DU = (Uf U)

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  • 3.5 Diferencia de potencial y potencial elctricoLa diferencia de energa potencial elctrica (DU) o energa potencial (U) reside en el campo elctrico. La diferencia de potencial (DV) o potencial elctrico (V) es una caracterstica escalar e independiente de las cargas que se puedan colocar en el campo elctrico.

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  • El potencial elctrico en cualquier punto de un campo es: V = U / q (Julio / Columbio = Voltio) U = V * q (Julio = Voltio * Columbio) Es decir, 1 julio de trabajo debe efectuarse para llevar una carga de un Columbio a travs de una diferencia de potencial de un voltio. Electrn-voltio 1eV = 1.6*1019 C * 1V = 1.6*1019 Julios.

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  • Ejemplo 3.1Qu cambio de energa potencial experimenta una carga de 10 mC cuando se mueve entre dos puntos para los cuales la diferencia de potencial es de 50 voltios?DU = q * DV, entonces, DU = 500 mJulios = 5*10-4 J DU = 5*10-4 J *(1 eV / 1.6*10-19 J) = 3.125*1015 eV eV = electrn-voltio = 1.6*10-19 julios

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  • Ejemplo 3.2A travs de que diferencia de potencial se necesitara acelerar a) Un electrn para que alcance el 30% de la velocidad de la luz? b) Un protn para que alcance el 30% de la velocidad de la luz?Hacia donde se desplaza cada partcula?a) V = C * 30%= 3*108 m/s * 30% = 90*106 m/s W = DK = m v2 = 3.6855*10-15 J W = -q* DV \Vb Va = W /-q = 23034.38 Voltios El electrn va hacia la izquierda, al potencial creciente b) W = DK = m v2= 6.7635-12 J W = - q* DV \ Vb Va = W /-q = - 42.276 Voltios El protn va hacia la derecha, al potencial decreciente Vb < Va

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  • Ejemplo 3.3Qu diferencia de potencial se necesita para frenar un electrn que tiene una velocidad inicial de 2*106 m/s?Vb < VaW = DK = m vf2 - m vi2 W = (0 - 1.82*10-18) J = -1.82*10-18 J W = -DU = q DV DV = -(-1.82 10-18 J)/q = 1.82 10-18/ -1.6 10-19 C DV = -11.375 V El electrn se desacelera hacia los potenciales decrecientes, es decir en el sentido del campo elctrico.

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  • Ejemplo 3.4En un relmpago tpico la diferencia de potencial entre los puntos de la descarga es alrededor de 1.0*109 V y la cantidad de carga transferida es de 30 C. a) cunta energa se libera? b) si toda la energa liberada pudiera emplearse para acelerar un automvil de 1200 Kg desde el reposo cul seria su velocidad final? a) W = DU = q DV = 30 C * 109 V = 3*1010 J b) W = mvf2 mvi2 , entonces, vi = (2W/m) = 7071.07 m/s

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  • 3.6 Diferencia de potencial en un campo elctrico uniformeLa diferencia de potencial entre dos puntos es independiente de la trayectoria, esto confirma que un campo elctrico uniforme y esttico es conservativo e independiente de la carga que se coloque en el campo.En un campo elctrico uniforme hay dos puntos con potenciales Va y Vb.

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  • Como: Va - Vc = Va Vb Vc = VbEl resultado muestra que todos los puntos en un plano perpendiculares al campo elctrico uniforme estn al mismo potencial. A una distribucin continua de puntos que tienen el mismo potencial se le llama superficie equipotencial.a

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  • Ejemplo 3.5En dos puntos de un campo elctrico. El potencial en a Va = -40 V, y el potencial en b Vb +120 V Cunto trabajo realiza una fuerza externa al mover una carga q de 2*10-6 C y otra de 2*10-6 C de b a a?DV = V = Va Vb = -40 V 150 V= -190 V W1 = q DV = (-190 V)*(-2*10-6 C) = 5.8*10-4 J W2 = q DV = (-190 V)*(2*10-6 C) = -5.8*10-4 J

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  • Ejemplo 3.6Un electrn que se mueve verticalmente hacia arriba tiene una velocidad inicial de 4*106 m/s en el origen. Su velocidad se reduce a 2*106 m/s en el punto x = 0 y y = 2 cm. Calcule la diferencia de potencial entre el origen y este punto. cul esta a mayor potencial?Como una partcula de carga negativa se desacelera en la direccin del campo elctrico, entonces, el campo elctrico esta dirigido verticalmente hacia arriba y el punto a (0,0) esta a mayor potencial que el punto b (0,2) cm. DK = - DU= -qDV \ mvf2 - mvi2 = -q(Vb Va) m(vf2 - vi2 ) / -q = m(vf2 - vi2 ) / q = Vb Va Vb Va = -34.125 V como Va > Vb, entonces, Va Vb = 34.125 V

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  • 3.7 Superficies equipotenciales Cada placa es atravesada por un campo elctrico uniforme que es perpendicular al plano de la placa, por tanto, cada placa esta al mismo potencial.

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  • Las superficies esfricas son atravesada por un campo elctrico perpendicular al plano de la placa, por tanto, las superficies de cada una de las esferas estn al mismo potencial.

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  • -Las superficies esfricas son atravesada por un campo elctrico perpendicular, por tanto, las superficie de cada una de las esferas estn al mismo potencial.

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  • 3.8 Conservacin de la energaCuando una partcula positiva se desplaza en el sentido del campo elctrico se acelera, gana energa cintica y cede energa potencial, puesto que el campo elctrico a punta hacia los potenciales decrecientes. +++++Supongamos que tenemos un campo elctrico uniforme E, una diferencia de potencial DV = V, donde, Va > Vb, una partcula positiva parte del punto a a b. Esto significa que una partcula positiva que se mueve en la direccin del campo elctrico pierde energa potencial.

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  • Cuando una partcula positiva se desplaza en el sentido contrario al campo elctrico se desacelera, gana energa potencial y cede energa cintica, +++++Esto significa que una partcula positiva que se mueve en la direccin contraria al campo elctrico gana energa potencial.

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  • ++Supongamos que una carga positiva se mueve en un campo elctrico uniforme entre los puntos a y b. Como la fuerza elctrica es conservativa la energa se conserva W = -D U y W = D K -D U = D K -q (Vb - Va) = Kb - Ka q Va - qVb = Kb - Ka Ka + qVa = Kb + qVb Ea = Eb

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  • Ejemplo 3.7+Calcule la velocidad de un protn que es acelerado desde el reposo a travs de una diferencia de potencial de 150 V. ++++DV = (Va Vb) > 0 ; vi = 0 W = DK = DU mvf2 mvi2 = q(Vb Va) vf = (2*q (Va Vb) /mp) vf = 169.54*103 m/s

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  • Ejemplo 3.8Calcule la velocidad de un electrn que es acelerado desde el reposo a travs de una diferencia de potencial de 150V. -----DV = (Vb Va) < 0 ; vi = 0 W = DK = DU mvf2 - mvi2 = ( q) (Vb Va) mvf2 = q (Vb Va) vf = (2q(Va Vb) /me) vf = 7.26*106 m/sUna partcula de carga negativa se acelera en la direccin contraria el campo elctrico, es decir, hacia los potenciales crecientes.

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  • Ejemplo 3.9Un bloque de masa m y carga q positiva esta unido a un resorte de constante k. El bloque esta en una superficie horizontal rugosa en su estado natural. De esta manera el sistema se coloca en un campo elctrico uniforme horizontal. Si m = 4 Kg. q = 50.0 mC, k = 100 N/m, E = 5*105 N/C. mk = 0.2 En que cantidad mxima se alarga el resorte?.

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  • Ua = Ueb +Ub ( mk N x) qVa = kx2 + qVb ( mk mg x) q (Va Vb) = kx2 + mk mg x q (Ex) = kx2 + mk mg x q E = kx + mk mg (q E - mk mg) = kx x = 2 (q E - mk mg) / k x = 0.3432 m

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  • 3.9 Potencial elctrico debido a cargas puntuales aCosa = dr / ds dr = ds CosaSea un campo elctrico E generado por una carga positiva qLa diferencia de potencial entre dos puntos debido a una carga puntual (q) depende nicamente de las coordenadas radial inicial ra y radial final rb. ADV = - (Kq/r2 ) dr : r varia entre rb y ra Vb - Va = -Kq(1/r) ; r = rb y r = ra Vb - Va = Kq(1/rb - 1/ra) Va = Kq/ra ; Vb = Kq/rb

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  • AB+ Vb = Kq / rbVa = Kq / raVa - Vb = Kq (1/ra - 1/rb) = Vab

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  • +rV = K q / rPotencial de una carga puntual positiva a una distancia r de su centro.NOTA: El potencial es un escalar debe tenerse en cuenta el signo de la carga.

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  • -rV = -K q / r Potencial de una carga puntual negativa a una distancia r de su centro.

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  • V = K qi/ri ; V = K(- q1/r1 + q2/r2 - q3/r3)Potencial elctrico generado por una serie de cargas puntuales (principio de superposicin); V = V1 + V2 +......+ Vi +...........+ Vn ; V = K qi/ri Supongamos que tenemos tres cargas puntuales q1, q2, q3 y se desea encontrar el potencial elctrico en un punto.Sea r1, r2, r3 las distancias correspondientes de cada una de las cargas al punto.

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  • Ejemplo 3.10Se tienen cuatro cargas negativas iguales que forman un cuadrado de lado 2a. cul es el potencial elctrico en el centro del cuadrado si a es 5 cm y q = -2 nC? V = K qi/ri ; V = K(- q1/a2 - q2/a2 - q3/a2 q4/a2 ) V = -4K q / a2 = -1018.23 V

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  • Ejemplo 3.11Una carga +q se encuentra en el origen y una carga 2q esta en el punto (3,0) cm. Para que valor (es) finito(s) a lo largo de la recta que une las cargas el potencial elctrico es cero?K q /r1 + K (-2q) /r2 = 0, entonces, 1/ r1 = 2 / r2 ; r2 = 2r1 pero. r = r1 + r2 ; r2 = 2(r r2) = 2r 2r2\3r2 = 2r ; r2 = 2 cm y r1 = 1 cm \ V1 = Kq1/r1 = 1800 V y V2 = -Kq2/r2 = -1800 Va) Escogemos un punto entre las cargas, cerca de la de menor magnitud.

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  • K q /r1 + K (-2q) /r2 = 0, entonces, 1/ r1 = 2 / r2 ; r2 = 2r1 pero. r2 = r1 + r ; r2 = 2 (r2 r) = 2r2 2r\ r2 = 2r ; r2 = 6 cm y r1 = 3 cm \ V1 = Kq1/r1 = 600 V y V2 = -Kq2/r2 = -600 Vb) Escogemos un punto por fuera de las cargas y cerca de la de menor magnitud.

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  • Ejemplo 3.12Una carga q1 de 1*10-6 C esta separada 10 cm de una carga q2 de +2*10-6 C. Si a 2 cm de la carga positiva parte del reposo un protn. cul es su velocidad cuando esta a 2 cm de la carga negativa?. cul es su energa cintica en electrn-voltio? Va = K (-q1 / r1a + q2 / r2a) = 7.875*105 VVb = K (-q1 / r1b + q2 / r2b) = -2.25*105 VEa = Eb ; Ua + Ka = Ub+ Kb qpVa + 0 = mp vb2 + qp Vb vb = {2qp(Va - Vb) / mp}1/2 = 13.93*106 m/s Ek = mpv2 = 1.62*10-13 J = 1.01 *106 eV

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  • Ejemplo.3.13Tres cargas puntuales forman un triangulo equiltero de lado a a) Encuentre el potencial en el centro del triangulo. b) si a = 50 cm. q1 = 1 mC q2 = 2 mC q3 = 3 mC cunto vale el potencial en el centro del triangulo?r1r2r3afr1 = r2 = r3 = r : a = 30 ; f = 120 Sena / r2 = Senf / a r2 = r = a * Sena / Senf r = (a*1/2) / (3/2) r = a / 3 = 0.29 mV = K(q1/r1 - q2/r2 + q3/r3) V = (K / r)(q1 - q2 + q3) V = (3 K / a)(q1 - q2 + q3) V = 62353.83 V

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  • 3.10 Energa potencial generada por cargas puntualesSe tiene una carga q2 negativa que produce un potencial V2 a una distancia r.La energa potencial de una carga negativa y una positiva esta dado por U = V1(- q2) = (-V2) q1 = - Kq1q2 /rSe tiene una carga q1 positiva que produce un potencial V1 a una distancia r.El trabajo requerido para llevar una carga q2 del infinito a la distancia r de q1 con velocidad constante es.El trabajo requerido para llevar una carga q1 del infinito a la distancia r de q2 sin acelerarla.V1 = Kq1/rV2 = -Kq2/r

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  • Ejemplo 3.14Calcule la energa requerida para agrupar tres cargas positivas formando un triangulo equiltero, si cada carga es de 5mC y los lados de 10 cm. cunto vale la energa para mantener las cargas agrupadas? El trabajo total que es necesario para mantener este sistema en equilibrio es: U = U13 + U12 + U23 U =K{q1q3 /r13 + q1q2 /r12 + q2q3 /r23}= 3Kq2 / r r1 = r2 = r3 = r = .10 m; q1 = q2 = q3 = q =5mC U = 6.75 Julios

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  • Ejemplo.3.15El tomo de hidrogeno en su configuracin normal, no excitada, tiene un electrn que gira alrededor de un protn a un distancia r de 5.3*1011 m. a) cul es el potencial elctrico debido al protn en la posicin del electrn? b) cul es la energa electrosttica entre las dos partculas? ra) V = K (+q) / r = +27.17 V

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  • b) U = Vp (-q) = (K q/r)(-q) = - K q2 / r U = -4.35*10-18 Julios

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  • Ejemplo 3.16.Dos placas paralelas que tiene carga igual pero de signos contrario estn separadas 12 cm. Cada placa tiene una densidad superficial s de 36 nC/m2 Un protn se libera desde el reposo de la placa positiva determine a) la diferencia de potencial en las placas. b) la energa del protn cuando llega a la placa negativa. c) la velocidad del protn cuando llega ala placa negativa. d) la aceleracin del protn. e) la fuerza sobre el protn f) El campo elctrico.

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  • a) El campo elctrico entre una placas planas y paralelas viene dado por: E = s / e0 = 4071.5 V/m La diferencia de potencial entre las placas paralelas es: DV = Vb - Va = -E d = - 488.58 V V = Va - Vb = E d = 488.58 V b) El trabajo realizado es W = -qDV = 7.82*10-17 Julios, c) DK = - DU \ mvf2 - mvi2 = -q DV vf = (2(-q)(DV) / m )1/2 = 3.0597*103 m/s d) la aceleracin a = Eq/m = 3.9*1011 m/s2 e) La magnitud de la fuerza sobre el protn F = ma = 6.51*10-16 N f) El campo elctrico F = E q entonces E = F/q = 4071.63 N/C

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  • 3.11 Potencial elctrico de una distribucin continua de cargaUna coleccin de partculas puntuales cargadas representa una distribucin continua de carga Q = qi.Se desea encontrar el potencial elctrico en un punto producido por una distribucin continua de carga.Se escoge arbitrariamente un elemento infinitesimal de carga (dq) que esta a una distancia r del punto de donde se va a calcular el potencial elctrico.El potencial elctrico (dV) producido por (dq). dV = K dq / rSumando todas las contribuciones de los elementos infinitesimales dq. V = K dq / r

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  • Distribucin superficial de cargas = Q/A = dq/dADistribucin lineal de carga l = Q/L = dq/dlDistribucin volumtrica de cargar = Q/V = dq/dV

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  • Ejemplo 3.17 Potencial elctrico debido a una hilo cargadoSe desea encontrar el potencial elctrico de un hilo de longitud (L) y distribucin uniforme de carga (l) en un punto a lo largo de su eje y a una distancia (d) de uno de sus extremos. Dividimos al hilo en pequeos elementos infinitesimales.

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  • + + Escogemos arbitrariamente un elemento que tiene carga dq y longitud dl.

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  • dV = K l dx / x Este es el potencial elctrico de un elemento, sumamos la contribucin de todos los elementos.Este elemento infinitesimal se encuentra a una distancia r del punto donde se va a encontrar el potencial elctrico. dV = K dq / r ; dq = l dl = l dx + +

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  • V = K l dx /xx varia entre d y d + LV = K (Q/L) Ln ((L+d) / d)

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  • Ejemplo 3.18 Potencial elctrico de un hilo cargadoSe tiene un hilo de longitud (L), con distribucin uniforme de carga l y se desea encontrar el potencial elctrico a una distancia x perpendicular a uno de sus extremos. +++++++++++++Seleccionamos arbitrariamente un elemento dq, que tiene una longitud dy y se encuentra a una distancia r del punto donde se va a encontrar el potencial elctrico.

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  • +dV = K dq / r ; dq = l dL = l dy ; r = (x2+ y2)1/2 dV = K l dy / (x2+ y2)1/2 Este es el potencial elctrico de un elemento, ahora, sumamos la contribucin de todos los elementos.

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  • +V = Kl (dy / (x2 + y2)1/2) ; y varia de 0 a LV = Kl { Ln(y + (x2+y2))} y varia de 0 a L

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  • V = Kl {Ln (L+(x2+L2)) Ln L)} V = K (Q/L) {Ln (L + (x2+L2)/ x)}+++++++++++++

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  • Ejemplo 3.19 Potencial elctrico de un aro a lo largo del eje centralPotencial elctrico de un aro a lo largo del eje central, y a una distancia x de su centro, el aro tiene un radio R y una distribucin de carga (l). Se tiene un anillo de radio R con una distribucin continua de carga QRQ

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  • l = (Q/2pR) V = K Q / (x2 + R2)1/2dV = K dq / r ; dq = l dl = l (R da) r = (x2 + R2)^ V = {K l R / (x2+ R2)1/2} da a = 2p ; a = 0qSe desea encontrar el potencial elctrico en un punto a una distancia x del eje central del anillo.dV= K (l R da) / (x2+ R2)1/2 Tenemos el potencial elctrico de un elemento, ahora, sumamos la contribucin de todos los elementos

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  • Ejemplo 3.20 Potencial elctrico sobre el eje central de un discoPotencial elctrico a una distancia x en el eje central de un disco de radio R con una densidad superficial de carga s uniformemente distribuida.Se divide el disco en elementos de rea dA, cada uno con carga dq.El elemento infinitesimal de rea dA y se encuentra a una distancia a del centro del disco.

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  • V = Ks2pada / (x2+a2)1/2 sea u = (x2+a2) du = 2adadV = K(s2pada) / (x2+a2)1/2 potencial elctrico de un elemento, sumamos la contribucin de todos los elementos. V = (1/4pe0) sp du/u1/2x = R ; x = 0Se desea encontrar el potencial elctrico en un punto a una distancia x del centro.dV = Kdq/r ; dq = s dA= s(2pada) r = (x2+a2)1/2qV = (s/(2e0))*{(x2 + R2) - x}+++++++++++

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  • 3.12 Obtencin del campo elctrico a partir del potencial

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  • Ejemplo 3.21Sobre cierta regin del espacio, el potencial elctrico es V = 5 x2y3z x y z2+ 3 x2z2Encuentre las expresiones para las componentes x, y y z del campo elctrico sobre esta regin. cul es la magnitud y la direccin del campo en el punto p (2,1,-1)? La magnitud del campo elctrico es E = (Ex2 + Ey2 + Ez2) = 62.65 N/C La direccin del vector campo elctrico con respecto a cada componente es Cosa = Ex / E a = Arcos (Ex / E) = 98.26 Cosb = Ey / E b = Arcos (Ey / E) = 171.74 Cosg = Ez / E b = Arcos (Ez / E) = 90 La componente del vector campo elctrico es igual al negativo de la deriva del potencial con respecto a la coordenada.

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  • Ejemplo 3.22Un dipolo se localiza en eje Y como en la figura a) Si el punto esta alejado del dipolo r >> a cul es el potencial en el punto? b) cul es la componente del campo elctrico en Ex, Ey, Eq, Er?

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  • V = K (q/r+ - q/r-) V = Kq (r- - r+) / (r-*r+) r+ = r - a Cosa ; r- = r + a Cosa r- - r+ = (r + a Cosa) - (r - a Cosa) r- - r+ = 2 a Cosa r-*r+ @ r2 V = K(q2 a) Cosa / r2 V = K (P) Cosa / r2V = K (P) Cosa / r2 Como; r = (x2+y2) y Cosa = x /r = x / (x2+y2) entonces V = K P x / (x2+y2)3/2

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  • 3.13 Auto-evaluacin

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  • Ejercicio 3.1Qu cambio de energa potencial experimenta una carga de +50 mC cuando se mueve entre dos puntos para los cuales la diferencia de potencial es de +150 voltios?R) DU = 4.6875*1016 eV

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  • Ejercicio 3.2Qu diferencia de potencial se necesita para frenar un protn que tiene una velocidad inicial de 12103 m/s?R) Va Vb = 75.15 V

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  • Ejercicio 3.3Cunto trabajo se realiza al mover el numero de avogadro de electrones al moverse en lnea recta a partir de un punto inicial (a) donde el potencial es 20 V hasta un punto final (b) donde el potencial es 20 V?R) W = -3.8528*106 Julios

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  • Ejercicio 3.4Un positrn tiene la carga de un protn y masa de un electrn. Suponga que un positrn se mueve 6 cm en la direccin de un campo elctrico uniforme de 6000 V/m. a) cunta energa gana o pierde el positrn?. b) cunta energa cintica?R) a) W = 5.76*10-17 J y b) W = +5.76*10-17 J

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  • Ejercicio 3.5Las cargas mostradas en la figura estn fijas en el espacio. Determine el valor de la distancia x de modo que el valor de la energa potencial elctrica del sistema sea cero.R) x = 0.15 m

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  • Ejercicio 3.6Una gota esfrica con una carga de 32 pF tiene un potencial de 512 V en su superficie. Si dos de tales gotas de la misma carga y radio se combinan para formar una sola gota esfrica cul es el potencial de la nueva gota as formada?R) V2 = 812.75 V

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  • Ejercicio 3.7Un bloque de masa m y carga q positiva se encuentra en una superficie horizontal sin friccin y esta unido a un resorte de constante k. De esa manera el sistema se coloca en un campo elctrico uniforme E horizontal. a) En que cantidad mxima se alarga el resorte?. b) Si m = 4 Kg. q = 50.0 mC, k = 100 N/m, E = 5*105 N/C. En que cantidad mxima se alarga el resorte?. R) a) x = 2q E/k y b) x = 0.5 m

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  • Ejercicio 3.8Tres cargas iguales de +2 mC se encuentran formando un triangulo equiltero de lado a de 2 cm. Si se abastece de energa a razn de 600 Watios, cuntas horas se necesitaran para mover a una de las cargas al punto medio de la lnea que une las otras dos cargas?R) 6000 s = 1.67 h

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  • Ejercicio 3.9Calcule la energa requerida para agrupar cuatro cargas negativas formando un rectngulo de lado 2a horizontal y a vertical. Si Q es 5 mC y a es 5 cm. cunto vale la energa para mantener las cargas agrupadas de esa manera?. R) U = 17.52 J

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  • Ejercicio 3.10A una distancia r de una carga puntual Q, el potencial elctrico es de 500 V y la magnitud del campo elctrico es 250 V/m. Cul es el valor del radio y de la carga?R) r = 2 m y Q = 111.11 C

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  • Ejercicio 3.11Una partcula con carga de 4 mC y masa de 0.1 gr se mantiene en un posicin fija, una segunda carga de 2 mC se encuentra inicialmente en reposo a 1 cm. Luego se suelta la segunda carga y es repelida por la primera. Determine la velocidad en el instante que se encuentra a 1.5 cm? R) vb = 219.09 m/s

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  • Ejercicio 3.12Una carga q1 de 1*10-6 C esta separada 10 cm de una carga q2 de +2*10-6 C. Si a 2 cm de la carga negativa parte del reposo un electrn cul es su velocidad cuando esta a 2 cm de la carga positiva? Cul es su energa cintica en electrn-voltio? R) va = 5.97*108 m/s y Ek = 1.62*10-13 J = 1.01*106 eV

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  • Ejercicio 3.13En cierta regin del espacio el potencial elctrico es V = 10x + 5x2y3z - 2xyz2. Encuentre las expresiones de las componentes del campo elctrico sobre esta regin. cul es la magnitud y la direccin del campo elctrico en el punto p de coordenadas (1,2.-1).

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  • Ejercicio 3.14Dos placas planas y paralelas tienen cargas iguales pero de diferente signo, una diferencia de potencial de 500 V y estn separadas 2.0 cm. Un electrn es proyectado de una placa hacia la segunda cul es la velocidad inicial del electrn si llega al reposo justo en la superficie de la segunda placa?. R) vo = 13.26*106 m/s

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  • Ejercicio 3.15Una lamina infinita de carga tiene una densidad superficial de carga s = 20 mC/m2 cul es la separacin entre las superficies equipotenciales cuyos potenciales difieren de 40 V? R) V = 17.68 cm

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  • Ejercicio 3.16cuntos electrones hay que extraerse de un conductor esfrico de radio de 10 cm inicialmente descargado para producir un potencial de 10 KV?R) N = 6.25*1011 electrones.

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  • Ejercicio 3.17Dos anillos coaxiales de radio R estn separados una distancia 2R. a) Calcule el potencial elctrico en un punto sobre el eje comn a una distancia R entre los dos anillo, suponiendo que cada anillo tiene una carga distribuida uniformemente? b) Si la carga distribuida uniformemente es de 10 nC y el radio de 10 cm Calcule el potencial elctrico en un punto sobre el eje comn a una distancia R entre los dos anillo?. R) a) Vt = 2 KQ / r b) Vt = 1272.79 V

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  • Ejercicio 3.18Se tiene una arandela de radio interior ra, radio exterior rb y densidad superficial uniforme de carga s. Halle el potencial elctrico a una distancia x de su eje central y a partir del potencial encuentre el campo elctrico en ese punto.R) a) V = Ksp 2 {(rb2+x2) - (ra2+x2)} b) E = (s/(2e0)){x/(ra2+x2) - x/(rb2+x2)}

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  • 3.16 Solucionarlo

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  • S 3.1DU = q * DV, entonces, DU = 7500 mJ = 7500*10-6 J 1 eV = un electrn-voltio = 1.6*10-19 julios DU = 7500*10-6 J *( 1 eV / 1.6*10-19 J) = 4.6875*1016 eVVa > Vb ; Va Vb = DV

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  • S 3.2 DU = DK \ (QVb QVa) = mp vb2 mp va 2 Q (Vb Va) = mp vb2 Va Vb = mp vb2/ Q Va Vb = (1.2024*10-17) J / 1.6*10-19 C) = 75.15 V

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  • S 3.3Al mover una carga positiva en la direccin del campo elctrico se hace un trabajo positivo, al mover una carga negativa en la direccin del campo elctrico se realiza un trabajo negativo. W = DU = QDV = Q (Vb Va) W = (6.02*1023 tomos/mol*1.6*10-19 C/tomo)(20 20)V W = -3.8528*106 Julios

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  • S 3.4a) W = DU = QDV = Q (Vb Va) W = Q (Va Vb) = Q (E x) W = (1.6*10-19 C) * (6000 V/m * 0.06 m) = 5.76*10-17 J b) W = DK = +5.76*10-17 J

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  • S 3.5U = KQ1Q2 / r12 KQ1Q3 / r13 KQ2 Q3/ r32 = 0 Q1Q2 / (0.10 m) Q1Q3 / (0.10+x) m Q3 Q2/ x = 0 10 x2 1.1 x 0.06 = 0 x = 0.15 m U = K (Q1Q2 / (0.10 m) Q1Q3 / (0.25) m Q3 Q2/ 0.15) = 0

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  • S 3.61) V1 = KQ / r1 2) V2 = K2Q / r2 Dividiendo 1 en 2, V1/ V2 = r2 / 2r1 3) Volumen1 = 4/3 p r13 4) Volumen2 = 4/3 p r23 Dividiendo 3 en 4, entonces, Volumen1 / Volumen2 = r13/ r2 3 pero; 2 Volumen1 = Volumen2, entonces, Volumen1/ 2Volumen1 = r13/ r23 1 / 2 = r13/ r23; 1 / 2 = r13/ r23

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  • r23= 2 r13\ r2 = 21/3 r1 V1/ V2 = 21/3 r1 / 2r1 V1/ V2 = 21/3 / 2 = 1 / 22/3 V2 = V1 * 22/3 = 812.75 V r1 = KQ / V1 = 5.625*10-4 m : 2) r2 = K2Q / V2 = 7.087*10-4 m r2 = 21/3 r1 = 7.087*10-4 m

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  • S 3.7 Ua = Ueb + Ub qVa = kx2 + qVb q (Va Vb) = kx2 q (Ex) = kx2 q E = kx \2q E/k = x x = 0.5 m

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  • S 3.8

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  • S 3.9U = k Q2 {1/2a + 1/(a 5) + 1/a + 1/a + 1/(a 5) + 1/2a} U = k Q2/a {1 + 2 / 5 + 2} U = KQ2/a {3 + 2 / 5} = 17.52 J

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  • S 3.101) V = KQ / r 2) E = KQ / r2 Dividiendo 1 en 2 r = V / E = 500 V / 250 V/m = 2 m Q = r V / K = 111.11 nC Q = r2 E / K = 111.11 nC

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  • S 3.11

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  • S 3.12Va = K (-q1 / r1a + q2 / r2a) = 7.875*105 VVb = K (-q1 / r1b + q2 / r2b) = -2.25*105 VEa = Eb ; Ub + Kb = Ua + Ka qeVb + 0 = meva2+ qe Va va = {2qe(Vb - Va) / me} = 5.97*108 m/s Ek = mev2 = 1.62*10-13 J = 1.01*106 eV

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  • S 3.13La magnitud del campo es : E = (Ex + Ey + Ez ) = 107.81 N/C La direccin del campo es: Cosa = Ex / E a = Arcos (Ex / E) = 46.55 Cosb = Ey / E b = Arcos (Ey / E) = 54.89 Cosc = Ez / E c = Arcos (Ez / E) = 116.43E = - {10x + 5(x2)(y3)z - 2xy(z2)}/ s Ex = - V / x = -{10 + 10x(y3)z - 2y(z2)} Ey = - V / y = -{15(x2)(y2)z - 2x(z2) } Ez = - V / z = -{5(x2)(y3) - 4xyz}

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  • S 3.14-vf2 = vo2+ 2(EQe/me) * d = 0 vo2= -2 (V/d)(Qe/me) * d vo = (-2 (VQe/me) vo =(-2*(500 V)(-1.6*10-19 C) / 9.1*10-31 Kg) vo = 13.26*106 m/s

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  • S 3.15V = E d = (s /eo) d, entonces, d = V eo / s = 17.68 cm

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  • S 3.16V = KQ / r, entonces, Qt = rV/K = 100 nC Qt = Nqe \ N = Qt /Qe = 6.25*1011 electrones.

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  • S 3.17El potencial elctrico de un anillo a una distancia x es; V = K Q / (x2+ R2) El potencial elctrico neto a una distancia x = R; a) Vt = 2 (KQ / (2R2) ) = 2(K Q / (2 R)) = 2 KQ / r b) Vt = 1272.79 V

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  • S 3.18a) dV = KdQ / r = K (sdA) / (z2+x2) dV = Ks (2p z dz) / (z2+x2) V = Ksp (2zdz)/ (z2+x2) z varia entre ra y rb V = Ksp du/ u V = Ksp 2 u V = Ksp 2 {(rb2+x2) - (ra2+x2)}

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  • b) E = -V/x E = - Ksp 2 {(rb2+x2) - (ra2+x2) }/x E = - Ksp 2 {x/(rb2+x2) - x/(ra2+x2)} E = Ksp 2 {x/(ra2+x2) - x/(rb2+x2)} E = (s/(2e0)){x/(ra2+x2) - x/(rb2+x2)}

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