Polynomial time algorithm for Diophantine equations in one variable.pdf

8/14/2019 Polynomial time algorithm for Diophantine equations in one variable.pdf

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A P o l y n o m i a l T i m e A l g o r i t h m f o r D i o p h a n t i n e

E q u a t i o n s i n O n e V a r i a b l e

F e l i p e C u c k e r

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s

C i t y U n i v e r s i t y o f H o n g K o n g

8 3 T a t C h e e A v e n u e , K o w l o o n

H O N G K O N G

e - m a i l : m a c u c k e r @ m a t h . c i t y u . e d u . h k

P a s c a l K o i r a n

L I P , E c o l e N o r m a l e S u p e r i e u r e d e L y o n

4 6 , a l l e e d ' I t a l i e

6 9 3 6 4 L y o n C e d e x 0 7

F R A N C E

e - m a i l : k o i r a n @ l i p . e n s - l y o n . f r

S t e v e S m a l e

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s

C i t y U n i v e r s i t y o f H o n g K o n g

8 3 T a t C h e e A v e n u e , K o w l o o n

H O N G K O N G

e - m a i l : m a s m a l e @ m a t h . c i t y u . e d u . h k

1 I n t r o d u c t i o n

T h e g o a l o f t h i s p a p e r i s t o p r o v e t h e f o l l o w i n g .

T h e o r e m 1 T h e r e i s a p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m w h i c h g i v e n i n p u t f 2 Z Z t d e -

c i d e s w h e t h e r f h a s a n i n t e g e r r o o t a n d , m o r e o v e r , t h e a l g o r i t h m o u t p u t s t h e s e t o f

i n t e g e r r o o t s o f f .

H e r e w e a r e u s i n g s p a r s e r e p r e s e n t a t i o n o f p o l y n o m i a l s a n d t h e c l a s s i c a l i . e .

T u r i n g m o d e l o f c o m p u t a t i o n a n d c o m p l e x i t y . T h a t i s , f o r f 2 Z Z t ,

f = a

d

t

d

+ : : : + a

1

t + a

0

;

1


2/11

w e e n c o d e f b y t h e l i s t o f p a i r s f i ; a

i

j 0 i d a n d a

i

6= 0 g . T h e s i z e o f t h e

s p a r s e r e p r e s e n t a t i o n o f f i s d e n e d b y

s i z e f =

X

i j a

i

6 = 0

s i z e a

i

+ s i z e i =

X

i j a

i

6 = 0

h t a

i

+ h t i

w h e r e h t a = l o g 1 + j a j i s t h e l o g a r i t h m i c h e i g h t o f a n i n t e g e r a 2 Z Z . T h u s ,

s i z e f i s r o u g h l y t h e n u m b e r o f b i t s n e e d e d t o w r i t e d o w n t h e l i s t r e p r e s e n t i n g f .

P o l y n o m i a l t i m e m e a n s t h a t t h e n u m b e r o f b i t o p e r a t i o n s t o o u t p u t t h e a n s w e r i s

b o u n d e d b y c s i z e f

d

f o r p o s i t i v e c o n s t a n t s c ; d .

N o t e t h a t t h e d e g r e e o f f i s a t m o s t 2

s i z e f

a n d t h i s e x p o n e n t i a l d e p e n d e n c e

i s s h a r p i n t h e s e n s e t h a t t h e r e i s n o q 2 I N s u c h t h a t t h e d e g r e e o f f i s b o u n d e d

b y s i z e f

q

f o r a l l f . I n p a r t i c u l a r , e v a l u a t i n g f a t a g i v e n i n t e g e r x m a y b e a n

e x p e n s i v e t a s k s i n c e t h e s i z e o f f x m a y b e e x p o n e n t i a l l y l a r g e a s a f u n c t i o n o f

s i z e f a n d s i z e x .

A l g o r i t h m s f o r s p a r s e l y e n c o d e d p o l y n o m i a l s o r j u s t s p a r s e p o l y n o m i a l s a s t h e y

a r e u s u a l l y c a l l e d a r e u s u a l l y m u c h l e s s e c i e n t t h a n f o r t h e s t a n d a r d d e n s e

r e p r e s e n t a t i o n i n w h i c h f i s r e p r e s e n t e d b y t h e l i s t f a

0

; a

1

; : : : ; a

d

g . T h i s i s d u e t o

t h e f a c t t h a t s o m e p o l y n o m i a l s o f h i g h d e g r e e c a n b e r e p r e s e n t e d i n a v e r y c o m p a c t

w a y .

F o r d e n s e p o l y n o m i a l s , t h e e x i s t e n c e o f a r e a l r o o t c a n d e d e c i d e d e c i e n t l y b y

S t u r m ' s a l g o r i t h m . I t s e e m s t o b e a n o p e n p r o b l e m w h e t h e r t h i s c a n a l s o b e d o n e i n

p o l y n o m i a l t i m e w i t h t h e s p a r s e r e p r e s e n t a t i o n . T h e o r e m 1 s a y s t h a t t h e e x i s t e n c e

o f a n i n t e g e r r o o t f o r s p a r s e p o l y n o m i a l s c a n b e d e c i d e d i n p o l y n o m i a l t i m e . I n f a c t ,

a l l i n t e g e r r o o t s c a n b e c o m p u t e d w i t h i n t h a t t i m e b o u n d . O u r a l g o r i t h m r e l i e s i n

p a r t i c u l a r o n a n e c i e n t p r o c e d u r e f o r e v a l u a t i n g t h e s i g n o f f a t a g i v e n i n t e g e r x .

T h e e c i e n t s i g n e v a l u a t i o n p r o b l e m s e e m s t o b e o p e n f o r r a t i o n a l v a l u e s o f x .

W e n o t e h e r e t h a t a v e r s i o n o f T h e o r e m 1 i s w e l l - k n o w n f o r d e n s e p o l y n o m i a l s .

F o r a g e n e r a l o v e r v i e w o n c o m p u t e r a l g e b r a f o r o n e v a r i a b l e p o l y n o m i a l s s e e A k r i t a s

1 9 8 9 ; M i g n o t t e 1 9 9 2 .

2 C o m p u t i n g s i g n s o f s p a r s e p o l y n o m i a l s

T h e m a i n r e s u l t o f t h i s s e c t i o n i s t h e p r o o f t h a t o n e c a n e v a l u a t e t h e s i g n o f a

p o l y n o m i a l f a t x 2 Z Z i n p o l y n o m i a l t i m e . T h a t i s , g i v e n f 2 Z Z t a n d x 2 Z Z , w e

c a n c o m p u t e t h e q u a n t i t y

s i g n f x =

8

:

, 1 i f f x 0

0 i f f x = 0

1 i f f x 0

i n t i m e p o l y n o m i a l i n s i z e x a n d s i z e f .

2


3/11

T h e o r e m 2 T h e r e e x i s t s a n a l g o r i t h m w h i c h g i v e n i n p u t x 2 Z Z a n d f 2 Z Z t

c o m p u t e s t h e s i g n o f f x . T h e h a l t i n g t i m e o f t h i s a l g o r i t h m i s b o u n d e d b y a

p o l y n o m i a l i n s i z e x a n d s i z e f .

R e c a l l t h a t a s t r a i g h t - l i n e p r o g r a m w i t h o n e v a r i a b l e i s a s e q u e n c e P =

f c

1

; : : : ; c

k

; t ; u

1

; : : : ; u

`

g w h e r e c

1

; : : : ; c

k

2 Z Z , a n d f o r i ` , u

i

= a b w i t h

2 f + ; , ; g a n d a ; b t w o e l e m e n t s i n t h e s e q u e n c e p r e c e d i n g u

i

.

C l e a r l y , u

`

m a y b e c o n s i d e r e d a s a p o l y n o m i a l f t ; w e s a y t h a t P c o m p u t e s

f t . F o r e v e r y p o l y n o m i a l f t t h e r e e x i s t s t r a i g h t - l i n e p r o g r a m s c o m p u t i n g f t .

T h u s , s t r a i g h t - l i n e p r o g r a m s a r e r e g a r d e d a s y e t a n o t h e r w a y t o e n c o d e p o l y n o m i a l s

w h i c h t u r n s o u t t o b e e v e n m o r e c o m p a c t t h a n t h e s p a r s e e n c o d i n g . W e d e n e t h e

s i z e o f P t o b e

s i z e P = ` +

k

X

i = 1

s i z e c

i

:

L e m m a 1 L e t P b e a s t r a i g h t - l i n e p r o g r a m i n o n e v a r i a b l e o f s i z e s c o m p u t i n g f t

a n d x 2 Z Z s u c h t h a t 0 f x T f o r s o m e T 0 . T h e n f x c a n b e c o m p u t e d i n

t i m e p o l y n o m i a l l y b o u n d e d i n s a n d s i z e T .

P r o o f . O n e p e r f o r m s t h e a r i t h m e t i c o p e r a t i o n s t h e r e a r e a t m o s t s o f t h e m

i n t h e r i n g Z Z

T

o f i n t e g e r s m o d u l o T . E a c h o p e r a t i o n i n t h i s r i n g i s d o n e w i t h a

n u m b e r o f b i t s t e p s p o l y n o m i a l i n s i z e T .

T h e r e s u l t , f x , i s t h e v a l u e o f f x m o d u l o T a n d t h e r e f o r e , b y h y p o t h e s i s ,

t h e v a l u e o f f x . 2

R e m a r k 1 A s i m i l a r r e s u l t h o l d s i f w e h a v e , T f x 0 .

L e m m a 2 T h e r e i s a n a l g o r i t h m w h i c h g i v e n i n p u t x ; 2 Z Z

2

, x 0 , 0

o u t p u t s ` 2 Z Z , ` 0 , s u c h t h a t 2

` , 1

x

2

` + 1

. T h e h a l t i n g t i m e i s b o u n d e d b y

a p o l y n o m i a l i n s i z e x a n d s i z e .

S k e t c h o f t h e p r o o f . C o m p u t e ` 2 Z Z , ` 0 s a t i s f y i n g ` , 1 l o g x ` + 1 .

T o d o s o , o n e c o m p u t e s a n a p p r o x i m a t i o n y o f l o g x s u c h t h a t j y , l o g x j 1 = 2 .

2

P r o o f o f T h e o r e m 2 . W e c a n a s s u m e t h a t x 0 s i n c e i f x 0 t h e n f x i s

g , x w h e r e g i s o b t a i n e d f r o m f b y c h a n g i n g t h e s i g n o f t h e c o e c i e n t s o f t h e

m o n o m i a l s w i t h o d d d e g r e e . A l s o , i f x = 0 t h e p r o b l e m c a n b e s o l v e d b y l o o k i n g a t

t h e c o n s t a n t t e r m o f f . T h u s , s u p p o s e x 0 .

L e t k b e t h e n u m b e r o f m o n o m i a l s o f f s o t h a t

f = a

1

t

1

+ : : : + a

k

t

k

w i t h

1

2

: : :

k

0 :

T h e n , f x c a n b e e v a l u a t e d u s i n g H o r n e r ' s r u l e a s f o l l o w s . L e t

k

=

k

a n d

j

=

j

,

j + 1

f o r j = 1 ; : : : ; k , 1 . T h e n ,

j

=

j

+

j + 1

+ : : : +

k

f o r j = 1 ; : : : ; k .

3


4/11


5/11

I f

i , 1

= 0 t h e n c o m p u t e ` s u c h t h a t 2

`

j a

i

j 2

` + 1

a n d l e t

v

i

= ` , V

i

= ` + 1 a n d

i

= s i g n a

i

.

I f

i , 1

6= 0 p r o c e e d a s f o l l o w s .

I f 2

m

i , 1

2 j a

i

j w e h a v e t w o c a s e s :

i f

i , 1

a

i

0 t h e n l e t v

i

= m

i , 1

a n d V

i

= M

i , 1

+ 1

e l s e , i f

i , 1

a

i

0 , l e t v

i

= m

i , 1

, 1 a n d V

i

= M

i , 1

.

O n t h e o t h e r h a n d , i f 2

m

i , 1

2 j a

i

j ,

c o m p u t e t h e e x a c t v a l u e o f p

i , 1

u s i n g L e m m a 1 w i t h

T = 2

M

i , 1

+ 1 a n d l e t s

i

= p

i , 1

+ a

i

.

I f s

i

= 0 , l e t

i

= 0 .

I f s

i

6= 0 t h e n

c o m p u t e ` s u c h t h a t 2

`

j s

i

j 2

` + 1

a n d l e t

v

i

= ` , V

i

= ` + 1 a n d

i

= s i g n s

i

.

I t i s i m m e d i a t e t o c h e c k t h a t , i f m

i , 1

; M

i , 1

a n d

i , 1

s a t i s f y c o n d i t i o n s 1 a n d

2 t h e n v

i

; V

i

a n d

i

s a t i s f y c o n d i t i o n s 3 a n d 4 . A l l l i n e s i n t h e a b o v e a l g o r i t h m

a r e e x e c u t e d i n p o l y n o m i a l t i m e . T h i s i s i m m e d i a t e e x c e p t f o r t h e c o m p u t a t i o n o f

t h e e x a c t v a l u e o f p

i

. B u t t h e a l g o r i t h m i n L e m m a 1 h a s a h a l t i n g t i m e b o u n d e d

b y a p o l y n o m i a l i n s i z e P a n d s i z e T f o r a n y P c o m p u t i n g p

i

x . I n o u r c a s e o n e

c a n t a k e a n y s t r a i g h t - l i n e p r o g r a m c o m p u t i n g p

i

o f s i z e p o l y n o m i a l i n t h e s i z e o f f

H o r n e r ' s r u l e a s e x p o s e d a b o v e p r o v i d e s o n e w i t h 2 i , 1 o p e r a t i o n s a n d w e n o t e

t h a t t h e s i z e o f T , i s a b o u t M

i , 1

, a n d

M

i , 1

m

i

+ 3 i , 1 l o g 2 j a

i

j + 3 i , 1

w h i c h i s a l s o p o l y n o m i a l i n s i z e f .

F o r b , w e p r o c e e d a s f o l l o w s .

C o m p u t e ` s u c h t h a t 2

` , 1

x

i

2

` + 1

a s i n L e m m a 2 .

I f

i

6= 0 t h e n l e t m

i

= v

i

+ ` , 1 a n d M

i

= V

i

+ ` + 1 .

N o t i c e t h a t i n a w e d o n o t u s e t h e v a l u e s o f m

i , 1

a n d M

i , 1

i f

i

= 0 . C o n s e -

q u e n t l y , w e d o n o t c o m p u t e t h e m i n b i f t h i s i s t h e c a s e . 2

R e m a r k 2 I t i s a n o p e n p r o b l e m w h e t h e r o n e c a n c o m p u t e t h e s i g n o f f x i n

p o l y n o m i a l t i m e i f f i s g i v e n a s a s t r a i g h t - l i n e p r o g r a m . T h i s i s s o e v e n a l l o w i n g t h e

u s e o f r a n d o m i z a t i o n , i n w h i c h c a s e t h e s t a t e o f t h e a r t i s a n a l g o r i t h m f o r d e c i d i n g

w h e t h e r f x = 0 i n r a n d o m i z e d o n e - s i d e e r r o r p o l y n o m i a l t i m e s e e S c h w a r t z

1 9 8 0 .

5


6/11

3 P r o o f o f T h e o r e m 1

F i r s t w e g i v e a p r e l i m i n a r y l e m m a . I n t h e s e q u e l w e c o u n t r o o t s w i t h o u t m u l t i p l i c i t y ,

t h a t i s , t h e e x p r e s s i o n k r o o t s " m e a n s k d i e r e n t r o o t s .

L e m m a 3 L e t f 2 I R t h a v e k m o n o m i a l s . T h e n f h a s a t m o s t 2 k r e a l r o o t s .

P r o o f . I f k = 1 t h e s t a t e m e n t i s t r u e . I f k 1 w r i t e f = x

p w i t h p 0 6= 0 .

T h e n p

0

, t h e d e r i v a t i v e o f p , h a s k , 1 m o n o m i a l s a n d , b y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s , a t

m o s t 2 k , 1 r o o t s . F r o m t h i s w e d e d u c e t h a t p h a s a t m o s t 2 k , 1 r e a l r o o t s a n d

h e n c e f h a s a t m o s t 2 k . 2

D e n i t i o n 1 L e t p 2 Z Z t a n d M 2 Z Z , M 0 . L e t C = f u

i

; v

i

g

i = 1 ; : : : ; N

b e a

l i s t o f c l o s e d i n t e r v a l s w i t h i n t e g e r e n d p o i n t s s a t i s f y i n g u

i

u

i + 1

a n d v

i

= u

i

o r

v

i

= u

i

+ 1 f o r a l l i . W e s a y t h a t C l o c a t e s t h e r o o t s o f p i n , M ; M i f f o r e a c h r o o t

o f p i n , M ; M t h e r e i s i N s u c h t h a t 2 u

i

; v

i

. N o t e t h a t i n t h i s c a s e p h a s

n o r o o t s i n v

i

; u

i + 1

f o r a l l i .

L e t g 2 Z Z t a n d M 2 Z Z , M 0 . W r i t e g = t

p w i t h p 0 6= 0 a n d s u p p o s e

t h a t C

0

= f u

i

; v

i

g

i = 1 ; : : : ; N

l o c a t e s t h e r o o t s o f p

0

i n , M ; M . T h e n , f o r e a c h i N ,

p h a s a t m o s t o n e r o o t i n t h e i n t e r v a l v

i

; u

i + 1

s i n c e , b y R o l l e ' s t h e o r e m , i f p h a s

t w o r o o t s i n v

i

; u

i + 1

t h e p

0

m u s t h a v e a r o o t i n t h i s i n t e r v a l a s w e l l .

M o r e o v e r , p h a s a r o o t i n t h i s i n t e r v a l i f a n d o n l y i f p v

i

p u

i + 1

0 . T h i s i s

s o s i n c e i f p v

i

p u

i + 1

0 a n d p h a s s o m e r o o t i n v

i

; u

i + 1

t h e n , e i t h e r p h a s a t

l e a s t t w o r o o t s i n v

i

; u

i + 1

o r i t h a s a d o u b l e r o o t i n v

i

; u

i + 1

. I n b o t h c a s e s p

0

h a s

a r o o t i n v

i

; u

i + 1

c o n t r a d i c t i n g t h e c h o i c e o f C

0

.

P r o p o s i t i o n 1 T h e r e i s a n a l g o r i t h m w h i c h , g i v e n i n p u t g ; p 2 Z Z t , M ; N a n d C

0

a s a b o v e c o m p u t e s a l i s t C l o c a t i n g t h e r o o t s o f p i n , M ; M . T h e l i s t C h a s a t m o s t

N + 2 k i n t e r v a l s w h e r e k i s t h e n u m b e r o f m o n o m i a l s o f g . T h e h a l t i n g t i m e o f t h e

a l g o r i t h m i s p o l y n o m i a l l y b o u n d e d i n s i z e M , s i z e g a n d N .

P r o o f . U s i n g t h e a l g o r i t h m o f T h e o r e m 2 c o m p u t e t h e s i g n o f p a t t h e p o i n t s

, M ; u

1

; v

1

; : : : ; u

N

; v

N

; M .

L e t x ; y b e a n y o f t h e N + 1 i n t e r v a l s , M ; u

1

; v

1

; u

2

; : : : ; v

N , 1

; u

N

; v

N

; M .

I f p x p y 0 w e k n o w t h a t t h e r e a r e n o r e a l r o o t s o f p i n x ; y . O t h e r w i s e , t h e r e

i s o n l y o n e r o o t w h i c h c a n b e l o c a t e d i n a n i n t e r v a l o f t h e f o r m u ; u + 1 b y a p p l y i n g

t h e c l a s s i c a l b i s e c t i o n a l g o r i t h m w i t h i n t e g e r m i d - p o i n t s t h e i n t e r v a l h a s t h e f o r m

u ; u i f w e n d a m i d - p o i n t u s u c h t h a t p u = 0 . W e f o r m C b y a d d i n g t o C

0

t h e s e

i n t e r v a l s .

S i n c e t h e t o t a l n u m b e r o f r o o t s o f p i s b o u n d e d b y 2 k i t f o l l o w s t h a t t h e n u m b e r

o f i n t e r v a l s i n C i s a t m o s t N + 2 k .

T h e b o u n d f o r t h e h a l t i n g t i m e i s p r o v e d a s f o l l o w s . B i s e c t i o n i s a p p l i e d t o N + 1

i n t e r v a l s a t m o s t . E a c h o f t h e s e i n t e r v a l s h a s l e n g t h a t m o s t 2 M a n t h e r e f o r e , t h e

6


7/11

n u m b e r o f s i g n e v a l u a t i o n s i s o f t h e o r d e r o f l o g M , t h a t i s , i t i s l i n e a r i n s i z e M .

F i n a l l y , a l l t h e s i g n e v a l u a t i o n s t h e 2 N + 1 r s t o n e s a n d t h e o n e s p e r f o r m e d

d u r i n g t h e b i s e c t i o n p r o c e s s a r e d o n e i n p o l y n o m i a l t i m e i n s i z e M a n d s i z e g b y

T h e o r e m 2 . 2

P r o o f o f T h e o r e m 1 . L e t

f = a

1

t

1

+ : : : + a

k

t

k

w i t h

1

2

: : :

k

0 . T h e n , w e c a n d e n e p o l y n o m i a l s p

i

i n d u c t i v e l y b y

f = t

k

p

1

p

1

0 6= 0 a n d p

1

h a s k m o n o m i a l s

p

0

1

= t

k , 1

p

2

p

2

0 6= 0 a n d p

2

h a s k , 1 m o n o m i a l s

.

.

.

p

0

k , 1

= t

1

p

k

p

k

2 Z Z ; p

k

6= 0

w h e r e

k

=

k

a n d

1

; : : : ;

k , 1

o n l y d e p e n d o n

1

; : : : ;

k

.

I f L i s a b o u n d f o r t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e c o e c i e n t s o f f , t h e c o e c i e n t s o f

p

j

a r e b o u n d e d b y L

j , 1

1

f o r j = 1 ; : : : ; k . T h e r e f o r e , s i n c e p

j

h a s e x a c t l y k , j + 1

c o e c i e n t s , w e d e d u c e t h a t

s i z e p

j

k , j + 1 j , 1 s i z e

1

+ s i z e f

w h i c h i s b o u n d e d b y 2 s i z e f

3

f o r a l l j = 1 ; : : : ; k .

N o w w e n o t e t h a t i f i s a n i n t e g e r r o o t o f f , t h e n e i t h e r = 0 o r d i v i d e s

a

k

. T o p r o v e t h i s , s u p p o s e t h a t f = 0 a n d 6= 0 . T h e n

k

= 0 , t h a t i s ,

f = a

1

t

1

+ : : : + a

k , 1

t

k , 1

+ a

k

a n d w e h a v e

a

1

1

+ : : : + a

k , 1

k , 1

= , a

k

:

S i n c e d i v i d e s t h e l e f t - h a n d s i d e , i t m u s t d i v i d e a

k

.

T h u s , a l l i n t e g e r r o o t s o f f a r e i n t h e i n t e r v a l , j a

k

j ; j a

k

j a n d w e c a n r e s t r i c t

o u r s e a r c h t o t h i s i n t e r v a l .

C o n s i d e r t h e a l g o r i t h m

i n p u t f

C o m p u t e p

1

; : : : ; p

k

.

L e t C

k

= 0 ; 0 .

F o r i = k , 1 ; : : : ; 1 , i n d u c t i v e l y

c o m p u t e C

i

l o c a t i n g t h e r o o t s o f p

i

i n , j a

k

j ; j a

k

j

u s i n g P r o p o s i t i o n 1 w i t h i n p u t C

i + 1

.

L e t S = ; .

F o r e a c h e n d p o i n t x o f a n i n t e r v a l i n C

1

,

i f f x = 0 t h e n l e t S = S f x g .

O u t p u t S

7


8/11

T h e l i s t C

k

i s o l a t e s t h e r o o t s o f p

k

. T h e n , b y k , 1 a p p l i c a t i o n s o f P r o p o s i t i o n 1 ,

t h e l i s t C

1

i s o l a t e s t h e r o o t s o f p

1

a n d s i n c e i t c o n t a i n s t h e i n t e r v a l 0 ; 0 , t h e r o o t s

o f f . T h i s e n s u r e s t h e c o r r e c t n e s s o f t h e a l g o r i t h m .

T h e p o l y n o m i a l b o u n d f o r t h e h a l t i n g t i m e f o l l o w s f r o m P r o p o s i t i o n 1 p l u s t h e

f a c t t h a t s i z e p

j

2 s i z e f

3

f o r a l l j = 1 ; : : : ; k . 2

4 A R e n e m e n t

L e t f =

P

n

i = 0

a

i

t

i

b e a n i n t e g e r p o l y n o m i a l w i t h

0

1

n

a n d a l l a

i

' s

n o n z e r o . G i v e n k 2 f 1 ; : : : ; n , 1 g , o n e c a n w r i t e u n i q u e l y f a s f = r

k

+ x

k + 1

q

k

w h e r e

r

k

a n d q

k

a r e i n t e g e r p o l y n o m i a l s , a n d d e g r

k

=

k

o f c o u r s e , r

k

=

P

k

i = 0

a

i

t

i

a n d

q

k

=

P

n

i = k + 1

a

i

t

i

,

k

. W i t h t h e s e n o t a t i o n s , w e h a v e t h e f o l l o w i n g s i m p l e f a c t .

P r o p o s i t i o n 2 L e t M

k

= s u p

0 i k

j a

i

j . I f x i s a n i n t e g e r r o o t o f f a n d j x j 2 , x

m u s t a l s o b e a r o o t o f q

k

a n d r

k

p r o v i d e d t h a t

k + 1

,

k

1 + l o g M

k

.

P r o o f . S i n c e x i s a r o o t o f f , j r

k

x j = j q

k

x j j x j

k + 1

. M o r e o v e r ,

j r

k

x j M

k

1 + j x j + + j x j

k

= M

k

j x j

1 +

k

, 1

j x j , 1

:

F r o m t h e s e t w o r e l a t i o n s w e o b t a i n

j q

k

x j j x j

k + 1

,

k

M

k

j x j = j x j , 1 2 M

k

s i n c e j x j 2 . F i n a l l y , q

k

x 6= 0 i m p l i e s

k + 1

,

k

l o g j x j 1 + l o g M

k

s i n c e

j q

k

x j 1 i n t h i s c a s e . T h i s i s i n c o n t r a d i c t i o n w i t h t h e h y p o t h e s i s

k + 1

,

k

1 + l o g M

k

. W e c o n c l u d e t h a t q

k

x = 0 , a n d r

k

x = 0 f o l l o w s i m m e d i a t e l y . 2

T h i s p r o p o s i t i o n a p p l i e s i n p a r t i c u l a r t o p o l y n o m i a l s t h a t h a v e a s m a l l n u m b e r

o f t e r m s c o m p a r e d t o t h e i r d e g r e e o f c o u r s e t h e s e a r e p r e c i s e l y t h e p o l y n o m i a l s f o r

w h i c h t h e s p a r s e r e p r e s e n t a t i o n i s i n t e r e s t i n g . S p e c i c a l l y , i f f i s a p o l y n o m i a l o f

d e g r e e d =

n

w i t h a n o n z e r o c o n s t a n t c o e c i e n t i . e .

0

6= 0 a n d M = M

n

=

s u p

0 i n

j a

i

j , t h e r e m u s t e x i s t a g a p o f a t l e a s t d = n b e t w e e n t w o c o n s e c u t i v e p o w e r s

o f f . T h e r e f o r e o n e c a n a l w a y s a p p l y t h i s p r o p o s i t i o n w h e n

d

n

1 + l o g M .

I n a n y c a s e , i f t h e p r o p o s i t i o n a p p l i e s w e c a n r s t c o m p u t e t h e i n t e g e r r o o t s o f

r

k

o r q

k

a n d t h e n c h e c k w h e t h e r a n y o f t h e s e r o o t s i s a l s o a r o o t o f q

k

o r r

k

.

T h i s c a n s o m e t i m e s s p e e d u p t h e a l g o r i t h m d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s , i n

p a r t i c u l a r w h e n e i t h e r q

k

o r r

k

i s o f s m a l l s i z e c o m p a r e d t o f . F o r i n s t a n c e , i f f i s

o f t h e f o r m f x = x

2

, 3 + x

5

q x , o n l y , 1 a n d 1 c a n p o s s i b l y b e i n t e g e r r o o t s o f f .

A n d i f f i s o f t h e f o r m f x = x

2

, 9 + x

7

q x , a l l i n t e g e r r o o t s a r e i n f , 3 ; , 1 ; 1 ; 3 g .

8


9/11

5 F i n a l R e m a r k s

N a t u r a l e x t e n s i o n s o f T h e o r e m 1 w o u l d c o n s i d e r t h e e x i s t e n c e o f r a t i o n a l o r r e a l

r o o t s o f f . F o r r a t i o n a l r o o t s , t h e a r g u m e n t s i n S e c t i o n 3 c a n b e e x t e n d e d . I f a

r a t i o n a l p = q i s a r o o t o f f t h e n p d i v i d e s t h e c o n s t a n t t e r m a n d q d i v i d e s t h e l e a d i n g

c o e c i e n t . T h u s , t h e n u m b e r o f p o s s i b l e r o o t s i s a g a i n e x p o n e n t i a l i n s i z e f a n d

t h e b i s e c t i o n m e t h o d a p p l i e s . H o w e v e r , i t i s a n o p e n q u e s t i o n w h e t h e r o n e c a n

c o m p u t e t h e s i g n o f f p = q i n p o l y n o m i a l t i m e . F o r r e a l r o o t s t h e s i t u a t i o n s e e m s

e v e n m o r e d i c u l t s i n c e b i s e c t i o n o n l y m a y n o t d e t e c t m u l t i p l e r o o t s .

I n a n o t h e r d i r e c t i o n , o n e c o u l d c o n s i d e r d i o p h a n t i n e e q u a t i o n s i n s e v e r a l v a r i -

a b l e s . F o r s p a r s e p o l y n o m i a l s i n s e v e r a l v a r i a b l e s , s i g n d e t e r m i n a t i o n s e e m s t o b e a

d i c u l t q u e s t i o n , a n d i t i s n o t c l e a r w h e t h e r T h e o r e m 2 c a n b e g e n e r a l i z e d .

R e c a l l t h a t t h e l o g a r i t h m i c h e i g h t o f a n i n t e g e r x i s d e n e d b y h t x = l o g 1 +

j x j .

L e t f 2 Z Z t

1

; : : : ; t

n

, f =

P

a

t

. H e r e a

6= 0 , 2 I N

n

i s a m u l t i i n d e x a n d t h e

s u m i s o v e r a n i t e s e t A I N

n

. T h e s p a r s e r e p r e s e n t a t i o n o f f i s t h e s e q u e n c e o f

p a i r s ; a

, a n d t h e s i z e o f f f o r t h i s r e p r e s e n t a t i o n i s d e n e d b y

s i z e f =

X

2 A

h t + h t a

w h e r e h t = h t

1

+ : : : + h t

n

.

I t i s w e l l k n o w n t h a t f c a n b e e v a l u a t e d a t a p o i n t x 2 Z Z

n

i n t i m e p o l y n o m i a l

i n s i z e f a n d s i z e x i f f i s c o n s i d e r e d w i t h t h e d e n s e r e p r e s e n t a t i o n .

P r o b l e m 1 G i v e n f 2 Z Z t

1

; : : : ; t

n

a n d x 2 Z Z

n

, i s i t p o s s i b l e t o c o m p u t e

s i g n f x i n p o l y n o m i a l t i m e i n s i z e x a n d s i z e f f o r t h e s p a r s e r e p r e s e n t a t i o n

o f f ?

T h e o r e m 2 s o l v e s t h i s p r o b l e m f o r t h e c a s e n = 1 . F o r a n y x e d n , S h u b 1 9 9 3

s o l v e s i t u s i n g B a k e r ' s t h e o r e m B a k e r 1 9 7 5 i n c a s e f h a s o n l y t w o m o n o m i a l s b u t

t h e h a l t i n g t i m e d e p e n d s e x p o n e n t i a l l y i n n . M o r e o v e r h e p o s e s a q u e s t i o n a k i n t o

P r o b l e m 1 .

W o r s e , t h e p r o b l e m o f d e c i d i n g f e a s i b i l i t y o f d i o p h a n t i n e e q u a t i o n s i n m a n y v a r i -

a b l e s i s w e l l - k n o w n t o b e u n d e c i d a b l e c f . M a t i y a s e v i c h 1 9 9 3 . T h u s w e c o n s i d e r

t h e 2 - v a r i a b l e c a s e . S i n c e t h i s p r o b l e m l o o k s m u c h h a r d e r t h a n i n o n e v a r i a b l e ,

w e w o u l d b e h a p p y w i t h a s i n g l e e x p o n e n t i a l a l g o r i t h m f o r d e n s e p o l y n o m i a l s . I f

f 2 Z Z t

1

; : : : ; t

n

h a s d e g r e e d 2 I N , t h e d e n s e r e p r e s e n t a t i o n o f f i s t h e s e q u e n c e

o f c o e c i e n t s f a

g f o r a l l 2 I N

n

w i t h j j =

1

+ : : : +

n

d . T h e s e q u e n c e i s

o r d e r e d b y l e x i c o g r a p h i c o r d e r i n g i n I N

n

. T h e n , t h e s i z e o f t h e d e n s e r e p r e s e n t a t i o n

o f f i s

s i z e f =

X

j j d

s i z e a

:

H e r e s i z e a = h t a i f a 6= 0 a n d s i z e 0 = 1 .

W e p r o p o s e t h e f o l l o w i n g c o n j e c t u r e .

9


10/11

C o n j e c t u r e 1 T h e f e a s i b i l i t y o f a n y d i o p h a n t i n e e q u a t i o n P x ; y = 0 c a n b e d e -

c i d e d i n t i m e 2

C s

w h e r e C i s a u n i v e r s a l c o n s t a n t a n d s i s t h e s i z e o f P f o r t h e

d e n s e r e p r e s e n t a t i o n .

T h i s w o u l d f o l l o w b y a s i m p l e e x h a u s t i v e s e a r c h a l g o r i t h m f r o m a s e c o n d c o n -

j e c t u r e o n t h e h e i g h t o f s o l u t i o n s .

C o n j e c t u r e 2 I f a d i o p h a n t i n e e q u a t i o n P x ; y = 0 i s f e a s i b l e , t h e r e e x i s t s a s o -

l u t i o n a ; b 2 Z Z

2

w i t h h t a a n d h t b b o t h b o u n d e d b y K s w h e r e K i s a u n i v e r s a l

c o n s t a n t a n d s i s t h e s i z e o f P f o r t h e d e n s e r e p r e s e n t a t i o n .

H e i g h t b o u n d s a r e a t o p i c o f c u r r e n t i n t e r e s t i n n u m b e r t h e o r y , b u t t h e r e a r e

m o r e c o n j e c t u r e s t h a n t h e o r e m s . F o r i n s t a n c e , t h e L a n g - S t a r k c o n j e c t u r e L a n g

1 9 9 1 p r o p o s e s t h e u p p e r b o u n d j x j C m a x j a j

3

; j b j

2 k

C a n d k a r e u n i v e r s a l

c o n s t a n t s o n t h e h e i g h t o f a l l s o l u t i o n s o f e q u a t i o n s o f t h e f o r m y

2

= x

3

+ a x + b

w i t h 4 a

3

+ 2 7 b

2

6= 0 . H e r e w e o n l y n e e d a b o u n d o n t h e s m a l l e s t h e i g h t o f a s o l u t i o n ,

t h o u g h .

R e m a r k 3 I f s i s t a k e n t o b e t h e s i z e o f t h e s p a r s e r e p r e s e n t a t i o n o f P i n C o n j e c -

t u r e 2 , t h e n t h e c o n j e c t u r e s d o e s n o t h o l d .

C o n s i d e r t h e p o l y n o m i a l

P = x , 2

2

+ y , x

n 2

:

O n c e e x p a n d e d a s a s u m o f s i x m o n o m i a l s , o n e c h e c k s t h a t t h e s i z e o f t h e s p a r s e

r e p r e s e n t a t i o n o f P i s b o u n d e d b y 2 l o g n + 1 7 . B u t t h e o n l y i n t e g e r z e r o o f P i s

2 ; 2

n

w h i c h h a s h e i g h t g r e a t e r t h a n n .

O n e c a n c h e c k t h a t P d e n e s a c u r v e o f g e n u s 0 i n t h e c o m p l e x p r o j e c t i v e p l a n e

I P C

3

. W e d o n o t k n o w i f t h e r e i s a s i m i l a r e x a m p l e o f p o s i t i v e g e n u s s e e F u l t o n

1 9 6 9 ; W a l k e r 1 9 6 2 f o r b a s i c f a c t s o f a l g e b r a i c c u r v e s . T h u s C o n j e c t u r e s 1 a n d 2

m a y b e t r u e f o r t h e s p a r s e r e p r e s e n t a t i o n i n t h e c a s e o f p o s i t i v e g e n u s .

R e f e r e n c e s

A k r i t a s , A . 1 9 8 9 . E l e m e n t s o f C o m p u t e r A l g e b r a w i t h A p p l i c a t i o n s . J o h n W i l e y &

S o n s .

B a k e r , A . 1 9 7 5 . T r a n s c e n d e n t a l N u m b e r T h e o r y . C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s .

F u l t o n , W . 1 9 6 9 . A l g e b r a i c C u r v e s . B e n j a m i n .

L a n g , S . 1 9 9 1 . N u m b e r T h e o r y I I I , V o l u m e 6 0 o f E n c y c l o p a e d i a o f M a t h e m a t i c a l S c i -

e n c e s . S p r i n g e r - V e r l a g .

M a t i y a s e v i c h , Y . 1 9 9 3 . H i l b e r t ' s T e n t h P r o b l e m . T h e M I T P r e s s .

M i g n o t t e , M . 1 9 9 2 . M a t h e m a t i c s f o r C o m p u t e r A l g e b r a . S p r i n g e r - V e r l a g .

S c h w a r t z , J . 1 9 8 0 . F a s t p r o b a b i l i s t i c a l g o r i t h m s f o r v e r i c a t i o n o f p o l y n o m i a l i d e n t i -

t i e s . J o u r n a l o f t h e A C M 2 7 , 7 0 1 7 1 7 .

1 0


11/11

S h u b , M . 1 9 9 3 . S o m e r e m a r k s o n B e z o u t ' s t h e o r e m a n d c o m p l e x i t y t h e o r y . I n M . H i r s c h ,

J . M a r s d e n , a n d M . S h u b E d s . , F r o m T o p o l o g y t o C o m p u t a t i o n : P r o c e e d i n g s o f t h e

S m a l e f e s t , p p . 4 4 3 4 5 5 . S p r i n g e r - V e r l a g .

W a l k e r , R . 1 9 6 2 . A l g e b r a i c C u r v e s . D o v e r .

1 1

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