Polynomial and

interpolation

Technological University of Leon

Dr. J. Guadalupe Santos Gómez

Representing polynomials Polinomial are represented as vector of their coefficients, so

𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 3𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 + 8 is simply

p=[1 -3 2 -5 8]

And the roots of this polynomial

>> p=[1 -3 2 -5 8];roots(p)

ans =

-0.4860 + 1.3883i

-0.4860 - 1.3883i

2.4829 + 0.0000i

1.4892 + 0.0000i

Evaluating polynomials

You can evaluate a polynomial at one or more points with the

polyval function. The polyval function evaluates a polynomial at

a specified value. To evaluate p at x = 5, use >> polyval(p,5)

ans =

283

>> x = -1:2 ;

y = polyval(p,x)

y =

19 8 3 -2

You can construct a symbolic polynomial from the coefficient vector p and back again: >> syms x

f = poly2sym(p)

sym2poly(f)

f =

x^4 - 3*x^3 + 2*x^2 - 5*x + 8

>> X = [2 4 5; -1 0 3; 7 1 5];

Y = polyvalm(p,X)

Y =

2638 1438 3458

842 326 1092

3880 1966 4702

>> f=[3 -3 0 2 7];g=[1 -2 0 8];%Multiplicación >> c=conv(f,g) c = 3 -9 6 26 -21 -14 16 56 >> [q,r]=deconv(f,g)%División q = 3 3 r = 0 0 6 -22 -17

multiplication and division

Multiplication of polinomials

𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 − 8 𝑔 𝑥 = 2𝑥2 − 𝑥 + 5

>> f=[1 -3 2 -8];g=[2 -1 5];%multiplicación

>> c=conv(f,g)

c =

2 -7 12 -33 18 -40

>> f=[1 -3 2 -8];g=[2 -1 5];%división

>> [q,r]=deconv(f,g)

q =

0.5000 -1.2500

r =

0 0 -1.7500 -1.7500

q and r are the quotient and remainder

Polynomial interpolation

Polynomials are useful as easier-to-compute approximations of

more complicated functions, via a Taylor series expansion or by

a low-degree best-fit polynomial using the polyfit function. The

statement:

p=polyfit(x,y,n)

finds the best-fit n-degree polynomial that approximates the data

points x and y. Try this example:

x = 0:.1:pi ;

y = sin(x) ;

p = polyfit(x, y, 5)

figure(1) ; clf

ezplot(@sin, [0 pi])

hold on

xx = 0:.1:pi ;

plot(xx, polyval(p,xx), 'r*')

p =

0.0002 0.0359 -0.2296 0.0487 0.9860 0.0007

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

sin

p = polyfit(x,y,n) finds the coefficients of a

polynomial p(x) of degree n that fits the data,

p(x(i)) to y(i), in a least squares sense. The result

p is a row vector of length n+1 containing the

polynomial coefficients in descending powers:

Interpolation

Interpolación lineal interp1(x,y,’method’)

x: abscissa of the points to be interpolated, expressed as a vector row.

y: ordinate of the points to be interpolated, expressed as a vector row.

xi: abscissa to construct the interpolation function, expressed as a vector row.

If a single value, calculate the interpolation methods with declared value

function.

Method, determines the interpolation method. This is an optional specification

that indicates the interpolation method.

y1 = 64.8000 y2 = 106.7000

clc clear all x=0:5; T=[0 20 60 68 77 110]; y1=interp1(x,T,2.6) y2=interp1(x,T,4.9)

Calculation of two interpolated values for two values of x between 0 and 5

If the second term of the interp1 function is an array, the array returns a row vector with the same number of rows and each returned value is interpolated from the column corresponding data

clc clear all x(:,1)=(0:5) T(:,1)=[0 20 60 68 77 110] T(:,2)=[0 25 62 67 82 103] T(:,3)=[0 52 90 91 93 96] tems=interp1(x,T,2.6)

clc clear all x(:,1)=(0:5) T(:,1)=[0 20 60 68 77 110] T(:,2)=[0 25 62 67 82 103] T(:,3)=[0 52 90 91 93 96] tems=interp1(x,T,2.6)

temps = 64.8000 65.0000 90.6000

Datos interpolados

interp1(x,y,x_new,’spline’) devuelve un vector columna que

contiene los valores y interpolados que corresponden a x_new usando interpolación spline cúbica

Interpolación cúbica

clc

clear all

x=0:5;

T=[0 20 60 68 77 110];

x1=0:0.1:5;

T1=interp1(x,T,x1,'linear')

T2=interp1(x,T,x1,'spline')

plot(x1,T1,x1,T2,x,T,'o')

axis([-1,6,20,120])

-1 0 1 2 3 4 5 620

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Muestra

Tem

pera

tura

linear

spline cúbico

medidas

Polynomial curve fitting

Clc clear all %ajuste de cruvas x=1:5; y=[5.5 43.1 128 290.7 498.4]; % Third-order polynomial fit p3=polyfit(x,y,3) x1=1:0.1:5; y2=polyval(p3,x1); plot(x,y,'o',x1,y2)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Muestra

Tem

pera

tura

Ajuste polinomial de curvas

32 1917.05821.316262.6034.35 xxxy

p3 = -0.1917 31.5821 -60.3262 35.3400

clc clear all %Ajuste de datos x=linspace(0,pi,50); %introduce un error al seno del 1% f=sin(x)+0.01*rand(1,length(x)); %Ajusta los datos p=polyfit(x,f,4); g=polyval(p,x); %Dibuja los datos y su respectivo ajuste plot(x,f,'r*',x,g,'b-') grid

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

clear all

Clc

t = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]';

y = [.82 .72 .63 .60 .55 .50]';

E = [ones(size(t)) exp(-t)]

C=E\y

T = (0:0.1:2.5)';

Y = [ones(size(T)) exp(-T)]*C;

plot(T,Y,'-',t,y,'o')

E = 1.0000 1.0000 1.0000 0.7408 1.0000 0.4493 1.0000 0.3329 1.0000 0.2019 1.0000 0.1003 C = 0.4760 0.3413

teccty 21)(

tety 3413.04760.0)(

0 0.5 1 1.5 2 2.50.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9Función de decaimiento exponencial

Tiempo [s]

Am

plit

ud

simulado

datos

Regresión exponencial

El editor en jefe de un importante periódico metropolitano ha intentado convencer al dueño para que mejore las condiciones de trabajo en la imprenta. Está convencido de que, cuando trabajan las prensas, el grado de ruido crea niveles no saludables de tensión y ansiedad. Recientemente hizo que un sicólogo realizara una prueba durante la cual situaron a los prensistas en cuartos con niveles variables de ruido y luego les hicieron otra prueba para medir niveles de humor y ansiedad. La siguiente tabla muestra el índice de su grado de ansiedad o nerviosismo y el nivel de ruido al que se vieron expuestos (1.0 es bajo y 10.0 es alto). Nivel de ruido 4 3 1 2 6 7 2 3 Grado de ansiedad 39 38 16 18 41 45 25 38 a) Grafique estos datos. b) Desarrolle una ecuación de estimación que describa los datos. c) Pronostique el grado de ansiedad que podríamos esperar cuando el nivel de ruido es 5.

Un productor de comida para cerdos desea determinar qué relación existe entre la edad de un cerdo cuando empieza a recibir un complemento alimenticio de reciente creación, el peso inicial del animal y el aumento de peso en un periodo de una semana con el complemento alimenticio. La siguiente información es resultado de un estudio de ocho lechones: X1 X2 Y Número Peso inicia l Edad inicial Aumento de lechón (libras) (semanas) de peso 1 39 8 7 2 52 6 6 3 49 7 8 4 46 12 10 5 61 9 9 6 35 6 5 7 25 7 3 8 55 4 4 a) Calcule la ecuación de mínimos cuadrados que mejor describa estas tres variables. b) ¿Cuánto podemos esperar que un cerdo aumente de peso en una semana con el complemento alimenticio, si tenía nueve semanas de edad y pesaba 48 libras?