8/18/2019 Polinomul Newton de Interpolare

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 APROXIMAREA FUNC Ț  IILOR

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5. Polinomul Newton de interpolare

Problema 

Se cunoa]te un set 1+n  perechi de valori ),(  y x , deumite noduri de interpolare 

x0  x1  x2  .... xn 

y0  y1  y2  .... yn 

Se determin` un polinomul de interpolare ( ) x yn de gradul n  ale cărui valori coincidcu valorile din nodurile de interpolare. 

Polinomul Newton de interpolare este de forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )nn

n

 x x x x y x x x x x x

 x x x y x x x x x x y x x y x y

,,,,

,,,

210110

210101000

LLL   ⋅−−⋅−++

+⋅−⋅−+⋅−+=

−

 

în care se definesc diferențele divizate de:

- ordinul 1: ( )01

0110 ,

 x x

 y y x x y

−

−=  

- ordinul 2: ( )   ( ) ( )

02

1021210

,,,,

 x x

 x x y x x y x x x y

−

−=  

.......

- ordinul n: ( )  ( ) ( )

0

11021210

,,,,,,,

 x x

 x x x y x x x y x x x x y

n

nn

n−

−=

  −LL

L  

8/18/2019 Polinomul Newton de Interpolare

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 APROXIMAREA FUNC Ț  IILOR

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Principiul metodei

Se calculează diferențele divizate.

Se determin` polinomul de interpolare   ( ) x yn  după  formula polinomului Newton deinterpolare de gradul dorit ( 1, 2,…, n).

Cazuri particulare ale polinomului Newton de interpolare 

-  1=n : Polinomul Newton de interpolare de gradul 1:

( ) ( ) ( )10001 , x x y x x y x y   ⋅−+=  

-  2=n : Polinomul Newton de interpolare de gradul 2:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2101010002 ,,,  x x x y x x x x x x y x x y x y   ⋅−⋅−+⋅−+=  .......

-  k n  = : Polinomul Newton de interpolare de gradul k :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )k k 

k 

 x x x x y x x x x x x

 x x x y x x x x x x y x x y x y

,,,,

,,,

210110

210101000

LLL   ⋅−−⋅−++

+⋅−⋅−+⋅−+=

−

 

Exemplu de calcul

Problemă:

Fie următoarea funcție dată sub formă tabelară:

i 0 1 2

xi  0 2 3

yi  1 1 5

Se determină polinomul Newton de interpolare de gradul 1 și 2.

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Rezolvare:

Calculul diferențelor divizate de:

- ordinul 1: ( ) 002

11

, 01

01

10  =

−

−=

−

−=

 x x

 y y

 x x y  

( ) 423

15,

12

1221   =

−

−=

−

−=

 x x

 y y x x y  

- ordinul 2: ( )  ( ) ( )

3

4

03

04,,,,

02

1021210   =

−

−=

−

−=

 x x

 x x y x x y x x x y  

1. Polinomul Newton de interpolare de gradul 1 între punctele ( )00 , y x   și ( )11 , y x :

( ) ( ) ( ) ( ) 1001, 1000)10(

1   =⋅−+=⋅−+=−

 x x x y x x y x y  

Verificare:

0= x : ( ) 10)10(1   =− y  

2= x : ( ) 11)10(1   =− y  

2. Polinomul Newton de interpolare de gradul 1 între punctele ( )11, y x   și ( )22 , y x :

( ) ( ) ( ) ( ) 74421, 2111)21(

1   −=⋅−+=⋅−+=−  x x x x y x x y x y  

Verificare:

2= x : ( ) 12)21(1   =− y  

3= x : ( ) 53)21(1   =− y  

2. Polinomul Newton de interpolare de gradul 2 între ( )00 , y x , ( )11, y x   și ( )22 , y x :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )3

483

3

420001

,,,

2

2101010002

 x x x x x

 x x x y x x x x x x y x x y x y

+−=⋅−⋅−+⋅−+=

=⋅−⋅−+⋅−+=

 

Verificare:

0= x : ( ) 102   = y  

2= x : ( ) 122   = y  

3=

 x : ( ) 332  =

 y