Planificacion de proyectos

IntroduccionEl PERT (“Program Evaluation and Review Technique” o “Tecnica de

evaluacion y revision de programas”) y el CPM (“Critical Path Method”o “Metodo del camino crıtico”) son metodos disenados para ayudar enla planificacion, la programacion y el control de proyectos.

Un proyecto se define como una coleccion de actividades interrela-cionadas, en donde cada actividad requiere tiempo y recursos.

Con la ayuda del PERT y del CPM se puede:

1. Planificar el proyecto antes de llevarlo a cabo y prever posiblesfuentes de problemas y retrasos en su realizacion.

2. Programar las actividades del proyecto en los momentos oportunospara ajustarse a la secuencia de tareas a realizar, de forma que elproyecto se termine lo mas pronto posible.

3. Coordinar y controlar las actividades del proyecto para que sigan elcalendario previsto y no retrasen la finalizacion del proyecto.

Estas dos tecnicas (el PERT y el CPM) fueron desarrolladas indepen-dientemente en EE.UU. en los anos 50. Son muy semejantes. La unicadiferencia que debemos resenar es la siguiente:

El PERT incorpora incertidumbre mediante la introduccion de proba-bilidades en los tiempos de ejecucion de las actividades, mientras que elCPM supone conocidos los tiempos de duracion de las actividades (tieneun caracter determinista).

Debido al distinto enfoque que tienen el PERT y el CPM con respecto alos tiempos de las actividades, el PERT trabaja con tres estimaciones deltiempo (la pesimista, la optimista y la mas probable) y el CPM considerasolo una.

Ademas el CPM fue posteriormente prolongado, introduciendo la rela-cion que existe entre coste y duracion de una actividad. De esta formasurgio la PROGRAMACION DE PROYECTOS A COSTE MINIMO (MCE: “Min-imum Cost Expediting” o “aceleracion del proyecto a coste mınimo”),una de las variantes del CPM que ha resultado mas fructıfera, donde sesupone que hay una relacion entre la cantidad de recursos necesariospara una actividad y su tiempo de ejecucion.

1

APLICACIONES DEL PERT Y DEL CPM

Construccion de edificios, autopistas, casas, puentes, etc.Fabricacion de aviones, barcos, ordenadores, etc.Diseno, fabricacion y distribucion de nuevos productos.Reparacion y mantenimiento de barcos, refinerıas de petroleo, etc.Proyectos simples como restauracion de casas, mudanza a una nueva

casa, etc.

Principios basicos del metodo PERT

El metodo PERT parte de la descomposicion del proyecto en una seriede actividades, entendiendo por “actividad” la ejecucion de una tareaque exige para su realizacion la utilizacion de recursos tales como manode obra, maquinaria, materiales, . . .

Ası, por ejemplo, la nivelacion de terrenos, la excavacion de cimientos,la colocacion de tuberıas,. . ., son actividades en el proyecto de construc-cion de un edificio.

Ademas de las actividades, en el metodo PERT tenemos el conceptode “suceso”. Un suceso es un acontecimiento que no consume recursos yque indica el principio o fin de una actividad o conjunto de actividades.

Para representar las actividades en las que se descompone un proyecto,ası como sus correspondientes sucesos se utiliza un grafo:

los arcos del grafo representan las actividades,los nodos del grafo representan los sucesos.

ONMLHIJKiA //ONMLHIJKj

OBSERVACION

Si A:(i,j) entonces i < j.

Una vez descompuesto el proyecto en actividades, la fase siguientedel PERT consiste en establecer las “prelaciones” o “prioridades” exis-tentes entre las diferentes actividades, debidas a razones de tipo tecnico,economico o jurıdico. (Es decir, las diferentes actividades que consti-tuyen un proyecto deben ejecutarse segun un cierto orden).

Ejemplos:Para poder iniciar la fase de excavacion es necesario que previamente

2

se haya finalizado la actividad de nivelacion.Para poder iniciar la obra se ha tenido que conseguir previamente el

correspondiente permiso administrativo.• ¿Como se representan en el grafo tales prioridades?

Si para iniciar la actividad B es necesario que haya terminado la ac-tividad A:

ONMLHIJK1A //ONMLHIJK2

B //ONMLHIJK3

Para poder iniciar la actividad D es necesario que hayan acabado A,B y C:

ONMLHIJK1A

&&MMMMMMMMMMMMMMM

ONMLHIJK2B //ONMLHIJK4

D //ONMLHIJK5

ONMLHIJK3

C

88qqqqqqqqqqqqqqq

“A precede a B, C y D”, es decir, para poder iniciarse un conjunto deactividades (B, C y D) es necesario que se haya finalizado previamenteuna sola actividad A:

ONMLHIJK3

ONMLHIJK1A //ONMLHIJK2

D

&&MMMMMMMMMMMMMMM

B

88qqqqqqqqqqqqqqq C //ONMLHIJK4

ONMLHIJK5

“A, B y C preceden a D, E y F”

3

ONMLHIJK1A

&&MMMMMMMMMMMMMMMONMLHIJK5

ONMLHIJK2B //ONMLHIJK4

D

88qqqqqqqqqqqqqqq E //

F

&&MMMMMMMMMMMMMMMONMLHIJK6

ONMLHIJK3

C

88qqqqqqqqqqqqqqq ONMLHIJK7

Actividades ficticiasVeamos ciertos problemas que se plantean en la construccion del grafo

PERT.“A y B preceden a C”“A precede a D”En principio podrıamos pensar en representarlo ası:

ONMLHIJK1A

''OOOOOOOOOOOOOOONMLHIJK4

ONMLHIJK3

C77oooooooooooooo

D

''OOOOOOOOOOOOOO

ONMLHIJK2

B77oooooooooooooo ONMLHIJK5

Pero tal representacion no es correcta pues indica que para poderiniciar D es necesario que haya terminado B.

Para resolver este tipo de problemas debemos recurrir a las “activi-dades ficticias”.

Estas no consumen tiempo ni recursos. Son unicamente “enlaceslogicos” que nos permiten reflejar formalmente las prelaciones existentesentre las diferentes actividades que constituyen el proyecto.

La situacion anterior debe representarse ası:

ONMLHIJK1A //ONMLHIJK3

������

D //ONMLHIJK5

ONMLHIJK2B //ONMLHIJK4

C //ONMLHIJK6

4

Las actividades ficticias tambien son usadas para resolver el problemade las actividades “en paralelo”:

“A precede a B, C y D, y estas a E”

ONMLHIJK1A //ONMLHIJK2

B

""

D

<<

C //ONMLHIJK3E //ONMLHIJK4

Este grafo es correcto siempre que el proceso de calculo del metodoPERT se efectue manualmente, pero si se esta usando un ordenador, esteno distinguira entre las actividades B, C y D, que tienen los mismossucesos inicial y final.

Para resolver este problema recurrimos de nuevo a las actividadesficticias.

El grafo adecuado serıa:

ONMLHIJK3

&&MMMMMMMM

ONMLHIJK1A //ONMLHIJK2

B

88qqqqqqqqqqqqqqq C //

D

&&MMMMMMMMMMMMMMMONMLHIJK5

E //ONMLHIJK6

ONMLHIJK4

88qqqqqqqq

5

CONSTRUCCION DEL GRAFO PERT

SUCESO INICIO DEL PROYECTO

Representa el inicio de una o mas actividades, pero no representa elfin de ninguna.

SUCESO FIN DEL PROYECTO

Representa el fin de una o mas actividades, pero no representa elcomienzo de ninguna.

En todo proyecto hay un unico suceso inicio y un unico suceso fin.

• Para construir el grafo PERT debemos empezar por recoger de un modosistematizado las prelaciones o prioridades existentes entre las distintasactividades del proyecto. Para ello establecemos el CUADRO DE PRELA-

CIONES.Esta formado por dos columnas:

- en la primera columna estan representadas todas las actividades en quese ha descompuesto el proyecto.

- en la segunda columna figuran las actividades precedentes de la actividadque aparece en la misma fila de la primera columna.

Despues se construye el grafo PERT.

EJEMPLO

Construir el grafo PERT de un proyecto cuyas actividades y prelacionesexistentes entre las mismas son:

A precede a C,D,EB precede a CC precede a KD precede a F,GE precede a JF precede a IG precede a H

H,I,J preceden a LK precede a ML precede a PM precede a N

N,P preceden a QQ precede a R

6

Construyamos el cuadro de prelaciones correspondiente a este proyecto:

ACTIVIDADES PRECEDENTES

A -B -C A,BD AE AF DG DH GI FJ EK CL H,I,JM KN MP LQ N,PR Q

Construyamos ahora el grafo PERT:

GFED@ABC7I

""FFFF

FFFF

FF

GFED@ABC4

F<<zzzzzzzzz

G

""DDDDDDDDDGFED@ABC9

L

��555

5555

5555

5555

5

GFED@ABC2

�������������

D<<zzzzzzzzz

E

""DDDDDDDDDGFED@ABC8

H<<xxxxxxxxxx

GFED@ABC5J

MM

GFED@ABC11

P

��555

5555

5555

5555

5

GFED@ABC1B

""DDDDDDDDD

A

FF����������������

GFED@ABC3C //GFED@ABC6

K // GFED@ABC10M // GFED@ABC12

N // GFED@ABC13Q // GFED@ABC14

R // GFED@ABC15

7

ASIGNACION DE TIEMPOS A LAS ACTIVIDADES

La duracion de una actividad no puede fijarse, en la mayorıa de loscasos, con exactitud. Depende de circunstancias aleatorias (averıas enlas maquinas, cortes de energıa electrica, retraso en la entrega de sumi-nistros, enfermedad del personal,. . .).

este problema es abordado por el metodo PERT de modo muy peculiar,pues considera tres estimaciones de tiempo distintas:

• LA ESTIMACION OPTIMISTA, que representa el tiempo mınimo en quepodrıa ejecutarse la actividad si todo marchase excepcionalmente bien,no produciendose ningun tipo de contratiempo durante la fase de eje-cucion.

Se considera que la probabilidad de poder finalizar la actividad en estaestimacion optimista (o en menos tiempo) no es superior a 0’01.

La denotaremos por “a”.• LA ESTIMACION MAS PROBABLE, llamada tambien “estimacion modal”,

y representa el tiempo que “normalmente” se empleara en ejecutar laactividad.

Se considera que este tiempo es el que se producirıa con mas frecuenciasi la actividad se ejecutase un cierto numero de veces.

La denotaremos por “m”.• LA ESTIMACION PESIMISTA, que representa el tiempo maximo en que

podrıa ejecutarse la actividad si todas las circunstancias que influyen ensu duracion fuesen totalmente desfavorables, produciendose todo tipo decontratiempos (exceptuando casos extremos: incendios, huelgas,. . .).

Se considera que la probabilidad de que dure la estimacion pesimista(o mas) no es superior a 0’01.

La denotaremos por “b”.Una vez establecidas las tres estimaciones de tiempo, se calcula el

tiempo PERT tij de ejecucion de una actividad (i,j) ponderando las an-teriores estimaciones por medio de la formula:

tij = a+4m+b6

(Aunque no hay una clara justificacion estadıstica para esta esti-macion, es ampliamente utilizada.)

8

DEFINICION

Sea tij el tiempo PERT de ejecucion de una actividad (i,j).Se define el TIEMPO MAS PRONTO POSIBLE (“early”) de un suceso j,

y lo denotaremos por tj, a:tj = max

i/(i,j)∈G{ti + tij}

donde G nos indica el grafo PERT.• El tiempo “mas pronto posible” de un suceso nos indica el tiempo mınimo

necesario para llegar a el.• El tiempo mas pronto posible del suceso fin del proyecto es LA DURACION

DEL PROYECTO.

OBSERVACION

tj nos indica la longitud del camino mas largo desde 1 hasta j.Vamos a demostrarlo por induccion (en j).

j=1t1 = 0 (cierto)

Lo suponemos cierto para 2,3,. . .,jj+1Lo demostramos para j+1 por reduccion al absurdo.Ya sabemos (por definicion) que:tj+1 = max

i/(i,j+1)∈G{ti + ti·j+1} = ti′ + ti′·j+1

Sea ahora C el camino mas largo desde 1 hasta j+1, y supongamos,entonces, que tiene longitud mayor que tj+1:

L(C) > tj+1

En tal caso, el ultimo arco de C sera (ı, j + 1) en donde ı < j + 1.Tendremos entonces:

tj+1 < L(C) = L(camino mas largo de 1 a ı) + t ı·j+1 =

= tı + tı·j+1 ≤ maxi/(i,j+1)∈G

{ti + ti·j+1} = tj+1

lo cual es una contradiccion.En consecuencia, tj indica ciertamente el tiempo que, como mınimo,

hemos de emplear para poder empezar cualquier actividad que salga delnodo j.

9

DEFINICION

Se define el TIEMPO MAS TARDE PERMISIBLE (“last”) de un suceso i,y lo denotaremos por t∗i , a:

t∗i = minj/(i,j)∈G

{t∗j − tij}

• El tiempo mas tarde permisible de un suceso nos indica lo mas tarde quepodemos llegar a el sin que se retrase la duracion del proyecto.

OBSERVACION

t∗i nos indica la longitud del camino mas largo desde el inicio al fin delproyecto menos la longitud del camino mas largo desde i hasta el fin delproyecto.

1. Para demostrarlo, primero vemos que cualquier t∗i lo podemos ponercomo:

t∗i = t∗n − L(Cin)donde L(Ci,n) es la longitud de Cin, un camino de i a n.Lo demostramos por induccion (en i).

i=nCierto, pues t∗n = t∗n − 0

Lo suponemos cierto para n-1,n-2,. . .,ii-1Lo demostramos para i-1.Por definicion sabemos que:t∗i−1 = min

j/(i−1,j)∈G{t∗j − ti−1·j} = t∗j′ − ti−1·j′

donde j′ > i− 1entonces, por hipotesis de induccion para j’ (pues j′ > i− 1),

existe un camino de j’ a n, Cj′n, tal que t∗j′ = t∗n − L(Cj′n)y el camino Ci−1·n = {(i− 1, j′), Cj′n}

completa la demostracion.

2. Veamos, a continuacion, que Cin es el camino mas largo de i a n.La demostracion la hacemos por induccion (en i).i=nCierto, pues t∗n = tn, que es la longitud del camino mas largo de 1 a

n.Lo suponemos cierto para n-1,n-2,. . .,i

10

i-1Lo demostramos para i-1 por reduccion al absurdo:Por un lado, ya sabemos (por definicion) que:t∗i−1 = min

j/(i−1,j)∈G{t∗j − ti−1·j} = t∗j′ − ti−1·j′

donde j′ > i− 1Sea, ahora, C el camino mas largo de i-1 a n, y supongamos que:L(C) > L(Ci−1·n)es decir:t∗i−1 = t∗n − L(Ci−1·n) > t∗n − L(C)En tal caso, el primer arco de dicho camino C sera (i−1, ) para algun

> i− 1.Por lo tanto,

t∗i−1 > t∗n − L(C) = L−[L(camino mas largo de a n) + t

i−1·

]=

= L− L(camino mas largo de a n)− ti−1·

= t∗ − ti−1· ≥

≥ minj/(i−1,j)∈G

{t∗j − ti−1·j} = t∗i−1

lo cual nos lleva a una contradiccion.En consecuencia, t∗i nos indica lo mas tarde que puedo salir de i si

quiero llegar a n en el tiempo tn.

11

EJEMPLO

Supongamos que tenemos el siguiente grafo PERT, en donde indicamoslas actividades y sus tiempos de ejecucion.

GFED@ABC3E,3 //

��11

11

11

11

11

11

1GFED@ABC5

H,2

**VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV

GFED@ABC1

B,3

=={{{{{{{{{{{{{{{

A,2

!!CCC

CCCC

CCCC

CCCC

GFED@ABC8I,2

//GFED@ABC9

GFED@ABC2

C,7

OO

D,8 //GFED@ABC4F,9 //GFED@ABC6

J,10 //

G,8

=={{{{{{{{{{{{{{{ GFED@ABC7

OO����

Calcular los tiempos “mas pronto posible” y “mas tarde permisible”de cada suceso.

tj = maxi{ti + tij} t∗i = min

j{t∗j − tij}

1 0 mın{10-3,2-2}=02 max{0+2}=2 mın{10-7,10-8}=23 max{2+7,0+3}=9 mın{29-3,10-0}=104 max{9+0,2+8}=10 mın{19-9}=105 max{9+3}=12 mın{31-2}=296 max{10+9}=19 mın{29-10,29-8}=197 max{19+10}=29 mın{29-0}=298 max{29+0,19+8}=29 mın{31-2}=299 max{12+2,29+2}=31 31

Por lo tanto, la duracion del proyecto es 31.

MATRIZ DE ZADERENKO

Cuando el grafo PERT es muy grande (muchas actividades) el calculode los tiempos “mas pronto posible” y “mas tarde permisible” puedeser muy engorroso. Por eso Zaderenko propuso un metodo matricial decalculo de tiempos “mas pronto posible” y “mas tarde permisible”, queresulta sencillo para grafos grandes y pequenos, y ademas, es facil deprogramar.

a) Se construye una matriz cuadrada A de dimension igual al numero

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de nodos del grafo y tal que aij es el tiempo PERT de la actividad (i,j) sital actividad existe, sino, aij no esta definido. (En un ordenador, si (i,j)no existe, hacemos entonces, por ejemplo, aij < 0).

b) Para calcular los tiempos “mas pronto posible” se comienza poragregar una columna adicional a la izquierda de la matriz (en la que seiran escribiendo los tiempos “mas pronto posible”).

El primer elemento de la columna es el cero.Para calcular los tiempos “mas pronto posible” de los demas sucesos:tj = max

i/aij≥0{ti + aij}

c) Para calcular los tiempos “mas tarde permisible” se agrega una filaadicional en la parte inferior de la matriz.

el ultimo elemento de la fila es igual al tiempo “mas pronto posible”del nodo final.

Para calcular los tiempos “mas tarde permisible” de los demas sucesos:t∗i = min

i/aij≥0{t∗j − aij}

En el ejemplo que acabamos de ver:

ti 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3

2 2 7 8

9 3 0 3

10 4 9

12 5 2

19 6 10 8

29 7 0

29 8 2

31 9

t∗j 0 2 10 10 29 19 29 29 31

13

HOLGURAS Y CAMINO CRITICO EN EL PERT

La informacion que proporciona el conocimiento de los tiempos “maspronto posible” y “mas tarde permisible” de los diferentes sucesos no esdemasiado importante, salvo los del suceso fin del proyecto, pues estetiempo representa la duracion del proyecto.

La verdadera importancia de los tiempos “mas pronto posible” y “mastarde permisible” es que constituyen la base para el calculo de las hol-guras, que son la pieza fundamental en todo el proceso de analisis delmetodo PERT.

Comenzaremos por el concepto de holgura de un suceso.La HOLGURA DE UN SUCESO i, que representaremos por Hi, se define

como la diferencia entre los tiempos “mas pronto posible” y “mas tardepermisible” de dicho suceso:

Hi = t∗i − tiNos da cuanto puede retrasarse la llegada al suceso “i” sin que la

duracion del proyecto experimente retraso. Si Hi = 0 entonces coinci-den el tiempo mas pronto posible en que llegamos a “i” y el mas tardepermisible en que podemos salir de “i” (ti y t∗i ).

OBSERVACION

¿Que nos da ti?En terminos de grafos, nos da la longitud del camino mas largo desde

el inicio hasta i.¿Que nos da t∗i ?En terminos de grafos, nos da la diferencia entre la longitud del camino

mas largo desde el inicio hasta el fin y la longitud del camino mas largodesde i hasta el fin.

Por lo tanto, cuando Hi = 0, para algun i, esto implica que:t∗i − ti = 0

pero, como acabamos de indicar,t∗i = L(I, F )− L(i, F )ti = L(I, i)

en consecuencia, se tiene queL(I,F) - L(i,F) - L(I,i) = 0

lo cual quiere decir queL(I,F) = L(I,i) + L(i,F)

14

con lo que podemos concluir que entre I y F hay un camino de longitudmaxima que pasa por i.

El recıproco tambien es cierto, puesto que si por “i” pasa un caminode I a F de longitud maxima, tendremos que:

L(I,F) = L(I,i) + L(i,F)con lo que:Hi = 0.

HOLGURA TOTAL DE UNA ACTIVIDAD (i,j)HT

ij = t∗j − ti − tijNos indica cuanto puede retrasarse una actividad, respecto a su tiempo

PERT previsto, de modo que la duracion total del proyecto no experi-mente retraso alguno.

Es muy importante tener en cuenta que si una actividad consume latotalidad o parte de su holgura total, eso puede producir una disminucionde la holgura total de la actividad siguiente.

En nuestro ejemplo:HT

E = HT(3,5) = t∗5 − t3 − t35 = 29− 9− 3 = 17

HTH = HT

(5,9) = t∗9 − t5 − t59 = 31− 12− 2 = 17Sin embargo, si E consumiera la totalidad de su holgura, la holgura

correspondiente a H pasarıa a ser cero, pues el tiempo“mas pronto posi-ble” del suceso 5 pasarıa a ser 29.

PROPOSICION

HTij = 0 ⇐⇒

ti = t∗itj = t∗jtj − ti = t∗j − t∗i = tij

DEMOSTRACION

• Primero probaremos que ti ≤ t∗i , ∀iSupongamos que ∃i, ti > t∗i .Sea ∈ N tal que t∗ − t

i = minj/(i,j)∈G

{t∗j − tij} = t∗i

por lo tantot∗ − t

i = t∗i < ti

con lo quet∗ < ti + t

i ≤ maxk/(k,)∈G

{tk − tk} = t

15

Ası seguirıamos hasta llegar a la conclusion de que el tiempo “maspronto posible” del suceso fin del proyecto es mayor que su tiempo “mastarde permisible”, lo cual es una contradiccion.

Observese que tambien se podrıa probar viendo que:Si ti > t∗i tenemos queL(I, i) > L(I, F )− L(i, F )

entoncesL(I, i) + L(i, F ) > L(I, F )

y habrıa un camino de I a F de longitud mayor que el de longitud maxima,lo cual es una contradiccion.

Por lo tanto, ti ≤ t∗i , ∀i

• Probemos ahora la propiedad enunciada.“=⇒”

HTij = 0 ⇒ t∗j − ti − tij = 0

⇒ t∗j = ti + tij ≤ maxk/(k,j)∈G

{tk + tkj} = tj

⇒ t∗j ≤ tj⇒ t∗j = tj

HTij = 0 ⇒ t∗j − ti − tij = 0

⇒ ti = t∗j − tij ≥ mink/(i,k)∈G

{t∗k − tik} = t∗i

⇒ t∗i ≤ ti⇒ t∗i = ti

HTij = 0 ⇒ t∗j − ti − tij = 0

ademas:t∗j = tjt∗i = ti

⇒{

t∗j − t∗i = tijtj − ti = tij

“⇐=”HT

ij = t∗j − ti − tij = tj − ti − tij = 0

16

OBSERVACION

Para probar “⇐” nos basto que:{tj = t∗jtj − ti = tij

}(a)

o, equivalentemente, nos hubiera bastado que:{ti = t∗it∗j − t∗i = tij

}(b)

luego,(a) ⇒ HT

ij = 0 ⇒ (b) ⇒ HTij = 0 ⇒ (a)

entonces:HT

ij = 0 ⇔ (a) ⇔ (b)

CONSECUENCIAS DE ESTA PROPIEDAD

• Podremos afirmar que una actividad (i,j) tiene holgura total cero si ysolo si:

“i” esta en un camino de longitud maxima de I a F,“j” esta en un camino de longitud maxima de I a F,

y, ademas,tj − ti = t∗j − t∗i = tij

pero, entonces:L(I,F) = L(I,j) +L(j,F)=

= tj +L(j,F)== ti + tij +L(j,F)== L(I,i)+tij +L(j,F)

es decir,(i,j) forma parte de un camino de longitud maxima de I a F.

ONMLHIJKIti //__________

tj

::I K LP

SV Y \ _ b e h k

or s u

ONMLHIJKitij //ONMLHIJKj

L(j,F )//___________ WVUTPQRSF

• El recıproco tambien es cierto:Si (i,j) forma parte de un camino de longitud maxima de I a F, entonces:

ti = t∗i (Hi=0)tj = t∗j (Hj=0)

pero, ademas,

17

tj = ti + tijpues, en otro caso,

existirıa k tal que tk + tkj = tj > ti + tijcon lo que

L(I,k)+tkj+L(j,F) > L(I,i) + tij+L(j,F) = L(I,F)lo cual contradirıa el hecho de que hay un camino de longitud maximade I a F que contiene a (i,j).

Por lo tanto, hemos obtenido que:“(i,j) tiene holgura total cero si y solo si forma parte de un camino de

longitud maxima desde el inicio al fin del proyecto”

Las actividades que tienen holgura total cero se llaman ACTIVIDADES

CRITICAS.Por la propiedad que acabamos de enunciar, es evidente que uniendo

todas las actividades crıticas se forman uno o mas caminos que vandesde el inicio al fin del proyecto (pues en un grafo finito siempre existeal menos un camino que es mas largo que los demas).

A cada uno de estos caminos se le llama CAMINO CRITICO, y resultanesenciales para efectuar el control del proyecto, pues un retraso en la rea-lizacion de las actividades crıticas producira un retraso en la finalizaciondel proyecto.

El responsable del control del proyecto tampoco debe desatender a lasactividades no crıticas, pues un retraso en su ejecucion puede llegar aconvertirlas en crıticas.

En nuestro ejemplo:

ACTIVIDAD DURACION ti tj t∗i t∗j Hi Hj HTij CRITICA

A:(1,2) 2 0 2 0 2 0 0 0 SI

B:(1,3) 3 0 9 0 10 0 1 7 NO

C:(2,3) 7 2 9 2 10 0 1 1 NO

D:(2,4) 8 2 10 2 10 0 0 0 SI

E:(3,5) 3 9 12 10 29 1 17 17 NO

F:(4,6) 9 10 19 10 19 0 0 0 SI

H:(5,9) 2 12 31 29 31 17 0 17 NO

J:(6,7) 10 19 29 19 29 0 0 0 SI

G:(6,8) 8 19 29 19 29 0 0 2 NO

I:(8,9) 2 29 31 29 31 0 0 0 SI

18

El camino crıtico serıa:A/D/F/J/I

OBSERVACIONES

• Si la duracion de la actividad C (no crıtica) se demora en 2 unidades detiempo, dejarıa de ser crıtica la D y lo serıa la C.

• Si el tiempo PERT para la actividad G fuese 10, en vez de 8, tendrıamosdos caminos crıticos:

A/D/F/J/IA/D/F/G/I

• Tal y como habıamos indicado, todos los nodos por los que pasa uncamino crıtico (y solo estos) tienen holgura nula.

Sin embargo,H8 = H6 = 0

pero G:(6,8) no es crıtica, puesto que:t8 − t6 = 10 6= 8 = t68.

• Por ultimo, recordemos que ti nos da, para cada i, la longitud delcamino mas largo desde el inicio hasta “i”, y t∗i nos da la diferencia entrela duracion del proyecto y la longitud del camino mas largo desde “i”hasta el final.

HOLGURA LIBRE DE UNA ACTIVIDAD (i,j)HL

ij = tj − ti − tijNos indica lo que puede retrasarse una actividad, respecto a su tiempo

PERT previsto, sin que disminuya la holgura total de las actividadessiguientes o, lo que es lo mismo, la holgura libre denota el tiempo queuna actividad puede retrasarse sin retrasar el comienzo mas tempranode las actividades siguientes.

OBSERVACION

HTij = 0 ⇒ HL

ij = 0pues HT

ij = 0 ⇒ tj − ti = tij ⇒ HLij = 0

Sin embargo el recıproco no es cierto, pues sı es posible que:HL

ij = 0, Hi = 0 (ti = t∗i , Hj > 0 (t∗j > tj))(Vease en el ejemplo la actividad C)

pero no es posible que:HL

ij = 0, Hi > 0, Hj = 0, HTij > 0

puesto que, en tal caso:

19

tj = t∗j , tj − ti = tijcon lo que, segun la propiedad vista,

HTij = 0.

En resumen:HL

ij ≤ HTij

HLij = HT

ij ⇐⇒ Hj = 0 (tj = t∗j)

HOLGURA INDEPENDIENTE DE UNA ACTIVIDAD (i,j)HI

ij = tj − t∗i − tijNos indica la holgura disponible (el tiempo que se puede retrasar) para

la actividad (i,j) sin retrasar el comienzo mas temprano de las actividadessiguientes, si la finalizacion de las actividades anteriores inmediatas hasido la mas tardıa.

Esta holgura es escasa y a veces negativa.

HOLGURA DE RETRASO DE UNA ACTIVIDAD (i,j)HR

ij = t∗j − t∗i − tijNos indica lo que puede retrasarse la actividad (i,j) sin que se retrase el

fin del proyecto si la finalizacion de las actividades anteriores inmediatasha sido la mas tardıa.

EJEMPLO

Vamos a calcular las holguras libre, independiente y de retraso de lasactividades del ejemplo visto anteriormente.

ACTIVIDAD HTij HL

ij = tj − ti − tij HIij = tj − t∗i − tij HR

ij = t∗j − t∗i − tijA : (1, 2) 0 2− 0− 2 = 0 2− 0− 2 = 0 2− 0− 2 = 0B : (1, 3) 7 9− 0− 3 = 6 9− 0− 3 = 6 10− 0− 3 = 7C : (2, 3) 1 9− 2− 7 = 0 9− 2− 7 = 0 10− 2− 7 = 1D : (2, 4) 0 10− 2− 8 = 0 10− 2− 8 = 0 10− 2− 8 = 0E : (3, 5) 17 12− 9− 3 = 0 12− 10− 3 = −1 29− 10− 3 = 16F : (4, 6) 0 19− 10− 9 = 0 19− 10− 9 = 0 19− 10− 9 = 0H : (5, 9) 17 31− 12− 2 = 17 31− 29− 2 = 0 31− 29− 2 = 0J : (6, 7) 0 29− 19− 10 = 0 29− 19− 10 = 0 29− 19− 10 = 0G : (6, 8) 2 29− 19− 8 = 2 29− 19− 8 = 2 29− 19− 8 = 2I : (8, 9) 0 31− 29− 2 = 0 31− 29− 2 = 0 31− 29− 2 = 0

20

ESTABLECIMIENTO DE UN CALENDARIO DE EJECUCION DEL PROYECTO

El proceso de calculo que hemos desarrollado hasta ahora proporcionauna informacion de la que puede deducirse facilmente un calendario deejecucion del proyecto, que va a constituir un pieza basica para efectuarel control del mismo.

En dicho calendario se establecen cuatro fechas para cada una de lasactividades:

FECHA DE COMIENZO MAS TEMPRANA DE (i,j), que representaremospor ∆ij, y nos indica lo mas pronto que puede comenzar la actividad(i,j).

Obviamente, dicha fecha sera igual a la dada por el tiempo “maspronto posible” del suceso inicio de la actividad (i,j):

∆ij = tiFECHA DE COMIENZO MAS TARDIA DE (i,j), que representaremos por

∆∗ij, y nos indica lo mas tarde que puede comenzar la actividad (i,j) de

manera que la duracion prevista del proyecto no se retrase:∆∗

ij = t∗j − tij = ti + HTij

FECHA DE FINALIZACION MAS TEMPRANA DE (i,j), que representaremospor ∇ij, y nos indica lo mas pronto que puede finalizar la ejecucion dela actividad (i,j):∇ij = ti + tij = t∗j −HT

ij

FECHA DE FINALIZACION MAS TARDIA DE (i,j), que representaremospor ∇∗

ij, y nos indica la fecha tope en que puede finalizar la actividad(i,j), de modo que la duracion prevista del proyecto no se retrase:∇∗

ij = t∗j

A partir de las formulas anteriores se puede establecer facilmente uncalendario de ejecucion del proyecto.

Calculemos, en nuestro ejemplo, las cuatro fechas para la actividadC si consideramos como fecha de inicio del proyecto el 13 de octubre,lunes, y no consideramos laborables ni sabados ni domingos:

∆23 = 2 (15 de octubre, miercoles)∆∗

23 = 2 + 1 = 3 (16 de octubre, jueves)∇23 = 2 + 7 = 9 (24 de octubre, viernes)∇∗

23 = 10 (27 de octubre, lunes)

21

OBSERVACION

Notese que para las actividades crıticas coinciden las fechas de comienzomas temprana y mas tardıa, ası como las fechas de finalizacion mas tem-prana y mas tardıa, pues HT

ij = 0.Ademas,∆∗

ij −∆ij = (ti + HTij)− ti = HT

ij

= t∗j − ti − tij= ∇∗

ij −∇ij

22

EJEMPLO

Se pretende controlar el proceso de lanzamiento de un nuevo productoal mercado. A continuacion indicamos las actividades de que consta ellanzamiento del producto y la duracion prevista (en semanas) de cadauna de ellas.

A) Compra de las materias primas (2)B) Produccion del stock inicial (4)C) Envasado del stock inicial (1)D) Estudio del mercado (6)E) Seleccion de una agencia de publicidad (3)F) Realizacion de la campana de publicidad (5)G) Estudio y diseno de los envases (2)H) Preparacion de los envases (2)I) Seleccion del equipo de vendedores (4)J) Entrenamiento del equipo de vendedores (4)K) Seleccion de los posibles distribuidores (3)L) Venta a los distribuidores (5)M) Envıo de los primeros pedidos (2)

Las relaciones existentes entre las diferentes actividades son:A precede a B,B y H preceden a C,C y L preceden a M,D precede a G, I y K,E precede a F,G precede a E y H,I precede a J,J y K preceden a L.

Con estos datos hagase un estudio PERT del proyecto.

Primero establecemos el cuadro de prelaciones:

23

ACTIVIDADES PRECEDENTES

A -B AC B,HD -E GF EG DH GI DJ IK DL J,KM C,L

Construccion del grafo PERT:GFED@ABC2

B,4 //GFED@ABC6C,1 //GFED@ABC8

M,2

!!CCCC

CCCC

CCCC

CCCC

CC

GFED@ABC1

A,2

==||||||||||||||||||

D,6

!!BBB

BBBB

BBBB

BBBB

BBB

GFED@ABC4

H,2

==|||||||||||||||||| E,3 //GFED@ABC9F,5 // GFED@ABC10

GFED@ABC3

K,3

((QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ

G,2

==|||||||||||||||||| I,3 //GFED@ABC5

J,4

!!BBB

BBBB

BBBB

BBBB

BBB

GFED@ABC7

L,5

II������������������������������������������

24

CALCULO DE LOS TIEMPOS “MAS PRONTO POSIBLE” Y “MAS TARDE

PERMISIBLE”

tj = maxi{ti + tij} t∗i = min

j{t∗j − tij}

1 0 mın{6− 6, 13− 2} = 02 t1 + t12 = 0 + 2 = 2 t∗6 − t26 = 17− 4 = 133 t1 + t13 = 0 + 6 = 6 mın{12− 2, 9− 3, 13− 3} = 64 t3 + t34 = 6 + 2 = 8 mın{17− 2, 15− 3} = 125 t3 + t35 = 6 + 3 = 9 t∗7 − t57 = 13− 4 = 96 max{2 + 4, 8 + 2} = 10 t∗8 − t68 = 18− 1 = 177 max{9 + 4, 6 + 3} = 13 t∗8 − t78 = 18− 5 = 138 max{10 + 1, 13 + 5} = 18 t∗10 − t8·10 = 20− 2 = 189 t4 + t49 = 8 + 3 = 11 t∗10 − t9·10 = 20− 5 = 15

10 max{18 + 2, 11 + 5} = 20 20

DURACION DEL PROYECTO: 20 semanas

MATRIZ DE ZADERENKO

ti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 6

2 2 4

6 3 2 3 3

8 4 2 3

9 5 4

10 6 1

13 7 5

18 8 2

11 9 5

20 10

t∗j 0 13 6 12 9 17 13 18 15 20

25

Actividad tij ti tj t∗i t∗j Hi Hj HTij HL

ij HIij HR

ij ¿Crıtica?

A : (1, 2) 2 0 2 0 13 0 11 11 0 0 11 No

D : (1, 3) 6 0 6 0 6 0 0 0 0 0 0 SıB : (2, 6) 4 2 10 13 17 11 7 11 4 −7 0 No

G : (3, 4) 2 6 8 6 12 0 4 4 0 0 4 No

I : (3, 5) 3 6 9 6 9 0 0 0 0 0 0 SıK : (3, 7) 3 6 13 6 13 0 0 4 4 4 4 No

H : (4, 6) 2 8 10 12 17 4 7 7 0 −4 3 No

E : (4, 9) 3 8 11 12 15 4 4 4 0 −4 0 No

J : (5, 7) 4 9 13 9 13 0 0 0 0 0 0 SıC : (6, 8) 1 10 18 17 18 7 0 7 7 0 0 No

L : (7, 8) 5 13 18 13 18 0 0 0 0 0 0 SıM : (8, 10) 2 18 20 18 20 0 0 0 0 0 0 SıF : (9, 10) 5 11 20 15 20 4 0 4 4 0 0 No

CAMINO CRITICO: D/I/J/L/M

GFED@ABC2B //GFED@ABC6

C //GFED@ABC8

M

�%CC

CCCC

CCCC

CCCC

CCCC

CCCC

CCCC

CCCC

CCCC

CC

GFED@ABC1

A

==||||||||||||||||||

D

�%BB

BBBB

BBBB

BBBB

BBB

BBBB

BBBB

BBBB

BBBB

BGFED@ABC4

H

==|||||||||||||||||| E //GFED@ABC9F // GFED@ABC10

GFED@ABC3

K

((QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ

G

==|||||||||||||||||| I +3GFED@ABC5

J

�%BB

BBBB

BBBB

BBBB

BBB

BBBB

BBBB

BBBB

BBBB

B

GFED@ABC7

L

EM�����������������������������������������

�����������������������������������������

26

CALENDARIO DE EJECUCION DEL PROYECTO

Actividad Fechas de comienzo Fechas de terminacion∆ij/∆

∗ij ∇ij/∇∗

ij

A : (1, 2) 0/11 2/13D : (1, 3) 0/0 6/6B : (2, 6) 2/13 6/17G : (3, 4) 6/10 8/12I : (3, 5) 6/6 9/9K : (3, 7) 6/10 9/13H : (4, 6) 8/15 10/17E : (4, 9) 8/12 11/15J : (5, 7) 9/9 13/13C : (6, 8) 10/17 11/18L : (7, 8) 13/13 18/18

M : (8, 10) 18/18 20/20F : (9, 10) 11/15 16/20

27

DIAGRAMA DE GANTT

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

DI

JL

M

∆ ∆∗∇ ∇∗A

∆ ∆∗∇ ∇∗B

∆ ∆∗∇ ∇∗G

∆ ∆∗∇ ∇∗K

∆ ∆∗∇ ∇∗H

∆ ∆∗∇ ∇∗E

∆ ∆∗∇ ∇∗C

∆ ∆∗ ∇ ∇∗F

28

El metodo MCE

El metodo MCE (MINIMUM COST EXPEDITING o “aceleracion del proyectoa coste mınimo”) es una prolongacion del metodo CPM, introduciendo larelacion entre coste y duracion de una actividad.

Este metodo contempla la posibilidad de que el nivel de utilizacionde recursos para la realizacion de una actividad no sea unico, y, por lotanto, no hablaremos de una duracion unica sino que a cada nivel derecursos le correspondera una determinada duracion. Es decir, se puedereducir la duracion de una actividad a base de incrementar su coste deejecucion.

Ası, por ejemplo, supongamos que en el proyecto existe una acividadque es el alicatado de paredes con azulejos. El tiempo PERT previsto esde 25 dıas. Ahora bien, este tiempo PERT se ha calculado en base a undeterminado nivel de utilizacion de recursos (una cuadrilla de albanilesy un turno de trabajo). Indudablemente, este tiempo PERT podrıa re-ducirse sin mas que incrementar las cuadrillas de albaniles y/o los turnosde trabajo.

En definitiva, existira una relacion funcional decreciente, que supon-dremos lineal, entre el coste (adicional) y el tiempo de ejecucion de unaactividad.

Cij

xij

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@

s

s(xij, cij)

(Tij, CTij)

(tij, 0)

Llamaremos:xij: duracion de la actividad (i,j).tij: duracion de la actividad (i,j) si le asignamos el mınimo nivel de

recursos.

29

Tij: duracion de la actividad (i,j) si le asignamos el maximo nivel derecursos.

cij: coste (adicional) de ejecucion de la actividad (i,j).cTij: coste (adicional) de ejecucion de la actividad (i,j) si le asignamos

el maximo nivel de recursos.ademas,el coste adicional de ejecucion de la actividad si le asignamos el mınimo

nivel de recursos es cero.OBJETIVO:Proponer un plan de aceleracion del proyecto de modo que se incurra

en un coste lo mas pequeno posible.• ¿Cual es el coste (adicional) de ejecucion de una actividad (i,j) asociado

a una duracion xij?Basta calcular la ecuacion de la recta:

tij − xij

tij − Tij=

0− cij

0− cTij

y despejar cij:

cij =cTij

tij − Tij(tij − xij)

• Llamaremos a Qij =cTij

tij − Tijel COSTE UNITARIO DE REDUCCION, que

es el coste (adicional) de ejecucion de la actividad (i,j) por unidad detiempo que se reduce su duracion.

El problema que resuelve el MCE puede plantearse como un problemade programacion lineal parametrica:

min(i,j)∈G

cij ⇐⇒ max(i,j)∈G

Qijxij

y el problema serıa:

maximizar∑

(i,j)∈G

Qijxij

sujeto a Tij ≤ xij ≤ tij ∀(i, j) ∈ G∑(i,j)∈C

xij ≤ λ ∀C ∈ C = {caminos de 1 a n}

xij: variables de decisionλ: parametro (duracion del proyecto)

30

Para cada valor que demos al parametro λ, el problema nos dara eltiempo optimo de ejecucion de las diferentes actividades (xij) para queel coste sea mınimo.

EL ALGORITMO DE ACKOFF Y SASIENI

Aunque el metodo MCE nos lleva a la resolucion de un problema deprogramacion lineal parametrica, en la practica suele resolverse con algo-ritmos especıficos que resultan mas sencillos de aplicar que los algoritmospropios de la programacion lineal parametrica.

Vamos a exponer un algoritmo heurıstico muy sencillo que resulta muypractico en proyectos pequenos.

Veamoslo con un ejemplo.EJEMPLO

En la figura hemos representado el grafo PERT de un proyecto descom-puesto en nueve actividades: A, B, C, D, E, F, G, H e I.

ONMLHIJK2

D

$$IIIIIIIIIIIIIIII

G

**TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

ONMLHIJK1

A

::uuuuuuuuuuuuuuuu C //

B

$$IIIIIIIIIIIIIIIIONMLHIJK4

F //ONMLHIJK5I //ONMLHIJK6

ONMLHIJK3

E

::uuuuuuuuuuuuuuuu

H

33ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

En la tabla siguiente tenemos las actividades con sus tiempos “nor-males” de ejecucion, los tiempos “tope” o mınimos y los costes unitariosde reduccion:

Actividad tij Tij Qij

A:(1,2) 8 4 2B:(1,3) 10 5 4C:(1,4) 12 6 3D:(2,4) 10 6 4G:(2,5) 14 9 3E:(3,4) 7 5 5H:(3,6) 12 8 2F:(4,5) 7 4 5I:(5,6) 10 7 1

31

Para aplicar el algoritmo de Ackoff y Sasieni empezamos construyendouna tabla que explicaremos a continuacion.

32

“tabla MCE”

33

En la primera columna de la tabla representamos los caminos que vandesde el nodo inicio hasta el nodo fin del proyecto.

Las siguientes nueve columnas corresponden a las diferentes activi-dades en que se ha descompuesto el proyecto. Debajo de cada actividadse escribe el coste unitario de reduccion siempre que esa actividad formeparte del camino que viene indicado por la fila correspondiente. Si, porel contrario, la actividad no forma parte de dicho camino, se deja enblanco el espacio correspondiente.

El cuadro se completa con siete columnas y siete filas que correspondena las distintas etapas del algoritmo:

En la columna 1 (etapa 1) tenemos las “longitudes” de los caminosrepresentados en las filas correspondientes y en la fila 1 (etapa 1) lasreducciones posibles (tiempos normales menos tiempos topes) de las di-ferentes actividades.

De la observacion de la columna 1 se deduce que la duracion delproyecto es de 35 unidades de tiempo y que si queremos reducir dichaduracion habra que reducir la duracion del camino II, ya que este caminoes el crıtico.

Para reducir la duracion de este camino sera necesario reducir eltiempo de ejecucion de alguna de las actividades que lo forman. Paraello elegiremos la actividad cuyo coste unitario de reduccion sea el maspequeno, que, en este caso, es la (5,6), ya que su coste unitario de re-duccion es 1.

La reduccion maxima que puede efectuarse en la duracion de estaactividad es de 3 unidades de tiempo, segun nos indica el elemento co-rrespondiente de la fila 1. Esta reduccion origina un cambio en las lon-gitudes de los caminos que contienen a la actividad (5,6). Estas nuevaslongitudes pasan a formar parte de la columna 2. De esta columna sededuce que la duracion del proyecto ha pasado a ser de 32 unidades detiempo.

Para completar esta etapa del algoritmo agregamos a la tabla unanueva fila, que marcamos con un 2 en la que figuran las reduccionesposibles que presentan ahora las diferentes actividades.

El coste adicional en concepto de reduccion lo obtendremos multipli-cando el coste unitario de reduccion (que es uno) por la correspondientereduccion de tiempo (que es tres); es decir, en esta etapa el coste adi-cional debido a la reduccion es de 3 unidades monetarias.

34

Repitiendo el proceso completarıamos las demas etapas del algoritmo.En la grafica siguiente representamos los tiempos de ejecucion del

proyecto y los costes adicionales.

10

20

30

40

50

60

70

80

90

5 10 15 20 3021

tCCCCCCCCC

15

23

tCCCCCCC

11

25

t38

TTTTTT

6

28

tJ

JJ

JJ

5

32

t ``2

31

tH 1 t35

Duracion

CosteAdicional

OBSERVACION

Ponemos fin al algoritmo cuando no podamos reducir mas la duraciondel proyecto, o cuando los beneficios marginales que se obtengan porreducir el tiempo de duracion del proyecto sean inferiores a los costesmarginales. En este ultimo caso es conveniente escribir una tabla dondecomparamos los costes y los beneficios.

En el ejemplo que hemos visto, supongamos que el ingreso marginaldebido a la reduccion en la duracion del proyecto es de 7 unidades mo-netarias. Entonces, la duracion optima del proyecto sera 25, pues si lo

35

reducimos a un tiempo menor lo haremos a un coste (por unidad detiempo reducida) de 11 (y posteriormente de 15), que es mayor que 7(beneficio por unidad de tiempo reducida).

Etapas Costes marginales Beneficios marginales Duracion del proyecto

1 1 7 322 2 7 313 5 7 284 6 7 25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 11 76 15 7

36

Planificacion de proyectos con recursos limitados

Desde el primer momento, al tratar la planificacion de proyectos,hemos hablado de “recursos” (por ejemplo, definıamos “actividad” comola ejecucion de una tarea que consume tiempo y recursos). Sin em-bargo, hemos dejado de lado este tema haciendo implıcitamente la su-posicicion de que los recursos de que disponıamos eran ilimitados. Peroeste supuesto es muy fuerte y no muy realista en muchas ocasiones. Porello vamos a dedicar ahora nuestra atencion a los dos problemas masimportantes que hay en el contexto general de los recursos limitados:

• el problema de la nivelacion de recursos• el problema de la asignacion de recursos

La nivelacion de recursosEl objetivo es que los consumos de los diferentes tipos de recursos sean

lo mas uniforme posible durante el perıodo de ejecucion del proyecto, sinque la duracion de dicho proyecto se exceda de la prevista (la dada porel camino crıtico).

La situacion optima, a la que no se podra llegar en la mayorıa de loscasos, sera aquella en la que el consumo de cada uno de los recursos semantiene constante a lo largo del tiempo de ejecuciUn del proyecto.

Veamos un ejemplo:Consideremos el siguiente proyecto:

ONMLHIJK2E,7

))ONMLHIJK1

B,2

::uuuuuuuuuuuuuuuu A,3 //

G,8

55

I,2

99ONMLHIJK3

C,4 //ONMLHIJK4D,2 //ONMLHIJK5

F,1 //ONMLHIJK6H,2 //ONMLHIJK7

Calculemos los tiempos “mas pronto posible” y “mas tarde permisi-ble”, y las holguras totales de las actividades:

37

ti 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 8 2

2 2 7

3 3 4

7 4 2

9 5 1

10 6 2

12 7

t∗j 0 3 3 7 9 10 12

Actividad tij ti t∗j HTij ¿Crıtica?

B : (1, 2) 2 0 3 1 No

A : (1, 3) 3 0 3 0 SıG : (1, 6) 8 0 10 2 No

I : (1, 7) 2 0 12 10 No

E : (2, 6) 7 2 10 1 No

C : (3, 4) 4 3 7 0 SıD : (4, 5) 2 7 9 0 SıF : (5, 6) 1 9 10 0 SıH : (6, 7) 2 10 12 0 Sı

A partir de estos datos podemos construir un calendario de ejecuciondel proyecto. Lo vamos a hacer basandonos en las fechas mas tempranas,y quedarıa ası:

38

AC

DF

H

BE

G

I

Días 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Para simplificar la situacion, vamos a suponer que solamente esta-mos interesados en nivelar un recurso (por ejemplo, el recurso “mano deobra”).

Y, por otro lado, sabemos qe las actividades A e I necesitan 10 obrerospara ser ejecutadas en los tiempos previstos, y que las demas actividadesen que se ha descompuesto el proyecto son iguales y necesitan 5 obreros.

Conocidos estos datos podemos deteminar “la carga diaria” del recurso“mano de obra” (es decir, el numero de unidades del mismo que sonusadas cada dıa) segun nuestro calendario de ejecucion:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DIAS

30 30 20 15 15 15 15 15 10 5 5 5 CARGA

y podemos hacer tambien el llamado diagrama de carga para el re-curso “mano de obra”, segun el calendario de ejecucion con fechas mastempranas:

39

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

De la observacion del diagrama de carga deducimos que, en nuestrocaso, el consumo del recurso “mano de obra” se realiza de una manerapoco uniforme.

Indudablemente, una distribucion de carga de este tipo dista muchode ser la optima.

Esta desigualdad diaria en cuanto a la utilizacion del recurso difi-cultara la buena organizacion del proyecto y generara, casi con todaseguridad, unos fuertes costes adicionales.

Los metodos de nivelacion de recursos pretenden conseguir un dia-grama de carga tan uniforme como sea posible.

Obviamente la distribucion de la carga sera optima cuando la va-rianza de la variable “carga diaria” sea cero, pues, en tal caso, todoslos dıas coincidira la carga con la media de la variable “carga diaria”.Ahora bien, como en la mayor parte de los proyectos no es posible esadistribucion de carga optima, el objetivo de la nivelacion de recursosconsistira en disminuir lo mas posible la varianza de la variable “cargadiaria” (consideraremos como solucion optima aquella que minimice lavarianza, aunque esta no sea cero).

El metodo que emplearemos consistira en retrasar la ejecucion de las

40

actividades no crıticas (siempre que lo permitan sus holguras) tratandode conseguir ası que disminuya la varianza antes citada.

LA NIVELACION DE RECURSOS COMO UN PROBLEMA DE

PROGRAMACION MATEMATICA

Las tecnicas de programacion matematica constituyen un medio quepermite resolver con exactitud los problemas de nivelacion de recursos.No obstante, como veremos, la aplicacion de la programacion a estosproblemas conduce a modelos de gran dimension que, en ocasiones, noson computables a un coste razonable.

• Comencemos definiendo los parametros y variables que van a interveniren el modelo:

i: ındice que indica los recursos que estamos interesados en estudiar.Supondremos que varıa desde 1 hasta r.

j: ındice que indica las actividades en que esta descompuesto el proyecto.Como siempre, supondremos que varıa de 1 a m.

k: ındice que indica los perıodos de tiempo en que esta dividida laejecucion del proyecto.Si el proyecto dura p unidades de tiempo, k variara desde 1 hasta p.

cij: necesidades, por unidad de tiempo, del recurso i-esimo para com-pletar la actividad j-esima en el tiempo previsto.

Dj: duracionde la actividad j-esima

xjk: variables que estamos programando y que tomaran unicamentevalor 0 o 1.Cuando xjk toma el valor cero, significa que la actividad “j” no seejecuta en el perıodo “k” y cuando xjk toma el valor uno significaque la actividad “j” sı se ejecuta en el perıodo “k”.

• Seguidamente vamos a exponer ordenadamente el conjunto de restric-ciones que deben satisfacer las variables xjk:

i) Las variables xjk deben valer 0 o 1 (lo cual convierte el problema enuno de programacion entera):

0 ≤ xjk ≤ 1, j = 1, . . . ,m, k = 1, . . . , pxjk numero entero

41

ii) Todas las actividades en que se ha descompuesto el proyecto debenser realizadas en el transcurso de los p perıodos de tiempo:

p∑k=1

xjk = Dj, j = 1, . . . ,m

iii) No se podra comenzar ninguna actividad antes de que hayan termi-nado las actividades precedentes (segun indica el cuadro de prela-ciones):k−1∑l=1

xql ≥ Dq · xjk, j = 1, . . . ,m, k = 2, . . . , p

para toda actividad q que precede a j

iv) No se podra fraccionar la ejecucion de una actividad. Es decir, unavez comenzada la ejecucion de una actividad, debe ser finalizada sinque se produzca interrupcion:

Dj · xjk −Dj · xjk+1 +

p∑l=k+2

xjl ≤ Dj j = 1, . . . ,m, k = 1, . . . , p− 2

En algunos proyectos existen actividades cuya ejecucion es suscepti-ble de fraccionamiento. En tal caso, tales actividades no se tendranen cuenta a la hora de establecer las restricciones del tipo (iv).

Por lo tanto, el problema de nivelacion de recursos nos lleva a unproblema de programacion entera con:

mp variables y2mp+m+(p-1)Q+m(p-2)=3mp-m+(p-1)Q restricciones.En nuestro ejemplo: m=9, p=12, Q=7, con lo que tendrıamos 108

variables y 392 restricciones.No obstante, en realidad el numero de variables a programar y el

numero de restricciones a tener en cuenta suele ser mas bajo que elque acabamos de indicar. Por ejemplo, las variables xjk, cuando j esuna actividad crıtica, estan determinadas a priori. Por otro lado, comoninguna actividad puede comenzar antes de su fecha mas temprana decomienzo ni terminar despues de su fecha mas tardıa de finalizacion,algunas variables xjk tambien estan determinadas a priori sin ser j crıtica.

42

(La existencia de variables con valores determinados a priori producecasi siempre una reduccion considerable de la dimension de los modelos.)

• Determinemos ahora la funcion del objetivo:Como ya habıamos indicado, lo que nos interesa es minimizar la va-

rianza de la variable “carga diaria”.Como su media es fija nos bastara con minimizar la suma de los

cuadrados de las cargas.Por lo tanto, tendremos la siguiente funcion objetivo:

minr∑

i=1

p∑k=1

(m∑

j=1

cijxjk

)2

Como hemos visto, el problema de nivelacion de recursos puede tratarsecomo un problema de porgramacion entera y ser resuelto como tal, perotal vez el coste en que incurrimos al resolverlo no nos compense los be-neficios que vamos a obtener, puesto que el problema de programacionsera excesivamente largo, salvo que las redes sean muy pequenas.

Por ello se han desarrollado metodos “heurısticos” para resolver lanivelacion de recursos, que aunque dan soluciones aproximadas son acep-tablemente cortos.

PROCEDIMIENTO HEURISTICO DE BURGESS-KILLEBREW

PARA LA SOLUCION DEL PROBLEMA DE NIVELACION DE RECURSOS

Paso 1Nos fijamos en el calendario de ejecucion del proyecto, buscando la

actividad no crıtica que tenga la fecha mas temprana de finalizacionmayor.

En esta actividad se retrasa su finalizacion unidad por unidad detiempo, de acuerdo con lo que permite su holgura.

Se elegira como fecha mas temprana de finalizacion de la actividad laque haga mınima la suma de los cuadrados de las cargas.

Paso 2Entre todas las actividades no crıticas, excluida la actividad que hayamos

estudiado en el primer paso, se vuelve a elegir la que tenga la fecha mastemprana de finalizacion mayor.

Una vez encontrada esta actividad, se le aplica el mismo tratamientoque el descrito en el primer paso.

43

Seguidamente, continuaremos el proceso hasta llegar a la actividadque posee la fecha mas temprana de finalizacion menor, aplicandole elmismo tratamiento.

Cuando dos o mas actividades tengan la misma fecha mas temprana definalizacion, se actuaraprioritariamente sobre la actividad cuya holgurapermita un retraso mayor en su finalizacion.

Paso 3Una vez analizada la actividad con una fecha mas temprana de fina-

lizacion menor, se vuelve a iniciar un nuevo ciclo de iteraciones.El proceso de calculo se detendra cuando, finalizado un ciclo, no resulte

posible disminuir la suma de los cuadrados de las cargas.Aunque el algoritmo lo hemos aplicado a un calendario de ejecucion

del proyecto basado en las fechas mas tempranas, puede aplicarse deigual forma a un calendario que este basado en las fechas mas tardıas.En ambos casos, como es logico, se llega a la misma solucion, aunque elnumero de ciclos e iteraciones puede cambiar.

Al ser este algoritmo de tipo “heurıstico” nunca nos indicara si hemosllegado a una solucion optima, excepto en aquellos casos en los que sealcanza el valor de la varianza cero (carga diaria constante).

Una de las ventajas que presenta este algoritmo es el de ser factiblede procesar en un ordenador, lo cual permite su aplicacion a proyectoscomplejos. Y uno de los principales inconvenientes es el de estar pensadofundamentalmente para la nivelacion de un unico recurso.

44

• Vamos a resolver ahora el ejemplo planteado anteriormente:

A 10

C 5

D 5

F 5H 5

B 5

E 5

G 5

I 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

30 30 20 15 15 15 15 15 10 5 5 5

900 900 400 225 225 225 225 225 100 25 25 25 3.500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

5

10

15

20

25

30

45

Paso 1La actividad E:(2,6) es la que posee la fecha mas temprana de finali-

zacion mayor y su holgura total es de un dıa, entonces:

Retraso Variacion en la suma de cuadrados

1 (202 + 52)− (152 + 102) = 100entonces retrasamos la actividad E:(2,6) en una unidad.Paso 2A continuacion pasamos a estudiar la actividad G:(1,6), pues de entre

las actividades crıticas restantes es la que posee la fecha mas tempranade finalizacion mayor. Como la holgura total disponible de esta actividades de dos dıas, retrasamos su finalizacion primero en un dıa y despuesen otro, comprobando la repercusion que tiene esta accion en la sumade los cuadrados de las cargas.

Retraso Variacion en la suma de cuadrados

1er dıa (302 + 102)− (252 + 152) = 1502o dıa (302 + 102)− (252 + 152) = 150

Conviene retrasar la ejecucion de la actividad G:(1,6) en dos dıas, puesde esta forma la suma de los cuadrados de las cargas desciende en 300unidades.

A continuacion aplicamos el mismo porceso a la actividad I:(1,6), re-sultando conveniente un retraso en su finalizacion de diez dıas, pues deesta forma conseguimos disminuir la suma de los cuadrados de las cargasen 400 unidades.

Retraso Variacion en la suma de cuadrados

1er dıa (252 + 152)− (152 + 252) = 02o dıa (252 + 152)− (152 + 252) = 03er dıa (252 + 152)− (152 + 252) = 04o dıa (252 + 152)− (152 + 252) = 05o dıa (252 + 152)− (152 + 252) = 06o dıa (252 + 152)− (152 + 252) = 07o dıa (252 + 152)− (152 + 252) = 08o dıa (252 + 152)− (152 + 252) = 09o dıa (252 + 52)− (152 + 152) = 20010o dıa (252 + 52)− (152 + 152) = 200

Y ya hemos terminado porque hemos obtenido la solucion optima(hemos nivelado al maximo los recursos), como puede verse en el dia-

46

grama de cargas:

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

En este ejemplo ha bastado efectuar un unico ciclo de iteraciones parallegar no solo a una situacion en la que no es posible disminuir la sumade los cuadrados de las cargas sino a la que es la “solucion optima”, pueslas cargas diarias son constantes, es decir, la varianza es cero.

En la siguiente tabla indicamos las cargas diarias, los cuadrados de lascargas diarias ası como la suma de los cuadrados de las cargas en todoel proceso.

47

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P

carga2

30/900 30/900 20/400 15/225 15/225 15/225 15/225 15/225 10/100 5/25 5/25 5/25 3.500

15/225 10/100 3.400

25/625 15/225 3.250

25/625 15/225 3.100

15/225 25/625 3.100

15/225 25/625 3.100

15/225 25/625 3.100

15/225 25/625 3.100

15/225 25/625 3.100

15/225 25/625 3.100

15/225 25/625 3.100

15/225 25/625 3.100

15/225 15/225 2.900

15/225 15/225 2.700

El calendario optimo de ejecucion sera:

AC

DF

H

B

E

G

I

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15

48

La asignacion de recursosEl objetivo es minimizar la duracion del proyecto, de forma que en

ninguno de los perıodos de tiempo en los que se ejecuta el proyecto elconsumo de algun recurso supere las disponibilidades del mismo.

Observese que, por primera vez, contemplamos la posibilidad de queno tengamos recursos suficientes para que el proyecto se ejecute en eltiempo PERT previsto.

Para explicar la asignacion de recursos nos apoyaremos en el mismoejemplo modificandolo ligeramente. Ahora consideraremos que las necesi-dades de mano de obra son: las de las actividades B, E, y G, de 3 obreros;las de las actividades A, C y F de 5 obreros y las de las actividades D,H, e I de 9 obreros.

Como en la nivelacion, supondremos que estamos interesados unicamenteen el recurso mano de obra y que las disponibilidades de este se estimanen 12 obreros por dıa.

Calculemos la carga diaria y el diagrama de carga correspondientes alcalendario de ejecucion basado en las fechas mas tempranas.

49

A 5

C 5

D 9

F 5H 9

B 3

E 3

G 3

I 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DIAS

20 200 11 11 11 11 11 15 12 5 9 9 CARGA

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

50

A la vista del diagrama esta claro que este calendario no se podracumplir, pues necesitarıamos mas recursos los dıas 1, 2 y 8.

Por ello hemos de modificar el calendario de ejecucion, lo cual puederepercutir en un retraso en la terminacion del proyecto.

El objetivo de los metodos de asignacion de recursos constira en obtenerun nuevo calendario de ejecucion que haga mınima la duracion del proyecto,satisfaciendo las restricciones impuestas por las disponibilidades de losrecursos.

Es decir, la asignacion de recursos busca el calendario de duracionmınima en el que se cumpla que los consumos diarios (cargas) de losrecursos que estamos estudiando no superen las disponibilidades de losmismos.

Igualmente a lo que ocurrıa con la nivelacion de recursos, el metodoque se emplea en la asignacion de recursos consiste en retrasar la eje-cucion de las actividades, con respecto a sus fechas mas tempranas, den-tro de lo que permitan sus holguras.

Asimismo, para buscar soluciones exactas acudiremos a la progra-macion, obteniendo problemas de enorme dimension, por lo que tambiendescribiremos metodos heurısticos que, aunque no garantizan solucionesoptimas, nos dan buenas soluciones en poco tiempo.

LA ASIGNACION DE RECURSOS COMO UN PROBLEMA DE

PROGRAMACION MATEMATICA

El modelo de programacion matematica que hemos desarrollado parala nivelacion es suceptible de poder aplicarse, despues de algunas modi-ficaciones, a este problema de asignacion de recursos.

En primer lugar, hemos de tener en cuenta que, ahora, p tomara unvalor que, siendo mayor o igual que la duracion prevista del proyecto,nos garantiza una solucion posible.

Por lo tanto, p va a ser una cota superior de la duracion optima delproyecto, con nuestras limitaciones en los recursos.

Las restricciones del problema de asignacion de recursos seran las mis-mas que las del problema de nivelacion, agregando un nuevo conjuntode restricciones que nos garantice que los consumos de los diferentes re-cursos en cada uno de los perıodos de tiempo no seran superiores a lasdisponibilidades que existan de los mismos.

Si representamos por aik la disponibilidad del recurso i-esimo en el

51

perıodo k-esimo, se tendra que cumplir:m∑

j=1

cijxjk ≤ aik, i = 1, 2, . . . , r, k = 1, 2, . . . , p

el anadir esta nueva condicion supone incluir en el modelo rp restric-ciones mas.

La mayor diferencia en los modelos de asignacion y nivelacion resideen la estructura de la funcion objetivo.

En este caso el objetivo es encontrar un calendario de ejecucion que,cumpliendo las correspondientes restricciones, minimice la duracion delproyecto.

Una forma de expresar este objetivo es la siguiente:

min α1

m∑j=1

xj1 + α2

m∑j=1

xj2 + . . . + αp

m∑j=1

xjp

siendo α1 < α2 < . . . < αp.

Obviamente esta funcion del objetivo nos asegura una duracion delproyecto mınima, pues cuando haya que elegir entre ejecutar una activi-dad en el perıodo s o en el perıdo t (siendo ambas elecciones compatiblescon las restricciones y siendo s < t), elegira realizarla en el perıodo s.

Observese que las dimensiones de los problemas de asignacion de re-cursos son mayores aun que en los problemas de nivelacion. En nuestroejemplo ha aumentado el numero de variables y el de restricciones:• m y Q no han variado (valen 9 y 7, respectivamente), pero sı ha

variado p, al que hemos de dar un valor suficientemente alto para que elproblema tenga solucion (por ejemplo, 20). Por lo tanto, el numero devariables ahora sera 180.• Hemos creado un nuevo grupo de restricciones lo cual, en nuestro

ejemplo, suponen 3mp-m+(p-1)Q+rp=684 restricciones.Como ocurrıa en la nivelacion, la dimension “real” de los problemas

de asignacion disminuye al estar algunas variables determinadas de an-temano. La existencia de variables con valores determinados a priori sedebe, en este caso, unicamente a que ninguna actividad puede comenzara ejecutarse antes de su fecha mas temprana de comienzo, por lo que lareduccion en la dimension del modelo de asignacion de recursos no estan considerable como en el caso de la nivelacion de recursos.

52

ALGORITMO HEURISTICO PARA LA ASIGNACION DE RECURSOS

La idea de este algoritmo es la de asignar los recursos, perıodo porperıodo.

En el primer perıodo se programaran todas las actividades que sepuedan ejecutar en el mismo, siempre que no se superen las disponibili-dades existentes del recurso. A continuacion se procede de igual formacon los demas perıodos y ası sucesivamente. Cuando las disponibilidadesde un perıodo no cubren la carga del mismo, se dara preferencia derealizacion a las actividades que dispongan de menos holgura.

En resumen, el algoritmo quedarıa ası:Paso 1Hacer un estudio PERT del proyecto y obtener el calendario en el que

todo ocurre lo mas pronto posible.Hacer T=1.Paso 2Determinar el conjunto de actividades elegibles “AE”, es decir, el con-

junto de actividades que no estan definitivamente programadas, y queson tales que todas las que las preceden ya estan totalmente progra-madas.

Paso 3Determinar el conjunto ordenado de actividades elegibles “OAE”: las

actividades elegibles se ordenaran en orden creciente de sus “holgurasrestantes” para T, es decir, la holgura de la correspondiente actividad siempezara a ejecutarse en T.

En caso de empate, orden arbitrario.Paso 4Obtener por orden las actividades del conjunto OAE que se pueden

ejecutar en el perıodo T sin sobrepasar el nivel de recursos disponibles.Modificar, si es preciso, el tiempo de comienzo de cada actividad del

conjunto OAE.Actualizar el nivel de recursos.Obtener el nuevo conjunto AE y las holguras restantes para T+1.Paso 5Si todas las actividades han sido programadas: fin del algoritmo.En otro caso, hacer T=T+1 e ir al paso 3.

Veamoslo en el ejemplo ya propuesto anteriormente:

53

ONMLHIJK2E,7

))ONMLHIJK1

B,2

::uuuuuuuuuuuuuuuu A,3 //

G,8

55

I,2

99ONMLHIJK3

C,4 //ONMLHIJK4D,2 //ONMLHIJK5

F,1 //ONMLHIJK6H,2 //ONMLHIJK7

Indicamos en una tabla las holguras de las actividades del proyecto:

Actividad B:(1,2) A:(1,3) G:(1,6) I:(1,7) E:(2,6) C:(3,4) D:(4,5) F:(5,6) H:(6,7 )Holgura 1 0 2 10 1 0 0 0 0

Y el calendario de ejecucion del proyecto de fechas mas tempranas(indicando tambien las necesidades diarias del recurso estudiado).

A 5

C 5

D 9

F 5H 9

B 3

E 3

G 3

I 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

54

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Paso 1Una vez hecho el estudio PERT del proyecto y el calendario de fechas

mas tempranas, sea T=1.Paso 2AE={A,B,G,I}Paso 3HA = 0HB = 1HG = 2HI = 10entonces OAE={A,B,G,I}Paso 4Las actividades que se pueden ejecutar en T=1 son: A,B,G

55

Recursos utilizados 11<12entonces

A comienza en 1B comienza en 1G comienza en 1El proximo nivel de recursos es 12.

T=2AE={A,B,G,I}HA = −1HB = 0HG = 1HI = 9OAE={A,B,G,I}Pueden ejecutarse en T=2 las actividades: A, B, G.Recursos 11<12B terminadaProximo nivel de recursos 12.

T=3AE={A,E,G,I}HA = −2HE = 1HG = 0HI = 8OAE={A,G,E,I}Pueden ejecutarse en T=3 las actividades: A, G, E.Recursos 11<12A terminadaE comienza en 3.Proximo nivel de recursos 12.

T=4AE={G,I,C,E}HG = −1HI = 7HE = 0

56

HC = 0OAE={G,E,C,I}Pueden ejecutarse en T=4 las actividades: G, E, C.Recursos 11<12C comienza en 4.Proximo nivel de recursos 12.

T=5AE={G,E,C,I}HG = −2HI = 6HE = −1HC = −1OAE={G,E,C,I}Pueden ejecutarse en T=5 las actividades: G, E, C.Recursos 11<12Proximo nivel de recursos 12.

T=6AE={G,E,C,I}HG = −3HI = 5HE = −2HC = −2OAE={G,E,C,I}Pueden ejecutarse en T=6 las actividades: G, E, C.Recursos 11<12Proximo nivel de recursos 12.

T=7AE={G,E,C,I}HG = −4HI = 4HE = −3HC = −3OAE={G,E,C,I}Pueden ejecutarse en T=7 las actividades: G, E, C.

57

Recursos 11<12C terminadaProximo nivel de recursos 12.

T=8AE={G,E,I,D}HG = −5HE = −4HI = 3HD = −0OAE={G,E,D,I}Pueden ejecutarse en T=8 las actividades: G, E.Recursos 6<12G terminadaProximo nivel de recursos 12.

T=9AE={E,D,I}HE = −5HD = −1HI = 2OAE={E,D,I}Pueden ejecutarse en T=9 las actividades: E,D.Recursos 12≤12E terminadaD comienza en 9Proximo nivel de recursos 12.

T=10AE={D,I}HD = −2HI = 1OAE={D,I}Pueden ejecutarse en T=10 la actividad D.Recursos 9<12D terminadaProximo nivel de recursos 12.

58

T=11AE={I,F}HI = 0HF = −1OAE={F,I}Pueden ejecutarse en T=11 la actividad F.Recursos 5<12F comienza en 11F terminadaProximo nivel de recursos 12.

T=12AE={I,H}HI = −1HH = −1OAE={I,H}Pueden ejecutarse en T=12 la actividad I.Recursos 9<12I comienza en 12Proximo nivel de recursos 12.

T=13AE={I,H}HI = −2HH = −2OAE={I,H}Pueden ejecutarse en T=13 la actividad I.Recursos 9<12I terminadaProximo nivel de recursos 12.

T=14AE={H}HH = −3OAE={H}Pueden ejecutarse en T=14 la actividad H.

59

Recursos 9<12H comienza en 14Proximo nivel de recursos 12.

T=15AE={H}HH = −4OAE={H}Pueden ejecutarse en T=15 la actividad H.Recursos 9<12H terminada

Todas las actividades estan definitivamente programadas: fin del al-goritmo.

El calendario de ejecucion del proyecto y el diagrama de cargas quedacomo sigue:

60

A

C

D

F

H

B

E

G

I

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Días

11 11 11 11 11 11 11 6 12 9 5 9 9 9 9 Carga Diaria

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

61