MATEMÁTICA - 3o ANOMÓDULO 53

PIRÂMIDE

Como pode cair no enem

(ENEM) Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é ob-tida a partir de quatro cortes em um sólido que tem a forma de um cubo. No esquema, estão indicados o sólido original (cubo) e a pirâmide obtida a partir dele.

O

A

D C

B

O

A

D C

B

Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto O é central na face superior do cubo.

Os quatro cortes saem de O em direção às arestas AD, BC, AB e CD, nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro sólidos. Os formatos dos sólidos descartados são:a) todos iguais.b) todos diferentes.c) três iguais e um diferente.d) apenas dois iguais.e) iguais dois a dois.

Como pode cair no enem

(ENEM) Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é ob-tida a partir de quatro cortes em um sólido que tem a forma de um cubo. No esquema, estão indicados o sólido original (cubo) e a pirâmide obtida a partir dele.

O

A

D C

B

O

A

D C

B

Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto O é central na face superior do cubo.

Os quatro cortes saem de O em direção às arestas AD, BC, AB e CD, nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro sólidos. Os formatos dos sólidos descartados são:a) todos iguais.b) todos diferentes.c) três iguais e um diferente.d) apenas dois iguais.e) iguais dois a dois.

Fixação

1) (UERJ) Leia os quadrinhos:

Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho de mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura abaixo, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo.

Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm³, igual a:a) 12 c) 14b) 13 d) 15

Fixação

2) A molécula do hexafluoreto de enxofre (SF6) tem a forma geométrica de um octaedro regu-lar. Os centros dos átomos de flúor correspondem aos vértices do octaedro, e o centro do átomo de enxofre corresponde ao centro desse sólido, como ilustra a figura abaixo.

(www.escuelaintegral.edu.uy)

Considere que a distância entre o centro de um átomo de flúor e o centro do átomo de enxofre seja igual a 1,53 Aº . Assim, a medida da aresta desse octaedro, em Aº é aproximadamente igual a:a) 1,53b) 1,79 c) 2,16 d) 2,62

Fixação

2) A molécula do hexafluoreto de enxofre (SF6) tem a forma geométrica de um octaedro regu-lar. Os centros dos átomos de flúor correspondem aos vértices do octaedro, e o centro do átomo de enxofre corresponde ao centro desse sólido, como ilustra a figura abaixo.

(www.escuelaintegral.edu.uy)

Considere que a distância entre o centro de um átomo de flúor e o centro do átomo de enxofre seja igual a 1,53 Aº . Assim, a medida da aresta desse octaedro, em Aº é aproximadamente igual a:a) 1,53b) 1,79 c) 2,16 d) 2,62

Fixação

3) (UFF) A figura a seguir representa a planificação de uma pirâmide quadrangular regular.Sabendo-se que mede 3 cm e que as faces laterais são triângulos equiláteros, o volume

da pirâmide é:

a) 18.√2 cm³b) 36.√2 cm³c) 48.√2 cm³d) 60.√2 cm³e) 72.√2 cm³

Fixação

4) (UFF) A figura ao lado representa um prisma regular com 6m de altura e base hexagonal ABCDEF. Determine o volume da pirâmide VABC, sabendo que o lado da base do prisma mede 3m.

Fixação

5) (UERJ) ABCD é um tetraedro regular de aresta a. O ponto médio da aresta AB é M e o ponto médio da aresta CD é N. Calcule:

a) MN;b) o seno do ângulo NMD.

Fixação

4) (UFF) A figura ao lado representa um prisma regular com 6m de altura e base hexagonal ABCDEF. Determine o volume da pirâmide VABC, sabendo que o lado da base do prisma mede 3m.

Fixação

5) (UERJ) ABCD é um tetraedro regular de aresta a. O ponto médio da aresta AB é M e o ponto médio da aresta CD é N. Calcule:

a) MN;b) o seno do ângulo NMD.

Proposto

1) (UNIRIO) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é:a) H/6 b) H/3 c) 2H d) 3H e) 6H

Proposto

1) (UNIRIO) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é:a) H/6 b) H/3 c) 2H d) 3H e) 6H

Proposto

2) (UNIRIO) Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m3, então, o volume do cubo, em m3, é igual a:a) 9b) 12c) 15 d) 18e) 21

Proposto

3) (UFF) O volume de octaedro regular de aresta a é:a) a² √2

2 d) a³ √2

b) a³ √23

e) a³ √33

c) a³ √32

Proposto

3) (UFF) O volume de octaedro regular de aresta a é:a) a² √2

2 d) a³ √2

b) a³ √23

e) a³ √33

c) a³ √32

Proposto

4) (UERJ) ABCD é um tetraedro no qual ABC é um triângulo equilátero de lado a e a aresta AD é perpendicular ao plano ABC. Sabendo-se que o ângulo diedro das faces ABC e DBC é 45°, o volume do tetraedro é:a) a³

12 d) a³

4

b) a³ 8

e) a³ 2

c) a³ 6

Proposto

5) (UFF) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 179 m.

A área da base dessa pirâmide, em m², é:a) 13272b) 26544c) 39816d) 53088e) 79432

Proposto

5) (UFF) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 179 m.

A área da base dessa pirâmide, em m², é:a) 13272b) 26544c) 39816d) 53088e) 79432

Proposto

6) (CESGRANRIO) Seja VABC um tetraedro regular. O cosseno do ângulo α que a aresta VA faz com o plano ABC é:a) √3

3

b) √32

C A

V

B

c) √22

d) 12

e) √23

Proposto

7) (FUVEST) A figura é a planificação de um poliedro (A = B = C = D; E = F). Calcule seu volume:

Proposto

7) (FUVEST) A figura é a planificação de um poliedro (A = B = C = D; E = F). Calcule seu volume:

Proposto

8) (UERJ) Um triângulo equilátero ABC (fig.1) de papelão foi dobrado na sua altura AH. Apoia-se o papelão dobrado com os lados AB e AC sobre a mesa, de modo que o ângulo BHC tenha 60° (fig.2)

A tangente do ângulo θ que AH faz com o plano da mesa é igual a: a) √2

2 c) 1

2

b) √32

d) 13

Proposto

9) (UERJ) Com os vértices A, B, C e D de um cubo de aresta a, construiu-se um tetraedro regular, como mostra a figura ao lado:

Calcule:a) o volume da pirâmide EBCD em função de a;b) a razão entre os volumes do tetraedro ABCD e do cubo.

Proposto

9) (UERJ) Com os vértices A, B, C e D de um cubo de aresta a, construiu-se um tetraedro regular, como mostra a figura ao lado:

Calcule:a) o volume da pirâmide EBCD em função de a;b) a razão entre os volumes do tetraedro ABCD e do cubo.

Proposto

10) (UFF) A figura representa uma pirâmide regular cuja base é um triângulo equilátero ABC, de lado 3 √2 cm.

Sabendo que VA, VB e VC determinam um triedro trirretângulo, determine o valor da altura VH da pirâmide.

Proposto

11) Uma folha de papel colorido, com forma de um quadrado de 20 cm de lado, será usada para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular regular com altura de 12 cm e apótema da base medindo 5cm. Após se ter concluído essa tarefa, e levando-se em conta que não houve desperdício de papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de papel corresponde a:a) 20%b) 16%c) 15%d) 12%e) 10%

Proposto

11) Uma folha de papel colorido, com forma de um quadrado de 20 cm de lado, será usada para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular regular com altura de 12 cm e apótema da base medindo 5cm. Após se ter concluído essa tarefa, e levando-se em conta que não houve desperdício de papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de papel corresponde a:a) 20%b) 16%c) 15%d) 12%e) 10%

Proposto

12) (UFF) No tetraedro representado na figura, R e S são, respectivamente, os pontos médios de NP e OM.

A razão RSMN

é igual a:

a) √3b)

2√3

c) √2d)

2√2

e) 3 √2

Proposto

13) (UFF) Considere ABCDEFGH um cubo cuja aresta mede 1 cm e I um ponto no prolonga-mento da aresta AB, de tal modo que o volume do tetraedro ADFI tenha o mesmo volume do cubo ABCDEFGH

Determine a medida do segmento BI.

Proposto

13) (UFF) Considere ABCDEFGH um cubo cuja aresta mede 1 cm e I um ponto no prolonga-mento da aresta AB, de tal modo que o volume do tetraedro ADFI tenha o mesmo volume do cubo ABCDEFGH

Determine a medida do segmento BI.

Proposto

14) Observe as figuras a seguir.Figura 1

Figura 2

A figura 1 mostra a forma do toldo de uma barraca, e a figura 2, sua respectiva planificação, composta por dois trapézios isósceles congruentes e dois triângulos.

Calcule:a) a distância h da aresta AB ao plano CDEF;b) o volume do sólido de vértices A, B, C, D, E e F, mostrado na figura 1, em função de h.

Proposto

15) (ENEM) Representar objetos tridimensionais em uma folha de papel nem sempre é tarefa fácil. O artista holandês Escher (1898-1972) explorou essa dificuldade criando várias figuras planas impossíveis de serem construídas como objetos tridimensionais, a exemplo da litografia Belvedere.

(Belvedere, Escher)

Considere que um marceneiro tenha encontrado algumas figuras supostamente desenhadas por Escher e deseje construir uma delas com ripas rígidas de madeira que tenham o mesmo tamanho. Qual dos desenhos a seguir ele poderia reproduzir em um modelo tridimensional real?a) b) c) d) e)

Proposto

15) (ENEM) Representar objetos tridimensionais em uma folha de papel nem sempre é tarefa fácil. O artista holandês Escher (1898-1972) explorou essa dificuldade criando várias figuras planas impossíveis de serem construídas como objetos tridimensionais, a exemplo da litografia Belvedere.

(Belvedere, Escher)

Considere que um marceneiro tenha encontrado algumas figuras supostamente desenhadas por Escher e deseje construir uma delas com ripas rígidas de madeira que tenham o mesmo tamanho. Qual dos desenhos a seguir ele poderia reproduzir em um modelo tridimensional real?a) b) c) d) e)

Proposto

16) (ENEM) Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal.

Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados.d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados.

Proposto

17) (ENEM) João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide.

O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C.

O desenho que Bruno deve fazer é:

a)

A D

c)

C

e)

B E

b)

B E

d)

A D