Piano lauree scientifiche Matematica e Statistica 2013-2014

Liceo Scientifico “Filippo Silvestri”Liceo Scientifico “Filippo Silvestri”Portici Portici

IntroduzioneIntroduzione Trasformazioni del pianoTrasformazioni del piano NaturaNatura MusicaMusica ArteArte

Lo studio della simmetria è un modo per accostarsi alla Lo studio della simmetria è un modo per accostarsi alla bellezza, una misura di essa fondata su proporzionalità ed bellezza, una misura di essa fondata su proporzionalità ed equilibrio.equilibrio.Allo stesso modo costituisce un assunto fondamentale nello Allo stesso modo costituisce un assunto fondamentale nello studio del mondo che ci circonda, come accade nel caso della studio del mondo che ci circonda, come accade nel caso della meccanica quantistica.meccanica quantistica.Esistono infinite simmetrie e il loro studio costituisce un Esistono infinite simmetrie e il loro studio costituisce un elemento fondamentale nel variegato panorama della elemento fondamentale nel variegato panorama della matematica contemporaneamatematica contemporanea..

Filo conduttore di questo nostro impegno progettuale è stato lo Filo conduttore di questo nostro impegno progettuale è stato lo studio della simmetria affrontato come chiave di lettura delle studio della simmetria affrontato come chiave di lettura delle molteplici e composite esperienze che ciascuno di noi, talvolta, molteplici e composite esperienze che ciascuno di noi, talvolta, senza nemmeno averne certezza, affronta nella vita di tutti i senza nemmeno averne certezza, affronta nella vita di tutti i giorni.giorni.La matematica, infatti, come diceva Galileo Galilei, è ‘’l’alfabeto La matematica, infatti, come diceva Galileo Galilei, è ‘’l’alfabeto con cui Dio ha scritto l’Universo’’ e poiché la curiosità è l’arte con cui Dio ha scritto l’Universo’’ e poiché la curiosità è l’arte che unisce l’uomo alla sua ricerca, la simmetria altro non può che unisce l’uomo alla sua ricerca, la simmetria altro non può essere che l’esperienza viva dell’armoniosa ricerca, della essere che l’esperienza viva dell’armoniosa ricerca, della «grande bellezza» dentro e fuori di noi.«grande bellezza» dentro e fuori di noi.

Una trasformazione Una trasformazione ff del piano è una applicazione biunivoca del piano è una applicazione biunivoca del piano euclideo Edel piano euclideo E2 2 in sé, dove per biunivoca si intende che in sé, dove per biunivoca si intende che ff

associa punti distinti a punti distinti ed è tale che ogni punto associa punti distinti a punti distinti ed è tale che ogni punto del piano è immagine di un altro punto. In altre parole del piano è immagine di un altro punto. In altre parole ff ammette un’applicazione inversa.ammette un’applicazione inversa.

Tra le trasformazioni più importanti troviamo le trasformazioni Tra le trasformazioni più importanti troviamo le trasformazioni lineari (affinità) caratterizzate algebricamente dalla proprietà lineari (affinità) caratterizzate algebricamente dalla proprietà che le funzioni componenti sono funzioni lineari ovvero che le funzioni componenti sono funzioni lineari ovvero polinomi di grado minore o uguale a uno, del tipo sotto polinomi di grado minore o uguale a uno, del tipo sotto indicato con la condizione che indicato con la condizione che aa11bb22 - - aa22bb11 sia non nullo per sia non nullo per

garantire la biunivocità:garantire la biunivocità:

Un’isometria (o simmetria) del piano è una trasformazione h Un’isometria (o simmetria) del piano è una trasformazione h del piano che conserva le distanze, cioè la distanza tra due del piano che conserva le distanze, cioè la distanza tra due punti qualsiasi A e B coincide con la distanza dei loro punti qualsiasi A e B coincide con la distanza dei loro trasformati h(A) e h(B). Un’isometria è un’affinità, di trasformati h(A) e h(B). Un’isometria è un’affinità, di conseguenza si rappresenta allo stesso modo con qualche conseguenza si rappresenta allo stesso modo con qualche condizione aggiuntiva che traduce l’ulteriore proprietà condizione aggiuntiva che traduce l’ulteriore proprietà imposta.imposta.

Tra le isometrie ricordiamo la traslazione, trasformazione t del Tra le isometrie ricordiamo la traslazione, trasformazione t del piano caratterizzata dalla proprietà che il segmento piano caratterizzata dalla proprietà che il segmento congiungente un punto e la sua immagine ha lunghezza, congiungente un punto e la sua immagine ha lunghezza, direzione e verso fissatidirezione e verso fissati. .

Tra le isometrie che presentano più applicazioni visibili nel Tra le isometrie che presentano più applicazioni visibili nel mondo reale vi sono:mondo reale vi sono:

Simmetria centrale Simmetria centrale

La simmetria centrale di centro O è una trasformazione che ad La simmetria centrale di centro O è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa il punto P' tale che O è il punto ogni punto P del piano associa il punto P' tale che O è il punto medio del segmento PP'.medio del segmento PP'.

Considerando la proprietà delle coordinate del punto medio, Considerando la proprietà delle coordinate del punto medio, possiamo dedurre che la rappresentazione di una simmetria di possiamo dedurre che la rappresentazione di una simmetria di centro il punto di coordinate (xcentro il punto di coordinate (x00, y, y00) è:) è:

Simmetria assiale Simmetria assiale

La simmetria assiale di asse una retta La simmetria assiale di asse una retta rr è una trasformazione è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa il punto P' tale che il che ad ogni punto P del piano associa il punto P' tale che il segmento PP' sia perpendicolare all'asse segmento PP' sia perpendicolare all'asse rr e il punto medio M di e il punto medio M di PP' appartenga ad PP' appartenga ad rr..

Per simmetria di una figura piana Per simmetria di una figura piana FF intendiamo una isometria del intendiamo una isometria del piano che trasforma piano che trasforma FF in in FF..

Dire che una figura Dire che una figura FF è più simmetrica di un’altra è più simmetrica di un’altra F’F’ vuol dire che vuol dire che le simmetrie di le simmetrie di FF in sé sono di più delle simmetrie di in sé sono di più delle simmetrie di F’F’ in sé. Ad in sé. Ad esempio, diremo che un quadrato è più simmetrico di un esempio, diremo che un quadrato è più simmetrico di un triangolo equilatero perché le simmetrie del quadrato in sé sono triangolo equilatero perché le simmetrie del quadrato in sé sono otto, mentre quelle del triangolo equilatero in sé sono sei. Più otto, mentre quelle del triangolo equilatero in sé sono sei. Più simmetrico di questi due è l’esagono regolare che presenta simmetrico di questi due è l’esagono regolare che presenta dodici simmetrie.dodici simmetrie.

Ma è vero? Simbolo di unicità Ma è vero? Simbolo di unicità irripetibile e singolarità, i fiocchi di irripetibile e singolarità, i fiocchi di neve sono davvero unici, come lo neve sono davvero unici, come lo sono tutti gli esseri viventi, esseri sono tutti gli esseri viventi, esseri umani compresi. umani compresi. Siamo come i cristalli di ghiaccio Siamo come i cristalli di ghiaccio che formano i fiocchi di neve, che formano i fiocchi di neve, apparentemente uguali ma solo se apparentemente uguali ma solo se visti da lontano.visti da lontano.

Fiocchi di neve Fiocchi di neve 

I cristalli di neve hanno una forma I cristalli di neve hanno una forma molto simmetrica. Sembrano tutti molto simmetrica. Sembrano tutti uguali ma in realtà sono diversi per uguali ma in realtà sono diversi per motivi di aggregazione molecolare. motivi di aggregazione molecolare. Molti avranno sentito dire che non Molti avranno sentito dire che non esistono in natura due fiocchi di neve esistono in natura due fiocchi di neve identici, come non esistono due identici, come non esistono due persone uguali. persone uguali.

AlveareAlveare  

Le api raccolgono il miele in celle tutte uguali, piccoli prismi a Le api raccolgono il miele in celle tutte uguali, piccoli prismi a base esagonale.base esagonale.

La scelta di questa figura simmetrica come base non è casuale La scelta di questa figura simmetrica come base non è casuale e segue dei criteri:e segue dei criteri:

- Non lasciare spazi vuoti;- Non lasciare spazi vuoti;

- Usare minima quantità di cera per ottenere la massima - Usare minima quantità di cera per ottenere la massima raccolta di miele.raccolta di miele.

Usare celle con base un cerchio (la figura più simmetrica di Usare celle con base un cerchio (la figura più simmetrica di tutte) comporterebbe uno spreco di spazio.tutte) comporterebbe uno spreco di spazio.

Bisogna allora servirsi di poligoni regolari.Bisogna allora servirsi di poligoni regolari.

Broccolo romanescoBroccolo romanescoIl broccolo romanesco ha una strana Il broccolo romanesco ha una strana conformazione fisica; invece è conformazione fisica; invece è semplicemente uno semplicemente uno straordinario straordinario esempio di simmetria esempio di simmetria frattalefrattale naturale. In geometria un  naturale. In geometria un 'frattale' è un complesso modello, in cui 'frattale' è un complesso modello, in cui ogni parte ha la stessa 'forma’ del tutto, ogni parte ha la stessa 'forma’ del tutto, e ciò ripetuto all'infinito. e ciò ripetuto all'infinito.

Ingrandendo una sezione dell’oggetto, Ingrandendo una sezione dell’oggetto, la forma/modello geometrico è sempre la forma/modello geometrico è sempre la stessa e si ripete all'infinito. In altre la stessa e si ripete all'infinito. In altre parole un frattale si ripete nella sua parole un frattale si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale forma allo stesso modo su scale diverse. Nel broccolo romanesco ogni diverse. Nel broccolo romanesco ogni singolo fiore ha lo stesso 'disegno' singolo fiore ha lo stesso 'disegno' dell'intero broccolo, solo in formato più dell'intero broccolo, solo in formato più piccolo. L'intero broccolo è una grande piccolo. L'intero broccolo è una grande spirale, composta a sua volta da tante spirale, composta a sua volta da tante mini spirali della stessa forma della mini spirali della stessa forma della spirale principale.spirale principale.

Da secoli, in musica, la simmetria è uno strumento molto usato dai Da secoli, in musica, la simmetria è uno strumento molto usato dai compositori. A volte ciò avviene su piccola scala, come quando in una compositori. A volte ciò avviene su piccola scala, come quando in una fuga di Bach un arpeggio viene ripetuto prima dal basso verso l’alto e fuga di Bach un arpeggio viene ripetuto prima dal basso verso l’alto e subito nella battuta successiva dall’alto verso il basso. Altre volte subito nella battuta successiva dall’alto verso il basso. Altre volte invece avviene su larga scala, come nei cosiddetti “canoni invece avviene su larga scala, come nei cosiddetti “canoni cancrizzanti”, quando le stesse note sono suonate in avanti e cancrizzanti”, quando le stesse note sono suonate in avanti e all’indietro allo stesso tempo.all’indietro allo stesso tempo.Per esempio il primo canone dell’Offerta musicale di J.S.Bach è un Per esempio il primo canone dell’Offerta musicale di J.S.Bach è un canone di questo tipo.canone di questo tipo.

Brano tratto dall’Offerta musicale di J.S.BachBrano tratto dall’Offerta musicale di J.S.Bach

La simmetria per traslazione genera un sottogruppo ciclico infinito. In La simmetria per traslazione genera un sottogruppo ciclico infinito. In musica ciò è rappresentato dalla ripetizione di un qualche ritmo o musica ciò è rappresentato dalla ripetizione di un qualche ritmo o melodia. Un celebre esempio è l’inizio della mano destra della Sonata melodia. Un celebre esempio è l’inizio della mano destra della Sonata al chiaro di luna di Beethovenal chiaro di luna di Beethoven

Brano tratto dalla Sonata al chiaro di luna di BeethovenBrano tratto dalla Sonata al chiaro di luna di Beethoven

Certamente, un brano musicale ha una lunghezza finita, quindi non si Certamente, un brano musicale ha una lunghezza finita, quindi non si può realmente parlare di simmetria per traslazione. Effettivamente, può realmente parlare di simmetria per traslazione. Effettivamente, in musica, le simmetrie approssimate sono molto più comuni delle in musica, le simmetrie approssimate sono molto più comuni delle simmetrie perfette.simmetrie perfette.

La simmetria è una tecnica compositiva molto utilizzata nel La simmetria è una tecnica compositiva molto utilizzata nel campo artistico. Può essere di diversi tipi:campo artistico. Può essere di diversi tipi:

- - Simmetria assiale o di riflessione Simmetria assiale o di riflessione (una trasformazione della (una trasformazione della retta, del piano o dello spazio che "specchia" tutti i punti retta, del piano o dello spazio che "specchia" tutti i punti rispetto a un punto, una retta, o un piano, detti rispetto a un punto, una retta, o un piano, detti rispettivamente centro, asse o piano di riflessione).rispettivamente centro, asse o piano di riflessione).- - Simmetria radiale Simmetria radiale (definita anche come variante del ritmo, (definita anche come variante del ritmo, consiste nella ripetizione di figure lungo assi passanti per uno consiste nella ripetizione di figure lungo assi passanti per uno stesso punto e simmetriche rispetto ad essi). stesso punto e simmetriche rispetto ad essi). - - Simmetria rotatoria o centrale Simmetria rotatoria o centrale (le forme hanno (le forme hanno caratteristiche simili e si sviluppano attorno ad un punto, il caratteristiche simili e si sviluppano attorno ad un punto, il centro. È tipica dei formati circolari e della architetturacentro. È tipica dei formati circolari e della architettura in in generale (Borromini).generale (Borromini).La simmetria permette di dare equilibrio e armonia all'opera in La simmetria permette di dare equilibrio e armonia all'opera in cui viene utilizzata.cui viene utilizzata.

Simmetria assiale o di riflessioneSimmetria assiale o di riflessioneUn esempio di questa Un esempio di questa trasformazione geometrica è trasformazione geometrica è presente nel famoso dipinto di presente nel famoso dipinto di Caravaggio “Narciso”, qui a lato.Caravaggio “Narciso”, qui a lato.

Il dipinto, situato nella galleria Il dipinto, situato nella galleria d’arte antica nel palazzo Barberini d’arte antica nel palazzo Barberini a Roma, ritrae la figura mitologica a Roma, ritrae la figura mitologica di Narciso mentre si specchia di Narciso mentre si specchia nell’acqua. Questi, osservando la nell’acqua. Questi, osservando la sua bellezza, si innamora sua bellezza, si innamora perdutamente della sua immagine perdutamente della sua immagine a tal punto da volerla baciare; e a tal punto da volerla baciare; e proprio quest’atto gli sarà fatale.proprio quest’atto gli sarà fatale.Caravaggio per rappresentare al Caravaggio per rappresentare al meglio l’effetto di riflessione meglio l’effetto di riflessione adottaadotta la tecnica della simmetria assiale la tecnica della simmetria assiale dando vita a due figure dando vita a due figure perfettamente uguali.perfettamente uguali.

Simmetria radialeSimmetria radiale

Questa trasformazione è stata utilizzata particolarmente nell’arte Questa trasformazione è stata utilizzata particolarmente nell’arte araba specialmente nei mosaici:araba specialmente nei mosaici:

Il divieto di rappresentare figure sacre ha portato la cultura Il divieto di rappresentare figure sacre ha portato la cultura figurativa islamica ad orientarsi verso i pattern geometrici con figurativa islamica ad orientarsi verso i pattern geometrici con esempi in opus sectile dagli incredibili intrecci che creano particolari esempi in opus sectile dagli incredibili intrecci che creano particolari illusione ottiche. illusione ottiche.

Il problema di ricoprire una superficie, ovvero il piano, con uno o più Il problema di ricoprire una superficie, ovvero il piano, con uno o più moduli ripetuti in maniera periodica costituisce un affascinante moduli ripetuti in maniera periodica costituisce un affascinante campo di ricerca per la matematica e per le arti grafiche.campo di ricerca per la matematica e per le arti grafiche.

Chi più di ogni altro ha cercato di Chi più di ogni altro ha cercato di approfondire entrambi gli aspetti approfondire entrambi gli aspetti della questione è senza dubbio il della questione è senza dubbio il grafico olandese Maurits Cornelis grafico olandese Maurits Cornelis Escher (1898 –1972). Escher (1898 –1972). Consapevole dell'unicità Consapevole dell'unicità dell'Alhambra, si spinse due volte dell'Alhambra, si spinse due volte fino alla Spagna - nel 1922 e nel fino alla Spagna - nel 1922 e nel 1936 - per contemplare e 1936 - per contemplare e studiare quella che lui stesso non studiare quella che lui stesso non esitò a definire "la più ricca fonte esitò a definire "la più ricca fonte di ispirazione mai incontrata".di ispirazione mai incontrata".

La religione islamica impedisce di La religione islamica impedisce di rappresentare animali o figure rappresentare animali o figure umane; per questo motivo tutti i umane; per questo motivo tutti i moduli dell'Alhambra - così come moduli dell'Alhambra - così come in tutte le altre tassellazioni in tutte le altre tassellazioni prodotte da artistiprodotte da artisti

islamici - sono esclusivamente geometrici. Fin dal suo primo islamici - sono esclusivamente geometrici. Fin dal suo primo viaggio Escher cercò di spingersi oltre questo limite, e la sua prima viaggio Escher cercò di spingersi oltre questo limite, e la sua prima opera di questo tipo è una tassellazione del piano con otto volti opera di questo tipo è una tassellazione del piano con otto volti umani (Otto teste, 1922). Con gli anni saranno proprio uomini e umani (Otto teste, 1922). Con gli anni saranno proprio uomini e soprattutto animali a stimolare la sua fantasia, e riuscirà a ricoprire soprattutto animali a stimolare la sua fantasia, e riuscirà a ricoprire il piano con conchiglie, stelle marine, granchi, pesci, uccelli, il piano con conchiglie, stelle marine, granchi, pesci, uccelli, cavalieri…cavalieri…

Simmetria rotatoriaSimmetria rotatoria

Questa trasformazione è stata usata in architettura dal Questa trasformazione è stata usata in architettura dal Borromini nella cupola di Sant’Ivo alla Sapienza. Borromini nella cupola di Sant’Ivo alla Sapienza.

Sul piano tipologico Sant’Ivo è uno spazio a pianta centrale Sul piano tipologico Sant’Ivo è uno spazio a pianta centrale con tre assi di simmetria ruotati di 120 gradi. L’impianto con tre assi di simmetria ruotati di 120 gradi. L’impianto esagonale che ne deriva presenta alternativamente all’occhio esagonale che ne deriva presenta alternativamente all’occhio dello spettatore absidi semi circolari e spazi più complessi dello spettatore absidi semi circolari e spazi più complessi formati da lati convergenti e da un fondale convesso così che formati da lati convergenti e da un fondale convesso così che complessivamente il controllo planimetrico assuma una forma complessivamente il controllo planimetrico assuma una forma stellare.stellare.

Docenti:Docenti:

Antonina Giampaglia Antonina Giampaglia

Si ringraziano i professori del laboratorio nelle persone Si ringraziano i professori del laboratorio nelle persone delladella

prof.ssa Sara Dragotti prof.ssa Sara Dragotti

La dirigente scolastica prof.ssa Enrichetta IdatoLa dirigente scolastica prof.ssa Enrichetta Idato

Allievi partecipantiAllievi partecipanti

Barbato LucaBarbato LucaBorrelli ChiaraBorrelli Chiara

Caruso VeronicaCaruso VeronicaCasale DarioCasale Dario

Cirenza CristinaCirenza CristinaCozzolino MonicaCozzolino Monica

De Maria PasqualeDe Maria PasqualeDi Paolo AlessandroDi Paolo Alessandro

Fusco FrancescoFusco FrancescoMoio CamillaMoio Camilla

Monopoli RosaMonopoli RosaMorale RaffaeleMorale RaffaeleMorante ChiaraMorante Chiara

Negri MargheritaNegri MargheritaRuggiero FrancescaRuggiero Francesca

Russo GaetanoRusso GaetanoRusso GelsominaRusso GelsominaSolaro RaffaeleSolaro Raffaele

Varriale FrancescoVarriale Francesco