PHY 184 lecture 8 - Hanyang

University Physics, Chapter 23September 10, 2012 1

전기퍼텐셜

전기장 다음의 주제는 전기퍼텐셜이다.

중력과 전기력의 유사성에 주목하자.• 중력을 중력퍼텐셜로 기술하듯이 전기퍼텐셜로 전기력을 기술할 수

있다.

• 점전하 q의 전기퍼텐셜 V는 점전하까지 거리에 역비례한다.

전기퍼텐셜은 에너지와 일과 관련이 있다.

전기장에서 전기퍼텐셜, 전기퍼텐셜에서 전기장을 구할 수있다.

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전기 퍼텐셜에너지 (1)

전기력은, 중력과 마찬가지로, 보존력이다.• 보존력에서 한 일은 경로에 무관하다.

두 개 이상의 입자계에 대해서 전기력이 한 일 We 은, 계의배열이 초기상태에서 최종상태로 변할 때, 전기 퍼텐셜에너지U의 변화와 같다.

일한전기장이

전기퍼테녈에너지최종

전기퍼테녈에너지초기

e

f

i

eif

W

U

U

WUUU


전기 퍼텐셜에너지 (2)

중력 퍼텐셜에너지와 마찬가지로, 전기 퍼텐셜에너지에 대한기준점을 항상 명시해야 한다.

모든 전하가 무한히 먼 거리로 떨어져 있을 때

전기 퍼텐셜에너지를 0으로 정의한다.

초기 퍼텐셜에너지를 0으로 하면 전기퍼텐셜의 표현식이간단해진다.

전기퍼텐셜은 전기장 E 가 한 일의 음수이다.

• E 가 양의 일을 하면, U < 0

• E 가 음의 일을 하면, U > 0

0fU U U W


특별핚 경우: 일정핚 전기장 (1)

일정한 전기장에서 점전하 q 가 변위 d 로 움직이는 경우를생각해 보자.

일정한 힘이 한 일

이 경우 일정한 힘은 다음과 같다.

… 따라서 전기장이 전하에 한 일은 다음과 같다.

W F d

cosW qE d qEd

Note: angle between and E d

F qE


특별핚 경우: 일정핚 전기장 (2)

변위와 전기장이 같은 방향

• 전기장과 같은 방향으로 움직이는

양전하는 퍼텐셜에너지를 잃는다.

변위와 전기장이 반대 방향

• 전기장과 반대 방향으로 움직이는양전하는 퍼텐셜에너지를 얻는다.

qEdUqEdW so so W qEd U qEd

so W qEd U qEd


전기퍼텐셜의 정의

전기장에서 전하 q의 퍼텐셜에너지는 전하의 크기는 물론전기장의 크기에도 의존한다.

따라서 시험전하의 전하량에 무관하게 전기장을 탐지할물리량으로 전기퍼텐셜을 다음과 같이 정의한다.

벡터인 전기장과는 달리 전기퍼텐셜은 스칼라이다. • 전기퍼텐셜은 공간의 모든 곳에서 값을 가질 수 있지만, 방향은 없다.

전기퍼텐셜의 SI단위는 줄/쿨롱(J/C)이다.

UV

q 시험전하의 단위전하당 퍼텐셜에너지


전기퍼텐셜 차, V

초기점 i 와 최종점 f 사이의 전기퍼텐셜차는 각 점에 있는 q 의전기 퍼텐셜에너지로 다음과 같이 표기한다.

전기퍼텐셜의 변화는 전기장이 전하에 한 일과 같다.

무한대에서 전기 퍼텐셜에너지를 0으로 놓으면 다음을 얻는다.

(We, 는 전하를 무한대에서 가져올 때 전기장이 한 일이다.)

f if i

U U UV V V

q q q

eWV

q

,eWV

q

i = , f = x ⇒ V = V(x) 0


볼트

전기퍼텐셜의 SI단위인 (줄/쿨롱)은 이탈리아의 물리학자알렉산드로 볼타(1745-1827)를 기념하여 볼트(V)로 명명한다.

볼트의 정의로 전기장의 단위는 다음과 같다.

전기장의 단위로 V/m 를 자주 사용한다.

1 J1 V =

1 C

[ ] N J/m V[ ]

[ ] C C m

FE

q


보기문제 23.1: 양성자의 에너지 획득 (1)

문제: 한 양성자가 진공에서 평행한 두전도체 판 사이에 놓여 있다. 두 판사이의 전기퍼텐셜차는 450V이다. 양의 판 근처에서 정지한 양성자를놓아준다. 음의 판에 도달할 때

양성자의 운동에너지는 얼마인가?답:

+ -

두 평판 사이의 퍼텐셜 차 = 450 V.

양성자 퍼텐셜에너지의 변화

dV = dU / q

dU = q dV = e[V(-)-V(+)] = -450 eV


보기문제 23.1: 양성자의 에너지 획득 (2)

많은 경우에 퍼텐셜차를 사용하여 대전입자를 가속시켜서필요한 물리량을 측정하므로, 전자나 양성자 같은 단일 입자의운동에너지를 주로 전자볼트(eV) 단위로 표기한다.

양성자의 운동에너지는 특별히 계산하지 않아도 전자볼트의정의로부터 450V, 즉 0.450keV를 얻을 수 있다.

191 eV 1.6022 10 J

초기상태 최종상태에너지 보존K = U = + 450 eV

양성자의 운동에너지K = 1.6x10-19 C x 450 V = 7.2x10-17 J


밴더그래프 발전기 (1)

높은 전기퍼텐셜을 만들어내는 장치

미국의 물리학자 로버트 J. 밴더그래프1901-1967)가 발명한 장치이다.

대형 밴더그래프 발전기는 수백만 볼트의전기퍼텐셜을 만들 수 있다.

밴더그래프 발전기는 입자가속기로사용할 수 있다.

교실 시범용으로 밴더그래프를 사용하고있다.

밴더그래프 발전기는 코로나방전으로 만든 양전하를 움직이는절연체 벨트에 옮겨준다.


밴더그래프 발전기 (2) 전동기로 움직이는 벨트

를 따라 속이 빈 금속구로운반된 양전하들은금속구와 도선으로연결된 뾰족한 접촉점에의해 벨트로부터금속구로 옮겨진다.

금속구에 모이는 양전하들은 금속구의 바깥 표면에 균일하게 분포한다.

그림의 밴더그래프발전기에 전압제한기가달려 있어서 필요이상으로 큰 방전을일으키지 못하도록방지하고 있다.


밴더그래프 가속기는 높은 전기퍼텐셜을 사용하는 입자가속기로응집물질과 핵물리과정을 연구하기 위해 사용된다.

탄뎀 밴더그래프는 단자 퍼텐셜차가 가속기의 중앙에 생기도록만든 가속기로, 교실용 밴더그래프 장치를 훨씬 더 크고 정교하게만든 것이다.

밴터그래프에서 생성된 음이온 C는 +10 MV 단자 쪽으로 가속되어운동에너지를 얻는다.

얇은 박막을 통과하면서 음이온의 전자들이 제거되어 양이온으로변한다.

이들 양이온은 계속해서 반대 편 밴더그래프에서 가속되어 탄뎀가속기를 빠져 나간다.

탄뎀 밴더그래프 가속기


보기문제 23.3: 탄뎀 밴더그래프 가속기 (1)

문제:

단자 퍼텐셜차가 10.0MV(1.00천만볼트)인 탄뎀 밴더그래프가속기로 12C 핵을 가속시킨다. 탄소 핵이 탄뎀 가속기에서 얻을수 있는 최대 운동에너지는 얼마인가?

답:

탄뎀 밴더그래프 가속기는 두 단계로 가속된다. • 1 단계: -1e의 탄소 이온이 에너지를 얻어서

단자 쪽으로 가속된다.

• 2단계: +6e 탄소 이온이 에너지를 얻어서

단자로부터 가속된다.

15 MV Tandem Van de Graaff at Brookhaven


보기문제 23.3: 탄뎀 밴더그래프 가속기 (2)

12 -26

2

117

-26

The mass of a C nucleus is 1.99 10 kg

1

2

2 2 1.12 10 J3.36 10 m/s

1.99 10 kg

11% of the speed of light

K mv

Kv

m

v

1 2

1 2

-1911

1 and 6

7 10 MV 70 MeV

1.602 10 J70 MeV 1.12 10 J

1 eV

K U qV q V

q e q e

K e

K

University Physics, Chapter 23

Equipotential surface from eight point chargesfixed at the corners of a cube

September 10, 2012 16

등퍼텐셜면과 등퍼텐셜선

전기장이 존재하면 전기퍼텐셜은 어느 공간에서나 값을 가진다: V(x) = 퍼텐셜 함수

전기퍼텐셜이 같은 점들은 등퍼텐셜면을 형성한다.

V(x) = 일정한 값

전하가 등퍼텐셜면을 따라 움직이면

전기장이 전하에 한 일은 전혀 없다.

등퍼텐셜면은 3차원 공간에 존재한다.

그러나 전기퍼텐셜의 대칭성을 고려하여,

등퍼텐셜면을 전하가 놓여있는

2차원 평면 위의 등퍼텐셜선으로

표시할 수 있다.


전하가 전기장선에 수직으로 움직이면 전기장이전하에 아무런 일을 하지 않는다.

전기장이 한 일이 0이면 전기퍼텐셜은 일정하다.

따라서 등퍼텐셜선과 등퍼텐셜면들은 항상 전기장방향에 수직이다.

정성적 특징

V W

e

q 0V is constant

0 if W qE d d E


일정핚 전기장

일정한 전기장에서 전기장선들은 직선이고, 등간격이며, 평행하다.

(3D) 등퍼텐셜면들은 E 에 수직한 서로 평행한 평면들이다.

(2D)에서는 등간격인 등퍼텐셜선으로 표시한다


단일 점전하의 전기퍼텐셜

전기장선: 양의 점전하에서 지름방향으로 퍼져나간다. 등퍼텐셜면(3D): 동심구

등퍼텐셜선(2D): 동심원

양전하 음전하


반대 부호 두 점전하의 전기퍼텐셜

반대로 대전된 두 점전하의 전기장선은 약간 복잡하다.

전기장선은 양전하에서 출발하여 음전하로 끝난다.

등퍼텐셜선은 항상 전기장선에 수직이다. • 빨간색 선=양의 등퍼텐셜면

• 푸른색 선=음의 등퍼텐셜면

각 전하에 가까운 곳의

전기장선과 등퍼텐셜선은

단일 점전하의 것과 닮아간다.


동일핚 두 점전하의 전기퍼텐셜

반대로 대전된 두 점전하의 전기장선은 약간 복잡하다.

전기장선은 양전하에서 출발하여 음전하로 끝난다.

등퍼텐셜선은 항상 전기장선에 수직이다.

• 양의 등퍼텐셜면

각 전하에 가까운 곳의

전기장선과 등퍼텐셜선은

단일 점전하의 것과

닮아간다


전기장에서 전기퍼텐셜 구하기

힘 F 가 전하 q 에 작용하여 변위 ds 가 생길 때 한 일:

전하가 초기점 i에서 최종점 f까지 전기장에서 움직이는 동안에

전기력이 전하에 한 일:

퍼텐셜 차:

퍼텐셜:

dW F ds qE ds

f

iW qE ds

fe

f ii

WV V V E ds

q

(기본규약: i = , f = x)( )

xV x E ds


보기: 전기장에서 전하의 이동 (1)

균일한 전기장 E에서시험전하 q0 이 경로 icfz(cf는전기장과 45º)를 따라 움직일때 퍼텐셜 차 Vf-Vi 를 구해라.

적분: 를 경로 ic와cf로 나눠서 적분한다.

c f

f i f c c ii c

V V V V V V E ds E ds

E ds


1

2

0 (ds perpendicular to E)

cos(45 ) distance

c f

f ii c

c

i

f f

c c

V V E ds E ds

E ds

E ds E ds E

f iV V Ed

보기: 전기장에서 전하의 이동 (2)


점전하의 전기퍼텐셜 (1) 점전하 q의 전기장에서 거리 R의 함수로 전기퍼텐셜 V(R)을

구해보자.

거리 r에서 점전하 q의 전기장은 다음과 같다.

점전하의 전기장 방향은 항상 지름방향이다. • V 는 스칼라이다.

지름방향을 따라 거리 R에서 무한대까지 적분하면 다음을얻는다.

2ˆ( )

kqE r r

r

2R RR

kq kq kqV E ds dr

r r R


점전하의 전기퍼텐셜 (2)

양전하

음전하

( )kq

V rr


점전하 계의 전기퍼텐셜

n 개의 점전하 계가 한 점에 만드는 전기퍼텐셜은 다음의합으로 구한다.

.

합은 공간의 어떤 점에서나 값을 가지지만 방향이 없는전기퍼텐셜을 만든다. –스칼라 함수

따라서 점전하 계에 의한 전기퍼텐셜 계산은 벡터를합하는 전기장 계산보다 훨씬 쉽다.

1 1

n ni

i

i i i

kqV V

r


보기문제 23.4: 전기퍼텐셜의 중첩 (1)

그림과 같이 세 점전하가 있다.q1 = +1.50 Cq2 = +2.50 Cq3 = -3.50 C

q1 의 위치= (0,a)q2 의 위치= (0,0)q3 의 위치= (b,0)a = 8.00 m, b = 6.00 m

문제:

점 P (b,a)에서 전기퍼텐셜은?


보기문제 23.4: 전기퍼텐셜의 중첩 (2)

답:

점 P 에서 전기퍼텐셜은 세 점전하가만드는 전기퍼텐셜의 합이다.

V kq

i

rii1

3

kq

1

r1

q

2

r2

q

3

r3

k

q1

b

q2

a2 b2

q3

a

V 8.99 109 N/C 1.50 106 C

6.00 m

2.50 106 C

8.00 m 2

6.00 m 23.50 106 C

8.00 m

V 562 V

r1

r2 r3


퍼텐셜에서 전기장 구하기 (1)

전기퍼텐셜에서 전기장을 구할 수 있다.

따라서 다음과 같이 표기할 수 있다.

ds 방향의 전기장 성분을 보면 변수 s에 대한 편미분과 같다.

V W

e,

q

S

VE

s

sdEqdW

dVsdEsdEqqdV


수학의 기초- 편미분

함수 V(x,y,z)의 편미분:

예: V(x,y,z) = 2xy2 + z3

x, y, z 각각에 대한 미분이다

의미:편미분은 해당 방향에 대한 기울기이다.

V

x V

y V

x

V

x 2y2

V

y 4xy

V

x 3z2


퍼텐셜에서 전기장 구하기 (2)

전기장의 성분은 해당성분 방향의 변수에 대한 편미분으로 구할수 있다.

전기장 성분을 전기퍼텐셜의 편미분으로 표기하면 다음과 같다.

전기퍼텐셜의 글패 표기에서 등퍼텐셜선에 수직인 퍼텐셜의그래디언트 를 구하면 전기장을 얻는다.

; ; x y z

V V VE E E

x y z

also written as E V E V


보기문제 23.6: 전기장의 그래프 표기 (1)

세 점전하 계q1 6.00 C 2 3.00 Cq 3 9.00 Cq

1 1, 1.5 cm,9.0 cmx y x2,y2 6.0 cm,8.0 cm 3 3, 5.3 cm,2.0 cmx y


보기문제 23.6: 전기장의 그래프 표기 (2)

점 P의 전기장 크기를계산하기 위하여

점 P 에서 등퍼텐셜선에수직인 선을 +1000 V에서 –1000 V까지 그린다.

수직선의 길이는 약 1.5 cm이므로, 전기장은 대략다음과 같다.

전기장의 방향은 양의등퍼텐셜선에서 음의등퍼텐셜선으로 향한다.

52000 V 0 V

1.3 10 V/m1.5 cm

S

VE

s


점전하 계의 전기 퍼텐셜에너지

고정된 전기장에서 점전하의 전기 퍼텐셜에너지를 구했다.

고정된 전기장에서는 점전하 자체가 전기장에 영향을 끼치지않는다.

이번에는 점전하 계의 전기 퍼텐셜에너지를 구해 보자.

무한히 떨어져있는 전하들로 구성된 계를 고려한다.

• 무한대는 기준상태이다: U = 0

이들 전하를 서로 인접한 부근으로 옮겨오려면 전하에 일을해야 하므로 계의 전기퍼텐셜이 변하게 된다.

계의 전기 퍼텐셜에너지는 이들 전하를 무한히 멀리 떨어진곳에서부터 가져오는데 필요한 일로 정의한다.


두 점전하 계의 전기 퍼텐셜에너지 (1)

예를 들어 두 점전하 q1 과 q2 의 전기 퍼텐셜에너지를 구해보자.

처음에 두 전하는 무한히 멀리 떨어져 있다고 가정한다.

먼저 점전하 q1을 계로 가져온다.

전하가 없는 계는 전기장이 없고 대응하는 전기력도 없기때문에 첫 번째 전하에는 어떤 일도 하지 않는다.

점전하 q1을 정지상태로 유지시키면서, 무한대에 있는 두 번째전하 q2 를 무한대에서 거리 r 까지 가져온다.

• 이때 한 일= q2V1(r)


전기 퍼텐셜에너지= 한 일

전기퍼텐셜

따라서 전기 퍼텐셜에너지는 다음과 같다.

두 전하가 같은 부호이면, 한 일은 양이므로, 무한대로부터 입자를가져와서 움직이지 않도록 유지하는 데 양의 일이 필요하다.(즉 계가에너지를 얻는다.)

두 전하가 반대부호이면, 음의 일을 해야 한다. (즉 계에서 에너지가방출된다.)

2 1( )U q V r

11( )

kqV r

r

1 2kq qU

r

두 점전하 계의 전기 퍼텐셜에너지 (2)


문제: 세 점전하의 전기 퍼텐셜에너지 (1)

그림과 같이 한 변의 길이가 d 인정삼각형을 이루는 세 점전하가 있다.

• q1=+q

• q2=-4q

• q3=+2q

문제:

세 점전하 계의 전기 퍼텐셜에너지는얼마인가?

답:

전기 퍼텐셜에너지는 무한대에서 세점전하를 가져오면서 한 일과 같다. • 전하를 하나씩 가져오면서 한 일을

계산한다.


무한대에서 q1 가져오기 일이 필요 없다.

무한대에서 q2 가져오기


q1 과 q2 에 대해서 각각 일을 해야한다.

문제: 세 점전하의 전기 퍼텐셜에너지 (2)


문제: 세 점전하의 전기퍼텐셜

문제: 그림과 같이 세 점전하가 놓여 있다,. 무한대에서 V=0이면, 정삼각형의 중심C에서 전기퍼텐셜 V는 무엇인가?

답:

• 그림을 그린다.

• 앞 문제와는 달리, 계의 중심에서퍼텐셜을 구한다. .

• 대칭성과 중첩원리를 이용한다.

• 전하의 합은 0이고, 거리가 같다.

q1=+q, q2=-2q, q3=+q

C

31 2( ) , where 2cos(30 )

qq q dV C R

R R R

2( ) 0

q q qV C

R R R


보기문제 23.7: 네 점전하 (1)

그림과 같이 네 점전하가 놓여있다. • q1 =+1.0 C

• q2 = +2.0 C

• q3 = -3.0 C

• q4 = +4.0 C.

위치는 a = 6.0 m, b = 4.0 m이다.

문제:

네 점전하 계의 전기퍼텐셜에너지는 얼마인가?




• 일이 필요 없다.




q1

q2

q3

q4

a

1 2q qU k

a

1 3 2 31 2

2 2

q q q qq qU k k k

a b a b

b

1 3 2 3 3 41 2 1 4 2 4

2 2 2 2

q q q q q qq q q q q qU k k k k k k

a b b aa b a b



1 31 2 1 4

2 2

2 3 3 42 4

2 2

q qq q q qU k

a b a b

q q q qq q

b aa b

총 에너지= 한 일의 총합

수치계산: 1.2 · 10-3 J


문제:

반지름 R인 원 위에 그림처럼 12개의전자가 배열되어 있다. 무한대에서 V=0 로 놓으면 원의 중심 C에서 전기장과퍼텐셜은 각각 얼마인가?

답:

전기퍼텐셜: 12개 전자를 어떻게 배열하는가의 문제가아니다. 대칭성과 중첩원리를 이용하여구한다.

전기장:

대칭성과 반대편 전자들의 쌍을 이용하여풀이한다.

보기: 원 위의 12개 전자 (1)


보기: 원 위의 12개 전자 (2)

전기퍼텐셜: 중첩원리

전기장: 반대편의 전자 쌍이 중심에만드는 전기장은 서로 상쇄된다.

결국 대칭성에 따라 전기장은 0이다. 그렇지 않다면 전기장은 어느 방향으로향할까?

12

1

12( )

i

e eV C k k

R R

( ) 0E C

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