Petunjuk Praktikum Metnum - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... ·...
Transcript of Petunjuk Praktikum Metnum - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... ·...
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 1
PETUNJUK PRAKTIKUM
METODE NUMERIK (MT318)
Oleh :
Dewi Rachmatin, S.Si., M.Si.
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
2009
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 2
PRAKTIKUM1
Metode Grafik Tunggal dan Metode Grafik Ganda
Aturan Tanda Descartes
Metode Tabulasi
1. MINGGU KE : 1
2. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer
3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win
Visual Basic
4. TUJUAN
Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat membuat estimasi
pendahuluan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan
penentuan akar persamaan tak linier, seperti menentukan selang akar dengan
metode grafik tunggal, metode grafik ganda, aturan tanda descartes dan metode
tabulasi. Dalam pengerjaannya untuk grafik mahasiswa dibantu dengan software
Maple 7, sedangkan untuk metode tabulasi dapat menggunakan Delphi 7, Turbo
Pascal for Win atau menggunakan Visual Basic.
5. TEORI PENGANTAR
Untuk fungsi-fungsi yang sederhana di mana grafik fungsinya dapat
digambarkan dengan mudah, ada dua metode grafik yang dapat dilakukan untuk
mendapatkan tebakan awal dari akar persamaan 0)( xf , yaitu metode grafik
tunggal dan metode grafik ganda.
Contoh : Tentukan lokasi akar dan tebakan awal untuk akar persamaan fungsi :
096,3 46,2 5,2)( 23 xxxxf .
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 3
Penyelesaian :
Grafik fungsi 96,3 46,2 5,2)( 23 xxxxf .
Dari grafik dapat dilihat, tebakan awal untuk akar persamaan (2.1) dapat
dipilih beberapa titik yang cukup dekat dengan akar persamaan seperti : -2, -1, 0
atau 2. Sedangkan salah satu akar diperoleh dari grafik yaitu x = 1.
Metode grafik ganda digunakan untuk persamaan fungsi 0)( xf yang
penjabaran fungsi )(xf dapat didekomposisi menjadi pengurangan dua buah
fungsi yaitu 0)()()( 21 xfxfxf .
Aturan Tanda Descartes
Untuk menentukan lokasi akar polinom yaitu akar dari persamaan berikut :
0...)( 011
1 axaxaxaxp n
nn
n
ada dua tahap pengerjaan yaitu : tahap pertama penentuan komposisi akar polinom
dengan aturan tanda Descartes dan tahap kedua penentuan batas selang akar.
Untuk menentukan komposisi akar polinom, perhatikan langkah berikut.
Misalkan u adalah banyaknya pergantian tanda koefisien ia dari polinom
)(xp dan np adalah banyaknya akar riil positif, maka berlaku :
(i) np u
(ii) u - np = 0, 2, 4, …
Sedangkan untuk menentukan komposisi akar riil negatif, misalkan v adalah
banyaknya pergantian tanda koefisien ia dari polinom )( xp dan ng adalah
banyaknya akar riil negatif, maka berlaku :
y = f(x)
X
Y
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 4
(i) ng v
(ii) v – ng = 0, 2, 4, …
Penentuan batas selang akar ditentukan oleh aturan berikut :
n
k
nk aamaksr
11
Sehingga selang akar yang dicari adalah [-r,r].
Metode Tabulasi
Untuk fungsi-fungsi yang kompleks atau tidak dengan mudah dapat dibuat
grafiknya dapat digunakan metode tabulasi. Caranya yaitu dengan membuat
tabulasi titik-titik di mana terdapat pergantian tanda pada nilai-nilai dari fungsi f.
Jika pada tabel yang dibuat terdapat suatu selang (a,b) di mana terdapat pergantian
tanda dari )(af ke )(bf , dari + ke – atau sebaliknya maka akar persamaan yang
dicari terdapat pada selang (a,b).
6. LANGKAH KERJA
Penulisan perintah dengan Maple7 untuk menggambar fungsi satu peubah
pada bidang Cartesius :
> plot(f, h, v);
> plot(f, h, v,...);
di mana
f – fungsi yang digambar
h – range horisontal
v – range vertikal
color – warna grafik fungsi
Jika fungsi yang akan digambar ada 2 fungsi, maka lakukan perintah berikut:
> plot([f1, f2], h, v);
Jika fungsi yang akan digambar adalah fungsi implisit, lakukan :
> implicitplot(f,h,v);
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 5
Untuk aturan Descartes, langkah-langkahnya telah dijelaskan pada bagian
sebelumnya, dan metode tabulasi dapat dibuat sesuai algoritma untuk prosedur
metode tabulasi yang telah dijelaskan.
7. TUGAS
Tentukan selang akar untuk masalah penentuan akar persamaan tak linier,
dengan metode yang sesuai, bisa metode grafik tunggal atau metode grafik
ganda, aturan Descartes yang dilanjutkan penentuan batas selang akar
khusus untuk akar polinom, atau bisa metode tabulasi.
1. (a) 0cos xx
(b) 02sin2 xx
(c) 0sin xe x
2. (a) 01 2 xex
(b) 0tan2 xx
(c) 02 2 xex .
Daftar Pustaka :
Atkinson, K. (1985). Elementary Numerical Analysis. New York : John Wiley &
Sons.
Chapra, S. & Canale. (1991). Numerical Methods for Engineers with Personal
Computer Applications. MacGraw-Hill Book Company.
Conte, S. & Boor. (1992). Elementary Numerical Analysis, An Algorithmic
Approach. 3rd Edition. MacGraw-Hills. Inc.
Epperson, J. (2002). Introduction to Numerical Methods and Analysis. New York
John Wiley & Sons.
Mathews, J. (1993). Numerical Methods for Mathematics, Science and
Engineering. 2nd Edition. London : Prentice-Hall Int.
Munir, R. (1997). Metode Numerik untuk Teknik Informatika. Institut Teknologi
Bandung.
Nakamura. S. (1991). Applied Numerical Methods with Software. London:
Prentice-Hall Int.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 6
Purcell, Edwin dan Dale Varberg. (1984). Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid1.
Edisi ke3. Jakarta : Penerbit Erlangga.
Rajaraman, V. (1981). Computer Oriented Numerical Methods. New Delhi :
Prentice-Hall of India.
Ralston, A. (1965). A First Course in Numerical Analysis. McGraw-Hill.
Susila, Nyoman. (1994). Dasar-dasar Metode Numerik. Jakarta : DIKTI.
Walpole, R. & Myers. (1986). Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan
Ilmuwan. Bandung : Penerbit ITB.
Waterloo Maple Inc. (2001). Maple 7 Learning Guide. Canada.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 7
PRAKTIKUM 2
Metode Bagidua dan Metode Posisi Palsu
1. MINGGU KE : 2
2. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer
3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win
Visual Basic
4. TUJUAN
Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan
metode bagidua dan metode posisi palsu untuk menentukan hampiran akar pada
masalah penentuan akar persamaan tak linier, dengan bantuan software yang
dikuasainya.
5. TEORI PENGANTAR
Metode bagidua (bisection method) memulai siklus iterasi dengan
memilih dua tebakan awal yang dekat dengan akar persamaan. Dipilih dua
tebakan awal 0x dan 1x yang cukup dekat dengan akar di mana nilai )( 0xf dan
nilai )( 1xf berlawanan tanda. Pertama kali selang ),( 10 xx dibagidua dan titik
tengahnya dinamakan 2x , sehingga 2/)( 102 xxx .
Jika )( 2xf = 0 maka 2x adalah akar persamaan yang dicari. Bagaimana
jika )( 2xf > 0 ? akar terletak antara 0x dan 2x , dan 1x digantikan oleh 2x .
Selanjutnya akar ditentukan pada selang yang baru, yang panjangnya setengah
dari selang terdahulu. Sekali lagi dihitung )( 2xf pada titik tengah dari selang
yang baru ini. Pada selang yang baru ini )( 2xf < 0 sehingga akar terletak antara
2x dan 1x . Gantikan 0x dengan 2x dan sekali lagi bagidua selang yang baru.
Pengulangan pembagiduaan membuat akar semakin dekat dengan selang
yang dicari dan selang ini dibagidua dalam setiap iterasi.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 8
Metode posisi palsu atau metode regula falsi ini dibuat untuk
memperbaiki metode bagidua yaitu untuk mempercepat kekonvergenan metode
bagidua.
Prosedur metode posisi palsu mulai dengan memilih dua tebakan awal
yaitu 0x dan 1x di mana nilai fungsinya pada kedua tebakan awal ini berbeda
tanda. Hubungkan kedua titik yaitu ))(,( 00 xfx dan ))(,( 11 xfx dengan garis lurus,
dan tentukan titik perpotongan garis ini dengan sumbu X. Sebut absis titik
perpotongan dengan 2x .
Jika )( 2xf dan )( 0xf berlawanan tanda maka gantikan 1x dengan 2x .
Kemudian gambarkan sebuah garis lurus yang menghubungkan titik
))(,( 00 xfx dengan ))(,( 22 xfx untuk menentukan titik perpotongan yang baru.
Tetapi jika )( 2xf dan )( 0xf tidak berbeda tanda maka gantikan 0x dengan 2x ,
kemudian tentukan titik perpotongan yang baru.
Misalkan tan merupakan kemiringan garis yang menghubungkan
))(,( 00 xfx dan ))(,( 11 xfx sehingga diperoleh persamaan berikut.
tan = 01
01 )()(xx
xfxf
.
Dari sifat sudut-sudut sehadap diperoleh :
tan = 21
21 )()(xx
xfxf
atau tan = 21
1 )(xx
xf
.
Sehingga diperoleh : )()(
)()(
01
01102 xfxf
xfxxfxx
.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 9
6. LANGKAH KERJA
Untuk menentukan hampiran akar dengan metode bagidua dan metode
posisi palsu ikuti algoritma-algoritma berikut :
Algoritma Metode Bagidua :
Masukan : )(xf , 0x , 1x ,
Keluaran : akar ( 2x )
Langkah :
1 2/102 xxx
2 Jika 0)().( 10 xfxf maka cetak ‘proses gagal, tebakan awal
tidak cocok’. Selesai
3 Jika 0)().( 20 xfxf maka 21 xx , jika tidak 20 xx
4 Jika 101 / xxx maka akar = 2x . Selesai
5 Ulangi kembali langkah 1
Algoritma Metode Posisi Palsu :
Masukan : )(xf , 0x , 1x ,
Keluaran : akar ( 2x )
Langkah :
1 )( ; )( 1100 xfyxfy
2 0101102 / yyyxyxx
3 )( 22 xfy
4 Jika 2y maka akar = 2x . Selesai
5 Jika 0. 02 yy maka 21 xx , 21 yy ,
jika tidak 20 xx , 20 yy .
6 Ulangi langkah 2.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 10
7. TUGAS
1. Tentukan hampiran akar persamaan berikut dengan menerapkan metode bagidua dan metode posisi palsu.
(a) xe x ln ; 0x =1, 1x =2
(b) 3ln2 xx ; 0x =1, 1x =2
(c) 24 xxe x ; 0x = 0, 1x =1
(d) 01cos xx ; 0x =0,8 , 1x =1,6
2. Tentukan dua akar dari persamaan berikut : 0cossin)( xxxxf
sampai tiga digit keberartian menggunakan : (a) Metode bagidua
(b) Metode posisi palsu
Daftar Pustaka :
Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 11
PRAKTIKUM 3
METODE NEWTON-RAPHSON
METODE SECANT
1. MINGGU KE : 3
2. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer
3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win
Visual Basic
4. TUJUAN
Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan
metode N-R dan metode Secant untuk menentukan hampiran akar pada masalah
penentuan akar persamaan tak linier, dengan bantuan software yang dikuasainya.
5. TEORI PENGANTAR
Prosedur metode Newton-Raphson (metode N-R) mulai dari sebarang titik 0x yang cukup dekat dengan akar.
Langkah 1 : Tentukan kemiringan dari fungsi )(xf pada 0xx .
Namakan )( 0xf .
Langkah 2 : Tentukan hampiran akar yaitu 1x dengan menggunakan persamaan
10
00
)()(
xxxfxf
atau )()(
0
001 xf
xfxx
.
Secara umum untuk memperoleh hampiran akar ke (i+1)
digunakan rumus : )()(
1i
iii xf
xfxx
.
Langkah 3 : Hentikan iterasi bila dua hampiran akar yang berurutan cukup dekat.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 12
Metode secant menghampiri turunan pertama fungsi ( )f x pada masalah
penentuan hampiran akar persamaan ( ) 0f x , dengan :
1
1)()()(
ii
iii xx
xfxfxf
di mana ix dan 1ix adalah dua hampiran akar untuk iterasi ke-i dan iterasi ke i-1.
Nilai hampiran akar pada iterasi ke i+1 diperoleh dari dua nilai hampiran
akar sebelumnya yaitu 1ix dan ix yang diterapkan pada persamaan tersebut :
)()(
)()(
1
111
ii
iiiii xfxf
xfxxfxx
dengan 1ix adalah absis titik perpotongan garis lurus yang menghubungkan dua
titik yaitu ))(,( 11 ii xfx dengan ))(,( ii xfx .
6. LANGKAH KERJA
Untuk menentukan hampiran akar dengan metode N-R dan metode Secant
ikuti algoritma-algoritma berikut :
Algoritma Metode Newton-Raphson :
Masukan : )(xf , )(xf , 0x , delta, , n
Keluaran : akar ( 1x )
Langkah : 1 Iterasi = 1
2 Jika 0f delta maka cetak kemiringan terlalu kecil. Selesai.
3 0001 / ffxx
4 Jika 101 / xxx maka cetak akar = 1x . Selesai
5 10 xx
6 Iterasi = Iterasi + 1 7 Jika Iterasi < n, kembali ke langkah 2
8 Proses belum konvergen. Selesai.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 13
Algoritma Secant :
Masukan : )(xf , 0x , 1x , , delta, n
Keluaran : akar ( 2x )
Langkah : 1 Iterasi = 1
2 Jika 01 ff delta maka cetak ’ 01 ff terlalukecil’.Selesai
3 0101102 / fffxfxx
4 Jika 2f e maka akar = 2x . Selesai
5 10 ff
6 21 ff
7 10 xx
8 21 xx
9 Iterasi = iterasi + 1
10 Jika Iterasi < n, kembali ke langkah 3
11 Proses belum konvergen. Selesai
7. TUGAS
Tentukan hampiran akar persamaan berikut dengan menerapkan metode N-R dan metode Secant.
1. xe x ln 0x =1.
2. 3ln2 xx ; 0x =1.
3. 24 xxe x ; 0x = 0.
4. 01cos xx ; 0x = 0,8.
Daftar Pustaka :
Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 14
PRAKTIKUM 4
METODE ITERASI TITIK TETAP
1. MINGGU KE : 4
2. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer
3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win
Visual Basic
4. TUJUAN
Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan
metode iterasi titik tetap untuk menentukan hampiran akar pada masalah
penentuan akar persamaan tak linier, dengan bantuan software yang dikuasainya.
5. TEORI PENGANTAR
Pada metode iterasi titik tetap, persamaan 0)( xf secara aljabar dapat
ditransformasi menjadi bentuk )(xgx . Sehingga prosedur iterasi yang
berpadanan dengan bentuk tersebut adalah )(1 nn xgx .
Contoh :
Tentukan akar persamaan berikut : 082)( 2 xxxf .
Penyelesaian :
Persamaan (2.10) dapat ditulis : )(1 xgx = 421 2 x .
Sehingga )(11 nn xgx = 421 2 nx . Persamaan di atas juga dapat ditulis sebagai :
x
xgx 82)(2
82)(3 xxgx
dan 82)(4 xxgx
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 15
Kekonvergenan metode ini bergantung pada kenyataan bahwa di sekitar
akar, kurva )(xg kurang curamnya daripada garis lurus y = x atau kondisi
1)( xg merupakan syarat cukup untuk kekonvergenan.
6. LANGKAH KERJA
Algoritma Metode Iterasi Titik Tetap :
Masukan : )(xg , 0x , , n
Keluaran : akar ( 1x )
Langkah : 1 Iterasi = 1
2 )( 01 xgx
3 Jika 101 / xxx maka akar = 1x . Selesai
4 10 xx
5 Iterasi = iterasi + 1
6 Jika Iterasi < n, kembali ke langkah 2
7 Proses belum konvergen. Selesai
7. TUGAS
Tentukan hampiran akar persamaan berikut dengan menerapkan metode Iterasi Titik Tetap.
1. xe x ln 0x =1.
2. 3ln2 xx ; 0x =1.
3. 24 xxe x ; 0x = 0.
4. 01cos xx ; 0x = 0,8.
Daftar Pustaka :
Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 16
PRAKTIKUM 5
INTERPOLASI BEDA MAJU NEWTON
INTERPOLASI BEDA MUNDUR NEWTON
1. MINGGU KE : 5
2. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer
3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win
Visual Basic
4. TUJUAN
Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menentukan
hampiran nilai fungsi dari argumen-argumen yang ditabelkan dengan interpolasi
beda maju dan beda mundur Newton.
5. TEORI PENGANTAR
Andaikan diberikan suatu tabel nilai-nilai numeris )(jf jxf dari suatu
fungsi f pada titik - titik yang berjarak sama: x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h,
x3 = x0 + 3h, ..., dengan h > 0 tetap, dengan )( jxf mungkin berupa hasil suatu
rumus atau mungkin diperoleh secara empiris dari percobaan. Andaikan pula
.,..,f,f,f,f,f 21012 adalah nilai-nilai dari )( jxf masing-masing untuk
...,x,x,x,x,x 21012 .Maka .,..),ff(),ff(),ff(),ff( 12011021 disebut
beda-beda dari )(jf jxf .
Beda maju pertama dinotasikan dengan :
mfmfmf 1 .
Beda dari beda-beda maju pertama disebut beda-beda maju kedua dan
dinotasikan:
mfmfmf 12 .
Dengan cara yang sama dapat dinotasikan beda-beda maju ketiga, keempat, dan
seterusnya. Bentuk umumnya:
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 17
n+1fm = nfm+1 - nfm untuk n = 0, 1, 2, ...
Beda - beda Mundur (Backward Difference)
Notasi yang dipakai dalam beda-beda mundur adalah sebagai berikut:
f 0 = f 0 - f –1 ; f –1 = f –1 - f 0 ;
dan seterusnya, disebut beda-beda mundur pertama. Secara umum ditulis:
f m = f m - f m-1 .
Beda dari beda-beda mundur pertama disebut beda-beda mundur kedua dan
dinotasikan:
2 f m = f m - f m-1 .
Dengan cara yang sama dapat dinotasikan beda-beda mundur ketiga, keempat, dan seterusnya. Bentuk umumnya:
n+1fm = nfm - nfm-1 untuk n = 0, 1, 2, ...
Bentuk interpolasi yang paling sederhana adalah menghubungkan dua titik
data dengan garis lurus. Teknik ini yang dinamakan interpolasi linier :
P1(x) = f0 + r. f0 ; dengan x = x0 + rh , r = hxx 0 , 0 r n.
Jika tersedia tiga titik data (x0,f0), (x1,f1), dan (x2,f2), lebih baik digunakan
polinom orde kedua (juga disebut polinom kuadrat atau parabola). Rumus
interpolasi kuadrat dinyatakan :
p2(x) = f0 + r . f0 + 2
)1( rr 2f0 .
Interpolasi kuadrat lebih baik daripada interpolasi linier. Tentu akan lebih
baik lagi bila kita memakai polinom yang derajatnya lebih tinggi lagi. Bila
polinom interpolasi derajat n yang diinginkan, maka jumlah titik yang dibutuhkan
harus (n+1) buah.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 18
Polinom interpolasi derajat n diberikan dalam rumus interpolasi beda-maju
Newton :
f(x) Pn(x) = 0s
0 f
srn
s
= f0 + r . f0 + !2
)1( rr 2 f0
+ . . . + !
1) n -(r . . . )1(n
rr n f0
dengan x = x0 + rh , r = hxx 0
, 0 r n.
Suatu rumus yang serupa dengan rumus tadi tetapi melibatkan beda-
mundur adalah rumus interpolasi beda-mundur Newton :
f(x) Pn(x) = f0 + r. f0 + ! 2
)1( rr 2 f0 + . .
+ !
)1( . . . )1( n
nrrr n f0
dengan x = x0 + rh, r = (x – x0)/h , 0 r n.
6. LANGKAH KERJA
Algoritma setiap metode interpolasi pada topik praktikum ini ditugaskan
untuk mahasiswa, dan diserahkan sebelum praktikum 5 dimulai.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 19
7. TUGAS
1. Diberikan data berikut:
x 0 1 2 2,5 3 4
y 1,4 0,6 1,0 0,65 0,6 1,0
Memakai interpolasi Newton f1(x), f2(x), f3(x) dan f4(x), hitung nilai
interpolasi di titik x = 0,75.
2. Taksirlah ln 2 dengan memakai interpolasi kuadrat bila diketahui ln 1 = 0,
ln 4 = 1,3862944 dan ln 6 = 1,7917595.
Daftar Pustaka :
Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 20
PRAKTIKUM 6
INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON
1. MINGGU KE : 6
2. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer
3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win
Visual Basic
4. TUJUAN
Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan
algoritma polinom beda terbagi Newton untuk menyelesaikan masalah
penghampiran nilai fungsi.
5. TEORI PENGANTAR
Sebelum sampai kepada formula interpolasi beda terbagi Newton,
didefinisikan terlebih dahulu beda-beda terbagi, yang secara iteratif dinyatakan
oleh hubungan:
f[x0,x1] = 01
01
x-x)x(f)x(f
f[x0,x1,x2] = 02
1021
x-x]x,x[f]x,x[f
. . . . . . . . . . . . . . .
f[x0,x1, . . . ,xn] = 0
11021
x-n
nn
x]x,...,x,x[f]x,...,x,x[f …(3.21)
Formula Interpolasi Ordo 1
Formula ini diperoleh dengan cara yang sama seperti formula interpolasi
linier.
P1(x) = f(x0) + )0()1(0x-1
0 xfxfx
xx
P1(x) = f(x0) + (x - x0)
0x-1
)0()1(x
xfxf
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 21
P1(x) = f(x0) + (x - x0).f[x0,x1]
Jadi diperoleh:
P1(x) = f0 + (x - x0). f[x0,x1]
Formula Interpolasi Ordo 2
Secara umum interpolasi ordo 2 dinyatakan dengan:
f(x) P2(x) = a0 + a1x + a2x2. Persamaan tersebut ekuivalen dengan
polinomial P2(x) = b0 + b1(x - x0) + b2(x - x0) (x - x1).
P2(x2) = f0 + (x - x0) . f[x0,x1] + (x - x0)(x - x1) . f[x0,x1,x2]
Secara umum sampai dengan ordo n, kita peroleh formula interpolasi beda
terbagi Newton sebagai berikut:
f(x) = Pn(x) = f0 + (x - x0) . f[x0,x1]
+ (x - x0)(x - x1) . f[x0,x1,x2] + . . . . +
(x - x0)(x - x1) . . . (x - xn-1) . f[x0,x1, . . ., xn]
6. LANGKAH KERJA
Algoritma Polinom Beda Terbagi Newton
Masukan : n, xi, f(xi) dengan i = 0, 1, 2, . . . , n. x ,
Keluaran : f(x)
Langkah-langkah:
1 b0 f(x0) = f0
2 pbagi b0
3 faktor 1
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 22
4 Untuk i = 1, 2, . . . , n, lakukan
5 bi f(xi)
6 Untuk j = i-1, i-2, . . . , 0 , lakukan
7 bj jxix
jbjb
1
8 faktor faktor . (x - xi-1)
9 suku b0 . faktor
10 pbagi pbagi + suku
11 Jika suku , selesai.
7. TUGAS
Diketahui ln 1 = 0, ln 4 = 1,3862944 dan ln 6 = 1,7917595 dan
ln 5 = 1,6094379.
Taksirlah ln 2 dengan memakai polinom interpolasi beda terbagi Newton
ordo ketiga.
Daftar Pustaka :
Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 23
PRAKTIKUM 7
INTERPOLASI LAGRANGE
1. MINGGU KE : 7
2. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer
3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win
Visual Basic
4. TUJUAN
Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan
interpolasi Lagrange untuk menyelesaikan masalah penghampiran nilai fungsi.
5. TEORI PENGANTAR
Polinom Interpolasi Lagrange
Polinom interpolasi Lagrange hanyalah perumusan ulang dari polinom
Newton yang menghindari komputasi beda-beda terbagi. Dengan demikian,
polinom interpolasi Lagrange dapat diturunkan langsung dari polinom interpolasi
Newton tersebut.
Polinom Interpolasi Lagrange Ordo 1
Perhatikan kembali formula polinom interpolasi Newton ordo 1:
f(x) P1(x) = f0 + (x - x0) . f[x0,x1]
Untuk menurunkan bentuk Lagrange, beda-beda terbagi dirumuskan ulang
f[x0,x1] = 10
001
1xx
fxx
f
Bentuk terakhir ini disubstitusikan ke persamaan pertama sehingga diperoleh:
P1(x) =
1
0 i
j x
x-x
ij0j
1
ii
j
f.x
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 24
Polinom Interpolasi Lagrange Ordo 2
Formula polinom interpolasi Newton ordo 2 adalah:
P2(x) = f0 + (x - x0) . f[x0,x1] + (x - x0) (x - x1) . f[x0,x1,x2]
Beda-beda terbagi ordo 2 dirumuskan ulang
f[x0,x1,x2] = )21)(01(
1)20)(10(
0xxxx
fxxxx
f
+ )12)(02(
2xxxx
f
Bentuk terakhir ini disubstitusikan ke formula interpolasi Newton ordo 2
sehingga diperoleh:
P2(x) =
2
0 i
j x
x-x
ij0j
2
ii
j
f.x
Secara umum sampai dengan ordo n, kita peroleh formula interpolasi
Lagrange sebagai berikut :
Pn(x) =
n
iii
n
ii
j
f).x(Lf.x 00 i
j x
x-x
ij0j
n .
6. LANGKAH KERJA
Algoritma Polinom Interpolasi Lagrange
Masukan : n, xi, f(xi) dengan i = 0, 1, 2, . . . , n
Keluaran : plag
Langkah-langkah:
1 plag 0
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 25
2 Untuk i = 0, 1, 2, . . . , n lakukan:
3 faktor 1
4 Untuk j = 0, 1, 2, . . . , n
5 Jika j i , faktor faktor . jxixjxx
6 plag plag + faktor . f(xi)
7. TUGAS
1. Diberikan data berikut:
x 1 2 3 5 6
f(
x)
4,75 4 5,25 19,75 36
Hitung f(3,5) dengan memakai polinom Lagrange ordo 1 sampai ordo 3.
2. Diberikan titik-titik simpul x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3, dan x4 = 5. Memakai
interpolasi polinom Lagrange tentukan interpolasi di titik x = 4 dan x =
3,5. Andaikan f(x) = 2 Sin (x/6).
Daftar Pustaka :
Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 26
PRAKTIKUM 8
METODE ELIMINASI GAUSS DAN PIVOTING
PADA SISTEM PERSAMAAN LINIER
1. MINGGU KE : 8
2. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer
3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win
Visual Basic
4. TUJUAN
Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan
metode eliminasi Gauss dan Pivoting untuk menyelesaikan masalah-masalah pada
sistem persamaan linier.
5. TEORI PENGANTAR
Bentuk-bentuk sistem persamaan linier sangat banyak muncul dalam
aplikasi, misalnya dalam jaringan listrik, sehingga perlu dicari metode untuk
menyelesaikannya. Pada bagian ini akan dibicarakan mengenai sistem persamaan
linier saja yang dalam penyajiannya akan menggunakan bentuk matriks.
Pada prinsipnya untuk menyelesaikan sistem persamaan linier ada dua
macam, yaitu:
1) Cara langsung, antara lain dengan eleminasi Gauss dan dekomposisi LU.
2) Cara tidak langsung (iteratif), antara lain dengan metode Jacobi dan metode
Gauss-Seidel.
Sistem persamaan linier yang mempunyai matriks koefisien berupa
matriks segitiga atas disebut sistem persamaan linier segitiga atas. Sistem
persamaan linier seperti itu dapat dituliskan dalam bentuk :
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 27
nn
nnn,nn
nn
nn
cxcxax
cxaxacxaxaxa
a a
nn
1111-n1,-n
22222
11212111
Dengan asumsi elemen-elemen diagonal tak nol, akk 0 untuk k =
1, 2, ... , n, maka terdapat suatu solusi tunggal dari sistem persamaan linier di
atas. Kondisi akk 0 ini sangat penting karena persamaan tersebut melibatkan
pembagian oleh akk. Jika persyaratan ini tidak terpenuhi maka solusinya tidak ada
atau terdapat takhingga banyaknya solusi. Untuk mengatasi hal tersebut dilakukan
pengaturan kembali susunan sistem persamaannya sedemikian sehingga elemen
diagonal yang dipakai sebagai tumpuan dipilih tidak sama dengan nol. Cara
tersebut sering disebut eliminasi dengan pivoting.
Penyelesaian sistem persamaan linier segitiga atas mudah dicari dengan
mempergunakan substitusi mundur (backward substitution). Proses inilah yang
disebut eliminasi Gauss. Pada eliminasi Gauss, bilangan akk pada posisi (k,k)
yang dipakai untuk mengeliminasi xk dalam baris-baris k+1, k+2, ..., n
dinamakan elemen tumpuan (pivot) ke-k, dan k disebut baris tumpuan.
Metode eliminasi Gauss terdiri dari 3 macam, yaitu:
1) Eliminasi Gauss naif (= apa adanya, tidak mempedulikan nilai pivot).
2) Eliminasi Gauss pivoting parsial.
3) Elimnasi Gauss pivoting parsial terskala.
Sistem persamaan linier yang mempunyai matriks koefisien berupa
matriks segitiga bawah disebut sistem persamaan linier segitiga bawah. Sistem
persamaan linier seperti itu dapat dituliskan dalam bentuk:
nnnnnn cxa
cc
xa
xa
xa
xaxa
2
1
22
222
11
121
111
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 28
Metode Eliminasi Gauss Naif
Eliminasi Gauss naif termasuk hitungan langsung sehingga galatnya tidak
dapat diatur (perambatan galat sulit dihindari). Selain itu juga, elemen tumpuan
yang nol sulit dihindari. Untuk itulah diperbaiki dengan strategi pivoting.
Jika akk = 0, perlu mencari baris r, dengan ark 0 dan r > k, kemudian
mempertukarkan baris k dengan baris r sehingga diperoleh elemen tumpuan
tak nol.
6. LANGKAH KERJA
Algoritma Substitusi Mundur untuk Matriks Segitiga Atas Masukan : n, aij, ci, i,j = 1, 2, ..., n.
Keluaran : xi , i = 1, 2, ..., n.
Langkah-langkah:
Algoritma Substitusi Maju untuk Matriks Segitiga Bawah ditugaskan kepada
mahasiswa, dan harus dibawa ketika akan melaksanakan praktikum kedelapan.
xn = cn/ann
Untuk k = n-1, n-2, ..., 1 lakukan:
jumlah 0
Untuk j = k+1, k+2, ..., n lakukan:
jumlah jumlah + akj.xj
xk ( Ck – jumlah ) / akk
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 29
Algoritma Eliminasi Gauss Naif
Masukan : n, a(i,j), i = 1, 2, . . ., n
j = 1, 2, . . ., n+1
Keluaran : x(i), i = 1, 2, . . ., n.
Langkah-langkah:
1. Untuk k = 1, 2, . . ., n-1, lakukan:
Jika akk 0 maka ke langkah 7
Jika tidak, maka baris k
2. Untuk i = k +1, k+2, . . ., n, lakukan:
Jika aik 0, maka ke langkah 4
Jika tidak, ke langkah 3
3. Cetak “Matriks Singular”, selesai
4. Baris i
5. Untuk i = k, k + 1, . . ., n+1, lakukan:
D aki
aki abaris, i
abaris,i D
6. Untuk i = k+1, k+2, . . ., n, lakukan:
P aik/akk
Untuk j = k+1, k+2, . . ., n+1, lakukan:
aij aij - P.akj
aik 0
8. Jika ann = 0, maka matriks singular. Selesai.
9. xn an,n+1/ann
10. Untuk k = n-1, n-2, . . ., 1, lakukan:
jumlah 0
Untuk j = k+1, k+2, . . ., n, lakukan:
jumlah jumlah + akj * xj
xk (ak,n+1 - jumlah) /akk
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 30
7. TUGAS
1. Selesaikan SPL segitiga atas berikut
x1 + x2 + 2x3 - x4 = 2
2x2 - x3 + 2x4 = 9
3x3 + x4 = 6
-2x4 = -6
2. Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss naif dan eliminasi
Gauss pivoting parsial.
a. x1 - 2x2 + x3 = 0
2x1 + x2 + x3 = 9
3x1 - x2 + 3x3 = 10
b. x1 + 4x2 + 7x3 - 2x4 = 10
4x1 + 8x2 + 4x3 = 8
x1 + 5x2 + 4x3 - 3x4 = - 4
x1 + 3x2 - 2x4 = 10
Daftar Pustaka :
Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 31
PRAKTIKUM 9
ITERASI JACOBI
ITERASI GAUSS-SEIDEL
1. MINGGU KE : 9
2. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer
3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win
Visual Basic
4. TUJUAN
Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menggunakan
iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel untuk menyelesaikan masalah sistem
persamaan linier.
5. TEORI PENGANTAR
Iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel merupakan metode penyelesaian
SPL secara tak langsung. Dalam metode eliminasi Gauss melibatkan banyak
galat pembulatan yang dapat menyebabkan solusi yang diperoleh jauh dari solusi
sebenarnya. Dengan kedua metode iterasi ini galat pembulatan dapat diperkecil,
karena iterasi dapat diteruskan sampai solusinya seteliti mungkin, sesuai dengan
batas galat yang diinginkan.
SPL AX = C dapat diselesaikan dengan metode ini sehingga konvergen,
apabila matriks koefisien A memenuhi syarat cukup yaitu dominan secara
diagonal:
n
ij,jijii aa
1 , untuk i = 1, 2, 3, . . . , n.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 32
Pandang SPL:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
dengan matriks koefisiennya dominan secara diagonal. Untuk mencari hampiran
solusinya disarankan bentuk-bentuk iteratif berikut:
x1 = 11
)1313212(1a
nxnaxaxab
x2 = 22
)2323121(2a
nxnaxaxab
xn = nn
nn,nnnn
a)xaxaxa(b 112211
Misalkan diberikan nilai awal (x1,x2, . . ., xn), bentuk umum proses
iteratif Jacobi adalah
,....,,kdann,...,,iuntuka
xab
xii
n
ijj
kjiji
ki 210 21
11
Sedangkan bentuk umum proses iteratif Gauss-Seidel adalah
iia
n
ij
kjxija
i
j
kjxijaib
kix
1
1
1
1
1 untuk i = 1, 2, . . ., n dan k = 0, 1, 2, . .
6. LANGKAH KERJA
Algoritma iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel ditugaskan kepada
mahasiswa dan wajib diserahkan sebelum praktikum kesembilan dilaksanakan.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 33
7. TUGAS
Carilah hampiran akar SPL berikut sampai iterasi ke 3 dengan iterasi
Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel. Mulailah dengan nilai awal (x,y,z) = (0,0,0)
sehingga konvergen ke penyelesaiannya.
1. 5x - y + z = 10
2x + 8y - z = 11
-x + y + 4z = 3
2. x1 + x2 + 3x3 = 10
3x1 - x2 + x3 = -2
x1 + 4x2 - x3 = 4
Daftar Pustaka :
Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 34
PRAKTIKUM 10
PENGHAMPIRAN FUNGSI DENGAN
METODE KUADRAT TERKECIL
(REGRESI LINIER)
1. MINGGU KE : 10
2. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer
3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win
Visual Basic
4. TUJUAN
Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menggunakan
metode kuadrat terkecil untuk menghampiri nilai fungsi dengan model yang
cocok.
5. TEORI PENGANTAR
Pada praktikum sebelumnya telah dipelajari teknik interpolasi untuk
memperkirakan nilai sebuah fungsi untuk suatu argumen yang bukan anggota dari
argumen-argumen yang ditabulasikan. Diasumsikan bahwa nilai-nilai yang
ditabulasikan tidak mempunyai galat atau kesalahan. Jika nilai-nilai pada tabel
diperoleh sebagai hasil pengamatan, nilai-nilai itu akan mempunyai galat hasil
pengamatan. Galat hasil pengamatan ini adalah kuantitas yang acak dan dapat
digambarkan hanya secara statistika saja. Galat-galat ini akan bervariasi atas
sebuah rentangan dan beberapa galat kemungkinan cukup besar. Pada kasus
seperti ini dapat dicocokkan sebuah hampiran kurva dengan tujuan memperoleh
sebuah kurva yang secara statistika terbaik atau yang paling cocok.
Andaikan 1x , 2x ,…, nx adalah nilai-nilai dari sebuah peubah bebas X dan
1y , 2y ,…, ny adalah nilai-nilai dari peubah tak bebas (terikat) Y yang bersesuaian
dengan X. Misalkan )(ˆˆ xfy adalah nilai hampiran atau taksiran untuk sebuah
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 35
fungsi f . Galat antara y nilai-nilai hampiran untuk fungsi f dengan y nilai-
nilai sebenarnya yang ditabulasikan adalah
ˆˆ ( )i i i i id y y y f x
Jika suatu data yang diplot mengumpul di sekitar sebuah garis lurus
sehingga dapat dikatakan bahwa sebuah garis lurus menggambarkan situasi yang
cukup masuk akal, sehingga dapat dinyatakan dengan persamaan :
xaay 10ˆ
yang menggambarkan sebuah garis lurus. Jumlah kuadrat simpangannya atau
jumlah kuadrat galatnya adalah :
S = 2
110
2
1
ˆ
n
iii
n
iii xaayyy .
Kita akan mendiskusikan sebuah metode penghitungan 0a dan 1a pada
persamaan linier tadi dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat antara nilai-
nilai yang diukur dan yang diberikan pada persamaan tersebut. Maka untuk
meminimumkan S, diambil turunan parsial dari S terhadap 0a dan 1a kemudian
samakan dengan nol, hasilnya diperoleh persamaan yang disebut persamaan
normal.
Metode kuadrat terkecil ini dapat diterapkan pada kasus-kasus yang lain
seperti : fungsi polinom derajat 2 ” 2210ˆ xaxaay ”, fungsi eksponensial
” bxeay ˆ ”, fungsi hiperbol ”bxa
y
1ˆ “, kurva geometri ” cxay b ˆ ” dan
fungsi trigonometri ” sin ˆ xAy ”.
6. LANGKAH KERJA
Algoritma untuk Regresi Linear
Masukan : n, ),( ii yx untuk i=1,2…,n
Keluaran : 0a dan 1a
Langkah :
1 Jumlah xsq = 0
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 36
2 Jumlah y = 0
3 Jumlah xy = 0
4 Untuk i=1,2…,n lakukan :
5 baca ix , iy
6 jumlah x = jumlah x + x
7 jumlah xsq = jumlah xsq + 2x
8 jumlah y = jumlah y + y
9 jumlah xy = jumlah xy + x . y
10 denom = n . jumlah xsq – jumlah x . jumlah x
11 0a = (jumlah y . jumlah xsq – jumlah x .jumlah xy )/denom
12 1a = (n . jumlah xy – jumlah x . jumlah y )/denom
13 cetak 0a , 1a . Selesai.
7. TUGAS
1. Sebuah percobaan memberikan nilai-nilai pada tabel berikut untuk peubah
tak bebas y untuk himpunan nilai-nilai x yang diberikan. Lakukan
pencocokan kuadrat terkecil yang sesuai untuk data berikut.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 5,5 7,0 9,6 11,5 12,6 14,4 17,6 19,5 20,5
2. Untuk data pada tabel berikut, plot y vs x . Dari plot tersebut tebak
bentuk kurva yang cocok. Gunakan metode kuadrat terkecil untuk
mencocokkan kurva. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 7,6 13,2 27,4 33,0 62,5 86,4 115,1 147,0 182,2
Daftar Pustaka :
Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 37
PRAKTIKUM 11
INTEGRASI NUMERIK
(ATURAN KOMPOSISI TRAPESIUM)
1. MINGGU KE : 11
2. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer
3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win
Visual Basic
4. TUJUAN
Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan aturan
komposisi trapesium untuk menyelesaikan masalah integrasi numerik.
5. TEORI PENGANTAR
Mengevaluasi suatu integral tertentu I = b
a
dx)x(f untuk f(x) kontinu
dalam selang [a,b], dengan metode analitik biasanya sulit bahkan ada yang tak
dapat dievaluasi. Walaupun fungsi tersebut merupakan bentuk analitik yang relatif
sederhana. Mengatasi persoalan ini dan persoalan integrasi yang lebih umum
yang hanya mempunyai beberapa nilai dari f(x) (dengan argumen x = xi, i =
0, 1, 2, ..., n) dibutuhkan beberapa pendekatan. Pilihannya adalah mencari sebuah
fungsi, misalnya g(x) yang sesuai untuk mengatasi kedua persoalan yaitu
merupakan pendekatan dari f(x) yang mudah untuk diintegralkan secara
analitik. Kemudian I = b
a
dx)x(f dapat diperkirakan sebagai Ih = b
a
dx)x(g .
Aturan Trapesium untuk menghampiri I adalah :
)b(f)a(fhdx)x(fb
a
2
dengan h = b - a.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 38
Jika selang [a,b] dibagi menjadi n selang bagian dengan lebar selang :
h = n
ab . Berdasarkan aturan trapesium diperoleh aturan komposisi trapesium
sebagai berikut :
1
12
2
n
ii
b
a
)x(f)b(f)a(fhdx)x(f .
6. LANGKAH KERJA
Algoritma untuk Komposisi Trapesium ditugaskan kepada mahasiswa, dan
harus diserahkan ketika akan melaksanakan praktikum sebelas.
7. TUGAS
Diketahui f(x) = x2 cos x2, 1,5 x 2,5.
Hitunglah 2,5
1,5
( ) f x dx aturan komposisi trapesium, jika selang [1,5 ; 2,5]
dibagi menjadi 4 selang bagian .
Daftar Pustaka :
Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 39
PRAKTIKUM 12
INTEGRASI NUMERIK
(ATURAN KOMPOSISI SIMPSON)
1. MINGGU KE : 12
2. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer
3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win
Visual Basic
4. TUJUAN
Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan aturan
komposisi Simpson untuk menyelesaikan masalah integrasi numerik.
5. TEORI PENGANTAR
Integral numerik yang lain yaitu aturan Simpson. Aturan Simpson mirip
dengan aturan trapesium yaitu keduanya membagi daerah yang akan diintegralkan
dalam interval bagian yang kecil dan kemudian menjumlahkan semua integral dari
daerah yang dibatasi oleh sumbu yang kecil tersebut. Hanya dalam aturan
Simpson pendekatan fungsi f(x) diperoleh dari interpolasi polinomial derajat dua
(parabola) yang melalui tiga ordinat dari dua selang yang berdampingan. Jadi
aturan Simpson akan tepat untuk fungsi derajat dua atau lebih kecil.
Telah dikatakan bahwa, untuk memperoleh hampiran nilai integrasi yang
lebih teliti, digunakan polinom interpolasi berderajat lebih tinggi. Apabila fungsi
f(x) dihampiri dengan polinom interpolasi derajat 2, dibutuhkan 3 buah titik data
misalkan (a, f(a)), (c,f(c)) dan (b,f(b)), di mana c = .2
ba
Aturan Simpson untuk menghampiri I adalah
21 4 31 fffhI o .
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 40
Jika selang [a,b] dipartisi menjadi (M+1) titik dengan M genap, dengan
lebar selang bagiannya h =
Mab .
xo=a h x1 h x2 h x3 h x4 ... xM-2 h xM-1 h xM= b Berdasarkan aturan Simpson diperoleh
b
a
x
a
x
x
b
xM
dx)fxdx)x(fdx)x(fdx)x(fI2 4
2 2
…
1
21
2
22
2 4 34
M
ii
M
ii
ii )x(f)x(f)b(f)a(fI
.
6. LANGKAH KERJA
Algoritma untuk Komposisi Simpson ditugaskan kepada mahasiswa, dan
harus diserahkan ketika akan melaksanakan praktikum sebelas.
7. TUGAS
Diketahui f(x) = x cos x2, 1,5 x 2,5 .
Hitunglah 2,5
1,5
( ) f x dx dengan aturan komposisi Simpson, jika selang
[1,5 ; 2,5] dibagi menjadi 4 selang bagian .
Daftar Pustaka :
Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 41
PRAKTIKUM 13
INTEGRASI NUMERIK
(KUADRATUR GAUSS-LEGENDRE)
1. MINGGU KE : 13
2. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer
3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win
Visual Basic
4. TUJUAN
Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan aturan
kuadratur Gauss-Legendre untuk menyelesaikan masalah integrasi numerik.
5. TEORI PENGANTAR
Kita ingin menghitung luas daerah di bawah kurva Y = f(x) pada –1 x 1
yaitu
1
1
)( dxxfI dengan aturan trapesium.
galat Y Y = f(x) -1 0 1 X
)(f)(f)(f)(fhdx)x(fI 11 112
1
1
dengan h = (1-(-1)) = 2.
Persamaan I f(1) + f(-1) dapat ditulis sebagai I W1f(a) + W2 f(b)
dengan a = -1, b = 1, W1 = W2 = 2h =
22 = 1.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 42
Pendekatan integrasi dengan metode kuadratur Gauss yaitu, menghitung
nilai integrasi numerik cukup diperoleh dengan menghitung nilai fungsi f(x) pada
beberapa titik tertentu. Titik-titik tersebut diatur sedemikian sehingga garis lurus
tersebut menyeimbangkan galat positif dan galat negatif. Luas daerah yang
dihitung sekarang adalah luas daerah di bawah garis lurus yang dinyatakan
sebagai
)x(fW)x(fWdx)x(fI 2211
1
1
dengan W1, W2, x1, dan x2 adalah sembarang nilai. Kita harus memilih W1, W2,
x1, dan x2 sedemikian sehingga galat integrasinya minimum. Persamaan ini
dinamakan persamaan kuadratur Gauss.
)(f)(fdx)x(fI31
31
1
1
Persamaan ini dinamakan metode Gauss-Legendre 2 titik. Dengan metode ini,
menghitung integral f(x) dalam selang [-1, 1] cukup hanya dengan mengevaluasi
fungsi f di x = 1/ 3 dan di x = -1 3 .
6. LANGKAH KERJA
Algoritma untuk kuadratur Gauss-Legendre ditugaskan kepada mahasiswa,
dan harus diserahkan ketika akan melaksanakan praktikum sebelas.
7. TUGAS
Diketahui f(x) = x2 cos x2, 1,5 x 2,5 .
Hitunglah 2,5
1,5
( ) f x dx dengan aturan Gauss-Legendre 4 titik.
Daftar Pustaka :
Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 43
PRAKTIKUM 14
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
(METODE EULER)
1. MINGGU KE : 14
2. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer
3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win
Visual Basic
4. TUJUAN
Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan
metode Euler untuk menyelesaikan penentuan solusi Persamaan Diferensial Biasa.
5. TEORI PENGANTAR
Diberikan PDB orde satu,
y' = dy/dx = f(x,y) dan y(x0) = y0
Misalkan yr = y(xr) adalah hampiran nilai y di xr yang dihitung dengan metode
Euler. Dalam hal ini xr = x0 + rh , r = 0,1,2,...n.
Metoda Euler diturunkan dengan menguraikan y(xr+1) di sekitar xr ke
dalam deret Taylor :
y(xr+1) = y(xr) + !
)xx( rr
11 . y' (xr) +
!)xx( rr
2
21 . y" (xr) + ... …(5.1)
Bila persamaan (*) dipotong sampai suku orde tiga, diperoleh
y(xr+1) y(xr) + !
)xx( rr
11 . y' (xr) +
!)xx( rr
2
21 . y" (t) , xr < t < xr+1 .(5.2)
Tetapi karena y' (xr) = f(xr, yr) dan xr+1 - xr = h, maka persamaan (5.2) dapat
ditulis menjadi
y(xr+1) y(xr) + hf(xr, yr) + 2
2h y" (t) …(5.3)
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 44
Dua suku pertama persamaan (5.3) yaitu
y(xr+1) y(xr) + hf(xr, yr) ; r = 0,1,2,...,n
menyatakan persamaan metode Euler atau metode Euler-Cauchy.
6. LANGKAH KERJA
Algoritma untuk metode Euler ditugaskan kepada mahasiswa, dan harus
diserahkan ketika akan melaksanakan praktikum.
7. TUGAS
1. Diberikan persamaan diferensial berikut: dy/dx = -2xy2 , y(0) = 1.
Lakukan perhitungan numerik untuk menaksir nilai y pada nilai-nilai x
dalam selang [0,5]. Ambil ukuran langkah h = 0,2 dengan
menggunakan metode Euler.
2. Diberikan persamaan diferensial berikut: dy/dx = x2y2 , y(0) = 1.
Tentukan nilai (1,4) dengan metode Euler dengan ukuran langkah :
h = 0,2 .
Daftar Pustaka :
Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama.
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 45
PRAKTIKUM 15
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
(METODE HEUN)
1. MINGGU KE : 15
2. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer
3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win
Visual Basic
4. TUJUAN
Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan
metode Heun untuk menyelesaikan penentuan solusi Persamaan Diferensial Biasa.
5. TEORI PENGANTAR
Metode Euler mempunyai ketelitian yang rendah karena galatnya besar
(sebanding dengan h). Buruknya galat ini dapat dikurangi dengan menggunakan
metode Heun, yang merupakan perbaikan metode Euler.
Pada metode Heun, solusi dari metode Euler dijadikan sebagai solusi
perkiraan awal, selanjutnya, solusi perkiraan awal ini diperbaiki dengan metode
Heun.
Metode Heun diturunkan sebagai berikut :
Pandang PDB orde satu
y' (x) = f(x, y(x))
Integrasikan kedua ruas persamaan dari xr sampai xr+1:
1
))(,(rx
rxdxxyxf =
1)(
rx
rxdxxy = … = yr+1 - yr .
Nyatakan yr+1 di ruas kiri dan suku-suku lainnya di ruas kanan :
yr+1 = yr + 1
))(,( rx
rxdxxyxf
Suku 1
))(,( rx
rxdxxyxf dapat diselesaikan dengan aturan trapesium menjadi
Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 46
1
))(,( rx
rxdxxyxf
2h [f(xr,yr) + f(xr+1, yr+1)]
Substitusikan persamaan ini ke dalam persamaan sebelumnya menghasilkan
persamaan : yr+1= yr + 2h [f(xr,yr) + f(xr+1, yr+1)]
yang merupakan metode Heun, atau metode Euler-Cauchy yang diperbaiki.
6. LANGKAH KERJA
Algoritma untuk metode Heun ditugaskan kepada mahasiswa, dan harus
diserahkan ketika akan melaksanakan praktikum.
7. TUGAS
1. Diberikan persamaan diferensial berikut: dy/dx = -2xy2 , y(0) = 1.
Lakukan perhitungan numerik untuk menaksir nilai y pada nilai-nilai x
dalam selang [0,5]. Ambil ukuran langkah h = 0,2 dengan
menggunakan metode Heun.
2. Diberikan persamaan diferensial berikut: dy/dx = x2y2 , y(0) = 1.
Tentukan nilai (1,4) dengan metode Heun dengan ukuran langkah :
h = 0,2 .
Daftar Pustaka :
Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama.