Perieqìmena - University of Creteph406.edu.physics.uoc.gr/files/kef3.pdf · Kef laio 3 Kinhtik kai...

Perieqìmena

3 Kinhtik kai epitqunsh "swmatidÐou 1

3.1 Eisagwg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 ExÐswsh sunèqeiac kai diat rhsh mzac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.2.1 Makroskopik exÐswsh diat rhshc mzac . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 AsumpÐesto reustì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3.1 Sumpiestìthta kai arijmìc Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Ulik pargwgoc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.5 Epitqunsh tou reustoÔ swmatidÐou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.5.1 Epitqunsh se kulindrikèc kai sfairikèc suntetagmènec. . . . . . . . . . 163.5.2 Periorismoi sto pedÐo taqÔthtac kai epitqunsh gia asumpÐesth ro . . 19

3.6 Diaqwrismìc epitqunshc lìgw strobilismoÔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.7 Astrìbilo PedÐo TaqÔthtac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

i

ii PERIEQ'OMENA

Keflaio 3

Kinhtik kai epitqunsh

"swmatidÐou

3.1 Eisagwg

Sta prohgoÔmena eisgame thn ènnoia tou suneqoÔc mèsou kai tou pedÐou taqÔthtac gia thnperigraf thc ro c enìc reustoÔ. Parìlo pou antikatast same ta toma tou reustoÔ me thmèsh puknìthta, en toÔtoic h ènnoia tou "reustoÔ swmatidÐou eÐnai aparaÐthth gia na gry-oume to antÐstoiqo thc exÐswshc tou NeÔtwna, h opoÐa èqei diatupwjeÐ me thn perigraf Lagrange. An kai eÐnai dÔskolo na d¸soume ènan orismì gia to swmatÐdio, ja mporoÔsamena to jewr soume san thn posìthta tou reustoÔ pou perièqetai ston oriakì ìgko ∆V0 giaton orismì thc mèshc puknìthtac (dec Kef. 2.1). Parakolouj¸ntac thn kÐnhsh autoÔ touideatoÔ swmatidÐou, mporoÔme na d¸soume posotik thn kinhtik thc ro c kai eidikìtera naupologÐsoume thn epitqunsh tou. Gia na dieukolÔnoume to èrgo mac s' autì to stdio, jajewr soume reust me polÔ aplèc idiìthtec, ètsi ¸ste na elaqistopoi soume ta majhmatik.To idanikì ugrì Euler ex orismoÔ èqei mhdenikì ix¸dec kai mhdenik sumpiestìthta. 'Ena ugrìqwrÐc ix¸dec de mporeÐ na sunthr sei diatmhtik tsh kai h pÐesh P eÐnai isotropik se ìla tashmeÐa. Se èna asumpÐesto ugrì h puknìthta ρ den exarttai apì thn tim thc pÐeshc. Autìde shmaÐnei ìti den epitrèpetai na èqoume metabolèc thc puknìthtac lìgw jermokrasÐac. Aut ìmwc èqei amelhtèa epÐdrash sth ro tou ugroÔ, ektìc an eÐnai ikan na dhmiourg sei reÔmatametaforc (dec Kef. 12).

Sth sunèqeia ja prospaj soume, qrhsimopoiìntac touc basikoÔc nìmouc tic mhqanik c, naanaptÔxoume mÐa morf touc h opoÐa ja eÐnai katllhlh gia th melèth twn ugr¸n. Oi nìmoiautoÐ eÐnai h diat rhsh thc mzac pou ja ekfrasteÐ apì thn exÐswsh sunèqeiac, o deÔterocnìmoc tou NeÔtwna pou ja ekfrasteÐ me to je¸rhma thc orm c kai h diat rhsh thc enèrgeiac ( to antÐstoiqo pr¸to jermodunamikì axÐwma) me thn exÐswsh enèrgeiac. Ektìc apì autoÔc toucnìmouc diat rhshc, apaitoÔntai epiplèon orismènec katastatikèc sqèseic pou qarakthrÐzounto ugrì. Sthn perÐptwsh tou idanikoÔ ugroÔ autèc den eÐnai aparaÐthtec, diìti èqoume mhdènix¸dec kai sumpiestìthta. H ènnoia tou idanikoÔ ugroÔ eÐnai qr simh kai ìtan to ix¸dec eÐnaiqamhlì, ¸ste oi dunmeic trib c na eÐnai amelhtèec se sÔgkrish me tic exwterikèc dunmeic, en¸h metabol sthn orm miac mzac ugroÔ lìgw tou ix¸douc eÐnai mikr se sqèsh me thn olik orm tou rèontoc ugroÔ. EÐnai epÐshc kal prosèggish, an endiaferìmaste gia to kÔrio mèrocthc ro c kai ìqi gia tic perioqèc tou ugroÔ pou eÐnai se epaf me ta toiq¸mata. 'Opwc jadoÔme argìtera, se pragmatik ugr se epaf me epifneiec dhmiourgeÐtai èna oriakì str¸ma

ro c, ìpou h sumperifor eÐnai polÔ diaforetik apì aut pou ja doÔme s' autì to keflaio.

1

2 KEF'ALAIO 3. KINHTIK'H KAI EPIT'AQUNSH "SWMATID'IOU

H efarmog thc exÐswshc NeÔtwnoc sth diat rhsh thc orm c enìc reustoÔ swmatidÐouapaiteÐ mÐa diaforik morf . Tautìqrona ìmwc, gia praktikèc efarmogèc èqoume na knoume memeglec posìthtec reustoÔ kai makroskopikèc metr seic. Sthn perÐptwsh aut qreiazìmastetic antÐstoiqec exis¸seic se oloklhrwtik morf . Autì eÐnai qr simo giatÐ kai oi peiramatikècmetr seic gÐnontai me makroskopikèc posìthtec, ìpwc eÐnai o rujmìc ro c ìgkou Q se ènaswl na h olik dÔnamh pou askeÐtai sta toiq¸mata enìc agwgoÔ. Ed¸ ja d¸soume èmfashsth diaforik morf , all ja doÔme kai tic makroskopikèc exis¸seic. Se kje perÐptwshprèpei na eÐmaste prosektikoÐ gia to poiìc eÐnai o ìgkoc tou reustoÔ kai ja qreiasteÐ naxekajarÐsoume en ta ìria tou swmatidÐou eÐnai stajer metabllontai me to qrìno. P.q.an anaferìmaste se makroskopikèc posìthtec kai qrhsimopoi soume thn oloklhrwtik morf twn exis¸sewn diat rhshc, tìte o ìgkoc elègqou eÐnai sthn epilog mac. EpÐshc an oi udro-dunamikèc posìthtec p.q. taqÔthta, pÐesh k.t.l. de metabllontai aisjht (autì mporeÐ naektimhjeÐ posotik) se kpoio ìgko V0, tìte autìc o ìgkoc eÐnai o ìgkoc pou mporoÔme naepilèxoume gia na parakolouj soume th qronik tou exèlixh.

Sto parìn keflaio ja d¸soume thn epitqunsh enìc reustoÔ swmatidÐou, ìtan to pedÐotaqÔthtac eÐnai gnwstì. PrÐn apì autì, ja diatup¸soume thn arq diat rhshc thc mzac, diìtieÐnai krÐsimh gia ton orismì tou swmatidÐou. H diaforik morf thc ja mac d¸sei epÐshc mia polÔapl sqèsh gia asumpÐesta reust, pou bzei shmantikoÔc periorismoÔc sto pedÐo taqÔthtac,lìgw mhdenismoÔ thc apìklishc tou pedÐou. Telik ja diereun soume kai to fusikì nìhma toustrobilismoÔ tou pedÐou taqÔthtac.

3.2 ExÐswsh sunèqeiac kai diat rhsh mzac

JewroÔme èna tuqaÐo (all stajerì sto q¸ro) ìgko V , ex olokl rou sto ugrì, pou perik-leÐetai apì th noht epifneia S. H mza tou ugroÔ pou brÐsketai ston ìgko V (tou opoÐou taìria eÐnai stajer sto q¸ro kai orÐzontai apo thn epifneia S) eÐnai to olokl rwma thc ρd3rìpou d3r ≡ dV eÐnai èna stoiqeÐo ìgkou. To ugrì diafeÔgei kai eisèrqetai mèsw thc epifneiacS kai o rujmìc me ton opoÐo h mza ston ìgko V metablletai eÐnai Ðsoc me to sunolikì rujmìro c mzac dia mèsw thc peribllousac epifneiac S, kajìson den uprqoun eswterikèc phgècmzac1. Ja doÔme pwc aut h makroskopik arq diat rhshc thc mzac ekfrzetai topikse kje shmeÐo tou q¸rou. Gia to skopì autì ja prèpei na metatrèyoume thn oloklhrwtik èkfrash gia thn diat rhsh thc mzac se diaforik exÐswsh. Aut eÐnai mÐa sun jhc diadikasÐapou ja qrhsimopoi soume kai sthn arq diat rhshc thc orm c sto epìmeno keflaio. EkeÐja doÔme kai th genÐkeus thc gia kje fusik posìthta, ìpwc ja ekfrasteÐ apì to je¸rhmaReynoldc (dec pargrafo 4.6).

'Estw d~S eÐnai èna stoiqeÐo epifneiac pnw sthn S (to mètro tou d~S eÐnai to embadìn toustoiqeÐou thc epifneiac kai h kateÔjunsh tou sthn exwterik thc epifneiac kjeto). En ~ueÐnai h taqÔthta ro c sto stoiqeÐo epifneiac, eÐnai fanerì ìti mìno h sunist¸sa tou ~u poueÐnai parllhlh sto dinusma d~S (dhl. kjeth sthn epifneia) metafèrei ugrì ektìc tou ìgkouV . Etsi o ìgkoc tou reustoÔ pou dièrqetai se qrìno dt mèsw thc stoiqei¸douc epifneiac d~SeÐnai ρu⊥dtdS = ρ~u ·d~Sdt, dhl. eÐnai o ìgkoc pou èqei bsh to stoiqeÐo epifneiac dS kai Ôyocu⊥dt (dec Sq. 3.1a). 'Etsi h diafeÔgousa ro mzac (mza an monda qrìnou) eÐnai ρ~u · d~s,me prìshmo pou exarttai apì th gwnÐa, metaxÔ ~u kai d~S, dhl. èqoume ekro an ~u · d~s > 0 kaieisro an ~u · d~s < 0, ìpwc fainetai sto Sq. 3.1b. Prosjètontac thn ekro ( eisro ) pnw se

1Se antÐjeth perÐptwsh, ìpwc p.q. gia qhmikèc antidrseic se sÔnjeta reust, o rujmìc paragwg c mzac

prèpei na lhfjeÐ upìyh.

3.2. EX'ISWSH SUN'EQEIAS KAI DIAT'HRHSH M'AZAS 3

Sq ma 3.1: Sq. 3.1. Stoiqei¸dhc ìgkoc elègqou gia thn exÐswsh sunèqeiac.

ìlh thn epifneia èqoume:

Rujmìc ro c mzac mèsw S :dM

dt= −

∮Sρ~u · d~S, (3.1)

kai to "- uponoeÐ elttwsh thc mzac efìson to olokl rwma eÐnai jetikì. EÐnai dunatìn toapotèlesma thc olokl rwshc na eÐnai arnhtikì, poÔ shmaÐnei ìti èqoume eisro reustoÔ kaiepomènwc aÔxhsh thc mzac ston ìgko V .

IsodÔnama mporoÔme na upologÐsoume to rujmì metabol c thc mzac kat th ro stonstajerì ìgko V . Apì ton orismì thc mzac

M(t) =∫VρdV, (3.2)

èqoume to rujmì metabol c thc, wc

dM

dt=

d

dt

∫VρdV =

∫V

∂ρ

∂tdV, (3.3)

ìpou h parag¸gish wc proc to qrìno pèrase mèsa sto olokl rwma (gia stajerì ìgko2). Sthsunèqeia exis¸nontac to rujmì me ton opoÐo feÔgei mza mèsw thc epifneiac me to rujmì pouelatt¸netai h mza ston ìgko V èqoume:∮

Sρ~u · d~S =

∫V

~∇ · (ρ~u)dV = −∫V

∂ρ

∂tdV , (3.4)

ìpou qrhsimopoi same to je¸rhma Gauss gia na metatrèyoume to epifaneiakì olokl rwmase olokl rwma ìgkou. Ef'ìson h sqèsh isqÔei gia kje ìgko V , prèpei oi oloklhrwtèecposìthtec na eÐnai Ðsec se kje shmeÐo tou q¸rou kai ètsi èqoume thn diaforik exÐswsh:

~∇ · (ρ~u) = −∂ρ∂t

∂ρ

∂t+ ~∇ · (ρ~u) = 0. (3.5)

2Efìson jewr same ìti o ìgkoc V eÐnai stajerìc, den èqoume metabol twn orÐwn tou ìgkou olokl rwshc.

Tautìqrona h parag¸gish tou ρ(~r, t) wc proc to qrìno gÐnetai merik .


H sqèsh aut eÐnai gnwst san exÐswsh sunèqeiac thc mzac kai sthn paroÔsa morf maclèei ìti h topik metabol thc puknìthtac sundèetai me th ro mzac mèsw thc epifneiac isodÔnama me thn apìklish thc ρ~u, dhl. to rujmì ro c mzac mèsw thc epifneiac an mondaìgkou3 (dec (3.4) ).

EÐnai qr simo na jumhjoÔme anlogec sqèseic sunèqeiac ston hlektromagnhtismì (puknìthtafortÐou), kbantomhqanik (puknìthta pijanìthtac). 'Etsi eisgoume to antÐstoiqo reÔmapuknìthtac

~jρ = ρ~u,

¸ste h exÐswsh sunèqeiac mporeÐ na grafeÐ kai wc

∂ρ

∂t+ ~∇ ·~jρ = 0,

pou mac lèei ìti h apìklish tou reÔmatoc puknìthtac isoÔtai me to rujmì metabol c thcpuknìthtac topik.

H (3.5) grfetai kai wc

Dρ

Dt≡ ∂ρ

∂t+ ~u · ~∇ρ = −ρ~∇ · ~u, (3.6)

h1ρ

Dρ

Dt≡ 1ρ

(∂ρ

∂t+ ~u · ~∇ρ

)= −~∇ · ~u, (3.7)

pou ekfrzei ìti

sqetik aÔxhsh thc puknìthtac = sqetik metabol ∼ arnhtik cugroÔ "swmatidÐou ìgkou apìklishc ,kaj¸c kineÐtai swmatidÐou

dhl. se mÐa morf ìpou sto aristerì mèroc èqoume th metabol thc puknìthtac tou reustoÔswmatidÐou kaj¸c kineÐtai. Autì upodhl¸nei sto aristerì mèroc thc (3.6), to sÔmbolo

D

Dt=

∂

∂t+ ~u · ~∇,

pou onomzetai ulik pargwgoc (dec pargrafo 3.4), kai perilambnei kai th metabol (ìrocmetaforc) lìgw thc metatìpishc thc mzac, ìtan èqoume bajmÐda puknìthtac sto q¸ro. Stodexiì mèroc thc exÐswshc èqoume thn apìklish tou pedÐou taqÔthtac , pou mac dÐnei to sqetikìrujmì metabol c tou ìgkou tou kinoÔmenou swmatidÐou (dec pargrafo 2.6). An h apìklishmhdenÐzetai tìte den èqoume metabol tou ìgkou tou kinoÔmenou swmatidÐou, kai h puknìthtatou paramènei stajer kaj¸c kineÐtai h mza.

Sthn teleutaÐa sqèsh prèpei na dieukrinisteÐ ìti gia thn Ðdia arq diat rhshc dÐnoume di-aforetik ermhneÐa qrhsimopoiìntac diaforetikì sÔsthma perigraf c. Sth morf thc (3.5)eÐmaste sto sÔsthma anaforc tou ergasthrÐou kai qrhsimopoioÔme èna stajerì ìgko stosÔsthma autì. Sth morf thc (3.6) parakoloujoÔme to "swmatÐdio pou ìmwc eÐnai paramor-f¸simo, dhl. perilambnei sugkekrimèna mìria all den èqei stajer ìria sto qrìno, an kai

3To apotèlesma mporoÔse epÐshc na bgeÐ an jewroÔsame ex' arq c èna stoiqei¸dh ìgko (p.q. kÔbo gia

kartesianèc suntetagmènec) kai upologÐzame to rujmì ro c mzac an monda ìgkou. To apotèlesma ja tan h

apìklish ~∇·(ρ~u) se kartesianèc suntetagmènec, gia thn perÐptwsh tou kÔbou. Ed¸ ìmwc to apotèlesma bg ke

gia th genik perÐptwsh kai den exarttai apì to stoiqei¸dh ìgko. EÐnai ìmwc qr simh exskhsh na doki-

mastoÔn diaforetikoÐ stoiqei¸dh ìgkoi, epibebai¸nontac tic gnwstèc sqèseic gia thn apìklish dianusmatikoÔ

pedÐou se kampulìgrammec suntetagmènec.

3.2. EX'ISWSH SUN'EQEIAS KAI DIAT'HRHSH M'AZAS 5

gia elqisth metabol tou qrìnou den èqoume shmantik metabol tou ìgkou, kajìson ènaapì ta qarakthristik tou swmatidÐou eÐnai ìti den èqoume shmantik metabol thc taqÔthtacsta ìria tou ìgkou tou. Uprqei ìmwc h dunatìthta kaj¸c kineÐtai autì to paramorf¸simoswmatÐdio na metabllei thn puknìthta tou lìgw metabol c tou ìgkou tou4. H metabol aut me to qrìno mporeÐ na gÐnei me dÔo trìpouc: (a) eÐte me topik metabol me to qrìno (∂ρ∂t ),

(b) lìgw thc metaforc tou swmatidÐou se perioq me diaforetik topik puknìthta (~u · ~∇)ρ.To shmantikì stoiqeÐo ed¸ eÐnai ìti parakoloujoÔme thn kÐnhsh tou swmatidÐou. 'Etsi an toswmatÐdio eÐnai akÐnhto h puknìthta eÐnai omogen c sto q¸ro, o deÔteroc ìroc den uprqei.

Parìlo pou o qrìnoc den eisèrqetai mesa sthn (3.6) den shmaÐnei ìti èqoume aparaÐthtamìnimh ro . Apl¸c opoiad pote metabol thc taqÔthtac me to qrìno se kpoio shmeÐo metadÐde-tai autìmata se ìlo to reustì ¸ste na mhn èqoume metabol tou ìgkou kai na isqÔei h exÐswshsunèqeiac. Gia mh idanik ugr eÐnai dunatìn na èqoume asunèqeiec. 'Opou èqoume polÔ qamhl pÐesh, lìgw thc ro c dhmiourgoÔntai fusalÐdec pou perièqoun koresmèno atmì aèria (cavity).Tìte h sqèsh thc sunèqeiac isqÔei gia ton ìgko èxw apì thn op thc fusalÐdac. Sto eswterikìthc fusalÐdac èqoume koresmènouc atmoÔc (aèria morf reustoÔ ) pou apaitoÔn na uprqeipÐesh sto eswterikì thc pou antistajmÐzei thn pÐesh tou exwterikoÔ reustoÔ sthn epifneiathc fusalÐdac.

3.2.1 Makroskopik exÐswsh diat rhshc mzac

PolÔ suqn gia thn epÐlush praktik¸n problhmtwn antÐ thc exÐswshc sunèqeiac, pou eÐnaise diaforik morf , eÐnai pio qr simo na qrhsimopoi soume ap' eujeÐac th diat rhsh mzacgia kpoio ìgko V , dhl. se oloklhrwtik morf . O ìgkoc autìc mporeÐ na eÐnai stajerìc qronik metaballìmenoc, all proc to parìn ja proume thn perÐptwsh stajeroÔ ìgkou kaimporoÔme na qrhsimopoi soume ta apotelèsmata thc prohgoÔmenhc paragrfou. 'Etsi apì thn(3.1) kai (3.3) èqoume ∫

V

∂ρ

∂tdV +

∮Sρ(~u · ndS) = 0, (3.8)

ìpou S h epifneia pou perikleÐei ton ìgko5 V kai n h monadiaÐa kjetoc sthn epifneia (¸sted~S = dSn), me diaforetikì prosanatolismì se kje shmeÐo thc epifneiac. H (3.8) mac lèeiìti o rujmìc metabol c thc mzac sto stajerì ìgko V , ofeÐletai sto rujmì ro c mzac mèswthc peribllousac epifneiac. En de o ìgkoc elègqou periblletai apì eisìdouc kai exìdoucmikr c diatom c tìte èqoume∫

V

∂ρ

∂tdV +

∑i

(ρiAiui) ex −∑j

(ρjAjuj) eis = 0, (3.9)

ìpou o deÐkthc i h (j") arijmeÐ tic epifneiec, me ρi thn puknìthta sthn Ai epifneia kai uih kjeth sunist¸sa thc taqÔthtac sthn epifneia Ai. En oi diatomèc eÐnai mikrèc kai eÐnai

4IsodÔnama ja mporoÔsame na bgloume thn (3.6) an jewr soume th diat rhsh thc mzac mèsa se èna

nohtì ìgko V (t), o opoÐoc allzei morf me to qrìno, all upì thn pro "upìjesh ìti perilambnei pnta ta

Ðdia swmtia. Ed¸ upojètoume ìti h taqÔthta eÐnai mÐa omal sunrthsh sto q¸ro kai to qrìno. H metabol

tou ìgkou sundèetai fusik me to pedÐo thc taqÔthtac sthn epifneia tou ìgkou.5O ìgkoc autìc suqn anafèretai wc ìgkoc elègqou kai h antÐstoiqh epifneia S wc epifneia elègqou.

En gènei, ìgkoc elègqou eÐnai ènac ìgkoc o opoÐoc orÐzetai apì mÐa ideat epifneia (mèroc ìlo thc opoÐac

mporeÐ na eÐnai kai fusikì ìrio). Sthn paroÔsa perÐptwsh o ìgkoc elègqou eÐnai stajerìc, all se llec

peript¸seic ja mporoÔsame na ton epilèxoume ¸ste na kineÐtai na paramorf¸netai kat' epilog . 'Enac tètoioc

ìgkoc ìmwc, sto ìrio mikr¸n diastsewn den apoteleÐ swmatÐdio me thn ènnoia thc mhqanik c kat Lagrange,

ektìc an diathreÐ th mza tou. Autì shmaÐnei ìti kat mèso ìro kai me mikrèc apoklÐseic ta Ðdia mìria reustoÔ

paramènoun ston ìgko epilog c.


Sq ma 3.2: Sq. 3.2. 'Ogkoc gia th diat rhsh mzac mèsw swl na ro c.

epilegmènec kjetec sto swl na ro c, tìte h kjeth sunist¸sa thc taqÔthtac ui eÐnai Ðsh meto mètro thc taqÔthtac sto shmeÐo autì. Ston teleutaÐo ìro èqoume antÐjeto prìshmo, diìtih ro eÐnai proc ta mèsa kai teÐnei na aux sei thn puknìthta. En de h ro eÐnai mìnimh6 tìte∂ρ/∂t = 0 kai h (3.8) gÐnetai∮

Sρ(~u · ndS) ≡

∑i

(ρiAiui) ex −∑j

(ρjAjuj) eis = 0, (3.10)

pou mac lèei ìti se mìnimh ro , h ro mzac proc ta èxw antistajmÐzetai apì th ro mzac procto eswterikì tou ìgkou. AnexarthsÐa thc puknìthtac apì to qrìno de shmaÐnei aparaÐthta ìtièqoume stajer puknìthta sto q¸ro. Gia th gewmetrÐa tou Sq. 3.2 ìpou h pleurik epifneiaapoteleÐtai apì ta toiq¸mata enìc swl na ro c èqoume

ρ1A1u1 = ρ2A2u2, (3.11)

kaj¸c gia mìnimh ro den èqoume ro mèsw twn plgiwn toiqwmtwn. To Ðdio isqÔei kai gia ènaswl na me stere toiq¸mata an paraleÐyoume to ix¸dec, kajìson ta toiq¸mata kai adiapèrastaeÐnai kai apoteloÔn epifneia gramm¸n ro c. En de h puknìthta eÐnai kai stajer sto q¸rogia asumpÐesto reustì èqoume

A1u1 = A2u2. (3.12)

3.3 AsumpÐesto reustì

En h puknìthta ρ de metablletai sto q¸ro all kai sto qrìno, kalÔtera an DρDt = 0,

èqoume thn aploÔsterh sqèsh gia thn exÐswsh sunèqeiac

asumpÐesto reustì → ~∇ · ~u = 0. (3.13)

To pedÐo taqÔthtac me asumpÐesto reustì eÐnai mh apoklÐnon. AntÐstrofa mporoÔme na poÔmeìti an to pedÐo taqÔthtac eÐnai mh apoklÐnon, tìte h puknìthta tou reustoÔ swmatidÐou kaj¸ckineÐtai sthn troqi tou eÐnai stajer . Autì den shmaÐnei aparaÐthta ìti h puknìthta eÐnaistajer sto qrìno kai sto q¸ro. Apl¸c shmaÐnei ìti h topik metabol thc puknìthtacexoudeter¸netai apì th metabolh lìgw metaforc se perioq me diaforetik puknìthta, ètsi¸ste h ulik pargwgoc thc puknìthtac mhdenÐzetai.

6Gia na isqÔei ìti ∂ρ/∂t = 0 den arkei to pedÐo taqÔthtac na eÐnai mìnimo, all proupojètei ìti kai oi llec

udrodunamikèc posìthtec den epirezontai apo paramètrouc pou metabllontai me to qrìno.

3.3. ASUMP'IESTO REUST'O 7

AxÐzei ed¸ na doÔme thn analogÐa me to hlektrostatikì pedÐo ~E lìgw katanom c hlektrikoÔfortÐou puknìthtac ρ(~r). H antÐstoiqh exÐswsh Maxwell eÐnai

~∇ · ~E = − ρεo.

Epeid o strobilismìc tou hlektrikoÔ pedÐou eÐnai mhdèn (gia qronoanexrthto hlektromagn-htikì pedÐo), mporoÔme na poÔme ìti to hlektrikì fortÐo eÐnai h phg tou hlektrikoÔ pedÐoukajìson orÐzei thn apìklis tou. Knontac thn analogÐa me thn (3.6) gia to pedÐo taqÔthtacro c, perimènoume ìti ìpou èqoume apìklish (~∇ · ~u 6= 0), ekeÐ èqoume kai phgèc tou pedÐou.Sthn perÐptwsh tou pedÐou taqÔthtac ro c, h phg tou pedÐou eÐnai h ulik pargwgoc thcpuknìthtac tou reustoÔ, ìpwc faÐnetai sthn (3.6). Gia thn perÐptwsh tou reustoÔ h eikìnaeÐnai arket pio polÔplokh, diìti h taqÔthta uprqei kai sto aristerì mèroc thc (3.6) kaiìtan akìmh èqoume qronoanexrthth ro . H apl perÐptwsh thc asumpÐesthc ro c antistoiqeÐse hlektrikì pedÐo qwrÐc fortÐa sto q¸ro. H analogÐa me to hlektrikì pedÐo den mporeÐ natrabhqteÐ sta kra, diìti o men strobilismìc tou hlektrikoÔ pedÐou mhdenÐzetai gia mh qro-noexarthmèna pedÐa, all sto prìblhma thc ro c èqoume strobilismì akìmh kai gia mìnimhro .

H exÐswsh sunèqeiac thc mzac gia asumpÐesth ro (~∇ · ~u = 0), mporeÐ na grafeÐ sekartesianèc suntetagmènec san

∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0,

pou mc lèei ìti o rujmìc metabol c tou ìgkou enìc swmatidÐou eÐnai mhdèn. Ac jewr soumeìti èqoume kat th ro sumpÐesh enìc stoiqei¸douc reustoÔ swmatidÐou me ìgko dxdydz sthnz−kateÔjunsh, tìte to reustì kineÐtai proc to kèntro tou swmatidÐou me rujmì paramìrfwshc−∂w∂z . Autì faÐnetai an upologÐsoume th sqetik taqÔthta twn dÔo apènanti pleur¸n pou

apèqoun kata dz. Aut eÐnai

(w +∂w

∂z

dz

2)− (w − ∂w

∂z

dz

2) =

∂w

∂zdz,

kai an ∂w∂z < 0, autì antistoiqeÐ se elttwsh ìgkou kat ∂w

∂z dxdydz, kai o rujmìc sqetik c

metabol c ìgkou eÐnai ∂w∂z . Autì sth sunèqeia ja dhmiourg sei ro tou reustoÔ proc ta èxw

sthn x− kai y− kateÔjunsh me rujmoÔc ∂u∂x kai ∂v

∂y antÐstoiqa, ¸ste o ìgkoc tou paramor-fwmènou swmatidÐou paramènei stajerìc gia kje qronik stigm . Autì faÐnetai sto Sq. 3.3gia mÐa didistath ro . Den eÐnai aparaÐthto kai oi lloi dÔo rujmoÐ paramìrfwshc na eÐnaijetikoÐ. ArkeÐ ènac, ètsi ¸ste na ikanopoieÐtai o mhdenismìc thc apìklishc.

Se kulindrikèc suntetagmènec h exÐswsh sunèqeiac gia asumpÐesto reustì eÐnai

∂ur∂r

+urr

+1r

∂uφ∂φ

+∂uz∂z

= 0, (3.14)

ìpou (ur, uφ, uz) eÐnai oi sunist¸sec tou pedÐou taqÔthtac se kulindrikèc suntetagmènec. Enp.q. èqoume axosummetrik kulindrik ro (qwrÐc φ exrthsh), h aktinik ro proc ta mèsa

dÐnei 1r∂(rur)∂r pou antistajmÐzetai apì thn ro proc ta èxw sthn z−kateÔjunsh, ¸ste ∂w

∂z < 0.Se sfairikèc suntetagmènec h exÐswsh sunèqeiac gia asumpÐesth ro eÐnai

1r2

∂

∂r(r2ur) +

1r sin θ

∂

∂θ(uθ sin θ) +

1r sin θ

∂

∂φ(uφ) = 0. (3.15)

MÐa anafor sto Sq. 3.4 eÔkola mac odhgeÐ sto apotèlesma. ArkeÐ na qrhsimopoi soume tonorismì thc apìklishc apì to je¸rhma Gauss kai na katano soume ìti ston upologismì thc


Sq ma 3.3: Sq. 3.3. SmÐkrunsh sthn y−kateÔjunsh gia didistath ro sunepgetai megènjushsthn x-kateÔjunsh, ¸ste to embadìn na diathreÐtai stajerì.

Sq ma 3.4: Sq. 3.4. Stoiqei¸dhc ìgkoc gia ton upologismì thc apìklishc se sfairikèc

suntetagmènec.

3.3. ASUMP'IESTO REUST'O 9

ro c dia mèsw twn antÐjetwn epifanei¸n eÐnai dunatìn na metablletai ìqi mìno to mètro thctaqÔthtac all kai to embadìn thc epifneiac.

P.q. h ro mèsw twn aktinik¸n epifanei¸n (me kajètouc er kai −er antÐstoiqa) eÐnai

(urr2dΩ)|r+dr/2 − (urr2dΩ)|r−dr/2 =∂

∂r(urr2)dΩdr,

kai h ro an monda ìgkou dV = r2dΩdr eÐnai

1r2

∂

∂r(urr2),

pou eÐnai o pr¸toc ìroc sthn (3.15). H ro mèsw twn efaptomenik¸n epifanei¸n me kajètoucsthn eθ kateÔjunsh eÐnai

(uθr sin θdφdr)|θ+dθ/2 − (uθr sin θdφdr)|θ−dθ/2 = rdφdrdθ∂

∂θ(uθ sin θ)

kai diair¸ntac me ton ìgko dV = r2dr sin θdθdφ èqoume to deÔtero ìro, en¸ o teleutaÐoc ìrocaf netai gia exskhsh.

3.3.1 Sumpiestìthta kai arijmìc Mach

H exÐswsh sunèqeiac apì thn sqèsh (3.6) ja mporoÔse na grafeÐ epÐshc wc:

∂ρ

∂t+ ρ~∇ · u+ ~u · ~∇ρ = 0, (3.16)

kai isqÔei gia kje perÐptwsh, kajìson ekfrzei thn basik arq diat rhshc thc mzac, up-ojètontac fusik ìti den èqoume paragwg mzac. O pr¸toc ìroc eÐnai o rujmìc metabol cthc puknìthtac se sugkekrimèno shmeÐo kai h Ôparx tou proupojètei m mìnimh ro . Ed¸na parathr sw ìti milme kurÐwc gia metabolèc lìgw thc pÐeshc mesa, mèsw tou pedÐoutaqÔthtac. Den jewroÔme proc to parìn metabolèc thc puknìthtac lìgw thc jermokrasÐac,thc periektikìthtac se prosmÐxeic, p.q. alti sto jalassinì nerì, ktl.. O deÔteroc ìroc dÐneidiìgkwsh tou ugroÔ (kai epomènwc eltwsh thc puknìthtac) an ~∇ · ~u > 0 kai sumpÐesh an~∇·~u < 0, kat thn kÐnhs tou. O de teleutaÐoc ìroc pou perièqei to ~∇ρ dÐnei qwrik metabol thc puknìthtac kai ìpwc ja deÐxoume eÐnai piì mikrìc apì touc llouc gia sun jeic m mìnimecroèc, ìpwc eÐnai h didosh kumtwn. Fusik se èna pragmatikì reustì den perimènoume naeÐnai apìluta asumpÐesto. ToÔto gÐnetai antilhptì apì th dunatìthta didoshc akoustik¸nkumtwn, gegonìc pou proupojètei th dhmiourgÐa perioq¸n sumpÐeshc. 'Etsi eÐnai qr simo nadoÔme poièc eÐnai oi pro "upojèseic gia na jewr soume èna reustì asumpÐesto.

P.q ac jewr soume èna monodistato hmitonoeidèc akoustikì kÔma ìpou h metabol thcpuknìthtac dÐnetai apì thn sqèsh:

ρ(x, t) = A sin(kx− ωt), (3.17)

ìpou h suqnìthta ω kai to kumatodinusma k sundèontai me thn sqèsh diasporc ω = ck giaakoustik kÔmata, ìpou c eÐnai h taqÔthta tou qou. O lìgoc tou trÐtou proc ton pr¸to ìroeÐnai

u · ∂ρ/∂x∂ρ/∂t

=u

c, (3.18)

ìpou c h taqÔthta tou qou7 kai u h qarakthristik taqÔthta ro c. All gia sun jeic roècuc 1 kai epomènwc akìma kai gia sumpiest reust mporoÔme na paraleÐyoume ton ìro

7c = m/sec gia to nerì


metaforc (~u · ~∇ρ), an h taqÔthta ro c eÐnai polÔ mikrìterh apì thn taqÔthta twn akoustik¸nkumtwn sto reustì. Uprqoun ìmwc exairèseic ìpwc p.q se kÔmata sok ìpou h metabol thcpuknìthtac sto q¸ro eÐnai sqedìn peirh me taqÔthtec megalÔterec tou c. Aut h perÐptwsheÐnai antikeÐmeno enìc pio eidikeumènou kefalaÐou pou perilambnei kai jermodunamik je¸rhsh.

O lìgoc thc taqÔthtac ro c proc thn taqÔthta tou qou onomzetai arijmìcMach8 (sum-bolÐzetai wc Ma)

arijmìc Mach =taqÔthta ro c

taqÔthta qou=u0

c, (3.19)

ìpou u0 eÐnai h qarakthristik taqÔthta thc ro c. En o arijmìc Mach eÐnai mikrìc (Ma <0.3), tìte mporoÔme na paraleÐyoume ton ìro (~u · ~∇)ρ se sÔgkrish me ton ρ~∇ · ~u.

H kÔria diafor metaxÔ udrodunamik c kai aerodunamik c eÐnai sthn idiìthta thc sumpi-estìthtac, h opoÐa sundèetai kai me thn taqÔthta tou qou sto antÐstoiqo mèso. Qarakthris-tikèc timèc gia ton aèra kai to nerì eÐnai

cs(aèra) = 300m/sec, cs(nerì) = 1200m/sec,cs(aèra)

cs(nerì)=

14,ρ(aèra)

ρ(nerì)= 10−3, (3.20)

Gia sun jeic roèc ston aèra, v(aèra) ≈ 20km/hr v(nerì),Mach(aèra) ≈ O(1) sumpiestìMach((nerì)) 1 asumpÐesto

Sth sunèqeia ja perioristoÔme se mÐa monodistash ro gia na deÐxoume ìti h sunj khgia thn parleiyh tou trÐtou ìrou sthn (3.16) se sqèsh me to deÔtero eÐnai epÐshc Ma 1,genikeÔontac to prohgoÔmeno apotèlesma gia thn eidik perÐptwsh didoshc hmitonoeidoÔcakoustikoÔ kÔmatoc. Se mÐa distash jèloume

|u∂ρ∂x| |ρ∂u

∂x| |δρ

ρ| |δu

u|. (3.21)

'Opwc ja doÔme argìtera h taqÔthta tou qou se reust ikanopoieÐ9

c2 =∂P

∂ρ, (3.22)

ìpou P h pÐesh. 'Etsi gia metabol thc puknìthtac kat δρ èqoume metabol thc pÐeshc kat

δP = c2δρ.

H metabol thc pÐeshc, ìmwc, sÔmfwna me thn arq tou Bernoulli10 sundèetai kai me metabol thc taqÔthtac ro c sto Ðdio shmeÐo. 'Eqoume loipìn

δP = −ρuδu. (3.23)

8Dec Kef. ??9Dec Kef. ??. H sqèsh ρ(P ) eÐnai mÐa katastatik sqèsh. 'Etsi gia thn perÐptwsh tou asumpÐestou reustoÔ

mporoÔme na poÔme ìti h taqÔthta tou qou eÐnai peirh kai opoiad pote diataraq metabibzetai tautìqrona

se ìlo ton ìgko tou reustoÔ. En gènei h taqÔthta tou qou auxnei antÐstrofa me thn sumpiestìthta.10H arq tou Bernoulli eÐnai h èkfrash thc diat rhshc thc enèrgeiac. Me orismènec proupojèseic, pou ja

doÔme argìtera, grfetai wcP

ρ+

1

2u2 = stajer.

3.4. ULIK'H PAR'AGWGOS 11

Diair¸ntac tic dÔo teleutaÐec exis¸seic kai paÐrnontac apìlutec timèc, èqoume

|δρ/ρ||δu/u|

=u2

c2= Ma2. (3.24)

H sqèsh aut mporeÐ na genikeuteÐ se treÐc diastseic. Sthn (3.23) paraleÐyame th metabol thc puknìthtac se sqèsh me th metabol thc taqÔthtac, all to apotèlesma thc (3.24) macdikai¸nei. En gènei, ìtan o arijmìcMach eÐnai mikrìc, mporoÔme na jewr soume ìti h ro eÐnaiasumpÐesth. 'Etsi, h ro aèra me taqÔthta mikrìterh apì 100m/sec mporeÐ na jewrhjeÐ ìtieÐnai asumpÐesth. H upìjesh thc mh sumpiestìthtac sta ugr eÐnai isodÔnamh me u c. Giasun jeic taqÔthtec ro c mporoÔme na jewr soume ìti opoiad pote diakÔmansh sthn puknìthtametadÐdetai akariaÐa qwrÐc th dunatìthta dhmiourgÐac kumtwn.

3.4 Ulik pargwgoc

Sth metbash sto suneqèc eÐdame ìti gia na perigryoume th ro , arkeÐ ènac mikrìc arijmìcapì makroskopikèc metablhtèc, tic opoÐec jewroÔme sunart seic thc jèshc ~r sto q¸ro kai touqrìnou t. Tètoiec p.q. eÐnai h puknìthta ρ(~r, t), h topik taqÔthta ~u(~r, t), h topik pÐesh P (~r, t)kai h topik jermokrasÐa T (~r, t). 'Etsi èqoume mÐa shmantik aplopoÐhsh diìti apaleÐyame ticsuntetagmènec twn swmatidÐwn, oi opoÐec eÐnai peirec ton arijmì. Sthn perigraf Euler ìmwcuprqei mÐa shmantik adunamÐa ìtan jèloume na gryoume thn exÐswsh NeÔtwna11

ρd~u

dt= ~f

gia thn kÐnhsh mic "reust c mzac me stajer puknìthta ρ kai ~f th dÔnamh an mondaìgkou tou reustoÔ. Sth swmatidiak mhqanik h epitqunsh enìc swmatidÐou (pou mpaÐnei sthnexÐswsh tou NeÔtwna) pro "upojetei ìti parakoloujoÔme thn kÐnhsh tou swmatidÐou kat m kocthc troqic tou. To Ðdio prèpei na knoume kai ed¸. Dhl. na jewr soume èna nohtì swmatÐ-dio emfuteumèno sto s¸ma tou reustoÔ kai na akolouj soume thn troqi tou. To er¸thmaeÐnai pwc grfoume thn epitqunsh sthn perigraf Euler qrhsimopoiìntac to pedÐo taqÔthtac~u(~r, t)? To sÐgouro eÐnai ìti den eÐnai apl¸c ∂~u

∂t , diìti ed¸ dèn èqoume kajìlou metatìpish, allapl¸c parakoloujoÔme thn topik (se stajerì shmeÐo) metabol thc taqÔthtac me tì qrìno.'Etsi p.q. an eÐqame mÐa kuklik mìnimh (anexrthth tou qrìnou) ro , h merik pargwgoc macdÐnei mhdèn, alla gnwrÐzoume ìti sthn perÐptwsh aut èqoume kentromìlo epitqunsh.

Gia na broÔme thn epitqunsh prèpei na upologÐsoume thn metabol thc taqÔthtac touswmatidÐou se qrìno δt, kaj¸c èqei metatopisteÐ kat δ~r(t), dhl.

epitqunsh "swmatidÐou =~u(~r + δ~r, t+ δt)− ~u(~r, t)

δt, (3.25)

ìpou sto qrìno δt to swmatÐdio pou tan sthn jèsh ~r metatopÐsthke kat

δ~r = ~uδt

kajìson gia mikrì δt h metatìpish eÐnai parllhlh proc thn taqÔthta alli¸c gia mikrìqronikì disthma h gramm ro c kai h troqi tou swmatidÐou diafèroun elqista.

'Opwc eÐdame to pedÐo taqÔthtac ~u(~r, t) den perigrfei thn taqÔthta kpoiou swmatidÐou kaiepomènwc h epitqunsh thc mzac tou ugroÔ den eÐnai apl¸c h pargwgoc wc proc to qrìno.H merik pargwgoc ∂~u

∂t eÐnai o rujmìc metabol c thc taqÔthtac se kpoio stajerì shmeÐo sto

11H opoÐa eÐnai sto swmatidiakì pneÔma tou Lagrange.


q¸ro, apì to opoÐo dièrqontai ìmwc suneq¸c nèa mìria. H epitqunsh ìmwc prèpei na oristeÐgia to swmatÐdio tou ugroÔ, wc o rujmìc metabol c thc taqÔthtac tou kaj¸c h mza aut kineÐtai kai dièrqetai apì suneqìmena shmeÐa thc troqic. Aut ja eÐnai h epitqunsh h opoÐaja mpei ston antÐstoiqo nìmo tou NeÔtwna gia to suneqèc mèso.

H parapnw parat rhsh isqÔei gia kje fusik posìthta T (~r, t). Dhlad me lla lìgiato er¸thma eÐnai to ex c: An h tim tou T sto shmeÐo ~r = ~r0 se qrìno t = t0 eÐnai T0, tìtepoia eÐnai h tim tou sto shmeÐo ~r = ~r0 + ~udt, ston qrìno t = t0 + dt kaj¸c dt→ 0, ìpou ~u htaqÔthta tou ugroÔ kai ìpou d~r = ~udt eÐnai h metabol thc jèshc thc mzac se qrìno dt. HperÐptwsh aut èqei efarmog gia to rujmì metabol c thc jermokrasÐac sto exwterikì miackinoÔmenhc brkac. EÐnai profanèc ìti h jermokrasÐa metablletai kai qronik kai lìgw thcmetakÐnhshc se ner me diaforetik jermokrasÐa. O rujmìc autìc eÐnai diaforetikìc apì autìnpou ja metr sei mia akÐnhth brka sto exwterikì thc, pou eÐnai apl¸c h merik pargwgoc.

En gènei loipìn h mikr metabol δT pou ofeÐletai se mikrèc metabolèc δt tou qrìnou, kaiδx, δy, δz stic kartesianèc suntetagmènec jèshc eÐnai:

δT =∂T

∂tδt+

∂T

∂xδx+

∂T

∂yδy +

∂T

∂zδz (3.26)

kai o rujmìc metabol c eÐnai:

δT

δt=

∂T

∂t+∂T

∂xu+

∂T

∂yv +

∂T

∂zw (3.27)

ìpou qrhsimopoi same

~u =δ~r

δt= (uı+ v+ wk).

Sto ìrio δt → 0 aut h pargwgoc onomzetai ulik pargwgoc, sumbolÐzetai12 wc ddt h wc

DDt gia na tonisteÐ h idiaÐterh fusik tou shmasÐa, ìti eÐmaste sthn perigraf Euler kai ìpwctonÐsame parakoloujeÐ th stoiqei¸dh mza tou ugroÔ kat th metakÐnhsh tou (gi' autì kaisuqn onomzetai swmatidiak pargwgoc).

Ulik pargwgoc ≡ Qronik pargwgoc kaj¸c akoloujoÔme thn kÐnhsh.

H (3.26) grfetai en suntomÐa:

DT

Dt=

∂T

∂t+ ~u · ~∇T (3.28)

kai mac odhgeÐ ston orismì tou telest :

D

Dt=

∂

∂t+ (~u · ~∇) (3.29)

Ulik pargwgoc ≡ topik pargwgoc + pargwgoc metaforc.

O telest c autìc me th drsh tou se opoiad pote fusik posìthta mac dÐnei to rujmìmetabol c ìqi se stajerì shmeÐo tou q¸rou, all kaj¸c parakoloujoÔme thn kÐnhsh thc mzac

12H ulik pargwgoc diafèrei apì thn olik pargwgo an kai suqn qrhsimopoieÐtai o Ðdioc sumbolismìc,

dhl. ddt. H diafor ègkeitai sto ìti h men olik pargwgoc anafèretai sthn perigraf Lagrange en¸ h ulik

pargwgoc anafèretai sthn perigraf Euler. All kai stic dÔo peript¸seic anafèrontai se pargwgo kaj¸c

parakoloujoÔme thn kÐnhsh tou swmatidÐou.

3.4. ULIK'H PAR'AGWGOS 13

Sq ma 3.5: Sq. 3.5. Metabolèc kat thn parakoloÔjhsh enìc swmatidÐou sto x− y epÐpedo.

(a) H qronik pargwgoc sto C eÐnai h topik metabol thc jermokrasÐac T kat Euler. (b)

Sthn qronik parakoloÔjhsh tou swmatidÐou, gia thn metabol thc jermokrasÐac kaj¸c pern

sto shmeÐo C prèpei na prosjèsoume kai ton ìro metaforc.

pou se qrìno t = t0 eÐqe kèntro to shmeÐo (x0, y0, z0). O telest c D/Dt ìpwc faÐnetai sthn(3.29), lìgw tou analeÐwtou tou eswterikoÔ ginomènou, den exarttai apì tic sugkekrimènecsuntetagmènec pou qrhsimopoi same, kti pou eÐnai sÔmfwno kai me th fusik mac diaÐsjhsh.'Etsi p.q. antÐ gia kartesianèc suntetagmènec ja mporoÔsame na qrhsimopoi soume kulindrikècsuntetagmènec. IdiaÐtera de an h ro èqei kulindrik summetrÐa, h deÔterh eÐnai h endedeigmènhepilog .

To fusikì nìhma thc (3.27) (3.28) eÐnai to ex c: H jermokrasÐa miac mzac reustoÔ enkin sei metablletai eÐte diìti ìlo to pedÐo thc jermokrasÐac metablletai me to qrìno (dhl. oìroc ∂T

∂t ), eÐte diìti h mza metakin jhke se mia perioq ìpou h jermokrasÐa eÐnai diaforetik ,

dhl. (~u · ~∇) · T . O deÔteroc ìroc ofeÐletai apokleistik sth metafor tou ugroÔ kat m kocmiac kampÔlhc C kai ja mporoÔsame na ton onomsoume rujmì metabol c lìgw metaforc. ToteleutaÐo isqÔei kai an akìmh h jermokrasÐa se kje shmeÐo eÐnai anexrthth tou qrìnou, (dhl.∂T∂t = 0), all den uprqei an den èqoume ro ugroÔ dhlad an ~u = 0 an ~∇T = 0. Epeid h~∇T mac dÐnei thn kateÔjunsh thc mègisthc metabol c thc jermokrasÐac, eÐnai anamenìmeno ìtih metabol thc jermokrasÐac thc mzac en kin sei ja exarttai apì thn probol thc taqÔthtac

sthn kateÔjunsh aut , en¸ tautìqrona exarttai kai apì to mètro thc∣∣∣~∇T ∣∣∣ kai taqÔthtac |~u|.

Apì ta parapnw exgetai ìti gia kje mìnimh ro , o rujmìc metabol c opoiasd poteposìthtac f kaj¸c akoloujoÔme to reustì swmatÐdio eÐnai (~u · ~∇)f . EÐnai eÔkolo na doÔmeìti ètsi eÐnai. 'Estw es èna monadiaÐo dinusma parllhlo sth gramm ro c sto shmeÐo s kaisthn Ðdia kateÔjunsh ìpwc h ro . Tìte

(~u · ~∇)f = (|~u|es · ~∇)f = |~u|∂f∂s,

ìpou s eÐnai h apìstash kat m koc thc gramm c ro c. All ∂f∂s eÐnai o rujmìc metabol c

thc f me thn apìstash kat m koc thc gramm c ro c. An ton pollaplasisoume me to mètrothc taqÔthtac ro c |~u| ja mac d¸sei to rujmì metabol c me to qrìno kaj¸c akoloujoÔme toswmatÐdio reustoÔ kat m koc thc gramm c ro c. En de sumbaÐnei na èqoume (~u · ~∇)f = 0 ,tìte h f eÐnai stajer kat m koc thc gramm c ro c pou dièrqetai apì to shmeÐo.

O ìroc (~u · ~∇)f mhdenÐzetai se treÐc peript¸seic, opìte èqoume mìno topik metabol (DfDt = ∂f

∂t ):

• an ~u = 0.

• ~∇f = 0, dhl. omogenèc pedÐo f .

• ~u eÐnai efaptìmeno stic epifneiec stajeroÔ f .

SÔmfwna me ton parapnw orismì thc ulik c parag¸gou, mporoÔme na xanagryoume thngenik sunj kh sunèqeiac wc:

ρ~∇ · ~u = −∂ρ∂t− (~u · ~∇)ρ, (3.30)

pou eÐnai isodÔnamh me:

Dρ

Dt= −ρ~∇ · ~u, (3.31)


pou lèei ìti an parakolouj soume thn mza tou ugroÔ en kin sei h puknìthta den allzei ìtanh ro eÐnai mh apoklÐnousa (~∇ · ~u = 0).

Ac epanèljoume t¸ra sthn epitqunsh tou ugroÔ dhlad sthn metabol thc taqÔthtac~u akolouj¸ntac thn kÐnhsh tou ugroÔ, h opoÐa fusik eÐnai dianusmatikì mègejoc. Oi treicsunist¸sec tou eÐnai bajmwt pedÐa kai mporoÔme gia kje sunist¸sa thc taqÔthtac ~u =(u, v, w) na gryoume thn antÐstoiqh thc exÐswshc (3.28), dhlad :

Du

Dt=

∂u

∂t+ (~u · ~∇)u, (3.32)

Dv

Dt=

∂v

∂t+ (~u · ~∇)v, (3.33)

Dw

Dt=

∂w

∂t+ (~u · ~∇)w, (3.34)

prosjètontac dianusmatik tic treic sqèseic:

D~u

Dt=

∂~u

∂t+ (~u · ~∇) · ~u. (3.35)

3.5 Epitqunsh tou reustoÔ swmatidÐou

Me èna sÔsthma, to opoÐo kineÐtai, den sundèoume mìno thn epitqunsh, all kai llec ba-jmwtèc dianusmatikèc posìthtec, ìpwc h orm , h enèrgeia,stroform , kukloforÐa ktl. EÐnaiprofanèc ìti gia opoiad pote dianusmatik posìthta ~A pou metafèretai me thn Ôlh, èqoumegia ton olikì rujmì metabol c thc kaj¸c akoloujoÔme thn ro :

D ~A

Dt=

∂ ~A

∂t+ (~u · ~∇) ~A, (3.36)

ìpou t¸ra o telest c (~u · ~∇) mporeÐ na drsei sto ~A, afoÔ prohgoumènwc upologÐsoume thnanptux tou se kartesianèc suntetagmènec. Anloga me th summetrÐa tou probl matoc llecsuntetagmènec (p.q. kulindrikèc, sfairikèc, k.t.l.) apoteloÔn kalÔterh epilog . H ulik aut metabol ofeÐletai se kapoiouc pargontec touc opoÐouc prèpei na gnwrÐzoume. P.q.gia ton rujmì metabol c tou sust matoc prèpei na gnwrÐzoume tic exwterikèc dunmeic pouaskoÔntai sto s¸ma se kje qronik stigm . Gia ton rujmì metabol c thc stroform c prèpeina gnwrÐzoume tic exwterikèc ropèc pou askoÔntai sto kinoÔmeno reustì swmatÐdio k.o.k..

H posìthta

~a =D~u

Dt, stigmiaÐa epitqunsh reustoÔ swmatidÐou

eÐnai h stigmiaÐa epitqunsh thc mzac tou ugroÔ sto shmeÐo (x,y,z).En parakolouj soume th ro stouc katarktec thc 'Edessac ja doÔme ìti h ro eÐnai

mìnimh me kal prosèggish, dhl. ∂~u∂t = 0 se kje shmeÐo. An ìmwc af soume èna kommti

xÔlo gr gora antilambanìmaste, ìti èqei epitqunsh kat thn pt¸sh tou. Aut ofeÐletai sthbarÔthta kai sthn perigraf Euler eÐnai h suneisfor tou ìrou metaforc.

Gia na apomujopoi soume thn ènnoia thc ulik c parag¸gou ja d¸soume èna sugkekrimènopardeigma. JewroÔme thn omal peristrof reustoÔ me gwniak taqÔthta ω0, gia thn opoÐato pedÐo taqÔthtac se kulindrikèc suntetagmènec eÐnai

~u = (0, uφ = ω0r, 0)

3.5. EPIT'AQUNSH TOU REUSTO'U SWMATID'IOU 15

Epeid ∂~u∂t = 0, mìno o ìroc metaforc suneisfèrei sthn epitqunsh, kai èqoume

~a = (~u · ~∇)~u = (uφ1r

∂

∂φ)~u = u2

φ

1r

∂

∂φeφ = −ω2

0rer.

To apotèlesma autì eÐnai anamenìmeno diìti den eÐnai llo apì thn gnwst mac kentromìloepitqunsh. Prèpei na shmei¸soume ìti gia mÐa mìnimh ro , ìpwc sto pardeigma mac, eÐnai oìroc metaforc pou mac dÐnei thn epitqunsh.

Gia to pardeigma autì ja mporoÔsame na qrhsimopoi soume kai kartesianèc suntetagmènecme

~u = (ux = −ω0y, uy = ω0x, 0).

Pli

~a = (~u · ~∇)~u = (−ω0y∂

∂x+ ω0x

∂

∂y)~u = −ω2

0(x, y, 0) = −ω20rer.

H aplìthta tou prohgoÔmenou paradeÐgmatoc den faÐnetai an anaptÔxoume thn genik sqèshgia thn epitqunsh tou reustoÔ me pedÐo taqÔthtac ~u(~r, t) ≡ (u, v, w), se kartesianèc sunte-tagmènec me sunist¸sec

ax =∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z,

ay =∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z,

az =∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z. (3.37)

Sthn x−sunist¸sa thc epitqunshc suneisfèroun kai oi treÐc bajmÐdec thc x−sunist¸sacthc taqÔthtac kaj¸c kai oi treic sunist¸sec thc taqÔthtac. 'Etsi, en¸ eÐnai eÔkolo na up-ologÐsoume thn epitqunsh apì to pedÐo taqÔthtac, to antÐstrofo eÐnai dÔskolo. Kai sthnpragmatikìthta aut eÐnai h kateÔjunsh. Diìti apo th gn¸sh twn exwterik¸n kai eswterik¸ndunmewn èqoume thn epitqunsh. Eutuq¸c gia mac se pollèc peript¸seic den ja akolouj -soume aut th diadikasÐa ìtan to prìblhma èqei uyhlì bajmì summetrÐac kai èqoume asumpÐesthro . En lìgw summetrÐac mìno mÐa sunist¸sa eÐnai diforoc tou mhdenìc tìte mporoÔme nalÔsoume th grammik exÐswsh gia asumpÐesth ro . Autì ìmwc pro "upojètei ìti mporoÔme nad¸soume kai tic oriakèc timèc thc taqÔthtac.

Ac doÔme leptomerèstera touc epimèrouc ìrouc stic sunist¸sec thc epitqunshc. Sthnx−sunist¸sa o pr¸toc ìroc antistoiqeÐ se mh mìnimh ro , en¸ o deÔteroc apaiteÐ bajmÐdasthn kateÔjunsh kÐnhshc kai suneisfèrei kai se monodistath ro sthn x−kateÔjunsh, seantÐjesh me touc llouc dÔo ìrouc oi opoÐoi den suneisfèroun. O trÐtoc ìroc apaiteÐ ìqimìno v−sunist¸sa all kai exrthsh thc u apì to y, kai toÔto diìti ston qrìno dt h v-sunist¸sa metafèrei to swmatÐdio kat m koc tou y kai sthn nèa jèsh pijanìn h u-sunist¸sathc taqÔthtac na eÐnai diaforetik . O ìroc autìc den suneisfèrei ìtan eÐte h v-sunist¸samhdenÐzetai eÐte ìtan h u sunist¸sa den èqei bajmÐda sthn y-kateÔjunsh. Parìmoia sqìliaisqÔoun kai gia tic llec sunist¸sec.

Parìlh thn poluplokìthta gia summetrikèc roèc (pou pro "upojètoun summetrikèc oriakècsunj kec) èqoume shmantikèc aplopoi seic. P.q. gia thn ro ~u = (u(y), 0, 0) den èqoumekajìlou epitqunsh sÔmfwna me tic (3.37). Autì eÐnai profanèc kai apì to digramma twngramm¸n ro c (Sq. 2.?), diìti oi troqièc twn reust¸n swmatidÐwn, pou sumpÐptoun me ticgrammèc ro c gia mìnimh ro , eÐnai eujÔgrammec sthn x−kateÔjunsh kai to mètro thc taqÔthtaceÐnai stajerì gia kje troqi. 'Etsi parìlo pou èqoume bajmÐda ∂u

∂y , den èqoume v-sunist¸sa thctaqÔthtac ¸ste na èqoume anmixh metaxÔ twn gramm¸n ro c. Tautìqrona an mÐa sunist¸sa


taqÔthtac mhdenÐzetai pantoÔ tìte den perimènoume kai epitqunsh sthn kateÔjunsh aut . Giato pardeigm mac den èqoume epitqunsh kai stic dÔo llec kateujÔnseic.

Gia didistath mìnimh ro me ~u = (u(x, y), v(x, y), 0) èqoume gia tic sunist¸sec epitqunshc

ax = u∂u

∂x+ v

∂u

∂y,

ay = u∂v

∂x+ v

∂v

∂y,

An to didistato pedÐo ro c èqei sunist¸sec u(x), v(y),

ax = u∂u

∂x,

ay = v∂v

∂y,

en¸ an to pedÐo eÐnai u(y), v(x)

ax = v∂u

∂y,

ay = u∂v

∂x,

O ìroc (~u · ~∇)~u mac dÐnei thn metabol tou ~u sthn kateÔjunsh tou ~u kai mhdenÐzetai mìnoìtan den uprqei metabol tou ~u sthn kateÔjunsh tou ~u. An ìla ta stoiqeÐa tou reustoÔakoloujoÔn eujÔgrammh troqi tìte autìc o ìroc sthn epitqunsh mhdenÐzetai. Epitqunshèqoume pnta ìtan oi grammèc ro c allzoun kateÔjunsh, an to mètro thc taqÔthtac katm koc thc gramm c ro c allzei akìmh kai ìtan h roik gramm eÐnai eujeÐa. H fusik eikìnaautoÔ tou ìrou faÐnetai piì eÔkola se dÔo diastseic an pme se kampullìgrammec suntetag-mènec. Se kje shmeÐo miac gramm c ro c orÐzoume dÔo kjeta metaxÔ touc monadiaÐa dianÔsmataet kai en ta opoÐa eÐnai antÐstoiqa efaptìmena kai kjeta sthn gramm ro c stì sugkekrimènoshmeÐo. JewroÔme s thn suntetagmènh kat m koc thc roik c gramm c, h opoÐa sundèetai meton qrìno me ds = vdt kai v(s) = |~u| to mètro thc taqÔthtac kat m koc thc roik c gramm c,dhl. ~u = vet. O ìroc

(~u · ~∇)~u = vd

ds~u = v

dv

dset −

v2

Ren

ìpou R enai h aktÐna kampulìthtac thc roik c gramm c sto shmeÐo. O pr¸toc ìroc eÐnai orujmìc metabol c tou mètrou thc taqÔthtac me ton qrìno (epitrìqia epitqunsh),

δv

δt=δv

δs

δs

δt=δv

δsv

O deÔteroc ìroc eÐnai h kentromìloc epitqunsh kai sundèetai me th metabol thc kateÔjunshcthc taqÔthtac tou swmatidÐou. O anagn¸sthc eÔkola mporeÐ na epekteÐnei to apotèlesma autìse treÐc diastseic.

3.5.1 Epitqunsh se kulindrikèc kai sfairikèc suntetagmènec.

Gia na upologÐsoume thn epitqunsh se kampulìgrammec suntetagmènec prèpei na jumìmastedÔo prgmata. To pr¸to ìti ta orjog¸nia dianÔsmata bshc metabllontai sto q¸ro (kurÐwcme tic gwniakèc metatopÐseic) se antÐjesh me ta antÐstoiqa monadiaÐa dianÔsmata sto kartesianìsÔsthma. To deÔtero eÐnai praktik sumboul ston upologismì thc ulik c parag¸gou D

Dt .


Otan to DDt dra se mia bajmwt posìthta Φ(~r), tìte sto (~u · ~∇)Φ pr¸ta upologÐzoume to

(~u · ~∇) gia na ekmetaleutoÔme thn summetrÐa ro c ìpou toulqiston mÐa sunist¸sa taqÔthtacmhdenÐzetai kai sth sunèqeia upologÐzoume to (~u · ~∇)Φ, en¸ kai to antÐstrofo eÐnai dunatì.En ìmwc to (~u · ~∇) dr se dinusma, tìte h 'Ôparxh thc parènjeshc upodeiknÔei thn seirsthn prxh (~u · ~∇)~u, kajìson o orismìc tou ~∇~u den gÐnetai me dianusmatikèc prxeic poueÐmaste exoikiwmènoi. Se efarmosmènec epist mec autì epitugqnetai me thn eisagwg twnduadik¸n, p.q. ii, ij · · · ,, dhl genikeumènwn ginomènwn dianusmtwn. Ed¸ ja apofÔgoume autìton sumbolismì.

Se kulindrikèc suntetagmènec me ~u ≡ (ur, uφ, uz), h epitqunsh èqei sunist¸sec

ar =∂ur∂t

+ ur∂ur∂r

+uφr

∂ur∂φ

+ uz∂ur∂z−u2φ

r,

aφ =∂uφ∂t

+ ur∂uφ∂r

+uφr

∂uφ∂φ

+ uz∂uφ∂z

+uruφr

,

az =∂uz∂t

+ ur∂uz∂r

+uφr

∂uz∂φ

+ uz∂uz∂z

. (3.38)

Oi sqèseic autèc prokÔptoun an jewr soume ton telest thc klÐshc se kulindrikèc sunte-tagmènec

~∇ = er∂

∂r+ eφ

1r

∂

∂φ+ ez

∂

∂z, (3.39)

kai antikatast soume ston ìro thc metaforc gia thn epitqunsh, afoÔ proume upìyh macìti ta monadiaÐa dianÔsmata bshc, en gènei metabllontai sto q¸ro wc proc thn kateÔjunshtouc. 'Etsi ja qreiastoÔme tic sqèseic

∂

∂rer =

∂

∂reφ =

∂

∂zez = 0,

∂

∂φer = eφ,

∂

∂φeφ = −er. (3.40)

O ìroc −u2φ

r proèrqetai apì ton ìro uφ1ruφ

∂∂φ (uφeφ) me parag¸gish sto monadiaÐo dinusma

eφ, dhl.

uφ1ruφ

∂

∂φeφ = −1

ru2φer. (3.41)

Oi parapnw sqèseic se aplèc roèc mac dÐnoun gnwst kai katanoht apotelèsmata. Enp.q. h ro eÐnai mìnimh kai didistath ( ∂∂z = 0), kai èqoume mìno uφ sunist¸sa, dhl. kuklik ro , tìte oi kulindrikèc sunist¸sec thc epitqunshc dÐnontai apì tic sqèseic

ar = −u2φ

r,

aφ =uφr

∂uφ∂φ≡ 1

2∂u2

φ

∂s, (3.42)


ìpou qrhsimopoi same ds = rdφ, kajìson rdφ eÐnai m koc efaptìmeno thc troqic. Oi sqèseicautèc mac dÐnoun thn kentromìlo kai epikampÔlia epitqunsh antÐstoiqa gia kuklik kÐnhsh touugroÔ swmatidÐou.

En h ro mac eÐnai kajar aktinik (~u = (ur, 0, 0)) kai mìnimh, tìte èqoume mìno aktinik sunist¸sa thc epitqunshc me

ar = ur∂ur∂r

.

Gia plhrìthta ja parajèsoume kai tic sunist¸sec thc epitqunshc se sfairikèc suntetag-mènec.

ar =∂ur∂t

+ ur∂ur∂r

+ uθ∂ur∂θ

+ uφ∂ur∂φ−u2θ + u2

φ

r,

aθ =∂uθ∂t

+ ur∂uθ∂r

+ uθ∂uθ∂θ

+ uφ∂uθ∂φ

+uruθr−u2φcot θr

,

aφ =∂uφ∂t

+ ur∂uφ∂r

+ uθ∂uφ∂θ

+ uφ∂uφ∂φ

+uruφr

+uθuφr

cot θ. (3.43)

Oi ìroi pou den èqoun parag¸gouc twn sunistws¸n thc taqÔthtac proèrqontai apì metabol twn monadiaÐwn dianusmtwn bshc. P.q. o ìroc thc aktinik c epitqunshc mporeÐ na grafeÐkai

ar =∂ur∂t

+ (~u · ~∇)ur −u2θ + u2

φ

r,

ìpou oi dÔo teleutaÐoi ìroi proèrqontai apì th metabol twn monadiaÐwn dianusmtwn eθ wcprìc θ kai o deÔteroc apì èna ìro thc metabol c tou eφ wc proc φ. Gia touc upìloipouc ìroucisqÔoun parìmoia arkeÐ na jumìmaste ìti ta monadiaÐa dianÔsmata den metabllontai me tì r.Proc dieukìlunsh dÐnontai kai oi metabolèc

∂er∂θ

= eθ

∂er∂φ

= sin θeφ

∂eθ∂θ

= −er

∂eθ∂φ

= cos θeφ

∂eφ∂θ

= 0

∂eφ∂φ

= − sin θer − cos θeθ.

Apì ta parapnw faÐnetai ìti gia aktinik ro ur(r) èqoume mìno aktinik epitqunsh me

ar =∂

∂r

u2r

2.

Ac jewr soume thn perÐptwsh me mình sunist¸sa thn uφ(θ). MÐa tètoia ro mporeÐ na proèrqe-tai apì thn peristrof miac peperasmènhc rbdou me mhdenik taqÔthta sta kra thc rbdou.


Epiplèon dhl. èqoume uφ(0) = uφ(π) = 0. Oi sunist¸sec thc epitqunshc sthn perÐptwshaut eÐnai

ar = −u2φ

r,

aθ = −u2φcot θr

,

aφ = uφ∂uφ∂φ

. (3.44)

Na tonÐsoume ìti an kai oi sunist¸sec thc epitqunshc diafèroun anloga me to sÔsthmaanaforc, h epitqunsh eÐnai Ðdia. EpÐshc h epitqunsh tou reustoÔ swmatidÐou prèpei na èqeithn Ðdia tim se kje adraneiakì sÔsthma, pou kineÐtai me stajer taqÔthta ~c, dhl. na eÐnaiametblhth ston metasqhmatismì GalilaÐou

~x′ = ~x− ~ct, ~u′ = ~u− ~c,

ìpou sto nèo sÔsthma to pedÐo taqÔthtac eÐnai ~u′(~x′, t). Gia thn epitqunsh sto nèo adraneiakìsÔsthma èqoume

D′~u′

Dt=

∂~u′

∂t|~x′ + (~u′ · ~∇′)~u′ = ∂~u′

∂t|~x′ + [(~u− ~c) · ~∇]~u (3.45)

=∂~u

∂t+ [

∂~x′

∂t· ~∇]~u+ [(~u− ~c) · ~∇]~u (3.46)

=∂~u

∂t− [~c · ~∇]~u+ [(~u− ~c) · ~∇]~u (3.47)

=∂~u

∂t+ (~u · ~∇)~u ≡ D~u

Dt(3.48)

3.5.2 Periorismoi sto pedÐo taqÔthtac kai epitqunsh gia asumpÐesth

ro

Sthn prohgoÔmenh suz thsh gia ton upologismì thc epitqunshc kname dÔo shmantikèc par-aleÐyeic. H pr¸th eÐnai ìti den eÐpame tÐpote gia ta aÐtia pou dhmiourgoÔn aut thn epitqunsh,dhl. me lla lìgia den eÐpame gia tic dunmeic pou dhmioÔrghsan kai diathroÔn to pedÐo taqÔth-tac. Autì apoteleÐ to antikeÐmeno thc arq c thc diat rhshc thc orm c pou ja diereunhjeÐ stoepìmeno keflaio. H deÔterh parleiyh eÐnai ìti den diereun same ti periorismoÔc bzei stopedÐo taqÔthtac kai epomènwc kai sthn epitqunsh, h arq thc sunèqeiac thc mzac, pou giaasumpÐesta reust ekfrzetai me ton mhdenismì thc apìklishc tou pedÐou taqÔthtac, dhl.~∇ · ~u = 0.

Gia to pardeigma thc kuklik c ro c èqoume

~∇ · ~u =1r

∂

∂φuφ = 0.

H efaptomenik sunist¸sa thc taqÔthtac den mporeÐ na exarttai apì th gwnÐa peristrof cφ, ektìc an epitrèyoume kai mÐa mikr aktinik sunist¸sa thc taqÔthtac. Apì thn sunèqeiathc mzac den prokÔptei periorismìc gia thn exrthsh thc uφ(r) apì thn aktÐna r. Autì japrosdioristei apì tic exis¸seic kÐnhshc pou ja dìsoume sto epìmeno keflaio. Hdh ìmwc apìton periorismì thc exÐswshc sunèqeiac kai thn (3.38) bèpoume ìti ta swmatÐdia reustoÔ èqounmìno aktinik epitqunsh

ar = −u2φ

r


Sq ma 3.6: Sq. 3.6 StoiqeÐo epifneiac gia thn exÐswsh sunèqeiac gia didistath ro .

kai epomènwc kai oi dunmeic pou askoÔntai sta swmatÐdia èqoun aktinik sunist¸sa mìnon kaimlista proc ton xona, me exrthsh mìno apì thn aktÐna r.

AntÐstoiqa gia thn aktinik kulindrik ro me ur(r), èqoume

~∇ · ~u =1r

∂

∂r(rur) = 0

mìno an ur ∼ 1r , kai autì eÐnai anamenìmeno ¸ste na diathreÐtai stajer h ro mzac dia

mèsw kulÐndrwn auxanìmenhc aktÐnac r. 'Etsi, en¸ to pedÐo taqÔthtac pèftei san 1r , kai h

epifneia tou kulÐndrou auxnei anloga tou r, o rujmìc ro c mzac diathreÐtai stajerìc.Pli h epitqunsh eÐnai aktinik kai prìc ton xona me

ar = ur∂ur∂r

,

anexrthta apì to prìshmo thc taqÔthtac. OmoÐwc kai h dÔnamh sto swmatÐdio eÐnai sthn ÐdiakateÔjunsh.

Sta prohgoÔmena paradeÐgmata ro c mìno me aktinik epitqunsh, eÐdame ìti uprqounshmantikoÐ periorismoi sto pedÐo taqÔthtac lìgw thc exÐswshc sunèqeiac. EÐte anaferìmastegia kuklik ro (efaptomenik taqÔthta) eÐte gia aktinik ro (aktinik taqÔthta) èqoume mìnoexrthsh apì thn aktÐna r kai ìqi apì thn gwnÐa φ. O periorismìc autìc den uprqei an h ro mac èqei aktinik kai efaptomenik sunist¸sa thc taqÔthtac. H exÐswsh sunèqeiac thc mzacmac dÐnei

~∇ · ~u =1r

∂

∂r(rur) +

1r

∂

∂φuφ = 0. (3.49)

H sqèsh aut ekfrzei to gegonìc ìti, an èqoume suss¸reush reustoÔ lìgw thc bajmÐdacthc efaptomenik c taqÔthtac, aut ja diafÔgei sthn aktinik kateÔjunsh (dec Sq. 3.6). Autìproupojètei ìti h aktinik sunist¸sa èqei bajmÐda sthn aktinik kateÔjunsh kai h efap-tomenik sunist¸sa exarttai toulqiston apo thn gwnÐa φ. Mlista eÔkola diapist¸noumeìti h perÐptwsh ur(r), uφ(φ) den eÐnai sumbat me thn exÐswsh sunèqeiac. Ed¸ kai oi dÔosunist¸sec prèpei na exart¸ntai kai apì tic dÔo suntetagmènec. Etsi an jewr soume ìti hgwniak exrthsh thc uφ eÐnai thc morf c ∼ sinmφ, ìpou m eÐnai akèraioc arijmìc ¸ste naeÐnai periodik wc proc φ gia mìnimh ro , tìte h ur ∼ cosmφ apì thn exÐswsh sunèqeiac, hopoÐa epiplèon mac dÐnei kai mia sqèsh gia thn aktinik exrthsh metaxÔ twn dÔo sunistws¸n.An ìmwc exetsoume thn epitqunsh ja doÔme ìti aut ja èqei ìrouc me sin 2mφ ktl. OmoÐwckai h dÔnamh ja èqei parìmoiec exart seic kai ja eÐnai dÔskolo na ikanopoihjeÐ.


Sq ma 3.7: Sq. 3.7 Ro se kulindrikì swl na.

Gia na doÔme ìti h exÐswsh sunèqeiac eÐnai polÔ qrhsimh gia thn lÔsh problhmtwn ro c,idiaÐtera ìtan den èqoume ix¸dec kai èqoume "summetrik ro ja d¸soume to pardeigma thcro c mèsa se èna orizìntio kulindrikì swl na qwrÐc barÔthta ( dec Sq.3.7 ). Sthn perÐptwshaut gia asumpÐesto reustì èqoume se kulindrikèc suntetagmènec

~∇ · ~u =1r

∂

∂r(rur) +

1r

∂

∂φuφ +

∂

∂zuz = 0.

ElleÐyei barÔthtac13 mporoÔme na upojèsoume ìti to pedÐo ro c èqei mìno uz sunist¸sa. Ed¸fusik qwrei polÔ suz thsh diìti upojètoume ìti h ro mac eÐnai se str¸mata kai den èqoumeanmixh lìgw tÔrbhc. MporoÔme na deqjoÔme ìti autì eÐnai dunatì gia mètriec taqÔthtec kaiargìtera ja d¸soume kai posotikoÔc periorismoÔc14. Tìte h arq thc sunèqeiac mac dÐnei∂∂zuz = 0, dhl. h taqÔthta eÐnai anexrthth thc z−sunist¸sac. H epìmenh logik upìjesheÐnai ìti èqoume kai kulindrik summetrÐa, dhl. lìgw èlleiyhc barÔthtac èqoume anexarthsÐaapì th gwnÐa φ, kai h z- sunist¸sa thc taqÔthtac eÐnai mìno sunrthsh tou r kai tou qrìnout, ¸ste uz(r, t). An h diafor pÐeshc sta dÔo kra eÐnai anexrthth tou qrìnou, tìte kai hro eÐnai mìnimh kai èqoume mìno uz(r) kai h doulei mac èqei gÐnei polÔ pio eÔkolh. Gia nabroÔme thn exrthsh apo thn aktÐna prèpei na gnwrÐzoume thn bajmÐda pÐeshc kai ja prèpeina katafÔgoume sthn exÐswsh diat rhshc thc orm c pou eÐnai to antikeÐmeno tou epìmenoukefalaÐou.

Pardeigma Axosummetrik c ro c:Ac jewr soume thn tridistath axosummetrik ro me sunist¸sec, taqÔthtac

~u(r, θ) = ur(r, θ), 0, uθ(r, θ),

ìpou h kÐnhsh twn swmatidÐwn gÐnetai se èna epÐpedo pou dièrqetai apì ton z-xona. Etsiden èqoume uφ sunist¸sa oÔte exrthsh apì th gwnÐa φ. En gnwrÐzoume mÐa sunist¸sa thctaqÔthtac gia asumpÐesth ro , mporoÔme na broÔme thn llh, qrhsimopoiìntac thn exÐswsh

13Gia sun jeic roèc mporoÔme na paraleÐyoume th dÔnamh thc barÔthtac se ugr se sqèsh me th dÔnamh

lìgw pÐeshc llwn dunmewn. To krit rio gia na to knoume dÐnetai sto Kef 4 ìpou ja or''isoume kai ton

antÐstoiqo adistato arijmì. Etsi jewroÔme thn idanik perÐptwsh ìpou èqoume mìno orizìntia sunist¸sa

taqÔthtac. Fusik mi tètoia prosèggish den mporeÐ na isqÔsei ìtan to reustì eÐnai o aèrac, ektìc an persei

anemostrìbiloc9 dec Kef. 7).14Uprqei kai pnw kai ktw ìrio sthn taqÔthta. To pnw ìrio eÐnai gia na apofÔgoume fainìmena tÔrbhc

kai to krit rio eÐnai o arijmìc Reynoldc pou eÐnai anlogoc thc taqÔthtac (dec pargrafo ??). Tautìqrona

den mporeÐ na eÐnai kai polÔ qamhl diìti ta fainìmena trib c kaj¸c kai barÔthtac upeisèrqontai.


sunèqeiac. Estw p.q. ìti gnwrÐzoume thn aktinik sunist¸sa

ur(r, θ) =µ cos θr3

,

ìpou µ eÐnai mÐa stajer. Apì ton mhdenismì thc apìklishc tou pedÐou taqÔthtac èqoume, sesfairikèc suntetagmènec, gia thn uθ(r, θ) sunist¸sa

1r2

(− µr2

cos θ)

+1

r sin θ∂

∂θ(uθ sin θ)

kai oloklhrìnontac wc prìc θ

uθ =µ sin θr3

+ f(r)

ìpou f(r) eÐnai mi aujaÐreth sunrthsh, pou mporoÔme na thn prosdiorÐsoume n gnwrÐzoumekapoiec oriakèc sunj kec gia to pedÐo taqÔthtac. Etsi to prìblhma èqei peirec lÔseic h piìapl apì tic opoÐec eÐnai gia f(r) = 0.

Gia na èqoume perissìterec plhroforÐec gia th ro kai to fusikì nìhma thc stajerc µja upologÐsoume thn kukloforÐa gia mÐa kuklik kampÔlh C sto epÐpedo x − z(dec Sq. ????).Mìno h uθ sunist¸sa suneisfèrei sto epikampÔlio olokl rwma∮

C~u · d~l =

∫ 2π

0dθruθ(r, θ) =

µ

r2

∫ 2π

0dθ sin θ) = 0,

pou shmaÐnei ìti h mèsh tim tou strobilismoÔ pnw sthn epifneia pou perikleÐetai apì thnkampÔlh C mhdenÐzetai. Aw upologÐsoume t¸ra th ro mèsw miac sfairik c epifneiac aktÐnacr. EÔkola deÐqnei kaneÐc ìti kai sthn perÐptwsh aut to apotèlesma eÐnai mhdèn gia kjeaktÐna, ìpwc anamènetai apì ton mhdenismì thc apìklishc tou pedÐou taqÔthtac. To gegonìcìti h taqÔthta èqei kai gwniak exrthsh shmaÐnei ìti den èqoume na knoume me mÐa shmeiak phg an kai opoiad pote phg eÐnai entopismènh sto shmeÐo r = 0. Sto Kef 5.5 ja doÔme ìtih phg eÐnai èna shmeiakì dÐpolo ro c.

3.6 Diaqwrismìc epitqunshc lìgw strobilismoÔ

EÐdame sta prohgoÔmena ìti h apìklish tou pedÐou taqÔthtac ~∇ · ~u sundèetai me th metabol ìgkou tou reustoÔ kai epomènwc me th sumpiestìthta sth ro enìc reustoÔ. O strobilismìctou pedÐou taqÔthtac ~∇×~u eÐnai ex' Ðsou shmantikìc gia dÔo lìgouc: (a) MazÐ me thn apìklish(kai upì orismènec oriakèc sunj kec) kajorÐzoun pl rwc to pedÐo taqÔthtac, kai mporoÔme napoÔme ìti eÐnai oi "phgèc tou pedÐou taqÔthtac en den proume upìyh tic oriakèc sunj kec.(b) O strobilismìc tou pedÐou mac dÐnei epÐshc plhroforÐec gia thn Ôparxh strobÐlwn kaigenikìtera mac lèei an ta "swmatÐdia tou reustoÔ kaj¸c kinoÔntai stic troqièc touc (oi opoÐecden eÐnai aparaÐthto na eÐnai kampulìgramec gia na èqoume strobilismì), peristrèfontai epÐshcgÔrw apì ton xona touc15. Gia touc parapnw lìgouc ja prospaj soume na gryoume thnepitqunsh me diaforetik sqèsh, ¸ste na apomon¸soume ton ìro pou perièqei strobilismì.

O deÔteroc ìroc sthn (3.35) mporeÐ na anaptuqjeÐ wc ex c:

(~u · ~∇) · ~u = ~u ·(∑

i

ei∂

∂xi

)~u =

∑i

(~u · ei)∂~u

∂xi, (3.50)

15Dec Kef.

3.6. DIAQWRISM'OS EPIT'AQUNSHS L'OGW STROBILISMO'U 23

ìpou xi gia i = 1, 2, 3 eÐnai oi sunist¸sec x, y kai z antÐstoiqa kai ei gia i = 1, 2, 3 ta monadiaÐadianÔsmata ı, , k. Qrhsimopoi¸ntac apì to anptugma tou triploÔ exwterikoÔ ginomènou thnidiìthta :

(~a ·~b)~c = (~a · ~c)~b− ~a× (~b× ~c)

èqoume gia kje ìro tou ajroÐsmatoc sto dexiì mèroc thc (3.50)

(~u · ei)∂~u

∂xi= (~u · ∂~u

∂xi)ei − ~u× (ei ×

∂~u

∂xi)

=∂

∂xi(12u2)ei − ~u× (ei

∂

∂xi)× ~u. (3.51)

'Etsi, o ìroc metaforc thc epitqunshc gÐnetai

(~u · ~∇)~u =∑i

∂

∂xi(12· u2)ei − ~u× (

∑i

ei∂

∂xi)× ~u

= ~∇(12u2)− ~u× (~∇× ~u), (3.52)

kai h stigmiaÐa epitqunsh grfetai wc:

~a =∂~u

∂t+ ~∇(

12u2)− ~u× ~ζ. (3.53)

epitqunsh = topik + troqiak + epitqunshswmatidÐou epitqunsh epitqunsh peristrof c,

ìpou

~ζ = ~∇× ~u. (3.54)

H dianusmatik sunrthsh ~ζ = ~ζ(x, y, z, t) onomzetai dinusma strobilismoÔ. Ja doÔme argìteraìti èna tètoio dinusma, ìpote uprqei, sundèetai sun jwc (all ìqi pnta) me peristrof touugroÔ. Gia na akribologoÔme sundèetai me thn peristrof enìc reustoÔ swmatidÐou gÔrw apìton xon tou kaj¸c to swmatÐdio kineÐtai kat m koc thc troqic tou16. Kat kpoio trìpoo teleutaÐoc ìroc eÐnai h epitqunsh kaj¸c ta reust swmatÐdia peristrèfontai perÐ to kèntromzac tou swmatidÐou, en¸ tautìqrona kinoÔntai kat m koc twn gramm¸n ro c. O deÔterocìroc thc bajmÐdac thc kinhtik c enèrgeiac mac dÐnei thn epitqunsh lìgw thc metabol c toumètrou thc taqÔthtac kaj¸c kineÐtai kat m koc thc gramm c ro c. H kateÔjuns tou eÐnaikjeth stic kampÔlec stajeroÔ mètrou thc taqÔthtac kai mlista sthn kateÔjunsh aÔxhshc.'Etsi gia kuklik ro me uφ(r), o ìroc autìc èqei aktinik kateÔjunsh kai an eÐnai proc tokèntro h proc ta èxw, exarttai apì thn aktinik exrthsh. An èqoume ro se sugklÐnonkulindrikì swl na sthn +z-kateÔjunsh tìte kat m koc tou xona o ìroc autìc eÐnai epÐshcsthn +z kateÔjunsh. 'Otan ìmwc apomakrunìmaste proc to kulindrikì toÐqwma tìte anlogame thn metabol thc diatom c mporeÐ na èqoume kai mÐa sunist¸sa kjeth kai proc ton z-xona.

H sÔgkrish thc (3.52) me thn (3.37) ìtan anaptÔxoume se sunist¸sec eÐnai qr simh. Ed¸apl¸c na parathr soume ìti h nèa morf egine me kpoia anaditaxh twn ìrwn. P.q. h

suneisfor tou ìpou ~∇(u2

2 ) eÐnai

~∇(u2

2) = +u

∂u

∂x+ v

∂v

∂x+ w

∂w

∂x.


Sq ma 3.8: Sq. 3.8 KateÔjunsh thc epitqunshc lìgw bajmÐdac tou mètrou taqÔthtac gia (a)

omal kuklik ro kai eujÔgrammh ro se (b) sugklÐnon kulindrikì swl na kai (g) me kjeth

bajmÐda .

Apì touc treÐc ìrouc mìno o pr¸toc uprqei mesa sthn (3.37) en¸ oi lloi dÔo prosjafairoÔn-tai ¸ste to upìloipo na mac d¸sei ton ìro me ton strobilismì, dhl. thn x−sunist¸sa tou−~u× (~∇× ~u).

O parapnw diaqwrismìc eÐnai qr simoc, all ja tan sflma na sumpernoume ìti oìroc thc peristrof c teÐnei na suneisfèrei shmantik se peristrofik ro , en¸ o ìroc thckinhtik c enèrgeiac eÐnai pio shmantikìc se eujÔgrammh ro . P.q. gia thn eujÔgrammh ro me~u = (ay, 0, 0), a = stajer , h suneisfor apì ton ìro thc peristrof c eÐnai Ðsh me

~ζ × ~u = −∂u∂yk × ui = −a2yj

kai eÐnai antÐjeth aut c toÔ ìrou thc kinhtik c enèrgeiac,

~∇(12u2) = a2yj.

'Etsi sunolik h suneisfor twn dÔo ìrwn eÐnai mhdèn ìpwc anamènetai diìti (~u · ~∇)~u = 0.Gia thn kulindrik aktinik ro me ~u = ( br , 0, 0), b = stajer, èqoume ~∇× ~u = 0. Ara

mìno o ìroc thc kinhtik c enèrgeiac suneisfèrei −b2 1r3er kai h epitqunsh eÐnai proc ton xona

tou kulÐndrou.Ac exetsoume t¸ra dÔo peript¸seic peristrofik c ro c. Gia thn peristrof me stajer

gwniak taqÔthta ~u = (0, uφ = ω0r, 0), o ìroc thc kinhtik c enèrgeiac mac dÐnei

d

dr

u2φ

2= ω2

0rer.

O ìroc lìgw peristrof c eÐnai

~ζ × ~u = (−2ω0ez)× (ω0reφ) = −2ω20rer,

16Dec 17

3.7. ASTR'OBILO PED'IO TAQ'UTHTAS 25

pou eÐnai diplsioc all sthn antÐjeth kateÔjunsh, ètsi ¸ste to jroisma mac dÐnei thn gnwst kentromìlo epitqunsh. 'Ean h taqÔthta èqei uφ = K

r ,K = stajer , tìte o ìroc peristrof cden suneisfèrei, lìgw mhdenismoÔ thc stroform c, kai h kentromìloc epitqunsh proèrqetaiapì th bajmÐda thc kinhtik c enèrgeiac. Ta parapnw apotelèsmata sunoyÐzontai ston pÐnaka3.1.

PÐnakac 3.1 Suneisfor sthn epitqunsh twn ìrwn stroform c kai bajmÐdac kinhtik cenèrgeiac.

Ro taqÔthta ~∇× ~u ~ζ × ~u ~∇(12u

2) epitqunsh

EujÔgrammh ~u = (u0y, 0, 0) −u0k −u20yj u2

0yj 0

aktinik ~u = ( Q2πr , 0, 0) 0 0 −( Q2π )2 1

r3er −( Q2π )2 1

r3er

kulindrik

peristrof uφ = ω0r −2ω0ez −2ω20rer ω2

0rer −ω20rer

kulindrik

strìbiloc uφ = Kr 0 0 K2 1

r3er K2 1

r3er

eleÔjeroc

3.7 Astrìbilo PedÐo TaqÔthtac

Apì ton orismì tou strobilismoÔ ~ζ(~r, t), eÐnai profanèc ìti apoteleÐ èna dianusmatikì pedÐo kaiìpwc gia kje pedÐo mporoÔme na orÐsoume grammèc strobilismoÔ pou ìpwc kai oi grammèc ro ceÐnai efaptìmenec sto dinusma tou strobilismoÔ se kje shmeÐo. Oi upìloipec idiìthtec giathn puknìthta twn grammwn isqÔoun kat' analogÐa. Dustuq¸c en gènei h optik apeikìnish toupedÐou strobilismoÔ (ektìc apì eidikèc peript¸seic den mac dÐnei kai thn apeikìnhsh tou pedÐoutaqÔthtac. Kai toÔto diìti to pedÐo taqÔthtac kajorÐzetai ìqi mìno apì ton strobilismì touall kai thn apìklis tou. Gia thn perÐptwsh pou h ro eÐnai asumpÐesth èqoume mhdenismì thcapìklishc kai h taqÔthta orÐzetai apì ton strobilismì tou. Autì den faÐnetai idiaÐtera qr simodiìti ston orismì toÔ strobilismoÔ mpaÐnei h taqÔthta. En toÔtoic eÐnai dunatìn na metr soumepeiramatik ton strobilismì tou pedÐou taqÔthtac, en¸ gia qarakthristikèc phgèc tou pedÐoutaqÔthtac o strobilismìc eÐnai gnwstìc. Af noume gia to Kef. 7 to prìblhma upologismoÔthc taqÔthtac apo to strobilismì tou gia asumpÐesth ro . Ed¸ arkeÐ na anafèroume ìti toprìblhma eÐnai apolÔtwc anlogo me autì tou magnhtikoÔ pedÐou anexrthtou tou qrìnou lìgwkatanom c reÔmatoc. Gia thn perÐptwsh aut h exÐswsh Maxwell mac dÐnei

~∇× ~B =?? ~J

Gia tì magnhtikì pedÐo ~B èqoume pnta ~∇ · ~B = 0, en¸ o strobilismìc tou orÐzetai apì thnkatanom reÔmatoc.

An o strobilismìc tou pedÐou taqÔthtac ~u(~r, t) mhdenÐzetai dhl. an ~ζ = ~∇×~u = 0 tìte lèmeìti to pedÐo eÐnai astrìbilo h diathrhtikì. To pedÐo jewreÐtai diathrhtikì an to epikampÔlioolokl rwma tou pedÐou kat m koc thc metakÐnhshc (ideat c) enìc reustoÔ swmatidÐou apì ènashmeÐo se èna llo shmeÐo den exarttai apì thn diadrom all apì ta dÔo shmeÐa mìno. Tètoia


Sq ma 3.9: Sq. 3.9 Gia astrìbilh ro h kukloforÐa mhdenÐzetai gia thn kleist diadrom C,

all eÐnai anexrthth thc diadrom c pou èqei ta Ðdia kra.

paradeÐgmata eÐnai to barutikì pedÐo thc dÔnamhc èlxhc apì th G h dÔnamh Coulomb anmesase dÔo hlektrik fortÐa kai sthn perÐptwsh aut to epikampÔlio olokl rwma thc dÔnamhceÐnai tì èrgo, ètsi ¸ste an ta dÔo shmeÐa sumpÐptoun tìte to sunolikì èrgo mhdenÐzetai. SthnperÐptwsh tou pedÐou taqÔthtac h antÐstoiqh posìthta gia mÐa kleist diadrom C eÐnai hkukloforÐa KC

KC =∮C~u · d~l kukloforÐa. (3.55)

Apì to je¸rhma Stokes èqoume∮C~u · d~l =

∫S

(~∇× ~u) · d~S =∫S

~ζ · d~S (3.56)

ìpou S eÐnai mia epifneia pou perikleÐetai apì thn kleist kampÔlh C. To dexiì mèroc mhdenÐze-tai gia astrìbilh ro , kai epomènwc kai h kukloforÐa gia opoiad pote diadrom mhdenÐzetai.'Opwc kai sthn perÐptwsh tou èrgou kai ed¸ h kukloforÐa gia mia anoikt diadrom exarttaimìno apì t kra kai ìqi apì thn diadrom (dec Sq. 3.9). Kai sthn perÐptwsh thc astrì-bilhc ro c mporoÔme na orÐsoume mÐa nèa bajmwt sunrthsh Φ = Φ(x, y, z, t) pou orÐzei thntaqÔthta wc :

~u = −~∇Φ (3.57)

kai h Φ onomzetai dunamikì taqÔthtac17. Ja anaferjoÔme argìtera (Kef. 5 ) s' aut thn perÐptwsh. Ed¸ ac arkestoÔme na parathr soume ìti oi isodunamikèc epifneiec dhlad Φ(x, y, z, t)=staj. eÐnai orjog¸niec stic grammèc ro c pou eÐnai ex orismoÔ efaptomenikècsto dianusmatikì pedÐo thc taqÔthtac. Apì ton orismì epÐshc tou dunamikoÔ faÐnetai ìti ìtan~ζ = 0, oi grammèc ro c tou ugroÔ èqoun kateÔjunsh apì uyhlì dunamikì se qamhlìtero. AutìisqÔei an to dunamikì Φ orÐzetai me to "- prìshmo. Suqn sthn bibliografÐa qrhsimopoieÐtaikai to antÐjeto prìshmo.

Ed¸ prèpei na upenjum soume thn analogÐa me to hlektrostatikì pedÐo ~E. En denèqoume qronoexarthmèno magnhtikì pedÐo tìte to antÐstoiqo hlektrikì dunamikì dÐnetai apìthn exÐswsh Poisson, ìpou oi phgec eÐnai h katanom thc puknìthtac tou fortÐou, en¸ stonelèjero q¸ro ikanopoieÐ thn exÐswsh Laplace

∇2Φ = 017To dunamikì taqÔthtac èqei diastseic L2/T kai den prèpei na sugqèetai me to dunamikì diathrhtik c

dÔnamhc.

3.7. ASTR'OBILO PED'IO TAQ'UTHTAS 27

Sq ma 3.10: Sq. 3.10 Gwniak taqÔthta kai paramìrfwsh dÔo gramm¸n reustou pou paramor-

f¸nontai sto x− y epÐpedo.

ektìc apì memonomènec "phgèc", shmeiakèc h grammikèc all ìqi aparaÐthta mhdenikoÔ eÔrouc, hopoÐa prèpei na lujeÐ paÐrnontac upìyh tic oriakèc sunj kec all kai thn sumperifor kontstic "phgèc".

En h ro eÐnai astrìbilh all sumpiest tìte pli mporoÔme na orÐsoume to dunamikìΦ(~r, t) all sthn perÐptwsh aut den eÐnai tìso qr simo. Autì ofeÐletai sto gegonìc ìtiden mporoÔme na qrhsimopoi soume thn exÐswsh Laplace. Tìte prèpei na proume upìyh kaithn apìklish, h opoÐa dr san phg anloga me thn katanom thc apìklishc stì q¸ro. SeantÐjesh me to hlektrikì antÐstoiqo ìpou suqn h katanom tou fortÐou eÐnai gnwst , ed¸ hapìklish exarttai kai apì thn katanom thc puknìthtac mèsw thc exÐswshc thc sunèqeiac.Autì pro "upojètei th sunolik epÐlush mazÐ me tic exis¸seic diat rhshc thc orm c. Eutuq¸cìmwc gia roèc me mikrì arijmì Mach mporoÔme na jewr soume ìti h apìklish mhdenÐzetai.IdiaÐtera gia didistath asumpÐesth ro mporoÔme na orÐsoume pli mÐa bohjhtik sunrthsh,pou onomzetai sunrthsh ro c thc opoÐac to fusikì nìhma ja doÔme sto tèloc tou kefalaÐou.Kai sthn perÐptwsh aut h qrhsimìthta thc eÐnai ìtan h ro eÐnai kai astrìbilh. An kai sthnperÐptwsh aut èqoume th sunrthsh dunamikoÔ kai h sunrthsh ro c ja mac faneÐ polÔqr simh.

3.7.1 Peristrof reustoÔ swmatidÐou kai strobilismìc

Mèqri t¸ra eisgame thn ènnoia tou "swmatidÐou reustoÔ pou kineÐtai kat m koc twn gramm¸nro c. H shmeiak aut apeikìnish apokrÔptei thn pragmatik eikìna kai eÐnai mÐa prosèggish.Kat' arq n to "swmatÐdio èqei ìgko kai ìpwc kje stereì s¸ma mporeÐ na èqei kai peristrof gÔrw apì kpoio xona tou. Tautìqrona mporoÔme na èqoume kai paramìrfwsh tou sq matoctou swmatidÐou. 'Opwc ja doÔme ìlh aut h plhroforÐa eÐnai krummènh sto pedÐo taqÔthtac18

~u(~r). Sto parìn keflaio ja asqolhjoÔme mìno me thn peristrof tou swmatidÐou kai jadeÐxoume ìti h gwniak taqÔthta peristrof c gÔrw apì xona tou sundèetai me ton strobilismìtou pedÐou taqÔthtac.

18Ta Ðdia sumpersmata isqÔoun kai an akìmh to pedÐo taqÔthtac exarttai apì ton qrìno.


Ac jewr soume sto Sq. ?? dÔo eujÔgramma tm mata AB kai BC me m kh dy kai dxantÐstoiqa, orjog¸nia metaxÔ touc se qrìno t = 0. Lìgw thc ro c, met apì elqisto qrìnodt èqoume metabol tou m kouc twn tmhmtwn all kai thc metaxÔ touc gwnÐac. Se qrìno dt taeujÔgramma tm mata èqoun m kh A′B′ kai B′C ′ kai sqhmatÐzoun gwnÐec dβ kai dα antÐstoiqame ton arqikì prosanatolismì. MporoÔme na orÐsoume th gwniak taqÔthta ωz gÔrw apì tonz-xona, san ton mèso rujmì thc antÐjethc (proc touc deÐktec tou rologioÔ) peristrof c twndÔo grammwn, afoÔ prosèxoume ìti h for mètrhshc twn gwni¸n dβ kai dα eÐnai antÐjeth.'Etsi èqoume

ωz =12

(dα

dt− dβ

dt

).

Apì thn gewmetrÐa tou sq matoc blèpoume ìti oi probolèc tou A′B′ eÐnai ∂u∂ydydt kai dy +∂v∂ydydt, en¸ oi antÐstoiqec sqèseic gia to B′C ′ eÐnai dx + ∂u

∂xdxdt, kai∂v∂xdxdt. Gia mikrì dt

mporoÔme na proseggÐsoume tic gwnÐec dα kai dβ kai na tic sundèsoume me parag¸gouc thctaqÔthtac, dhl.

dα = limdt→0

[tan−1

∂v∂xdxdt

dx+ ∂u∂xdxdt

]≈ ∂v

∂xdt

dβ = limdt→0

[tan−1

∂u∂ydydt

dy + ∂v∂ydydt

]≈ ∂u

∂ydt

kai antikajist¸ntac èqoume gia thn gwniak taqÔthta

ωz =12

(∂v

∂x− ∂u

∂y

).

Me ton Ðdio trìpo brÐskoume tic llec dÔo sunist¸sec thc gwniak c taqÔthtac

ωx =12

(∂w

∂y− ∂v

∂z

),

ωy =12

(∂u

∂z− ∂w

∂x

).

Autèc ìmwc eÐnai oi sunist¸sec (mèqri mia pollaplasiastik stajer) tou strobilismoÔtou pedÐou taqÔthtac. 'Etsi,

~ω =12~∇× ~u ≡ 1

2~ζ, (3.58)

[strobilismìc] = 2 · [gwniak taqÔthta swmatidÐou]( sto shmeÐo ~r) ( gÔrw apì to shmeÐo ~r).

Epeid h (??) eÐnai dianusmatik sqèsh mac dÐnei th dunatìthta apo ton upologismì thc stro-form c na gnwrÐzoume kai thn kateÔjunsh tou xona peristrof c tou swmatidÐou gÔrw apìton eautì tou.

Apì to apotèlesma autì sumperaÐnoume ìti gia èna astrìbilo pedÐo ta swmatÐdia toureustoÔ akoloujoÔn tic grammèc ro c qwrÐc na peristrèfontai gÔrw apì ton xona touc.Autì den shmaÐnei ìti sto astrìbilo pedÐo den èqoume peristrof gÔrw apì xona anaforc(ektìc tou swmatidÐou). 'Etsi mporoÔme na èqoume kampulìgrammec troqièc.

Ean oi gwnÐec dα kai dβ eÐnai Ðsec tìte h gwniak taqÔthta ωz mhdenÐzetai kai den èqoumeperistrof . 'Eqoume ìmwc paramìrfwsh h opoÐa mporeÐ na ekfrasteÐ me to rujmì pou metabl-letai me to qrìno h gwnÐa metaxÔ twn eujÔgrammwn tmhmtwn, dhl. h π

2 − (α+ β). O rujmìcdÐnetai apì thn sqèsh

εxy =dα

dt+dβ

dt=∂v

∂x+∂u

∂y,

3.8. DIDI'ASTATH ASUMP'IESTH RO'H KAI SUN'ARTHSH RO'HS. 29

ìpou to sÔmbolo εxy eÐnai to mètro thc diatmhtik c paramìrfwshc sto x − y epÐpedo. 'Opwcja doÔme argìtera apaitoÔntai kai llec posìthtec gia na ekfrsoume thn paramìrfwsh semÐa tridistath ro .

3.8 Didistath asumpÐesth ro kai sunrthsh ro c.

Sthn paroÔsa pargrafo ja exetsoume epiplèon sunèpeiec thc asumpÐesthc ro c ìpou hapìklish tou pedÐou taqÔthtac mhdenÐzetai. Ja doÔme ìti oi sunèpeiec gia didistatec roèc eÐnaientupwsiakèc ìso afor thn epÐlush gia to pedÐo taqÔthtac. Gia aplìthta ja jewr soumemìnimec roèc. Sthn perÐptwsh aut èqoume mìno dÔo sunist¸sec thc taqÔthtac pou exart¸ntaiapì tic antÐstoiqec dÔo suntetagmènec. Sthn kathgorÐa aut upgontai h epÐpedh ro sekartesianèc h polikèc suntetagmènec me

~u = u(x, y)i+ v(x, y)j

h~u = uR(R,φ)eR + uφ(R,φ)eφ

kaj¸c kai h axosummetrik ro me

~u = uR(R, z)eR + uz(R, z)ez

ìpou den èqoume exrthsh apì thn gwnÐa φ kai den uprqei h antÐstoiqh sunist¸sa thc taqÔth-tac.

O epiplèon periorismìc tou mhdenismoÔ thc apìklishc mac dÐnei thn dunatìthta na exaleÐy-oume mÐa sunist¸sa. Se dÔo diastseic gia ton mhdenismì thc apìklishc èqoume ìti

∂u

∂x+∂v

∂y= 0 (3.59)

H (??) ikanopoieÐtai an orÐsoume mÐa sunrthsh Ψ(x, y) tètoia ¸ste

u =∂Ψ∂y

v = −∂Ψ∂x

(3.60)

ìpwc faÐnetai me apl antikatstash. Etsi to prìblhma periorÐzetai ston prosdiorismì mìnothc sunrthshc Ψ(x, y) h opoÐa fusik ja prèpei na ikanopoieÐ thn exÐswsh diat rhshc thcorm c me tic katllhlec oriakèc sunj kec. Autì af netai gia argìtera. Apì thn (??) blèpoumeìti h taqÔthta eÐnai efaptomènh twn kampul¸n me stajerì Ψ(x, y, ) = Ψ0. Ontwc èqoume

~u · ~∇Ψ = 0,

gi' autì kai h sunrthsh Ψ onomzetai sunrthsh ro c.To fusikì nìhma thc sunrthshc ro c eÐnai eÔkolo an jewr soume thn ro anmesa apì

dÔo grammec ro c me antÐstoiqec timèc Ψ1 kai Ψ2. O rujmìc ro c ìgkou reustoÔ an mondakjethc sto epÐpedo diatom c eÐnai

dQ = (~u · n)dS


Sq ma 3.11: Sq. 3.11 (a) Gewmetrik ermhneÐa thc sunrthshc ro c wc rujmìc ro c ìgkou

mèsw stoiqeÐou epifneiac. (b) kateÔjunsh ro c anloga me thn metabol tou Ψ.

Sq ma 3.12: Sq. 3.12 Grammèc ro c gia axosummetrik ro .

ìpou h epifneia dSn orÐzetai apì dSn = d~r × k ìpou to dinusma d~r en¸nei dÔo shmeÐa sticgrammèc ro c tou Sq. ?? kai to monadiaÐo dinusma k eÐnai kjeto sto epÐpedo ro c. Apì tonorismì d~r = dxi+ dyj èqoume d~r × k = dyi− dxj kai

dQ =(−∂Ψ∂y

i+∂Ψ∂x

j

)· (dyi− dxj) =

∂Ψ∂x

dx+∂Ψ∂y

dy = dΨ

dhl h metabol sthn Ψ anmesa se dÔo shmeÐa eÐnai arijmhtik ish me to rujmì ro c ìgkoumèsw thc eujeÐac pou en¸nei ta dÔo shmeÐa. Epiplèon h dieÔjunsh ro c orÐzetai apo to an hmetabol thc sunrthshc Ψ eÐnai jetik h arnhtik anmesa sta dÔo kra19.

Se polikèc suntetagmènec (R,φ) mporoÔme omoÐwc na orÐsoume thn sunrthsh ro c Ψ(R,φ)kai tic antÐstoiqec sunist¸sec thc taqÔthtac (uR, uφ) wc

uR =1R

∂Ψ∂φ

(3.61)

uφ = −∂Ψ∂R

(3.62)

pou ikanopoioÔn epÐshc ton mhdenismì thc apìklishc.Gia thn axosummetrik ro 20 (Sq. ??) èqoume omoÐwc apì thn sunrthsh ro c Ψ(R, z) se

kulindrikèc suntetagmènec

uR = − 1R

∂Ψ∂z

19Autì exarttai kai apì thn epilog twn pros mwn sthn (??). Gia thn epilog mac, en to dinusma d~r,

en¸nei dÔo grammèc stajeroÔ Ψ me Ψ2 > Ψ1 (ìpwc sto Sq. ??a), tìte h taqÔthta ro c eÐnai proc ta dexi tou

dianÔsmatoc d~r, en¸ gia Ψ2 < Ψ1 èqei antÐjeth for20H axosummetrik ro gÐnetai pnw se epÐpeda φ = stajer kai eÐnai anexrthth tou φ. Etsi, mporoÔme

na qrhsimopoi soume kulindrikèc h sfairikèc suntetagmènec.

3.8. DIDI'ASTATH ASUMP'IESTH RO'H KAI SUN'ARTHSH RO'HS. 31

uz =1R

∂Ψ∂R

(3.63)

Sthn parapnw perÐptwsh pou den èqoume exrthsh apì thn gwnÐa φ mporoÔme na qrhsimopoi -soume kai sfairikèc suntetamènec21 me Ψ(r, θ) ¸ste oi sunist¸sec taqÔthtac eÐnai

ur =1

r2 sin θ∂Ψ∂θ

uθ = − 1r sin θ

∂Ψ∂r

(3.64)

Oi parapnw sqèseic bgaÐnoun eÔkola apì ton mhdenismì thc apìklishc se kulindrikèc hsfairikèc suntetagmènec. ExÐsou eÔkola ìmwc bgaÐnoun an ekmetaleutoÔme to fusikì nìhmathc sunrthshc ro c kai dialèxoume to katllhlo sÔsthma suntetagmènwn. Tic peript¸seicautèc ja sunant soume argìtera se arket probl mata.

Gia didistath ro sto epÐpedo x− y o strobilismìc èqei mìno z−sunist¸sa ~ζ = ζz z me

ζz =∂u

∂y− ∂v

∂x. (3.65)

En epiplèon h ro eÐnai asumpÐesth tìte eisgoume thn sunrthsh ro c Ψ(x, y), me ticsunist¸sec thc taqÔthtac na dÐnontai apì tic sqèseic (??). Tìte

ζz =∂

∂x

(−∂Ψ∂x

)− ∂

∂y

∂Ψ∂y

= −∇2Ψ. (3.66)

Etsi h sunrthsh ro c ikanopoieÐ mÐa exÐswsh tÔpou Poisson

∇2Ψ = −ζz (3.67)

dhl. o strobilismìc eÐnai h phg thc sunrthshc ro c, se dÔo diastseic.En sumbeÐ tautìqrona h didistath ro na eÐnai kai astrìbilh, dhl. èqoume gia thn

monadik sunist¸sa tou strobilismoÔ se kartesianèc suntetagmènec kai eÔkola sumperaÐnoumeìti h sunrthsh ro c ikanopoieÐ thn exÐswsh Laplace se dÔo diastseic,

∇22Ψ(x, y) = 0 didistath, asumpÐesth, astrìbilh. (3.68)

Thn idiìthta aut ja ekmetaleujoÔme argìtera diìti arkei h lÔsh thc exÐswshc Laplace, giathn perÐptwsh aut , me tic katllhlec oriakèc sunj kec sthn sunrthsh ro c. Na shmeiwjeÐìti poujen den qreizetai na upojèsoume ìti h ro eÐnai mìnimh, arkeÐ na eÐnai asumpÐesth kaiastrìbilh. To ìti den eisèrqetai mesa sthn exÐswsh Laplace o qrìnoc den eÐnai anhsuqhtikì,kajìson mporeÐ na mpei mèsw twn oriak¸n sunjhk¸n. Gia thn perÐptwsh aut ja mporousame naorÐsoume epÐshc thn sunrthsh dunamikoÔ gia thn taqÔthta h opoÐa upakoÔei epÐshc thn exÐswshLaplace. Apo ton orismì thc sunrthshc dunamikoÔ sungoume ìti oi grammèc stajeroÔdunamikoÔ eÐnai kjetec stic grammèc stajer c sunrthshc ro c.

Gia thn perÐptwsh asumpÐesthc kai astrìbilhc ro c mporoÔme na gryoume kai thn epitqunshreust¸n swmatidÐwn qrhsimopoiìntac thn sunrthsh ro c. Apì thn (3.53) kai (??) èqoume

~a =12~∇(u2) =

12~∇(|~∇Ψ|2) (3.69)

21Sthn perÐptwsh aut onomzetai sunrthsh ro c Stokes.


LÔsh thc (??) mac dÐnei kai thn epitqunsh twn reust¸n swmatidÐwn se kje shmeÐo. AutìshmaÐnei ìti gnwrÐzoume kai thn olik dÔnamh lìgw thc pÐeshc pou askeÐtai sto swmatÐdio, kaiapì thn arq diat rhshc orm c mporoÔme na broÔme kai thn pÐesh se kje shmeÐo22.

Gia trisdistath asumpÐesth ro (~∇ · ~u = 0), ìpwc gia kje pedÐo me mhdenik apìklish23

mporoÔme na orÐsoume èna dianusmatikì pedÐo ~A(~r), tètoio ¸ste ~u = ~∇× ~A. To ~A(~r) onomzetaidianusmatikì pedÐo ro c kai h qr sh tou ja faneÐ sto Kef. 7. Ed¸ na poÔme ìti gia didistathro (x − y epÐpedo) to pedÐo aplopoieÐtai wc ~A(~r) = Ψ(x, y)k ¸ste o strobilismìc tou èqeimìno sunist¸sa kjeth sto x− y epÐpedo.

3.9 Epitqunsh se mh adraneiakì sÔsthma

Sta prohgoÔmena24 upologÐsame thn epitqunsh enìc reustoÔ swmatidÐou apo to pedÐo taqÔth-tac qrhsimopoiìntac thn ulik pargwgo. Suqn to ginìmenì thc me thn puknìthta onomzoumedÔnamh adrneiac, ρD~uDt , pou mporoÔme na jewr soume ìti apoteleÐtai apì treic ìrouc

ρ

∂~u

∂t+ ~∇(

12u2) + (~∇× ~u)× ~u

(3.70)

ìpou o pr¸toc eÐnai lìgw thc topik c adrneiac kai oi lloi dÔo lìgw thc adrneiac metaforc,me ton pr¸to na proèrqetai apì metabol thc kinhtik c enèrgeiac sto q¸ro kai o deÔteroc lìgwperistrof c. `Iswc h anafor stouc ìrouc thc (??) san adraneiakèc dunmeic na akoÔgetaiperÐerga all eÐnai apìluta dikaiologhmènh an knoume mia analogÐa me tic adraneiakèc dunmeic(all tautìqrona mac dÐnetai h eukairÐa na tonÐsoume kai tic diaforèc) ìtan perigrfoume thnkÐnhsh enìc stereoÔ s¸matoc wc proc èna peristrefìmeno mh adraneiakì sÔsthma. Ena mhadraneiakì sÔsthma èqei epitqunsh, eÐte thc arq c twn axìnwn eÐte kai tautìqronh peristrof twn axìnwn. Etsi opoiod pote peristrefìmeno sÔsthma eÐnai mh adraneiakì. EkeÐ h metbashapì to adraneiakì sto mh adraneiakì sÔsthma eisgei epiplèon ìrouc ston upologismì thcepitqunshc oi opoÐoi ermhneÔontai suqn wc adraneiakèc yeudodunmeic. Tautìqrona ìmwcprèpei na eÐmaste prosektikoÐ ¸ste h analogÐa aut na mhn eÐnai paraplanhtik kajìson sthnulik pargwgo to sÔsthm mac eÐnai apìluta adraneiakì. Oi epiplèon ìroi pou èqoume ed¸ denofeÐlontai sthn perigraf se èna mh adraneiakì sÔsthma, (pou apaiteÐ allag topik¸n axìnwn),all sthn metbash apì tic metablhtèc Lagrange se metablhtèc Euler kai ton orismì thculik c parag¸gou, wc thn metabol thc taqÔthtac me ton qrìno kaj¸c akoloujoÔme ton ìgkotou ugroÔ. Oi epiplèon ìroi ofeÐlontai sthn diafora thc taqÔthtac swmatidÐou kai tou pedÐoutaqÔthtac kai sthn metbash apì thn perigraf Euler sthn perigraf Lagrange. Apì thnllh pleur an èqoume èna peristrefìmeno sÔsthma anaforc tìte ìpwc kai me to stereì s¸mah epitqunsh pou sundèetai me thn qr sh tou mh adraneiakoÔ sust matoc mporeÐ na jewrhjeÐìti eisgetai me tic yeudodunmeic Coriolis kai fugokèntrou. Sth sunèqeia ja deÐxoume ìti hsqèsh anmesa stic epitaqÔnseic sto adraneiakì kai peristrefìmeno sÔsthma

epitqunsh sto adraneiakì sÔsthmaD~u

Dt

∣∣∣∣I

epitqunsh sto mh adraneiakì sÔsthmaD~u

Dt

∣∣∣∣R

(3.71)

22Gia thn perÐptwsh pou h ro den eÐnai astrìbilh, tìte lÔsh thc (??) proupojètei gn¸sh tou strobilismoÔ.

Tìte ja prèpei na lÔsoume tautìqrona gia thn sunrthsh ro c kai thn pÐesh. Sun jwc autì eÐnai ex' Ðsou

dÔskolo me to na lÔsoume ap' eujeÐac gia to pedÐo taqÔthtac kai thn pÐesh, paÐrnontac upìyh kai ton periorismì

asumpiestìthtac.23Dec analogÐa me to magnhtikì pedÐo.24Aut h pargrafoc mporeÐ na paraleifjeÐ qwrÐc na dhmiourghjoÔn elleÐyeic gia thn sunèqeia.

3.9. EPIT'AQUNSH SE MH ADRANEIAK'O S'USTHMA 33

Sq ma 3.13: Sq. 3.14 GewmetrÐa adraneiakoÔ kai peristrefìmenou sust matoc.

perilambnei kai touc ìrouc ~Ω × (~Ω × ~r), kai 2~Ω × ~uR, ìpou oi deÐktec I kai R anafèrontaisto adraneiakì kai peristrefìmeno sÔsthma me gwniak taqÔthta ~Ω. Oi dÔo autoÐ ìroi eÐnaioi antÐstoiqoi ìroi epitqunshc kentromìlou kai Coriolis.

H qr sh mh adraneiakoÔ sust matoc eÐnai epibeblhmènh se pollèc peript¸seic. Ena pardeigmaeÐnai h ro gÔrw apì mÐa epitaqunìmenh roukèta ìpou to sÔsthma anaforc epÐ thc roukètaceÐnai mh adraneiakì. H ro sthn epifneia thc g c gÐnetai se èna mh adraneiakì sÔsthma poulìgw thc peristrof c thc G c epitaqÔnetai se sqèsh me èna sÔsthma stajerì wc proc ta s-tra. Oi atmosfairikèc kai wkeanografikèc roèc sthn epifneia thc g c aisjnontai epitqunshCoriolis thc txhc 10−5g, ìpou g h epitqunsh thc barÔthtac. Parìlo to mikrì thc mège-joc, mporeÐ na èqei shmantik epÐdrash se meglhc klÐmakac roèc. AntÐjeta paraleÐpetai seroèc mikr c klÐmakac ìpwc se swl nec h gÔrw apì pterÔgia. Etsi p.q. se antÐjesh me touckukl¸nec sthn atmìsfaira thc G c, ènac strìbiloc sthn mpanièra mporeÐ na peristrèfetaime opoiad pote for, se antÐjesh me thn epikratoÔsa poyh, kai akìmh na allxei kai for.Sthn perÐptwsh aut h for den ephrezetai shmantik apì thn peristrof thc Ghc, ìso apìton uprqonta strobilismì sto nerì thc mpanièrac prÐn anoixei h katabìjra. Apì thn llhpleur o strobilismìc se mi pisÐna, opoÐa eÐnai akÐnhth gia arketèc hmèrec, eÐnai dunatìn naephreasteÐ apì thn peristrof thc G c.

Ac jewr soume èna mh adraneiakì sÔsthma axìnwn tou opoÐou h arq O′ èqei epitqunsh~a0 se sqèsh me èna adraneiakì sÔsthma (me arq axìnwn sto O), en¸ tautìqrona peristrèfetaime gwniak taqÔthta ~Ω gÔrw apì èna xona mèsw tou shmeÐou O′.

Estw e1, e2 kai e3 trÐa kjeta monadiaÐa dianÔsmata sto kinoÔmeno m adraneiakì sÔsthma.Tìte kje dinusma ~P mporeÐ na grafeÐ wc

~P = P1e1 + P2e2 + P3e3

En to dinusma autì sundèetai me kpoio kinoÔmeno swmatÐdio reustoÔ, tìte h metabol toume ton qrìno sto m adraneiakì susthma, eÐnai h ulik pargwgoc stì sÔsthma autì, dhl.

D~P

Dt

∣∣∣∣∣R

=DP1

Dt

∣∣∣∣Re1 +

DP2

Dt

∣∣∣∣Re2 +

DP3

Dt

∣∣∣∣Re3 (3.72)


kaj¸c sto mh adraneiakì sÔsthma ta monadiaÐa dianÔsmata e1, e2 kai e3 den metabllontaime ton qrìno. Enac mh peristrefìmenoc parathrht c sto shmeÐo O′ blèpei diaforetikì rujmìmetabol c lìgw thc peristrof c kai twn monadiaÐwn dianusmtwn. O rujmìc metabol c toucme ton qrìno25, lìgw peristrof c eÐnai

deidt

= ~Ω× ei

gia i = 1, 2, 3. Etsi èqoume

D~P

Dt

∣∣∣∣∣I

=D~P

Dt

∣∣∣∣∣R

+ P1de1

dt+ P2

de2

dt+ P3

de3

dt(3.73)

=D~P

Dt

∣∣∣∣∣R

+ P1~Ω× e1 + P2

~Ω× e2 + P3~Ω× e3 (3.74)

=D~P

Dt

∣∣∣∣∣R

+ ~Ω× ~P . (3.75)

Oi parapnw sqèseic mporoÔn na efarmostoÔn gia opoiod pote dinusma pou metafèretaimazÔ me to swmatÐdio. Ja mporoÔse p.q. na eÐnai h jèsh ~q′(t) enìc swmatidÐou reustoÔ sesqèsh me to O′. H taqÔthta tou swmatidÐou sto peristrefìmeno sÔsthma gÔrw apì to O′ eÐnai

~vr ≡d~q

dt

∣∣∣∣R

=dq1

dt

∣∣∣∣Re1 +

dq2

dt

∣∣∣∣Re2 +

dq3

dt

∣∣∣∣Re3 (3.76)

H taqÔthta se sqèsh me to kartesianì sÔsthma pou kineÐtai mazÔ me to shmeÐo O′ eÐnai

~v′ =d~q

dt

∣∣∣∣R

+ ~Ω× ~q. (3.77)

OmoÐwc, an sth jèsh tou ~P bloume to dinusma thc taqÔthtac tou swmatidÐou ~v′ èqoume giaton rujmì metabol c tou, dhl. thn epitqunsh,

~a′ =d~v′

dt

∣∣∣∣R

+ ~Ω× ~v′. (3.78)

En antikatast soume gia thn taqÔthta sthn (??) apì thn (??) me thn (??) èqoume

~a′ =(d

dt

[d~q

dt

∣∣∣∣R

+ ~Ω× ~q])

R

+ ~Ω×[d~q

dt

∣∣∣∣R

+ ~Ω× ~q]. (3.79)

=d2~q

dt2

∣∣∣∣∣R

+ 2~Ω× d~q

dt

∣∣∣∣R

+d~Ωdt× ~q + ~Ω× (~Ω× ~q). (3.80)

O parathrht c sto peristrefìmeno kai metatopizìmeno sÔsthma metr san taqÔthta kai epitqunshtou swmatidÐou

~u =d~q

dt

∣∣∣∣R,

~a =d2~q

dt2

∣∣∣∣∣R

.

25Sthn qronik metabol twn monadiaÐwn dianusmtwn qrhsimopoioÔme thn olik pargwgo me to qrìno ddt,

antÐ thc ulik c kajìson ta èqoume epilèxei na èqoun ton Ðdio prosanatolismì se ìla ta shmeÐa tou q¸rou kai

exart¸ntai mìno apì ton qrìno.

3.9. EPIT'AQUNSH SE MH ADRANEIAK'O S'USTHMA 35

Telik an proume upìyh ìti to sÔsthma anaforc O′ mporeÐ na èqei kai stajer epitqunsh~a0 tautìqrona me thn peristrof , èqoume gia thn epitqunsh pou blèpei o parathrht c stoadraneiakì sÔsthma

~aI = ~a0 + ~a′ = ~a0 + ~a+ 2~Ω× ~u+d~Ωdt× ~r + ~Ω× (~Ω× ~r), (3.81)

ìpou antikatast same to dinusma thc jèshc tou swmatidÐou ~q me to shmeÐo tou q¸rou ~r,kai gia thn taqÔthta èqoume blei thn antÐstoiqh taqÔthta pedÐou ~u(~r, t) sto mh adraneiakìsÔsthma gia thn taqÔthta tou swmatidÐou ìtan eÐnai sth jèsh ~q(t) = ~r. H epitqunnsh sto mhadraneiakì sÔsthma dÐnetai sunart sei tou pedÐou taqÔthtac sto Ðdio sÔsthma apì thn ulik pargwgo sto sÔsthma autì, wc

~a =D~u

Dt≡ ∂~u

∂t+ (~u · ~∇)~u.

H olik epitqunsh prèpei na exiswjeÐ me thn sunolik dÔnamh an monda mzac. Na tonÐ-soume ìti h exÐswsh Newton h h antÐstoiqh diat rhshc thc orm c isqÔei gia èna adraneiakìsÔsthma, kai epomènwc prèpei na upologÐsoume kai thn antÐstoiqh epitqunsh sto adraneiakìsÔsthma. Oi exwterikèc dunmeic pou prèpei na upologÐsoume eÐnai oi pragmatikèc dunmeic.Suqn grfoume thn exÐswsh sto mh adraneiakì sÔsthma me thn epitqunsh sto m adraneiakìsÔsthma. Tìte stic dunmeic prèpei na sunupologÐsoume kai tic legìmenec yeudodunmeic anmonda mzac, pou den eÐnai tÐpote llo par oi epiplèon ìroi pou uprqoun sthn epitqunshme antÐjeto prìshmo. Etsi p.q. antÐ na milme gia kentromìlo epitqunsh sto adraneiakìsÔsthma, milme gia fugìkentro yeudodÔnamh sto mh adraneiakì sÔsthma. Etsi sto peristre-fìmeno sÔsthma h epitqunsh eÐnai ~a kai èqoume thn yeudodÔnamh an monda mzac,

−~a0 − 2~Ω× ~u− d~Ωdt× ~r − ~Ω× (~Ω× ~r), (3.82)

O pr¸toc ìroc −~a0 eÐnai eÐnai h fainomenik dÔnamh ìgkou pou antistajmÐzei thn epitqunshmetatìpishc tou mh adraneiakoÔ sust matoc kai den uprqei ìtan to adraneiakì sÔsthma èqeimìno peristrof . O ìroc −2~Ω×~u eÐnai h Coriolis yeudodÔnamh kai −~Ω×(~Ω×~r) h fugìkentrocyeudodÔnamh. O teleutaÐoc ìroc −d~Ω

dt × ~r uprqei mìno an h peristrof tou mh adraneiakoÔsust matoc den eÐnai stajer me ton qrìno. En to mh adraneiakì sÔsthma anaforc èqei mìnoomal peristrof , to sÔnolo twn yeudodunmewn an monda mzac eÐnai

yeudodÔnamhsto peristrefìmeno

sÔsthma= −2~Ω× ~u− ~Ω× (~Ω× ~r). (3.83)

Tic yeudodunmeic autèc ja analÔsoume leptomer¸c sto epìmeno keflaio.

Perieqìmena - University of Creteph406.edu.physics.uoc.gr/files/kef3.pdf · Kef laio 3 Kinhtik kai...

Documents

Transcript of Perieqìmena - University of Creteph406.edu.physics.uoc.gr/files/kef3.pdf · Kef laio 3 Kinhtik kai...