PERBANDINGAN METODE BOOTSTRAP DAN JACKKNIFEPADA PENDUGAAN MEAN SQUARED ERROR (MSE)

MODEL POISSON-GAMMA

(Skripsi)

Oleh

NIA ERLITA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2018

ABSTRACT

COMPARISON OF BOOTSTRAP AND JACKKNIFE METHODSON MEAN SQUARED ERROR (MSE) WITH

POISSON-GAMMA MODEL

By

NIA ERLITA

The purpose of this research is to determine the relative risk value and evaluatethe value of Mean Squared Error (MSE) on the EB estimator using the Bootstrapmethod and the Jackknife method and map the spread area of the disease based onthe relative risk value. This research was applied to data on the number of peoplewith HIV / AIDS in 34 provinces in Indonesia in 2018. The results showed thatthe Bootstrap method produced smaller MSE. Statistically, at the 5% level, theaverage MSE Bootstrap and Jackknife had no significant differences. Based onthe results of regional mapping by using ArcGIS 10.3 Software, the lowest risk ofcontracting HIV / AIDS is in North Sumatra Province, while the highest risk is inthe Riau Islands Province.

Keywords: Empirical Bayes (EB), Poisson-Gamma Model, Mean Squared Error(MSE), Bootstrap, Jackknife

ABSTRAK

PERBANDINGAN METODE BOOTSTRAP DAN JACKKNIFEPADA PENDUGAAN MEAN SQUARED ERROR (MSE)

MODEL POISSON-GAMMA

Oleh

NIA ERLITA

Pendugaan area kecil merupakan teknik statistika yang digunakan untuk mendugaparameter subpopulasi dengan ukuran sampel yang kecil. Tujuan dari penelitianini adalah menentukan nilai risiko relatif dan mengevaluasi nilai Mean SquaredError (MSE) pada penduga EB menggunakan metode Bootstrap dan metodeJackknife serta memetakan wilayah sebaran penyakit berdasarkan nilai risikorelatif. Penelitian ini diaplikasikan pada data jumlah penderita HIV/AIDS pada 34provinsi di Indonesia tahun 2018. Perhitungan secara numerik dilakukan denganbantuan Software R 3.4.3, perhitungan secara statistik menggunakan uji-tdilakukan dengan bantuan Software Minitab, dan pemetaan wilayah dilakukandengan Software ArcGIS 10.3. Hasil penelitian menunjukkan bahwa metodeBootstrap menghasilkan MSE yang lebih kecil. Secara statistik, pada taraf nyata5% rata-rata MSE Bootstrap dan Jackknife tidak ada perbedaan yang signifikan.Berdasarkan hasil pemetaan wilayah, risiko terendah terjangkit penyakitHIV/AIDS berada di Provinsi Sumatera Utara, sedangkan risiko tertinggi beradadi Provinsi Kepulauan Riau.

Kata kunci : Empirical Bayes (EB), Model Poisson-Gamma, Mean Squared Error(MSE), Bootstrap, Jackknife

PERBANDINGAN METODE BOOTSTRAP DAN JACKKNIFEPADA PENDUGAAN MEAN SQUARE ERROR (MSE)

MODEL POISSON-GAMMA

Oleh

NIA ERLITA

SkripsiSebagai salah satu syarat mencapai gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2018

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Tempuran pada tanggal 13 Desember 1996, sebagai anak

pertama dari dua bersaudara, dari Bapak Suroso dan Ibu Rumini.

Pendidikan Taman Kanak-kanak (TK) Aisiyah Bustanul Athfal diselesaikan tahun

2002, Sekolah Dasar Negeri (SDN) 1 Tempuran Lampung Tengah diselesaikan

pada tahun 2008, Sekolah Menengah Pertama Negeri (SMPN) 3 Metro

diselesaikan pada tahun 2011, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Kartikatama

Metro diselesaikan pada tahun 2014.

Tahun 2014 penulis terdaftar sebagai mahasiswi Jurusan Matematika FMIPA

Universitas Lampung melalui jalur Seleksi Nilai Masuk Perguruan Tinggi Negeri

(SNMPTN). Pada tanggal 19 Januari sampai dengan 28 Februari 2017 penulis

melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Kalisari Kecamatan Kalirejo

Kabupaten Lampung Tengah. Selanjutnya pada tanggal 16 Juli sampai dengan 24

Agustus 2017 melaksanakan Kerja Praktik (KP) di Kantor Pelayanan Pajak

Pratama (KPP) Metro Kota Metro guna mengaplikasikan serta menerapkan ilmu

yang diperoleh dalam perkulian.

KATA INSPIRASI

“Ingatlah Allah saat hidup tak berjalan sesuai keinginanmu. Allahpasti punya jalan yang lebih baik untukmu”

(Anonim)

“Orang-orang beriman dan mengerjakan kebajikan, merekamendapatkan kebahagiaan dan tempat kembali yang baik”

(Q.S Ar-Ra’d : 29)

“...Sesungguhnya Allah tidak akan mengubah keadaaan suatu kaum,sehingga mereka mengubah keadaan yang ada pada diri mereka

sendiri...”(Q.S Ar-Ra’d : 11)

“Maka sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan,sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan”

(Q.S Al-Insyirah : 5-6)

PERSEMBAHAN

Dengan mengucap Alhamdulillah, puji dan syukur kehadirat AllahSWT kupersembahkan karya kecil sederhana ini kepada :

Bapak dan Ibuku Tercinta

Orang tua yang telah membesarkan, merawat, mendidik dan memberikandukungan materil maupun moril selama menempuh pendidikan hingga saat ini.Terimakasih atas doa dan harapan yang besar kepada saya, atas segala cintakasih sayang yang tulus ikhlas serta telah menjadi pembimbing hidup disetiap

langkah ini.

Adikku Tekasih

Adik yang selalu memberikan canda tawa dan keisengannya. Terima kasih telahmembuat saya menjadi kuat dan bersemangat untuk menikmati hari-hari.

Sahabat-sahabatku Tersayang

Sosok yang selalu menjadi tempat berbagi suka duka selama perkuliahan.Terimakasih untuk kehangatan yang telah kalian berikan

Almamater Tercinta

Universitas Lampung

SANWACANA

Alhamdulillahirabbil’alamin, puji syukur penulis haturkan kehadirat Allah SWT

atas berkat, rahmat, taufik dan hidayah-Nya, penyusunan Skripsi yang berjudul

“Perbandingan Metode Bootstrap dan Jackknife pada Pendugaan Mean

Squared Error (MSE) Model Poisson-Gamma “ dapat diselesaikan dengan baik.

Tak lupa shalawat serta salam yang selalu tercurahkan kepada junjungan kita Nabi

Muhammad SAW sebagai suri tauladan bagi kita.

Penulis menyadari bahwa dalam proses penyusunan Skripsi ini banyak

mengalami kendala, namun berkat bantuan, bimbingan dan kerjasama dari

berbagai pihak dan berkah dari Allah SWT sehingga kendala tersebut dapat

diatasi. Untuk itu, pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terimakasih

kepada :

1. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing pertama sekaligus dosen

Pembimbing Akademik yang dengan sabar meluangkan waktu, pikiran,

tenaga, ilmu serta senantiasa mengarahkan penulis dalam menyelesaikan

skripsi ini.

2. Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc., selaku dosen pembimbing kedua yang telah

memberikan saran dan mengarahkan penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

3. Bapak Drs. Rudi Ruswandi, M.Si., selaku dosen penguji yang telah

memberikan saran dan kritik dalam penyusunan skripsi ini.

4. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A, Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

6. Keluarga tercinta Bapak, Ibu, dan adik yang tiada hentinya mendoakan serta

memotivasi penulis dalam perkuliahan.

7. Para sahabat Shindy, Nur, Kadek, Rose, Nella, Yollanda, Novi, Linda, dan

Khusni yang selalu menjadi teman berbagi dan penyemangat selama

perkuliahan.

8. Rekan satu bimbingan, Shindy, Novi, Raka, Margaretha, Nourma, dan

Yunika, terimakasih atas semangat dan ilmu yang selalu dibagi selama

menyusun skripsi ini.

9. Ibnah teman sekamar yang selalu menemani penulis setiap harinya.

10. Rekan-rekan Mahasiswa Matematika angkatan 2014.

Semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini yang tidak dapat

penulis sebutkan satu persatu. Terima kasih.

Bandar Lampung, Desember 2017

Penulis

Nia Erlita

DAFTAR ISI

HalamanDAFTAR TABEL

DAFTAR GAMBAR

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ................................................................. 11.2 Tujuan ................................................................................................... 41.3 Manfaat ................................................................................................... 4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pendugaan Area Kecil (Small Area Estimation).................................... 52.2 Model Area Kecil .................................................................................. 5

2.2.1 Model Berbasis Area ................................................................. 62.2.2 ModeL Berbasis Unit .................................................................. 6

2.3 Metode Empiical Bayes (EB).................................................................. 62.4 Model Poisson-Gamma........................................................................... 82.5 Pendugaan Parameter dengan Metode Momen....................................... 92.6 Karakteristik Penduga Parameter.......................................................... 10

2.6.1 Takbias ...................................................................................... 102.6.2 Ragam Minimum ...................................................................... 11

2.7 Mean Squared Error (MSE).................................................................. 11

III. METODOLOG PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ............................................................. 143.2 Data Penelitian .................................................................................... 143.3 Metode Penelitian ................................................................................. 14

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Model Poisson-Gamma dengan Metode Empirical Bayes .................. 174.2 Pendugaan Parameter dengan Metode Momen..................................... 224.3 Karakteristik Penduga Empirical Bayes ............................................ 22

4.4 Pendugaan Mean Squared Error pada Penduga Empirical Bayes ....... 234.5 Aplikasi Pendugaan Area Kecil pada Data Jumlah Penderita HIV/

AIDS pada 34 Provinsi di Indonesia Tahun 2017 ............................... 264.5.1 Uji Distribusi Data...................................................................... 274.5.2 Pendugaan Risiko Relatif Jumlah Penderita HIV/AIDS di

Indonesia ................................................................................... 284.5.3 Uji-t pada Nilai MSE Bootstrap dan Jackknife Jiang ................ 314.5.4 Hasil Pemetaan Risiko Relatif Wilayah Penderita HIV/AIDS

pada 34 Povinsi di Indonesia Tahun 2017.................................. 32

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1 Data Penderita HIV/AIDS Tahun 2017 di Indonesia...............................26

2 Hasil Dugaan Risiko Relatif Jumlah Penderita HIV/AIDS di IndonesiaTahun 2017............................................................................................ ..29

3 Nilai Bias dan MSE dari Jumlah Kasus Penyakit HIV/AIDS diIndonesia Tahun 2017 ............................................................................. 30

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1 Uji Chi-Square Data Jumlah Penderita HIV/AIDS di IndonesiaTahun 2017 .......................................................................................... 28

2 Uji-t MSE Bootstrap dan MSE Jackknife Jiang ................................... 32

3 Penyebaran Risiko Relatif Penyakit HIV/AIDS di Indonesia Tahun2017....................................................................................................... 33

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Survei merupakan salah satu metode statistika yang digunakan untuk memperoleh

informasi pada suatu wilayah. Seiring dengan berjalannya waktu, ketertarikan

akan informasi-informasi pada area kecil seperti pada lingkup provinsi,

kabupaten, kecamatan, dan kelurahan/desa sangat dibutuhkan. Suatu area

dikatakan kecil apabila sampel yang diambil pada area tersebut tidak mencukupi

untuk melakukan pendugaan langsung dengan hasil yang akurat. Pendugaan

langsung pada area kecil akan memberikan presisi yang rendah karena ukuran

sampel yang kecil sehingga diperoleh penduga yang takbias tetapi memiliki ragam

yang besar (Rao, 2003).

Pendugaan tidak langsung (indirect estimation) dikenal sebagai pendugaan area

kecil atau Small Area Estimation (SAE) merupakan salah satu upaya untuk

menekan keragaman yang besar pada area kecil dengan memanfaatkan informasi

dari area sekitarnya. Pendugaan area kecil merupakan teknik statistika yang

digunakan untuk menduga parameter subpopulasi dengan ukuran sampel yang

kecil (Rao, 2003). Terdapat berbagai metode pendugaan area kecil yang telah

dikembangkan khususnya metode berbasis model (model-based estimator).

Metode yang sering digunakan yaitu penduga Prediksi Takbias Linear Terbaik

2

Empirik atau Empirical Best Linear Unbiased Predictor (EBLUP) untuk data

kontinu, penduga Bayes Empirik atau Empirical Bayes (EB) dan penduga Bayes

Hirerarki atau Hirerarchical Bayes (HB) untuk data biner atau cacah.

Salah satu penerapan pendugaan area kecil untuk data cacahan adalah pemetaan

penyakit. Pada pemetaan penyakit, ukuran sampel (jumlah kasus berpenyakit)

yang kecil menjadi masalah yang sering dihadapi. Sehingga pendugaan langsung

untuk menduga risiko relatif menjadi tidak dapat diandalkan. Metode alternatif

untuk menangani permasalahan tersebut adalah metode EB dengan model yang

sering digunakan adalah model Poisson-Gamma (Tsutakawa, 1988). Menurut

Pringle (1995), teknik EB cocok digunakan karena menghasilkan penduga risiko

relatif yang lebih baik dibandingkan penduga kemungkinan maksimum.

Model Poisson merupakan peluang standar untuk data cacahan. Model ini akan

mengalami keterbatasan dalam rataan dan ragam ketika digunakan untuk

pendugaan parameter tunggal. Umumnya, data cacahan (seperti data jumlah

penderita penyakit HIV/AIDS) mengalami overdispersi (ragam melebihi rataan).

Oleh sebab itu dikembangkan suatu formulasi Poisson yang memuat parameter

tambahan untuk mengakomodasi kelebihan ragam dari pengamatan pada sampel.

Berdasarkan hal tersebut maka diperkenalkan model dua tahap untuk data cacahan

yang sering disebut sebagai model Poisson-Gamma dengan Gamma merupakan

prior konjugat dari Poisson.

Menurut Sadik (2009), penduga yang diperoleh pada pendugaan area kecil perlu

dievaluasi karena penduga yang diperoleh merupakan penduga berbias namun

memiliki ragam minimum. Mean Squared Error (MSE) merupakan salah satu

3

besaran untuk mengukur keragaman penduga area kecil. Beberapa penelitian yang

membahas tentang metode pendugaan MSE adalah Prasad dan Rao (1990), Wan

(1999), Chen (2001), Jiang et al (2002), Rao (2003), serta Chen dan Lahiri (2008).

Prasad dan Rao (1990) mengembangkan penduga bagi MSE dengan

menggunakan ekspansi deret Taylor dimana metode tersebut diterapkan pada

pendugaan dengan menggunakan metode EBLUP.

Metode lain yang dapat digunakan untuk memperoleh nilai MSE adalah metode

resampling. Dua metode resampling yang sering digunakan yaitu metode

Bootstrap dan Jackknife. Metode Bootstrap pertama kali diperkenalkan oleh

Bradley Efron pada Tahun 1979. Menurut Efron dan Tibshirani (1993) metode

Bootstrap digunakan dengan melakukan suatu resampling atau pengambilan data

sampel yang dilakukan secara berulang-ulang, sehingga akan diketahui berapa

besar tingkat kesalahannya (error). Metode Bootstrap juga dapat digunakan

untuk mengatasi permasalahan dalam statistika baik masalah data yang sedikit,

data yang menyimpang dari asumsinya maupun data yang tidak memiliki asumsi

dalam distribusinya. Sedangkan untuk metode Jackknife pertama kali

diperkenalkan oleh Quenouille (1949) dengan tujuan untuk mengoreksi bias

dugaan. Prinsip metode Jackknife adalah dengan cara menghilangkan satu buah

data dan mengulanginya sebanyak jumlah sampel data yang ada. Berdasarkan

uraian tersebut, pada penelitian ini peneliti tertarik untuk mengkaji MSE dengan

membandingkan metode Bootstrap dan metode Jackknife Jiang.

4

1.2 Tujuan

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah :

1. Mengevaluasi MSE pada penduga EB menggunakan metode Bootstrap dan

metode Jackknife baik secara teori maupun empiris pada data jumlah penderita

HIV/AIDS Tahun 2017 di Indonesia.

2. Menentukan tingkat risiko relatif suatu daerah yang terjangkit penyakit

HIV/AIDS Tahun 2017 di Indonesia.

3. Memetakan wilayah sebaran penyakit dari nilai risiko relatif yang didapat

dengan menggunakan Software ArcGIS 10.3.

1.3 Manfaat

Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah :

1. Menambah wawasan mengenai metode EB.

2. Memberikan informasi hasil evaluasi MSE pada penduga EB menggunakan

metode Bootstrap dan metode Jackknife baik secara teori maupun empiris.

3. Memberikan informasi mengenai pendugaan risiko relatif dengan metode EB

model Poisson Gamma.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pendugaan Area Kecil (Small Area Estimation)

Suatu area disebut kecil apabila sampel yang diambil tidak mencukupi untuk

melakukan pendugaan langsung dengan hasil dugaan yang akurat. Pendugaan area

kecil (Small Area Estimation) merupakan teknik statistika yang digunakan untuk

menduga parameter subpopulasi dengan ukuran sampel yang kecil (Rao, 2003).

Terdapat dua masalah pokok dalam pendugaan area kecil. Masalah pertama

adalah bagaimana menghasilkan suatu dugaan parameter yang cukup baik untuk

ukuran sampel kecil pada suatu domain. Kedua, bagaimana menduga Mean

Squared Error dari dugaan parameter tersebut. Kedua masalah pokok tersebut

dapat diatasi dengan cara “meminjam informasi” dari dalam area, luar area

maupun dari luar survei (Pfefferman, 2002).

2.2 Model Area Kecil

Menurut Rao (2003), penduga area kecil dikelompokkan menjadi dua jenis model

dasar yaitu model level area (basic area level model) dan model level unit (basic

unit level model).

6

2.2.1 Model Berbasis Area

Pada model pendugaan area kecil berbasis area, data pendukung yang tersedia

hanya sampai level area. Parameter yang diamati pada model ini adalah , dengan

merupakan variabel respon. Sehingga model level area dasar yang menjelaskan

hubungan tersebut adalah: = + = 1,2, … (2.1)

dengan adalah galat sampel diasumsikan ~ (0 , ) (Kurnia,2009).

2.2.2 Model Berbasis Unit

Pada model pendugaan area kecil berbasis unit diasumsikan bahwa data variabel

penyerta unit = , , … , tersedia untuk setiap elemen ke-j pada

area ke-i. Selanjutnya variabel respon diasumsikan berkaitan dengan

sehingga bentuk persamaan model pendugaan area kecil berbasis unit sebagai

berikut: = + + ; = 1,2, … , ; = 1,2, … , (2.2)

dengan merupakan pengaruh acak area yang berdistribusi identik dan

independen, β merupakan koefesien regresi dan diasumsikan bahwa galat bernilai

0 (Rao, 2003).

2.3 Metode Empirical Bayes (EB)

Dasar pengembangan pendekatan statistik bayes adalah Hukum Bayes yang

dibuat oleh Thomas Bayes. Hukum ini diperkenalkan oleh Richard Price tahun

1763 dua tahun setelah wafatnya Thomas Bayes. Pada tahun 1774 dan 1781,

7

Laplace memberikan analisis lebih rinci dan lebih relevan untuk statistik bayes

sekarang (Gill, 2002). Bila penduga bayes ini akan digunakan maka harus terlebih

dahulu diketahui nilai parameter priornya. Namun seringkali informasi mengenai

parameter prior belum diketahui. Pendekatan lain yang dapat digunakan adalah

Empirical Bayes (EB).

EB merupakan metode dengan menggunakan inferensia dari estimasi posterior

untuk menduga parameter. Metode EB merupakan metode yang cocok digunakan

dalam menangani data biner atau data cacahan pada pendugaan area kecil.

Misalkan , , … , merupakan sampel acak berukuran n dari distribusi yang

mempunyai fungsi kepekatan peluang berbentuk ( , , … , |θ) dan sebaran

dari peubah acak θ yaitu ℎ(θ) sebaran prior. Menurut Rao (2003) metode EB

dalam konteks pendugaan area kecil secara ringkas sebagai berikut:

1. Mendapatkan fungsi kepekatan peluang akhir (posterior) dari , , … ,dengan ( , , … , ) yang didefinisikan sebagai berikut:(θ| , , … , ) = ( , ,…, | ). ( )∫ ( , ,…, | ). ( ) (2.3)

2. Menduga parameter model dari fungsi kepekatan peluang marginal.

3. Menggunakan fungsi kepekatan peluang akhir dugaan untuk membuat inferensi

parameter area kecil yang menjadi perhatian.

Pada pemetaan penyakit, umumnya data jumlah berpenyakit merupakan data

cacahan dengan model yang sering digunakan adalah model Poisson-Gamma

(Tsutakawa, 1988). Penelitian mengenai pendugaan area kecil pada pemetaan

penyakit dengan model Poisson-Gamma menggunakan teknik EB diantaranya

8

dilakukan oleh Clayton dan Kaldor (1987) untuk menduga tingkat kanker bibir

pada 56 distrik.

2.4 Model Poisson-Gamma

Model Poisson merupakan model peluang standar untuk data cacahan. Model ini

mengalami keterbatasan dalam rataan dan ragam ketika digunakan untuk

pendugaan parameter tunggal. Pada umumnya, data cacahan (seperti pada data

jumlah berpenyakit) mengalami overdispersi. Oleh karena itu, dikembangkan

suatu formulasi poisson yang memuat parameter tambahan untuk mengakomodasi

ragam dari pengamatan pada sampel. Dengan demikian diperkenalkan model dua

tahap untuk data cacahan yang dikenal dengan model Poisson-Gamma, dimana

Gamma merupakan prior konjugat dari Poisson. Model Poisson-Gamma dapat

ditulis sebagai berikut:

Level 1 : ~ ( ) , = 1,2, … ,Level 2 : ~ ( , ), = 1,2, … ,Misalkan , , … , sampel acak dengan fungsi peluang :

( |θ ) = ( )! ; = 0,1,2, … (2.4)

Dengan fungsi kepekatan peluang distribusi gamma:ℎ( ) = βαΓ(α) ; ≥ 0 ; , ≥ 0 (2.5)

Maka didapatkan fungsi kepekatan peluang bersama model Poisson-Gamma

sebagai berikut:

( ; ) = ( )! βαΓ(α) (2.6)

9

Selanjutnya diperoleh fungsi kepekatan peluang marginal dengan

mengintegralkan fungsi bersama sebagai berikut :( ) = ( ) ( ) ( )! ( ) ( ) (2.7)

Dengan demikian fungsi posterior adalah :( | ) = ( ; )( )= ( )( ) ( ) (2.8)

Sehingga | , , ~ ( + , + ). Dari posterior tersebut diperoleh

penduga bayes bagi yaitu: ( , ) = ( | ) = (2.9)

dan ragam bagi adalah: ( | , , ) = ( ) (2.10)

Selanjutnya penduga EB akan diperoleh dengan cara melakukan pendugaan

parameter prior terlebih dahulu, dimana pendugaan ini dilakukan berdasarkan

data.

2.5 Pendugaan Parameter dengan Metode Momen

Menurut Berger (1990), metode momen ditemukan oleh Karl Pearson pada tahun

1800 yang merupakan metode tertua dan paling lama digunakan. Metode momen

memiliki keunggulan lebih mudah dalam memperoleh penduga dari satu atau

lebih parameter populasi. Metode momen merupakan metode pendugaan dengan

cara menyamakan momen ke-k sampel dengan momen ke-k populasi dan

10

menyelesaikan sistem persamaan yang dihasilkan secara bersama atau simultan

yang ditulis sebagai berikut := ∑ , = ( )= ∑ , = ( )⋮ ⋮= ∑ , = ( ) (2.11)

Meskipun metode momen terkenal sebagai metode yang mudah,namun terkadang

terdapat kesulitan dalam mencari bentuk rumus penduganya.

2.6 Karakteristik Penduga Parameter

Penduga parameter yang baik adalah yang memenuhi sifat tertentu, diantaranya

sifat takbias dan ragam minimum.

2.6.1 Takbias

Sifat penduga yang baik salah satunya adalah sifat takbias. Suatu penduga

dikatakan takbias apabila asumsi yang telah ditentukan terpenuhi.

Definisi 2.1

Misalkan , , … , merupakan sampel acak dari fungsi kepekatan peluang

kontinu, ( ; ) dimana merupakan parameter yang tidak diketahui. Penduga= [ℎ( , , … , )] dikatakan takbias bagi , jika = . Untuk konsep

dan terminologi yang sama berlaku, jika terdapat data sampel acak , , … ,yang diambil dari fungsi kepekatan peluang diskrit ( ; ). Suatu penduga= [ℎ( , , … , )] dikatakan penduga takbias asimtotik bagi jika

11

lim → ( ) = . Jika ≠ maka penduga dikatakan penduga yang

berbias (Larsen dan Marx, 2012).

2.6.2 Ragam Minimum

Selain sifat ketakbiasan, penduga parameter dikatakan baik apabila memenuhi

sifat penduga ragam minimum. Adapun definisi ragam minimum suatu penduga

sebagai berikut:

Definisi 2.2

Bila ( ) merupakan penduga bagi ( ), maka ( ) dikatakan sebagai

penduga beragam terkecil apabila : ≤ ( ) (2.12)

dimana ( ) merupakan sembarang penduga bagi ( ). Untuk estimator takbias

nilai varian ( ) akan sama dengan MSE ( ) tetapi pada pendugaan EB

penduga yang dihasilkan bersifat bias maka penduga akan dievaluasi dengan MSE

(Hogg and Craig, 1995).

2.7 Mean Squared Error (MSE)

Nilai MSE dari suatu penduga parameter memiliki peranan penting untuk

diketahui, diantaranya adalah untuk mengukur seberapa akurat penduga parameter

yang diperoleh. Banyak metode yang dapat digunakan dalam menduga MSE

seperti metode Bootstrap dan metode Jackknife Jiang. Metode Bootstrap pertama

kali diperkenalkan oleh Bradley Efron pada tahun 1979. Menurut Efron dan

Tibshirani (1993) metode Bootstrap digunakan dengan melakukan suatu

resampling atau pengambilan data sampel yang dilakukan secara berulang-ulang,

12

sehingga akan diketahui berapa besar tingkat kesalahannya (error). Metode

Bootstrap juga dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan dalam statistika

baik masalah data yang sedikit, data yang menyimpang dari asumsinya maupun

data yang tidak memiliki asumsi dalam distribusinya. Menurut Butar dan Lahiri

(2003), penentuan MSE dengan metode Bootstrap untuk penduga EB yaitu

dengan resampling penduga ragam EB dan penduga EB sehingga:= + (2.13)

Dimana = 2 ( ) − ∑ ( ( ))dengan :( ) = penduga ragam EB( ( )) = penduga ragam EB hasil resampling bootstrap sebanyak B kali.

dan = ∑ ( ) −Dengan :

= penduga EB( ) = penduga EB hasil resampling bootstrap sebanyak B kali.

Quenouille (1949) memperkenalkan metode Jackknife untuk mengoreksi bias dari

suatu penduga dengan menghapus area satu persatu. Wulandari, dkk (2014)

membandingan MSE untuk metode Bootstrap dan Jackknife, dan hasilnya

menunjukkan bahwa metode Bootstrap menghasilkan galat yang relatif lebih

kecil.

13

Penduga MSE dengan metode Jackknife Jiang adalah:= + (2.14)

Dimana = , − ∑ ( ), ( ) − ,dengan :

, = nilai harapan dari ragam posterior

( ), ( ) = merupakan nilai harapan dari ragam posterior yang diperoleh

dengan menghapus pengamatan ke-j.

dan

= ∑ ( ) −dengan :

= penduga EB

( ) = merupakan penduga EB dengan menghapus pengamatan ke-j.

Jiang et al (2002) menunjukkan bahwa penduga Jackknife = +mendekati ketakbiasan (Lohr dan Rao, 2009).

III METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2017/2018 bertempat di

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Lampung.

3.2 Data Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder, yaitu data

jumlah penderita HIV/AIDS yang tersebar pada 34 provinsi di Indonesia. Data

tersebut diambil berdasarkan Laporan Final HIV/AIDS Indonesia tahun 2017 oleh

Kementrian Kesehatan Republik Indonesia.

3.3 Metode Penelitian

Penelitian ini akan mengkaji penduga EB. Kualitas dari penduga EB akan

dievaluasi berdasarkan karakteristik penduga yang baik yaitu sifat ketakbiasan

dan ragam minimum serta kriteria MSE. Metode MSE yang digunakan pada

penelitian ini adalah metode Bootstrap dan metode Jackknife Jiang. Selanjutnya

penduga EB akan diaplikasikan pada data jumlah penderita HIV/AIDS pada 34

provinsi di Indonesia tahun 2017. Setelah itu penduga EB yang diperoleh akan

dipetakan sesuai dengan nilai risiko relatifnya berdasarkan data jumlah penderita

15

HIV/AIDS pada 34 provinsi di Indonesia tahun 2017 dimana proses pemetaan

wilayah akan dilakukan dengan Software ArcGIS 10.3. Adapun langkah-langkah

penelitian ini yaitu :

1. Menentukan penduga EB berdasarkan model Poisson-Gamma.

a. Menentukan model dua tahap dengan asumsi pertama bahwa adalah( ) dan level kedua diasumsikan bahwa adalah( , ).Level 1 : ~ ( ) , = 1,2,3, …Level 2 : ~ ( , ) , = 1,2,3, …dengan:

= data jumlah kasus penyakit pada area ke-i

= nilai harapan banyaknya suatu penyakit pada area ke-i

= risiko relatif area ke-i

= parameter yang akan diduga

= parameter yang akan diduga

b. Menentukan penduga EB bagi

c. Menentukan parameter , dengan menggunakan metode momen.

d. Menentukan MSE bagi penduga EB dengan menggunakan metode

Bootstrap.

e. Menentukan MSE bagi penduga EB dengan menggunakan metode

Jackknife Jiang .

2. Mengevaluasi penduga EB pada data HIV /AIDS tahun 2017 di Indonesia

melalui evaluasi MSE yang proses perhitungannya dilakukan dengan

menggunakan Software R i386.

16

a. Menguji sebaran data HIV/AIDS tahun 2017 di Indonesia dengan uji Chi-

Square untuk melihat apakah data tersebut berdistribusi Poisson.b. Mendapatkan nilai dan dengan metode momen.c. Mendapatkan nilai dugaan dari dengan metode EB

d. Mendapatkan nilai MSE dari penduga EB dengan metode Bootstrap

maupun metode Jackknife Jiang .

e. Membandingkan nilai MSE dari penduga EB dengan metode Bootstrap dan

metode Jackknife Jiang .

3. Pemetaan wilayah sebaran penyakit berdasarkan nilai risiko relatif.

Memetakan wilayah sebaran penyakit dari nilai risiko relatif yang didapat

dengan menggunakan Software ArcGIS 10.3. Tingkat nilai risiko relatif

penyebaran penyakit menular dibagi menjadi 5 kategori (Samad dan Maarof,

2013), yaitu :

1. Sangat rendah : 0,000 – 0,499

2. Rendah : 0,500 – 0,999

3. Sedang : 1,000 – 1,499

4. Tinggi : 1,500 – 1,999

5. Sangat tinggi : ≥ 2,000

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dilakukan dapat disimpulkan

bahwa:

1. Secara numerik metode Bootstrap menghasilkan nilai MSE yang lebih kecil

dibandingkan dengan metode Jackknife Jiang, sedangkan secara statistik

dengan uji-t pada taraf signifikan 5% tidak ada perbedaan yang signifikan

antara MSE Bootstrap dan Jackknife Jiang.

2. Provinsi Sumatera Utara memiliki risiko terendah terjangkit penyakit

HIV/AIDS dengan tingkat risiko relatifnya sebesar 0,0008 sedangkan Provinsi

Kepulauan Riau memiliki tingkat risiko tertinggi terjangkit penyakit

HIV/AIDS dengan tingkat risiko relatifnya sebesar 9,807.

DAFTAR PUSTAKA

Berger, C. 1990. Statistical Inference. Wadsworth and Brooks/Cole. California.

Butar, FB. and Lahiri, P. 2003. On Measure of Uncertaint of Empirical BayesSmall Area Estimators. Model selection, Model Diagnotics, EmpiricalBayes and Hierarchical Bayes. Journal of Statistical Planning andInference. 112:63-67.

Chen S. 2001. Empirical Best Prediction and Hierarchical Bayes Methods inSmall Area Estimation. (Dissertation). The Graduate College, University ofNebraska. Nebraska.

Chen, S. And Lahiri, P. 2008. On Mean Squared Prediction Error Estimation inSmall Area Estimation Problems. Communications in Statistics 37:1792-1798.

Clayton, D. and Kaldor, J. 1987. Empirical Bayes estimates of age-standardizedrelaive risk for use in disease mappng. Biometrics 43:671-681.

Efron, B. and Tibshirani, R.J. 1993. An Introduction to The Bootstrap. Chapman& Hall. New York-London.

Giil, J. 2002. Bayesian Methods: A social and Behavioral Sciences Approach.Chapman & Hall. Boca Raton.

Hogg, R.V. and Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics, FifthEdition. Pretice-Hall, Inc., New Jersey.

Jiang, J., Lahiri, P., and Wan S.M. 2002. A Unified Jackknife Theory forEmpirical Best Prediction with M-estimation. The Annals of Statistics30:1782-1810.

Kurnia, A. 2009. Prediksi Terbaik Empirik Untuk Model TransformasiLogaritma di Dalam Pendugaan Area Kecil Dengan Penerapan Pada DataSusenas. (Disertasi). Institut Pertaian Bogor, Bogor.

Larsen, Richard, J., and Marx, Morris L. 2012. An Introduction to MathematicalStatistics and Its Applications. Fifth Edition. Pretice-Hall, Inc., Boston.

Lohr, S.L. and Rao, J.N.K. 2009. Jackknife Estimation of Mean Squared Error ofSmall Area Predictors in Nonlinear Mixed Models. Journal of Biometrika.96: 457-468.

Pfefferman, D. 2002. Small Area Estimation - New developments and directions,International Statistical Review, Vol70, 1, 125-143.

Prasad, N.G.N. and Rao, J.N.K. 1990. The Estimation of Mean Squared Errors ofSmall Area. Estimators. Journal of the American Statistical Association .85, 163-171.

Pringle, DG. 1995. Disease mapping: A comparative analysis of maximumlikelihood and empirical bayes estimates of disease risk. NationalUniversity of Ireland, Maynoonth.

Quenouille, MH. 1949. Approximate test of correlation in time series. J. R. Stat.Soc. B11(1):68-84

Rao, J.N.K. 2003. Small Area Estimation. John Willey and Sons. New York.

Sadik, K. 2009. Metode Prediksi Tak Bias-Linear Terbaik Dab Bayes BerhirearkiUntuk Pendugaan Area Kecil Berdasarkan Model State Space. (Disertasi).Institut Pertanian Bogor, Bogor.

Samad, N.A. and Maarof, S.H.M.I. 2013. Dengue Disease Mapping withStandarized Morbidity Ratio and Poisson-Gamma Model: An Analysiis ofDengue Disease in Perak, Malaysia. International Journal of Mathematical,Computational, Natural, and Physical Engineering, 7:785-789.

Tsutakawa, RK. 1988. Mixed model for analyzing geographic variability inmortality rates. Journal of the American Statistical Association 83:37-42.

Wan, S. M. 1999. Jackknife Methods in Small Area Estimation and RelatedProblems. (Dissertation). University of Nebraska. Lincoln.

Wulandari, S., Kurniasari, D. dan Widiarti. 2014. Pendugaan Galat Baku NilaiTengah Menggunakan Metode Resampling Jackknife dan BootstrapNonparametric dengan Software R 2.15.0. Jurnal Gradien. 10:963-966.