PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN ADVEKSI-DIFUSI …

PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN ADVEKSI-DIFUSI

MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Monica Paskalia

143114015

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN ADVEKSI-DIFUSI

MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Monica Paskalia

143114015

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018


ii

FINITE DIFFERENCE TECHNIQUE FOR THE ADVECTION-

DIFFUSION EQUATION

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by

Monica Paskalia

143114015

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2018


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Tetaplah berdoa. Mengucap syukurlah dalam segala hal, sebab itulah yang

dikehendaki Allah di dalam Kristus Yesus bagi kamu.

1 Tesalonika 5:17-18 TB

Skripsi ini saya persembahkan untuk kedua orang tua tercinta,

Ir. Husindjaya Bunadi dan Jenawati

Serta kakak dan adik saya terkasih,

Maria Yasinta Adventiana dan Elisabeth Natalia Christie


viii

ABSTRAK

Persamaan adveksi-difusi satu dimensi merupakan model matematika

yang menggambarkan proses transportasi suatu zat yang dipengaruhi gaya

mekanik dan penyebaran sekaligus. Tujuan penyelesaian persamaan ini adalah

mencari tahu konsentrasi zat yang tersebar pada posisi dan waktu. Pada skripsi ini

akan dibahas bagaimana menyelesaikan persamaan adveksi-difusi menggunakan

metode beda hingga yang telah diberi faktor pembobot waktu dan faktor

pembobot ruang. Penyelesaian persamaan ini akan berbentuk skema eksplisit dan

skema implisit kemudian disimulasikan dalam MATLAB. Simulasi persamaan

adveksi-difusi satu dimensi ini akan dilakukan pada dua contoh yang sudah

diketahui memiliki penyelesaian analitis dan numeris.

Berdasarkan penelitian ini, model persamaan adveksi-difusi yang

memberikan hasil yang baik dan mudah adalah skema eksplisit. Skema implisit

yang diturunkan menjadi skema Crank-Nicolson juga memberikan hasil yang

baik. Namun demikian, skema Crank-Nicolson lebih rumit dalam perumusannya.

Kata kunci: Persamaan adveksi-difusi, skema eksplisit, skema implisit, pembobot

waktu, pembobot ruang


ix

ABSTRACT

The one dimensional advection-diffusion equation is a mathematical

model that describes the transport process of a substance that is influenced by

mechanical forces and dispersion at once. The purpose of solving this equation is

to find out the concentration of the dispersed substance in position and time. This

thesis discusses how to solve the advection-diffusion equation using finite

difference methods involving a time-weighting factor and space-weighting factor.

Solution of this equation will be in the forms of explicit scheme and implicit

scheme that are simulated in MATLAB. The simulation of this one-dimensional

advection-diffusion equation will be performed on two known instances of

analytic and numerical solutions.

Based on this research, the advection-diffusion equation model which

gives good and easily computed the result is an explicit scheme. The implicit

scheme that is derived into the Crank-Nicolson scheme also gives good results.

However, the Crank-Nicolson scheme is more complicated in its formulation.

Keywords: Advection-diffusion equation, explicit scheme, implicit scheme, time

weight, space weight


x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus Kristus karena limpahan berkat kasih

dan karuniaNya, penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini

disusun sebagai salah satu syarat memperoleh gelar sarjana sains dari Program

Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.

Penulis sadar bahwa dalam penyusunan skripsi ini, banyak pihak yang

telah terlibat dalam membantu penulis menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu,

penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Sains

dan Teknologi sekaligus dosen pembimbing skripsi.

2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.

3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., selaku Dosen Pembimbing Akademik.

4. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.,

Bapak Dr. rer. Nat. Herry P. Suryawan S.Si., M.Si., selaku dosen-dosen Prodi

Matematika yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis

selama proses perkuliahan.

5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah

berdinamika bersama selama penulis berkuliah.

6. Kedua orang tua, kakak dan adik yang telah mendukung saya selama proses

pengerjaan skripsi.

7. Kakak-kakak dan teman-teman: Mbak Ambar, Ce Inge, Kak Sorta, Kak

kristin, Mas Bowiel, Rico, Bowo, Ervan dan juga Keluarga Rumpita KKN

(Neira, Devina, Stevanus, Dhia, Ganang, Maya) yang telah membantu penulis

selama berkuliah, memberikan semangat, dukungan dan membuat hari-hari

penulis menjadi ceria.

8. Teman-teman Matematika 2014: Destika, Eka, Nando, Arista, Bella, Etri, Edo,

Dini, Efrem, Mega, Dewi, Wulan, Guruh, Inne dan teman-teman lainnya yang

telah berdinamika selama perkuliahan, selalu memberikan masukan dan juga

semangat.


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i

TITLE PAGE ..................................................................................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................ vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................. vii

ABSTRAK ......................................................................................................... viii

ABSTRACT ....................................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ....................................................................................... x

DAFTAR ISI ...................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................. 1

A. Latar Belakang Masalah .................................................................... 1

B. Rumusan Masalah .............................................................................. 3

C. Batasan Masalah ................................................................................ 3

D. Tujuan Penulisan ............................................................................... 3

E. Manfaat Penulisan ............................................................................. 3

F. Metode Penulisan .............................................................................. 3

G. Sistematika Penulisan ........................................................................ 4

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN HAL-HAL

YANG TERKAIT............................................................................... 6

A. Turunan ............................................................................................... 6

B. Deret Taylor ........................................................................................ 7

C. Klasifikasi Persamaan Diferensial ..................................................... 9

D. Nilai eigen dan Vektor Eigen ............................................................ 12

E. Pendekatan Numeris Persmanaan Diferensial ................................... 15

F. Karakteristik Persamaan Diferensial Parsial ...................................... 22

G. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial .......................................... 24

H. Skema Eksplisit ................................................................................. 25


xiii

I. Skema Implisit ................................................................................... 27

J. Skema Crank-Nicolson ...................................................................... 28

BAB III METODE BEDA HINGGA .............................................................. 30

A. Solusi Eksak Persamaan Adveksi-Difusi Satu Dimensi .................... 30

B. Penurunan Persamaan Adveksi-Difusi Satu Dimensi ........................ 30

C. Persamaan Adveksi-Difusi Skema Eksplisit ...................................... 34

D. Persamaan Adveksi-Difusi Skema Implisit ....................................... 42

E. Penyelesaian Persamaan Adveksi-Difusi Menggunakan

Metode Beda Hingga .......................................................................... 51

BAB IV HASIL SIMULASI............................................................................. 54

A. Pembahasan Hasil ............................................................................... 54

B. Pengamatan Galat .............................................................................. 66

BAB V PENUTUP ......................................................................................... 70

A. Kesimpulan ........................................................................................ 70

B. Saran .................................................................................................. 70

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


1

BAB I

PENDAHULUAN

Dalam bab ini akan dibahas tentang latar belakang, rumusan dan

pembatasan masalah, tujuan dan manfaat penulisan, juga akan disertakan

sistematika penulisan.

A. Latar Belakang

Persamaan diferensial adalah persamaan yang menyatakan hubungan suatu

fungsi terhadap derivatif-derivatifnya. Persamaan diferensial dapat digunakan

untuk memodelkan berbagai permasalahan nyata. Dalam menyelesaikan per-

masalahan nyata yang melibatkan lebih dari satu variabel bebas digunakanlah per-

samaan diferensial parsial. Salah satu bentuk persamaan diferensial parsial adalah

persamaan adveksi-difusi.

Persamaan adveksi-difusi merupakan suatu persamaan yang memuat sifat

persamaan adveksi dan persamaan difusi. Persamaan adveksi itu sendiri merupa-

kan suatu persamaan gelombang linear orde satu dan termasuk dalam persamaan

diferensial hiperbolik yang menggambarkan mekanisme transportasi suatu gas

atau zat cair dengan arah tertentu (LeVeque, 2004). Persamaan difusi adalah

persamaan diferensial parsial yang merupakan representasi perpindahan suatu zat

dalam pelarut dari bagian berkonsentrasi tinggi ke bagian yang berkonsentrasi

rendah tanpa dipengaruhi oleh kecepatan gerak fluida media (LeVeque, 2004).

Proses adveksi-difusi dapat dipahami secara terpisah ke dalam persamaan

adveksi dan persamaan difusi. Persamaan adveksi berbentuk (Duran, 2010):

0

x

uc

t

u, Lx 0 , Tt 0 . (1.1)

Persamaan difusi berbentuk (Duran, 2010):

2

2

x

uD

t

u

, Lx 0 , Tt 0 . (1.2)

Di sini t adalah variabel waktu, x adalah variabel ruang, c dan D adalah


2

konstanta-konstanta positif, dimana c adalah kecepatan karakteristik dalam ruang

dan D adalah koefisien difusi. Lebih lanjut, L dan T adalah bilangan bulat

positif, dimana L adalah panjang domain ruang dan T adalah panjang domain

waktu, serta u adalah variabel terikat yang bergantung pada x dan t .

Persamaan adveksi-difusi digunakan untuk memodelkan proses trasportasi

dan sekaligus proses difusi. Persamaan ini digunakan untuk memprediksi perge-

rakan polutan di dalam air. Persamaan ini merupakan persamaan diferensial par-

sial yang bergantung pada variabel ruang dan variabel waktu. Persamaan ini juga

dipengaruhi oleh suatu kondisi batas yang tidak diketahui.

Persamaan adveksi-difusi yang akan dibahas dalam skripsi ini berbentuk

(Karahan, 2006 dan 2007):

2

2

x

uD

x

uc

t

u

, Lx 0 , Tt 0 , (1.3)

dengan kondisi awal

)()0,( xfxu , Lx 0 , (1.4)

dan kondisi batas

)(),0( tgtu , Tt 0 , (1.5.a)

)(),( thtLu , Tt 0 . (1.5.b)

Di sini f , g dan h adalah fungsi-fungsi yang diketahui.

Persamaan adveksi-difusi dapat diterapkan dalam berbagai masalah nyata

seperti memodelkan kualitas air, polusi udara, meteorologi, oseanografi dan ilmu

fisis lainnya. Dalam prakteknya, mencari solusi analitis permasalahan transportasi

dan proses difusi cukup sulit. Oleh karena itu, dilakukanlah pendekatan

menggunakan metode-metode numeris. Metode numeris merupakan salah satu

bagian dari ilmu matematika dimana masalah matematika diformulasikan

sedemikian sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmatika (Chapra dan

Chanale, 2010).

Metode numeris dalam skripsi ini digunakan untuk menyelesaikan per-

samaan diferensial. Untuk mencari penyelesaian numeris persamaan adveksi-

difusi akan digunakan metode beda hingga. Menurut para ahli, metode beda


3

hingga dianggap sebagai metode yang baik untuk menyelesaikan persamaan

adveksi-difusi karena memberikan hasil yang akurat dalam melakukan pendekatan

numeris (Karahan, 2006 dan 2007). Dalam mengaplikasikan metode beda hingga

akan digunakan perangkat lunak MATLAB.

B. Rumusan Masalah

Perumusan masalah yang akan dibicarakan dalam skripsi ini adalah:

1. Bagaimana cara memodelkan transportasi dan proses difusi ke dalam per-

samaan adveksi-difusi?

2. Bagaimana menyelesaikan persamaan adveksi-difusi sesuai dengan syarat ba-

tas dan kondisi awal secara numeris dengan metode beda hingga?

C. Batasan Masalah

Masalah dalam skripsi ini akan dibatasi pada memodelkan persamaan ad-

veksi-difusi berdimensi satu. Selain itu akan dibahas penyelesaian numerisnya

sesuai dengan kondisi awal dan kondisi batasnya.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk menyelesaikan dan menganalisis

penyelesaian numeris persamaan adveksi-difusi berdimensi satu menggunakan

metode beda hingga.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah mengetahui cara

memodelkan persamaan adveksi-difusi dan penyelesaian numeris persamaan

adveksi-difusi untuk diterapkan dalam suatu permasalahan nyata.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi

pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku dan jurnal-jurnal,

serta praktik komputer metode numeris.


4

G. Sistematika Penulisan

Sistematika skripsi ini adalah sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Metode Punulisan

E. Tujuan Penulisan

F. Manfaat Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN HAL-HAL YANG TERKAIT

A. Turunan

B. Deret Taylor

C. Klasifikasi Persamaan Diferensial

D. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

E. Pendekatan Numeris Persamaan Diferensial

F. Karakteristik Persamaan Diferensial Parsial

G. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial

H. Skema Eksplisit

I. Skema Implisit

J. Skema Crank-Nicolson

BAB III METODE BEDA HINGGA

A. Solusi Eksak Persamaan Adveksi-Difusi Satu Dimensi

B. Penurunan Persamaan Adveksi-Difusi Satu Dimensi

C. Persamaan Adveksi-Difusi Skema Eksplisit

D. Persamaan Adveksi-Difusi Skema Implisit

E. Penyelesaian Persamaan Adveksi-Difusi Menggunakan Metode Beda

Hingga

BAB IV HASIL SIMULASI

A. Pembahasan Hasil

B. Pengamatan Galat


5

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


6

BAB II

PESAMAAN DIFERENSIAL DAN HAL-HAL YANG TERKAIT

Dalam bab ini akan dibahas mengenai turunan, klasifikasi persamaan

diferensial, pendekatan numeris persamaan diferensial dan karakteristik

persamaan adveksi-difusi.

A. Turunan

Dalam subbab ini akan dibahas mengenai definisi turunan dan contoh-contoh

penggunaan turunan.

Definisi 2.1.1 Turunan

Turunan fungsi f adalah fungsi lain 'f (dibaca “ f aksen”) yang nilainya

pada sebarang bilangan c adalah

h

cfhcfcf

h

)()(lim)('

0

asalkan limit ini ada dan bukan atau .

Definisi 2.1.2 Definisi lain turunan

Jika diambil substitusi hcx sehingga cxh , saat 0h maka

cx . Turunan fungsi f di titik c

cx

cfxfcf

cx

)()(lim)('

Jika )(' cf ada, maka fungsi f dikatakan memiliki turunan di titik c .

Contoh :

Tentukan turunan di titik 2 dari fungsi 1)( 2 xxxf .

Penyelesaian:


7

55lim

5lim

5144lim

)122()12)2((lim

)2()2(lim)2('

0

2

0

2

0

22

0

0

h

h

hh

h

hhh

h

hh

h

fhff

h

h

h

h

h

Teorema 2.1.3

Jika )(' cf ada, maka f kontinu di c .

Bukti dapat dilihat pada buku karangan Varberg dkk (2010) yang berjudul

Kalkulus (edisi kesembilan, jilid 1).

B. Deret Taylor

Kebanyakan dari metode-metode numeris yang diturunkan didasarkan

pada penghampiran fungsi ke dalam bentuk polinom. Fungsi yang berbentuk

kompleks akan menjadi lebih sederhana bila dihampiri dengan polinom, karena

polinom merupakan bentuk fungsi yang paling mudah untuk dipahami bentuknya.

Perhitungan dengan fungsi eksak akan menghasilkan solusi eksak sedangkan

perhitungan dengan menggunakan fungsi hampiran akan menghasilkan nilai

hampiran atau biasa disebut solusi numeris. Solusi numeris merupakan

pendekatan terhadap solusi eksak, sehingga terdapat galat sebesar selisih antara

solusi eksak dengan solusi hampiran. Galat pada solusi numeris harus

dihubungkan dengan seberapa teliti polinom menghampiri fungsi sebenarnya. Di

sini, untuk membuat polinom hampiran akan digunakan deret Taylor.

Definisi 2.2.1 Deret Taylor

Andaikan f dan semua turunannya, f , f , f , …, kontinu di dalam

selang ba, . Misalkan bax ,0 , maka untuk nilai-nilai x di sekitar 0x dan


8

bax , , )(xf dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor:

...)(!

)(...)(

!2

)()(

!1

)()()( 0

)(0

0

2

0

0

0

0

xfm

xxxf

xxxf

xxxfxf m

m

Persamaan di atas merupakan penjumlahan sari suku-suku (term), yang disebut

deret. Jika dimisalkan xxx 0 , maka )(xf dapat juga ditulis sebagai

...)(!

...)(!2

)(!1

)()( 0

)(

0

2

00

xfm

xxf

xxf

xxfxf m

m

Contoh:

Hampiri fungsi )sin()( xxf ke dalam deret Taylor di sekitar 10 x .

Penyelesaian:

Akan ditentukan turunan )sin(x terlebih dahulu sebagai berikut

)cos()(

),sin()(

),cos()(

),sin()(

)4( xxf

xxf

xxf

xxf

dan seterusnya.

Maka, dengan menggunakan definisi (2.2.1), )sin(x , dihampiri dengan deret

Taylor sebagai berikut:

...))1cos((!3

)1())1sin((

!2

)1()1cos(

!1

)1()1sin()sin(

32

xxx

x

bila dimisalkan xx 1 , maka diperoleh

...))1cos((!3

))1sin((!2

)1cos(!1

)1sin()sin(32

xxx

x

...0351.00901.04208.05403.08415.0 432 xxxx

Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar 00 x , maka deretnya

dinamakan deret Maclaurin, yang merupakan deret Taylor baku. Suku-suku deret

Taylor tidak berhingga banyaknya, sehingga untuk alasan praktis, deret Taylor

dipotong sampai suku orde ke- n dinamakan deret Taylor terpotong dan


9

dinyatakan oleh:

)()(!

)(...)(

!2

)()(

!1

)()()( 0

)(0

0

2

0

0

0

0 xRxfn

xxxf

xxxf

xxxfxf n

nn

yang dalam hal ini,

)()!1(

)()( )1(

)1(

0 cfn

xxxR n

n

n

, xcx 0

disebut galat atau sisa (residu).

C. Klasifikasi Persamaan Diferensial

Dalam subbab ini akan dibahas mengenai persamaan diferensial dan

klasifikasinya (Ross, 2004).

Definisi 2.3.1 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah sebuah persamaan yang melibatkan turunan

fungsi satu atau lebih variabel bebas dengan satu atau lebih variabel terikat.

Contoh :

0

2

2

2

dx

dyxy

dx

yd (2.3.1)

xdt

dy

dt

ydsin3

3

3

(2.3.2)

us

u

t

u

(2.3.3)

42

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u (2.3.4)

Definisi 2.3.2 Persamaan Diferensial Biasa

Sebuah persamaan diferensial yang melibatkan satu atau lebih variabel tak

bebas dan melibatkan tepat satu variabel bebas disebut persamaan diferensial


10

biasa

Contoh:

Persamaan diferensial biasa terdapat pada persamaan (2.3.1) dan (2.3.2).

Persmaan (2.3.1) merupakan persamaan diferensial biasa dengan x adalah

variabel bebas dan y adalah variabel terikat. Persamaan (2.3.2) merupakan

persamaan diferensial biasa dengan t adalah variabel bebas dan y adalah variabel

terikat.

Definisi 2.3.3 Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial yang mengandung turunan parsial dari satu atau

lebih variabel tak bebas dengan melibatkan lebih dari satu variabel bebas disebut

persamaan diferensial parsial.

Contoh:

Persamaan (2.3.3) dan (2.3.4) adalah contoh persamaan diferensial parsial. Dalam

persamaan (2.3.3) variabel s dan t adalah variabel bebas dan u adalah variabel

terikat. Persamaan (2.3.4) terdapat tiga variabel bebas yaitu variabel x , y dan z ,

dalam persamaan ini u adalah variabel terikat.

Definisi 2.3.4 Tingkat Persamaan Diferensial (Orde)

Orde dari turunan tertinggi yang terlibat di dalam persamaan diferensial

disebut orde dari persamaan diferensial.

Contoh:

Persamaan diferensial (2.3.1) merupakan persamaan diferensial biasa berorde dua.

Persamaan (2.3.2) adalah persamaan diferensial biasa berorde tiga. Persamaan

(2.3.3) adalah persamaan diferensial parsial berorde satu dan persamaan (2.3.4)

adalah persamaan diferensial parsial berorde dua.

Definisi 2.3.5 Persamaan Diferensial Biasa Linear


11

Sebuah persamaan diferensial biasa berorde n dikatakan linear, dengan

variabel terikat y dan variabel bebas x , adalah persamaan yang dapat dituliskan,

dalam bentuk

)()()(....)()( 11

1

10 xbyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa nnn

n

n

n

,

dimana 0a tidak sama dengan nol.

Contoh:

Kedua persamaan diferensial berikut adalah linear. Kedua persamaan diferensial

berikut memiliki variabel terikat y . Di sini dapat diperhatikan bahwa y dan

turunan-turunannya terjadi dengan pangkat satu saja dan tidak ada perkalian dari

y dan/atau turunan dari y .

0652

2

ydx

dy

dx

yd (2.3.5)

xxeydx

ydx

dx

yd 6

3

32

4

4

(2.3.6)

Definisi 2.3.6 Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear

Sebuah persamaan diferensial biasa dikatakan nonlinear jika persamaan

diferensial tersebut tidak linear.

Contoh :

Persamaan diferensial biasa berikut semuanya nonlinear

065 2

2

2

ydx

dy

dx

yd (2.3.7)

065

3

2

2

y

dx

dy

dx

yd (2.3.8)

0652

2

ydx

dyy

dx

yd (2.3.9)


12

Persamaan (2.3.7) nonlinear karena variabel tak bebas y muncul pada pangkat

kedua dalam bentuk 26y . Persamaan (2.3.8) nonlinier karena terdapat suku

3

5

dx

dy, yang melibatkan pangkat tiga pada turunan pertamanya. Persamaan

(2.3.9) nonlinear karena terdapat suku dx

dyy5 , dimana suku tersebut mengandung

perkalian dengan variabel tak bebas pada turunan pertamanya.

D. Nilai Eigen Dan Vektor Eigen

Dalam subbab ini akan dibahas mngenai nilai eigen dan vektor-vektor

eigen yang bersesuaian

Definisi 2.4.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen (Marjono, 2012)

Misalkan A matriks nn dengan entri-entri bilangan real. Skalar (real

atau kompleks) disebut nilai eigen dari A jika terdapat vektor tak nol x dalam ℝ

sedemikian sehingga

xx A (2.4.1)

Vektor x (tidak nol) disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai

eigen .

Untuk menentukan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks A ,

persamaan (2.4.1) dapat ditulis ke dalam bentuk xx IA atau xx AI dan

menghasilkan sistem persamaan homogen

0x )( AI , (2.4.2)

dengan I adalah matriks identitas nn (Marjono, 2012).

Contoh:

Diketahui matriks

32

54A , tunjukkan bahwa )2,5(1 x dan )1,1(2 x

adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan 21 dan 12 .


13

Penyelesaian:

Dengan mengalikan 1x dengan A menghasilkan

2

52

4

10

2

5

32

541xA .

Ini berarti, 21 nilai eigen dari A dan )2,5(1 x vektor eigen yang bersesuaian

dengan nilai eigen 21 .

Teorema 2.4.1 Persamaan Karakteristik (Budhi,1995)

Bilangan real λ merupakan nilai eigen dari matriks A jika dan hanya jika

λ memenuhi persamaan karakteristik

0)det( IAIA .

Contoh:

Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari matriks

.42

75

Penyelesaian:

Dibentuk matriks

42

75IA .

Dengan menggunakan teorema 2.4.1 diperoleh:

.6

)2)(7()4)(5(

42

75det

)det(

2

IAIA

Sehingga diperoleh persamaan karakteristik

062 .


14

Jadi, matriks A mempunyai dua nilai eigen yaitu 21 dan 32 .

Menggunakan definisi (2.4.1), vektor eigen matriks A dapat dicari dengan

mensubstitusikan masing-masing nilai eigen ke persamaan (2.4.1). Untuk 21

0

0

22

77

y

x

Sehingga diperoleh vektor eigen

1

1

1y

xx yang berkaitan dengan 1 yaitu

111

1kx

dengan 01 k merupakan sebarang bilangan real. Menggunakan cara yang sama,

untuk 32 diperoleh vektor eigen

2

2

2y

xx yang berkaitan dengan 2 yaitu

222

7kx

, dengan 02 k merupakan sebarang bilangan real.

Definisi 2.4.2 Matriks Similar

Matriks A dan B yang berukuran nn disebut matriks similar jika dan

hanya jika ada matriks P yang tak singular sehingga berlaku

1 PAPB , (2.4.3)

Jika A similar terhadap B , matriks B similar terhadap matriks A . Dengan kata

lain, persamaan (2.4.3) dapat dituliskan ke dalam bentuk

BPPA 1 , (2.4.4)

Matriks A berukuran nn dapat didiagonalkan jika matriks tersebut similar

dengan suatu matriks diagonal.

Teorema 2.4.2 ( Matriks nn mempunyai n buah nilai eigen)

Jika matriks A berukuran nn mempunyai n buah nilai eigen yang

berbeda, matriks A dapat didiagonalkan.


15

Matriks A pada contoh 2.4.1 merupakan contoh matriks 22 yang dapat

didiagonalkan karena memiliki dua nilai eigen yang berbeda. Lebih lanjut,

pembuktian teorema (2.4.2) dapat dilihat pada Budhi (1995).

E. Pendekatan Numeris Persamaan Diferensial

Dalam subbab ini akan dibahas mengenai penurunan numeris beserta

contoh dan penjelasan tiga pendekatan numeris dalam menghitung turunan

numeris yaitu hampiran beda maju, hampiran beda mundur dan hampiran beda

pusat.

Definisi 2.5.1

Turunan fungsi didefinisikan dengan

x

xfxxfxf

x

)()(lim)(

0

' .

Fungsi )(xf seringkali tidak dapat diturunkan secara langsung karena fungsi

)(xf tidak diketahui secara eksplisit, tetapi hanya diketahui beberapa titik saja.

Pada saat fungsi tidak diketahui secara eksplisit, maka turunan fungsi )(xf tidak

dapat diturunkan secara analitik. Meskipun bentuk fungsi )(xf diketahui secara

eksplisit tetapi dalam kasus lain bentuk fungsi )(xf terlalu rumit, sehingga terlalu

sulit untuk mencari fungsi turunannya. Contoh-contoh di bawah ini adalah fungsi-

fungsi yang sulit untuk diturunkan secara langsung:

i.

)cos(

2)sin(

)3tan()2cos()(

2

x

xex

xxxxf

x

ii. .)cos()2tan(

)4ln()(

2)22(

xx

xxexf

x

Perhitungan nilai turunan pada (i) dan (ii) dapat dilakukan dengan menggunakan

metode numeris. Nilai turunan yang akan diperoleh merupakan nilai hampiran

dengan nilai eror yang diharapkan sekecil mungkin.


16

Tiga pendekatan dalam menghitung turunan numeris

Misal diberikan nilai-nilai x di xx 0 , 0x , dan xx 0 , serta nilai

fungsi untuk nilai-nilai x tersebut. Titik-titik yang diperoleh adalah ),( 11 fx ,

),( 00 fx , dan ),( 11 fx , yang dalam hal ini xxx 01 dan xxx 01 .

Terdapat tiga pendekatan dalam menghitung nilai )( 0

' xf :

1. Hampiran beda maju

Diketahui fungsi )( 0xff . Turunan fungsi f di titik 0x dengan hampiran

beda maju adalah

x

ff

x

xfxxf

x

xfxxfxf

x

01

00

00

00

'

)()(

)()(lim)(

2. Hampiran beda mundur

Diketahui fungsi )( 0xff . Turunan fungsi f di titik 0x

dengan

hampiran beda mundur adalah

x

ff

x

xxfxf

x

xxfxfxf

x

10

00

00

00

'

)()(

)()(lim)(

3. Hampiran beda-pusat

Diketahui fungsi )( 0xff . Turunan fungsi f di titik 0x

dengan

hampiran beda pusat adalah

x

xxfxxfxf

x

)()(lim)( 00

00

'


17

x

ff

x

xxfxxf

2

)()(

11

00

Tafsiran geometri dari ketiga pendekatan di atas diperlihatkan pada Gambar 2.5.1

(a) (b)

(c)

Gambar 2.5.1. Tiga pendekatan dalam perhitungan numeris; (a) Hampiran beda

maju, (b) Hampiran beda mundur, (c) Hampiran beda pusat.

Penurunan Rumus Turunan Dengan Deret Taylor

Misalkan diberikan titik-titik ),( ii fx , ni ,....,2,1,0 , yang dalam hal ini


18

xixxi 0

dan

)( ii xff

Selanjutnya, akan dihitung )(' xf , yang dalam hal ini xsxx 0 , dengan ketiga

pendekatan yang sudah disebutkan di atas (maju, mundur, pusat)

1. Hampiran beda maju

Uraikan )( 1ixf di sekitar ix :

...)("!2

)()('

!1

)()()(

2

11

1

'

i

ii

i

ii

ii xfxx

xfxx

xfxf

..."2

'2

1

iiii fx

xfff (2.5.1)

..."2

'2

1

iiii fx

ffxf

..."2

' 1

i

ii

i fx

x

fff

)(' 1 xOx

fff ii

i

yang dalam hal ini, ),("2

)( tfx

xO

1 ii xtx .

Untuk nilai-nilai f di 0x dan 1x persamaan rumusnya menjadi:

)(010 xO

x

fff

(2.5.2)


)( tfx

xO

10 xtx .

2. Hampiran beda mundur

Uraikan )( 1ixf di sekitar ix :

...)("!2

)()('

!1

)()()(

2

111

'

i

iii

iiii xf

xxxf

xxxfxf


19

..."2

'2

1

iiii fx

xfff (2.5.3)

...2

2

1

iii fx

fffx

..."2

''2

1

iiii

i fx

fx

fff

),(' 1 xOx

fff ii

i


)( tfx

xO

ii xtx 1 .


)(' 100 xO

x

fff

(2.5.4)


)( tfx

xO

01 xtx .


Kurangkan persamaan (2.5.1) dengan persamaan (2.5.3) sehingga

diperoleh

...3

23

11

iiii fx

fxff

Atau dapat ditulis menjadi

...3

23

11

iiii fx

fffx

Kedua ruas dibagi dengan x2 sehingga diperoleh

...62

211

i

ii

i fx

x

fff

)(2

211 xOx

fff ii

i

,

Yang dalam hal ini, )(6

)(2

2 tfx

xO

, 11 ii xtx .



20

)(2

2110 xO

x

fff

(2.5.5)

Dalam hal ini, )(6

)(2

2 tfx

xO

, 11 xtx menyatakan penurunan

numeris secara beda pusat yang memiliki tingkat keakuratan tingkat dua atau

ditulis )( 2xO . Perhatikan bahwa hampiran beda pusat lebih baik daripada dua

hampiran sebelumnya, sebab orde galatnya yaitu )( 2xO .

Rumus untuk Turunan Kedua, )(xf , dengan Bantuan Deret Taylor


Tambahkan persamaan (2.5.1) dengan persamaan (2.5.3) di atas:

...12

2)4(

42

11

iiiii fx

fxfff

...12

2)4(

42

11

iiiii fx

fxfff

)4(2

2

11

12

2i

iii

i fx

x

ffff

Jadi ,

)(2 2

2

11 xOx

ffff iii

i

yang dalam hal ini ),(12

)()4(

22 tf

xxO i

11 ii xtx .

2. Hampiran beda-mundur

Dengan cara yang sama seperti turunan kedua hampiran beda pusat di atas,

diperoleh:

)(

22

12 xOx

ffff iii

i

yang dalam hal ini ),()( tfxxO ii xtx 2 .

3. Hampiran beda-maju


21

Dengan cara yang sama seperti turunan kedua hampiran beda pusat di atas,

diperoleh:

)(2

2

12 xOx

ffff iii

i

yang dalam hal ini ),()( tfxxO 2 ii xtx .

Menentukan Orde Galat

Dalam penurunan rumus turunan numeris dengan deret Taylor, rumus

galat dalam penurunan rumus turunan numeris dapat langsung diperoleh. Akan

tetapi dengan polinom interpolasi harus dicari rumus galat tersebut dengan

bantuan deret Taylor.

Contoh:

Tentukan rumus galat dan orde dari rumus turunan numeris hampiran beda-pusat:

Ex

ffxf

2)( 11

0

Nyatakan E (galat) sebagai ruas kiri persamaan, lalu ekspansi ruas kanan dengan

deret Taylor di sekitar 0x :

)(

),(6

...6

...6

...3

22

1

...62

...62

2

1

2

)()(

2

11

2

0

2

0

2

00

0

3

00

0

3

0

2

00

0

3

0

2

00

0

110

xO

xtxtfx

fx

fx

ff

fx

fxx

f

fx

fx

fxf

fx

fx

fxf

xf

x

ffxfE


22

Jadi, hampiran beda-pusat memilik ),(6

2

tfx

E

11 xtx , dengan orde

)( 2xO .

Untuk lebih lengkapnya, dapat dilihat pada buku Munir (2008) yang berjudul

Metode Numerik.

F. Karakteristik Persamaan Diferensial Parsial

Bentuk umum persamaan diferensial parsial tingkat satu dengan dua

variabel bebas adalah

0),,,,( yx uuuyxF (2.6.1)

dimana F merupakan fungsi argumennya, ),( yxuu fungsi yang tidak diketahui

dengan x dan y merupakan variabel bebas yang berada di dalam domain D di

2R , x

uux

dan

y

uu y

. Persamaan (2.6.1) dapat ditulis ke dalam bentuk

berikut

),,(),,(),,( uyxcuuyxbuuyxa yx (2.6.2)

atau dapat ditulis menjadi

0),,(),,(),,( uyxcuuyxbuuyxa yx (2.6.3)

dimana a , b , dan c merupakan koefisien fungsi dari x , y , dan u . Misalkan

persamaan (2.6.3) memiliki solusi berbentuk ),( yxuu atau secara implisit

berbentuk

0),(),,( uyxuuyxf (2.6.4)

Menggambarkan permukaan solusi (solution surface) di ruang ),,( uyx .

Persamaan (2.6.4) juga sering disebut permukaan integral (integral surface) dari

persamaan (2.6.3). Pada titik ),,( uyx pada solusi permukaan, vektor gradien

)1,,(),,( yxuyx uuffff merupakan vektor normal terhadap solusi

permukaan. Persamaan (2.6.3) dapat ditulis menjadi perkalian titik dari dua vektor

0)1,,(),,( yxyx uucbacbuau . (2.6.5)


23

Di sini, vektor ),,( cba menunjukkan vektor singgung dari permukaan integral

(2.6.4) pada titik ),,( uyx . Oleh karena itu ),,( cba merupakan arah bidang yang

disebut arah karakteristik (characteristic direction).

Gambar 2.6.1. Vektor singgung dan vektor normal dari solusi permukaan di titik

),,( uyx

Sebuah kurva di bidang ),,( uyx , dimana setiap garis singgungnya berhimpit

dengan setiap titik pada bidang arah karakteristik ),,( cba disebut kurva

karakteristik (characteristic curve). Jika parameter dari kurva karakteristik yaitu

)(txx , )(tyy , )(tuu ,

maka vektor garis singgung kurvanya adalah

dt

du

dt

dy

dt

dx,, yang harus sama

dengan ),,( cba . Sehingga diperoleh persamaan diferensial biasa dengan kurva

karakteristik berikut:

),,( uyxadt

dx , ),,( uyxb

dt

dy , ),,( uyxc

dt

du . (2.6.6)

Persamaan (2.6.6) disebut persamaan karakteristik dari persamaan (2.6.3)


24

Teorema 2.6.1

Solusi umum persamaan diferensial tingkat satu

),,(),,(),,( uyxcuuyxbuuyxa yx (2.6.7)

adalah

0),( f , (2.6.8)

dimana f merupakan sebarang fungsi dari ),,( uyx dan ),,( uyx , dan 1c

dan 2c merupakan kurva solusi dari persamaan karakteristik

c

dz

b

dy

a

dx . (2.6.9)

Kurva solusi didefinisikan dengan 1),,( cuyx dan 2),,( cuyx disebut

bagian dari kurva karakteristik persamaan (2.6.7). Bukti dapat dilihat pada

Debnath (2012).

G. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial parsial linear orde dua dapat dituliskan ke dalam

bentuk umum yaitu

02

2

2

2

2

D

yx

uC

y

uB

x

uA (2.7.1)

Di sini A , B , dan C merupakan fungsi dari x dan y dan D merupakan fungsi

dari x , y , u , x

u

, dan

y

u

. Bergantung pada nilai koefisien turunan kedua suku

A , B , C , persamaan (2.6.1) dapat diklasifikasikan ke dalam tiga kategori yaitu

ACB 42 Kategori Contoh

0 Eliptik

Persamaan Laplace (dalam ruang dua dimensi)

02

2

2

2

y

T

x

T

0 Parabolik Persamaan konduksi panas (variabel waktu

dalam ruang satu dimensi)


25

2

2

x

Tk

t

T

0 Hiperbolik

Persamaan gelombang (variabel waktu dalam

ruang satu dimensi)

2

2

22

2 1

t

y

cx

y

1. Persamaan Diferensial Parsial Eliptik

Persamaan diferensial eliptik secara khusus digunakan untuk

menggambarkan sistem yang steady. Seperti pada persamaan Laplace, yang

menunjukkan ketidakadaan turunan terhadap waktu. Persamaan ini digunakan

untuk menentukan distribusi yang steady dari sesuatu yang tidak diketahui pada

ruang dua dimensi.

2. Persamaan Diferensial Parsial Parabolik

Persamaan diferensial parsial parabolik menentukan bagaimana sesuatu

yang tidak diketahui berubah terhadap ruang dan waktu. Persamaan ini

menunjukkan adanya turunan spasial dan temporal dalam persamaan konduksi

panas. Kasus dalam persamaan diferensial parsial parabolik disebut sebagai

masalah propagasi karena solusi menyebar atau berubah pada waktunya.

3. Persamaan Diferensial Parsial Hiperbolik

Persamaan diferensial parsial hiperbolik juga berhubungan dengan

masalah propagasi. Perbedaan persamaan diferensial parsial hiperbolik dengan

parabolik yaitu bagian yang tidak diketahui dicirikan oleh turunan kedua terhadap

waktu. Sebagai akibatnya, solusi akan berosilasi.

H. Metode Beda Skema Eksplisit

Diketahui persamaan konduksi panas berbentuk


26

t

T

x

Tk

2

2

(2.8.1)

Persamaan panas memerlukan turunan pertama untuk pendekatan terhadap waktu

t dan turunan kedua untuk pendekatan terhadap ruang x . Dengan menggunakan

hampiran beda maju untuk pendekatan waktu diperoleh

T

TT

t

Tn

i

n

i

1

(2.8.2)

dengan orde galat tingkat satu yaitu )( tO . Untuk pendekatan ruang, akan

digunakan turuan kedua beda pusat yaitu

2

11

2

2 2

x

TTT

x

Tn

i

n

i

n

i

(2.8.3)

dengan orde galat tingkat dua yaitu )( 2xO .

Dengan mensubstitusi persamaan (2.8.2) dan (2.8.3) ke persamaan (2.8.1)

diperoleh

t

TT

x

TTTk

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

1

2

11 2 (2.8.4)


)2( 11

1 n

i

n

i

n

i

n

i

n

i TTTTT

(2.8.5)

dimana 2x

tk

.

Persamaan (2.8.5) dapat merupakan skema eksplisit untuk menghitung

nilai pada setiap titik pada ruang untuk waktu mendatang berdasarkan waktu

sekarang dan sekitarnya. Pendekatan ini merupakan perwujudan metode Euler

untuk memecahkan sistem persamaan diferensial biasa. Dengan kata lain, jika kita

mengetahui distribusi suhu sebagai fungsi posisi pada waktu awal, kita dapat

menghitung distribusi suhu pada waktu mendatang berdasarkan persamaan

(2.8.5).


27

Gambar 2.8.1. Molekul komputasi skema eksplisit persamaan (2.8.5)

I. Metode Implisit

Perbedaan paling mendasar antara pendekatan eksplisit dan implisit dapat

dilihat pada Gambar 2.9.1.

a. Eksplisit b. Implisit

Gambar 2.9.1. Molekul komputasi perbedaan metode eksplisit dan impisit

Dalam persamaan eksplisit, pendekatan ruang dan waktu berada pada tingkat n

(Gambar 2.9.1a). Dalam metode implisit, pendekatan ruang aproksimasi

dilakukan pada tingkat waktu 1n . Sebagai contoh, turunan kedua akan didekati

oleh (Gambar 2.9.1.b)

2

1

1

11

1

2

2 2

x

TTT

x

Tn

i

n

i

n

i

(2.9.1)

yang merupakan pendekatan dengan keakuratan tingkat dua. Ketika persamaan

tersebut disubstitusi ke persamaan diferensial parsial asli, hasil turunan

persamaannya akan mengandung beberapa nilai yang tidak diketahui. Persamaan

tersebut tidak dapat diselesaikan secara eksplisit seperti sebelumya dan diperlukan


28

operasi aljabar sederhana. Untuk mengilustrasikannya, diberikan persamaan

berbentuk

t

TT

x

TTTk

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

1

2

1

1

11

1 2 (2.9.2)


n

i

n

i

n

i

n

i TTTT

1

1

11

1 )21( (2.9.3)

dimana 2x

tk

. Persamaan ini berlaku untuk semua kecuali node interior

pertama dan terakhir, yang harus dimodifikasi untuk menggambarkan kondisi

batas. Untuk kasus dimana tingkat suhu di akhir diberikan, kondisi batas ujung

kiri ruang 0i dapat dituliskan menjadi

)( 1

0

1

0

nn tfT (2.9.4)

dimana )( 1

0

ntf adalah fungsi untuk mendeskripsikan bagaimana batas suhu

berubah terhadap waktu.

Substitusi persamaan (2.9.4) ke persamaan (2.9.3) sehingga node interior pertama

)1( i berbentuk:

)()21( 1

01

1

2

1

1

nnnn tfTTT . (2.9.5)

Sehingga untuk titik interior terakhir )( mi diperoleh

)()21( 1

1

11

1

n

m

n

m

n

m

n

m tfTTT , (2.9.6)

dimana )( 1

1

n

m tf yang menggambarkan perubahan suhu yang ditentukan di

ujung kanan ruang.

J. Metode Crank-Nicolson

Metode Crank-Nicolson merupakan sebuah alternatif dari skema implisit

yang memiliki keakuratan tingkat dua pada ruang dan waktu. Untuk mendapatkan

akurasi tersebut, pendekatan perbedaan didapatkan pada titik tengah dari selisih

waktu. Ilustrasi metode Crank-Nicolson dapat dilihat pada Gambar 2.10.1.


29

Gambar 2.10.1. Molekul komputasi metode Crank-Nicolson

Untuk mendapatkan pendekatan tersebut, turunan pertama sementara dapat

diaproksimasi pada 2/1nt dengan

t

TT

t

Tn

i

n

i

1

. (2.10.1)

Turunan kedua pada ruang dapat didefinisikan pada titik tengah dengan

merata-rata pendekatan pada awal nt dan akhir

1nt dari kenaikan waktu

2

1

1

11

1

2

11

2

2

)(

2

)(

2

2

1

x

TTT

x

TTT

x

Tn

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i (2.10.2)

Substitusikan persamaan (2.10.1) dan (2.10.2) ke persamaan (2.8.1) sehingga

diperoleh

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i TTTTTT 11

1

1

11

1 )1(2)1(2

(2.10.3)

dimana 2x

tk

. Kondisi batas )( 1

0

1

0

nn tfT dan )( 1

1

1

1

n

m

n

m tfT dapat

digunakan untuk menurunkan persamaan (2.10.3) untuk node pertama dan node

terakhir. Untuk node pertama

)()1(2)()1(2 1

0210

1

2

1

1

nnnnnn tfTTtfTT (2.10.4)

dan untuk node terakhir

)()1(2)()1(2 1

111

11

1

n

m

n

i

n

i

n

m

n

m

n

m tfTTtfTT . (2.10.5)

Persamaan (2.10.3) sampai dengan persamaan (2.10.5) sedikit lebih rumit

daripada persamaan (2.9.3), (2.9.5) dan (2.9.6), persamaan ini juga tridiagonal dan

karenanya efisien untuk diselesaikan.


30

BAB III

METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN ADVEKSI-

DIFUSI

Dalam bab ini akan dijelaskan metode beda hingga yang digunakan untuk

menyelesaikan persamaan adveksi-difusi dalam bentuk skema eksplisit dan skema

implisit.

A. Solusi Eksak Persamaan Adveksi-Difusi Satu Dimensi

Solusi eksak yang akan digunakan dalam perhitungan simulasi numeris

pada MATLAB berbentuk (Karahan, 2006 dan 2007):

t

tx

ttxu

04.000125.0

)5.0(exp

02.0000625.0

025.0),(

2

dengan domain 10 x dan 10 t . Nilai-nilai parameter yang digunakan

adalah 01.0D m2/s, 1c m/s.

Bentuk kedua solusi eksak yang akan digunakan dalam perhitungan numeris

adalah:

)14(

)(exp

14

1),(

2

0

tD

ctxx

ttxu

dengan domain 90 x dan 50 t . Nilai-nilai parameter yang akan

digunakan adalah 005.0D m2/s, 8.0c m/s. Di sini 0x merupakan titik tengah

pulsa Gaussian.

B. Penurunan Persamaan Adveksi-Difusi Satu Dimensi

Dalam bab ini akan dibahas mengenai penurunan persamaan adveksi,

persamaan difusi dan persamaan adveksi-difusi satu dimensi berdasarkan hukum

kekekalan massa.

a. Hukum Kekekalan Massa


31

Dalam menurunkan persamaan hukum kekekalan massa, notasi yang akan

digunakan yaitu x menyatakan variabel jarak, t menyatakan variabel waktu.

Sedangkan untuk menyatakan konsentrasi polutan dan kecepatan pada posisi x

dan waktu t adalah ),( txu dan ),( txc . Terdapat beberapa asumsi yang digunakan

untuk menurunkan persamaan hukum kekekalan massa. Pertama, diasumsikan

aliran berada dalam dimensi satu dan hanya melibatkan variabel ruang x saja

pada waktu t . Kedua, diasumsikan aliran tenang tanpa gangguan dari luar dan

kecepatan diabaikan. Ketiga, diasumsikan tempat air kedap atau tertutup rapat.

Oleh karena itu, karena massa adalah kekal, maka massa hanya akan berubah

karena aliran bergerak melewati titik 1x dan 2x . Massa total pelacak kimia pada

selang 21, xx pada waktu t dapat dinyatakan dengan

dxtxuMx

x2

1

),( . (3.2.1)

Perubahan massa pada 21, xx diberikan dengan perbedaan flux pada 21, xx .

Misal )(tFi adalah posisi pelacak melewati titik ix untuk 2,1i . Saat 0)( tFi

berarti pelacak mengalir ke kanan. Saat 0)( tFi berarti pelacak mengalir ke kiri,

untuk setiap )(tFi dalam satuan gram per detik. Perubahan massa pada 21, xx

berubah hanya saat flux melewati 1x dan 2x , diberikan oleh

2

1

)()(),( 21

x

xtFtFdxtxu

dt

d. (3.2.2)

Laju aliran yang melalui setiap titik ),( tx yang merupakan hasil kali massa jenis

),( txu dan kecepatan ),( txc disebut fluks massa, yaitu:

Flux massa ),(),( txutxc . (3.2.3)

Di sini, kecepatan menggambarkan seberapa cepat partikel yang bergerak

melewati titik x , dan massa jenis u menggambarkan berapa banyak partikel

kimia yang terkandung dalam aliran di setiap x . Berarti ),( txc adalah fungsi

yang diketahui, sehingga persamaan (3.2.3) dapat dinyatakan menjadi

Flux massa .),(),,( utxctxuf (3.2.4)


32

Karena nilai flux )(uf bergantung pada nilai u , maka persamaan (3.2.2) dapat di

tulis menjadi

2

1

)),(()),((),( 21

x

xtxuftxufdxtxq

dt

d (3.2.5)

2

1

)),((x

xtxuf

Jika u dan f adalah fungsi yang terdiferensial maka persamaan (3.2.5) dapat

ditulis menjadi

2

1

2

1

)),((),(x

x

x

xdxtxuf

xdxtxu

dt

d, (3.2.6)

atau

2

1

2

1

0)),((),(x

x

x

xdxtxuf

xdxtxu

dt

d, (3.2.7)

dengan menggunakan sifat integral tentu, persamaan (3.2.7) dapat ditulis menjadi

2

1

0)),((),(x

xdxtxuf

xdxtxu

t. (3.2.8)

Persamaan (3.2.8) mengakibatkan integran 21, xx harus sama dengan nol,

sehingga persamaan (3.2.8) menjadi

0)),((),(

txuf

xdxtxu

t. (3.2.9)

atau dapat dituliskan menjadi

0)( xt ufu (3.2.10)

Persamaan (3.2.10) disebut persamaan hukum kekekalan massa.

b. Persamaan Adveksi

Dalam proses adveksi, diandaikan sebuah aliran yang terbatas mengalir

dengan kecepatan aliran konstan, seperti diilustrasikan pada Gambar 3.2.1.


33

Gambar 3.2.1. Aliran sempit mengalir dengan kecepatan konstan

Andaikan terdapat sebuah polutan dalam aliran dan polutan tersebut terbawa ke

hilir tanpa adanya proses difusi sedikitpun. Berarti, kecepatan ),( txc adalah

konstan. Flux massa pada persamaan (3.2.4) dapat ditulis menjadi

Flux massa cuuf )( (3.2.11)

dari persamaan (3.2.10) diperoleh

.0)( xt cuu (3.2.12)

Persamaan (3.2.12) disebut persamaan adveksi atau persamaan gelombang satu

arah.

c. Persamaan Difusi dan Persamaan Adveksi-Difusi

Gambar 3.2.2. Ilustrasi kepekatan polutan

Dalam proses difusi, diandaikan fluida dalam pipa tidak mengalir dan

mempunyai kecepatan nol. Jika kecepatan sama dengan nol mengakibatkan

0tu dan konsentrasi polutan tidak berubah terhadap waktu. Namun, jika

konsentrasi polutan tidak konstan pada dimensi ruang, maka pada kenyataannya

konsentrasi polutan harus cenderung berubah yang disebabkan oleh dinamika

molekul difusi. Molekul individu bergerak menyebar ke arah yang berbeda, dan

juga molekul zat yang dilacak akan cenderung menyebar di air seperti

Pembatas aliran

Sumbu-

Pembatas aliran

Kecepatan Aliran

Arah aliran

polutan

Pompa Air


34

menyebarnya tinta dalam air. Hukum Fick tentang difusi menyatakan bahwa fluks

bersih sebanding dengan gradien dari u , di dalam ruang satu dimensi merupakan

turunannya xu . Pada titik ini, flux pada posisi x bergantung pada nilai xu jika

dibandingkan dengan nilai u , sehingga dapat dinyatakan dengan

Flux dari xx Duufu )( . (3.2.13)

Persamaan (3.2.13) diketahui sebagai Hukum Fick (Hukum Pertama Fick tentang

Difusi) dimana D merupakan koefisien difusi. Menggunakan flux (3.2.13)

persamaan (3.2.11) menjadi

xxt Duu , (3.2.14)

persamaan (3.2.14) merupakan persamaan difusi.

Secara umum, contoh fluida yang mengalir akan dipengaruhi proses

adveksi dan difusi secara bersamaan seperti dilustrasikan pada Gambar 3.2.2,

sehingga nilai fluksnya menjadi xx Ducuuf ),( dan menghasilkan persamaan

adveksi-difusi

xxxt Ducuu . (3.2.15)

C. Persamaan Adveksi-Difusi Skema Eksplisit

Pada bagian ini akan dibahas mengenai persamaan adveksi-difusi dengan

metode beda hingga dalam skema eksplisit.

Persamaan adveksi-difusi satu dimensi yang bersifat parabolik adalah

2

2

x

uD

x

uc

t

u

, Lx 0 , Tt 0 ,

dengan kondisi awal

)()0,( xfxu , Lx 0 ,

dan kondisi batas

)(),0( tgtu , Tt 0 ,

)(),( thtLu , Tt 0 .

Solusi dari persamaan adveksi-difusi dapat digambarkan ke dalam bentuk suatu

jarak yang saling menghubungkan dari sebuah grid. Misalkan langkah ruang


35

didiskritisasi dengan membuat grid pada domain sepeti tampak pada Gambar

3.3.1.

Gambar 3.3.1. Ilustrasi diskritisasi langkah ruang

Banyaknya langkah untuk ruang dinotasikan dengan M dengan M

dan indeks i digunakan untuk menunjukkan langkah ruang dengan

Mi ,,2,1,0 . Langkah ukuran ruang dinotasikan dengan M

Lx . Jadi, untuk

setiap koordinat ruang xixi , Mi ,,2,1,0 .

Gambar 3.3.2. Ilustrasi diskritisasi langkah ruang dan langkah waktu

Begitu juga untuk waktu, jumlah langkah untuk waktu adalah N dengan

N . Langkah ukuran ruang dinotasikan N

Tt , sehingga untuk nt waktu,

tntn Ntn ,,2,1,0 . Langkah waktu dan langkah ruang diilustrasikan dalam

sebuah grid yang ditunjukkan pada Gambar 3.3.2 dan dapat ditulis menjadi

nini utxu ,),( . Selengkapnya, diskritisasi langkah ruang dan langkah waktu dapat

.... LxM 1x00 x1Mx

x

tt 1

00 t

tt 22

tt 33

tt 44

LxM 1x00 x1Mx

x

....


36

dilihat pada buku Thomas (1998) yang berjudul Numerical Partial Differential

Equations: Finite Difference Methods.

Dalam menyelesaikan persamaan adveksi-difusi skema eksplisit akan

dipertimbangkan pendekatan dari turunan persamaan adveksi-difusi yang

menggabungkan bobot waktu . Konsentrasi dan kecepatan dinotasikan dengan

),( niu dan ),( nic . Dipilih beda-maju untuk mendiskritisasi langkah waktu t

u

sehingga diperoleh:

t

niuniu

t

u

),()1,(. (3.3.1)

Pendekatan terhadap langkah ruang x

u

dan

2

2

x

u

akan didiskritisasi dengan

turunan pertama dan turunan kedua beda pusat. Turunan pertama beda pusat x

u

dapat diaproksimasi dengan mengambil setengah beda mundur pada waktu 1nt

x

niuniu

x

u

)1,1()1,(

dan mengambil setengah beda maju pada waktu nt

x

niuniu

x

u

),(),1(.

Sehingga diperoleh pendekatan untuk x

u

yaitu

x

niuniu

x

niuniu

x

u

2

),(),1(

2

)1,1()1,(


),(),1()1,1()1,(2

1niuniuniuniu

xx

u

.

Jika kedua ruas dikali dengan ),( nic diperoleh

),(),1()1,1()1,(2

1niuniuniuniu

xc

x

uc

.

(3.3.2)

Turunan kedua beda pusat. 2

2

x

u

dapat diaproksimasi dengan


37

22

2

)(

),1(),(2),1(

x

niuniuniu

x

u

atau secara lebih akurat

22

2

)(

),(),1()1,()1,1(

x

niuniuniuniu

x

u

.

Sehingga pendekatan 2

2

x

u

dapat ditulis menjadi

),1(),(2),1()(

)1(

),(),1()1,()1,1()(

2

22

2

niuniuniux

D

niuniuniuniux

Dx

uD

(3.3.3)

dimana merupakan faktor bobot. Substitusikan (3.3.1), (3.3.2) dan (3.3.3) ke

persamaan adveksi-difusi satu dimensi sehingga diperoleh:

.),1(),(2),1()(

)1(

),(),1()1,()1,1()(

),(),1()1,1()1,(2

1)1,(

),()1,(

2

2

niuniuniux

D

niuniuniuniux

D

niuniuniuniux

nic

t

niuniu

(3.3.4)

kedua ruas pada persamaan (3.3.4) dikali dengan t maka diperoleh:

),1(),(2),1()(

)1(

),(),1()1,()1,1()(

),(),1()1,1()1,(2

),()1,(

2

2

niuniuniux

tD

niuniuniuniux

tD

niuniuniuniux

tcniuniu

(3.3.5)

atau


38

),()(

),1()(

),1()(

),()(

2

),1()(

)1,()(

)1,1()(

),(2

),1(2

)1,1(2

)1,(2

),()1,(

2222

222

niux

tDniu

x

tDniu

x

tDniu

x

tD

niux

tDniu

x

tDniu

x

tDniu

x

tc

niux

tcniu

x

tcniu

x

tcniuniu

(3.3.6)

dengan mengelompokkan setiap fungsi diperoleh

),1()(

),1()(

),1()(

),1(2

)1,1()(

)1,1(2

),()(

),()(

2

),(2

),()1,()(

)1,(2

)1,(

222

222

2

niux

tDniu

x

tDniu

x

tDniu

x

tc

niux

tDniu

x

tcniu

x

tDniu

x

tD

niux

tcniuniu

x

tDniu

x

tcniu

(3.3.7)

Untuk 11 Mi dan 11 Nn , dimana x

tcCr

, merupakan bilangan

Courant dan D

xcPe

merupakan bilangan Peclet, persamaan (3.3.7) dapat ditulis

menjadi

),1(

),1(2

1)1,1(

2

1

),(22

11)1,(

2

11

niuPe

Cr

Pe

Cr

niuPe

CrCrniu

Pe

CrCr

niuPe

Cr

Pe

CrCrniu

Pe

CrCr

(3.3.8)

atau persamaan (3.3.8) dapat dituliskan menjadi

Pe

CrCr

niuPe

Cr

Pe

Crniu

Pe

CrCr

niuPe

CrCr

niuPe

Cr

Pe

CrCr

niu

2

11

),1(),1(2

1

)1,1(2

1

),(22

11

)1,(

(3.3.9)


39

Persamaan (3.3.9) adalah skema eksplisit dari kiri ke kanan dan dari waktu kecil

ke waktu besar. Dalam kasus ini, hanya nilai )1,( niu yang tidak diketahui.

Skema (3.3.9) juga dikenal sebagai rumus Saulyev dan keuntungan dari skema ini

adalah stabil tidak bersyarat dan eksplisit (Karahan, 2006).

Skema beda hingga (3.3.9) eksplisit secara umum dapat digambarkan ke

dalam bentuk grid seperti tampak pada Gambar 3.3.3.

Gambar 3.3.3. Beda hingga eksplisit

Dari persamaan (3.3.9) persamaan adveksi-difusi satu dimensi skema

ekplisit akan dipelajari ke dalam tiga kasus yaitu untuk 0 , 5.0 , dan 1 .

Untuk 0 persamaan (3.3.9) menjadi

Cr

niuPe

Crniu

Pe

CrCr

niuCrniuPe

CrCr

niu

2

11

),1(),1(2

1

)1,1(2

1),(2

2

11

)1,(

(3.3.10)

atau persamaan (3.3.10) dapat disederhanakan menjadi

),1(),1()1,1(),(1

)1,( niEuniCuniBuniAuF

niu (3.3.11)

dengan

Pe

CrCrA 2

2

11 , CrB

2

1 ,

Pe

CrCrC

2

1,

Pe

CrE , CrF

2

11

Diambil 4 NM , kemudian dicari solusi awal untuk persamaan linear

diskritisasi sebagai berikut:


40

Untuk 1n

)1,0()1,2()2,0()1,1(1

)2,1( EuCuBuAuF

u

)1,1()1,3()2,1()1,2(1

)2,2( EuCuBuAuF

u

)1,2()1,4()2,2()1,3(1

)2,3( EuCuBuAuF

u

)1,3()1,5()2,3()1,4(1

)2,4( EuCuBuAuF

u

(3.3.12)

Untuk 2n

)2,0()2,2()3,0()2,1(1

)3,1( EuCuBuAuF

u

)2,1()2,3()3,1()2,2(1

)3,2( EuCuBuAuF

u

)2,2()2,4()3,2()2,3(1

)3,3( EuCuBuAuF

u

)2,3()2,2()3,3()2,4(1

)3,4( EuCuBuAuF

u

(3.3.13)

Untuk 3n

)3,0()3,2()4,0()3,1(1

)4,1( EuCuBuAuF

u

)3,1()3,3()4,1()3,2(1

)4,2( EuCuBuAuF

u

)3,2()3,4()4,2()3,3(1

)4,3( EuCuBuAuF

u

)3,5()3,5()4,3()3,4(1

)4,4( EuCuBuAuF

u

(3.3.14)

Dari persamaan (3.3.12), (3.3.13) dan (3.3.14), secara umum persamaan

(3.3.11) akan diselesaikan dengan algoritma yang diilustrasikan dalam diagram

alur pada Gambar 3.3.4.

Untuk 5.0 persamaan (3.3.9) menjadi


41

Pe

CrCr

niuPe

Crniu

Pe

CrCr

niuPe

CrCr

niuPe

CrCr

niu

2

1

2

11

),1(2

1),1(

2

1

)1,1(2

1

2

1

),(2

3

2

11

)1,(

. (3.3.15)

Untuk 1 persamaan (3.3.9) menjadi

Pe

CrCr

niuPe

Cr

Pe

Crniu

Pe

CrCr

niuPe

CrCr

niuPe

CrCr

niu

2

11

),1(),1(2

1

)1,1(2

1

),(2

11

)1,(

. (3.3.16)

Persamaan (3.3.15) dan (3.3.16) dapat diselesaikan menggunakan algoritma yang

sama yang digunakan pada persamaan (3.3.11). Pada Gambar 3.3.4 dapat dilihat

terdapat tiga loop. Loop pertama merupakan loop untuk menghitung kondisi awal.

Pada loop selanjutnya, loop bagian dalam menghitung nilai konsentrasi pada

waktu yang diberikan dan loop bagian luar berguna untuk mengontrol langkah

waktu.


42

Gambar 3.3.4. Diagram alur penyelesaian persamaan adveksi-difusi satu dimensi

skema eksplisit

D. Persamaan Adveksi-Difusi Skema Implisit

Pada bagian ini akan dibahas mengenai perhitungan numeris persamaan

adveksi-difusi dalam metode beda hingga dalam skema implisit. Dalam skema

END

Hasil

Definisikan Parameter

-Hitung kondisi awal

Hitung kondisi batas dan

STAR

No

No

No

Hitung


43

implisit akan dipertimbangkan pendekatan dari turunan persamaan adveksi-difusi

yang menggabungkan bobot waktu dan ruang dan . Menggunakan cara yang

sama seperti pada skema eksplisit, beda maju digunakan untuk pendekatan

langkah waktu, dan beda pusat untuk langkah ruang, sehingga diperoleh:

t

niuniu

t

u

),()1,( (3.4.1)

)1,()1,1()1()1,1()1,()1(

),(),1()1(),1(),()1()1(

niuniuniuniux

c

niuniuniuniux

c

x

uu

(3.4.2)

)1,1()1,(2)1,1()(

),1(),(2),1()(

)1(

2

22

2

niuniuniux

D

niuniuniux

D

x

uD

(3.4.3)

Substitusikan (3.4.1), (3.4.2) dan (3.4.3) ke persamaan adveksi-difusi sehingga

diperoleh:

)1,1()1,(2)1,1()(

),1(),(2),1()(

)1(

)1,()1,1()1()1,1()1,()1(

),(),1()1(),1(),()1()1(

),()1,(

2

2

niuniuniux

D

niuniuniux

D

niuniuniuniux

c

niuniuniuniux

c

t

niuniu

Operasikan kedua ruas dengan mengalikan t maka diperoleh:


44

)1,1()1,(2)1,1()(

),1(),(2),1()(

)1(

)1,()1,1()1()1,1()1,()1(

),(),1()1(),1(),()1()1(),()1,(

2

2

niuniuniux

tD

niuniuniux

tD

niuniuniuniux

tc

niuniuniuniux

tcniuniu

atau

.)1,1()1,(2)1,1()(

),1(),(2),1()(

),1(),(2),1()(

)1,1()1,1()1,1()1,(2)1,(

),1(),1(),1(),(2),(

),1()1(),1(),(2),(),()1,(

2

22

niuniuniux

tD

niuniuniux

tDniuniuniu

x

tD

niuniuniuniuniux

tc

niuniuniuniuniux

tc

niuniuniuniux

tcniuniu

atau

),1(),(2),1()(

),1(),(2),1()(

),1(),1(),1(),(2),(

),1()1(),1(),(2),(),(

)1,()1,1()1,(2)1,1()(

)1,1()1,1()1,1()1,(2)1,(

22

2

niuniuniux

tDniuniuniu

x

tD

niuniuniuniuniux

tc

niuniuniuniux

tcniu

niuniuniuniux

tD

niuniuniuniuniux

tc

Dengan mengelompokkan setiap fungsi diperoleh

)1,1()( 2

niu

x

tD

x

tc

x

tc


45

),1(),(2),1()(

)1(

),1()1(),1(),(2),()1(),(

)1,1(

)1,(12)(

2

2

2

niuniuniux

tD

niuniuniuniux

tcniu

niux

tc

x

tD

niux

tc

x

tc

x

tD

Jika dimisalkan

CrPe

CrA )1(

122 CrCrPe

CrB

CrPe

CrC

),1(),(2),1()1(

),1()1(),1(),(2),()1(),(),(

niuniuniuPe

Cr

niuniuniuniuCrniunif

dimana x

xcCr

dan

D

xcPe

maka diperoleh solusi berbentuk

),()1,1()1,()1,1( nifniCuniBuniAu . (3.4.4)

atau

B

niCuniAunifniu

)1,1()1,1(),()1,(

. (3.4.5)

untuk 11 Mi dan 11 Nn .

Skema beda hingga implisit secara umum dapat digambarkan ke dalam bentuk

grid sebagai tampak pada Gambar 3.4.1.


46

Gambar 3.4.1. Beda hingga implisit

Solusi dari persamaan (3.3.4) lebih lanjut akan dianalisis ke dalam tiga

kasus yaitu untuk 0 dan 0 , 5.0 dan 5.0 , dan 1 dan 1 .

Untuk 0 dan 0 diperoleh

0A , 1B , 0C ,

),1(),(2),1(),1(),(),(),( niuniuniuPe

CrniuniuCrniunif ,

sehingga persamaan (3.4.5) menjadi

),1(),(2),1(

),1(),(),(1

)1,(niuniuniu

Pe

Cr

niuniuCrniu

Bniu (3.4.6)

atau

),1(

),1(),(211

)1,(

niuPe

Cr

niuPe

CrCrniu

Pe

CrCr

Bniu . (3.4.7)

Persamaan (3.4.6) dapat ilustrasikan ke dalam grid yang dapat dilihat pada

Gambar 3.4.2. Dari Gambar 3.4.2 dapat dilihat bahwa jika 0 dan 0 maka

persamaan (3.4.5) membentuk skema eksplisit dimana hanya nilai )1,( niu yang

tidak diketahui. Persamaan ini juga disebut sebagai skema eksplisit upwind atau

FTBSCS Technique (forward time, backward steps, centered steps). Skema ini

menggunakan beda maju untuk turunan terhadap waktu, beda mundur untuk


47

turunan terhadap ruang pada persamaan adveksi dan beda pusat untuk turunan

difusi.

Gambar 3.4.2. Beda hingga implisit dengan 0 dan 0

Untuk 5.0 dan 5.0 maka diperoleh

CrPe

CrA

2

1

2

1 , 1

Pe

CrB , Cr

Pe

CrC

4

1

2

1

),1(),(2),1(2

1

),1(2

1),1(

2

1),(),(

2

1),(),(

niuniuniuPe

Cr

niuniuniuniuCrniunif

Sehingga persamaan (3.4.4) menjadi

),1(),(2),1(2

1

),1(2

1),1(

2

1),(),(

2

1

),()1,1()1,()1,1(

niuniuniuPe

Cr

niuniuniuniuCr

niuniCuniBuniAu

(3.4.8)

atau persamaan (3.4.8) dapat dituliskan menjadi

),1(4

1

2

1),(1

),1(4

1

2

1)1,1()1,()1,1(

niuCrPe

Crniu

Pe

Cr

niuCrPe

CrniCuniBuniAu

.

(3.4.9)

atau


48

),1(),(

),1()1,1()1,()1,1(

niCuniuB

niAuniCuniBuniAu

(3.4.10)

dengan 1Pe

CrB , untuk 1,,2,1,0 Mi dan 1,,2,1,0 Nn .

Persamaan (3.4.10) merupakan persamaan adveksi-difusi skema implisit

5.0 dan 5.0 yang juga disebut sebagai persamaan skema Crank-Nicolson.

Persamaan (3.4.10) diilustrasikan seperti pada Gambar 3.1.3.

Gambar 3.4.3. Beda hingga implisit Crank-Nicolson dengan 5.0 dan 5.0

Diambil 4M , sehingga dari persamaan (3.4.10) diperoleh sistem persamaan

linear sebagai berikut

Untuk 1i

),2(),1(),0()1,2()1,1()1,0( nCunuBnAunCunBunAu (3.4.11)

Untuk 2i


Untuk 3i


Dari persamaan(3.4.11), (3.4.12) dan (3.4.13) diperoleh matriks

),4(

),3(

),2(

),1(

).0(

00

00

00

)1,4(

)1,3(

)1,2(

)1,1(

)1.0(

00

00

00

nu

nu

nu

nu

nu

CBA

CBA

CBA

nu

nu

nu

nu

nu

CBA

CBA

CBA

(3.4.14)


49

Misalkan

CBA

CBA

CBAkiri

00

00

00

M ,

)1,4(

)1,3(

)1,2(

)1,1(

)1.0(

1

nu

nu

nu

nu

nu

nu ,

CBA

CBA

CBAkanan

00

00

00

M ,

),4(

),3(

),2(

),1(

).0(

nu

nu

nu

nu

nu

nu

Kedua matriks M di kiri dan kanan memiliki ukuran matriks 1M baris dan

1M kolom yang berarti terdapat 1M persamaan dan 1M nilai yang tidak

diketahui. Menggunakan kondisi tersebut, matriks M pada persamaan (3.4.14)

akan dibentuk menjadi matriks persegi sebagai berikut

),3(

),2(

),1(

0

0

)1,4(

0

)1,0(

)1,3(

)1,2(

)1,1(

0

0

nu

nu

nu

BA

CBA

CB

nCu

nAu

nu

nu

nu

BA

CBA

CB

),4(

0

),0(

nCu

nAu

(3.4.15)

Lebih umum, untuk 1,,2,1,0 Mi persamaan (3.4.15) dapat ditulis menjadi

)1,(

)1,1(

)1,(

)1,1(

000

0000

0000

000

nMu

nMu

niu

niu

CBA

CB

BA

CBA

(3.4.16)


50

),(

),1(

),(

),1(

000

0000

0000

000

nMu

nMu

niu

niu

CBA

CB

BA

CBA

atau

)1,(

0

0

)1,0(

)1,1(

)1,2(

)1,1(

)1,(

0000

000

000

0000

nMCu

nAu

nMu

nMu

niu

niu

BA

CBA

CBA

CB

),(

0

0

),0(

),1(

),2(

),1(

),(

0000

000

000

0000

nMCu

nAu

nMu

nMu

niu

niu

BA

CBA

CBA

CB

.

(3.4.17)

Secara lebih sederhana persamaan (3.4.17) dapat ditulis menjadi

nnnnnn ruMruM 111 (3.4.18)

dengan

BA

CBA

CBA

CB

n

0000

000

000

0000

1

M ,

)1,1(

)1,2(

)1,1(

)1,(

1

nMu

nMu

niu

niu

n u ,

)1,(

0

0

)1,0(

1

nMCu

nAu

n r ,

BA

CBA

CBA

CB

n

0000

000

000

0000

M ,


51

),1(

),2(

),1(

),(

nMu

nMu

niu

niu

n u ,

),(

0

0

),0(

nMCu

nAu

n r .

Di sini, 1nM dan nM merupakan matriks persegi berukuran 11 MM .

Matriks 1nr dan nr adalah matriks yang nilainya diketahui dengan entri pertama

dan terakhirnya merupakan kondisi batas awal dan kondisi batas akhir persamaan

adveksi-difusi.

Untuk mencari )1,( niu dapat dilakukan operasi matriks sehingga dari

persamaan (3.4.18) diperoleh

nnnnnn uMrruM )( 111 . (3.4.19)

Berarti diperoleh penyelesaian berbentuk

nnnnnn uMrrMu

)( 1

1

11 . (3.4.20)

E. Penyelesaian Persamaan Adveksi-Difusi Menggunakan Metode Beda

Hingga

Dalam subbab ini akan dibahas mengenai penyelesaian persamaan ad-

veksi-difusi menggunakan metode beda hingga yang disimulasikan menggunakan

MATLAB.

Diketahui so lusi eksak persamaan adveksi-difusi bentuk pertama yaitu

t

tx

ttxu

04.000125.0

)5.0(exp

02.0000625.0

025.0),(

2

(3.5.1)

Sehingga diperoleh fungsi kodisi awal pada 10 Lx dan 10 Tt

00125.0

)5.0(exp)0,(

2xxu (3.5.2)

dan kondisi batas


52

t

t

ttu

04.000125.0

)5.0(exp

02.0000625.0

025.0),0(

2

(3.5.3)

t

t

ttu

04.000125.0

)5.1(exp

02.0000625.0

025.0),1(

2

. (3.5.4)

Dalam program MATLAB, solusi awal persamaan adveksi-difusi pada persamaan

(3.5.1) ditunjukkan pada Gambar 3.5.1.

Selanjutnya, diketahui solusi eksak persamaan adveksi-difusi bentuk

kedua yaitu

)14(

)(exp

14

1),(

2

0

tD

ctxx

ttxu

(3.5.5)

Dengan diketahui titik tengah gausian pulse 10 x , kondisi batas 90 x dan

50 t diperoleh kondisi awal

D

xxu

2)1(exp)0,(

(3.5.6)

dan diperoleh kondisi batas

)14(

)1(exp

14

1),0(

2

tD

ct

ttu (3.5.7)

)14(

)8(exp

14

1),9(

2

tD

ct

ttu . (3.5.8)

Solusi awal persamaan adveksi-difusi pada persamaan (3.5.6) ditunjukkan pada

Gambar 3.5.2.


53

Gambar 3.5.1. Kondisi awal ( 0t ) solusi eksak persamaan adveksi-difusi

persamaan (3.5.1)

Gambar 3.5.2. Kondisi awal ( 0t ) solusi eksak persamaan adveksi-difusi

persamaan (3.5.5)


54

BAB IV

HASIL SIMULASI

Dalam Bab III telah dibahas mengenai solusi numeris persamaan adveksi

difusi mengunakan metode beda hingga skema eksplisit dan skema implisit. Pada

bab ini akan dibahas hasil-hasil simulasi numeris dan analisis galat persamaan

adveksi-difusi beda hingga skema eksplisit dan persamaan adveksi-difusi beda

hingga skema implisit untuk kedua solusi eksak. Simulasi numeris untuk setiap

skema akan dilakukan menggunakan progran MATLAB. Dalam menghitung

penyelesaian numeris persamaan adveksi-difusi, galat solusi u dihitung dengan

menggunakan rumus

M

i

iuiM 1

)()(ex1

Galat

dimana u adalah nilai numeris di titik ix dan ex adalah nilai eksak di titik )(ix ,

dan M adalah banyaknya langkah ruang untuk mendiskretkan domain ruang.

A. Pembahasan Hasil

Subbab ini akan membahas mengenai hasil simulasi solusi numeris

persamaan adveksi-difusi menggunakan MATLAB. Simulasi numeris dilakukan

dengan beberapa nilai N , dengan N menyatakan banyaknya titik diskret waktu.

Berikut ini merupakan grafik hasil simulasi numeris persamaan adveksi-

difusi beda hingga eksplisit untuk solusi eksak pertama.


55

Gambar 4.1.1. Grafik simulasi numeris skema eksplisit dengan 0 untuk

250N , 02.0x , 004.0t pada waktu 1t .

Gambar 4.1.2. Grafik simulasi numeris skema eksplisit dengan 5.0 untuk

250N , 02.0x , 004.0t pada waktu 1t .


56


250N , 02.0x , 004.0t pada waktu 1t .

Tabel 4.1.1. Hasil simulasi persamaan adveksi-difusi menggunakan metode beda

hingga skema eksplisit untuk 02.0x pada posisi 1x dan waktu 1t

N t Solusi

Eksak

Solusi Numeris

0 5.0 1

2000 0.0005 0.1741 0.1733 0.1728 0.1723

1000 0.001 0.1733 0.1723 0.1713

500 0.002 0.1733 0.1713 0.1693

250 0.004 0.1733 0.1693 0.1656

100 0.01 0.1733 0.1638 0.1557

50 0.02 0.1733 0.1556 0.1426

Gambar 4.1.1 sampai dengan Gambar 4.1.3 memperlihatkan secara

geometris simulasi numeris persamaan adveksi-difusi dengan 0 , 5.0 ,

1 . Simulasi ini menggunakan 250N , 02.0x , dan 004.0t pada

waktu 1t . Jika grafik ketiga solusi numeris dibandingkan, dari Gambar 4.1.1

dapat dilihat bahwa hasil simulasi numeris dengan 0 merupakan grafik yang


57

paling medekati dan hampir berhimpit dengan grafik solusi eksaknya. Dengan

kata lain, solusi numeris dengan 0 memberikan selisih solusi numeris dan

eksak yang kecil.

Dari Tabel 4.1.1 penyelesaian numeris persamaan adveksi-difusi skema

ekplisit dengan 0 menghasilkan nilai yang paling dekat dengan solusi eksak.

Di sini, dilakukan pembulatan empat angka di belakang koma terhadap hasil

simulasi numeris. Dapat dilihat bahwa besar kecilnya pengambilan nilai N juga

mempengaruhi hasil penyelesaian numeris. Semakin besar N yang diambil, maka

semakin kecil selisih antara penyelesaian numeris dan eksaknya.

Selanjutnya akan dibahas mengenai hasil simulasi persamaan adveksi-

difusi beda hingga implisit untuk pendekatan numeris yang pertama yang

disimulasikan dalam program MATLAB. Berikut merupakan hasil simulasi

persamaan adveksi-difusi beda hingga implisit untuk solusi pertama dengan

250N , 02.0x , dan 004.0t pada waktu 1t .

Gambar 4.1.4. Grafik simulasi numeris skema implisit dengan 0 dan 0

untuk 250N , 02.0x , 004.0t pada waktu 1t .


58

Gambar 4.1.5. Grafik simulasi numeris skema implisit dengan 5.0 dan

5.0 untuk 250N , 02.0x , 004.0t pada waktu 1t .


hingga skema implisit untuk 02.0x pada posisi 1x dan waktu 1t

N t Solusi

Eksak

Solusi Numeris

0

0

5.05.0

2000 0.0005 0.1741 0.1454 0.1734

1000 0.001 0.1460 0.1734

500 0.002 0.1472 0.1734

250 0.004 0.1497 0.1734

100 0.01 0.1581 0.1742

50 0.02 4.0350 0.1750

Dari Gambar 4.1.4 dapat dilihat bahwa secara geometris hasil simulasi

numeris persamaan adveksi-difusi skema implisit dengan 0 dan 0

memberikan selisih solusi numeris dan solusi eksak yang cukup besar. Untuk

5.0 dan 5.0 terlihat pada Gambar 4.1.5 grafik simulasi numeris dan grafik


59

solusi eksaknya hampir berhimpit. Artinya skema implisit ini memberikan selisih

antara solusi numeris dan solusi eksak yang kecil.

Pada Tabel 4.1.2 terlihat bahwa hasil simulasi numeris skema implisit

dengan 5.0 dan 5.0 memberikan solusi numeris yang paling dekat dengan

solusi eksak. Di sini, nilai N juga mempengaruhi hasil solusi numerisnya.

Berbeda dengan pengaruh nilai N pada skema eksplisit. Pada skema implisit,

semakin besar nilai N yang diambil, maka semakin besar juga selisih antara

solusi numeris dan solusi eksaknya. Pada hasil simulasi numeris skema implisit

dengan 0 dan 0 jika t diambil terlalu kecil maka model solusi akan

rusak dan membuat solusi numeris tidak akurat, seperti ditunjukkan pada Gambar

4.1.6.



Grafik hasil simulasi numeris persamaan adveksi-difusi beda hingga

skema eksplisit untuk solusi eksak bentuk kedua dengan 400N , 025.0x ,

0125.0t pada waktu 9t berturut-turut ditunjukkan pada Gambar 4.1.7

sampai dengan 4.1.9.


60


400N , 025.0x , 0125.0t pada waktu 5t .

Gambar 4.1.8. Grafik simulasi numeris skema eksplisit dengan 5.0 untuk

400N , 025.0x , 0125.0t pada waktu 5t .


61


400N , 025.0x , 0125.0t pada waktu 5t .

Sama seperti grafik hasil simulasi numeris persamaan adveksi-difusi beda

hingga eksplisit pada bentuk pertama. Secara geometris, hasil simulasi numeris

bentuk kedua pada Gambar 4.1.7 memperlihatkan bahwa simulasi numeris

persamaan adveksi-difusi dengan 0 merupakan solusi numeris yang paling

mendekati solusi eksaknya. Pengaruh pengambilan nilai N terhadap hasil

simulasi numeris skema eksplisit bentuk kedua ini ditunjukkan pada Tabel 4.1.3.


hingga skema eksplisit untuk 025.0x pada posisi 9x dan waktu 5t

N t Solusi

Eksak

Solusi Numeris

0 5.0 1

2000 0.0025 0.2182 0.2177 0.2137 0.2100

1000 0.005 0.2177 0.2100 0.2030

500 0.01 0.2175 0.2028 0.1908

250 0.02 0.2169 0.1906 0.1719

100 0.05 0.2143 0.1642 0.1378

50 0.1 0.2033 0.1375 0.1093


62

Hasil simulasi numeris pada Tabel 4.1.3. menunjukkan bahwa model

persamaan adveksi-difusi bentuk kedua dengan 0 juga memberikan hasil

terdekat dengan solusi numerisnya. Sama seperti hasil simulasi skema eksplisit

yang pertama, semakin besar nilai N yang diambil juga akan menghasilkan solusi

numeris yang semakin dekat dengan solusi eksaknya. Pada kasus ini jika langkah

waktu t diambil terlalu besar maka grafik simulasi numeris akan berosilasi.

Misal diambil 1.0t maka diperoleh grafik hasil simulasi pada Gambar 4.1.10.


400N , 025.0x , 1.0t pada waktu 5t .

Pengambilan langkah waktu t yang terlalu besar akan mempengaruhi

keakuratan solusi numeris skema eksplisit ini dan menyebabkan selisih antara

solusi numeris dan solusi eksaknya membesar.

Berikutnya, hasil grafik simulasi skema implisit untuk solusi eksak bentuk

kedua ditunjukkan pada Gambar 4.1.11.


63






64

Dari Gambar 4.1.11 secara geometris terlihat bahwa skema implisit

dengan 0 dan 0 menghasilkan selisih solusi numeris yang cukup besar

dengan solusi eksaknya. Sedangkan dari Gambar 4.1.12 dapat dilihat bahwa

grafik hasil simulasi numeris dengan solusi eksaknya hampir berhimpit.


hingga skema implisit untuk 025.0x pada posisi 9x dan waktu 5t

N t Solusi

Eksak

Solusi Numeris

0

0

5.05.0

2000 0.0025 0.2182 0.1315 0.2178

1000 0.005 0.1353 0.2178

500 0.01 0.1440 0.2178

250 0.02 0.1679 0.2178

100 0.05 6.9263 0.2172

50 0.1 2.3047 0.2098

Tabel 4.1.4 menunjukkan bahwa perubahan nilai N tidak banyak

mempengaruhi hasil solusi numeris yang dihasilkan pada skema implisit saat

5.0 dan 5.0 . Akan tetapi pengambilan langkah waktu t yang terlalu

besar akan mengakibatkan grafik hasil simulasi numeris ini berosilasi. Berbeda

dengan solusi numeris skema implisit saat 0 dan 0 . Semakin besar nilai

N yang diambil, maka semakin besar solusi numeris yang dihasilkan. Sama

seperti pada hasil simulasi pertama, pada kasus ini jika langkah waktu t diambil

terlalu besar maka model solusi akan rusak, seperti tampak pada Gambar 4.1.14.


65






66

Dari Tabel 4.1.1 dan Tabel 4.1.2 dapat dilihat bahwa untuk penyelesaian

numeris persamaan adveksi-difusi bentuk pertama jika dibandingkan dari kedua

tabel maka penyelesaian numeris yang paling medekati solusi eksaknya adalah

skema implisit dengan 5.0 dan 5.0 . Begitu juga dengan penyelesaian

persamaan adveksi-difusi bentuk kedua yang dapat dibandingkan dari Tabel 4.1.3

dan 4.1.4. Lebih lanjut, solusi numeris akan dianalisis berdasarkan besar kecilnya

galat untuk melihat keakuratannya pada bagian B.

B. Pengamatan Galat

Pada subbab ini akan dibahas mengenai galat hasil simulasi numeris

persamaan adveksi-difusi skema eksplisit dan skema implisit. Berikut ini

merupakan galat hasil simulasi numeris persamaan adveksi-difusi skema ekplisit

dan skema implisit untuk solusi pertama.

Tabel 4.2.1. Galat hasil simulasi persamaan adveksi-difusi skema eksplisit untuk

02.0x pada posisi 1x dan waktu 1t

N t Galat

0 5.0 1

2000 0.0005 0.9684 10-3

1.0352 10-3

1.1213 10-3

1000 0.001 0.9693 10-3

1.1221 10-3

1.3347 10-3

500 0.002 0.9730 10-3

1.3372 10-3

1.8730 10-3

250 0.004 0.9876 10-3

1.8807 10-3

3.0656 10-3

100 0.01 1.0901 10-3

3.6811 10-3

6.4703 10-3

50 0.02 1.4577 10-3

6.5378 10-3

1.1292 10-2

Dari Tabel 4.2.1 dapat dilihat bahwa untuk 0 tidak ada perbedaan

galat yang signifikan. Misalnya pada saat 2000N dengan 250N dimana

galat yang dihasilkan hampir sama. Berbeda dengan galat hasil simulasi

persamaan adveksi-difusi untuk 5.0 dan 1 . Galat pada saat 5.0 dan

1 memiliki perbedaan yang cukup signifikan seperti pada saat 250N dan

100N . Semakin besar nilai N maka semakin kecil galat yang dihasilkan. Dari


67

Tabel 4.2.1 juga dapat dilihat bahwa skema eksplisit saat 0 menghasilkan

galat yang paling kecil jika dibandingkan dengan skema eksplist saat 5.0 dan

1 . Dengan kata lain, solusi numeris dengan 0 memberikan hasil yang

lebih akurat.

Tabel 4.2.2. Galat hasil simulasi persamaan adveksi-difusi skema implisit untuk


N t

Galat

0

0

5.05.0

2000 0.0005 10.480 10-3

1.0663 10-3

1000 0.001 10.262 10-3

1.1784 10-3

500 0.002 9.8182 10-3

1.4337 10-3

250 0.004 8.8977 10-3

2.0279 10-3

100 0.01 5.8939 10-3

4.0288 10-3

50 0.02 7.7497 10-1

7.6334 10-3

Tabel 4.2.2. menunjukkan bahwa galat hasil simulasi numeris skema

implisit saat 5.0 dan 5.0 memberikan nilai galat yang lebih kecil jika

dibandingkan dengan skema implisit saat 0 dan 0 . Untuk skema implisit

saat 0 dan 0 terlihat bahwa semakin kecil nilai N yang diambil maka

semakin kecil galat yang dihasilkan, tetapi saat langkah waktu t telalu kecil

maka galat akan membesar. Ketika galat membesar, maka saat itulah solusi rusak.

Jika hasil simulasi numeris skema eksplisit dan skema implisit

dibandingkan, maka hasil simulasi numeris skema eksplist saat 0 lebih baik

daripada skema implisit saat 5.0 dan 5.0 . Dengan kata lain, galat yang

dihasilkan dari skema eksplisit saat 0 lebih kecil dan berarti solusi

numerisnya lebih akurat.

Selanjutnya akan dilihat galat hasil simulasi numeris persamaan adveksi-

difusi skema eksplisit dan skema implisit untuk solusi kedua.


68



N t Galat

0 5.0 1

2000 0.0025 0.7719 10-3

0.8127 10-3

0.9087 10-3

1000 0.005 0.8221 10-3

0.9498 10-3

1.2299 10-3

500 0.01 0.9360 10-3

1.2951 10-3

1.9639 10-3

250 0.02 1.2175 10-3

2.0669 10-3

3.3214 10-3

100 0.05 2.5147 10-3

4.1069 10-3

6.2330 10-3

50 0.1 6.2591 10-3

6.6752 10-3

9.1698 10-3



N t

Galat

0

0

5.05.0

2000 0.0025 6.6665 10-3

7.2862 10-4

1000 0.005 6.3054 10-3

7.3552 10-4

500 0.01 5.5504 10-3

7.6316 10-4

250 0.02 3.5121 10-3

8.7376 10-4

100 0.05 2.2310 10-1

1.6481 10-3

50 0.1 5.8417 10-2

4.5554 10-3

Sama seperti pada hasil simulasi solusi numeris persamaan adveksi-difusi

skema eksplisit bentuk pertama. Galat skema eksplisit pada saat 0

menghasilkan galat yang paling kecil jika dibandingkan dengan skema eksplisit

saat 5.0 dan 1 . Berarti pada simulasi numeris skema eksplisit bentuk

kedua yang memberikan solusi numeris paling akurat adalah saat 0 .

Dari Tabel 4.2.4 dapat dilihat bahwa nilai N juga mempengaruhi galat

hasil simulasi numeris skema implisit. Sama seperti pada hasil simulasi skema

implisit saat 0 dan 0 pertama, semakin kecil nilai N maka semakin kecil


69

galat yang dihasilkan. Tetapi jika langkah waktu t terlalu kecil maka galat akan

membesar dan saat itu terjadi, solusi rusak. Hasil simulasi numeris skema implisit

saat 5.0 dan 5.0 menghasilkan galat yang cukup kecil. Di sini, semakin

besar nilai N yang diambil maka semakin kecil galat yang dihasilkan. Jika

dibandingkan, hasil simulasi numeris skema implisit saat 5.0 dan 5.0

lebih baik jika dibandingkan dengan skema implisit saat 0 dan 0 . Lebih

baik di sini berarti solusi numeris lebih akurat karena galat yang dihasilkan lebih

kecil.

Dengan membandingkan hasil simulasi numeris skema eksplisit dan

skema implisit, dapat dilihat bahwa solusi numeris skema implisit saat 5.0

dan 5.0 menghasilkan galat yang lebih kecil jika dibandingkan dengan skema

eksplisit saat 0 . Berarti untuk kasus ini, solusi numeris akan lebih akurat jika

menggunakan skema implisit dengan 5.0 dan 5.0 .


70

B AB V

PENUTUP

Pada bab ini akan diberikan kesimpulan dari pembahasan pada bab-bab

sebelumnya serta saran untuk penelitian berikutnya.

A. Kesimpulan

Dalam skripsi ini, penulis telah berhasil memodelkan transportasi dan

proses difusi ke dalam persamaan adveksi-difusi menggunakan hukum kekekalan

massa sehingga persamaan adveksi-difusi dapat diselesaikan sesuai dengan syarat

batas dan kondisi awal. Telah dilihat bahwa penulis dapat menyelesaikan

persamaan adveksi-difusi skema eksplisit dan skema implisit. Dari setiap skema,

pengambilan nilai bobot ruang dan waktu dalam turunan numeris akan

mempengaruhi model solusi numeris yang berkaitan dengan keakuratan hasil

simulasi numeris. Selain itu, pemilihan langkah waktu t juga mempengaruhi

hasil solusi numeris dan galatnya. Semakin besar pengambilan nilai N maka

semakin akurat solusi numeris yang dihasilkan. Lebih lanjut, setelah diamati

skema eksplisit saat 0 dan skema implisit saat 5.0 dan 5.0

memberikan hasil simulasi dengan galat yang kecil dan dekat dengan solusi

eksaknya. Di sini, N menyatakan jumlah langkah waktu dalam suatu domain

tetap tertentu, menyatakan faktor pembobot ruang dan menyatakan faktor

pembobot waktu. Terkait dengan pemilihan skema persamaan adveksi-difusi satu

dimensi terbaik, terdapat dua skema yang menghasilkan solusi yang cukup baik

yaitu skema eksplisit dan skema Crank-Nicolson. Akan tetapi, penulis

menyarankan untuk menggunakan skema eksplisit, karena perhitungannya mudah

dan sama-sama menghasilkan galat yang cukup kecil.

B. Saran

Penulis sadar bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi

ini. Oleh karena itu, penulis berharap kelak ada yang melanjutkan penelitian ini.


71

Dalam skripsi ini skema penyelesaian persamaan adveksi-difusi satu dimensi ini

terbatas pada variasi nilai dan . Penulis berharap, jika ada pembaca yang

mampu melanjutkan penelitian ini dengan dan yang lebih beragam dengan

dimensi yang lebih tinggi. Dan jika dimungkinkan menggunakan skema lain yang

memberikan hasil yang lebih akurat.


DAFTAR PUSTAKA

Appadu, A. R. (2013). Numerical Solution of the 1D Advection-Diffusion Equa-

tion Using Standard and Nonstandard Finite Difference Schemes. Journal of

Applied Mathematics, 2013.

Budhi, W.S. (1995). Aljabar Linear. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.

Chapra, S. C. dan Chanale, R. P. (2010). Numerical Methods for Engineers. Sixth

Edition. New York: McGraw-Hill.

Coleman, M.P. (2005). An Introduction to Partial Differential Equations with

MATLAB. Boca Raton: CRC Press.

Durran, D. R. (2010). Numerical Methods for Fluid Dynamics with Applications

to Geophysics. Second Edition. New York: Springer.

Karahan, H. (2006). Implicit Finite Difference Techniques for the Advection-

Diffusion Using Spreadsheets. Advances in Engineering Software, 37: 601-

608.

Karahan, H. (2007). Unconditional Stable Explicit Finite Difference Technique

for the Advection-Diffusion Using Spreadsheets. Advances in Engineering

Software, 38: 80-86

LeVeque, R. J. (2004). Finite-Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cam-

bridge: Cambridge University Press.

Marjono, M. (2012). Aljabar Linear. Malang: Universitas Brawijaya Press.

Mohammadi, A., Manteghian, M. dan Mohammadi, A. (2011). Numerical Solu-

tion of One-dimensional Advection-diffusion Equation Using Simultaneously

Temporal and Spatial Weight Parameters. Australian Journal of Basic and

Applied Science, 5(6): 1546-1543.

Munir, R. (2008). Metode Numerik. Bandung: Informatika Bandung.

Ross, S. L. (2004). Diferential Equations. Delhi: Wiley.

Thomas, J. W. (1998). Numerical Partial Differential Equations: Finite Dif-

ference Methods. New York: Springer.

Varberg, D., Purcell, E. P., Ringdon, S. E. (2010). Kalkulus. Edisi Sembilan. Ja-

karta: Erlangga.


LAMPIRAN

1. Kondisi Awal Solusi Persamaan Adveksi-Difusi Pertama

close all

clear all

format long

%% Data

L=1; %batas nilai x akhir

dx=0.02; %langkah ruang

x=-L:dx:L; %diskritisasi ruang

M=length(x); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit

%% kondisi awal

for i=1:M

f(i)=exp(-1*(x(i)+0.5)^2/0.00125); %formula kondisi awal f(x)=u( x,0)

end

figure(1)

plot(x,f)

xlim([-1 1])

ylim([0 1])

2. Kondisi Awal Solusi Persamaan Adveksi-Difusi Kedua

close all

clear all

format long

%% Data



x=0:dx:L; %diskritisasi ruang


%% parameter

D=0.005; %koefisien difusi dipilih yg sangat kecil

x0=1; %titik tengah gausian pulse

%% kondisi awal

for i=1:M

f(i)=exp(-1*(x(i)-x0)^2/D); %formula kondisi awal f(x)=u( x,0)

end

figure(1)


plot(x,f)

3. Metode Beda Hingga Skema Eksplisit 0 dengan Solusi Eksak dan

Erronya (Solusi Pertama)

close all

clear all

format long

%% Data


T=1;%batas nilai t akhir


dt=0.004;%langkah waktu


t=0:dt:T; %diskritisasi waktu


N=length(t); %banyaknya elemen dalam waktu diskrit

f=zeros(1,M);%penyimpanan hasil kondisi awal (menggambarkan fungsi

f(i,n+1))

f_old=zeros(1,M);%penyimpanan hasil langkah waktu sebe-

lumnya(menggambarkan fungsi f(i,n))

ex=zeros(1,M);%menyimpan hasil solusi exact

%% parameter


c=1; %kecepatan

Cr=c*dt/dx; %bilangan courant

Pe=c*dx/D; %bilangan peclet

CP=Cr/Pe;

x0=0.5; %titik tengah gausian pulse

teta=0; % faktor pembobot waktu

t=0; %time

%% kondisi awal

for i=1:M

f(i)=exp(-1*(x(i)+0.5)^2/0.00125); %formula kondisi awal f(x)=u( x,0)

end

%% perhitungan

for n=1:N-1;

f_old = f; %menyimpan kondisi awal untuk langkah ke n


t=t+dt;

%menghitung solusi pada titik ujung(kondisi batas akhir)

f(1)=0.025/sqrt(0.000625+0.02*t)*exp(-1*(0.5-t)^2/(0.00125+0.04*t));

%u(0,t)=g(t)

f(M)=0.025/sqrt(0.000625+0.02*t)*exp(-1*(1.5-

t)^2/(0.00125+0.04*t));%u(L,t)=h(t)

for i=2:M-1 %menghitung solusi numerik waktu n+1

f(i)=((1+0.5*Cr-2*CP+teta*CP)*f_old(i)+...

(0.5*Cr+teta*CP)*f(i-1)+(CP-0.5*Cr)*f_old(i+1)+...

(CP-teta*CP)*f_old(i-1))/(1+Cr/2+teta*CP);

end

for i=1:M %solusi eksak

%rumus solusi eksak dari jurnal karahan (a)

ex(i)=0.025/sqrt(0.000625+0.02*t)*exp(-1*(x(i)+0.5-

t)^2/(0.00125+0.04*t));

end

error= sum(abs(ex-f))/M; %menghitung error

%% Plot Solusi

figure(1)

plot(x,f,'b.-', x,ex,'r--'); % Plot solusi

pause(0.00001)

end

xlabel('posisi x')

ylabel('fungsi u(x,t)')

title('Persamaan Adveksi-Difusi Skema Eksplisit tetha=0')

legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')

sa=max(ex); %solusi eksak

sn=max(f); %solusi numerik

disp(' solusi eksak solusi numerik error');

disp([sa sn error]);

4. Metode Beda Hingga Skema Eksplisit 0 Dengan Solusi Eksak Dan

Erronya ( Solusi Kedua)

close all

clear all


format long

%% Data


T=5; %batas nilai t akhir








f(i,n+1))




%% parameter


c=0.8; %kecepatan aliran



CP=Cr/Pe;


teta=0; % faktor pembobot waktu

t=0; %time

%% kondisi awal

for i=1:M

f(i)=exp(-1*(x(i)-x0)^2/D); %formula kondisi awal f(x)=u( x,0)

end

%% perhitungan

for n=1:N-1;

f_old = f; %menyimpan kondisi awal untuk langkah ke n

t=t+dt; %update t

%menghitung solusi pada titik ujung(kondisi batas akhir)

f(1)=1/sqrt(4*t+1)*exp(-1*(-x0-c*t)^2/(D*(4*t+1)));

f(M)=1/sqrt(4*t+1)*exp(-1*(9-x0-c*t)^2/(D*(4*t+1)));



f(i)=((1+0.5*Cr-2*CP+teta*CP)*f_old(i)+...

(0.5*Cr+teta*CP)*f(i-1)+(CP-0.5*Cr)*f_old(i+1)+...

(CP-teta*CP)*f_old(i-1))/(1+Cr/2+teta*CP);

end


%rumus solusi eksak dari jurnal karahan (a)

ex(i)=1/sqrt(4*t+1)*exp(-1*(x(i)-x0-c*t)^2/(D*(4*t+1)));

end

figure(2)

plot(x,f,'b.-', x,ex,'r--'); % Plot solusi

grid on;

pause(dt)

error= sum(abs(ex-f))/M;

end

%% plot solusi

xlabel('posisi x')


title('Persamaan Adveksi-Difusi Skema Eksplisit tetha=0')






5. Metode Beda Hingga Skema Implisit 0 dan 0 dengan Solusi

Eksak dan Erronya ( Solusi Pertama)

close all

clear all

format long

%% Data



c=1; %kecepatan



x=0:dx:L; %diskritisasi ruang(untuk menghitung jumlah i yang akan dihi-

tung)


t=0:dt:T; %diskritisasi waktu(untuk menghitung jumlah n yang akan dihi-

tung)



f=zeros(M,1);%penyimpanan hasil kondisi awal (menggambarkan fungsi

f(i,n+1))

f_old=zeros(M,1);%penyimpanan hasil langkah waktu sebe-


ex=zeros(M,1);%menyimpan hasil solusi exact

%% nilai koefisien




CP=Cr/Pe;


t=0; %time( waktu awal)

teta=0; % faktor pembobot ruang

phi= 0; %faktor pembobot waktu

d=1-phi;

e=1-teta;

A=phi*CP+phi*e*Cr;

B=-2*phi*CP-phi*(1-2*teta)*Cr-1;

C=phi*CP-phi*teta*Cr;

%% kondisi awal

for i=1:M

f(i)=exp(-1.*(x(i)+0.5)^2/0.00125); %formula kondisi awal f(x)

end

%% perhitungan

for n=1:N-1;

%menghitung solusi pada titik terakhir(kondisi batas akhir)

f(M)=0.025/sqrt(0.000625+0.02*t)*exp(-1*(1.5-t)^2/(0.00125+0.04*t));

f(1)=0.025/sqrt(0.000625+0.02*t)*exp(-1*(0.5-t)^2/(0.00125+0.04*t));

f_old = f;

t=t+dt;



f(i)=(-f_old(i)-d*CP*(f_old(i-1)-2*f_old(i)+f_old(i+1))...

+d*Cr*(e*f_old(i)+teta*f(i+1)-e*f_old(i-1)-teta*f_old(i))...

-A*f(i-1)-C*f(i+1))/B;

end


ex(i)=0.025/sqrt(0.000625+0.02*t)*exp(-1*(x(i)+0.5-

t)^2/(0.00125+0.04*t));

end

error = sum(abs(ex-f))/M;

%% Plot Solusi

figure(1)

plot(x,f,'b.-', x,ex,'r'); % Plot solusi

pause(dt)

end

xlabel('posisi x')


title('Skema implisit(1) tetha=0 dan phi=0')






6. Metode Beda Hingga Skema Implisit 0 dan 0 dengan Solusi

Eksak dan Erronya ( Solusi Kedua)

close all

clear all

format long

%% Data











f(i,n+1))




%% Parameter





CP=Cr/Pe;


teta=0; % faktor pembobot ruang

phi=0; %faktor pembobot waktu

d=1-phi;

e=1-teta;

A=phi*CP+phi*e*Cr;

B=-2*phi*CP-phi*(1-2*teta)*Cr-1;


t=0; %time

%% kondisi awal

for i=1:M

f(i)=exp(-1*(x(i)-x0)^2/D); %formula kondisi awal f(x)

end

%% perhitungan

for n=1:N-1;


f(M)=1/sqrt(4*t+1)*exp(-1*(9-x0-c*t)^2/(D*(4*t+1)));

f(1)=1/sqrt(4*t+1)*exp(-1*(-x0-c*t)^2/(D*(4*t+1)));

f_old = f;

t=t+dt;


g(i)=-f_old(i)-d*CP*(f_old(i-1)-2*f_old(i)+f_old(i+1))...

+d*Cr*(e*f_old(i)+teta*f(i+1)-e*f_old(i-1)-teta*f_old(i));

f(i)=(g(i)-A*f(i-1)-C*f(i+1))/B;


end



end

error = sum(abs(ex-f))/M;

%% plot solusi

figure(1)

plot(x,f,'b.-', x,ex,'r'); % Plot solusi

pause(dt)

end

xlabel('posisi x')


title('Skema implisit(2) tetha=0 dan phi=0')






7. Metode Beda Hingga Skema Implisit 5.0 dan 5.0 dengan Solusi

Eksak dan Erronya ( Solusi Pertama)

close all

clear all

format long

%% Data





x=0:dx:L; %diskritisasi ruang(untuk menghitung jumlah i yang akan dihi-

tung)

t=0:dt:T; %diskritisasi waktu(untuk menghitung jumlah n yang akan dihi-

tung)



f=zeros(M,1);%penyimpanan hasil kondisi awal (menggambarkan fungsi

f(i,n+1))


f_old=zeros(M,1);%penyimpanan hasil langkah waktu sebe-


ex=zeros(M,1);%menyimpan hasil solusi exact

rr=zeros(M-2,1);%menyimpan martriks r kanan

rl=zeros(M-2,1); %menyimpan matriks r kiri

%% Parameter


c=1; %kecepatan



CP=Cr/Pe;


t=0; %time( waktu awal)

teta=0.5; % faktor pembobot ruang

phi= 0.5; %faktor pembobot waktu

d=1-phi;

e=1-teta;

A=phi*CP+phi*e*Cr;

B=-2*phi*CP-phi*(1-2*teta)*Cr;


%% kondisi awal

for i=1:M

f(i)=exp(-1*(x(i)+0.5)^2/0.00125); %formula kondisi awal f(x)

end

%% batas kiri (lihat buku coleman p.555 atau J.W.Tomas p.85)

al(1:M-3)=A; %(i-1,n+1)

bl(1:M-2)=B-1; %(i,n+1)

cl(1:M-3) =C; %(i+1,n+1)

MMl=diag(al,-1)+diag(bl,0)+diag(cl,1);%matriks kiri dengan menggunakan

pendiagonalan

%% batas kanan

ar(1:M-3)=-A; %(i-1,n)

br(1:M-2)=-B-1; %(i,n)

cr(1:M-3)=-C; %(i+1,n)

MMr=diag(ar,-1)+diag(br,0)+diag(cr,1); %matriks kanan dengan

menggunakan pendiagonalan


%% perhitungan

for n=2:N; %looping waktu

%% KONDISI BATAS menghitung solusi pada titik awal dan terakhir


f(M,n)=0.025/sqrt(0.000625+0.02*t)*exp(-1*(1.5-t)^2/(0.00125+0.04*t));

f(1,n)=0.025/sqrt(0.000625+0.02*t)*exp(-1*(0.5-t)^2/(0.00125+0.04*t));

rl(1,1)=A*f(1,n);

rl(M-2,1)=C*f(M,n);

rr(1,1)=-A*f(1,n-1);

rr(M-2,1)=-C*f(M,n-1);

f_old=f(2:M-1,n-1);

t=t+dt;

%implementasi metode crank nicolson

f(2:M-1,n)=MMl\(rr-rl+MMr*f_old); %inv(MMl)*(rr-rl+MMr*f_old) lebih

akurat jk ditulis spt ini


ex(i)=0.025/sqrt(0.000625+0.02*t)*exp(-1*(x(i)+0.5-

t)^2/(0.00125+0.04*t));

end

error = sum(abs(ex-f(:,n)))/M;

%% Plot Solusi

figure(1)

plot(x,f(:,n),'b.-', x,ex,'r'); % Plot solusi

pause(dt)

end

title('Skema Implisit theta=0.5 dan phi=0.5')


xlabel('posisi x')



sn=max(f(:,n)); %solusi numerik




8. Metode Beda Hingga Skema Implisit 5.0 Dan 5.0 Dengan Solusi

Eksak Dan Erronya ( Solusi Kedua)

close all

clear all

format long

%% Data










f(i,n+1))




%% nilai koefisien





CP=Cr/Pe;


teta=0.5; % faktor pembobot ruang

phi=0.5; %faktor pembobot waktu

d=1-phi;

e=1-teta;

A=phi*CP+phi*e*Cr;

B=-2*phi*CP-phi*(1-2*teta)*Cr;


t=0; %time

%% kondisi awal

for i=1:M


f(i,1)=exp(-1*(x(i)-x0)^2/D); %formula kondisi awal f(x)

end

%% batas kiri (lihat buku coleman p.555 atau J.W.Tomas p.85)

al(1:M-3)=A; %(i-1,n+1)

bl(1:M-2)=B-1; %(i,n+1)

cl(1:M-3) =C; %(i+1,n+1)

MMl=diag(al,-1)+diag(bl,0)+diag(cl,1);%matriks kiri dengan menggunakan

pendiagonalan

%% batas kanan

ar(1:M-3)=-A; %(i-1,n)

br(1:M-2)=-B-1; %(i,n)

cr(1:M-3)=-C; %(i+1,n)

MMr=diag(ar,-1)+diag(br,0)+diag(cr,1); %matriks kanan dengan

menggunakan pendiagonalan

%% perhitungan

for n=2:N; %looping waktu

%% KONDISI BATAS menghitung solusi pada titik awal dan terakhir

f(M,n)=1/sqrt(4*t+1)*exp(-1*(9-x0-c*t)^2/(D*(4*t+1)));

f(1,n)=1/sqrt(4*t+1)*exp(-1*(-x0-c*t)^2/(D*(4*t+1)));

rl(1,1)=A*f(1,n);

rl(M-2,1)=C*f(M,n);

rr(1,1)=-A*f(1,n-1);

rr(M-2,1)=-C*f(M,n-1);

f_old=f(2:M-1,n-1);

t=t+dt;

f(2:M-1,n)=inv(MMl)*(rr-rl+MMr*f_old);



end

error = sum(abs(ex-f(:,n)'))/M;

%% Plot Solusi

figure(1)

plot(x,f(:,n),'b.-', x,ex,'r');


pause(dt)

end

title('Skema Implisit theta=0.5 dan phi=0.5')


xlabel('posisi x')



sn=max(f(:,n)); %solusi numerik




PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN ADVEKSI-DIFUSI …

Documents

Transcript of PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN ADVEKSI-DIFUSI …