PEMODELAN MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE (MSAR)PADA DATA TIME SERIES

(Skripsi)

OlehAulianda Prasyanti

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNGBANDAR LAMPUNG

2017

ABSTRACT

MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE (MSAR) MODELING ONTIME SERIES DATA

By

AULIANDA PRASYANTI

Markov Switching Autoregressive (MSAR) model is used to analyzes changes offluctuation conditions in time series data. The time series data used in this studyare the US dollar exchange rate with respect to rupiah from May 15, 2016 toFebruary 20, 2017. The exchange rate values are fluctuative toward appreciationand depreciation. The condition of appreciation and depreciation is an unobservedvariable which called state. In this research the method of estimation is MaximumLikelihood Estimation (MLE). However, in the MSAR model there are statevariables and transition probability ( ) is not known and estimated by filteringand smoothing. The best MSAR model is MS(2)AR(2) with the chance of statedisplacement presented in the transition matrix. In the MSAR model it wascalculated the expected duration of the state of appreciation is 15 days and theexpected duration of the depreciation state is 22 days.

Keywords: MSAR, fluctuations, filtering, smoothing, probability

ABSTRAK

PEMODELAN MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE (MSAR)PADA DATA TIME SERIES

Oleh

AULIANDA PRASYANTI

Model Markov Switching Autoregressive (MSAR) adalah suatu model yangmenganalisis perubahan kondisi fluktuasi pada data time series. Data time seriesyang digunakan pada penelitian ini adalah kurs dollar AS terhadap rupiah padatanggal 15 Mei 2016 sampai 20 Februari 2017. Data kurs mempunyai pergerakanperubahan kondisi fluktuasi yakni apresiasi dan depresiasi. Kondisi apresiasi dandepresiasi dianggap suatu variabel yang tidak teramati yang disebut dengan state.Pada penelitian ini estimasi parameter dilakukan dengan metode MaximumLikelihood Estimation (MLE). Namun, pada model MSAR terdapat variabel statedan nilai peluang ( ) yang tidak dapat diketahui nilainya dengan metode MLEsehingga dilakukan proses filtering dan smoothing terlebih dahulu untuk mencarinilai peluang tersebut. Model MSAR terbaik yang diperoleh adalah MS(2)AR(2)dengan peluang perpindahan state disajikan dalam matriks transisi. Dalam modelMSAR dihitung rata-rata durasi lama state apresiasi bertahan sebesar 15 hari danrata-rata durasi state depresiasi bertahan sebesar 22 hari.

Kata kunci : MSAR, fluktuasi, filtering, smoothing, peluang

PEMODELAN MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE (MSAR)PADA DATA TIME SERIES

Oleh

AULIANDA PRASYANTI

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2017

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama lengkap Aulianda Prasyanti, anak pertama dari dua bersaudara,

yang dilahirkan di Ponorogo (Jawa Timur) pada 25 Juli 1995 dari pasangan Bapak

Suryadi dan Ibu Boyati.

Penulis menempuh pendidikan Taman Kanak-Kanak (TK) Al-ikhwan yang

diselesaikan pada tahun 2001, Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SDN Cigadog

II yang bertempat di Kabupaten Subang, Provinsi Jawa Barat pada tahun 2007,

Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Jalancagak, Kabupaten Subang

Provinsi Jawa Barat yang diselesaikan pada tahun 2010, dan Sekolah Menengah

Atas (SMA) Negeri 1 Abung Selatan yang bertempat di Lampung Utara Provinsi

Lampung diselesaikan pada tahun 2013.

Tahun 2013, penulis terdaftar sebagai mahasiswi S1 Jurusan Matematika Fakultas

Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN. Selama

menjadi mahasiswi, penulis aktif menjadi anggota organisasi kemahasiswaan

tingkat jurusan. Penulis pernah mendapatkan beasiswa Bantuan Biaya Pendidikan

Peningkatan Prestasi Akademik (BBP-PPA) pada tahun ajaran 2014/2015. Pada

tahun 2016, penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata di desa Bumi Dipasena

Agung, Kecamatan Rawajitu Timur, Kabupaten Tulang Bawang, Provinsi

Lampung, pada tahun yang sama penulis melaksanakan Kerja Praktik di Badan

Pusat Statistik (BPS) Provinsi Lampung.

KATA INSPIRASI

Lebih baik hidup diisi dengan banyak gagal dan banyak belajar daripadahidup yang tidak pernah melakukan apapun.

if we absolutely believe in the existence of Allah’s Kun Fayakuun then it willhappen accordingly

Jangan sesali sesuatu yang sudah ditentukan takdir, karena tanpakesulitan, kita tidak akan benar-benar menghargai kebahagiaan.

Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan.Maka apabila kamu telah selesai (dari sesuatu urusan), kerjakanlah dengan

sungguh-sungguh (urusan) yang lain,dan hanya kepada Tuhanmulah hendaknya kamu berharap.

(Al-Insyirah: 6-8)

Hai orang-orang yang beriman, bersabarlah kamu dan kuatkanlahkesabaranmu dan tetaplah bersiap siaga dan bertaqwalah kepada ALLAH

supaya kamu Menang .(Ali Imraan : 10)

PERSEMBAHAN

Dengan penuh rasa Syukur Alhamdulillah kepada Allah SWT penulis

persembahkan karya kecil dan sederhana ini sebagai tanda bakti dan cinta

kepada semua orang yang senantiasa mendukung dan tulus mendo’akan

kelancaran terciptanya karya ini

Ayah dan Ibu Tercinta yang selalu mendo’akan, menjadi motivator terbesar

selama ini

Adik tercinta yang selalu menjadi penyemangat penulis untuk menjadi kakak

yang dibanggakan

Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa dan selalu memberikan

pengarahan, nasehat serta motivasi kepada penulis

Teman-teman yang selalu ada dikala suka maupun duka

Almamater Universitas Lampung

SANWACANA

Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat

dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Pemodelan

Markov Switching Autoregressive (MSAR) Pada Data Time Series”. Shalawat

serta salam semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita Nabi

Muhammad SAW.

Dalam penyusunan skripsi ini penulis banyak mendapat bantuan berupa saran,

bimbingan, maupun motivasi dari berbagai pihak yang tentunya sangat

bermanfaat dan berharga sehingga skripsi ini dapat diselesaikan oleh penulis.

Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang setulus-tulusnya kepada :

1. Bapak Prof. Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D. selaku Dosen Pembimbing

Pertama dan Pembimbing Akademik, terima kasih untuk perhatian, ilmu yang

berharga, bimbingan, arahan, nasehat, dukungan dan kesediaan waktunya

selama perkuliahan dan penyusunan skripsi.

2. Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si. selaku Dosen Pembimbing Kedua, terima kasih

atas perhatian, motivasi, bimbingan, wawasan yang bermanfaat serta kesediaan

waktunya dalam penyusunan skripsi.

3. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si. selaku Dosen Penguji, terima kasih atas kesediaan

waktunya untuk memberikan masukan, arahan, kritik dan saran yang

membangun dalam penyelesaian skripsi.

4. Ibu Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

6. Seluruh Dosen, staff dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan yang berharga dan bantuan

kepada penulis.

7. Bapak, mama, dan adik tercinta yang selalu memberikan do’a, nasehat,

semangat, kasih sayang, pengorbanan, kepercayaan, kebutuhan materi, tawa

canda, kekuatan serta pelajaran hidup kepada penulis sehingga penulis menjadi

kuat untuk menjalani setiap rintangan dalam hidup.

8. Teman satu bimbingan skripsi, yaitu Nurul, Mai, Citra, Ijal, Suyit, Hamid, dan

Haris, yang memberikan semangat dan do’a dan ilmu dalam menyelesaikan

skripsi ini.

9. Dita, Rifa, Galuh, Shela, Desna, Nina, Tara, Rini, Nafis, Lia, Hani, Mifta,

Tyas, Dafri, Hendi, dan keluarga KKN yang memberikan do’a dan dukungan.

10. Keluarga Matematika 2013 atas kebersamaan, tawa canda, dan arti hidup.

11. Almamater Universitas Lampung.

12. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak

dapat disebutkan satu persatu.

Akhir kata penulis mengharapkan kritik dan saran pada penelitian ini, dan semoga

penelitian ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Bandar Lampung, Desember 2017Penulis

Aulianda Prasyanti

xii

DAFTAR ISI

halaman

DAFTAR GAMBAR...................................................................................... xiv

DAFTAR TABEL .......................................................................................... xv

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan masalah ...................................................................... 11.2 Tujuan Penelitian ....................................................................................... 31.3 Manfaat Penelitian ..................................................................................... 4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Analisis Runtun waktu (Time Series)......................................................... 52.2 Autoregressive (AR)................................................................................... 52.3 Stasioneritas ............................................................................................... 62.4 Autocorrelation Function dan Parsial Autocorrelation Function ............ 7

2.4.1 Autocorrelation Function (ACF) ..................................................... 72.4.2 Parsial Autocorrelation Function (PACF) ...................................... 9

2.5 Augmented Dickey-Fuller (ADF)............................................................... 142.6 Return ......................................................................................................... 142.7 State............................................................................................................ 152.8 Markov Switching ...................................................................................... 152.9 Model Markov Switching Autoregressive (MSAR)................................... 16

2.9.1 Peluang Perpindahan State ................................................................ 162.9.2 Rata-rata Jangka Waktu Pada Masing-masing State......................... 17

2.10 Peluang (Probability) ............................................................................... 172.11 Matriks (Matrix)....................................................................................... 182.12 Matriks Transisi (Transition Matrix) ....................................................... 192.13 Estimasi Parameter Model Markov Switching Autoregressive ................ 20

2.13.1 Filtering .......................................................................................... 212.13.2 Smoothing........................................................................................ 22

2.14 AIC (Akaike Info Criterion) ..................................................................... 242.15 Uji Jarque-Berra ....................................................................................... 242.16 Kurs, Depresiasi, dan Appresisasi............................................................ 25

xiii

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................................... 273.2 Data Penelitian ........................................................................................... 273.3 Metode Penelitian ...................................................................................... 27

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Uji Stasioneritas ......................................................................................... 304.2 Penentuan State .......................................................................................... 424.3 Estimasi Parameter..................................................................................... 424.4 Uji Diagnostik Model ................................................................................ 37

4.4.1 Uji Signifikansi Parameter Model .................................................... 374.4.2 Uji Jarque-Berra................................................................................ 38

4.5 Hasil dari Proses Filtering dan Smoothing pada Estimasi Model MSAR. 39

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar halaman

1. Plot time series data kurs beli (dollar AS terhadap rupiah) .......................... 30

2. Grafik kolerogram data kurs beli (dollar AS terhadap rupiah) ..................... 31

3. Plot return data kurs dollar AS terhadap rupiah ........................................... 33

4. Grafik kolerogram ACF return data kurs beli (dollar AS terhadap rupiah).. 33

5. Plot filtering dan smoothing data return kurs dollar AS ............................... 39

xv

DAFTAR TABEL

Tabel halaman

1. Uji akar unit Augmented Dickey-Fuller (ADF) dari kurs dollar ASterhadap rupiah.............................................................................................. 32

2. Uji akar unit Augmented Dickey-Fuller (ADF) dari data returnkurs dollar AS terhadap rupiah ..................................................................... 34

3. Estimasi parameter Markov Switching Autoregressive (MSAR)................. 36

4. Uji Normalitas Residual................................................................................ 38

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Globalisasi di dalam bidang ekonomi menyebabkan berkembangnya sistem

perekonomian dan perdagangan ke arah yang lebih terbuka antar negara. Hal ini

membawa suatu dampak ekonomis terjadinya perdagangan internasional antar

negara-negara di dunia. Perbedaan mata uang yang digunakan oleh negara-negara

yang bersangkutan baik negara pengekspor maupun pengimpor menimbulkan

suatu perbedaan nilai tukar mata uang (kurs). Di setiap negara, kurs berperan

penting terhadap pembayaran saat kini atau di kemudian hari. Selain itu, kurs juga

dapat dijadikan alat untuk mengukur kondisi perekonomian suatu negara. Salah

satu mata uang yang mudah untuk diperdagangkan dan mempengaruhi

perekonomian di dunia adalah dollar AS. Dollar AS dapat diterima secara luas di

negara-negara maju maupun berkembang termasuk di Indonesia.

Data kurs dollar AS terhadap rupiah disajikan dalam bentuk data runtun waktu

(time series). Analisis time series pada umumnya dilakukan dengan model klasik

yang terkenal yakni Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) yang

dikembangkan oleh George EP Box dan Gwilym M. Jenkins, sehingga model

ARIMA ini sering disebut juga sebagai metode runtun waktu Box-Jenkins. Pada

2

model ARIMA, asumsi yang harus dipenuhi adalah stasioneritas dan

homoskedastisitas.

Namun dalam penerapannya, banyak data yang asumsi homoskedastisitasnya

tidak terpenuhi. Untuk mengatasi hal ini diperlukan analisis yang sesuai yakni

model ARCH, yang diperkenalkan oleh Robert F. Engle dan perluasan model

ARCH yakni model GARCH yang dikenalkan oleh T. Bollerslev. Akan tetapi,

model ARIMA, ARCH, dan GARCH adalah model yang tidak memperhatikan

kondisi fluktuasi (naik turunnya nilai suatu data).

Data kurs mengalami fluktuasi yang menyebabkan adanya perubahan kondisi naik

turunnya nilai kurs yang dapat disebabkan oleh krisis ekonomi, perang, maupun

hal lain yang dapat menyebabkan nilai data berubah. Pada umumnya, perubahan

kondisi fluktuasi pada data kurs ada 2 macam yakni apresiasi (peningkatan nilai

rupiah) dan depresiasi (penurunan nilai rupiah). Perubahan kondisi fluktuasi

sering tidak dihiraukan bahkan sering diabaikan. Sehingga diperlukan metode

yang sesuai untuk menganalisis data time series dengan memperhatikan fluktuasi

yang terjadi.

Metode yang dapat digunakan untuk menganalisis data time series pada peubah

ekonomi dengan memperhatikan kondisi fluktuasi adalah Markov switching. Pada

model Markov switching, kondisi fluktuasi pada data dianggap suatu variabel

yang tidak teramati, variabel ini sering disebut dengan state.

Hamilton (1989) mengenalkan model Markov Switching Autoregressive (MSAR)

sebagai model time series yang dapat menjelaskan perubahan kondisi fluktuasi

3

yang terjadi pada data. Selain itu, model Markov Switching Autoregressive

(MSAR) dapat menghitung peluang transisi (peluang perpindahan state) dan

menghitung rata-rata lama durasi untuk masing-masing state.

Berdasarkan uraian tersebut, pada penelitian ini akan dibahas model Markov

Switching Autoregressive (MSAR) yang diterapkan pada salah satu variabel

ekonomi yakni kurs dollar AS terhadap rupiah karena dianggap bahwa pergerakan

kurs dollar AS terhadap rupiah memiliki perubahan kondisi fluktuasi. Perubahan

kondisi fluktuasi tersebut yakni apresiasi dan depresiasi, sehingga pada penelitian

ini diasumsikan ada dua state. Penelitian ini akan mencari model terbaik bagi data

kurs dollar AS terhadap rupiah, menentukan peluang transisi (peluang berpindah

atau bertahan suatu state), serta menentukan rata-rata lama durasi bertahan untuk

masing-masing state.

1.2 Tujuan

Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Menentukan model yang terbaik untuk data kurs dollar AS terhadap rupiah.

2. Menentukan peluang kurs dollar AS terhadap rupiah bertahan pada kondisi

apresiasi atau bertahan pada kondisi depresiasi, kondisi apresiasi berpindah ke

depresiasi maupun depresiasi berpindah ke apresiasi.

3. Menghitung rata-rata lama durasi kondisi apresiasi bertahan maupun kondisi

depresiasi bertahan dari kurs dollar AS terhadap rupiah.

4

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Mengetahui lebih mendalam tentang penerapan model Markov Switching

Autoregressive (MSAR) sebagai salah satu model alternatif dalam runtun

waktu finansial.

2. Mendapatkan informasi tentang peluang kondisi fluktuasi (naik turunya nilai

data kurs) yang terjadi.

5

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Analisis Runtun waktu (Time Series)

Menurut Wei (2006), Time series merupakan serangkaian observasi terhadap

suatu variabel yang diambil secara beruntun berdasarkan interval waktu yang

tetap. Rangkaian data pengamatan time series dinyatakan dengan variabel

dimana t adalah indeks waktu urutan pengamatan.

2.2 Autoregressive (AR)

Misalkan bahwa pengamatan time series bergantung pada , dengan adalah

waktu terakhir, yaitu distribusi bersyarat dari dapat ditulis

( | ) = , … ,Jika diasumsikan bahwa ketergantungan itu sedemikian rupa sehingga rata-rata

bersyarat dari adalah fungsi linear dari , … , sedangkan varian dari

bersyarat adalah konstan maka dapat digambarkan dengan model linear orde

atau yang lebih kita kenal dengan model autoregressive orde (AR( )). Model

autoregressive adalah representasi random proses yang bergantung secara linear

pada nilai sebelumnya.

6

Berikut ini adalah model Autoregressive orde :

= + + … + + (2.1)

dengan

, , … , : parameter autoregressive

: residual yang white noise

White noise maksudnya adalah memenuhi tiga asumsi yakni :

1. [ ] = 0 = 1,2, … ,2. [ ] = = 1,2, … ,3. [ ] = 0 , = 1,2, … , ≠Selain itu, tidak diamati dan harus diperkirakan dari data, berdasarkan model

yang di asumsikan untuk (Franses, et all, 2014).

2.3 Stasioneritas

Stasioner berarti bahwa tidak terdapat perubahan drastis pada data. Stasioner

dibagi menjadi dua yakni :

1. Stasioner dalam rata-rata

Stasioner dalam rata-rata adalah fluktuasi data berada disekitar suatu nilai rata-

rata yang konstan, tidak bergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi

7

tersebut. Dari bentuk plot data sering kali dapat diketahui bahwa data tersebut

stasioner atau tidak stasioner.

2. Stasioner dalam variansi

Sebuah data deret waktu dikatakan stasioner dalam variansi apabila struktur dari

waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan dan tidak

berubah-ubah. Secara visual untuk melihat hal tersebut dapat dibantu dengan

menggunakan plot deret waktu, yaitu dengan melihat fluktuasi data dari waktu ke

waktu (Wei, 2006).

2.4 Autocorrelation Function dan Parsial Autocorrelation Function

Dalam metode time series, alat utama untuk mengidentifikasi model dari data

adalah dengan menggunakan fungsi autokorelasi / Autocorrelation Function

(ACF) dan fungsi autokorelasi parsial / Partial Autocorrelation Function (PACF).

2.4.1 Autocorrelation Function (ACF)

Proses stasioner suatu data time series ( ) diperoleh ( ) = dan variansi( ) = ( − ) = yang konstan dan kovarian ( , ). yang

fungsinya hanya pada perbedaan waktu | − ( − )|. Maka dari itu hasil tersebut

dapat ditulis sebagai kovariansi antara dan sebagai berikut :

= ( , ) = ( − )( − )

8

Dan korelasi antara dan didefinisikan sebagai

= ( , )( ) ( ) =Dimana notasi ( ) dan ( ) = . Sebagai fungsi dari k. adalah

fungsi autokovarian dan adalah fungsi autokorelasi (Autocorrelation Function /

ACF). Dalam analisis time series dan menggambarkan kovarian dan korelasi

antara dan dari proses yang sama hanya dipisahkan oleh lag ke-k.

Fungsi autokovariansi dan fungsi autokorelasi memiliki sifat-sifat sebagai

berikut :

1. = ( ); = 1Bukti :

Dengan menggunakan definisi korelasi antara dan akan dibuktikan

Bahwa = ( ); = 1= ( , )( ) ( ) =

Diberikan k = 0, maka

= ( , )( ) ( ) == ( , )( ) ( ) == ( )( ) =

9

= ( )( ) = = 1 (Terbukti).

2. | | ≤ ; | | ≤ 1Bukti :

Sifat kedua merupakan akibat dari persamaan autokorelasi kurang dari atau

sama dengan 1 dalam nilai mutlak.

3. = ( ) dan = ( ) untuk semua k. dan adalah fungsi yang sama

dan simetri lag k = 0.

Bukti :

Sifat tersebut diperoleh dari perbedaan waktu antara dan . Oleh sebab

itu, fungsi autokorelasi sering hanya diplotkan untuk lag positif. Plot fungsi

autokorelasi sering disebut korelogram (Wei, 2006).

2.4.2 Parsial Autocorrelation Function (PACF)

Autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara dan

, apabila pengaruh dari time lag 1, 2, 3, . . . , dan seterusnya sampai k-1

dianggap terpisah . Fungsi Autokorelasi parsial dapat dinotasikan dengan :

( , , , , … , )Misalkan adalah proses stasioner dengan ( ) = 0, selanjutnya dapat

dinyatakan sebagai model linear

= + +⋯+ + (2.2)

10

Dengan adalah parameter regresi ke-i dan adalah nilai kesalahan yang

tidak berkorelasi dengan dengan = 1,2, … , . Untuk mendapatkan nilai

PACF, langkah pertama yang dilakukan adalah mengalikan persamaan (2.2)

dengan pada kedua ruas sehingga diperoleh :

= + +⋯+Lalu nilai ekspetasinya adalah

( = ( + +⋯++ )dimisalkan nilai

= , = 0,1, … ,dan karena = 0. Maka diperoleh

= + +⋯+ (2.3)

Persamaan (2.3) dibagi dengan

= + +⋯+diperoleh

= + +⋯+ = 1,2, …Untuk = 1,2, … , didapatkan sistem persamaan

= + +⋯+

11

= + +⋯+⋮ (2.4)= + +⋯+Sistem persamaan (2.4) untuk j = 1, 2, 3, …, k digunakan untuk mencari nilai-

nilai fungsi autokorelasi parsial lag k yaitu , , … , ..a. Untuk lag pertama (k=1) dan (j=1) diperoleh sistem sebagai berikut :

= karena = 1 sehingga = yang berarti bahwa fungsi

autokorelasi parsial pada lag pertama akan sama dengan fungsi autokorelasi

pada lag pertama.

b. Untuk lag kedua (k=2) dan (j=2) diperoleh sistem persamaan

= += + (2.5)

Persamaan (2.5) jika ditulis dalam bentuk matriks akan menjadi

== 1 1 , = 1

, dan dengan menggunakan aturan Cramer

diperoleh

= det( )det( ) = 11 1c. Untuk lag ke-3 (k=3) dan (j=1,2,3) diperoleh sistem persamaan

= + +

12

= + += + + (2.6)

Persamaan (2.6) jika ditulis dalam bentuk matriks akan menjadi

== 1 1 1 , = 1 1

dan dengan aturan Cramer diperoleh

= det( )det( ) =1 1 11 1 12 1 31 1 21 1 12 1 1

d. untuk lag ke-j=1,2,3,...,k didapat sistem persamaanya adalah

= + + +⋯+= + + +⋯+= + + +⋯+

⋮ (2.7)

= + + +⋯+

13

Persamaan (2.7) dinyatakan dalam bentuk matriks

⎣⎢⎢⎢⎡ 1 …1 …1 …⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮… ⎦⎥⎥

⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡ ⋮ ⎦⎥⎥⎥⎤ = ⎣⎢⎢⎢⎡ ⋮ ⎦⎥⎥⎥⎤

dengan aturan Cramer didapat

= ⎣⎢⎢⎢⎡ 1 …1 …1 …⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮… ⎦⎥⎥

⎥⎤

Nilai autokorelasi parsial lag k hasilnya adalah

= det( )det( ) =1 …1 …1 …⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮…1 …1 …1 …⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮… 1

disebut PACF antara dan atau dapat juga dituliskan

= 1 = 00 ≠ 0Dengan demikian diperoleh autokorelasi parsial dari pada lag k. Himpunan dari{ ; = 1,2, … } disebut sebagai Partial Autocorrelation Function (PACF).

Fungsi menjadi notasi standar untuk autokorelasi parsial antara observasi

dan dalam analisis time series. Fungsi akan bernilai nol untuk k > p.

14

Sifat ini dapat digunakan untuk identifikasi model AR yaitu pada model

Autoregressive berlaku ACF akan menurun secara bertahap menuju nol

dan nilai PACF model AR yaitu = 0, k > p (Wei, 2006).

2.5 Augmented Dickey-Fuller (ADF)

Selain dengan melihat plot dari ACF dan PACF, untuk melihat kestasioneran data

dapat juga dengan menggunakan uji Augmented Dickey-Fuller (ADF).

Misalkan persamaan regresi :∆ = + ∑ ∗Δ + (2.8)

Dimana = − (1) dan ∗ = −( +⋯+ )Uji ADF dilakukan dengan menghitung nilai statistik dengan rumus:

= ( )Pada model ini hipotesis yang diuji adalah :

0 ∶ = 0 (data time series tidak stationer)

1 ∶ < 0 (data time series stationer)

dengan kriteria tolak 0 jika | | > , (Brockwell dan Davis, 2002).

2.6 Return

Sebagian besar studi mengenai ekonomi dan finansial lebih menitikberatkan pada

return daripada nilai sebenarnya. Hal ini disebabkan karena untuk data finansial,

yang menjadi pusat perhatian adalah fluktuasi harga yang terjadi. Return mudah

dipakai dibandingkan nilai sebenarnya karena bentuknya memiliki sifat statistik

yang baik. Pendekatan fluktuasi harga adalah perubahan relatif atau return yang

15

sering didefinisikan sebagai log natural return. Log natural return dirumuskan

sebagai :

Xt = ln

dengan yt adalah observasi pada waktu t (Tsay, 2002).

2.7 State

State adalah kondisi yang merupakan peubah acak , dimana jika suatu peubah

acak berada pada state tersebut maka dapat berpindah ke state lainnya (Cox and

Miller, 1965).

Menurut Hamilton (1994) untuk menentukan suatu state adalah appresiasi atau

depresiasi dengan mempertimbangkan melalui nilai dengan ketentuan bahwa< . Dengan adalah rataan pada state 0 dan adalah rataan pada state 1.

2.8 Markov Switching

Perubahan (switching) dapat terjadi pada rataan, maupun rataan dan varian. Model

dengan switching pada nilai rataan dan varian dapat dituliskan := + (2.9)

dengan ~ (0, )sedangkan adalah state atau regime dimana ∈ {0,1,…M} yang dipengaruhi

oleh waktu t dan M adalah banyaknya state (Hamilton, 1994).

16

2.9 Model Markov Switching Autoregressive (MSAR)

Model Markov Switching Autoregressive (MSAR) adalah kombinasi sederhana

antara Markov Switching dengan model time series (Autoregressive). Kim dan

Nelson (1999) menuliskan model MSAR :

− = Φ − +atau dapat ditulis sebagai berikut :− = Φ − +⋯+ Φ − + (2.10)

dengan ~ (0, ).

Keterangan:, , … , : data pengamatanΦ , Φ , … , Φ : koefisien Autoregressive, , … , : rataan pada saat t yang dipengaruhi perubahan state

: varian pada saat t yang dipengaruhi perubahan state

: residual pada saat t

2.9.1 Peluang Perpindahan State

Pada Model Markov Switching Autoregressive (MSAR), state tidak teramati. Pada

model ini dihitung nilai peluang dengan proses filtering dan smoothing. Peluang

perpindahan state dibentuk dalam matriks transisi karena rantai markov pada

matriks transisi menyatakan nilai sekarang dipengaruhi nilai masa lalu dengan

jumlah entri pada baris matriks transisi bernilai 1 (Kim and Nelson, 1999).

17

2.9.2 Rata-rata Jangka Waktu pada Masing-masing State

Menurut Kim dan Nelson (1999) Model MSAR juga dapat menghitung lama

durasi rata-rata dari masing-masing state. Elemen diagonal dari matriks peluang

transisi mengandung informasi penting mengenai durasi rata-rata yang diharapkan

dari suatu state akan bertahan. Durasi rata-rata state dihitung dengan persamaan

E(D) = .

2.10 Peluang (Probability)

Salah satu cara untuk menentukan peluang suatu kejadian adalah dalam

menentukan frekuensi relatifnya. Definisi ini maksudnya bahwa untuk menduga

percobaan yang ruang sampelnya adalah S berulang kali dilakukan dalam kondisi

yang persis sama.

Untuk setiap kejadian E dari ruang sampel S, didefinisikan n (E) menjadi berapa

kali di n pertama pengulangan percobaan bahwa kejadian E terjadi.

Kemudian , peluang dari kejadian E, didefinisikan sebagai :( ) =( )( )

Artinya, ( ) didefinisikan sebagai proporsi (batas) waktu E yang terjadi.

Demikianlah frekuensi yang membatasi E. Pendekatan yang terakhir adalah yang

modern pendekatan aksiomatis terhadap teori. Diasumsikan bahwa, untuk setiap

kejadian E di ruang sampel S, ada nilai ( ), disebut sebagai probabilitas E.

Kemudian akan diasumsikan bahwa semua probabilitas ini memenuhi serangkaian

aksioma tertentu. Pertimbangkan percobaan yang ruang sampelnya adalah S.

18

Untuk setiap kejadian E dari sampel Ruang S, diasumsikan bahwa bilangan ( )didefinisikan dan memenuhi tiga aksioma berikut:

Aksioma 1 : 0 ≤ ( ) ≤ 1Aksioma 2 : ( ) = 1Aksioma 3 :

Untuk barisan dari kejadian saling lepas , ,… (Kejadian yang = ∅ ketika≠ .

= ( )dengan ( ) adalah peluang kejadian E (Ross, 2010).

2.11 Matriks (Matrix)

Suatu matriks (matrix) adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan -

bilangan. Bilangan - bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks.

Ukuran (size) suatu matriks dinyatakan dalam jumlah baris (arah horizontal) dan

jumlah kolom (arah vertikal). Huruf yang digunakan untuk menyatakan matriks

dicetak dengan huruf kapital. Entri yang terletak pada baris dan kolom di

dalam matriks A akan dinyatakan sebagai . Secara umum matriks × dapat

ditulis sebagai berikut :

A =

……⋮ ⋮ … ⋮

19

Jika menginginkan notasi yang singkat, maka matriks di atas dapat ditulis sebagai

× jika ukuran matriks sangat penting untuk diketahui atau jika

ukuran tidak terlalu dipentingkan. Entri pada baris dan kolom pada matriks A

juga dapat ditulis (A) (Anton dan Rorres, 2004).

2.12 Matriks Transisi (Transition Matrix)

Evolusi acak suatu rantai Markov ( ) ∈ ditentukan oleh data yang menyatakan

bahwa nilai sekarang dipengaruhi oleh nilai masa lalu

, = ( = | = ), , ∈yang bertepatan dengan peluang ( = | = ) yang independen∈ . Data ini bisa dibuat matriks yang disebut dengan matriks transisi yakni

, , ∈ = ( = | = )dapat juga ditulis untuk keadaan yang memiliki 2 kondisi (state)

, , ∈ = , ,, ,Perhatikan urutan inversi indeks ( , ) dari ( = | = ) dan , . Secara

khusus, keadaan awal adalah bilangan baris dalam matriks, sedangkan keadaan

akhir menyatakan bilangan kolom. Sehingga hubungannya adalah :∑ ∈ ( = | = ) = 1, ∈Baris pada matriks transisi memiliki kondisi

, = 1∈untuk setiap ∈ (Privault, 2013).

20

2.13 Estimasi Parameter Model Markov Switching Autoregressive

Estimasi parameter dilakukan untuk menduga nilai dari masing-masing parameter

pada model. Estimasi parameter model Markov Switching Autoregressive

(MSAR) menggunakan metode Pendugaan kemungkinan Maksimum (Maximum

Likelihood Estimation). Langkah yang dilakukan adalah dengan menentukan

fungsi densitas kemudian dibentuk menjadi fungsi log likelihood.

Menurut Hamilton (1989)Model MSAR memiliki fungsi densitas :

, , … , , Ω ; θ= 1√2 − ( − − Φ − − Φ − −. . . −Φ − )2

dengan keterangan :

Ω = ( , , … , ) : data pengamatan pada masa lalu

= ( , , Φ , ) : parameter model MSAR

Menghitung fungsi densitas dari yang diberikan informasi masalalu Ω dan

membutuhkan nilai , ,… yang merupakan variabel tidak teramati

(state), untuk menyelesaikan masalah ini, hal yang harus dilakukan adalah

mempertimbangkan fungsi densitas bersama dari dan , ,… :

1. Memperoleh fungsi densitas bersama dari dan , ,… bersyarat

informasi masalalu.

( , , ,… |Ω ; θ) = , , … , , Ω ; θ P[ , , … , , Ω ; θ]

21

2. Untuk mendapatkan ( |Ω ; θ) , maka menggabungkan densitas bersama dari

, ,… dengan menjumlahkan semua kemungkinan densitas bersama

dari , ,… :

( |Ω ; ) = … ( , , , … , | Ω ; θ)= ∑ ∑ … ∑ ( | , , … , , Ω ; θ)P[s , s , … , s |Ω ]

Nilai peluang P[s , s , … , s |Ω ] dihitung dengan menggunakan proses filtering

dan smoothing.

2.13.1 Filtering

Filtering adalah suatu proses yang digunakan untuk mendapatkan nilai peluang

suatu state pada saat t berdasarkan data pengamatan. Hasil dari proses filtering

adalah nilai filtered state probability.

Langkah-langkah proses filtering adalah sebagai berikut :

1. Dimulai = , = , … , = |Ωdengan[ = 1|Ω ] =

[ = 2|Ω ] = 1 −2 − −selanjutnya, menghitung := = , = , … , = = |Ω=

( , ,…, | )( | )

22

=, ,…, , × , ,…, |∑ ∑ … ∑ , , ,…,

dan hasil dari proses filtering := = , = , … , = = |Ω= ∑ = , = , … , = |Ω

2.13.2 Smoothing

Proses smoothing merupakan lanjutan dari proses filtering. Hasil peluang dari

proses filtering adalah = = , = , … , = = |Ω dimulai dari

t=T-1, T-2, …,1 dengan T > t maka diperoleh hasil smoothed state probability

adalah = = , = , … , = = |Ω .

Kemudian didapat :( |Ω ; ) = ∑ ∑ … ∑ ( | , , … , , Ω ; θ)P[s , s , … , s |Ω ]fungsi likelihoodnya adalah :

L( ) = ∏ ( |Ω ; θ)dan didapat fungsi log likelihood

ln L( ) = ∑ ln ( |Ω ; θ)metode alternatif untuk memaksimalkan fungsi likelihood untuk model dengan

variabel yang tidak teramati dengan mengasumsikan bahwa adalah vektor dari

parameter yang tidak diketahui model adalah dengan EM algorithm.

Kemudian, dengan metode EM algoritm didapatkan penaksiran yang mendekati

nilai maksimum sebagai estimator. Fungsi log likelihood diturunkan terhadap

masing-masing parameter dan disama dengankan nol (Hamilton, 1996).

23

1) diturunkan terhadap

( | ; )= 0

… ( ) − = 0( ) − ( = | ; ) = 0

sehingga didapat :

= ∑ × ( | ; )∑ ( | ; ) (2.11)

dengan = 0 , 12) diturunkan terhadap

( | ; )= 0

… 12 − 12 − − = 0(12 − 12 − − ) ( = | ; ) = 0

akibatnya didapatkan :

= ∑ ( | ; )∑ ( | ; ) (2.12)

3) diturunkan terhadap dan didapat :

= ∑ , ,…, ;∑ ( | ; ) (2.13)

4) diturunkan terhadap parameter autoregressive didapatkan

Φ = ∑ ∑ × ( | ; )∑ ∑ ( | ; ) (2.14)

24

2.14 AIC (Akaike Info Criterion)

Kriteria informasi digunakan untuk pemilihan model terbaik yang dipilih

berdasarkan Akaike Info Criterion (AIC) karena kriteria ini konsisten dalam

menduga parameter model. Tujuan AIC adalah menemukan prediksi yang terbaik.

Menurut Azam (2007), kriteria tersebut dirumuskan sebagai

= −2 + 2( )dengan adalah fungsi log-likelihood, k adalah jumlah parameter yang diestimasi,

T adalah jumlah observasi. Semakin besar nilai log-likelihood yang dimiliki suatu

model, maka model tersebut akan semakin baik. Kriteria AIC memuat fungsi log-

likelihood, sehingga model yang dipilih untuk meramalkan data adalah model

dengan nilai AIC terkecil karena lebih konsisten dalam menduga parameter

model.

2.15 Uji Jarque-Berra

Uji normalitas residual adalah uji yang digunakan untuk mengetahui kenormalan

residual pada suatu model univariat. Tujuan dilakukannya uji ini adalah untuk

mengetahui apakah residual pada model tersebut berdistribusi normal atau tidak.

Uji normalitas dilakukan dengan menggunakan Jarque-Bera (JB) Test of

Normality. Uji ini menggunakan ukuran skewness dan kurtosis. Perhitungan JB

adalah sebagai berikut:

= 6 + ( − 3)4

25

dengan :

n = jumlah sampel

S = Skewness =∑ ( )( ∑ ( ) )

K = Kurtosis =∑ ( )( ∑ ( ) )

Dimana Jarque-Bera (JB) Test of Normality berdistribusi chi-square ( ) dengan

derajat kebebasan 2 (Jarque and Berra, 1980).

2.16 Kurs, Depresiasi, dan Appresisasi

Semua telah begitu akrab dengan perdagangan yang berlangsung di dalam negeri.

Jika membeli jeruk dari Garut dan membeli mobil dari Jakarta tentunya akan

membayar dalam rupiah. Namun, kalau orang Indonesia ingin membeli sepeda

dari Inggris, maka masalahnya akan menjadi rumit. Pedagang sepeda di Inggris

tentunya hanya ingin dibayar dengan uang negaranya yakni pound, bukan dengan

rupiah. Demikian pula orang Inggris ingin membeli kopi di Indonesia mereka

harus membayar dengan rupiah. Masalah ini memberikan elemen baru bagi

perdagangan internasional. Untuk memecahkan masalah ini sistem perdagangan

internasional menerapkan sistem nilai tukar mata uang atau yang sering disebut

kurs (Samuelson, 1992).

Menurut Faizal (2001), kurs adalah harga satu mata uang (yang diekspresikan)

terhadap mata uang lainnya. Lalu menurut Mishkin (2008), kurs adalah harga dari

satu mata uang dalam mata uang lain atau dapat juga didefinisikan sebagai jumlah

uang domestik yang dibutuhkan. Nilai tukar atau kurs biasanya berubah-ubah,

26

perubahan kurs dapat berupa depresiasi dan appresiasi. Depresiasi mata uang

rupiah terhadap dollar AS artinya suatu penurunan harga rupiah terhadap dollar

AS yang menyebabkan harga barang-barang domestik menjadi lebih murah bagi

pihak luar negeri. Sedangkan appresiasi rupiah terhadap dollar AS adalah

kenaikan harga rupiah terhadap dollar AS yang menyebabkan harga barang-

barang domestik menjadi lebih mahal bagi pihak luar negeri.

27

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2016/2017,

bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam Universitas Lampung.

3.2 Data Penelitian

Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data runtun waktu (time series)

kurs beli dollar AS terhadap rupiah dalam frekuensi harian dari 15 Mei 2016

sampai dengan 20 Februari 2017 yang didapat dari website resmi Bank Indonesia

yakni www.bi.go.id sebanyak 282 data.

3.3 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara sistematis

yang diperoleh dari buku-buku maupun media lain untuk mendapatkan informasi

sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini. Analisis data

dilakukan dengan menggunakan software Eviews 9 dan Python 3.6.

28

Adapun langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai

berikut :

1. Menguji stasioneritas data kurs dollar AS terhadap rupiah.

a. Membuat plot time series dari data kurs beli dollar AS terhadap rupiah

dengan bantuan software E-views 9.

b. Melihat pola korelogram ACF.

c. Melakukan uji akar unit dengan uji Augmented Dickey-Fuller (ADF). Hal ini

dilakukan dengan melihat nilai p-value dari uji ADF.

2. Jika data tidak stasioner, maka dihitung nilai returnnya dengan cara

transformasi data menggunakan logaritma (supaya data stasioner terhadap

ragam) dan differensiasi data (supaya data stasioner terhadap rata-ratanya).

3. Menguji stasioneritas kembali dengan melihat plot data return, kolerogram

ACF data return, serta melakukan uji Augmented Dickey-Fuller (ADF). Pada

umumnya, differensiasi dan transformasi pada data dilakukan maksimal dua

kali sudah stasioner terhadap ragam maupun mean.

4. Penentuan state yakni state 0 dan state 1. Penentuan state ini dilakukan dengan

mempertimbangkan nilai . Dengan adalah rata-rata yang dipengaruhi

oleh state. Karena pada penelitian ini hanya ada dua state yakni state apresiasi

(peningkatan nilai rupiah) dan state depresiasi (penurunan nilai rupiah) maka

ada dua yakni dan .

5. Melakukan estimasi parameter untuk memperoleh orde yang sesuai. Estimasi

model MSAR dengan software Python 3.6. Metode yang digunakan untuk

estimasi parameter adalah Maximum Likelihood Estimation (MLE)

dikombinasikan dengan filtering dan smoothing karena pada Markov Switching

29

Autoregressive terdapat parameter yang merupakan nilai peluang dari

masing-masing state.

6. Melakukan uji diagnostik model.

Uji diagnostik model meliputi signifikansi parameter, yang diketahui melalui

nilai p-value dari parameter pada model Markov Switching Autoregressive

sedangkan pengujian normalitas residual digunakan uji Jarque-Bera.

7. Pemilihan model terbaik, didapat dari nilai AIC yang minimum.

42

V. KESIMPULAN

Berdasarkan penelitian yang penulis lakukan maka diperoleh kesimpulan sebagai

berikut :

1. Data kurs dollar AS terhadap rupiah tidak stasioner dalam ragam maupun

mean. Sehingga, untuk memperoleh data yang stasioner pada ragam dan mean

digunakan data return (data kurs dollar AS terhadap rupiah yang telah di

transformasi dan diferensiasi).

Model Markov Switching Autoregressive (MSAR) yang terbaik adalah

MS(2)AR(2), yakni :− = −0.1952 − + (−0.1006) − +− = −0.1952 − − 0.1006 − +~ (0, 2 )dengan rata-rata dari masing-masing state adalah sebagai berikut := 0.0004= −0.0078dan ragam dari masing-masing state adalah :

= (−6.2886) = 2.6472 × 10= (−5.2321) = 3.4339 × 10untuk = 0 (appresiasi)

untuk = 1 (depresiasi)

43

2. Saat − 1 return kurs dollar AS terhadap rupiah mengalami appresiasi maka

peluang return kurs dollar AS terhadap rupiah pada saat t mengalami

appresiasi ( ) adalah sebesar 0.936210 dan peluang return kurs dollar AS

terhadap rupiah pada saat t mengalami depresiasi ( ) adalah 0.063790.

Pada saat t-1 return kurs dollar AS terhadap rupiah mengalami depresiasi

maka peluang return kurs dollar terhadap rupiah pada saat t mengalami

depresiasi ( ) adalah 0.954964 dan peluang return kurs dollar terhadap

rupiah mengalami appresiasi ( ) adalah 0.045036.3. Rata-rata lama durasi kondisi return kurs dollar AS terhadap rupiah

mengalami apresiasi adalah 15 hari dan rata-rata lamanya kondisi return kurs

dollar AS terhadap rupiah yang mengalami depresiasi adalah 22 hari

44

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H., and Rorres, C. 2004. Elementary Linear Algebra: Application Version8th edition. Alih bahasa:Refina dan Irzam. Erlangga: Jakarta

Azam, I. 2007. The Effect of Model-Selection Uncertainty on AutoregressiveModels Estimates. International Research Journal of Finance and Economics,issue. 11, hal 80-93.

Brockwell, P.J., and Davis, R.A. 2002. Introduction to Time Series andForecasting. Springer : New York.

Cox, D.R., and Miller, H.D., 1965. The Theory of Stochastic Process. Chapmanand Hall : London.

Faizal, Muhammad. 2001. Manajemen Keuangan internasional. Salemba empat :Jakarta

Franses, P.H., Dijk, D.V., and Opschoor, A. 2014. Time Series Model : forBussiness and Economic Forecasting 2nd edition. Cambridge, UniversityPress.

Hamilton, J.D. 1989. A New Approach to the Economic Analysis of NonstionaryTime Series and the Business Cycle. Econometrica 57: 357-384.

Hamilton, J.D. 1994. Time Series Analysis. Princeton University Press.

Hamilton, J.D. 1996. Specification Testing in Markov-Switching Time SeriesModel. Journal of Econometrics, Vol 70: 127-157.

Jarque, C. M. and Berra, A.K. 1980. Efficient Tests For Normality,Homoskedasticity, and Serial Independence of Regression Residuals.Economic Lettters. 6: 255-259.

Kim, C.J and Nelson C.R, 1999. State Space Models with Regime Switching,Classical and Gibs Sampling Approaches with Applications. Cambridge,MA: MIT Press.

45

Mishkin, frederic S. 2008. Ekonomi, uang, perbankan, dan pasar keuangan edisi8. Salemba empat : Jakarta.

Privault, N. 2013. Understanding Markov chain : Examples and Applications.Springer : Singapore.

Ross, S. 2010. A First Course in Probability 8th edition. Pearson Education, Inc.,USA.

Samuelson, P.A. 1992. Economics : microeconomics 3rd. Mc.Graw-hill, Sydney.

Tsay, R.S. 2002. Analysis of Financial Time Series. John Wiley & Sonc, Inc.,Canada.

Wei, W.W. 2006. Time Series Analysis : Univariate and Multivariate Methods(2nd ed). Pearson, New York.