1

Pemodelan Input

Catatan diambil dari “Discrete-event System Simulation” by Banks, Carson, Nelson, and Nicol, Prentice Hall, 2005, and

“Simulation Modeling and Analysis” by Law and Kelton, McGraw Hill, 2000.

2

Outline Kualitas output bergantung pada model

input yang mengendalikan simulasi Modul ini membahas:

Pengambilan data dari sistem riil Hipotesis distribusi probabilitas Pemilihan parameter untuk distribusi Goodness of fit test – seberapa baik distribusi

memodelkan data yang tersedia Pemilihan distribusi jika tidak ada data Model proses kedatangan (Proses Poisson,

Proses Poisson Non-stasioner, Batch Arrival)

3

Pengambilan Data Buat rencana terlebih dahulu: mulai dengan sesi

latihan atau pra-observasi, perhatikan kejadian yang tidak biasa.

Analisis data pada saat dikumpulkan: cek kecukupannya.

Kombinasikan set data homogen, misalnya periode waktu yang berturut-turut, selama periode waktu yang sama pada hari yang berurutan.

Berhati-hatilah dalam melakukan sensor data: kuantitas tidak diobservasi secara total, menghabiskan waktu proses yang lama.

Periksa hubungan antar variabel, misalnya, buat diagram penyebaran.

Cek otokorelasi Kumpulkan data input, bukan data kinerja.

4

Identifikasi Distribusi Probabilitas Beberapa teknik yang dapat digunakan (bisa

digabungkan) Pengetahuan awal mengenai peran variabel

random.• Waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial jika

kedatangan terjadi satu per satu, memiliki mean rate konstan, dan independen.

• Waktu pelayanan tidak terdistribusi normal karena waktu pelayanan tidak boleh negatif.

• Produk banyak bagian yang independen bisa bersifat Lognormal

Gunakan dasar fisik distribusi sebagai panduan Statistik rangkuman Histogram

5

Panduan Distribusi

Gunakan dasar fisik distribusi sebagai panduan, sebagai contoh: Binomial: # sukses dalam n percobaan. Poisson: # independent event yang terjadi dalam waktu

atau ruang tertentu. Normal: distribusi proses yang merupakan jumlah

komponen-komponen proses. Eksponensial: waktu antara independent event, atau

waktu proses yang tidak memakai memory. Weibull: waktu sampai kegagalan komponen. Uniform diskrit atau kontinu: memodelkan ketidakpastian

yang lengkap. Triangular: proses yang hanya nilai minimum, dan

kemungkinan besar, nilai maksimum yang diketahui. Empiris: sampel ulang dari data aktual yang

dikumpulkan.

6

Statistik Rangkuman

LK00in 6.5 Table See

geometricor binomial negative candidate :1

Poisson candidate :1

binomial candidate:1

);(X /)(by / ratio lexis estimate ons,distributi discreteFor

1parameter shape with or Weibull gamma are candidates :1cv

lexponentia candidate :1 cv

1parameter shape with or Weibull gamma are candidates :1 cv

);(X /)(by / estimate ons,distributi continuousFor

close aremedian sample and )(X ifon distributi Symmetric

)(X :mean Sample

22

^

nnS

nnScvcv

n

n

7

Histogram Distribusi frekuensi atau histogram berguna

untuk menentukan bentuk distribusi Jumlah interval kelas bergantung pada:

Jumlah observasi Penyebaran data Disarankan: akar kuadrat ukuran sampel

Untuk data kontinu: Berhubungan dengan fungsi densitas probabilitas dari

distribusi teoritis. Untuk data diskrit:

Berhubungan dengan fungsi massa probabilitas. Jika hanya tersedia beberapa titik data:

gabungkan sel yang bersisian untuk menghaluskan bentuk histogram.

8

Histogram

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.1 0.6 1.1 1.6 2.1 2.6

Bin

Fre

qu

ency

Histogram untuk Data Kontinu Ambil n = 100 sample

waktu antar kedatangan request kepada Web server dalam periode 1-minute period (lihat Web page) Kedatangan request kurang

lebih stasioner – # request yang datang dalam periode 10-detik kurang lebih sama.

Sample mean = 0.534 detik; median = 0.398; CV = 0.98

Distribusi eksponensial? Sisi kanan menunjukkan dua

histogram: gambar atas dengan interval atau ukuran bin 0.1 detik; gambar bawah dengan ukuran bin 0.25 detik.

Histogram

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75

Bin

Fre

qu

ency

9

Histogram

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

h(x

)

Histogram untuk Data Diskrit Sampel n = 100 observasi jumlah barang yang

diminta dari sebuah job shop per minggu untuk periode waktu yang lama (# permintaan, # observasi): {(0,1), (1,3), (2,8), (3,14),

(4, 18), (5,17), (6,16), (7,10), (8,8), (9,4), (10, 1)} Mean = 4.94, varians = 4.4, Lexis ratio = 0.9 Distribusi Poisson?

10

Estimasi Parameter

Tahap berikutnya setelah pemilihan sekelompok distribusi Jika observasi pada sample dengan ukuran n adalah X1, X2, …,

Xn (diskrit atau kontinu), mean dan varians sampel adalah:

Jika data diskrit dan dikelompokkan pada distribusi frekuensi:

dengan fj adalah frekuensi yang terobservasi dari nilai Xj

1 1

2221

n

XnXS

n

XX

n

i i

n

i i

1 1

22

21

n

XnXfS

n

XfX

n

j jj

n

j jj

11

Estimasi Parameter

Jika data mentah tidak tersedia (data dikelompokkan dalam interval kelas), aproksimasi mean dan varians sampel adalah:

di mana fj frekuensi yang terobservasi pada interval kelas ke-j

mj adalah titik tengah interval ke-j, dan c adalah jumlah interval kelas

Parameter adalah konstanta yang tidak diketahui, sedangkan estimator adalah sebuah nilai statistik.

1 1

22

21

n

XnmfS

n

XfX

n

j jj

c

j jj

12

Histogram

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75

Bin

Fre

qu

en

cy

Seberapa Representatif Fit Data tersebut? Plot data kontinu

sepanjang histogram dan cari kesamaannya

Data diskrit – bandingkan frekuensi yang terobservasi dengan frekuensi yang diharapkan

Coba plot Quantile-Quantile Plot

bttxF |)(|

^

Histogram

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

h(x)

Fitted Dist

Terobservasi

13

Quantile-Quantile Plot

Q-Q plot merupakan alat bantu yang berguna untuk evaluasi fit distribusi

Jika X adalah variabel acak dengan cdf F, maka q-quantile dari X adalah sedemikian sehingga

Di mana F memiliki invers, = F-1(q)

Jika {xi, i = 1,2, …., n} merupakan sampel data dari X dan {yj, j = 1,2, …, n} adalah observasi dengan urutan naik:

di mana j adalah ranking atau nomer urut

, for 0 1F( ) P(X ) q q

1 0.5is approximately -

j

j -y F

n

14

Quantile-Quantile Plot

Plot yj versus F-1( (j-0.5)/n) adalah Aproksimasi adalah garis lurus jika F merupakan anggota

kelompok distribusi yang sesuai Garis tersebut memiliki slope 1 jika F merupakan

anggota kelompok distribusi yang sesuai dengan nilai parameter yang sesuai

15

Quantile-Quantile Plot

Contoh: Cek apakah waktu pemasangan pintu terdistribusi normal [BCNN05] Observasi diurutkan dari yang paling kecil ke yang paling

besar:

yj di-plot versus F-1( (j-0.5)/n) dengan F memiliki distribusi normal dengan mean sampel (99.99 detik) dan varians sampel (0.28322 detik2)

j Value j Value j Value1 99.55 6 99.98 11 100.262 99.56 7 100.02 12 100.273 99.62 8 100.06 13 100.334 99.65 9 100.17 14 100.415 99.79 10 100.23 15 100.47

16

Quantile-Quantile Plot [BCNN05]

Contoh (lanjutan): Cek apakah waktu pemasangan pintu terdistribusi normal .

Garis lurus, mendukung

hipotesa distribusi normal distribution

Fungsi densitas distribusi normal

yang di-superimpose

17

Quantile-Quantile Plot [BCNN05]

Perhatikan hal-hal berikut ini ketika mengevaluasi linieritas q-q plot: Nilai yang terobservasi tidak pernah tepat berada pada

garis lurus Nilai yang terurut diberi peringkat, dan dengan demikian

tidak independen, tidak mungkin titik-titik tersebut tersebar sepanjang garis

Varians titik-titik ekstrim lebih tinggi dari yang di tengah. Linieritas titik-titda di tengah plot lebih penting.

Q-Q plot juga dapat digunakan untuk memeriksa homogenitas Cek apakah satu distribusi dapat merepresentasikan

sample set kedua-duanya. Mem-plot nilai urutan kedua sampel data terhadap satu

sama lain.

18

Uji Goodness-of-Fit [BCNN05]

Lakukan pengujian hipotesis pada distribusi data input dengan menggunakan: Kolmogorov-Smirnov (KS) test Chi-square test

Tidak ada distribusi tunggal yang benar pada aplikasi riil. Jika data yang tersedia hanya sedikit, distribusi kandidat

tidak mungkin diabaikan Jika banyak tersedia data, mungkin saja semua distribusi

kandidat diabaikan

19

Uji Chi-Square [BCNN05]

Bandingkan histogram data dengan bentuk fungsi distribusi kandidat

Valid untuk ukuran sampel yang besar di mana parameter diestimasi dengan maximum likelihood

Atur n observasi menjadi satu set k interval kelas atau cell, statistik uji adalah:

yang secara aproksimasi mengikuti distribusi chi-square dengan k-s-1 derajat kebebasan, di mana s = # parameter distribusi hipotesis yang di-estimasi oleh statistik sampel.

k

i i

ii

E

EO

1

220

)(

Frekuensi yang terobservasi

Frekuensi yang diharapkan

Ei = n*pi

dengan pi adalah probabilitas teoritis dari interval ke-i.

Minimum yang disarankan = 5

20

Uji Chi-Square Null hypothesis – observasi dari satu distribusi yang

sudah ditentukan tidak dapat diabaikan dari signifikansi α jika:

Catatan: Error pada cell dengan Ei’s yang kecil mempengaruhi

statistik uji lebih dari cell dengan Ei’s yang besar. Ukuran minimum Ei diperdebatkan: [BCNN05]

merekomendasikan nilai sebesar 3 atau lebih; jika tidak, gabungkan cell yang bersisian.

Uji hanya dirancang untuk distribusi diskrit ukuran sampel yang besar. Untuk distribusi kontinu, uji Chi-Square hanya merupakan pendekatan (yaitu, tingkat signifikansi hanya berlaku untuk n->∞).

2]1,1[

20 sk Didapat dari tabel

21

Uji Chi-Square Contoh 1: 500 bilangan acak dibangkitkan dengan

menggunakan random number generator; observasi dikategorisasi ke dalam cell dengan 0.1, antara 0 and 1. Pada tingkat signifikansi 0.1, apakah bilangan-bilangan ini IID U(0,1)? Interval Oi Ei [(Oi-Ei)^2]/Ei

1 50 50 02 48 50 0.083 49 50 0.024 42 50 1.285 52 50 0.086 45 50 0.57 63 50 3.388 54 50 0.329 50 50 0

10 47 50 0.18500 5.84

0.10. sisignifikan tingkat pada diterima Hipotesis

;68.14 tabeldari ;85.5 2]9,9.0[

20

22

Uji Chi-Square [BCNN05]

Contoh 2: Kedatangan kendaraanH0: variabel acak terdistribusi Poisson.

H1: variabel acak tidak terdistribusi Poisson.

Derajat kebebasan adalah k-s-1 = 7-1-1 = 5, dengan demikian, hipotesis tidak diterima pada tingkat signifikansi 0.05.

!

)(

x

en

xnpEx

i

x iFrekuensi terobservasi,

OiFrekuensi ekspektasi, Ei (Oi - Ei)

2/Ei

0 12 2.61 10 9.62 19 17.4 0.153 17 21.1 0.84 19 19.2 4.415 6 14.0 2.576 7 8.5 0.267 5 4.48 5 2.09 3 0.8

10 3 0.3> 11 1 0.1

100 100.0 27.68

7.87

11.62 Digabungkan karena min Ei

1.1168.27 25,05.0

20

23

Uji Chi-Square

Jika distribusi yang diuji kontinu:

dengan ai-1 dan ai adalah titik ujung interval kelas ke-ith

dan f(x) adalah pdf yang diasumsikan, F(x) adalah cdf yang diasumsikan.

Jumlah interval kelas yang diasumsikan (k):

Perhatikan: Pengelompokan data yang berbeda (yaitu, k) dapat mempengaruhi hasil uji hipotesis.

)()( )( 11

ii

a

ai aFaFdxxf pi

i

Sample Size, n Number of Class Intervals, k

20 Do not use the chi-square test

50 5 to 10

100 10 to 20

> 100 n1/2 to n/5

24

Uji Kolmogorov-Smirnov (KS) Selisih antara CDF F0(x) observasi dan CDF Fe(x)

ekspektasi harus kecil; formalisasi ide Q-Q plot. Tahap 1: Beri peringkat observasi dari terkecil

sampai terbesar:Y1 ≤ Y2 ≤ Y3 ≤ … ≤ Yn

Tahap 2: Definisikan Fe(x) = (#i: Yi ≤ x)/n Tahap 3: Hitung K sebagai berikut:

}1

)(),({max

|)()(|max

1 n

jYFYF

n

jK

xFxFK

jejenj

oex

25

Uji KS Contoh: Uji jika populasi bersifat eksponensial dengan

parameter β = 0.01; yaitu Fe(x) = 1 – e–βx; K[0.9,15] = 1.0298.

Uji KS untuk distribusi eksponensialbeta 0.01 N 15Y_j j (j/n)-F(Yj) F(Yj)-(j-1)/n

5 1 0.0178961 0.048770586 2 0.0750979 -0.00843126 3 0.1417645 -0.07509787

17 4 0.1103315 -0.0436648225 5 0.1121341 -0.0454674539 6 0.0770569 -0.0103902160 7 0.0154783 0.0511883661 8 0.0766842 -0.0100175472 9 0.0867523 -0.0200855974 10 0.1437806 -0.07711392

104 11 0.086788 -0.02012135150 12 0.0231302 0.04353651170 13 0.0493502 0.01731648195 14 0.0756074 -0.00894074229 15 0.1012665 -0.0345998

MAX 0.1437806 0.05118836

26

Uji KS

Uji KS sesuai untuk sampel yang kecil, baik kontinu maupun diskrit.

Uji KS, tidak seperti uji Chi-Square, memakai setiap observasi pada sampel tanpa mengelompokkan data menjadi cell (interval).

Uji KS bersifat pasti jika semua parameter distribusi ekspektasi telah diketahui.

27

Pemilihan Model tanpa Data Jika data tidak tersedia, beberapa sumber yang dapat

dipakai untuk memperoleh informasi mengenai proses adalah: Engineering data: seringkali produk atau proses memiliki rating

kinerja yang disediakan oleh manufacturer, atau peraturan perusahaan menentukan standard waktu atau produksi.

Pilihan pakar: orang-orang yang berpengalaman dengan proses tersebut, ataupun yang menyerupai, seringkali dapat memberikan waktu optimistik, pesimistik dan yang paling mungkin, dan mereka juga bisa mengetahui variabilitas.

Keterbatasan fisik atau konvensional: batasan fisik atas kinerja, batasan lain yang mempersempit kisaran proses input.

Karakteristik proses.

Distribusi uniform, triangular, dan beta sering digunakan sebagai model input. [lihat LK00]

28

Model Proses Kedatangan Proses Poisson Poisson non-stasioner Batch Arrival

29

Proses Poisson

Definisi: N(t) melambangkan jumlah kedatangan pada interval waktu [0,t].

Proses stokastik {N(t), t>=0} merupakan proses Poisson dengan mean rate jika: N(0) = 0 Kedatangan terjadi satu per satu {N(t), t>=0} memiliki inkremen stasioner – jumlah

kedatangan pada interval tertentu hanya bergantung pada panjang interval, bukan lokasinya

{N(t), t>=0} memiliki inkremen independen – jumlah kedatangan pada interval waktu disjoint adalah independen.

Dan …

0}2)({

lim

}1)({lim

h

hNPh

hNP

oh

oh

30Stasioner dan independen Memoryless

Proses Poisson: Waktu Antar Kedatangan Anggap waktu antar kedatangan proses Possion process (A1,

A2, …), dengan Ai adalah waktu antara kedatangan i dan kedatangan i+1

Kedatangan pertama terjadi setelah waktu t jika dan hanya jika tidak ada kedatangan pada interval [0,t], dengan demikian:

P{A1 > t} = P{N(t) = 0} = e-t

P{A1 <= t} = 1 – e-t [cdf exp()] Waktu antar kedatangan, A1, A2, …, terdistribusi eksponensial

dan independen dengan mean 1/Penghitungan kedatangan ~ Poisson()

Waktu antar kedatangan ~

Exp(1/)

31

Splitting: Anggap setiap event proses Poisson dapat diklasifikasikan

sebagai Type I, dengan probabilitas p dan Type II, dengan probabilitas 1-p.

N(t) = N1(t) + N2(t), dengan N1(t) dan N2(t) adalah proses Poisson dengan rate p dan (1-p)

Pooling: Dua proses Poisson di-pool bersama N1(t) + N2(t) = N(t), dengan N(t) adalah proses Poisson

dengan rate 1 + 2

Proses Poisson: Splitting dan Pooling

N(t) ~ Poisson()

N1(t) ~ Poisson[p]

N2(t) ~ Poisson[(1-p)]

p

(1-p)

N(t) ~ Poisson(12)N1(t) ~ Poisson[]

N2(t) ~ Poisson[]

1

2

32

Proses Poisson Non-stasioner (NSPP) Proses Poisson tanpa inkremen stasioner, dikarakterisasikan

oleh (t), kecepatan kedatangan pada waktu t. Jumlah kedatangan ekspektasi pada waktu t, (t):

Menghubungkan proses Poisson stasioner n(t) dengan rate dan NSPP N(t) dengan rate (t): Tentukan waktu kedatangan proses stasioner dengan rate

= 1 sebagai t1, t2, …, dan waktu kedatangan NSPP dengan rate (t) sebagai T1, T2, …, kita ketahui:

ti = (Ti)

Ti = (ti)

tλ(s)dsΛ(t)

0

33

Contoh: Misalkan kedatangan di Kantor Pos memiliki rate 2 per menit dari jam 8 pagi sampai 12 siang, dan kemudian 0.5 per menit sampai jam 4 sore.

Tentukan t = 0 mewakili jam 8 pagi, NSPP N(t) memiliki fungsi kecepatan:

Jumlah kedatangan ekspektasi pada waktu t:

Dengan demikian, distribusi probabilitas jumlah kedatangan antara jam 11 pagi dan 2 siang.

P[N(6) – N(3) = k] = P[N((6)) – N((3)) = k]= P[N(9) – N(6) = k]= e(9-6)(9-6)k/k! = e3(3)k/k!

84 ,5.0

40 ,2)(

t

tt

84 ,6

25.02

40 ,2)( 4

0 4

tt

dsds

ttt t

Proses Poisson Non-stasioner (NSPP)

34

Batch Process N(t) adalah jumlah batch yang datang pada waktu

t. Jika waktu antara kedatangan batch adalah

variabel acak eksponensial IID, {N(t), t≥0} dapat dimodelkan sebagai proses Poisson.

X(t) = jumlah total pelanggan yang datang sampai waktu t; Bi = jumlah pelanggan pada batch ke-i; maka

Jika Bi’s adalah variabel acak IID yang independen terhadap {N(t) t≥0}, dan jika {N(t), t≥0} adalah proses Poisson, maka proses stokastik {X(t), t≥0} adalah proses Compound Poisson

0,)()(

1

tBtX

tN

ii