Assalamualaikum Wr Wb

Seminar Matematika

Pembuktian Teorema Lima

LingkaranOleh :

Rahma Siska Utari

(06091008003)

email : ama.utari@gmail.com

Dosen Pembimbing : Dra.Indaryanti,M.Pd

PendahuluanDi dalam geometri tedapat teorema-teorema,

salah satunya adalah Teorema Lima Lingkaran.

Teorema Lima Lingkaran dikemukakan oleh matematikawan Prancis bernama Auguste Miquel dan dipublikasikan pada Journal de Mathematiques Pures et Appliquees (Liouville ‘s Journal) Tome Troisieme pada tahun 1838.

Dikatakan pada teorema ini bahwa suatu lingkaran dapat dibentuk dari suatu segilima sebarang.

TujuanUntuk membuktikan Teorema Lima Lingkaran menggunakan konsep bangun datar yaitu pentagon, pentagram, segiempat tali busur,lingkaran serta sifat – sifat dan hubungan antar sudut dalam lingkaran.

Materi Penunjang1.Definisi Pentagon

Dalam geometri, pentagon atau segilima adalah semua segi banyak yang bersisi lima.

2. Definisi Pentagram

Pentagram atau segilima bintang adalah bentuk dari sebuah bintang bersisi lima (pentagon) yang digambar dari perpanjangan lima garis lurus masing – masing sisi pentagon.

3. Definisi Lingkaran

Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran.

E

Bagian – Bagian Lingkaran

O = Pusat Lingkaran

OA = OB = OC = Jari – jari Lingkaran

BC = Diameter Lingkaran

AC = Tali Busur

OD = Apotema

Daerah ACE = tembereng

Daerah AOB = Juring

4. Lingkaran Luar SegitigaLingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga.

5. Segiempat SiklisSegi empat siklis (segi empat tali busur) adalah segi empat yang terletak dalam lingkaran, dimana tiap sudutnya menyinggung lingkaran sedemikian hingga jumlah dua buah sudut yang berhadapan pada segi empat siklis (segi empat tali busur) adalah 180o. Sebaliknya, jika dua buah sudut yang berhadapan pada suatu segiempat berjumlah 180o, maka segiempat tersebut adalah segi empat tali busur

Lanjutan...

< CDE = < ABC

Bukti :

< CDE + < ADC = 180o

< ADC + <ABC = 180o

Jadi , < CDE = < ABC

A

B

C

D

E

6. Titik - Titik Concyclic

Pada geometri, suatu himpunan titik dikatakan concyclic jika titik – titik tersebut terletak pada suatu lingkaran.

S = { A, B, C, D, E, F}

titik A, B, C, D, E, F concyclic.

7.Sudut keliling yang menghadap busur yang sama

Sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki ukuran sudut/besar sudut yang sama.

RPQ = RTQ = RSQ

Karena menghadap busur QR.

Materi PokokTeorema Lima Lingkaran:

• Diberikan Segilima ABCDE• Perpanjangan sisinya

membentuk pentagram• Dibentuk lingkaran dari

segitiga AFB, BGC, CHD, DIE, dan EJA

• Berpotongan dititik K, L, M, N dan P

• Akan dibuktikan bahwa K, L, M,N dan P concyclic

Akan dibuktikan α = α1 = α2 = α3.

Bukti :

Perhatikan MIE dan MNE

MIE = MNE adalah sudut keliling lingkaran yang menghadap busur ME. MIE = MNE α = α1 ... (1)

Perhatikan MIE dan EDM

MIE dan EDM adalah sudut Yang berhadapan pada segiempat tali busur EDMI MIE + EDM = 180º EDM = 180º - α ... (2)

Lanjutan...• Perhatikan MIE dan EDM• EDM dan MDH adalah sudut berpelurus• EDM + MDH = 180º• MDH = 180o - EDM

• α2 = 180o – (180o – α )

• α2 = α ... (3)Perhatikan MCH dan MDH

MCH = MDH adalah sudut keliling lingkaran yang menghadap busur MH. MCH = MDH α2 = α3 ... (4)

Berdasarkan persamaan (1) , (3) dan (4) terbukti bahwa α = α1 = α2 = α3.

Perhatikan MCF dan MCH

adalah sudut berpelurus

MCF + MCH = 180o

MCF + α3 = 180o

karena α = α3

MCF = 180o - α

Sehingga FCMI adalah segiempat siklis atau segiempat tali busur, dengan kata lain titik

F, C, M, I concyclic.

Akan dibuktikan β = β1 = β2 ABKF adalah segiempat tali busur, AFK = β GBK = β1 = β ...(1)

KCG = GBK , karena menghadap busur yang sama yaitu busur KGSehingga β1 = β2 ...(2)

Berdasarkan persamaan (1) dan (2) maka benar bahwa β = β1 = β2

• Perhatikan GCK dan IHK adalah sudut berpelurus

GCK + IHK = 180o

GCK+ β1 = 180o karena β = β1

MCF = 180o – β

• Dengan demikian FKCI adalah segiempat siklis atau segiempat tali busur, dengan kata lain titik F, K, C, I concyclic.

Akan dibuktikan α = α4

< FIM = α karena FKMIsegiempat tali busur Maka α4 = α

Benar bahwa α4 = α

Akan dibuktikan θ = θ1 = θ2 AENP adalah segiempat tali busur, Dimana ANE = θ Maka θ1 = θ ... (1)

θ1 = θ2 karena θ1 dan θ2

menghadap busur yang sama yaitu busur PFSehingga θ1 = θ2 ... (2)

Oleh karena itu terbuktiθ = θ1 = θ2

Perhatikan PKM dan α4+ θ2 adalah sudut berpelurus

PKM = 180o – (α4+ θ2) dan α1+ θ

Karena α = α4 dan θ = θ2

Sehingga KMNP adalah segiempat siklis atau segiempat tali busur, dengan kata lain titik K, M, N, P concyclic.

Dihubungkan busur lingkaran yang melalui titik K, M, N dan P.

dan titik L terletak pada lingkaran yang sama .

Sehingga terbukti bahwa titik K, L, M, N dan P adalah titik – titik concylic. Dengan demikian teorema Lima Lingkaran terbukti,

Kesimpulan• Dari sebuah segilima sebarang dapat dibuat suatu

lingkaran.

• Pembuktian Teorema Lima Lingkaran dapat dibuktikan dengan penggunaan konsep pentagon, pentagram, lingkaran, segiempat tali busur, sifat sudut pada lingkaran, aturan sudut dalam trigonometri, serta titik – titik concyclic. Sehingga terbukti bahwa titik – titik K, L, M, N, P yang dihasilkan dari perpotongan dua lingkar adalah concyclic

Daftar Pustaka

• Aisyah, Nyimas. 2009. Diktat Geometri. Indralaya : Universitas sriwijaya Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan.

• Negoro dan Harahap. 1998. Ekslopedia Matematika. Jakarta : Yudhistira.• Wikipedia. 2008. Geometri. http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri. Diakses

tanggal 8 Maret 2012.• Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Five_circles_theorem. Diakses tanggal 8

Maret 2012.• http://agutie.homestead.com/files/miquel_pentagram1.htm. Diakses tanggal 8

Maret 2012.• Wikipedia. http://id.wikipedia.org/wiki/Segi_lima. Diakses tanggal 9 Maret 2012.• Crayonpedia.

http://www.crayonpedia.org/mw/BSE:Garis_Singgung_Lingkaran_8.2_(BAB_7) Diakses tanggal 11 Maret 2012.

• Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Pentagram. Diakses tanggal 29 Maret 2012.

• Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Inscribed_angle_theorem#Theorem. Diakses tanggal 28 April 2012.

• Mathworld.http://mathworld.wolfram.com/Concyclic.html. Diakses tanggal 28 April 2012.

• Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Circumscribed_circle. Diakses tanggal 28 April 2012.

• Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Concyclic_points. Diakses tanggal 28 April 2012.

• Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_quadrilateral. Diakses tanggal 28 April 2012, 14 : 53 WIB.