PD7 Solucionario

8/19/2019 PD7 Solucionario

1/10 M a t e M a t e

1 U P

M a t e

a t e 1

U P M

a t e 1 U

P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1

U P

M a t e

a t e

1 U P

M a t e

a t e

i i l

Solucionario de la práctica dirigida 7

Matemáticas I Viernes 24 de octubre de 2014

Clase 16

1. Considere las matrices A, B y C de órdenes m × n, p × q y r × s respectivamente. Si se sabe que

C T = (A + BT )T A,

a ) Halle la relación entre m,n,p,q,r y s.

b) Si se sabe que el producto A(DB) tiene sentido, donde D es una matriz que tiene 31 filas y unacolumna menos que el número de filas de A, halle los órdenes de A, B y C .

Soluci´ on.

a ) En A + BT vemos que A es de orden m ×n, BT es de orden q × p, entonces q = m y p = n. Luego,(A + BT )T es de orden n ×m. Como A es de orden m × n, vemos que el producto (A + BT )T A notiene problemas y el resultado es de orden n × n. Pero C T es de orden s × r, por lo que s = r = n.Luego, q = m y p = r = s = n.

b) Del dato, D es de orden 31 × (m − 1). Como DB tiene sentido y B es de orden n × m, entoncesm−1 = n y DB seŕıa de orden 31×m. Como A es de orden m×n y A(DB) tiene sentido, entoncesn = 31, y por tanto m = 32. Luego, A es de orden 32 × 31, B es de orden 31× 32 y C es de orden31× 31.

2. Verifique la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a ) Para dos matrices A y B de órdenes n× n respectivamente, AB = BA.

b) Si AB = BA entonces A y B son matrices cuadradas.

c ) Si AB = 0 entonces A = 0 o B = 0.

Soluci´ on.

a ) Es falso. Consideremos A =

0 00 1

y B =

1 10 0

. Se tiene que AB = 0 pero B A =

0 10 0

.

b) Es verdadero.Supongamos que A es de orden m × n y B es de orden p × q . Para que AB tengasentido se debe cumplir n = p y AB es de orden m × q . Para que BA tenga sentido, m = q y BAes de orden p× n. Y como AB = BA entonces m = p y q = n. Luego, m = p = n = q , osea A y B

son matrices cuadradas.

c ) Es falso. Considerar las matrices A y B del primer item.

3. Sea A de orden n × n. Pruebe que AAT = 0 si y sólo si A = 0.

Soluci´ on.

Si A = 0 entonces AAT = 0.

c2014 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.

1



1 U P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1 U

P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1

U P

M a t e

a t e

1 U P

M a t ea t

e Si AAT = 0: sea A = (aij)n×n, entonces B = (bij)n×n, donde bij = aji . De la definición delproducto, para cualquier i, j:

0 =n

k=1

aikbkj =n

k=1

aikaj,k.

Si consideramos el caso en que i = j , entonces 0 = n

k=1 a2ik, para cualquier i. Como esta suma es

suma de términos no negativos, la única posibilidad es que aik = 0 para todos los k. Osea que todos

los elementos de la fila i son 0, y esto ocurre para cualquier fila i, por lo que la matriz A es nula.

4. Decimos que una matŕız cuadrada A es simétrica cuando AT = A. Decimos que es antisimétricacuando AT = −A.

a ) Muestre que si A, B son simétricas (antisimétricas) y λ ∈ R, entonces λA y A + B también lo son.

b) Muestre que la única matrı́z simétrica y antisimétrica es la matriz nula.

c ) Muestre que las matrices A + AT y A −AT son simétricas y antisimétricas respectivamente.

d ) Muestre que toda matriz cuadrada puede ser expresada como la suma de una matriz simétrica yuna matriz antisimétrica.

Soluci´ on.

a ) Si A y B son simétricas, entonces (λA)T = λAT = λA. Tambíen (A + B)T = AT + BT = A + B.Por lo tanto λA y A + B son simétricas. El caso de antisimétricas es similar.

b) Mostraremos que A−AT es antisimétrica: se tiene

A−AT

T = AT −

AT T

= AT −A = −

A−AT

,

lo que nos dice que A −AT es antisimétrica. Que A + AT es simétrica es parecido.

c ) Sea una matriz cuadrada cualquiera A. Podemos ver que

A = 1

2

A + AT

+ 1

2

A−AT

.

De los dos items anteriores, ambos sumandos son simétricas y antisimétricas respectivamente, porlo que A es suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.

5. Definimos las matrices A = (aij) y B = (bij) de orden 3× 3 como sigue:

aij =

0, i = ji− j, i > j j − i, j > i,

(1)

y bij = |2i− j|, para 1 ≤ i, j ≤ 3.

a ) Pruebe que A es simétrica (osea A = AT ).

b) Calcule las matrices A + B, B −A, AB y BA.

Soluci´ on.

a ) Tenemos que probar que para i = j se tiene aij = aji . Sea i > j (el caso i < j es indistinto).Entonces aij = j − i. Como j > i entonces aji = j − i, por lo que aij = aji .

2



1 U P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1 U

P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1

U P

M a t e

a t e

1 U P

M a t ea t

e b)A =

0 1 21 0 1

2 1 0

B =

1 0 13 2 1

5 4 3

.

A modo de ejemplo: AB =

13 10 76 4 45 2 3

.

6. Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden. Pruebe que las siguientes tres afirmaciones son equi-valentes.

a ) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.

b) (A + B) (A−B) = A2 −B2

c ) AB = BA (es decir, A y B conmutan).

(Sugerencia: Muestre la equivalencia de las dos primeras a la tercera por separado).

Soluci´ on.

a)⇒ c) : Vemos que (A + B)2 = A2 + AB + BA + B2 = A2 + 2AB + B2, de donde AB + BA = 2AB, ypor tanto AB = BA.

c)⇒ a) : Vemos que (A+B)2 = A2+AB+BA+B2, y como AB = BA, entonces (A+B)2 = A2+2AB+B2.Luego, a)⇔ c).

b)⇒ c) : Se sabe que (A + B)(A−B) = A2 −AB + BA −B2, y por b) entonces

A2 −AB + BA −B2 = A2 −B2,

y por tanto AB −BA = 0, osea que AB = BA.

c)⇒ b) : (A + B)(A − B) = A2 − AB + BA − B2 y como AB = BA entonces se cancelan y se tiene b).

Luego, b)⇔ c).

7. Basados en la pregunta anterior, de ejemplos de dos matrices A, B y C tales que

a ) AB = BA.

b) (A−B)2 = A2 − 2ABB2.

c ) (A + B) (A−B) = A2 −B2.

d ) AB = AC , con A = 0 y B = C .

Soluci´ on.

a ) A =

0 00 1

, B =

1 10 0

.

b) y c) De la pregunta anterior, el sirve el mismo contraejemplo, ya que ambas son equivalentes a a).

d) Observemos que el producto de las matrices en el contraejemplo en a) es 0. Vemos que AB =

AC ⇔ A(B − C ) = 0. Luego, es suficiente con dar A =

0 00 1

y B = C dos matrices tales que

B −C =

1 10 0

; por ejemplo, B =

2 21 1

y C =

1 11 1

.

3



1 U P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1 U

P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1

U P

M a t e

a t e

1 U P

M a t ea t

e8. Decimos que una matriz A de orden n × n es de Markov cuandoi) Los elementos de A son no negativos.

ii) La suma de los elementos de cualquier fila de A es 1.

a ) Es posible que la matriz

A =

a b c

3a− 2b 4/3 −2a + b1/3 1/3 c

sea una matriz de Markov?

b) Muestre que si A y B son matrices de Markov, entonces AB también es una matriz de Markov.

Soluci´ on.

a ) Como la suma de cualquier fila es 1 entonces c = 1/3. La suma de la segunda fila es 1, entonces3a− 2b + 2/7− 2a + b = 1, por lo que a − b = 5/7. Como la suma en la primera fila es 1 entoncesa + b = 2/3, por lo que b = −1/42, y por tanto la matriz no puede ser de Markov ya que tiene unelemento negativo.

b) Sean A = (aij)n×n y B = (bij)n×n matrices de Markov. Entonces, aij ≥ 0, bij ≥ 0 además de que

nj=1

aij = 1 =n

j=1

bij

para cualquier i. Sea C = AB = (cij)n×n. Entonces cij = n

k=1 aikbkj . Para ver que C es deMarkov, vemos que en cada fila i de C :

nj=1

cij =n

j=1

nk=1

aikbkj

=n

k=1

aikj=1

bkj ,

y como

j=1 bkj = 1, por que es la suma de los elementos de la fila k de B , entonces

nj=1

cij =n

k=1

aik = 1,

pues es la suma de los elementos de la fila i de A. Luego, C es matriz de Markov.

9. Halle una formula para la n-ésima potencia de la matriz A =

0 −10 0

.

Soluci´ on.

Se puede ver que A2 = 0, por lo que para n ≥ 3, An = 0.

10. Demuestre por inducción que para n ≥ 1

1 1 10 1 1

0 0 1

n

=

1 n

1

2n(n + 1)

0 1 n0 0 1

.

Soluci´ on.

4



1 U P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1 U

P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1

U P

M a t e

a t e

1 U P

M a t ea t

e a ) Para n = 1 se cumple.b) Suponemos cierto el caso n:

An =

1 1 10 1 1

0 0 1

n

=

1 n

1

2n(n + 1)

0 1 n0 0 1

.

c ) Para el caso n + 1, tenemos que

An+1 =

1 1 10 1 1

0 0 1

1 n

1

2n(n + 1)

0 1 n0 0 1

=

1 n + 1

1

2n(n + 1) + n + 1

0 1 n + 10 0 1

=

1 n + 1

1

2(n + 1)(n + 1 + 1)

0 1 n + 10 0 1

11. Halle la forma general de 1 0 −10 1 0

0 0 1

n

.

Soluci´ on.

Es posible ver operando un par de veces que1 0 −10 1 0

0 0 1

n

=

1 0 −n0 1 0

0 0 1

.

La justificación es por inducción.

12. Calcule

0 −11 −1

2014.

Soluci´ on.

Digamos que A =

0 −11 −1

. Vemos que

A2 =

−1 1−1 0

, A3 =

1 00 1

= I 2.

Luego, para números de la forma n = 3k, An = (A3)k = I k = I . Entonces

A2014 = A671×3A = I A = A =

0 −11 −1

.

13. Un emprendedor quiere hacer un pequeño presente a sus trabajadores por las buenas ventas del últimomes. Para esto, rifa dos tipos de pequeñas canastas: la canasta pequeña y la canasta grande. En laprimera se tienen 2 tarros de leche, dos panetones, 10 kilos de alimentos y un vino. El segundo tipo decanasta consta de 5 tarros de leche, 15 kilos de alimentos y dos vinos. Si se van a rifar 12 unidades de lacanasta pequeña y 5 la canasta grande, cuál es la cantidad de leche, alimentos, panetones y vinos que sedeberá comprar?

5



1 U P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1 U

P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1

U P

M a t e

a t e

1 U P

M a t ea t

eSoluci´ on.Formamos una matriz en donde las filas se refieren a los productos y las columnas a las canastas que senecesitan.

Q =

2 510 15

1 2

.

Ahora formamos una matriz columna donde las filas son las canastas:

N =

125

.

Entonces multiplicamos

QN =

2 510 15

1 2

12

5

=

49195

22

,

por lo que deben comprarse 49 tarros de leche, 195 kilos de alimentos y 22 vinos.

14. Una empresa E 1 necesita ciertas cantidades de los productos P 1, P 2, P 3 y P 4. Los precios(por unidad)de estos productos evolucionan durante un mes según la siguiente tabla:

P 1 P 2 P 3 P 4Semana 1 20 30 20 12Semana 2 18 28 20 12Semana 3 20 30 22 14Semana 4 22 31 24 16

Si la empresa necesita de 1500 unidades de P 1, 2000 de P 2, 500 de P 3 y 2400 de P 4,

a ) Construya una matŕız columna Q de las cantidades que necesita la empresa en miles de unidades.

b) Construya una matriz adecuada de los precios de los productos durante las 4 semanas de modo quese pueda hallar el gasto semanal de la empresa mediante un producto de matrices.

Soluci´ on.

a ) La matriz seŕıa

Q =

CantidadP 1 1, 5P 2 2P 3 0, 5P 4 2, 4

.

b) La matriz con los costos durante las semanas seŕıa

C =

P 1 P 2 P 3 P 4Semana1 20 30 20 12Semana 2 18 28 20 12Semana 3 20 30 22 14Semana 4 22 31 24 16

,

y para hallar los gastos semanales en insumos tendrı́amos

G =

20 30 20 1218 28 20 1220 30 22 1422 31 24 16

1, 52

0, 52, 4

=

GastoSemana1 128, 8Semana 2 121, 8Semana 3 134, 6Semana 4 145, 4

Luego, la empresa gasta 128, 8 miles de soles en la semana 1, 121, 8 miles en la semana 2, 134, 6miles en la semana 3 y 145, 4 miles en la semana 4.

6



1 U P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1 U

P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1

U P

M a t e

a t e

1 U P

M a t ea t

e15. En el problema anterior, considere a una nueva empresa E 2, la cual tiene requiere de un 20 % más de

P 1, un 40% más de P 2, un 20 % más de P 3 e igual cantidad de P 4 de la empresa E 1. Construya la nuevamatriz de cantidades requeridas por las empresas y obtenga la matriz de los gastos acumulados de lasmismas durante las 4 semanas mediante un producto de matrices.

Soluci´ on.El planteamiento es similar, solo que ahora la matriz de Q estarı́a definida por

Q =

E1 E2P 1 1, 5 1, 8P 2 2 2, 8P 3 0, 5 0,6P 4 2, 4 2, 4

.

Luego, el gasto seŕıa

G =

20 30 20 1218 28 20 1220 30 22 1422 31 24 16

1, 5 1, 8

2 2, 80, 5 0,62, 4 2, 4

=E 1 E 2

Semana1 128, 8 160, 8

Semana 2 121, 8 151, 6Semana 3 134, 6 166, 8Semana 4 145, 4 179, 2

Finalmente, el gasto acumulado de ambas empresas en la semana 1 fue de 128,8 + 160,8 = 289,6 milesde soles. Similarmente, los acumulados de las siguientes semanas fueron de 273, 4, 301, 4 y 324, 6 milesde soles.

16. Las empresas de venta de una nueva bebida Peruanita y Lime˜ nita presentan los siguientes requerimientosde insumos malta, agua y levadura:

Agua (m3) Malta (kg) Levadura (kg)Peruanita 80 50 40Limeñita 120 40 40

La evolución de los precios de tales materias primas (en soles) se muestran en la siguiente tabla:

Agua (m3) Malta (kg) Levadura (kg)D́ıa 1 1 30 20D́ıa 2 1.2 28 20D́ıa 3 1 30 24

a ) Plantee el producto matricial adecuado para hallar el gasto total de las dos empresas durante los 3d́ıas.

b) Plantee el producto matricia adecuado para hallar el gasto acumulado de ambas empresas en cadad́ıa.

Soluci´ on.

La solución es idéntica a la del problema anterior.

7



1 U P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1 U

P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1

U P

M a t e

a t e

1 U P

M a t ea t

eClase 17

1. Para los siguientes sistemas de ecuaciones, halle su matriz aumentada y calcule la matriz reducida encada caso. Decida si el sistema tiene solución única, ninguna solución o tiene infinidad de éstas. Halle lasolución en caso exista.

a)

2x− 3y = 1;4x− 5y = 2.

b)

5x + y = 10;4x− 5y = 3.

c)

3x− 4y + 6z = −14;x + 2y − 2z = 163x + y = 17

d)

3x + 4y − z = −3;x + 8y + 2z = 7x + y + z = 2

Soluci´ on.

c) Ordenamos la ecuación en la forma

x + 2y − 2z = 163x− 4y + 6z = −14;3x + y = 17

La matriz aumentada del sistema es

1 2 −2 163 −4 6 −14

3 1 0 17

⇒

Operando F 2 − 3F 1, F 3 − 3F 1 obtenemos1 2 −2 160 −10 12 −62

0 −5 6 −31

⇒

1 2 −2 160 −5 6 −31

0 −5 6 −31

,

por tanto el sistema de ecuaciones es equivalente a x + 2y − 2z = 16−5y + 6z = −31;

Tenemos que z = (5y − 31)/6, x = 16− 2y + (5y − 31)/3, y ∈ R. Tenemos infinitas soluciones.

d) Ordenamos la ecuación a ser

x + y + z = 2x + 8y + 2z = 73x + 4y − z = −3;

De este modo, la matriz aumentada es 1 1 1 21 8 2 7

3 4 −1 −3,

que luego de restar F 2 → F 2 − F 1 y F 3 → F 3 − 3F 1 nos queda1 1 1 20 7 1 5

0 1 −4 −9.

Si intercambiamos la F 2 con la F 3 y restamos a la tercera fila 7 veces la segunda, obtenemos1 1 1 20 1 −4 −9

0 0 29 68,

la cual es una matriz escalonada y por tanto el sistema tendŕıa la única solución z = 68/29, y =4× 68/29− 9 y x = −4× 68/29 + 9− 68/29 + 2.

8



1 U P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1 U

P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1

U P

M a t e

a t e

1 U P

M a t ea t

e2. En un juego de apuestas, se tienen tres tipos de fichas: verdes, amarillas y ro jas, cada una con un valorentero desconocido de dólares (posiblemente negativo). Se pueden hacer tres tipos de jugadas: la primeraes cojer una ficha verde, dos amarillas y dejar una roja. La segunda es cojer tres verdes, una amarilla yuna roja, y la tercera es cojer dos verdes, dejar una amarilla y cojer dos rojas. ¿Ser á posible que en enla jugada A se tenga una ganancia de $20, en la jugada B una ganancia de $70 y en la jugada C unaganancia de $60?

Soluci´ on.Si cada ficha verde vale x dólares, cada ficha amarilla vale y dólares y cada ficha roja z dólares, entonceslas ganancias en la primera jugada es x + 2y − z, en la segunda 3x + y + z y en la tercera 2x − y + 2z.El problema puede ser planteado como

x + 2y − z = 203x + y + z = 70;2x− y + 2z = 60

Aplicando operaciones elementales obtenemos

1 2 −1 203 1 1 70

2 −1 2 60

⇒

1 2 −1 200 −5 4 10

0 0 0 10

,

por lo que el sistema no tiene solución. Luego, es imposible que se den las condiciones del problema.

3. Para el sistema de ecuacionesx + y + az = 1,x + ay + z = 2,ax + y + z = 3,

use la matriz aumentada y halle los valores de a de modo que tenga solución única, infinitas solucioneso ninguna solución.

Soluci´ on.

Planteamos la matriz aumentada y usamos operaciones elementales:1 1 a 11 a 1 2

a 1 1 3

⇒

1 1 a 10 a− 1 1− a 1

0 0 2− a− a2 4− a

.

Luego, para que el sistema tenga solución única se debe tener 2− a− a2 = 0, por lo que a = −2, a = 1.Si a = 1, la matriz aumentada es

1 1 1 10 0 0 10 0 0 3

,

por lo que el sistema no tiene solución. En caso que a = −2, la matriz aumentada es

1 1 −2 10 −3 3 10 0 0 7

,

por lo que el sistema tampoco tiene solución.

4. Halle el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones:

x− 4y − 2z + w = −6,y + 2z − 2w = 0,x− 2y + 2z − 3w = 3,

mediante el uso de la matriz aumentada.

9


10/10M a t eM a t e

1 U P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1 U

P

M a t e

a t e 1

U P

M a t e 1

U P

M a t e

a t e

1 U P

M a t ea t

eSoluci´ on.Planteamos la matriz aumentada y usamos operaciones elementales:

1 −4 −2 1 −60 1 2 −2 0

0 2 4 −4 9

⇒

1 −4 −2 1 −60 1 2 1 −6

0 0 0 0 9

,

por lo que el sistema no tiene solución.

5. Halle todas la soluciones positivas y enteras del siguiente sistema de ecuaciones:

2x− 4y + z = 9,x− 3y = 4,x + 3y + 2z = 22,

Soluci´ on.

Ordenamos el sistema comox− 3y = 4,2x− 4y + z = 9,x + 3y + 2z = 22,

y entonces la matriz aumentada es

1 −3 0 42 −4 1 9

1 3 2 22

⇒

1 −3 0 40 2 1 1

0 0 −1 15

,

por tanto z = −15. Luego, no se tienen soluciones enteras y positivas.

10

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