Valentin GUU 21 PARTEAI ELECTROTEHNI CAGENERAL CAPITOLUL1.CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CON-TINUU CAPITOLUL2.MAGNETISM I ELECTROMAGNETISM CAPITOLUL3.REGIMPERMANENTSINUSOIDALAL CIRCUITELORELECTRICE.CURENTUL ALTERNATIVCAPITOLUL4.CIRCUITEELECTRICETRIFAZATEN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL ALTE-RNATIV CAPITOLUL5.MSURRI ELECTRICE I APARATE CAPITOLUL6.TRANSFORMATOARELE ELECTRICE CAPITOLUL7.MAINIELECTRICEDECURENTCON- TINUU (C.C.) CAPITOLUL8.MAINIELECTRICEDECURENTALTE- RNATIV (C.A.) CAPITOLUL9.PRODUCEREA I TRANSMITEREAENE-RGIEI ELECTRICE CAPITOLUL10.TEHNICASECURITIIMUNCII,PREVE-NIREA I STNGEREA INCENDIILOR LA MAINILE ELECTRICE PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 22 Valentin GUU 23 CAPITOLUL 1 CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU 1.1.CIRCUIT ELECTRIC 1.1.1. Elemente de circuit. Caracterizarea elementelor de circuit Princircuiteelectricedecurentcontinuunelegemcircuitelen care curenii i tensiunile au valori invariabile n timp. Este accepta-t notarea acestor mrimi cu litere mari : I, E, U etc.Componentele unui circuit electric se numescelemente de circuit. Un ciruit simplu de curent continuu, cuprinznd o surs cu t.e.m. E i rezistena intern Ri , care alimenteaz un rezistorR (figura.1.1), are dou elemente: sursa i rezistorul. Elementele de circuit cu dou borne (terminale) de acces se numesc elementedipolare.Dacelementuldipolarpoateficaracterizat printr-o singur mrime, el se numete element ideal de circuit; de exemplu, rezistorul ideal este caracterizat numai de rezistena sa, R. Fig.1.1 Fig. 1.2 Fig.1.3 Elementepasiveiactive.Unelementdecircuitdecurentconti-nuu se numete pasiv, dac nu poate ceda energie electric n circuit oricare ar fi sensul curentului prin element; de regul, un astfel dePARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 24 elementa bs oa r be energieelectric.RezistorulR(figura1.1) este un element pasiv de circuit. Unelementdecircuitdecurentcontinuusenumeteactiv,dac poategeneraenergiedenaturelectricnanumiteregimuride funcionare(existiregimuri,ncareunastfeldeelementpoate, eventual, primi energie electric, fiind deci un receptor de energie). Sursele de curent sau tensiune electric sunt elemente active (figura 1.4, figura1.5). Fig.1.4. Reprezentarea Fig.1.5. Surse ideale de energie: sursei realedetensiune.a surs ideal de tensiune U = E; b surs ideal de curent I = J Circuitulelectricformatnumaidinelementepasivesenumete circuit pasiv; un circuit electric care pe lng elementele pasive are cel puin un element activ se numete circuit activ. Caracteristica elementului de circuit. Relaia ntre tensiunea U la borneleunuielementdipolariintensitateaIacurentuluiprin element caracterizeaz complet elementul de circuit. Aceast relaie prezentat grafic n planul coordonatelor U I poart denumirea de caracteristic tensiune-curent a elementului de circuit. Elementele de circuit se numesc liniare dac caracteristica tensiune- curentesteoliniedreapt(figura1.2);acesteelementesenumesc neliniaredaccaracteristicamenionatesteoliniecurb(figura 1.3). Deregul,elementelerealedecircuitsuntneliniare,darnmulte cazuri practicepot fi considerate ca fiind liniare, n limite suficient de largi ale curentului i tensiunii. Valentin GUU 25 1.1.2. Elemente de circuit, ideale i reale Pentrusimplificareacalculelorpracticeiaanalizeicircuitelor electrice de curent continuu (c.c.) se recurge la prezentarea grafic a circuitelorprinschemeechivalente,ncareelementeledecircuit sursedeenergieirezistene(conductane)suntconsiderateca fiind ideale. Rezistorul ideal. Acesta este un element de circuit care are tensiu-nealaborneproporionalcuintensitateacurentului,oricarearfi valoarea acestui curent; factorul de proporionalitate este rezistena R a rezistorului. Ecuaia de circuit a rezistorului poate fi scris: U = R I. (1.1) Mrimea inversproporional rezistenei R se numete conductan, se noteaz G i este egal: G = R1.(1.2) Simbolul grafic al acestor elemente i caracteristica tensiune-curent o dreapt care trece prin originea axelor este prezentat n fig.1.6. Fig. 1.6. Fig 1.7. Surs ideal de tensiune Rezistorulidealesteunelementpasiv,putereadisipatpeacest element poate fi calculat ca: PR =U I = R I 2 = G U 2 =.2RU(1.3) Aceast putereestetotdeauna pozitiv i primit pe la borne, reg- sindu-sesubformadecldurdezvoltatnunitateadetimp,prin efect Joule.PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 26 Sursa ideal i real de tensiune(curent). Sursa ideal de tensiune este un element de circuit, care are tensiunea la borne independent de curentul ce trece prin surs . Simbolul grafic i caracteristica U-I suntreprezentatenfigura1.7.Esteclarcsursarealdetensiune sau curent difer prinfaptulcn primulcaznseriecu sursaeste conectat rezistena Ri , iar n al doilea conductana Gi, n paralel, aa cum se vede n figura 1.8. Ecuaia ce leag tensiunea la borne i intensitatea curentului ntr-o sur- s real de tensiune este: U = Ri I E,(1.4) ceea ce arat c tensiunea se mai poatereprezentasubformaunei surse ideale de tensiune E, legat nserie(sfieparcursdeace-lai curent) cu un rezistor Ri . Unsistemformatdintr-osurs ideal de curent J legat n para-lel cu un rezistor de conductan Gi este parcurs de un curent total Fig. 1.8.Reprezentri echivalenteale sursei de energie electric: a reprezentarea serie a sursei reale de tensiune; b reprezentarea derivaie asursei reale de curent. accesibil la bornele sistemului (figura 1.8, b): I = J + Gi U, (1.4) relaie ce mai pote fi scris sub forma = Ui iGJIG1 .(1.5) Dinrelaiile(1.3)i(1.5)sevedecsistemulreprezentatnfigura 1.8,bsecomportidenticcusursarealdetensiune,dacsunt ndeplinite condiiile: iiRG1= , iiREE G J = = . (1.6) Valentin GUU 27 Prinurmare,relaiile(1.6)constituiecondiiiledecomportare echivalentasurseirealedetensiunecusistemulreprezentatn figura 1.8, b i numit surs real de curent. nraportcusensurileprecizate,sursafuncioneaznregimde generator atunci cnd curentul prin surs este pozitiv i n regim de receptor cnd curentul este negativ. Puterea la bornele sursei, Pb = =UI=EIestepozitivnprimulcaz(regimdegenerator)i negativncelde-aldoilea(regimdereceptor),ceeaceestebine ilustrat n figura 1.9. ab c Fig. 1.9. Bilanuri energetice caracteristice conductorului (filiform) parcurs de curent:a : U + E = RI,Pb+ Pg = Pec. n conductor se disip prin efect electrocaloric (Pec) ireversibil(Joule)attputereaprimitpelaborne(Pb),cticeacedatdesursa de energie (Pg); b : U= E +RI,Pb= Pg+Pec. Puterea transmisPbse pierde n parte prin efect electrocaloric (Pec) ireversibil, restul este primit de sursa de energiecareonmagazineazsubformaenergieisalespecifice;c:E=U+RI,Pg= Pb+Pec.Sursadeenergiecedeazputerenexterior,dincareoparteserestituie conductorului, transformat ireversibil n cldur, prin efect electrocaloric. Aadar,energiaelectricschimbatdesursprinbornentr-un interval de timp (t,t + t) este W =Pb t. Energia electric este pozitiv (W > 0) cnd este efectiv cedat de surs i negativ (W < 0) cnd este primit de surs. n ce privete intensitatea curentului Iprinsurs,aceastadepindedeelementeledecircuitconectatela bornele sale, denumite i elemente de structur. PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 28 1.1.3. Elemente de structur a circuitelor electrice Reprezentrilegraficealecircuitelorelectricepoartdenumireade schemeelectriceechivalente.Aiciamdorisaccentum:schema echivalentaunuicircuitelectricesteunfragmentgraficcare,cu un anumit grad de exactitate reflect circuitul real; acesta din urm este(saupoatefi)montat,schemansnumaidesenat!Aadar, expresia uzual ...s montm schema... este complet absurd! Schemaaratmodulncareseinterconecteazntr-uncircuit elementele componente ale acestuia, adic rezistoarele i sursele de energie electric. Un exemplu de schem echivalent este prezentat n figura 1.10. nceleceurmeazsedefinesc termeniiindispensabilidescrierii complete a structurii unui circuit electric: born,extremitateaunuiele-ment al circuitului; nod,borncomununuinu-mr de cel puin trei elemente de circuit; Fig. 1.10. Exemplu de schem elec- tric a unui circuit de c.c. latur, grup de elemente de circuit legate direct (n serie, fr ra-mificri) ntre dou noduri ale circuitului; bucl, succesiune continu de laturi ale circuitului, ce formeaz un contur nchis; ochi, bucl ce nu conine laturi interioare; cale, succesiune continu de laturi ale circuitului, ce leag dou borne oarecare (de obicei noduri). Revenind la schema din figura 1.10 se recunosc: borne nu sunt; noduri a, b, c, d, e, f ; laturi (1)- (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10)- (11); bucle (1)- (2)- (3)- (7), (7)- (8)- (5)- (6)- (10) - (11), etc.; Valentin GUU 29 ci ntre nodurile a i b , de exemplu: (4), (3)- (8)- (5), etc. Unroldeosebitndefinireastructuriiunuicircuitelectricjoaci conceptuldesistemdebuclefundamentale;acestaesteun sistemdebucleindependente,cenusepotdeduceuneledin celelalteicareconintoatelaturilecircuitului.Alegereabuclelor independentealeunuicircuitpoatesdifere,darnumrulloreste ntotdeauna acelai pentru un circuit dat. n literatura de limb rus este utilizat nc un termen de descriere a schemeicircuituluielectric,nopiniaautoruluiimportant:arbore deschemosuccesiunedelaturi,careleagtoatenodurile schemei fr a crea un contur nchis (o bucl). n cazul schemei din figura1.10exempludearborepoatefi:(7)-(3)-(8)-(5)-(9)etc. Oricelaturadugatlaarborecreazobuclfundamental(i independent). O latur de circuit se numete activ sau pasiv dup cum conine saunusursedeenergieelectric;corespunztor,uncircuitvafi activsaupasiv,dacconinesursedeenergiesau,respectiv numai elemente (laturi) pasive. Fig.1.11. Pasivizarea surselor de energie electric. PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 30 Este utilizat i noiunea de pasivizare a circuitului ndeprtarea din circuit a surselor de energie electricfr a modifica rezistena laturiloracestuia. Pasivizareasurselordeenergie esteilustrat n figura1.11.Procedurapasivizriiestesuficientdeclarinu necesit explicaii suplimentare. Suntdenumitebornedeaccessaupoliacelebornealecircuitului electric, prin care acesta poate fi legat cu alte circuite; un circuit cu un numr oarecare de borne de acces se numetemultipol. n cazul c are numai dou borne de acces se numete dipol. Circuitulelectricsenumetecompletdacnuarebornedeacces cu exteriorul. Dac la un astfel de circuit cu l se noteaz numrul de laturi, cun numrul de noduri i cu b numrul de bucle funda-mentale(independente),conformteoremeiluiEulersepoate demonstra c ntre aceste mrimi exist relaia urmtoare: b = l n + 1 .(1.7) 1.2.TEOREMELE (LEGILE) LUI KIRCHHOFF 1.2.1. Prima teorem a lui Kirchhoff Vom considera o suprafa nchis ( ) trasat astfel nct s nchid un singur nod (figura 1.12) al unui circuit. Fie I1, I2i I3 intensit- Fig. 1.12. Fig. 1.13. ile curenilor prin conductoarele care se ramific din nodul respec-tiv. Pentru suprafaa n conformitate cu legea conservrii sarcinii se poate scrie: I =I1 + I2 I3

Valentin GUU 31 i q = 0 , ceeacesemnificcsarcinaelectricexistentpesuprafeele conductoarelor parcurse de curent continuu este invariabil n timp. nlocuind n enunul legii I = q / t , obinem: I1 + I2 I3 = 0. (1.8) Relaia(1.8)exprimprimateorem(lege)aluiKirchhoff referitoare la nodul considerat, care, generalizat se enun astfel: sumaal ge br i c aintesitilorcurenilordinlaturilecese ramificdintr-unnodalunuicircuitdecurentcontinuueste nul N Ik =0 .(1.9) k = 1 Astfel, dup convenia adoptat n formularea legii conservrii sar-cinii,intensitilecurenilorcarepleacdinnodseiaucusemnul plus (+), iar cele ale curenilor ce vin n nod cu semnul minus (). Exemplu.Dinnodul(a)aluneireele(circuit)dec.c.seramificpatru conductoare. tiind c I1 =1 A , I2 = 2 A , I3 = 5 A , s se determine curentul I4. Pentru I4 se alege un sens de referin arbitrar, ca n figura 1.13 i, aplicnd pri-ma teorem a lui Kirchhoffse obine: I1 + I2 I3 + I4 = 0 , de unde rezult: I4 = I3 (I1 + I2) = 5 3 = 2 A. Sensul curentului I4 coincide cu sensul de referin ales arbitrar; n caz contrar ar fi trebuit schimbat. 1.2.2. A doua teorem a lui Kirchhoff Pentruaclarificaesenaceleide-adouteoreme(lege)alui Kirchhoffsevaconsideraosuccesiunedelaturidintr-oreeade c.c.,careformeazunconturnchis icare, cum a fost specificatPARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 32 maisuspoartdenumireadeochi(buclcenuconinelaturi interioare).Seadmitedeasemeneacsensuriledereferina curenilor din laturi coincid cu sensurile de referin ale tensiunilor electromotoare (t.e.m.), precum este prezentat n figura 1.14. Bucla nchis se va parcurge n direcia acului ceasornicului (indicat cu o sgeat). Considernd tensiunile de la bornele laturilor cu sensurile dereferindinfigur,potfiscriseurmtoareleecuaiipentru acestetensiuni(nconformitatecuteoremapotenialuluielectric staionar, [1]): U1 + E1 =R1 I1 U2 + E2 =R2 I2 U3 + E3 =R3 I3 (1.10) U4 + E4 =R4 I4 Fig. 1.14. Relaiile de legtur ntre tensiunile la bornele laturilor i potenia-lele bornelor se vor scrie astfel: U1=Va Vb U2 =Vc Vb U3 =Vc Vd (1.11) U4=Vd Va nmulindcu(1)relaiaU2(sensultensiuniiesteinverssensului parcurgerii buclei nchise) i adunnd parte cu parte, se obine: U1 U2 + U3 + U4= Va Vb Vc + Vb + Vc Vd + Vd Va = 0, sau U1 U2 + U3 + U4= 0 .(1.12) Procednd n mod analog cu sistemul (1.10) i innd cont de rezul- Valentin GUU 33 tatul stabilit prin (1.12), se obine: E1 E2 + E3 + E4=R1 I1 R2 I2 + R3 I3 + R4 I4 .(1.13) Aufost obinuteastfeldouecuaii(1.12)i(1.13)i,decidou formulri (diferite) pentru teorema a doua a lui Kirchhoff, care sunt echivalentenumaipentrucircuitelecuelementeliniaredecurent. Pentru teorema a doua Kirchhoff sunt valabile dou enunuri: ntr-un ochi fr de surse t.e.m. suma algebric a tensiunilor la bornele laturilor ce-l alctuiesc este nul : N Uk =0 . (1.14) k = 1 ntr-obuclnchis(ochi)sumaalgebricacderilorde tensiuneperezistoarelelaturiloresteegalcusumaalgebrica t.e.m. alesurselor din laturile acesteia :

N M Ik Rk = Ek. (1.15)

k = 1 k = 1 Sumeledemaisussuntalgebrice,dincauzaadoptriiarbitrarea sensuluincareseparcurgeochiul;tensiunilelabornelelaturilor careausensopusceluialespeochiintervinnsuma(1.15)cu semnul.Regularmneaceeaiipentrut.e.m.icderilede tensiune pe rezistoarele din laturile ochiului dat. Exemplepe teorema a doua a lui Kirchhoff: S se aplice teorema a doua Kirchhoff pentru circuitul din figura alturat. Conform primului enun U1 U2+ U3 = 0, iar dup al doilea enun: E1 E2 + E3=R1 I1 R2 I2 + R3 I3. PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 34 Suntdate:U1=200V,U2=50Vi U2 = 400 V. Se cere U4 (sensul artat) Conform primului enunU1 + U2 U3 U4 = 0, de unde U4 = U3 (U1 + U2) = 400 250 == 150 V. nochiuldecircuitdinfigursunt date: R1 = 10 , R2 = 20 , R3=1 i curenii I1 = 5 A , I2 = 1 Ai I3= 10 A .S se determine t.e.m. E3 . Pentru rezolvare se scrie teorema doi Kirchhoff n forma enunlui al doilea: E3 = R1 I1 R2 I2 + R3 I3 = 50 20 ++10 = 40 V. 1.2.3. Rezolvarea circuitelor electrice liniare de c.c. prin metoda asocierii (transformrilor simple) Circuitelectricliniar,prindefiniiesenumeteacelcircuitn structura cruia intr numai rezistoare al cror material se comport liniardinpunctdevedereconductiv.Rezistivitateaacestor materiale fiind constant, definete fiecrui rezistor o valoare cons-tant,binedeterminatarezisteneisaleelectrice.ncontinuare vomluacunotincuanumiteregulideasociereasensurilorde referin iaelementelor circuitelor liniare de c.c. 1.Reguli de asociere a sensurilor de referin ale curentului i tensiunii la borne. Vomanaliza uncircuit liniar,alctuit dintr-osurs ideal de tensi-une care alimenteaz un rezistor liniar, reprezentat n figura 1.15, a. Deoarecetensiunealabornelesurseiesteaceeaicuceadela bornelerezistorului,adicU=EirespectivU=RIsepoate deduce curentul prin circuit: I = E / R . Sursa de energie E dezvolt o putere n circuit care este egal: Valentin GUU 35 Pg = E I. Aceastputereestecedatrezistorului,undeenergiasurseise transform n cldur prin efect Joule. Astfel,Pg = E I = R I 2 = PR . Fa de bornele A i B (figura 1.15, a), curentul prin borne i tensi-unea ntre borne au sensurile asociate n moduri diferite, dup cum nereferim:laparteadinstngaundeestesursadeenergie,saula cea din dreapta, unde se afl receptorul de energie. abc Fig. 1.15. ncazulunuicircuitdipolarsespunecsensuriletensiuniii curentului sunt asociate dup regula utilizat pentrugenera-tordacsensurilelorsuntcelepentrusursaelectricnregimde generator (figura 1.15, b); tensiunea i curentul au sensurile de referin asociate dup regula utilizat pentru receptoare dac sensurile lor sunt cele utilizate pentru un rezistor (figura 1.15, c).Este important de subliniat c precizarea regulei de asociere a sens-urilor de referin ale tensiunii i curentului la bornele unui element dipolar este obligatorie! Numai n raport cu aceste sensuri ausemnificaievalorilenumericealeacestormrimi,carepotfi negative sau pozitive. 2.Conexiunile rezistoarelor Este momentul s facem o remarc , considerm, important: cele expuse mai sus referitor la teoremele Kirchhoff, la fel ca i cele ce vor urma n continuare, inclusiv legea lui Ohm despre care nu s-aPARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 36 pomenit nc toate acestea se expun cu un singur scop care poate fi formulat ca metode de rezolvare a circuitelor liniare de c.c.. Unele dintre aceste metode fiind mai simple (metodele transform-rilorechivalente),altelemaicomplicate. Dincategoria transform-rilor echivalente simple fac parte i conexiunile rezistoarelor. Rezistenaechivalentaunuicircuitdipolar,liniaripasiveste raportul dintretensiuneaaplicat la borne i intensitatea curentului prin circuit (1.16). Relaia de calcul deci este urmtoarea: U R e= I Fig. 1.16. Fig. 1.17. a)Asocierea n serie nfigura1.17suntprezentatedourezistoareR1iR2legatn serie.Dinfigur esteevidentcU=U1 +U2, undeU1=R1 I,iar U2 = R2 Ii atunci tensiunea U care este egal cu U = Re I poate fi prezentat astfel: U = U1 + U2 ;Re I = R1 I + R2 I, de unde, simplificnd cu I ( 0) se obine Re = R1 + R2 .(1.16) 11 1 Dat fiind faptul c Re = ,R1 = i R2 =, se obine Ge G1 G2 111 = +, (1.17) GeG1G2 Valentin GUU 37 sau G1 G2 Ge =.(1.18) G1 + G2 G n caz c elementele sunt identice, atunci Re = 2R iar Ge = . 2 b)Asocierea n paralel S analizm acum situaia, cnd cele dou rezistoare sunt conectate nparalel.RezistenaechivalentResedetermin,punndu-se condiiacapentruaceeaitensiunentrebornecurentulprinborne nceledouvariante(figura1.18)sfieacelai;numaicu respectarea acestei condiii transformarea poate fi considerat echi-valent. Deci, curentul prinrezistena echivalent este I = U / Re i,nconformitatecuprimateore-m Kirchhoff se poate scrie: Ik = 0sauI = I1 + I2 , unde U U I1 =, I2 =. R1 R2

Fig. 1.18. nlocuindI1 i I2 i innd cont cI = U / Re , simplificnd cu U (0) vom obine: 1 11 = +,(1.19) ReR1R2 sauR1 R2 Re =.(1.20) R1 + R2 Pentru conductana echivalent n acest caz obinem, evident: Ge = G1 + G2 .(1.21) Pentru elemente identice Ge =2 G, iarRe =R / 2. PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 38 Relaiiledecalculalrezistenelorechivalentepotfigeneralizate pentrucazulncaresuntasociatenserie(figura1.19)sauparalel (figura 1.20) un numr n de rezistoare diferite. Utiliznd teorema a doua Kirchhoff, asemntor exerciiilor de mai sus, obinem: Re = R1 + R2 +R3+...+ Rn .(1.22) Fig. 1.19. Asocierea a n rezistoare n serie. Relaia (1.22) poate fi scris i sub alte forme:

.1==nkk eR R (1.23) sau

==nkk eG G1.1 1(1.24) n cazul elementelor identiceRe =n RiGe = G / n . Pentru aceleai elemente, legate n paralel prima teorem Kirchhoff a b Fig. 1.20. Dou variante de asociere a rezistenelor n paralel. se scrie: Valentin GUU 39 I = I1 + I2 +I3+...+ In , (1.25) unde UU I

=,Ik =,k = 1, 2, 3, ..., n ReRk Dacnrelaia(1.25)substituimcureniiimprimcuUambii termeni, obinem pentru asocierea n paralel a n rezistoare: 11 11 =+ +... +,(1.26) ReR1 R2 R2 sau mai compact

==nkk eR R1.1 1(1.27)

.1==nkk eG G(1.28) n cazul rezistoarelor identice,Re =R / n iar Ge=n G . La finalul acestui subparagraf am vrea s subliniem c conexiunile rezistoarelornseriesauparalelsuntorealitate,iardeterminarea rezisteneiechivalenteaunuisector(pri)decircuitceconine aceste conexiuni se face nu de dragul determinrii, ci pentru ca s seajunclaschemasimplificatiechivalentdinfigura1.16sau figura 1.18, n care cele trei mrimi I, Ui R sunt legate ntre ele prin legea lui Ohm, care poate fi formulat astfel: ntr-uncircuitnchiscurentulestedirectproporionalcut.e.m.i invers proporional rezistenei (echivalente) a circuitului. Legea lui Ohm, conform definiiei poate fi scris n felul urmtor: i eR REI+=, (1.29) PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 40 unde I i E sunt curentul i tensiunea electromotoare n circuit, res-pectiv;Rerezistenapriiexterioareacircuitului(echivalent);Ri rezistena intern a sursei de energie electric.Legea lui Ohm poate fi scris i altfel: E = I (Re + Ri) .(1.30) nexpresiile(1.29)i(1.30)curentulsemsoarnamperiA, t.e.m. n voli V, iar rezistena n ohmi . Rezistena total a circuitului este:Re + Ri = E / I. LegealuiOhmesteadevratnunumainraportcucircuituln ansamblu, ci i cu fiecare segment (latur) a lui aparte. Dac un seg-met de circuit nu conine surs de energie, atunci sarcinile electrice sedeplaseazprinacestsegmentdinpunctulcuunpotenialmai naltsprecelcu un potenialmaijos;sursadeenergieseconsum pentru susinerea acestei diferene de potenial ntre punctul (nodul) iniialicelfinalalsegmentului.Aceastdiferendepotenialse numete tensiune aplicat pe segment (latur). Deci, legea lui Ohm pentruunsegmentdecircuir(frsursdeenergie)sepoatescrie ca I = U / R , fiind U tensiunea aplicat iar R rezistena segmen-tului. Poate fi formulat legea lui Ohm astfel: Intensitateacurentuluiprintr-olaturacircuituluiesteegalcu tensiunea la bornele acestei laturi mprit la rezistena acesteia. Dinaceastdefiniieurmeazctensiunea(deseorisespune cdereadetensiune)labornelelaturiiesteegalcuprodusul intensitii curentului i rezistena ei: U= I R. Pentru un circuit nchis care conine sursa de energie E cu rezistena intern R i , cea echivalent R i curentul I , conform legii lui Ohm se poate scrie: E = I R i + I R = I R i+ U , undeIR=UcdereadetensiuneperezistenaR,adicn circuitul exterior sau, altfelspus labornelesurseideenergie (ageneratorului); I R iestecderea de tensiune pe rezistena intern a Valentin GUU 41 sursei de energie. S-atotvorbitmaisusdeintensitateacurentului,detensiunei cdereadetensiune;acestemrimialecircuitelordec.c.(inu numai) pot i de cele mai multe ori trebuie, s fie msurate. Deci, curentulncircuitsemsoarcuaparatulnumita mpe r me t r u,tensiunea cuvol t me t r ul . Pentru conectarea ampermetrului n circuitul curentului se produce o ruptur unde se i conecteaz (con- secutiv) ampermetrul (v. figura 1.21). Astfel prin aparat va trece tot Fig. 1.21. Schema conectriiampermetrului i voltmetrului. curentul msurat. Voltmetru arat cderea de tensi-unepe unsegmentdatalcircui-tului. Dac voltmetrul este cone-ctat la nceputul circuitului exte-rior, adic la polul pozitiv al ge-neratorului (sursa de energie), el vaartacdereadetensiunencircuitul exterior care va fi tot- odat i tensiunea la bornele sursei.Tensiunealabornelesurseideenergie(ageneratorului)esteegal cu diferena dintre t.e.m. i cderea de tensiune pe rezistena intern a acestei surse, adic U = E I R i . Dac rezistena circuitului exterior sursei se micoreaz, discrete i sumaR i +R,ceeaceducelacretereacurentuluiI.Aceastava majora cderea de tensiune n interiorul sursei de energie (I R i), dat fiind R i = const. Prin urmare, cu micorarea rezistenei R a circuitu-lui extern, tensiunea la bornele sursei de energie de asemenea scade. Dacacesteborneseinterconecteazcuunconductorrezistena cruia este practic nul, curentul n circuit va fi maximal i egal cuI = E / R i cea mai mare valoare posibil a curentului furnizat de sursa dat de energie. Regimul de funcionare cu rezistena circuitu-lui exterior R ~ 0 se numetes c ur t c i r c ui t . Pentru sursele de energie cu rezisten intern mic, cum sunt gene- ratoarele(mainile electrice),acumulatoareleacidiceacest regim PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 42 estefoartepericuloselpoatedistrugerespectivasurs.Scurtcir-cuitul poate aprea ca rezultat al deteriorrii izolaiei conductoarelor ce conecteaz sursa de energie cu consumatorul ei. Pentru a proteja echipamentele electrotehnice de scurtcircuit se utilizeaz tot felul de sigurane i dispozitive de protecie. Vomncheiaacestsubparagrafcuctevaexemplederezolvarea circuitelordec.c.prinmetodatransformrilorechivalentesimple, utiliznd teoremele lui Kirchhoff i legea lui Ohm. Exemple. Rezistoareledinfiguraalturatau valorile R1= 1 , R2 = 2 ,R3 = 6 . S secalculezerezistenaechivalenta circuitului. Schemaprezintoasocieremixt:R1i R2 n serie i mpreun n paralel cu R3. Rezistena echivalent va fi: (R1+R2) R3 Re = = 2 . R1+R2 +R3 Suntdate:R1=4,R2=3iR3 = 6 . S se determine Re. R2 R3 Re = R1 + =6 . R2 + R3 3. Divizor de tensiune i curent a)Divizorul de tensiune Acestaprezintuncircuitelectricalctuitdindourezistoaren serie, pentru a obine o tensiune mai mic dect tensiunea de la bor-nele circuitului. Un astfel de circuit este reprezentat n figura 1.22. Valentin GUU 43 Prin divizor trece un curent egal cu Fig. 1.22.Fig.1.23.

U I = , R1+R2 iar tensiunea care prezint interes, n cazul din figura 1.22 U2 este U U2 = I R2=R2 , R1+R2 sau ntr-o form general acceptat R2 U2 = U .(1.31) R1+R2 Exemplu. S se prezinte grafic un dispozitiv care s permit obinerea unei tensiuni, ajustabile ntre 0 i o valoare maxim U. n acest scop poate fi utilizat un reostat cu un singur sul de rezisten R , prev-zut cu un cursor mobil; simbolul grafic al dispozitivului este dat n figura 1.23. Tensiunea dintre cursor i borna 0, potenialul creea se presupune egal cu zero va fi:x Ux = U , R unde x este rezistena reostatului ntre cursor i borna 0 (de mas); la deplasa- PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 44 rea cursorului de jos n sus, tensiunea Ux va crete de la 0 la U. Aspectul unui reostat practic, cu un singur sul este prezentat n figura 1.24. Fig. 1.24. Reostat dispozitiv cu rezisten variabil: 1 cursorul; 2 contact imobil . b)Divizorul de curent Esteuncircuitformatdindourezistoarenparalel,plasatntr-o laturaunuicircuitelectric,pentruaobineprinunuldintre elemente un curent mai mic dect curentul principal (I, figura 1.25). Fig. 1.25. Schema unui divizor de curent. Cele dou elemente asociate n paralel dau o rezisten echivalent caresedeterminprinrelaia(1.20),iartensiuneacomunla borneleloresteU=IRe.Cureniiprinfiecareelementaldivizo-rului pot fi calculai astfel: R2 I1 = I ,(1.32) R1 + R2 R1 I2 = I .(1.33) R1 + R2 Valentin GUU 45 Exemple. UngalvanometruGcurezistenaproprie(in-tern)de9,9indic1mA(10-3A)pedivizi-une.Scalaaparatuluiposed50div.Ssede-termine rezistena untului (o rezisten conecta-tlaborneleG)dacsedoretecaaparetuls poat fi utilizat pentru a msura cureni de pn la 1 A (v.figura din dreapta).Din formula divizorului de curent Rs Ig = I Rg+ Rs se deduce Rg: Rg Rs =, nA 1 undenA=I/Igesteraportulncaresedemultipliccurentulpringalvano-metru n prezena untului.Deoarece Ig = 50 1 10 3 = 5 10 2 A, rezultraportulnAcare este: 1 10 2 nA = = = 20 ,5 10 25 prin urmare rezistena untului va fi: Rg 9, 9 Rs = ==0,521 . nA 120 1 Ce rezisten trebuie conectat n serie cu ungalvanometrucuRg=9,9pentrua dispunedeunvoltmetrucapabilsms-oaretensiunipnla30V?(v.schema) (la captul scalei curentul este de 50 mA). Atuncicndaculaparatuluideviazlacaptulscalei,tensiunealabornele galvanometrului este egal cu: U = 50 10 3 9,9 = 0,495V. innd cont de formula divizorului de tensiune, pentru cazul dat se poate scrie: Rg Ug=U , Rg +R ad PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 46 de unde se obine rezistena adiional cutat, R ad : R ad = Rg (nV 1), undenV=U/Ugesteraportuldedemultiplicarealdivizoruluidetensiune format cu Rg i R ad ; pentru nV = 30 / 0,495 = 60,61 rezult R ad = Rg (nV 1) =9,9 (60,61 1) = 590,1 . Rezistena voltmetrului ce msoar tensiunea U poate fi calculat ca: R V = Rg + R ad = 9,9 + 590,1 = 600 , sau , n conformitate cu legea lui Ohm U30 RV===600 Ig 5 10 2 acelai rezultat, ceea ce este firesc s fie. 4.Sursa real de tensiune Anterior a fost considerat cazul sursei ideale de tensiune i curent. Sursarealdetensiuneesteungeneratordetensiune,careare rezistenintern(R i 0).Unastfeldegeneratorfuncionndn sarcin, se caracterizeaz prin ecuaia: uAB =e i R g , sau cu notaiile acceptate pentru circuitele de c.c. U = E I R i. (1.34) n (1.34) R i= Rgeste rezistena intern a generatorului de tensiune. Schemaechivalentcuelementeideale,careestedescrisde aceast ecuaie poate fi obinut din teorema a doua a lui Kirchhoff (figura 1.26). Spre deosebire de sursa ideal de tensiune pentru care tensiunea U nu depinde de curentul I, n cazul sursei reale tensiunea la borne scade cnd curentul crete (relaia 1.34 i figura 1.26, b). Graficuldinfigura1.26,bconinedoupunctedistincte,caren practic determin dou regimuri de funcionare a sursei: Valentin GUU 47 Fig. 1.26. Surs real de tensiune: a schema echivalent; b caracteristica U I. funcionarea n gol(I = 0)

U = U0 = E ; I = 0 funcionarea n scurtcircuit (U = 0) i n acest caz

E U I = Isc == . U = 0RiRi Demenionatcdacregimuldefuncionarengolnueste rezonabildinconsiderentele...bunuluisim(pentrusursnseste cel mai favorabil), regimul de funcionare n scurtcircuiteste inad-misibil (n subparagrafele precedente a fost menionat cacest caz defuncionareesteunaccidentcareseterminlamentabilpentru sursa de tensiune respectiv se distruge!). Exemple. 1. Sursa real de tensiune are U0= 12 V i I0 = 120 A . Care vor fi elementele schemei ideale? Elementele ideale vor fi: U012 E =U0= 12 V; Ri== =0,1 . I0 120 PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 48 2.Secereschemaechivalentauneisursereale,tensiuneademersngoli intensitatea curentului de scurtcircuit, dac sursa debiteaz I1 = 10 A la U1 = 100 V i I2 = 10 A la U2 = 50 V. Din relaiile U1 = E Ri I1i U2 = E Ri I2 se obine Ri: U1 U2 100 50 Ri= ==5 . I2 I1 20 10Tensiunea de mers n gol este: U0= E = U1 + Ri I1 = 100 + 5 10 = 150 V, iar curentul de scurtcircuit E 150 Isc = == 30 A. Ri 5 5.Sursa real de curent Dac ecuaia (1.34) se mparte la rezistena Ri , se obine: I I IRERUsci i = =, a b c Fig.1.27. Surs real de curent: a schema echivalent; c caracteristica I U. sau I I IRUIiisc+ = + =.(1.35) inndcontderelaia(1.35), nconformitatecu legea nti a lui Valentin GUU 49 Kirchhoff se poate prezenta grafic schema echivalent a sursei reale de curent, care este dat n figura 1.27, a. Elementul ideal care debi- teazcurentulIscsenumetesursidealdecurent(figura1.27, b); pentru o astfel de sursR i = (Ii = 0) i I = Isc pentru orice U (figura1.27,c).Deregul,curentulIscsemainoteazicuIg (curentul de generator).I Isc U0 0U Fig. 1.28. Astfel, sursa real de curenteste ansamblul alctuit din sur- sa ideal de curent n pa-ralelcurezistenainter-n a generatorului. Caracteristica curent-tensiuneasursei reale de curent este reprezentat n fig-ura 1.28, deundesevedeclarccu creterea tensiunii intensitatea curentului debitat de surs scade p-n la valoarea I = 0, cnd U = U0 = Isc R i . Exemple.1.Ssedeterminesursaechivalentrealdecurent,dacgeneratorulare t.e.m. E = 100 V i o rezisten intern R i= 0,5 .Curentul sursei reale, rezisten intern a creea este R i= 0,5 se calculeaz srfel: E 100 Isc = = =200 A. R i 0,5 2. Generatorul are U0 = 200 ViIsc = 200 A ; s se determine sursa real echivalent de curent. Trebuie de calculat deci, rezistena intern a sursei, R i: U0200 Ig = Isc = 200 A;R i = = = 1 . Ig 200 Finaliznd acest subparagraf , putem rezuma n felul urmtor rezul-tatele obinute mai sus: PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 50 Oricegeneratorelectric,cutensiuneade mers n golU0 i curentul de scurt circuit Isc poatefireprezentatfieprintr-osurs realdetensiunealecreielementeideale se determin prin U0 E = U0 i R i = R g=(figura 1.29, a), Isc Fig.1.29. Surse reale de tensiune (a) i curent (b) fie printr-o surs real de curent ale creielemente ideale pot fi calculate astfel:

U0 I0 = Isc iR i = (figura 1.29, b) . Isc 6.Asocierea surselor ideale a)Asocierea surselor de tensiune Dac dou surseideale de tensiune sunt conectate (asociate) n se-rie, atunci n montaj adiionalacesteaadmit o sursechivalent de Fig. 1.30. Asocierea surselor de tensiune. tensiune cut.e.m. Ee = E1 + E2 (figura 1.30, a). Valentin GUU 51 Dac ns sursele sunt n montaj diferenial (sunt n opoziie), t.e.m.a sursei echivalente va fi Ee = E1 E2 (figura 1.30, b). Prin urmare: un sistem de surse ideale de tensiune asociate n serie admit o surs echivalentcut.e.m.egalcusumaalgebricat.e.m.asurselor componente: = =nkeE1Ek(1.36) Obs e r va i e :dousurseidealedetensiunepotficonectaten paralel numai atunci cnd tensiunile lor electromotoare sunt egale, adic E1 = E2 = E = Ee t.e.m.. a sursei echivalente. b)Asocierea surselor de curent Dac dou surseideale de curent sunt conectate (asociate) n para- lel, acestea admit o surs echivalent cu curentul Ige= Ig1+Ig2 (figura 1.31, a). Dac sursele sunt n montaj diferenial (n opoziie), atunci Fig. 1.31. Asocierea surselor de curent. curentul sursei echivalente va fi: Ige = Ig2 I g1 (figura 1.31, b). Aa dar: un sistem de surse ideale de curent asociate n paralel ad-mitosursdecurentechivalent,avndcurentulegalcusuma algebric a curenilor surselor componente: = =nkgk geI I1.(1.37) Obs e r va i e : dou surse ideale de curent pot fi conectate n serie numai dac au curenii egali, adic Ig1= Ig2= Ig. Curentul sursei de curent, echivalente cu sursele n serie este curentul lor comun Ige=Ig

PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 52 7.Asocierea surselor reale a)Asocierea n paralel a surselor de tensiune Presupunemdatedousursedetensiuneasociatenparalel,aa cum se vede n figura 1.32, a ; trebuie de determinat alementeleEe i Re ale unei surse echivalente. Aceasta se face suficient de simplu, ab Fig. 1.32. Transformri echivalente. printransformareasurselordetensiunensursedecurent(figura 1.32, b). Cele dou surse ideale de curentE1 / R1 = E1G1i E2 / R2 = E2G2 pot fi nlocuite cu o surs unic, cu curentul sumar E1G1 + E2G2 = = Ige . Rezistena intern a sursei de curent i conductana ei rezult din asocierea n paralel a celor dou rezistene (conductane): R1 R2 Re = ,(1.38) R1 + R2 sau Ge= G1 + G2 . Revenindlasursadetensiunecarevaavearezistenainterni t.e.m. echivalent (figura 1.32, a): .1 11 112 122112 12 2 1 1R RREREG GG E G EIGEeee++=++= =(1.39) Valentin GUU 53 Aadar:tensiuneaelectromotoareasurseiechivalenteeste valoareamedieponderatat.e.m.alesurselorcomponente, ponderelefiindconductanele;rezistenainternasurseiechiva-lentese calculeaz ca i cumrezistenele surselor ar fi n paralel. Exemple. 1. S se determine elementele sursei de tensiune echivalente cu dou surse ide-ntice n paralel. n conformitate cu relaiile stabilite mai sus (1.39) i (1.38), se poate scrie: EGEGEg= =22 i2RIe =. 2.ncircuituldinfiguraalturatsepoate consideracsuntasociatenparaleldou surse,unacut.e.m.nul,E2=0.Sse determineelementelesurseiechivalentede tensiune. Aplicnd relaia (1.39), cu condiia cE2 = 0 obinem: 2 1112 12 111R RRER RR RREEe+=+ =. Rezistena intern este egal: R1 R2 Re =. R1 + R2 b)Asocierea n serie a surselor de tensiune Dac n serie sunt conectate dou surse de tensiune (figura 1.33), se admite prezentarea lor printr-o surs echivalentcu Ee i Re care sepot calcula cu condiia: pentru aceeai tensiune la borne, acestea s fie traversate de acelai curent. Pentru schemele din figura 1.33 se pot scrie relaiile evidente: PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 54 ( )I R R E E U2 1 2 1+ + = i U = Ee Re I, din care se obine (identificnd) Fig. 1.33. Asocierea n seriea surselor de tensiune. termenii: Ee = E1 + E2

i Re = R1 + R2 . Dac n serie sunt asociate n surse, relaiile respective sunt:

+ =nkk eE E1.(1.40)

.1+=nkk eR R

(1.41) n cazul a n surse identice: Ee = n E iRe = n R . c)Asocierea n paralel a surselor de curent Sistemulformatdinnsurserealedecurentconectatenparalel poate fi interpretat ca fiind alctuit din n surse ideale de curant i n rezistoare n paralel; elementele sursei echivalente rezult:

= =nkgk geI I1;(1.43) ==nkk eG G1. (1.44) n cazul a n surse identice: Ige = n IgiGe = n G . Valentin GUU 55 Exemplu. Sseaflesursadetensiuneechiva-lentcusistemuldesursedinfigura alturat. Sursadetensiunesetransformn surs de curent, apoi se aplic regulile de asociere n paralel a surselor de cu-rent. Astfel, se obine: Ige = E / R + Ig = 10/1 + 6 = 16 A; Re = (1 0,5) / (1 +0,5) = 0,5 / 1,5 = 1 / 3 . Sursa de tensiune echivalent (v. figura) deine elementele: Ee = Ige Re = 16 1 / 3 = 5,33 V; Re =0,33 . 1.3.REZOLVAREA CIRCUITELORELECTRICE LINIARE DE C.C. CU AJUTORUL DIAGRAMELOR ORIENTATE 1.3.1. Diagrame orientate de cureni i tensiuni ntr-uncircuitelectrictensiuniledelabornelelaturiloricurenii prin laturi satisfac teoremele lui Kirchhoff. Reamintim aici c prima teoremKirchhoffsereferlacureniilaturilorcareseramific dintr-unnod;adouateoremlatensiunilelabornelelaturilorce alctuiesc un ochi. n continuare vom urmrimodul de aplicare a teoremelor lui Kirchhoff la rezolvarea i analiza circuitelor de c.c. 1.Aplicareaprimei teoreme a lui Kirchhoff nconformitatecuprimateoremaluiKirchhoff(1.2),suma algebric a curenilor din laturile care se ramific dintr-un nod este nul: 0 = eB kkI,(1.45) unde cu B se noteaz mulimea indicilor laturilor care se ramific n PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 56 nodul (b). Exemple. 1.ntr-uncircuitcu3nodurii6laturi(N= 3,L=6)secunoscvalorilecureniloraa cum se indic n figura dat. S se verifice 1ateorem a lui Kirchhoff. Aceasta se poate face, aplicnd teorema pentru fiecare nodaparte: nodul(a)8 + 4 1 11 = 0; (b)7 + 5 8 4 = 0; (c)11 + 1 7 5 = 0, ceeacedovedetecintensitilecurenilorsuntndeplin concordancuenunulprimeiteoremeKirchhoff.Estemomentul s facemo r e ma r c : pentru a verifica prima teorem Kirchhoff nu este necesar s se prezinte circuitul cu toate elementele sale; este suficientssefigurezedoarnodurileilaturilecircuitului,cu sensurilecurenilorfiguraipelaturi.Acestmoddeprezentare simplificatacircuituluielectricpoartdenumireadiagram orientatdecurent.nteoriacircuitelor(inunumai)astfelde diagrame se mai numesc i graf orientat. 2.Estedatdiagramadecurenidin figuraaiunelevaloriconcreteale curenilor. S se determine curenii ce nu sunt cunoscui. Sescriuecuaiilenodurilor,conform teoremei 1 Kirchhoff: nodul (a): I1 + 2 3 1 = 0; (b): I2 + 1+ 1 I1 2 = 0; (c): I3 + 3 + 1 = 0. Din aceste relaii se determin: I1 + 2 4 = 0, I1 = 2 A; I2 + 1 + 1 4 = 0, I2 = 2 A; I3 + 4 = 0, I3 = 4 A. a b Curentul I3 rezult negativ, aceasta semnificnd c direcia sa iniial (diagrama Valentin GUU 57 sau graful a ) nu este adevrat, sensul real fiindopuscelui de referin (ales arbitrar).nfigurabestedatdiagramacompletacurenilor,exprimain amperi. Pentrucalculareaunuicurenttrebuiessecunoasc,careeste numruldeecuaiiindependenteceseobinprinaplicareaprimei teoreme Kirchhoff. Rspunsul la aceast ntrebare poate fi gsit din analiza circuitelor simple din figura 1.34, a i b. a b Fig. 1.34. Diagrame simple de cureni. Precum simplu se verific, pentru circuitul cu dou noduri din figu-ra 1.34, an ambele noduri ecuaia 1 Kirchhoff este una i aceeai: I2 I1 I3 = 0i I2 + I1 + I3 = 0. ncazulcircuituluicutreinoduri(figura1.34,b)potfiscrisetrei ecuaii: nodul (a):I2 + I1 + I3 = 0; (b):I4+ I5 I2I1 = 0; (c): I4 I5 I3 = 0. Sunt scrise trei ecuaii, dar numai dou dintre acestea sunt indepen-dente;deexemplu,ecuaiapentrunodul(c)poatefiobinutdin primeledou,nmulitecu(1)iadunate.Sepoatetrageocon-cluzie general:pentru un circuit electric cu N noduri pot fi scrise N 1 ecuaii independente, aplicnd teorema nti a lui Kirchhoff. Astfel

0 = eB kkI,(1.46) PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 58 unde B este mulimea de noduri a circuitului (b = 1, 2, 3,..., N 1). 2.Aplicareateoremei a doua a lui Kirchhoff Se poate de reamintit enunul teoremei 2 a lui Kirchhoff sub prima formaacestuia:ntr-uncircuitnchis(ochi)frt.e.m.suma algebric a cderilor de tensiune este nul:

0 = eP kkU,(1.47) unde P este mulimea de indici ale laturilor ce intr n componena ochiului.Semnul+nsumademaisuscorespundecazuluicnd sensul de referin al tensiunii laturii coincide cu direcia n care se parcurge ochiul; n caz contrar, semnul tensiunii este . Exemple. 1. S se verifice teorema 2 Kirchhoff pentru ochiurile specificate pe diagrama detensiunidinfiguradindreapta.Tensiunilepediagramsuntindicaten voli. Pentruochiurile(1),(2)i(3)sepotscrie urmtoarele ecuaii cunform (1.47): ochiul (1):8 + 17 25= 0; (2): 15 + 10 25 = 0; (3): 17 10 7 = 0. Aadar, pentruaplicareaceleideadoua teoreme a lui Kirchhoff conform primului enun, nu este necesar s se figureze circuitul electric n detaliu; este suficient s se prezinte numai nodurile i laturi-le cu sensul tensiunilor la borne (v. figura). Asemenea prezentare, ca i n cazul primeiteoremealuiKirchhoff,poartdenumireadediagramorientat(de tensiuni) sau graf orientat .2.EstedatuncircuitcuL=6laturiiN=4noduri(v.figuraadiacent)se cunosctreitensiunilaborne.Ssedeterminetensiunilenecunoscuteisse prezinte diagrama orientat de tensiuni. Din figura a necunoscute sunt tensiunile U1, U2i U3. Din ochiul (1) rezult: U1+ 10 40 = 0;U1 = 30 V. Valentin GUU 59 Din ochiul (2) obinem: U2 10 + 20 = 0;U2 = 10 V. a b Din ochiul (3) obinem:U3 U2 U1= 0; U3 = 20 V. Diagrama orientat a tensiunilor este prezentat n figura b. Darcteecuaii(independente)potfiscriseconformteoremei2 Kirchhoff ?Numrulecuaiilorindependentedetensiunipeochiesteegal cu numrul ochiurilori nde pe nde nt e .Oc hi ul seconsideri nde pe nde nt nraportcualteochiuri dacnuesteconstituitdinlaturileacestora.Odefiniieimai simpl:ochiulesteindependentdacconinecelpuinolatur nou. Drept exemplu, n figura 1.35 ochiurile formate din laturile 1, Fig. 1.35. 3,6;2,4,6i3,4,5suntindependente fiindctoateaucteolatur(celpuin) pecarenuoaucelelalte.Ochiulns format din laturile 1, 4 i 5 nu este inde-pendent din simplumotiv cnu conine nici o latur care nu ar aparine celor trei ochiuri. Aadar, dac numrul total de laturi ale unui circuit esteL iarnumrultotaldenoduriN,nconformitatecuteoremalui Euler, numrul de ochiuri independente este: M= L (N 1).(1.48) PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 60 Aplicnd teorema a doua a lui Kirchhoffntr-un circuit cu L laturi i N noduri, se obine un sistem de ecuaii independenteM= L N +1 de tensiuni pe ochiuri: 0 = eP mmU , undep = 1, 2, ..., M. n continuare vom demonstra utilizarea teoremei 2 Kirchhoffn cea de-adouaformulare,enunulcreeaeste:nte-unochiindepen-dent de circuit suma algebric a t.e.m. este egal cu suma algebric a cderilor de tensiune. S ne clarificm, despre ce este vorba.Foarte frecvent circuitele de c.c. sunt constituite doar numai din re-zistoare i surse de tensiune. Dup echivalarea elementelor reale de circuit cu elemente ideale, o laturk a circuitului poate fi compus doarnumaidintr-unrezistoridealiosursidealdetensiune, legate n serie. n aa caz se poate scrie:

= eP mmEe P mm mR I(p = 1, 2, ..., M).(1.49) Din relaia (1.49) urmeaz c la aplicarea teoremei 2 Kirchhoffsub aceast form, ochiul de reea se parcurge de dou ori: o dat pentru t.e.m. i a doua pentru cderile de tensiune pe rezistoare. n privina semnelor +, : semnul unei t.e.m. este + dac sensul eicoincidecusensulalespeochi,ncazcontrareste;sensul unei cderi de temsiuneIm Rm este+ dac sensul curentului prin rezistor coincide cu sensul ales pe ochi,n caz contrar este . S vedem toate acestea, cum se spune n lucru. Exemple. 1. S se deduc ecuaiile, satisfcute de intensitile curenilor prin cele trei la-turi ale circuitului de c.c.din figura 1.36.ncircuitobservmdounoduriN=2itreilaturiL=3.Prinurmare,con-form teoremei 1 Kirchhoff (sau mai laconic Kirchhoff 1) pot fi scrise N 1 = 2 1 = 1 ecuaii; conform Kirchhoff 2 se pot scrieM= L N + 1 = 2 ecuaii. Aceste ecuaii sunt: Valentin GUU 61 Fig. 1.36. pentrunodul(a)I1 + I2 I3 = 0; pentruochiul(1)E1 E2 = I1R1 I2R2; (2)E2+ E3 = I2R2+ I3R3. Semnultermenilornparteastngi dreapt a ecuaiilor scrise conform teore- mei Kirchhoff-2 se determin aa cum a fost menionat n ultimul alineat. Observaie. Dac circuitul liniar conine i surse de curent, atunci pentru ochi-urile cu aceste surse se aplic forma general a teoremei Kirchhoff-2, n care se nlocuiescnfunciedecureninumaitensiunilelabornelerezistoarelor,iar tensiunilelabornelesurselordecurentsepstreazcanecunoscute(v.exem-plul ce urmeaz).2.Sseobinecuaiilecircuituluidinfigura1.37aplicnd,unde-iposibil forma particular a teoremei Kirchhoff-2. nschemapropusiN=3,deci conformKirchhoff-1potfiscrise dou ecuaii: (a) I1 = I3 + I4 + Ig ; (b) I2 + I3 + I5 + Ig = 0; necuaiiledemaisuss-anlocuit I6 cu Ig, undeestecurentuldebitat de sursaideal de curent. Fig. 1.37. Conform teoremei Kirchhoff-2 pot fi scrise 5 3 + 1= 3 ecuaii i anume: (1)E1 = I1R1+ I4R4; (2) 0=I3R3 I5R5 I4R4; (3)E2 = I5R5 I2R2 . Ultima ecuaie pentru ochiul (4) ce conine sursa ideal de curent se poate scrie pa baza formei generale Kirchhoff-2: (4) I3R3 Ug = 0. PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 62 1.3.2.Rezolvarea circuitelor cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff Procesulderezolvareacircuitelorelectricedec.c.iobinerea valorilor numerice ale intensitilor curenilor i tensiunilor cuprin-de trei etape: stabilirea i scrierea sistemului de ecuaii al circuitului; soluionareasistemuluideecuaiiideterminareanecunos-cutelor (cureni i tensiuni); verificarea corectitudinii calculelor. Primaetapncepecurspunsullantrebarea:cteecuaiitrebuie de scris? Rspunsul este evident: exact attea ecuaii, cte necunos-cute sunt prezente. A doua ntrebare fireasc: cte ecuaii se scriu n conformitatecuteoremantiictecuteoremaadouaalui Kirchhoff ? Rspunsul este: dac circuitul liniar de c.c. conine L la-turi i N noduri, atunci: conform teoremei 1 Kirchhoff se scriuN 1 ecuaii pentru curenii laturilor ce au acces la nodul n (n = 1, 2, ..., N 1); conform teoremei 2 Kirchhoff se scriu L ( N 1)=Mecu-aii ntre cele L tensiuni la bornele laturilor. Aadar, sistemul de ecuaii este: 0 = eA kkI, (a = 1, 2, ..., (N 1)) (1.50) conform teoremei 1 Kirchhoffi = eP mmEe P mm mR I(p = 1, 2, ..., M). (1.51) Ecuaiile (1.50) i (1.51) includ i situaiile particulare n care latura m este alctuit numai dintr-un rezistor (Em = 0 ) sau numai dintr-o surs t.e.m. (Rm = 0). Dac circuitul are i surse de curent, atunci: Valentin GUU 63 sursa de curent determin curentul prin latura respectiv (acesta numaiestenecunoscut),numrulnecunoscutelorsereducecuo unitatelacureni,daradaugonounecunoscutcareeste tensiunea la bornele sursei de curent; numruldeochiuripecaresepotescrieadouateorem Kirchhoffsereducedar,pentruochiurilermasesepoateaplica teorema2Kirchhofnformageneral.Prinurmare,i n acest caz rezultunsistemdeLecuaiicuLnecunoscutecaresunttoate tensiunelelabornelegeneratoarelordecurentitoateintensitile curenilor prin laturile care nu conin sur-se de curent. n continuare, vom urmri cele expuse mai sus prin analiza a dou circuite de c.c. Exemple. 1. S se determine intensitile curenilor debitai de cele dou surse det.e.m. ale circuitului din figura 1.38, unde E1 = 19 V, E2 = 7 V, R1 = 2 , R2 = 1 , R3 = 3 . Fig. 1.38. Etapa 1. ncircuitsuntN=2noduriiL=3 laturi. Este clar c ecuaii trebuie s se stabileasc: (N 1) + L (N 1) = L; n cazul de fa : 2 1 + 3 2 + 1 = 3. Conform teoremei 1 Kirchhoff : N 1 = 2 1 = 1ecuaii;conform teoremei 2 Kirchhoff : L (N 1) = 3 2 + 1 = 2 ecuaii. Astfel, se obin trei ecuaii: nodul (a) I1 + I2 = I3 ; ochiul (1)E1 = I1R1+ I3R3; E2 = I3R3+ I2R2. nlocuind cu valorile numerice se obine sistemul de ecuaii: I1 + I2 = I3 ; 19= 2I1 + 3I3 ; 7= I2 + 3I3 ; PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 64 Aicisencheieprimaetap,prinobinereaunuisistemdetrei ecuaiineconoscute cei trei cureni I1, I2 i I3. Etapa 2. Rezolvarea sistemului de ecuaii i determinarea necunoscutelor. Folosind prima ecuaie, nlocuim I3 n celelalte dou: 19= 2I1 + 3 (I1 + I2) = 2 I1 +3 I2 ; 7= I2+ 3 (I1 + I2) = 3 I1 +4 I2 . S-aobinutunsistemdindouecuaiicudounecunoscuteI1iI2carepotfi calculate,deexempluprinmetodareducerii,sauutiliznddeterminanii. Astfel,I1 = 5 A i I2 = 2A. Fig. 1.39. Diagramele orientate (grafurile) curenilor (a) i tensiunilor (b) circuitului de curent continuu. Etapa2sencheiecudeterminareacurentuluiI3,dinprimaecuaiedeunde rezult: I1 + I2 = 5 2 = 3 A = I3. Avnd valorile cunoscute ale intensitilor curenilor se pot construi diagramele orientate (grafurile) de cureni (figura 1.39, a) i tensiuni(figura 1.39, b). Totul este bine, dar... cum rmne cu etapa 3 verificarea? Rspuns la aceast ntrebare rmne s se dea ulterior. Acum ns trebuie s fie clar un lucru, imp-ortant:verificareaprinfolosireateoremelorKirchhofnudetecteazeventuala eroare de calcul! Este necesar deci un alt instrument. Teoremaconservriiputerilor.Sconsidermecuaiileobinute prinaplicareateoremei1Kirchhofftuturornodurilorunuicircuit electric. nmulind fiecaredinacesteecuaii cu potenialul nodului respectiv i sumnd toate relaiile astfel obinute, rezult: ( ). 01= e = j kknjjI V(1.52) Valentin GUU 65 Datfiindfaptulcnrelaia(1.52)nmembrulstngfiecaredin curenifigureazdedouori(odatnmulindpotenialulVk(e)al nodului din care iese curentul cu semnul +, i odat Vk(i) al nodu-lui n care intr curentul, cu semnul ), relaia (1.52) poate fi res-cris sub forma: ( ) ( )( ) , 01 1= = = =lkk klkikek kI U V V I (1.53 ) deoarecediferenaVk(e)Vk(i)estetocmaitensiuneaUklabornele laturii k. n conformitate cu acest rezultat, numitteoremma con-servriiputerilorsumaputerilorschimbatepelabornede laturile unui circuit electric complet (nchis) cu cmpul electromag-netic al surselor t.e.m. este ntotdeauna nul. Folosind relaiaU + E = I Rpentru fiecare latur activ de curent rezultatul (1.53 ) se mai poate pune sub forma: ( ) , 01 1= = = =lkk klkk k k kI U E I R I(1.53) sau ,1 12 = ==lkk klkk kI E I R(1.54) corespunzndurmtoruluienunalteoremei:sumaputerilor consumateprinefectelectrocaloricireversibil(Joule)nrezisten-eleunuicircuitelectriccompletesteegalcusumaalgebrica puterilor cedate de sursele de energie electric. Verificareaegalitii(1.54)pentruuncircuitelectricsenumetebilanul puterilor circuitului respectiv. Revenind la exemplul cu figura 1.38, poate fi efectuat verificarea, adic:Etapa 3. Puterea dat de surse: E1I1 E2I2= 19 5 7 2 = 95 14 = 81 W. Puterea consumat n rezistoare: PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 66 R1 I12 + R2 I22 + R3 I32 = 2 25 + 1 4 + 3 9 = 81 W. Aadar, R1 I12 + R2 I22 + R3 I32 = E1I1 E2I2i 81 W = 81 W. n concluzie se poate afirma c verificarea calculelor se finalizeaz cu bilanul puterilor.2. S se efectueze analiza circuitului din figura 1.40; valorile t.e.m. ale surse-lor de tensiune, a intensitii curentului sursei de curent i valorile rezisenelor sunt date direct n dreptul elementelor respective. nacestexemplusevaexecutadoar etapa 1 (aa se pune problema). Deoarece circuitul are L = 6 i N = 4, ecuaii trebuie s se scrie 6: trei pentru cureni i trei de tensiuni. Se obine: (a)I1 = I2+ I3 ; (b)I4 = 0,25+ I3 ; Fig. 1.40. (c)I4 + I5= 0,25. Acestea sunt trei ecuaii de cureni scrise conform teoremei 1 Kirchhoff; urm-toarele trei ecuaii de tensiuni, se scriu conform teoremei 2 Kirchhoff: (1)9 = 10 I1+ 5 I2 ; (2) 6,5 = 5 I2 15 I4 20 I3; (3)0 = Ug 15 I4. Diagramele orientate (grafurile) decureni (a) itensiuni (b) sunt reprezentate n figura de mai sus. Soluiile respective sunt marcate pe figuri n amperi (A) i voli (V ). Valentin GUU 67 nmultecazuriconcrete,circuiteleliniarepotfianalizatedirect, construindu-se concomitentambele diagrame.Surmrimaceast tehnologie. Exemplu.S se determine intensitile curenilorprin laturile circuitului rep-rezentat n figura1.41,a. Valorile t.e.m.i a rezistenelor sunt notate pe schem. Fig. 1.41. Circuitul are N = 3 i L = 7. Nodul (c) este conectat lamas, ntre nod- urile (a) i (c), respectiv (b) i (c) sunt conectate cele dou surse cu t.e.m. , de 12 V i6 V; deci potenialele nodurilor (a) i (b) fa de mas sunt cunoscute: Va = 12 V i Vb = 6 V. diferena de potenial ntre nodurile(a) i (b) este egal Va Vb = 126 = 6 V (figura 1.41, b).Cum se vede n schem, rezistoarele de 3 k i 6 ksunt conectate ntre nod-ul (a) i mas; intensitile curenilor prin aceste rezistoare sunt: 12 V / 3 k = 4 mA i 12 V / 6 k = 2 mA. n mod asemntor se calculeaz curenii prin re- zistorul de 1 k legat ntre nodul (b) i mas, precumi prin rezistoarele de 2 k i 6 k legate ntre nodurile (a) i (b) (figura 1.41, c). Este simplu de calculat curenii debitai de sursele ideale de t.e.m., prin aplica-rea teoremei 1 Kirchhoff pentru nodurile(a) i (b) (figura 1.41, d). Diagrama de tensiuni complet (figura 1.41, e) justific valorile curenilor obinui n dia-gramade cureni. Merit de subliniat c utilizarea teoremelor Kirchhoff n calculele i analizacircuitelorliniaredec.c.nutotdeaunaestejustificat.De exemplu, n cazul circuitelor liniare cu o unic surs de t.e.m., este rezonabilutilizareaaa-numiteimetodedetransfigurri simple.Vomexemplificaaceastapeuncazconcret.Presupunem dat circuitul de c.c. liniar cu o singur surs de energie, schema rep-rezentat m figura 1.42, a. Cum se vede, N = 2 i L = 3 i, conformPARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 68 Fig. 1.42. Schema echivalent a unui circuitliniar de c.c. celorexpuseanteriorartrebuidestabilitsistemuldeecuaii(n cazul de fa, 1 ecuaie n cureni 2 1 = 1 i dou ecuaii n tensi-uni L N +1 = 3 2 + 1 = 2), de rezolvat sistemul de trei ecuaii cu treinecunoscutecureniiI1,I2,iI3idefinalizatcuverificarea soluiei.Toateacesteanuprezintdificultinacestcazdarse poate, totui de procedat i mai simplu apelnd la metoda transfigu- rrilor simple. Cu unele elemente ale acestei metode ne-am ntlnit deja,ncazulcalculelorrezisteneiechivalenteadousaumai multe rezistoare, conectate n serie sau paralel. Exerciiul efectuat n figura1.42poziiileb,cidnliteraturadelimbruspoart denumireade,ceeacentraducere nseamnnfuraredesfurare.ntr-adevr,delapoziiaala poziiadarelocnfurareaschemei:rezistoareleR2iR4 sunt conectatenserie,deciR24=R2+R4;rezistoareleR3iR24sunt conectate n paralel, deci R3 24 = R3 (R2 + R4)/ R3 + (R2 + R4), pozi-ia c (n urma acestei transfigurri nodul (a) s-a transformat din real n eliminat); rezistoarele R1 i R3 24 sunt conectate n serie, deci rezi-stena echivalent a circuitului va fi( ).4 2 34 2 31 324 1 1324R R RR R RR R R R+ ++ + = + =Valentin GUU 69 E Iar acum se poatecalcula curentulprimei laturiI1 =. R1 3 24 CureniiI2iI3potfideterminaidac secunoate tensiuneaU(ab) (aici, practic ncepe desfurarea schemei) care poate fi calculat conform regulei divizorului de tensiune ( 1.1.3):

R 3 24U(a b) U(a b)= E;I3 = (legea lui Ohm); I2 = I1 I3 . R1 + R 3 24 R3 Volumuldelucrusepoatedovedicevamaimare,dareleste elementar, ceea cemicoreaz considerabil probabilitatea erorilor. n continuare vom mai analiza un caz, demn de atenie aparte. Exemplu. S se determine cderea de tensioune la bornele rezistorului de 150 i inten-sitateacurentuluiprinrezistorulde300dincircuituldec.c.reprezentatn figura 1.43, a. Circuitul dat poate fi echivalat cu cel din figura 1.43, b dac se ine cont c: rezistoarele de 100 i 200 sunt n serie i echivalente cu un rezistor de 300 ; rezistoarelede300i600suntlegatenparaleliechivalentecu un rezistor de 200 ; Fig. 1.43. surselede200Vi55Vnserie,suntechivalentecuunasingur,cu sensul celei de 200 V, de valoare 145 V. Circuitul echivalent obinut n urma acestor modificri este reprezentat n figu-ra1.43,b.Uordeobservatcschemaadevenitmaisimpliconinecuo latur mai puin, fiind L = 3 iar N = 2. Nu vom intra de aceast dat n detaliile de rezolvare a acestui nou circuit, ci vom prezenta soluia din figura 1.44. Solu- PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 70 iaobinutpentrucircuitulechivalentestesuficientpentrudeterminarea mrimilorcutate. Fig. 1.44. Diagrame orientate i soluii (schema echivalent, 1.43, b). nfiguradatmaisussuntreprezentatediagrameleorientate(grafurile)de cureniitensiunialecircuituluidat(figura1.43,a),de-dusedindiagramele circuitului echivalent (figura 1.43, b), n mod direct. Acest exemplu este semnificativ prin faptul c n urma transfigur-rilorechivalenteaschemeidinfigura1.43,as-aobinutschema echivalent din figura 1.43, b n care elementele pasive (rezistoare-le)formeazostea.Cumseprocedeazmaideparte?Vomvedea n continuare. 1.3.3.Relaii de transfigurare Tr a ns f i gur a r e a unuicircuitconstntransformareaacestuia ntr-un circuit echivalent: cunoscutele exemple de conectare a rezis-toarelornserieinparalel,echivalareaunuigeneratorrealde tensiune cu un generator real de curent etc.nelectritehnic,metodeledetransfiguraresuntfolositepentru simplificareacircuitelor,acalculelorianalizeiacestorcircuite lucru care a fost menionat deja, ceva mai sus.ncontinuare,vomstudiactevatipuridetransfigurrincnecu-noscute la acest moment. Valentin GUU 71 1.Transfigurarea stea - triunghiitriunghi - stea. n figura 1.45,aestedatuncircuit,configuraiacruiapermitecatalogarea lui ca circuit n stea, iar cel din figura 1.45, b ca circuit n triunghi Elementele circuitelor suntR1, R2i R3, respectiv R12 , R23 i R31. Fig. 1.45. Circuitul n stea are trei laturi legate ntre un nod central i bornele deacces,iarcircuitulntriunghiareceletreilaturilegatedirect ntre cele trei borne de acces. A transfigura triunghiul nstea nseamn a gsi elementele R1, R2iR3aleunuicircuitnsteacarepoatenlocuinoricecondiii circuitul n triunghi, deci care este echivalent cu acesta. Prin urma-re, se dau R12, R23 i R31 i secer R1, R2i R3.Punndu-se problema echivalenei n orice condiii, cele dou circu- ite sunt echivalente i atunci cnd se alimenteaz numai la o singur perechedeborne,deexempluntrebornele(1)i(2),fiindborna (3)ngol,liber(aacumesteartatnfigura1.45).nacestcaz celedourezisteneechivalenteR1,iR2 trebuiesfieegale(n sum) cu : ( )31 23 1231 23 122 1R R RR R RR R+ ++= + n mod analog, alimentnd pe la bornele (2), (3) i (3), (1) se obin relaiile urmtoare: ( )31 23 1212 31 233 2R R RR R RR R+ ++= + PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 72 ( )31 23 1221 12 311 3R R RR R RR R+ ++= + Din adunarea celor trei ecuaii se obine: 31 23 1212 31 31 23 23 123 2 1R R RR R R R R RR R R+ ++ += + + Dacdinaceastrelaiesescadperndcteunadintreecuaiile precedente, pentruR1, R2i R3 se obine: 31 23 1231 121R R RR RR+ +=;31 23 1212 232R R RR RR+ +=;31 23 1223 313R R RR RR+ +=. (1.55) Dacrezistoareledinlaturiletriunghiuluisuntdeegalrezisten, adic R12 = R23 = R31 =R atunci se obine: R1 = R2= R3 = R /3. Aceastparticularitateiraportulrezisteneilaturilortriunghi-stea estefrecventutilizatnelectrotehnicapractic.(deexemplu,la pornirea unor motoare electrice asincrone). Transfigurareasteauantriunghi. Pentru aceasta cele dou circu- itesealimenteazperndcanfigura1.46,deexemplupela bornele (1) i (2), cu bornele (3) i (2) n scurtcircuit. Se calculeaz conductanele echivalente, care trebuie s fie egale; se obine: G1 (G2+ G3) G12 + G31=; G1 + G2+ G3 G2 (G3 + G1) G23 + G12=; G1 + G2+ G3 G3 (G1+ G2) G31 + G23= . G1 + G2+ G3 Valentin GUU 73 Dacacestsistemdeecuaiiserezolvasemntorcazuluiprece-dent, se obine:

3 2 12 112G G GG GG+ +=;3 2 13 223G G GG GG+ +=;3 2 11 331G G GG GG+ +=.(1.56) innd cont c G = 1 / R , pot fi obinute expresii pentru R12, R23 i R31 :32 12 1 12RR RR R R + + =;13 23 2 23RR RR R R + + =;21 31 3 31RR RR R R + + =. (1.57) Dacconductanelecircuituluinsteasuntntoatelaturileegale, adicG1 = G2= G3 = Gst = 1 / R tr , obinem: ststtrRGRG G G313131 23 12= = = = = de unde rezult R t r R s t =,ca i n cazul precedent. 3 n relaiile demai sus R s t esterezistenalaturei destea, respectivR t r de triungi. Exemplu.Eficienaacestuitipdetransfigurripoatefiurmritnschema dinfigura1.46,undenpoziiaaesteschemaunuipodneechilibratiarn poziia b schema dup transfigurarea stelei r1, r2, i r5 ntriunghiulrab , rbc irca . ab Fig. 1.46. PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 74 2.Transfigurareacircuitelor n generatoare echivalente.Metoda generatorului echivalent nunelecazuripracticeaparenecesitateastudieriiregimuluide funcionareauneilaturidintr-uncircuitelectriccomplex,n dependen de modificarea rezistenei acestei laturi. n acest caz nu estenecesardeefectuatcalculevoluminoasealecircuituluin ansamblu, dac se utilizeaz metoda generatorului echivalent. n conformitatecuaceastmetod,influenatuturorsurselorcircui-tuluiasupralaturiincauzpoatefinlocuitcuaciuneaunui generatorechivalentconectatnserieculatura,cut.e.m.Eeci rezistena intern rec .(indecsul ec nsemn echivalent). Fig. 1.47. Schemele circuitului pentru determinarea curentului unei laturi dup metoda generatorului echivalent. Valentin GUU 75 Vomdemonstraposibilitateaacesteitransfigurripentrudetermi-narea curentului n latura cu un rezistor variabil r, din schema repre-zentat n figura 1.47, a. Presupunem c sunt date E1, E2, E3 i rezistoarele r1, r2, r3, r4, r5ale schemei. Pentru a stabili dependena curentului de rezistena r sepa- rmlatura,restulcircuituluifiindinclusndreptunghiulculinie punctat, indicnd bornele a i b prin careacestaesteconectatcu latura investigat (figura 1.47, b). Parteaselectatacircuituluiavnddouborne,esteuncuadripol activA,literaAninterioruldreptunghiuluiindicndcinfluena surselor E1, E2 i E3 asupra laturii studiate nu este nul. Conectm n latura cu pricina dou surse de t.e.m. egale ca mrime darcusensopus,iE"(poziiac,naceeaifigur);evident,cu-rentul I n latur va fi acelai ca i n poziia b. Acest curent poate fi interpretatcasuprapunereacurenilorIaprovocatdeE',E1,E2,E3 (schema poziia d) i Ib sub aciunea t.e.m.E" (schema poziiae, undelaturilecircuituluinuconinsurse,decidreptunghiuleste pasiv i notat P).Pentru ca curentul I al laturii cercetate s fie egal cu curentul Ib din schema figura 1.47, e sursa E' se alege de aa valoare ca curentul Ia s fie egal cu zero. Aceast condiie poate fi respectat, dac t.e.m. E' va fi egal cu tensiunea de mers n gol la bornelea i b a circu-itului: E' = Uabg ol .Valoareat.e.m.E'pentruacestecondiiipoatefideterminatipa caleanalitic; nacestcaz, utilizndlagealuiOhmpentruolatur din circuit cut.e.m. E' i tensiunea Uab (schema 1.47, d): .rE UIaba' = Din aceast ecuaie se vede c pentru curentul Ia =0t.e.m. E' este egalcutensiuneademersngolUabgollaborneleaibale schemei.Prinurmare,pentruadeterminacurentulIalcircuitului iniial este suficient de studiat numai schema din figura 1.47, e cuPARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 76 sursa de t.e.m. E" = E' = Uabg ol . Acest circuitconst din elementul rezistivallaturiistudiaternseriatcurezistenadeintrarerin a celeilalte pri ale schemei (rin =r) fa de bornele a i b (schema 1.47, f ). Rezistena de intrare a prii pasive a circuitului din figura 1.47,epoateficalculat,inndu-secontderegula:generatoarele det.e.m.sescurtcircuiteaz,iarlaturilecugeneratoareledecurent serup.Astfel,rezistenadeintrarefadeborneleaib(schema 1.47, a) va fi: ( ) ,4 64 6r r rr r rrin+ ' + + '= unde.5 2 3 2 5 1 3 1 2 15 3 2 5 3 1 3 2 1r r r r r r r r r rr r r r r r r r rr+ + + ++ += ' Influenat.e.m.E"asuprarezisteneirdinschemafigura1.47,f poatefiprezentatcainfluenageneratoruluiechivalentdet.e.m. Eechivcare este egal cu tensiunea de mers n gol la bornele a i b la care se conecteaz latura cercetat: Eechiv = E"= Uabg ol . Rezistena intern a generatorului echivalent este egal cu rezistena de intrare a celeilalte pri pasive ale schemei fa dchive bornele a i b, la care se conecteaz latura menionat: rechiv= rin . Cunoscnd Eechiv i rechivale generatorului echivalent (schema 1.47, f ) se poate calcula curentul prin latura studiat: .echivechivr rEI+=(1.58) Aceast metod de calcul a curentului printr-o latura unui circuit electriccomplexestenumitmetodageneratoruluiechivalentsaumetodadipoluluiactiv;primadintreacestedenumirieste legatcuefectulnflueneicircuitului nansambluasupra laturiiValentin GUU 77 studiate, drept influena unui generator echivalent. A doua denumire este legat de faptul c, n raport cu latura n cauz restul circuitului conectatcu latura prin bornele a i b, este numit dipol. Ceeaceparecuriosiimportantdesubliniatestefaptulcn literaturadespecialitateoccidentalacestemetodepoartdenumi-readeteoremealeluiHelmholtziThevenin.nliteraturarespec-tiv sovietic (de limb rus) foarte puini autori pomenesc numele savanilor menionai. Este clar din cele expuse mai sus c teorema HelmholtzThevenin sereferlageneratorulechivalentdetensiune.Judecndnmod analog,poatefiintrodusconceptuldegeneratorechivalentde curent ceea ce a i fost fcut de un alt savant Norton, prin teorema care-i poart numele. Generatorul echivalent de tensiune se poate de transfigurat n generator echivalent de curent (figura 1.48) i n aa fel se obine generatorul echivalent de curent al circuitului n raport cu bornele A i B. Se poate enuna deci urmtoarea teorem a ge- neratoruluiechivalentdecurentalunei reele active: n raport cu dou borne A i B orice circuit liniar activ de c.c. se poate trans- sfigurantr-un generatorechivalent de curent avnd Ig = IscAB = = UAB 0 / RAB0i conductana echivalent GAB0 = 1 / RAB0 . Sconsidermgeneratorul echivalent de curent al unui circuit,caredebiteazpe unreceptordeinductanG=1/R. Calculm tensiunea UABlabornelereceptoru-lui:

.1AB AB ABIGI U = = Folosindcunoscutateore Fig. 1.48. Transfigurarea generatorului echivalent de tensiune (a) n generator echivalent de curent (b). m a divizorului de curent, obinem IAB: PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 78 .0 00ABABscABABABsc ABG GGIR RRI I+=+= nlocuind n expresia tensiunii, vom obine pentru aceasta: .0 ABABscABG GIU+= (1.59) Relaia(1.59)esteexprimareamatematicateoremeiluiNorton, care poate fi enunat astfel: tensiunea la bornele unei laturi pasive deconductanGconectatentreborneleAiBaleuneireele liniareactivedec.c.esteegalcuraportuldintreintensitateacu-rentuluicaresestabiletelascurtcircuitareabornelorisuma dintreconductanaGalaturiiiconductanaGAB0areeleipasi-vizate fa de bornele A , B. 1.3.4.Teorema transferului maxim de putere Pentru circuitul activ reprezentat n figura 1.49 tensiunea pe reziste-nadesarcinrs,conformlegiiluiOhmpentruunsector(latur) pasivdecircuit,esteegal:Uab=Irs.Anteriorafostartatc t.e.m. a unei surse de energie este :E = Uab+ r I, unde r este rezistena intern a sursei. nlocuind Uab se poate scrie: E = Uab+ r I = r I + rs I . (1.60)Exptresia(1.60)esteecuaiacereflectstareaechilibruluielectric ntr-uncircuitsimplunchis.Dinaceastecuaiesepoateobine legealuiOhmpentruuncircuitsimplunchiscugenerator echivalent de t.e.m..E (figura 1.48, a):

sr rEI+=(1.61) Puterea circuitului extern este Valentin GUU 79

( ).222sss sr rE rI r P+= =(1.62) Curentulncircuitulexterioralgeneratoruluiechivalentdecurent (schema de transfigurare paralel, figura 1.48, b) poate fi calculat: ,rI rIrUI Isg g = = (1.63) unde Ig (n figura 1.51 notat Ik) este curentul sumar al generatorului, I curentul debitat pe sarcin i de unde .sgr rrI I+= Deci, puterea dezvoltat n sarcin (figura 1.49) va fi egal: ( ).22 22sg ss sr rr I rI r P+= =(1.64) Aceastputereestenulndoucazuri:nregimuldemersngol (rs = ) i cazul de scurtcircuit (rs = 0). Puterea debitat pe sarcin estemaximatuncicndrelaiar/(r+rs)2atingevaloareama-ximal;lundderivatadegradulntiaacesteifraciiiegalnd-o cuzero,vomaflacondiiadetransmitereaputeriimaximedela surs pe sarcin: ( )( ) ( )( )02222=++ +=||.|

\|+ss ssr rr r r r rr rrdtd sau (r +rs) 2 2 r(r +rs) = 0, de unde se determin rs =r. (1.65) PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 80 Fig. 1.49. Schema unui circuit nchis de curent. Fig. 1.50. Regim de funcionare a sursei de energie: a nedorit (mers n gol); b inadmisibil (scurtcircuit) a b Fig. 1.51. Scheme reale ale surselor de energie: a detensiune (schema consecutiv); b de curent (schema paralel de transfigurare). n cazul generatorului de t.e.m. E (schema consecutiv, figura 1.51, a) puterea absorbit de sarcin (receptor) : P = r I 2 . Conform legii lui Ohm (schema 1.49) : ,sr rEI+= puterea va fi Valentin GUU 81

( ).2222||.|

\|+=+=ssssrrrEr rE rP (1.66) T.e.m. fiind dat, puterea va fi maxim cnd numitorul va fi minim. Pentruagsiminimulnumitorului,constatmcprodusulterme-nilor este constant, adic:

. r rrrss= Estecunoscutdinmatematic:dintretoateperechiledenumereal cror produs este constant, suma numerelor e minim cnd ele sunt egale; de exemplu, 116 = 2 8 =4 4 4 + 4 < 2 + 8 < 1 + 16. Prinurmare,deoareceprodusultermenilordinparantezadela numitor(relaia 1.66)esteconstant,sumalor vafiminimcndei sunt egali:

r r rrrs ss= = (1.67) Amobinutaceeaicondiiecaincazulgeneratoruluidecurent, relaia (1.65). n acest caz puterea maxim va fi: E 2 Pmax =.(1.68) 4 r Seajungeastfellaenunulteoremeitransferuluimaximde putere:ungeneratortransferunuirezistor(sarcine)oputere maximE 2 / 4 r atuncicnd rezistena rezistorului este egal cu rezistena intern a generatorului. Puterea poate fi deci reprezentat ca funcie de R (rs) observnd c: pentru R = 0, puterea P = 0 (v. figura 1.52); R = Ri (r), puterea P = Pmax ; R = , puterea P = 0. PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 82 Receptorul care satisface condiia de transfer maxim de putereeste considerat adaptat sursei. Adaptarea receptoarelor este important i se utilizeaz pe largn tehnica semnalelor (televiziune, radioteh-nic etc.).Prin urmare, puterea generatorului de energie se consum, parial debitat pe sarcin, parial irosit n interiorul su. Chiar i n cazulunuiregimadaptatputereapierdutninteriorulsurseide energie este egal cu o jumtate din puterea total, adic: P = r I 2 = rs I 2 = 2EI . Se poate defini randamentul transferului de energie ca : g gPPt Pt P=AA= q, undeP = rs E 2/(r + rs)2 este puterea debitat pe sarcin (v.expresia 1.66) iar Pg =E 2/ (r +rs). Prin nlocuire se obine:

sssrrr rr+=+=11q. (1.69) Din formula (1.69) se vede c n cazul mersului n gol cndrs = randamentul este qgol = 1; n caz de scurtcircuit, cnd rs = 0 randa-mentul qsc = 0. n regim adaptat (r = rs) qad = = 0,5.nfigura1.53suntreprezentatecurbeleP(Pg),Psiqfunciede mrimearelativarezisteneicircuituluiexterior,rs/r.Meritde subliniatfaptulcncondiiipracticeregimulnominalalputerii surselorrareoricoincidecuregimuladaptat,fiindcnacestcaz randamentul este qad = 0,5 (v. figura) iar curentul sursei prin sarcin depeteconsiderabil curentul nominal. Aceasta poateconduce la o degajare substanial de cldur n interiorul sursei.Regimuladaptatpoatefiacceptatncazurilepractice,atuncicnd un randament mic nu este determinant. Dar dac considerentele eco- economice sunt hotrtoare, atunci rezistena intern a sursei trebuie Valentin GUU 83 s fie mai mic dect rezistena circuitului exrerior (r < rs). Fig. 1.52. Fig. 1.53. ntr-unastfeldecazregimulnominalalsurseiseteaproapede regimul de mers n gol i q 1. 1.3.5.Metoda curenilor de contur (Maxwell) Rezolvareacircuitelorelectriceprinmetodadirect(atransfigur-rilor simple) i a teoremelor Kirchhoff ridicdificultatea rezolvrii unuisistemcuunnumrmaredeecuaiiinecunoscutece corespundenumruluidelaturi.ncondiiileimpusedetehnica actual, cnd circuitele utilizate n practic devin tot mai complexe,problemagsiriiunormetodecarearreduceconsiderabilvolumul calculelorseimpuneimperios.Tendinafireascnacestecondiii este,nprimulrndaceeadeamicoraefortuldecalcul,prin reducereanumruluideecuaiicetrebuierezolvate.Oasemenea reduceresepoaterealizautiliznd,nloculintensitilorcurenilor dinlaturialtevariabile(mrimifictivesaudesemnificaiefizic real) care s satisfac identic cte una din cele dou teoreme ale lui Kirchhoff. Astfel,conformuneiobservaiifcutedeMaxwell,sepoate consideracfiecreibucle(sauochi)aunuisistemdatdebucle fundamentale(sauindependente)isepoateasociauncurentfictiv I c, numit curent ciclic sau curent de contur care sparcurg n cir-cuit nchis bucla dat, aa nct intensitatea curentuluireal din ori- PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 84 celaturacircuituluisfiesumaalgebricaintensitilorcu-renilor de contur ce trec prin aceast latur:.e =k pCk kI I (k = 1, 2, ..., l ) (1.70) n baza acestei observaii Maxwell a aprut un mecanism de calcul alcurenilorprinlaturileunuicircuitnchis,caresenumetemetoda curenilor de contur (prescurtat MCC). Aceastmetodpermitemico-rarea numrului total de ecuaii ce trebuie de rezolvat; anterior a fost artatcdaccircuitulconineL laturi(totateacureninecunos-cui)iNnoduri,conformteore-mei1KirchhoffsescriuN1 ecuaii i conform teoremei 2 se scriu L (N 1). Aadar, la baza MCCseaflnoiuneadecurent de contur o mrime virtual, de calcul, care curge doar prin pro- Fig 1.54. Schema unui circuit re-lativ complex pentru calculul curenilorprinMCC. priulcontur.Sconsidermacumschemadinfigura1.54.Vom diviza-on trei conturi(sau ochiuri)adiacenteivomadmitecn fiecare contur circul propriul su curent II , III i IIII. Sensul acestor cureniesteacelainceletreiconturindireciaacului ceasorniculai, aa cum este artat n schem. Se observ totodat c cureniideconturcoincidcuvalorilecurenilorreali(aceteasunt deasemenea indi-cai n schem) doarn laturile exterioare: II = I1 ,III = I6, IIII = I3 .(1.71) Cureniilaturiloradiacentesuntegalicudiferenacurenilorde contur ai ochiurilor vechine. Aa, I2 = III IIII ,I4 = II IIII ,I5 = IIII II .(1.72) Prin urmare, cunoscnd curenii de contur pot fi uor calculai cure- Valentin GUU 85 nii reali ai laturilor. Pentru a calcula curenii de contur n cazul schemei din figura 1.54 este suficient de alctuit doartrei ecuaii (dup numrul de ochiuri fundamentale),nconformitatecuteorema2Kirchhoff(relaia 1.51): pentru bucla (conturul) I: (r1 + r10 + r4 + r5) II r4III r5IIII = E1 + E4 ,pentru conturul II: (r2 + r4 + r6) III r4II r2IIII = E2 E4 ,pentru conturul III: (r2 + r3 + r5) IIII r5II r2III = E3 E2 . Ecuaiile scrise alctuiesc sistemul de ecuaii (r1 + r10 + r4 + r5) II r4III r5IIII = E1 + E4 (r2 + r4 + r6) III r4II r2IIII = E2 E4 (1.73) (r2 + r3 + r5) IIII r5II r2III = E3 E2

care permite determinarea curenilor de contur II IIIIi, ulterior a curenilor reali din laturile circuitului, I1 I6 . Deseori MCC este folosit pentru a deduce posibilitile altor metode de calcul i pentru analiza circuitelor la forma general. n astfel de cazuri se scriu ecuaiile curenilor de bucl laforma generalizat. n acest scop rezistena sumar a conturului dat se noteaz cu index dublu jos, care indic numrul conturului i se numeter e z i s t e n - pr opr i e a c ont ur ul ui . Aa, n schema analizat mai sus re-zistenele proprii ale celor 3 bucle sunt: r11 = r1 + r10 + r4 + r5; r22 = r2 + r4 + r6;(1.74) r33 = r2 + r3 + r5. PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 86 Re z i s t e n e l e c omune a l e buc l e l or nve c i na t e sunt considerate ca coeficieni pe lng respectivii cureni, notndu-se cu index dublu jos, care indic buclele ntre care sunt conectate; aa,r12 = r4 , r13 = r5 , r23 = r2 .(1.75) innd cont de(1.74) i (1.75), sistemul de ecuaii (1.73) se poate scrie ntr-o form general astfel: r11 II r12 III r13 IIII = EI , r21 II +r22 III r23 IIII = EII, (1.76) r31 II r32III+ r33 IIII = EIII .

n aceste ecuaii sunt notate: EI = E1 + E4,EII = E2 E4iEIII = E3 E2 (1.77) caresenumesct . e . m. de c ont ur iprezintsumaalgebricat.e.m. ale laturilor conturului dat. Se ia cu semnul + t.e.m. sensul creea coincide cu sensul curentului de contur. Ecuaiilecurenilordecontur serezolv prinmetodadeterminani-lor, sau utiliznd formamatriceal de prezentare a ecuaiilor. Utilizarea determinanilor i a matricelor pentrurezolvarea ecuaiilor obinute prin MCC. Vom considera rezolvarea sistemului (1.76) cu ajutorul determinanilor. Pentru curentul Ik din latura k se poate scrie expresia: Ik = k / , (1.78) unde ested e t e r mi n a n t u l p r i n c i p a l al sistemului de ecuaii :

r11 r12 r13

= r21 r22r23. (1.79) r31 r32 r33 Valentin GUU 87 Determinantulkseobinedindeterminantulprincipalprinnlocuirea coloaneikcucoloanatermenilordindreaptaecuaiilorsistemului(1.76).De exemplu, pentru primul curent de conturII (k = 1)

E1 r12 r13

1 = EII r22 r23 . (1.80) EIIIr32 r33 Prin urmare, calculul curentului de contur se reduce la alctuirea a doi deterni-nani care, de fapt pot fi scrii fr ca n prealabil s se scrie sistemul de ecuaii. nacestscop,senscriuiniialrezistenelepropriialeconturilorr11,r22,r33 etc.,careseplaseazpediagonalaprincipal(dincolulstngsussprecolul drept jos) cu semnul +. Determinantul este simetric fa de diagonala princi-pal rezistenele comune negative din partea superioar a diagonalei sunt ref-leciarezistenelorcomunenegativedinparteainferioaradiagonalei.Astfel, calculnd rezistenele comune ale conturilor r12 , r13 , ... etc. pentru prima linie irn1,rn2 ,...pentrulinian,potficompletateparteadesusiceadejosa determinanturlui. Cunoscnd, se determin k i apoi se calculeaz valoarea curentului Ik . Se poate demonstra dependena curentului de contur de toate sursele t.e.m. EI , EII , EIII , ...etc., pentru ce determinantulkse descompune fa de coloana k. Vom descompune, de exemplu, determinantul1(1.80) fa de prima coloan (k = 1)1 = A11 EI + A21 EII+ A31 EIII . (1.81) nlocuim aceast valoare a lui 1 n formula (1.78) pentru curentul II : 1 A11 A21 A21 II== EI+ EII +EIII .(1.82) n mod analog se poate scrie expresia general pentru curentul conturului k : kA1kA2k Ank Ik== EI+ EII + ... + En (1.83) sauntr-o form mai compact ( )nnnk kE A IA =1. (1.84) Primul indexn se refer la numrul t.e.m. sau, ce-i tot aceeai la numrulPARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 88 conturului sau numrul liniei determinantului . Al doilea indexk este num-rul curentului determinat sau, ce-i tot aceeai numrul coloanei determinantului .CoeficieniiAnkprezint complementele algebrice care sunt legate cu mi-noriiMnk ai determinantului prin ecuaiile Ank = ( 1)n+k Mnk . (1.85) Minorul Mnkse obine din determinantul prin tierea liniei n i a coloanei k. n cazul dat, pentru curentul conturului ntiII (k = 1) complementele algebri-cesunt egale: r22 r23 A11 = ( 1 )1+1 M11 = , r32 r33 r12 r13 A21 = (1)1+1 M21=, r32 r33 r12 r13 A31 = ( 1 )1+1 M31 =. r22 r23 Sistemul de ecuaii (1.76) poate fi rezolvat i cu ajutorul matricelor. La alctui-rea matricelur, ca i n cazul determinanilor sunt utilizai coeficienii sistemu-lui de ecuaii. Sub forma matricial poate fi scris sistemul de ecuaii (1.76):

r11 r12 r13 II EI r21 r22

r23III = EII(1.86) r31 r32 r33 IIII EIII sausub forma unei singure ecuaii matriciale r I=E , (1.87) undereste matricea coeficienilor pe lng curenii necunoscui. Soluia ecuaiei (1.87) n raport cu matricea Iva fi: I= 1 r E. (1.88) n(1.88) Ieste matricea-coloanacurenilornecunoscui; 1 r este matri- Valentin GUU 89 cea invers matricei coieficienilor;E matricea-coloan a termenilor liberi ai ecuaiei. Din (1.88) urmeaz c pentru determinarea curenilor necunoscui este necesar de gsit matricea invers matricei coeficienilor i de nmulit aceast matrice la matricea-coloan a termenilor liberi ai ecuaiei. Suluionarease petrece n felul urmtor: 1)se alctuiete determinantul din elementele matricei [v. (1.79)]; 2)se alctuiete matricea invers, pentru aceasta: fiecaretermenalmatriceicoeficienilorsenlocuietecucomplemen-tul algebric cu aceiai indici inferiori (de jos) ca i ai coeficienilor nlocuii; matricea obinut se transpune, nlocuindu-se reciproc coloanele i liniile. n urma acestor operaii natricea invers poate fi determinat ca: A11A12A13

1 r =1/ A21A22A23. (1. 89)A31A32A33 Transcriem solu ia (1.88) ntr-o form mai desfurat, innd cont de (1.89): II A11A12A13 EI III =1/ A21A22A23 EII (1.90) I IIIA31A32A33 EIII Reamintim c produsul a dou matrice Ai Bse obine n urma nmuliriiele-mentelor liniei matricei A la elementele coloanei matricei B i nsumrii rezul-tatelor nmulirii; de exemplu: a11a12 b11b12 a11b11+ a12b21 a11b12+ a12b22 A B == a21a22 b21b22 a21b11+ a22 b21a21b12+ a22b22 nmulind cele dou matrice din partea dreapt a relaiei (1.90), obinem: IIA11 EI +A21 EII +A31 EIII III =1/

A12 EI+A22 EII +A32 EIII(1.91) I III A13 EI +A23 EII +A33 EIII Matricelesuntegaleatuncicndsuntegaleelementelelorrespective.Prin urmare, PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 90 1 II = ( A11 EI +A21 EII +A31 EIII ), 1 III = ( A12 EI +A22 EII +A32 EIII ),(1.92) 1 III = ( A13 EI +A23 EII +A33 EIII ). Ecuaia obinut pentru curentul, de exemplu II este analog ecuaiei (1.82). 1.3.6.Metoda potenialelor nodurilor Dacdousursedeenergiesuntconectatenparalel(figura1.55), curentul comun prin consumator I este compus din dou componen-te ale curenilor laturilor I1i I2 . Prin urmare, tendina practic de conectare n paralel a surselor este determinat de necesitatea majo-rriicurentuluiprinreceptoareledeenergieelectric.ncircuitele realeseconecteazsuplimentarsursedealimentareatunci,cndcurentul prin receptoarele de energie poate depi curentul nomonal al surselor aflate deja n funcie. Fig. 1.55. Schema circuitului Fig. 1.56. Schema unui circuit cu laturi cu dou surse de energie active i pasive conectate n paralel. conectate n paralel. S vedem deci, cum se realizeaz calculul acestor circuite, care sunt metodele de calcul. Vom analiza un caz mai general, cnd circuitul este alctuit din laturi paralele dintre care laturile dela 1 lamsuntValentin GUU 91 active(coninsurse)iarresul,delam+1ipnlanpasive (figura1.56).Suntcunoscutet.e.m.isensulacestora,valorile rezistenelorlaturilorcircuitului;ssecalculezeintensitile curenilor.Calculelerespectivepotfirealizateeficaceutiliznd metoda tensiunii ntre dou nuduri sau mai simplu metodadou nuduri (MDN). n conformitate cu aceast metod, se calculeaz mai nti tensiunea UAB ntre nodurile A i B i se noteaz cu o sgeat pe schem (figura 1.55). n acest caz potenialul nodului A este mai nalt dect al nodului B, de aceea curenii laturilor pasive au sensul de la A la B (figura 1.56). Curenii laturilor active nu au deocamdat direcieidentificat.Alegemsensulpozitivalacestorcurenidela nodul B spre nodul A. Se poate aplica legea lui Ohm pentru fiecare latur, astfel ca: I1 = g1 (E1 UAB), I2 = g2 ( E2 UAB), . . . . . . . . . . . . . . . . Im = gm (Em UAB),(1.93) Im+1 = gm+1UAB , . . . . . . . . . . . . . . . . In = gnUAB . nrelaiile(1.93)gprezintmrimeainversrezisteneiR,adic conductanalaturii.Conformteoremei1Kirchhoffpentruacest circuit suma curenilor laturilor pasive este egal cu suma curenilor laturilor active: Im+1 + I m+2 + ...+ In = I1 + I2 + ...+ Im . nlocuim curenii n aceast sum cu valorile lor din relaiile (1.93): gm+1 UAB+ gm+2 UAB+ ...+ gn UAB == g1(E1 UAB) + g2 ( E2 UAB) + ...+ gm (Em UAB) . Din aceast ecuaie determinm tensiunea UAB : PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 92

nm mABg g gE g E g E gU+ + ++ + =......2 12 2 1 1 sau ntr-o form mai compact .11+ ===nm kkmkk kABgg EU (1.94) Dinrelaia(1.94)urmeazctensiuneadintredounoduria circuitului paralel esteegal cu suma algebric a produselor con-ductanelor i t.e.m. ale fiecrei laturi mprit la suma conductan-elor tuturor laturilor schemei. ProdusulEk gk se ia cu semnul + atuncicndsensult.e.m.Ekesteinverssensuluicondiionalales pozitiv al tensiunii UAB i cu semnul , atunci cnd aceste direcii coincid. Cunoscnd tensiuneantre cele dou noduri, utiliznd sis-temul (1.93) se calculeaz curenii prin laturile circuitului. Exemplu. S se calculeze curenii n circuitul paralel din figura 1.55 prin metoda MDN. T.e.m.nlaturileschemeisuntdirecionatesprenodulA,evidentcUA>UB i tensiunea dintre noduri are sensul de la nodul A la nodul B, cum este artat n schem. Valoarea acestei tensiuni poate fi calculat conform relaiei (1.94): g g gE g E gUAB+ ++=20 102 20 1 10(1.95)

Semnultensiuniiobinuteestepozitiv,ceeaceconfirmcsensulcondiional pozitiv ales iniial este corect. Presupunem ccureniiI1i I2 ai laturilor active au sensul de la nodulB spre nodul A i ambele surse funcioneaz n regim de generator. Valorile acestor cureni put fi calculate astfel: E1 UE2 U I1=iI2=. (1.96) r10 r20

n (1.96) mrimile r10 i r20 caracterizeaz rezistena intern a surselor t.e.m. E1

i E2 respectiv.Se vede clar c valoarea i sensulcurentuluilaturiiactive depindeValentin GUU 93 numaideraportuldintrepropriat.e.m.itensiunealabornele exterioare ale circuitului. Dac t.e.m. a sursei este > U , sursa func-ioneaz n regim de generator i are un curent i putere cu att mai mare,cuctmainaltestetensiuneasaelectromotoare.Reglnd valoareat.e.m.adiferitorgeneratoaredec.c.,sepoatedistribui sarcinantreele.Dact.e.m.asurseieste0,5Vcaracteristicaluia.v.estecvasiliniar. Curentul invers Iinvcu majorarea tensiunii inverse Ua inv variaz de asemenea exponenial, la nceput, apoi liniar. Elementele neliniare a cror c.v.a. sau c.a.v. se modific funcie de celpuinomrimeinfluentsenumescENLc oma nda t e . Din aceastcategoriefacpartetotfeluldetranzistoare:bipolare,cu efect de cmp etc. Analizafuncionriicircuitelorelectriceneliniare(CENL)seefec-tuiazndoufeluri:gr a f i c ia na l i t i c .Metodagraficeste util pentru alegerea corect a regimului de funcionare ale circuite- PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 96 lor cudiode semiconductoare i tranzistoare i pentru analiza func-ionrii lor n regumul de semnal nalt. Fig.1.59. C.v.a. a termistorului la dou temperaturi ale mediului. Fig. 1.60. C.a.v. a diodei cusemiconductor. Metodaanaliticservetedeterminriiiaprecieriiinfluenei semnalelormici,cndseadmiteliniarizareasegmentelordelucru ale caracteristicilor. 1.4.1.Rezolvarea circuitelorelectrice de c.c. cu ENL conectate n serie iparalel. Metoda grafic ncalcululcircuitelorelectricedec.c.cuENLcaracteristicilea.v. sauv.a.aleacestorelementesuntconsideratedeobiceicunoscute. n aa condiii rezolvarea circuitelor estemai simpl prinme t odagr a f i c . Vom analiza un exemplu de calculprinaceastmetod. n figura 1.61, a este reprezentat schema circuitului neliniar (CNL) constituit din dou ENL r1(t) ir2(t) conectate n serie, iar n poziia bcaracteristicilea.v.aleacestorelemente,I(U1)iI(U2).Vom construi caracteristica a.v. I (U) care exprim dependena curentului ncircuitdetensiuneaUaplicat labornelelui.Deoarececurentul ncircuitesteunic,iartensiuneaaplicatU=U1+U2,pentru construireacaracteristiciiI(U)estesuficientdeadunatabscisele curbelor date I (U1) i I (U2) pentru anumite valori ale curentului (n Valentin GUU 97 figura 1.61, b: Aa +Ab = Ac). Fig. 1.61. Conectarea n serie a dou ENL: a schema conectrii; b caracteristicile a.v. Acum, utiliznd caracteristicile din figura 1.61,b pot fi rezolvate di- ferite probleme ale CNL dat. Presupunem,de exemplu, c este dat curentulIitrebuiessegseasctensiuneaUacircuitului,ce-i corespundeitensiunileU1iU2peceledouelemente.Peaxa ordonatelor (figura 1.61, b) notm punctul A valoarea dat a curen-tului,dincaretragemolinieorizontalceintersecteazcurbeleI (U1), I (U2) i I (U). Din punctele de ntretiere a, b i c coborm drepteperpendicularepeaxaabsciselor;puncteledentretiereale acestor dreptecu axa determin tensiunile cutate U1 , U2i U. DacestedattensiuneaU,deexempluprinsegmentulOg,folo-sind graficul I (U ) se poate gsi nemijlocit curentul prin circuit I = = mI gc (aici mI este scara curentului), apoi tensiunile U1 i U2 , aa cum a fost descris mai sus. nmodanalogsepoateprocedaincazul,cndsuntdatemai multeENLlegatenseriesaucnduneledinelementeleconectate n serie posed caracteristici liniare. Poate fi utilizat i alt metod de rezolvare, construindu-se aa-nu-mitac a r a c t e r i t i c i nve r s a t (basculatsau...rsturnat)a unuia dintre ENL din circuit. Pentruaceasta vom urmri dependen- a modificriicurentuluiI ncircuit, mai nti, detensiunea U2 i PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 98 apoi, de diferena de tensiuni (U U1).nprimulcazaceastdepen-denestedeterminatdepropria caracteristic(v.figura1.61,b)a unuiadinelementeI(U2);nal doilea caz, construind caracteristi-ca inversat I (U U1) pentru fiec- arevaloareacurentuluiItrebuie de sczut din abscisa constant U Fig. 1.62.abscisacaracteristiciiI(U1)aprimuluielement.Aceasta-iechiva-lentconstruiriicaracteristiciiinversateaelementuluiI(U1)invdin punctul O' care corespunde tensiunii U din figura 1.62. Regimul de funcionareaelementuluialdoileatrebuiessatisfacambele caracteristici, adic trebuie s fie determinat n punctulM de inter-sectarealeacestorcaracteristici.Perpendicularelecobortedin acest punct pe axele de coordonate determin valorile tensiunilor U1 i U2 ale elementelor i curentul comun IM . Dac sunt conectate n serie un element liniar r1 i un ENL cu carac-teristica dat I (U2), atunci c.a.v. a primului element I (U1) va fi lini-ar iar caracteristica lui inversatI (U1)inv = I (U U1), construit n figura1.63,bdinpunctulO1(U2=EsauU1=0),vaexprima dependenadreptliniaracurentuluiIfunciedetensiuneaUaba dipoluluiactivdinstngacuborneledeieireab,constituitdin sursadealimentareEnseriecuelementulliniarr1.DependenaI(Uab)poatefiobinutconformlegiiluiOhmpentruacestdipol activ: I = (E Uab )/r1. (1.98)

Formula (1.98)reprezint caracteristicaa.v. exterioaradipolului activ (figura 1.63, a) construit pe baza celor dou puncte margina-le: 1) cuUab = 0, I = IK = E / r1; 2) cu Uab = E, I = 0 ). Punctul de ntretiereac.a.v.I(Uab)adipoluluicuc.a.v.I(U2)dataENL determinvaloriletensiunilorU1 iU2cutate(v.figura1.63,b). Dacdou ENL sunt conectate n paralel (figura 1.64, a), iar carac- Valentin GUU 99 teristicile lor I (U1) i I (U2) arat ca n figura 1.64, b tensiunea U n acestcazestecomuniarcurentulnparteaneramificata circuitului este egal cu suma curenilor laturilor: I = I1 + I2 . Fig. 1.63. De aceea, pentru a obine caracteristica sumar I (U ) este suficient ca pentru valori arbitrare ale tensiunii U s se adune ordinatele cara- Fig. 1.63. Conectare n paralel a ENL. cteristicilor elementelor aparte. Utiliznd aceste caracteristici, ca i n cazul precedent, pentru tensiunea dat U pot fi determinai cureniiI, I1 i I2 , sau invers. PARTEA I. ELECTROTEHNICA GENERAL 100 1.4.2.Rezolvarea circuitelorelectrice de c.c. cu ENL conectate n serie iparalel. Metoda analitic Metodagraficderezolvareconsideratnparagrafulprecedent este utilizabil pentru circuite ce conin ENL cu orice tip de caracte-ristici v.a. saua.v., prin urmare, aceast metod este mai general. Dac caracteristicile curbliniare ale elementelor, pe anumite sectoa-redemodificareatensiuniisaucurentuluipotfinlocuiteculinii drepte, atunci se pot scrie ecuaii i calculele pot fi realizate pe cale analitic,circuitulneliniarfiindprezentatcaoschemechivalent cuelementeliniare.nastfeldecalculeesteutilizatnoiuneade r e z i s t e n , s t a t i c saudi f e r e n i a l aelementuluinonli-niar (ENL). RezistenstaticrstaENLnpunctuldatalcaracteristiciivolt-ampersenumetemrimea,egalcuraportuldintretensiunei curent,nregimulcecorespundepunctuluincauz.nfigurile 1.64,ai1.65,asuntreprezentatecelemaitipicec.a.v.,anumite segmentealecrorapotcoincidecucaracteristicilecelormai diverse elemente neliniare. Rezistenastaticnpunctulaaacestorcaract