Paramètres S Analyseur de réseaux -...
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Dept. GEII IUT - Université Bordeaux1
Paramètres S
Analyseur de réseaux
Amplification de puissance
G. Couturier
2
Sommaire I- Introduction : modèle physique versus modèle comportemental
I-1- Paramètres physiques I-2- Modèle physique simplifié de la diode et schéma aux petits signaux I-3- Modèle physique simplifié du transistor et schéma aux petits signaux I-4- Deux diodes tête bêche : un transistor ? I-5- Modèle physique du transistor et schéma aux petits signaux
I-6- Paramètres comportementaux
I-7- Relation entre paramètres H et paramètres physiques
II- Les paramètres S d'un quadripôle
II-1- Signification physique des paramètres S II-2- Relation entre paramètre S et paramètres H II-3- Etude de cas : un transistor et un amplificateur
III- Principe de fonctionnement d’un analyseur de réseaux
III-1- L’analyseur de réseaux vectoriel HP8753D III-2- Correction des erreurs
IV- Paramètres S et amplification de puissance
IV-1- Gain en puissance d’un quadripôle unilatéralisé
IV-2- Adaptation d’impédance : cas d’un quadripôle unilatéralisé IV-3- Exemple de quadripôle unilatéralisé IV-4- Gain en puissance d’un quadripôle réel IV-5- Exemple de quadripôle réel : cercles de stabilité
a) adaptation simultanée, K>1 b) adaptation simultanée impossible, K<1, cercles de stabilité c) adaptation en bruit
3
V- Adaptation d’impédance
V-1- Puissance déposée dans une charge : condition d’adaptation V-2- Circuit d’adaptation V-3- Adaptation d’une source à une charge via un câble V-4- Exemple de calcul du réseau d’adaptation par logiciel
Exercice n°1 : Matrice Y de deux quadripôles en parallèle Exercice n°2 : Paramètres S d’un quadripôle adaptateur Exercice n°3 : L’amplificateur AD8354 1MHz – 2,7GHz Exercice n°4 : Pont de mesure des paramètres 11S et 22S Exercice n°5 : Coupleur latéral pour la mesure des paramètres 11S et 22S Exercice n° 6 : Adaptation d’impédance et câble de transmission
Annexe 1 : Caractéristiques techniques des diodes BAW78 et BAS16
Annexe 2 : Caractéristiques techniques du transistor MRF104T1
Annexe 3 : Calcul du paramètre 12S en fonction des paramètres H
Annexe 4 : Caractéristiques techniques de l’amplificateur AD8354
Annexe 5 : Corrections des erreurs pour la mesure des paramètres 11S et 22S
Annexe 6 : Corrections des erreurs pour la mesure des paramètres 21S et 12S
Annexe 7 : Gain en puissance d’un quadripôle unilatéralisé Annexe 8 : Facteur de bruit NF d’un quadripôle Annexe 9 : Matrice chaîne d’un tronçon de ligne
4
Pré requis : cours de propagation, coefficient de réflexion, rapport d’onde stationnaire, abaque de Smith Mots clés : modèle physique et comportemental, paramètres S, analyseur de réseaux, correction des erreurs, détection synchrone
Le transistor bipolaire fut découvert en 1947 par J. Bardeen, W. H. Brattain et W. B. Schockley des Laboratoires Bell Telephone. Pour cette découverte, ils reçurent le prix Nobel en 1956. J. Bardeen obtint un second prix Nobel en 1972 avec L. N. Cooper et J. R. Schrieffer pour la théorie de la Supraconductivité, théorie connue sous le nom de BCS. I- Introduction : modèle physique versus modèle comportemental I-1- Paramètres physiques
D’une manière générale, on a besoin en électronique de disposer de modèles des composants pour faire de la simulation, c'est-à-dire prédire le comportement d’un montage faisant appel à plusieurs composants. Il faut comprendre le mot composant au sens large, ça peut être un simple transistor mais aussi un circuit intégré amplificateur comportant une dizaine de transistors.
On dispose soit de modèles physiques soit encore de modèles comportementaux. Par modèle physique, il faut comprendre un ensemble d’équations régissant le fonctionnement physique du composant.
I-2- Modèle physique simplifié de la diode et schéma aux petits signaux L’équation reliant le courant DI à la tension DV dans une diode, )e1(II kT/DqV
SD −= , est une équation déduite de la physique des semiconducteurs. Ce modèle physique simplifié fait apparaître un seul paramètre : le courant de saturation SI , C10.6,1q 19−= est la charge
de l’électron, K/J10.38,1k 23−= est la constante de Boltzmann et T est la température en
degré Kelvin. Un modèle un peu plus élaboré donne : )e1(II NkT/)DIsRDV(qSD
−−= où
sR est la résistance série de la diode et N le facteur d’idéalité, en pratique sR est de l’ordre de l’Ohm et 2N1 << . L’effet de la résistance sR se manifeste aux forts courants quand
DsIR devient du même ordre de grandeur que DV . Les modèles physiques ci-dessus ne permettent pas de prédire le comportement en fonction de la fréquence ni de prédire le courant de bruit. Pour s’en convaincre, il suffit de faire l’expérience de la figure 1 : une f.e.m. E, un générateur sinusoïdal )tsin(Ae ω= de fréquence f variable et une diode D. On fait les 3 expériences suivantes :
• 0e = , la tension DV aux bornes de la diode est une tension continue égale à 0DV .
0DV est obtenue en résolvant l’équation ( ) 0DkT/0DqV
S V1eRIE +−= pour le modèle plus simple. Le courant DI passant dans la diode est un courant continu égal à 0DI :
−= 1eII
0DVkTq
S0D .
• )tsin(Ae ω= avec une basse fréquence f et une faible amplitude A, dans ce cas la tension aux bornes de la diode est la somme d’une composante continue 0DV et d’une tension sinusoïdale de fréquence f en phase avec la tension e du générateur. La tension V aux
5
bornes est obtenue en résolvant ( ) DkT/DqV
S V1eRI)tsin(AE +−=ω+ . Si l’amplitude A est faible, la tension DV n’est pas très différente de 0DV et on écrit que vVV 0DD += .
( )vV1eeRIvV1eRI)tsin(AE 0D
vkTq
0DVkTq
S0Dv0DV
kTq
S ++
−=++
−=ω+
+
Si la tension v est faible on peut remplacer v
kTq
e par son développement limité
...vkTq
21v
kTq1e 2
2vkTq
+
++≈ . Si 2
2v
kTq
21v
kTq
>> , c'est-à-dire
qkT2v << ou
encore mV50v << , alors seul le premier terme du développement est à retenir :
vkTq1e
vkTq
+≈ , c’est ce que l’on appelle l’approximation linéaire ; on a linéarisé
l’exponentielle. On obtient donc :
vV1vkTq1eRI)tsin(AE 0D
0DVkTq
S ++
−
+=ω+ avec : ( ) 0D
kT/0DqVS V1eRIE +−=
d’où : vvkTqeRI)tsin(A
0DVkTq
S +=ω ou encore : 0DV
kTq
S ekTqI
R1
)tsin(Av
+
ω=
La quantité 0DV
kTq
S ekTqI
est homogène à l’inverse d’une résistance, en effet si on écrit
l’équation aux dimensions, on obtient : SCVCA
KJKCAe
kTqI 1
10DV
kTq
S =Ω===
−
−, posons
D
0DVkTq
Sr1e
kTqI
= . La tension v s’écrit alors :
erR
r)tsin(ArR
r
rR1
)tsin(A
ekTqI
R1
)tsin(AvD
D
D
D
D0DV
kTq
S+
=ω+
=+
ω=
+
ω=
La résistance Dr est égale à l’inverse de la pente de la caractéristique )V(fI DD =
calculée au point )V ,I( 0D0D , voir la figure 2. C’est la résistance dynamique de la diode.
Vérifions le en calculant 0DV,0DID
DdVdI
, il vient :
6
D
0DVkTq
S
0DV
DVkTq
S0DV ,0DID
Dr1e
kTqIe
kTqI
dVdI
===
Quand la diode est passante l’argument de l’exponentielle 0DVkTq est très supérieure à
l’unité, effectivement avec V6,0V 0D ≈ et K300T ≈ , on obtient
1,236,0300.10.38,1
10.6,1VkTq
23
190D ≈≈
−
−, en conséquence le courant de repos 0DI de la diode
s’écrit : 0DV
kTq
S0DV
kTq
S0D eI1eII ≈
−= . On peut donc écrire la résistance Dr sous la
forme : ) en( I10.25
IU
qIkT
eqI
kTr0D
3
0D
T
0D0DVkTq
S
D Ω≈=≈=−
avec q
kTUT = .
On peut retranscrire l’équation erR
rv
D
D+
= sous forme d’un schéma électrique dans
lequel apparaît uniquement la tension e, la résistance R, la résistance Dr et la tension v. Ce schéma est dessiné à la figure 1-b. Ce schéma est appelé le schéma aux variations ou encore schéma aux petits signaux.
• )tsin(Ae ω= avec une haute fréquence f et une faible amplitude A. Dans ce cas, on constate que la tension v est beaucoup plus faible et qu’elle n’est plus en phase avec la tension e, voir la figure 1-c. C’est donc que le modèle physique utilisé pour décrire le comportement de la diode est incorrect. En effet, aux hautes fréquences il faut tenir compte du fait que les porteurs de charge (électrons et trous) ne se déplacent plus en phase avec l’excitation e. A l’équation )e1(II kT/DqV
SD −= décrivant le fonctionnement statique, il faut ajouter d’autres équations, en conséquence le schéma aux variations de la diode est modifié, cela revient à mettre une capacité DC en parallèle sur la résistance Dr . Ce schéma permet de rendre compte de ce qui est observé expérimentalement.
Dans les outils de simulation, exemple SPICE (Simulation Program with Integrated
Circuit Emphasis), la diode est décrite par 15 paramètres : le courant de saturation 0I , la résistance série SR , le facteur d’idéalité N, la capacité de la jonction à potentiel nul, la bande interdite du matériau semiconducteur, les paramètres de bruit, … . Ces paramètres sont déterminés par des mesures courant-tension I(V), des mesures en fonction de la fréquence, de la température, des mesures de bruit, … L’annexe 1 contient les caractéristiques techniques des diodes BAW78 et BAS16 de Infineon et les paramètres SPICE .
I-3- Modèle physique simplifié du transistor et schéma aux petits signaux Un transistor bipolaire, NPN par exemple, est constitué comme le montre le schéma de la
figure 3 d’une zone N, l’émetteur, riche en électrons, d’une zone P, la base, riche en trous et
7
d’une zone N, le collecteur riche en électrons. Le dopage du collecteur est plus faible que le dopage de l’émetteur, ce qui fait qu’émetteur et collecteur ne jouent pas le même rôle.
Dans le mode de fonctionnement normal, la jonction Base - Emetteur est polarisée dans le sens passant, en conséquence des électrons sont injectés de l’Emetteur vers la Base et des trous de la Base vers l’Emetteur. Pour obtenir l’effet transistor, il faut une faible épaisseur de Base, q.q. mµ , de telle sorte que les électrons injectés dans la Base ne se recombinent pas avec les trous de la Base. Le Collecteur est porté à un potentiel fortement positif par rapport à la base, la jonction Collecteur – Base est donc polarisée en inverse, ce fort potentiel positif attire donc les électrons : c’est l’effet transistor. Si les recombinaisons dans la Base sont en faible quantité le courant du Collecteur est très peu différent du courant d’Emetteur.
Figure 1 : (a) 0e = , la tension DV aux bornes de la diode est égale à 0DV , (b) schéma électrique aux petites variations en basses fréquences, la tension v est en phase avec l’excitation e, (c) schéma électrique aux petites variations en hautes fréquences, la tension v n’est plus en phase avec l’excitation e.
R
E
e VD t VD
e
t
e
t
VD
t
e
t
VD
basse fréquence
haute fréquence
R
e Dr
R
e Dr C
schéma aux variations de la diode
schéma aux variations de la diode
D 0DV
I
schéma aux variations en basses fréquences
schéma aux variations en hautes fréquences
0DV
0DV
(a)
(b)
(c)
8
Figure 2 : Caractéristique )V(fI DD = d’une diode, la pente DD dI/dV au point M est égale à la résistance dynamique de la diode
Figure 3 : Effet transistor : les électrons injectés à partir de l’Emetteur sont, si la base est peu épaisse, pratiquement tous collectés par le Collecteur
Si CI , EI et BI sont respectivement les courants de Collecteur, d’Emetteur et de Base, on peut écrire :
α==+
IIIII
EC
EBC (1)
recombinaison dans la base injectés dans l’émetteur
flux de trous
EMETTEUR (N) BASE (P) COLLECTEUR (N)
flux d’électrons
BI
CIEI
DV
DI
0DI
0DV
DdV
DdI
D
DD dI
dVr =
pente au point M de coordonnées ( 0D0D V ,I )
M
9
où 1≈α mais inférieur à 1, α dépend entre autres de la largeur de la base, de la concentration en dopant de la base, … . Ce coefficient traduit le fait que la majorité des électrons injectés à partir de l’Emetteur sont captés par le Collecteur.
Des deux équations, on tire : BC I1
Iα−
α= , on pose
α−α
=β1
, c’est le gain en courant. La
caractéristique courant – tension de la jonction Base – Emetteur obéit, comme pour la diode
étudiée précédemment, à une équation du type :
−= 1eII
BEVkTq
SB où SI est le courant
de saturation. En résumé, le modèle physique le plus simple d’un transistor se ramène à deux équations :
−=
β=
1eII
II
BEVkTq
SB
BC
(2)
Le schéma électrique associé à ces deux équations est représenté à la figure 4 : une diode
pour la jonction Base – Emetteur et un générateur de courant coté Collecteur.
Figure 4 : Modèle physique simplifié d’un transistor : 2 paramètres
SI et β. Le réseau de caractéristique associé au modèle physique est représenté à la figure 5. Dans
le troisième quadrant on trace la caractéristique d’entrée de la jonction Base - Emetteur
−= 1eII
BEVkTq
SB . Dans le deuxième quadrant la caractéristique BC II β= . Si on fait
l’hypothèse, peu raisonnable, que le courant CI ne dépend ni de la tension CBV , ni de la tension BEV , on obtient dans le premier quadrant des droites horizontales, paramétrés en BI , puisque BECBCE VVV += .
Pour un point de fonctionnement donné )I ,V ,I ,V( 0CCE00B0BE , on obtient le schéma aux petits signaux de la figure 6. Les courants et tensions cecbeb v et i ,v,i représentent les variations des tensions et courants CECBEB Vet I ,V ,I . Les éléments du schéma, ber et β, sont obtenus, comme pour la diode, en différentiant les équations (2) du modèle physique
B C
E
générateur de courant
BC II β= IB
diode
=
−1BEVkTq
SB eII
10
autour du point de fonctionnement et en changeant les notations ( vdV ,idI beBEbB →→ ,
cC idI → et ceCE vdV → ), on obtient donc 0BEV
kTq
SB
BEbe
ekTqI
1dI
dVr == .
=
β=⇒
=
β=⇒
−=
β=
be0BEV
kTq
Sb
bc
BE0BEV
kTq
SB
BCBEV
kTq
SB
BC
vekTqIi
ii
dVekTqIdI
dIdI 1eII
II
(3)
Figure 5 : Caractéristiques CECBCBEB VI et II ,VI −−− d’un transistor simplifié
Figure 6 : Schéma aux petits signaux du transistor de la figure 4 autour du point de fonctionnement
)I ,V ,I ,V( 0CCE00B0BE
Comme pour la diode, l’exposant 1VkTq
0BE >> , il s’ensuit que
0BEVkTq
S0BEV
kTq
S0B eI1eII ≈
−= , en conséquence la résistance ber se met sous la
B C
cev générateur de courant
bc ii β= ib
E E
ber
IC
VCE
VBE
IB
( )1eII kT/BEqVSB −=
BC II =
I
IV 0BEV
0BI
0CI
0CEV
II
III
11
forme 0C
T
0C0B0BEVkTq
S
be IU
IqkT
I1
qkT
ekTqI
1r β=
β=== avec V10.25
qkTU 3
T−≈= à la
température K300T = . I-4- Deux diodes tête bêche : un transistor ? Le transistor de la figure 3 est, a priori, constitué de deux diodes tête bêche N- P (Base –
Emetteur) et P – N (Base – Collecteur). Si on réalise le montage de la figure 7-a avec deux diodes 1D et 2D et deux tensions de polarisation 1E et 2E de mêmes polarités que celles de la figure 3, le courant 0I 2D = , il n’y a pas d’effet transistor. En fait, c’est comme si nous avions réalisé un transistor avec une très grande épaisseur de base, figure 7-b. Dans ce cas, les électrons injectés, depuis l’Emetteur vers la Base, sont intégralement recombinés avec les trous de la Base, l’effet transistor disparaît, le courant 0IC = .
Figure 7 : Deux diodes tête bêche : un transistor ?
I-5- Modèle physique du transistor et schéma aux petits signaux Le modèle physique du § 1-3 est une bonne entrée en la matière mais est insuffisant pour
décrire les caractéristiques réelles des transistors. Quand on fait des mesures courant – tension avec un transistor bipolaire on obtient le réseau de caractéristiques de la figure 8. La principale différence se situe dans le premier quadrant, le courant CI dépend de CEV .
On peut expliquer qualitativement l’allure des caractéristiques du premier quadrant. Jusqu’à maintenant nous n’avons pas parlé des zones de déplétion aux jonctions, on rappelle qu’une zone de déplétion est une zone isolante sans porteur libre. Dans la portion de caractéristique AB de la figure 8, la diode Base – Collecteur est polarisée en inverse, au contact il se forme une zone de déplétion d’autant plus grande que la tension Collecteur – Base est grande comme le montre la figure 9. Pour une tension BEV donnée, plus CBV est grand et donc CEV ( BECBCE VVV += ), plus la zone de déplétion est grande, ce qui a pour effet de réduire la largeur de Base où les électrons injectés de l’Emetteur se recombinent avec les trous de la Base. Ceci a pour effet d’augmenter le flux d’électrons atteignant le Collecteur. Cet effet est connu sous le nom d’effet Early (1952). C’est la raison pour laquelle le courant
CI augmente quand CEV augmente.
0I 2D =
D1 D2
E1 E2
1DI
1DI
(a) (b) 1D 2D
E B C
0IC =
flux d’électrons
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Figure 8 : Caractéristiques CECBCBEB VI et II ,VI −−− d’un transistor
Figure 9 : La zone de déplétion de la jonction Collecteur – Base est d’autant plus grande que la tension CBV est grande, ce qui a pour effet de réduire la largeur de Base où les électrons injectés de l’Emetteur se recombinent avec les trous de la Base.
On observe aussi que l’allure du courant CI est modifiée pour les faibles tensions CEV ,
portion AO de la caractéristique de la figure 8. Quand la tension CBV , donc la tension CEV ,
IC
VCE
VBE
IB
BC II =
0BEV
0BI
0CI
0CEV
I
effet Early
A
O
B
zone de déplétion
zone de déplétion
VCB1
VCB2>VCB1
VBE
VBE
13
devient faible, les électrons injectés dans la Base ne sont plus suffisamment attirés par le Collecteur. Faisons un rapide calcul, prenons V6,0VBE = , si V2,0VCE = par exemple, on obtient V4,0VVV BECECB −=−= , la jonction Base – Collecteur est polarisée dans le sens passant. Pour attirer les électrons, et donc obtenir l’effet transistor, le Collecteur doit être porté à un potentiel positif par rapport à la Base, ce n’est plus le cas, c’est la raison pour laquelle le courant CI diminue. Si le point de fonctionnement du transistor se trouve sur la portion de caractéristique AO, le transistor est dit saturé et la relation BC II β= ne tient plus, dans ce cas les courants EI et BI peuvent devenir du même ordre de grandeur alors que dans la portion AB, EB II << avec EC II ≈ .
Le schéma aux petits signaux de la figure 6 doit donc être modifié pour prendre en compte
l’augmentation du courant CI en fonction de CEV . A partir de maintenant, les schéma aux petits signaux ne sont valables que si le transistor n’entre pas dans la zone de saturation, le point de fonctionnement ne doit donc pas se trouver sur la portion AO de la caractéristique. Le courant CI dépend maintenant de deux variables : )V,I(fI CEBC = . Pour obtenir le comportement aux variations il suffit de calculer, comme nous l’avons fait précédemment,
autour d’un point de fonctionnement, la différentielle : CECE
CB
B
Cc dV
VI
dIII
dI∂∂
+∂∂
= et de
changer les notations : cC idI → , … etc. La dérivée partielle CE
CVI
∂∂
a les dimensions de
l’inverse d’une résistance, on pose :
CE
Cce
VI1r
∂∂
= , la dérivée partielle B
CII
∂∂
est encore égale
au gain en courant β d'où la relation : cece
bc vr1ii +β= . La résistance cer est appelée la
résistance de sortie du transistor. Le schéma aux petits signaux devient donc celui de la figure 10-a. On introduit la transconductance mg (en 1AV− ou en S) en écrivant que le
générateur de courant be
beb r
vi β=β et en posant
bem r
g β= , on obtient le schéma de la figure
10-b. Quelques ordres de grandeur : Typiquement, le courant de base 0BI est de l’ordre de
q.q.10 Aµ , d’où Ω≈≈=−
−2500
10.1010.25
I1
qkTr 6
3
0BEbe , le gain en courant β est de l’ordre de
q. q. 210 , en conséquence la transconductance 1132
m mAV40AV10.40250010g −−− === . On
retiendra que mg est de l’ordre de q.q. dizaine de V/mA .
14
Figure 10 : Schéma électrique aux petits signaux prenant en compte la résistance de sortie cer du transistor.
Le schéma aux petits signaux de la figure 10 ne permet pas de rendre compte du
comportement du transistor aux hautes fréquences, c'est-à-dire à des fréquences où le temps de réponse des porteurs de charge devient du même ordre de grandeur que la période du signal. Comme pour la diode, il faut tenir compte des capacités Base – Emetteur e'bC et Collecteur – Base c'bC , voir le schéma de la figure 11. Expérimentalement, on observe que l’impédance d’entrée ne tend pas vers zéro aux hautes fréquences, en effet la Base de l’effet transistor n’est pas directement accessible comme le montre la coupe d’un transistor à la figure 12. Il existe une résistance 'bbr d’une dizaine d’Ohm entre la Base accessible et la Base réelle de l’effet transistor.
Figure 11 : Schéma de Giacoletto aux petits signaux
B C
E
e'br bev cev
'bbr
e'bC c'bC
B’
e'bmvg cer
E
c'br
e'bv
C
E
B
cev générateur de courant
biβ ib
E
ber cer
ci
(b)
(a)
B
cev générateur de courant
bemvg
E
ber cer
ci
bev
15
Par ailleurs, l’impédance entre la Base B’ et le Collecteur C n’est pas purement capacitive, c’est pourquoi il faut mettre en toute rigueur en parallèle avec la capacité c'bC une résistance
c'br . Cette résistance de forte valeur est souvent négligée dans les calculs. Le schéma électrique aux petits signaux de la figure 11 est connu sous le nom de schéma
de Giacoletto. NB : Le schéma de Giacoletto, fait donc apparaître un couplage entre l’entrée et la sortie
du transistor. Il s’ensuit que suivant les composants mis autour du transistor, un montage amplificateur peut se transformer en montage oscillateur.
Figure 12 : Vue en coupe d’un transistor et origine de la résistance 'bbr
Les schémas aux petits signaux ont pendant très longtemps permis de faire des calculs analytiques de gain, de fréquence de coupure, d’impédance d’entrée et de sortie … à l’époque où les outils CAO n’avaient pas encore envahi les bureaux d’études. En même temps que la puissance de calcul des ordinateurs augmentait, on a cherché des modèles physiques de plus en plus près de la réalité. Le premier modèle physique utilisé fut celui de Ebers et Moll (1954), ce modèle ne prenait pas en compte l’effet Early. Le modèle physique utilisé aujourd’hui dans les simulateurs (modèle SPICE) est le modèle de Gummel et Poon (1970). Ces modèles permettent de simuler le comportement d’un composant quel que soit le point de fonctionnement, la fréquence, l’amplitude des signaux d’excitation puisque le composant est décrit par un ensemble d’équations tirées de la physique et que les paramètres intervenant dans les équations sont mesurés expérimentalement.
Un transistor est donc décrit par un ensemble de paramètres, le modèle complet de Gummel et Poon fait apparaître 41 paramètres listés dans le tableau 2. Bien souvent, on ne dispose pas de tous les paramètres, ce qui veut dire que la simulation donne un résultat approché.
Collecteur enterré N+
N+
N
P
N
'bbr
B E C
2SiO
substrat P
région active 2SiO B’
16
Tableau 1 : Modified Gummel-Poon BJT parameters
17
A titre d’exemple, on donne en annexe 2, les caractéristiques du transistor MRF1047T1. Le tableau de paramètres SPICE du transistor MRF1047T1 ne comprend que 35 paramètres. Les paramètres SPICE sont mesurés sous pointes, ils ne prennent pas en compte les « bondings » entre la puce de silicium et le boîtier SC-70. Pour le transistor MRF1047T1, le constructeur donne les éléments capacitif et inductif à ajouter au modele SPICE pour obtenir une simulation plus précise. On ne compte pas moins de 5 capacités et 5 inductances dont les ordres de grandeur sont de q.q. 100fF et de q.q. 100pH.
I-6- Paramètres comportementaux Plutôt que de travailler avec un modèle physique, on peut travailler avec un modèle
comportemental. Dans ce cas, point n’est besoin de connaître la physique du composant, on traite le composant (transistor, amplificateur, …) comme un quadripôle, on dit aussi comme une « boîte noire ». Le quadripôle est caractérisé par 4 paramètres, ces paramètres sont des paramètres petits signaux. Dans le cas d’un transistor, les paramètres sont donnés pour un point de fonctionnement donné et pour une fréquence donnée. Dans le cas d’un amplificateur, les paramètres sont donnés pour une tension d’alimentation et une fréquence donnée.
Sur la figure 13 on a donc représenté un quadripôle, 1V et 1I sont respectivement la tension et le courant à l’entrée, 2V et 2I sont respectivement la tension et le courant en sortie.
Figure 13 : Le transistor, l’amplificateur, .. est traité comme un quadripôle
Pendant très longtemps, on a utilisé les paramètres H (comme Hybride), Y (comme
admittance) ou Z (comme impédance) pour caractériser les quadripôles. Les paramètres Z relient les tensions d’entrée 1V et de sortie 2V aux courants d’entrée 1I
et de sortie 2I . Les quatre paramètres Z ont pour dimensions des impédances.
+=
+=
2221212
2121111
IzIzV
IzIzV (4)
Les paramètres Y relient les courants d’entrée 1I et de sortie 2I aux tensions d’entrée 1V
et de sortie 2V . Les quatre paramètres Y ont pour dimensions des admittances.
1V
1I 2I
2V Quadripôle (transistor,
amplificateur, …)
18
+=
+=
2221212
2121111
VyVyI
VyVyI (5)
Les paramètres H sont, comme leur nom l’indique, des paramètres hybrides. Ils relient la
tension d’entrée 1V et le courant de sortie 2I au courant d’entrée 1I et à la tension de sortie
2V . C’étaient les paramètres les plus utilisés avant que les paramètres S soient introduits dans les années 70.
+=
+=
2221212
2121111
VhIhI
VhIhV (6)
Aux paramètres H, on peut associer le schéma électrique de la figure 14. Le paramètre 11h
a la dimension d’une impédance (en Ω), le paramètre 12h est sans unité, le paramètre 21h est également sans unité, c’est un gain en courant et le paramètre 22h a la dimension d’une admittance (en S).
Figure 14 : Schéma électrique associé aux paramètres H d’un quadripôle
Les paramètres H se mesurent. Le paramètre 11h est égal à : 02V1
111 I
Vh
== . Pour le
mesurer il faut faire un court circuit, aux variations, sur la sortie comme le montre la figure 15. On injecte une tension à l’entrée et on mesure le courant d’entrée. Le paramètre 11h représente l’impédance d’entrée quand la sortie est en court circuit.
1I 2I
121Ih 11h
212Vh 1V
22h 2V
19
Figure 15 : Mesure du paramètre 11h
Le paramètre 12h est égal à : 01I2
112 V
Vh
== . Pour le mesurer, on injecte une tension coté
sortie et on mesure la tension à l’entrée comme le montre la figure 16. On notera que le paramètre 12h est la signature du couplage de la sortie vers l’entrée. Un quadripôle avec
0h12 ≠ est susceptible d’osciller.
Figure16 : Mesure du paramètre 12h
Le paramètre 21h est égal à : 02V1
221 I
Ih
== . Pour le mesurer, on injecte une tension coté
entrée et on mesure les courants 1I et 2I en entrée et sortie comme le montre la figure 17. Le paramètre 21h représente le gain en courant quand la sortie est en court circuit aux variations.
Figure 17 : Mesure du paramètre 21h
121Ih 11h
212Vh
1I 2I
1V 22h 0V2 =
121Ih 11h
212Vh
1I 2I
1V 22h 2V
121Ih 11h
212Vh
1I 2I
1V 22h 0V2 =
20
Le paramètre 22h est égal à : 01I2
222 V
Ih
== . Pour le mesurer, on injecte une tension coté
sortie et on mesure le courant 2I en sortie comme le montre la figure 18. Le paramètre 22h représente l’admittance de sortie quand l’entrée est en circuit ouvert.
Figure 18 : mesure du paramètre 22h
I-7- Relation entre paramètres H et paramètres physiques On peut bien entendu établir une correspondance entre les paramètres comportementaux H
et ceux du schéma électrique aux petits signaux déduit d’un modèle physique. Faisons ce travail avec le schéma aux petits signaux de la figure 10. Les tensions et courants
2211 I et V ,I ,V du quadripôle de la figure 13 deviennent respectivement : ccebbe i et v ,i ,v
+=+β=
=
rv
vgrv
ii
irv
ce
cebem
ce
cebc
bbebenotation du schéma petits signaux de la figure 10
Les équations avec les paramètres H s’écrivent :
+=
+=
2221212
2121111
VhIhI
VhIhV
L’analogie entre les paramètres physiques et comportementaux conduit aux relations
suivantes : be11 rh = , 0h12 = , bem21 rgh =β= et ce
22 r1h = .
La figure 19 montre les modèles physique et comportemental d’un transistor simplifié.
121Ih 11h
212Vh
1I
1V 22h 2V
2I
21
Figure 19 : Modèles physique (a) et comportemental (b) d’un transistor simplifié
Les calculs précédents font apparaître un gain en courant bem21 rgh = indépendant de la
fréquence, c’est le gain en courant statique dénommé dans les datasheet FEh . Le transistor MRF1047T1 a un FEh compris entre 100 et 300 pour le point de fonctionnement mA3I ,V3V CCE == , voir l’annexe 2. Compte tenu des capacités e'bC et c'bC le gain en courant 21h diminue quand la fréquence augmente. On appelle fréquence de transition d’un transistor, la fréquence pour laquelle le gain en courant devient égal à l’unité. Le transistor MRF1047T1 a par exemple une fréquence de transition GHz12f t = pour le point de fonctionnement mA3I ,V3V CCE == .
Déterminons pour le schéma de Giacoletto aux petites variations de la figure 11 le gain en
courant 02V1
221 I
Ih
== en fonction de la fréquence. La figure 20 montre le montage pour le
calcul de 21h , on néglige la résistance c'br .
Figure 20 : Détermination du gain en courant 21h Ecrivons les équations aux nœud B’ et C :
B
C
E
e'br bev
'bbr
e'bCc'bC
B’
e'bmvg cer
2I 1I
e'bv
B C
E
ber ⇒
(a) modèle physique (b) modèle comportemental
bev cev cer 121Ih
11h 1V
1I
2V
2I
22h1
bemvg
22
( )
=ω+−
=−+
ω+−
0jCvvgI
0vgIr
Cjr1vI
c'be'be'bm2
e'bm2e'b
e'be'be'b1
(7)
D’une des deux équations on tire e'bv que l’on réinjecte dans l’autre, on obtient :
ω++
ω−==
= e'bc'be'b
m
c'b
e'bm02V1
221 r)CC(j1
gC
j1rg
II
h
Les ordres de grandeur des composants permettent de simplifier l’expression. Prenons les
valeurs du transistor MRF1047T1, 150rgh e'bmFE ≈= pour mA3IC = ,
Ω≈= 1290qIkThr
CFEe'b à K300T = et 1-
e'b
FEm VA12,0
rh
g ≈= , les capacités e'bC et c'bC
sont de l’ordre pF5,0 et pF3,0 respectivement (figure 1 et 2 de la datasheet). On déduit que : 112
m
c'b s10.5,2gC −−≈ et ( ) 19
e'bc'be'b s10rCC −−≈+ , d’où l’approximation justifiée :
ω++
≈== e'bc'be'b
e'bm02V1
221 r)CC(j1
1rgII
h (8)
Le tracé asymptotique 2110 hlog20 en fonction de )f(log10 est donné à la figure 21.
Quand f devient très supérieure à la fréquence de coupure à -3dB,
MHz160r)CC(2
1fe'bc'be'b
dB3 ≈+π
=− , le gain en courant peut être approximé par :
ω+≈
e'bc'be'b
e'bm21 r)CC(j
rgh . La fréquence de transition tf correspond à 1h 21 = , soit :
1f2)CC(
g
tc'be'b
m =π+
. On obtient :
)CC(2
gfc'be'b
mt +π
= (9)
Le constructeur annonce GHz12f t ≈ , c’est une valeur typique mesurée, avec les valeurs
précédentes de mg , e'bC et c'bC on obtient .GHz23
23
Figure 21 : Tracé asymptotique 2110 hlog20 en fonction de )f(log10
Les paramètres H se mesurent donc en réalisant soit un circuit ouvert en entrée ( 0I1 = )
soit encore un court circuit en sortie ( 0V2 = ). Si en pratique il est facile de réaliser un circuit ouvert ou un court circuit aux basses fréquences, il n’en est pas de même aux hautes fréquences, dans le domaine des GHz, c'est-à-dire quand les dimensions des circuits sont du
même ordre de grandeur que la longueur d’onde λ . On rappelle que f
Vitesse=λ avec
Vitesse de l’ordre de 18 ms10.2 − ; pour GHz5f = , on obtient cm4=λ . Aux très hautes fréquences, un fil n’est plus équipotentiel (voir cours de propagation), un court circuit à tendance à se comporter comme une inductance et un circuit ouvert comme une capacité. Par ailleurs, quand les transistors sont chargés par des impédances réactives (inductance ou condensateur), ils ont tendance à osciller, ce qui rend les mesures impossibles. C’est pour ces raisons que les paramètres S ont été introduits dans les années 70.
II- Les paramètres S d'un quadripôle Soit un quadripôle Q sous test (en anglais DUT pour Device Under Test) connecté en
entrée à une source d’impédance sZ via une ligne d’impédance caractéristique cZ réelle. La sortie du quadripôle est chargé par une impédance lZ via une ligne d’impédance caractéristique cZ .
Le quadripôle possède des impédances d'entrée et de sortie de valeurs quelconques et, de ce fait, se trouve désadapté vis à vis des lignes de transmission ; des ondes réfléchies existent donc à la fois au niveau de son entrée et de sa sortie comme le montre la figure 22.
Les grandeurs 1V , '1V , "
1V , 2V , '2V , "
2V , 1I et 2I sont des grandeurs complexes qui dépendent de la fréquence du générateur.
La tension 1V à l’entrée du quadripôle est la somme d’une onde incidente et d’une onde réfléchie (cours de propagation), idem pour le courant :
)f(log10
2110 hlog20
)rg(log20 e'bm10
( ) e'bc'be'bdB3 rCC2
1f+π
=−
dB0
)CC(2g
fc'be'b
mt +π
=
24
C
"1
'1
1
"1
'11
ZVV
I et
VVV
−=
+=
(10)
En sortie du quadripôle, on a :
C
"2
'2
2
"2
'22
ZVV
I et
VVV
−=
+=
(11)
Figure 22 : Définition des différentes grandeurs d'entrée et de sortie d'un quadripôle Q
Examinons maintenant la signification des différentes composantes des tensions et
courants en entrée et en sortie du quadripôle :
'1V : onde incidente à l'entrée du quadripôle
- une partie de cette onde est transmise par le quadripôle et contribue à "2V
- une partie de cette onde est réfléchie par l'entrée du quadripôle et contribue à "1V
'2V : onde réfléchie par lZ en sortie du quadripôle
- une partie de cette onde est transmise par le quadripôle vers son entrée et, repartant vers le générateur, vient contribuer à "
1V - une partie de cette onde est réfléchie par la sortie du quadripôle et repart vers la charge
lZ , contribuant ainsi à "2V
Quadripôle Q sous test
Ligne d’impédance caractéristique cZ
e(t)
sZ
Ligne d’impédance caractéristique cZ
Quadripôle Q sous test
'1V
"1
'11 VVV +=
'2V
"2V
"2
'22 VVV +=
lZ
"1V
25
On peut donc exprimer "1V et "
2V en fonction de '1V et '
2V , il vient :
'222
'121
"2
'212
'111
"1
VSVSV
VSVSV
+=
+=
sous forme matricielle
=
'2
'1
2221
1211
"2
"1
V
V
SS
SS
V
V (12)
Les paramètres S (Scattering parameters ou paramètres de diffusion) sont au nombre de quatre : S11, S12, S21 et S22. Ce sont des grandeurs complexes, sans dimension, qui rendent compte des différents processus de transmission et de réflexion mis en jeu au niveau de l'entrée et de la sortie du quadripôle.
II-1- Signification physique des paramètres S A partir des équations (12) précédentes, on obtient :
0'
2V'1
"1
11V
VS
=
= (13)
Dire que 0V'
2 = revient à dire qu'aucun signal ne revient sur la sortie du quadripôle, la
charge cZZ =l . S11 représente donc le coefficient de réflexion à l'entrée du quadripôle lorsque sa
sortie est adaptée.
0'
1V'2
"2
22V
VS
=
= (14)
Dire que 0V'
1 = revient à dire qu'aucun signal ne revient sur l’entrée du quadripôle,
l’impédance de source cs ZZ = . S22 représente donc le coefficient de réflexion à la sortie du quadripôle lorsque son
entrée est adaptée.
0'
1V'2
"1
12V
VS
=
= (15)
S12 représente donc le coefficient de transmission du quadripôle de la sortie vers l'entrée, lorsque son entrée est adaptée.
26
0'
2V'1
"2
21V
VS
=
= (16)
S21 représente donc le coefficient de transmission du quadripôle de l'entrée vers la
sortie, lorsque sa sortie est adaptée.
Les quatre paramètres S sont donc mesurés en référence à une impédance cZ , en général Ω50 . Les quadripôles passifs, un tronçon de ligne de propagation par exemple, sont
réciproques ; il en résulte que 2211 SS = et que 2112 SS = .
Les paramètres S sont utilisés pour le calcul des réseaux d’adaptation en entrée et en sortie et pour le calcul du gain en puissance.
II-2- Relation entre paramètre S et paramètres H Au § I-7, nous avons établi une correspondance entre les paramètres H et les paramètres
physiques aux petites variations. Nous pouvons bien entendu faire de même et établir une correspondance entre les paramètres S et les paramètres physiques ou bien encore avec les paramètres H.
Les calculs sont assez longs, pour en montrer le principe, on prend un quadripôle avec le paramètre 0h12 = , ce paramètre est en général faible. L’idéal serait d’avoir 0h12 = , en effet
12h est la signature d’un couplage de la sortie vers l’entrée, 0h12 ≠ risque donc de transformer un quadripôle amplificateur en oscillateur.
Le paramètre 0'
2V'1
"1
11V
VS
=
= se calcule à partir du schéma de la figure 23. Pour obtenir
0V'2 = , il faut charger le quadripôle par une résistance de Ω50 égale à l’impédance
caractéristique Ω= 50Zc (ou autre valeur, par exemple Ω75 ) des câbles de mesure. Le paramètre 11S est donc le coefficient de réflexion à l’entrée, soit :
c11
c1111 Zh
ZhS
+−
= (17)
Le paramètre 0'
1V'2
"1
12V
VS
=
= est obtenu en attaquant le quadripôle par la sortie et en
chargeant l’entrée par une résistance de Ω50 égale à cZ afin d’obtenir 0V'1 = comme le
montre le schéma de la figure 24. Les tensions 0VVV 1"1
'1 === car il n’y a pas, avec
0h12 = , de réaction de la sortie sur l’entrée, en conséquence : 0S12 = (18) Si 0S12 = , le quadripôle est dit unilatéralisé.
27
Figure 23 : Schéma pour le calcul du paramètre 11S en fonction des paramètres H
Figure 24 : Schéma pour le calcul du paramètre 12S en fonction des paramètres H
Le paramètres 0'
2V'1
"2
21V
VS
=
= se déduit encore à partir du schéma de la figure 23.
121c22
c121
22c
22c
"2 Ih
1ZhZ
Ih
h1Z
h1Z
V+
−=
+−=
111"1
'11 IhVVV =+= et
c11
c11'1
"1
ZhZh
V
V+−
= d’où :
+
=
+−
+=c11
11'1
c11
c11'1111 Zh
h2V
ZhZh
1VIh
121Ih
11h
0VVV "1
'11 =+=
1I 2I
22h1
0V'1 =
0V"1 =
"2V
Ω50 '2V
"2
'22 VVV +=
2V1V
121Ih
11h
"1
'11 VVV +=
1I 2I
22h1
'1V
"1V "
2VΩ50
0V'2 =
"22 VV =
2V 1V
28
On réinjecte 1I dans l’expression de "2V et on obtient :
++
−=+
−=c11
11
11
'1
21c22
c121
c22
c"2 Zh
h2hV
h1Zh
ZIh
1ZhZ
V , d’où l’expression de 21S :
)1Zh)(Zh(
hZ2S
c22c11
21c21 ++
−= (19)
Le paramètre 0'
1V'2
"2
22V
VS
=
= se déduit encore à partir du schéma de la figure 24.
Dans la maille d’entrée, il n’y a pas de source d’énergie, en conséquence 0I1 = . En sortie
le courant 0Ih 121 = , le rapport '2
"2
V
V est donc égal au coefficient de réflexion de l’impédance
22h1 , d’où
c22
c22
c22
c22
'2
"2
Zh1Zh1
Zh
1
Zh
1
V
V+−
=+
−= et on obtient :
c22
c2222 Zh1
Zh1S
+−
= (20)
Dans le cas où le paramètre 0h12 ≠ , ce qui est toujours le cas en pratique, le tableau 1
donne les correspondances entre les paramètres S et les paramètres H. En annexe 3, on explique comment trouver le paramètre 12S en fonction des quatre paramètres H.
Paramètre S en fonction des paramètres H
2112c22cc11
2112c22cc1111 hhZ)hZ1)(Zh(
hhZ)hZ1)(Zh(S
−++−+−
=
)hhZ)hZ1)(Zh(hZ2
S2112c22cc11
12c12 −++
=
2112c22cc11
21c21 hhZ)hZ1)(Zh(
hZ2S
−++−
=
2112c22cc11
2112c22cc1122 hhZ)hZ1)(Zh(
hhZ)hZ1)(Zh(S
−+++−+
=
Tableau 1 : Relation entre paramètres S et paramètres H
29
II-3- Etude de cas : un transistor et un amplificateur a- un transistor : La datasheet du transistor MRF1047T1 contient comme nous
l’avons vu les paramètres SPICE à utiliser dans un simulateur SPICE. Ces paramètres, rappelons le, permettent de simuler tout type de situation : excitations petits et grands signaux, mode bloqué, conducteur ou saturé, domaine de fréquence du continu à q.q. GHz, c'est-à-dire jusqu’à la limite du modèle physique. La datasheet contient également les paramètres S, ils sont utilisables dans un simulateur de paramètres S. On rappelle que les paramètres S sont des paramètres petits signaux et qu’ils ne sont valables qu’autour d’un point de fonctionnement donné. Le tableau 2 contient par exemple les paramètres S aux fréquences de 1,0 , 1 et GHz5 et pour le point de fonctionnement V1VCE = et mA3IC = . Le paramètre K renseigne sur la stabilité du transistor, en effet 0S12 ≠ peut rendre le transistor instable. Les paramètres S permettent de calculer les réseaux d’adaptation à mettre en entrée et en sortie du transistor pour obtenir par exemple un gain en puissance maximum.
On observe que le paramètre 21S , dont le module au carré est égal au gain en puissance quand cs ZZZ == l , diminue quand la fréquence augmente, ceci est relié au fait que le gain en courant diminue avec la fréquence (voir le §1-7). Le paramètre 12S augmente quand la fréquence augmente, ceci est dû principalement à la capacité de c'bC dont l’impédance
devient de plus en plus faible quand la fréquence augmente.
CEV
CI f(GHz) 11S 21S 12S 22S K
1V 1V 1V
3 mA 3 mA 3 mA
GHz1.0 GHz1
GHz5
°−∠ 17947.0
°−∠ 110388.0
°∠93382.0
°∠1653.9
°∠9393.3
°∠6176.1
°∠80028.0
°∠49138.0
°∠29470.0
°−∠ 11955.0
°−∠ 50471.0
°−∠ 133260.0
1.0
78.0
97.0
Tableau 2 : Paramètres S du transistor MRF1047T1 pour le point de fonctionnement V1VCE = et mA3IC =
On peut vérifier, pour l’exemple, l’ordre de grandeur du paramètre 11S à la fréquence de GHz1,0 pour V1VCE = et mA3IC = . La fréquence de GHz1,0 est bien inférieure à la
fréquence de transition GHz12f t = , en conséquence les effets capacitifs sont quasiment
négligeables, on peut donc écrire Ω≈≈ 1290qIkThh
CFE11 et 92,0
501290501290S11 ≈
+−
= , la
datasheet donne °−∠= 1794,0S11 . Nous pouvons faire de même pour le paramètre 21S , avec comme approximations : 0h22 ≈ et 0h12 ≈ , on obtient d’après le tableau 1,
)Zh(hZ2
Sc11
21c21 +
−≈ , dans une première approche on peut prendre 150hh FE21 =≈ et on
obtient 11)501290(
150502 xx21 −≈
+−
≈S soit °∠18011 , la datasheet donne °∠1653,9 . On peut affiner
le résultat en prenant en compte le fait qu’à la fréquence de GHz1,0 le paramètre 21h est un
peut différent de FEh , en effet d’après la relation (8),
ω++
=e'bc'be'b
e'bm21 r)CC(j11rgh
30
soit avec les valeurs numériques °−∠=
+
= 32127
10.16010.100j1
1150h
6
621 , on obtient alors :
°∠≈ 1505,9S21 . b- un amplificateur : L’amplificateur large bande AD8354, dont la datasheet est donnée à
l’annexe 4, est un amplificateur à deux étages de gain dB20 sur la bande de fréquence GHz7,2MHz1 − . Les ports d’entrée et de sortie ont des impédances quasiment égales à Ω50
sur toute la bande, on peut le vérifier en observant les tracés de 11S et 22S dans l’abaque de Smith (figure 3 et 6 de la datasheet). On rappelle que le point au centre de l’abaque correspond à une impédance égale à Ω= 50Zc c'est-à-dire à un coefficient de réflexion nul, le paramètre 11S ( 22S ) est le coefficient de réflexion en entrée (sortie) quand la sortie (entrée) est chargée par Ω= 50Zc . Pour caractériser l’amplificateur on utilise aussi le terme de « input return loss » et «output return loss » ; 1110log20 Srn lossinput retu = . Le paramètre dB33S12 −≈ (reverse isolation), soit 022,0S12 ≈ , ce qui montre que le couplage de la sortie vers l’entrée est très faible, l’idéal serait, rappelons le, 0S12 = . L’amplificateur peut délivrer une puissance de dBm3,4 ( mW7,2≈ ), avec un gain de dB20 à MHz900 . La
consommation sous 3V est égale à mA24 , le rendement est donc égal à : %7,310243
107,23xx
3x≈
−
−,
il est beaucoup plus faible que le rendement théorique (25%) d’un amplificateur classe A basse fréquence.
III- Principe de fonctionnement d’un analyseur de réseaux
L’analyseur de réseaux est l’outil indispensable tant pour la caractérisation des composants de base comme les transistors et les composants passifs que pour la caractérisation de circuits intégrés, ou non, comme les amplificateurs et les mélangeurs utilisés dans le domaine des télécommunications.
Le synoptique simplifié d’un analyseur de réseaux 2 ports est donné à la figure 25. Il comprend une source RF (Radio Fréquence) synthétisée construite en général autour d’un oscillateur à quartz de grande stabilité (TCXO : Temperature Compensated Crystal Oscillator ou OCXO : Oven Controlled Temperature Crystal Oscillator) et d’une boucle à verrouillage de phase (PLL pour Phase Locked Loop). Dans un analyseur 2 Ports, la source peut être dirigée vers le Port 1 (ou Port 2) pour la mesure des paramètres 11S et 21S (ou 22S et 12S ). La puissance injectée est ajustée au moyen d’un atténuateur. Il est important de pouvoir ajuster la puissance lors des tests sur des dispositifs actifs (transistor, amplificateur, mélangeur, …), en effet les paramètres S sont des paramètres petits signaux et doivent être mesurés dans le domaine linéaire. La puissance fournie par la source est séparée en deux (power splitter) , une partie est dirigée vers la voie référence, l’autre est dirigée vers le système sous test (DUT pour Device Under Test) . La tension réfléchie est mesurée, suivant le domaine de fréquence, au moyen d’un pont ( VSWR bridge pour Voltage Standing Wave Ratio) ou d’un coupleur (directional coupler) basé sur le principe de deux lignes couplées. Les signaux RF sont translatés autour d’une fréquence intermédiaire (FI) au moyen d’un mélangeur et d’un oscillateur local. Ils sont ensuite échantillonnés et numérisés et enfin traités numériquement dans un processeur.
31
Les paramètres S sont complexes et sont, dans tous les cas, égaux au rapport de deux tensions. Il faut donc mesurer le rapport de ces deux tensions mais aussi le déphasage entre les deux tensions. On utilise à cet effet une détection synchrone, en pratique, cette opération est réalisée numériquement. Intéressons nous par exemple à la détermination du paramètre
0'2V
'1
"1
11V
VS
=
= . Prenons le signal '1V comme référence des phases : tj'
1'1 eVV ω= . Le signal
"1V s’écrit alors : ( )ϕ+ϕ== ωϕ+ω sinjcoseVeVV tj"
1)t(j"
1"1 où ϕ est le déphasage entre
les deux tensions '1V et "
1V , le diagramme de Fresnel correspondant est donné à la figure 26.
Il faut donc d’une part mesurer la composante de "1V en phase avec '
1V , c-à-d ϕcosV"1 et
d’autre part la composante en quadrature de phase ϕsinV"1 . Pour obtenir le paramètre 11S , il
faut également mesurer le module de '1V , au final on obtient :
'1
"1
'1
"1
'1
j"1
tj'1
)t(j"1
11V
sinVj
V
cosV
V
eV
eV
eVS
ϕ+
ϕ===
ϕ
ω
ϕ+ω
(21)
Figure 25 : Synoptique simplifié d’un analyseur de réseaux (source : Fundamental of Vector Network Analysis, Michael Hiebel, Rohde & Schwarz, 2007).
A DSP N
A DSP N
A DSP N
A DSP N
DU
T
voie référence
voie référence
voie mesure
voie mesure
coupleur
atténuateur
diviseur
oscillateur local source RF synthétisée
Port 1
Port 2
filtre FI
32
Figure 26 : Représentation de Fresnel des tensions '
1V et "1V
Le principe de fonctionnement d’un détecteur synchrone est décrit à la figure 27, il comprend : deux multiplieurs, un déphaseur de 2/π et deux filtres passe bas.
Figure 27 : Principe de fonctionnement d’un détecteur synchrone pour la récupération des composantes en phase et quadrature de phase.
Le signal temporel )t(v'1 associé à tj'
1'1 eVV ω= complexe s’écrit :
( ) )tcos(VVv '1
'1
'1 ω=ℜ= où ℜ désigne la partie réelle. Le signal temporel )t(v ''
1 associé à
"1V s’écrit : )tcos(Vv "
1"1 ϕ+ω= . Après multiplication et filtrage passe-bas on obtient
)cos(VV21 ''
1'1 ϕ , le signal haute fréquence de pulsation ω2 est éliminé par le filtre passe-bas.
La composante en quadrature de phase )sin(VV21 ''
1'1 ϕ est obtenue en multipliant )t(v ''
1 par
)t(v'1 déphasé de π/2.
)tcos(V"1 ϕ+ω
)tcos(V'1 ω
filtre passe-bas
)cos(VV21 "
1'1 ϕ
filtre passe-bas
)sin(VV21 "
1'1 ϕ
déphaseur de π/2
multiplieurs de constante k=1V-1
'1V
"1V
ϕ
ϕcosV"1
ϕsinV"1
vecteurs tournant à la fréquence f
"1V
33
Pour obtenir les parties réelle et imaginaire du paramètre 11S il faut mesurer l’amplitude
'1V et ensuite diviser les deux signaux )cos(VV
21 "
1'1 ϕ et )sin(VV
21 "
1'1 ϕ par
2
V2'
1.
Le module de 11S est obtenu en calculant :
2
'1
"1
2
'1
"1
)sin(V
V)cos(
V
V
ϕ+
ϕ soit
''1
'1
2
'1
"1
2
'1
"1
V
V
V
V
V
V=
+
. La phase de 11S est obtenue en calculant :
( ) ϕ=ϕ=
ϕ
ϕ
)(tgatan
)cos(V
V
)sin(V
V
atan
'1
"1
'1
"1
.
NB : Certain appareils ne mesurent que le module de 11S , ce sont des analyseurs de
réseaux scalaires.
III-1- L’analyseur de réseaux vectoriel HP8753D C’est un analyseur 2 Ports qui permet de mesurer les 4 paramètres S d’un quadripôle sans
avoir à retourner le quadripôle. La puissance de la source est ajustable dans une large gamme, c’est important pour faire des mesures petits signaux. Comme dans le cas des analyseurs de spectre, la vitesse de balayage en fréquence est d'autant plus lente que la bande passante du filtre FI est étroite. Plus la bande passante du filtre FI est faible, plus faible est le bruit. Les principales caractéristiques sont rassemblées dans le tableau 3.
Description Spécification
Fréquence Résolution
30kHz – 6GHz 1Hz
Puissance de sortie -85dBm à 10dBm Bande passante FI 10Hz – 3kHz Niveau de bruit -102dBm pour 10Hz de bande entre
30kHz et 3GHz -82dBm pour 3kHz de bande entre 30kHz et 3GHz NB : valeur limite dBm163fkT −→∆ pour 10Hz
Impédance d’entrée des Ports Ω50 Return loss dB10≥ de 30kHz à 50kHz
dB20≥ de 50kHz à 300kHz dB18≥ de 300kHz à 1,3GHz dB16≥ de 1,3GHz à 3GHz dB14≥ de 3GHz à 6GHz
Tableau 3 : Principales caractéristiques de l’analyseur HP8753D
34
Le traitement numérique des données permet d'inclure les opérations suivantes : - AVERAGING (permet de faire la moyenne de plusieurs enregistrements) - SMOOTHING (permet de lisser les points de mesure d’un enregistrement, c’est un
filtre numérique). On peut cumuler AVERAGING et SMOOTHING - CORRECTION (permet la correction des erreurs dues aux câbles reliant le DUT à
l’appareil) - PORT EXTENSION (permet de raccourcir ou allonger virtuellement la longueur
des câbles ) - etc ...
III-2- Correction des erreurs Pour accéder aux paramètres S d’un quadripôle Q, il faut le relier par des câbles à
l’analyseur de réseaux comme le montre la figure 28. Les paramètres S mesurés ne sont donc pas les paramètres S du quadripôle mais ceux de l’ensemble quadripôle Q + câbles + connecteurs éventuels. Les câbles et connecteurs introduisent des pertes et des déphasages.
Pour rappel, un câble de longueur L introduit un déphasage de VLf.2π=φ où V est la vitesse
de propagation, si cm50L = , GHz1f = et 18 ms10.2V −= on obtient : rd 5π=φ .
Figure 28 : Les câbles perturbent la mesure des paramètres S du quadripôle Q
Pour obtenir les paramètres S du quadripôle Q il faut procéder à une correction des
erreurs, c'est-à-dire caractériser dans un premier temps les câbles de mesure et procéder dans un deuxième temps à un calcul permettant de s’affranchir des câbles.
La procédure de calibration est analogue à celle que l'on pourrait faire par exemple pour la mesure d’une faible résistance en continue, en effet pour une mesure précise il faut soustraire la résistance des fils de mesure, ceci dit pour une mesure de résistance il est préférable d’utiliser une mesure 4 fils qui dispense de la mesure des fils.
Pour effectuer la correction des erreurs sur la mesure du paramètre 11S (ou 22S ), il faut
procéder à trois mesures préliminaires sur des charges de référence : court-circuit, circuit ouvert et charge Ω50 comme le montre la figure 29. Le détail des calculs à effectuer pour obtenir le paramètre 11S (ou 22S ) est donné à l’annexe 5.
analyseur de réseaux
Q
câbles
Port 1 Port 2
35
Pour effectuer la correction des erreurs sur la mesure du paramètre 21S (ou 12S ), il faut procéder à une mesure préliminaire comme le montre la figure 30. Le détail des calculs à effectuer pour obtenir le paramètre 21S (ou 12S ) est donné à l’annexe 6.
Figure 29 : (a) Calibration pour la mesure du paramètre S11, (b) mesure du paramètre S11 du quadripôle Q
Figure 30 : (a) Calibration pour la mesure du paramètre S21, (b) mesure du paramètre S21 du quadripôle Q
Dans de nombreuses situations, l'entrée (IN) et la sortie (OUT) du quadripôle Q ne sont pas accessibles, c’est le cas par exemple d’un quadripôle Q monté sur un circuit imprimé comme le montre la figure31. Dans ce cas, il est difficile de prendre en compte les deux pistes dans la correction des erreurs, tout simplement parce qu’on ne peut pas connecter les charges étalons au niveau de l’entrée IN du quadripôle. Pour remédier à cet inconvénient, certains analyseurs de réseaux proposent une correction appelée Port Extension, la longueur des câbles est allongée (ou raccourcie) mathématiquement. En effet, si la longueur des pistes est faible, les pertes sont négligeables et les pistes introduisent seulement un déphasage qu’il est possible de prendre en compte par un calcul matriciel (voir annexe 6).
Analyseur de réseaux Analyseur de réseaux
Q (a) (b)
Port 1 Port2 Port1 Port2
CC CO 50Ω
Analyseur de réseaux Analyseur de réseaux
Q
(a) (b)
Port 1 Port 1
36
Figure 31 : L’entrée IN et la sortie OUT du quadripôle Q sont inaccessibles, la fonction Port Extension permet dans ce cas d’effectuer une correction mathématique des erreurs pourvu que la vitesse des ondes dans les pistes soit connue.
IV- Paramètres S et amplification de puissance
On s’intéresse dans un premier temps au cas des quadripôles unilatéralisés ( 0S12 = ). On rappelle qu’un quadripôle unilatéralisé est toujours stable. On exprime le gain en puissance
PG en fonction des paramètres S. Dans un deuxième temps, on traite le cas des quadripôles réels ( 0S12 ≠ ), on étudie le gain en puissance et la stabilité.
IV-1- Gain en puissance d’un quadripôle unilatéralisé Le quadripôle est attaqué par une source d’impédance sZ et il est chargé par une
impédance lZ comme le montre la figure 32.
Figure 32 : Le quadripôle Q est attaqué par une source d’impédance sZ et il est chargé par une impédance lZ
On appelle gain en puissance PG , le rapport suivant :
source la de disponible Puissance
Z charge la dans PuissancePP
Gs
Pll ==
Quadripôle Q Paramètres S
sZ lZ
1Γ 2Γ
Q
plaquette circuit imprimé
pistes cuivre
IN OUT
connecteur connecteur
câble câble
plans de référence
37
La puissance disponible sP d’une source est la puissance maximale qu’elle peut fournir.
Une source d’impédance sZ et de valeur crête E peut fournir une puissance )Z(8
EPs
2s ℜ
= où
)Z( sℜ désigne la partie réelle sZ . Le détail du calcul du gain en puissance PG est donné à l’annexe 7, on obtient :
2222
2111
22
212
21PS1S1
11SG
Γ−Γ−
Γ−
Γ−
= (22)
avec cs
cs1 ZZ
ZZ+−
=Γ et c
c2 ZZ
ZZ+−
=Γl
l . 1Γ et 2Γ sont respectivement les coefficients de
réflexion de la source et de la charge. On vérifie que dans le cas où cS ZZZ == l , soit
021 =Γ=Γ , le gain en puissance PG est égal 221S (figure 33).
Pour la suite de l’exposé, il est intéressant d’écrire le gain PG de l’équation (22) comme étant le produit de trois gains :
2222
222
212111
21
PS1
1 S
S1
1G
Γ−
Γ−
Γ−
Γ−
= (23)
Le premier terme S1
1
2111
21
Γ−
Γ−
représente le gain apporté par le circuit d’adaptation à l’entrée.
Le deuxième terme 221S est le gain de transfert du quadripôle, c’est le gain obtenu quand
le quadripôle est attaqué par une source d’impédance cs ZZ = , soit encore 01 =Γ , et qu’il est
chargé par cZZ =l , soit 02 =Γ . Le troisième terme 2222
22
S1
1
Γ−
Γ−
représente le gain apporté
par le circuit d’adaptation en sortie.
Figure 33 : Dans le cas particulier où cs ZZZ == l , le gain en
puissance PG est égal à 221S .
Quadripôle Q unilatéralisé Paramètres S
cZ cZ 2
21SGP =
38
Pour obtenir le gain maximum maxPG , il faut adapter les impédances en entrée et en sortie. A l’entrée, il faut que l’impédance d’entrée eZ du quadripôle Q soit égale au complexe
conjugué de sZ , *se ZZ = , ce qui revient à écrire que *
111S Γ= . En effet : cs
cs1 ZZ
ZZ+−
=Γ
d’où 1
1s 1
1ZΓ−Γ+
= et *1
*1*
s1
1Z
Γ−
Γ+= , de la même manière
ce
ce11 ZZ
ZZS
+−
= d’où 11
11e S1
S1Z−+
= , on
conclut que *se ZZ = conduit à *
111S Γ= . En sortie il faut, de la même manière, satisfaire
l’égalité *222S Γ= .
Pour obtenir le gain maximum maxPG , on remplace dans l’équation (23) 1Γ par *11S et
2Γ par *22S , on obtient :
22*22
2*22
22122*
11
2*11
222
*22
2*22
2212
11*11
2*11
maxP
S1
S1S
S1
S1
SS1
S1S
SS1
S1G
−
−
−
−
=−
−
−
−
=
soit :
−
−
=2
22
2212
11maxP
S1
1SS1
1G (24)
IV-2- Adaptation d’impédance : cas d’un quadripôle unilatéralisé En pratique, le coefficient de réflexion 1Γ de la source et 2Γ de la charge ne vérifient pas
les égalités *111 S=Γ et *
222 S=Γ . En conséquence, pour obtenir le gain maximum maxPG il faut adapter en entrée et en sortie. Le schéma de la figure 34-a montre le cas d’une source et d’une charge de même impédance cZ réelle égale à l’impédance de référence ayant servie à la mesure des paramètres S du quadripôle.
Dans le cas où 0S12 = , les adaptations en entrée et en sortie se calculent indépendamment l’une de l’autre puisqu’il n’y a pas de couplage de la sortie vers l’entrée.
Le circuit d’adaptation d’entrée doit avoir une impédance d’entrée égale à cZ et une impédance de sortie égale au complexe conjuguée de l’impédance d’entrée du quadripôle. En terme de coefficient de réflexion, il faut donc que le coefficient de réflexion d’entrée soit nul et celui de sortie égal à *
11S . Le circuit d’adaptation de sortie doit avoir une impédance de sortie égale à cZ et une
impédance d’entrée telle que le coefficient de réflexion soit égale *22S .
Si le quadripôle est distant de la source et de la charge, ce qui est généralement le cas au moins pour la charge, on peut alors intercaler des câbles d’impédance caractéristique cZ sans modifier le gain en puissance, à condition que les câbles soient sans perte. En pratique les câbles présentent toujours un peu de perte, en conséquence le gain est un peu faible.
39
Figure 34 : Pour obtenir le gain maximum maxPG , il faut adapter en entrée et en sortie.
IV-3- Exemple de quadripôle unilatéralisé Reprenons le transistor MRF1047T1 et créons un fichier de paramètres S avec 0S12 = ,
tableau 4. ! Paramètres S du MRF1047T1 V1VCE = , mA1IC = # MHz S11 S21 S12 S22 100 0.973 -10 3.49 171 0.0 84 0.987 -6 300 0.938 -30 3.35 154 0.0 72 0.952 -17 500 0.875 -48 3.03 137 0.0 60 0.877 -25 700 0.770 -64 2.75 124 0.0 51 0.812 -33 900 0.685 -79 2.51 112 0.0 45 0.745 -39 1000 0.649 -85 2.40 107 0.0 42 0.717 -42 1300 0.555 -105 2.09 92 0.0 36 0.639 -48 1500 0.509 -117 1.92 84 0.0 33 0.601 -53 1800 0.454 -136 1.72 72 0.0 30 0.553 -58 2000 0.434 -148 1.59 66 0.0 30 0.531 -62 2500 0.417 -175 1.38 50 0.0 32 0.477 -73 3000 0.403 164 1.23 39 0.0 37 0.457 -83 3500 0.416 142 1.10 28 0.0 41 0.454 -93 4000 0.442 125 1.00 20 0.0 43 0.448 -105 4500 0.454 109 0.95 12 0.0 41 0.433 -118 5000 0.478 96 0.89 6 0.0 37 0.437 -133
Tableau 4 : Fichier de paramètres S du transistor MRF1047T1 unilatéralisé
Quadripôle Q Paramètres S
cZ
*11S *
22S 0 0
cZ cZ *11
*11
S1
S1
−
+ *22
*22
S1
S1
−
+
coefficient de réflexion impédance
cZ circuit d’adaptation
d’entrée
circuit d’adaptation
de sortie
cZ
circuit d’adaptation
d’entrée
circuit d’adaptation
de sortie
Quadripôle Q Paramètres S
cZ
câble d’impédance caractéristique Zc
40
Prenons, comme pour la figure 34, une impédance de source Ω== 50ZZ cs et une impédance de charge Ω== 50ZZ cl . On cherche à obtenir le gain maximum maxPG pour le point de fonctionnement V1VCE = , mA1IC = et pour une fréquence GHz1f = .
D’après l’équation (23), le gain maximum est donc égal à :
5,20)717,01)(649,01(
14,2G 222
maxP ≈−−
=
La figure 35 montre le résultat de simulation avant adaptation, on retrouve bien 4,2S21 =
comme attendu et donc un gain en puissance égal à 76,54,2 2 = . La figure 36 montre la fenêtre où une adaptation en entrée et en sortie à Ω50 et à GHz1f = est demandée, les circuits d’adaptation sont de type passe-bas.
La figure 37 montre le résultat du calcul des circuits d’adaptation, le module du paramètre 21S de l’ensemble, quadripôle Q et circuits d’adaptation, est maintenant égal à 5,4 . En
conséquence le gain en puissance est égal 5,205,4 2 ≈ , c’est bien la valeur attendue. Des adaptations avec des circuits de type passe-bas peuvent modifier le point de fonctionnement statique du transistor, en effet il y a dans ce cas une liaison continue entre la Base du transistor et la source puis entre le Collecteur du transistor et la charge. Des adaptations avec des circuits de type passe-haut permettent d’éliminer ce problème. Une solution est donnée à la figure 38, l’adaptation d’entrée est encore de type passe-bas car le calcul avec un circuit passe-haut conduit à une valeur de capacité négative, ce qui n’est pas raisonnable, c’est la raison pour laquelle on a gardé un circuit de type passe-bas. Pour isoler en continue la source de la Base du transistor, il faut alors mettre un condensateur de liaison de forte valeur en série avec l’inductance, la capacité de ce condensateur doit vérifier l’inégalité
29x9x )1028,6(108,111C
−>> , soit pF1,2C >> . Avec pF20C = , on obtient 44,4S21 = soit
quasiment la même valeur qu’en l’absence de C, voir la figure 39. Il ne faut pas mettre une capacité de trop forte valeur, en effet au-delà de sa fréquence de résonance, un condensateur se comporte comme une inductance.
41
Figure 35 : Le paramètre 21S est égal à 4,2 à la fréquence de GHz1
Figure 36 : Adaptation par deux réseaux de type passe-bas à la fréquence de GHz1
42
Figure 37 : Le nouveau paramètre 21S est égal à 5,4 à la fréquence de GHz1
Figure 38 : Autre solution possible avec un filtre passe haut en sortie
43
Figure 39 : Le condensateur de liaison pF20C = ne modifie pas la valeur de
21S et permet d’isoler, en continu, la source de la Base du transistor
IV-4- Gain en puissance d’un quadripôle réel En pratique le paramètre 12S est différent de zéro, ceci a plusieurs conséquences :
- Les circuits d’adaptation d’entrée et de sortie ne peuvent plus être calculés indépendamment l’un de l’autre à cause du couplage de la sortie vers l’entrée
- Le quadripôle peut devenir instable, en effet la réaction de la sortie vers l’entrée peut transformer un amplificateur en oscillateur
Un calcul similaire à celui de l’annexe 7 conduit à l’expression du gain suivant :
2211221222111
22
212
21PSS)S1)(S1(
11SG
ΓΓ−Γ−Γ−
Γ−
Γ−
= (25)
On vérifie que si 0S12 = , le gain est bien égal à celui de l’équation (22). Le gain
maximum nécessite, comme précédemment des circuits d’adaptation en entrée et en sortie. En écrivant que les coefficients de réflexion doivent être complexes conjugués, on obtient maintenant un ensemble de deux équations couplées, on ne peut plus calculer les adaptations d’entrée et de sortie séparément.
44
−Γ
+=Γ
−Γ
+=Γ
⇒
=Γ
=Γ
111
211222
*2
222
211211
*1
22*2
11*1
S1SS
S
S1SSS
S
S (26)
quadripôle unilatéralisé quadripôle réel
La stabilité d’un système peut être étudiée par le critère de Nyquist si le gain complexe du système est connu, voir par exemple le cours d’automatique et le cours sur les oscillateurs en électronique. Dans le cas des paramètres S, un quadripôle est stable si le module des coefficients de réflexion, eΓ et sΓ , reste inférieur à l’unité comme le montre la figure 40.
Figure 40 : Le quadripôle est stable si 1e <Γ et 1s <Γ En effet, un module de coefficient de réflexion supérieur à l’unité signifie que l’onde
réfléchie est supérieure à l’onde incidente, ceci ne peut être obtenu que si le quadripôle oscille et est donc instable. Quand 0S12 ≠ , eΓ ( sΓ ) dépend des paramètres S du quadripôle mais aussi de la charge lZ ( sZ ).
La résolution des équations (26) peut ne pas avoir de solution assurant 1e <Γ et 1s <Γ . On dit dans ce cas que l’adaptation simultanée est impossible. L’adaptation simultanée est impossible si le facteur de Rolett K est inférieur à l’unité. Le facteur de Rolett est égal à :
2112
222
211
2
SS2SS1
K−−∆+
= avec 21122211 SSSS −=∆ (27)
Si le facteur K est supérieur à l’unité, l’adaptation simultanée est possible. Le maximum de
gain disponible (MAG pour Maximum Available Gain) est donné par :
−±= 1KK
SS
G 2
12
21maxP (28)
signe + ; si 0SS1 22
222
11 <∆−−+
signe - ; si 0SS1 2222
211 >∆−−+
Quadripôle Q Paramètres S lZ
eΓ sΓ
sZ
45
Lorsque 1K < , il faut utiliser ce qu’on appelle les cercles de stabilité pour calculer l’impédance de source sZ et l’impédance de charge lZ qui assurent la stabilité. Nous traitons un cas ci-dessous avec comme exemple le transistor MRF1047T1.
Si le facteur K est inférieur à l’unité, le maximum de gain en puissance assurant encore la stabilité (MSG pour Maximum Stable Gain), avec 1e <Γ et 1s <Γ , est donné par :
12
21MSG S
SG = (29)
IV-5- Exemple de quadripôle réel
a) adaptation simultanée, K>1 Dans le tableau 5, on a reporté le coefficient de Rolett K pour le point de fonctionnement
V1VCE = , mA1IC = et GHz5fGHz1 << du transistor MRF1047T1. Les valeurs sont issues de la datasheet de l’annexe 2.
L’adaptation simultanée à la fréquence de GHz5,3 par exemple, avec 12,1K = , est possible comme le montre le résultat de simulation de la figure 41. D’après la simulation, le module de 21S est égal à 6,1 d’où un gain en puissance .56,26,1G 2
maxP == Cette valeur est en bon accord avec la valeur calculée, en effet la quantité
95,0SS1 2222
211 =
∆−−+ , d’où 6,21KK
SSG 2
12
21maxP =
−−= .
Fréquence Facteur K
1,0 GHz 0,49 ….. …..
1,8 GHz 0,85 2,0GHz 0,92 2,5 GHz 1,09 3,0 GHz 1,14 3,5 GHz 1,12 4,0 GHz 1,05 4,5 GHz 0,99 5,0 GHz 0,95
Tableau 5 : Facteur de Rolett K en fonction de la fréquence pour le point de fonctionnement V1VCE = , mA1IC =
46
Figure 41 : L’adaptation simultanée à la fréquence de GHz5,3 est possible car 12,1K = , le paramètre 6,1S21 =
b) adaptation simultanée impossible, K<1, cercles de stabilité
Une adaptation simultanée à la fréquence de GHz1 est par exemple impossible car, d’après le tableau 5, le facteur de Rolett est inférieur à l’unité, .49,0K = Pour cette fréquence particulière et le point de fonctionnement V1VCE = , mA1IC = , le constructeur donne les cercles de stabilité, voir la figure 16 de l’annexe 2. Il faut distinguer les cercles de stabilité en entrée et en sortie.
Le cercle de stabilité en sortie renseigne sur les valeurs de lZ , ou plutôt de
c
c2 ZZ
ZZ+−
=Γl
l , qui conduisent à un module de eΓ supérieur à l’unité, c'est-à-dire à un
quadripôle instable, voir la figure 42 pour la définition de eΓ et 2Γ .
Figure 42 : Le cercle de stabilité en sortie renseigne sur les valeurs de 2Γ qui conduisent à 1e >Γ
Quadripôle Q Paramètres S
sZ lZ
eΓ 2Γ
47
La figure 43 montre le cercle de stabilité en sortie du transistor MRF1047T1 à GHz1 et pour le point de fonctionnement V1VCE = , mA1IC = . Une charge lZ avec un cœfficient de réflexion 2Γ dans la zone hachurée de la figure 43 donne 1e >Γ , c'est-à-dire un quadripôle instable.
Figure 43 : Cercle de stabilité en sortie à GHz1 pour le point de fonctionnement V1VCE = , mA1IC = du transistor MRF1047T1
Pour le vérifier, prenons Ω+= )50j15(Zl , soit °∠=Γ 2,8774,02 , c’est le point A de la
figure 43. Le résultat de simulation est donné à la figure 44, on obtient un coefficient de réflexion °−∠=Γ 18,8809,1e , le quadripôle est donc instable car 1e >Γ .
Une charge Ω+= )50j50(Zl , soit °∠=Γ 4,634,02 , point B de la figure 43 donne 84,0e =Γ , le quadripôle est donc stable car 1e <Γ , voir la figure 45.
A
B C
48
Figure 44 : Une charge Ω+= )50j15(Zl soit °∠=Γ 2,8774,02 , conduit à une valeur 09,1e =Γ : le quadripôle est instable
Figure 45 : Une charge Ω+= )50j50(Zl soit °∠=Γ 4,634,02 , conduit à une valeur 84,0e =Γ : le quadripôle est stable
49
Le cercle de stabilité en entrée renseigne sur les valeurs de sZ , ou plutôt de
cs
cs1 ZZ
ZZ+−
=Γ , qui conduisent à un module de sΓ supérieur à l’unité, c'est-à-dire à un
quadripôle instable, voir la figure 46 pour la définition de sΓ et 1Γ .
Figure 46 : Le cercle de stabilité en entrée renseigne sur les valeurs de 1Γ qui conduisent à 1s >Γ
La figure 47 montre le cercle de stabilité en entrée du transistor MRF1047T1 à GHz1 et
pour le point de fonctionnement V1VCE = , mA1IC = . Une impédance de source sZ avec un cœfficient de réflexion 1Γ dans la zone hachurée de la figure 47 donne 1s >Γ , c'est-à-dire un quadripôle instable.
Figure 47 : Cercle de stabilité en entrée à GHz1 pour le point de fonctionnement V1VCE = , mA1IC = du transistor MRF1047T1
Quadripôle Q Paramètres S
sZ lZ
1Γ sΓ
D
50
Une impédance de source nulle Ω+= )0j0(Zs , soit 11 −=Γ , point D de la figure 47 donne 1e =Γ , le quadripôle est donc instable, voir la figure 48.
Figure 48 : Une impédance de source Ω+= )0j0(Zs soit 11 −=Γ , conduit à une valeur 1s =Γ : le quadripôle est instable
Les cercles de stabilité renseignent donc sur les valeurs possibles de sZ et lZ ou 1Γ et
2Γ . Bien souvent, les constructeurs donnent les valeurs de 1Γ qui conduisent au gain d’entrée
te2
111
21
C S1
1=
Γ−
Γ−
(voir équation 23), on peut montrer qu’il s’agit de cercles. Dans le cas du
transistor MRF1047T1, le constructeur donne les valeurs de 1Γ qui conduisent au gain
unilatéralisé te2
22
2212
111
21
*22S2
2222
222
212111
21
C)S1(
1 S S1
1
S1
1 S
S1
1=
−Γ−
Γ−
=Γ−
Γ−
Γ−
Γ−
=Γ
.
2Γ est tel que le gain de sortie 2222
22
S1
1
Γ−
Γ−
est maximum, il faut donc *222 S=Γ , soit pour le
point de fonctionnement V1VCE = , mA1IC = et la fréquence GHz1f = , °−∠= 42717,0S22 d’où °∠=Γ 42717,02 . A °∠=Γ 42717,02 , correspond une charge
Ω+=Γ−Γ+
= )90,106j4,54(1150Z
2
2l soit une résistance de Ω4,54 en série avec une
51
inductance nH02,17 à la fréquence de GHz1 . Si la charge utile est une résistance de Ω50 , il faut adapter comme le montre la figure 49, il faut s’assurer que 1e <Γ . Pour calculer le réseau d’adaptation en sortie, il suffit de demander à l’outil de simulation de calculer seulement l’adaptation en sortie et de vérifier que 1e <Γ , c’est ce que montre les figures 50
et 51. La résistance de Ω50 en l’entrée fait que 0V'1 = , en conséquence coté sortie
'222
'222
'121
''2 VSVSVSV =+=
Figure 49 : Pour obtenir le gain de sortie 2222
22
S1
1
Γ−
Γ−
maximum , il faut adapter la
sortie, c'est-à-dire faire *222 S=Γ et s’assurer de la stabilité en entrée.
Figure 50 : Adaptation de type passe-bas à la fréquence de GHz1 en sortie seulement
Quadripôle Q Paramètres S
°∠==Γ 42717,0S*222
Ω50réseau
d’adaptation
eΓ
Ω50
22S
''2V
'2V 0V'
1 =
Ω50
52
Figure 51 : Le gain maximum en sortie conduit à 96,0e =Γ , la stabilité est assurée mais c’est à la limite de l’instabilité.
La stabilité est assurée, mais c’est limite, en effet °∠=Γ 42717,02 est à la limite de la
zone hachurée de la figure 43 (point C). On remarquera que le réseau d’adaptation en sortie est identique à celui de la figure 37, ce dernier a été obtenu pour 0S12 = ce qui conduisait
encore à *222 S=Γ .
Pour obtenir le gain d’entrée S1
1
2111
21
Γ−
Γ−
maximum, il faut *111 S=Γ , soit pour le point de
fonctionnement V1VCE = , mA1IC = et la fréquence GHz1f = , °−∠= 85649,0S11 d’où °∠=Γ 85649,01 . A °∠=Γ 85649,01 , correspond une impédance de source
Ω+=Γ−Γ+
= )42.49j14,22(1150Z
1
1s soit une résistance de Ω14,22 en série avec une
inductance nH86,7 à la fréquence de GHz1 . Si l’impédance de source est une résistance de Ω50 , il faut adapter comme le montre la figure 52, il faut s’assurer que 1s <Γ . Pour calculer
le réseau d’adaptation en entrée, il suffit de demander à l’outil de simulation de calculer seulement l’adaptation en entrée et de vérifier que 1s <Γ , c’est ce que montre les figures 53
et 54. La résistance de Ω50 en sortie fait que 0V'2 = , en conséquence coté entrée
'111
'212
'111
''1 VSVSVSV =+=
53
Figure 52 : Pour obtenir le gain d’entrée 2111
21
S1
1
Γ−
Γ−
maximum, il faut adapter
l’entrée, c'est-à-dire faire *111 S=Γ et s’assurer de la stabilité en sortie.
Figure 53 : Adaptation de type passe-bas à la fréquence de GHz1 en entrée seulement
Quadripôle Q Paramètres S
°∠==Γ 85649,0S*111 sΓ
réseau d’adaptation Ω50 Ω50
11S (car )
0V'2 =
0V'2 =
54
Figure 54 : Le gain maximum en entrée conduit à 9,0s =Γ , la stabilité est assurée
Avec les deux réseaux d’adaptation calculés ci-dessus, on obtient 86,3S21 = à la
fréquence de GHz1 pour l’ensemble quadripôle + réseaux d’adaptation, voir la figure 55. Le
gain en puissance est donc égal à 8,1486,3S 2221 == soit dB7,11 . Le gain en puissance
obtenu est inférieur à celui que nous avions obtenu ( 5,20 soit dB1,13 ) avec les mêmes réseaux d’adaptation mais avec 0S12 = . Quand le facteur de Rolett K est inférieur à l’unité,
le gain théorique maximum assurant la stabilité est égal 12
21MSG S
SG = , (équation 29).
D’après les valeurs de 21S et 12S à GHz1 données à l’annexe 2, on obtient :
25,13181,0
4,2GMSG == . La simulation donne une valeur (14,8) légèrement supérieure à la
théorie. L’exemple traité ici est proche de la limite de l’instabilité, en effet les modules de 11S et 22S de l’ensemble quadripôle + réseaux d’adaptation sont proches de l’unité, on
obtient respectivement 95,0S11 = et 86,0S22 = à GHz1 , voir les figures 56 et 57.
55
Figure 55 : Calcul du paramètre 21S de l’ensemble quadripôle + réseaux d’adaptation, 86,3S21 =
Figure 56 : Calcul du paramètre 11S de l’ensemble quadripôle + réseaux d’adaptation, 95,0S11 =
56
Figure 57 : Calcul du paramètre 22S de l’ensemble quadripôle + réseaux d’adaptation, 86,0S22 =
c) adaptation en bruit
L’adaptation d’impédance pour obtenir le gain en puissance maximum ne conduit pas au minimum de facteur de bruit NF (Noise Figure). S’agissant par exemple du transistor MRF1047T1, le constructeur donne les valeurs de 1Γ donnant un facteur de bruit constant, il s’agit de cercles. Le facteur de bruit NF d’un quadripôle quantifie la quantité de bruit apportée par le quadripôle. Le bruit en sortie d’un quadripôle est égal au bruit de l’entrée amplifié par le gain du quadripôle plus le bruit généré par le quadripôle. Le facteur de bruit NF est défini par (voir annexe 8) :
quadripôle du sortie
quadripôle du entrée10
BS
BS
log10)dB en(NF
= (30)
Le rapport
BS désigne le rapport Signal/Bruit. Le facteur de bruit dB0NF = si le
quadripôle n’apporte pas de bruit. Il existe une valeur optimum 0Γ de 1Γ qui conduit au minimum de NF. Pour le transistor MRF1047T1, °∠=Γ 3,5157,00 pour le point de fonctionnement V1VCE = , mA1IC = à la fréquence GHz1 , dans ce cas dB16,1NF = . Il faut donc calculer le réseau d’adaptation de la figure 58 tel que °∠=Γ 3,5157,00 .
57
Figure 58 : Le coefficient de réflexion °∠=Γ 3,5157,00 conduit au minimum de facteur de bruit NF
On peut utiliser l’outil de simulation pour obtenir le réseau d’adaptation. La procédure de calcul est la suivante : 1) on écrit le complexe conjugué de 0Γ , soit °−∠=Γ 3,5157,0*
0 , 2) on
calcule l’impédance correspondante Ω−=Γ−
Γ+)66,72j31,55(
1
150 *
0
*0 , c’est une résistance de
Ω31,55 en série avec un condensateur égal à pF19,266,72102
1x9 =
π, 3) on utilise finalement
l’outil de simulation pour le calcul du réseau d’adaptation comme le montre la figure59. Le réseau de type passe bas est constitué d’une inductance de nH3,11 et d’un condensateur de
fF78,111
Figure 59 : Calcul du réseau d’adaptation pour obtenir le minimum de facteur de bruit NF
Quadripôle Q Paramètres S
°∠=Γ 3,5157,00
Ω50
réseau d’adaptation minimum de
bruit
58
Le paramètre 21S de l’ensemble quadripôle + réseau d’adaptation en entrée donnant le minimum de facteur de bruit + réseau d’adaptation en sortie donnant le maximum de gain de sortie est égal à 8,2 comme le montre le résultat de simulation de la figure 60. On obtient un
gain en puissance égal à 84,78,2 2 = soit dB9,8 . Le montage est un peu plus stable que le précédent coté sortie, en effet 97,0S11 = et 5,0S22 = . D’après la figure 16 de l’annexe 2, on devrait obtenir un gain compris entre 10 et dB11 avec 0S12 = . C’est donc normal qu’on trouve un gain un peu plus faible compte tenu du fait que 0S12 ≠ .
Figure 60 : Calcul du paramètre 21S de l’ensemble quadripôle + réseau d’adaptation en entrée donnant le minimum de facteur de bruit + réseau d’adaptation en sortie donnant le maximum de gain de sortie, 8.2S21 =
V- ADAPTATION D’IMPEDANCE V-1- Puissance déposée dans une charge : condition d’adaptation Un câble sert à amener de la puissance au niveau de la charge lZ , le but recherché est
évidemment de déposer le maximum de puissance dans la charge. Avant d’étudier le cas d’une source alimentant une charge via un câble, étudions quelques
cas simples.
a – Une source de valeur crête E et de résistance de source sR alimentant une charge réelle lR , figure 61.
59
Figure 61 : Une source de valeur crête E et de résistance de source sR alimente une charge lR
La puissance déposée dans la charge s’écrit : ll
l
R1
RRR)2/E(
P2
s
+= . La puissance sera
maximale quand la dérivée 0dRdP
=l
, ce qui donne la condition, après calcul de la dérivée,
sRR =l . Quand sRR =l , la tension efficace aux bornes de la charge est égale à
2/)2/E( et la puissance maximale maxP déposée dans la charge est égale à s
2max R8
EP =
b – Une source de valeur crête E et d’impédance de source sss jXRZ += complexe
alimentant une impédance complexe lll jXRZ += , figure 62.
Figure 62 : Une source de valeur crête E et d’impédance de source sZ alimente une charge
lZ
Soient )t(v la tension aux bornes de la charge et )t(i le courant la traversant, la puissance
P déposée dans la charge s’écrit : ∫=T
0dt)t(i)t(v
T1P . Prenons la source comme référence des
phases, il s’ensuit que )t(v et )t(i s’écrivent : )tcos(V)t(v φ+ω= et )tcos(I)t(i α+ω= .
source
E
sZ
lZ )t(v
)t(i
source
E
sR
lR
60
Après calcul de l’intégrale, on obtient : ).cos(2I
2Vdt)t(i)t(v
T1P
T
0α−φ== ∫ Déterminons
V, I, φ et α en utilisant les complexes, c’est beaucoup plus rapide. Pour cela, associons à la
source une tension complexe tjEeE ω= dont la partie réelle )tcos(E ω est égale à la tension réelle de la source. La tension et le courant complexes s’écrivent respectivement :
s
tjjZZ
ZEeVeV
+== ωφ
l
l et
s
tjjZZ
EeIeI+
== ωα
l. Montrons tout d’abord que la
puissance P peut s’écrire ( )*IV21P ℜ= où ℜ désigne la partie réelle et *I le complexe
conjugué de I :
( ) ( ) ( )( ) ( )α−φ=ℜ=ℜ=ℜ= α−φω−α−ωφ cos2I
2VeVI
21eIeeVe
21IV
21P jtjjtjj* c.q.f.d.
Remplaçons dans l’expression de la puissance ( )*IV21P ℜ= , V et I par leur expression :
( ) ( ) ( ) 2*s
*
s
*R
21
ZZE
ZZZE
21IV
21P
s
2
ZZ
E
+=
++ℜ=ℜ=
l
l
ll
l
( ) ( )2
s2
s XXRR2
REP
+++=
ll
l 2
La puissance déposée dans la charge sera maximale quand le dénominateur sera minimal
ce qui implique dans un premier temps : 0)XX( s =+l soit : sXX −=l . Quand cette
dernière condition est vérifiée, la puissance P s’écrit : ( )2
sRR2
REP
+=
l
l 2, cette expression est
identique à celle obtenue précédemment avec deux résistances réelles lR et sR , et nous avions montré dans ce cas qu’il y avait un maximum de puissance maxP quand sRR =l . En conclusion, la puissance déposée dans la charge est maximale quand les impédances de source et de charge sont complexes conjugués :
*sZZ =l d’où : sRR =l et sXX −=l et
s
2max R8
EP = (31)
NB : On peut vérifier que dans le cas particulier où 0XX s ==l , on retrouve bien le résultat obtenu en V-1-a.
V-2- Circuit d’adaptation Quand l’impédance de charge lll jXRZ += n’est pas égale au complexe conjugué de la
source, il faut procéder à une adaptation. A cet effet on intercale, entre la source et la charge,
61
un circuit fait de capacité et d’inductance, appelé circuit d’adaptation (en anglais : Matching Network). Ce circuit, figure 63, ne comprend pas de résistance pour ne pas dissiper de puissance et il est tel que : 1) l’impédance à l’entrée du circuit d’adaptation est égale au complexe conjugué de sZ pour que la source transmette le maximum de puissance à l’ensemble circuit d’adaptation + charge et 2) que l’impédance en sortie du circuit d’adaptation est égale au complexe conjugué de lZ pour que la charge lZ reçoive le maximum de puissance de l’ensemble circuit d’adaptation + source.
Figure 63 : Circuit d’adaptation entre une source d’impédance sZ et une charge d’impédance lZ
Traitons un cas simple pour faire comprendre : celui où l’impédance de source ss RZ = et l’impédance de charge ll jXRZ s += . Dans ce cas particulier, l’adaptation est réalisée en insérant en série avec la charge une impédance ljX− comme le montre la figure 64. L’adaptation est réalisée à une fréquence particulière f, prenons le cas où la charge est
capacitive : une résistance Ω= 50Rs en série avec une capacité de pF10 soit ω
−=
C1Xl .
Une adaptation à la fréquence GHz1f = est obtenue en insérant une impédance
9,15 j102.10.10
1jjX 912 =
π
−−=−
−l , il s’agit donc d’une inductance L de valeur
nH5,210.29,15L 9 =
π= . On remarquera que le circuit L – C est résonant à la fréquence de
GHz1 , son impédance est donc nulle à cette fréquence
=ω 1LC
GHz12 et tout se passe
comme si la source de résistance sR était chargée par une résistance de charge égale à sR .
source
E
sZ
lZ circuit
d’adaptation
*sZ *Zl
62
Figure 64 : Une source de résistance Ω50 chargée par une impédance
Ω
ω−=
C1j50Zl est adaptée au moyen d’une inductance 2C
1Lω
=
NB : On pourra remarquer que le problème de l’adaptation est identique au relevé du
)cos(ϕ en électrotechnique. En électrotechnique, les charges sont généralement inductives, on relève donc le )cos(ϕ en ajoutant une capacité, en électronique les impédances d’entrée sont plutôt capacitives.
V-3-Adaptation d’une source à une charge via un câble En pratique la charge peut être distante de la source, elle est reliée à celle-ci via un câble
de longueur L comme le montre le schéma de la figure 65-a.
Figure 65 : La puissance dissipée dans la charge lZ du circuit de la figure (a) est identique à celle dissipée dans la charge lZ du circuit de la figure (b)
lZ
Ω50
10pF
source
E
Ω= 50Rs
GHz1f =
charge
circuit d’adaptation
nH5,2L =
source
E
Ω= 50Rs
GHz1f = charge lZ circuit d’adaptation
câble Ω= 50Zc
source
LjeE β−
Ω= 50Rs
GHz1f = circuit d’adaptation
(a)
(b)
L
charge lZ
63
Si on utilise un câble d’impédance caractéristique Ω= 50Zc , il faut disposer d’une source de résistance de Ω= 50Rs . Le circuit d’adaptation est placé entre la charge et l’extrémité du câble. En supposant un câble sans perte, la puissance dissipée dans la charge lZ du circuit de la figure 65-a est identique à celle dissipée dans la charge lZ du circuit de la figure 65-b, en
effet le câble ne fait qu’introduire un déphasage de Lβ avec λπ
=β2 (voir exercice 6).
V-4-Exemple de calcul du réseau d’adaptation par le logiciel RFSIM99 Le calcul d’un réseau d’adaptation, à une fréquence donnée, se ramène à la résolution de
deux équations à deux inconnues. On dispose aujourd’hui de logiciel performant pour éviter les calculs. Pour bien interpréter les résultats il faut savoir lire l’abaque de Smith.
On traite ci-dessous le cas d’une charge lZ constituée d’une résistance de Ω30 en série avec un condensateur de pF10 . On cherche à réaliser l’adaptation à la fréquence de GHz1 avec une source de résistance Ω= 50Rs . On utilise le logiciel libre RFSIM99.
Figure 66 : Une source de Ω50 et une charge de Ω30 en série avec un condensateur de pF10 . Impédance réduite dans Smith pour
GHz5,1fMHz500 <<
64
Figure 67 : Utilisation de l’outil « automatch » pour le calcul de l’adaptation à la fréquence de 1GHz avec un circuit de type passe-bas
Figure 68 : Calcul de l’adaptation et tracé dans Smith de l’impédance réduite vue par la source pour GHz5,1fMHz500 <<
65
Le circuit d’adaptation est constitué d’une inductance nH43,6L = et d’une capacité pF6,2C = . A la fréquence de GHz1 , la source voit bien une impédance de Ω50 , puisque
l’impédance réduite est au centre de l’abaque de Smith .
V-5- Adaptation par tronçons de ligne A l’annexe 9 nous montrons qu’un tronçon de ligne de longueur l admet pour matrice
chaîne :
( ) ( )
( ) ( )
γγ
−
γ−γ=
1
1
c
c
2
2
I
V
lchZ
lsh
lshZlch
I
V (32)
avec β+α=γ j la constante de propagation. α (en 1m− ) est le coefficient d’atténuation et
λπ
=β2 (en 1rdm− ) est la constante de phase.
fv
=λ est la longueur d’onde et 0r0
1vµεε
=
est la vitesse de propagation, 0ε , 0µ et rε sont respectivement la permittivité et la perméabilité du vide et la permittivité de l’isolant.
Figure 69 : La matrice chaîne d’un tronçon de ligne relie les grandeurs 2V , 2I aux grandeurs 1V , 1I
Si le tronçon de ligne est supposé sans perte, la matrice (32) se ramène à :
λπ
λπ
−
λπ
−
λπ
=
1
1
c
c
2
2
I
V
l2cosZ
l2sinj
l2sinjZl2cos
I
V
(33)
Pour passer de la matrice (32) à la matrice (33), on utilise les relations entre fonctions
hyperboliques : ( ) ( )φ=φ cosjch et ( ) ( )xsinjjsh =φ .
1V 2V
1I 2I
x 1x 2x
66
Le tronçon de ligne de la figure 69 peut être considéré comme un quadripôle, il est symétrique, on peut donc lui associer un quadripôle en Π par exemple, on pourrait tout aussi bien lui associer un quadripôle en T. Le quadripôle de la figure 70 comporte donc trois impédances dont deux identiques compte tenu de la symétrie.
Figure 70 : Quadripôle en Π associé au tronçon de ligne de la figure 69
Les vecteurs
2
2IV
et
1
1IV
du quadripôle de la figure 70 sont reliés par la matrice
suivante :
+
+−
−+
=
1
1
2
2122
21
12
21
2
2
I
V
ZZZ
Z
Z2Z
ZZ
ZZ
I
V (34)
Des matrices (33) et (34), on tire par analogie :
λπ
=l2sinjZZ c1 et
λπ
−=lcotgjZZ c2 (35)
Figure 71 : Quadripôle associé à un tronçon de ligne de longueur l supposé sans perte
Dans le cas où λ<<l , on peut faire les approximations suivantes :
1V 2V
1I 2I
λπ l 2sinjZc
λπ
−l cotgjZc
λπ
−l cotgjZc
1V 2V
1I 2I 1Z
2Z 2Z
67
L jv
l f2jZl 2jZl 2sinjZZ ccc1 ω=
π
=
λπ
≈
λπ
=
avec lv
ZL c= (36)
et
ω
=π
−=π
−=
λπ
−≈
λπ
−=
λπ
−=jC1
l f2v2jZ
l fvjZ
l 1jZ
l tg
1jZl cotgjZZ ccccc2
avec vZ2
lCc
= (37)
Figure 72 : Quadripôle associé à un tronçon de ligne de longueur l supposé sans perte quand λ<<l
En se rappelant que l’impédance caractéristique c
Zcl
= et que la
vitessec
11v0r0 l
=µεε
= où l et c sont respectivement l’inductance (en 1Hm− ) et la
capacité (en 1Fm− ) linéique, on remarque que l’inductance L et la capacité C du schéma de la figure 72 s’écrivent respectivement :
H)(en l l ccl
c1cl
vZ
L c lll
l
l
==== et F)(en l 2c
cc12
l
c1
c2
lvZ2
lCc
====
l
l
Autrement dit l’inductance L est égale au produit de l’inductance linéique l par la
longueur l du tronçon et la capacité C est égale au produit de la capacité linéique c par la longueur l du tronçon à un facteur 2 près car il y a deux capacités C dans le schéma de la figure 72.
1V 2V
1I 2I l
vZ
L c=
vZ2lCc
=vZ2
lCc
=
68
Pour réaliser un circuit d’adaptation d’impédance, on a besoin d’inductance et de capacité, la question maintenant est donc : comment à partir du schéma de la figure 72 faire en sorte que ce soit l’inductance ou la capacité qui prédomine.
a- réalisation d’une inductance Pour réaliser une inductance avec un tronçon de ligne, il faut rendre négligeable les deux
capacités C du schéma de la figure 72. On voit qu’en choisissant une forte valeur d’impédance caractéristique cZ on a 0C → , en conséquence le schéma de la figure 72 se ramène à celui de la figure 73.
Figure 73 : Quadripôle associé à un tronçon de ligne de longueur l supposé sans perte quand λ<<l et cZ grand
b- réalisation d’une capacité Pour réaliser une capacité avec un tronçon de ligne, il faut rendre négligeable l’inductance
L du schéma de la figure 72. On voit qu’en choisissant une faible valeur d’impédance caractéristique cZ on a 0L → , en conséquence le schéma de la figure 72 se ramène à celui de la figure 74.
Figure 74 : Quadripôle associé à un tronçon de ligne de longueur l supposé sans perte quand λ<<l et cZ faible
c- exemple de réalisation en ligne microruban (microstrip) On reprend le cas traité précédemment en V-4 : une charge constituée d’une résistance de Ω30 en série avec un condensateur de 10pF. L’adaptation à une fréquence de GHz1 à une
1V 2V
1I 2I
vZ2lCc
=vZ2
lCc
= vZ
1Cc
eq =
1V 2V
1I 2I l
vZ
L c=
69
source de résistance Ω= 50Rs nécessite la réalisation d’une inductance nH432,6L = et d’une capacité pF599,2C = .
Pour réaliser l’inductance nH432,6L = , on opte pour une ligne microruban d’impédance caractéristique Ω= 45,120Zc . Le logiciel RFSIM99 permet de dimensionner la ligne comme le montre la figure 75. Avec un support isolant FR4 (verre époxy) d’épaisseur mm6,1 , une épaisseur de cuivre de m30µ , il faut une largeur de la piste égale à mm31,0 pour réaliser L.
Figure 75 : Une ligne d’impédance caractéristique
Ω= 45,120Zc a une largeur de piste égale à mm23,0 , la
vitesse de propagation 18x ms1071,1v −=
Pour réaliser l’inductance nH432,6L = , il faut donc une longueur de piste
mm29,945,120
10x74,110432,6ZLvl
8x9x
c===
−.
Pour réaliser la capacité pF599,2C = , on opte pour une ligne microruban d’impédance
caractéristique Ω= 10Zc . Le logiciel RFSIM99 permet encore de dimensionner la ligne comme le montre la figure 76. Avec un support isolant FR4 (verre époxy) d’épaisseur mm6,1 , une épaisseur de cuivre de m30µ , il faut une largeur de la piste égale à mm24 pour réaliser C.
Pour réaliser la capacité pF599,2C = , il faut donc une longueur de piste
mm79,310x46,11010599,2vCZl 8xx12xc === − . On constate que plus la largeur de piste est étroite plus l’impédance caractéristique est
grande.
La figure 77 permet de comparer l’adaptation avec des composants discrets et avec des lignes microruban. L’adaptation par lignes microruban conduit à une solution approchée compte tenu du fait que les tronçons de ligne ne sont pas rigoureusement identiques à une inductance et une capacité. On remarquera aussi que la capacité conduit à une grande largeur de piste. En pratique, on utilise des composants discrets pour les capacités.
70
Figure 76 : Une ligne d’impédance caractéristique
Ω= 10Zc a une largeur de piste égale à mm24 , la vitesse
de propagation 18x ms1046,1v −=
Figure 77 : Comparaison des adaptations par composants discrets et lignes microruban. L’adaptation par lignes microruban est approchée, le minimum du coefficient de réflexion est obtenu pour GHz015,1 et il vaut 3x105,8 − alors qu’avec les composants discrets le coefficient de réflexion est nul pour la fréquence de GHz1
71
On peut aussi réaliser les inductances par des spirales comme le montre la figure 78. Un exemple de réalisation est montré sur la figure 79.
Figure 78 : Réalisation d’une inductance par une spirale
Figure 79 : Faces inférieure et supérieure du circuit imprimé pour le CI SA620 (Low Voltage LNA and VCO). Les 4 inductances en spirale ont pour valeur .nH5,4