Classical Electron Theory Based on NonlinearBorn-Infeld Eletrodynamics

Thyago MendesDepartment of Computer Science

TechnionIsrael Institute of TechnologyTechnion City, Haifa 32000, Israel

Jeferson TomazelliDepartment of Computer Science

TechnionIsrael Institute of TechnologyTechnion City, Haifa 32000, Israel

26 de junho de 2011

Resumo

O objetivo deste trabalho e formular uma teoria do eletron combase na eletrodinamica de Born-Infeld.

1 Introducao

Houveram no seculo XX inumeras tentativas de se reformular a eletrodinamicamacroscopica de Maxwell-Faraday em termos de uma teoria mista de partculascarregadas interagindo atraves de um campo. As teorias propostas com estefim foram genericamente denominadas de teoria do eletron.

As principais dificuldades encontradas foram as quantidades divergentes[2], [3], [24] e as solucoes fisicamente inconcistentes das equacoes de movi-mento do eletron [28].

Inicialmente, por se tratar da descricao de fenomenos eletromagneticos, ateoria do eletron foi formulada com base nas equacoes de Maxwell e a forcade Lorentz.

1

Poincare, em 1916, observou que seria necessario considerar a existenciade alguma outra interacao de origem nao-eletromagnetica para contrabal-ancear a repulsao coulombiana da estrutura do eletron.

Em 1912 G. Mie havia proposto um modelo com o intuito de resolver oproblema da estabilidade de forma radical. Ele generalizou as equacoes deMaxwell-Lorentz e redefiniu o tensor momento-energia, de modo que a forcacoulombiana repulsiva no interior do eletron ficaria contida por outra de na-tureza igualmente eletrica. Todavia, esta teoria, que e nao-linear, padecia dapropriedade inaceitavel do campo eletromanetico depender do valor absolutodos potenciais [1].

Uma outra teoria nao linear, que e o objeto deste trabalho, e a propostafeita por Born e Infeld em 1934 [5]. E baseada em uma generalizacoes dasequacoes de Maxwell que recaem nestas para campos suficientemente fracos.

2 Equacoes de campo

Adotaremos como convencao o tensor fundamental g com conponentesg00 = g11 = g22 = g33 = 1 e gij = 0, para i 6= j. Dete modo, o produtoescalar entre dois quadrivetores x e y e dado por: x.y = x0y0 ~x.~y.

A eletrodinamica de Born-Infeld possui a acao com tres elementos:

S = Sp + Spf + Sf . (1)

Onde

Sp = mc2d (2)

representa a acao da partcula livre com massa de repouso m,

Spf = ec

Adx

dd (3)

representa a interacao de uma partcula pontual de carga e interagindo como campo derivado do potencial A e

Sf = b2

c

(1 + FF\8pib2 1

)d4x. (4)

e a acao do campo eletromagnetico livre.

2

A constante b representa a intensidade maxima do campo eletromagnetico.Esta corresponde ao modulo do campo eletrico no interiordo eletron.

No limite b, recupera-se a acao do campo eletromagnetico livre daeltrodinamica de Maxwell-Faraday:

Sf = 116pic

FFd4x. (5)

A variacao da acao 3 leva a`s equacoes de campo

F1 + FF\8pib2

= 4picj (6)

Seja F a solucao da equacao

F =

4pi

cj . (7)

Comparando a equacao acima com (6), temos que

F =F

1 + FF\8pib2. (8)

Invertendo esta equacao, obtemos que

F = F

1 F F\8pib2. (9)

O campo F diverge em segunda potencia na posicao da carga. Devido

ao denominador

1 F F\8pib2 tambem divergir em segunda potencia,o campo F e finito na posicao da carga.

3 Tensor momento-energia

Procuraremos um tensor T que, analogamente ao tensor da eletrodinamicade Lorentz, possui as propriedades

T = 1cFj (10)

limbT = T (11)

3

Onde T e o tensor momento-energia da eletrodinamica de Lorentz.

4piT = FF + 4pib2g

1 + FF\8pib2 (12)

4 Equacoes de movimento

Variando usualmente os graus de liberdade do eletron em (1), conclumosque o movimento do eletron e descrito pela equacao de movimento

mdv

d=e

cFv (13)

This is time for all good men to come to the aid of their party!

Outline The remainder of this article is organized as follows. Section 5gives account of previous work. Our new and exciting results are describedin Section 6. Finally, Section 7 gives the conclusions.

5 Previous work

A much longer LATEX 2 example was written by Gil [?].

6 Results

In this section we describe the results.

7 Conclusions

We worked hard, and achieved very little.

Referencias

[1] W. Pauli, Theory of Relativity, (Academic Press, New York and London,1964);

[2] P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. London, 167, 148 (1937)

4

[3] J. A. Wheeler and R. Feynman, Rev. Mod. Phys., 17, 157 (1945)

[4] P. A. M. Dirac, Proc. roy. soc. london, 167, 148 (1938);

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5

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[31] Author, Book title, page numbers. Publisher, place (year)

6