1

PROBLEMA N 48: Resolver la ecuacin diofntica: 23223 zyxyyxx =+++ Solucin: La ecuacin la podemos escribir de la siguiente forma: ( ) ( ) 222 zyxyyxx =+++ ( ) ( ) 222 zyxyx =++

Esta ecuacin la podemos escribir como: ( ) ( ) zzyxyx =++ 122 Se distinguen los siguientes casos: Caso 1: 1=+ yx 222 zyx =+

Este sistema de ecuaciones no tiene solucin en el campo de los nmeros naturales porque

N=+ 1yx

Es decir, la suma de dos nmeros naturales jams puede darnos el valor 1.

Caso 2: 122 =+ yx 2zyx =+

Caso no vlido por las razones ya expuestas en Caso 1.

2

Caso 3: zyx =+ zyx =+ 22

Despejando la variable y en la 1 ecuacin y sustituyndola en la 2 , nos quedar:

( ) zxzx =-+ 22 zxzxzx =+-+ 222 2 022 22 =-+- zzzxx

Utilizando como variable x resolvemos la ecuacin de 2 grado.

( ) ( )4

222

4

842 2222 zzzzzzzzx

--=

--=

( )2

2 zzzx

-=

Se observa fcilmente que los nicos valores naturales para z que nos dan una raz positiva son: CASO 3.1: 1=z

Obtenemos:

11 =x , N= 0y N= 02x

No hay soluciones vlidas en este caso.

CASO 3.2: 2=z

Obtenemos: 1=x , solucin doble

1=y

Solucin nica: x = y =1 z =2

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