7/31/2019 P2.6.2 Ecuacion Diferencial Lineal Homogenea Con Coeficientes Constantes.

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Antele Pascual Nstor

Canela Romn Misael

Ramrez Dolores Ana Karen

Rodrguez Torres Jorge Luis

Torres Prez Carlos Alberto

Unidad IIECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE

ORDEN SUPERIOR

2.6.2 Ecuacin diferencial lineal

homognea con coeficientesconstantes

*Problemario*

Matemticas V

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Imagen. Ejercicio 1

Transcripcin 1

1. Sea la ecuacin una ecuacin lineal homognea de coeficienteconstante, cuya ecuacin auxiliar o caracterstica es:

, es solucin genera

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Imagen. Ejercicio 2

Transcripcin 2

2. Comprobar que la funcin es la solucin de la ecuacin lineal:

Sea

Sustituyendo

Si es la solucin general es

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Imagen. Ejercicio 3

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Transcripcin 3

3. Encontrar la forma de a solucin del caso 3 a partir de las races de: y

En este caso la solucin de la ecuacin diferencial tiene la forma de donde:

Usando las formulas de Euler:

para R

Como son L.I. Forman un sistema fundamental de soluciones en (-,),podemos tomar como constante v

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Imagen. Ejercicio 4

Transcripcin 4

4. Encontrar la solucin diferencial:

La ecuacin auxiliar es: Cuyas races son:

, , Es la solucin general.

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Imagen. Ejercicio 5

Transcripcin 5

5. Hallar la solucin de la ecuacin diferencia: con lascondiciones iniciales , y

La ecuacin auxiliar es es la solucin general.Tomando

es la solucin particular.

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Imagen. Ejercicio 6

Transcripcin 6

6. Dada la solucin de una ecuacin diferencial: Encontrardicha ecuacin.

Como

Ser la ecuacin auxiliar

Es la ecuacin buscada.

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Imagen. Ejercicio 7

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Transcripcin 7

7. Para la ecuacin

La ecuacin auxiliar es

Que tiene races

Estas races representan dos valores de y, en consecuencia, dos soluciones de ecuacin(2):

() Y ()De nuevo, la razn de estas soluciones no es constante, y se concluye que la solucin

completa de (2) es

() ()O bien, en otra forma

(

)

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Imagen. Ejercicio 8

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Transcripcin 8

8. (3)La ecuacin auxiliar es

Que tiene nicamente races imaginarias Donde Estas races imaginarias parecen dar las funciones

y (4)Como solucin de (3), y de hecho, (9) tiene cierto sentido. En ambos casos

Lo que significa que ambas funciones dadas en (4) satisfacen ecuacin (3). Sin embargo,no son estas funciones como las que se buscan. Dichas funciones son complejas y no

reales. Especficamente

Que tienen ambas componente real e imaginaria. Estas formulas establecen relacin entre

las soluciones complejas (4) que se obtienen a partir de la ecuacin auxiliar y las

soluciones reales.

y Se puede apreciar la conexin exacta formando combinaciones lineales Las cuales, para constantes cualesquiera y son soluciones de (3). Sustituyendo seobtiene:

Ahora suponga que se selecciona las constantes, de manera que las soluciones son

funciones reales. Los valores

Resulta en la solucin , y los valores

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Resulta en Por lo tanto, de estas dos soluciones reales, se obtiene el conjuntocomplejo de soluciones reales

Donde A y B son constantes reales.

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Imagen. Ejercicio 9

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Transcripcin 9

9.

La ecuacin auxiliar es

(5)Que tiene races

Que se obtuvieron mediante la formula cuadrtica. Para poder aplicar o (6), se escriben las races en la forma

Mostrando que y entonces, de acuerdo con (6), dos solucionesreales de (5) son

Finalmente, formando combinaciones lineales, se obtiene la solucin completa:

O bien

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Imagen. Ejercicio 10

Transcripcin 10

10.Resolver La ecuacin caracterstica es

Que puede descomponerse en factores en

Como races

Son reales y diferentes, la solucin esta dada por (7) como

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Imagen. Ejercicio 11

Transcripcin 11

11.Resolver La ecuacin caracterstica es que puede descomponerse en factores en

Como las races son reales y diferentes, la solucin esta dada por (7)como

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Imagen. Ejercicio 12

Transcripcin 12

12.resolver La ecuacin caracterstica es

, que puede descomponerse en factores en

( )( ) Como las races y son reales y diferentes, lasolucin esta dada por (7) como

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Imagen. Ejercicio 13

Transcripcin 13

13.Resolver

La ecuacin caracterstica es Cuyas races son y La solucin esta dada por (8) como

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Imagen. Ejercicio 14

Transcripcin 13

14.Resolver

La ecuacin caracterstica es cuyas races son y La solucin esta dada por (8) como

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Referencias bibliogrficas.

Ejercicios 1-6Ecuaciones Diferenciales, Isabel Carmona Jover, Editorial Pearson, Cuarta Edicin

Pginas 218-222

Ejercicios 7-10Ecuaciones Diferenciales, Daniel A. Marcus, Editorial Continental,

Pginas 141-146

Ejercicios 11-15Ecuaciones diferenciales modernas, Richard Bronson, Serie McGraw-Hill

Paginas 68-69