Kozmologija:8 predavanj

Anºe SlosarVerzija: Maj 06

Kazalo1 Uvod 11.1 Zgodovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Vesolje se ²iri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Veliki pok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Povzetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Pogosti nesporazumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Newtonova kozmologija 132.1 Izotropija in homogenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Homogeno vesolje in perturba ije . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Newtonova kozmologija I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Newtonova kozmologija II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Re²itve Friedmanove ena£be . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.1 Ω0 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.2 Ω0 6= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6 Diskusija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Friedmanove ena£be 253.1 Ta hude Friedmanove ena£be . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.1 Friedman-Robertson-Walkerjeva (FRW) metrika . . . . 263.1.2 Ena£be . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

4 KAZALO3.2 Klasika ija Friedmanovih modelov . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.1 Ωk = 0 ali Ωtot = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.2 Ωk > 0 ali Ωtot < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.3 Ωk < 0 ali Ωtot > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Rde£i zamik in faktor velikosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Sestava vesolja in razdalje v njem 334.1 Svetloba in prah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Razdalja kotnih velikosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3 Razdalja luminoznosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4 Razdalje v modelih z Λ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 Temna masa I: Zakaj? 395.1 Eksperimentalni podatki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.1.1 Hitrosti v jatah galaksij . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.1.2 Rota ijske krivulje v galaksijah . . . . . . . . . . . . . 415.1.3 Mo£no in ²ibko le£enje v jatah galaksij . . . . . . . . . 435.1.4 Jata galaksij Metek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.1.5 Prvinska nukleosinteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.1.6 Razvoj perturba ij v vesolju . . . . . . . . . . . . . . . 476 Temna masa II: kandidati in neposredne meritve 496.1 Moºni kandidati za temno maso . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.1.1 Barioni£na temna masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.1.2 Nebarioni£na temna masa . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2 Neposredno merjenje temne mase . . . . . . . . . . . . . . . . 526.2.1 MACHOti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2.2 Neposredno merjenje del ev . . . . . . . . . . . . . . . 557 Prasevanje 59

KAZALO 57.1 Izvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.2 Lastnosti prasevanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.3 Fluktua ije v prasevanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.4 Spekter mo£i uktua ij v prasevanju . . . . . . . . . . . . . . 647.5 Meritve prasevanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.6 Sekundarne anizotropije v prasevanju . . . . . . . . . . . . . . 718 Pospe²eno ²irjenje vesolja in Ina ija 738.1 Energija vakuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.1.1 Eksperimentalni dokazi za obstoj pospe²enega ²irjenjavesolja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.2 Ina ija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779 Vesolje od za£etka do kon a 83

6 KAZALO

Poglavje 1UvodV prvem predavanju bomo pregledali nekatere ideje, ki tvorijo srº zikalnekozmologije. Ideje bodo tokrat razvite vsaj pribliºno po enakem vrstnemredu, kot so jih odkrivali vrli znanstveniki v zadnjih nekaj stoletjih, saj me-nim, da tak pristop olaj²a razumevanje osnovnih predpostavk in meritev nakaterih temelji kozmologija. V naslednjih predavanjih se bomo temu pristopuizognili in se osredoto£ili na bolj analiti£no razumevanje. V tem poglavju vgrobem sledimo knjigi Galaxy Formation, M. Longair, CUP 1998.1.1 ZgodovinaSon e, Luna in planeti so bili znani ºe zelo zgodnjim iviliza ijam. Njihovoznanstveno prou£evanje v modernem smislu pa se je za£elo ²ele s 16. sto-letjem. Natan£ne meritve gibanja planetov okoli son a, ki so bile kasnejerazloºena s pomo£jo Newtonovih zakonov gravita ije, so eden izmed prvihvelikih uspehov moderne znanost. Zgodba se za£ne z moºakom po imenuTyh o Brahe, ki je med 1576 in 1596 izmeril pozi ije Son a, Lune, plane-tov in zvezd z natan£nostjo, ki je bila znatno ve£ja od zgodnej²ih meritev.Bistvena novost, ki jo je Brahe vpeljal v znanost, je pojemmerske napake.Pomembnosti tega paradigmatskega premika je nemogo£e dati preve£ teºe.1

2 POGLAVJE 1. UVOD

Ty ho Brahe Jahnnes Kepler Isaa Newton Robert Boyle

Ri hard Bentley Heinri h Olbers Galileo Galilej William Hers helSlika 1.1: lani komedijantskega dru²tva, 1. delV zadnjih letih je Brahe k sodelovanju povabil mladega Johannesa Ke-plerja, ki se je ukvarjal z nalogo izra£unati orbite in njihove zakonitosti napodlagi Brahejevih podatkov. Razmerje med Ty hom in Johannesom je bilobaje zelo burno; Brahe je bil bogat in anekdoti£no zoprn; Kepler reven inbaje povzpeten. Bral u predlagam, da si ogleda odli£no knjigo Theoreti al on epts in Physi s, Mal oma Longaira, 1991, ki opi²e to fas inantno zgodbov podrobnostih. Kakorkoli ºe, Keplerjevo odkritje treh zakonov planetranihgibanj je £udeº geometri£ne analize. Trije zakoni vsebujejo informa ijo o or-bitah planetov (prvi zakon), ohranitvi vrtilne koli£ne v geometri£ni preoblekienakih povr²in in odvisnost orbitalne periode od srednje razdalje do son a(T ∝ r3/2).

1.1. ZGODOVINA 3Leta 1664 je Isaa Newton, star zgolj 21 let (kar pomeni, dragi ²tuden-tje in ²tudentke, da bo potrebno kar trdo delati, £e ga mislite prese£i) izpeljalKeplerjeve zakone na osnovi svojega gravita ijskega zakona. Verjetno ni pre-tiravanje, £e trdimo, da se v astronomiji, astroziki in kozmologiji kar naprejukvarjamo z gravita ijo; prakti£no vsi sistemi s katerimi se ukvarjamo seposku²ajo, bolj ali manj uspe²no, upirati vseprisotnemu vplivu gravita ije.Zgodba se nadaljuje 1692, ko je Robert Boyle organiziral nastope ugle-dnih predavateljev, katerih glavni namen je bil boj proti ateizmu. Ri hardBentley se je v prvi seriji predavanj v okviru teh tako imenovanih Boylo-vih predavanj (Boyle's Le tures) za£el ukvarjati z Newtonovim subliminiodkritji in vstopil v kratko, toda plodno debato z Newtonom o naravi uni-verzuma. Vpra²anje s katerim sta se ukvarjala je stabilnost kon£nega alineskon£nega vesolja enakomerno napolnjenega z zvezdami. Pri²la sta do za-klju£ka, da mora biti vesolje neskon£no, si er bi se pod vplivom gravita ijesesulo samo vase. Vendar sta s presentljivo lu idnim zikalnim vpogledomugotovila, da je neskon£no vesolje napolnjeno z zvezdami gravita ijsko ne-stabilno. Majhne perturba ije v homogenosti za£nejo rasti in tako razbijejohomogenost. Kon£no sta se strinjala, da zgolj boºja previdnost poskrbi, dase to ne zgodi in da vesolje ohrani svojo homogenost, z njunimi besedami. . . kot ²ivanke, ki obstanejo na svojih koni ah. Analiza gravita ijske nesta-bilnosti je dosegla svojo moderno obliko ²ele v dvajsetem stoletju z Jeansom(1902) in Lifshitzem (1946).Da je z Newtonovo in Bentleyevo sliko nekaj narobe nam pove ºe preprostargument znan po imenu Olberjev paradox. (Heinri h Olbers, 1823)Naloga 1 (Olberjev Paradoks) Predpostavi, da je vesolje neskon£noin enakomerno napolnjeno z zvezdami, ki imajo v povpre£ju absolutno lu-minoznost L in ²tevilno gostoto n. Pokaºi, da je energijski tok, ki ga meriopazovale na zemlji neskon£en. To napravi² tako, da integrira² prispevekvseh zvezd, ki so med R in R + dR oddaljene od nas.Ta poprepro²£en argument ne upo²teva termodinamike (objekti se pre-krivajo in pridejo v termodinami£no ravnovesje), niti kon£nega frekven£negapasu vsakega sprejemnika, vendar je tudi v bolj prenjenih razli£i ah zgodbaOlberjevea paradoxa podobna: neskon£no stati£no vesolje in temno nebo sta

4 POGLAVJE 1. UVODnezdruºljiva!Vrnimo se k navezi Newton - Bentley! Newton je takrat v debati meddrugim predlagal, da so zvezde objekti, podobni Son u. Posku²al jih je pre-²teti, da bi dokazal, da so res enakomerno porazdeljene po prostoru. To muni uspelo, saj ni znal izmeriti njihove razdalje od Son a. Za to je bilo po-trebno po£akati na prve meritve paralakse zvezd. To je najprej uspelo leta1832Thomasu Hendersenu za Alpha Centauri in leta 1838 je Friederi huBesselu za 61 Cygni.V velikem delu Sidereus Nun ius je leta 1609 Galileo Galilej pokazal,da je mle£na esta sestavljena iz velike mnoºi e zvezd, kadar jo opazujemoskozi teleskop. Da je mle£na esta podobna plo²£atemu disku, sestavljenemuiz zvezd je prvi predlagal Thomas Wright. Ta ideja je bila potrjena zdelom Williama Her hela. Do istega zaklju£ka sta pri²la s pre²tevanjempozi ij zvezd na nebu, vendar je pomanjkanje informa ije o razdaljah pre ejoteºilo sklepanje, pa tudi efekta absorb ije v medzvezdnem mediju niso znalipravilno upo²tevati (to se je zgodilo ²ele okoli leta 1930).e pred odkritjem teleskopa je bilo jasno, da so na nebu tudi megli£astiobjekti, ki se od zvezd razlikujejo po svojem neto£kastem videzu. V 18 sto-letju je bilo veliko lozofskih razprav o naturi teh objektov s strani Kanta,Lamberta, Swedenborga, Wrighta in drugih. Ideja, da so ti objekti ve-soljski otoki podobni na²i mle£ni esti, toda tako dale£, da posameznih zvezdni mogo£e razlo£iti so bili ºe prisotni, vendar ni bilo nikakr²nih opazovanj,ki bi lahko te trditve lahko potrdile ali zavrgle.Podrobno preu£evanje svetlih megli£astih objektov se je za£elo z Charle-som Messierjem, ki je sestavil katalog 109 objektov v letih 1771 1784. Takomik Charles se je ukarjal predvsem s kometi in je potreboval katalog zgoljzato, da ga nebulozni objekti niso zavedli pri iskanju kometov. V njegovemkatalogu najdemo objekte, ki danes spadajo tako med galakti£ne, kot tudiizven-galakti£ne megli e in te objekte ²e danes pogosto nazivamo z Messier-jevimi ²tevilkami. M1 je tako rakovi a, M42 Orinova megli a (regija burneizdelave zvezd, ki nam je najbliºja) in seveda M31, na²a spiralna soseda.Preu£evanje megli£astih objektov sta nadaljevala William Hers hel, njegovasestra Caroline ter sin John Hers hel. Sin je objavil General Catalogue ofGalaxies z 5079 objekti. Leta 1888 je John Dreyer katalog dopolnil in ob-

1.1. ZGODOVINA 5javil nov katalog z naslovom New General Catalogue of Nebulae and Clustersof Stars s pribliºno 15,000 objekti. e danes svetle objekte na nebu pogostoozna£ujemo z njihovimi NGC (New General Catalogue) ²tevilkami.Medtem, ko je kataloºenje megli£astih objektov napredovalo s polno paroso njihove lastnosti ostajale skrivnost. Nekatere med njimi so bile zgolj zgo-stitve plina, kot je pokazal William Huggins s svojimi spektroskopskimiopazovanji, prvimi te vrste. Kljub temu ni bilo jasno ali ti objekti pripadajomle£ni esti ali vesoljskim otokom. To je vodilo do tako imenove VelikeDebate, ki je prav tako izjemno zabavno zgodba, katere pa na tem mestu nemoremo obnoviti (poglejte re imo The Expanding Universe: Astronomy's'Great Debate' 1900 - 1932, R. W. Smith, CUP 1982). Debato je zaklju£ilEdwin Hubble, ki je v Andromedi opazoval Cefeidne spremenljivke. Tezvezde so zelo zanimive, odkar je mlada Henrietta Leavitt pokazala, daobstaja zelo mo£na korela ija med njihovo luminoznostjo in periodo. Hubbleje pokazal, da je Andromeda izvengalakti£en objekt in ve£ina znanstvene sre-nje je bila z njegovim argumentom zadovoljna. Leta 1926 je Hubble objavilprvo resno raziskavo galaksij kot izvengalakti£nih objektov. Pokazal je, da soenakomerno porazdeljeni in o enil srednjo gostoto materije v galaksijah. Spomo£jo Eistenovega stati£nega modela je izra£unal, da je radij ukrivljenosti27,000 Mp . Ta £lanek ozna£uje za£etek izvengalakti£ne astronomije.Leta 1929 je Hubble objavil svoje drugi veliki prispeveki h kozmologiji,ko je pokazal, da se izvengalakti£ni objekti premikajo stran od nas in da sonjihove radialne hitrosti premosorazmerne njihovi oddaljenosti od na²e ga-laksije. Pre ej presenetljivo in tudi vpra²ljivo je, da je mogel to o eniti stako majhni vzor em galaksij (okoli 20). Tudi konstantno propor ionalnostije pre enil za pribliºno faktor 10. Kljub temu (ali ravno zaradi tega) moramomoºu priznati izjemno intui ijo. Skupaj z predpostavkama izotropije in ho-mogenosti nam Hubblov zakon pravi, da je vidno vesolje zgolj del v vesolju,ki se ²iri. K Hubblovem zakonu, homogenosti in izotropiji se bomo vrnili boljpodrobno v drugem predavanju.Naloga 2 Predpostavimo, da je zakon ²irjenja izotropi£en za nas: v(r) =f(r)e. Pokaºi, da je Hubblov zakon edini, ki je zdruºljiv z vesoljem v kateremso vse to£ke enakovredne.

6 POGLAVJE 1. UVOD

Charles Messier Edwin Hubble Henrietta Leavit Ernst Ma h

Albert Einstein William de Sitter Aleksander Friedman Georg Gamov

Arno Penzias & Fred HoyleRobert WilsonSlika 1.2: lani komedijantskega dru²tva, 2. del

1.2. VESOLJE SE IRI 71.2 Vesolje se ²iriVesolje se ²iri, tudi kozmologi postajamo vedno bolj debeli.V debati Newton - Bentley je Newton na vse kriplje zagovarjal obstojtako absolutnega £asa, kot tudi prostora. Da se telesa gibljejo zgolj drugaglede na drugo, se mu je zdelo absurdno. Ker je imel Newton na splo²noprav, je ta ideologija obveljala vse do 19 stoletja, ko je na s eno stopil ErnstMa h in trdil, da je mogo£e gibanje denirati zgolj v razmerju do drugihteles. Med drugim je zagovarjal stali²£e, da je priviligiran iner ialni sistemvesolja deniran glede na zelo oddaljene zvezde (ali galaksije, kot bi reklidanes). Prosto nihajo£e Fou altovo nihalo bi nihalo v sistemu, ki je pritrjenz daljnimi galaksijami. Albert Einstein je temu prin ipu pravil Ma hovprin ip.Einstein je leta 1915, po nekaj letih intelektualnega krampanja, pri²el dodokon£ne verzije teorije splo²ne relativnosti, ki nam pravi, kako se prostor-£asukrivlja pod vplivom mase. Einstein je zelo £islal Ma ha in takoj posku²alnajti kozmolo²ko re²itev svojih ena£b polja z uporabo njegovega prin ipa.Naletel je na problem re²itve za stati£no vesolje ni bilo, £e ni uvedeltako imenovane kozmolo²ke konstante, ki je v klasi£ni splo²ni relativnostiobi£ajno postavljena na ni£. Teoreti£no gledano je to konstanta integra ijein to dopu²£a formalno moºnost, da se jo vpelje. V velikem £lanku leta 1917je Einsten trdil, da kozmolo²ka konstanta omogo£a stati£no vesolje in namhkrati pravi, da re²itve ne obstajajo, £e materija ne obstaja, kar je v skladu zMa hovim na£elom. Tudi veliki se motijo, saj jeWilliam de Sitter pokazal,da obstajajo re²itve ena£b polja tudi v primeru, ko materija ni prisotna.Ironija je, da se je opisana debata odvijala, preden je bilo znano, davesolje ni stati£no. V letih 1922 1924 je Aleksander Friedman objavildva £lanka v katerih je pokazal stati£ne in ²irjujo£e se re²itve Einsteinovihena£b. Te re²itve opisujejo modele, ki so v kozmologiji aktualni ²e danes.Aleksander je umrl za tifusom v Leningradu leta 1925 prezgodaj, da bilahko uºil priznanje za svoja pomembna odkritja. Da je bilo njegovemu deluposve£eno tako malo pozornosti je presenetljivo glede na to, da je Einsteinkomentiral prvega izmed £lankov leta 1923 in to elo napa£no, kot je samkasneje priznal. Georges Lemaître je leta 1927 neodvisno sam pri²el do

8 POGLAVJE 1. UVODFriedmanovih re²itev; kasneje je izvedel za Friedmanovo pionirsko delo in mupriznal pre endes.Einsteinove ena£be brez kozmolo²ke konstante dajo £isto spodobne re²itveza vesolje, ki se ²iri in Einsten je kozmolo²ko konstatno ozna£il kot najve£jikozel mojega ºivljenja. Vendar kozmolo²ka konstanta ni bila pozabljenaza dolgo. Ko duh pride iz stekleni£ke, ga zaboga ne spravi² ve£ nazaj, jeneko£ o tej temi pridal Jakov Zeldovi£. Najprej so kozmolo²ko konstantouporabili za re²evanje starosti vesolja, saj je bila originalna Hubblova o enaprevisoka za faktor okoli deset in posledi a tega je, da je bilo vesolje premladoza podoben faktor. Ponovno je postala aktualna v poznih 90 letih, ko sonanjo za£ele kazati meritve supernov tipa Ia (1a). Danes si ºivljenja brezkozmolo²ke konstante skorajda ne moremo ve£ predstavljati.S razvojem in razumevanjem teorije splo²ne relativnosti so postale glavnogonilo kozmolo²kega raziskovanja meritve dinami£nih in geometri£nih lastno-sti vesolja: hubblove konstante, povpre£ne gostote, geometrije, starosti. . . Temeritve nam ²e danes predstavljajo resen izziv.1.3 Veliki pokNaslednji veliki korak v kozmologiji se je dogodil kmalu po drugi svetovnivojni, ko je Georg Gamov ugotovil, da je moralo biti zgodnje vesolje iz-redno vro£e, tako vro£e, da je njegovo dinamiko dolo£alo predvsem sevanjein ne materija. Njegova sodelav a Ralph Alpher in Robert Herman stapokazala, da mora v vesolju ²e danes obstajati sevanje s temperaturo okoli5K, ohlajeni ostanek iz zgodnjega vesolja. Merjenje tega ostanka je bil pre-velik zalogaj za tehnologijo v ²tiridesetih in teoreti£na napoved je pre²la vpozabo.Leta 1965 sta Arno Penzias in Robert Wilson pribliºno pol leta spomo£jo pleskarskih lopatk odstranjevala pti£je iztrebke iz velikega roga-stega sprejemnika, saj sta imela za kakih 3K preve£ ²uma v svojem spreje-mniku. . . Po naklju£ju sta namre£ odkrila prasevanje, ki ga je v ²tiridestihnapovedala Gamova skupina. Za vztrajnost sta bila nagrajena z Nobelovo

1.4. POVZETEK 9nagrado. Model vesolja, ki se ²iri in se je za£el z zelo vro£o zgodnjo fazo, jedobil nov zagon.Georg Gamov se je v ²tiridesetih letih trudil tudi z izra£unom, ali je lahkozgodnje vesolje v svoji vro£ini sestavilo kemi£ne elemente. Program ni biluspe²en, saj ni vedel, kako bi sintetiziral elemente teºje od helija. Kasnejeje Fred Hoyle odkril trojno α resonan o, ki omogo£a sintetiziranje ogljikas pomo£jo treh atomov helija, in kmalu so njegovi sodelav i pokazali, kakoje teoreti£no mogo£e teºje elemente sintetizirati v zvezdah. Vendar je doleta 1964 postalo jasno, da je helija v vesolju veliko preve£, okoli 25%, kar jenemogo£e razloºiti zgolj z zvezdno produk ijo. Ko so o tem problemu razpra-vljali na konferen i Problems of Extragal ti Astronomy istega leta, so seFred Hoyle, Rober Tayler in John Faulkner usedli za mizo in izra£unalikoliko helija je mogo£e napraviti s prvinsko nukleosintezo v zgodnjem veso-lju. Pri²li so do ²tevilke 23% 25%, ki je presenetljivo neodvisna od to£nihza£etnih pogojev. Kasnej²i in natan£nej²i izra£uni so pokazali, da je s pomo-£jo prvinske nukleosinteze mogo£e prav tako napovedati pogostost lahkegahelija (3He), devterija in litija.1.4 PovzetekKo vas na naslednji zabavi ob koktajlih nekdo pobara Pa saj veliki pok ni£isto zaresen, ampak zgolj neka teorija? mu kar lepo povejte:1. Olberjev paradoks, ki pravi, da vesolje ne more biti neskon£no, sta-ti£no in homogeno, saj je no£ temna2. Ekspanzija distribu ije galaksij, ki jo je odkril Hubble, mnogi ponjemu pa potrdili3. Prasevanje z izjemno konsistentnim spektrom £rnega telesa in uktu-a ijami, ki jih veliki pok odli£no razloºi, kot bomo videli na kasnej²ihpredavanjih4. Prvinska Nukleosinteza, ki edina razloºi pogostost lahkih elementov

10 POGLAVJE 1. UVOD5. Starost vesolja, ki je enakega reda velikosti kot najstarej²e zvezdnekopi e v na²i galaksiji6. Evolu ija objektov z rde£im zamikom: prakti£no vsi objekti, kijih lahko opazujemo (galaksije, radijski izvori, zvezdne popula ije, itd.)kaºejo na dolo£ene spremembe z rde£im zamikom, ki niso posledijaefektov izbire.Vsaka alternativna kozmolo²ka teorija se mora soo£iti s temi opaºanji.BRING IT ON!1.5 Pogosti nesporazumiV splo²ni ljudski folklori obstaja nekaj pogostih predsotkov o teoriji velikegapoka:• e se vesolje ²iri, v kaj se ²iri? To je seveda nesmisleno vpra²a-nje, saj je vesolje po deni iji vse, torej izvenj njega ni£ ne obstaja.Podobno kot neskon£no dolg trak, ki se ²iri v neskon£nost.• Kaj je bilo pred velikim pokom? Trenutek t = 0 je teoreti£naekstrapola ija na £as, ko je bilo vesolje neskon£no gosto in vro£e. Vziki nas neskon£nosti zmerom opozarjajo, na omejitve dolo£enih teorij.Absolutna ni£la v termodnimiki je, podobno kot t = 0 v kozmologiji,zgolj teoreti£no smiselen kon ept. Fiziko razumemo pribliºno do 10−10s,kar je pred tem so (skoraj) zgolj spekula ije, prav gotovo pa je, davesolje nikoli ni bilo neskon£no gosto.• Je vesolje neskon£no? Nenskon£no vesolje ima veliko lozofskih te-ºav: ker je neskon£no, to pomeni, da mora nekje obstajati ²e en jaz.Pravzaparav jih je neskon£no, v maji ah vseh barv. . . . Kar se ti£e -zike, je pomembno zgolj to, da je vesolje v na²em svetlobnem stoº upovsem homogeno in izotropi£no, in je zato preprosto uporabno pred-postaviti, da je tako tudi zunaj njega, saj nam to poenostavi izra£une.

1.5. POGOSTI NESPORAZUMI 11Kako pa vesolje izgleda izven na²ega svelobnega stoº a pa a-priori nemoremo odgovoriti in zato ni pomembno.

12 POGLAVJE 1. UVOD

Poglavje 2Newtonova kozmologija2.1 Izotropija in homogenostPri izdelavi modela zikalne kozmologije smo prisiljeni napraviti nekaj pred-postavk:

• Fizika lahko razloºi vesolje. Najprej seveda predpostavimo, da namlahko matemati£ni apart lahko razloºi vesolje kot eloto. Takih pred-postavk smo ziki zelo navajeni. Veliko bolj drzna predpostavka je, daenaka zika, ki smo jo navajni na zemlji in v son£nem sistemu delujetudi na vesolju kot eloti. To ²e zdale£ ni o£itno: razdalje, ki so nadelu v kozmologiji so veliko, veliko, veliko ve£je kot smo jih navajeniiz lokalnih eksperimentov. Nekateri bolj baro£ni modeli na primernapovedujejo, da se vredno strukturne konstante α spreminja tako v£asu kot v prostoru. Taki modeli seveda kasneje predpostavijo svojokoherentno teorijo, ki take spremembe razloºi. S takimi modeli se tukajne bomo ukvarjali: predpostavili bomo, da je zika res to£no taka, kotjo ºe poznamo in ljubimo.• Vesolje je izotropi£no. Izotropija nam pravi, da v vesolju ni privile-girane smeri. 13

14 POGLAVJE 2. NEWTONOVA KOZMOLOGIJA• Vesolje je homogeno. Homogenost nam pravi, da vesolje na najve-£jih skalah izgleda povsod enako. Posledi£no v vesolju ni privilegiraneto£ke. Pomembno je, da se zavedamo, da homogenost ne pogojujeizotropije in obratno.Predpostavki o izotropiji in homogenosti vesolja lahko seveda potrdimoa-posteriori.Naloga 3 Poglej si sliki distribu ije galaksij in kvazarjev na sliki 2.1. Zakajje distribu ija kvazarjev veliko bolj homogena kot distribu ija galaksij? Kakorazloºimo radialno poravnanost galaksij (tako imenovan efekt boºjih prstov(ngers of God)?

2.2 Homogeno vesolje in perturba ijeVesolje okoli nas je seveda izjemno nehomogeno: vidimo galaksije, zvezde,planete in tudi ljudje ne izgledajo ravno homogeno. Pomembno je, da jevesolje, £e gostotno polje povpre£imo na dovolj velikih skalah ²e zmerom ho-mogeno. Metodologija je potem jasna: re²imo ziko za povsem homogeno inizotropi£no vesolje in kasneje dodamo nehomogenosti kot perturba ije okolipovsem homogene re²itve. Na zelo velikih skalah so perturba ije zanemar-ljive, na nekoliko manj²ih skalah jih lahko upo²tevamo s pomo£jo perturba- ijske teorije, na (kozmolo²ko) majhnih velikostnih skalah si pa pomagamona zelo razli£ne na£ine. V slede£ih dveh poglavjih se bomo posvetili izklju£nopovsem homogenim re²itvam.2.3 Newtonova kozmologija IV vesolju, ki se ²iri je mogo£e hitrost vsakega vektorja razdeliti na hitrostzaradi ²iritve vesolja in pekuliarno hitrost, vsaj v Newtonovskem pribliºku.Napi²imo torej

2.3. NEWTONOVA KOZMOLOGIJA I 15

Slika 2.1: Slika distribu ije galaksij iz eksperimenta 2dF (zgoraj) in distribu- ije kvazarjev iz eksperimenta SDSS (spodaj).

16 POGLAVJE 2. NEWTONOVA KOZMOLOGIJAX(t) = R(t)x(t). (2.1)V ena£bi (2.1) funk ija R(t) opisuje Hubblovo ²irjenje vesolja, vektor xso tako imenovani so-premikajo£i vektor razdalje in vektor X nam opisujedejansko razdaljo med dvema objektoma. Koli£ini R pravimo tudi faktorvelikosti (s ale fa tor).Zamislimo si dve galaksiji, ki se premikata zgolj zaradi Hubblovega ²ir-jenja. Njuna so-premikujo£a se razdalja je konstantna x(t) = x in vso pre-mikanje lahko pripi²emo zgolj Hubblovi ²iritvi. e odvajamo ena£bo (2.1),dobimo

X = Rx (2.2)Ena£bi (2.1) in (2.2) delimo, kar nam da Hubblovo konstanto:H =

|X|

|X|=

R

R. (2.3)Poten ialna energija galaksije je

PE = −4πGρmx2

3R2. (2.4)Naloga 4 Izpelji ena£bo (2.4) s pomo£jo Gaussovega izreka. Zakaj je stan-dardna ena£ba za gravita ijski poten ial v homogeni snovi,

PE = +2πGρmx2

3R2, (2.5)ni pravilna v tem primeru?Kineti£na energija je

2.3. NEWTONOVA KOZMOLOGIJA I 17KE =

mv2

2=

mx2

2R2. (2.6)Celotno energijo lahko potem zapi²emo kot

E =mx2

2R2 −

4πGρm

3x2R2. (2.7)Re²imo ena£bo za R:

R2 =8πGρ

3R2 +

2E

mx2(2.8)e naj bo R neodviseon od x, potem mora biti R neodvisen od x iz £esarsledi E ∝ R2. Poberimo zadnji £len ena£be (2.8) v konstanto −k in zapi²imo

R2 =8πGρ

3R2 − k, (2.9)iz £esar sledi

H2 =8πGρ

3−

k

R2(2.10)Ena£bi (2.10) pravimo Friedmanova ena£ba. Pogumni berite dalje, ²ibkipresko£ite naslednje poglavje in se odpravite neposredno k re²itvam Fried-manove ena£be 2.5

18 POGLAVJE 2. NEWTONOVA KOZMOLOGIJA2.4 Newtonova kozmologija IIPosku²ajmo rezultat prej²njega poglavja izpeljati nekoliko bolj natan£no.Ena£be, ki opisujejo prah (i.e. material brez lastnega tlaka) z gostoto ρ,hitrostjo v in gravita ijskim poten ialom Φ soρ + ∇ · (ρv) = 0, (2.11)

v + (v · ∇)v = −∇Φ, (2.12)∇2Φ = 4πGρ. (2.13)Ena£ba (2.11) pravi, da kar nekam gre, to nekam pride, ena£ba (2.12) jedrugi Newtonov zakon in ena£ba (2.13) je Gaussov zakon za gravita ijo.Homogenost zahteva, da gostota ni funk ija pozi ije (ρ = ρ(t)), izotropijapa, da ima hitrost lahko zgolj radialno komponento (v = vr(r, t)r). Ena£be(2.11)- (2.13) tako postanejo:

∂t log ρ +1

r2∂r

(

r2vr

)

= 0, (2.14)vr + vr∂rvr = −∂rΦ, (2.15)

1

r2∂r

(

r2∂rΦ)

= 4πGρ. (2.16)Ena£ba (2.16) ima re²itevΦ(r) =

2πGρ

3r2 + Ar−1 + B, (2.17)kjer so A in B konstante integra ije. B nima zikalne vsebine, A paopisuje maso v sredi²£u, kar je seveda moºna re²itev za izotropi£no polje.Ker mora kozmolo²ka re²itev biti neodvisna od koordinatnega izhodi²£a, A =

B = 0. Tako smo okoli riti v ºep ponovno pri²li do ena£be (2.4).

2.4. NEWTONOVA KOZMOLOGIJA II 19Ena£bo (2.17) vstavimo v ena£bo (2.15), ki postane lo£ljiva z uporaboansatza vr = rH(t):vr(t) = rH(t), (2.18)

H + H2 = −4πG

3ρ. (2.19)Seveda ni naklju£je, da smo uporabili £rko H , saj v njej prepoznamoHubblovo konstantno. Ena£bo (2.18) je potrebno samo ²e integrirati, da dapridemo do ena£b (2.1) in (2.3).Sedaj uporabimo ²e ena£bo (2.14), ki nam da

∂t log ρ +3R

R= 0, (2.20)iz £esar sledi

ρ = ρ0

(

R0

R

)3

. (2.21)Presene£enje, presene£enje: gostota pada z kubom linearne dimenzije vo-lumna! Potrebno je poudariti, da ena£ba seveda deluje zgolj, £e je materijabrez lastnega tlaka, ki bi si er opravljal delo, ko bi se vesolje ²irilo.Ena£bi (2.21) in (2.19) zdruºimo vR

R= −

4πGρ0R30

3R−3. (2.22)Pomnoºimo z R na obeh straneh, kar nam da

20 POGLAVJE 2. NEWTONOVA KOZMOLOGIJA(

R

R

)2

=8πGρ

3−

k

R2(2.23)Ena£bi (2.10) in (2.23) sta identi£ni, s tem, da je slednja izpeljava vsebo-vala manj mahanja z rokami.2.5 Re²itve Friedmanove ena£bePosku²ajmo najti nekaj splo²ni lastnosti re²itve Friedmanove ena£be. Najprejdenirajmo nekaj koli£in. Ω opisuje srednjo gostoto vesolja:

Ω =8πGρ

3H2. (2.24)Veliko bolj pogosto se uporablja Ω0:

Ω0 =8πGρ0

3H20

, (2.25)kjer nam indeks 0 poleg gostote in Hubblove konstante pravi, da so tekoli£ine ovrednotene ob £asu t0, v trenutni epohi, lahko re£emo kar danes.Koli£ina q je merilo negativnega pospe²ka vesoljaq = −

RR

R. (2.26)Tudi tukaj velja q0 = q(t0). Zaradi preprosti, postavimo ²e vrednostparametre R na eni o danes:

R(t0) = 1. (2.27)

2.5. REITVE FRIEDMANOVE ENABE 21Ena£ba (2.27) seveda nima zikalne vsebine.S pomo£jo teh ena£b lahko prepi²emo ena£bo (2.23) vH2 = H2

0

(

Ω0

R3+

1 − Ω0

R2

) (2.28)Naloga 5 Izpelji ena£bo (2.28).Ena£ba (2.28) ima re²itve, ki padejo v tri razrede, glede na vrednost Ω0,oziroma k.2.5.1 Ω0 = 1To je tako imenovana Einsten-de Sitter re²itev. Iz Ω0 = 1 sledi k = 0 in torejR ∝ t2/3, (2.29)H =

2

3t. (2.30)Naloga 6 Izpelji ena£bi (2.29) in (2.30)2.5.2 Ω0 6= 1e je Ω0 < 1 (k < 0), lahko re²itve zapi²emo v slede£i parametri£ni obliki

t = A [sinh θ − θ] , (2.31)R = B [cosh θ − 1] . (2.32)Naloga 7 Pokaºi, da sta ena£bi (2.31) in (2.32) re²itev ena£be (2.28) inpoi²£i konstanti A in B.

22 POGLAVJE 2. NEWTONOVA KOZMOLOGIJANaloga 8 Izpelji ekvivalent ena£b (2.31) in (2.32) za primer, ko je Ω0 > 1.Ob kak²ni vrednosti θ doseºe tako vesolje najve£ji obseg?2.6 DiskusijaV nalogi 8 ste pri²li do zaklju£ka, da se v primeru, ko je Ω0 > 1 vesolje ²iri,doseºe maksimalni radij in potem ponovno kolapsne v to£ko. Nekaj podob-nega se zgodi, £e vrºete kamen v zrak. Kamen gre gor, potem dol in padenazaj pod noge. e ga res mo£no zalu£ate bo za²el v interplanetarni prostor.e pa ga zalu£ate z ubeºno hitrostjo se bo asimptoti£no ustavljal in dosegelmirovanje v neskon£nosti. Podobnost ni zgolj naklju£na. e ima vesolje do-volj kineti£ne energije, da premaga vso gravita ijo, ki ga vle£e skupaj, se bo²irilo v neskon£nost. e ima ravno toliko kineti£ne kot poten ialne energijese bo ustavilo ²ele v neskon£nosti. e pa je ima premalo se bo ponovno sk£ilosamo vase. Modele vesolja tako delimo na• Odprte: Ω0 < 1

• Kriti£ne: Ω0 = 1

• Zaprte: Ω0 > 1Modeli se delijo na odprte in zaprte deloma zaradi kon£nosti in neskon£no-sti v £asu in deloma zaradi njihovih geometri£nih lastnosti, kot bomo spoznaliv prihodnjih predavanjih.Parameter Ω0 je funk ija Hubblove konstante in gostote. Ker numeri£navrednost Hubblove konstante ne spremeni dinamike vesolja, je o parametruΩ0 najenostavnje²e misliti, kot o gostoti. Ω0 ustreza kriti£ni gostoti, ko imavesolje enako poten ialne in kineti£ne energije. Zaradi simetrije in drugihlepih lastnosti imajo teoretiki ta model najraje!Hubblova konstanta nam pove kako hitro se vesolje ²iri v danem trenutkuin seveda ni v konstanta v £asu: vesolje (sestavljeno zgolj iz obi£ajne mase)se ²iri vedno po£asneje.

2.6. DISKUSIJA 23Naloga 9 e je Hubblova konstanta trenutno H0, izra£unaj starost kriti£-nega vesolja. Koliko je starost vesolje v odprtih in zaprtih modelih, £e ima²dan Ω0?Naloga 10 e je Hubblova konstanta trenutno H0 in je Ω0 > 1, izra£unajkak²na bo starost vesolja, ko se bo le to sesedlo samo vase (Veliki Hrsk - BigCrun h)

24 POGLAVJE 2. NEWTONOVA KOZMOLOGIJA

Poglavje 3Friedmanove ena£be3.1 Ta hude Friedmanove ena£beNewtonova kozmologija vsebuje skoraj vse elemente, ki so prisotni tudi vpravilni splo²no relativisti£ni. Vendar je jasno, da mora biti fundamentalnonarobe: galaksije, ki so dovolj dale£ stran od nas se gibljejo z hitrostjo, kije ve£ja od hitrosti svetlobe. Po drugi strani, pa je nemogo£e izra£unatirelativisti£ne popravke, ko pa vemo, da je gravita ija dominantna sila. Ergo,potrebna je splo²na relativnost.Splo²na relativnost je matemati£no kompli irana zadeva. Kon eptualnopa ²e zdale£ ni tako nemogo£a. Hevristi£no lahko re£emo:

• Ekvivalen£ni prin ip: Stojimo v zaprtem dvigalu in opazimo, da kamen,ki ga spustimo pospe²eno pade na tla. e nimamo dodatne informa ijene morem re£i, ali gre za gravita ijsko polje ali nek nepridiprav dvigalopospe²eno dviguje.• Energijska gostota ukrivlja prostor-£as. Kamen, ki ga zalu£am vodo-ravno ne pada paraboli£no, nadaljuje v ravni £rti, samo prostor-£as jeukrivljen. 25

26 POGLAVJE 3. FRIEDMANOVE ENABE• Energijska gostota dolo£a, koliko bo prostor-£as ukrivljen. Energijskogostoto dolo£ajo vse vrste energije: lahko gre za relativisti£no energijosnovi v delovanju (ρc2), energijo povezano z tlakom, itd.Friedman in Lemaitre sta re²ila kozmolo²ki model v teoriji splo²ne rela-tivnosti. V splo²ni relativnosti nam geometrijo prostora-£asa dolo£a metrika.Ker nam enakomerna porazdeljena materija enakomerno ukrivja metriko, semoramo najprej seznaniti z tako imenovano Friedman-Robertson-Walkerjevometriko.3.1.1 Friedman-Robertson-Walkerjeva (FRW) metrikaIz posebne teorije relativnosti poznate Minkovskovo metriko (c = 1):

ds2 = dt2 − dx2 − dy2 − dz2. (3.1)Minkovskova metrika opisuje prostor v katerem so gravita ijski efekti za-nemarljivi. Prepi²imo jo v krogelnem koordinatnem sistemu:ds2 = dt2 − dr2 − r2

(

dθ2 + sin2 θdφ2) (3.2)FRW metriko lahko zapi²emo v zelo podobni obliki:

ds2 = dt2 − R(t)2[

dr2 + S2(r)(

dθ2 + sin2 θdφ2)]

, (3.3)kjer je koli£inaS(r) =

R > 0 R sin(r/R)

R−1 = 0 r,

R < 0 R sinh(r/R)

(3.4)Ena£ba (3.3) ima pre ej zanimivih lastnosti:

3.1. TA HUDE FRIEDMANOVE ENABE 27• Spremenljivka R je radij ukrivljenosti prostora, kot je meri opazovale danes.• Evklidski prostror ima R → ∞. Podobno kakor je povr²ina krogle zneskon£nim radijem ravnina, je tudi povr²ina 4-dimenzionalne kroglez neskon£nim radijem evklidski prostor.V primeru dobimo nekaj, karje zelo podobno Minkovski metriki iz ena£be (3.2). Vendar vsebujebistveno razliko, faktor R(t), ki opisuje ²irjenje vesolja, povsem tako,kot smo ºe izra£unali za Newtonovo kozmologijo.• e je R > 0 nam metrika opisuje pozitivno ukrivljen prostor. Takprostor je 3-dimenzionalni ekvivalent krogle. Ima kon£ni volumen invsota vseh kotov poljubnega trikotnika je > 180.• e je R < 0 nam metrika opisuje negativno ukrivljen prostor. Takprostor je na vsaki posamezni to£ki 3-dimenzionalni ekvivalent sedla.Ima neskon£en volumen in vsota vseh kotov poljubnega trikotnika je

< 180.Newtonova kozmologija ne dopu²£a prostorske geometrije, ki bi bila ne-evklidovska. Ker sta v splo²ni relativnosti geometrija in energijska gostotatesno povezani nam tudi energiska gostota dolo£a geometrijo vesolja, kotbomo kmalu videli.Opozorilo: Splo²na relativnost je umeritvena teorija (gauge theory).O tem boste veliko ve£ zvedeli v vi²jih letnikih. Pomembna posledi a tegadejstva je, da je metriko mogo£e napisati na veliko razli£nih na£inov v katerihimajo koordinate razli£en pomen. FRW metrika napisana v zgornji oblikije zgolj ena izmed izbir, ki napravi analogijo z Newtonovo kozmologijo karnajbolj o£itno.3.1.2 Ena£beFriedmanovi ena£bi sta:

28 POGLAVJE 3. FRIEDMANOVE ENABER

R= −

4πG

3

(

ρ +3p

c2

)

+1

3Λ (3.5)in

(

R

R

)2

=8πGρ

3−

k

R2+

1

3Λ (3.6)Parameter k je konstanta integra ije in je enaka k = R−2. Parameter Λje famozna Einsteinova kozmolo²ka konstanta. Prav tako prispeva k energijivesolja in si jo bomo pobliºje ogledali v naslednjem predavanju.V prej²njem predavanju smo upeljali parameter Ω. Ω je ozna£eval sre-dnjo gostoto vesolja in Ω0 = Ω(t0). Sedaj bomo upeljali bolj standardnonomenklaturo:

Ωm =8πGρ0

3H20

, (3.7)Ωk =

−k

H20

, (3.8)ΩΛ =

Λ

3H20

(3.9)Ena£ba (3.6) tako postaneH2 = H2

0

(

Ωm

R3+

Ωk

R2+

ΩΛ

1

)

. (3.10)V trenutni epohiΩm + Ωk + ΩΛ = 1 (3.11)

3.2. KLASIFIKACIJA FRIEDMANOVIH MODELOV 29V tem zapisu smo spustili indekse 0, ki bi ozna£evali, da se te koli£ineveºejo na trenutno epoho, kar je standardni zapis. Ωm je energijska gostotav obliki materije zapisana kot deleº kriti£ne gostote, ΩΛ je deleº energijskegostote v obliki energije vakuma inΩk preostanek. KerΩk ni realna energijskagostota, temve£ zgolj nami²ljena energijska gostota, potrebna, da se vesoljezapre, nekateri avtorji raj²i pi²ejoΩtot = Ωm + ΩΛ = 1 − Ωk (3.12)3.2 Klasika ija Friedmanovih modelovFriedmanove modele v grobem delimo na tri skupine:3.2.1 Ωk = 0 ali Ωtot = 1Vesolje ima kriti£no gostoto. e je ΩΛ = 0 se bo asimptoti£no ²irilo inustavilo v neskon£nosti. e je ΩΛ > 0 bo prej ali slej energija vakumaprevladala in vesolje se za£elo ²iriti z eksponentno hitrostjo. e je ΩΛ < 0bo vesolje doseglo kriti£no velikost in se pod vplivom negativen vakumskeenergije ponovno sesedlo vase.3.2.2 Ωk > 0 ali Ωtot < 1Vesolje ima hiperboli£no geometrijo 3D prostora ima manj kot kriti£no go-stoto. e je ΩΛ = 0 se bo asimptoti£no ²irilo in imelo v neskon£nosti ²ezmerom pozitivno hitrost. e je ΩΛ > 0 bo prej ali slej energija vakumaprevladala in vesolje se za£elo ²iriti z eksponentno hitrostjo. e je ΩΛ < 0bo vesolje doseglo kriti£no velikost in se pod vplivom negativen vakumskeenergije ponovno sesedlo vase.

30 POGLAVJE 3. FRIEDMANOVE ENABE3.2.3 Ωk < 0 ali Ωtot > 1Vesolje ima sferi£no geometrijo 3D prostora in ima gostoto, ki je ve£ja odkriti£ne. e je ΩΛ = 0 se bo asimptoti£no ²irilo in imelo v neskon£nosti ²ezmerom pozitivno hitrost. e je ΩΛ < 0 bo vesolje doseglo kriti£no velikost inse pod vplivom tako negativen vakumske energije, kot tudi prevelike gostoteponovno sesedlo vase. e je ΩΛ > 0 nastopijo teºave. e je energija vakumadovolj velika, da preseºe gravita ijski pritisk materije, z drugimi besedamiΩΛ > ΩΛ,c, potem se vesolje za£ne ²iriti z eksponentno hitrostjo. e jeΩΛ < ΩΛ,c, potem bo gravita ije materije prevladala in vesolje se bo sesedlosamo vase. V primeru da je ΩΛ = ΩΛ,c, potem imamo ravno prav energijevakuma, da uravnovesimo gravita ijo mase. To je bil originalen Einsteinovmodel. Ta je nestabilen in lahko pod perturba ijami za£ne rasti ali pa sezmanj²evati.Naloga 11 Za dana²nje vesolje velj¡ da je Ωm ∼ 0.3±0.1 in ΩΛ ∼ 0.7±0.1.Katere od na²tetih moºnosti pridejo v po²tev?3.3 Rde£i zamik in faktor velikostiRazmislimo o valovnem paketku s frekven o ν1 ki ga je galaksija izpljunilamed t1 in t1 + ∆t1. Ta paketek sprejme opazovale danes med £asoma t0 int0 + ∆t0. Signal gre po poti, ki jo dolo£a ds2 = 0. Torej

dt = −R(t)dr (3.13)Ker so so-premikajo£e koordinate konstantne, lahko zapi²emo∫ t0

t1

dt

R(t)= −

∫ 0

r

dr =

∫ t0+∆t0

t1+∆t1

dt

R(t), (3.14)in torej

3.3. RDEI ZAMIK IN FAKTOR VELIKOSTI 31c∆t0R(t0)

=c∆t1R(t1)

. (3.15)1 + z =

ν1

ν0

=∆t0∆t1

=R0

R1

(3.16)• Rde£i zamik v kozmolo²kem kontekstu ni posledi a hitrosti objekta,temve£ ²iritve vesolja.• Rela ije med rde£im zamikom in faktorjem velikosti je trivialna. Objektpri z = 1 je nastal, ko je bilo vesolje dvakrat bolj manj²e kot danes.• Efekt je v marsi£em podobnen relativisti£nemu efektu raztegovanja£asa. Vpliva na vse dogodke, ki se zgodijo na kozmi£nih razdaljah.Oddaljene supernove nam tako na videz eksplodirajo po£asi.• V okviru splo²ne relativnosti je efekt posledi a tako Dopplerjevega za-mika, kot gravita ijskega rde£ega zamika.

32 POGLAVJE 3. FRIEDMANOVE ENABE

Poglavje 4Sestava vesolja in razdalje v njem4.1 Svetloba in prahZa kriti£no vesolje natla£eno z galaksijami, smo pokazali:

R ∝ t2/3 (4.1)H =

2

3t(4.2)Tem re²itvam tudi pravimo re²itve za prah (dust), saj galaksije ne opra-vljajo nikakr²nega dela pri ²irjenju. Na splo²no temu ni tako, £e npr. kosplina adiabati£n raz²irimo, se bo le ta ohladil, saj je opravil delo nasprotizunanjemu tlaku PdV . V splo²nem lahko zapi²emo

∂t(ρR(t)3) = −P∂t(R(t)3). (4.3)in torej 33

34 POGLAVJE 4. SESTAVA VESOLJA IN RAZDALJE V NJEM∂t(ρ) = −3(P + ρ)∂t ln R = −3H(t)ρ(1 + w), (4.4)kjer smo vpeljali konstanto w = P/ρ. Moºne vrednosti za w so:1. w = 0 : obi£ajna snov2. w = 1/3 : sevanje3. w = −1 : energija vakuuma.Naloga 12 Izpelji w = 1/3 za sevanje. Zakaj ima vakuum w = −1? (Na-mig: Vstavi w = −1 v ena£bo (4.4).)Podobno lahko izpeljemo tudi kako se energijska gostota spreminja kotfunk ija faktorja velikosti:

ρprah ∝ R−3, (4.5)ρrad ∝ R−4, (4.6)

ρΛ ∝ R0 (4.7)Naloga 13 Izpelji ena£be (4.5) - (4.7).Naloga 14 Temperature prasevanja je trenutno 2.7K. Izra£unaj, pri kate-rem rde£em zamiku sta bili energijski gostoti v radia iji in materiji enaki?V razli£nih fazah vesolja, prevladujejo razli£ne energije. V najbolj zgodnjifazi je dominantna energija sevanje. Potem volan prevzame obi£ajna materijain kon£no postane pomembna energija vakuma.

4.2. RAZDALJA KOTNIH VELIKOSTI 354.2 Razdalja kotnih velikostiRe imo, da poznamo velikost pali e d, ki jo postavimo dale£ stran, na razdaljoD0, tako, da ima kotno velikost ∆θ. Navajeni smo, da lahko zapi²emo

∆θ =d

D0

(4.8)e uporabimo FRW metriko, se nam stvari spremenijo:d = RS(r)∆θ =

D∆θ

1 + z(4.9)Tu smo denirali tako imenovano merilo razdalje D, podano preprosto z

D = S(r) (4.10)Merilo razdalje D je se najlaºje razumeti, kot pospolo²itev obi£ajne ra-dialne razdalje D0 iz Evklidskega prostora na poljubno ukrivljene prostore.Zapi²emo lahko tudi∆θ =

d

DA

(4.11), kjer jeDA =

D

1 + z(4.12)Koli£ini DA pravimo tudi razdalja kotnih velikosti (angular diameter di-stan e). Pravi nam, kako se kotna velikost spreminja z merilom razdalje.

36 POGLAVJE 4. SESTAVA VESOLJA IN RAZDALJE V NJEM4.3 Razdalja luminoznostiRe imo, da nam ºarni a sveti iz razdalje D0. Bolometri£ni energijski tok jepodan zS =

L

4πD20

(4.13)e je ºarni a na kozmolo²ki razdalji, ki ji ustreza merilo razdalje D, potemimamo na delu dva efekta:1. Frekven a posameznih fotonov se zmanj²a za faktor (1+z)2. tevilo fotonov, ki pridejo na enoto £asa se zmanj²a za faktor (1+z)Skupaj, tako merilo luminoznost, ki je enakaS =

L

4πD2(1 + z)2=

L

4πD2L

(4.14)Razdaljo luminoznosti, lahko tako zapi²emo kotDL = D(1 + z) = DA(1 + z)2 (4.15)Ena£bo (4.15) pogosto imenujemo tudi teorem re ipro£nosti.4.4 Razdalje v modelih z Λ = 0Ena£bo (2.28) lahko prepi²emo kot

4.4. RAZDALJE V MODELIH Z Λ = 0 37R2 = H2

0

[

Ω0

(

1

R− 1

)

+ 1

] (4.16)e uporabimo R = (1 + z)−1, ugotovimodz

dt= −H0(1 + z)2 (Ω0z + 1)1/2 (4.17)Ena£ba (4.17) je zelo uporabna. Lahko re imo izra£unamo starost vesoljas pomo£jo integrala

t =

∫ 0

∞

dt

dzdz (4.18)Lahko tudi zapi²emo

dr = −(1 + z)dt (4.19)in torejdr =

dz

H0(z + 1)(Ω0z + 1)1/2(4.20)Zadevo pointegriramo v

r =2

H0(Ω0 − 1)1/2

[

tan−1

(

Ω0z + 1

Ω0 − 1

)1/2

− tan−1 (Ω0 − 1)−1/2

]

. (4.21)Iz tega lahko izra£unamo ²e D = S(r). Vendar potrebujemo ²e R kotfunk ijo Ω0. Pokazati se da

38 POGLAVJE 4. SESTAVA VESOLJA IN RAZDALJE V NJEMR =

1

H0 (Ω0 − 1)1/2(4.22)Po malo ra£unanja pridemo do

D = S(r) =2c

H0Ω20(1 + z)

(

Ω0z + (Ω0 − 2)[

(Ω0z + 1)1/2 − 1]) (4.23)Enkrat, ko imamo D lahko izra£unamo DL in DA.Naloga 15 Pokaºi, da v prostorsko ravnem vesolju brez kozmolo²ke kon-stante doseºe objekt svojo najmanj²o kotno velikost pri z = 1.25.V bistvu se kozmologi ve£ino £asa ukvarjamo z merjenjem razdalj raznihvrst. Standardni trik je slede£:1. Najdi objekt, ki ga lahko uporabi² kot standardno merilno pali o alistandardno sve£ko. Dober primer so efeidne spremenljivke ali super-nove tipa Ia (1a).2. Izmeri, kako se D spreminja kot funk ija z3. Izra£unaj parametre kozmolo²kega modela.

Poglavje 5Temna masa I: Zakaj?Do sedaj smo spoznali dve osnovni komponenti vesolja: maso in energijovakuma ali temno energijo. Danes si bomo ogledali ²e temno masa, ki je tretjakomponenta v vesolju. Preden bomo na²teli vse eksperimentalne rezultate,ki nas prepri£ujejo v obstoj temne mase, si najprej poglejmo lastnosti te novekomponente.Lastnosti temne mase lahko strnemo v slede£e:

• V Friedmanovih ena£bah temna masa nastopa skupaj z barioni£nomaso: efektivno je to snov, ki nima lastnega tlaka in zanjo torej pravtako velja w = 0. Parameter mase lahko tako razdelimo na maso vbarioni£ni materiji in temno maso:Ωm = Ωb + Ωdm (5.1)Pod barioni£no maso ²teje vsaka masa, ki jo poznamo iz obi£ajne zike(protoni, elektroni, atomi in molekule, itd.)

• Trenutno velja, da je Ωb ∼ 0.05 in Ωdm ∼ 0.25, kar pomeni, da je temnamasa dominantna komponenta izvora gravita ijskega polja v galaksijah.• Temna masa nima nikakr²ne interak ije z barioni£no maso in radia ijoz izjemo gravita ijske interak ije.39

40 POGLAVJE 5. TEMNA MASA I: ZAKAJ?• Do sedaj ²e nimamo standardnega modela, kaj bi temna masa lahkobila. Nekaj popularnih idej bomo na²teli v poglavju 6.1.

5.1 Eksperimentalni podatkiO obstoju temne mase nas prepri£uje ela serija neodvisnih eksperimentalnihrezultatov.5.1.1 Hitrosti v jatah galaksije leta 1933 je Fritz Zwi ky meril rde£e zamike galaksij v jati galaksij Comain odkril pre ej velike pekuliarne hitrosti (okoli 1000 km/s). Iz svetlobe, ki jooddajajo galaksije v jati in poznavanjem osnovne zvezdne zike je o enil, daje mase v galaksijah premalo, da bi bila jata lahko vezan sistem. Zwi ky jetrdil, da mora biti ve£ina mase skrita v nam nevidni obliki in jo poimenovalmanjkajo£a masa.Kasneje je bila Zwi kijeva analiza ponovljena na velikem ²tevilu jat ga-laksij s podobnim zaklju£kom: brez dodatne temne komponente bi se jategalaksij razpr²ile.Z nastopom rentgenskih teleskopov je bilo prvi£ mogo£e videti ve£inoplina, ki zavzema prostor med galaksijami v jati. Ta pline ne seva termi£no,tako na£in kot zvezde, temve£ s pomo£jo zavornega sevanja, ki nastane, kose dva nabita del a preletita v hiperboli£nih orbitah. Za ta med-galakti£niionizirani plin je zna£ilno, da je izredno vro£ in redek. To je mogo£e zaklju£itiiz njegovega spektra pri rentgenskih energijah in elotnega energijskega toka,ki je v grobem propor ionalen n2. Ponovno se je izkazalo, da je tlak tegaplina dovolj velik, da bi se jata galaksij razpr²ila, £e je ne bi skupaj drºala ²edodatna sila.

5.1. EKSPERIMENTALNI PODATKI 41

Slika 5.1: Najbliºja jata galaksij (Coma) v opti£nem delu spektra (levo) inrentgenu (desno) (izvor neznan)5.1.2 Rota ijske krivulje v galaksijahPo Zwi kyevi analizi je najbolj o£iten dokaz za obstoj temne mase pri²el izsamih galaksij. Objekti na robu galaksij se gibajo hitreje kot bi se, £e temnemase ne bi bilo.Najprej izmerimo disperzijo radialnih hitrosti objektov v zunanji delihgalaksije. To se obi£ajno naredi preko emisijskih £rt iz predelov HII, zvezdnihabsorp ijskih £rt, CO in HI (21 m) £rt. Radijske HI £rte so obi£ajno najboljnatan£na metoda z napakami ∆v ∼ 0.1km s−1. Virialni teorem nam pravi⟨

v2r

⟩

(r) =2GM(r)

3r, (5.2)kjer je M(r) masa spravljena v radiju r.Naloga 16 Izpelji ena£bo (5.2). Namig: Privzame² lahko, da so kompo-nente hitrosti neodvisne.

42 POGLAVJE 5. TEMNA MASA I: ZAKAJ?

Slika 5.2: Rota ijska hitrost v tipi£ni galaksiji kot funk ija razdalje od entra(izvor neznan)

5.1. EKSPERIMENTALNI PODATKI 43e je r izven vidnega dela galaksije in £e privzamemo, da svetloba sledimasi (light tra es mass), potem pri£akujemo < v2 >∝ r−1. V ve£ini galaksijodkrijemo, da je < v2 > pribliºno konstanta vse do najve£jega radija, dokaterega merimo. V na²i galaksiji je to pribliºno < v2 >1/2∼ 220 km/s. Tonam pravi, da mora galaksija sedeti sredi nekak²nega haloja temne mase,katerega masa pada pribliºno z ρ(r) ∝ r−2 in to po£ne vsaj do r = 50kp okoli tip£ne spiralne galaksije. Na nekem radiju mora ρ seveda padati hitrejez radijem, saj bi bila masa haloja si er neskon£na.Iz rota ijskih krivulj se da zaklju£iti, da je Ωdm > 0.1.Dodaten razlog za obstoj halojev je dejstvo, da bi se galakti£no disk razbilzaradi dinami£nih nestabilnosti, ki jih halo temne mase stabilizira.5.1.3 Mo£no in ²ibko le£enje v jatah galaksijMasa ukrivlja svetlobo. V Newtonskem pribliºku si lahko foton predsta-vljamo kot metek, ki se premika s hitrostjo c. Kot sipanja lahko zapi²emokotα =

GM

bc2

∫ π/2

−π/2

dθ cos θ =2GM

bc2, (5.3)kjer je b velikost ro£i e v neskon£nosti.Splo²no relativisti£en rezultat je zelo podoben, vendar pridobimo faktor2:

α =4GM

bc2. (5.4)Ena£ba (5.4) je bila velikokrat eksperimentalno preverjena in za son e jenapaka < 10−4.

44 POGLAVJE 5. TEMNA MASA I: ZAKAJ?

Slika 5.3: Mo£no le£enje v posnetku Hubblovega teleskopa (izvor neznan).

5.1. EKSPERIMENTALNI PODATKI 45Ker nam masa ukrivlja svetlobo, nam razporeditev mas lahko deluje tudikot le£a. Efektive refraktiven indeks je podan kar preprosto zn = 1 −

2Φ

c2, (5.5)kjer je Φ gravita ijski poten ial. Glavna prednost gravita ijskega le£enjaje, da je ob£utljivo na distribu ijo vse gravitajo£e mase, vklju£ujo£i temnomaso.Le£enje v astronomiji v grobem delimo na ²ibko in mo£no gravita ijsko le-£enje. V ²ibkem gravita ijskem le£enju, galaksije za jato galaksij spreminjajoobliko, ko potujejo skozi gravita ijski poten ial jate. Njihova elipti£nost po-stane malenkost bolj poravnana okoli tangen ialne smeri v jati. Spremembaje veliko manj²a kot je elipti£nost same galaksije. e privzamemo, da so ori-enta ije ozadnih galaksij neodvisne druga od druge in torej naklju£ne, lahkoto poravnavo ²e vedno statisti£no izmerimo in o enim proje irano gostotomase. Take o ene mase nam ponovno dajo maso v jatah galaksij, ki je velikove£ja kot zgolj barioni£na masa v posameznih galaksija in vro£em plinu vmed-galaksiskem prostoru.O mo£nem gravita ijskem le£enju govorimo, kadar se objekti na nebutako poravnajo, da vidimo posamezne loke, ki so del Einstenovega obro£a(glej sliko 5.3). S ²tetjem ²tevila in oblike teh lokov v veliko primerih jatgalaksij je mogo£e o enjevati distribu ijo mase. Rezultati ponovno kaºejo natemno maso.5.1.4 Jata galaksij MetekTo je ena izmed najlep²ih neposrednih demonstra ij obstoja temne mase.Jata galaksij Metek (Bullet luster, E1 0657-56) sta v bistvu dve jati ga-laksij, ki se zadevata ena v drugo v ravnini neba. Galaksije in temna masasta brez lastne interak ije, in zato preprosto padeta skozi. Navaden plinpa se, ko se z veliko hitrostjo zaleti v drugi plin, mo£no segreje in narediudarne valove. Vro£i plin in udarne valove, lahko vidimo na rentgenskem po-

46 POGLAVJE 5. TEMNA MASA I: ZAKAJ?

104.6104.7α

0.5 Mpc

104.6104.7

−56.0

−55.9

α

δ

0.5 Mpc

Slika 5.4: Slika jate galaksij Metek. Zgoraj vidimo rentgensko sliko prekokatere so narisane konture kon etra ie mase ²ibkega le£enja. Spodaj je op-ti£na slika z istimi konturami.

5.1. EKSPERIMENTALNI PODATKI 47snetu (vro£i plin seva preko zavornega sevanja). Galaksije vidimo v opti£nemposnetku, kon entra ijo temne mase pa preko ²ibkega le£enja. Ker se kon- entra ije temne mase pokriva z kon entra ijo galaksij, ne pa z kon entra ijoplina (glej slike 5.4), lahko zaklju£imo:• Temne masa nima lastne interak ije, σ < 1cm2/g

• Alternativna gravita ije ne more biti razlaga, saj bi si er videli signal²ibkega le£enja okoli kon entra ije plina.5.1.5 Prvinska nukleosintezaPrvinska nukleosinteza, ki smo jo na hitro spoznali v prvem predavanju namlahko na osnovi meritev pogostosti He, 3He, Li in ostalih lahkih elementovda pre ej mo£ne omejitve za vrednost parametra Ωb. V zadnji varianti tehmeritev velja Ωbh2 ∼ 0.02. V zadnjem izrazu smo uporabili standardensimbol h, ki je deniran kot H0 = h100km s−1Mpc−1.Meritve prasevanja nam pre ej mo£no pravijo, da je Ωk ∼ 0, pa tudiparameter 0.5 < h < 1.0 v najbolj grozno konzervativnih modelih. Torej ztemno energijo ali brez njem nam zmanjka energijske gostote, da bi lahkodobili kriti£no vesolje brez temne mase.5.1.6 Razvoj perturba ij v vesoljuKot bomo spoznali kasneje je razvoj perturba ij v vesolju mo£no pogojen zobstojem in vrsto temne mase. e temne mase ne bi bilo, bi imeli predvsemdve teºavi:

• V zgodnje vesolju sta barioni£na masa in svetloba sklopljeni. Pertur-ba ije v obi£ajni masi bi bile tako manj²e od Jeansove mase in bi zatov zgodnjem vesolju os ilirale. Posledi a bi bila, da bi potem ko se sve-tloba in masa razklopita imele premalo £asa, da bi zrasle v galaksije,kot jih poznamo danes.

48 POGLAVJE 5. TEMNA MASA I: ZAKAJ?• To bi posledi£no vplivalo tudi spetker mo£i v uktua ijah v kozmi£nemprasevanju, ki bi bil druga£en od merjenega. Zadnje meritve s satelitomWMAP3 izklju£ujo vesolje brez temne mase na ravni verjetnosti 1:1054.Ta opaºanja si bomo nekoliko podrobneje ogledali v enem izmed priho-dnjih predavanj.

Poglavje 6Temna masa II: kandidati inneposredne meritve6.1 Moºni kandidati za temno maso6.1.1 Barioni£na temna masaNekaj temne mase je prav gotovo v obliki barioni£ne temne mase. Pod temmislimo objekte, sestavljene iz obi£ajne barioni£ne mase, ki pa so tako hladni,da ne oddajajo dovolj sevanja, da bi jih lahko videli re imo v infrarde£emdelu spektra in hkrati tudi dovolj redki oziroma majhni, da jih ne moremovideti posredno preko eklips svetlih objektov.Kot zanimivo ilustra ijo te moºnosti si oglejmo temno maso v obliki e-glov. Kriti£na kozmolo²ka gostota ρc = 3H2

0/8πG ∼ 10−26kgm−3. Toustreza pribliºno trem 3-kilogramskim opekam na ko ko z strani o miljonkilometrov. Take opeke bi pre ej teºko videli s ²e tako dobrim teleskopom!Skorajda vsak barioni£ni objekt, ki je dovolj hladen na omogo£i, da zapremovesolje in hkrati dovolj teman, da ga je nemogo£e videti v elektro-magnetnemsevanju. Na²teli bomo nekaj kandidatov za temno maso v tej kategoriji:49

50POGLAVJE 6. TEMNAMASA II: KANDIDATI IN NEPOSREDNEMERITVERjave pritlikavkeV to kategorijo spadajo zelo majhne zvezde z maso M < 0.05M⊙. Takezvezde imajo tako nizke entrale temperature, da ne morejo vºgati nukle-arnega izgorevanja entralnega vodika v helij. Torej sevajo izklju£no zaraditermalnega sevanja, ki je zaradi njihove hladnosti seveda izredno ²ibko. Vpodobno kategorijo spadajo majhne skale, planeti in podobne re£i, ki jih jezelo teºko izmeriti, hkrati pa je teºko napovedati v kak²ni koli£ini taki objektinastopajo v elotnem vesolju.rne luknjerne luknje lahko prav tako moºen kandidat za barioni£no temno maso.Take modele delimo na velike modele, ki vsebujejo malo velikih £rne luknjein modele z veliko malimi £rnimi luknjami.Modele, ki imajo £rne luknje reda velikosti mase zvezd je moºno zeloefektivno omejti s ²tetjem pogostosti gravita ijskih le£enj v halojih galaksij.Modele, ki vsebujejo ve£je £rne luknje reda velikosti M ∼ 1010 − 1020M⊙je mogo£e omejti preko ²tevila gravita ijskih le£ za ekstragalakti£ne objekte.Hewitt et al. (1987) so pokazali, da take vrste £rnih lukenj nikako niso dovolj,da bi lahko zaprli vesolje.Obstaja seveda moºnost, da bi imeli zelo veliko ²tevilo izredno lahkih£rnih lukenj, ki bi nastale v zelo zgodnjem vesolju in se tako izognile pogojem,ki jih postavlja prvinska nukleosinteza. Vendar imajo ti modeli dve teºavi.Prvi£ bi potrebovali pre ej nenavaden spekter primordialnih uktua ij, dabi lahko te £rne luknje napravili dovolj zgodaj in efektivno. Drugi£ nam£rne luknje, ki so laºje od 1012 kg izparijo preko Hawkingovega sevanja nakozmolo²kih £asovnih skalah.

6.1. MONI KANDIDATI ZA TEMNO MASO 516.1.2 Nebarioni£na temna masaVemo, da mora biti vsaj del temne mase nebarioni£ne oblike. To nam neod-visno pravita tako prvinska nukleosinteza, kot tudi prasevanje. Sledi nekajnajbolj popularnih kandidatov za nebarioni£no temno maso.AksioniNajlaºji moºni del i so aksioni, ki so si jih ziki del ev izmislili v okvirukvantne kromodinamike. Ti del i imajo maso okoli 10−2 10−5 eV in sonastali v zelo zgodnjem vesolju v pro esih, ki niso termodinami£ne narave.NevtriniNaslednja moºnost je, da je temna masa v obliki nevtrinov, £e masa katerega-koli izmed nevtrinov ni enaka ni£. Laboratorijski eksperimenti nam pravijo,da je masa elektronskega anti-nevtrina ni ve£ja od nekaj eV, vendar nam toni£ ne pove o masah teºjih nevtrinov, kot so muonski in tau nevtrini.e bi imeli nevtrini maso 10-20 eV je mogo£e, da bi zaprli vesolje. Vendarje glavna teºava nevtrinov, da ti tvojo tako imenovano vro£o temno maso,ki ni v skladu z uktua ijami v prasevanju in zgodnjo reioniza ijo veosolja.To si bomo ogledali v naslednjem poglavju.Trenutno najbolj²i kozmolo²ki eksperimenti omejujejo vsoto mas 3 vrstnevtrinov na < 0.41eV. Zemeljski eksperimenti so izmerili, da mora nev-trino os ilirat in postavljajo zgornje meje na razliko kvadratov mas nevtrina,vendar niso ob£utljivi na samo maso. V tem primeru gre za presenetljivokomplementarnost med razli£nimi vejami zike.

52POGLAVJE 6. TEMNAMASA II: KANDIDATI IN NEPOSREDNEMERITVEWIMPiWIMP ali Weakly Intera ting Massive Parti le so ²e ena izmed teoreti£nihmoºnosti. V tem s enariju tvorijo temno maso izredno teºki del i (vsaj vokviru zike del ev, govorimo o masah med nekaj deset GeV in nekaj TeV),ki pa imajo zgolj izredno ²ibko interak ijo z obi£ajno snovjo. Ti modeli sozanimivi, saj potrebno ²tevilo takih del ev majhno, £e je njihova masa velika.Tako je mogo£e, da imajo £isto spodobne interak ije z obi£ajno maso, vendarso gostotove njihovih tokov tako nizke, da so zdruºljivi z raznimi omejitvami,ki jih postavljajo zemeljski eksperimenti. Dodaten bonus je, da nam njihovvelika masa prepre£uje, da bi jih lahko videli v pospe²evalnikih. Tako soWIMPi ena izmed najbolj atraktivnih moºnosti za temno maso.Gostoto WIMPov je prav tako mogo£e o eniti, £e so le ti nastali v termo-dinami£nem ravnovesju v izredno zgodnjem vesolju. Predpostavimo lahko,da je so bili WIMPi napravljeni v zmernih koli£inah, ko je bila temperaturevesolja kbT ∼ mWIMPc2. Vesolje se je potem tako hitro ohladilo, da so le tipadli iz termodinami£nega ravnovesja.Kar se ti£e WIMPov ve£ina del£karjev pri£akuje, da so bo lahko nekajnau£ila iz kozmolo²kih omejitev, saj nam zgodnje vesolje ponuna veliko vi²jeenergije kot ²e tako drag pospe²evalnik.Moºnosti za WIMPe je po mnenju zikov del ev pre ej. Najbolj prilju-bljeni so supersimetri£ni partnerji obi£ajnih del ev, ki jim teorija napovedujepre ej visoke mase. Sem spadajo del i kot so nevtralino, fotino in gravitino.6.2 Neposredno merjenje temne maseKaterokoli teorijo temne mase bi bilo idealno najlep²e preveriti tako, da bidel e temne mase neposredno videli. Za sedaj obstaja dve komplementarnimetodi, ki se trudita izmeriti kandidate za temno maso.

6.2. NEPOSREDNO MERJENJE TEMNE MASE 536.2.1 MACHOtiMACHO ali MAssive Compa t Halo Obje t je seveda besedna igra iz besedeWIMP. Ideja je slede£a. e imamo objekt, ki je pretemen, da bi lahko izmerilinjegovo neposredno sevanje, ga lahko ²e vedno poten ialno vidimo, £e namnjegova gravita ija le£i objekt, ki je v ozadju. To je mo£no le£enje in namdeloma premakne objekt na nebu in deloma spremeni gostoto svetlobnegatoka. Izkaºe se, da je premik objekta ne nebu povsem zanemarljiv in, da jedominanten efekt sprememba magnitude ozadnega objekta.Ta sprememba ima slede£e zna£ilnosti, ki jo razlikujejo od drugih pro e-sov, ki lahko spremenijo luminoznost zvezdnega objekta:• Sprememba magnitude je povsem akromati£na. To je pre ej mo£enpogoj, saj ve£ino obi£ajnih zvezdnih sprememb karakterizira, da se lu-minoznost razli£no spremeni v razli£nih pasovih.• Sprememba magnitude je aperiodi£na. Verjetnost, da bi se prehodtemnega objekta ve£krat ponovil je zanemarljivo majhna, zato vseobjekte, na katerih smo zaznali prehod ve£ kot enkrat ignoriramo.• Sprememba se zgodi na tipi£nih £asovnih skalah nekaj deset dni in imateoreti£no napovedano obliko iz katere je mogo£e dolo£iti parametreprehoda.Vseeno je eksperiment pre ej teºko izvedljiv, saj se efekt zgodi zgolj, ka-dar sta le£a in ozadni objekt poravnana do velikosti Einsteinovega radija.Za objekte, ki imajo maso v okvirih pri£akovanj je potrebno redno sleditiluminoznisti pribliºno miljon zvezd. To je postalo izvedljivo v drugi polovi idevetdestih let in kar nekaj skupin ²e vedno aktivno dela na teh projektih.Med najpomembnej²imi so OGLE, MACHO in EROS. Uporabljajo tele-skope reda velikosti 1.5m in redno spremljajo nekaj zvezdnih polj. Sevedasi tak eksperiment ºeli videti kar najve£je moºno ²tevilo objektov v enempogledu in zato gledajo v podro£ja velike zgostitve zvezd, kot sta entergalaksije in velik Magelanov oblak.

54POGLAVJE 6. TEMNAMASA II: KANDIDATI IN NEPOSREDNEMERITVE

Slika 6.1: Velikost spremembe svetlinosti je odvisna od proje irane razdaljemed temnim objektom in zvezdo. (izvor neznan)

6.2. NEPOSREDNO MERJENJE TEMNE MASE 55Ti eksperimenti so dosedaj imeli ºe kar nekaj dogodkov, ki izredno leposledijo svetlobni krivulji, kot jo napoveduje teorija. EROS je zaklju£il, daMACHOti ne morejo predstavljati ve£ kot 20% temne mase v haloju. MA-CHO je opazil en dogodek z 0.4 M⊙ in postavil zgornjo mejo pri 40%. OGLEje pred kratkim objavil £lanek, v katerem trdijo, da so prvi£ izmerili dogodekmikrole£enja z sistemom, ki je binaren. Zanimivo pri tem dogdoku je bilo,da je bilo izmerjeno razmerje mas v binarnem sistemu ∼ 0.004, kar je bliºjeplanetarnim sistemom kot pa klasi£nim zvezdnim dvoji am.Seveda pa ni jasno, kak²ni objekti ti ma£oti so. e zmerom je moºno, daso to nebarioni£ni objekti, kot re imo neutralinske zvezde. Bolj verjetno je,da so to rjave pritlikavke in sorodni objekti.6.2.2 Neposredno merjenje del eve je nebarioni£ni del temne mase v obliki osnovnih del ev, potem bi jihradi izmerili. Najve£ja teºava je, da ve£ina teorij napoveduje interak ije zokoljem, ki so izredno nizke; del i temne mase so ²e veliko bolj intertni kotre imo nevtrini. Dober novi a je, da je zemlja na robu galaksije, kjer jezgostitev temne mase v haloju velika in je zato skorajda idealno postavljenaza meritev teh del ev.AksioniIskanje aksionov poteka z iskanjem konverzije aksiona v foton (a → γ) v mo£-nem magnetnem polju. Eden izmed takih eksperimentov poteka na LLNL vKaliforniji ºe od leta 1996. Prvi rezultati so objavljeni axioni z maso med2.9 in 3.3 µeV so izklju£eni (£e predpostavimo nekatere zgolj teoreti£no mo-tivirane sklopitvene konstante). Manj²i japonski eksperiment CARRACKI izklju£uje axione z maso okoli 10µeV . Trenutno ga izbolj²ujejo v CAR-RACK II, ki bi aksione z masami med 2 in 50 µeV moral videti, £e so ti resdominatna komponenta temne mase.

56POGLAVJE 6. TEMNAMASA II: KANDIDATI IN NEPOSREDNEMERITVE

Slika 6.2: Dve dogodka iz eksperimenta OGLE.

6.2. NEPOSREDNO MERJENJE TEMNE MASE 57WIMPiSrednja histrost WIMPOv je o enjena na nekaj sto kilometrov na sekundo vokoli i na²ega oson£ja. Pri teh hitrostih WIMPi reagirajo z obi£ajno materijopreko elasti£nega sipanja na atomskih jedrih. e je masa WIMPa nekje med10GeV in 10TeV, potem so tipi£ne energije odbitih jeder nekje med 1 in100keV. Energijski spekter odbitih jeder je tudi pribliºno eksponenten inzato potrebujemo detektorje odboja z zelo nizkim pragom.Pri£akovane pogostosti interak ije so dolo£ene z produktom lokalnegauksa WIMPov in z sipalnega preseka. Prvi £len je dolo£en z lokalno go-stoto temne mase, ki je ∼ 0.3GeV/cm3, srednjo hitrost WIMPov (tipi£no220 km/s) in maso WIMPa. Masa in sipalni presek WIMPa sta glavni ne-znanki in zato so eksperimentalni rezultati obi£ajno narisani kot kontura naravnini mase - sipalnega preseka.Eksperimentalno se fantje in dekleta ²e malo pretepavajo. DAMA eks-periment, je v laboratoriju Grand Sasso z pomo£jo 100 kg NaI(Tl) izmeril,z statisti£no signikan o 6.3σ letno moduliran signal preko 7 let. e ga in-terpretiramo kot WIMPe iz haloja na²e galaksije, dobimo mχ ∼ 50GeV inσχ−p ∼ 7×10−6pb. Vendar imajo rezultati eksperimenta DAMA svoje teºave,ki so prekompli irane, da bi jih tukaj razlagali. Eksperiment EDELWEISSizklju£uje rezultate eksperimenta DAMA z signikan o 99.8%. O£itno je, damora eden izmed eksperimentov imeti teºave s sistematiko (glej sliko 6.3)

58POGLAVJE 6. TEMNAMASA II: KANDIDATI IN NEPOSREDNEMERITVE

Slika 6.3: Trenutne limite glede meritve mase WIMP del a. Eks-periment DAMA se ne ujema z ostalimi eksperimenti. Vzeto izhttp://www-ik.fzk.de/katrin/DPGs hool2004/Seminar/Seminar2_Dark_Matter/Horn_BadHonnef2004.ppt

Poglavje 7Prasevanje7.1 IzvorIzvor prasevanja smo si ogledali ºe v prej²njem poglavju. V zgodnjem vesoljuje vro£a plazma sestavljena predvsem iz fotonov, protonov in elektronov.V vro£em plinu se lahko elektron in proton sre£ata in napravita vodikovatom, pri £emer se sprosti foton z energijo (vsaj) ioniza ijskega poten ialavodikovega atoma (13.6 eV). Ta atom ne zdrºi dolgo, saj je plazma takovro£a, da ga kmalu zadane foton, ki je dovolj energeti£en, da razbije vezanostanje. Tako vodikovi atomi kar naprej nastajajo, pri £emer se spro£ajo fotoniin hkrati so kar naprej uni£eni, pri £emer se fotoni porabljajo. Pravimo,da so fotoni, elektroni in protoni v termodinami£nem ravnovesju. Vendar sevesolje ohlaja in zato pride prej ali slej do to£ke, ko je vesolje dovolj hladno,da fotoni nimajo ve£ dovolj energije, da bi lahko ionizirali vodikove atome.Plazma se tako spremeni v vodikov plin (in ostale teºje atome, kot so helij);ohlajeni fotoni pa za£nejo potovati, bolj ali manj brez ovir in napolnijo vesoljes prasevanjem. S staranjem vesolja, se ta radia ija ohladi in tvori hladno 2.7Kprasevanje, ki ga lahko merimo ²e danes.Naloga 17 Naivno bi £lovek pri£akoval, da se prehod zgodi, ko ima tipi£enfoton v plazmi ioniza ijsko energijo vodikovega atoma, i.e. kbT ∼ Ei, pri£emer je Ei = 13.6eV. Izra£unaj, pri kak²nem rde£em zamiku bi prasevanje59

60 POGLAVJE 7. PRASEVANJEmoralo nastati, £e bi ta argument veljal.V nalogi 17 ste dobili pre ej visok rde£i zamik za nastanek prasevanja. Tapoprepro²£en argument je napa£en iz relativno subtilnega razloga. Energetskispekter temne telesa ima res maksimum energije pri kbT , toda s pre ej dolgimirepi v veliko vi²je energije. Izkaºe se, da je dovolj ºe nekaj elektronov izrepa distribu ije, da je plazma ºe ionizirana. Tako, se prehod zgodi priveliko niºji temperaturi, nekje pri T ∼ 3000K ali pri rde£em zamiku okoli1200. Pravzaprav se zadeva na zgodi naenkrat, temve£ relativno po£asi medpribliºno z ∼ 1200 in z ∼ 1100.Prasevanju v£asi pravimo tudi mikrovalovno ozadno sevanje, kar je nepo-sreden prevod iz angle²kega jezika (Mi rowave Ba kground radiation).Prosta pot fotonov pred razklopitvijo je bila izredno kratka; na mikro-skopskih skalah. Po razklopitvi se fotonu prakti£no ne more zgoditi ve£ ni£ inzato se prosta pot izredno pove£a v zelo kratkem £asu. Zato krogli z radijemoddaljenosti od nastanka prasevanja pravimo tudi povr²ina zadnjega sipanja(surfa e of last s attering). Povr²ina zadnjega sipanje postavlja fundamen-talno mejo, kako globoko lahko ²e gledamo s pomo£jo elektro-magnetnegasevanja. Tudi £e bi objekt za povr²no zadnjega sevanja seval z zelo parti-kularnim spektrom, bi se njegovi fotoni v trenutku termalizirali in zme²ali vplazmi (srednja prosta pot je zelo krakta).Nastanek prasevanja je zgolj eden izmed pro esov, ki so si s zikalnegastali²£a izredno podobni, ko se snov razklopi od radia ije, ker je le ta prehla-dna, da bi lahko bila v termodinami£nem ravnovesju z njo. Po istem kopituso se tako v ²e bolj zgodnjem vesolju nevtrini odklopili od plazme, ²e boljzgodaj pa se je to dogodilo nukleonom pri nukleosintezi, itd. Nevtrinskoprasevanja nam na£elom torej omogo£a, da vidimo v ²e mlaj²e vesolje. Se-danja tehnologija nam omogo£a zametke nevtrinskih teleskopov, vendar sole ti omejeni na izredno visoke energije ali izredno velike ukse. Nevtrin-sko prasevanje nima ne enih ne drugih in je zato izven dometa nevtrinskihteleskopov.

7.2. LASTNOSTI PRASEVANJA 617.2 Lastnosti prasevanjaPrasevanje ima nekaj zanimivih in pomembnih lastnosti:1. Ve£ina ljudi si predstavlja, da je prasevanja izredno ²ibko, vendar temu²e zdale£ ni tako. Od vse radia ije v vesolju, je energijska gostota vprasevanju najve£ja. Tipi£ni televizijski sprejemnik ima oja£evale skarakteristi£no sistemsko temperature reda velikosti 100K. Tako prase-vanje predstavlja pribliºno pro ent televizijskega sneºenja, kar pomeni,da si ga je relativno lahko ogledati.2. Prasevanje je izredno izotropi£no (vsaj 10−3) in to je glavni razlog, dani bilo odkrito toliko £asa.3. Prasevanje je najbolj £rno telo v vesolju. Satelit COBE je pokazal, daje prasevanje £rno telo z natan£nostjo okoli 10−6. Ta eksperiment jeznan po temu, da je po 20 minutah v orbiti lahko povedal zgolj, daje prasevanje bolj £rno od referen£nega £rnega telesa v instrumentu.To dejstvo v trenutku uni£i elo gomilo alternativnih teorij o izvoruprasevanja (na primer preko repro esiranja zvezdne svetlobe v prahu,itd.)7.3 Fluktua ije v prasevanjuFluktua ije v prasevanju je prvi prepri£ljivo izmeril satelit COBE, ki je letelmed leti 1990-1994. Fluktua ije lahko opi²emo kot efektivno spremembotemperature prasevanja kot funk ijo pozi ije na nebu δT (r)/T .Najmo£nej²i izvor uktua ije je temperaturni dipol, reda velikosti δT/T ∼10−3. Ta je Dopplerjev pojav zaradi premikanja son£nega sistema glede nainer ialni sistem prasevanja. Hitrost premikanja je pribliºno 350 km/s v smerinekam proti konstela iji Devi e. To premikanje je konsistentno z premika-njem zaradi gravita ijskega poten iala v lokalni jati. Dipol ni kozmolo²kozanimiv, saj ne vsebuje kozmolo²kega signala.

62 POGLAVJE 7. PRASEVANJE

Slika 7.1: Mo£, ki prihaja iz vesolja v razli£nih delih elektromagnetnegavalovanja.

7.3. FLUKTUACIJE V PRASEVANJU 63

Slika 7.2: Speker prasevanja je najbolj²e £rno telo. Meritve satelita COBE.Ko odstranimo dipol, se nam v prasevanju pokaºejo ²e veliko manj²e uk-tua ije reda velikosti 10−5. Te uktua ije so dejanske uktua ije v zgodnjemvesolju in so posledi a majhnih uktua ij v plazmi, iz katerih so kasnejenastale galaksije in ostala ²ara.Fluktua ije ne nastanejo zgolj zaradi tega, ker bi bil en predel plazme boljvro£ od drugega nastanejo lahko tudi zaradi lezenja fotonov iz gravita ij-skih lukenj, Dopplerjevega pojava zaradi hitrosti v plazmi itd. Podrobnostiteh efektov si bomo ogledali kdaj drugi£. Bomo pa sestavili matemati£enaparat, ki je potreben za statisti£en opis uktua ij.Fluktua ije v prasevanju so normalno porazdeljene, vendar nam nobenateorija ne more napovedati to£ne kje in kako bomo videli uktua ije na nebu.Lahko pa nam napove na primer kak²na je tipi£na velikost madeºa na nebu.To nam opisuje spekter mo£i.

64 POGLAVJE 7. PRASEVANJE7.4 Spekter mo£i uktua ij v prasevanjuAstronomi in astroziki se kar naprej soo£amo s problemom okroglega. Za-deva bi bila resni£no pre ej bolj enostavna, £e bi bilo nebo kvadratno.Dajmo torej za za£etek predpostaviti, da je nebo pravokotno, ali boljrealisti£no, da opazujemo zgolj tako majhno zaplato neba, da lahko na ukri-vljenost pozabimo. Polje uktua ij je tako polje denirano na ravnini:δT = δT (x, y) (7.1)e nas zanima zgolj transla ijsko in rota ijsko invariantna statistika po-razdelitve uktua ij, potem si lahko ogledamo avtokorela ijsko funk ijo

C(r) = 〈δT (x)δT (x + r)〉x,|r|=r (7.2)e so uktua ije normalno porazdeljene nam jih korela ijska funk ija sta-tisti£no povsem opi²e. Wiener-Kin hin izrek nam pravi, da je avtokorela ij-ska funk ija zgolj Fourijejeva transforma ija spektra mo£i:

C(r) = FT (P (k)), (7.3)kjer je spekter mo£i denirat kotP (k) = 〈δT (k)〉|k|=k (7.4)in kjer je δT (k) zgolj Fourijejeva transforma ija polja δT .

δT (k) =1

A

∫

δT (r)eik·rd2r. (7.5)

7.4. SPEKTER MOI FLUKTUACIJ V PRASEVANJU 65Povzamemo lahko slede£e:1. Transla ija v ravnini, v Fourjejevi ravnini ustreza zgolj spremembi fazeza r · k, kjer je r vektor transla ije. Pri ra£unanju spektra mo£i se fazoignorira in zato je spekter mo£i transla ijsko invarianten.2. Rota ija v ravnini, ustreza rota iji v ravnini valovnih vektorjev. Kerje spekter mo£i deniran zgolj z dolºino valovnega vektorja je odporentudi na rota ijo.3. Statisti£ni opis polja s pomo£jo avto-korela ijske funk ije je ekvivalen-ten statisti£nemu opisu s pomo£jo spektra mo£i, saj sta povezana prekoFourijejeve transforma ije. Katerega uporabljajo je predvsem vpra²a-nje navade, lenobe in zgodovine.4. Za navedene lastnosti Fourjeve transforma ije je odgovorna lastnostiFourjejeve transforma ije, da se odvajanje v realnem prostoru prevedena mnoºenje z valovnim vektorjem v Fourjevem prostoru. To je sevedaposledi a dejstva, da so bazne funk ije pri Fourjejevi transforma ijilastne funk ije operatorja ∇.Sedaj bi radi isti postopek ponovili na krogli. Tukaj lahko lastne funk ijedobimo, £e re²imo ∇2Φ = k2Φ na povr²ini krogle. Re²itve so tako imenovanekrogelne funk ije (spheri al harmoni s). Zapi²emo jih lahko kot:Yℓm(θ, φ) =

√

2ℓ + 1

4π

(ℓ − m)!

(ℓ + m)!P m

ℓ (cos θ)eimφ, (7.6)kjer so P mℓ Legendrovi polinomi in vrednost mǫ−ℓ . . . ℓ. Krogelne funk- ije so izredno pomembne v kvantni mehaniki saj z njimi opisujemo npr.vrtilno koli£ino vodikovega atoma. Ustrezajo obi£ajnim ortogonalnim pogo-jem:

∫

YℓmYℓ′m′dΩ = δℓℓ′δmm′ (7.7)

66 POGLAVJE 7. PRASEVANJEin tvorijo polno bazo na krogli (podobno kot sinusi in kosinusi na povr-²ini).V teoriji prasevanja, jih uporabimo predvsem, da lahko temperature uk-tua ije napi²emo kot vsoto krogelnih funk ij:δT

T(θ, φ) =

∞∑

ℓ=1

ℓ∑

m=−ℓ

aℓmYℓm(θ, φ) (7.8)Koe iente aℓm lahko dobimo s pomo£jo ortogonalnosti:aℓm =

∫

YℓmδT

TdΩ (7.9)Zgornji dve ena£bi sta ekvivalent Fourjejeve vrsta na povr²ini krogle.Spekter mo£i lahko tako zapi²emo kot

Cℓ = 〈aℓm〉m =

∑

m aℓm

2ℓ + 1(7.10)Povpre£enje po mju napravi spekter mo£i transla ijsko invarianten. Kerima kroga kon£no povr²ino je tudi spekter mo£i kvazi diskreten. Vsak vre-dnost Cℓ nam pove pribliºno, kak²ne uktua ije se pojavijo na skalah redavelikosti π/ℓ.Tipi£en spekter mo£i si lahko ogledate na sliki 7.3. Ugotovimo lahkonaslednje:1. Spekter mo£i se tradi ionalno ri²e kot funk ijo Cℓℓ(ℓ + 1)/2π. Razlogiza to so predvsem histori£ni.2. Spekter mo£i je sestavljen iz treh delov.3. Pri najmanj²ih ℓ vidimo tako imenovan Sa h-Wolfe plato. Ta ustrezauktua ijam, ve£jim od horizonta na povr²ini zadnjega sipanja.

7.4. SPEKTER MOI FLUKTUACIJ V PRASEVANJU 67

Slika 7.3: Napovedan spekter mo£i za tipi£no vesolje z Ωb = 0.05, Ωλ = 0.7,izra£unan s pomo£jo paketa CAMB.

68 POGLAVJE 7. PRASEVANJE4. Med ℓ ∼ 100 in ℓ ∼ 2000 vidimo nekaj tako imenovanih akusti£nihvrhov. Ti nastanejo zaradi os ila ij v zgodnji plazmi. Pozi ija prvegavrha v ℓ nam govori o geometriji vesolja in s tem tudi o njnegovi gostoti.5. Pri visokih ℓ nam spekter mo£i update. To je predvsem zaradi du²enjamajhnih os ila ij z fotoni in zaradi kon£ne debeline povr²ine zadnjegasipanja.Teoreti£ne napovedi spektra mo£i so zikalno zelo zapletene. Lahko po-vemo zgolj, da so izredno odvisne od parametrov kozmolo²kega modela inzato zelo mo£ne pri potrjevanju standardne kozmolo²ke paradigme.7.5 Meritve prasevanjaPri merjenju prasevanja imamo teºave predvsem z ospredji, ki jih je ela mno-ºi a in sevajo pri razli£nih frekven ah. V splo²nem uporabljamo predvsemdve vrsti zemeljskih teleskopov za merjenje uktua ij v prasevanju:1. Radijski teleskopi delajo pri frekven ah tipi£no okoli 30GHz in so skorajvsi interferometri. Najpomembnej²i v tej kategoriji so CBI, VSA, DASI.Pri tako nizkih frekven ah je mogo£e slediti tako amplitudi, kot tudifazi signala, kar omogo£a dobro kontroliranje sistematike. Prav tako jeradijska tehnologija ºe zelo razvita, kar omogo£a radijskim teleskopom,da so kompetitivni tudi pri frekven ah, ki so pre ej niºje od 180GHz;frekven a pri kateri je prasevanje najmo£nej²e. Glavni kontaminantipri teh frekvn ah so to£kasti radijski izvori.2. Bolometri imajo veliko bolj²o surovo ob£utljivost in delajo pri vi²jihfrekven ah, tipi£no med 100Ghz - 350 Ghz. Najve£jo teºavo jim pred-stavlja atmosfera, zato so tipi£no postavljeni na balone. Glavni pred-stavniki so teleskopi kot so Boomerang, Maxima in A bar.V tretjo kategorijo sodijo sateliti. Ti so ²e zdale£ najbolj²i, vendar sohkrati tudi najdraºji. Do sedaj smo imeli le dva. Prvi je bil COBE, ki je

7.5. MERITVE PRASEVANJA 69

Slika 7.4: Meritve prasevanje leta 98 (zgoraj) in 2003 (WMAP, spodaj).

70 POGLAVJE 7. PRASEVANJE

Slika 7.5: CMB teleskopi lahko izgledajo pre ej £udno. Na sliki VSA.

7.6. SEKUNDARNE ANIZOTROPIJE V PRASEVANJU 71prvi izmeril uktua ije v prasevanju, vendar je to napravil zgolj statisti£no.Drugi je WMAP, ki ²e zmerom leti in je napravil izredno lep spekter na skalahℓ < 800.7.6 Sekundarne anizotropije v prasevanjuV konstruk iji.

72 POGLAVJE 7. PRASEVANJE

Poglavje 8Pospe²eno ²irjenje vesolja inIna ija8.1 Energija vakumaSupernove tipa 1A imajo zelo mo£no korela ijo med luminoznostjo in £a-sovnimi konstantami s katerimi se izsev zmanj²a. V primeru ko ni drugihsistemati£nih komplika ij, kot so na primer sprememba deleºa kovin v me-diju, jih lahko uporabimo, da merimo D(z). Meritve kone devetdesetih letso imele ºe dovolj natan£nosti, da so nam povedale, da ena£ba (4.23) nemore razloºiti merjene funk ije D(z). Meritve je mogo£e razloºiti z upeljavokozmolo²ke konstante Λ, zato si bomo nekoliko bolj natan£no ogledali njenelastnosti.Oglejmo si evklidsko vesolje z kozmolo²ko konstanto. Friedmanovo ena£bolahko odvajamo in dobimo

R = −4πGρ0

3R3+

1

3ΛR (8.1)Ena£ba (8.1) nam omogo£a pribliºen vpogled v naturo kozmolo²ke kon-73

74 POGLAVJE 8. POSPEENO IRJENJE VESOLJA IN INFLACIJA

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

∆(m

-M)

(mag

)

HST DiscoveredGround Discovered

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0z

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

∆(m

-M)

(mag

)

q(z)=q0+z(dq/dz)

Coasting, q(z)=0

Constant Acceleration, q0=-, dq/dz=0 (j0=0)

Acceleration+Deceleration, q0=-, dq/dz=++Acceleration+Jerk, q0=-, j0=++

Constant Deceleration, q0=+, dq/dz=0 (j0=0)

Slika 8.1: Meritve razdalje luminoznosti s pomo£jo supernov tipa Ia. Iz Riesset al., Astrophys.J. 607 (2004) 665-687

8.1. ENERGIJA VAKUMA 75stante. Celo v povsem praznem vesolju z ρ = 0 bo testni dele £util silo. ZaΛ > 0 je to odbojna sila vakuuma. V klasi£ni zike ni o£itne interpreta ijetake sile. Vendar obstaja interpreta ija v kontekstu kvantne teorije polja.Slede£ ena£bi (3.5), lahko zapi²emo tudi

R = −4πGR

3(ρm + ρv + 3pv) (8.2)Ker je w = −1, velja torej:

R = −4πGR

3(ρm − 2ρv) (8.3)Gostota prahu pada z kubom velikosti, medtem ko je gostota energijavakuma konstanta. Sledi

R = −4πGρ0

3R2+

8πGρvR

3(8.4)Formalno lahko torej identi iramo

Λ = 8πGρv (8.5)Energija vakuuma ima nekaj pomembnih lastnosti. e vzamemo ²katlovakuma, in jo raztegnemo na dvojni volumen, potem moramo imeti dva-krat ve£ energije, saj imamo dvakrat ve£ vakuma. Z drugimi besedami ρvmora biti konstanten. V nalogi 13 ste pokazali, da to pomeni w = −1, torejpv = −ρv. Izkaºe se, da na kvantna teorija polja napove to£no tako ena£bostanja iz uktua ij skalarnega polja okoli stanja vakuuma. Najbolj²i in na-ravni kandidat za energijo vakuma je kar Higgsovo polje. Higgsovo polje jebilo vpeljano v teorije ²ibke interak ije, da bi se teorija znebila singularnosti,in da bi W± in Z0 bozoni dobili maso. etudi Higgsovega polja ²e nih£eni neposredno meril, sta omenjena bozona del standardne teorije del ev in

76 POGLAVJE 8. POSPEENO IRJENJE VESOLJA IN INFLACIJAmalo kateri resen zik del ev dvomi v obstoj Higgsovega bozona. Do te-ºave pride, ko je se o eni ρv s pomo£jo dimenizijske analize. Ta pokaºe, daje ρv ∼ 1095kgm−3, medtem ko je obstoje£a kozmolo²ka konstanta pribliºnoρv ∼ 10−27kgm−3. Dimenzijska analiza seveda ne more povedati s kak²ni pre-faktorjem se pojavijo koli£ine, vendar je v vsaki obi£ajni teoriji ta prefaktorreda velikosti 1. Razmerja 10120 je izredno teºko pridelati v vsaki teoriji.Fiziki del ev tako posku²ajo najti druge re²itve. Pravijo, da so uktua ijezaradi Higgsovega bozona enake ni£ zaradi ene izmed simetrij in za kozmo-lo²ko konstanto obtoºijo postulirane nove del e. Ti imajo poljubno maso,zato jih je veliko laºje primerjati s podatki. Takim teorijam pravimo teorijetemne energije. Tipi£no niso ekvivalentne energiji vakuma, saj je w pogostoblizu, toda ne enak −1 in tudi funk ija rde£ega premika w = w(z). Vendar sodosedaj vse meritve povsem konsistentne z w = −1, torej z najpreprostje²oteorijo energije vakuma. To je izredno lepa re²itev, toda ºal noben ne poznamikroskopske razlage mehanizma te energije.8.1.1 Eksperimentalni dokazi za obstoj pospe²enega ²ir-jenja vesoljaNa prvi pogled se zdi, da so supernove tipa Ia malo premalo za trden do-kaz o pospe²enem ²irjenju vesolja, saj je vendarle mogo£e, da nas kak²nasistemati£na napaka lahko zakolje. Vednar temu ni tako, tudi brez super-nov tipa Ia imam dovolj dokazov o pospe²enem ²irjenju. e povzamem vsoeksperimentalno modrost:

• Supernove tipa Ia. V zadnjih £lankih na temo supernov tipa Iaimam primerker supernov pri tako velikih rde£ih zamikih, da vidimoºe v £as pred pospe²enim ²irjenjem: vesolje se ²e upo£asnjeno ²iri. Dabi to lahko razloºili s sistemati£no napako, bi potrebovali napako, ki biobrnila predznak ravno v pravem £asu v zgodovini vesolja.• Prasevanje + karkoli. Prasevanje v katerem razbijemo tako ime-novano geometri£no degenera ijo v meritvah kozmolo²kih parametrov(re imo hubblova konstanta s pomo£jo HST ali meritve Ωm iz jat gala-

8.2. INFLACIJA 77ksij ali meritve Ωm s pomo£jo ²ibkega le£enja) nam pove da je ΩΛ = 0izklju£en.• Meritve akusti£nih vrhov v strukturi na velikih skalah. Predkratkim sta skupini SDSS in 2dF odkrili signikantno detek ijo aku-sti£nih vrhov v korela ijskih funk iji distribu ije galaksij. Podrobnostiso pre ej zapletene, dovolj je vedeti, da so ti taisti akusti£ni vrhovi,ki jih lahko vidimo v prasevanju. Podobno tudi tukaj velja, da breztemne energije ne gre.• Integrirani Sa h-Wolfe efekt. To so sekundarne uktua ije v prase-vanju, ki so neodvisne od primarnih in nastanejo zgolj v kozmologijahs kozmolo²ko konstanto. Preprosto povedano gre za to, da foton, kigre skozi gravita ijsko poten ialno udrtino, ki jo povzdro£a struktura vvesolju), spremeni svojo energijo zaradi evolu ije gravita ijskega poten- iala v £asu kot je foton ujet v njem. Efekt je moºno meriti s korela ijoprasevanja in meril e strukture na velikih skalah (radijski izvori, rde£egalaksije, itd.)Naloga 18 Re²i Friedmanove ena£be za vesolje, v katerem je zgolj kozmo-lo²ka konstanta. Potem to primerjaj z naslednjim poglavjem.8.2 Ina ijae na hitro povzamemo ugotovitve iz prej²njih predavanj, lahko zaklju£imo,da je vesolje trenutno sestavljeno predvsem iz temne mase in temne energije,poleg tega pa je tukaj ²e nekaj malega barioni£ne mase. Vesolje mogo£e nipovsem kriti£no, toda v vsakem primeru je zelo blizu kriti£ne gostote. Postavise naravno vpra²anje, kake je mogo£e, da je vesolje tako blizu kriti£ne gostote;kateri zikalni prin ip nam pravi, da mora biti vesolje okoli nas kriti£no inali je mogo£e,da je za makroskopskimi konstantami, ki dolo£ajo dinamikovesolja ²e neka bolj fundamentalna zika?Naraven odgovor nam ponudi tako imenovan antropolo²ki prin ip. evzamemo vsa mogo£a vesolja pri dani Hubblovi konstanti, se jih bo velikave£ina zelo na hitro kolapsnila nazaj vase, ker se veliko preko kriti£ne gostote,

78 POGLAVJE 8. POSPEENO IRJENJE VESOLJA IN INFLACIJAmedtem ko se bodo vesolja veliko pod kriti£no gostote razletela na izrednovelike razdalje preden bodo formirane galaksije in podobno. Zgolj vesolja,ki so vsaj za red velikosti v bliºini kriti£nega vesolja bodo razvijala v ne-trivialno kompleksne sisteme v katerih obstaja moºnost za razvoj ºivljenja.Pogledano z druge strani nam ºe zgolj dejstvo, da obstajamo pravi, da morabiti vesolje v bliºini kriti£ne gostote.Antropolo²ki prin ip lahko si er pojasni red velikosti parametra Ω, ni-kakor pa ne more pojasniti, da je Ω = 1 z vsaj 5% natan£nostjo (meritveWMAPa se ²e pre ej bolj²e). Trenutno najbolj uspe²na teorija na tem podro-£ju je teorija ina ije. Ina ija predpostavi, da je vesolje ²lo v svoji najboljzgodnji fazi (t < 10−32s) skozi zelo kratko obdobje eksponentnega ²irjenja.Vesolje se je zelo hitro raz²irilo za izredno velik faktor, ki je po trenutnihpredvidevanjih vsaj e70 ali za tako imenovanih 70 eksponentnih pregibov (e-foldings). Kakr²nokoli geometrijo je vesolje ºe imelo pred za£etkom ina ije,je ta postala (skoraj) evklidska ob kon u ina ije. To je analogno z napi-hovanjem balona. e vzamemo zaplato ksne veli£ine na povr²ini balona,lahko balon zmerom napihnemo dovolj, da bo povr²ina izgledala ravna, vsajv okviru velikosti zaplate. Tukaj smo obi£ajni argument, da gostota dolo£aukrivljenost prostora obrnili: vemo, da mora biti prostor skoraj evklidski inzato tudi kriti£no gost.V ve£ini modelov je za ina ijo odgovorno skalarno polje (inaton), ki seobna²a podobno kot kozmolo²ka konstanta. e je le ta prevladujo£a, lahkodrugo Friedmanovo ena£bo zapi²emo kotH2 =

1

3Λinf . (8.6)Konstantna Hubblova konstanta nam da eksponentno rast vesolja:

R = R0 exp

(

√

Λinf

3t

) (8.7)Ob kon u ina ije je vesolje zelo veliko, toda hkrati tudi zelo hladno.

8.2. INFLACIJA 79Ve£ina teorije tedaj energijo skalarnega polja pretvori v fotone, ki vesolje po-novno segrejejo (reheating). Vesolje je spet vro£e in obi£ajna teorija velikegapoka se lahko odvrti.Vendar je ina ija uspe²na teorija zgodnjega vesolja iz ²e enega razloga.Gravita ijsko vezane strukture, kot so galaksije, jate galaksij, itd. so na-stale preko rasti gravita ijsko nestabilnih perturba ij v zgodnjem vesolju. Vzelo zgodnjem vesolju so zametki takih uktua ij ºe morali obstajati, sajbi se si er vesolje ²irilo na povsem homogen na£in. Ina ija ponuja re²itev,saj nam omogo£a, da kvantne uktua ije v skalarnem polju napihnemo vmakroskopske uktu ije. Ker se prostor-£as tokom ina ije ²iri hitreje kotsvetloba, nam to hkrati tudi omogo£a, da vpeljemo uktua ije na skalah, kiso ve£je kot horizont, to je razdalja, ki bi jo svetloba prepotovala od £asat = 0. Z drugimi besedami, v vesolju dobimo uktua ije, ki so na valovnihdolºinah, ki ustrezajo skalam, ki v sliki brez ina ije nikoli ne bi mogle bitiv kavzalni povezavi. Fluktua ije v gostoti, lahko zapi²emo kot

ρ(x) = ρ0 (1 + ∆(x)) (8.8)Kot zmerom v ziki, reeksno napi²emo Fourijejevo transforma ijo go-stote:∆(r) =

V

(2π)3

∫

∆ke−ik·rd3k (8.9)in

∆k =1

V

∫

∆(r)eik·rd3x. (8.10)e so uktua ije normalno porazdeljene in izotropi£ne, potem so stati-sti£no povsem denirane s spektrom mo£i (izredno podobno kot pri uktua- ije v prasevanju)

80 POGLAVJE 8. POSPEENO IRJENJE VESOLJA IN INFLACIJAP (k) =

⟨

|∆k|2⟩

. (8.11)Spekter mo£i je podoben standardni devian i, ki nam statisti£no povsemdenira normalno porazdeljeno spremeljivko (s povpre£jem ni£). V 3D pri-meru nam P (k) pove disperzijo za vsak neodvisen na£in z valovno dolºino2π/k.e v vesolju in posebne skale, t.j. £e so vse dolºinske skale enakopravne,potem mora biti spekter mo£i poten£na funk ija:

P (k) = kn (8.12)Od vseh poten£nih funk ije je teoreti£no ²e najlep²i primer, ko je n = 1, alitako-imenovani Harisson-Zeldovi£ev (HZ) spekter. Za HZ spekter je zna£ilno,da ima enako mo£ne uktua ije v ukrivljenosti prostora na vseh skalah.Ina ija napove spekter, ki je skoraj HZ. Besedo skoraj sem uporabil,ker ina ija napoveduje majhna odstopanja od HZ spektra, ki pa so takomajhna, da jih trenutno ²e ne moremo meriti, vendar bo to realisti£no moºnoºe okoli leta 2010 s satelitom Plan k. Kako velika so ta odstopanje je odvisnood raznih parametrov ina ijskega modela. Tako bo mogo£e, da bomo taodstopanja zaznali in potrdili ina ijsko teorije. Mogo£e pa je tudi, da bospekter uktua ij ²e zmerom povsem konsistenten s HZ spektrom, kar pa neizklju£uje modelov ina ije z ²e manj²imi odstopanji.Ina ij re²uje dve mo£ni zadregi v zgodnji ziki, problem primordialnihuktua ij, ki presegajo velikost horizonta v zgodnjem vesolju in problemkriti£ne gostote. Kljub vsemu nimamo ²e niti enega neposrednega dokaza zanjej obstoj. Napredek se bo mogo£e pojavil z razvojem teorij temne energije,ki je mogo£e povezana z istim poljem, ki je ustvarilo ina ijo ali z odkritjemodstopanj od HZ spektruma. Vendar ºal resnih kompetitivnih teorij za sedaj²e nimamo.Spekter perturba ij, ki smo jih tukaj omenjali je spekter primordialnihuktua ij. Teh uktua ij ne moremo neposredno meriti, vendar jih lahko

8.2. INFLACIJA 81merimo posledi£no z merjenjem uktua ij v prasevanju in z merjenjem uk-tua ij v gostoti galaksij s pomo£jo velikih katalogov rde£ih zamikov.V prej²njem delu smo tudi spregledali nekaj pomembnih detajlov: uk-tua ije so seveda lahko v radia iji ali masi in jih zato delimo v dve kategoriji:adiabati£ne in izokurvaturne. V izokurvaturnih perturba ija so perturba ijev radia iji take, da kompenzirajo perturba ije v materji na na£in, ki ohranjalokalno ukrivljenost prostora-£asa. Adiabati£ne perturba ije so ortogonalneizokurvaturnim. Ti detajli niso pomembni za slede£o analizo in jih omenjamzgolj informativno.

82 POGLAVJE 8. POSPEENO IRJENJE VESOLJA IN INFLACIJA

Poglavje 9Vesolje od za£etka do kon aSedaj si lahko ogledamo vse korake v vesolju od samega za£etka do kon a.Na vsakem koraku bomo omenili 4 parametre:

• t je £as od nominalnega za£etka vesolja, t = 0.• z je rde£i zamik tega dogodka.• T je temperatura radia ije v vesolju• p je moja subjektivna o ena verjetnosti, da se je to res tako zgodilo...

t = 0, T = ∞, p = 0: Velik pokVesolje je za£ne in prostor-£as za£ne obstajati. Fizika kot jo poznamo je pravgotovo narobe. Energije so veliko nad Plan kovimi in zato so vse ²tiri silepoenotene. 83

84 POGLAVJE 9. VESOLJE OD ZAETKA DO KONCAt ∼ 10−43s, T ∼ 1032K, p ∼ 10−6: Plan kov £asOb Plan kovem £asu se osnovne simetrije poru²ijo. Gravita ija postane lo-£ena sila in vesolje je v kvantni limiti splo²ne relativnosti.t ∼ 10−34s, T ∼ 1027K, p ∼ 10−4: Pribliºni za£etek ina ijet ∼ 0−32s, T ∼ 1027K, z ∼ 1026, p ∼ 10−4: Pribliºni kone ina ijeOb kon u ina ije je vesolje zelo hladno. Predpostavimo, da pride do pro esa,ki uspe vesolje ponovno segreti na visoko temperaturo, da se lahko obi£ajnivro£i pok nadaljuje. Vesolje je sedaj pribliºno evklidsko in perturba ije takoznotraj, kot tudi zunaj horizonta so ºe vpisane v prostor-£as.t ∼ 10−7s, T ∼ 1013K, z ∼ 1012, p ∼ 10−3: Nastanek kvarkovVesolje se dovolj ohladi, da kvarkov ni mogo£e ve£ produ irati in padejo iztermodinami£nega ravnovesja.t ∼ 10−6s, T ∼ 1012K, z ∼ 1011, p ∼ 10−3: Nastanek protonov, anihila- ija antimaterijeVesolje se dovolj toliko ohladi, da kvarki za£nejo delati vezana stanja: pro-tone, nevtrone in njihov anti-brate. Ve£ina materije se anihilira, pri £emernam ostane zgolj plazma v obliki materije in fotonov.

85t ∼ 0.1s, T ∼ 1010K, z ∼ 109, p ∼ 10−2: Nevtrini se razklopijo izplazmeVesolje se toliko ohladi, da se nevtrini razklopijo iz plazme. Nastane nevtrin-ski ekvivalent prasevanja.t ∼ 10s, T ∼ 5109K, z ∼ 109, p ∼ 10−2: Anihila ija elektronov inpozitronovPreostanki anitmaterije se anihilirajo.t ∼ 100s, T ∼ 109K, z ∼ 4 × 106, p ∼ 0.8: Za£etek nukleosintezeEnergija fotonov pade pod vezavno energijo devteronov. Za£nemo ustvarjatprimordialnih helij.t ∼ 1000s, T ∼ 4108K, z ∼ 1.5 × 107, p ∼ 0.8: Kone nukleosintezeEnergija del ev pade pod energijo, ki je potrebna za prehod Kolumbskegaodboja. Primordialnega helija ne delamo ve£.t ∼ 3000let, T ∼ 6 × 104K, z ∼ 2 × 104, p ∼ 0.6: Energija v radia iji inmateriji pribliºno enakaKo je energija v radia iji in materiji pribliºno enaka postavlja mejo med zgo-dnjej²im obdobjem, ko je o dinamiki vesolja dolo£ala radia ija in kasnej²imo,ko je to dinamiko vesolja dolo£ala materija.

86 POGLAVJE 9. VESOLJE OD ZAETKA DO KONCAt ∼ 3−5×105let, T ∼ 3500−3000K, z2 ∼ 1200−1100, p ∼ 0.9: NastanekprasevanjaEnergija v fotonih ni ve£ dovolj visoka, da bi lahko ionizirala vodikove atome.Nastane prasevanje.t ∼ 1 × 109let, T ∼ 20K, z ∼ 6, p ∼ 0.4: Nastanek prvih galaksijPo kon u temnega obdobja, ko se je svetloba odklopila od materije in hitroohlajala, hkrati pa ²e ni bilo novih izvorov radia ije, pride do nastanka prvihzvezd in galaksij. Natan£nega mehanizma, velikosti prvih zvezd in podobno²e zmerom ne poznamo.t ∼ 7 × 109let, T ∼ 5K, z ∼ 0.7, p ∼ 0.7: Nastanek son£nega sistemat ∼ 8.5× 109let, T ∼ 4K, z ∼ 0.5, p ∼ 0.9: Nastanek ºivljenja na zemljit ∼ 12 × 106let, T ∼ 2.72K, z = 0, p = 1: Danest ∼ 15 ∼ 109let, p ∼ 0.2: Mle£na esta pokne v andromedot ∼ 1011let, p ∼ 10−5: Temna energija povsem prevlada.Temna energija povsem prevlada in galaksije so tako dale£ narazen, da jihz zemlje ni mogo£e ve£ videti. Seveda ni ve£ son a, niti zemlje, tako, da ni£loveka, ki bi se sekiral.t ∼ 1012let, p ∼ 0.1: Zvezde ugasnejoZvezde so pokurile ves vodik in po£asi uga²ajo in se ohlajajo.

87t ∼ 1025let, p ∼ 10−4: Obdobje degenerirane snoviVe£ina snovi je v rjavih pritlikavkah, nevtronskih zvezdah in £rnih luknjah.t ∼ 1050let, p ∼ 10−8: Obdobje £rnih lukenjVe£ina objektov se je uspela pretvoriti v £rne luknje ali preko razpada protonaali s kvantnim tuneliranjem. rne luknje sevajo Hawkingovo radia ijo.t ∼ 10100let, p ∼ 10−8:Kone Ve£ina £rnih lukenj je izparela. Vesolje je napolnjeno z izredno hladnimielektroni, fotoni in nevtrini. Evolu ija vesolja je kon£ana.