Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 40, nº 4, e4204 (2018)www.scielo.br/rbefDOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2018-0071

Seção especial - Celebrando os 100 anos denascimento de Richard P. Feynman

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O que diferencia as Feynman lectures de livrostradicionais?

What distinguishes the Feynman lectures from traditional physics textbooks?

Ricardo Karam*1

1University of Copenhagen, Department of Science Education, Copenhagen, Denmark

Recebido em 06 de Março, 2018. Revisado em 04 de Abril, 2018. Aceito em 05 de Abril, 2018.

Neste artigo buscamos apontar alguns aspectos que diferenciam as Feynman lectures de livros tradicionais defísica, com o objetivo de extrair princípios didáticos gerais que possam guiar uma discussão mais fundamentadasobre o que entendemos por qualidade no ensino de física.Palavras-chave: Lições de Feynman, Ensino de Física, Qualidade de Explicações, Relação entre Matemática eFísica.

In this work an attempt is made to caracterize aspects that distinguish the Feynman lectures from traditionalphysics textbooks. The goal is to extract general didactical principles and contribute to a more informed discussionabout quality in physics teaching.Keywords: Feynman lectures, Physics teaching, Quality of explanations, Mathematics in Physics.

1. Introdução

É muito difícil encontrar alguém que se interesse porfísica que não tenha uma relação de fascínio com oslivros vermelhos das Feynman lectures. Basta iniciar umaconversa informal sobre o assunto para ouvir frases dotipo: “foi no Feynman que entendi isso de verdade” ou“quando tenho que ensinar esse tópico sempre dou umaolhada no Feynman”, etc. Sem dúvida, as lectures sãouma verdadeira obra-prima da didática, provavelmenteo melhor livro-texto de física de todos os tempos. Opróprio Feynman reconheceu que elas foram sua maiorcontribuição para a física. Mas afinal, o que faz as lecturesserem tão especiais?

A resposta curta e fácil é que Feynman era genial. Elefoi um autodidata que tinha um hábito de questionarprofundamente as coisas aparentemente mais banais euma habilidade ímpar de comunicar com clareza. Suaatitude foi sempre de independência e repúdio a autorida-des, com frequência ele reinventou teoremas e renomeouconceitos à sua maneira. Isso torna sua exposição extre-mamente original e, implicitamente, nos convida a pensarde maneira autônoma. Além disso, ele era extremamentecarismático, assistir sua performance é uma experiênciaemocionante e contagiante. Podemos encontrar muitosoutros elogios, mas essa atitude de reverenciar Feynmancoloca-nos numa posição de impotência e assume quea arte de ensinar seja uma espécie de dom. Para quempensa sobre o ensino da física essa postura é desmoti-

*Endereço de correspondência: ricardo.karam@ind.ku.dk.

vante, pois de certa forma implica que nascemos ou nãoprofessores. Assim, será que mesmo não sendo um Feyn-man, podemos extrair lições didáticas mais abrangentesdas lectures para sermos melhores professores de física?

Tomando como premissa uma resposta positiva, o ob-jetivo deste artigo é fazer uma análise mais sistemáticasobre a qualidade didática do discurso das Feynman lectu-res, buscando extrair alguns princípios gerais que guiamsua construção. Adoto como ponto de partida um estudocom objetivos semelhantes que desenvolvi em minha tesede doutorado [1,2]. Na referida pesquisa, propus um con-junto de categorias associadas à forma como a relaçãoentre matemática e física é abordada em um discursodidático e as utilizei para analisar as aulas de eletromag-netismo de um professor experiente e muito apreciado porseus alunos. Muitos dos critérios associados à qualidadedidática das aulas analisadas são facilmente encontradosno discurso do Feynman.

É preciso estar ciente das limitações deste projeto. Defato, o mesmo é, por definição, incompleto, pois existeminúmeros aspectos que podem ser analisados ao tentarentender por que as lectures são a maior obra-prima dadidática da física. Não será possível, por exemplo, fazeruma discussão detalhada da estruturação conceitual doscapítulos. Em geral, é possível perceber que a ordem ea ênfase dos conceitos apresentados são diferentes dasabordagens tradicionais. Por exemplo, ao introduzir arelação entre trabalho e energia, Feynman enfatiza a “re-lativamente desconhecida” equação dT/dt = F · v (ondeT é a energia cinética) e deduz importantes resultados a

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partir dela. Tais diferenças são essenciais para entendera qualidade das lectures. Entretanto, é necessário umestudo detalhado de cada tópico para entendê-las pro-fundamente e, além de impossível devido a limitaçõesde espaço, estamos interessados em extrair princípiosdidáticos mais gerais.

Neste artigo, também não será tratado o contexto quemotivou as lectures, uma vez que isso pode ser lido em seuPrefácio e em inúmeros artigos presentes na literatura,como o excelente relato feito por um dos idealizadores doprojeto, Matthew Sands [3]. Nosso objetivo é, portanto,discutir aspectos que distinguem as lectures de livrostradicionais.1 Para isso, faremos uso de alguns exemplosextraídos das lectures, cuja escolha tem, naturalmente,um grau de aleatoriedade. Não se trata de defender quetudo é melhor no Feynman (ainda que isso seja verdade namaioria dos casos), mas ressaltar as diferenças e discutirsuas implicações didáticas e filosóficas. As citações ereferências são extraídas da edição brasileira [4].

2. Diferenças à primeira vista

Basta uma rápida folheada pelas lectures para perceberalgumas diferenças notáveis quando as comparamos comlivros-texto de física mais tradicionais. Essas diferençasperceptíveis à primeira vista já indicam que se trata deuma proposta didática alternativa com objetivos distin-tos.

• Muito texto

Ao abrir uma página aleatória, normalmente nos de-paramos com uma quantidade enorme de texto corrido,quase que como se tivéssemos aberto um livro de ro-mance. Uma explicação para isso é o fato de que o textoé resultado de uma transcrição, quase ipsis litteris, daslectures. Mas essa quantidade de texto também indicaque Feynman prioriza uma abordagem conceitual, sãoraras as vezes em que equações são apresentadas sem queparágrafos de textos explicativos apareçam entre elas.Além disso, Feynman é extremamente metacognitivo emseu discurso e com frequência discute aspectos epistemo-lógicos da física, o que naturalmente é expresso na formade texto.

• Ausência de “problemas”

Em abordagens didáticas tradicionais, é muito comum en-contrar exemplos de “problemas resolvidos” no decorrerdo discurso didático. Implicitamente, isso indica um focona resolução de problemas e condiciona o estudante a sepreparar para exercícios que serão cobrados em avalia-ções, o que muitas vezes o desvia de buscar uma profunda

1Por “tradicionais” entendemos clássicos como Halliday, Resnick eWalker; Tipler e Mosca; Sears e Zemansky; Young e Freedman; esimilares. Usualmente, tais livros são destinados a um público bas-tante abrangente (inclusive engenheiros) e são muito semelhantesem sua forma e conteúdo.

compreensão conceitual. As Feynman lectures são fun-damentalmente diferentes neste aspecto. Não há sequerum “problema resolvido” nos três volumes. Tão poucoencontramos listas de exercícios no final dos capítulo 2.O objetivo é claramente introduzir o estudante à maneirade pensar característica da física.

• Fenomenologia

Uma das diferenças mais marcantes é a constante pre-ocupação de Feynman em preencher de fenomenologiaos conceitos e teorias que ensina. Física é uma ciênciaque lida com modelos idealizados da natureza, logo, parao inciante ela pode parecer algo artificial, desconexo darealidade. Feynman procura sempre restabelecer essa co-nexão; aplicações tecnológicas e aparatos experimentaisestão presentes em quase todos os capítulos das lectures.O leitor pode argumentar que outros livros-texto tambémtêm essa preocupação, mas julgo que as lectures discutemfenomenologia com muito mais frequência e de maneiramuito mais autêntica. Um simples exemplo: no estudoda radiação eletromagnética (Cap. 28, Vol. 1), Feynmanapresenta um aparato com dois fios ligados a um gera-dor (Fig. 28-1). Assim, em vez de imaginar um dipolooscilante de maneira abstrata como cargas elétricas emmovimento periódico, o estudante tem imediatamenteuma noção de como isso pode ser realizado na prática.

Uma breve folheada pelo Volume 2 (Eletromagnetismo)é suficiente para encontrar diversos outros exemplos detais vínculos estreitos com fenômenos. Aliás, julgo que éjustamente o foco na fenomenologia o principal aspectoque diferencia o Volume 3 (Mecânica Quântica) das abor-dagens tradicionais. Muitas destas iniciam o estudo dateoria quântica de maneira bastante abstrata, definindovetores de estado em um espaço de Hilbert e operaçõesentre eles. Basta uma olhada rápida no índice do Volume3 para perceber que se trata de uma abordagem bastantediferente, recheada de fenomenologia (Espalhamento emum cristal (3-3), Hélio líquido (4-6), Maser de amônia(Cap. 10), entre outros). De fato, os vetores de estado sãoapresentados somente no Capítulo 8, quando o estudantejá construiu uma intuição sobre a maneira quântica depensar. Antes disso, muitos fenômenos são discutidospara que a expressão 〈χ|φ〉 adquira gradativamente umsignificado físico.

• Ordem e títulos dos capítulos

Índices de livros-texto de Física tendem a ser muito seme-lhantes, mas uma breve olhada nos índices das lecturesrevela algumas diferenças marcantes. Além de algunstítulos tradicionais como “Leis de Newton”, “Eletrostá-tica” ou “Leis da Termodinâmica”, encontramos também2Isso tem sido motivo de críticas à funcionalidade das lectures e éuma possível razão pela qual elas não são comummente adotadascomo livro-texto. Buscando responder a tais demandas, algunsvolumes com listas de problemas para acompanhar as lectures forampublicados. Uma análise comparativa da natureza desses problemaspode ser outro caminho para indicar diferenças importantes emrelação aos livros tradicionais.

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outros um tanto inusitados como “Catraca e Lingüeta”,“Análogos Eletrostáticos”, “O Escoamento da Água Seca”,“Mecanismos da Visão” ou “Simetrias nas Leis da Física”.Esse relativo desprendimento indica que o importante éaprender a maneira física de pensar e não necessariamenteeste ou aquele conteúdo. Além disso, a ordem em queos temas aparecem também se distingue, por exemplo,“Comportamento Quântico” é um capítulo do Volume 1e “Elasticidade” aparece no final do Volume 2. Em geral,a divisão proposta por Feynman transmite uma ima-gem mais coerente e interligada da Física, possivelmentecontornando o conhecido problema de desmotivação deestudantes que ingressam na universidade e se deparam,nos dois primeiros anos, com reformulações de conteúdosque aprenderam no Ensino Médio.

• Capítulos de matemática

Outro aspecto que chama a atenção nos índices é a pre-sença de alguns capítulos de matemática (por exemplo,“Probabilidade”, “Vetores”, “Álgebra” ou “Cálculo In-tegral Vetorial”), os quais normalmente não aparecemem índices de livros-texto de física ou, quando aparecem,são relegados a apêndices. Isso indica que esses tópicosde matemática são tratados como parte integrante dafísica e rompe com a ideia de matemática como meraferramenta. Como discutiremos em detalhe na Seção III,Feynman tem uma concepção muito peculiar da relaçãoentre matemática e física e essa é uma importante razãopara o sucesso das lectures. Quando reparamos na formacomo a matemática é tratada em seu discurso didático,percebemos que se trata de uma matemática diferenteda dos livros de matemática, pensada exclusivamente apartir de fenômenos físicos e a serviço da física.

• Diálogo pessoal

Ao ler um parágrafo das lectures ao acaso normalmentejá é possível notar um estilo de discurso bastante dife-rente dos livros tradicionais. Enquanto estes abordam osconteúdos de maneira mais impessoal e distanciada, aleitura do texto do Feynman se assemelha a um diálogo“de pai para filho(a)”. Não se trata unicamente de alguémque lhe mostra o que é a física e como ela deve ser feita,mas alguém que dialoga contigo, entende profundamentesuas angústias, prevê suas dificuldades, mostra limitaçõesda teoria, tem senso de humor, expressa emoções, etc.Esse estilo não só torna a leitura muito mais agradável,mas rompe com o ar de autoridade das apresentaçõestradicionais proporcionando uma concepção muito maishumana e acessível da física.

3. Relação entre matemática e física

3.1. Matemática como pré-requisito

A noção de matemática como pré-requisito para o apren-dizado da física é amplamente encontrada em diversos

contextos educacionais, por exemplo, quando cursos dematemática (Cálculo, Álgebra Linear, etc.) são exigidosde estudantes universitários para que os mesmos possamcursar disciplinas de física. Trata-se de uma concepção dematemática como ferramenta para a física que, implici-tamente, transmite a ideia de que primeiro as estruturasmatemáticas são desenvolvidas para depois serem aplica-das na física.

Feynman evita a noção de matemática como pré-requisito para a física sempre que possível. Inúmerasvezes a estrutura matemática emerge de uma situaçãofísica e o conceito matemático formal é apresentado nofim. Além disso, trata-se de uma matemática a serviço dafísica, em geral muito diferente da encontrada em livrosde matemática. Vejamos alguns exemplos.

Velocidade e derivada

Alguns manuais didáticos partem do pressuposto de queo aluno deve saber o que é uma derivada para entendero que é velocidade. Seguindo uma linha mais coerentecom o desenvolvimento histórico, Feynman (Cap. 8, Vol.1) faz exatamente o oposto; ele inicia com uma discussãoconceitual muito rica sobre o significado de velocidadea partir da qual o conceito formal de derivada emergenaturalmente.

A discussão se baseia na inusitada situação em queuma senhora é parada por um policial que a alerta di-zendo que ela “estava andandando a 100 quilômetros porhora”. A senhora protesta: “Mas senhor, eu saí de casahá 7 minutos!” Na sequência, Feynman nos convida apensar, de maneira honesta, sobre o que queremos dizercom a asserção “estou me deslocando [neste instante] a100 quilômetros por hora.”, evidenciando que falar emuma taxa [instantânea!] de variação é algo extremamentecontra-intuitivo. Ao tentar expressar essa noção maisprecisamente, Feynman aborda a necessidade de se con-siderar um intervalo de tempo muito pequeno o que nosleva, naturalmente, à ideia de limite e à definição formalde derivada. Dessa forma, todos os termos presentes nadefinição possuem significado físico. A mensagem centralé a seguinte: retiramos a ideia de velocidade do mundofísico e inventamos uma maneira matemática (derivada)para representá-la.

Torque e produto vetorial

É necessário saber o que é o produto vetorial entre doisvetores para que possamos aprender o conceito físico detorque? Novamente a resposta de Feynman é veemen-temente negativa. Considerações físicas sobre o ato degirar um corpo rígido nos levam naturalmente ao conceitomatemático de produto vetorial, primeiramente em duas(18-2, Vol. 1) e depois em três dimensões (20-1, Vol. 1),quando a definição formal de torque é apresentada.

A partir de argumentos cinemáticos, Feynman analisaa essência da rotação em duas dimensões e relaciona, paraum sistema de coordenadas cartesianas, o deslocamento

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em uma componente com a coordenada da outra (Fig.1).

∆x = −y∆θ e ∆y = x∆θ (1)

Em seguida, considerando que haja uma força aplicada,o trabalho realizado pela mesma (∆W = Fx∆x + Fy∆y)é expresso, utilizando as relações cinemáticas obtidasanteriormente, da seguinte forma

∆W = (xFy − yFx)∆θ, (2)

o que naturalmente leva a uma discussão sobre o sig-nificado da expressão dentro dos parênteses. Partindo deuma analogia entre translação e rotação, o conceito detorque é introduzido, em estreita relação com o conceitode trabalho.

Para generalizar o resultado em três dimensões (20-1,Vol. 1) Feynman utiliza um argumento de simetria paradizer que obteríamos os seguintes torques se tratássemosa situação bidimensional relativa a outros planos (yz ezx)

τxy = xFy − yFx,

τyz = yFz − zFy,

τzx = zFx − xFz.

(3)

Em seguida, a questão que se coloca é se as componen-tes (τxy, τyz e τzx) formam ou não um vetor. Retomandouma discussão conceitual sobre simetrias feita no Capí-tulo 11, Feynman mostra que as componentes satisfazemsim certas condições (simetria por rotações dos eixos),logo podem ser consideradas como as componentes deum vetor. Só então o produto vetorial entre dois vetoresé apresentado. Assim como no caso da derivada, o pro-duto vetorial emerge de considerações físicas. A diferençaentre sua abordagem é nítida quando a comparamos comtextos que definem primeiramente o que é um produtovetorial para depois definir torque como ~r × ~F . Em suma,para Feynman a física vem primeiro.

Figura 1: Cinemática da rotação em duas dimensões (Fig. 18-1,Vol. 1).

3.2. Matematização

Mas é claro que nem sempre é possível fazer a matemáticaemergir naturalmente da física, aliás em muitos casosisso seria artificial. Usualmente, físicos(as) olham para amatemática como uma caixa de ferramentas e escolhem asestruturas que são mais apropriadas para a descrição daspropriedades físicas que desejam representar. Chamamosesse processo de matematização.

Feynman tem uma maneira peculiarmente didática dematematizar. Além de realizada de maneira gradual, amatematização de Feynman é sempre acompanhada deuma discussão explícita das razões pelas quais um de-terminado formalismo matemático é útil para a situaçãofísica em questão. Com frequência, diferentes formalis-mos e representações são apresentados e uma análisesobre “prós e contras” é conduzida, como ilustramos noexemplo a seguir.

A matemática da interferência

Na Seção 29-5 Vol. 1, Feynman matematiza a interferên-cia, ou seja, discute como tratar de maneira quantitativaa soma de duas ondas (cos)senoidais de mesma frequência,mas que estejam fora de fase, representada por

R = A1 cos (ωt + φ1) + A2 cos (ωt + φ2). (4)Três maneiras distintas são apresentadas e num pri-

meiro momento as mesmas parecem igualmente válidas.Restringindo-se ao caso em que as amplitudes são iguais,a primeira é a trigonométrica, e consiste em transformara soma em um produto utilizando a seguinte identidadetrigonométrica

cos A + cos B = 2 cos 12 (A + B) cos 1

2 (A − B), (5)

o que permite, comparando (4) e (5), a obtenção daseguinte expressão

R = 2A cos 12 (φ1 − φ2) cos (ωt + 1

2 φ1 + 12 φ2). (6)

Assim, fica evidente que a resultante é uma nova ondacos(senoidal), cuja amplitude e fase são funções das am-plitudes e fases das duas ondas que a originaram.

O segundo método é o geométrico e está representadona Figura 2. Este método nos permite determinar aamplitude e a fase da onda resultante a partir de relaçõesgeométricas. Além disso, não precisamos nos restringirao caso de amplitudes constantes.

O terceiro método é o analítico. Ele consiste em utilizara exponencial complexa (fórmula de Euler) e tratar aparte real como representando a amplitude. Este métodoé mais vantajoso para fins de cálculo, uma vez que émais fácil somar e multiplicar expressões que contêmexpoentes de mesma base.

R = A1ei(ωt+φ1) + A2ei(ωt+φ2) = (A1eiφ1 + A2eiφ2)eiωt (7)

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Figura 2: Método geométrico para adicionar ondas senoidais demesma frequência (Fig. 29-9, Vol. 1).

Isso significa que devemos optar por um método em de-trimento dos outros? Certamente não. Julgo que Feynmanapresenta essa diversidade para ampliar nosso conjuntode representações do fenômeno. A mensagem implícita éque um profundo entendimento da matemática da interfe-rência está intimamente relacionado com a habilidade detransitarmos entre essas diferentes representações. Nessesentido, quanto mais amplo o arsenal, melhor.

3.3. Interpretação

Depois que uma derterminada expressão matemática éderivada, Feynman quase sempre explora o significadofísico da mesma, com frequência utilizando casos limite(→ 0 ou → ∞) ou particularmente relevantes. Trata-sedo caminho inverso da matematização, ou seja, buscarinterpretações físicas no formalismo matemático. Issose reflete em perguntas do tipo “O que significa que aexpressão depende dessa variável dessa maneira?”, “Oque acontece com y quando x tende a zero/infinito?”.Esse tipo de discurso ocorre o tempo todo, com muitomais frequência e intensidade que nos livros tradicionais.Ilustremos com um exemplo (existem muitos outros).

Índice de refração é um número complexo

No Capítulo 31 do Volume 1, uma verdadeira obra-prima,encontramos uma análise detalhada da origem do índicede refração, a partir de considerações sobre campos elé-tricos gerados pelo movimento de cargas elétricas quecompõem uma placa de vidro. Temos a sensação de pene-trar (com a mente) na estrutura da matéria para calcularo campo elétrico resultante em um ponto P , à direita daplaca. Assumindo que os elétrons se comportam comoosciladores sujeitos a uma força linear restauradora, aseguinte expressão é obtida para o índice de refração

n = 1 + Nq2e

2ε0m(ω20 − ω2) , (8)

onde N é o número de elétrons por unidade de volumena placa, ω a frequência da radiação e ω0 a frequênciaressonante de um elétron.

Na sequência (Seção 31-3), duas páginas de texto cor-rido são dedicadas a uma detalhada interpretação do

significado da equação (8), bem como suas aplicações elimitações, um exemplo claro de como o discurso de Feyn-man se distingue dos livros tradicionais. No final destaseção, o modelo utilizado para os elétrons é modificado,adicionando-se uma força de amortecimento e conside-rando que existem tipos diferentes de osciladores, comdiferentes frequências ressonantes ωk. Com essas duasalterações a nova expressão para o índice de refração é

n = 1 + q2e

2ε0m

∑k

Nk

ω2k − ω2 + iγkω

. (9)

Existe uma diferença importante entre as equações (8)e (9), e Feynman prontamente chama nossa atenção:

Talvez você tenha notado algo um pouco es-tranho sobre a última fórmula [Eq. 9] queobtivemos para a nossa equação de dispersão.Por termos introduzido o termo iγ para con-siderar o amortecimento, o índice da refraçãoé agora um número complexo! O que significaisso? (31-4, Vol. 1, itálicos no original)

O que segue é uma brilhante explicação do porquê aparte complexa do índice de refração pode ser interpre-tada como coeficiente de absorção. Ou seja, a física éextraída do formalismo matemático. É incrível!

3.4. (De)mostrando equações

Alguns clássicos da física se parecem com os de mate-mática, uma vez que apresentam proposições que sãodemonstradas a partir de princípios gerais e raciocíniológico. Basta folhear os Principia do Newton e os Ele-mentos de Euclides para notar tal semelhança. Em umcomentário de natureza epistemológica (ver Seção IV),Feynman expressa essa característica da física da seguinteforma:

[...] para o desenvolvimento adicional da ci-ência, queremos mais do que apenas umafórmula. Primeiramente, temos uma observa-ção, então temos os números que medimos,e depois temos uma lei que resume todos osnúmeros. Mas a real glória (beleza) da ciên-cia é que podemos descobrir uma maneira depensar tal que a lei é evidente. (26-3, Vol. 1)

Livros-texto de física estão repletos de demonstraçõese isso não é diferente nas Feynman lectures. Porém, o di-ferencial destas é que muitas vezes encontramos maneirasoriginais e argumentos incomuns para demonstrar taisconexões. Em geral, o raciocínio físico vem em primeirolugar e o “rigor matemático” fica em segundo plano. Issotorna as demonstrações mais acessíveis e significativas.Vejamos alguns exemplos:

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Lei de Snell a partir do princípio de Fermat

Toda óptica geométrica pode ser deduzida a partir deum único princípio: a luz se desloca de A até B pelocaminho de menor tempo. Eis como Feynman usa esseprincípio para demonstrar a lei de Snell da refração.

Na Figura 3 a trajetória da luz para ir do ponto A aoponto B é representada por ACB. Segundo o princípiode Fermat, esse é o caminho que leva o menor tempo.Isso significa que se pensarmos no tempo para ir de Aaté B como uma função da posição do ponto em quea luz muda de meio, a trajetória ACB representa umextremo (mínimo). A ideia central do cálculo de variaçõesé a seguinte: um pequeno (infinitesimal) deslocamento apartir de um extremo não altera seu valor.

Na Figura 3 esse deslocamento infinitesimal é repre-sentado pelo ponto X. Agora, a luz percorre uma outratrajetória, AXB. Porém, como X está infinitamente pró-ximo de C, pode-se dizer que a luz percorre o trajetoAXB no mesmo tempo que em ACB. Como expressarisso matematicamente? Basta perceber que para a tra-jetória ACB a luz percorre uma distância maior no ar(EC). Por outro lado, para a trajetória AXB a luz per-corre uma distância maior na água (XF ). Como X estáinfinitamente próximo de C e ACB é um extremo, otempo que a luz leva para percorrer EC no ar tem queser igual ao tempo que a luz leva para percorrer XF naágua. Representando essa igualdade matematicamente,obtemos a lei de Snell:

tEC = EC

var= XC · sin θi

var,

tXF = XF

vágua= XC · sin θr

vágua,

tEC = tXF → sin θi

sin θr= vágua

var.

(10)

Figura 3: Demonstração da lei de Snell pelo princípio de Fermat(Fig. 26-4, Vol. 1).

Desconheço uma maneira mais simples de demonstrara lei da refração. E a beleza dessa demonstração não estásomente em sua simplicidade, mas principalmente porqueela nos mostra uma conexão profunda e inesperada entreuma lei “fenomenológica” da luz e um princípio geralcom ares de divindade.

A atmosfera exponencial e a lei de Boltzmann

A lei (distribuição) de Boltzmann é um dos grandespilares da mecânica estatística. Maneiras tradicionaisde demonstrá-la são baseadas no conceito de entropia efazem uso de argumentos probabilísticos. Feynman nosapresenta uma forma bastante diferente e inusitada deobter tal lei.

A demonstração baseia-se na ideia de uma atmosferaexponencial. Uma coluna de ar (gás ideal) em um campogravitacional é mantida a uma temperatura constante(Fig. 4). Considerando uma camada de espessura dh eseção unitária, a diferença de pressão entre as partesinferior e superior deve ser responsável pelo equilíbrio damesma, o que pode ser expresso por Ph+dh − Ph = dP =−mgndh, onde n expressa o número de moléculas porunidade de volume.

Como P = nkT , e T é constante, podemos eliminar P esubstituí-lo por n, obtendo a seguinte equação diferencial

dn

dh= −mg

kTn, (11)

cuja solução é

n = n0e−mgh/kT . (12)

Em seguida, Feynman nos chama a atenção para ofato de que a expressão mgh no expoente é energia po-tencial de um átomo. Seria uma mera coincidência? Aogeneralizar o exemplo para uma força definida a partir

Figura 4: Atmosfera exponencial para obter a lei de Boltzmann(Fig. 40-1, Vol. 1).

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de um potencial, Feynman mostra que não, e expressa alei de Boltzmann da seguinte forma

n = (constante)e−E.P./kT , (13)

onde E.P. é a energia potencial. Para quem já viumaneiras tradicionais de se obter a distribuição de Boltz-mann, essa “demonstração” parece mágica. Certamente,ela amplia o conjunto de relações que estabelecemosquando pensamos na lei de Boltzmann.

Mas qual é o papel de demonstrações no ensino defísica? Será que os estudantes devem memorizá-las ereproduzi-las em avaliações? Eis o que Feynman, em seuestilo metacognitivo (Seção IV), diz a respeito:

Ao aprender qualquer assunto de uma natu-reza técnica onde a matemática tem o seupapel, uma pessoa é confrontada com a tarefade entender e guardar na memória um grandenúmero de fatos e ideias, mantidos juntos porcertas relações existentes entre elas que po-dem ser “demonstradas” ou “mostradas”. Éfácil confundir a demonstração em si com a re-lação que ela estabelece. Claramente, a coisaimportante a aprender e a lembrar é a relação,não a demonstração. Em qualquer circuns-tância em particular podemos dizer “podeser mostrado que” tal e tal são verdadeirosou podemos mostrá-los. Em quase todos oscasos, a particular demonstração que é usada,é planejada, primeiro de tudo, de tal formaque pode ser escrita rapidamente e facilmenteem um quadro negro ou em um papel parater a aparência mais agradável possível. Con-sequentemente, a demonstração pode parecerenganosamente simples, quando de fato, o au-tor pode ter trabalhado por horas tentandodiferentes maneiras de calcular a mesma coisaaté que ele achou a maneira mais concisa, as-sim fica possível mostrar que a demonstraçãopode ser feita em pouco tempo! A coisa a selembrar, quando vemos uma demonstração,não é a demonstração propriamente dita, masque pode-se mostrar que tal e tal coisa sãoverdadeiras. Obviamente, se a demonstraçãoenvolve alguns procedimentos matemáticosou “truques” que as pessoas não viram antes,a atenção deve ser dada não ao truque exa-tamente, mas a ideia matemática envolvida(14-1, Vol. 1).

Esta longa citação tem um valor pedagógico enorme.Ela explicita ao estudante o que é importante compre-ender quando se acompanha uma demonstração e deixaclaro que há um esforço gigante de quem as desenvolveupara apresentá-la de maneira concisa. Livros tradicio-nais costumam ser silenciosos neste aspecto e, implici-tamente, transmitem a ideia de que tais demonstrações

são realmente triviais, frustrando a grande maioria dosestudantes que não as acompanha.

3.5. Analogias

O extensivo uso de analogias na física se deve à buscaincessante por conexões profundas, as quais nem sempresão notáveis diante da (aparente) diversidade de fenô-menos que observamos. Assim, um dos objetivos dessaciência é explicar o maior número de fenômenos possívelcom o menor número de conceitos e princípios. As gran-des unificações da história da física (eletromagnetismo eótica, teoria cinética dos gases, etc.) e alguns dos maioresdesafios atuais (unificação da mecânica quântica com arelatividade geral) são exemplos dessa prática. Trata-sede uma questão estética, uma busca por unicidade/sim-plicidade teórica. Do ponto de vista didático, utilizaranalogias também pode estar associado à ideia de cons-truir um novo conhecimento a partir daquilo que o alunojá sabe.

As Feynman lectures são repletas de analogias. Maisuma vez o leitor pode protestar dizendo que todos oslivros de física possuem analogias. Novamente, acreditoque tanto a quantidade como a qualidade das analogiasque encontramos nas lectures as distinguem dos livrostradicionais. Por exemplo, já no Capítulo 4 do Volume 1,nos deparamos tanto com a genial analogia entre a ideiade conservação de energia e a situação do menino com 28blocos, como, logo em seguida, com a descrição de umainusitada máquina reversível (mecânica, não térmica)que introduz a noção de energia potencial gravitacional.No Volume 2 (Eletromagnetismo), não só muitas noçõesbásicas de cálculo vetorial (como gradiente e divergente)são apresentadas em um contexto de condução do calor,como encontramos um capítulo inteiro, chamado Análo-gos Eletrostáticos (Cap. 12, Vol. 2), no qual fenômenosbastante distintos são expressos com o formalismo da ele-trostática. No final do capítulo (12-7), Feynman discuteprofundamente se é ou não razoável supor que existauma “unidade subjacente” na natureza.

Além da tentativa de explicar fenômenos diversos como mesmo formalismo, algumas vezes Feynman nos sur-preende ao evidenciar semelhanças entre formalismosmatemáticos aparentemente distintos. A seguir apresen-tamos dois exemplos.

Operações diferenciais com o Nabla

Qual o divergente do rotacional de um campo vetorial?E o rotacional do gradiente de um certo campo escalar?Estudantes de física cursando eletromagnetismo utilizamessas operações para manipular as equações de Maxwell eestão acostumados a determiná-las a partir das definiçõesde cada um dos operadores diferenciais. Mas Feynmanquer que tenhamos uma certa intuição sobre elas e, paraisso, faz uso de analogias com operações já conhecidasentre vetores (Seção 2-7, Vol. 2).

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e4204-8 O que diferencia as Feynman lectures de livros tradicionais?

Dados três vetores A, B e C, um escalar T e os co-nhecidos produtos escalar e vetorial, é possível concluirque

A × (AT ) = (A × A)T = 0,

A · (A × B) = 0,

A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B).(14)

Tratando o símbolo Nabla (∇) como uma espécie devetor, concluímos, por analogia com as equações (14),que para um campo escalar T e um vetorial h são válidasas seguintes relações

∇ × (∇T ) = 0,

∇ · (∇ × h) = 0,

∇ × (∇ × h) = ∇(∇ · h) − (∇ · ∇)h.

(15)

Simples assim. Esse é um bom exemplo da maneira pe-culiar, e muitas vezes não rigorosa, que Feynman tem delidar com a matemática e sua capacidade de nos mostrarconexões inesperadas entre tópicos aparentemente novose difíceis, e assuntos que julgamos antigos e triviais.

Produto escalar e o formalismo da mecânicaquântica

Conforme já mencionamos, Feynman só introduz o con-ceito de vetores de estado na mecânica quântica no Capí-tulo 8 do Volume 3. E ele o faz por meio de uma analogia.Vejamos como.

Nos capítulos 5 e 6, Feynman discute diversas situaçõesenvolvendo experimentos com átomos filtrados usandoaparatos do tipo Stern-Gerlach. Um dos objetivos destescapítulos é introduzir a noção de estados de base, erepresentar a amplitude de se começar em um estado φe terminar em χ da seguinte forma

〈χ|φ〉 =∑

todo i

〈χ|i〉 〈i|φ〉 , (16)

onde i são estados de base descritos e exemplificadosem capítulos anteriores.

Em seguida Feynman nos mostra uma semelhançaentre a equação (16) e o produto escalar entre dois vetoresA e B, escrevendo este como

B · A =∑

todo i

(B · ei)(ei · A), (17)

onde ei são os conhecidos vetores unitários nas direçõesx, y e z para o caso de três dimensões. Assim, B · ei

representa a projeção do vetor B na direção de ei, isto é,sua componente nesta direção. Por exemplo, B ·e1 = Bx,e3 · A = Az e assim por diante. Logo, percebemos que aequação (17) nada mais é do que a conhecida

BxAx + ByAy + BzAz. (18)A partir da semelhança formal entre as equações (16)

e (17), Feynman cogita a possibilidade de se representar

um estado por um vetor e interpretar a amplitude comouma espécie de produto escalar entre os vetores querepresentam os estados inicial e final. Em seguida, elediscute cuidadosamente algumas diferenças importantes,por exemplo, a não comutatividade do produto escalarna mecânica quântica. Pela primeira vez os elementos danotação de Dirac (bra-ket) são tratados separadamente.Vemos mais um exemplo no qual o formalismo vai sendoconstruído, gradualmente, em vez de ser imposto. Ésimplesmente genial.

4. Epistemologia e metacognição

A última seção é dedicada a um aspecto que possivel-mente é o grande diferencial das lectures. Trata-se dahabilidade ímpar que Feynman possui de refletir sobrea natureza do conhecimento físico e sobre os desafiosinerentes a sua aprendizagem. Assim, seu discurso di-dático é extremamente metacognitivo e filosófico, muitodiferente dos livros tradicionais. Vamos discutir estesaspectos (epistemologia e metacognição) separadamente,apesar de muitas vezes eles estarem intimamente ligados.

4.1. Epistemologia

Feynman não só ensina física, mas ensina muito sobreo que é fazer física e sobre a natureza do conhecimentofísico. Logo, seu discurso é extremamente epistemológico.Livros tradicionais tendem a ser silenciosos no que dizrespeito a questões epistemológicas, com frequência dedi-cam tais discussões para um capítulo inicial, por exemplo,abordando o “método científico”, uso de modelos, etc.Feynman discute epistemologia em praticamente todosos capítulos das lectures e o faz de maneira estreitamenteligada com o conhecimento específico que está tratando, oque torna a discussão muito mais rica. A seguir apresentoalguns exemplos, existem muitos outros.

Isso parece ser apenas uma definição, e énotável que possamos transformar leis físicasem meras definições. (10-2, Vol. 1)

Todas as nossas idéias em física exigem umacerta dose de senso comum em sua aplicação;elas não são idéias puramente matemáticasou abstratas (11-1, Vol. 1)

Podemos sentar em uma poltrona o dia todoe definir palavras ao nosso bel-prazer, masdescobrir o que acontece quando duas bolascolidem uma contra outra, ou quando umpeso é pendurado em uma mola, é comple-tamente diferente, porque o modo como oscorpos se comportam é algo completamentefora de qualquer grupo de definições. (12-1,Vol. 1)

Alguém pode ficar insatisfeito com a visãoaproximada da natureza que a física tenta

Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 40, nº 4, e4204, 2018 DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2018-0071

Karam e4204-9

obter (a tentativa é sempre aumentar a pre-cisão da aproximação), e pode preferir umadefinição matemática; mas definições mate-máticas nunca podem funcionar no mundoreal. (12-2, Vol. 1)

Já fizemos alguns comentários sobre a indeter-minação da mecânica quântica. Ou seja, quesomos incapazes de prever o que vai acontecerem física numa dada circunstância arranjadatão cuidadosamente quanto possível. Se te-mos um átomo que está num estado excitadoe portanto vai emitir um fóton, não podemosdizer quando ele vai emitir o fóton. Existeuma certa amplitude de emitir o fóton emqualquer instante e podemos apenas prever aprobabilidade de emissão; não podemos pre-ver o futuro exatamente. Isso originou todotipo de questões sem sentido sobre desejose liberdade e a noção de que o mundo sejaincerto. (2-9, Vol. 3)

4.2. Metacognição

Metacognição tem a ver com o conhecimento sobre nossospróprios processos cognitivos e a habilidade que temosde os monitorar. Nesse sentido, o texto de Feynman éextremamente metacognitivo, pois é repleto de tais refle-xões. O tempo todo, sentimos que estamos sendo guiadospor uma pessoa muito clara e honesta. Somos constan-temente informados sobre por que estamos procedendodessa forma, quais as limitações, que dificuldades existempara entendermos o conteúdo, o que é essencial entender,o que nos falta, onde estamos, para onde vamos, etc. Issotorna a leitura muito mais agradável e nossa relação coma física muito mais humana. As citações a seguir ilustramesse caráter metacognitivo do discurso de Feynman.

Esta discussão sobre vetores pode não es-tar completa. Entretanto, em vez de tentaraprofundar o tema agora, vamos primeiroaprender a usar, em situações físicas, algu-mas das idéias discutidas até então. Então,quando tivermos dominado apropriadamenteeste material básico, vamos achar mais fácilpenetrar mais profundamente no assunto semficarmos muito confusos. (11-11, Vol. 1)

Uma das razões do porque faremos essa aná-lise tão imperfeitamente é que a matemáticanecessária requer uma compreensão profundada teoria de probabilidades; não queremossaber onde cada átomo está de fato se mo-vendo, mas antes quantos se movem aqui e láem média, e qual a probabilidade de diferen-tes efeitos. Portanto esse assunto implica umconhecimento da teoria de probabilidade, ea nossa matemática ainda não está razoavel-

mente pronta e não queremos forçá-la muito.(39-1, Vol. 1)

Provavelmente, isso é a coisa mais complicadaque iremos fazer neste ano, mas é complicadoporque há muitas partes que têm que serunidas; cada parte, contudo, é muito simples.(31-1, Vol. 1)

Levará algum tempo até você entender o quepode acontecer em diferentes circunstâncias.Você terá de resolver as equações. Cada vezque resolver as equações, aprenderá algo so-bre o caráter das soluções. Para ter em menteestas soluções, é útil também estudar seusignificado em termos de linhas de campo eoutros conceitos. Desta forma, você realmente“entenderá” as equações. Esta é a diferençaentre a matemática e a física. Matemáticos,ou pessoas que possuem uma mente muitomatemática, geralmente se desencaminhamquando “estudam” física, porque perdem oaspecto físico. Eles dizem: “veja, estas equa-ções diferenciais – as equações de Maxwell– são tudo que existe na eletrodinâmica; osfísicos admitem que não há nada que não es-teja contido nestas equações. Estas equaçõessão complicadas, mas são apenas equaçõesmatemáticas e, se eu entendê-las matemati-camente em profundidade, entenderei a físicaem profundidade”. Todavia, as coisas não fun-cionam assim. Matemáticos que estudam fí-sica com este ponto de vista – e há muitosdeles – normalmente, fazem poucas contri-buições à física e, na verdade, poucas para amatemática. Eles falham porque as situaçõesfísicas no mundo real são tão complicadasque é necessário ter um conhecimento maisamplo das equações. (2-1, Vol. 2)

Outra evidência do caráter metacognitivo de Feyn-man é que com frequência ele parece antecipar nossasperguntas. Em diversos momentos ele questiona o leitor“mas agora você deve estar pensando:”, e muitas vezesele acerta nos deixando intrigados: “Mas era exatamenteisso que eu estava pensando! Como é que ele sabe?”. Issorevela um profundo conhecimento de Feynman sobreraciocínios plausíveis (mesmo que não corretos cientifi-camente) e uma sensibilidade de levá-los em conta noensino. Vejamos alguns exemplos:

Agora você diz: “Mas com quais eixos?” Istonão depende dos eixos, a resposta é a mesmapara qualquer conjunto de eixos. (11-7, Vol.1)

Obviamente podemos pensar se essa curvaé muito simples. E se usássemos uma curvareal? (13-5, Vol. 1)

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e4204-10 O que diferencia as Feynman lectures de livros tradicionais?

Então, a força é independente da distânciaa! Por quê? Fizemos um erro? Alguém podepensar que quanto mais distante formos, maisfraca a força deveria ser. Mas não! (13-8, Vol.1)Mas, para um pedaço de vidro, você poderiapensar: “Oh, não, você deve modificar tudoisso. Você deveria dizer que o atraso da ve-locidade é c/n”. Isso porém não é correto, etemos que entender o porquê. (31-1, Vol. 1)Você pode estar dizendo: “todo este negóciode fluxos e circulações é bastante abstrato. Oscampos elétricos estão em todos os pontos doespaço; então surgem estas “leis”. Mas o queestá acontecendo realmente? Por que isto nãopode ser explicado, por exemplo, pelo quequer que esteja acontecendo entre as cargas?”Bem, isto depende de seus preconceitos. (1-5,Vol. 2)Eu pedi para você imaginar estes campos elé-tricos e magnéticos. O que você faz? Vocêsabe como fazer? Como é que eu imagino oscampos elétricos e magnéticos? O que eu vejode verdade? Quais são as pretensões da ima-ginação científica? Existe alguma diferençaentre fazer isto e tentar imaginar que a salaestá repleta de anjos invisíveis?É necessário um grau muito maior de ima-ginação para entender os campos eletromag-néticos do que para entender anjos invisíveis.[...] Então você diz, “professor, por favor dêuma descrição aproximada das ondas eletro-magnéticas, mesmo que ela seja ligeiramenteincorreta, de modo que eu também possa vê-las tão bem como eu posso ver anjos quaseinvisíveis. Então eu posso modificar a figuracom a abstração necessária.”Sinto muito, mas não posso fazer isto paravocê. Eu não sei como fazer isto. Eu não tenhouma imagem do campo eletromagnético queseja correta de alguma maneira. (20-3, Vol.2)

Esta última citação é uma de minhas favoritas (Qualé a sua?). Ela é de uma honestidade incrível e nos trans-mite uma sensação de tranquilidade, uma vez que não sópercebemos que é natural procurar imagens e explicaçõesmecanicistas para a propagação de ondas eletromagnéti-cas no espaço, mas também que muitas vezes em físicasomos obrigados a abrir mão de certos modelos e imagenspróximos de nossa realidade imediata.

5. Considerações finais

• Princípios didáticos gerais

Iniciamos este artigo anunciando o objetivo de deduziralguns princípios didáticos das Feynman lectures. Os dezitens a seguir são uma tentativa inicial nessa direção. Semnenhuma pretensão de ser exaustiva, a lista foi formuladaem estilo prescritivo somente com o intuito de ser maisobjetiva.

1. Melhor resolver 1 problema de 4 maneiras diferentesdo que 4 problemas da mesma maneira;

2. Parta do simples ao complexo; do concreto ao abs-trato;

3. Quando possível, faça a matemática emergir desituações físicas;

4. Evite ao máximo argumentos autoritários como“esse é um teorema matemático”; Seja criativo,reinvente teoremas, faça suas próprias demonstra-ções;

5. Seja honesto com o estudante, reflita sobre as difi-culdades para se entender o conteúdo e explicite-asquando for ensinar;

6. Procure evidenciar conexões e analogias profundasentre assuntos aparentemente distintos;

7. O conhecimento físico não é dividido em caixas,mostre relações entre as áreas da física;

8. Preencha de fenomenologia todo e qualquer assuntoque for ensinar;

9. Não ensine somente física, mas também o que sig-nifica fazer física;

10. Seja metacognitivo em seu discurso; Explicite ondevocê está, onde quer chegar, como pretende chegarlá, quais são as possíveis armadilhas, etc.

• Feynman lectures como livro-texto?

Uma questão que se coloca com frequência em debatesacerca das lectures é se as mesmas devem ou não serutilizadas como livro-texto em cursos introdutórios defísica. Muitos defendem prontamente que não, argumen-tando que as lectures são ideais para quem já tem umsólido conhecimento de física e deseja entender as coi-sas de outra maneira, mas que não são adequadas parainiciantes. Com frequência, o argumento é baseado no“fato” de que, com o passar do tempo, os estudantes deníveis iniciais foram deixando de frequentar as lectures eforam sendo substuídos por alunos de pós-graduação emembros do corpo docente da Caltech. Trata-se de umalenda apresentada por Goodstein [5] e veementementerefutada por Sands [3].

De qualquer forma, julgo que o debate sobre as adotarou não como livro-texto não é muito produtivo. Comoprocuramos evidenciar neste artigo, a comparação dasFeynman lectures com livros-texto tradicionais nos mos-tra que se tratam de propostas didáticas com objetivosbastante distintos. Assim, antes de decidir que materialutilizar em um determinado curso, é preciso discutir edefinir seus objetivos formativos. É nesse contexto queGoodstein avalia o sucesso das lectures ([5], p. 70):

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Se seu propósito em ministrar as lectures foipreparar seus alunos para resolver problemascobrados em exames, ele provavelmente nãofoi muito bem sucedido [...] Se, entretanto,seu objetivo foi ilustrar, de maneira exemplar,como pensar e raciocinar em física, então, emtodas indicações, ele foi brilhante.

É claro que é ingênuo e simplista pensar que hajauma dicotomia entre compreensão conceitual e resoluçãode problemas, é mais do que sabido que ambos estãointimamente relacionados. Porém, é preciso distinguir osmeios dos fins. Acredito que para a maioria dos livrostradicionais, a resolução de problemas é um fim, enquantoque para Feynman, ela é um meio.

Talvez o maior desafio em adotar a proposta de Feyn-man, a qual prioriza uma profunda compreensão concei-tual e está repleta de discussões epistemológicas, sejalidar com as ansiedades inerentes ao risco de sairmos denossa zona de conforto. Sabemos muito bem seguir ummodelo de ensino que consiste em treinar alunos pararesolver problemas que serão cobrados em exames, fomosformados nessa tradição. Muito mais difícil é pensar quetipo de contrato didático estabelecer e como avaliar osobjetivos didáticos da proposta de Feynman.

• O que motivou Feynman a preparar e ministrar aslectures?

Outra questão interessante é a seguinte: Por que RichardFeynman, que no início da década de 60 já era um físicoconsagrado internacionalmente, resolveu dedicar tantotempo e esforço ao desenvolvimento de cursos para o nívelintrodutório? Existem várias explicações possíveis, entreelas a vaidade (Feynman adorava um palco). Mas, comoo próprio Feynman nos revela, a razão principal é queconseguir explicar de forma compreensível a alunos decursos introdutórios de física era seu principal indicadorde que ele realmente entendeu algo. Sendo assim, talvezo próprio Feynman seja quem tenha mais aprendido comsuas lectures. Trata-se de um grande incentivo, ou umbelo contra-exemplo, para aqueles que veem o ensinocomo um obstáculo para o desenvolvimento da pesquisa.

• A importância da obra de Feynman para o ensinode física: Menos metodologia, mais epistemologia

Durante uma de suas visitas ao Brasil, quase dez anosantes de ministrar as famosas lectures, Feynman resumiusua “filosofia pedagógica” da seguinte forma:

Em primeiro lugar, descubra por que querque os alunos aprendam o tema e o que querque saibam, e o método resultará mais oumenos por senso comum.

Claro que nesse caso “senso comum” é relativo. Dequalquer forma, o importante é entender o quão funda-mental é uma compreensão conceitual profunda da física

para pensar seu ensino, algo que tem sido negligenciadoem algumas pesquisas da área.

Um estudo que pretende identificar aspectos que ca-racterizem a qualidade didática das lectures de Feynmannão pode ser concluído, mas sim deixado de lado tempo-rariamente devido ao deadline para envio de trabalhosa esta edição especial. Sendo assim, mais do que umasingela homenagem a um ídolo e um dos maiores didatasda física de todos os tempos, este artigo é um conviteà comunidade para discutirmos a obra de Feynman demaneira mais sistemática. Podemos fazê-lo de uma formamuito simples: lendo capítulos das lectures e discutindocom nossos alunos, especialmente se forem licenciandosem física. Portanto, permitam-me formalizar este conviteparafraseando Laplace: Leiam Feynman, leiam Feynman,ele é o mestre de todos nós!

Agradecimentos

Agradeço ao Nelson Studart pelo convite, incentivo epaciência com os pedidos de extensão de prazo. Alémdo próprio Nelson, sou grato aos inúmeros colegas comos quais discuti sobre a qualidade das Feynman lectures,entre eles, Fabiana Kneubil, Manoel Robilotta, CarlosEduardo Aguiar, Ildeu de Castro Moreira, Steen Hansene Christian Joas; o que não significa, é claro, que elesconcordariam com tudo que está escrito no artigo. Por fim,agradeço ao Michael Gottlieb e à editora Hachette BookGroup pela permissão para reproduzir as figuras originais,todas retiradas da versão gratuita online disponível emwww.feynmanlectures.caltech.edu.

Referências

[1] R.A.S. Karam, Estruturação matemática do pensamentofísico no ensino: uma ferramenta teórica para analisarabordagens didáticas. Tese de Doutorado, Universidadede São Paulo, São Paulo (2012).

[2] R.A.S. Karam, Phys. Rev. ST Phys. Educ. Res. 10,010119 (2014).

[3] M. Sands, Physics Today 58, 49 (2005).[4] R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands, Lições de física

de Feynman: a edição definitiva. (Bookman, Porto Alegre,2008), v. 3, p. 1798.

[5] D. L. Goodstein, Physics Today 42, 70 (1989).

DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2018-0071 Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 40, nº 4, e4204, 2018