Oplossingsmethoden voor aftrekken tot 100 · CIP-GEGEVENS KONINKLIJKE BIBLIOTHEEK, DEN HAAG...

Oplossingsmethoden voor aftrekken tot 100

Citation for published version (APA):Kraemer, J. M. (2011). Oplossingsmethoden voor aftrekken tot 100. Technische Universiteit Eindhoven.https://doi.org/10.6100/IR721544

DOI:10.6100/IR721544

Document status and date:Gepubliceerd: 01/01/2011

Document Version:Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:www.tue.nl/taverne

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:[email protected] details and we will investigate your claim.

Download date: 16. Oct. 2020

https://doi.org/10.6100/IR721544

https://doi.org/10.6100/IR721544

https://research.tue.nl/nl/publications/oplossingsmethoden-voor-aftrekken-tot-100(934325ef-76d4-4dc2-9854-2631d88ca230).html

Oplossingsmethoden

voor aftrekken tot 100

Jean-Marie Kraemer

CIP-GEGEVENS KONINKLIJKE BIBLIOTHEEK, DEN HAAG

Kraemer, Jean-Marie

Oplossingsmethoden voor aftrekken tot 100 / Jean-Marie Kraemer

ISBN 978-90-5834-105-1

Trefw.: rekenen; didactiek

© Cito B.V. Arnhem (2011)

Niets uit dit werk mag zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van Cito B.V.

worden openbaar gemaakt en/of verveelvoudigd door middel van druk, fotokopie,

scanning, computersoftware of andere elektronische verveelvoudiging of

openbaarmaking, microfilm, geluidskopie, film- of videokopie of op welke wijze dan

ook.

All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or

transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or

otherwise, without the prior permission in writing from the proprietor(s).

Oplossingsmethoden

voor aftrekken tot 100

PROEFSCHRIFT

ter verkrijging van de graad van doctor aan de

Technische Universiteit Eindhoven, op gezag van de

rector magnificus, prof.dr.ir. C.J. van Duijn, voor een

commissie aangewezen door het College voor

Promoties in het openbaar te verdedigen

op dinsdag 20 december 2011 om 14.00 uur.

door

Jean-Marie Kraemer

geboren te Lindre-Haute, Frankrijk

Dit proefschrift is goedgekeurd door de promotor:

prof.dr. K.P.E. Gravemeijer

i

Inhoud

Hoofdstuk 1 Aanleiding en probleemstelling ..................................................... 1

1.1 Achtergrond ....................................................................................................................1 1.2 Hoofdrekenen en cijferen in de kerndoelen en de Proeve… .................................5

1.2.1 Typering van RW als leerstofgebied.............................................................5 1.2.2 Basisvaardigheden ...........................................................................................6 1.2.3 Typering van hoofdrekenen ..........................................................................6 1.2.4 De drie aangeboden hoofdrekenmethoden: rijgen, splitsen en

variarekenen .....................................................................................................7 1.2.5 Schattend rekenen ...........................................................................................8 1.2.6 Waardering van hoofdrekenen ......................................................................8 1.2.7 Didactiek en doorgaande lijn .........................................................................9

1.3 Aanleiding voor de systematische analyse van oplossingsprocedures bij aftrekken tot 100 ......................................................................................................... 10 1.3.1 Aanbod en rekenvaardigheid bij de derde PPON rekenpeiling

halverwege de basisschool (1997) .............................................................. 11 1.3.2 Ontwikkelingsgericht diagnosticeren en plannen met het LOVS ........ 14

1.4 Probleemstelling .......................................................................................................... 17

1.4.1 Leren rekenen als uitdrukking van numeriek denken ............................ 17 1.4.2 Reflectieve klassengesprekken (‘mathematical discours’) als

motor van de ontwikkeling ......................................................................... 22 1.4.3 Invloed van linguïstische en vormkenmerken van tekstuele

opgaven .......................................................................................................... 24 1.4.4 Conclusie ....................................................................................................... 25

1.5 Richtinggevende onderzoeksvragen en algemene opzet van de studie .............. 26 1.6 Relevantie van het onderzoek ................................................................................... 29

1.6.1 Vaktheoretische en vakdidactisch relevantie ........................................... 29 1.6.2 Praktische relevantie .................................................................................... 30

1.7 Indeling van de rapportage ........................................................................................ 31

Hoofdstuk 2 Hoofdrekenen en cijferen in het nationale realistischonderwijsprogramma ................................................................. 31

2.1 Inleiding ........................................................................................................................ 31 2.2 Internationale bezinning over de betekenis van rekenen op de basisschool

anno 1980 ..................................................................................................................... 32

2.2.1 De Amerikaanse Agenda for action ............................................................... 33 2.2.2 Het Engelse Cockcroft report ......................................................................... 34 2.2.3 Stille revolutie in Nederland ....................................................................... 35

2.3 Nederlandse koers: integratie van cijferen en de toepassingen met hoofdrekenen ............................................................................................................... 40

ii

2.4 Uitgangspunten voor het onderwijs in optellen en aftrekken van gehele getallen .......................................................................................................................... 43

2.5 Hoofdrekenen en cijferen in het realistische programma .................................... 45 2.5.1 Tellen .............................................................................................................. 46 2.5.2 Optellen en aftrekken tot 20 ...................................................................... 46 2.5.3 Optellen en aftrekken tot 100 .................................................................... 47 2.5.4 Kanttekeningen ............................................................................................. 53 2.5.5 Reacties van de ontwerpers op de reacties van de Nederlandse

experts ............................................................................................................ 54 2.6 Overeenkomsten en verschillen met het nieuwe curriculum in Engeland

en de V.S. ...................................................................................................................... 55 2.7 Samenvatting en conclusie ......................................................................................... 57

Hoofdstuk 3 Drie reconstructiedidactieken ..................................................... 59

3.1 Inleiding ........................................................................................................................ 59 3.2 Reconstructiedidactiek als vorm van domeinspecifiek ontwerpen ..................... 61 3.3 Uitwerking van de reconstructiedidactiek ............................................................... 63

3.3.1 Organiseren en systematiseren van de eigen rekenervaringen .............. 64 3.3.2 Encapsulation................................................................................................ 67 3.3.3 Didactische hulpmiddelen .......................................................................... 68 3.3.4 Samenvattende conclusie ............................................................................ 70

3.4 Didactische variant 1: de TAL didactiek ................................................................ 70

3.4.1 Theoretisch kader ......................................................................................... 70 3.4.2 TAL-didactiek ............................................................................................... 74 3.4.3 Kritische kanttekeningen binnen de eigen kleine en grote kring ......... 81

3.5 Didactische variant 2: probleemoplossende didactiek ......................................... 82 3.5.1 Theoretisch kader ......................................................................................... 82 3.5.2 Didactische aanpak van rekenen tot honderd ......................................... 93 3.5.3 Kernkwesties met betrekking tot aftrekken ............................................. 95

3.6 Didactische variant 3: Amerikaanse realistische didactiek ................................... 97 3.6.1 Theoretisch kader ......................................................................................... 98 3.6.2 Didactiek ...................................................................................................... 101

3.7 Afsluiting, drie stijlen van geleid uitvinden ........................................................... 106

3.8 Profiel van de drie stijlen van geleid uitvinden .................................................... 107 3.8.1 Algemeen doel ............................................................................................ 107 3.8.2 Leerstofordening ........................................................................................ 108 3.8.3 Macro structuur van verticaal mathematiseren ..................................... 110 3.8.4 Didactische middelen ................................................................................ 110

3.9 Conclusie en aandachtspunten voor de classificatieproblematiek .................... 111

Hoofdstuk 4 Classificatiesysteem ................................................................... 113

4.1 Inleiding ...................................................................................................................... 113 4.2 Belang van het onderscheid tussen ‘rekenstrategie’ en ‘rekenmethode'........... 114

4.3 Ambiguïteit van variarekenen ................................................................................. 121 4.4 Abstractieproces ........................................................................................................ 123

4.5 Structuur van de sequentie ...................................................................................... 124

iii

4.6 Methoden, niveaus en vormen van hoofdrekenen .............................................. 125 4.6.1 Drie hoofdrekenmethoden: rijgen, splitsen en beredeneren ............... 125 4.6.2 Verticale mathematisering van direct modelleren ................................. 127 4.6.3 Verticale mathematisering van tellen/meten met eenheden van

‘Tien’ en ‘Één’ ............................................................................................. 128 4.6.4 Verticale mathematisering van puzzelen met geheugenfeiten ............ 129

4.7 Classificatiesysteem ................................................................................................... 129 4.8 Terugblik en vooruitblik .......................................................................................... 130

Hoofdstuk 5 Opzet en instrumentatie van het onderzoek .............................. 133

5.1 Inleiding ...................................................................................................................... 133

5.2 Achtergrond en opzet van de 4e PPON rekenpeiling ......................................... 134 5.2.1 Doelen van PPON ..................................................................................... 134 5.2.2 Getoetste kennis, inzichten en vaardigheden ........................................ 134 5.2.3 Opzet van de 4e PPON ............................................................................. 137 5.2.4. Analyse van de resultaten van het PPON- en LVS-onderzoek .......... 140

5.3 Methode, opzet en instrumentatie van het onderzoek naar oplossingsmethoden ................................................................................................. 141

5.3.1 Directe observatie van oplossingsmethoden ......................................... 141 5.3.2 Voortgangsgegevens ter bevordering van objectiviteit ........................ 143 5.3.3 Instrumentatie ............................................................................................. 143 5.3.4 Opgavenkenmerken ................................................................................... 146 5.3.5 Afnameprocedure ....................................................................................... 150 5.3.6 Digitale registratie, codering en interbetrouwbaarheid ........................ 152

5.4 Hoofdvragen en –analyses van de drie deelstudies ............................................. 154

Hoofdstuk 6 Vaardigheidsniveaus en bouwstenen halverwege de basisschool ................................................................................................. 157

6.1 Inleiding ...................................................................................................................... 157 6.2 Vaardigheidsniveau in het getalgebied onder de honderd .................................. 158

6.2.1 Ontwikkelingsniveaus binnen de laagste vaardigheidsgroep (≤P33) .......................................................................................................... 158

6.2.2 Ontwikkelingsniveaus binnen middelste vaardigheidsgroep (P33-P66) ............................................................................................................... 167

6.2.3 Ontwikkelingsniveaus binnen de hoogste vaardigheidsgroep (>P66) .......................................................................................................... 175

6.3 Vaardigheidsniveau bij elementair hoofdrekenen onder de duizend ............... 179

6.3.1 Niveau van de laagste vaardigheidsgroep ............................................... 179 6.3.2 Niveau van de middengroep .................................................................... 182 6.3.3 Niveau van de hoogste vaardigheidsgroep ............................................. 183 6.3.4 Conclusie ..................................................................................................... 186

6.4 Onderwijsresultaten en aanbod van de leraar....................................................... 186 6.4.1 Gebruikte rekenmethoden en omgang met de eigen methode .......... 187 6.4.2 Toegepaste differentiatie ........................................................................... 188 6.4.3 Introductie en vorm van algoritmisch rekenen ..................................... 189 6.4.4 Conclusie ..................................................................................................... 189

iv

Hoofdstuk 7 Gebruikte methoden en vormen van aftrekken .......................... 191

7.1 Inleiding ...................................................................................................................... 191 7.2 Gebruikte methoden ................................................................................................. 192

7.2.1 Gebruiksfrequentie .................................................................................... 192 7.2.2 Succes ........................................................................................................... 193 7.2.3 Patroon ......................................................................................................... 195

7.3 Hoe leerlingen rijgen ................................................................................................. 196 7.3.1 Rijgcondities ................................................................................................ 196 7.3.2 Vormen van rijgen...................................................................................... 198 7.3.3 Gebruikspatroon en succes per niveau van rijgen ................................ 198 7.3.4 Patroon en voorlopige conclusie ............................................................. 201

7.4 Hoe leerlingen splitsen ............................................................................................. 202 7.4.1 Splitscondities ............................................................................................. 202 7.4.2 Rekenvormen .............................................................................................. 204 7.4.3 Gebruiksfrequentie en succes per niveau van splitsen ......................... 204 7.4.4 Patroon en voorlopige conclusie ............................................................. 207

7.5 Hoe leerlingen beredeneren ..................................................................................... 208 7.5.1 Beredeneercondities ................................................................................... 208 7.5.2 Rekenvormen .............................................................................................. 209 7.5.3 Gebruiksfrequentie en succes per niveau van beredeneren ................ 209 7.5.4 Voorlopige conclusie ................................................................................. 210

7.6 Weten .......................................................................................................................... 211

7.6.1 Indirect optelfeit en aftrekfeit als antwoord .......................................... 211 7.6.2 Frequentie, succes en conclusie ............................................................... 212

7.7 Eerste balans van de modernisering ...................................................................... 213 7.8 Staalkaart van oplossingen ....................................................................................... 218

7.8.1 Rijgen ............................................................................................................ 219 7.8.2 Splitsen ......................................................................................................... 223 7.8.3 Beredeneren................................................................................................. 227 7.8.4 Weten ........................................................................................................... 232

Hoofdstuk 8 Omgang met de context en de getallen .................................... 235

8.1 lnleiding ....................................................................................................................... 235 8.2 Combinatie van de hoofdrekenmethode met de aftrekstrategie ....................... 237 8.3 Invloed van de context en de getallen van de gemaakte set opgaven .............. 241

8.3.1 Relatie tussen de verschijningsvorm (c.q. betekenis) van aftrekken en het strategiegebruik ............................................................. 242

8.3.2 Relatie tussen de orde van grootte van het verschil tussen de getallen en het strategiegebruik ................................................................ 244

8.3.3 Patroon ......................................................................................................... 246 8.4 Interactie tussen de betekenis van aftrekken en de relatie tussen de

getallen van de opgave .............................................................................................. 246

8.4.1 Groep Laag .................................................................................................. 247 8.4.2 Groep Midden ............................................................................................ 249 8.4.3 Groep Hoog ................................................................................................ 250

v

8.4.4 Conclusie ..................................................................................................... 252 8.5 Relatie tussen het vaardigheidsniveau, het strategiegebruik en het succes

bij aftrekken................................................................................................................ 253 8.5.1 Relatie tussen vaardigheidsniveau en strategiegebruik ......................... 254 8.5.2 Relatie tussen vaardigheidsniveau en succes .......................................... 255 8.5.3 Conclusie ..................................................................................................... 256

8.6 Terugblik en afsluitende conclusie ......................................................................... 257 8.6.1 Beeld van de omgang met de context en de getallen ........................... 257 8.6.2 Tweede voorlopige balans van realistisch hoofdrekenen .................... 259

Hoofdstuk 9 Staalkaart van de gemaakte fouten............................................ 263

9.1 Inleiding ...................................................................................................................... 263 9.2 Frequentieverdeling van de drie klassen fouten ................................................... 264 9.3 Foutieve schematisering ........................................................................................... 266 9.4 Bewerkingsfouten bij rijgen ..................................................................................... 267

9.4.1 Begripsfouten .............................................................................................. 268 9.4.2 Foutieve basisoperaties .............................................................................. 270 9.4.3 Overige fouten ............................................................................................ 270 9.4.4 Conclusie ..................................................................................................... 271

9.5 Bewerkingsfouten bij splitsen ................................................................................. 273 9.5.1 Begripsfouten .............................................................................................. 274 9.5.2 Basisoperaties .............................................................................................. 276 9.5.3. Overige fouten ............................................................................................ 276 9.5.4 Conclusie ..................................................................................................... 277

9.6 Bewerkingsfouten bij beredeneren ......................................................................... 280 9.6.1 Begripsfouten .............................................................................................. 280 9.6.2 Basisoperaties .............................................................................................. 282 9.6.3 Overige fouten ............................................................................................ 282 9.6.4 Conclusie ..................................................................................................... 282

9.7 Samenvattend overzicht van de structurele fouten ............................................. 284 9.7.1 Hoofdresultaten van de foutenanalyse ................................................... 284 9.7.2 Relatie met de didactiek, evaluatie en organisatie van het

leerproces ..................................................................................................... 285

Hoofdstuk 10 Balans van rijgen, splitsen en beredeneren .............................. 291

10.1 Inleiding ...................................................................................................................... 291

10.2 Rijgen ........................................................................................................................... 291

10.2.1 Sterke kanten van het rijgen ..................................................................... 291 10.2.2 Zwakke kanten van het rijgen .................................................................. 293 10.2.3 Balans van het rijgen .................................................................................. 294

10.3 Splitsen ....................................................................................................................... 294 10.3.1 Sterke kanten van het splitsen .................................................................. 294 10.3.2 Zwakke kanten van het splitsen ............................................................... 294 10.3.3 Balans van het splitsen .............................................................................. 295

10.4. Beredeneren ............................................................................................................... 296 10.4.1 Sterke punten van het beredeneerd aftrekken ....................................... 296

vi

10.4.2 Zwakke punten van het beredeneerd aftrekken .................................... 297 10.4.3 Balans van het beredeneerd aftrekken .................................................... 298

10.5 Ontwikkelingspatroon .............................................................................................. 299

Hoofdstuk 11 Discussie ................................................................................... 301

11.1 Inleiding ...................................................................................................................... 301 11.2 Interpretatie van wat er bij aftrekken onder de honderd/duizend gebeurt .... 302

11.2.1 Beweegredenen van de leerlingen ........................................................... 302 11.2.2 Omgang van de leraar met de houding en gedragspatronen van

de leerlingen ................................................................................................ 305 11.3 Discussie: realistische kleuring van geleid uitvinden ........................................... 307

11.3.1 Algemeen doel (focus) ............................................................................... 307 11.3.2 Leerstofstructuur ........................................................................................ 309 11.3.3 Structurering van de verticale mathematisering van tellen-meten-

rekenen ......................................................................................................... 311 11.3.4 Rol van contextproblemen, leermiddelen en individuele

constructies .................................................................................................. 312 11.3.5 Gebruik van de samenwerking en communicatie in de groep ............ 314

11.4 Opbrengst ................................................................................................................... 315

11.4.1 Onderzoektheoretische opbrengst .......................................................... 315 11.4.2 Praktische bijdrage ..................................................................................... 316

11.5 Beperkingen ............................................................................................................... 317

11.6 Aanbevelingen ........................................................................................................... 318

Literatuur .......................................................................................................... 319

Appendix ......................................................................................................... 343

Summary .......................................................................................................... 353

Curriculum Vitae ............................................................................................. 359

1

Voorwoord

Deze studie wortelt in mijn eerste Nederlandse beroepservaring als ontwerper van

meetkundige activiteiten voor de methode Rekenen-wiskunde. Dit avontuur, in

gezelschap van Frans van Galen, Toon Meeuwisse, Willem Vermeulen en Lida

Gravemeijer onder de uitdagende leiding van Koeno Gravemeijer, heeft mijn horizon

geopend.

Het spanningsveld tussen recht doen aan de individuele leerling en leerkracht en

het objectief vaststellen en analyseren van leerprestaties ter bevordering van de

kwaliteit van het onderwijsleerproces, maakt het werk op Cito zo bijzonder. Koeno

Gravemeijer en Norman Verhelst hebben mij helpen nadenken over wat een juiste

balans zou kunnen zijn. Koeno Gravemeijer was de mentor van het eerste uur.

Sindsdien wist hij in inspirerende discussies complexe kwesties terug te brengen tot

‘big ideas’ die zicht gaven op nieuwe perspectieven. Dit “discours continu” heeft mijn

denken gevormd en dit proefschrift uitgelokt.

Dat mijn dagelijks werk zo spannend en verrijkend werd is aan drie directe

collega’s van de sectie Cito/Primair Onderwijs te danken. Fons Moelands gaf de

opdrachten waarin ik me kon uitleven en hield me in de boeien als klankbord en als

advocaat van de duivel. Frank van der Schoot gaf de sectie Rekenen-wiskunde het

vertrouwen, de ruimte en de middelen om kwalitatief onderzoek met de periodieke

peilingen te integreren. Jan Janssen zorgde voor de integratie van de projecten, de

infrastructuur en bood alle steun om de ondernomen werkzaamheden tot een goed

einde te brengen.

Floor Scheltens en Maayke van Schijndel hebben de ondankbare maar

onontbeerlijke coderingstaak uitgevoerd voor het vaststellen van de betrouwbaarheid

van het classificatiesysteem waarop alle kwalitatieve analyses van deze studie berusten.

Jean-Marie Reits was de grote broer die via Skype een oogje in het zeiltje hield en

voor de nodige afleiding en relativering zorgde.

Rosaline Hoogstraate en Tessa Kraemer hebben het concept redactioneel

verbeterd. Een collectief van Nederlandse en Portugese vrienden en collega’s heeft het

manuscript en de uitgave gerealiseerd. Mario Baia was de drijvende kracht, Frank van

der Schoot de onmisbare corrector. Joana Brocardo, Fatima Mendes en Catarina

Delgado hebben de bibliografie weten te reconstrueren. Jan van Weerden slaagde erin

met de assistentie van Johan Cremers en Berend Kemper om onder lastige

omstandigheden en grote tijdsdruk deze uitgave mogelijk te maken.

Joana Brocardo heeft in de loop van het project ‘These’ moeten toezien hoe een

proefschrift in een andere taal en cultuur, met vallen en opstaan en onverwachte

omwentelingen, tot stand kwam. Haar vertrouwen en geduld hebben mij in belangrijke

mate de energie gegeven om dit project af te ronden.

Dokter Hussain Roshani heeft mijn pad gekruist. Dit boek is aan hem te danken.

Het wordt opgedragen aan mijn dochters Tessa en Sabine die zin gaven in ‘morgen’.

1

Hoofdstuk 1

Aanleiding en probleemstelling

1.1 Achtergrond

‘Rekenen vind ik het stomste vak van de wereld’. Dit schreef de tienjarige Martijn de Jong,

begin jaren tachtig, in zijn ingezonden brief in de rubriek “Piepschuim” in de

Volkskrant1. De paar aanwijzingen die hij geeft, roepen bij Treffers (1991b) het beeld

op van het traditioneel rekenonderwijs dat toen op de meeste lagere scholen werd

gegeven, met methoden als Naar Zelfstandig Rekenen. Martijn zit in een ‘speciale groep’

met andere leerlingen die ‘in de kleuterschool al alles af hadden’. Hij mocht daarom

‘met de stof van de eerste klas beginnen’. Dit typeert de toegepaste differentiatie naar

niveau en/of tempo. Het aanbod was voor iedereen hetzelfde. Er werd alleen meer of

minder geoefend en dus meer of minder leertijd aan besteed. De leerstof werd in

kleine stukjes aangeboden. Er werd erg veel gecijferd, in drie van de vijf lessen in klas

3 (groep 5). Leerlingen maakten in klas 3 en 4 zo’n 10000 rekensommen. Het waren

vooral ‘kale’ sommen, per soort en toenemende mate van complexiteit aangeboden,

om van deelgeval tot deelgeval het eindalgoritme naar zijn hand te zetten. De

toepassingsproblemen waren aangeklede rekenopgaven, bedoeld om de juiste som te

abstraheren en de getallen volgens de voorschriften van het geleerde algoritme te

bewerken. Met dit onderwijs raakten leerlingen ingesteld op trucs, routines en regels

en werden zij in die zin in hun geestelijke ontwikkeling belemmerd.

‘Groep 4 is het stomste jaar qua rekenen’, zei Ylja, vijfentwintig jaar later, toen Marja van

de Heuvel-Panhuizen (2005) aan haar en haar tweelingzus Joni vroeg wat in het

rekenonderwijs van ‘nu’ zou kunnen worden verbeterd. Ze zitten dan in jaargroep 7

en brengen de frustratie perfect onder woorden die ze in de middenbouw hebben

opgelopen. Ze mochten toen nog niet ‘cijferen’, dat wil zeggen, onder elkaar rekenen,

volgens de voorschriften van de vier algoritmen. Ylja heeft zich heel behoorlijk aan de

eenzijdigheid van optellen en aftrekken met sprongen op een getallenlijn - de nieuwe

1 Deze anekdote en de bijbehorende schets van het traditionele cijferonderwijs zijn ontleend aan

Gravemeijer (1988, 11). Zie ook Treffers (1985) en De Jong (1986).

Hoofdstuk 1

2

manier van rekenen onder de honderd - geërgerd. ‘Je moest per se met de getallenlijn’,

terwijl de getallenlijn, volgens Joni, juist bedoeld is ‘voor de kinderen die het niet zo

goed kunnen’. ‘Er zat zo weinig afwisseling in’, licht Ylja even later toe. ‘Die

getallenlijn is voor sommige kinderen heel duidelijk, (…), maar zo gauw jij ‘een andere

manier kent om zulke sommen uit te rekenen’ - en ‘die sneller gaat’, vult Joni aan - ‘is

die getallenlijn niet meer nodig’. Ylja doelt op cijferen. Terugblikkend, schetsen Ylja’s

en Joni’s ideale traject vanaf jaargroep 4: eerst rekenen met sprongen op de lege

getallenlijn, dan in groep 5 overschakelen naar rekenen ‘tussen strepen’2, dan op

dezelfde manier maar onder elkaar in groep 63 en ten slotte met cijfers in groep 7.

Tussen de ingezonden brief van Martijn en het interview met Ylja en Joni is het

rekenonderwijs niet alleen in Nederland, maar ook wereldwijd radicaal veranderd.

Deze vernieuwing vormt de achtergrond van deze studie. Ylja’s en Joni’s ideale

leertraject geeft de oplossing weer die Nederlandse didactici hebben gevonden voor

het traditionele (cijfer)onderwijs, dat in diskrediet was geraakt. Wat vormde ‘toen’ het

probleem? En: hoe werd het ‘hier’ opgelost?

Begin jaren tachtig vormt de nadruk die op de lagere school op het cijferen wordt

gelegd om drie hoofdredenen een probleem. Het neemt veel leertijd in beslag, maar de

resultaten zijn niet navenant. Menig scholier krijgt het eindalgoritme niet onder de

knie (Treffers, 1982a; 1982b; Fuson, 1992). Leerlingen passen bovendien de geleerde

algoritmen niet vanzelfsprekend toe; vaak omdat ze een eigen, informele

oplossingsweg volgen die past bij het beeld dat ze zich van het probleem hebben

gevormd en/of bij wat ze ‘in de getallen’ zien (Fuson, 1992). De zakrekenmachine

maakt ten slotte de complexere cijferbewerkingen overbodig. Is het dan, vanuit de

samenleving, de leerling en wiskunde als vakgebied bezien, nog langer verantwoord

om het routinematig rekenen met de vier algoritmen tot de basisvaardigheden te

beschouwen? Kan het niet beter worden afgeschaft? (Plunkett, 1979; Papert, 1980;

Levin, 1981). Of, kan men er minder aandacht aan besteden en het accent op de

ontwikkeling en het verstandig gebruik van de rekenvaardigheden leggen, waar de

contexten van de leef- en beroepswereld een beroep op doen, zoals globaal rekenen

(schatten), rekenen uit het hoofd (flexibel hoofdrekenen) en rekenen met de zakrekenmachine?

(N.T.C.M., 1980; Cockcroft, 1982).

In tegenstelling tot de Verenigde Staten heeft hoofdrekenen in Nederland altijd een

eigen plaats in het rekencurriculum gehad. In het begin van de 20e eeuw werd het

opgevat en onderwezen als niet-schriftelijk rekenen - rekenen-uit-het-hoofd – (Treffers,

1991b). Versluijs verruimde deze enge betekenis van hoofdrekenen tot een vorm van

handig rekenen waarvan men de berekeningen verkort, veelal inspelend op de

mogelijkheden die de getallen bieden (ibid, 2). Dit werd meestal naast het cijferen

geleerd, de routinematige, voorgeschreven manier van rekenen met eenheden,

2 Het zogenoemde splitsend hoofdrekenen tussen positielijnen dat in paragraaf 1.2.4 wordt gepresenteerd.

3 Het zogenoemde kolomsgewijs rekenen – de overgangsvorm naar cijferen (zie paragraaf 1.2.4.).


3

tientallen, etc. (zie de methode Fundamenteel rekenen). Hoofdrekenen fungeerde echter

soms ook als oriëntatie in de decimaal-positionele optelen aftrekrelaties (zie de

methode Functioneel Rekenen). Het is zelfs schriftelijk ‘kolomsgewijs’ geschematiseerd,

als tussenvorm in de richting van de cijferalgoritmen. Vanuit die traditie stelt Treffers

(1983) voor om de dichotomie hoofdrekenen versus cijferen op te heffen door cijferen

met hoofdrekenen te integreren. Men kon hierbij teruggrijpen op het principe dat het

Wiskobasteam in de tweede helft van de jaren zeventig voor ‘wiskundig’ leren cijferen

had bedacht (de Jong, 1977) binnen haar brede opdracht een alternatief te ontwikkelen

voor het traditionele rekenonderwijs dat in scholen als die van Martijn werd

gepraktiseerd – het zogenoemde ‘realistisch’ rekenen.

Deze integratie van cijferen met hoofdrekenen is ontwikkeld en uitgewerkt in de

laatste twintig jaar van de vorige eeuw4 onder de auspiciën van de Nederlandse

Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-Wiskunde Onderwijs (NVORWO)5,

binnen de context van de hierboven besproken internationale bezinning over de

basisvaardigheden. Begin jaren tachtig moest de overheid het innovatiebeleid van de

scholen centraal sturen om de politieke verantwoordelijkheid te kunnen dragen voor

de twee doelen van de basisschool die in 1985 zijn ingevoerd: enerzijds de continuïteit

in het onderwijsprogramma (inhoudelijke vernieuwing via doorgaande leerlijnen),

anderzijds de ononderbroken ontwikkeling van de leerling tussen 4 en 11 jaar

(structureel-organisatorische vernieuwing via de leerlingenzorg en het voorkomen van

de uitstroom in het speciaal onderwijs) (Doornbos, 1985).

Een unieke samenloop van omstandigheden heeft de voortgezette vernieuwing van

de inhoud en de didactiek van ‘rekenen’ binnen wat voortaan in Nederland ‘rekenen

en wiskunde’ (RW) en reken-wiskundeonderwijs (RWO) zal heten aangewakkerd en

bevorderd. Het mondde uit in de uitgave van de zogenoemde Proeve van een Nationaal

Programma voor het Reken-wiskundeonderwijs op de basisschool (voortaan aangeduid met

Proeve…) dat vanaf 1990 als baken is gebruikt voor de ontwikkeling van de derde en

vierde generatie realistische methoden die bij de onderhavige studie van hoofdrekenen

zijn betrokken. Hoe is dit mogelijk geweest in een land waar de pedagogische of

levensbeschouwelijke identiteit zo hoog in het vaandel staat?

De Projectgroep Leerplanontwikkeling Basisschool (pg LOB) die begin jaren

tachtig was ingesteld om een valide leerplan op te stellen na raadpleging van

vakdeskundigen en deskundigen uit de onderwijspraktijk6, slaagde daar niet in. Het

lag niet aan verschillen in visie op onderwijs. De pg LOB kwam gewoon tijd tekort

om voor alle vakken plannen uit te werken en de inhoud ervan in de praktijk te

toetsen. Bovendien verzetten confessionele politici en besturen van bijzondere

4 Raadpleeg hoofdstuk 2 voor de historische reconstructie van dit proces. 5 Deze vereniging is opgericht in 1982. Het biedt onderdak aan mensen met verschillende achtergronden

en opvattingen: theoretici en practici, onderzoekers, ontwikkelaars van onderwijsmethoden en toetsen, Pabo-docenten, schoolbegeleiders en ook basisschoolleraren.

6 Van Die’s (2010) historische reconstructie van deze onderwijspolitieke ontwikkelingen wordt hier geparafraseerd.

Hoofdstuk 1

4

scholen zich tegen wat zij centralisme en staatspolitiek noemden. In 1984 waren de

condities wat het vak RW betreft gunstiger dan ooit. De Wiskobasvisie, principes en

producten werden breed gedragen in het onderwijsveld en in vier nieuwe realistische

methoden verwerkt, die ruim een kwart van de basisscholen had ingevoerd7. De

overige scholen gebruikten een van de overgebleven traditioneel-mechanistische

methoden of een nieuwe methode met een traditionele inslag zoals Naar Zelfstandig

Rekenen (de Jong, 1985, 20). De pg LOB stond achter de Wiskobas-typering van RW

als nieuw leergebied. De beschreven leerstof in haar publicatie ‘Wat krijgen ze op de

basisschool?’ kwam bovendien sterk overeen met de inhoudelijke kernpunten van RW

op de basisschool die de voormalige Wiskobas-leden voor ogen stonden.

In die omstandigheden namen Treffers en de Moor (1984) het initiatief om, onder

de paraplu van de NVORWO, een realistisch leerplan te ontwikkelen. Het werd vanuit

het innovatieve standpunt van de overheid als volgt gemotiveerd:

Het doel van deze publicatie is een zekere homogenisering in het reken-

wiskundeonderwijs te bereiken, en gunstige condities te scheppen voor

opleiding, nascholing, begeleiding, ontwikkeling en onderzoek, en de

samenhang ertussen (p. 7).

In hun werkboek ‘Tien voor rekenen-wiskunde op de basisschool’ staat dat de status van

het nationale plan meer zou moeten zijn dan louter die van een aanbeveling. De

initiatiefnemers rekenden op een legitimering via de door Wiskobas geïnspireerde

omschrijving van ‘rekenen en wiskunde’ in de wet op het basisonderwijs (artikel 9)

(ibid. 6). De inhoudelijke kernpunten van het werkboek werden in de tweede helft van

de jaren tachtig programmatisch uitgewerkt, daarbij rekening houdend met de

formulering van de zogenoemde ‘eindtermen’ van de door de minister van OCW

ingestelde landelijke ontwikkelingsgroep8. Deel 1 van de Proeve... (Treffers, de Moor &

Feijs, 1989) verschijnt eind jaren tachtig. Het oriënteert de gebruikers in de domeinen,

doelstellingen en didactiek van RW op de basisschool en geeft een overzicht van de

algemene en concrete doelen die met honderd opgaven worden geïllustreerd. Een jaar

later verschijnt deel 2 (Treffers & de Moor, 1990) over de basisvaardigheden en

cijferen. Het eindtermenvoorstel van de ontwerpers van de voorlopige eindtermen

werd in 1989 ingediend. Vier jaar later kwamen de kerndoelen hieruit voort. Ze kregen

een wettelijke status met de publicatie van het ‘Besluit Kerndoelen voor het

Basisonderwijs’ in de Staatscourant (OCW, 1993). Terugspiegelend over de betekenis

van de kerndoelen voor de vernieuwing van het RWO, merkt van Die (2010, 19) op

dat de twee delen van de Proeve … vier jaar te vroeg waren verschenen om de

7 Gedoeld wordt op Operatoir Rekenen – nieuw en op de drie eerste realistische methoden De Wereld in Getallen, Rekenen en Wiskunde en het Utrechts Reken-wiskundeprogramma.

8 Deze groep bestond uit medewerkers van de Stichting Leerplanontwikkeling (SLO), de vakgroep Onderzoek Wiskundeonderwijs en Onderwijs Computercentrum (OW & OC) van de Rijksuniversiteit te Utrecht en het Centraal Instituut voor Toetsontwikkeling (Cito).


5

verwachte legitimering te krijgen. Via de formele grondslag van de kerndoelen

fungeren echter deel 1 en 2 van de Proeve…, vanaf 1990, als bakens voor onderzoek,

methode- en toetsontwikkeling, opleiding en begeleiding, precies zoals de

Wiskobaspublicaties in de jaren tachtig als richtlijnen fungeerden voor het

onderwijsveld.

1.2 Hoofdrekenen en cijferen in de kerndoelen en de Proeve…

Wat houdt de door Treffers en de Moor aanbevolen integratie van cijferen met

hoofdrekenen in de praktijk van de basisschool in? Om daar antwoord op te kunnen

geven, raadplegen we eerst de kerndoelen 1998 (OCW, 1998) die nauwelijks afwijken

van de formulering van 1992. Tegen deze wettelijke achtergrond maken we kennis

met de drie vormen van hoofdrekenen en de doorgaande lijn die door het programma

van de basisschool is getrokken.

1.2.1 Typering van RW als leerstofgebied

In de kerndoelen 1998 (OC & W, 1998, p. 41) wordt rekenen-wiskunde als volgt

getypeerd:

Het onderwijs in rekenen/wiskunde is erop gericht dat de leerlingen:

– verbindingen kunnen leggen tussen het onderwijs in rekenen/wiskunde

en hun dagelijkse leefwereld;

– basisvaardigheden verwerven, eenvoudige wiskundetaal begrijpen en

toepassen in praktische situaties;

– reflecteren op eigen wiskundige activiteiten en resultaten daarvan op

juistheid controleren;

– eenvoudige verbanden, regels, patronen en structuren opsporen;

– onderzoeks- en redeneerstrategieën in eigen woorden kunnen

beschrijven en gebruiken.

Bovenstaande algemene doelen geven de essentie weer van het leergebied. Uit de

historische reconstructie van hoofdstuk 2 zal blijken dat ze zijn afgeleid uit Treffers’

integrale en mathematische doelen (Van Die, 2010). Ze vormen feitelijk het cement

tussen de geformuleerde kerndoelen, dat de domeinen in een samenhangend

leerstofaanbod met elkaar integreert.

Hoofdstuk 1

6

1.2.2 Basisvaardigheden

Onderstaande opsomming (ibid. 41) geeft een overzicht van de basisvaardigheden die

betrokken zijn bij het kernonderwerp van deze dissertatie – aftrekken binnen

hoofdrekenen onder de honderd:

– De leerlingen kunnen met wisselende eenheden tellen en terugtellen (leerdoel

1).

– De leerlingen kennen uit het hoofd optelen vermenigvuldigtafels tot tien

(leerdoel 2).

– De leerlingen kunnen eenvoudige hoofdrekenopgaven vlot uitrekenen, waarbij

ze verschillende bewerkingen inzichtelijk toepassen (leerdoel 3).

– De leerlingen kunnen schattend rekenen, waarbij ze de uitkomst globaal

bepalen (leerdoel 4).

– De leerlingen hebben inzicht in de structuur van de gehele getallen (leerdoel

5).

– De leerlingen kunnen een eenvoudige, niet in wiskundige taal aangeboden

probleemstelling zelf in wiskundige termen omzetten (leerdoel 6).

– De leerlingen kunnen de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen

en delen volgens standaardprocedures of varianten daarvan uitvoeren en in

eenvoudige situaties toepassen.

Hoofdrekenen oriënteert in en geeft toegang tot cijferen. Deze vaardigheid wordt

in de kerndoelen 1998 als volgt aangeduid:

De leerlingen kunnen de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen

en delen volgens standaardprocedures of varianten daarvan uitvoeren en in

eenvoudige situaties toepassen.

1.2.3 Typering van hoofdrekenen

Onderstaand citaat geeft weer hoe Treffers en de Moor (1990) hoofdrekenen in de

Proeve … typeren:

Hoofdrekenen staat in de vakdidactiek niet voor rekenen-uit-het-hoofd als

tegenstelling tot rekenen-op-schrift, maar geldt van oudsher als de

tegenvoeter van het cijferen, als flexibel rekenen versus rekenen volgens

standaardmethoden (…) en wel in die zin dat daarbij efficiënt gebruik wordt

gemaakt van parate kennis, rekenwetten, bijzonderheden van getallen en

relaties ertussen.


7

Refererend naar Paulos (1988) en Van der Blij (1987), associeert Treffers (1989, 8)

in zijn oratie hoofdrekenen met een zeker begrip van en gevoel voor getallen9, dat tot

uidrukking komt in het passend en flexibel gebruik van globale methoden (schatten)

en methoden van precies hoofdrekenen. Met het probleem van Hans illustreert hij de

gecijferdheid en de basisvaardigheden waar basisschoolleraren zich bij het rekenen tot

honderd voortaan op moeten richten.

1.2.4 De drie aangeboden hoofdrekenmethoden: rijgen, splitsen en

variarekenen

Hans maakt een tocht van 75 km. Na 48 km rust hij even. Hoeveel kilometer moet hij

na zijn pauze nog afleggen? Leerlingen kunnen de verwachte precieze afstand op vier

rekenmanieren uitrekenen, volgens de oplossingsprocedures van figuur 1.1 en 1.2.

Treffers doelt op:

– de zogeheten rijgmethode, waarbij een getal in stapjes van een ander getal

wordt afgehaald of bijgeteld (rekenen-op-rij);

– de methode van het splitsen van tientallen en eenheden en

– redeneermethoden, waarbij de leerling gebruik maakt van de eigenschappen

van optellen en aftrekken (variarekenen)10.

– het zogenoemde kolomsgewijze hoofdrekenen van figuur 1.2 fungeert als de meest

abstracte en gestandaardiseerde vorm van optellen en aftrekken met tientallen en

eenheden en vormt tevens de schakel met leren cijferen. Het is geïnspireerd

op Maddel’s (1985) ervaring met het vrij laten uitbeelden van

probleemsituaties met Dienes’ Blocks (MAB-blokken; Treffers, De Moor en

Feijs, 1988, 37) en op het idee van Diels en Nauta in de methode Fundamenteel

Rekenen (1936) om met de positiewaarden, van links naar rechts, ‘onder elkaar’

– kolomsgewijs – te rekenen (zie hoofdstuk 2 en 3).

Hans maakte een tocht van 75km. Na 48 km rustte hij even.

1. Hoeveel kilometer moest hij na het rusten nog afleggen?

2. Hoe maakte hij die tocht, denk je: met de auto, de fiets,

lopend…?

3. Hoe lang zou hij ongeveer over de hele tocht van 75km

gedaan hebben?

Figuur 1.1 – Het probleem van Hans (Bron: Treffers, 1989, p. 13)

9 In de latere publicaties verwijst Treffers (1994a) naar ‘number sense’ zoals wiskundig omschreven door McIntosh, Reys en Reys (1992).

10 Deze methoden worden uitvoerig gelegitimeerd, beschreven en geïllustreerd in de hoofdstukken 2 en 3.

Hoofdstuk 1

8

1.2a ‘Gestyleerde’ vorm aftrekken op-lijn

75-48=?

Varianten

– 75-5=70 70-40=30 30-3=27

– 65, 55, 45, 35 35-8=35-5-3=27

– 75-40=35 35-8=27

1.2b Gevarieerde vormen van aftrekken

Aanvulvarianten van Rekenen-op-rij

48+?=75

– 49(1), 50(2), 51(3) …. 75(27) 27

– 48+2=50 60, 70 70+5=75

20+5+2=27

– 48+2=50 50+25=75 25+2=27

– 58, 68 68+2=70 70+5=75

20+7=27

Compenseren bij afleiden uit een optelfeit

48+?=75 via

50+25=75; 48 is twee minder dan 50;

dan moet ik 2 bij 25 optellen, is 27

Compenseren bij afleiden uit een aftrekfeit

75-48=? via

75-50=25; 50 is twee meer dan 48, dan houd ik

er 2 meer over; 25+2=27

1.2c Kolomsgewijs aftrekken als ‘gestileerde’

vorm van hoofdrekenen

Figuur 1.2 – ‘Gestileerde’ en ‘gevarieerde’ vormen van hoofdrekenen (Bron: Treffers, 1989, p. 15 t/m 17)

1.2.5 Schattend rekenen

De vragen 2 en 3 van het Hans-probleem illustreren ‘natuurlijke’ ingangen voor globaal

rekenen, dat beter bij dergelijke situaties past dan precies uitrekenen. Het belang van

dergelijke vragen in zulke contexten is, in Treffers’ (Ibid., p. 18-19) woorden, dat er

‘ineens een mentaal gordijntje wordt opengetrokken, waardoor de leerlingen zicht

krijgen op de wereld buiten de school, op getallen in de realiteit’. Dit brengt ons tot de

algemene waardebepaling van schattend rekenen en hoofdrekenen.

1.2.6 Waardering van hoofdrekenen

In onderstaand citaat verwoorden Treffers en de Moor (1990, 90-91) de drie meest

gebruikte argumenten voor het opnemen van hoofdrekenen in de leerplannen van

veel westerse landen:


9

Er zijn drie redenen om hoofrekenen aan te prijzen. Ten eerste blijkt uit

onderzoek dat het overgrote deel van het rekenwerk in het leven van alledag

uit hoofdrekenen en schattend rekenen bestaat, waarbij geen

standaardmethoden van het cijferen worden gebruikt11. Hoofdrekenen heeft

dus praktische waarde. Ten tweede hanteren kinderen bij het oplossen van

vraagstukjes vaak informele werkwijzen12. Handig rekenen sluit daarop aan en

benut die ‘natuurlijke’ aanpak. Hoofdrekenen is derhalve van persoonlijke

waarde. Ten derde voegt hoofdrekenen een nieuwe dimensie aan het rekenen

toe. Namelijk die van het niet-mechanistische, inzichtelijke, flexibele,

probleemgerichte opereren binnen het getalsysteem. Het heeft daarom ook

wiskundige waarde.

1.2.7 Didactiek en doorgaande lijn

Tussen de publicatie van deel 2 van de Proeve… (1990) en de introductie van de euro

(2002) zijn reeds ingevoerde realistische methoden als De Wereld in getallen en Rekenen

en Wiskunde conform het nieuwe programma en de didactische richtlijnen aangepast.

En er zijn nieuwe methoden als Pluspunt, Rekenrijk en Alles telt op de markt

verschenen. Deze voortgezette vernieuwing laat zich als volgt kenmerken.

Optellen en aftrekken tot honderd vormt de schakel tussen het aanvankelijk

rekenen in de onderbouw en het cijferen in de bovenbouw en als fundering voor

flexibel rekenen en hoofdrekenen met grotere ronde getallen en met miljoenen en

miljarden. De lijn die door het rekenprogramma is getrokken, gaat, zoals eerder

gezegd, uit van het Wiskobas principe van de ‘progressieve schematisering’ van eigen

manieren van optellen en aftrekken. Het basisidee is dat de leerling in de loop der tijd

een eigen repertoire van rekenmethoden en rekenprocedures ontwikkelt, dat breed en

efficiënt kan worden ingezet. Specifieke contextproblemen, visualiseringsmiddelen en

modellen worden ingezet om deze rekenmanieren ‘geleid’ uit te vinden. Idealiter gaan

de leerlingen letterlijk op zoek naar de wiskunde in de voorgelegde opgaven

(Gravemeijer, 2003b). Ze vertellen elkaar hoe ze zich de betreffende probleemsituatie

voorstellen, waar ze bij de getallen aan denken en leggen op deze manier uit hoe ze

hebben gerekend, c.q. waarom men op deze manier kan (mag) rekenen.

De nieuwe leerlijn loopt door de hele basisschool, vanaf de onderbouw (jaargroep

1-2) tot en met jaargroep 8. Leerlingen ontplooien hun begrip van getallen en

operaties en construeren hun eigen rekengereedschappen langs oplopende niveaus van

denken, symboliseren en bewerken, vanaf het naspelen van elementaire optelen

aftrekproblemen met verzamelingen objecten tot algoritimisch optellen en aftrekken, via

tussenvormen van tellen en hoofdrekenen.

11 Verwezen wordt naar Hope (1986). 12 Treffers en de Moor baseren zich o.a. op de observaties van Reys & Reys (1986).

Hoofdstuk 1

10

– Het proces vangt aan met activiteiten rond het tellen, vergelijken, structureren

van hoeveelheden in betekenisvolle contexten uit het leven van alledag

(leerdoel 1). Deze oriënterende fase mondt uit in het memoriseren en leren

toepassen van de gereconstrueerde opteltafels en de daarvan afgeleide

aftrekrelaties onder de 20 (leerdoel 2).

– Hierop aansluitend, start het rekenen onder de 100 met het uitbeelden en

oplossen van contextproblemen met behulp van concreet materiaal (leerdoel

6).

– De op gang gebrachte differentiatie en formalisering van rekenprocedures

verloopt vervolgens, via gradueel schematiseren, van verkort tellen tot

gestandaardiseerd en flexibel hoofdrekenen (leerdoel 3), precies zoals de

tweelingzussen Ylja en Joni dat aanbeleven. Eerst leren de kinderen hun

oplossing van contextproblemen en kale aftrekkingen correct uit te beelden

met sprongen op een zelfgemaakte getallenlijn (eind jaargroep 4).Wanneer ze

dit onder de knie hebben en begrijpen wat de relatie tussen de tienvouden en

eenheden impliceert voor optellen en aftrekken, leren ze met deze

positiewaarden te rekenen. Het mondt uit in onder elkaar aftrekken met

tekorten, zoals afgebeeld in figuur 1.2. Tegelijkertijd maken de leerlingen

kennis met de ‘handige’ manieren van aftrekken, via aanvullen in plaats van

aftrekken en via redeneren vanuit een bekende optelling of aftrekking.

– Er wordt pas vanaf de tweede helft van jaargroep 5 gestart met algoritmisch

rekenen, via de verdere schematisering van de positionele, kolomsgewijze

manier van hoofdrekenen (leerdoel ‘cijferen’).

1.3 Aanleiding voor de systematische analyse van

oplossingsprocedures bij aftrekken tot 100

De directe betrokkenheid van Cito bij het vaststellen van de kwaliteit van het RWO en

de ontwikkeling van instrumenten voor de realisering van de zorgverbreding13 bij RW

gaven aanleiding om oplossingsprocedures bij rekenen tot 100 systematisch te

analyseren. De studie heeft in die zin een onderwijspolitieke (kwaliteitzorg; Van der

Schoot, 2001; 2008), onderwijskundige (programmatische en structureel-

organisatorische vernieuwing van het basisonderwijs; Doornbos, 1995) en

vakdidactische grondslag (voorgezette ontwikkeling van het RWO vanuit de

realistische invalshoek (Treffers, 1987; 1989; Treffers en de Moor, 1990; TAL-team,

1999; Buijs, 2000).

13 Onder ‘zorgverbreding’ wordt verstaan een cyclisch proces van vier opeenvolgende activiteiten. De leraar neemt eerst een toets af om leerlingen met extra behoeften te signaleren, stelt vervolgens diagnostisch vast wat individuele of groepen leerlingen nodig hebben en stelt een handelingsplan op, waarna de geplande zorg wordt uitgevoerd en geëvalueerd.


11

De eerste aanleiding is de discrepantie tussen de verwachtingen van de reken-

wiskundegemeenschap en de feitelijke rekenprestaties bij de presentatie van de

resultaten van de derde Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau (PPON) voor

rekenen/wiskunde halverwege de basisschool op de Panama najaarconferentie van

200014. De tweede aanleiding is de voortzetting van toetsontwikkeling en diagnostisch

onderzoek binnen het project Cito Volgsysteem (LOVS)15 in het perspectief van

‘opbrengstgericht werken’ (Commissie Evaluatie Basisonderwijs, 1994) en ‘werken

met ontwikkelingsperspectieven’ in het speciale (basis)onderwijs (Inspectie van het

onderwijs, 2002; 2007).

1.3.1 Aanbod en rekenvaardigheid bij de derde PPON rekenpeiling

halverwege de basisschool (1997)

Cito is in 1986 gestart met het project PPON16. De eerste eindpeiling – d.i. jaargroep

8 - vindt plaats in het voorjaar 1987, de eerste medio-peiling – d.i. jaargroep 5 - in het

najaar (Wijnstra, 1988). De tweede medio-peiling wordt in 1993 uitgevoerd (Bokhove,

van der Schoot & Eggen, 1995). Bij de derde medio-peiling in 1997 (Noteboom, van

der Schoot, Janssen & Veldhuijzen, 2000) zijn de verwachtingen van de realistische

gemeenschap hooggespannen. De basisscholen hebben namelijk, met ondersteuning

van de lokale schoolbegeleiders, ‘en masse’ de nieuwe realistische methoden ingevoerd

en geadopteerd. De percentages van figuur 1.3 laten zien dat in 1987 ruim 40% van de

scholen nog een traditionele rekenmethode gebruikte. Tien jaar later is het

marktaandeel gedaald tot minder dan 2%. Dat van de realistische rekenmethoden is

fors gegroeid, vooral door de komst van Pluspunt en de nieuwe versie van de methode

De Wereld in Getallen. Dat de scholen de realistische benadering adopteren, blijkt uit het

feit dat 90% van de leraren in de jaargroepen 4 en 5 aangeeft dat zij de gebruikte

methode vrijwel in zijn geheel volgen (ibid. 29). Hetzelfde percentage geeft aan dat

hun leerlingen in de voorafgaande jaren met dezelfde reken-wiskundemethode zijn

onderwezen. Zou dit alles de verwachte leereffecten opleveren?

Noteboom e.a. (2000) geven daar in hun rapportage antwoorden op door de

PPON resultaten af te zetten tegen de (niet wettelijk voorgeschreven) ‘tussendoelen’

(TAL-team, 1999; Buijs, 2000) die een nadere uitwerking vormen voor de kerndoelen

1998. Ze dienen als zodanig voor de planning van het onderwijsleerproces, samen met

de daarbij ontwikkelde leerlijnen. Bijlage 1 geeft een overzicht van de kerninhouden van

14 Panama staat voor Pabo Nascholing Mathematische activiteiten. Cito presenteert periodiek de resultaten van de peilingen en organiseert workshops rond de voorgelegde ontwikkelingen in het kader van deze jaarlijkse conferentie.

15 LOVS staat voor Leerling- en OnderwijsVolgSysteem. 16 De periodieke peilingen worden halverwege en aan het einde van het basisonderwijs uitgevoerd. Ze

moeten empirische gegevens verschaffen over het leeraanbod en de leeropbrengst bij onder andere de Nederlandse taal en Rekenen-wiskunde om op basis van rationele argumenten daarover te kunnen discussiëren.

Hoofdstuk 1

12

de voor deze studie relevante onderwerpen van de peiling in relatie tot de nagestreefde

tussendoelen en gemeten leerresultaten. De ordening van de opgaven in oplopende

volgorde van moeilijkheidsgraad (c.q. het beheersingsniveau van de leerlingen) brengt

vier patronen aan het licht:

Titel methode 1987 1997

Operatoir rekenen (oud & nieuw) 24.8 9.2

De Wereld in getallen (oud) 13.7 16.2

De Wereld in getallen (nieuw) 17.7

Taltal 6.0 /

Rekenen en Wiskunde 4.2 22.3

Getal in beeld (hybride) 2.1 /

Rekenwerk 1.1 2.3

Pluspunt 29.2

subtotaal realistisch/hybride 55.3 96.9

Naar zelfstandig rekenen 22.5 1.5

Niveaucursus rekenen 8.8 /

Nieuw rekenen voor het basisonderwijs 8.5 /

Naar aanleg en tempo 0.7 /

De rekenboom 0.7 /

Aktief rekenen 0.4 /

subtotaal traditioneel 43.3 1.5

overige (niet in de handel verkrijgbaar) 1.4 1.6

Figuur 1.3 – Verdeling van de gebruikte rekenmethoden (in percentage scholen) bij de 1e en 3e PPON rekenpeiling halverwege de basisschool

(Bron: Wijnstra, 1988, p. 23; Noteboom e.a., 2000)

Gebrek aan inzicht in de relaties tussen tientallen en eenheden. De moeilijkheidsgraad van de

opgaven rond het samenstellen en splitsen van hoeveelheden onder de 100 blijkt sterk

afhankelijk te zijn van de getallen in de opgaven. Zo is de opgave 60 + .. = 100, die

door het gros van de leerlingen goed wordt beheerst, gemakkelijker dan 56 + 44

(opgave 7), 64 + .. = 100 (opgave 8) en 43 + .. = 100 (opgave 12) die een beroep doen

op het inzicht in de relatie tussen de tientallen en de eenheden van samengestelde

getallen. Meer leerlingen ondervinden nu problemen met dergelijke ‘splitsopgaven’.

Moeite met contextopgaven. In tegenstelling tot de verwachtingen, blijken sommige

contextopgaven moeilijker dan ‘kale’ opgaven die een beroep op dezelfde of verwante

getalrelaties en rekenhandelingen. Dit geldt zowel voor ‘optellen’ als voor ‘aftrekken’,

maar de problemen bij aftrekken drukken sterker hun stempel op de prestaties dan die

bij optellen. De percentiel-10 leerling beheerst bijvoorbeeld de kale optelling 45 + 8,

maar de contextopgave van voorbeeld 3 (58 + 7) niet. Bij ‘aftrekken’, leveren de

getallen 54 en 25 in de combinatiecontext van voorbeeldopgave 8 meer problemen op

dan 64 en 28 in de kale aftrekking van voorbeeldopgave 2. De gemiddelde leerling


13

heeft ruim 50% kans om 64 - 28 correct uit te rekenen, terwijl het busprobleem ruim

buiten zijn vaardigheidsbereik ligt.

Getallen: Structureren 2] Joris en Ineke verdelen

100 knikkers. Ineke krijgt er

70.

Joris krijgt er _______.

7] Welke twee getallen zijn

samen 100?

44

65

56 66

46

45

8] 64 + …..= 100

12]

Hoe groot is de tweede

sprong?

Bewerken: optellen

1] 45 + 8 =

2] 34 + 50 =

3] Oma is 58 jaar.

Opa is 7 jaar ouder.

Opa is _______ jaar.

7] Doe mee aan de Veluwse

fietstocht

van 3 dagen:

dag 1 26 km

dag 2 30 km

dag 3 24 km

Hoeveel is de afstand in

totaal?

8] Om 10 uur waren er 48

kinderen in het zwembad.

Een uur later waren er 27

kinderen bijgekomen.

Hoeveel kinderen waren er

om elf uur in het zwembad?

9]

De korte paal is 76 cm

hoog.

De lange paal is 9 cm hoger.

Hoe hoog is de lange paal?

Bewerken: aftrekken 7] 50 - 26 =

8] 64 - 28 =

9] 61 -59 =

10] In de bus zijn 54

zitplaatsen.

Er zitten 25 mensen in de

bus.

Hoeveel zitplaatsen zijn er

nog vrij?

11]

Brenda heeft 74 stickers.

Emilie heeft 18 stickers

minder.

Hoeveel stickers heeft

Emilie?

12] Willemien is 9 jaar oud.

Haar oma is 63 jaar oud.

Hoeveel jaar is oma ouder

dan Willemien?

Figuur 1.4 - Voorbeeldopgaven PPON medio 1997 (Bron, Noteboom e.a. 2000)

Sommige aftrekopgaven zijn voor vrijwel iedereen te moeilijk. Het derde probleem betreft de

bewerking van getallen van kale aftrekkingen met tientaloverschrijding. Sinds de eerste

peiling in 1987, behoren gevallen als 64-28 en 72-59 tot de moeilijkste aftrekopgaven

(ibid. 59). Alleen de 10% meest vaardige leerlingen beheersen dergelijke aftrekkingen

halverwege de basisschool.

Basiskennis ontbreekt bij de zwakste groep. Aftrekken en indirect optellen (c.q. aftrekken)

onder de honderd doet een beroep op bekende getalrelaties en/of

rekenautomatismen. Het blijkt dat de onderste 10% tot 20% van de leerlingen nog

niet over deze voorwaardelijke basiskennis beschikt (zie onderwerp Basisoperaties in

bijlage 1). Het gaat daarbij om aftrekrelaties van het type (90-50, 84-40 en 56-50, 68-5

en 92-8 (ibid. 38).

Hoofdstuk 1

14

Bovenstaande resultaten van 1997 zijn vergeleken met die van de eerste en tweede

medio-peiling (1987 en 1992)17. Noteboom e.a. (2000) rapporteren de volgende

ontwikkelingen in de tijd:

– De vaardigheid bij Tellen en ordenen is in de loop van de tien jaar geleidelijk aan

licht toegenomen. Het vaardigheidsniveau bij Structureren was in 1992 hoger

dan in 1987, maar is in de loop van de hierna volgende vijf jaar licht gedaald.

– De optelvaardigheid bleef stabiel tussen 1987 en 1992 (Bokhove e.a., 1996).

De nieuwe opgavenverzameling bevestigde dit. Over de periode 1992-1997

werd echter een klein negatief effect gevonden, zodat er sprake was van een kleine

daling van de vaardigheid tussen 1987 en 1997.

– Deze tendens was groter bij aftrekken. De uitgebreide opgavenverzameling

bevestigde de vooruitgang tussen 1987 en 1992. Het relatief grote negatieve effect

over de periode 1992 – 1997 resulteerde in een significant klein negatief effect over

de periode 1987 – 1997.

De problemen bij contextrekenen riepen vragen op ten aanzien van de processen

die zich bij probleemoplossen afspelen. Wat zagen leerlingen in de contexten? Hoe

stelden ze zich de samenhang tussen de betreffende getallen voor? En: hoe werden

deze getallen bewerkt? De discrepantie tussen de resultaten en de verwachtingen en de

lichte daling van de prestaties nodigden uit om te onderzoeken of de leerlingen met de

nieuwe realistische rekenmethoden wel de bouwstenen construeerden die cruciaal zijn

om getallen vlot en flexibel te leren bewerken, zoals bedoeld door de ontwerpers van

de Proeve… In de context van de landelijke invoering van de realistische

rekenmethoden kwamen Noteboom e.a. (2000) tot de conclusie dat er bij een volgend

onderzoek, ‘zeker voor het onderwerp ‘Aftrekken’, meer aandacht zou moeten worden

geschonken aan de invloed van de context - ‘afhalen’ versus ‘aanvullen’, ‘vergelijken’ en

‘scheiden’ – of misschien beter van de interactie tussen de context en het

oplossingsgedrag van de leerlingen’ (ibid. 59 en 60). De vigerende studie is het

antwoord op deze aanbeveling.

1.3.2 Ontwikkelingsgericht diagnosticeren en plannen met het LOVS

We zagen in paragraaf 1.1 dat het ministerie van OCW sinds de invoering van de wet

op het basisonderwijs (1985) het innovatiebeleid van scholen zowel inhoudelijk als

structureel-organisatorisch aanstuurt. Scholen moeten hun aanbod vernieuwen via de

gewenste doorgaande leerlijn tussen jaargroep 1 en 8 in de onderscheiden domeinen

van ‘rekenen en wiskunde’. Ze moeten er tevens voor zorgen dat iedere leerling zich

tussen 4 en 11 jaar ‘ononderbroken’ blijft ontwikkelen. Deze doelstelling was gericht

op het voorkomen van leerproblemen die de uitstroom van het speciaal onderwijs in

17 Bij deze vergelijking is niet gecontroleerd op effecten van methodegebruik, formatiegewicht en geslacht.


15

de hand werken. Het markeert het beginpunt van een lang proces dat in 1999

uitmondt in de invoering van de wet op het primair onderwijs – het onderwijs dat

basisscholen en scholen voor speciaal onderwijs verzorgen voor kinderen van 4 tot 12 jaar.

Het neemt vervolgens een nieuwe wending als gevolg van de zorgelijke uitval van

leerlingen in sommige scholen in achterstandswijken. Het advies van de

Onderwijsraad (1999) om zogenoemde leerstandaarden wettelijk vast te stellen, brengt

de beleidsmakers op het idee om zogenoemde referentieniveaus te ontwikkelen

(Expertgroep doorlopende leerlijn taal en rekenen, 2008) en deze ook wettelijk vast te

stellen, als aanvulling op de kerndoelen. De kerndoelen stellen de kennis en

bekwaamheid (het leerstofaanbod) vast die deoverheid per se wil garanderen. De

referentieniveaus omschrijven wat elke leerling minimaal moet weten en kunnen om

de drempels te kunnen nemen van de voor hem optimale schoolloopbaan - de

zogenoemde ‘fundamentele’ kwaliteit en ‘streefkwaliteit’ bij taal en rekenen.

Opbrengstgericht werken (Commissie Evaluatie Basisonderwijs, 1994) en werken met

ontwikkelingsperspectieven (Inspectie, 2007) is het pendant van de referentieniveaus, vanuit de

verantwoordelijkheid van de schoolbesturen, schoolteams en individuele leraren

bezien. Het komt, pedagogisch-didactisch bezien neer op een inspanningsverplichting,

namelijk: ervoor zorgen dat leerlingen continu en naar eigen leervermogen optimaal

worden uitgedaagd, opdat zij een zo hoog mogelijk eindniveau bereiken.

Wat motiveert Cito om vanuit dit aspect van het RWO het hoofdrekenwerk van de

leerlingen systematisch te analyseren? Rond de eeuwwisseling ontwikkelde de afdeling

Primair Onderwijs plannen voor de uitgave van de tweede generatie toetsen van het

zogenoemde LeerlingVolgSysteem (Kraemer, 2009a), dat tegenwoordig de naam heeft

van Cito Volgsysteem. Scholen hadden op grote schaal de toetsen van de eerste

generatie ingevoerd (Janssen, Kraemer & Notenboom, 1995; 1996; 1997) na het

zorgelijke evaluatierapport Onderwijs-op-maat van de Inspectie van het onderwijs (1997).

Cito had zogenoemde Hulpboeken uitgegeven (Kraemer, 1995, 1996a) waarmee

leraren de groep minst gevorderde leerlingen adequaat konden uitdagen op basis van

de longitudinale analyse van de vorderingen in rekenkennis en rekenbekwaamheid.

Deze hulpmiddelen werden echter niet gebruikt, ondanks de deelname van een

tachtigtal Pabo-docenten en schoolbegeleiders aan de gegeven scholing ten behoeve

van de regionale scholing van de leraren (Kraemer, Nelissen & Janssen, 1996).

In het onderwijsverslag 2000 stelt de Inspectie (2000) vast dat er zich geen

vooruitgang voordoet in de afstemming van het leerstofaanbod op de leerlingen. Zij

betrekt daarbij niet de toegenomen complexiteit van de leerlingenzorg en de

differentiatie als gevolg van de instroom van leerlingen met ‘speciale’ behoeften in het

‘reguliere’ primair onderwijs, na de hierboven besproken invoering van de Wet op het

Primair Onderwijs (augustus 1998). De inspectie relateert de stilstand wel aan het

toenemende lerarentekort. Ongeveer 40% van de school differentieert zoals bedoeld

en realiseert aldoende de verwachtingen van de ononderbroken ontwikkeling van de

leerling.

Hoofdstuk 1

16

Tussen deze twee evaluaties in neemt de bezorgdheid over de risico’s voor

leerlingen uit maatschappelijk achterstandsgroepen toe. Voor de zwakste leerlingen

dreigt, zoals de Onderwijsraad (1999) dat toen formuleerde, het gevaar dat zij in het

primair onderwijs zo weinig leren, dat zij in het vervolgonderwijs en vervolgens

maatschappelijk buiten de boot vallen. Daarom krijgt de Expertgroep doorlopende leerlijnen

de opdracht om niveaus te beschrijven, zodat leerlingen ‘soepel’ over de ‘lastige

drempels’ die in de schoolloopbaan zitten, heenkomen.

De risico’s van deze leerlingen tekenen zich, wat rekenen-wiskunde betreft,

duidelijk af in de gevonden effecten van het formatiegewicht en het stratum18 op de

vaardigheid van de leerlingen. Bij de derde medio-peiling in het najaar van 1997 was er

een klein verschil in prestatie tussen Nederlandse arbeiderskinderen (1.25-leerling) en

landgenoten met hoger opgeleide ouders (1.00-leerling). Kinderen uit gezinnen

waarvan ten minste een van de ouders van niet-Nederlandse herkomst is (1.90-

leerling), hadden een grote achterstand. De gemiddelde leerling van deze groep

opereerde bij meer onderwerpen beneden het percentiel-25 niveau van de 1.00-

leerlingen. Vergelijkbare effecten waren gevonden bij de derde eindpeiling in het

voorjaar van 1997. Deze effecten rechtvaardigen, vanuit de verantwoordelijkheid van

de overheid bezien, de druk op scholen om hun aanbod aan en de begeleiding van de

leerlingen (beter) te differentiëren, daarbij rekening houdend met wat cruciaal is voor

de voortgang.

In deze context besloot de groep Ontwikkeling & Onderzoek Rekenen-wiskunde

Primair Onderwijs van Cito om het procesmatig-diagnostische gehalte van het LOVS te

versterken en een referentiekader voor de gebruikers te ontwikkelen voor de

observatie, diagnose en planning van het werk van de 25% minst gevorderde

leerlingen. Hiertoe zouden de inzichten uit de kwalitatieve analyse van geobserveerde

oplossingsprocedures worden geïntegreerd met de informatie die de psychometrische

gegevens van de opgavenbanken van LOVS en PPON verschaffen. Dit kader zou

geleidelijk aan moeten worden ontwikkeld via de constructie van opgaven die specifiek

zijn gericht op de specifieke kennis en vaardigheden waarvan we aannemen dat ze

toegang verschaffen tot de opeenvolgende niveaus van denken, symboliseren en

rekenen – de in hoofdstuk 4 geëxpliceerde ‘drempelleerstof’ (Kraemer, 2009a; 2009b).

Dit vormt de tweede, meer praktische aanleiding voor de onderhavige studie van het

rekenwerk van leerlingen.

18 Peilingsonderzoek vindt altijd plaats bij een steekproef van scholen. De scholen zijn verdeeld in drie groepen / strata op basis van hun schoolscore. Deze schoolscore is gebaseerd op het zogenoemde formatiegewicht. Het formatiegewicht duidt op een combinatie van sociaal-ecomische status, opleidingsniveau en herkomst van de ouders.


17

1.4 Probleemstelling

In het voorgaande is een overzicht gegeven van de moeilijkheden die Noteboom e.a.

(2000) hebben gesignaleerd in het domein van de Getallen en getalrelaties en de

Basisautomatismen en Bewerkingen optellen-afrekken, halverwege de basisschool. Hiervan

uitgaande, kunnen we het probleem waar het onderhavige onderzoek zich op richt, als

volgt omschrijven:

– Te veel leerlingen rekenen onder het verwachte niveau in het getalgebied tot

honderd. Gelet op de volgorde van aanbieding van de hoofdrekenmethoden,

lopen ze het risico niet tijdig het eindniveau te bereiken dat toegang geeft tot

(i) onder elkaar rekenen, (ii) optellen en aftrekken volgens vaste procedures,

(iii) schattend rekenen en (iv) flexibel hoofdrekenen met veelvouden van

duizend, miljoenen en miljarden.

– Er doen zich serieuze problemen voor bij rekenen in contexten waar

aftrekken een andere betekenis heeft dan ‘afhalen’. De numerieke

symbolisering van de relatie tussen de hoeveelheden c.q. grootheden van de

opgave en de bewerking van de getallen van de beschreven relatie brengen

minstens de helft van de populatie in moeilijkheden. Wat het probleem is, is

niet bekend. De wiskundige symbolisering? De bewerking van de getallen? Of:

het samenspel tussen beschrijven en bewerken?

Dit alles roept de kernvraag op van de onderhavige studie: Wat doen leerlingen bij het

oplossen van aftrekopgaven onder de 100 dat de discrepantie verklaart tussen de verwachtingen en de

resultaten?

In de oriënterende fase van de studie zijn aanknopingspunten gezocht in de

onderzoeksliteratuur om deze vraag in relevante deelproblemen te kunnen uitwerken.

Het leidde tot de afbakening van het onderzoeksgebied in drie met elkaar

samenhangende hoofdthema’s die in het vervolg worden gepresenteerd:

1. rekenen als uitdrukking van numeriek leren denken;

2. reflectieve klassengesprekken als motor van dit proces en

3. de invloed van linguïstische en vormkenmerken van tekstuele opgaven op het

oplossingsproces.

1.4.1 Leren rekenen als uitdrukking van numeriek denken

De hierboven besproken internationale bezinning over de basisvaardigheden van

rekenen-wiskunde op de basisschool heeft een ware omwenteling in het denken over

‘leren’ en ‘onderwijzen’ teweeggebracht. Becker & Selter (1996, 511) formuleren het

als volgt: ‘Teaching is no longer seen as a treatment and learning as the effect.

Learners are people who activeley construct mathematics’. Dit uitgangspunt, dat

leerlingen hun eigen wiskundige gereedschappen construeren, is vakinhoudelijk en

Hoofdstuk 1

18

vakdidactisch verschillend ingevuld, zoals we later in hoofdstuk 3 zullen zien. Er zijn

nuanceverschillen in de doelen en inhouden (wat de leraar aan de orde moet stellen en

de leerling moet leren) en in de structurering van het onderwijsleerproces en de rol

van de leraar en de leerling bij dit proces (hoe er wordt onderwezen en geleerd). De

betrokken rekendidactici en wiskundige onderwijsspecialisten hebben elkaar echter

gevonden in een aantal kernideeën en werkprincipes die we in deze dissertatie met de

term ‘reconstructiedidactiek’ aanduiden. Deze onderwijsaanpak is verankerd in het

gemeenschappelijke denkbeeld dat kinderen wiskundig leren denken door ‘objecten’ uit

‘handelingspatronen’ te abstraheren via de reflectie op wat ze in een bepaald

activiteitengebied met een zekere vanzelfsprekendheid doen (Van Hiele, 1973; Steffe,

Glaserfeld & Cobb, 1983; Gray & Tall, 1994;). Men neemt daarbij als voorbeeld

(‘ontwikkelingsmodel’) de ontstaanswijze van de wiskunde als benaderingswijze en

kennissysteem. Paradigmatisch hiervoor is het ontstaan van een ‘natuurlijk getal’ als

‘denkding’ om, zoals Freudenthal (1984, 92) dat formuleert, zekere verschijnselen die

te maken hebben met hoeveelheden, te ordenen. In aflevering 2 van zijn reflectie rond

het thema Wiskundig fenomenologisch, beschrijft Freudenthal (1990a, 13) als volgt hoe,

‘aan de wortels van de wiskunde’, het ‘natuurlijk getal’ uit het telproces is

geabstraheerd. De getallenrij is de oorspronkelijke vorm, het eerste taalkundige

wiskundig algoritme. Zodra de opeenvolging van de telwoorden wordt gebruikt om

iets te tellen, verkrijgt de getallenrij uiteenlopende betekenissen die verbonden zijn

met wat er wordt geteld, in welke context en met welke bedoeling. Door af te zien van

deze verscheidenheid – wat Piaget (1972) ‘reflectieve abstractie’ noemt – wordt het

getal als een op zichzelfstaande ‘entiteit’ mentaal geconstitueerd. Het fungeert vanaf

dat moment als ‘ding’ (‘notie’; ‘concept’) dat vanuit haar operationele en structurele kant

wordt gebruikt om over hoeveelheden te denken en ermee te manipuleren (Sfard,

1991). Laten we ‘acht’ als voorbeeld nemen. Het kan worden opgevat en gebruikt als

het resultaat van ‘optellen’ via verder tellen met één (de proces-kant van getallen) en

als ‘som’ (5+3=8, 6+2=8, etc.), ‘verschil’ (10-2; 12-4, etc.), ‘product’ (het dubbele van

4; vier keer twee) of ‘quotiënt’ (de helft van 16) (de structuur-kant van getallen).

Vanuit deze invalshoek hebben we twee aanknopingspunten voor de observatie en

analyse van oplossingswijzen gevonden. Ten eerste de twee vormen van denken die

worden ingezet bij het lokaal oplossen van contextprobleem (c.q. formuleopgaven). Ten

tweede de verschillen in oplossingsniveaus als neerslag van de conceptuele en operationele

groei van de leerling.

‘Relationeel’ en ‘rekenkundig’ redeneren bij probleem oplossen

Wat het oplossen van problemen betreft, wordt er in de realistische didactiek een

verschil gemaakt tussen het beschrijven van een probleem en het bewerken van de getallen

(Treffers, 1987; Gravemeijer, 1994; 2003a). In de context van de analyse van

hoeveelheidsrelaties stellen Thompson & Tompson (1996) dat beschrijven een beroep

doet op ‘relational reasoning’ en bewerken op ‘calculational reasoning’. Het eerste aspect van

probleemoplossen heeft betrekking op het leggen van de juiste relaties tussen de


19

hoeveelheden van de probleemsituatie, het tweede op het correct berekenen van de

ontbrekende term binnen de numerieke relatie die deze relatie symboliseert. Dit laat

zich als volgt illustreren met het busprobleem uit de derde PPON-rekenpeiling:

In de bus zijn 54 zitplaatsen.

Er zitten 25 mensen in de bus.

Hoeveel zitplaatsen zijn er nog vrij?

Leerlingen kunnen minstens op drie manieren de situatie interpreteren die in figuur

1.5 numeriek is weergegeven:

– Als een verzameling van 54 stoelen die bestaat uit een set van 25 bezette

stoelen en een set van een onbekend aantal vrije stoelen. Deze visie laat zich

met een afsplitsing symboliseren.

– Als een kwantitatief verschil tussen twee hoeveelheden, denkend aan hoeveel

de ene hoeveelheid meer / minder is dan de andere. Dit kan met een indirecte

optelling of aftrekking worden gerepresenteerd.

– Als het numerieke verschil dat het resultaat is van een aftrekking.

Afsplitsing / Combinatie Kwantitatief verschil Numeriek verschil

Figuur 1.5 Drie interpretaties en passende symboliseringen van het busprobleem

Hoe de leerling vervolgens denkt bij het uitrekenen van 54 = 25 + ?, 25 + ? = 54

en 54 - ? = 25 en 54 – 25 = ? is afhankelijk van uiteenlopende procedurele kennis in

de zin van Hiebert (1986):

– begrip van ‘splitsen’, ‘indirect optellen/aftrekken’, ‘aftrekken’ en van de relatie

tussen deze operaties;

– inzicht in en de parate kennis van de optelen aftrekrelaties tussen 54, 25 en

29 en

– begrip van de (hoofdreken)methoden en procedures die hij kan inzetten om

54 = 25 + ?, 25 + ?.= 54 en 54 - ? = 25 en 54 – 25 = ? uit te rekenen.

In onderstaande oplossing beschrijft de leerling de relatie van het busprobleem met

een indirecte optelling – de stipsom [25+..=54]. De numerieke uitdrukking roept het

geheugenfeit [25+25=50] op en hierdoor de herleiding via de compensatie +4. Dit

voorbeeld maakt de connectie zichtbaar tussen beschrijven en bewerken, via de

bewustwording (c.q. het besef) van wat je ziet en doet:

Hoofdstuk 1

20

25 + ? = 54 via 25+25=50 … Oh! … natuurlijk! Het is 4

meer dan 25! 50=25+25, dus 54=25+29

Dit richt de aandacht op drie aspecten van het onderwijsleerproces:

1. het op verschillende manieren symbolisch beschrijven van de relaties tussen

aantallen of maten in de reële contexten van het leven van alledag;

2. het vergelijken en manipuleren met denkbeeldige hoeveelheden en grootheden

via een of andere representatie ervan;

3. de constitutie van de rekenkennis en rekenprocedures die nodig zijn om de

getallen van de gebruikte numerieke relaties inzichtelijk en vlot te bewerken.

Dit laatste punt richt de aandacht op de processen en de producten van de

voortgang in kennis en bekwaamheid tussen 4 jaar en 9 jaar.

Oplossingsniveaus als uidrukking van de conceptuele en operationele groei

van de leerling

Het Leidse onderzoeksteam19 heeft in de laatste tien jaar van de vorige eeuw het

oplossingsgedrag van leerlingen met verschillende vaardigheidsniveaus breed

onderzocht. De betrokken onderzoekers varieerden daarbij vrij systematisch het type

probleem (van stipsommen tot geïllustreerde verschillen in prijzen en leeftijden via

kale optellingen en aftrekkingen en contextproblemen) en de getallen van de opgaven

(getalstructuur en orde van grootte van het verschil). Ze waren op zoek naar de

mechanismen die spelen wanneer een leerling een set gevarieerde opgaven oplost. We

laten hieronder de inzichten die deze studies hebben opgeleverd de revue passeren.

De betreffende kwesties worden geïllustreerd met denkbeeldige oplossingsprocedures

van het busprobleem (figuur 1.6) die geïnspireerd zijn door geobserveerde oplossingen

van deze studie.

– Een doorsnee leerling reageert eerder spontaan dan bewust op een opgave.

– Middenbouw-leerlingen interpreteren aftrekproblemen verschillend,

afhankelijk van de context en/of de getallen. Wat ze in die context en/of deze

getallen zien, bepaalt zowel de richting als de vorm van de bewerkingen.

– In de regel tellen leerlingen indirect op om een kwantitatief verschil te

berekenen. Zij trekken af wanneer zij de relatie van de opgave als een

numeriek verschil opvatten. Indirect aftrekken wordt slechts bij uitzondering

toegepast, als de leerling vertrouwd is met de vereiste berekening.

– Leerlingen bewerken de getallen van de geabstraheerde rekenstructuur met

één van de geleerde vormen van rijgen, splitsen of beredeneren. Dit betekent

dat zij op een gegeven moment ook met tientallen en eenheden (splitsend)

19 De volgende publicaties zijn geraadpleegd: Van Mulken (1992); Hoogenberg & Paardekooper (1995); De Joode (1996); Beishuizen (1997); Beishuizen, Van Putten en Van Mulken (1997); Klein (1998); Blöte, Klein & Beishuizen (2000); Blöte, Van der Burg & Klein (2001).


21

indirect optellen (25+..=54) via 20+10=40 en 5+9=14) of redeneren vanuit een

paraat optelfeit (25+..=54 via 25+25=50, dus is het 29 i.p.v. 25).

– Deze bewerking is vanzelfsprekend of brengt een leerling juist in verlegenheid,

afhankelijk van de conceptuele en instrumentele toerusting op dat moment.

– Misconcepties signaleren dat leerlingen op een, voor hen, voorlopig nog te

hoog abstractieniveau proberen te redeneren en te rekenen. Zij beschikken

gewoon nog niet over het vereiste begrip van tientallig rekenen en

voorwaardelijke rekenkennis en rekenvaardigheden. Dit geldt bijvoorbeeld

voor de leerling die de eenheden verwisselt bij splitsend aftrekken en die

structureel 10 hoger uitkomt bij aanvullen met tientallen en eenheden.

Vanuit deze aanwijzingen, construeren we in hoofdstuk 4 de sequentie in de

conceptualisering van [getal], [tellen], [optellen] en [aftrekken] en de stapsgewijze

uitvinding en formalisering van de bewerkingen die hiermee gepaard gaan. We hebben

namelijk een ‘model’ nodig om vast te kunnen stellen hoe en op welk niveau de

geobserveerde leerlingen denken en waar de bron van de ondervonden problemen

moet worden gezocht. We beschrijven de denkbeeldige (ideale) voortgang bij ‘geleid

uitvinden’ vanuit de integratie van meer wiskundige (Van Hiele, 1973; Sfard, 1991;

Freudenthal, 1991) en meer cognitief-psychologische (Tall, 2006) denkbeelden over de

abstractie van noties van getallen uit rekenhandelingen, bij reflectieve gesprekken in de

grote kring over zelf uitgevonden oplossingsprocedures. Naar het voorbeeld van Tall

en Gray (1994) illustreren we deze groei in aritmetisch denken met de mentale

constructies die in de internationale onderzoeksliteratuur zijn gerapporteerd.

meth.

Interpretatie / Strategie

Onbekend deel indirect optellen: 25 + ?

= 54. Rest aftrekken: 54 – 25 = ?

Bew

erkin

gen

Rijg

en Via het tienvoud of direct met de 10-sprong

25+5=3040, 50 50+4-54; 20+9=29

35, 4545+5=5050+4-54; 20+9=29

25+20=45; 45+9=54; 20+9=29

Via het tienvoud of direct met de 10-sprong

54-4=5040, 30 30-1=29

44, 34 34-4=3030-1=29

54-20=34; 34-5=29

Sp

litse

n

Eerst de eenheden of eerst de tientallen

5+9=14; 20+20=40; dan is het 20+9-29

20+20=40; 5+9=14; Dan is het 29

Misconceptie

20+30=50; 4 erbij is 54; dus 34

Combinatie van splitsen met rijgen

50-20=30; 30+4=34; 34-5=29

50-20=30; 30-5=25; 25+4=29

Misconceptie

50-20=30; 4-5 kan niet 5-4=1, samen 21

Ber

ede-

ner

en

25+25=50

54 is 4 meer dan 50. Dan wordt het 29 i.p.v.

25

Misconceptie

20+34=54, 5 meer is 39

50-25=25

54 is 4 meer dan 50. Dan houd ik er 4 meer

over: 29

Misconceptie

50-25=25; 4 minder is 21

Figuur 1.6 Gebruik van rijgen, splitsen en beredeneren in combinatie met indirect optellen en aftrekken bij het oplossen van het busprobleem

Hoofdstuk 1

22

1.4.2 Reflectieve klassengesprekken (‘mathematical discours’) als

motor van de ontwikkeling

Binnen de reconstructiedidactiek wordt van leerlingen verwacht dat zij zelf de noties

en werkwijzen ontwikkellen die hen in staat stellen kritisch, inzichtelijk en efficiënt

met getalsmatige gegevens om te gaan. De kunst voor de leraar is om hiervoor de

juiste condities in de klas te realiseren. Een voorbeeld daarvan is wat in de

Amerikaanse reformbeweging (NCTM, 1991; Atkins, 1999; Schifter, 1996) en

internationaal vergelijkingsonderzoek (Stigler & Hiebert, 1998) ‘reflective discours’

wordt genoemd. Deze reflectieve klassengesprekken komen, qua intentie en vorm,

sterk overeen met de ‘interactieve’ aard van realistisch rekenen (Treffers, 1987). ‘Leren

is niet louter een solo-activiteit maar speelt zich in een gemeenschap af en wordt door

die sociaal-culturele context gestimuleerd’ (Treffers & de Moor, 1990).

Dit sociaal-culturele aspect van leren komt op verschillende manier tot uitdrukking

in de reflectieve klassengesprekken die de leraar in verschillende contexten van een les

initieert en begeleidt. Leerlingen onderhandelen over de betekenis en juistheid

(waarheid) van wat men in iets ziet (Bauersfeld, 1995). De gesprekken ondersteunen

het begrip van het eigen denken en wekken de belangstelling op voor andermans visie,

denkbeelden, manieren van doen (Cobb, 1995; Wood, 1995; Yackel, 1995). En de

leraar vormt zich een beeld van hoe leerlingen denken, welke misconceptie hen

tijdelijk in verwarring brengt en waar hij of zij zich op zou moeten richten om aan hun

actuele behoeften te kunnen voldoen (Brown & Campione, 1994).

Twee onderwijsexperimenten illustreren hoe dit ‘reflectieve discours’ als het ware

de motor is van de voortgang in kennis en bekwaamheid via de reflectie op wat er aan

ideeën en werkwijzen in de groep leeft. Het eerste experiment betreft de constructie

van alle mogelijke afsplitsingen van ‘vijf’ (Cobb e.a., ongedateerd, Keynote

Presentation)20.

5 0

4 1

3 2

2 3

1 4

0 5

Figuur 1.7 Structuur van de afsplitsingen van 5

Vijf apen die in twee bomen spelen vormen de context. Ze springen van de ene

boom naar de andere. De vraag is hoe dit spel met getallen kan worden beschreven.

Het probleem richt de aandacht op de afsplitsingen van vijf die in de eerste fase van

20 Van den Brink (1989) heeft een vergelijkbare activiteit ontworpen rond zeven passagiers in een dubbeldekker.


23

het experiment worden geïnventariseerd. Dan verschuift de leraar de aandacht van de

structurering van 5 naar de structuur in de afsplitsingen van 5, via de vraag of de groep

wel alle mogelijke ‘paren’ heeft gevonden.

Het tweede experiment wordt in hoofdstuk 3 besproken. Het meten wordt daarbij

als ingang gebruikt om de getallenlijn te introduceren21. Het afpassen van stroken van

‘een’ en ‘tien’ (die uit het meten met stappen is geabstraheerd) legt (het patroon in) de

decimaal-lineaire relaties onder de honderd bloot, zoals: 40 + 7 = 47; 30 + 17 = 47; 47

+ 3 = 50; 47 + 10 = 57, of: 73 – 3 = 70; 73 – 13 = 60; 73 – 10 = 63. Van hieruit

vinden de meeste leerlingen het vanzelfsprekend om dit type getalrelaties te gebruiken

voor het uitbeelden van de relatie tussen de hoeveelheden van contextproblemen met

sprongen op een lege getallenlijn. De klassikale reflectie betreft dan zowel het beeld

dat de deelnemers zich hebben gevormd van de kwantitatieve relatie van de

probleemsituatie als de getalrelaties die zijn gebruikt om de gestelde vraag te kunnen

beantwoorden. Een dergelijk ‘mathematical discours’ is noodzakelijk omdat het

regelmatig gebeurt dat een leerling of een groep leerlingen een voorgelegde oplossing

niet kan ‘plaatsen’. Daar kunnen verschillende oorzaken voor zijn:

– de leerling begrijpt de gekozen operatie niet, bijvoorbeeld wanneer er wordt

gekozen voor indirect aftrekken (leegmaken), terwijl de leerling de opgave ziet

als een opdracht een verschil uit te rekenen;

– de leerling herkent een gekozen combinatie van strategie en procedure niet, omdat de

leerling die uit zichzelf nooit zou gebruiken;

– de leerling begrijpt de bewerking van de getallen niet, omdat die een beroep

doet op een notie van getallen en rekenprocedures die nog boven zijn of haar

macht ligt.

Waar het nu bij reflectieve gesprekken in de kern om gaat, is dat de groep

oplossingen vanuit twee complementaire vragen bespreekt:

– Wat is er aan de hand, wanneer eenzelfde contextprobleem verschillend wordt

opgelost en de gevolgde oplossingswijzen hetzelfde antwoord genereren?

– Hoe komt het dat de ene combinatie van strategie en methode de bewerking

van de getallen gemakkelijker maakt dan een andere?

Dergelijke gesprekken vergen veel van de leerling en van de leraar, zoals de

KNAW-commisie (2008) dat recentelijk heeft vastgesteld, op basis van haar

overzichtstudie naar de relatie tussen rekenvaardigheid en rekendidactiek. ‘De leraar is

de spil in het onderwijsleerproces. Er worden hem hoge eisen gesteld, vooral bij

onderwijs dat ruimte laat aan de inbreng van en de interactie tussen de leerlingen,

zoals realistisch rekenen’, aldus de commissie (ibid., 84). Klassengesprekken staan of

21 Dit experiment is in verschillende publicaties behandeld. Raadpleeg o.a. Gravemeijer (1999a; 2000; 2004); Stephan (1998); Stephan, Cobb, Gravemeijer & Estes (2001); Stephan, Brouwers, Cobb & Gravemeijer (2004).

Hoofdstuk 1

24

vallen met de man/vrouw voor de klas. Van begin af aan hameren de vernieuwers

(Fuson, 1992; Treffers, 1987) erop dat de leraren een klimaat in de klas moeten

creëren dat debatteren op het ontwikkelingsniveau van de groep mogelijk maakt. De

leerlingen zouden moeten weten wat de leraar in de verschillende fasen van het

probleemoplossen van hen verwacht. Dit impliceert voor de leraren dat zij

zogenoemde ‘socio-math norms’ (Yackel & Cobb, 1996) met hun leerlingen

ontwikkellen, dat wil zeggen gedragsregels met betrekking tot de samenwerking en het

debat in het eigen veld van wiskundige activiteiten in de klas. Bijvoorbeeld, wat de

‘luisteraars’ geacht worden te doen als een ‘spreker’ zijn oplossingsprocedure inbrengt

(samenwerkingsnormen) en wat ‘demonstreren’, ‘toelichten’ en ‘rechtvaardigen’, wiskundig

gezien inhouden, en hoe je dat kan doen.

Recapitulerend, vanuit de invalshoek van rekenen als uitdrukking van numeriek

leren denken, zijn vier relevante onderwerpen gevonden voor de afbakening en opzet

van dit onderzoek:

1. leren denken in termen van relaties tussen hoeveelheden, deze relaties in

termen van een operatie leren symboliseren en de relatie tussen deze operaties

overzien;

2. methoden en procedures ontwikkelen en formaliseren voor een inzichtelijke

en vlotte bewerking van de getallen;

3. strategisch leren rekenen vanuit het inzicht in de numerieke relaties en in wat

een bewerking gemakkelijk of juist moeilijk maakt;

4. didactische condities die dit alles bevorderen.

Er is tot slot binnen het onderzoeksparadigma van probleemoplossen een keten

van studies verricht naar de problemen die ontstaan als contextproblemen schriftelijk

worden voorgelegd. Dit onderzoek naar zogenoemde ‘word problems’ (tekstuele

opgaven) heeft de invloed van opgavenkenmerken bloot gelegd die specifieke

aandacht verdienen.

1.4.3 Invloed van linguïstische en vormkenmerken van tekstuele

opgaven

In zijn commentaar op de resultaten van de eindpeiling van 1987, legt Theunissen

(1988) zijn visie voor over de ‘extra moeilijkheden’ die het talige karakter van wat hij

een ‘tekstuele’ opgave noemt, veroorzaken. Hij doelt op de ‘decodering’ van de

schriftelijke informatie in de beschrijving van de situatie en de gestelde vraag. De

leerling moet ‘de semantische structuur van de opgave doorgronden om tot het

mentaal of conceptueel model te komen’, aldus Theunissen (ibid.171). Dit voegt een

extra dimensie toe aan het hierboven geïntroduceerde ‘relational reasoning’, zoals

opgevat door Thompson en Thompson (1993; 1996).

Deze ‘decodering’ is binnen de ‘probleem research’ (De Corte & Verschaffel, 1987;

Verschaffel & de Corte, 1997) en de ‘problem solving approach’ (Fuson, Wearne,


25

Hierbert, Murray, Human, Olivier, Carpenter & Femmena, 1997) in de afgelopen

dertig jaar, internationaal en vanuit een gemeenschappelijk classificatiesysteem van

‘word problems’, uitvoerig en zeer systematisch onderzocht. De gebruikte indeling

gaat uit van vier klassen van problemen die met de termen change (oorzaak

verandering), combine (combinatie), compare (vergelijking) en equalize (gelijk maken)

worden aangeduid. Deze studies hebben aangetoond dat specifieke kenmerken van

een schriftelijk aangeboden contextprobleem het oplossingsproces negatief en positief

kunnen beïnvloeden. De voor dit onderzoek relevante bevindingen laten zich als volgt

samenvatten:

– Leerlingen scannen als het ware de tekst op zoek naar ‘sleutelwoorden’ die

naar een bekende klasse van problemen verwijzen, zoals ‘nog’ (aanvullen),

‘minder’ (vergelijken) en ‘over’ (afhalen) (De Corte & Verschaffel, 1987;

Verschaffel & de Corte, 1997).

– Talige aspecten van de tekst als de (in)consistentie tussen wat een

sleutelwoord suggereert en de juiste voorstelling van de probleemsituatie

beïnvloeden het oplossingssucces (Van der Schoot, Vastbinder, Horsley,

Reijntjes & van Lieshout, 2009; Van der Schoot, Reijntjes & van Lieshout.

2011);

– De volgorde van aanbieding van de relevante informatie beïnvloedt de beeldvorming van de situatie.

– Illustraties die relevante informatie verschaffen die de tekst niet geeft, doen een beroep op het werkgeheugen. Dit kan in het nadeel werken van leerlingen met weinig werkgeheugencapaciteit, die al moeite hebben met het mentaal bijhouden van hun rekenstappen.

Wij zullen in hoofdstuk 2 zien, dat Verschaffel (1988) vóór de uitgave van de

balans al kanttekeningen had geplaatst bij het voorstel van Treffers, de Moor en Feijs

(1988) om leerlingen van begin af aan met een breed scala van contextproblemen te

confronteren. Hij steunde het streven, maar miste een zekere systematiek in de

beschrijvende fase van het probleemoplossen. Leerlingen zouden expliciet moeten

leren een contextprobleem grafisch en numeriek in kaart te brengen en in die zin

‘strategische kennis en vaardigheden’ moeten verwerven. Dit verzoek werd in die

vorm niet gehonoreerd. Treffers, de Moor en Feijs (ibid.13-19) verwezen naar het

vierde principe van de realistische didactiek, dat reflectieve klassengesprekken

aanbeveelt ter ondersteuning van het leerproces van de individuele leerling.

1.4.4 Conclusie

Wij hebben zojuist een rondgang in de literatuur gemaakt langs het gebruik van

contextproblemen en kale rekensommen bij leren hoofdrekenen, om

aanknopingspunten te vinden voor de afbakening, structurering en opzet van

onderhavige studie. De volgende conclusie kan uit deze oriëntatie worden getrokken.

Hoofdstuk 1

26

Het oplossen van formuleopgaven en contextproblemen is geen losstaande

vaardigheid die als zodanig kan worden geleerd. Het maakt deel uit van een complexe

wiskundige bekwaamheid. Het doet ten eerste een beroep op denken in termen van

numerieke relaties die de relatie tussen concrete of denkbeeldige hoeveelheden en

grootheden symboliseren (‘relationeel’ denken bij het wiskundig beschrijven van

processen of relaties). Het vergt ten tweede de ontwikkeling van verschillende vormen

van operationeel denken binnen het eigen systeem van getallen, numerieke relaties en operaties

als knooppunten van relatienetten (‘rekenkundig’ denken in de bewerkingsfase van

problemen oplossen). Het einddoel van adequaat en flexibel hoofdrekenen vergt ten

slotte de ontwikkeling van strategisch denken vanuit het verworven inzicht in de

mogelijkheden en beperkingen van het eigen rekeninstrumentarium.

Basisschoolleerlingen ontplooien progressief deze drie vormen van wiskundig

denken. Ze construeren stap voor stap de daarbij betrokken rekenkennis (c.q.

noties/concepten; symbolen) en rekenprocedures (c.a. algoritmen) via de reflectie en

discussie in klassengesprekken over persoonlijke denkbeelden en werkwijzen en die

van groepsgenoten die de eigen rekenactiviteit en de communicatie erover teweeg

hebben gebracht.

Er is een kader nodig om deze conceptuele en operationele groei van de leerling te

beschrijven, een beschrijvingskader, dat als model van de nagestreefde groei kan

fungeren. In hoofdstuk 4 proberen we als het ware een prototype te construeren via

de hiërarchische organisatie van de vormen van optellen en aftrekken uit constaterend

onderzoek vanuit de beschikbare theorieën over de niveaus van het leerproces bij

wiskunde-leren en de groei van kinderen in rekenkundig denken.

We hebben in het voorgaande de sleutelkwesties van het onderzoeksgebied

geïnventariseerd. Op basis van de opbrengst van deze oriëntatie zijn vijf

richtinggevende onderzoeksvragen geformuleerd voor de afbakening, structurering en

opzet van de vigerende studie. Ze worden in het vervolg gepresenteerd en kort

toegelicht.

1.5 Richtinggevende onderzoeksvragen en algemene opzet van

de studie

De volgende vragen zijn als wegwijzers gebruikt voor de afbakening, structurering en

opzet van de vigerende studie:

– Wat is de ideale progressie van de leerlingen bij leren hoofdrekenen onder de

100, volgens de principes van de realistische didactiek? (verwachtingen)

– Wat kunnen leerlingen met lage, gemiddelde en hoge rekenvaardigheid

halverwege de basisschool in het domein van de Getallen en getalrelaties, de

Basisautomatismen en de Bewerkingen ‘optellen en aftrekken’? (feitelijke voortgang)


27

– Hoe denken en rekenen deze leerlingen bij het oplossen van aftrekopgaven?

En: wat is de bron van de foutieve antwoorden die ze geven?

(toepassingsvaardigheid)

– Wat zeggen de analyseresultaten over de groei van de leerling in numeriek

denken en de verworven hoofdrekenvaardigheden halverwege de basisschool?

(Balans van rijgen, splitsen en beredeneren en ontwikkelingstendens)

– Wat gebeurt er bij het leren rekenen onder de honderd? En: in hoeverre

weerspiegelen de data de nuanceverschillen tussen de drie onderscheiden

varianten van de reconstructiedidactiek? (discussie)

Ad. 1 Ideale progressie

Wij richten ons op leren en onderwijzen in het getalgebied tot 100 in het verlengde

van het aanvankelijk rekenen. De ideale rekenlijn die we als ‘norm’ nemen is die van

de Tussendoelen annex leerlijnen (TAL-team, 1999; Van den Heuvel- Panhuizen, Buijs en

Treffers, 2001) en de leerlijn van de Proeve … (Treffers & de Moor, 1990) die als

basisstructuur is gebruikt. De didactische principes zijn ontleend aan Treffers’ (1987)

globale onderwijstheorie en aan de daarvan afgeleide principes voor hoofdrekenen

(Treffers & de Moor, 1990). Deze realistische aanpak van leren hoofdrekenen wordt

in hoofdstuk 3 gepresenteerd als een van de drie ontwikkelde varianten van de

reconstructiedidactiek die is voortgekomen uit de nieuwe visie op het belang van rekenen

en het actief betrekken van de leerling bij het leerproces.

Ad. 2 Wat kunnen leerlingen halverwege de basisschool?

De directe observatie van de leerlingen is ingebed in de vierde PPON rekenpeiling

halverwege de basisschool die in januari/februari 2002 is uitgevoerd. De afname is

verschoven ten opzichte van die van de drie eerste peilingen om de relatie te kunnen

leggen tussen het landelijk onderwijsniveau in de deelgebieden van rekenen-wiskunde

en de algemene rekenvaardigheid van individuele leerlingen, zoals gemeten met de

toetsen van het Cito volgsysteem (LOVS). Als gevolg van deze afstemming van de

PPON-afname op die van het LOVS en de integratie van de gegevens bij de analyse

van de resultaten, werd het mogelijk om de kennis en bekwaamheid van twee groepen

leerlingen, halverwege de basisschool, onder de loep te nemen. In januari/februari

2002 zijn in het kader van de vierde PPON-rekenpeiling ongeveer 150 deelnemende

leerlingen met een lage, gemiddelde en hoge rekenvaardigheid direct geobserveerd bij

het oplossen van een reeks optelen aftrekopgaven. Het jaar daarop (januari/februari

2003) zijn evenveel leerlingen uit een steekproef van LOVS-scholen geobserveerd die

deelnamen aan het normeringonderzoek ten behoeve van de uitgave van de tweede

generatie LOVS-toetsen.

De vraag Wat kunnen leerlingen halverwege de basisschool? wordt beantwoord op basis

van de resultaten van beide steekproeven van scholen, zoals gerapporteerd in de

Balans [31] van het reken-wiskundeonderwijs halverwege de basischool (Kraemer, Janssen, Van

Hoofdstuk 1

28

der Schoot en Hemker, 2005)22. Hoofdstuk 6 geeft een overzicht van de opgaven die

de drie vaardigheidsgroepen onvoldoende, matig en goed beheersen. Voor zover dat

mogelijk is, wordt vastgesteld welke inhouden en vaardigheden de leerlingen

beheersen die toegang geven tot de niveaus van denken, symboliseren en bewerken

van het, in hoofdstuk 4, geconstrueerde model van de groei van de leerling.

Ad. 3 Hoe denken en rekenen de leerlingen?

De directe observatie van de drie PPON- en LOVS-vaardigheidsgroepen levert het

bestand van oplossingsprocedures op dat inzicht moet geven in hoe leerlingen,

halverwege de basisschool, relationeel, operationeel en strategisch denken bij het oplossen

van een reeks gevarieerde aftrekopgaven die in hun vaardigheidsbereik liggen. Er is

bewust gekozen voor de afstemming van de opgaven op het vaardigheidsniveau van

de leerlingen, zodat ze kunnen tonen wat ze van de getallen en de operaties begrijpen

en daarom toepassen. Dit impliceert dat het gehanteerde onvolledige design zeer

geringe mogelijkheden biedt voor de vergelijking van de oplossingsprocedures tussen

de drie vaardigheidsgroepen.

In hoofdstuk 5 wordt de gekozen analyse van drie aspecten van de geobserveerde

oplossingsprocedures verantwoord: 1. gebruikte vormen van hoofdrekenen (aard en

niveau van de bewerkingen), 2. de omgang met de context en de getallen van de opgaven

(relationeel en strategisch denken) en 3. de bron van de gegeven foutieve antwoorden

(begripsfouten, rekenfouten en uitvoeringsfouten).

Ad. 4 Balans van rijgen, splitsen en beredeneren

Dan wordt op basis van de patronen in de resultaten van deze analyse de balans

opgemaakt van rijgen, splitsen en beredeneren. Uit deze sterkte-zwakte analyse van de

vaardigheid abstraheren we de dominante tendens in de groei van numeriek denken in

de eerste helft van de basisschool. Het onderzoek is dan feitelijk voltooid.

Ad. 5 Discussie

Wiskunde-didactici, psychologen en onderwijskundigen vormen tegenwoordig een

internationale gemeenschap van experts op het probleemveld van wiskunde leren en

wiskunde onderwijzen. In deze nieuwe context zijn in de laatste decennia van de vorige

eeuw drie paradigmatische vormen van lesgeven in het getalgebied onder honderd

ontworpen die in deze dissertatie zijn aangeduide met de term TAL-didactiek, de

probleemoplossende didactiek en de Amerikaanse realistische didactiek. In het

theoretische kader van hoofdstuk 3 beschrijven we vier spanningsvelden bij het

ontwerpen die rekendidactici, psychologen en onderwijskundigen uit de

onderzoeksgemeenschap uit elkaar kunnen drijven. Dit betreft tegenstellingen ten

22 Deze analyse sluit aan bij die van de resultaten van de derde PPON rekenpeiling die in bijlage 2 van zijn samengevat.


29

aanzien van het algemene doel, de afbakening van de leerstof, de macro-structurering

van het leerproces en de functie van de klas. Op basis van de gevonden patronen in de

drie stijlen van ontwerpen, komen we tot de conclusie dat we kunnen spreken van een

‘algemene reconstructiedidactiek’ die verschillende kleuring krijgt, afhankelijk van het

ingenomen standpunt in de ervaren spanningsvelden.

In het afsluitende hoofdstuk 11 interpreteren we eerst de gevonden tendens in de

groei van de leerlingen vanuit de vraag wat hen mogelijkerwijs beweegt om te

handelen zoals ze dat doen en waarom de leraar hen die ruimte geeft. Van hieruit

reflecteren we in de discussie over de vraag in hoeverre wat er in de klas bij

hoofdrekenen gebeurt het gevolg is van het standpunt dat de Nederlandse realistische

didactici hebben ingenomen ten aanzien van de vier componenten die de eigen

kleuring geven aan een reconstructiedidactiek: het algemene doel, de leerstructuur, de

macro-structurering van het leerproces en de functie van de klas.

1.6 Relevantie van het onderzoek

Deze studie is zowel onderzoekstheoretisch als praktisch relevant. Het slaat een brug

tussen het Nederlandse fenomenologisch-didactische ontwikkelingsonderzoek voor

het ontwerpen van onderwijsleeromgevingen en leertrajecten en het Amerikaanse

empirische, cognitief-psychologische onderzoek naar de ontwikkeling van het

getalbegrip en van optelen aftrekalgoritmen. De ontwikkelde hiërarchie van

tussenvormen van hoofdrekenen biedt houvast voor zowel de toetsontwikkelaar als

voor de (aanstaande) leraren, nu de overheid de continue ontwikkeling van elke

leerling wil bewerkstellingen via planning- en opbrengstgericht (reken-wiskunde)

onderwijs.

1.6.1 Vaktheoretische en vakdidactisch relevantie

Treffers (1987) globale onderwijstheorie, die in hoofdstuk 3 wordt gepresenteerd,

heeft de basis gelegd voor de Nederlandse aanpak van het ontwerpen van

onderwijsleeromgevingen en leertrajecten. Deze ontwerpactiviteiten via zogenoemd

‘ontwikkelingsonderzoek’ zijn, volgens Gravemeijer (1994; 2006), in drie peilers

verankerd: het uitgangspunt van de geleide ontdekking (reinvention), de

fenomenologisch-didactische analyse van de leerstof en de modellen die uit de

activiteit van de leerling ‘naar boven drijven’ (emergent models). Het principe van de

geleide uitvinding geeft aan dat de leerling, onder leiding van de leraar, versneld de

weg van de generaties deskundigen aflegt om zelf een eigen rekeninstrumentarium te

construeren binnen een kritische samenwerking en communicatie met groepsgenoten.

De zogenoemde ‘fenomenologisch-didactische’ analyse van de leerstof brengt de

probleemsituaties in kaart die de leraar, langs deze weg, achter elkaar aan de orde kan

Hoofdstuk 1

30

stellen, opdat de leerlingen nieuwe noties kunnen abstraheren uit hun handelingen bij

het oplossen van de voorgelegde problemen. Dit proces vindt in de regel plaats via het

uitbeelden van het proces of de relaties van het betreffende contextprobleem. Al

doende maken leerlingen eigenschappen van getallen (c.q. relaties tussen getallen,

numerieke relaties en/of operaties) zichtbaar die zij hierna kunnen onderzoeken om

toegang te kunnen krijgen tot een hoger niveau van begrip en vaardigheid.

Vanuit de Piagetiaanse tradities is een meer cognitief-pyschologische

benaderingswijze van ontwerpen ontwikkeld. Deze aanpak is gebaseerd op min of

meer systematisch opgezet empirisch onderzoek naar enerzijds de ‘natuurlijke’ processen

van leren tellen en optellen en aftrekken onder de tien en anderzijds decimaal-positioneel

leren denken en rekenen, dat berust op conventies, en in die zin niet ‘natuurlijk’ is en

meer sturing van de leraar vergt (Carpenter, 1997). De theorie van Gray en Tall (1994)

over de abstractie van noties uit de reflectie op eigen handelingen fungeert op de

achtergrond als model van de nagestreefde groei in numeriek denken, precies zoals de

fenomenologisch-didactische ordening de mentale objecten die de leerlingen in een

realistische leeromgeving uit de eigen oplossingen van de voorgelegde keten van

problemen abstraheren.

Deze twee benaderingen worden in deze studie op twee niveaus geïntegreerd: eerst

bij de presentatie van de varianten van de reconstructiedidactiek in hoofdstuk 3 en

vervolgens bij de constructie van een model van de nagestreefde groei van de leerling

tussen 4 jaar en 9 jaar bij het leren hoofdrekenen onder de honderd (c.q. de

aanpassingen van de geleerde procedures voor elementaire bewerkingen met

driecijferige getallen).

1.6.2 Praktische relevantie

Wij zagen in paragraaf 1.3.2 dat de druk op schoolbesturen en schoolteams toeneemt

om, rekening houdend met de gedefinieerde referentieniveaus, hun onderwijs

opbrengstgericht en vanuit ontwikkelingsperspectieven te plannen. Dit heeft de sectie

Ontwikkeling en Onderzoek Rekenen-wiskunde Primair onderwijs aangespoord om

het diagnostische aspect van de LOVS-toetsen te versterken (Kraemer, 2009a). De

ontwikkelde sequentie van de formalisering van rijgen, splitsen en beredeneren geeft

een overzicht van de specifieke noties en vaardigheden die volgens de geraadpleegde

theorie en het empirisch onderzoek toegang geven tot de opeenvolgende niveaus van

denken, symboliseren en bewerken. Deze ‘inhouden’ kunnen in principe zodanig in

opgaven worden gecontextualiseerd dat adaptief diagnostisch toetsen en plannen

mogelijk wordt (van den Heuvel-Panhuizen & Eggen, 2011).

De sleutel tot verbetering van de rekenvaardigheid ligt in het niveau van de leraar,

aldus de KNAW-commissie (2009, p. 9) in de hoofdconclusie van haar rapport over

het rekenonderwijs op de basisschool. Zij expliceert haar standpunt als volgt.


31

‘De opleiding en nascholing van de leraar zijn in ernstige mate geërodeerd.

Het Ministerie van OCW dient de pabo-opleiding aan een grondig onderzoek

te onderwerpen en nascholing in rekenvaardigheid en rekendidactiek krachtig

te stimuleren’ (ibid., p. 9).

De ontwikkelde sequentie zou de (aanstaande) leraar een houvast kunnen geven

die nu gemist wordt om de beleidsverwachtingen waar te kunnen maken.

1.7 Indeling van de rapportage

De hoofdstukken 2, 3, 4 en 5 vormen het theoretische, empirische en

methodologische kader van deze studie. We presenteren in hoofdstuk 2 het

‘hoofdrekenen’ en het ‘cijferen’ van het realistische programma dat in de

onderwijspolitieke context van de jaren tachtig is ontworpen voor het leerstofgebied

Rekenen-wiskunde op de basisschool tegen de achtergrond van de internationale

bezinning over de betekenis van ‘rekenen’ in de basisvorming anno 1980. We

beschrijven in hoofdstuk 3 de theorie achter en de methodiek van wat ‘realistisch

rekenen’ werd genoemd. We beschouwen deze stijl van lesgeven als de Nederlandse

karakteristieke uitwerking van algemene didactische principes waarmee in de jaren

negentig wereldwijd werd geëxperimenteerd.

Om de oplossingsprocedures vakinhoudelijk en in ontwikkelingsperspectief te

kunnen beschrijven en vergelijken, construeren we in hoofdstuk 4 een

classificatiesysteem en een sequentie van de voortgang in de begripsvorming van

natuurlijke getallen, tellen, optellen en aftrekken en van de gelijktijdige formalisering

van de drie geleerde methoden van hoofdrekenen: rijgen, splitsen en beredeneren. We

laten ons daarbij leiden door Freudenthal’s (1989) opvatting dat de leerling op eigen

kracht zijn rekenkennis en rekeninstrumenten kan (dient te) construeren, onder de

vakkundige begeleiding van de leraar. We ontlenen de trend in het abstractieproces

aan de theorie van hoofdstuk 3 en de methoden en vormen van bewerken aan de

empirisch gefundeerde internationale documentatie.

Hiermee is de basis gelegd voor de opzet van de twee uitgevoerde empirische

studies die in hoofdstuk 5 worden verantwoord. Dit betreft:

– in studie A, het aanbod van de leerkrachten en de kennis en bekwaamheid van

de drie vaardigheidsgroepen in het domein van de getallen en optellen-

afrekken onder de honderd met een uitbreiding tot duizend (vierde PPON-

rekenpeiling en het LOVS-onderzoek);

– in studie B, de wijze waarop de leerlingen van de drie gevormde

vaardigheidsgroepen hun eigen reeks opgaven oplossen en de bron van de

foutieve antwoorden die hun bewerkingen generen.

Hoofdstuk 1

32

De analyseresultaten van studie A worden in hoofdstuk 6 gepresenteerd, die van

studie B in de hoofdstukken 7 t/m 9. We maken in hoofdstuk 10 de balans op van

rijgen, splitsen en beredeneren en omschrijven het ontwikkelingspatroon dat we

hieruit hebben geabstraheerd.

In de afsluitende discussie expliciteren we wat we denken dat er bij aftrekken

onder de honderd gebeurt en hoe we dit relateren aan de keuzes die de betrokken

realistische rekendidactici hebben gemaakt.

31

Hoofdstuk 2

Hoofdrekenen en cijferen in het nationale

realistischonderwijsprogramma

2.1 Inleiding

In tegenstelling tot andere Europese landen als Engeland, Frankrijk en Portugal, is het

in Nederland niet vanzelfsprekend dat de overheid gedetailleerde voorschriften geeft

over het onderwijsaanbod. Wat basisschoolleerlingen bij het vak Rekenen-wiskunde

moeten leren, is aanvankelijk formeel vastgesteld in de Wet op het basisonderwijs

(Ministerie van Onderwijs en Wetenschappen, 1984) en nader gespecificeerd in het

Besluit Kerndoelen voor het Basisonderwijs van 1993. De kerndoelen voor rekenen-

wiskunde zijn sindsdien nauwelijks gewijzigd, ook niet bij de herziening van de

kerndoelen in 1998 (Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen, 1998).

Omwille van een ononderbroken ontwikkeling van iedere leerling heeft de

overheid wel het zogenoemde TAL-team eind jaren negentig gevraagd om te

specificeren waar de leraar zich op moet richten bij de planning van de activiteiten bij

rekenen-wiskunde (TAL-team, 1999; Van de Heuvel-Panhuizen, Buijs en Treffers,

2001. De commissie Meijerink kreeg op haar beurt, tien jaar later, de opdracht

‘referentieniveaus’ te formuleren, opdat iedere leerling in zijn hele schoolcarrière ‘over

de drempels van Taal en rekenen kan gaan’ (Expertgroep Doorlopende Leerlijnen bij

Tal en Rekenen, 2007).

Een ander verschil met de landen om ons heen is dat de Nederlandse overheid

grote schoolbesturen, individuele scholen, de inspectie, onderwijsinstellingen (de

vakgroep OW&OC23, SLO, Cito en landelijke pedagogische centra) en

vakverenigingen de ruimte gaf om, vanuit hun reguliere activiteiten, hun eigen stempel

te drukken op de doelen en inhouden van rekenen-wiskunde op de basisschool (Van

Bruggen & Gorter, 1985). Dit heeft het mogelijk gemaakt dat de rekendidactici die, in

23 OW&OC staat voor Onderzoek Wiskunde en Onderwijs Computercentrum (OW&OC). Het werd later omgedoopt tot het Freudenthal Instituut dat tegenwoordig Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education (FIsme) heet.

Hoofdstuk 2

32

opdracht van de Overheid het ‘realistische’ alternatief voor traditioneel rekenen en de

New Math beweging hadden ontworpen (zie paragraaf 1.1), een nationaal leerplan

konden ontwikkelen en door uitgeverij Zwijsen laten uitgeven. Dit plan was een

bewerking van de kerndoelen in ontwikkeling, conform de realistische filosofie,

onderwijsaanpak en systematiek qua leerstofbeschrijving.

In hoofdstuk 1 is deze achtergrond van het vigerende onderzoek in grote lijnen

geschetst. Dit hoofdstuk zoomt erop in. Het beschrijft de wettelijke en realistische

richtlijnen die voor het leerstofaanbod bij hoofdrekenen en cijferen zijn geformuleerd in de

context van de internationale en landelijke ontwikkelingen in de twee laatste decennia

van de vorige eeuw. De leerlingen die aan het vigerende onderzoek deelnemen,

hebben leren rekenen met de onderwijsmethoden die op basis van deze referenties

zijn ontworpen. De richtingwijzers voor het aanbod in hoofdrekenen vormen dan ook

één van de componenten van het referentiekader dat we nodig hebben om de relatie

te kunnen leggen tussen wat de deelnemers van het onderzoek in de eerste helft van

hun basisonderwijs hadden moeten leren en wat ze daadwerkelijk hebben geleerd.

Dit hoofdstuk reconstrueert het ontwerpproces van het nationale realistisch

programma voor rekenen op de basisschool in de onderwijspolitieke omstandigheden

van toen, van de eerste raadpleging van het rekennetwerk in 1984 over de inhouden

en de condities tot de tweede raadpleging in 1999 over hoofdrekenen en cijferen in de

bovenbouw. De wereldwijde bezinning over wat basisschoolleerlingen in een moderne

samenleving bij ‘rekenen’ zouden moeten leren, vormt de achtergrond die eerst wordt

geschetst. Daarna gaan we meer in detail in op de inhoud van het voorgestelde

programma, met name voor zover dit het optellen en aftrekken tot 100 betreft.

2.2 Internationale bezinning over de betekenis van rekenen op

de basisschool anno 1980

De jaren tachtig van de vorige eeuw staan internationaal te boek als het decennium

van een ingrijpende heroriëntatie op de doelen, inhouden en didactische aanpak van

leren rekenen op de basisschool. De reflectie en discussie over rekenen vangt aan in

de Verenigde Staten en Engeland waar de leerlingen volgens de standaardalgoritmen

leren rekenen zodra ze de voorwaardelijke rekenfeiten en automatismen beheersen.

Deze paragraaf schetst de internationale context waarin de Nederlandse rekendidactici

die eind jaren zestig van de vorige eeuw de opdracht hadden gekregen het

rekenonderwijs te vernieuwen hun koers hebben bijgesteld, daarbij inspelend op de

lopende maatschappelijke en onderwijspolitieke ontwikkelingen.

Hoofdrekenen en cijferen in het nationale realistisch onderwijsprogramma

33

2.2.1 De Amerikaanse Agenda for action

De reflectie en discussie resulteren in de Verenigde Staten in de publicatie van A

agenda for action die de modernisering op gang brengt. De National Council of Teachers

of Mathematics (NCTM, 1980) geeft daarin aan hoe het rekenonderwijs van toen zou

moeten worden afgestemd op wat men als nieuwe ‘mathematical needs’ ervoer.

In de Amerikaanse onderwijstraditie bleef hoofdrekenen tot dan toe beperkt tot

operaties met eencijferige getallen en de automatisering van optellingen en

aftrekkingen onder de twintig (Baroody, 1983; 1985). In deze fase van het aanvankelijk

rekenen werd toen in de leergang optellen-aftrekken de nadruk gelegd op de

begripsvorming van plaatswaarde om zo snel mogelijk over te kunnen schakelen naar

het onder elkaar rekenen. In deze decennia leren Amerikaanse leerlingen cijferen

volgens de structuralistische aanpak van Resnick (1981; 1987) met de zogeheten

Multibase Arithmetic Blocks (MAB) van Dienes (zie Treffers, 1982a; 1982b). In haar

overzichtsstudie herleidt Fuson (1992) de roep naar modernisering van dit sterk op

het cijferen gerichte rekenonderwijs24 tot drie hoofdmotieven, namelijk: de magere

opbrengst van het cijferonderwijs, de perspectieven die informele rekenhandelingen

van jonge kinderen bieden in relatie tot nieuwe denkbeelden over leren en

onderwijzen en de mogelijkheid om complexe bewerkingen met de zakrekenmachine

uit te voeren. Dit laat zich als volgt begrijpen.

De landelijke evaluatie van de opbrengst van leren rekenen laat onthutsende

resultaten zien (Carpenter, 1981; Reys, 1985; Kouba, Brown, Carpenter, Lindquist,

Silver & Swafford, 198825). Op basis van de toen beschikbare data, maakt Treffers

(1982, p. 108) de ruwe schatting dat 80% á 90% van de kinderen aan het einde van de

basisschool de vier standaardalgoritmen beheerst. Deze beheersing varieert echter

sterk per operatie. Het ligt in de buurt van 90% bij optellen, zakt tot ongeveer 80% bij

aftrekken, nadert de 70% bij vermenigvuldigen en ligt omstreeks 60% bij delen.

Vergelijkingen met Aziatische landen (Rohlen, 1983; Song & Ginsburg, 1987;

Stevenson, Lee & Stigler, 1986) brengen volgens Fuson onweerlegbare gebreken in

groep 3 tot en met 5 aan het licht in het domein van de getallen en de bewerkingen.

De magere opbrengst van het cijferonderwijs in vergelijking met de geïnvesteerde

leertijd is het eerste motief om het belang van routinematig gestandaardiseerd rekenen

te heroverwegen.

Een tweede motief wordt ingegeven door het spontane rekenwerk van de

leerlingen. Onderzoek brengt aan het licht dat kinderen ‘word problems’ vaak niet

volgens de geleerde algoritmen oplossen, maar juist op een persoonlijke manier, vanuit

een eigen interpretatie van de context en notie van de onderliggende numerieke relatie

24 Volgens de door de Goei (2001, p. 17) geraadpleegde data, werd in 1975 slechts 10% van de onderwijstijd aan leren hoofdrekenen besteed.

25 Een derde van de leerlingen uit jaargroep 5 kan een aftrekking als 62-48 niet correct uitrekenen. Slechts 70% van een steekproef leerlingen uit jaargroep 7 uit de omgeving van Chicago, kan een aftrekkingen met twee keer inwisselen foutloos maken (Stigler e.a., 1990).

Hoofdstuk 2

34

en gebruikmakend van beschikbare tel- en rekenvaardigheden. Dit spoorde aan om de

rekenvaardigheid vanuit de informele notie van ‘getal’, ‘tellen’, ‘optellen’ en ‘aftrekken’

te ontwikkelen. Men besefte ook dat het stereotype en routinematig oplossen van

schoolse problemen uit de tijd was en dat leerlingen de vereiste rekenkennis en

vaardigheden het beste konden verwerven via het oplossen van gevarieerde optelen

aftrekproblemen en de interactieve reflectie op zelf gevonden foutieve en correcte

oplossingen. Fuson expliciteert de uitdaging als ‘to create a new vision of the

mathematics classroom that both reflect new knowledge about children’s thinking and

is consistent with the new educational goal’ (p. 243). Ze schetst, vanuit dit perspectief,

als volgt het beeld dat ze zich van de ideale praktijk in de zogenoemde

“reformklassen” van de Amerikaanse vernieuwingsbeweging heeft gevormd:

Our envisioned school mathematics classrooms thus are places where (a)

children are engaged in mathematical situations that are meaningful and

interesting to hem, (b) the emphasis is on sustained engagement in

mathematical situations, not on rapidly obtaining answers, (c) alternative

solution procedures are accepted, discussed and justified, and, (d) errors are

just expected way stations on the road to solutions and should be analyzed in

order to increase everyone’s understanding (p.269).

Aansluitend bij het constructivistische standpunt van Cobb, Yackel, Wood,

Wheatley & Merkel (1988) stelt Fuson ten slotte al vast dat leraren dit pas zullen

bereiken indien ze erin slagen een nieuwe cultuur en manier van communiceren met

hun leerlingen te ontwikkelen die de participatie en de voortgang van elke leerling en

van de groep als geheel bevorderen:

Teachers will need to create new classroom norms in order for children to

function in this new way so that (a) children feel free to make and correct

their own errors, (b) sustained efforts and progress, not th e number of

problems completed, is rewarded, and (c) children figure out their own

solution and explain it rather than searching for a remembering the ‘right’

answer (ibid. 269).

2.2.2 Het Engelse Cockcroft report

Brown (1999) schetst een vergelijkbare ontwikkeling in Engeland. In tegenstelling tot

de V.S. en Nederland, drukken de beleidsmakers van de opeenvolgende regeringen

sterk hun stempel op het onderwijs in de klas. In een decennium van excessieve

vrijheid, rijst halverwege de jaren zeventig het idee op van een uniform ‘core’

curriculum. Een onderzoekcommissie onder leiding van Sir Wilfred Cockcroft wordt

ingesteld om de stand van zaken in het rekenonderwijs op te nemen naar aanleiding

van klachten over gebrekkige vaardigheden van jonge werknemers. Het onderzoek

brengt drie hoofdproblemen aan het licht:


35

– veel volwassenen voelen zich niet veilig bij het toepassen van wat ze op school

hebben geleerd;

– kinderen en volwassenen passen eigen rekenmanieren toe en niet de geleerde

schoolalgoritmen en;

– de verschillen tussen de minst en de meest gevorderde leerlingen binnen een

zelfde klas kunnen tot zes - zeven jaar oplopen.

Het Cockcroft rapport (1982) pleit dan ook voor een basisonderwijs dat kinderen

vertrouwen geeft in eigen kennis en kunde, eigen constructies en producties bevordert

en gericht is op inzichtelijk leren en verstandelijk toepassen van het geleerde.

Interactieve activiteiten worden aanbevolen om deze begripsvorming en een positieve

houding ten opzichte van wiskunde te bevorderen. Ook wordt aanbevolen het

onderwijs te differentiëren om in te kunnen spelen op de verschillen in begrip- en

vaardigheidsniveau tussen de leerlingen. Ten slotte wordt aangespoord om de

zakrekenmachine in te voeren als hulpmiddel ter ondersteuning van de

begripsvorming van getallen en de ontwikkeling van hoofdrekenprocedures.

Als reactie op de tegenvallende resultaten op het gebied van de getallen en de

bewerkingen werden onder een conservatief bewind opeenvolgende richtlijnen

geformuleerd voor een ‘National Curriculum for Mathematics’. In de lijn van de

Amerikaanse standaarden, wordt aanvankelijk de nadruk gelegd op de begripsvorming,

hoofdrekenen en schattend rekenen, inclusief het gebruik van de zakrekenmachine, in een

probleemgericht en interactief-reflectieve setting (class instruction). In haar “swing of

the pendulum” memoreert Margaret Brown (1990) dat de overheid echter, onder de

druk van de media en populaire opinion polls, referentieniveaus op verschillende

tijdstippen van de vorming tussen 5 en 16 jaar invoert. Hierdoor individualiseren

scholen en leraren hoe langer hoe meer opnieuw hun onderwijs om de verwachte

norm te realiseren. Deze tegenbeweging belemmert de voortang in de ingeslagen weg

van probleemgericht interactief onderwijs. Nieuwe aanwijzingen van het dominant

gebruik van cijferprocedures en een gebrekkige hoofdrekenvaardigheid leiden in 1996

tot het National Numeracy project (DES, 1999) onder het nieuwe bewind van de Labour

Party. ‘Mental calculation’ wordt, naast het schriftelijk rekenen, nieuw leven

ingeblazen, vanuit het inmiddels mondiaal aangehangen principe dat alle leerlingen in

staat zijn zelf een breed repertoire van hoofdrekenmethoden en –procedures te

ontwikkelen en flexibel te leren toepassen (Thompson, 1997; 1999).

2.2.3 Stille revolutie in Nederland

Wij zagen in hoofdstuk 1 dat het Wiskobasteam in de loop van de jaren zeventig de

innovatie van het rekenonderwijs op gang heeft gebracht vanuit haar opdracht om een

alternatief te ontwikkelen voor het traditionele rekenonderwijs en de New Math

beweging in opkomst. Ze hebben hierna hun werk voortgezet met nieuwe collega’s

van de vakgroep OW&OC en in direct overleg met beleidsmedewerkers van het

Hoofdstuk 2

36

ministerie en rekenexperts uit de verzorgingstructuur. In vergelijking met de V.S. en

Engeland wordt dit vernieuwingsproces in Nederland meer beleefd als een ‘stille

revolutie’ (Gravemeijer, 1995; KNAW-commissie, 2009; Treffers, 2010) dan als een

‘reform’. De Engelse onderwijsgemeenschap was overgeleverd aan de grillen van de

beleidsmakers en de NCTM moest, van begin af aan, haar standaarden zien te

verdedigen tegen machtige lobby’s en aanhangers van de traditionele onderwijsaanpak.

De vernieuwers in Nederland konden echter telkens voortbouwen op

verworvenheden, in dialoog met de beleidsmakers en partners in het onderwijsveld,

ook al hebben verschillen in inzichten over het belang van leerstofonderdelen, de

nascholing en specialisatie van de leraar deze samenwerking tijdelijk onder druk gezet.

De Moor (2009) die lid was van het Wiskobasteam onderscheidt drie fasen in zijn

historische reconstructie van de ontwikkelingen vanaf 1980. Ze worden hieronder in

dit perspectief gepresenteerd en in de hierna volgende paragrafen een voor een

behandeld.

In de periode van 1970 tot 1980 neemt het Wiskobasteam van het Instituut voor

de Ontwikkeling van het Wiskunde Onderwijs (IOWO) de leerplanontwikkeling,

opleiding, heroriëntering van de leraren (nascholing) en onderzoek ter hand. Het team

experimenteert van meet af aan in de praktijk en betrekt daarbij het onderwijsveld.

‘Verlevendiging van het rekenonderwijs’ is het sleutelwoord bij de productie van

inhoudelijke en didactische materialen, aldus De Moor (ibid. 90). Een nieuwe stijl van

hoofdrekenen wordt ontwikkeld, namelijk ‘flexibel’ (Jansen, 1973) dan wel ‘gevarieerd’

rekenen (De Moor, 1980) ‘met-het-hoofd’ en niet ‘uit-het-hoofd’. Er wordt hiernaast

een eerste alternatief ontwikkeld voor de traditionele aanpak van rekenen onder elkaar:

het ‘inzichtelijk’ cijferen met de abacus (De Jong, 1977). Treffers (1978) zet ten slotte

met zijn proefschrift Wiskobas doelgericht de realistische theorievorming in de steigers

rond het principe van de driedimensionale beschrijving van de doelen van het reken-

wiskundeonderwijs. Al deze ideeën worden in meer of mindere mate verwerkt in de

nieuwe rekenmethoden die in deze periode op de markt verschijnen26. De oprichting

van de Stichting Leerplan Ontwikkeling (SLO) luidt de opheffing van het IOWO in.

Het biedt, evenals als de vakgroep OW & OC onderdak aan de voormalige

Wiskobasleden die daar hun vernieuwingswerk onder nieuwe beleidscondities

voortzetten.

Begin jaren tachtig verzoekt het Ministerie van Onderwijs en Wetenschappen de

SLO een ‘model onderwijsplan’ voor de basisschool ‘in aankomst’ te ontwerpen. Het

woord ‘model’ geeft aan dat het plan een voorbeeldfunctie zou moeten hebben (van

Die, 2010, p. 15) en geen afgedwongen ‘canon’ kon zijn (Van Bruggen & Gorter,

1985). Het ging erom scholen houvast te geven bij de longitudinale planning van hun

onderwijs, opdat iedere leerling zich tussen 4 en 13 jaar ononderbroken kon

ontwikkelen. De ingestelde Projectgroep Leerplanontwikkeling Basisschool (pg LOB)

26 Gedoeld wordt op het drietal ‘hybride’ rekenmethoden Hoy! rekenen!, Getal in beeld en Operatoir Rekenen - nieuw en de methode Taltaal die, volgens de Jong (1985, p. 20), de eerste methode is die ‘vrijwel volledig op de realistische leest is geschoeid’.


37

zou hiertoe een voorstel moeten indienen na raadpleging van vakdeskundigen en

deskundigen uit de onderwijspraktijk, waarop de instanties van de advies- en

overlegstructuur commentaar konden leveren. De pg LOB slaagde er echter niet in

om, op basis van het basismateriaal dat in de brochure ‘Wat krijgen ze op de basisschool’

werd vastgelegd, een valide leerplan voor de basisschool te ontwerpen, aldus van Die

(ibid. 15). Volgens hem lag het niet aan het ontbreken van een gemeenschappelijke

visie op het onderwijs. Het onderwijsplan was toen voor Nederland een brug te ver,

zowel onderwijskundig als onderwijspolitiek gezien. Van Die (ibid. 15) licht dit als

volgt toe:

Leerplanontwikkeling is het sluitstuk van een cyclisch proces, waarin nieuwe

ideeën aan de onderwijspraktijk worden getoetst en waarbij onderzoekers,

ontwikkelaars en praktijkdeskundigen nauw samenwerken. Aan

leerplanontwikkeling gaan onderzoek en onderwijsontwikkeling vooraf’27.

Er waren ook principiële bezwaren tegen een onderwijsplan. Confessionele

politici en besturen van bijzondere scholen verzetten zich tegen, wat ze wel

noemden, centralisme en staatspedagogiek. Zij vreesden aantasting van hun

pedagogische of levensbeschouwelijke identiteit en wantrouwde de plannen

van PvdA minister Van Kemenade.

Dit probleem wordt pas opgelost na de integratie van het kleuteronderwijs met het

lager onderwijs, via de omschrijving van het nieuwe leerstofgebied Rekenen-wiskunde

en de formulering van de einddoelen als alternatief voor het onhaalbare onderwijsplan.

De SLO krijgt halverwege 1987 de opdracht om voorlopige ‘eindtermen’ te

formuleren. De ingestelde ontwikkelgroep28 presenteert begin 1989 haar eindvoorstel

dat met moeite de raadplegings- en adviesronde overleeft door verschillen van

inzichten tussen de ontwikkelgroep en de betreffende instanties over de relevantie van

sommige domeinen (meetkunde) en leerdoelen (gevarieerd tellen). Dit proces leidt

uiteindelijk tot de legitimering van het Besluit Kerndoelen voor het Basisonderwijs (Ministerie

van Onderwijs en Wetenschappen, 1993).

Na de opheffing van het IOWO, richten voormalige Wiskobasleden de

Nederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-WiskundeOnderwijs

(NVORWO) op om de coördinerende rol die het instituut had over te nemen en de

opinievorming voort te zetten. Begin jaren tachtig neemt het marktaandeel van de

realistische methoden toe door de ontwikkeling vanuit instellingen binnen de

verzorgingsstructuur29 van drie nieuwe methoden op basis van de beschikbare

Wiskobasmaterialen en (concept)leergangen. In die omstandigheden komt het bestuur

van de NVORWO op het idee om de onderwijspolitieke ontwikkelingen als lift te

gebruiken voor de bredere invoering en ook de legitimering van de realistische

27 Vergelijk Gravemeijer (1994; 1997; 2004). 28 Deze groep bestond uit medewerkers van SLO, OW & OC, Cito, Panama en NVORWO. 29 Zie de Wereld in getallen (schoolbegeleidingsdienst Arnhem), Rekenen en Wiskunde (OSM Rotterdam) en

het Utrechts reken-wiskundeprogramma (schooladviescentrum Utrecht).

Hoofdstuk 2

38

onderwijsaanpak. Treffers en de Moor krijgen van het bestuur de opdracht te

onderzoeken of het mogelijk is consensus te verkrijgen binnen de

verzorgingsstructuur en het onderwijsveld over de inhoudelijke kern van een

‘nationaal plan’ voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool dat aansluit bij

de omschrijving van het nieuwe vakgebied in het conceptartikel van de Wet op het

basisonderwijs en Wat krijgen ze op de basisschool? De NVORWO heeft twee praktische

doelen voor ogen: het bewerkstelligen van een ‘zekere inhoudelijke homogenisering’

in het reken-wiskundeonderwijs (d.w.z. in de realistische stijl) en het scheppen van

‘gunstige condities’ hiertoe op het niveau van de opleiding, nascholing, begeleiding,

ontwikkeling en de samenhang hiertussen (Treffers en de Moor, 1984, 5).

Tegelijkertijd streeft het realistisch netwerk naar een indirecte legitimering van de

ondernomen vernieuwing via de aansluiting bij de lopende beleidsontwikkelingen en

innovatieverwachtingen van de overheid (ibid. 6).

Treffers en de Moor (1984) zetten in dit perspectief de beoogde kerninhouden en

condities uiteen in ‘10 voor de basisvorming REKENEN/WISKUNDE’ en organiseren

de raadpleging van de verzorgingstructuur op de Panamaconferentie in het najaar van

1984. Tweehonderdveertig opleiders wiskunde & didactiek, schoolbegeleiders,

onderzoekers, leerplanontwikkelaars, etc.) geven schriftelijk hun mening over de

voorgelegde inhouden en condities. Hun standpunten en het aanvullende

veldonderzoek resulteren in de algemene goedkeuring van de voorgestelde koers die

vastgesteld is in het rapport 10 voor de basisvorming onderzocht (Cadot & Vroegindeweij,

1986).

Treffers, de Moor en Feijs richten zich vanaf dat moment op het ontwerp van de

zogenoemde Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de

basisschool. Het woord ‘proeve’ geeft aan wat ze met het uit te geven boek beogen,

namelijk een ‘probeersel’. De ontwerpers zullen einddoelen formuleren (leergedrag), en

daarbij beschrijven waaraan (leerinhouden) en hoe (didactische context) de leerling zijn

kennis, inzichten en vaardigheden kan verwerven. Ze kiezen daarom voor het woord

‘programma’ in plaats van de oorspronkelijke term ‘plan’ (Treffers, de Moor en Feijs,

1987a, p. 8). Het ontwerpen van dit programma loopt parallel aan de ontwikkeling van

de eindtermen door de groep waar Treffers en de Moor ook zitting hebben. Dit

bevordert de kans op een indirecte legitimering van de Proeve… via de algemene

doelen en kerndoelen rekenen-wiskunde. Treffers, de Moor en Feijs presenteren hun

uitgewerkte voorstellen in een drietal afleveringen van de Proeve… in het Tijdschrift voor

nascholing en onderzoek van het rekenwiskundeonderwijs (1987a; 1987b; 1988), waar de

rekenexperts uit de verzorgingsstructuur direct op reageren.

Deze ontwerpactiviteiten hebben vier jaar in beslag genomen. De definitieve versie

van de Proeve… wordt uitgegeven door Zwijsen. Deel 1 (Treffers, de Moor & Feijs,

1989) presenteert de algemene doelen van rekenen-wiskunde en een honderdtal

voorbeeldopgaven die het aanbod illustreren. Deze beschrijving komt overeen met de

summiere schets van het leerstofgebied rekenen-wiskunde in het eindvoorstel

Eindtermen van de SLO-ontwikkelingsgroep dat in het Besluit Kerndoelen voor het


39

Basisonderwijs (Ministerie van Onderwijs en Wetenschappen, 1993) is overgenomen.

Deel 2 (Treffers & de Moor, 1990) zoomt in op de basisvaardigheden en het cijferen.

Het bevat de richtlijnen die de auteurgroepen hebben gevolgd bij het ontwerpen van

de ‘derde’ generatie ‘realistische’ methoden tussen 1990 en 2002.

Tussen 1990 en 2002 verschuift de aandacht van de vernieuwers van ‘canonvorming’

naar ontwikkelingsonderzoek. Een brede groep rekendidactici en onderzoekers

experimenteert met activiteiten, leeromgevingen en -trajecten (o.a. Veltman, 1993;

Klein, 1998; Boswinkel,1995; Beishuizen, 1997) voor de realisering van de kerndoelen

hoofdrekenen en cijferen. Ze gaan daarbij uit van de leerprincipes van de zogenoemde

‘reconstructiedidactiek’ (Treffers, 1987) en zetten, aldoende, de zogeheten ‘lokale’

theorie voor rekenen onder de honderd in de steigers. ‘Progressief mathematiseren’

fungeert als sleutelbegrip in deze experimentele fase van de voortgezette

onderwijsontwikkeling op het gebied van Rekenen-wiskunde.

In de tweede helft van de jaren negentig wordt, via het schooltoezicht van de

inspectie, hoe langer hoe duidelijker dat de kerndoelen schoolteams niet het houvast

bieden dat zij nodig hebben om langlopende processen als leren hoofdrekenen

adequaat te plannen. Het Ministerie van OCW stelt financiële middelen beschikbaar

voor het project ‘Tussendoelen Annex Leerlijnen’ (TAL). Het wordt, wat rekenen-

wiskunde betreft, uitgevoerd door het Freudenthal Instituut en de SLO. Het

zogenoemde TAL-team richt zich in eerste instantie op een scherpere markering en

nadere uitwerking van de rekenlijn van de Proeve… in het domein van de gehele

getallen en de bewerkingen. Dit resulteert in twee publicaties over de voortgang in de

eerste helft van de basisschool (TAL-team, 1999) en in de bovenbouw (Van den

Heuvel-Panhuizen, Buijs & Treffers, 2001). Auteursgroepen bewerken de

gepubliceerde bevindingen, de programmaonderdelen en de rekenlijn van de Proeve…

en de beschikbare conceptversies van TAL bij hun herziening van de al bestaande

realistische methoden30 dan wel bij het ontwerp van nieuwe methoden met dezelfde

realistische grondslag31. Het zijn deze methoden waarmee de leerlingen van het

vigerende onderzoek hebben leren rekenen.

Terugblikkend op deze lange ontwikkeling kunnen we concluderen dat de

programmatische vernieuwing in Nederland door twee hoofdfactoren ‘stilletjes’ is

verlopen, enerzijds door de politieke keuze voor kerndoelen in plaats van een

nationaal onderwijsplan en anderzijds door de innovatiestrategie van het realistische

netwerk. Als vereniging van experts uit de verschillende sectoren van de

verzorgingstructuur kon de NVORWO doen wat het Ministerie van OCW niet werd

toegestaan: het uitgeven van een onderwijsprogramma als ‘modelvoorbeeld’ voor goed

reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Een programma dat hierna, met name

voor het optellen en aftrekken tot 100, verder wordt uitgewerkt.

30 Zie de Wereld in Getallen (nieuw), Pluspunt (nieuw) en Wis en Reken (de bewerking van Rekenen en Wiskunde)

31 Gedoeld wordt op Rekenrijk, Talrijk en Alles Telt.

Hoofdstuk 2

40

2.3 Nederlandse koers: integratie van cijferen en de

toepassingen met hoofdrekenen

De lancering van de kunstmaan Spoetnik door de Sovjet Unie in 1957 heeft veel

landen ertoe gebracht het rekenonderwijs drastisch te vernieuwen door de

verzamelingenleer in te voeren, vanuit de verwachting dat ze hierdoor de opgelopen

achterstand in wiskunde en natuurkunde konden reduceren. Op een vergelijkbare

manier heeft de toegankelijkheid van de zakrekenmachine en het toenemend gebruik

van PC begin jaren tachtig de hoofdrekenbeweging doen ontstaan vanuit de

overtuiging dat cijferen ‘uit de tijd’ was en dat men zich thans moest richten op de

vorming van ‘gecijferde’ burgers (Paulos, 1988; MacIntosh, Reijs & Reijs, 1992).

Net zoals in Engeland en de Verenigde Staten, stond Nederland eind jaren

zeventig, begin jaren tachtig voor de keuze tussen het roer omgooien in de richting

van hoofdrekenen en het cijferen afschaffen zoals aanbevolen door autoriteiten als

Plunkett, (1979), Papert (1980) en Levin (1981) of de vigerende onderwijsaanpak

bijstellen door zich te richten op de ontwikkeling door de leerling van eigen,

functionele instrumenten voor globaal en precies rekenen, zoals aanbevolen door de

NTCM – de Amerikaanse vereniging van wiskundedocenten. Potentiële problemen bij

dit alternatief lagen in de verhouding qua leertijd, de volgorde van aanbieding en

vooral de samenhang tussen globaal (schattend) rekenen en precies rekenen met een

of andere hoofdrekenmethode, dan wel algoritmisch met pen en papier (cijferen) of met de

zakrekenmachine.

Met een serie van drie artikelen, rechtvaardigt Treffers (1982a; 1982b; 1983) de

‘derde weg’ die de realistische didactici anno 1980 inslaan, die van de integratie van

cijferen en de toepassingen met hoofdrekenen, vanuit het principe van de progressieve

schematisering van de rekenhandelingen. De typisch Nederlandse oplossing van

tegenstellingen is het resultaat van een getrapte doordenking van het traditionele

cijferen. Het veranderingsproces vangt aan in de jaren zeventig met de modernisering

van de cijferdidactiek door de Wiskobasgroep. Het vindt haar beslag in de

leerlijnbeschrijving ‘Kolomsgewijs rekenen en cijferen’ (Treffers, Noteboom & De Goei,

2001), die een uitwerking is van de zogenoemde ‘combinatiemethode hoofdrekenen-

cijferen’ uit deel 2 van de Proeve… (Treffers & de Moor,1990, 191-194). In het vervolg

wordt de argumentatie van deze onderwijsaanpak op hoofdpunten weergegeven.

Traditie van geïsoleerd hoofdrekenen en cijferen

In de Nederlandse onderwijstraditie is er naast het cijferen ook altijd veel aandacht

voor het hoofdrekenen geweest (Treffers, 2010). Dit typeert het verschil met de

traditie in Engeland en de Verenigde Staten waar hoofdrekenen slechts als middel

fungeert om de rekenfeiten en de basisautomatismen te verwerven die voorwaardelijk

zijn voor een vlotte uitvoering van de cijferalgoritmen. Er waren echter meestal geen

verbindingen tussen de leergangen van cijferen en hoofdrekenen: ze stonden ‘naast


41

elkaar’ en ‘los van elkaar’, aldus Treffers (1991). En vaak werden ze ook nog ongeveer

‘gelijk gestart’. De verbinding die Diels en Nauta (1936) in de methode Fundamenteel

Rekenen tussen hoofdrekenen en cijferen leggen, geldt dan ook als hét tegenvoorbeeld

van de traditionele rekendidactiek. Alvorens hierop in te gaan, zetten we eerst uiteen

wat men in Nederland per traditie onder ‘hoofdrekenen’ en ‘cijferen’ verstaat.

De meest ‘enge’ betekenis van hoofdrekenen is wat Zernike er aan het begin van

de 20e eeuw onder verstaat, namelijk ‘rekenen waarbij noch de gegeven getallen, noch

de gedeeltelijke, noch de einduitkomsten worden opgeschreven’. Zijn tijdgenoot

Versluijs verruimt deze opvatting van niet-schriftelijk rekenen, rekenen-uit-het hoofd als

volgt:

Eén groot verschil tusschen het hoofdrekenen en het cijferen bestaat hierin

dan men bij het cijferen gewoonlijk begint met eenheden van den laagsten

rang en bij het hoofdrekenen met de eenheden van den hoogsten rang. Bij de

deling begint men altijd met eenheden van den hoogsten rang.

Verder volgt men bij het cijferen meestal vaste regels, dat wil zeggen: men

handelt bij gevallen van dezelfde soort steeds op dezelfde wijze. Bij het

hoofdrekenen daarentegen brengt men verschillende bekortingen aan,

waartoe de getallen in veel gevallen aanleiding geven (geciteerd door Treffers,

1991).

Dit beeld van hoofdrekenen als niet-cijferend rekenen, rekenen-met-het hoofd is de

meest gangbare interpretatie van hoofdrekenen. Verschillende uitdrukkingen zijn in de

loop der jaren bedacht om dit verschil tussen hoofdrekenen en cijferen te duiden:

flexibel rekenen (Jansen, 1973), gevarieerd rekenen (De Moor, 1980), eigenschapsrekenen

(Goffree, 1982) en handig rekenen (Nieland, 1986). In het werkboek 10 voor de

basisvorming rekenen/wiskunde maken Treffers en de Moor (1984) onderscheid tussen

drie vormen van rekenen, namelijk:

– elementair hoofdrekenen in de vorm routinematig optellen en aftrekken onder

de 100 (1000);

– onder elkaar optellen en aftrekken volgens de Wiskobas cijfersystematiek en;

– hoofdrekenen-plus, dat zowel schattend rekenen als handig / gevarieerd

rekenen omvat.

Modernisering van het traditioneel cijferen

In Cijferen in het rekenonderwijs van toen en nu schetst Treffers (1982a) de algemene

kenmerken van het traditionele cijferen in methoden als ‘Naar zelfstandig rekenen’32. Hij

zet daar tegenover de drie nieuwe cijferdidactieken die ontwikkeld zijn in het kader

van de internationale beweging van ‘wiskunde-onderwijs op de basisschool’.

32 Bij de eerste rekenpeiling halverwege de basisschool (1987) werd deze methode nog in ruim 22% van de scholen gebruikt (Wijnstra, 1988).

Hoofdstuk 2

42

Onderstaande vier kenmerken typeren volgens Treffers (ibid. 111) de traditionele

cijferdidactiek:

1. de ordening van de leerstof volgens het principe van de ‘progressieve

complicering’, ervan uitgaande dat de grootte van de getallen, het aantal

inwissel- of leenhandelingen en de vereiste rekenautomatismen de

moeilijkheidsgraad van de cijferhandelingen bepalen;

2. het direct afstevenen op het eindalgoritme bij elke nieuwe stap in de leergang;

3. de korte oriëntatie in de kenmerken van het positiesysteem ter verklaring van

de schrijfwijze van de getallen en het vertikaal bewerken van de positiecijfers;

4. het ontbreken van begripondersteunend positiemateriaal.

Deze ‘mechanistische’ aanpak wordt in drie varianten gemoderniseerd, namelijk op

de leest van Dienes’ (1970) leertheorie, in een milde vorm van algoritmiseren en `á la

Wiskobas’.

In Dienes didactiek worden de cijferhandelingen, precies zoals bij het traditionele

cijferen van deelgeval tot deelgeval c.q. van gemakkelijk naar moeilijk ‘getrapt’

geformaliseerd. Het gebruik van de inzichtondersteunende positiematerialen (MAB-

blokken, abacus en positieschema) en de oriëntatie in positioneel rekenen via het leren

rekenen in andere talstelsels maken het verschil met de ‘oude’ cijferdidactiek.

De tweede variant van modern cijferen lijkt, wat de structurering van het leerproces

betreft, op Dienes’ aanpak. Het verschil is dat de leerling slechts op een elementair

niveau leert cijferen en de zakrekenmachine leert gebruiken om de complexere

bewerkingen uit te voeren, conform Plunketts (1979) denkbeelden.

Het Wiskobasteam breekt radicaal met de traditie door afstand te nemen van het

direct leren van de eindvorm. Het team richt zich op de ‘groei’ van de leerling naar het

eindalgoritme via het aanbrengen van verkortingen in de manier van rekenen langs

verschillende niveaus van schematisering (Treffers, 1982a, p. 103), naar het voorbeeld

van Wanders en Bohncke (1970) in de methode ‘Boeiend Rekenen’. Vanuit deze

invalshoek wordt een conceptleergang ontwikkeld (de Jong, 1975) die het spiegelbeeld

is van de cijferleergangen in de geest van Dienes (ibid. 112). Figuur 2.1 illustreert de

gevolgde weg van de zogenoemde progressieve schematisering.

De leerling rekent van begin af aan met relatief grote getallen en schematiseert stap

voor stap (progressief) zijn handelingen langs drie niveaus van abstractie en

symbolisering, namelijk 1. met de Dienes’ blokken in combinatie met een notatie in

een positieschema, 2. via het schuiven van kralen op de abacus en 3. puur mentaal en

op een standaardmanier, conform de handelingen met de abacus.


43

(2) Met de abakus

(1) Met MAB-blokjes en positischema (3) Notatie met

positiestrepen

(zonder hulpmiddelen)

(4) Eindalgoritme

Figuur 2.1 Stappen in de progressieve schematisering van de rekenhandelingenin de Wiskobas leergang (Bron: Treffers, 1982a, p. 111)

Conclusie

Concluderend kan worden gesteld dat de vernieuwers in Nederland zich strikt hebben

gehouden aan de kerndoelen door vier vormen van optellen en aftrekken in de

communale doelen van het realistisch programma op te nemen, namelijk

– gestandaardiseerd (‘gestyleerd’) in de vorm van sequentieel optellen en

aftrekken (‘springmethode’; ‘rijmethode’; ‘rijgen’) en optellen en aftrekken met

positiewaarden (‘splitsmethode’; ‘kolommethode’);

– ‘gevarieerd’ hoofdrekenen als het ‘flexibel’ en ‘handig’ gebruik van de

eigenschappen van de getallen en de operaties;

– schattend rekenen en;

– onder elkaar rekenen met positiecijfers (cijferen).

2.4 Uitgangspunten voor het onderwijs in optellen en aftrekken

van gehele getallen

De hiervoor geschetste ontwikkelingen hebben de basis gelegd voor de

onderwijsvernieuwing waarvan (een deel van) de opbrengsten in dit proefschrift

worden onderzocht. Voordat wordt besproken wat de vernieuwing voor het

Hoofdstuk 2

44

onderzochte leerstofgebied betekent, wordt eerst kort ingegaan op de belangrijkste

uitgangspunten. Dit betreft in de eerste plaats meer aandacht voor toepasbaarheid. De

leergangen van het rekenonderwijs tussen 1950-1975 omvatten vrijwel uitsluitend

‘kale’ rekensommen. Toepassingen komen pas aan het einde van het leertraject aan de

orde in de vorm van ‘aangeklede’ rekenopgaven en ‘redactiesommen’.

Contextproblemen komen bij uitzondering voor. Om de toepasbaarheid van de reken-

en wiskundevaardigheden te waarborgen, moeten contextproblemen volgens de

vernieuwers nu juist ‘in het hart’ van het reken-wiskundeonderwijs staan. Zo kunnen

ze een brug slaan tussen de formele wiskunde (het rekensysteem) en de informele

denkbeelden en spontane handelingspatronen van jonge kinderen.

In de loop van een leergang vervullen contexten vier functies: de begripsvorming,

de modelvorming, de toepasbaarheid en de oefening die Treffers en de Moor (1984)

als volgt onder woorden brengen. Contextproblemen:

– verschaffen in het begin van een leergang een natuurlijke en aansprekende

toegang tot de wiskunde;

– bieden houvast bij het uitvoeren van formele operaties en procedures;

– leggen de realiteit als toepassingsgebied bloot en;

– geven betekenis aan de oefening van specifieke vaardigheden.

Contextrijk aanvangsonderwijs legt de nadruk op een samenhangend geheel van

‘onderzoeksgerichte en taalverrijkende activiteiten’ die plaats vinden in ‘probleemsituaties

die nauw verbonden zijn met de echte of voorstelbare realiteit’, aldus Treffers en de

Moor (ibid. 35). Voor het leren rekenen houdt dit in dat elementaire contextopgaven

de ingang bieden voor tellen, vergelijken en rekenend opereren met natuurlijke

getallen. Vanuit dit gezichtspunt is reken-wiskundeonderwijs dat gericht is op

geïsoleerde begripsverwerving te vergelijken met taalonderwijs dat uitsluitend oog

heeft voor het leren van vocabulaire.

Daarnaast worden echter ook het belang van elementaire feitenkennis en

hoofdrekenvaardigheid benadrukt:

Het is een eerste vereiste dat leerlingen de tafels van de vier

hoofdbewerkingen memoriseren. Ten tweede dienen de kinderen elementaire

hoofdrekenopgaven vlot en inzichtelijk te kunnen berekenen (ibid. 38).

Tot omstreeks 1960 werden de opteltafels via klassikale mondelinge activiteiten

ingeslepen. De individualisering van de jaren zeventig maakte daar zowel in Nederland

(Treffers en de Moor, 1990) als in Engeland (Brown, 1999) een einde aan. Het

aanvankelijke rekenen nieuwe stijl zou nu kunnen fungeren als natuurlijke aanloop tot

hoofdrekenen, indien de leerlingen in staat worden gesteld de rekenfeiten onder de

tien inzichtelijk te reconstrueren en optellingen en aftrekkingen over de tien en tussen

tien en twintig geleidelijk aan te automatiseren. Dit vergt een nieuwe aanpak die de


45

overgang bevordert van verkort tellen naar structureren en handig rekenen, gebruik makend

van de eigenschappen van optellen en de inverse relatie tussen optellen en aftrekken.

Op een vergelijkbare manier zouden leerlingen elementaire hoofdrekenopgaven

onder de honderd als 43+39 en 85-38 uiteindelijk (als eindpunt) automatisch moeten

kunnen uitrekenen via het steeds ‘verder verkorten van handig rekenen op basis van

kennis van de tafels, begrip van eigenschappen en inzicht in het positiesysteem’.

Behalve het vlot kunnen rekenen en het kunnen omgaan met toepassingssituaties,

worden er door de Nederlandse vernieuwers nog twee functies aan het onderwijs in

het hoofdrekenend optellen en aftrekken tot 100 toegekend. Dit betreft enerzijds de

meer strategische kant van het hoofdrekenen en anderzijds de rol die het

hoofdrekenen kan vervullen als voorbereiding op het leren cijferen. Wat dit laatste

betreft constateerden we in paragraaf 2.2 al dat het cijferen haar maatschappelijke

functie grotendeels was kwijtgeraakt. Treffers en de Moor vertolken het Wiskobas

standpunt dat aanzienlijk minder tijd aan cijferen kan worden besteed ‘indien het

directe aanleren van de algoritmen wordt vervangen door geleidelijk inkorten van

rekenprocedures via handig rekenen’, aldus Treffers en de Moor (ibid. 40). Ze stellen

concreet voor om de cijfermethodiek te vervangen door Treffers’ (1983) aanpak van

het zogenoemde ‘geïntegreerde cijferen volgens de progressieve schematisering’. Deze

benadering van algoritmiseren laat een gevarieerd leertempo en uiteenlopende

eindniveaus toe, afhankelijk van het leervermogen van de leerling.

De meer strategische kant van het hoofdrekenen heeft in Nederland van oudsher

een plaats naast de meer routinematige vorm van hoofdrekenen, en wordt met

verschillende termen aangeduid: eigenschapsrekenen, handig rekenen, flexibel rekenen,

gevarieerd rekenen, schattend rekenen, etc.. Treffers en de Moor vatten dit alles samen in de

term ‘hoofdrekenen-plus’ (ibid. 42). Ze onderstrepen drie vormen van hoofdrekenen:

handig rekenen dat tot het onderzoeksgebied van deze dissertatie behoort en redenerend

rekenen en schattend rekenen, die er beide buiten vallen.

Bij handig rekenen leren de kinderen handig gebruik te maken van de

eigenschappen van de vier operaties en de relatie tussen deze operaties. Ze benutten

daarbij de feitenkennis en basisvaardigheden die ze bij de lessen elementair

hoofdrekenen verwerven. Dit handig rekenen is geen moderne versie van de

‘rekengymnastiek’ van weleer, maar komt in de praktijk neer op flexibel en gevarieerd

rekenen.

2.5 Hoofdrekenen en cijferen in het realistische programma

De zojuist geschetste uitgangspunten en hiervoor geschetste ontwikkelingen vormen

het kader voor de onderwijsvernieuwing waar het in dit proefschrift omgaat. In de

volgende paragraaf wordt de inhoud van deze onderwijsvernieuwing uitgewerkt voor

het optellen en aftrekken tot 100. Eerst wordt echter kort geschetst wat aan het

optellen en aftrekken onder de honderd vooraf gaat. Dit betreft het ‘tellen’ en het

Hoofdstuk 2

46

‘optellen en aftrekken tot 20’. Daarbij wordt uitgegaan van de kerndoelen zoals die

zijn uitgewerkt en verantwoord in de Proeve… (Treffers, Feijs en de Moor, 1987a;

Treffers en de Moor, 1990).

2.5.1 Tellen

Leerlingen kunnen gevarieerd tellen en terugtellen met eenheden, vijftallen en

machten van tien.33

Treffers en de Moor (1990, p. 12) formuleren deze doelstelling vanuit hun visie op de

dubbele rol die tellen speelt in de fase van het aanvankelijk rekenen. Het ondersteunt

de ontwikkeling van het getalbegrip en vormt tevens de basis voor het vaardig

rekenen. De auteurs expliciteren hun verwachtingen via de beschrijving van de

activiteiten waarmee jonge kinderen zich geleidelijk aan een gedifferentieerd beeld van

het ding ‘getal’ vormen en de verschillende telvormen uitvinden die de weg banen

voor elementair optellen en aftrekken tot 20 en de generalisering van deze procedures

in het getalgebied tot 100. Ze rechtvaardigen deze activiteiten met beschikbare

observaties (van de Brink, 1982; Goffree, 1982; Pot, 1983) en onderzoeksgegevens

(Baroody, 1967; Ginsburg, 1977; Labinowicz, 1985). De trend in de beschreven

voortgang stemt globaal genomen overeen met de empirisch gefundeerde fasering van

de ontwikkeling van tellen als ‘proces’ (Steffe e.a. , 1983; Fuson, 1988) en de

conceptualisering van tweecijferige getallen (Fuson e.a., 1997)34.

2.5.2 Optellen en aftrekken tot 20

De leerling kent de opteltafels en de daaruit afgeleide aftrektafels uit het hoofd (en kan deze kennis

toepassen).

Beheersing van de optelen aftrektafels vormt de grondslag van rekenen tot

honderd en van het cijferen. Daarom formuleren Treffers, de Moor en Feijs (1987, p.

12) in de eerste aflevering van de Proeve… bovenstaand doel van het aanvankelijk

rekenen dat in jaargroep 4, hooguit jaargroep 5 zou moeten worden bereikt. Ze

bevelen een aanpak aan, waarbij specifieke hulpmiddelen worden aangereikt die de

leerling in principe in staat stelt zich drie natuurlijke vormen van hoofdrekenen eigen

te maken en flexibel te leren gebruiken:

33 Aansluitend bij ‘10 voor de basisvorming rekenen/wiskunde' (Treffers en de Moor, 1984) had de ontwikkelgroep eindtermen een apart doel ‘tellen’ geformuleerd. Het werd op verzoek van de Onderwijsraad omwille van de bondigheid geschrapt. ‘Tellen’ opent echter in deel 2 van de Proeve… (Treffers en de Moor, 1990) de beschrijving van de basisvaardigheden, omdat het zowel conceptueel als operationeel de basis legt voor hoofdrekenen.

34 Deze ontwikkeling en conceptualisering worden in kaart gebracht in hoofdstuk 3.


47

– de kralenketting met vijf-structuur ondersteunt de reconstructie en memorisering

van de afsplitsingen van de getallen 2 t/m 10 via de rijgmethode van het splitsen

bij vijf en tien in de telrij, vanuit de wetenschap dat optellen associatief is (8 als

5+3 en 5 als 7-2; 7+5 via 7+3=10 10+2=12);

– het rekenrek, een telraam met vijf- en dubbelstructuur, ondersteunt de reconstructie en

automatisering van de complexere optelen aftrekrelaties ‘rondom de tien’, op

basis van getalbeelden die gehecht zijn aan de vijf- en dubbelstructuur van de

getallen en gebruikmakend van de associatieve en commutatieve eigenschap

van optellen en;

– de kralenketting en vingerbeelden bij de variamethode van het handige rekenen.

2.5.3 Optellen en aftrekken tot 100

De leerling maakt elementaire optelen aftrekopgaven onder de honderd (duizend) vlot, handig en

inzichtelijk.

De conceptparagraaf van de Proeve… (Treffers, de Moor en Feijs, 1987) is nog

sterk geïnspireerd door Wiskobas en leunt op de eerste Leidse onderzoeken

(Beishuizen,1983; 1985; Beishuizen & Van Mulken, 1988) naar de invloed van de

gebruikte rekenleermiddelen en hulpmiddelen tijdens het leerproces op de

oplossingsprocedures van de leerling. De uitwerking in de uitgegeven Proeve …

(Treffers & de Moor, 1990) integreert Wiskobasvondsten met Withney’s idee over

lineair uitbeelden, Madells’ (1985) idee van optellen en aftrekken met MAB zonder

voorschriften. Deze aanpak is gebaseerd op de experimenten in het kader van het

nascholingsproject Speerpunt Rekenen (Vuurmans, 1991). De drie vormen van

hoofdrekenen onder de 100 - wat in schooltal ‘rekenen tot honderd’ wordt genoemd -

zijn in hoofdstuk 1 gepresenteerd aan de hand van de vragen bij het Hans-probleem

(zie figuur 1.2). De rekenvormen, inrichting van de leeromgeving en de inzet van

contextproblemen, hulpmiddelen, schema’s en modellen voor de progressieve

schematisering van de rijg- splits- en variaprocedures zijn ook verkend in het kader

van het nascholingsproject Speerpunt Rekenen (Vuurmans, 1991). In onderstaande

weergave van de doelbeschrijving wordt dan ook de nadruk gelegd op de waarde die

aan hoofdrekenen wordt toegekend.

Treffers, de Moor en Feijs (1987, 25) noemen drie redenen om hoofdrekenen aan

te prijzen. Verwijzend naar een publicatie van het NTCM over hoofdrekenen als

anachronisme of basisvaardigheid, stellen ze vast dat het overgrote deel van het

dagelijks rekenwerk bestaat uit globaal rekenen (schatten) en hoofdrekenen.

Hoofdrekenen heeft hierdoor de praktische waarde verworven die het cijferen tot dan

toe had. Het feit dat kinderen vaak informele oplossingswijzen gebruiken bij het

oplossen van vraagstukken motiveerde Fuson (1992) om deze eigen constructies in de

rekendidactiek te benutten. Hoofdrekenen krijgt hierdoor in de ogen van Treffers, de

Moor en Feis een persoonlijke waarde. Ten slotte voegt het flexibel opereren met

Hoofdstuk 2

48

getallen, numerieke relaties en operaties als knooppunten van een eigen netwerk een

nieuwe dimensie aan rekenen toe die de wiskundige waarde van hoofdrekenen

weerspiegelt. Er zijn kortom redenen genoeg om hoofdrekenen een volwaardige plaats

te geven in het realistisch programma van de basisschool. Dat hoofdrekenen zo

functioneel is, komt grotendeels door de mogelijkheid die het biedt om eenzelfde

probleemsituatie, op eigen niveau van inzicht en vaardigheid, vanuit verschillende

invalshoeken te benaderen en op te lossen. Dit verklaart het gekozen aanbod bij

rekenen onder de honderd en de volgorde van aanbieding van de aangeleerde

hoofdrekenmethoden.

Aangeboden hoofdrekenmethoden en strategieën

Zoals Treffers dat in zijn oratie met de Hans-som heeft geïllustreerd, laten leerlingen

zich aanvankelijk sterk leiden door de semantische structuur van het rekenverhaal dat

we hen voorleggen. In de terminologie van Van Hiele (1971, 1981) herkennen ze een

wiskundig patroon (wiskundige ‘structuur’) dat ze eerder in andere vergelijkbare

verhalen zijn tegengekomen. Deze zogenoemde ‘coping strategies’ zijn in de jaren

tachtig cognitief-psychologisch uitvoerig bestudeerd en in kaart gebracht (Verschaffel

& de Corte, 1997; Verschaffel, Greer & de Corte, 2000). In de Proeve… wordt

impliciet aanbevolen om tweezijdig met de rijgmethode af te trekken, ‘van het einde’

(aftrekken) of ‘van het begin’, de zogenoemde ‘winkelmethode’ van indirect optellen.

De splitsmethode wordt echter eenzijdig toegepast. De leerling telt in optelsituaties

splitsend op of trekt in aftreksituaties splitsend af. Wat is de argumentatie voor dit

aanbod van methoden en combinaties met aftrekstrategieën?

Wat het aanbod van de methoden van hoofdrekenen betreft, beperken Treffers, de

Moor en Feijs (ibid. 26) zich in de conceptversie van de Proeve…, tot een globale

analyse van de sterke en zwakke kanten van rijgen, splitsen en variarekenen ten

opzichte van elkaar en ten opzichte van rekenen onder elkaar (zoals geïllustreerd in

figuur 2.2), daarbij refererend naar de hierboven vermelde Leidse onderzoeken.

De splitsmethode lijkt sterk op het traditionele cijferen. Het voordeel ten opzichte van

het algoritme is dat de leerling van meet af aan een idee krijgt van de orde van grootte

van de uitkomst, omdat hij eerst de grootste eenheden bewerkt. Het heeft echter twee

nadelen. Het belast ten eerste sterk het werkgeheugen, ‘omdat er twee gescheiden

bewerkingen worden gemaakt’, aldus Treffers, de Moor en Feijs (ibid. 26). En in

situaties met tientaloverschrijding, kan de leerling niet aftrekken naar analogie met de

optelhandelingen. Dit is een reden waarom bij menige leerling een foutief algoritme

inslijpt, wat in de Engelstalige literatuur ‘buggy procedures’ wordt genoemd

(Thompson, 1999).

De rijgmethode heeft hetzelfde voordeel als splitsen, maar heeft niet de nadelen

ervan, aldus Treffers, de Moor en Feijs (ibid. 26). Het werkgeheugen wordt ten eerste

minder belast, omdat het tweede getal stukje bij beetje bij het eerste getal wordt

opgeteld of afgetrokken. Het aftrekschema spoort ten tweede met het

handelingspatroon bij optellen dat bovendien ook geschikt is om aanvullend (indirect)


49

op te tellen in plaats van af te trekken, als de context en/of de getallen zich daarvoor

lenen.

Met het cijferalgoritme 1 5 13

38 6 3

25+ 3 8-

63 2 5

Met de splitsmethode

38 + 25 via

30+20=50; 5+8=13, 50+13=63

63-38 via

60-30=30; 3 – 8 = ?

Buggy procedure:

8-3=5; 30+5=35

Met de rijgmethode

38 + 25 via

38+20=58 58+5=63

63-38 via

63-30=33 33-8 via

30-5=25

Met de variamethode: 38 + 25 op basis van rekenregels

– Gelijkwaardige som:

38 + 25 is evenveel als 40 + 23 en dat is 63

– Compenseren:

40+25=65; dan krijg ik 2 minder, is 63

Met de variamethode: 63 - 38 via

– Indirect optellen

38+20=58 58+5=63, dus 25

– Compenseren:

63-40=23; dan houd ik er 2 meer over, is 25

Figuur 2.2 Bewerking van 38+25 en 63-38 met de vier aangeboden rekenmethoden

Dit illustreert tenslotte hoe rijgen een zekere basis legt voor handig en gevarieerd

hoofdrekenen met de procedures van de zogenoemde ‘Variamethode’. In regenstelling

tot hun Amerikaanse collega’s brengen de ontwerpers van de Proeve… twee klassen

procedures onder hetzelfde label ‘Variamethode’, namelijk handige vormen van

rijgend optellen en aftrekken enerzijds en optellen en aftrekken op basis van

rekenregels anderzijds – wat in de Engelstalige onderzoeksliteratuur ‘derived facts

strategies’ wordt genoemd (Verschaffel, Greer & de Corte, 2007). Treffers, de Moor

en Feijs volgen dezelfde redenering als bij het aanvankelijk rekenen. Door alle drie de

methoden aan te bieden, kan het voordeel van de ene berekeningswijze de nadelen

van een andere opvangen. Zo is afleiden op basis van rekenregels aanvankelijk te hoog

gegrepen voor menige leerling die wel inzichtelijk vanaf het begin en vanaf het einde

kan leren rijgen.

De volgorde waarin deze drie methoden volgens de Proeve… moeten worden

aangeboden, is reeds in paragraaf 1.2 geschetst. Treffers en de Moor (1990, 64-65)

omschrijven de ‘grote didactische lijn voor het rekenen tot honderd’ als volgt:

Eerst komt het rekenen op rij, dan kolomsgewijze hoofdrekenen en ten

slotte, ‘desgewenst’, het cijferend rekenen. Het gevarieerde rekenen met de

variamethode loopt daar steeds doorheen.

Onderstaande tekst parafraseert de rechtvaardiging in de Proeve… van deze

volgorde van aanbieding van de rekenmethoden.

– Het rekenen op rij sluit aan bij het verkort tellen en laat meerdere

oplossingswijzen en verschillende verkortingsmanieren toe. De oriëntatie via

de symbolisering van deel-geheel relaties met de kralenketting baant de weg

voor het leren afbeelden van eigen (informele) oplossingen van gevarieerde

Hoofdstuk 2

50

contextproblemen en van kale opgaven en voor het leren modelleren van

willekeurige rekensituaties met aaneengeregen getallen;

– Het kolomsgewijze rekenen is abstracter dan rijgen, maar concreter dan het

rekenen met positiecijfers. Hoewel MAB en soortgelijk materiaal het

leerproces ‘handzaam’ ondersteunen, kan deze methode echter beter niet

worden aangeboden bij het rekenen tot honderd, zeker niet aan de zwakkere

leerlingen;

– De contexten en de getallen van de ‘lokale’ rekensituatie determineren of het

loont om een of andere procedure van de variamethode in te zetten. In die zin

loopt het gevarieerde rekenen steeds door rijgen en splitsen heen, maar ook

omdat de leerling een lange weg te gaan heeft, eer hij spontaan rekenregels

inzet om de onbekende optel- of aftrekrelatie van een opgave tot een bekende

of toegankelijkere optelling of aftrekking te maken.

Een centraal element in deze didactische lijn voor het rekenen tot honderd is de

keuze van het materiaal dat wordt gebruikt om het leerproces te ondersteunen. In de

conceptversie van de doelbeschrijving pleiten Treffers, de Moor en Feijs (1987a, p. 26)

voor het gebruik van het honderdveld ter oriëntatie op de sprongmethode en

‘handige’ varianten ervan (figuur 2.3).

26+33. Van 26 naar 36, 46 en 56 (telkens één hokje lager)

en vervolgens van 56 naar 59 (drie hokjes naar rechts)

26+16. Eén hokje omlaag, 4 hokjes naar rechts en

vervolgens doorgaan met een nieuwe rij.

26 + 33 met op de lege getallenlijn

Figuur 2.3 Structurering van rijgend optellen (26+33 en 26+16) met het 100-veld (Buijs, 1988, p. 5) en met sprongen op een getallenlijn

Dit hulpmiddel is in de uitgave- versie van de Proeve… vervangen door de tientallig

gekleurde kralenketting en de lege getallenlijn om in Buijs’ (1988) woorden haar

‘schaduwzijden’ op te vangen. In vergelijking met de lege getallenlijn, ondersteunt het

honderdveld eerder de reflectie op de variatie in oplossingsprocedures (Freudenthal,

1984b, p. 117) dan de inzichtelijke structurering van eigen handelingen (Gravemeijer,

2003a). We komen hier in hoofdstuk 4 op terug. Buijs (ibid. 5) illustreert een essentieel

nadeel van de ordening van de getallen in rijgen van 10 met de optelling 26 + 33 en 26 +

16. Figuur 2.4 maakt het verschil tussen uitbeelden met de decimaal-gekleurde

kralenketting en sprongen op een lege getallenlijn zichtbaar.


51

Figuur 2.4 Representatie van 26+33 met decimaal-gekleurde kralenketting

Leerlingen oriënteren zich via het uitbeelden van telhandelingen en relaties tussen

hoeveelheden met een gekleurde kralenketting. Dit slaat een natuurlijke brug tussen

tellen en afbeelden met vijftallig en tientallig gestructureerde lineaire getalrelaties. Het

maakt bovendien de techniek van afbeelden transparant, hoe lastig die aanvankelijk

voor sommige leerlingen ook mag zijn, zoals Gravemeijer (2002a) dit in zijn

experiment in West Lafayette heeft kunnen ervaren. We komen hier in hoofdstuk 3 op

terug.

Withney’s voorbeelden van tweezijdig aftrekken (figuur 2.5) illustreren de winst

van de inzet van de decimale kralenketting en de lege getallenlijn. De leerling krijgt een

middel in hand waarmee hij eigen oplossingswijzen op een consistente manier

inzichtelijk kan visualiseren. Dit maakt de reflectie en discussie hierover mogelijk en

bevordert in die zin de verkorting en formalisering van eigen procedure en de

generalisering van de rijgmethode voor de bewerking van driecijferige getallen.

87-23=64 via 23+60+4=83

(indirect optellen)

87-23=64 via 87-20-3=64

(aftrekken)

Figuur 2.5 De aftrekking 83-27 via indirect optellen en indirect aftrekken (Withney, 1988, p. 8)

Treffers (1989) laat zien hoe de leerling deze informele procedures stapsgewijs kan

verkorten en formaliseren. De opeenvolgende oplossingswijzen van het Hans-

probleem in figuur 2.6 maken de grote lijn van dit proces zichtbaar: van verkort tellen

tot rekenen met afsplitsingen van samengestelde getallen, via springen naar een tiental en van

het ene samengestelde getal naar het andere. Deze natuurlijke progressieve

schematisering van tellend rekenen tot honderd wordt in de hoofdstukken 3 en 4

verder toegelicht.

Hans maakte een tocht van 75 km.

Na 48 km rustte hij even.

Hoeveel km moest hij na het rusten nog afleggen?

75-48 via 48+..= 75 via

49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

48+2=50 60, 70 70+5=75; 20+2+5=27

(48) 58, 68 68+7=75; 20+7=27

48+20=68 68+7=75; 20+7=27

Figuur 2.6 Voortgang in de formalisering van de telhandelingen

23 83

4

87

60

64 67

20

87

3

Hoofdstuk 2

52

Kenmerkend voor de didactische lijn is verder dat de toepassingen telkens

gekoppeld worden aan de beschreven vaardigheid. De cruciale rol die de problemen

bij leren hoofdrekenen spelen, verklaren de speciale aandacht in de aparte beschrijving

van de toepassingen bij hoofdrekenen (Treffers, de Moor & Feijs, 1988). Bij de

behandeling ervan in het getalgebied tot honderd, benadrukken Treffers en de Moor

(1990, p. 67) het structuuraspect van de contextproblemen die kinderen met

verschillende betekenissen en verschijningsvormen met aftrekken associëren zoals

‘afhalen’, ‘bedekken’, ‘scheiden’, ‘vergelijken’, etc. Structuur en context vormen in die

zin de belangrijkste componenten bij optellen en aftrekken tot honderd. Hun

omschrijving van waar het in de kern bij de toepassingen van hoofdrekenen om gaat,

roept de associatie op met de reflectieve klassengesprekken van Cobb e.a. (1988) en de

noodzakelijke ontwikkeling van socio-norms als conditie voor de effectiviteit ervan

(zie de probleemstelling in hoofdstuk 1):

‘het onderzoek, de uitgelokte discussie, het bewijzen van de correctheid van

de gevonden oplossingen en de mogelijke weerleggingen ervan, het tekenen

van plaatjes om het denken en redeneren te ondersteunen, kortom het leren

in een goed wiskundig werkklimaat’ (ibid. 68).

Treffers en de Moor (ibid. 149-165) behandelen ook de toepassingen in de aparte

doelstelling van hoofdstuk 8 van de Proeve…. . Deze doelbeschrijving is een uitwerking

van de eerste inhoudelijke kern van 10 voor het basisvorming rekenen/wiskunde (zie de

vorige paragraaf). Zij zetten daarbij de vorm en inhoud van ‘contextrijk’ onderwijs af

tegen die van de traditionele toepassingen door middel van kale rekensommen,

‘aangeklede’ opgaven en vraagstukken en illustreren de vier functies van de contexten

in de leergangen nader: begripsvorming, modelvorming, toepasbaarheid en oefening.

Ten slotte zijn er nog twee punten die genoemd moeten worden. Dit betreft de

specifieke invulling van het omgaan met verschillen tussen leerlingen en de

doorgaande lijn naar het rekenen met driecijferige getallen.

Omgang met verschillen tussen leerlingen

Voor de dagelijkse praktijk van hoofdrekenen hebben Treffers, de Moor en Feijs

(1987b) in hun voorstel vijf onderwijsprincipes geformuleerd die in deel 2 van de

Proeve… zijn overgenomen (p. 96-101). Ze worden in hoofdstuk 3 gepresenteerd. Het

laatste principe betreft de omgang met verschillen tussen leerlingen. Dit vormt een

twistpunt in de verzorgingsstructuur, omdat politici geen aparte kerndoelen voor de

leerlingen van de voormalige LOM- en MLK-scholen van het speciaal onderwijs

willen formuleren. De ontwerpers van de Proeve… bevelen in die context aan om

individuele verschillen tussen de leerlingen te ‘accepteren’ en ‘zelfs te benutten bij het

bespreken van mogelijke strategieën’. Als bepaalde leerlingen bij het groepswerk

steeds achterblijven, luidt het adagium: ‘indien het precieze berekenen niet lukt, accepteer dan

(aanvankelijk) schattingen’ (zie paragraaf 3.4.1).


53

Hoofdrekenen met driecijferige getallen

Optellen en aftrekken tot duizend wordt in de Proeve… slechts voorbeeldmatig

beschreven (Treffers en de Moor, 1990, p. 92-93). Deze uitbreiding is in het vigerend

onderzoek slechts relevant voor de beschrijving van de bekwaamheid van de 33%

meest vaardige leerlingen die, halverwege de basisschool, aan deze bewerkingen toe

zijn. De oplossingswijzen van figuur 2.7 laten zien wat men van de leerlingen, vanuit

de realistische optiek, verwacht.

Optellen en aftrekken met sprongen van honderd en tien vanaf het eerste getal:

358 – 172 via 358-100=258; 258-70=188; 188-2=186

Kolomsgewijs aftrekken (in gedachten):

Varia-rekenen

– Aanvullend optellen:

172+28=200; 200+158=358; 158+28=170+16=186

– Principe van het gelijke verschil:

358-172= 360-174= 200-14=186

Figuur 2.7 Generalisering van de hoofdrekenprocedures bij optellen en aftrekken tot 1000 (Bron: Treffers en de Moor, 1990, p. 93)

2.5.4 Kanttekeningen

Globaal genomen, zijn drie kanttekeningen bij de bovenstaande grote lijn te maken.

Ze betreffen achtereenvolgens (i) het variarekenen, (ii) de volgorde van aanbieding en

de combinatie van splitsen met rijgen en (iii) de toepassingen van hoofdrekenen.

Variarekenen

In de ogen van didactici en onderzoekers uit het voormalige Speciaal Onderwijs was

flexibel rekenen voor ‘hun’ leerlingen nastrevenswaard, maar veelal onhaalbaar (Luit,

1988; Blakenburg, 1988). Van der Heijden (1988) voerde een omvangrijke studie uit

naar handig en flexibel hoofdrekenen in het reguliere onderwijs. Hij zette ook op

grond van drie aanwijzingen vraagtekens bij de haalbaarheid van flexibel

hoofdrekenen. Spontaan, handig rekenen kwam weinig voor. De kleine groep

leerlingen die handig rekende, bestond vooral uit de beste rekenaars van de klas. En

leerlingen maakten noch aan het begin, noch aan het einde van jaargroep 5 vaker

gebruik van handige rekenstrategieën dan aan het einde van jaargroep 4.

Volgorde van aanbieding

Eerst rijgen, pas later splitsen, zo luidt de aanbeveling van de ontwerpers van de

Proeve…. Beishuizen en Van Mulken (1988) constateren in hun onderzoek dat

leerlingen eerst de opeenvolging van de tientallen mentaal constitueren (10, 20, 30, …)

Hoofdstuk 2

54

en dat ze pas later de systematiek ontrafelen van getallenreeksen als 17, 27, 37 … en

82, 72, 62 …. Uit de geobserveerde oplossingen blijkt ook dat ze vrij snel de analogie

ontdekten tussen optellen-aftrekken met tientallen en dezelfde operaties met eenheden

(20+20 en 2+4; 60-30 en 6-3). Op grond van deze observaties pleiten ze voor de

gelijktijdige aanbieding van (horizontaal) splitsen in jaargroep 4. Ze vragen in dit

verband meer aandacht voor de combinatie van splitsen en rijgen die leerlingen relatief

vaak gebruiken, die behoorlijk effectief is en die niet is opgenomen in het voorstel van

de Proeve.

Optellen: 46 + 23 via

40 + 20 = 60 60 + 6 = 66 66 + 3 = 69

Aftrekken: 42-15 via

40 – 10 = 30 30 + 2 = 32 32 – 5 = 27

Figuur 2.8 Combinatie van splitsen met rijgen (Bron: Beishuizen en van Mulken, 1988. p. 29)

Toepassingen

De belangrijkste kanttekeningen hieromtrent zijn gemaakt door Verschaffel (1988) die

als lid van de Leuvense onderzoeksgroep nauw betrokken was bij het onderzoek rond

de zogenoemde ‘semantische structuurtypen’ van de tekstuele vraagstukken (word

problems), ook ‘redactie-opgaven’ genoemd (De Corte & Verschaffel, 1988). Zij

sluiten aan bij het in paragraaf 1.4.3 weergegeven commentaar van Theunissen (1988)

op de resultaten van de eerste PPON. De Corte richt de aandacht op de aanwijzing

dat het oplossen van een breed scala van optelen aftrekproblemen niet voor alle

leerlingen even vanzelfsprekend is. Het vergt namelijk een inzicht in de aard van en de

verschillen tussen klassen optelen aftreksituaties en in de wijze waarop ze kunnen

worden opgelost. Verwijzend naar onder meer Schoenfeld (1985) en Van Lieshout en

Jaspers (1988) werpt hij de vraag op of men het onderwijs niet zodanig zou moeten

inrichten dat leerlingen expliciet de strategische kennis en vaardigheden verwerven, die

nodig zijn om problemen inzichtelijk en vlot op te lossen.

2.5.5 Reacties van de ontwerpers op de reacties van de Nederlandse

experts

De reactie van Treffers, de Moor en Feijs op het commentaar en de kanttekeningen

van de experts van het netwerk laten zich als volgt samenvatten. Ten aanzien van de

toepassingen lichten zij hun verschil in inzicht toe aan de hand van een

gedachtewisseling tussen Confrey en Greeno. Het belang van de typische schoolse

vraagstukken is in hun ogen ‘relatief’. Ten eerste omdat ze niet erg realistisch zijn, ten

tweede omdat slechts bepaalde elementaire problemen van belang zijn voor de

begripsvorming en modelvorming, en omdat het de vraag is of kinderen via de

schoolvraagstukken het rekenrepertoire leren toepassen. Ze vertrouwen erop dat de


55

doelbeschrijving van de Proeve… voldoende houvast biedt. Het maakt duidelijk dat

leerlingen op de eerste plaats problemen leren op te lossen door het te doen. Het geeft

ook expliciet aan dat het klimaat in de klas de primaire voorwaarde vormt voor de

kwaliteit en dus de opbrengst van deze activiteiten (Treffers, de Moor & Feys, 1987a,

p.23).

Ten aanzien van het Variarekenen, stellen Treffers, de Moor en Feijs (1988a, p. 45)

vast dat de Proeve… een ‘nadere verbijzondering’ voor het speciaal onderwijs zou

moeten krijgen. Zij merken op dat de doelstellingen van de Proeve… ‘modale’ doelen

zijn voor het reguliere onderwijs, geënt op toekomstige eindtermen’ (de kerndoelen

van het Besluit 1993) met daarin hoofdrekenen en schattend rekenen als

basisvaardigheid. Naar hun mening zou men zich ook ten aanzien van de ‘zwakkere

rekenaars’ op deze vaardigheden moeten richten, ‘zij het met inachtneming van het

vijfde principe dat zegt dat hoofdrekenen ook “grofmazig” moet kunnen’ (zie ‘de

omgang met verschillen’ hierboven). Deze ‘verfijning’ staat echter in hun ogen buiten

de opdracht van de Proeve…. Het boek moet namelijk als nationaal baken fungeren en

geen didactisch handboek worden met micro-didactische aanwijzingen. De consensus

over een globaal didactisch kader moet ruimte laten voor diverse uitwerkingen in

bepaalde leergangen. Dit verklaart waarschijnlijk waarom de ontwerpers van de

Proeve… in hun reactie niet expliciet ingaan op de kanttekeningen van Beishuizen en

Van Mulken (1988) over de (volgorde van) aanbieding van rijgen splitsprocedures.

2.6 Overeenkomsten en verschillen met het nieuwe curriculum

in Engeland en de V.S.

Anghileri (2001) identificeert acht fundamentele verschillen tussen Engelse curricula

en het realistische onderwijsprogramma. Ze passeren hieronder de revue en worden in

relatie gebracht met de innovatie van het rekenen op de basisschool in de Verenigde

Staten.

Rol van tellen

Verwijzend naar Askew & Wiliam (1965), stelt Anghileri vast dat tellen in Engeland

lange tijd werd opgewaardeerd. Het werd beschouwd als een mechanische en

betekenisloze activiteit die ‘primitieve’ vormen van rekenen in de hand werkt. Dit

contrasteert met het expliciet gebruik in Nederland en in de Verenigde Staten (Steffe

e.a., 1983; Fuson, 1988; Fuson e.a., 1997) van tellen als het ‘natuurlijke’ proces dat de

eerste notie van ‘getal’, ‘optellen’ en ‘ aftrekken’ oplevert en al doende toegang

verschaft tot hoofdrekenen.

Hoofdstuk 2

56

Sequentiële, positionele en relationele ordening van de getallen in relatie met

hoofdrekenen

We hebben het al eerder opgemerkt. Per traditie wordt zowel in Engeland als in de

Verenigde State de nadruk gelegd op het cijferen. Als gevolg daarvan leren de

kinderen heel vroeg tweecijferige getallen in tientallen en eenheden uiteen te leggen en

met positiecijfers op te tellen en af te trekken. Men richt zich kortom op de constitutie

van ‘place value’ en het gebruik ervan als ‘organizing mathematical principle for

calculation’, zoals Anghileri (ibid. 6) dat formuleert. Uit de beschikbare publicaties35

kan worden opgemaakt dat dit accent op decimaal-positioneel rekenen is gebleven, in

vergelijking met de ‘holistische’ benadering van de getallen en het hoofdrekenen in

Nederland. Anghileri doelt op de organisatie van de getallen in de decimale

herhalingsstructuur van de telrij, via de afsplitsing in tientallen en eenheden en als

knooppunten van optelen aftrekrelaties, die toegang verschaft tot sequentieel

(rijgen), positioneel (splitsen) en deductief (variarekenen) rekenen.

Gebruikte leermiddelen

Het gebruik van leermiddelen is in Engeland en de V.S. anders dan in Nederland

conform de verschillen in het aanbod van rekenmethoden en de volgorde van

aanbieding. Zo spelen de kralenketting en de lege getallenlijn een grotere rol in de

jaargroep 4 en 5 in Nederland en de decimale hulpmiddelen als MAB een grotere in de

Engelse en Amerikaanse klassen. We komen hierop terug bij de behandeling van de

varianten van de reconstructiedidactieken in hoofdstuk 3.

Algoritimisch rekenen

Evenals in Nederland volgt het moderne curriculum in Engeland36 de verticale lijn

‘from informal mental strategies, through part-written methods, to standard written

methods’. Maar de voortgang is niet eenduidig. Zo worden in jaargroep 7

verschillende methoden toegelaten. De leraren van een school kiezen in de regel één

van deze ‘general methods’ voor bijvoorbeeld aftrekken. Ze verwachten dan dat alle

leerlingen die gebruiken en accepteren niet dat elke leerling zijn eigen schriftelijke

notatie gebruikt (Straker, 1999). Wat men onder ‘standard’ moet verstaan, blijft

onderwerp van discussie. Dit alles contrasteert volgens Anghileri (ibid. 8) met de meer

systematische Nederlandse voortgang volgens het principe van de progressieve

schematisering langs oplopende niveaus van formalisering. Het is aan de hand van de

hierboven vermelde onderzoeksliteratuur niet vast te stellen hoe de voortgang in de

Amerikaanse reformscholen wordt aangestuurd, wat de vrijheid van de leraar en de

leerling is in de loop van de formalisering en of iedereen uiteindelijk dezelfde

35 Zie o.a. Fuson e.a. (1997), Hiebert, Carpenter, Fennema, Fuson, Wearne, Murray, Olivier en Human, (1997), Carpenter (1997), Fuson & Smith (1997).

36 Zie DfEE (1998a)


57

eindvorm van schriftelijk rekenen moet bereiken. De overzichten van de rekenvormen

die leerlingen met de aangereikte hulpmiddelen zelf uitvinden, suggereren dat de

praktijk sterk lijkt op die van het numeracy project in Engeland.

Rol van rekenmethoden

Schoolboeken hebben in Engeland hoe langer hoe meer hun credit verloren, omdat de

uitgewerkte lessen minder betrokkenheid van de leraar en routinematig onderwijs in

de hand werkten. Dit contrasteert heel sterk met de functie van de realistische

methoden die juist de meest recente inhoudelijke en didactische ontwikkelingen

aanreiken. Bij de expertmeeting in Leiden merkte Carpenter (1997) wat dit betreft op,

dat in de Amerikaanse reformscholen de leraar in de regel het onderwijs grotendeels

zelf inricht, wat niet betekent dat er geen onderwijsmethoden worden gebruikt.

Organisatie van het onderwijs

De handleiding van de gebruikte rekenmethode drukt in Nederland sterk haar stempel

op de organisatie van het onderwijs in de tijd en op lesniveau. Dit geldt dus veel

minder in Engeland en de V.S. waar de leraar dat meer zelf moet doen. Bovendien is

bij de vernieuwing meer de nadruk gelegd op de sociale aspecten van leren. Leerlingen

werken hierdoor meer aan dezelfde inhouden in groepsverband en/of met de hele

klas, terwijl Nederlandse leraren juist hun onderwijs naar de behoeften van de

leerlingen moeten differentiëren.

2.7 Samenvatting en conclusie

Wat moeten basisschoolleerlingen in een moderne samenleving bij ‘rekenen’ leren, nu

ze de complexe berekeningen met een zakrekenmachine kunnen uitvoeren? Is cijferen

dan niet ‘uit-de-tijd’? Wat moet men weten en kunnen om de numerieke gegevens van

het dagelijks leven met gezond verstand te interpreteren en ermee te werken? En: wat

betekent dit voor het leren op school in het domein van de getallen en de operaties en

nadere leerstofgebieden die beroep doen op inzichtelijk en vlot opereren met getallen?

Zo luidden de kernvragen eind jaren zeventig, begin jaren tachtig, toen evident werd

dat de opbrengst van het traditionele cijferonderwijs niet in verhouding stond tot de

bestede leertijd en dat Amerikaanse leerlingen achter liepen in vergelijking met

Aziatische leeftijdsgenoten.

Wij zagen in dit hoofdstuk dat de betrokken rekenexperts ‘rekenen op de

basisschool’ vanuit hun eigen onderwijstraditie en didactische stijl hebben

geproblematiseerd en dat ze, afhankelijk van de politieke omstandigheden, meer of

minder hun stempel hebben kunnen drukken op wat uiteindelijk in de klas werd

geleerd. Uit de historische reconstructie van het proces dat in Nederland heeft

geresulteerd tot de uitgave van de Proeve van een nationaal programma voor het reken-

Hoofdstuk 2

58

wiskundeonderwijs op de basisschool kunnen twee conclusies worden getrokken. De

betrokken rekendidactici hebben, vanuit een uitgekiende innovatietraditie,

voortgebouwd op de Wiskobasinnovatie van de jaren zeventig. Ze hebben namelijk de

contouren en kerninhouden van het onderwijsplan weten te ontwerpen die vanuit

overheidswege niet kon worden ontworpen. De Proeve… fungeert sindsdien als

landelijk, realistisch raamwerk dat indirect is gelegitimeerd, omdat het programma

geënt is op de wettelijk vastgestelde algemene en kerndoelen van rekenen-wiskunde.

Dit maakt het cruciale verschil met het Engelse curriculum dat van bovenaf is

afgedwongen en de standaarden van de NCTM die de status hebben van ‘afspraken

binnen het netwerk van de vereniging’. De Proeve… is ook vaktheoretisch en

vakdidactisch van Nederlandse signatuur. In plaats van vóór of tegen het cijferen te

kiezen, integreren de voormalige Wiskobasleden het cijferen en de toepassingen met

hoofdrekenen. Wij zullen in het volgende hoofdstuk zien hoe deze onderwijsaanpak

zich verhoudt tot de twee andere benaderingen die in de loop van de jaren negentig

zijn ontwikkeld.

59

Hoofdstuk 3

Drie reconstructiedidactieken

3.1 Inleiding

We zagen in hoofdstuk 2 dat, tien jaar voor de eeuwwisseling, de internationale

gemeenschap van rekendidactici, psychologen en onderwijskundigen zich tot doel

stelden de dagelijkse rekenpraktijk in de klas drastisch te veranderen. Amerikaanse

leerlingen die internationaal, de ‘norm’ gaven, beheersten de geleerde algoritmen

onvoldoende. Bovendien rekenden ze de voorgelegde vraagstukken vaak anders uit

dan met de geleerde manier van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Ze

speelden namelijk lokaal verschillend in op de context en de getallen van het

rekenverhaal, afhankelijk van hun voortgang in rekenkennis en –bekwaamheid. Een

derde probleem maakte een heroriëntatie en vernieuwing van leren rekenen op de

basisschool onvermijdelijk en urgent. Iedere burger kon een rekenapparaat

aanschaffen. Men werd hierdoor ongetwijfeld minder afhankelijk van de vier

algoritmen. Het apparaat maakte leren rekenen echter niet overbodig. Situaties in het

privé- en beroepsleven van alledag doen herhaaldelijk een groot beroep op een zeker

‘number sense’ (gecijferdheid). Dit is een zeker inzicht in en gevoel voor getallen en

bewerkingen die ervoor zorgt dat we even nadenken alvorens een informatie over

aantallen of meetgetallen voor ‘waar’ te nemen. Het doet ons overwegen of we iets

globaal of juist precies moeten uitrekenen en het spoort ons aan om te kijken hoe we

dat efficiënt en effectief kunnen doen. Zo lag, internationaal de stand van zaken, eind

jaren tachtig, wat rekenen op de basisschool betreft.

In september 1991 valt op de mat van de Nederlandse abonnees van ‘Volgens

Bartjens’ het eerste nummer van Willem Bartjens, het nieuwe vaktijdschrift voor de

leraar. Het is om tweeërlei reden een ‘historische’ editie. Ten eerste omdat het blad

binnen een samenwerkingsverband tussen de Stichting leerplanontwikkeling (SLO), de

NVORWO, het Freudenthal Instituut en uitgeverij Zwijsen wordt uitgegeven. Ten

tweede omdat Huitema (1991) in het openingsartikel hoofdrekenen op de schoolagenda

zet. De redactie had hem niet zomaar gekozen. Hij was schoolbegeleider en auteur,

had zijn commentaar gegeven op de eerste PPON rekenpeiling en was lid geweest van

Hoofdstuk 3

60

de landelijke ontwikkelgroep Speerpunt rekenen die nieuwe ideeën en principes van het

rekenen tot honderd in een didactisch concept had bewerkt (Vuurmans, 1991).

Huitema valt met de deur in huis. ‘Meer hoofdrekenen en minder cijferen’, zo luidt de titel

van zijn artikel. Het is een pleidooi voor hoofdrekenen, in de gewone taal van de

leraar, op vijf rijk geïllustreerde pagina’s. Hij schetst het belang van hoofdrekenen,

geeft aan wat hoofdrekenen anders maakt dan cijferen en expliciteert hoe de leraar,

met een zekere regelmaat, les kan geven in hoofdrekenen. De vuistregels die hij daarbij

volgt, staan in deel 2 van de Proeve…, het landelijk realistisch onderwijsprogramma

voor rekenen-wiskunde, dat Zwijsen een jaar eerder had uitgegeven (Treffers en de

Moor, 1990; zie ook hoofdstuk 2).

Op een vergelijkbare manier zijn scholen en leraren in menig West-Europees land,

hetzij via hun vereniging, hetzij via het overheidsbeleid of een combinatie van beide

aangespoord, geschoold en praktisch ondersteund om minder te cijferen en meer ‘met’

het hoofd te rekenen. Het probleem was dat ze hiertoe hun roer 180 graden moesten

omgooien. Ze bleven weliswaar de ingewijde experts en eindverantwoordelijken van

wat er in de klas gebeurde. De leerlingen kregen echter eigen verantwoordelijkheden

en bepaalden mede zowel de inhouden als het parcours van de voortgang, via hun

individuele inbreng en de samenwerking in de groep. In sommige landen als Engeland

en in reformscholen in de V.S. wordt van de leraar verwacht dat hij zelf zijn lessen en

onderwijsleerlijnen ontwerpt. Ze worden hiertoe opgeleid en bijgeschoold door

specialisten die min of meer uitgewerkte (ketens) van onderwijsleeractiviteiten

ontwerpen. In andere landen als Nederland en Duitsland zorgen uitgevers voor een

aanbod van passende onderwijsmethoden. Leraren moeten lessen en de voortgang

toesnijden op de maat van hun leerlingen. Deze concrete steun van de

rekenspecialisten die deze materialen ontwerpen drukt ongetwijfeld haar stempel op

de houding en het didactische handelen van de leraar in zijn omgang met de leerling

bij hoofdrekenen.

Bij de vierde rekenpeiling van 2003 blijkt echter dat menige leerling bij aftrekken

tot honderd, niet de verwachte vaardigheid ontwikkeld heeft. Wat de oorzaak daarvan

zou kunnen zijn, wordt in deze dissertatie onderzocht. Daartoe schetsen we in dit

hoofdstuk eerst een theoretisch kader tegen de achtergrond waarvan genoemde

resultaten kunnen worden geïnterpreteerd. Omdat de veranderingen in het

Nederlandse rekenonderwijs deel uitmaken van een internationale ontwikkeling,

oriënteren we ons daarbij op de internationale literatuur. We besteden daarbij

uiteraard extra aandacht aan de ontwikkelingen en discussies in Nederland.

Internationaal wordt het onderwijs waar het hier om gaat wel aangeduid als ‘reform

mathematics’. In Nederland gebruikt men de term ‘reconstructiedidactiek’. Het geeft

aan dat de leerling zelf de rekenbegrippen en de bewerkingen moet construeren en

leren toepassen, in de geest van de generaties wiskundigen die ons rekensysteem

hebben uitgevonden. Drie vragen structureren de analyse:


61

1. Wat houdt de ‘reconstructiedidactiek’ als instructieconcept in?

2. Hoe verschillend is dit concept in hoofddidactische varianten uitgewerkt?

3. Wat onderscheidt de Nederlandse ‘realistische’ variant van de alternatieve

varianten?

Deze analyse moet twee producten opleveren. Het moet kernaspecten van de

didactiek blootleggen die als indicatoren kunnen dienen voor het leggen van relaties

tussen rekenvaardigheid en didactiek. De analyse moet ook overstijgende karakteristieken

van de reconstructiedidactiek zichtbaar maken. Dergelijke overkoepelende

eigenschappen maken het namelijk mogelijk om 1. de varianten op onderscheidende

kernpunten met elkaar te vergelijken en 2. elke variant sterker te maken, door sterke

aspecten van de andere varianten te integreren.

Lopende ontwikkelingen die in paragraaf 3.2 worden gespecificeerd, hebben de

keuze van de drie uitwerkingen van reconstructiedidactiek bepaald. Centraal staat het

model van de realistische didactiek dat in de huidige realistische onderwijsmethoden is

uitgewerkt. De analyse ervan is cruciaal omdat de onderzochte leerlingen hiermee

hebben leren hoofdrekenen. Daarnaast onderscheiden we twee andere modellen. Ze

weerspiegelen uitgekristalliseerde ideeën en instructiewijzen die ontstaan zijn in de

loop van de construerende onderzoeken in de laatste decennia van de vorige eeuw.

Dit betreft de problem-solving (PS) variant die voortbouwt op de traditie van cognitief-

psychologisch onderzoek naar denken en leren. En de constructivistische variant die sterk

sociaal-cultureel en pedagogisch is gekleurd. Vanuit het standpunt van de

reconstructiedidactiek bekeken, vormen realistische, ontwikkelingspsychologische en

constructivistische varianten weliswaar verschillende uitwerkingen, maar theoretisch-

didactisch gezien, kunnen ze elkaar ook versterken via de integratie van de

componenten die ze didactisch ‘sterk’ maken.

3.2 Reconstructiedidactiek als vorm van domeinspecifiek

ontwerpen

Terry Wood (1998) duidt met de uitdrukking ‘beyond natural teaching’ wat voor de

niet ingewijde de reconstructiedidactiek zo speciaal en complex maakt. ‘Van nature’

leggen wij, volwassenen, spontaan iets uit aan een kind dat in een bepaalde situatie iets

niet begrijpt. Vanuit diezelfde ‘natuurlijke’ instelling laten we het ook zien hoe een

handeling, die nog niet wordt begrepen, uitgevoerd moet worden. Dit typeert de

‘natuurlijke’ tendens om hulp te bieden door spontaan iets ‘voor te zeggen’ en ‘voor te

doen’.

Rekenen-wiskundeonderwijs volgens de reconstructiedidactiek druist radicaal tegen

deze tendens in. De leraar die op deze manier les wil geven, moet zijn roer 180 graden

omgooien. ‘Vroeger’ trachtte de leraar de formele rekenalgoritmen concreet en

toegankelijk te maken voor de leerling. Nu moet hij het omkeerde doen: uitgaande van

Hoofdstuk 3

62

intuïtieve en informele wiskundige gedachten en rekenprocedures de leerling helpen

deze vier algoritmen op te bouwen. Het begrip ‘mathematiseren’ duidt de constructie

aan van de eigen rekenwerktuigen, vanuit de intuïtieve en informele handelingen op

het ‘natuurlijke’, kinderlijke niveau van ‘rekenen’.

Dit basisprincipe bindt de wiskundige didactici, onderwijspsychologen en

onderwijskundigen die dit onderwijsideaal hoog in het vaandel hebben staan, samen.

Wat leerlingen onder leiding van de leraar met groepsgenoten ondernemen en feitelijk

doen en vooral hoe, kan binnen zekere marges variëren. Het roept, hoe dan ook,

gegarandeerd een spanning op, bij het ontwerpen en bij het lesgeven, tussen twee

neigingen die Gravemeijer (2004, 106) als volgt aanduidt: zo goed als mogelijk ‘open

staan’ voor de eigen constructies van de leerlingen en ‘zich verplicht voelen’ om het

werk in de groep vooral te richten op de opbrengt die buitenstaanders verwachten.

Dat er sprake is van een gemeenschappelijke agenda komt ook tot uitdrukking in

de lezing ‘Ontwikkelingen in het onderzoek van het reken-wiskundonderwijs: een internationaal

perspectief’, die Lieven Verschaffel (1996) hield ter gelegenheid van de opening van het

Freudenthal Instituut als Expertisecentrum reken-wiskundeonderwijs. Hij schetste

daarbij de wereld van verschil(len) in de onderlinge verhoudingen tussen wiskundige

didactici, psychologen en onderwijskundigen eind jaren tachtig en tien jaar later,

daarbij verwijzend naar Kilpatrick (1992) en een eigen studie in samenwerking met De

Corte, Greer (De Corde, Greer en Verschaffel, 1996). Precies tien jaar eerder

beargumenteerde Treffers (1987) dat algemene onderwijsleertheorieën geen houvast

boden voor het ontwikkelen van onderwijs. Domeinspecifieke onderwijsleertheorieën

waren hiertoe nodig. De tegenstelling realistisch versus structuralistisch weerspiegelde in

die zin de tegenstelling algemene versus specifieke onderwijsleertheorieën. Volgens

Verschaffel (1996) gebruikten psychologen en onderwijskundigen niet meer de

rekenpraktijk als proefveld voor de toepassing en de verdere ontwikkeling van hun

algemene theorieën over denken, leren, ontwikkeling en instructie. Het

informatieverwerkingsparadigma fungeerde ook niet meer als norm. Er was een

nieuwe discipline ontstaan rond wiskunde leren en wiskunde onderwijzen. De gerichtheid

op hetzelfde doel van de optimale ontplooiing van de leerling in het domein van

rekenen-wiskunde, had de belangstelling van wiskundige didactici, psychologen en

onderwijskundigen voor elkaars ideeën en methoden van onderzoek gewekt. De

dialoog die was ontstaan, richtte de aandacht, reflectie en discussie op

‘instructievariabelen’ waarvan gedacht (c.q. verwacht) werd dat ze ertoe deden, onder

andere:

– de invloed op microniveau van specifieke (i) taken, (ii) contextproblemen en

(iii) didactische hulpmiddelen;

– de collectieve reflectie op de individuele constructies van de leerlingen;

– het effect, op macroniveau, van een zekere gradatie in de mate van

voorprogrammering en –structurering van de leeractiviteit en van sturing van

het denken en het rekenwerk, door de volgorde van aanbieding van


63

sequentieel, positioneel en deductief rekenen, en de balans tussen rekenen

volgens vaste procedures en flexibel en gevarieerd rekenen;

– het verticaal voortbouwen op wat de leerling al weet en kan;

– de dwarsverbindingen van leren rekenen met vooral de ontwikkeling van het

getalbegrip, de rekenfeiten en basisoperaties, het leren meten van relevante

grootheden als ‘lengte’ en ‘afstand’ en omgang met geld.

De internationale inspanning voor de ontwikkeling van een instructiepraktijk ‘van

deze tijd’ oversteeg, kortom, het dualisme van algemeen versus domeinspecifiek. Het

concept van de reconstructiedidactiek sloeg wereldwijd bruggen tussen rekendidactici,

psychologen en onderwijskundigen en de leraren en leerlingen waarmee ze samen in

de klas experimenteerden.

In deze nieuwe context zijn nu de drie didactische varianten ontwikkeld. Het

gemeenschappelijke uitgangspunt is dat de leerlingen zelf hun wiskundige kennis

moeten construeren. Dit is het centrale uitgangspunt van wat internationaal ‘reform

mathematics’ wordt genoemd en dat wij hier in navolging van Treffers en de Moor

(1990) aanduiden als ‘reconstructiedidactiek’. Deze didactiek is slechts op een beperkt

aantal plaatsen uitgewerkt tot een volledig onderwijsprogramma. Daarbinnen kunnen

we drie varianten onderscheiden, de Nederlandse, realistische aanpak van Treffers

zoals uitgewerkt in het TAL project, onderwijsprogramma’s die in de USA ontwikkeld

zijn vanuit wat we een cognitief-psychologisch perspectief kunnen noemen en

tenslotte een socio-constructivistische variant van de realistische aanpak die is

voortgekomen uit samenwerking van Nederlandse en Amerikaanse onderzoekers.

Voor we deze drie benaderingen meer in detail beschrijven, gaan we eerst dieper in op

de idee van reconstructiedidactiek.

3.3 Uitwerking van de reconstructiedidactiek

Het concept ‘reconstructie’ sluit naadloos aan bij Freudenthal’s (1971, 1973, 1984b,

1987, 1990a, 1990b, 1991) denkbeeld van leren en onderwijzen als het verkort

herhalen van het leerproces van de mensheid. Wat de wiskunde betreft, impliceert het

dat de leraar de leerling in staat stelt, zelf, de werktuigen uit te vinden die hij nodig

heeft om de wereld van alledag, wiskundig naar zijn hand te zetten. Dat een speciale

didactiek hiertoe nodig is, is gebleken uit het ontwerpen van voorbeeldactiviteiten, -

lessen, -leergangen, projecten en thema’s in de vorm van ontwikkelingsonderzoek en

professionele ontwerpactiviteiten. Ontwikkelingsonderzoek is binnen de kring van

Nederlandse rekenen-wiskundedidactici (Streefland, 1988; Dekker, ter Heege &

Treffers, 1982; Gravemeijer, 1988, 1994; Nelissen, 1987) al vroeg ingezet om

instructiepraktijken te ontwikkelen die recht doet aan de eigen gedachten van de

leerling en hem activeert en ondersteunt bij de verdere uitbouw van wat hij weet en

kan. Later bleek dit idee van ontwikkelingsonderzoek goed te passen bij wat in de

Hoofdstuk 3

64

Engelstalige literatuur wordt aangeduid als ‘design research’ of ‘design experiments’

(Brown, 1992; Edelson, 2002; Gravemeijer & Cobb, 2007).

Reflecterend op de producten van ontwerpen onderzoeksactiviteiten, heeft Treffers

(1978, 1983, 1986, 1987) de ‘realistische’ manier van leren en onderwijzen

onderwijstheoretisch beschreven, wat Gravemeijer (2007) verder heeft uitgewerkt in

drie ontwerpheuristieken voor realistisch reken-wiskundeonderwijs, ‘guided

reinvention’, ‘didactical phenomenology’ en ‘emergent modelling’.

3.3.1 Organiseren en systematiseren van de eigen rekenervaringen

De kern van de reconstructiedidactiek wordt gevormd door het idee dat de leerlingen

hun eigen rekenervaringen moeten organiseren en systematiseren. Freudenthal (1971)

legitimeert deze keuze met zijn antwoord op de vraag, wat wiskunde is:

It is an activity of solving problems, of looking for problems, but it is also an

activity of organizing subject matter. This can be a matter from reality which

has to be organized according to mathematical patterns if problems from

reality have to be solved. It can also be a mathematical matter, new or old

results, of your own or of others, which have to be organized according to

new ideas, to be better understood, in a broader context, or by an axiomatic

approach (Freudenthal, 1971, 423-114).

Wanneer men het procesmatige karakter van de wiskunde benadrukt, dan vormt de

wiskundige activiteit logischerwijs het doel van (reken) wiskundeonderwijs, zo

redeneert Freudenthal (1991, 49-55). Hij komt dan uit op ‘her-uitvinden’ en

‘mathematiseren’ als onderwijsleerdoel. Leerlingen moeten, concreet gezegd, zich de

geestelijke kunst en praktische const toe-eigenen die generaties wiskundigen hebben

ontwikkeld, door hun leerproces gecomprimeerd en versneld te herhalen. Dit betekent

dat men, in het wiskundeonderwijs, de nadruk zou moeten leggen op mathematiseren en

niet op de wiskunde die moet worden uitgevonden, ook al moet de leeractiviteit uiteraard wel

een bepaalde opbrengst hebben.

Wat voor ‘wiskunde’ als wetenschappelijke discipline geldt, geldt nu ook voor

‘aritmetica’ als een van de subdomeinen van deze wetenschap. Uit bovenstaand

uitgangspunt volgt de doelstelling van het getalsmatig leren beschrijven van

verschijnselen en leren de wiskundige ‘denkdingen’ [getal], [tellen], [optellen] en

[aftrekken] en de ‘taal’ die men hiertoe uitvindt steeds verder te organiseren, naar het

voorbeeld van de generaties wiskundigen die deze dingen en taal hebben bedacht. In

die zin, vormen de leerlingen van klas, zoals Fosnot en Dolk (2001) dat zo treffend

formuleren, een gemeenschap ‘young mathematicians at work’ – onder de

pedagogisch-wiskundige begeleiding van hun leraar.

Om meer greep te krijgen op dit proces van ‘mathematiseren’ heeft Treffers (1987)

twee componenten van elkaar onderscheiden: ‘horizontaal’ en ‘verticaal’

mathematiseren, die hij als volgt omschrijft:


65

In het algemeen kan men zeggen, dat de horizontale mathematisering bestaat

uit het zodanig schematiseren van het gebied, dat het probleem met

mathematische middelen kan worden aangepakt. De vervolgactiviteiten, die

betrekking hebben op de mathematische verwerking, de probleemoplossing

en verdergaande formalisering, worden met de term verticale mathematisering

aangeduid (79, cursief in het origineel).

In zijn reflectie hierop, nuanceert Freudenthal deze visie in de onderstaande

bewoording:

Het horizontaal mathematiseren leidt van de leefwereld naar de

symboolwereld. In de leefwereld wordt geleefd, gehandeld (en geleden), in de

symboolwereld worden symbolen geschapen en herschapen om van hun kant

mechanisch, denkend, reflecterend te worden gemanipuleerd (Freudenthal,

1987, 7-8; 1991, 41-42).

Daarbij maakt hij, in Gravemeijer’s ogen (2005, 107), drie belangrijke

kanttekeningen. De grenzen tussen de leefwereld en de symboolwereld zijn ten eerste

vaag. Elke waarneming is immers doorspekt met opgedane ervaringskennis, zoals Van

Hiele (1981) in zijn boek Structuur dat zo treffend illustreert. Dit betekent dat het

onderscheid tussen beide werelden varieert, afhankelijk van de specifieke situatie, de

persoon en diens omgeving. Routinematig handelen en het uitvoeren van algoritmen

behoren, ten slotte, evenzeer tot verticaal mathematiseren als de reflectie op de eigen

activiteit, het doorgronden van een idee, structuur of procedure en andere meer of

puur organiserende activiteiten.

Deze nuancering en kanttekeningen bewogen Gravemeijer (2005, 106-107) om

scherper verschil te maken tussen de twee aspecten in Treffers’ omschrijving van

‘verticaal’, namelijk (a) het uitvoeren van wiskundige bewerkingen en (b) het verticaal

mathematiseren in de strikte betekenis van ‘het mathematiseren van de eigen wiskundige

activiteit’.

Wat typeert tot slot de mentale processen ‘in het hoofd’ van de leerling bij de

mathematisering van zijn eigen rekenactiviteit? Freudenthal’s (1989, 38) beeld van

‘verdergaande vooruitgang in gezond verstand’ vormt de tweede collectieve

basisreferentie binnen het paradigma van de reconstructiedidactiek. In zijn

Nederlandstalige artikelen die het fundament leggen voor zijn boek Revisiting

mathematics education, introduceert Freudenthal (1989, 35) het idee van wiskunde als

uitdrukking van ‘gezond verstand’. Gezond verstand is in zijn ogen de primaire en meest

betrouwbare bron van zekerheid. Vanuit dit gezichtspunt, beschouwt hij het natuurlijk

getal als de ‘meest opvallende wortel van de wiskunde in het gezond verstand’ (ibid.,

37). Het leerproces van de mensheid komt dan neer op de steeds verdergaande

ontplooiing van gezond verstand. Freudenthal (1990a, 13) stelt zich dit proces voor als

een continue ‘standpuntwisseling van inhoud tot vorm en omgekeerd’. Onderstaande

Hoofdstuk 3

66

tekst verwoordt de beschrijving die hij ervan geeft in de tweede aflevering van een

drietal artikelen over Wiskunde fenomenologisch.

De getallenrij is de oorspronkelijke vorm. De opeenvolging van de

telwoorden is feitelijk het eerste, taalkundige algoritme met een wiskundig

karakter. Zodra de getallenrij wordt ingezet om iets te tellen, verkrijgt ze

‘inhoud’, beter gezegd de grote verscheidenheid van getelde verschijnselen

(vier appels, zes kinderen, twaalf klokslagen….). Door abstractie van deze

verscheidenheid, krijgen de getallen de status van mentale objecten, dat willen

zeggen, min of meer formeel natuurlijke getallen die nog verbonden zijn met

het tellen van dingen. Op een vergelijkbare manier, worden [optellen] en

[aftrekken] geabstraheerd uit de verscheidenheid aan patronen van handelen

met hoeveelheden: iets erbij doen of juist afhalen, dingen samen nemen of

juist van elkaar scheiden, etc. Deze ‘inhoudelijke’ operaties banen in die zin

de weg van de formele praktijk van optellen en aftrekken. Het zijn weer

‘inhouden’ die de commutativiteit van optellen suggereren, zoals het

samenstellen van hoeveelheden of van lengtematen. Het krijgt de status van

formele regel wanneer wetten worden geformuleerd voor de omgang met

operaties. En het zijn weer de inhouden die optellen met aftrekken in

verband brengen, alvorens deze relatie formeel wordt toegepast. Zo strekt de

ontplooiing van gezond verstand zich verder uit, als eindeloze afwisseling van

vorm en inhoud.

Als dit het leerproces is van de generaties wiskundigen, hoe zou het leerproces van

de individuele leerling, vanuit het uitgangspunt van uitvinden en mathematiseren,

idealiter, moeten worden vormgegeven en inhoudelijk ‘gevuld’? Freudenthal komt,

vanuit zijn concept van wiskunde als uitdrukking van gezond verstand, tot

onderstaande stelling:

Het is verleidelijk om gestructureerde inhouden te onderwijzen (…).

Wiskunde wordt anders geleerd en moet anders worden onderwezen: noch

als inhoud noch als vorm, maar in achtneming van hun wisselspel, opgevoerd

in het onderwijsleerproces. Leren is voortschrijden in kennis en

bekwaamheid. Het wisselspel is een standpuntwisseling van inhoud tot vorm

en omgekeerd, die tot telkens hogere standpunten leidt, bij sprongen zo hoog

als de lerende aankan, door de leraar geleid maar niet opgetild (Freudenthal,

1990a, 13).

Om echt wiskundig te worden, en om vooruitgang te maken moet het gezonde

verstand worden georganiseerd en gesystematiseerd. Ervaringen van gezond verstand

stollen, om zo te zeggen tot regels (zoals bijvoorbeeld de commutativiteit van de

optelling) en deze regels worden van hun gezond verstand, zeg van hoger orde, als

grondslag van wiskunde van nog hogere orde – een geduchte hiërarchie die

opgetrokken wordt in een merkwaardige wisselwerking van krachten (Freudenthal,

1990a, 11).


67

3.3.2 Encapsulation

Waar Freudenthal (ibid.) zich vooral laat leiden door wat voor hem wiskunde is, vormt

voor (cognitief) psychologen en aanhangers van het constructivisme de manier waarop

kennis tot stand komt de belangrijkste overweging. Voortbouwend op de Piagetiaanse

denkbeelden over de cognitieve ontwikkeling van jonge kinderen, plaatsen Gray en

Tall (1994) de ontwikkelingsfenomenen in een continu proces van toenemende

abstractie. Daarmee doen ze wat Freudenthal (1984b)37

van psychologen vroeg. Ze

proberen namelijk de conceptualisering bij leren rekenen te beschrijven als een

continu proces waarbij de leerling telkens een nieuwe conceptie van ‘getal’ (concept) uit

een nieuwe uitgevonden manier van opereren (procedure) abstraheert. Ze duiden dit

proces aan met het begrip ‘encapsulation on successively higher levels’. Deze conceptie van de

cognitieve ontwikkeling bij leren rekenen past goed bij Freudenthal’s (1987, 7) beeld

van een ordeloze materie op het ene niveau, die op het volgende wordt georganiseerd.

Het schema van afbeelding 3.1 maakt dit aannemelijk. Het is een sterk

gecomprimeerde weergave van dit proces in de periode van het aanvankelijk rekenen

tot jaargroep vier. Gray en Tall visualiseren de ‘compression’ van [resultatief tellen] tot

[aantal], van [doortellen] tot [som] en van [herhaald optellen] tot [product]. Qua

concept overstijgt het begrip van getallen als ‘som’ hun conceptie als ‘aantal’, precies

zoals ‘doortellen’ als patroon van handeling (procedure) het ‘resultatief tellen’ overstijgt. En

zo gaat het maar door. ‘Product’ overstijgt ‘som’, zoals ‘herhaald optellen’ een handeling

van een hogere orde is dan gewoon ‘optellen’. In die zin zou een systematische

uitwerking van het idee van Gray en Tall het beeld kunnen opleveren van de cognitieve

structuur van het wisselspel van vorm tot inhoud en andersom, dat de leraar met de

leerling bij leren rekenen uitvoert.

Afbeelding 3.1 – Higher-order encapsulations (Uit: Gray & Tall, 1994)

37 Zie ook het artikel waarin Freudenthal (1987) het theoretisch raamwerk van Treffers becommentarieert. Reflecterend over mathematiseren, spreekt hij de volgende gedachte uit die goedkeurend anticipeert op wat Gray en Tall proberen te doen: ‘Ergens sprak ik van een ordeloze materie op het ene niveau, die op het volgende wordt georganiseerd. Deze structurering zou wel al op spontane leerprocessen van toepassing kunnen zijn en wat betreft, zou het een zaak van psychologen zijn zich van dit model van cognitieve ontwikkeling te bedienen en het te beproeven’ (p. 7; cursief van JMK).

Hoofdstuk 3

68

3.3.3 Didactische hulpmiddelen

Bedenken welke leerprocessen er in de klas zouden moeten plaatsvinden, is cruciaal.

Het gaat er echter om dat ze ook daadwerkelijk adequaat worden georganiseerd.

Daarbij komt het cruciale vraagstuk van de in te zetten hulpmiddelen om de hoek

kijken. Hoewel hier zekere spanningen bestaan tussen de keuzes die de experts maken,

blijkt er toch sprake van een collectief streven naar een zekere balans tussen de twee

extremen, ‘embeddednes’ en ‘embodiment’. Treffers (1987) karakteriseert deze dichotomie

als:

the naturally organisable versus the artificially organized matter; eliciting

structuring activity in an everyday lift or physical or imagined reality versus

debasing mathematical structures and forcing (the student) into an artificially

created environment (p. 275).

We kunnen dit opvatten als een uitdrukking van Freudenthal’s (1989, 38)

tegenstelling tussen, ‘leren zonder opzettelijk te worden onderwezen’ en ‘iets leren dat door

anderen bruut wordt opgelegd’.

De inzet van didactische middelen ter bevordering van de voortgang bij de

verticale mathematisering van de eigen rekenleerervaringen is een voor de

constructivistische onderzoekers zeer gevoelige kwestie. In het ‘bottom-up’

perspectief van de reconstructiedidactiek heeft, in hun ogen, het aanreiken van

middelen die een wiskundige structuur (een patroon) zichtbaar maken, vanuit de

leerling gezien, iets paradoxaals in zich. Dit geldt niet alleen voor de MAB-blokjes,

repen en plakjes, hèt voorbeeld bij uitstek van ‘embodiment’, maar evengoed voor de

vijftallige en tientallige kralenketting van Withney (1985, 1988) die de realisten hebben

overgenomen en het rekenwerk voor de automatisering onder de twintig. Putnams

(1988) denkbeeld van representational view of mind maakt begrijpelijk wat constructivisten

met hun leerparadoxen bedoelen:

To know is to represent accurately what is outside the mind; so to

understand the possibility and nature of knowledge is to understand the way

in which the mind is able to construct such [internal] representations (p. 3;

haakjes in origineel).

Vanuit deze invalshoek bekeken, zou elke opeenvolgende mentale representatie

van “getal” de neerslag moeten zijn van een ‘abstractie’ in de zin van Freudenthal en

‘encapsulation’ in de zin van Gray en Tall (zie hierboven). Met MAB maken we de

eigenschap van de tientallige bundeling ‘van buitenaf’ zichtbaar, omdat kinderen die

niet op eigen mentale kracht kunnen uitvinden. Ons tientallig positiesysteem berust

immers op een conventie. Er is geen ‘natuurlijke’ ervaring van gezond verstand die,

zonder tussenkomst van een volwassene of decimaal gestructureerd materiaal, direct

tot [één] als eenheid en [tien], [honderd], [duizend], etc. als ordeningsvormen leidt. Dit


69

geldt evengoed voor de decimaal gekleurde kralenketting. Het concretiseert het

mentale beeld van de ingewijde, in casus Whitneys beeld van de decimale

herhalingstructuur van de telrij, precies zoals MAB Dienes’ beeld van de decimale

bundeling visualiseert.

Zie daar de meest controversiële kwestie binnen het paradigma van de

reconstructiedidactiek. Hoe kunnen we nu het dualisme ‘embeddednes’ versus

‘embodiment’ doorbreken? Gravemeijer en Cobb (2007) komen uit op wat men

‘niveau-verhogend modelleren’ zou kunnen noemen. Het wordt geïllustreerd in

paragraaf 3.6 met de leergang rond het meten van lengte als ingang voor leren

modelleren op de lege getallenlijn. Gravemeijer (2004) verwoordt de systematiek als

volgt:

Ideally, the students should invent the necessary tools for themselves. This,

however, is not really feasible. We take care, however, that the students are

involved in the invention process. This can be done by a careful introduction

of each new tool according to the following set up: each new tool has to

come to the fore as a solution to a problem (…). In this manner, the students

experience an involvement in the invention process even though they do not

invent the tools for themselves. In this manner, we try to ensure that the

tools emerge in a sense from the activity of the students. In addition, we

make sure that the use of a new tool is grounded in some imagery for the

students. That is to say, there has to be some history in the learning process

of the student that renders meaning to the activity with a new tool (p. 122).

Bij deze aanpak past de ontwikkeling van een gemeenschappelijke rekentaal, ten

eerste om de patronen en relaties die in een bepaalde context zijn ontdekt, als lokaal

product van gezond verstand, vast te leggen en ten tweede om zelf en met de

groepsgenoten daar verder over na te denken en te communiceren. Dit taalaspect van

verticaal mathematiseren roept de associatie op met Van Hiele’s (1981, 7) uitspraak in

zijn boek Structuur: ‘zonder taal geen denken en zonder taal geen

wetenschapsontwikkeling’. Door de patronen van de betreffende probleemsituaties te

symboliseren, kapselen de leerlingen letterlijk abstracte eigenschappen en relaties in

die hierdoor zelf tot onderzoeksobject worden. In die zin kan gezond verstand,

zonder uitbeelden niet tot ontplooiing komen. Van Hiele en Freudenthal zouden echter

bij Gravemeijer’s beschrijving aantekenen dat de leerling niet alleen op oplopend

niveau van denken en handelen moet leren modelleren. Ze moeten ook, al

communicerend over de gemaakte afbeeldingen en de gedachten die deze oproepen,

de ‘woorden’ en ‘taalstructuren’ vinden die bij het betreffende niveau van denken,

structureren en symboliseren passen. Op deze manier ontwikkeld en gebruikt, vormen

de geconstrueerde modellen en de taal die de leerlingen met elkaar spreken de

culturele band tussen de leerlingen, en in die zin, de rode draad in de geschiedenis van

hun gemeenschappelijke schoolse leerervaringen.

Hoofdstuk 3

70

3.3.4 Samenvattende conclusie

Samenvattend kunnen we vaststellen dat er niet één reconstructiedidactiek is. Binnen

zekere marges, kunnen ontwerpers met verschillende achtergronden lokale

onderwijsleeractiviteiten en kortere of langere leertrajecten ontwerpen die passen bij

leren en onderwijzen via probleemoplossen en het mathematisch organiseren van de

opgedane leerervaring.

Interactief-reflectief probleemoplossen is een noodzakelijke, doch niet voldoende

voorwaarde voor de verwachte voortgang in denken, rekenen en symboliseren. Er

moet een rode draad door het aanbod van problemen lopen die de leerling in staat

stelt ideeën en gewoonten te ontwikkelen die hem geleidelijk aan tillen tot het, voor

hem, hoogst haalbare niveau van gezond verstand. Dit impliceert dat de ontwerpers

de inhouden en vormen die de leerlingen moeten uitvinden en leren gebruiken in

onderlinge samenhang in een leerlandschap moeten organiseren, gekoppeld aan

verschijnselen en contexten waaruit de leerling die kan abstraheren. Dit impliceert

vervolgens dat de ontwerper problemen zodanig aan elkaar knoopt, dat leerlingen

telkens verder voortbouwen op wat zij al weten en kunnen. Binnen de zojuist

geschetste reconstructiedidactiek onderscheiden we zoals gezegd drie verschillende

didactieken. Deze worden achtereenvolgens in de paragrafen 3.4, 3.5 en 3.6

besproken.

3.4 Didactische variant 1: de TAL didactiek

De eerste didactische variant die we aan de orde stellen, is die waar Treffers (Treffers

& de Moor, 1990) de basis voor heeft gelegd. We nemen daarbij de in het zogeheten

TAL-project uitgewerkte didactiek voor leren hoofdrekenen in de onderbouw van de

basisschool als uitgangspunt. Het gros van de leerlingen, wier oplossingen in dit

onderzoek centraal staan, heeft namelijk leren hoofdrekenen met een methode

waarvan de lessen en leergangen door deze didactiek zijn geïnspireerd. TAL staat voor

Tussendoelen Annex Leerlijnen. Het is ontwikkeld in opdracht van de Ministerie van

Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen door een landelijke groep rekendidactici,

waaronder Treffers 38.

3.4.1 Theoretisch kader

Hoe kunnen de doelen van hoofdrekenen op de meest efficiënte manier worden bereikt? Deze vraag

van Treffers (1987) typeert de invalshoek waaronder hij en TAL de inrichting van de

38 In de periode 1998-2000 bestond het TAL-team uit de volgende leden: J. Bokhove, J. van de Brink, A. Buter, K. Buys, E. de Goeij, M. v.d. Heuvel-Panhuizen (coördinatie), J. Menne, E. de Moor, A. Noteboom, J. Nelissen, A. Treffers, A. Veltman en J. Verwaal.


71

verticale mathematisering benaderen. Ze concentreren zich van begin af aan op de

meest efficiënte overbrugging van de afstand tussen het intuïtief informeel oplossen

van elementaire optelen aftrekproblemen en het puur getalsmatig denken en

opereren. Ze richten hun aandacht daarbij op twee hoofdkwesties, namelijk (1) de

fenomenologische oriëntatie in de aanvangsfase van het leerproces en (2) de

materialen, schema’s en modellen die het meest geschikt zijn om de rekenhandelingen

van de leerling op het verwachte niveau van flexibel en formeel rekenen te tillen.

In 1987 is onder de titel Three dimensions - A model of Goals and theory description in

mathematics – The Wiskobasproject, de Engelse vertaling van het proefschrift van Treffers

uitgegeven. ‘Theory description in mathematics’ in de ondertitel, duidt de uitbreiding

van de originele tekst aan. Treffers (1987) voorziet in deze uitbreiding, a posteriori,

zijn oorspronkelijke driedimensionale doelbeschrijving van het wiskundeonderwijs

zoals vormgegeven door Wiskobas39 van een passend onderwijstheoretisch kader.

Treffers (ibid.) ziet in Freudenthal’s didactische fenomenologie en de niveautheorie

van Van Hiele twee aanvullende kaders om de Wiskobas leergangen te typeren.

Volgens hem biedt de niveautheorie van Van Hiele houvast om de grove

macrostructuur van een leergang te schetsen. Van Hiele (1973) onderscheidt drie fases

c.q. niveaus van denken in dit proces:

– op het grondniveau zijn de getallen gekoppeld aan waarneembare en tastbare

hoeveelheden en aan handelingen met echte objecten;

– het eerste niveau wordt bereikt zodra leerlingen hun aandacht richten op de

relatie tussen getallen en deze relaties gebruikt om veranderingen en relaties

tussen hoeveelheden te symboliseren (7 is twee meer dan 5; 4 + 4 = 8; 10 -

5=5; etc.);

– het tweede niveau wordt bereikt wanneer leerlingen de relaties zelf van hun

netwerk onderzoeken om daar greep op te krijgen en deze optimaal te kunnen

gebruiken.

Dan ligt het formele begrip en gebruik van de operaties in het verschiet - aftrekken

als de omkeeroperatie van het optellen en delen als de omkeeroperatie van het

vermenigvuldigen40.

Freudenthal (1987, 7) herkende in deze niveaus het iteratief leerproces van de

mensheid, waarbij de ‘ordeloze materie’ op het ene niveau, via reflectie, op het

volgende wordt georganiseerd. Vanuit de Piagetiaanse traditie, beschrijven Gray en

Tall (1994) hetzelfde proces. Zoals eerder beschreven (paragraaf 3.3.2) beschouwen zij

vanuit hun cognitief-psychologisch perspectief Van Hiele’s niveauverhogingen als

opeenvolgende abstracties van ‘denkdingen’ (noties, concepten, symbolen) die

39 In zijn presentatie Onderwijsontwikkeling in de praktijk zoomt Gravemeijer (1994) in op het proces van onderwijsontwikkeling in Nederland vanuit de conceptie en benadering van het IOWO.

40 Zie ook Freudenthal (1984).

Hoofdstuk 3

72

ontstaan uit handelingspatronen, zoals bijvoorbeeld ‘getal’ uit het tellen van iets en

‘som’ uit de uitbreiding van (denkbeeldige) verzamelingen.

Wat de structurering op microniveau betreft, is Treffers (1987) evenals Freudenthal

(1973) van mening, dat een leerling talloze mini-drempels moet nemen om te leren

mathematiseren en al doende, voort te gaan in kennis en bekwaamheid. Deze stappen

zijn, als zodanig, haast niet van elkaar te onderscheiden. Vanuit deze optiek gezien,

geeft Van Hiele’s fasering van de overgang van het ene niveau naar het andere41,

volgens hem geen antwoord op twee cruciale didactische vragen:

1. How to shape concretely the phenomenological exploration at the first level?

2. Which didactical acts should be performed to raise the pupils as efficiently as

possible from one level to the next the next? (Treffers, 1987, 245).

Voor het antwoord op de eerste vraag maakt Treffers gebruik van Freudenthal’s

didactische fenomenologie. Zoals gezien in paragraaf 3.1 geeft deze analyse aan welke

fenomenen van de realiteit de leerling wiskundig moet onderzoeken om, al

explorerend en organiserend, de wiskundige middelen te construeren die nodig zijn

om daar greep op te krijgen. Dit gebruik van de realiteit als bron van probleem-

oplossen en van de generalisatie en verdergaande formalisering van werkwijzen typeert

dan ook, volgens Treffers, de Wiskobas-benadering van rekenen-wiskunde.

Progressief mathematiseren volgens Wiskobas

Treffers zoekt en vindt de sleutel voor het meest ‘efficiënte’ leerproces in vijf

karakteristieken van de Wiskobasproducten. Ze typeren, in onderlinge samenhang, het

overkoepelende principe van het zogenoemd ‘progressief mathematiseren volgens

Wiskobas’42:

– de centrale plaats voor het gebruik van contexten als basis voor een

fenomenologische verkenning en als bron voor de ontwikkeling van

begrippen e.d.;

– de aandacht voor het gebruiken, verkennen en ontwikkelen van (situatie-)

modellen, schema’s en symboliseringen die steun bieden bij het nemen van

een bepaalde drempel;

– het doen van een beroep op de eigen inbreng van de kinderen door aan te

sluiten bij hun fragmentarische en informele kennis en door eigen

constructies en producties uit te lokken;

41 Van Hiele (1973) onderscheidt op pagina 148 en verder de vijf volgende fasen: 1. informatie, 2. gebonden oriëntatie, 3. explicitering, 4. vrije oriëntatie en 5. integratie.

42 Zie de context en de aanleiding in paragraaf 2.3.1. Deze principes zijn eerder beschreven in Treffers en Goffree (1985). De korte weergave ervan is ontleend aan Gravemeijer (1987, 50).


73

– het steunen op interactief onderwijs waarbij de leerlingen worden

geconfronteerd met de oplossingen van anderen en deze en eigen oplossingen

bespreken en evalueren;

– recht doen aan de samenhang tussen de verschillende leerstofgebieden.

Deze didactische grondprincipes zijn in de Proeve… (Treffers en de Moor, 1990)

dan ook omgewerkt tot ‘Vijf leerprincipes van de reconstructiedidactiek’ die sindsdien als de

‘grondprincipes van het realistisch rekenen’ worden beschouwd. Deze omschrijving

integreert de realistische norm ten aanzien van de didactiek met die ten aanzien van de

activiteit van de leerling. Zo zijn ze ook als richtlijn gebruikt voor het ontwerpen van de

onderwijsmethoden (rond de eeuwwisseling) waarmee de geobserveerde leerlingen

hebben leren hoofdrekenen (KNAW, 2007, 25) 43 Deze theorie wordt hieronder op

hoofdlijnen gepresenteerd. Ze vormt immers één van de drie varianten die als

uitgangspunt worden genomen om relaties te leggen tussen de gevolgde didactiek en

de geobserveerde kwaliteit van hoofdrekenen.44

Onderwijsprincipes

Bovenstaande karakteristieken van het progressief mathematiseren volgens Wiskobas

typeren het onderwijsleerproces. Ze zijn niet geformuleerd om, op basis hiervan,

lessen en leergangen te ontwerpen. Ze zijn daar ook niet geschikt voor (Gravemeijer,

1987). Hiertoe hebben Treffers, de Moor en Feys (1987b, 27-31) een aantal vuistregels

uitgewerkt. Deze zogeheten onderwijsprincipes vormen de meest concrete didactische

richtlijnen voor het (hoofd)rekenonderwijs in de onderbouw van de basisschool (zie

ook Treffers en de Moor, 1990, 96-101). De kern ervan die het optellen en aftrekken

tot 100 (1000) aangaat, wordt hieronder weergegeven.

Dagelijkse oefeningen. Leerlingen moeten dagelijks even hoofdrekenen. Ze wisselen al

doende ideeën uit over oplossingsmethoden, lichten de ingebrachte berekeningswijzen

toe en determineren samen de sterkere en zwakkere kanten ervan. Dit hoofdrekenen

is verbonden met de kernstof van het programma voor jaargroep 5, tellen en meten in

getalgebied tot duizend.

Inzichtelijke opbouw. De procedures van de geleerde hoofdrekenmethoden (rijgen,

splitsen en variarekenen) worden inzichtelijk opgebouwd, dat wil zeggen, met behulp

van passende materialen, schema’s e.d. ‘gedemonstreerd’.

43 Deze onderwijsleerprincipes zijn in de Nederlandstalige publicaties op talloze manieren verwoord. De KNAW-commissie onderscheidt en omschrijft (1) Zelf kennis construeren, (2) Niveaus en modellen, (3) Reflectie op eigen producties, (4) Interactie en (5) Verstrengeling van leerlijnen.

44 Tussen 1987 en 2001 is Treffers’ Framework voor instruction theory aangescherpt en verder uitgebouwd. De laatste uitwerking ervan komt uit de hand van Menne (2001). Haar zogenoemde ‘lokale onderwijstheorie voor het rekenen tot honderd‘ was echter nog niet beschikbaar bij het ontwerp van de ‘euro-methoden’ waarmee de onderzochte leerlingen hebben leren rekenen. Deze lokale theorie zal dan ook slechts worden betrokken in het afsluitende hoofdstuk, bij de discussie naar aanleiding van de resultaten van onderhavige studie.

Hoofdstuk 3

74

Zowel mondeling als schriftelijk oefenen. Bij de dagelijkse oefeningen dienen de opgaven

zowel schriftelijk als mondeling gevarieerd te worden aangeboden (ibid., 97), door

gebruik te maken van sommenrijtjes, pijldiagrammen, tabellen, machientjes,

getallenmolens, etc., plus spelletjes en toepassingen.

Spelletjes ter verlevendiging. Spelletjes verlevendigen het hoofdrekenen en hebben als

zodanig een eigen specifieke functie bij het hoofdrekenen.

Didactisch gebruik en doelen aanpassen. Dit laatste principe is van cruciaal belang voor

scholen die geconfronteerd worden met grote verschillen tussen hun leerlingen. Het

principe luidt als volgt: we dienen bij hoofdrekenen individuele verschillen te

accepteren en zelfs te benutten bij het bespreken van mogelijke strategieën. Maar wat

te doen als bepaalde leerlingen bij het groepswerk steeds achterblijven? Het adagium is

dan: indien het precieze berekenen niet lukt, accepteer dan (aanvankelijk) schattingen.

We moeten kinderen bij het lange-termijn doel van het hoofdrekenen sterk stimuleren

en er vooral voor waken dat de oefensfeer en de groepsgerichte werkvorm niet tot

stresstoestanden leiden. Vandaar ook: lukt het niet exact, kies dan aanvankelijk voor

de benadering van de uitkomst en juist niet voor de zekere cijfermatige aanpak –

althans niet bij hoofdrekenen (ibid, 30).

We kijken nu hoe het TAL-team Treffers’ richtlijnen en bovenstaande principes in

haar inrichting van het rekenen tot honderd heeft uitgewerkt.

3.4.2 TAL-didactiek

Treffers’ didactiek van het progressief schematiseren volgens de didactische drieslag is

uitgewerkt in de Proeve… (Treffers en de Moor, 1989, 1990) en de TAL publicaties

(TAL-team, 1999; Van de Heuvel-Panhuizen, Buys & Treffers, 2001). We

concentreren ons zoals gezegd primair op de uitwerking in de TAL-publicaties. We

beperken ons in de navolgende beschrijving tot de kern van de door het TAL-team

aanbevolen hoofdrekendidactiek voor het onderwijs tot en met jaargroep 5. Eerst

beschrijven we het rekenen tot twintig, daarop aansluitend het optellen en aftrekken

tot honderd.

Tellend, structurerend en formeel rekenen tot twintig

Het rekenen tot twintig legt de basis voor hoofdrekenen tot honderd. De leerlingen

transformeren het uitbeeldend oplossen van elementaire optelen aftrekproblemen

met ondersteuning van de vingers of objecten tot het formeel symboliseren van een

gebeurtenis of een relatie tussen benoemde aantallen of maten via het zogenoemde

‘structurerend’ rekenen (TAL-team (1999, 27). Deze progressieve niveauverhoging

verloopt als volgt.

Er wordt gestart met een brede, gecontextualiseerde oriëntatie in de wereld van

tellen en meten. Dit richt de aandacht van de leerlingen op de betekenissen en


75

verschijningsvormen van de getallen, optellen en aftrekken, de plaats van de getallen

in de telrij en het gebruik van de telwoorden bij tellen, vergelijken, optellen en

aftrekken.

Het symboliseren van hoeveelheden met een vijftallig gestructureerde kralenketting

en het rekenrek opent de weg naar het structurerend rekenen. Dit bevrijdt de leerling van

doortellen en terugtellen. Het stelt hem in staat getallen als knooppunten van een

eigen netwerk van optelrelaties te organiseren. Dit bevordert het memoriseren van de

tafels.

Eenmaal zo ver, kan de leerling leren passende rekenfeiten als ‘hulpsom’ te

gebruiken voor de herleiding van een onbekende optelling of aftrekking, wat Engelsen

de ‘derived facts’ strategie noemen (Thompson, 2003). Dit gebeurt in de formele fase

van rekenen tot twintig, wanneer de leerling (a) puur mentaal, met afgesplitste getallen

kan opereren, (b) er achter is gekomen hoe ‘gelijke’ optellingen (c.q. afrekkingen )

gemaakt kunnen worden door de termen te veranderen en (c) een eerste notie heeft

verworven van de inverse relatie tussen optellen en aftrekken. Op dit formele niveau

rekenen de leerlingen via het tiental, gebruiken ze de vijfstructuur

(6+7=5+1+5+2=10+3), of gebruiken ze dubbelen of omgekeerde dubbelen (8-4 en

12–6, via respectievelijk 4+4=8 en 6+6=12). Sommigen nemen zelfs de vrijheid om

beide getallen van de opgaven, ‘intuïtief’ of volgens zelf bedachte regels te veranderen,

zoals 9+2 in 10+1.

Rijgen, splitsen en variarekenen tot honderd op drie niveaus

De TAL-goep structureert de progressieve formalisering van optellen en aftrekken tot

honderd in de lijn van de fasering van de voortgang bij rekenen tot twintig (Buijs,

2000; 2008). De leerling wordt geacht zijn modellering met telstappen trapsgewijs te

veranderen in tientallig optellen en aftrekken met rekengetallen als knooppunten,

rekenen met positiewaarden (splitsprocedures) of met hulpsommen (variaprocedures).

Het TAL-team neemt voor deze organisatie van de leerstof de volgorde van aanbieden

van de drie vormen van decimaal rekenen over die in de Proeve… is geschetst (Treffers

& de Moor, 1990): eerst sequentieel (rijgen), dan positioneel (splitsen) en daarna meer

expliciete aandacht voor de aanvullende en de deductieve vorm van handig rekenen

(variarekenen). Daarmee stappen ze over de bezwaren heen, die de Leidse

onderzoeksgroep formuleerde tegen deze volgorde van aanbieding van de drie

hoofdrekenmethoden. Beishuizen en Van Mulken (1988) hadden in hun studie naar de

oplossingen van leerlingen van groep 4 geconstateerd dat zij eerst de opeenvolging

van de tientallen mentaal constitueren (10, 20, 30, …) en dit getalpatroon in drie

vormen van optellen en aftrekken gebruikten (zie figuur 3.3):

- bij splitsen (acroniem 1010);

- bij rijgen via een sprong naar een tiental (acroniem A10) en;

- bij de zogenoemde combinatiemethode (acroniem s10) die relatief vaak werd

ingezet en bovendien behoorlijk effectief bleek te zijn.

Hoofdstuk 3

76

Rekenen op basis van de sequentiële ordening van de tientallen

– Splitsen (1010 methode)

38+25 via 30+20=50; 5+8=; 50+13=63

63-38 via 60-30=30; 3-8?

Incorrect opgelost via 8-3=5; 30+5=35

Correct opgelost m.b.v. de combinatiemethode

– Rijgen (A10 methode)

38+25 via 38+2=40 50, 60 60+3=63

63-38 via 63–3=60 50, 40, 30 30-5=25

Figuur 3.2 – Elementaire vormen van hoofdrekenen op basis van de decimale sequentiële ordening van de getallen (Bron: Beishuizen & Van Mulken, 1988)

Pas later in jaargroep 4 beseffen leerlingen volgens Beishuizen en Van Mulken

(1988) wat de implicaties zijn van de decimaal-positionele structuur van de

tweecijferige getallen voor de optelen aftrekoperaties van het type 38 + 10 en 48 –

10, de conceptuele voorwaarden om met de tiensprong te kunnen rijgen. Op basis van

deze bevindingen, pleitten zij voor een gelijktijdige aanbieding van (horizontaal) splitsen

en rijgen in jaargroep 4 en voor de opname van de combinatiemethode in het

communale aanbod. Het zou als tussenvorm kunnen fungeren die de brug slaat naar

de tweede, complexere vorm van sequentieel rekenen - de methode van de herhaalde

tiensprong (acroniem G10, zie figuur 3.3) (Foxman & Beishuizen, 2003).

Het TAL-team (1999) geeft twee redenen waarom er niet op dit voorstel is

ingegaan. Een leermiddel (c.q. model) moet ‘breed inzetbaar’ zijn en ‘goed aansluiten

bij de verschillende verschijningsvormen van de operaties’, aldus de ontwerpers (ibid.,

p. 50). Het team meent dat, vanuit dit oogpunt bekeken, een lijnmodel aanvankelijk

meer mogelijkheden biedt dan een groepjesmodel omdat het beter aansluit bij de

informele modellering met telstappen. Paradigmatisch hiervoor is de symbolisering

van relatie tussen leeftijden of het uitbeelden van de vorderingen bij het lezen van een

boek. Een tweede motief om het rekenen met decimale middelen uit te stellen, is het

gevaar dat de leerling de misconceptie van het bekende buggy algoritme (zie figuur

3.3) inslijpt.

In figuur 3.4 geven we een overzicht van de ontwikkeling van drie vormen van

opereren die een voor een in het onderwijs aan bod komen.

Rijgen. De eerste fase betreft de progressieve schematisering van het rijgen (of

sequentieel rekenen). De overbrugging verkort tellen puur mentaal rijgen wordt als

volgt in drie fasen gestructureerd. Het proces start bij het informele oplossen van een

weloverwogen afwisseling van bepaalde typen contextproblemen. Deze problemen

moeten namelijk oriënteren in de verschillende structuren en betekenissen van

optellen en aftrekken die relevant zijn voor het uitvinden van de verwachte vormen

van optellen en aftrekken en flexibele varianten ervan. Optellen verschijnt in deze

situaties als toevoegen, samennemen en ‘groter’ maken, aftrekken als weghalen,

scheiden, gelijk maken en verschil bepalen. Op grond van de uitgebreide literatuur

hierover, verwacht het TAL-team dat elke leerling zo een eigen oplossingsweg zal


77

volgen, ook al zullen de meeste kinderen de actie of relatie van het probleem in de lijn

van het verhaal met telstappen uitbeelden. Dit breidt de rekenpatronen uit die de

leerlingen al bij het rekenen tot 20 hebben uitgevonden: bijtellen (tot) en terugtellen

(tot), al dan niet via de symbolisering van de telstappen met opgestoken vingers,

getekende streepjes of rondjes, streepjes e.d.

Lineair probleem Hans maakt een rit van 77 km...

Decimaal probleem Tom heeft 77 euro. Hij geeft 29 ...

Kaal aftrekken 63 - 48 = _____

Progressieve schematisering van

RIJGEN / Sequentieel

Progressieve schematisering van

SPLITSEN / positioneel

Progressieve schematisering

van VARIA REKENEN /

Deductief

Tellen Tweesporig tellen

76 75 74 (…) 50 49 48

1 2 3 (…) 27 28 29

Structurerend Met de sprong via het tiental

Met de herhaalde tienspro

Structurerend

Met groepjesmodel

Semi-formeel,

Model ondersteund Inverse relatie

Formeel vakmatig

Met samengestelde 10-sprongen

77-20=57; 57-9=48

Formeel vakmatig Met tekort

Misconceptie

Kolomsgewijs

Formeel vakmatig

Compenseren

Transformeren

Beide termen met

evenveel ophogen:

77-29 is evenveel als 78-30

Figuur 3.3 - Progressief schematiseren van drie vormen van opereren in het getalgebied tot 100

In de hierna volgende fase wordt de tientallig gestructureerde kralenketting en in

het verlengde hiervan de lege getallenlijn ingezet om het uitbeelden met telstappen te

comprimeren tot uitbeelden met passende sprongen van het ene tiental of

samengesteld getal naar het andere (zie paragraaf 2.4 en paragraaf 3.5.2). Het idee voor

de kralenketting en de (lege) getallenlijn is door Treffers (1989) ontleend aan Whitney

(1988), die het beiden propageren als hulpmiddel bij het optellen en aftrekken tot

77 67 57 4850-10 -10 -7 -2

Hoofdstuk 3

78

honderd. De door hem voorgestelde kralenketting bestaat uit honderd kralen,

ingedeeld in groepen van tien die afwisselend licht en donker gekleurd zijn (zie figuur

3.4).

Figuur 3.4 - Tientallige kralenketting

De leerling kan een aantal kralen aftellen, bijvoorbeeld 32, en dan een knijper op

de kralenketting zetten. De gekleurde groepen van tien maken het echter mogelijk om

32 veel sneller te vinden, via: 10, 20, 30, 32. De kralenketting kan bovendien

gekoppeld worden aan een getallenlijn, die kan worden opgevat als een schematische

voorstelling van de kralenketting (zie figuur 3.5).

Figuur 3.5 - Getallenlijn als schematisering van het kralensnoer

De tientallige structuur ondersteunt het springend tellen met sprongen van tien en

één. Dit baant de weg voor het rijgen met sprongen (gevisualiseerd met boogjes) op

de lege getallenlijn. Het noteren van (deel)berekeningen op de lege getallenlijn, helpt

de leerling bij het houden van overzicht.

Het kralensnoer en de getallenlijn worden ingezet bij specifieke opdrachten als

zoveel dingen zichtbaar maken of herkennen en aantallen uitbreiden, reduceren,

afsplitsen, e.d. die de aandacht richten op (a) de tientallen als handige referentiepunten

en (b) het decimaal patroon van de ordening. Sommige leerlingen ‘zien’ dan al het

patroon in reeksen als 31, 41, 51 …; 39, 49, 59…; 42, 52, 62 …; of 48, 58, 68 … De

oriëntatie leidt tot de uitvinding van de twee elementaire vormen van rijgen: 1.

springen van tiental tot tiental, via de sprong naar het tiental (A10 procedure) en 2.

direct springen met 10-sprong (G10) dat de meest gevorderde leerlingen een uitkomst

vinden. Leerlingen moeten dan, in de derde fase van het proces deze omslachtige

manier van springen zelf optimaal verdichten tot de zogenoemde ‘samengestelde 10-

sprongen’. Geleerd wordt hoe deze rekenhandelingen in pijlentaal kunnen worden

genoteerd. Naarmate leerlingen vertrouwd raken met de gebruikte getalrelaties, wordt

deze notatie overbodig. Leerlingen kunnen dan in sommentaal of zelfs puur mentaal

rijgen. Al doende, bereiken ze het verwachte eindniveau van sequentieel rekenen. Dit

opent de weg voor de afstemming van de geleerde rijgschema’s voor de bewerking

van driecijferige getallen (van den Heuvel-Panhuizen, Buys & Treffers, 2001).


79

Tientallig splitsen. Hierna volgt de progressieve schematisering van het splitsen (of

positioneel rekenen). Zoals eerder gezegd, wordt de decimaal-positionele vorm van

optellen en aftrekken tot honderd pas in de tweede helft van jaargroep vier expliciet

aan de orde gesteld. De richtlijnen van het TAL-team zijn, evenals die van de Proeve…

zeer summier. Deze methode wordt in de publicatie van de onderbouw alleen

geïllustreerd met de voorbeelden 48+29 en 77-29 (zie figuur 3.6), met daarbij de

mededeling dat er ‘behoedzaam’ dient te worden gehandeld.

Figuur 3.6 – Positioneel optellen en aftrekken in pijlentaal’ (TAL, 1999, p. 52)

In de publicatie van de bovenbouw geeft Buijs (2000, p 40) aan dat het tientallig

splitsen pas wordt aangeboden, als de kinderen voldoende vertrouwd zijn met de

rijgaanpak en de decimale structuur van de getallen (zie figuur 3.8).

Figuur 3.7 - Horizontaal aftrekken met de combinatiemethode en met tekort (Buijs, 2000, p. 42)

De eerste procedure is de combinatie van rijgen met splitsen waar Beishuizen en

Van Mulken (1988) voor pleitten. De tweede methode van horizontaal aftrekken met

tekort is geïnspireerd door Maddel’s (1985) experimenten met het vrij modelleren met

MAB-materiaal. In de realistische stijl van TAL beelden leerlingen ‘decimale’

contextproblemen uit met namaakgeld.

Variarekenen. Tenslotte volgt het progressief schematiseren van het variarekenen, dat

in de loop van groep 5 explicieter aan bod komt Conform de Proeve…, onderscheidt

Buijs (2000, 42) drie klassen oplossingswijzen. De eerste groep bestaat uit oplossingen

van aftrekopgaven, waarbij de leerling indirect optelt (c.q. indirect aftrekt) in plaats

van aftrekt. De tweede en derde groep oplossingswijzen behoren tot wat in deze

dissertatie de ‘deductieve’ vorm van hoofdrekenen wordt genoemd: enerzijds

‘compenseren’ en anderzijds ‘transformeren’.

Didactische middelen

In lijn met de verschillende vormen van rekenen selecteert het TAL-team passende

didactische hulpmiddelen (TAL-team, 1999; Buijs, 2000). Daarbij benadrukken ze het

belang van de consistentie tussen het gebruikte symboliseringsmiddel en de structuur

Hoofdstuk 3

80

van het verschijnsel bij het beschrijven en oplossen van een contextprobleem (figuur

3.3 en figuur 3.8).

Ik ben 36 jaar oud.

Hoe oud ben ik over 8 jaar?

Hoe oud was ik 8 jaar geleden?

Modellering van sparen: telkens 10

euro erbij

Figuur 3.8 Lineaire en positionele modellering van processen en relaties

‘Ordinale’ problemen (zie Hans) moeten met ‘lijnmodellen’ worden uitgebeeld (N

blokjes in een lange file, een kralenketting en (gedeeltelijk) gemarkeerde getallenlijn),

‘decimale’ problemen (Tob) met ‘groepsjesmodellen’ (turfstreepjes, dozen van 10

stuks, namaakgeld, etc.). Door de gekozen volgorde van aanbieding, krijgen de

leerlingen volop de gelegenheid om de getallen tot 100 te gaan zien als knooppunten

van lineaire optelen aftrekrelaties. Dit proces start met het tellen van grote

hoeveelheden, waarbij het groepjesmodel wordt geïntroduceerd. De visualisering van

denkbeeldige tellingen c.q. hoeveelheden met het tientallig gestructureerde kralensnoer

richt de aandacht op de tientallen als markeringspunten van de tientallige

herhalingsstructuur van de getallenrij. De symbolisering ervan op een tientallig

gemarkeerde getallenlijn leidt dan de lineaire organisatie in van samengestelde getallen.

Dit gebeurt via opdrachten als het aanwijzen en plaatsen van getallen op een

getallenlijn met eenheden of tientallen (of op een lege getallenlijn), het springen naar

getallen, etc. Hiermee verwerven de leerlingen de twee bouwstenen voor het rijgen -

de tiensprong (e.g. 57+10=67) en de sprong naar het tiental (e.g. 57+3=60).

Klassikale interactie. Opvallend is de geringe aandacht die het TAL-team besteedt aan de

rol van de klas als sociale context en aan interacties - Treffers (1987) vierde

fundamentele principe. De in figuur 3.9 geschetste korte uitwisseling van gedachten is

paradigmatisch. Het conflict van het tekort is de gevoelige snaar van decimaal

aftrekken. Het is dan ook een teken aan de wand dat de reflectie hierover zo bondig

en ‘procedureel’ wordt geïllustreerd.


81

Conflict van het tekort aan eenheden:

Je hebt 83 euro en je wilt iets kopen van 47 euro.

“Je het helemaal geen 7 losse euro’s. Je hebt er 3, en daar

moet je die 7 vanaf halen”.

“Ja, precies. Dan kun je er eerst 3 afhalen en dan moet je

er nog 4 van de tientjes afhalen”

Figuur 3.9 Gedachtewisseling over het tekort aan eenheden bij splitsend aftrekken (Buijs, 2000, p. 42)

3.4.3 Kritische kanttekeningen binnen de eigen kleine en grote kring

Als voormalig lid van de TAL-groep en eindredacteur van het hoofdstuk over de

getallen en de operaties tot honderd, blikt Buijs (2008) in zijn dissertatie terug op de

toegepaste structurering in drie vormen van symboliseren en rekenen. Hij memoreert

de kanttekeningen die binnen de TAL-groep en de kring eromheen zijn geplaatst ten

aanzien van de onderscheiden niveaus van formalisering en het gekozen perspectief.

Tellend, structurerend en formeel rijgen weerspiegelen zijns inziens de verandering in

de mate van formalisering van de uitgevoerde operatie. De toename in de

abstractiegraad van de handelingen karakteriseerde echter niet de niveauverhoging in

haar totaliteit, aldus Buijs (ibid., 42).

Ook staat Buijs stil bij de bezwaren van realistische collega’s tegen de sterke

gerichtheid op de rekenhandelingen en op de schematisering ervan. Dit zou ten koste

gaan van de aandacht voor de ontplooiing van wiskundig denken bij leren rekenen

(Keijzer, Figueiredo, Galen, Gravemeijer & Herpen 2005; Goddijn, 2005). Het

uitvoeren van bewerkingen was overbelicht, het begrijpen onderbelicht. De nadruk op de

vormen (procedureel aspect van rekenen) ging ten koste van de inhouden (conceptueel

aspect van rekenen). Daar kwam de kern van de kritiek op neer. Bij zijn reflectie op de

kernideeën uit Freudenthal’s (1991) boek Revisiting Mathematics Education, merkt Buijs

(2005) wat dit betreft op, dat men ‘wellicht’ de conceptuele ontwikkeling van de

leerling als tweede dimensie van de voortang zou moeten onderscheiden.

Het gaat immers niet louter om dat de leerling op een hoger niveau tot een

oplossing leert te komen, maar ook dat dit gebeurt op basis van een steeds

beter begrip van de betreffende operatie, van de te gebruiken getalrelaties, en

dergelijke. Het is juist in dit beter begrijpen dat iets wezenlijks van het ‘steeds

gezonder wiskundig verstand’ tot uitdrukking komt (p. 100).

In hoofdstuk 4 wordt een classificatiesysteem geconstrueerd voor de codering van

de oplossingsprocedures en een daarbij horend patroon in het abstractieproces van de

verticale mathematisering. We zullen dan bovenstaande standpunten en de vormen en

niveaus van TAL tegen het licht houden van de voortschrijdende inzichten in en

empirische aanwijzingen over de conceptuele en procedurele aspecten van leren

2222

2210

1010

1010

10

1010

Hoofdstuk 3

82

hoofdrekenen en de relatie er tussen. We maken nu kennis met de cognitief-

psychologisch gekleurde tweede variant van de reconstructiedidactiek.

3.5 Didactische variant 2: probleemoplossende didactiek

De tweede variant van de reconstructiedidactiek die we hier bespreken, betreft de

Amerikaanse cognitief-psychologische benadering van Carpenter, Fuson en anderen.

Uitgangspunt vormt de bevinding dat een kind, zonder aansturing van buiten, niet op

het idee komt hoeveelheden tientallig te groeperen, of positioneel te noteren, en

daarbinnen niet op het idee van ‘lenen’ komt. De standaardalgoritmen zijn het

eindresultaat van eeuwenlange ontwikkeling. Het berust op de conventie dat een

tientallig positioneel systeem de voorkeur verdient boven andere alternatieven.

Kinderen kunnen volgens de onderzoekers onmogelijk zelfstandig tot dezelfde

bevindingen en uitvindingen komen in de relatief korte tijd dat ze op de basisschool

zitten. Ze hebben daarom de hulp van de leraar nodig, en van materialen die het

tientallig rekenen toegankelijk, want begrijpelijk maken.

Men kiest daarom voor de inzet van ‘conceptueel-ondersteunende didactische

middelen’ om de leerling, binnen de sociale ruimte van de groep, in te wijden in de

wereld van ‘tientalligheid’. Problemen die aansluiten bij de ervaring van ‘tientalligheid’

in de diverse contexten uit het leven van alledag worden hiertoe als uitgangspunt

gebuikt. De modellering ervan met uiteenlopende decimale middelen richt de

aandacht van de leerlingen op de eigenschappen en de structuur van de gebruikte

ordeningsvormen en de relaties ertussen, hoe getallen worden gemaakt, uitgesproken

en geschreven en wat men met groepen van tien dingen (tientallen) en losse dingen

(eenheden) zoal wel en niet kan (mag) doen. Op deze manier ontstaat er, geleidelijk

aan, een tientallige tel- en rekencultuur in de groep. Er worden ideeën ontwikkeld,

symboliseringen en werkwijzen ontdekt, uitgewisseld, kritisch doorgelicht en naar hun

mate van juistheid en geschiktheid bediscussieerd, onder elkaar en met de leraar als

inhoudelijke en pedagogische begeleider. Dit alles legt de basis voor het hoofddoel: de

abstractie van de traditionele algoritmen uit handelingspatronen met decimale

hulpmiddelen die de groep heeft goedgekeurd vanuit het verworven inzicht in

tientalligheid. We komen daar later op terug.


Deze variant van de reconstructiedidactiek karakteriseert de instructiepraktijk van vier

verwante projecten:

– Cognitively Guided Instruction (CGI, onder leiding van Thomas Carpenter,

Elizabeth Fennema en Megan Franke van de universiteit van Wisconsin);


83

– Supporting Ten-Structured Thinking (STST, onder leiding van Fuson van de

universiteit van Northwestern);

– project Conceptually Based Instruction (CBI, onder leiding van James Hiebert en

Diana Wearne van de universiteit van Delaware);

– Problem Centered Mathematics Project (PCMP, onder leiding van Piet Human,

Hanlie Murray en Alwyn Olivier van de universiteit van Stellenbosch, Zuid-

Afrika).

Deze projecten proberen alle vier om, vanuit eenzelfde referentiekader te

onderzoeken hoe men kinderen kan helpen ‘to learn number concepts and operations

with understanding’ (Fuson e.a.1997, p. 131). Hoe men dit onderwijstheoretisch en

didactisch gezien moet interpreteren wordt hierna uiteengezet. Wij verkennen

achtereenvolgens de algemene visie, de twee gebruikte referentiekaders en de

nagestreefde verticale mathematisering als het gemeenschappelijke kader van de vier

projectgroepen.

Algemene visie

In 1997 publiceerden de in deze projecten verzamelde onderzoekers een gezamenlijk

artikel waarin ze hun positie uiteenzetten (Fuson et al, 1997). De insteek is het

volgende. Het traditionele rekenonderwijs bewerkstelligt in de V.S. en andere landen

het inslijpen van algoritmische procedures (‘calculation procedures’), misconcepties

van de positionele eigenschap van ons getalsysteem en de plaatswaarde van getallen en

ook hardnekkige bewerkingsfouten. De onderzoekers baseren zich daarbij op een

achttal publicaties — waaronder die van Beishuizen (1993) over de invloed van de

hulpmiddelen en modellen bij leren rekenen tot honderd. Zij presenteren hun

projecten als experimenten met nieuwe instructievormen, ‘to support children’s

construction of accurate and robust conceptual structures for multidigit numbers and

to facilitate the use of these conceptual structures in multidigit calculation’ (Fuson et

al., 1997, p. 130).

Vanuit deze invalshoek richten de onderzoekers zich kort gezegd op inzichtelijk

decimaal leren rekenen met meercijferige getallen vanuit een goed begrip van de twee

hoofdprincipes van het decimaal-positionele systeem van natuurlijke getallen: de

‘bundeling in eenheden van tien’ en de‘positionele ordening’ van deze eenheden van

klein (rechts) naar groot (links), zoals in 48 en 620. De gemeenschappelijke rapportage

presenteert de opbrengst van de discussies die in de loop van de experimenten hebben

plaatsgevonden over relevante aspecten van de vier projecten. Op basis hiervan

worden drie componenten van het gemeenschappelijk theoretisch kader

geïdentificeerd:

1. een classificatie van ‘word problems’ (rekenverhalen) die paradigmatisch zijn

voor de verschillende betekenissen en verschijningsvormen van optellen en

Hoofdstuk 3

84

aftrekken en die geschikt zijn om de relevante vormen van modelleren te

verkennen (Carpenter, 1997);

2. het zogenoemde UDSSI45 Triad model dat de sequentiële ontwikkeling van

het getalbegrip beschrijft;

3. het overzicht van de methoden van optellen en aftrekken die

basisschoolleerlingen kunnen uitvinden op basis van hun conceptie van de

getallen en de steun van de aangereikte (decimale) hulpmiddelen en modellen.

Wat dit gebruik van ‘conceptueel ondersteunende middelen’ betreft, verwerpen

Fuson, e.a. (1997) de in hun ogen ‘false dichotomy’ die in het debat binnen de

onderzoeksgemeenschap is geconstrueerd. Ze doelen op de tegenstelling die Treffers

(1978) en Cobb, Yackel & Wood (1992) aanbrengen tussen ‘embeddedness’ en

‘embodiment’. Vanuit het principe dat iedereen zijn of haar eigen kennis zelf

construeert, hebben Cobb, Yackel en Wood (1992) bezwaren tegen het gebruik van

elk didactisch middel dat ontworpen is om leerlingen abstracte wiskundige concepten

te laten ontdekken waar zij nog niet over beschikken. Fuson e.a. (1997) geven toe dat

het in de klassen van de projecten soms lijkt of kinderen decimale middelen als de

MAB-blokken als het ware ‘opnemen’ en al doende de wiskundige structuur ervan ter

plekke ‘opslaan’ (internaliseren’). Echter,

Our experiences instead supports a ‘meaning maker’ view of learning in

which what a child ‘sees’ when looking at objects depends on the conceptual

structures used by that child. A given child can be supported toward

constructing conceptual structures not yet built by having particular kinds of

objects available, by kinds of use and discussion of such use by other children

and adults in the classroom, and by activities that help or direct the child in

certain ways. But the construction of new conceptual multidigit structures is a

prolonged process (cursief van de auteurs) that occurs within the classroom social

and activity structures that include many elements other tan the objects (see

Hiebert e.a.1997).

Er zijn volgens de onderzoekers twee kwesties. Ten eerste of er wel of niet iets is

in het hoofd van de leerling is dat ‘vertaalt’ wat hij ziet en hoort en ten tweede de

snelheid waarmee een kind het getalbegrip ontwikkelt. In de optiek van Fuson, e.a.

(Ibid., p. 133.) fungeren de ‘conceptuele structuren’ als een dergelijke

‘tolk’(‘interpreter’):

45 UDSSI is de samentrekking van Unitary, Decade, Sequence tens, Separate tens en Integrated conception


85

For us, a conceptual structure in use indicates/reflects the aspects of the

mathematical situation considered by the user at that moment: it captures

what aspects are focused on and how these aspects are interpreted. (p. 133).

Zij constateren dat de ontwikkeling van het concept ‘getal’ veel tijd in beslag

neemt, gradueel verloopt en eerder wordt gekenmerkt door het herhaald her-

organiseren van verworven noties in de zin van Freudenthal (1991) dan door

‘onmiddellijke’ inzichten, die ook zijn geobserveerd. In samenhang met deze visie zijn

de twee referentiekaders ontwikkeld, één die de conceptuele structuren van

tweecijferige getallen betreft en één die strategieën en methoden voor optellen en

aftrekken beschrijft. Samen vormen ze de basis voor het onderwijs rond optellen en

aftrekken.

Constitutie van de conceptuele structuren van tweecijferige getallen

Het Triad Model beschrijft de sequentiële ontwikkeling van de conceptuele structuren

van tweecijferige getallen. Het bouwt voort op Fuson’s (1992) analyse van de

conceptualisering van eencijferige getallen (zie ook Verschaffel, Greer en de Corte,

2007). In haar visie wordt een conceptie gevormd door de wederzijdse relaties tussen

drie componenten: de hoeveelheid (‘quantity’), het telwoord (‘number word’) en het

getalsymbool (‘written number mark’). Uitgaande van deze structuur zijn vijf

opeenvolgende concepties van tweecijferige getallen geïdentificeerd en een tijdelijke

misconceptie op het laagste niveau – de zogenoemde ‘concatenated single digit

structure’. De leerling schrijft letterlijk op wat hij zegt: 53 voor ‘vijf-drie’ (gezien als de

combinatie van 5 en 3 eenheden) of 503 voor ‘fifty-three’.

Volgens dit model start het proces bij de constitutie van de triade-structuur van

eencijferige getallen. Bij de confrontatie met tweecijferige getallen, generaliseert de

leerling uit zichzelf het patroon van relaties vanuit de interpretatie van de triade-

structuur. Dit verklaart bovenstaande misconceptie van sommige leerlingen in deze

fase. In alle vier de experimenten is geobserveerd dat leerlingen in dezelfde

onderwijsperiode over verschillende concepties beschikken en die in verschillende

situaties toepassen. Dit maakt aannemelijk dat nieuwe concepties in het bestaande

referentiekader worden opgenomen en geen oudere noties worden vervangen. De

leerlingen ontwikkelen volgens de onderzoekers een reeks van triadische structuren

(zie figuur 3.10), die we hieronder kort typeren.

Unitary single digit en unitary multidigit. Volgens de auteurs is de aanvankelijke juiste

conceptie van tweecijferige getallen een ‘extensie’ van de conceptie van eencijferige

getallen: een ‘hele’ hoeveelheid wordt aan een ‘heel’ woord en een ‘heel’ symbool

gerelateerd. Er worden geen groepen gemaakt en de woorden en notatie worden niet

in delen gestructureerd.

Decade and ones conception. Engelstalige leerlingen en leerlingen die een taal spreken met

een vergelijkbare manier van uitspreken, herkennen heel vroeg (4½ jaar) het decimale

Hoofdstuk 3

86

herhalingspatroon van de telrij. Het beschreven proces komt overeen met

Freudenthal’s (1984b) beeld van de structurering van de telrij via het schriftelijk

voortzetten van het getalpatroon en het tellen van grote hoeveelheden objecten,

waaruit de eerste noties van tientalligheid worden geabstraheerd.

Sequence tens and ones conception. Leerlingen die leren tellen met groepen van tien

constitueren de tientallen die samen de grote telrij vormen: 10, 20, 30 … Deze ronde

getallen staan voor hoeveelheden die uit een aantal groepen van tien bestaan en die

tellend met tien moeten worden vastgesteld. ‘Drieënvijftig’ duidt dan de uitkomst van

de telling met eenheden van 10 en 1: 10, 20, 30, 40, 50 51, 52, 53. Het laatst

uitgesproken tiental markeert het einde van de telling met groepen en de overgang

naar het vaststellen van het daaraan te koppelen losse eenheden.

Separate tens and ones conception. Contexten waarbij tientallen als losse entiteiten worden

geteld, zoals dozen met tien eieren, bevorderen de conceptie van getallen als ‘zoveel

tienen’ en ‘zoveel enen’. Nederlandstalige leerlingen en leerlingen die getallen op een

vergelijkbare manier uitspreken, kunnen dan aanvankelijk deze tientallen en eenheden

in de omgekeerde volgorde opschrijven: 35 in plaats van 53 – Freudenthal’s (1984b)

kwestie van de ‘positionele ordening’ van de bundels.

Integrated sequence separate tens conception. Op het hoogste niveau van conceptualisering,

wordt de plaats van het getal binnen een interval van tien geïntegreerd met de structuur

van de hoeveelheid waar het naar verwijst. Leerlingen weten dat ze 5 volle dozen van

10 kunnen vullen, wanneer ze 53 eieren inpakken. Ze hoeven niet meer de tientallen af

te tellen om daar achter te komen. Ze associëren deze inpakstructuur met de plaats

van 53 in de telrij en weten, andersom, door haar plaats in de telrij, hoe een getal ‘in

elkaar zit’ – de zogenoemde ‘bidirectional relation’ tussen teltal en

hoeveelheidgetal/meetgetal. De methoden die leerlingen nu op basis van

bovenstaande concepties uitvinden, passeren hieronder de revue.

Classificatie van strategieën en methode voor optellen en afrekken tot honderd

Het tweede referentiekader beschrijft de drie klassen bewerkingen en vier soorten

rekenmethoden die de leerlingen in de klassen van de projecten hebben uitgevonden

(Fuson & Smith, 1997; Fuson e.a. 1997)46.

Drie klassen bewerkingen. Aangespoord door Beishuizen’s (1997) pleidooi voor een

dubbele codering (zie hoofdstuk 4), maken Fuson en Smith (1997) verschil tussen drie

klassen oplossingsprocedures met tweecijferige getallen die ze aanduiden met addition,

subtraction and unknown-added methods. Het woord ‘method’ is verwarrend. Het criterium

voor de ‘klassen’ is namelijk niet de gebruikte rekenmethode, maar de rekenstructuur

waarin de getallen zijn georganiseerd, respectievelijk een optelling, een aftrekking en een

46 Hierin worden ook de methoden voor optellen en aftrekken met driecijferig getallen gepresenteerd die in het onderhavige onderzoek alleen relevant zijn voor de analyse van het rekenwerk van de groep leerlingen met de hoogste rekenvaardigheid.


87

indirecte optelling. De onderzoekers merken op dat ze bewust de vierde klasse

oplossingsprocedures niet in hun classificatiesysteem hebben opgenomen, omdat ze

die zelden in de experimentele klassen hebben geobserveerd. Het zijn oplossingen van

aftrekproblemen waarin de relatie tussen de hoeveelheden c.q. grootheden met een

indirecte aftrekking wordt gesymboliseerd. Deze ‘aanpak’ (‘strategie’) behoort niet tot het

reguliere aanbod in de V.S. We komen daar later nog op terug.

Figuur 3.10 Development sequence of children’s two-digit conceptual structures. The UDSSI Triad Model. (Uit : Fuson e.a., 1997, 139).

Hoofdstuk 3

88

Vier rekenmethoden. De bewerkingen die de leerlingen in de projectklassen met de

aangereikte leermiddelen uitvinden, worden onder vier ‘methoden’ ondergebracht

(figuur 3.11a,b&c):

– begin-with-one-numer methods (rijgen);

– mixed methods (mengvorm splitsen-rijgen);

– change-both-numbers methods (beredeneren binnen variarekenen) en;

– decompose-tens-and-ones methods (splitsen).

Onder de categorie begin-with-one-number methods (rijgen) valt rekenen met (1) de

tiensprong, (2) ‘samengestelde tiensprongen’, (3) de variavorm waarbij de sprong over

het eindgetal wordt gecompenseerd en de sprong naar het tiental in combinatie met

(4) de tiensprong en (5) ‘samengestelde tiensprongen’. Het verkort tellen en de

verdichting ervan in de vorm van rijen komt niet voor.

Verder maken de onderzoekers verschil tussen een informele (6) en een

gestandaardiseerde (7) mixed method (mengvorm splitsen-rijgen). Op het grondniveau

knopen de leerlingen tientallen en eenheden aan elkaar via het opzeggen van de

telwoorden van respectievelijk de ‘grote’ en de ‘kleine’ getallenlijn. Dit wordt

gecomprimeerd tot de Leidse methode waar Beishuizen en van Mulken (1988) voor

hebben gepleit.

Change-both-numbers methods (beredeneren binnen variarekenen) is de meest

vakmatige vorm van beredenerend rekenen (Van Mulken, 1992; Menne, 2001).

Leerlingen redeneren namelijk in termen van ‘gelijkwaardige som’ c.q. ‘gelijkwaardig

verschil’ (zie 8 transformeren).

Ten slotte onderscheiden de onderzoekers drie decompose-tens-and-ones methods

(splitsen): (9) kolomsgewijs (met positiewaarden), (10) algoritmisch (met positiecijfers)

en (11) de tussenvorm van toevoegen c.q. vrij maken van een tien. De aftrekvorm,

waarbij een ‘tien’ wordt vrijgemaakt om de eenheden te kunnen aftrekken zou, als

rekenprocedure tussen hoofdrekenen en cijferen in, een betekenisvolle schakel kunnen

vormen voor de realistische integratie van cijferen met hoofdrekenen. Het wordt in dit

perspectief in hoofdstuk 4 nader onder de loep genomen. De paradigmatische fout bij

kolomsgewijs aftrekken is het ‘buggy algoritme’, waarbij de kleinste eenheden van de

grootste worden afgetrokken: 64 – 26 via 60-40 4-6 6-4 20+2=22.


89

Calculation methods Fuson e.a. 38 + 26 = …

Begin with one number methods: Begin with one number and move up or down by tens and ones

Count on/add on tens, then ones

(1) 38, 48, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64 of

(2) 38+20=58 58+6=64

Overshoot and come back

(3) 38+30 68-4 64

Count on/add on to make a ten, count on/add on tens, then rest of ones

(4) 38, 39, 40, 50, 60, 61, 62, 63, 64 of

(5) 38+2 40+20 60+464

Mixed methods: Add or subtract tens, make sequence numbers with original ones, add/subtract other ones

Count on/add on tens, add ones, count on/add on other ones

(6) 30, 40, 50, 58,59, 60, 61, 62, 63, 64 of

(7) 30+20 50+858+664

Change both numbers methods

Move from one number to the other to make tens number (maintaining the total)

(8) 38 =2, 26-240+2464

Decompose tens and ones methods: Add or subtract everywhere, then regroup

Add tens, add ones, make 1 ten from 10 ones

(9) 38

+26

50

14

64

Decompose tens and ones methods: Regroup, then add or subtract everywhere

Look to see if total > 10, record or remember, then make 1 ten from 10 ones, add tens, add ones, or

make 1 ten from 10 ones, add ones, add tens

4

(10) 38 38 38 38

+ 26 + 26 + 26 + 26

64 64 64 64

Decompose tens and ones methods: Alternate adding/subtracting and regrouping

Add tens, look to see if there is another ten, add ones

(11) 38

+ 26

5

64

of Add ones, make 1 ten from 10 ones, add tens

Figuur 3.11a – Methoden en procedures voor optellen tot 100 (Bron: Fuson e.a., 1997)

Hoofdstuk 3

90

Calculation methods Fuson e.a. 64 - 26 = ..

Begin with one number methods: Begin with one number and move up or down by tens and ones Count down/subtract on tens, then ones

(1) 64, 54, 44, 43, 42, 41, 40, 39, 38 of

(2) 60-20 44-6=38 Overshoot and come back

(3) 64-30 34+4 38 Count down/subtract to make a ten, count down/subtract tens, then rest of ones

(4) 64, 63, 62, 60, 50, 40, 39, 38 of

(5) 64-4 60-20 40-238

Mixed methods: Add or subtract tens, make sequence numbers with original ones, add/subtract other ones Count down/subtract tens, add original ones, count down/subtract other ones

(6) 60, 50, 4044, 43, 42, 41, 40, 39, 38 of

(7) 60-20 40+444-638

Change both numbers methods Move from one number to the other to make tens number (maintaining the total)

(8) 38 =2, 26-240+2464

Decompose tens and ones methods: Add or subtract everywhere, then regroup Subtract tens, subtract ones, combine totals (9) 6 4 - 2 6

4 -238 (40-2=38)

Decompose tens and ones methods: Regroup, then add or subtract everywhere Make 10 ones of 1 ten, then subtract tens, subtract ones or subtract ones, subtract tens

10) 5 61 4 51 4 - 2 6 - 2 6 3 8 3 8

Decompose tens and ones methods: Alternate adding/subtracting and regrouping Alternate subtracting and opening a ten. Subtract tens, open a ten, subtract ones 14 64 26 40 38

Figuur 3.11b – Methoden en procedures voor aftrekken tot 100 (Bron: Fuson e.a., 1997


91

Calculation methods Fuson e.a. 38 + .. = 64

Begin with one number methods: Begin with one number and move up or down by tens and ones

Count up/add up tens, the ones like count on; keep track: count 26 like add on; keep track: added

up 26

(1) 48, 58 59, 60, 61, 62, 63, 64 26

(2) 38+20= 58 58+2=60 60+4=64 26 of 38+20= 58 58+6=54 60+4=64

26

Overshoot and come back like addition, added up 26

(3) 38+30=68 68-4=64 30-4=26

Count up/add up to make a ten, count up/add up tens, then rest of ones like count on; keep track:

counted up 26 like add on; keep track: added 26

(4) 39, 40 50, 60 61, 62, 63, 64 26 of

(5) 38+2 40+20 60+426

Mixed methods: Add or subtract tens, make sequence numbers with original ones, add/subtract other ones

Count up/add up tens, add original ones, count up/add others ones

(6) 30, 40, 50 50+8=58 59, 60, 61, 62, 63, 64 26 of

(7) 30+20 50+858+664 26

Change both numbers methods

Make initial number a tens number, change other to maintain difference

(12) 38 +2; 64+2 40 up to 66 26

Figuur 3.11c – Methoden en procedures voor indirect optellen tot 100 (Bron: Fuson e.a., 1997

Relatie tussen de verworven notie van getallen en de uitgevonden vormen van

decimaal rekenen

Binnen deze variant van de reconstructiedidactiek karakteriseert de mate van

abstractie van de rekenhandelingen de verticale beweging van informeel naar formeel

rekenen (Carpenter & Moser, 1983; Fuson, 1992; Fuson, e.a., 1997; Carpenter, Franke,

Jacobs, Fennema, Empson, 1998; Hiebert, Carpenter, Fennema, Fuson, Huma,

Murrray, Olivier & Wearne, 1996). Dit abstractieniveau hangt samen met het begrip

van getallen en van de operaties die daarmee worden uitgevoerd (Hiebert, 1986).

Carpenter (1997) spreekt in dit verband van ‘progressieve abstractie’ van de

cijferalgoritmen. Er is sprake van een 'verticale beweging':

– startend bij het opereren met getallen met behulp van tientallig-gestructureerd

materiaal;

– gevolgd door het identificeren van paradigmatische werkwijzen die worden

geabstraheerd tot 'denkdingen' (mentale objecten);

– en het in groepsverband onderzoeken van, reflecteren op, en discussiëren

over, de eigenschappen van het getalsysteem die deze vormen van rekenen

rechtvaardigen;

– uitlopend op het verder schematiseren van de rekenhandelingen, vanuit het

voortschrijdend inzicht in 'getal', 'optellen' en 'aftrekken'.

Hoofdstuk 3

92

Terzijde merken we op, dat dit idee van abstraheren sterk contrasteert met het idee

van progressieve schematisering van Treffers (1987) en het TAL-team (1999; Buijs,

2000), dat uitgaat van niveaus van uitvoering.

Uitgaande van dit idee van progressief abstraheren identificeren Fuson e.a. (1997)

de volgende relaties tussen concepties van het triademodel en gevonden vormen van

decimaal optellen en aftrekken.

– Op basis van de opvolgerrelatie die leerlingen bij de laagste conceptie

constitueren (unitary multidigit), kunnen zij de verkorte telvormen die in het

getalgebied tot 20 zijn uitgevonden generaliseren voor optellen en aftrekken

met telwoorden, vanaf een term of vanaf het totaal.

– De sequentiële conceptie (sequence tens and ones) maakt het mogelijk om de

modellering met tientallen te comprimeren tot modelleren met sprongen in de

denkbeeldige telrij (overgang van verkort tellen naar rijgen met sprongen op

een lege getallenlijn).

– Vanuit de structurering van hoeveelheden in eenheden van tien en losse

eenheden (separate tens and ones) kunnen leerlingen de elementaire vormen

van rekenen met tienen en lossen uitvinden evenals de combinatie van splitsen

met rijgen (mixed method).

– De integratie op het hoogste niveau (integrated sequence-separate tens and

ones) opent ten slotte de weg voor de gestandaardiseerde vormen van rijgen,

splitsen en beredeneren.

Uit de gemeenschappelijke rapportage van Fuson e.a. (1997) en de artikelen van

Fuson en Smith (1997) en Carpenter (1997) in de The rol of contexts… kan worden

opgemaakt dat men nog niet toe is aan de constructie van een hiërarchisch model van

de progressieve abstractie van de verschillende vormen van tientallig optellen en

aftrekken. Wel zijn er relaties geïdentificeerd tussen concepties van het triademodel en

de vormen van rekenen die leerlingen met en uit het blokjesrekenen uitvinden (zie

kader). Maar volgens Verschaffel, Greer en De Corte (2007) is meer empirisch

onderzoek nodig om helderheid te verkrijgen over zowel de conceptualisering als de

gevonden relaties met de rekenvormen. De projectleden beperken zich voorlopig tot

de beschrijving van de waargenomen ‘trek’ in het abstractieproces. Fuson en Smith

(1997) spreken in dit verband over:

two concurrent kinds of vertical mathematisation that specify the movement

of individual students from using models of a meaningful quantity context to

using models for mathematical reasoning. The first is similar to the

experiential levels for single digits moving form the use of objects presenting

quantities to the use of counting words presenting quantities (…) to the

eventual use of addition and subtraction facts (…).

The second moves through the conceptual structures for 2-digit numbers:

from a unitary conception to a decade conception to the sequence-tens or the


93

separate-tens conception and eventually to an integrated-tens and ones

conception (….) (p. 191-192).

Deze dubbele beweging impliceert een aanbod van activiteiten die op deze groei

zijn gericht. Onderstaande paragraaf presenteert wat, vanuit bovenstaande visie en

referenties, de gemeenschappelijke stijl van geleid uitvinden in de experimentele

scholen typeert en wat de eigen kleur geeft aan de afzonderlijke projecten.

3.5.2 Didactische aanpak van rekenen tot honderd

In alle vier de projecten richt men zich op het modelleren van probleemsituaties met

structuurloze of tientallige leermiddelen. Het accent ligt daarbij op calculational

reasoning (Thompson & Thompson 1994) in die zin dat bewerkingen het

hoofdonderwerp vormen. Men volgt daarbij de weg van de inzichtelijke oriëntatie in

een reconstructie van de getallen en de bewerkingen.

De leerstofordening is gebaseerd op de eerder genoemde referentiekaders: de

conceptuele ontwikkeling van tweecijferige getallen en de methoden die de leerling

met tientallige leermiddelen kan uitvinden en formaliseren. Daarnaast wordt de

classificatie van wor(l)dproblems gebruikt die voor het rekenen onder de 10 (20) was

ontworpen (Fuson, 1992).

Uit de publicaties van deze groep rijst een beeld op van ‘progressief abstraheren‘ van

gestandaardiseerde optelen aftrekmethoden vanuit het modelleren van

probleemsituaties met behulp van tientallig gestructureerde hulpmiddelen. Dit

verloopt, globaal genomen, langs dezelfde niveaus als bij realistisch rekenen:

– van informeel modelleren van probleemsituaties met (on)gestructureerde

materialen

– naar decimaal rekenen met ondersteuning van decimale leermiddelen

– naar formeel algoritmisch rekenen.

De breedte van het leerlandschap, de voorgelegde probleemsituaties en aangereikte

hulpmiddelen en de duur van de informele oriëntatie variëren per project, afhankelijk

van hoe snel het projectteam op de algoritmen afstevent. In die zin is er verschil

tussen de smalle benadering van Carpenter’s (1997) Cognitively Guided Instruction en

de brede inbedding en mathematisering van het rekenen tot honderd in het Problem

Centered Mathematics Project (figuur 3.12).

Het is voor de onderhavige studie niet relevant om deze nuanceverschillen verder

onder de loep te nemen. Belangrijker is de rol van de klas als sociaal verband, die een

cruciale rol vervult binnen de didcatiek van het primiar Onderwijs. We lichten dit kort

toe.

Hoofdstuk 3

94

Variatie in instructiepraktijk

Cognitively Guided Instruction. Contextproblemen vormen vrijwel altijd het vertrekpunt. Via de modellering ervan met MAB-materiaal en andere decimale middelen constitueren de leerlingen de decimale ordeningsvormen [tien] en [honderd]. Ze komen erachter dat elke reep een ‘tien’ is en vinden uit hoe ze met deze ‘tienen’ en ‘enen’ kunnen tellen en rekenverhalen uitbeelden. In de loop van de tijd, raken ze zo met de gematerialiseerde handelingen vertrouwd dat ze op een gegeven moment zonder materiaal kunnen optellen. In de loop van een jaar loopt het niveau van de leerlingen sterk uiteen. Om deze differentiatie in te perken worden groepsactiviteiten georganiseerd waarbij gevorderde leerlingen de taak krijgen hun groepsgenoten in te wijden in een materie die ze al beheersen.

Conceptually Based Instruction. De leerlingen leren eerst structurerend te tellen en de uitkomsten tientallig te noteren, bijvoorbeeld 53 als 5 groepen of tientallen en 3 eenheden. Vervolgens worden problemen in gevarieerde contexten voorgelegd die uitnodigen om met eenheden van tien te werken. Op basis van deze ervaring ontwikkelen de leerlingen vormen van optellen en aftrekken met MAB. Ze wisselen hun oplossingsmethoden uit en gaan hierover in discussie.

Problem Centered Mathematics Projects. De nadruk wordt eerst gelegd op vaardig tellen, inclusief met groepen van tien. MAB wordt niet gebruikt omdat de leraar dit materiaal gebruikten om direct te leren cijferen. Allerlei verpakkingsmaterialen met verschillende ordeningstructuren (2, 4, 5, 10, 20) worden hiervoor in de plaats ingezet en Montessori-kaarten om de aantallen tientallig te kunnen symboliseren. De leerlingen leren meten met natuurlijke maten als voetstappen en meetstroken. Vervolgens ontwikkelen ze in kleine groepen eigen vormen van optellen en aftrekken via de oplossing van hiertoe gekozen contextproblemen.

Supporting Ten-Structured Thinking projects. De nadruk wordt gelegd op de begripsvorming van tweecijferige getallen via de structurering en getalsmatige symbolisering van hoeveelheden. MAB-materiaal wordt direct na het rekenen tot tien ingezet. Leerlingen leren, in overleg met elkaar en met de leraar, de eigenschappen van MAB uit te buiten om optellingen en aftrekkingen onder elkaar te kunnen uitrekenen.

Figuur 3.12 - Verschillen tussen de projecten (Fuson et al, 1997)

Tientallig rekenen berust op conventies. Het maakt de leerling daarom afhankelijk

van de hulp van buiten om zich deze vorm van rekenen eigen te kunnen maken.

Schoolkinderen beschikken desondanks al over een zekere kennis en zekere

vaardigheden die verbonden zijn met ‘tientallig opereren’. De leraar kan de kennis en

vaardigheden die in de groep aanwezig zijn nu als uitgangspunt nemen om een proces

op gang te brengen, dat de leerlingen in de wereld van ‘tientalligheid’ inwijdt:

Base-ten number concepts and the standard algorithms for operating on

multidigit numbers are socially constructed conventions that children will not

learn independently. However, children bring all sorts of knowledge about

base-ten numbers to instruction from recognition of repeating patters in

counting to knowledge of the number of pennies in a dime and the numbers

of dimes in a dollar. Collectively a class of first grade children has quite a bit

of informal knowledge of base-ten numbers that can serve as a basis for

developing more formal notions of place value and inventing procedures for

adding, subtracting, multiplying, and dividing multidigit numbers (Carpenter,

1997, p 44).


95

Vanuit dit standpunt concentreert Carpenter (ibid.) zich op drie hoofdkwesties bij

het ontwerpen van potentiële mathematiseringsactiviteiten:

– hoe individuele leerlingen de aangereikte decimale leermiddelen als MAB

zouden kunnen gebruiken;

– wat er bij de klassengesprekken over de uitgevonden ‘blokjes procedures’ per

se aan de orde zou moeten komen en;

– hoe leerlingen zouden kunnen demonstreren en beargumenteren wat je bij

(onder elkaar) rekenen met tientallen en eenheden wel en niet mag doen.

Dit impliceert dat de leraar ‘social norms’ en ‘socio-math norms’ (Yackel & Cobb,

1996) met de leerlingen ontwikkelt, dat wil zeggen gedragsregels over de rol van de

leerlingen en die van de leraar in de verschillende contexten van een les en hoe in die

contexten iets wordt voorgelegd, uitgelegd en/of gedemonstreerd, verdedigd of juist

weerlegd. Carpenter benadrukt echter het belang van ‘sharing strategies’, het

pedagogisch-didactisch repertoire dat wordt ingezet om kennis te delen. Deze ‘sharing

strategies appeared to play a critical role in students developing more advanced

strategies and connecting them to existing strategies’ (Carpenter, 1997, 44). Dit betreft

bijvoorbeeld het klassikaal demonstreren van de eigen bewerking. Omdat de leerlingen

weten dat er van ze verwacht wordt dat ze hun strategieën toelichten, realiseren ze

zich dat ze rekenmanieren moeten gebruiken die ze zo goed begrijpen dat ze deze ook

kunnen uitleggen. Een gevolg van het uitwisselen van oplossingsstrategieën is ook dat

de betere leerlingen strategieën modelleren voor de andere leerlingen. Dit is volgens

Carpenter waardevoller dan een uitleg door de leerkracht. Tenslotte benadrukt hij het

belang van het uitleggen van oplossingsmethoden.

Another important aspect of sharing strategies was that students not only

needed to be able to solve a problem; they needed to be able to explain their

solution. The necessity of articulation their solution processes appeared to

encourage students to reflect on their solutions. In fact the articulation of

strategies often became a form of public reflection (Carpenter, 1997, 44).

3.5.3 Kernkwesties met betrekking tot aftrekken

Zoals we hiervoor al hebben gezien, vormen empirische data een belangrijke bron

voor de vier projecten. Zo wijzen Fuson e.a. (1997) ook op de moeilijkheden die naar

voren komen bij tientallig aftrekken.

Het eerste probleem betreft het rijgen met tiensprong. Leerlingen denken aanvankelijk

de eenheden weg om van tiental tot tiental te kunnen springen: 64 – 26 via (60) 50, 40

44 44-4 40-2=38, als opstap naar 64-26 via 54, 44 44-4 40-2=38. Het

blijkt echter dat dit rijgen met tiensprong niet voor iedereen even toegankelijk is.

Bij de mengvorm van splitsen-rijgen, zoals bij, 64-26 via 60-20 40+4 44-6=40-

2=38, treden twee foutenpatronen op, die op misconcepties berusten. Leerlingen

Hoofdstuk 3

96

trekken de eenheden van beide getallen af – wellicht naar analogie met de

optelprocedure – maar vergissen zich bij de tussenstap of slaan die over (64-26 via 60-

20=40 40-6=34).

Het transformeren van opgaven, waarmee je de opgave eenvoudiger kunt maken,

zoals door 64-26 te veranderen in via 68-30, blijkt problemen op te leveren, omdat het

principe van het ‘ophogen’ en ‘verlagen’ van de getallen, voor veel leerlingen helemaal

niet vanzelfsprekend is. Zowel bij optellen als bij aftrekken, begrijpt menig leerling

niet ‘wat hetzelfde moet blijven’

Tenslotte treedt bij het splitsend aftrekken het bekende ‘buggy algoritme’ op. Bij het

berekenen van een opgave als 64-26 via 60-20 4-6, wordt de paradigmatische fout

gemaakt, waarbij de kleinste eenheden van de grootste worden afgetrokken: 64 – 26

via 60-40 4-6 6-4 20+2=22.

Op basis van deze observaties komen de onderzoekers tot de conclusie dat er drie

factoren zijn die een centrale rol spelen: de aard van de aftrekhandelingen, het aanbod

en tijdelijke misconcepties. Vanuit deze analyse van de relatie tussen het aanbod en het

rekenwerk van de leerling formuleren ze vier kernkwesties met betrekking tot

aftrekken:

– de expliciete aandacht voor indirect optellen als aftrekstrategie,

– de relatie tussen optellen en indirect optellen,

– de problematiek van decimaal-positioneel aftrekken,

– de moeilijkheidsgraad van sequentieel, positioneel en deductief aftrekken.

Expliciete aandacht voor indirect optellen. Door de nadruk die op cijferen wordt gelegd,

krijgen Amerikaanse leerlingen doorgaans niet de kans om sequentieel af te leren

aftrekken, laat staan indirect op te tellen in plaats van aftrekken. Daarom pleiten de

onderzoekers voor de modellering van ‘wor(l)d-problems als ingang voor de

uitvinding van ‘tweezijdig’ sequentieel aftrekken (via aftrekken en indirect optellen met

de rijgmethode) vóór ze met blokjes leren rekenen of ‘naast’ het ‘blokjes rekenen’. Het

primaire doel is dat de leerling de inverse relatie tussen optellen en aftrekken uit zijn

oplossingspatronen abstraheert en het als middel leert gebruiken om problemen

flexibel op te beschrijven en op te lossen.

Indirect optellen als tegenhanger van optellen. De onderzoekers beschouwen de indirecte

optelling als tegenhanger (‘counterpart’) van de optelling. Ze melden dat de leerlingen

niet alleen rijgend, maar ook splitsend indirect leren optellen en schetsen de

procedures zonder in te gaan op de onderliggende conceptualisering.

Problematiek van decimaal-positioneel aftrekken. Aftrekken is niet commutatief. Dit vormt

volgens de onderzoekers de ‘inherente’ bron van problemen bij (onder elkaar)

decimaal-positioneel leren aftrekken.

Moeilijkheidsgraad van sequentieel, positioneel en deductief aftrekken. Alle in figuur 3.11a,b&c

onderscheiden vormen van decimaal aftrekken zorgen voor problemen. Dit


97

contrasteert met het relatieve gemak waarmee de leerlingen onder elkaar leren

optellen. Drie paradigmatische handelingspatronen, die op een (tijdelijke)

misconceptie zijn geënt, illustreren hoe moeilijk decimaal aftrekken is:

– Veel leerlingen die aftrekkingen als 63-48 splitsend uitrekenen, trekken het

kleinste aantal eenheden van het grootste af47.

– Bij terugtellen over een tiental is het volgende patroon geobserveerd: eenmaal

aangekomen bij het tiental, trekt de leerling eerst een tiental af, alvorens door

te gaan met terugtellen: 43, 42, 41, 40 30, 39, 38, ….

– Aftrekken met de combinatie van rijgen met splitsen genereert veel fouten.

In deze paragraaf zijn de hoofdtrekken van de probleemoplossende didactiek

geschetst die haar van de realistische didactiek onderscheiden. In de volgende

paragraaf beschrijven we wat de Amerikaanse stijl van realistisch rekenen zo

herkenbaar maakt.

3.6 Didactische variant 3: Amerikaanse realistische didactiek

De aanduiding ‘Amerikaans realisme’ verwijst naar de integratie van de realistische

onderwijsprincipes met de constructivistische opvattingen van Amerikaanse

onderzoekers als Cobb, Yackel en Fosnot. Constructivisten gaan er, eenvoudig

gezegd, vanuit dat iedereen zijn of haar kennis zelf construeert. Waarbij Cobb (1994)

er overigens op wijst dat het hier niet gaat om een wetenschappelijk feit, maar om een

model dat wordt ingezet om wiskundeonderwijs te begrijpen. Hij voegt daaraan toe

dat je er ook niet zo maar een onderwijsaanpak uit kunt afleiden. Als je er immers van

uitgaat dat iedereen altijd zijn of haar eigen kennis construeert, zal dat bij elke

onderwijsvorm het geval zijn. De vraag is dan niet zozeer òf de leerling construeert,

maar wat de aard of het karakter is van hetgeen hij of zij construeert. In verband

hiermee betoogt hij dat ‘the learning of mathematics (…) must be viewed at least in

part as a process of enculturation into the practices of intellectual communities’ (ibid.

4). Op dit punt vinden een aantal Amerikaanse ‘constructivisten’ en Nederlandse

‘realisten’ elkaar. Freudenthal’s (1971) startpunt in de vraag wat wiskunde is, sluit hier

immers perfect op aan. Ook ideeën als wiskunde als activiteit en wiskunde leren als

progressief mathematiseren, passen goed bij de constructivistische uitgangspunten.

Voor de onderhavige studie zijn de samenwerkingsverbanden tussen Cobb, Yackel,

Wood en Gravemeijer en die van Fosnot met Dolk en Uitenbogaart van belang,

omdat zij onderwijsaanpakken hebben ontwikkeld voor het optellen en aftrekken tot

de honderd en de duizend.

47 Zoals Willemsen en Harskamp (1990) dat in Nederland hebben geobserveerd.

Hoofdstuk 3

98


We zagen in paragraaf 3.1 hoe Freudenthal ons aanspoorde het onderwijs te laten

starten bij de ideeën en werkwijzen van het gezond verstand van de leerling. De leraar

moet voor de leerling betekenisvolle taken in gevarieerde contexten aanbieden. De

leraar zou telkens weer een mathematiseringsproces op gang moeten brengen dat

aansluit bij de vorige onderwijsleeractiviteit. Vanuit contextproblemen zou de leraar de

‘materie’, die in die periode door de leerlingen wordt georganiseerd en

gesystematiseerd, telkens vanuit de laatst ontdekte structuur of werkwijze aan de orde

moeten stellen. Leerlingen zouden elkaar hun ideeën en handelwijzen moeten

voorleggen, toelichten en verantwoorden om ze te kunnen beoordelen op hun waarde

als een voorlopig aanvaard alternatief voor de ‘oude’ visie op de materie in kwestie.

Dit beeld van leren en onderwijzen typeert nu het ideaalbeeld dat de Amerikaanse

realisten hebben van het onderwijsleerproces. De leerlingen vormen een gemeenschap

van jonge wiskundigen aan het werk (Fosnot en Dolk, 2001), onder de pedagogische

en wiskundige leiding van hun leraar. Waar het in de klas in de kern om gaat, is samen

verder voortbouwen op de verworven kennis, werkwijzen en manieren van communiceren

over hoe men, binnen de eigen gemeenschap, zoal over hoeveelheden en grootheden

denkt en ermee omgaat.

De zogeheten learning paradox vormt een belangrijk ijkpunt voor de betrokken

onderzoekers. Elk hulpmiddel dat voor het concretiseren van wiskundige kennis en

inzichten is bedacht weerspiegelt de kennis en inzichten van de ontwerper. Het heeft

dan ook alleen betekenis voor degenen die deze structuur al kennen, niet voor de

leerlingen die nog niet in deze materie zijn ingewijd. Zie daar de bron van de ‘learning

paradox’ (Bereiter, 1985), die Cobb, Yackel en Wood (1992, p. 5) beschrijven als:

(T)he assumption that students will inevitably construct the correct internal

representation from the materials presented implies that their learning is

triggered by the mathematical relationships they are to construct before they

have constructed them. (…) How then, if students can only make sense of

their worlds in terms of their internal representations, is it possible for them

to recognize mathematical relationships that are developmentally more

advanced than their internal representations?

Cobb, Yackel en Wood (1992) zoeken nu een oplossing voor hun dilemma in een

vorm van samenwerking tussen de leraar en de leerling die het dualisme doorbreekt.

Vanuit wiskundig relevante invalshoeken analyseren ze, zoals Putman (1988) dat

aanbeveelt, hoe leerlingen de eigenschappen, relaties en structuren kunnen abstraheren

uit de handelingen die ze uitvoeren bij het oplossen van hiertoe geselecteerde

problemen. Dit abstractieproces komt overeen met wat Freudenthal, Van Hiele en

Gray en Tall voor ogen staat bij getalsmatig leren denken en opereren. Freudenthal

(1991) ziet het als een continu wisselspel tussen vorm en inhoud. Van Hiele (1973)

spreekt van opeenvolgende niveauverhogingen via de telkens weer terugkomende


99

fasen van (i) informatie, (ii) gebonden oriëntatie, (iii) explicitering, (iv) vrije oriëntatie

en (v) integratie. Terwijl Gray en Tall (1994) ervan uitgaan dat leerlingen tekens weer

uit hun handelingspatronen een idee van een hogere wiskundige orde abstraheren dat

het desbetreffende proces in een concept ‘inkapselt’.

Cobb en collega’s maken als volgt het verschil duidelijk tussen hun didactische en

pedagogische intentie bij het aanreiken van hun ‘tools’ en het traditioneel gebruik van

middelen als MAB:

In discussing the possible educational value of such materials, we will

therefore view them as the possible means that students might use to

symbolize their developing mathematical activity. Further, we will call them

pedagogical symbol systems rather than instructional representations to

emphasize their symbolizing role in individual and collective mathematical

activity. (p. 22).

Onderstaand citaat geeft aan hoe ze vanuit deze gedachtelijn, het dualisme tussen

‘embeddedness’ en ‘embodidment’ denken te kunnen oplossen:

We proposed the metaphor of mathematics as an evolving social practice that

is constituted by, and does not exist apart from the constructive activities of

individuals as an alternative to the metaphor of mind as a mirror (Cobb,

Yackel en Wood 1992, p. 28).

Ze verwoorden tot slot als volgt aan welke twee voorwaarden lokale instructies,

volgens hun gezichtspunt, zouden moeten voldoen:

On the one hand, they should make it possible for the teacher to draw on

students’ prior experiences when guiding the negotiation of initial

conventions and interpretations (…). On the other hand, students’

interpretations in these situations should constitute highly situated, intuitive

bases from which they might abstract mathematical conceptions (p. 22).

Dit verlegt de aandacht van de kernkwestie van ‘abstractie’ en ‘representatie’ naar

de ‘theorie’ voor het ontwerpen van lokale onderwijsleeractiviteiten en lessen, korte

leertrajecten en leergangen.

Onderwijs als proces van experimenteren

In alle bovenstaande citaten spreken Cobb, Yackel en Wood ten aanzien van elk

onderwerp in ‘veronderstellende’ zin. Dit weerspiegelt hun visie op onderwijzen als

een experiment. De ontwerper houdt een ideaal traject voor ogen in de loop van de

betreffende activiteit, les of keten van lessen, maar houdt er tegelijkertijd rekening

mee, dat de leraar een andere route zou moeten volgen om recht te kunnen doen aan

perspectiefvolle gedachten en/of handelingswijzen waar hij zelf niet aan had gedacht.

Men kan zich wel degelijk van tevoren een idee vormen van hoe de handelingen, die

Hoofdstuk 3

100

leerlingen in een bepaalde context en met bepaalde middelen verrichten, hen kunnen

bewegen anders tegen de betreffende materie aan te kijken en dan ook anders te

denken, opereren en symboliseren dan zij tot dan toe deden. Simon (1995) spreekt in

dit verband van een ‘hypothetisch leertraject’.

Een special van Mathematical Thinking and Learning uit 2004 geeft een

panoramisch beeld van het ‘hypothetisch leertraject’ als kernelement van het

constructivistische denkkader. In zijn bijdrage maakt Gravemeijer (2004a) onderscheid

tussen het plannen van instructie door de leraar voor zijn dagelijkse praktijk en het

plannen van instructies voor een specifiek onderwerp dat meer de taak is van

professionele ontwerpers. In zijn ogen geeft het concept ‘hypothetisch leertraject’

vooral houvast voor het ontwerpen van concrete lessen. Ontwerpen op macroniveau

vergt meer kennis en deskundigheden. Instructional design heuristics48 moeten de

onderzoeker/ontwerper dan de nodige richtlijnen geven bij het ontwikkelen van een

lokale onderwijstheorie voor een bepaald onderwerp. Voor de leraar vormt deze

lokale onderwijstheorie dan weer het referentiekader voor het ontwerpen van een

hypothetisch leertraject voor de les waar zijn of haar klas op dat moment aan toe is.

We lichten beide vormen van plannen en onderwerpen hieronder kort toe.

Zoals gezegd, gaat Gravemeijer (2004) ervan uit dat lokale instructietheorieën als

leidraad en verantwoording moeten dienen voor de planning en instructie van een

specifiek onderwerp. Deze visie is in menige publicatie toegelicht en verantwoord49

aan de hand van de uitgevoerde onderwijsexperimenten rond leren rekenen tot

honderd. Een daarvan betreft het meten van lengte als natuurlijke toegang tot het

leren gebruik maken van de lege getallenlijn als model voor denken en opereren met

getallen als knooppunten van optelen aftrekrelaties. De sequentie wordt in paragraaf

3.6.2 gepresenteerd als paradigmatisch voorbeeld van het Amerikaanse realisme. Zij is

ontworpen op basis van Gravemeijer’s drie ontwerpheuristieken, die de realistische

onderwijstheorie in zijn ogen typeren: geleid heruitvinden, didactische fenomenologie

en emergent modelleren (Gravemeijer, 2004).

Het doel van het geleid heruitvinden is niet het leren rijgen op een getallenlijn, het

primaire doel is de ontwikkeling van een netwerk van getalrelaties (Gravemeijer, 2000,

2003a, 2004). Conform het principe van de didactische fenomenologie wordt

Freudenthal’s (1984b) aanbeveling gevolgd om naast tellen (Candy-Shop) ook meten als

ingang te gebruiken. In de lijn van het principe van emergent modelleren

experimenteren de leerlingen zelf met de ‘tools’ die telkens worden aangereikt als

potentiële oplossing voor wat er als probleem wordt ervaren. In de discussie erna

worden de gedachten over de gevolgde werkwijze geordend. De aandacht verschuift

daarbij van het handelingspatroon dat de werkwijze herkenbaar en reproduceerbaar

maakt naar de gebruikte getalrelaties. En zo veranderen de modellen geleidelijk aan

48 Zie in dit verband ook Gravemeijer (1994, 2004). 49 Zie: Gravemeijer (1994, 1988, 2004), Gravemeijer & Cobb (2001), Stephan, Bowers, Cobb &

Gravemeijer (2000, 2004).


101

van karakter, aldus Gravemeijer (2004). Waar ze hun betekenis in eerste instantie

ontlenen aan de contextproblemen die ze helpen oplossen, ontlenen ze hun betekenis

meer en meer aan de wiskundige relaties die ze (zijn gaan) representeren.

Twee sleutelprincipes karakteriseren het ontwerpen van lokale instructie. Ten

eerste direct aansluiten bij de verworven noties en werkwijzen van de leerling en ten

tweede anticiperen op hoe de leerling, door de nieuwe opdracht vanuit een hoger

gelegen standpunt dan bij de start van de activiteit, zou kunnen redeneren. Wat

leerlingen al weten over de desbetreffende materie vormt steeds het uitgangspunt,

samen met de manieren van werken die zij in dit probleemveld hebben ontwikkeld.

Steffe’s (2004) visie omvat een hypothetisch leertraject van de wiskundige opvattingen

die de leerling al heeft verworven (c.q. zijn betekenisgeving en constructies), wat

Freudenthal de ideeën en gewoonten ‘van gezond verstand’ noemt. De leraar kan ze

daarom op twee manieren gebruiken: als aangrijpingspunt voor nieuwe

mathematiseringsactiviteiten en als verantwoording van wat hij of zij met de leerling(en)

heeft ondernomen.

Hoe verlopen vervolgens de ontwerphandelingen? De leraar brengt de verandering

in ‘opvatting’ en ‘werkwijze’ in kaart die de opdracht zou moeten bewerkstelligen en

onderzoekt dan welke taak en welke probleemsituatie leerlingen zouden kunnen

bewegen om iets te ‘zien’ wat zij tot dan toe nog niet zagen en dit vervolgens voor het

eerst te gebruiken. Simon en Tzur (2004) duiden deze exercitie aan met de uitdrukking

‘reflection on activity-effect relationship’. Het betekent dat de leraar zich voorstelt hoe

leerlingen, vanuit hun motivatie om het voorgelegde probleem op te lossen en door

wat zij in de gecreëerde probleemsituaties doen, die eigenschappen, structuur of

relaties gaan blootleggen die zij, zonder deze taak in die omgeving niet zou zouden

hebben gezien.

Bovenstaande micro- en macroprincipes gaan uit van de ontplooiing van numeriek

denken (via ervaringen van gezond verstand) langs oplopende niveaus van denken,

opereren en symboliseren. Battista (2004) beveelt wat dit betreft aan om, per niveau,

vast te stellen wat de leerling wel en niet weet/beheerst, welke obstakels het leren

kunnen belemmeren en in welke richting de leerling zou moeten leren denken om de

volgende drempel te kunnen nemen. Deze werkwijze komt sterk overeen met het idee

van ‘niveauverhogend diagnosticeren en plannen’ (Kraemer, 2009a) dat in de twee

publicaties van het Cito volgsysteem zijn uitgewerkt voor maatwerk in het domein van

de gehele getallen en hun bewerkingen (Cito, 2008; in druk).

3.6.2 Didactiek

Het afgedrukte planningsdocument van een ontworpen onderwijssequentie geeft de

samenhang weer tussen vier didactische componenten in de loop van de verticale

mathematisering: het gereedschap dat bij de betreffende probleemoplossende

activiteit (activity) wordt ingezet (tools), de potentiële wiskundige kwesties die boven

kunnen komen drijven bij de reflectieve discussie over de individuele inbreng ten

Hoofdstuk 3

102

aanzien van wat ze hebben ervaren en gedacht (potential mathematical discours topics) en

wat de betekenis is van de betreffende activiteit in de aaneenschakeling van

modelleringen (imagery). Wij komen hierop terug bij onderstaande karakterisering van

de didactische stijl aan de hand van de onderscheiden componenten van de

reconstructiedidactiek.

In de terminologie van Van Hiele (1973), is de hele sequentie gericht op de

opbouw van het relatienet waarbinnen de leerling in het getalgebied tot honderd moet

leren opereren om verschijnselen die te maken hebben met hoeveelheden en de lengte

naar hun hand te kunnen zetten. Het doel is dus niet leren meten van lengtes

(measurement) noch sequentieel leren optellen en aftrekken (calculation) als zodanig.

Het perspectief is ervoor te zorgen dat leerlingen stapsgewijs de bouwstenen

construeren die hen uiteindelijk in staat stellen relaties tussen denkbeeldige lengtes c.q.

hoeveelheden symbolisch weer te geven, gebruikmakend van (samengestelde)

tweecijferige getallen als knooppunten van decimaal-lineaire optelen aftrekrelaties.

Voorop staat de ontwikkeling van getalrelaties, aldus Gravemeijer (2000, p. 42):

Deze getalrelaties zijn geworteld in het meten met tienen en enen wat de

basis vormt voor de ontwikkeling van de meetstrook en de daarbij horende

meetstrookspecifieke rekenmanieren (met tienvouden als referentiepunten).

Het werken op de lege getallenlijn sluit daarop aan met het symboliseren van

meetstrook-specifieke rekenmanieren. Uiteindelijk komt dit laatste in dienst

te staan van het vinden en bespreken van oplossingsmethoden voor optellen

en aftrekken onder de 100.

De leerstof is, zowel op macro- als op microniveau didactisch-fenomenologisch

lineair-hiërarchisch in kaart gebracht, zoals omschreven in de vorige paragraaf. De kolom

‘potential mathematical discours topics’ van het planningsdocument (figuur 3.13)

weerspiegelt deze analyse op het niveau van wat het individu ‘werkelijk’ verricht en

van de gemeenschappelijke (mentale) meetwereld die de klas als sociaal verband

construeert. Kernmerkend aan de in figuur 3.13 geschetste opbouw is de rol van

‘imagery’. Het idee is dat elke nieuwe vorm van symboliseren zijn betekenis ontleent

aan wat de leerling daarvoor heeft gedaan. De leerling ziet idealiter de eerdere activiteit

in de nieuwe manier van werken met nieuwe representaties. Hier ligt een essentieel

onderscheid met de TAL-didactiek en de aanpak van de hiervoor beschreven problem

solving aanpak van Fuson e.a. De leergang wordt als volgt kort samengevat door

Gravemeijer (2003a, blz. 19 e.v.):

– Meten met een natuurlijke maat (bijvoorbeeld een voet, of een blokje).

– Van daaruit, meten met de basiseenheid en een maat van tien basiseenheden

(de leerlingen oefenen zo in het structureren van getallen in tientallen en

eenheden);

– Constructie van een meetstrip als model van afpassen van maten van tien en

van één;


103

Tool Imagery Activity/T-a-s Interests Potential

Mathematical Discourse Topics

Feet Measuring

Masking tape Record of activity of pacing

Reasoning about activity of pacing

Focus on covering distance

Footstrip

Record of pacing (builds on masking tape) (Form/function shift: using a record of pacing as a tool for measuring)

Measuring with a “big step” of five = measuring by iterating a collection of paces

Measuring as divorced from activity of measuring. Structuring distance in collections of 5s and 1s

Smurf cans Stack of Unifix cubes signifies result of iterating

Measuring by creating a stack of Unifix cubes

Builds on measuring divorced from activity of iterating

Smurf bar Signifies result of iterating

Measuring by iterating a collection of 10 Unifix cubes Structuring distance into measures of 10s and 1s

Accumulation of distances Coordinating measuring with 10s with measuring by 1s

10-strip Signifies measuring 10s and 1s with the Smurf bar

Measuring by iterating the 10-strip, and using the strip as a ruler for the 1s

Accumulation of distances Coordinating 10s & 1s

Measurement strip

Signifies measuring with 10 strip / Starts to signify result of measuring (Form/function shift: inscription developed for measuring is used for scaffolding and communicating)

(1) Measuring: strip alongside item; counting by 10s and

1s reading of endpoint (2) Reasoning about spatial extensions (results of measuring have become entities in and of themselves)

Distance seen as already partitioned; extension already has a measure Part-whole reasoning/quantifying the gaps between two or more lengths Shift in focus: focus on number relations; developing and using emergent framework of number relations

Empty number line

Signifies reasoning with measurement strip

Means of scaffolding & means of communicating about reasoning about number relations

Numbers as mathematical entities (numbers derive their meaning from a framework of number relations) Various arithmetical strategies

Figuur 3.13 Role of Tools in the Instructional Sequence (Bron: Stephan, Bowers, Cobb & Gravemeijer, 2004)

– Oplossen van opgaven rond toevoegen, afhalen en vergelijken met behulp van

de meetstrip (de meetstrip biedt de mogelijkheid meet- en telstrategieën te

vervangen door rekenstrategieën; hierbij wordt gebruik gemaakt van de kennis

opgedaan bij het structureren van getallen in tientallen en eenheden);

Hoofdstuk 3

104

– Symboliseren van oplossingsmethoden/rekenstrategieën, die gebaseerd zijn op

het in de voorgaande activiteiten ontwikkelde netwerk van getalrelaties, met

sprongen op een lege getallenlijn;

– De lege getallenlijn als hulpmiddel en als communicatiemiddel gebruiken.

– Geleidelijk aan de getallenlijnnotatie vervangen door somnotaties, al dan niet

in pijlentaal.

De gedachte is dat de leerling aan het eind van dit proces getallen hanteert als

wiskundige objecten (rekendingen) die hun betekenis ontlenen aan het ontwikkelde

netwerk dat geënt is op de decimaal-positionele structuur van de getallen en de

decimale herhalingstructuur van de getallenrij tot honderd.

Deze lineaire opbouw van het leertraject contrasteert met de meer ‘open’

benadering waar Fosnot en Dolk (2001) voor pleiten. In overeenstemming met Lesh

en Yoon (2004) benadrukken ze dat het leerproces ‘niet lineair’ verloopt. Leerlingen

kunnen de ideeën, procedures en modellen van een leerlandschap langs verschillende

wegen construeren, afhankelijk van wat ze in de voorgelegde probleemsituaties wel en

niet ‘zien’. Zij krijgen daar bewust de vrijheid voor:

Children do not construct each of these ideas and strategies in an ordered sequence.

They go off in many directions as they explore, struggle to understand, and make

sense of their world mathematically (Fosnot & Dolk, 2001, p. 18).

Didactische middelen

In de eerste paragraaf is de rol van de didactische middelen bij het onderwijsproces

kort aangestipt. Dit betreft de contextproblemen, aangereikte tools en de klas als

sociaal verband. Hoe deze binnen de Amerikaans-realistische benadering worden

ingevuld, wordt hieronder nader toegelicht.

Contextproblemen spelen een belangrijke rol in de voortgang van het leerproces. Elk

nieuw probleem komt voort uit de voortgang in dit proces. Dit betekent dat het

aansluit bij de noties en werkwijze van het laatst bereikt standpunt en tegelijkertijd de

leerling kan bewegen om juist dit standpunt te herzien en de relaties tussen lengtes c.q.

hoeveelheden op een formeler niveau uit te beelden, met een model dat past bij de

abstractere wiskundige structuur die hij of zij ziet. Deze problemen zijn in de twee

betekenissen van Freudenthal (1991) ‘reëel’, ‘werkelijk’. Ze behoren tot de fysieke

wereld die wordt gemathematiseerd en ‘resoneren’ in het hoofd van de leerling, omdat

ze associaties oproepen met hun ervaringen van gezond verstand.

De tools die worden aangereikt hebben elk hun eigen specifieke rol in de overgang

van tellend meten/rekenen naar rekenen in contexten, gebruikmakend van getallen als

knooppunten van decimaal-lineaire optelen aftrekrelaties. De ‘leergang’ zet een

verticaal mathematiseringsproces aan de gang via het meten met telstappen. Het

meten buigt op een gegeven moment richting rekenen om. Het leidt er uiteindelijk toe

dat de leerlingen het vanzelfsprekend vinden individuele oplossingen van optelen


105

aftrekproblemen met sprongen op een lege getallenlijn uit te beelden en die

vervolgens door te lichten en te organiseren. Gravemeijer (2003a) expliciteert de

pedagogische intentie hierachter als volgt:

In discussing the possible educational value of such materials, we will

therefore view them as the possible means that students might use to

symbolize their developing mathematical activity. Further, we will call them

pedagogical symbol systems rather than instructional representations to

emphasize their symbolizing role in individual and collective mathematical

activity (p. 22).

Lokale instructies moeten dan ook voldoen aan twee voorwaarden:

On the one hand, they should make it possible for the teacher to draw on

students’ prior experiences when guiding the negotiation of initial

conventions and interpretations (…). On the other hand, students’

interpretations in these situations should constitute highly situated, intuitive

bases from which they might abstract mathematical conceptions (p. 22).

In de ontworpen leergang, geven de meetactiviteiten betekenis aan de

getallenlijnnotatie. Al metend en redenerend bouwen de leerlingen zo een netwerk van

getalrelaties op, dat ze vervolgens kunnen benutten voor het flexibel rekenen onder de

honderd. Van de ene probleemsituatie naar de andere transformeren ze hun eigen

mentaal symbolische wereld via de nieuwe wiskundige werkelijkheid die ze scheppen.

Deze continue aansluiting bij en transformatie van de gedachtewereld van de leerling

en het cultuurgoed van de klas vormen dan ook het watermerk van de

constructivistisch(-realistische) stijl van ontwerpen en geleid uitvinden.

De rol van de klas als sociaal verband is hierboven al uitvoerig behandeld. Wij staan

even stil bij het belang dat gehecht wordt aan de ontwikkeling van socio-math norms.

De constructivistische stijl van geleid uitvinden staat of valt namelijk met het klimaat

in de klas (Jackel en Cobb, 1996). Om probleemgericht, interactief-reflectief onderwijs

te kunnen geven, moet de leraar met de leerlingen normen ontwikkelen ten aanzien

van de verwachte kwaliteit van de samenwerking en de reflectieve gesprekken in de

verschillende contexten van een les (zie ook Wood, 1999). In dit verband associeert

Simon (2001) drie rollen van ‘adequaat’ omgaan met de leerlingen. Ten eerste met de

leerlingen overeenkomen volgens welke waarden en normen men met elkaar

samenwerkt en communiceert, ten tweede het lokale mathematiseringsproces initiëren

en, ten derde, in het verlengde hiervan het mathematische discours (reflectieve

gesprekken in de grote kring) in goede banen leiden.

Nu de drie theoretische kaders en stijlen van geleid uitvinden zijn geschetst, keren

we terug naar het uitgangspunt van de theoretische en empirische fundering van de

onderhavige studie, alvorens de drie didactieken van het rekenen tot honderd met

elkaar te vergelijken.

Hoofdstuk 3

106

3.7 Afsluiting, drie stijlen van geleid uitvinden

Wiskundige didactici, psychologen en onderwijskundigen vormen tegenwoordig een


wiskunde onderwijzen. In de laatste decennia van de vorige eeuw zijn, in deze nieuwe

context, drie paradigmatische vormen van lesgeven in het domein van optellen en

aftrekken tot honderd ontwikkeld, die in deze dissertatie zijn aangeduid met de term

TAL-didactiek, de probleemoplossende didactiek en de Amerikaanse realistische

didactiek. In de inleiding op dit hoofdstuk werden vier spanningsvelden bij ontwerpen

geïdentificeerd die rekendidactici, psychologen en onderwijskundigen uit de

onderzoeksgemeenschap uit elkaar kunnen drijven. Dit betreft tegenstellingen ten

aanzien van het algemene doel, de afbakening van de leerstof en macrostructurering

van het leerproces en de functie van de klas.

– Men kan zich meer focussen op de opbouw van een relatienet (conceptuele

oriëntatie) of

meer op de eindvormen van optellen en aftrekken van het programma

(procedurele oriëntatie);

– Men kan de leerstof ordenen in voorwaardelijke noties van getallen en tel- en

rekenvaardigheden die toegang geven tot tussenvormen van decimaal rekenen

(bouwstenen en tussenproducten) of

in wiskundige onderwerpen die betrekking hebben op het leren gebruiken van

de getallen, tellen en de bewerkingen om hoeveelheden en grootheden als

lengte te kwantificeren en ermee te manipuleren (lagen in de wiskundige

realiteit van de leerling);

– Men kan contextproblemen, leermiddelen en individuele constructies expliciet

inzetten om een specifieke perfectionering van een bepaalde rekenmethode te

bewerkstelligen (geleide niveauverhoging) of

voortbouwen op de ondernomen mathematisering van een probleemveld,

waarbij de opeenvolgende gereedschappen die worden gebruikt deel uitmaken

van de activiteit zelf (progressief modelleren en symboliseren);

– Men kan de samenwerking en communicatie meer gebruiken ter bevordering

van de voortgang van individuele leerlingen (nadruk op de individuele

voortgang) of

juist als de bouwstenen van het referentiekader dat de klas als gemeenschap

steeds verder uitbouwt (nadruk op de sociale activiteit van de groep).

De gevonden patronen leidden tot de voorlopige conclusie dat men kan spreken

van een ‘algemene reconstructiedidactiek’ die verschillende kleuring krijgt, afhankelijk

van het ingenomen standpunt in de ervaren spanningsvelden. Uit deze analyse zijn de

didactische componenten geabstraheerd die het mogelijk maakt om vast te stellen wat


107

de onderscheiden didactieken zo herkenbaar maakt. Het algemene doel, de

leerstofordening, de macrostructuur van het leerproces en de didactische middelen

(contextproblemen, leermiddelen en modellen en de klas als sociaal verband) worden

gebruikt om vergelijkenderwijs het profiel te maken van de drie stijlen van geleid

uitvinden en, aldoende, de theoretische fundering van de onderhavige studie af te

sluiten.

3.8 Profiel van de drie stijlen van geleid uitvinden

In figuur 3.14 typeren we de drie profielen die aan de hand van bovenstaande

didactische componenten zijn opgesteld. De gelegde relaties zijn direct afgeleid uit het

theoretisch kader en de didactiek van de paragrafen 3.4 t/m 3.6 en deels ook uit het

programmatische vernieuwingskader van hoofdstuk 2. In dit verband moet worden

aangetekend dat externe macro-factoren hun stempel drukken op de werkzaamheden

van de ontwerpers:

– de onderwijscultuur en –traditie die bepaalde verwachtingen scheppen;

– het onderwijsbeleid en de innovatiestrategie die de handelingsruimte sterk

bepalen;

– de officiële taak en verantwoordelijkheden bij de ondernomen innovatie;

– de verwachtingen van de eigen werkkring en de wetenschappelijke oriëntatie;

– de rol van de leraar en van de methoden in een innovatiecontext,

– etc.

In die zin lopen wij een zeker risico appels met peren te vergelijken. De

verwantschap in denken en ontwerpen legitimeert echter een vergelijking die gericht is

op de versterking van de realistische stijl daar waar het kan (moet) worden verbeterd.

In het vervolg worden de geïdentificeerde overeenkomsten en verschillen per

didactische component gepresenteerd.

3.8.1 Algemeen doel

Wat het algemene doel betreft, deelt het TAL-team met de ontwerpers van de

probleem oplossende stijl dezelfde oriëntatie op inzichtelijk en efficiënt toewerken

naar de nagestreefde eindvormen van decimaal rekenen. Deze oriëntatie contrasteert

met de gerichtheid binnen de Amerikaans realistische stijl op de progressieve

mathematisering van het probleemveld.

‘Progressief modeleren’ karakteriseert de algemene ‘trek’ in de geleidelijke verticale

mathematisering binnen de Amerikaanse realistische aanpak. ‘Progressief

schematiseren’ typeert de didactische drieslag [informeel semiformeel vakmatig]

van de TAL-didactiek, ‘progressief abstraheren’ de getrapte formalisering van het

Hoofdstuk 3

108

modelleren met MAB en het ‘blokjesrekenen’ bij de probleemoplossende stijl van

geleid uitvinden.

Wat de ontwerpers bij de verticale mathematisering benadrukken, komt

vanzelfsprekend tot uitdrukking in de accenten die bij ‘leren’ en ‘instrueren’ worden

gelegd. Realisten verwachten primair van de leerlingen dat zij aftrekopgaven

gaandeweg beknopter, abstracter en flexibeler (via aftrekken dan wel via indirect

optellen) oplossen. Op een vergelijkbare manier bevordert de inzet van de middelen

binnen de probleem oplossende benadering de continue reorganisatie van concepties

en manieren van doen, via de reflectieve klassengesprekken over uitgevonden

procedures en ontdekte eigenschappen van getallen, optellen en aftrekken. Dit gebruik

van ‘mathematical discours’ als de sociale context waar elke nieuwe individuele

constructie binnen de symbolische wereld van de klas als gemeenschap wordt

georganiseerd, slaat een brug tussen aanhangers van het Amerikaamse realisme en de

probleem oplossende benadering.

In beide Amerikaanse varianten moeten leraren grotendeels zelf de

onderwijsleeractiviteiten plannen en inrichten. Ze moeten reflectieve gesprekken

initiëren en zo zien te bewerkstrelligen dat de groep de individuele constructies

organiseert zoals verwacht. Dit impliceert een grote investering in de ontwikkeling van

regels voor wat onder ‘goed’ samenwerken, nadenken en discussiëren verstaan wordt

(socio-math normen).

3.8.2 Leerstofordening

Qua leerstofordening is er een structureel verschil tussen de twee realistische varianten

aan de ene kant en de probleem oplossende variant aan de andere kant. Realisten

ankeren hun onderwijsleeractiviteiten in een didactisch-fenomenologische analyse van

kwantificeren en getalsmatig ordenen en opereren met (denkbeeldige) hoeveelheden

en grootheden. Onder invloed van hun cognitief-psychologische achtergrond, laten

ontwerpers binnen de probleem oplossende aanpak zich leiden door de

geconstrueerde sequentie van de conceptualisering van tweecijferige getallen (het

UDSSi triade model) en de classificatie van de vormen van sequentieel, positioneel en

deductief rekenen die leerlingen op basis van deze concepties en met de steun van

decimale leermiddelen kunnen uitvinden.

TAL-didactiek Probleem oplossende stijl Amerikaans realistische stijl

Alg

emee

n

doel

Progressief schematiseren: stapsgewijze overbrugging van het verschil in niveau tussen informeel en formeel rekenen

Progressief abstraheren: stapsgewijze abstractie van vormen van optellen en aftrekken met tweecijferige getallen uit de modellering van probleemsituaties met decimale leermiddelen

Progressief modelleren: ontplooiing van getalsmatig denken, symboliseren en operen

Lee

rsto

ford

enin

g

Blauwdruk van de inbedding van de getallen, tellen, optellen en aftrekken in relevante contextproblemen uit het leven van alledag de decimale structurering en organisatie van tweecijferige getallen in netwerken van optelen aftrekrelaties

Sequentie van conceptualisering van tweecijferige getallen Classificatie van methoden van decimaal optellen en aftrekken die leerlingen met conceptueel ondersteunende leermiddelen kunnen uitvinden Classificatie van contextproblemen

Ruimtelijke ordening in een leerlandschap van potentiële leidende ideeën, symboliseringsmiddelen en werkwijzen van een activiteit, les, leertraject versus sequentieel-hiërarchische ordening van de wiskundige onderwerpen van en gereedschappen voor de mathematisering van het probleem(veld)

(Sequentiële) ordening van de ‘kwesties’ van een lokale mathematisering

Nadruk op sequentieel rekenen Nadruk op positioneel rekenen Geen helder beeld van het aanbod

Mac

ro s

truc

tuur

van

het le

erpr

oces

Voortgang langs drie niveaus van schematisering: informeel, context gebonden; semi-formeel, modelondersteund; formeel, vakmatig

Voortgang langs drie niveaus van abstractie: informele modellering met materialen rekenen met conceptueel ondersteunende leermiddelen; schriftelijk algoritmisch rekenen

Geen kant-en-klare macro structurering Sequentie van potentiële langlopende activiteiten die de bouwstenen opleveren voor de constructie van een relatienet en de bijbehorende gereedschappen

Eerst rijgen, dan splitsen en variarekenen Van sequentieel naar positioneel rekenen

Rol

van

de

cont

ext-

prob

lem

en Bevorderen

de begripsvorming de modelvorming de toepasbaarheid de oefening

Oriënteren in de semantische structuren van optellen en aftrekken Bevorderen de uitvinding van indirect optellen als alternatief voor aftrekken

Aanleiding tot en context van de voortgezette mathematisering

Rol

van

de

hulp

mid

dele

n

Visualiseren de getalstructuren- en relaties en de structuur van de telrij die de leerling moet constitueren en leren gebruiken Worden daarom afgestemd op de vorm van rekenen die de leerling spontaan met de context associeert (lineaire # decimale # tweedimensionale modellen) Adequate notatie (symbolisering) van de mentale rekenhandelingen

Maken decimale getalpatronen en ordeningsvormen zichtbaar Bevorderen de uitvindingen en het begrip van vormen van decimaal rekenen Rekentalen (notatievormen) ter symbolisering van de operaties

Breed scala van tools voor het vastleggen van ontdekte structuren de communicatie hierover de reflectie hierop

Rol

van

de

kla

s Sociaal-culturele context die de individuele constructies en producties stimuleert

Sociaal-culturele context waarbinnen de deelnemers tot een consensus komen over de regels bij decimaal rekenen

Sociale inbedding van de lokale mathematisering en van de collectieve verticale organisatie van wat het heeft opgeleverd.

Figuur 3.14 – Profiel van de drie varianten van de reconstructiedidactieken

Hoofdstuk 3

110

Op het grondniveau van rekenen tot honderd, benaderen de ontwerpers binnen de

Amerikaanse tak van het realisme het sequentieel rekenen via het tellen van grote

hoeveelheden en het meten van lengtes, terwijl het TAL-team afstandsrelaties direct in

contextproblemen aan de orde stelt, zoals in het Hans-probleem van Treffers’ (1989)

oratie. In beide gevallen fungeert de getallenlijn aanvankelijk als ‘tool’ voor beschrijven

(model van) en ondersteunt later, op een abstracter niveau van symboliseren, het

redeneren binnen een lokaal netwerk van decimaal-lineaire optelen aftrekrelaties. In

TAL ontbreken ook activiteiten gericht op het ontrafelen van de structuur van de

optelen aftrekrelaties in de tweedimensionale ordening van de getallen op het

honderdveld. Wij komen hierop terug in hoofdstuk 4, bij de beschrijving van de

verticale ‘trek’ bij de formalisering van het rijgen.

Het TAL-team geeft ten slotte de prioriteit aan en legt de nadruk op sequentieel

rekenen, terwijl de leerlingen van de vier Amerikaanse ‘problem solving’-experimenten

eerder op het spoor van schriftelijk positioneel rekenen worden gezet.

3.8.3 Macro structuur van verticaal mathematiseren

In alle drie de varianten volgen de leerlingen een weg langs oplopende niveaus van

abstractie. De macro-structuur van de progressieve schematisering binnen de TAL-didactiek

is geënt op de mate van verkorting, formalisering en generalisering van de

rekenprocedures (Treffers, 2005). De toenemende abstractie karakteriseert ook de

continue herziening van het verworven beeld van tweecijferige getallen en de

toegestane handelingen ermee.

Deze structurering contrasteert met de meer vloeiende progressieve mathematisering

van de omgang met hoeveelheden en grootheden binnen de Amerikaans realistische

stijl van rekenen tot honderd. Typerend voor de probleem oplossende benadering is

de getrapte abstractie van de traditionele algoritmen uit de uitgevonden vormen van

‘blokjesrekenen’.

3.8.4 Didactische middelen

Rol van de contextproblemen. Het TAL-team gebruikt contextproblemen om verschillende

doeleinden inzetten: (i) ter oriëntatie, (ii) als middel om een drempel te nemen en (iii)

achteraf als model voor een klasse van bewerkingen, (iv) om de geleerde manieren van

denken en rekenen te leren toepassen en (v) om inzichtelijk te oefenen. Binnen de

Amerikaanse variant vormen de contextproblemen in de regel de aanleiding en

context van de voortgezette mathematisering op het betreffende probleemgebied,

zoals het gebruik van een lege getallenlijn als model om de eigen voorstelling van de

relatie tussen twee hoeveelheden met aaneengeregen getallen te symboliseren. Binnen

de probleemoplossende didactiek worden de problemen hoofdzakelijk gebruikt als


111

verkenning van manieren van modeleren met decimale middelen die decimaal denken

ontluikt.

Rol van de hulpmiddelen (c.q. rekentaal en modellen). Het gebruik van hulpmiddelen vormt

de grootste bron van spanning binnen de Amerikaanse reformbeweging tussen de

realistische stijl en de probleemoplossende stijl. Het TAL-team neemt een

tussenpositie in. Dit moet als volgt worden gezien. Precies zoals hun Amerikaanse

collega’s uit de vier experimentele ‘problem solving’-projecten, zet het TAL-team

voorgestructureerde leermiddelen in die het denken van de leerling sturen. De

decimaal gestructureerde kralenketting moet de leerling bevrijden van de modellering

met telstappen. Op een vergelijkbare manier oriënteert, op het grondniveau van

splitsen, de modellering van probleemsituaties met namaakgeld zich op decimaal-

positioneel rekenen met tientallen en eenheden. Tegenover deze werkwijze staat de

progressieve modellering binnen de Amerikaanse realistische aanpak die op het

structuurloze grondniveau van symbolisering start en elk nieuw gereedschap aanreikt

als potentiële oplossing voor wat de leerling in de betreffende situatie als probleem

ervaart. In die zin fungeert elk nieuw geïntroduceerd middel als het medium waarmee

vooruitgang is geboekt.

Rol van de klas als sociaal verband. Leren komt tot uitdrukking in individuele constructies.

Deze constructies worden echter gevoed door de betrekkingen en de cultuur in de

sociale context van de klas. In die zin zijn de idiosyncratische constructies sociaal-

cultureel gekleurd. Er tekent zich wat dit betreft wel degelijk een verschil af tussen het

TAL-team aan de ene kant en hun Amerikaanse collega’s aan de andere kant. In de

TAL-didactiek werkt de groep meer als prikkelende en ondersteunende achtergrond.

In de Amerikaanse klassen fungeert de grote groep als de sociale ruimte waarin de

individuele constructies ‘collectief’ worden georganiseerd. Dit proces maakt de

individuele leerlingen en de leraar bewust van de tijdelijke denkbeelden en gewoonten

die in de groep leven en die als zodanig de voortgang in het leerproces van het

‘collectief’ herkenbaar maken.

3.9 Conclusie en aandachtspunten voor de

classificatieproblematiek

In paragraaf 3.2 kwamen we tot de voorlopige conclusie dat er binnen de

onderzoeksgemeenschap voldoende consensus bestond over kernkwesties om de drie

ontwikkelde stijlen van ontwerpen en lesgeven in het getalgebied tot honderd als

varianten van een ‘algemene reconstructiedidactiek’ te beschouwen. Bovenstaande

vergelijking heeft bruggen tussen de drie varianten geslagen en de geïdentificeerde

spanningsvelden verhelderd. Het geheel ondersteunt het beeld van een consensus over

het kernprincipe van wiskunde leren. Ontwerpers van een reconstructiedidactiek gaan

ervan uit dat de leerlingen van een klas bij eigen tel-, meet- en rekenactiviteiten lering

Hoofdstuk 3

112

trekken uit progressief mathematiseren in probleemsituaties die hiertoe zijn ingericht,

gebruikmakend van geijkte instrumenten en reflecterend in de grote kring over elkaars

ervaringen, denkbeelden en werkwijzen. De gevonden tegenstellingen signaleren de

gevoelige onderwerpen die de speciale kleuring geven aan de eigen stijl van ontwerpen

en lesgeven en de actuele geschilpunten bij leren rekenen tot honderd. De

geconstrueerde profielen fungeren daarom als referentie voor het leggen van relaties

tussen de geobserveerde vaardigheid en de TAL-didactiek (hoofdstuk 11) en voor de

discussie over de mogelijke versterking van deze stijl van ontwerpen en lesgeven

(hoofdstuk 12).

113

Hoofdstuk 4

Classificatiesysteem

4.1 Inleiding

In het voorafgaande hebben we het theoretisch kader van de studie naar

oplossingsprocedures uiteengezet. We hebben nu een nomenclatuur en

ontwikkelingsmodel nodig om de rekenhandelingen van de leerlingen zo te

beschrijven en te vergelijken, dat we een beeld krijgen van het bereikte niveau van

numeriek denken en van de symboliseringsmiddelen en rekenprocedures die leerlingen

in elementaire toepassingssituaties gebruiken.

Dit is het doel van dit hoofdstuk. We nemen in dit perspectief een dubbel standpunt

in: dat van de leerling die zijn kennis en instrumenten zelf construeert en dat van de

leraar die hem daarbij inhoudelijk begeleidt. Dit impliceert dat we de sleutelideeën van

de hiervoor omschreven ‘algemene reconstructiedidactiek’ als theoretische grondslag

gebruiken. Het betekent concreet dat we uitgaan van de volgende drie principes:

1. Leerlingen vinden de verschillende methoden en vormen van hoofdrekenen

uit via de continue organisatie en systematisering van hun eigen rekenervaringen

(verticale mathematisering);

2. Deze verticale mathematisering houdt, ontwikkelingspsychologisch en

mathematisch gezien in, dat leerlingen continu een nieuwe conceptie van ‘getal’

(concept) abstraheren uit handelingspatronen die verbonden zijn met een voor

hen vanzelfsprekend geworden manier van doen in paradigmatische

probleemsituaties (‘encapsulation’) als abstractieproces;

3. Leraren leiden en ondersteunen de leerlingen door hen de middelen aan te

reiken die hen in staat stellen om wat ze in fenomenen zien (verschijnselen uit

de leefwereld en/of eigen wiskundige constructies) zichtbaar te maken en de

betreffende denkbeelden in reflectieve klassengesprekken te kunnen

bespreken en organiseren.

Hoofdstuk 4

114

Het classificatiesysteem en de sequentie van de verticale mathematisering van de

eigen rekenactiviteit die we in dit hoofdstuk construeren zijn verankerd in deze drie

principes. De inhoud ervan wordt als volgt gevonden. We nemen het Leidse

classificatiesysteem (Klein, 1998) als uitgangspunt voor de definiëring van de

hoofdrekenmethoden en bijbehorende rekenvormen. Als model voor de toenemende

abstractie nemen we het idee van reification (Freudenthal,1984; Van Hiele, 1973;

Sfard, 1991; Gray & Tall, 1994). Het idee daarbij is dat processen na verloop van tijd

worden opgevat als objecten (wiskundige handelingstructuren; vormen) waaruit

concepten worden geabstraheerd (wiskundige begrippen; inhouden) die op hun beurt

een hogere vorm voortbrengen. We nemen vanuit deze invalshoek Gray & Talls

(1994) model van ‘encapsulation on successively higher levels’ als leidend principe (zie

hoofdstuk 3). De beschikbare internationale documentatie over de wiskundige

‘inhouden’ (concepten c.q. mentale objecten) en ‘vormen’ (handelingstructuren c.q.

rekenprocedures) die de leerlingen construeren bij numeriek leren denken en

hoofdrekenen vormt de empirische grondslag van het classificatiesysteem en de

ontwikkelingssequentie.

We beginnen de constructiewerkzaamheden met de bespreking van de kwestie die

een nieuwe wending heeft gegeven aan de studie naar oplossingsprocedures:

Beishuizen’s (1997) onderscheid tussen ‘rekenstrategie’ en ‘rekenmethode’ en zijn visie

op de relatie ertussen en de implicaties voor voortgezet onderzoek naar flexibel

hoofdrekenen.

4.2 Belang van het onderscheid tussen ‘rekenstrategie’ en

‘rekenmethode'

Sinds de start van zijn onderzoek naar oplossingsmethoden binnen het project

‘Cognitieve strategieën’ van de vakgroep Onderwijsstudies in Leiden heeft Beishuizen

een brug proberen te slaan tussen de denkwereld van realistische didactici en die van

onderwijs- en ontwikkelingspsychologen (zie hierover Van Mulken, 1992; Verschaffel

en Ruijssenaars, 2002). In de overlegsfeer van de internationale expertmeeting Leiden

on Sea50 beveelt hij vanuit deze instelling zijn landgenoten en buitenlandse collega’s

aan om nauwkeuriger over oplossingsmethoden van leerlingen te communiceren. De

gebezigde terminologie zou verwarrend werken en hierdoor voortschrijdend inzicht

blokkeren in hoe leerlingen denken en rekenen bij het oplossen van

rekenvraagstukken.

De kwestie die hij aan de orde stelt betreft de vraag naar 1. wat men onder ‘strategy’

en ‘method’ verstaat (c.q. dient te verstaan) en 2. hoe men met de relatie ertussen omgaat

(c.q. dient om te gaan). Onderstaand citaat uit Beishuizen’s (1997) bijdrage in de

50 Zie het voorwoord van de organisatoren in Beishuizen, Gravemeijer & van Lieshout (1997).


115

publicatie van de meeting The role of contexts and models in the development of mathematical

strategies and procedures geeft de kern van zijn uitdagende stellingname weer.

In todays’s literature we see a widespread use of the term strategy (…). The

concept ‘solution strategy’ is much more in focus than ‘computation procedure’. And

indeed the influence of (semantic) problem structure, of informal strategy

and strategy choice as opposed to merely procedural computation and

memorization of number facts, adds much more to new insights in the

solution behavior of pupils (…).

However, the other side of this picture in our opinion is the inflated use of

the term strategy in today’s literature: almost everything is called a strategy. It

seems as if authors have a preference for speaking of strategy and have an

aversion to the term procedure. However from a psychological point of view

there are many types of proceduralization (…).

Nevertheless the term strategy is often over-used, notably in cases where

speaking of procedure would be more appropriate in our opinion. For

instance Carpenter and Moser (1984) described the mathematical

development in a longitudinal study from grade 1 through grade 3 as follows:

‘Modeling strategies were gradually replaced with more sophisticated

counting strategies’ (p. 179). But our question is if it would be more

appropriate to call strategies like counting-on a procedure in the sense of

Anderson’s (1982) psychological theory of proceduralization. Compare also

Reys, Reys, Nohda and Emori (1995) describing their study as ‘Mental

computation performance and strategy use of Japanese students in grades 2,

4, 6 and 8’. (ibid., 129-130; cursief in het origineel).

Beishuizen (ibid.) illustreert het belang van het onderscheid tussen ‘rekenstrategie’

en ‘rekenmethode’ aan de hand van drie oplossingsprocedures (figuur 4.1) van

leerlingen die deel hadden genomen aan Klein’s (1998) onderwijsexperiment met twee

instructiemethodieken voor flexibel leren rekenen onder de honderd, namelijk de

Proeve-lijn versus de Stadia-lijn. De eerste methodiek is het prototype van de TAL-

didactiek. Het bevordert van begin af aan, via de modellering van hiertoe aangeboden

typen problemen, een breed pallet van oplossingsprocedures. De Stadia-methodiek

bevordert juist eerst de ontwikkeling van vaste vormen van rekenen op lijn (rijgmethode)

en stimuleert pas later de uitvinding van ‘handige’ vormen van ‘gevarieerd’ rekenen.

Wat beschouwt Beishuizen in deze oplossingsprocedures als ‘strategie’ en

‘methode’? Hoe ziet hij de relatie ertussen? En: welke implicaties trekt hij voor

voortgezet onderzoek naar flexibel hoofdrekenen? We richten ons hieronder op de

kern van deze kwesties.

Hoofdstuk 4

116

Figuur 4.1 Drie oplossingen van het probleem “Leiden on Sea” (Bron: Beishuizen, 1997, 128)

Verschil tussen ‘strategie’ en ‘methode’

We nemen de handgeschreven codering van figuur 4.1 uit het Leidse

classificatiesysteem (Kein, 1998) als aangrijpingspunt.

De bovenste code duidt de gevolgde ‘strategie’ aan. In Gravemeijer’s (2003a)

terminologie is dit de wijze waarop de leerling de strandwandeling wiskundig

beschrijft:

– AOT (Adding-On-To solution) Indirect Optellen) geeft aan dat Wilco en

Eddy een aanvulstructuur in dit probleem zien c.q. herkennen. Ze ‘lopen’ als

het ware in gedachte van kilometerpaal 9 naar kilometerpaal 31 en

overbruggen, al doende de afstand tussen 9 km en 31 km.

– SUB (SUBtraction AFtrekken), bij Brit’s oplossing, geeft aan dat zij het

probleem opvat als een verschil in ‘aantal’ kilometer dat kan worden gevonden

door het kleinste aantal km van het grootste af te trekken, wat Thompson

(1993, 166) een ‘numeriek verschil’ noemt.

Het probleem van de wandeling laat zich echter ook op een derde manier

benaderen, namelijk via ‘indirect aftrekken’. Het kan worden opgeroepen door de


117

suggestie van de leraar: “Stel je je eens voor dat je van paal 31 naar paal 9 loopt …?”. Taking-

Away-To solution is dus de derde aftrekstrategie die Beishuizen onderscheidt. Het wordt in

de realistische reken-wiskunde handleidingen en in de klas geassocieerd met een klasse

contextproblemen die uitnodigen om “terug te rekenen” of “leeg te maken”, in plaats

van “verder op te tellen” of ”aan te vullen”.

De strategie duidt, concluderend de rekenstructuur waarmee de leerling de relatie

tussen de hoeveelheden c.q. grootheden van een aftrekprobleem associeert. Het komt

cognitief-psychologisch en mathematisch gezien neer op de abstractie van een operatie uit

de gegevens van de betreffende probleemsituatie:

– een aftrekking bij ‘aftrekken’ c – b = ?

– een optel-stipsom bij ‘indirect optellen’ a + ? = c;

– en aftrek-stipsom bij ‘indirect aftrekken’ c - ? = b

De drie opgaven van figuur 4.2 representeren de typen contextproblemen die het

TAL-team (1999; Buijs, 2000), geheel in de lijn van de Proeve …, gebruikt om in de

fase van informeel, contextgebonden rekenen (c.q. de generalisering van geleerde

strategieën) flexibel “af te trekken”. De nadruk wordt daarbij echter gelegd op wat

Veltman en Treffers (1993) in het perspectief van leren rekenen op de lege getallenlijn,

“aftekken van het begin” (indirect optellen) en “aftrekken van het einde” (aftrekken)

noemen, het zogenoemde “tweezijdig” aftrekken. Leerlingen associëren beide

uitdrukkingen met het schuiven van kralen op de gekleurde kralenketting, zoals

toegelicht en geïllustreerd in hoofdstuk 2. “Aftrekken van het begin” had ten slotte ook

een andere connotatie, namelijk die van teruggeven van geld bij betalen aan de kassa.

Digitaal afrekenen heeft deze zogenoemde “winkelmethode” van aftrekken om zeep

geholpen.

De ouders van Mario

hebben 900 euro op hun

spaarrekening.

Ze gebruiken dit geld om

een fiets van 595 euro te

kopen.

Hoeveel geld houden ze

over?

Er zijn 36 verschillende

plaatjes van bijzondere

dieren.

Nicky heeft er al 25.

Hoeveel plaatjes mist ze

nog?

Joyce weegt 18 kilo, Lex 22

kilo.

Hoeveel kilo is Joyce lichter

dan Lex?

Figuur 4.2 Drie opgaven uit het onderhavig onderzoek die respectievelijk ‘afrekken’, ‘indirect optellen’ en ‘indirect aftrekken’ suggereren

900?

595

3625

?

2218

?

Hoofdstuk 4

118

De tweede code van de oplossing van Wilco, Eddy en Brit duidt de toegepaste methode

van hoofdrekenen aan, wat Gravemeijer (2003a) met ‘het uitvoeren van bewerkingen’

associeert:

– Het acroniem A10 geeft aan dat Wilco op-lijn, d.w.z. met de rijgmethode, springt

van de ene paal naar de andere (met sprongen van 10 km) nadat hij eerst naar

de dichtst bijzijnde paal heeft gesprongen:

(9) 10 20 30 31, samen 1+10+10+1=22 km.

– Het acroniem N10C, bij de oplossingen van Eddy en Brit, duiden de twee

verschillen met Wilco’s bewerkingen aan.

N10 geeft aan dat beide leerlingen ook rijgen, echter zonder tussenstap naar het

tiental. Eddy ‘springt’ 30 verder, vanaf het ‘begingetal’ (paal 9). Brit springt met

10 terug, vanaf het ‘eindgetal’ (paal 31).

Hoofdletter ‘C’ bij N10 staat voor ‘Compensation’. Het geeft aan dat Eddy bewust

voorbij paal 31 ‘springt’ en Brit express voorbij paal 9 en daarna deze

handeling compenseren.

Eddy: 9+30=39 39-8=31 (incorrect) in plaats van 30-8=22

Brit: 31-10=21 21+1=22 (correcte compensatie)

Relatie tussen ‘strategie’ en ‘methode’

De drie voorbeelden maken de relatie zichtbaar tussen ‘strategie’ en ‘procedure’. De

strategie determineert de aard van de rekenhandelingen: afrekken, indirect optellen of

indirect aftrekken. De rekenmethode duidt de hoofdrekenmanier aan, waarop de

getallen worden bewerkt (rijgen, splitsen of variarekeken), die verschillende gedaanten

aanneemt (rekenvorm), afhankelijk van het niveau van formalisering van de

rekenhandelingen (bijvoorbeeld rijgen met de 10-sprong of met de sprong naar het

tiental of met compensatie, etc.).

Betekenis voor onderzoek naar flexibel hoofdrekenen

Beishuizen beargumenteert aan de hand van onderstaande aanvullende informatie het

belang van zijn dubbele codering voor voortgezet onderzoek naar flexibel

hoofdrekenen.

Wilco behoort tot de groep leerlingen die het basale niveau van rijgen hebben

bereikt. Hij heeft geleerd de tientallen als knooppunten te gebruiken en overbrugt op

deze manier probleemloos de betrekkelijk kleine afstand tussen 9 en 31.

Eddy behoort ook tot de groep ‘zwakke’ rekenaars die, via de Proeve-methodiek,

kennis heeft gemaakt met de ‘handige’ vorm van ‘rekenen op lijn’ (rijgen) met

compensatie. Hij rekent ‘vooruit, net als Wilco, maar telt in één mentale handeling 30

bij 9 op, wetend dat het evenveel is als 39. Wat hij (nog) niet overziet, zijn de

implicaties van de afwijking van deze uitkomst met die van de stipsom van de

wandeling: 9 + 30 = 39 versus 9 + ? = 31.


119

Brit behoort ten slotte tot de groep “goede” rekenaars. Zij negeert de

gesuggereerde overbrugging 9 31 en trekt bovendien één te veel af (31-10 i.p.v. 31-

9) wat met ‘plus één’ wordt gecompenseerd. In die zin combineert Brit ‘aftrekken’ met

de handige compenseerprocedure van de zogenoemde ‘variamethode’.

Wat is nu de betekenis van deze dubbele codering voor voortgezet onderzoek naar

flexibel rekenen?

De dubbele codering maakt zichtbaar dat de moeilijkheidsgraad van een opgave en

dus de kans op succes van een leerling direct afhangt van enerzijds de gebruikte

combinatie van strategie en methode en anderzijds van de mate waarin de gebruiker

over de noties (concepties) en vaardigheden beschikt, waar deze combinatie een

beroep op doet.

– Eddy valt uit de boot omdat hij, in tegenstelling tot Wilco, een onbekende

stipsom uit een optelfeit probeert af te leiden wat, deductief gezien, zeer

complex is.

– Wilco volgt echter de weg van de geringste weerstand: eerst van 9 naar 10, dan

van 10 naar 20 en 30 en ten slotte van 30 naar 31.

– Eddy maakt het zich ook moeilijk, in vergelijking met Brit die ook een

geheugenfeit als ‘hulpsom’ gebruikt. Wetend dat 31 – 10 = 21, ziet Brit dat zij

er één te veel heeft afgetrokken met als gevolg dat zij, bij 31 - 9 er één meer

overhoudt: 21 wordt 22.

In het vervolg beargumenteert Beishuizen (1997) in zijn bijdrage in het Leidse

conferentieboek aan de hand van voorbeelden van andere relevante Leidse studies51

dat methoden en strategieën, gedurende het langlopende proces van leren afrekken,

meer of minder bij elkaar passen, afhankelijk van de voortgang van de leerling in de

conceptualisering en formalisering van aftrekken onder de honderd. Tot het er niet

meer toe doet, omdat de leerling dan puur met afsplitsingen van getallen en

rekeneigenschappen opereert.

We lichten zijn denkbeeld (ibid. 137; 156) kort toe aan de hand van geobserveerde

oplossingen van de drie opgaven die de drie aftrekstructuren (c.q. strategieën)

vertegenwoordigen.

Het TAL-team (1999; Buijs, 2000) legt in jaargroep 4 de nadruk op rijgen in

combinatie met aftrekken en indirect optellen. Deze twee combinaties genereren de

meest toegankelijke vormen van rekenen met tientaloverschrijding (gearceerde

oplossingen van figuur 4.3).

– Splitsen in combinatie met aftrekken wordt in de regel uitgesteld tot begin

jaargroep 5 door de complexiteit van procedure E en het gebruik van

negatieve getallen bij procedure C en L.

51 Van Mulken, 1992; van der Heijden, 1993; Hoogenberg & Paardekoper, 1995; De Joode,1996; Beishuizen, van Putten & van Mulken, 1997.

Hoofdstuk 4

120

– Splitsen in combinatie met indirect optellen wordt niet aangeboden.

Leerlingen bedenken dit zelf, met veel misconcepties (zie de gearceerde

oplossingen) in contexten die indirect optellen suggereren en/of bij het

‘speels’ oplossen van vlekopgaven/kale stipsommen (zie voetnoot 2).

– De oplossingen H, I en J (verschil in leeftijd) en Q en R (fiets kopen) vallen

bij de TAL-didactiek onder de noemer “variarekenen”, dat in de loop van

jaargroep 5 wordt aangeboden. Dit is begrijpelijk in de context van de jaren

tachtig, maar conflicteert nu met de nieuwe oriëntatie in het onderzoek naar

flexibel hoofdrekenen sinds Beishuizen’s onderscheid tussen strategie en

methode. Dit vraagt om een toelichting.

Opgave en

aftrekstructuur Methode

Strategie

Aftrekken Indirect optellen

verschil in

leeftijd

Rijgen 22-18 via

A 22-10 12-8

18+..=22 via

E (18) 20, 22, dus 4

Splitsen

22-18 via

B 20-10=10; 10+2=12;

12-8 of

C 20-10=10; 2-8 is 6

tekort, dus 10-6=4

18+..=22 via

Misconceptie

F 10+10=20; 8+4=12, dus 14

Correct aanvulling

G 8+4=12, dus 4

Variarekenen

22-18 via

D 22-20=2; 18 is 2

minder dan 20, dan is

het verschil 2 meer, dus

4 i.p.v. 2

18+..=22 via

Misconceptie

H 10+10=20 en 8+4=12, 14

Correcte afleiding

I Ik zie het zo! Het is 4! of

J 18+..=22 is evenveel als 20+..=24,

dus 4

fiets kopen

Rijgen

900-595 via

K 900-500 400-90

310-5

595+…=900 via

N 595+5 600+300 305

Splitsen

900-595 via

L 900-500=400; 90

tekort, dus 310 en 5

tekort dus 305

595+…=900 via

Misconceptie

O 5+4=9 en 95+5=100, dus 495

Correcte aanvulling

P 500+300=900; 95+5=100;

300+5=305

Variarekenen

900-595 via

M 900-600=300; 5

méér is 305

595+…=900 via

Misconceptie

Q 500+400=900 en 95+5=100, dus

405

Correcte afleiding

R 600+300=900; 600 is 5 meer dan

595, dus is het 5 meer dan 300 305

Figuur 4.3 Variatie in moeilijkheidsgraad, afhankelijk van de gebruikte combinatie van strategie en methode en het niveau van formalisering van de bewerkingen


121

Ter inleiding van deze kwestie, komen we terug op Beishuizen’s aanname dat het

onderscheid tussen strategie en methode op het hoogste niveau van flexibel rekenen

er waarschijnlijk niet meer toe doet. De oplossing in “knopentaal” van het probleem

van het verschil in gewicht en de aanschaf van de fiets van figuur 3 die in figuur 4.3 is

weergegeven visualiseert de interpretatie van de auteur van dit proefschrift.

Figuur 4.4 Redeneren binnen een relatienet met behulp van rekeneigenschappen op het hoogste niveau van flexibel hoofdreken

De knopennotatie (Gravemeijer, persoonlijke communicatie) laat de kern van

flexibel hoodfrekenen zien op het, voor de basisschool, hoogste niveau van ‘numeriek

denken’. De leerlingen knopen numerieke relaties via gemeenschappelijke termen aan elkaar,

daarbij gebruikmakend van de eigenschappen van optellen en van de inverse relatie

tussen optellen en aftrekken. Zij redeneren in die zin binnen een ‘relatie’, in de

betekenis van Van Hiele (1973) en Gravemeijer (1988; 1994). Er valt dan niet meer te

zeggen – en het is ook niet meer relevant - of de leerling aftrekt, indirect optelt of

indirect aftrekt. “Aftrekken” is immers tot “driezijdige” mentale handeling geworden

(vergelijk Freudenthal, 1984a, 118).

4.3 Ambiguïteit van variarekenen

“Variarekenen” neemt in de realistische literatuur verschillende gedaanten aan. Bij het

aanvankelijk rekenen is het verbonden met structurerend optellen en aftrekken in de

fase van de reconstructie van de opteltafels en de daarvan afgeleide aftrekrelaties met

behulp van de getalbeelden van het zogenoemde rekenrek. Variarekenen komt in deze

periode overeen met wat binnen de probleemoplossende didactiek (Fuson, 1992;

Fuson e.a., 1997) en in Engeland (Thompson, 2000) ‘derived facts strategies’ wordt

genoemd (zie ook Verschaffel e.a. 2007), in de traditie van de chronometrische

onderzoeken (o.a. Groen & Parkman, 1972) en de studies met interviewmethoden

(Baroody, 1983; Woods & Resnick, 1975) naar de basisautomatismen bij aftrekken.

‘Variarekenen’ houdt dan concreet in dat de leerling optellingen en afrekkingen die hij

nog niet paraat heeft op de volgende manieren snel reconstrueert, via een geheugenfeit

dat erop lijkt, al dan niet in combinatie met verder tellen en terugtellen, zoals

Hoofdstuk 4

122

onderzocht door Groenewegen en Gravemeijer (1988). Leerlingen herleiden dan

optellingen c.q. aftrekkingen op basis van (i) de associatieve en/of commutatieve

eigenschap van optellen (bijvoorbeeld 5 + 4 via 4 + 4 = 8 en één erbij is 9), (ii) de

inverse relatie tussen optellen en aftrekken (bijvoorbeeld 9 – 5 = 4 want 5 + 4 = 9, dat

weet ik!) en/of (iii) analogie (bijvoorbeeld 18 – 3 = 15 want 8 – 3 = 5). Typerend in

deze fase is dat leerlingen aftrekkingen leren oplossen via de daarbij passende optelling

door de associatie met een parate ‘dubbel’ of ‘bijna-dubbel’, wat onderzoekers als

Baroody e.a., (1982) aanduiden met de term ‘inverse ties’ binnen het gebruik van

‘addition-substraction complement principle’.

Bij rekenen onder de honderd neemt variareken drie gedaanten aan:

– rijgen ‘van het begin’, dus indirect optellend;

– ‘handig’ rijgen, zoals Eddy en Brit in Klein’s experiment (1998) dat deden;

– ‘afleiden’, zoals geleerd bij structurerend optellen en aftrekken onder de

twintig, in de vorm van ‘compenseren’ (62 - 48 via 62 – 50 = 12 en 2 erbij is

14) en ‘transformeren’(62 - 48 is evenveel als 64 - 50, dus 14).

Aansluitend bij Treffers en de Moor (1990), neemt het TAL-team (1990; Buijs,

2000) daarbij aan dat ‘handig rijgen’ de inzichtelijke basis legt voor ‘formeel’, dat wil

zeggen puur getalsmatig compenseren en transformeren.

Dit maakt ‘variarekenen’ vandaag de dag zo ambigu in het perspectief van flexibel

hoofdrekenen. Als we er van uitgaan dat flexibel hoofdrekenen gebaseerd is (dient te

zijn) op het strategisch gebruik van een beschikbare combinatie van ‘aftrekstrategie’ en

‘bewerkingsmethode’, dan past de categorie ‘variakenen’ in de zin van Treffers en de Moor

(1990) en van het TAL-team (1999; Buijs, 2000) niet meer.

Dit nu heeft ons bewogen om een classificatiesysteem te construeren dat uitgaat

van drie aftrekstrategieën die leerlingen - uit zichzelf – met de drie

hoofdrekenmethoden ‘in ontwikkeling’ proberen te combineren, zoals afgebeeld in

figuur 4.5.

Figuur 4.5 Structuur van de gereedschapskist voor flexibel hoofdrekenen

Dit betekent niet dat hierdoor een cruciaal kenmerk van realistisch hoofdrekenen

van tafel wordt geveegd. In tegendeel, deze constructie versterkt in principe de

horizontale en verticale samenhang binnen hoofdrekenen onder de honderd/duizend.

Het schept bovendien de contouren van een theoretisch en empirisch kader dat

naadloos aansluit bij het voortgezet onderzoek, sinds de eeuwwisseling, naar het

gebruik van rekeneigenschappen bij ‘rekenen’ en van de inverse relatie tussen optellen

en aftrekken bij het oplossen van contextproblemen in het bijzonder. We lichten dit

kort toe.


123

Het septembernummer van Mathematical thinking and learning van 2009 geeft een

overzicht van de meest recente bevindingen in dit domein. Het valt op hoe vaak de

auteurs naar de Leidse studies refereren die in deze dissertatie als cruciale bronnen zijn

geraadpleegd. Hieruit blijkt dat het fenomeen ‘indirect aftrekken’ wereldwijd een

‘kwestie’ is geworden. Het heeft hoe dan ook bruggen geslagen tussen de Leidse

(Blöte, Klein & Beishuizen, 2000; Blöte, Van der Burg & Klein, 2001) en de Leuvense

(Torbeyns, De Smedt, Stassens, Ghesquière & Verschaffel, 2009; Torbeyn, De Smedt,

Ghesquière & Verschaffel, 2009) onderzoeksgroep. Centraal staat in al deze studies de

vraag welke factoren sommige kinderen en volkwassenen bewegen om in

toepassingssituatie gebruik te maken van de rekeneigenschappen, terwijl de grote

meerderheid dat niet doet. Het valt op dat vanuit dit nieuwe perspectief naar Gray en

Tall’s (1994) visie op de groei naar numeriek denken wordt verwezen. Hiermee zij we

gekomen op de kwestie van de aard en de trend in het abstractieproces bij leren

aftrekken onder honderd, die moeten worden geschetst om het classificatiesysteem en

de sequentie van geleid uitvinden daadwerkelijk te kunnen construeren. Hiertoe keren

we terug naar het tweede sleutelprincipe van de algemene reconstructiedidactiek van

paragraaf 3.3.2.

4.4 Abstractieproces

In de lijn van het theoretisch kader integreren we, wat de nagestreefde

conceptualisering en de formalisering betreft, het standpunt van Freudenthal (1984)

met dat van Gray en Tall (1994). We benaderen de verticale mathematisering als een

iteratieve organisatie van wat de leerling op het spoor is gekomen, maar (nog) niet

overziet. Denk daarbij aan de buggy-algoritmen bij splitsend afrekken en aan Eddy die

nog niet begrijpt hoe compenseren bij indirect optellen werkt. Vanuit dit standpunt

zullen we de vormen van rekenen die de leerlingen uitvinden verticaal ordenen, daarbij

uitgaande van de conceptuele wiskundige grondslag ervan. Hierbij laten we ons leiden

door Gray en Tall’s idee van ‘encapsulation’.

Volgens dit model neemt de conceptualisering bij leren rekenen de vorm aan van

een continu proces, waarbij leerlingen continu een nieuwe conceptie van ‘getal’(concept)

abstraheren uit handelingspatronen die verbonden zijn met een voor hen

vanzelfsprekend geworden manier van doen in paradigmatische probleemsituaties

Gray en Tall (1994) duiden dit proces aan met het begrip ‘encapsulation on successively

higher levels’. We gebruiken de getrapte structuur van hun model als skelet van de

sequentie en geven hem ‘inhoud’ met de gedocumenteerde rekenvormen van de

internationale onderzoeksliteratuur.

We integreren ten slotte drie ideeën voor de macrostructurering van het

langlopende proces tussen jaargroep 2 en jaargroep 6:

Hoofdstuk 4

124

– het onderscheid dat Tall (2006, 197) maakt tussen visueel-enactive en

proceptueel-symbolisch aritmetisch denken;

– de in hoofdstuk 3 besproken niveautheorie van Van Hiele (1973) en

– het theoretisch kader van Fuson e.a. (1997) met betrekking tot de ontwikkeling

van de conceptuele structuren van natuurlijke getallen, de optelling en de

aftrekking (zie hoofdstuk 3).

We lichten dit kort toe aan de hand van de schets van de structuur van de

sequentie.

4.5 Structuur van de sequentie

Het hele proces wordt in drie fasen gestructureerd:

A. direct modelleren met verzamelingen objecten;

B. denken en symboliseren in termen van getalrelaties;

C. formeel opereren binnen een eigen systeem van numerieke relaties en

rekenregels

Figuur 4.6 Structuur van de verticale mathematisering van het rekenwerk

– Het proces start bij het inslijpen van wat Freudenthal (1990) het eerste

algoritme met een wiskundige structuur noemt: de opeenvolging van de

telwoorden (een, twee, drie, …)

– Rekenen begint bij het direct modelleren van elementaire optelen aftreksituaties

met verzamelingen objecten, op Tall’s (2007) en Van Hiele’s (1973) niveau van

visueel-enactive denken en symboliseren (zie ook Freudenthal, 1984; Fuson e.a.,

1997).

– Van hieruit ontwikkelt de leerling, trapsgewijs, op elkaar aansluitende en telkens

abstractere manieren van denken en symboliseren en de daarbij formelere

vormen van rekenen op basis van getalrelaties. De leerling tilt zichzelf dan

‘proceptueel-symbolisch’ op langs de niveaus van Van Hiele.


125

– Het eindniveau wordt bereikt als een leerling, los van enige context en

hulpmiddelen, puur getalsmatig, binnen een eigen systeem van numerieke

relaties en rekenregels opereert.

We vullen hierna deze structuur in met de daarbij horende methoden en vormen

van hoofdrekenend bewerken van natuurlijke getallen.

4.6 Methoden, niveaus en vormen van hoofdrekenen

Omwille van het overzicht presenteren we eerst de drie onderscheiden vormen van

hoofdrekenen. Van hieruit zoemen we in op de opeenvolgende niveauverhogingen

om de uit te vinden vormen van hoofdrekenen te kunnen onderscheiden en de

dwarsverbindingen er tussen te kunnen leggen.

4.6.1 Drie hoofdrekenmethoden: rijgen, splitsen en beredeneren

In het eerste deel van hoofdstuk 13 uit het Second handbook of research on mathematics

teaching geven Verschaffel, Greer en De Corte (2007) een overzicht van de

rekenvormen die leerlingen met de didactiek die hoofdstuk 3 is beschreven zoal

uitvinden. Deze nomenclatuur weerspiegelt de actuele consensus over flexibel

hoofdrekenen als één van de kerndoelen en over de rekenstrategieën en

rekenmethoden die daarbij betrokken zijn. De verwijzingen naar studies uit alle

windstreken geeft aan hoe breed deze visie op hoofdrekenen wordt gedragen

(ibid.,569).

In onderstaand citaat gaan Verschaffel e.a. (ibid. 575) uit van drie methoden van

hoofdrekenen die verbonden zijn met drie concepties van natuurlijke getallen.

Opvallend genoeg gebruiken ze de term ‘strategie’, terwijl ze de ‘methoden’ van

hoofdrekenen van elkaar onderscheiden. Ze nemen ook het ‘variarekenen’ van de

TAL-didactiek over en niet de ‘compensating strategies’ van de problemsolving

benadering die we in hoofdstuk 3 hebben beschreven.

Most classifications of children’s procedures for operating on multidigit

numbers distinguish among three basic categories of strategies of mental

arithmetic (which seem to be closely linked to different conceptions of

numbers):

– Jumping strategy in which the numbers are seen primarily as objects in

the counting row and for which the operations are movements along the

counting row – further (+) of back (-) or repeatedly further (x) or

repeatedly back (:).

– Split strategy in which the numbers are seen primarily as objects with a

decimal structure and in which operations are performed by splitting and

processing the numbers on the basis of this structure.

Hoofdstuk 4

126

– Varying strategies based on arithmetic properties in which the numbers

are seen as objects that can be structured in all sorts of ways and in which

operations take place by exploiting a suitable structure and using the

appropriate arithmetic properties (Buys, 2001).

We hebben in paragraaf 4.3 beargumenteerd dat het ‘variarekenen’ van de Proeve …

ambigu is en bovendien conflicteert met de nieuwe visie op flexibel hoofdrekenen als

de strategische inzet van een efficiënte combinatie van strategie en bewerkingsmethode.

Een bijkomend probleem is dat het TAL-team het leren getalsmatig herleiden

(compenseren en transformeren) enten op rijgen op een lege getallenlijn (oplossing

van Brit) en/of in peilentaal (oplossing van Eddy) (zie figuur 4.7). We zoomen in op

hun oplossing om de cruciale wijzingen te kunnen verantwoorden die we hebben

aangebracht aan het Leidse classificatiesysteem dat als uitgangspunt is genomen.

9+30=39

39-8=31

Antwoord: 38 (fout)

31-10=21

21+1=22

Antwoord: 22

Figuur 4.7 Symbolisering van compenseren in peilentaal en met sprongen op een lege getallenlijn

Conform de Proeve-lijn (Treffers en de Moor, 1990) beschouwt Beishuizen (1997,

126-128) de rekenhandelingen van Eddy en Brit als flexibele vormen van rijgen. Wij zijn

van mening dat ze niet sequentieel maar deductief rekenen, en dus niet rijgen, maar

‘beredeneren’:

– Eddy associeert - via de commutatieve eigenschap - 9 en 30 met 39 en

probeert van daaruit de aanvullende term 9 + ? = 31 af te leiden uit 9 + 30 =

39;

– Brit richt zich op het numeriek verschil tussen 31 km en 9km en rekent 31 - 9

uit via de bekende aftrekking 31 – 10 = 21

We beschouwen om die reden beide bewerkingen als uitdrukking van wat we

‘deductief’ rekenen hebben genoemd, in beide gevallen in de vorm van ‘compenseren’.

De codering van Eddy’s oplossing wordt Indirect Optellen/Beredenerend compenseren,

die van Brits oplossing Aftrekken/ Beredenerend compenseren.

We onderscheden, concluderend, drie hoofdrekenmethoden:

– Rijgen, waarbij termen van lineaire getalrelaties als knooppunten worden

gebruikt, dat voortkomt uit de getrapte verdichting van direct modelleren met

verzamelingen objecten (sequentieel rekenen);


127

– Splitsen, waarbij getallen in eenheden van 1, 10 en 100 worden gesplitst

(positioneel rekenen) en

– Beredeneren, dat berust op het gebruik van relatie tussen getalrelaties en dat

voortkomt uit de organisatie en systematisering van de getalrelaties en

rekeneigenschappen die bij het contextrekenen worden gebruikt (vergelijk Van

Hiele, 1973 en Freudenthal, 1984) (deductief rekenen).

We zoomen nu in op rijgen, splitsen en beredeneren om de niveaus en vormen

ervan te kunnen onderscheiden.

4.6.2 Verticale mathematisering van direct modelleren

We beschikken tegenwoordig over een zeer uitgebreid internationaal empirisch

gefundeerde documentatie van de opeenvolgende vormen van sequentieel rekenen die

leerlingen vanaf de kleuterleeftijd tot en met eind jaagroep 5-6 uitvinden. Het schema

van figuur 4.8 brengt de opeenvolgende niveauverhogingen en de bijbehorende

vormen van sequentieel rekenen in beeld. Deze manieren van rijgen zijn stuk voor

stuk ontleend aan de internationale documentatie waar Verschaffel e.a. (2007) naar

refereren. Ze komen sterk overeen met onder andere de classificatie die Fuson e.a.

(1997) hanteren (zie hoofdstuk 3). De tabel van figuur 4.9 toont de onderscheiden

vormen van rijgen. We gaan daarbij uit van drie eigenschappen die met elkaar

samenhangen: 1. de aard van de rekenhandelingen, 2. de onderliggende wiskundige

structuur en 3. het gebruikte symboliseringsmiddel.

Figuur 4.8 Contextgebonden hoofdrekenen op basis van getalrelaties (proceptueel-symbolisch niveau)

Hoofdstuk 4

128

Nv. Vorm van rijgen Wiskundige structuur Symbolisering

8 Gestandaardiseerd netwerk van relaties tussen numerieke relaties die verankerd zijn in rekeneigenschappen

puur mentaal

7 Idem, in combinatie met de factor 10

schaalvergroting – knopentaal

– sommentaal 6 Met niet tientallig afgesplitste

getallen getal als object dat een eigen betekenis heeft in haar relatie tot andere getallen

5 Met samengestelde getallen als knooppunten

integratie van teltal en aantal – afpassen met meetstroken / schuiven met kralen

– sprongen op een lege getallenlijn

– peilentaal

– sommentaal

4 Met tienvouden als knooppunten

getallen als knooppunten van lineair-decimale getalrelaties

3 Idem zonder objecten getal als som van twee andere getallen (8 als 7+1, 5+3; 4+4, …

telwoorden

2 Verkort tellen met objecten aantal als term van een numerieke relatie

gesymboliseerde telstappen (turfjes, rondjes, opgestoken vingers, etc.)

1 Direct modelleren perceptueel-enactieve structuren Breek-maak-transformaties

Figuur 4.9 Onderscheidende eigenschappen van de vormen van rijgen

4.6.3 Verticale mathematisering van tellen/meten met eenheden van

‘Tien’ en ‘Één’

We zagen in hoofdstuk 3 dat binnen de Amerikaanse reformbewegingen leerlingen het

optelen aftrekalgoritmen getrapt abstraheren uit tel- en meethandelingen en het

daarop aansluitende rekenen met MAB-blokjes. Het TAL-team ent echter het splitsen

op het rijgen met niet-tientallig gesplitste getallen, zoals weergegeven in figuur 4.10

(zie hoofdstuk 3). De tabel van figuur 4.11 geeft de criteria aan waarop de vormen van

splitsen van elkaar zijn onderscheiden.

rijgen met niet-tientallig gesplitste

getallen 62-48 via

62-40=22 22-8=14

splitsten via de combinatiemethode

62-48 via

60-40=20 20+2=22 22-8=14

Figuur 4.10 Overgang van rijgen naar splitsen volgens de TAL-methodiek


129

Vorm van splitsen Wiskundige structuur Symbolisering

Formeel algoritmisch positionele ordening van de eenheden

traditioneel algoritme

kolomsgewijs verticale ordening van rekenhandelingen

tussen strepen, onder elkaar, kolomsgewijs

Met positiewaarden

– met tekort

– via het vrij maken van een tien

– buggy algoritme

positionele structuur van de getallen

– met decimale hulpmiddelen

– horizontaal, in sommentaal

Combinatie van rijgen met splitsen

integratie van teltal en aantal horizontaal, in sommentaal of peilentaal

Optellen en aftrekken en eenheden van 10 en 1, zonder tientaloverschrijding

analogie in de structuur van tellen met eenheden van 10 en 1

– met decimale hulpmiddelen

– horizontaal, in sommentaal

Figuur 4.11 Onderscheidende eigenschappen van de vormen van splitsen

4.6.4 Verticale mathematisering van puzzelen met geheugenfeiten

Er bestaat nog geen consensus over ‘derived facts stategies’ in het getalgebied onder

de honderd in relatie tot de recente onderzoeken naar het gebruik van indirect

optellen bij het oplossen van contextproblemen (Verschaffel, Greer & De Corte,

2007; Baroody, Thorbeyns & Verschaffel, 2009). We maken daarom verschil tussen de

twee vormen van beredeneren die in elk geval in de onderzoeksliteratuur worden

genoemd: compenseren en transformeren. We beschouwen deze laatste vorm als

eindniveau, omdat de leerling dan redeneert vanuit het principe van de gelijkwaardige

som c.q. het gelijkwaardige verschil. We nemen daarbij aan de leerling op het spoor

van deze principes kan komen via de organisatie en de systematisering van zijn

compenseeroplossingen. Informele oplossingen waarbij de leerling de stipsom van een

contextprobleem met optelfeiten probeert samen te stellen, gaf aanleiding om deze

procedure als startniveau te beschouwen van deductief rekenen onder de honderd.

We zijn nu toegekomen aan de integratie van bovenstaande mathematiserings-

lijnen binnen eenzelfde classificatiesysteem.

4.7 Classificatiesysteem

Het geconstrueerde systeem van uit te vinden methoden en vormen van

hoofdrekenen is afgebeeld in figuur 4.12, op de laatste pagina van dit hoofdstuk.

Hierin staan denkbeeldige en geobserveerde oplossingen van de aftrekking 62-48. De

twee eerste niveaus zijn niet afgebeeld, omdat ze niet relevant zijn voor aftrekken

onder de honderd. We expliciteren ter afsluiting de dwarsverbindingen.

Hoofdstuk 4

130

Leerlingen die niveau 4 hebben bereikt, kennen de opeenvolging van de

tienvouden (zie Fuson e.a. 1997: Sequence-tens- and ones conception; zie hoofdstuk 3). Op

grond hiervan kunnen zij in principe met tienvouden als knooppunten leren rijgen en

met eenheden van 10 en 1 leren splitsen in situaties zonder tientaloverschrijding.

Op basis van de Separate-tens and ones conception kunnen leerlingen in principe met

samengestelde getallen leren rijgen. De combinatie van rijgen met splitsen is dan ook

in principe toegankelijk.

Om met niet-tientallig afsplitsingen van getallen te kunnen rijgen, moeten

leerlingen beseffen dat getallen (i) op zichzelf bestaan, los van de hoeveelheden en

grootheden van de leefwereld, (ii) dat ze als zodanig eigen kenmerken hebben en (iii)

dat ze, op grond van die kenmerken, op verschillende manieren kunnen worden

gemaakt en afgebroken, waardoor ze verschillende banden met verschillende getallen

houden. Eenmaal zover kunnen leerlingen zich richten op de laatste, meest abstracte

fase van het leerproces dat leidt tot formeel rekenen binnen het geconstrueerde

systeem van relaties en rekenregels.

4.8 Terugblik en vooruitblik

Het doel van dit hoofdstuk was een referentiekader te construeren waarmee

oplossingsprocedures kunnen worden gecodeerd en geanalyseerd. Het resultaat is het

classificatiesysteem van figuur 4.12a en figuur 4.12b. Het wijkt op essentiële punten af

van Klein’s (1998) systematiek die als uitgangspunt is genomen om te kunnen

aansluiten bij de meest recente ontwikkelingen bij het voortgezet onderzoek naar

flexibel aftrekken in toepassingsituaties. In het hierna volgende hoofdstuk zetten we

uiteen hoe dit referentiekader wordt gebruikt bij de analyses van de vier deelstudies

van dit dissertatieonderzoek.


131

NV RIJGEN SPLITSEN BEREDENEREN

8 Gestandaardiseerd

62-40=22 22-8=14

Met positiecijfers het traditionele aftrekalgoritme

Transformeren 62-48 wordt 64-50 is 14

7 Niet van toepassing in het getalgebied tot honderd

Kolomsgewijs 62 48- 20 6- 14

Compenseren 62-48 via 62-50=12; 2 teveel eraf, dus 2 meer over, is 14

6 Met niet-tientallig afgesplitste getallen

62-40=22 22-8 via

22-2=20 20-6=14

Met positiewaarden Het kleinste van het grootste aftrekken

60-40=20 2-8 wordt 8-2=6

20+6=26 Met tekort

60-40=20 2-8 is 6 tekort

20-6=14 Een tien vrij maken 62 wordt [50+12] en 48 blijft [40+8]; dan: 50-10=10 en 12-8=4

samennemen: 10+4=14

Puzzelen met optelfeiten Niet van toepassing bij aftrekken

5 Met samengestelde getallen

73, 63, 53, 43, 33 33-3 30-4

Mengvorm splitsen-rijgen

60-40=20 20+2=22

22-8=14 of via tussenstap

of via 20-8=12 12+2=14

4 Met tienvouden na de sprong naar het tienvoud

62-2=60 50, 40, 30, 20 20-6=14 geautomatiseerd of terugtellend

Optelen/aftrekken met eenheden van 10 en 1 niet van toepassing bij tientaloverschrijding

3 Met telstappen 61, 60, 59, 58 …

Figuur 4.12a Niveaus en vormen van rijgen, splitsen en beredeneren via aftrekken: [62-48=?]

Hoofdstuk 4

132

NV RIJGEN SPLITSEN BEREDENEREN

8 Gestandaardiseerd Niet van toepassing bij dit type getalcombinatie

Met positiecijfers 48 ?? + 62

Transformeren Niet van toepassing bij dit type getalcombinatie

7 Niet van toepassing in het getalgebied tot honderd

Kolomsgewijs Niet van toepassing bij dit type getalcombinatie

Compenseren Foutief 48+..=62 via

40+20=60 8+4=12 20+4=24 Correct

40+10=50 8+4=12 10+4=14

6 Met niet-tientallig afgesplitste getallen Niet van toepassing bij dit type getalcombinatie; zie 8

Met positiewaarden Foutief 48+..=62 via

4+2=6 8+4=12 20+4=24 Anticiperen op het ontstaan van een tiental bij het toevoegen van eenheden

4+1=5 8+4=12

10+4=14

Puzzelen met optelfeiten 48+..=62 40+20=60

8+2=1010+2=12 8+4=12 40+10=50

50+12=62

5 Met samengestelde getallen

67, 77 77 + 3 80+3

Mengvorm splitsen-rijgen Niet van toepassing bij dit type getalcombinatie; zie 8

4 Met tienvouden na de sprong naar het tienvoud geautomatiseerd of terugtellend

57+3 70, 80 80 + 3

Optelen/aftrekken met eenheden van 10 en 1 Niet van toepassing bij tientaloverschrijding

3 Met telstappen 49, 50, 51, 52, …

Figuur 4.12b Niveaus en vormen van rijgen, splitsen en beredeneren via indirect optellen: [48+?=62]

133

Hoofdstuk 5

Opzet en instrumentatie van het onderzoek

5.1 Inleiding

De aanleiding voor deze studie wordt, zoals eerder opgemerkt, gevormd door het

peilingsonderzoek voor rekenen-wiskunde halverwege de basisschool dat in 1997

werd uitgevoerd. Dit was de derde in een serie van rekenpeilingen die plaatsvonden in

1987 (Wijnstra, 1988), 1992 (Bokhove, Van der Schoot & Eggen, 1996) en 1997

(Noteboom, Van der Schoot, Janssen & Veldhuijzen, 2000). Naar aanleiding van de

analyse van de resultaten bij het aftrekken in de derde peiling, adviseerde Noteboom

(ibid.) als vakinhoudelijke expert van de auteurgroep, een kwalitatief onderzoek naar

oplossingswijzen. Dit onderzoek zou toegevoegd moeten worden aan de vierde

PPON rekenpeiling, die voor 2003 was gepland, om zo inzicht te krijgen in factoren

die hun stempel drukken op de moeilijkheidsgraad van de voorgelegde typen kale

aftrekkingen en contextopgaven.

De vierde PPON rekenpeiling heeft in de periode januari/februari 2003 plaats

gevonden. Het is uigevoerd tegelijk en in samenhang met het onderzoek in de

jaargroepen 3, 4 en 5 voor een nieuw te ontwikkelen leerlingvolgsysteem (LOVS).

Deze 4e PPON rekenpeiling vormt het kader waarbinnen het onderzoek, dat het

onderwerp van deze dissertatie vormt, werd uitgevoerd. De gesprekken met de

leerlingen uit de steekproef van de deelnemende PPON-scholen zijn direct na de

afname van de schriftelijke toetsten gehouden, volgens de systematiek die later wordt

beschreven. Het kwalitatief onderzoek is, in een aangepaste vorm, een jaar later

herhaald met een groep leerlingen uit de steekproef van LOVS-scholen die deelnamen

aan het vervolgonderzoek in de hogere leerjaren van de basisschool. We schetsen nu

eerst de achtergronden en opzet van het PPON onderzoek.

Hoofdstuk 5

134

5.2 Achtergrond en opzet van de 4e PPON rekenpeiling

5.2.1 Doelen van PPON

In 1986 is in opdracht van de Minister van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen het

project Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau (PPON) gestart. Het belangrijkste

doel van het project is periodiek gegevens te verzamelen over het onderwijsaanbod en

de onderwijsresultaten in het basisonderwijs en het speciaal basisonderwijs. Deze

informatie zou een empirische basis moeten bieden voor de algemene

maatschappelijke discussie over de inhoud en het niveau van het onderwijs. Het

onderzoek richt zich in hoofdzaak op een drietal vragen:

– Waaruit bestaat het onderwijsaanbod in een bepaald leer- en vormingsgebied?

– Welke kennis en bekwaamheid verwerven de leerlingen halverwege en aan het

einde van de basisschool in de onderscheiden leerstofdomeinen?

– Welke veranderingen of ontwikkelingen in aanbod en opbrengst zijn er in de

loop van de tijd te traceren?

Een van de uitgangspunten van peilingsonderzoek is dat men probeert zo

nauwkeurig en gedetailleerd mogelijk een beeld van de vaardigheden van leerlingen te

schetsen. Daarmee is het peilingsonderzoek een van de instrumenten van de overheid

voor de externe kwaliteitsbewaking van het onderwijs (Netelenbos, 1995). Maar

daarnaast zijn de resultaten van de peilingsonderzoeken van belang voor allen –

onderwijsorganisaties, onderzoekers en ontwikkelaars van methoden,

onderwijsbegeleiders en lerarenopleiders, inspectie, leraren basisonderwijs en ouders –

die betrokken zijn bij de discussie over en de vormgeving en kwaliteit van het

onderwijs op de basisschool.

5.2.2 Getoetste kennis, inzichten en vaardigheden

Een domeinbeschrijving vormt de basis voor ieder peilingsonderzoek. Hierin worden de

inhouden van het curriculum beschreven, die worden getoetst. Deze beschrijving

vormt het uitgangspunt voor de ontwikkeling van de toetsitems. In de

domeinbeschrijving voor de 4e PPON rekenpeiling halverwege de basisschool zijn tien

onderwerpen onderscheiden (Kraemer e.a., 2005)52. Van deze tien onderwerpen

worden er drie betrokken bij de analyse van de oplossingsmethoden van

aftrekopgaven, namelijk Getallen, Basisoperaties en Bewerkingen.

52 Zie de tekst van J.M. Kraemer in hoofdstuk 1 van Balans [31], p. 13-15.


135

Getallen en getalrelaties

Bij het onderwerp getallen en getalrelaties ligt de nadruk op de ontwikkeling van

getalgevoeligheid. Dit gevoel voor getallen komt voort uit de vertrouwdheid met

getalstructuren, getalpatronen en relaties tussen getallen, de organisatie van getallen in

netwerken van relaties en de ontwikkeling van een eigen systeem van

ervaringsgegevens over allerlei hoeveelheden en grootheden. De vaardigheid van de

leerlingen wordt op basis van vier aspecten gemeten (Kraemer e.a., 2005):

– tientallig ontleden van twee- en driecijferige getallen en het plaatsen van deze

getallen in de denkbeeldige telrij (c.q. op een getallenlijn);

– resultatief tellen met wisselende eenheden (1, 2, 5, 10, 15, 20, 25, 50, 100, 125,

250) en het verder tellen en terugtellen met deze eenheden;

– gevarieerd splitsen en ontbinden in factoren;

– vergelijken en afronden.53

Basisoperaties Optellen-afrekken

Bij basisoperaties gaat het om de competenties om snel en vaardig elementaire

contextloze operaties uit te kunnen voeren. Voor zover leerlingen de uitkomst niet

paraat hebben, kunnen zij een geautomatiseerde hoofdrekenprocedure toepassen of

de uitkomst uit bekende getalrelaties en met behulp van rekeneigenschappen snel

afleiden. In de rekenpeiling halverwege de basisschool worden de rekenfeiten,

algoritmische rekenprocedures en elementaire vormen van afleiden die goed van pas

komen bij rijgend, splitsend en handig hoofdrekenen, getoetst. Dit zijn:

– alle optellingen en aftrekkingen uit het getallengebied tot 20;

– feiten, procedures en herleidingen met getallen tot 100 en 1000.

In het getalgebied tot honderd is de toets toegespitst op het gebruik van parate

kennis (100 – 90 = 10), getalstructuren en getalrelaties (56 – 50 = 6) of

geautomatiseerde rekenprocedures (92 – 6 via 90 – 4 = 86 en 84 – 40 via 4 tientallen

wegdenken, 80 – 40 = 40 en 4 erbij is 44). De opzet van dit PPON onderzoek is, zoals

gezegd, afgestemd op het onderzoek naar oplossingsmethoden. Zo zijn de

toetsopgaven voor een deel afgeleid uit de geheugenfeiten, relaties en operaties die

leerlingen nodig hebben bij het rijgend en/of splitsend oplossen van de 17 opgaven

van het kwalitatief onderzoek. Vanuit deze analyse54 is de nadruk is gelegd op:

– Opgaven waarbij gerekend wordt binnen een interval van 10

58 – 4; 36 – 5; 50 – 8; 32 + 8; 100 – 9

53 Zie de details in de tekst van J.M. Kraemer in hoofdstuk 4 balans [31], p. 43-45. 54 Zie de details van deze analyse in Balans [31], pagina 57 en 58.

Hoofdstuk 5

136

– Opgaven waarbij de leerlingen gebruik kunnen maken van de 10-structuur van

de getallen

63 + 10, 88 – 10 en 87 – 7

– Opgaven die vragen om een combinatie van de twee genoemde aspecten

80 + 15, 18 + 40 en 50 + 39

– Rekenen met tientallen

20 + 70 en 90 – 70; 100 – 50, 100 – 40 en 100 – 80

– Gebruik van de veelvouden van 25 en 50

25 + 25 en 25 + 50

– Bij optellen kunnen rekenen met tienen over de honderd

60 + 70 en 80 + 40

De nadruk in het getalgebied tot duizend is, vanuit dezelfde analyse, gelegd op:

– Aanvullen tot het volgende tiental (143 + 7) of honderdtal 100 (30 + 570),

waarbij de leerling handig gebruik kan maken van de splitsingen van 10 en 100

en de commutatieve eigenschap van optellen).

– Aftrekken binnen het eerste interval van 10 (800 - 10) en 100 (800 - 700). Ook

hier kan de leerling gebruikmaken van de splitsingen van respectievelijk 10 en

100.

– Aftrekken over een honderdtal (130 - 40).

– Aftrekken van tientallen van een samengesteld getal (690 - 30).

Bewerkingen Optellen-aftrekken

Bij het onderdeel bewerkingen ligt de nadruk op het vaardig en adequaat oplossen van

elementaire toepassingsproblemen en contextloze bewerkingen. In groep 5 staat bij

optellen en aftrekken het rekenen tot 100 centraal en de toepassing en aanpassing van

de geleerde vormen van hoofdrekenen voor de bewerking van driecijferige ronde

getallen. De gekozen contexten en getallen lokken de drie basisvormen van

hoofdrekenen uit: rijgen, splitsen en handig rekenen. Soms moet de leerling relevante

informatie zelf uit een afbeelding of een tabel halen. Alle bewerkingen en problemen

met getallen groter dan 100 kunnen rijgend of handig rekenend worden opgelost. De

leerling is natuurlijk vrij om de methode van kolomsgewijs rekenen toe passen, als die

is aangeboden.

De contextopgaven sluiten direct aan bij de rekenstructuren die leerlingen met de

contextopgaven uit hun rekenmethode kennen. Optellen heeft in deze contexten de

betekenis van toevoegen, samennemen of vergelijkend bepalen hoe groot of hoeveel iets is. In

de voorgelegde aftrekproblemen verwijst het verhaal naar wegnemen, aanvullen (gelijk

maken), scheiden of vergelijkend bepalen hoeveel of hoe groot iets is of een verschil

uitrekenen.

De optelopgaven en kale optellingen omvatten twee of meer getallen. De uitkomst

ligt onder of net boven 100, zoals bij 34 + 50, 32 + 17, 45 + 8, 37 + 63, 28 + 27, 98 +


137

3. Bij de voorgelegde aftrekopgaven en kale aftrekkingen komen alle mogelijke typen

voor, met en zonder overschrijding van het tiental, zoals 82 – 7, 85 – 50, 67 – 5, 74 –

30.

Om de vaardigheid van de meest gevorderde leerlingen adequaat vast te kunnen

stellen, zijn in het domein van de bewerkingen tot 1000 naast contextloze opgaven

ook reële problemen die in dagelijkse rekensituaties voorkomen, opgenomen.

Optellen en aftrekken hebben in deze contextproblemen dezelfde betekenis en

structuur als de opgaven in het getalgebied tot 100. Ze lokken in principe vertrouwde

vormen van rijgen en splitsen uit. Om meer gedetailleerd de vaardigheden van

leerlingen te kunnen beschrijven, worden de resultaten in Balans 31 (ibid.; zie

voetnoot 2) per getalgebied gerapporteerd. Alle opgaven in het getalbereik van 100 tot

1000 vormen echter samen de schaal Bewerkingen Optellen-aftrekken (ibid.)55.

5.2.3 Opzet van de 4e PPON56

Zoals gezegd in de inleiding, is het 4e peilingsonderzoek voor rekenen uitgevoerd in

januari/februari 2003, tegelijk en in samenhang met het onderzoek voor een nieuw te

ontwikkelen leerlingvolgsysteem (LOVS) in de jaargroepen 3, 4 en 5. Waarom PPON

met het LVS-onderzoek is geïntegreerd, zal worden toegelicht bij de verantwoording

van de data-analyse. Beide onderzoeken zijn echter apart uitgevoerd in twee

verschillende steekproeven van scholen. Als productgroepmanager draagt Frank van

der Schoot de eindverantwoordelijkheid voor deze peiling. Hij is tevens auteur van de

in voetnoot 5857 aangegeven hoofdstukken van Balans [31]. Het kwalitatief onderzoek

is opgezet door Jean-Marie Kraemer, in overleg met Norman Verhelst. Hij draagt

tevens de inhoudelijke verantwoordelijkheid voor de peiling en de itemconstructie en

is de auteur van de overige hoofdstukken van Balans [31]58.

In het PPON onderzoek wordt onder andere informatie verzameld over het

onderwijsaanbod en de achtergrondkenmerken van de leerlingen. In het onderhavige

onderzoek staan echter de schriftelijke toetsen centraal. De opgaven van de

verschillende onderwerpen zijn overigens in clusters van vijf over een groot aantal

toetstboekjes verdeeld. Dit betekent dat niet alle leerlingen dezelfde opgaven van

dezelfde onderwerpen maken.

55 Zie de details in de tekst van J.M. Kraemer in hoofdstuk 4 balans [31], p. 75-76. 56 Deze beschrijving is ontleend aan het door Van der Schoot geredigeerde hoofdstuk 2 (17-32) van

Balans [31] 57 Inleiding (9-10); (2) Het peilingsonderzoek (17-27); (6) Verschillen tussen leerlingen (151-158). 58 (1) Domeinbeschrijving (13-15); (4) Getallen en bewerkingen (41-109) en (5) Meten en verhoudingen

(121-143).

Hoofdstuk 5

138

Toetsen

De totale opgavenverzameling van het PPON-onderdeel waar het ons in dit

onderzoek om gaat, bestond uit 216 unieke PPON-opgaven, aangevuld met 143

opgaven uit het LVS-onderzoek voor einde jaargroep 4, medio jaargroep 5 en einde

jaargroep 5. Vrijwel alle opgaven waren open-antwoord vragen, waarbij de leerlingen

dus zelf het antwoord moest opschrijven. Leerlingen waren ook vrij om de opgave in

het boekje met pen en papier uit te rekenen of eventuele tussenoplossingen te

noteren. Figuur 5.1 geeft de verdeling van de opgaven weer die gebruikt zijn voor de

toetsing van de drie onderwerpen die betrokken zijn bij de vraagstelling van dit

dissertatieonderzoek. Het betreft 1. Getallen en getalrelaties, 2. Basisoperaties optellen en

aftrekken (hoofdrekendictee) 3. Bewerkingen: optellen en aftrekken (met aantekeningen op

papier).

Leerlingenlijst

Bij PPON en LVS worden gegevens over de achtergrondkenmerken van de leerlingen met

een leerlingenlijst verzameld. We gebruiken deze gegevens voor de analyses van

verschillen tussen leerlingen. Het betreft dan gegevens over geslacht, leeftijd en

formatiegewicht van de leerling.

Onderwerp PPON-

opgaven

LVS

opgaven

Hoofdrekendictee

Basisoperaties optellen en aftrekken 48 24

Schriftelijke toetsopgaven

Getallen en getalrelaties 36 24

Bewerkingen: optellen en aftrekken 36 24

Figuur 5.1 - Verdeling van de opgaven over de drie onderwerpen

Steekproef van scholen en leerlingen

Peilingsonderzoek vindt altijd plaats door middel van een steekproef van basisscholen.

Uitgaande van een gemiddelde jaargroepgrootte van 25 leerlingen per school was de

gewenste steekproefomvang vastgesteld op 80 basisscholen, ongeveer 2000 leerlingen.

Voor de steekproeftrekking zijn de scholen verdeeld in drie groepen of strata, op basis

van hun schoolscores. De schoolscore is gebaseerd op de formatiegewichten van de

leerlingen. De stratumindeling weerspiegelt, globaal genomen, een indeling van de

schoolpopulatie op basis van de sociaal-economische achtergrond van de

schoolbevolking. Naar rato van de omvang van ieder stratum binnen de populatie

basisscholen is een basissteekproef van 81 scholen getrokken. Voor elke school van de

basissteekproef zijn ook reservescholen getrokken met dezelfde of meest naastgelegen


139

schoolscore59. In totaal zijn er 215 scholen benaderd, waarvan er 77 (dat is 35,8%) aan

het peilingsonderzoek hebben meegedaan. De redenen waarom scholen niet meedoen

zijn verschillend, maar hebben vaak te maken met de werkdruk. De definitieve

steekproefomvang is 95% van de beoogde omvang van 80 scholen.

Stratum Aantal

leerlingen Formatiegewicht

1.00 1.25 1.90

1 1304 88% 10% 2%

2 534 73% 16% 11%

3 150 33% 11% 55%

Totaal 1998 80% 12% 8%

Figuur 5.2 - Verdeling van de formatiegewichten in de drie steekproefstrata

Er hebben in totaal 2032 leerlingen aan het peilingsonderzoek deelgenomen. De

beoogde steekproefomvang is daarmee gerealiseerd. De toetsen zijn door voldoende

leerlingen gemaakt om een betrouwbaar beeld te kunnen schetsen van de vaardigheid

in de populatie leerlingen. Binnen elk stratum is de verdeling van de steekproef van

scholen over de schoolscores representatief voor de verdeling in de populatie. Ook

wat de regionale spreiding betreft, zijn er binnen de steekproef geen significante

afwijkingen ten opzichte van de schoolpopulatie gevonden. De precieze verdeling is

weergegeven in figuur 5.2.

Uitvoering van het onderzoek

Het peilingsonderzoek vond plaats in de periode januari/februari 2003. Het

onderzoek is uitgevoerd door vooraf geïnstrueerde toetsassistenten. De

toetsassistenten bezochten meestal gedurende een ochtend een groep voor het

afnemen van de toetsen. Nadat ze zichzelf en het onderzoek kort hadden

geïntroduceerd, kreeg elke leerling een mapje met daarin: (a) één toets

Basisautomatismen, (b) twee toetsen Overige onderwerpen en (c) een blad voor het

hoofdrekendictee (zie paragraaf analyse). De toetsassistenten gaven vervolgens een

klassikale instructie aan de hand van een drietal voorbeeldopgaven. De leerlingen

werden erop gewezen dat zij de ruimte naast de opgaven in het boekje als

uitrekenpapier mochten gebruiken. De schriftelijke toetsen en het rekendictee werden

in de ochtend afgenomen. Het individueel onderzoek met de drie geselecteerde

leerlingen (Laag, Midden, Hoog) vond in de middag plaats. De toetsassistenten

hebben een vaste procedure gevolgd, op basis van de hiertoe opgestelde Aanwijzingen

voor de toetsleiders (Van der Schoot, 2002). Deze procedure voorkwam dat een leerling

hardop een opgave moest oplossen die hij in de ochtend al bij de schriftelijke toets

had gemaakt.

59 Zie de details op pagina 21 van balans [31].

Hoofdstuk 5

140

5.2.4. Analyse van de resultaten van het PPON- en LVS-onderzoek

Het onderzoeksdesign voor het vierde peilingsonderzoek verschilt sterk van de

eerdere PPON onderzoeken60. De peiling is ten eerste geïntegreerd met de

normeringsonderzoeken voor de ontwikkeling van een nieuw leerlingvolgsysteem. Er

is ten tweede gekozen voor een onderzoeksdesign waarbij alle kinderen in principe

opgaven maakten over alle onderwerpen. De PPON-toetsboekjes verschillen dan, qua

structuur, niet van de LVS-toetsboekjes. We lichten de twee hoofdaspecten van de

analyse, het afnamedesign en de kalibratie van de opgaven, hieronder nader toe.

Afnamedesign

De 4e PPON rekenpeiling is, qua design, uitgevoerd in een zwaluwstaartconstructie

met de onderzoeken die plaatsvonden voor de ontwikkeling van een nieuw

leerlingvolgsysteem. In januari/februari en mei/juni 2003 en 2004 zijn voor dit

leerlingvolgsysteem onderzoeken gehouden in de onderbouw van het basisonderwijs.

De zwaluwstaartconstructie houdt in dat opgaven voor het PPON-onderzoek ook

vertegenwoordigd waren in het LVS-onderzoek en omgekeerd. Door deze integratie

werd het mogelijk om de resultaten van beide onderzoeken op een veel bredere

opgavenverzameling te analyseren.

De tweede verandering ten opzichte van de drie eerste peilingen betreft de

samenstelling van de individuele toetsboekjes. Elke leerling heeft in 2003 in principe

minstens vijf opgaven uit elk onderwerp van de peiling gemaakt. Deze blokken van vijf

opgaven waren systematisch verdeeld over het totaal aantal toetsboekjes, zoals

aangegeven in bijlage 2 Design afname PPON-M561.

Kalibratie van de opgaven

Het ordenen van opgaven in een vaardigheidsschaal op basis van hun

moeilijkheidsgraad en gewicht is vaak een omvangrijk werk. Het is hier niet de plaats

om daar uitvoerig op in te gaan. In het intern projectmemo ‘Kwaliteitscontrole van

PPON-schalen’ heeft Verhelst een aantal procedures bijeengezet die een rol kunnen

spelen bij de kalibratie van de opgaven voor een vaardigheidsschaal. Zeker wanneer er

onvoldoende passing wordt verkregen tussen opgaven en schaal, vinden er controles

plaats op multidimensionaliteit van de opgavenverzameling en van homogeniteit van

de leerlingpopulatie met betrekking tot de opgaven. Uiteindelijk wordt een

opgavenverzameling verkregen waarvoor in principe geldt dat a) individuele opgaven

binnen het model passen, b) opgaven in verschillende groepen op dezelfde wijze

functioneren, dus onafhankelijk van de groep (vrijwel) dezelfde itemparameters

hebben, c) er zoveel mogelijk een homogene verdeling is van de p-waarden op de Si-

60 Zie hoofdstuk 2 van Balans [31] 61 Zie de details op pagina 22 van balans [31].


141

toetsen over het interval (0,1) met zo weinig mogelijk significante waarden en waarbij

d) de R1c-toets niet significant is.

Op basis van het geheel aan gegevensbestanden zijn psychometrische analyses met

behulp van OPLM uitgevoerd (Verhelst, Glas & Verstralen, 1993). Deze analyses

hebben geresulteerd in tien vaardigheidsschalen, een voor elk onderwerp in de peiling62.

5.3 Methode, opzet en instrumentatie van het onderzoek naar

oplossingsmethoden

De schriftelijke toetsen van de 4e rekenpeiling stellen ons in staat om vast te stellen

wat leerlingen met een lage, gemiddelde en hoge rekenvaardigheid weten en kunnen in

de relevante deelgebieden van onderhavig dissertatieonderzoek: 1. Getallen en

getalrelaties, 2. Basisoperaties optellen-aftrekken en 3. Bewerkingen optellen-aftrekken. Het

daaraan gekoppelde kwalitatieve onderzoek naar oplossingsprocedures moet zichtbaar

maken hoe de drie vaardigheidsgroepen opgaven die min of meer bij hun voortgang in

kennis en bekwaamheid passen oplossen en wat in hun manier van denken en rekenen

foutieve antwoorden genereert.

We beschrijven hierna de gebruikte methode, de algemene opzet van het

onderzoek en de instrumentatie.

5.3.1 Directe observatie van oplossingsmethoden

Carpenter en Moser (1983), die een belangrijk aandeel hebben in het onderzoek naar

oplossingswijzen, stellen dat het lastig is om oplossingsmethoden van leerlingen te

identificeren omdat de denkhandelingen van de leerlingen niet direct observeerbaar

zijn. Bovendien reageren leerlingen vaak zo spontaan (vanuit hun gezond verstand) op

het voorgelegde probleem, dat ze zich vaak niet bewust zijn van hoe ze hebben

gedacht en gerekend. Carpenter en Moser schetsten als volgt de voor- en nadelen van

de drie meest gebruikte onderzoeksmethoden te weten: 1. individuele interviews, 2.

‘response latencies’ en 3. de analyse van foutenpatronen.

Het houden van individuele gesprekken met leerlingen is de meest directe weg om waar te

nemen wat leerlingen tijdens het oplossen van een opgave doen en zeggen (Carpenter

& Moser, 1982; Steffe, Thompson & Richards, 1982; van de Berg, van Eerde & Lit,

1994). Opgaven worden achter elkaar voorgelegd. Observatoren registreren wat zij

zien en horen, stellen vragen hierover, zowel tijdens het oplossingsproces

(introspectie) als achteraf. Zij kunnen ook overwegen een variant van de opgave voor

te leggen om de juistheid van hun interpretatie van de waarneming te controleren (of

62 Raadpleeg Balans [31], pagina 22-24 voor nadere psychometrische informatie over de analyse van de drie dataverzamelingen: de PPON,- en LOVS-afname 2003-2004 en de PPON najaarafname 2003.

Hoofdstuk 5

142

de grenzen van de getoonde rekenkennis en -bekwaamheid af te tasten). De denken

rekenhandelingen worden, hoe dan ook, afgeleid uit (1) wat de observator, door eigen

observatie heeft gezien/gehoord, (2) wat de leerling, via zelfwaarneming, daaraan heeft

toegevoegd en (3) wat observator en leerling, achteraf, hebben kunnen reconstrueren

(retrospectie).

Er kleven twee problemen aan de beschrijving van oplossingsmethoden op basis

van de registratie van waarnemingen via observatie, introspectie en retrospectie. Een

eerste serieus probleem is dat leerlingen bij hun uitleg van wat zij hebben gedaan, hun

gedachten en rekenhandelingen niet accuraat (genoeg) weergeven. Ten eerste omdat

zij het oplossingsproces niet goed uiteen kunnen leggen. Ten tweede omdat hun

rekentaal tekort schiet. Ten derde, omdat zij ondertussen zich een ander beeld van het

probleem hebben gevormd en, al pratend met de observator, anders dan aanvankelijk

denken en rekenen. Een tweede probleem is dat observatoren zich een subjectief

beeld van de leerling kunnen vormen waardoor zij die handelingen ‘herkennen’ die bij

dit beeld passen.

De techniek van ‘response latencies’ is in de jaren zeventig intensief gebruikt63 bij het

onderzoek naar de automatisering onder de tien om meer ‘objectief’ te kunnen meten

(Groen & Parkman, 1972; Groen & Poll, 1973; Wood, Resnick & Groen, 1975). De

onderzoekers nemen aan dat de benodigde oplossingstijd een functie is van het aantal

te maken rekenstappen. Ze structureren dan de verwachte oplossingsmethoden in

ketens van uit te voeren rekenstappen. De vermoedelijk gevolgde oplossingsmethode

wordt dan vastgesteld op basis van de ingeschatte benodigde rekentijd.

Volgens Carpenter en Moser kleven minstens drie problemen aan het gebruik van

deze techniek. Het is ten eerste vooral geschikt voor de observatie van telachtige

oplossingsmethoden en minder voor complexere modelleringen als uitbeelden met

opgestoken vingers en herleiden op basis van geheugenfeiten. De oplossingstijd

varieert ten tweede niet alleen in functie van het aantal te maken rekenstappen. De

getallen van de opgaven determineren mede de moeilijkheidsgraad van de

bewerkingen door het beroep dat ze doen op specifieke feitenkennis geautomatiseerde

rekenhandeling en inzicht in de relatie tussen de rekensom van de opgave en andere

rekensommen die erop lijken. Leerlingen volgen ten slotte niet een vast

oplossingspatroon, maar reageren afhankelijk van de context en de getallen.

Onderzoekers lopen dan het risico dat ze aannemen dat de leerling consistent volgens

een bepaalde strategie en methode werkt terwijl het, in werkelijkheid, slechts gaat om

het oplossingspatroon van een klasse opgaven (problemen) met specifieke kenmerken,

bijvoorbeeld aanvullen om een klein verschil als 22 - 18 uit te rekenen.

De analyse van foutenpatronen is de derde methode die gebruikt wordt om

oplossingsprocessen te analyseren. Refererend naar Brown & Van Lehn (1982) stellen

Carpenter en Moser vast dat het achterhalen van oorzaken bij relatief simpele

63 Zie de overzichtstudie van Groenewegen en Gravemeijer (1988).


143

problemen onder de tien complexer is dan bij de analyse van algoritmische

oplossingen met meercijferige getallen. Door de oplossingen van klassen problemen

met elkaar te vergelijken, kunnen zowel oplossingspatronen als de typen fouten die de

leerlingen daarbij maken, worden opgespoord. Dit biedt dan de mogelijkheid om, aan

de hand van geobserveerde fouten, hypotheses te formuleren over de strategie en

methode die de leerling vermoedelijk heeft gebruikt.

Carpenter en Moser concluderen dat alle drie de methoden hun beperkingen

hebben. Ondanks haar zwakte, geeft de observatie de meest directe informatie over

het oplossingsproces, terwijl response latencies en foutenanalyse overtuigende

patronen aan het licht kunnen brengen. Ze pleiten daarom voor een combinatie van

interview met de analyse van foutenpatronen of response latencies.

5.3.2 Voortgangsgegevens ter bevordering van objectiviteit

Van den Berg e.a. (1994) hebben voor hun diagnostiek van het rekenen tot honderd

met succes de methode van de directe observatie toegepast. Dit verklaart, samen met

de beschikbare middelen binnen het PPON-project, de keuze voor onze kwalitatieve

studie. In navolging van Van Eerde (1996), die wijst op de wenselijkheid van

triangulatie van psychometrische gegevens over toetsprestaties en observatiegegevens,

gebruiken we informatie over wat de leerlingen kunnen die via de schriftelijke PPON-

toetsen wordt verkregen als hulpmiddel om te begrijpen welke oplossingmethoden uit

de observatiegegevens kunnen worden afgeleid. Omgekeerd zetten we kennis over

oplossingsmethoden in om relevante opgaven met betrekking tot optellen en

aftrekken voor de PPON toetsen te construeren (zie de toets Basisoperaties hierboven).

Dit gebeurt mede op basis van eerder verrichte vooronderzoeken in het kader van

PPON en het LOVS, waarin geobserveerde oplossingsmethoden van leerlingen van

jaargroep 4 en 5 zijn geanalyseerd.

Deze verantwoording leidt de instrumentatie van het onderzoek in.

5.3.3 Instrumentatie

We beginnen met een beschrijving van de onderzoeksgroep, daarna gaan we in op het

afname design

Onderzoeksgroep

De onderzoeksgroep voor het oplossingsmethodenonderzoek bestaat uit twee

subgroepen. De eerste groep heeft deelgenomen aan de 4e PPON rekenpeiling van

januari-februari 2003, de tweede aan het LOVS-onderzoek van januari-februari 2004.

In beide steeproeven van scholen zijn vijftig groepen van drie leerlingen aangewezen

voor het individueel onderzoek. In overleg met de toetsassistent koos de betreffende

leraar drie leerlingen: één leerling met een relatief hoge rekenvaardigheid, één leerling

Hoofdstuk 5

144

met een gemiddelde rekenvaardigheid en een met een lage vaardigheid – op basis van de

in figuur 5.3 beschreven criteria. De aanwijzingen in de afzonderlijke handleiding voor

de individuele afname informeerde verder over de te volgen procedure. De opgaven

voor het individueel onderzoek maken deel uit van de verzamelingen schriftelijke

opgaven. Bij de samenstelling van de sets is hier rekening mee gehouden, om te

voorkomen dat een leerling bij het individuele onderzoek een opgave zou gaan maken

die hij al eerder schriftelijk had opgelost.

Voor een leerling met selecteert u

een laag niveau Een leerling op de grens van de niveaus E/D op de LVS-toets of een van de zwakkere rekenaars in de groep, niet noodzakelijk de zwakste.

een gemiddeld niveau Een leerling op de grens van niveaus B/C op de LVS-toets of met een gemiddeld rekenvaardigheidsniveau.

een hoog niveau Een leerling met niveau A op de LVS-toets of een van de goede/betere rekenaars in de groep, maar niet noodzakelijk de beste.

Figuur 5.3 - Criteria voor de selectie van deelnemende leerlingen medio jaargroep 5

Op deze manier is een groep van 300 leerlingen gevormd (zie figuur 5.4). De

leerlingen uit de PPON-groep hebben 7 opgaven uit de schriftelijke toets Bewerkingen

Optellen-aftrekken mondeling opgelost, de LOVS-groep 9 opgaven uit de LOVS-toets.

Vaardigheidsgroep Onderzoeksgroep

PPON-steekproef LOVS-steekproef

Laag 50 leerlingen 50 leerlingen

Midden 50 leerlingen 50 leerlingen

Hoog 50 leerlingen 50 leerlingen

Totaal 150 150

Figuur 5.4 – Samenstelling van de onderzoeksgroep

Afnamedesign

Hoe de verdeling van de opgaven over de leerlingen is gemaakt, is schematisch

weergegeven in figuur 5.5. Ook toont deze figuur de wijze waarop de ontworpen

reeksen opgaven zijn voorgelegd.

De opgaven voor de PPON-groepen zijn zo gekozen dat de opgaven 6 en 7 de

ankers vormden tussen de itemsets voor de groepen Laag en Midden, en de opgaven 11

en 12 tussen de sets voor Midden en Hoog. Opgave 7 en opgave 15 zijn kale

optellingen die buiten dit dissertatieonderzoek zijn gehouden. De analyse van deze

bewerkingen zijn in Balans 40 gerapporteerd (Kraemer, 2010).

De moeilijkheidsgraad van de gebruikte opgaven is achteraf vastgesteld, via de

klassieke en de psychometrische statistische analyse van de antwoorden die in de


145

schriftelijke toetsen zijn geobserveerd. Op enkele uitzonderingen na, correspondeert

de vastgestelde moeilijkheidsgraad vrij goed met de gemaakte schatting.

Uitzonderingen zijn opgave 11, die uiteindelijk een van de gemakkelijkste opgave bleek

te zijn, en opgave 1, die toch moeilijker bleek dan aanvankelijk geschat.

Design PPON-afname M5 - Januari/Februari 2003

Laag

Midden

Hoog

Opgave P-waarde

1 67

2 85

3 73

4 79

5 85

6 69

7 85

8 64

9 56

10 67

11 89

12 54

13 43

14 30

15 57

16 35

17 24

Laag

Midden

Hoog

Design LOVS-afname M5 - Januari/Februari 2004 (optelopgaven in cursief).

Figuur 5.5 – Afnamedesign vaan het individuele PPON- en LOVS-onderzoek

Naar aanleiding van de verkennende analyses van de rekenoplossingen van de

PPON-afname in 2003 is het design voor de LOVS-afname in 2004 enigszins

aangepast om meer verschillen tussen de rekenhandelingen van de drie

vaardigheidsgroepen te kunnen opsporen. Bij deze tweede afname (onderste design

van figuur 5.5) maakte elke leerling twee extra opgaven om de overlap tussen de drie

sets groter te maken. Twee opeenvolgende groepen konden hierdoor vijf in plaats van

twee gemeenschappelijke opgaven maken en álle leerlingen konden opgave 6, 9 en 11

op hun eigen vaardigheidsniveau oplossen.

De klassieke statistische vergelijking van de moeilijkheidsgraad van de drie

oorspronkelijke sets met die van de aangepaste sets laat zien dat de gemiddelde

moeilijkheid van de sets in beide onderzoeken oploopt. In de PPON-groepen neemt

het toe van p = 0,78 (set 1; Laag) naar p = 0,69 (set 2; Midden) en p = 0,47 (set 3;

Hoog). In de LOVS-groep loopt de p-waarde op van 0,76 naar 0,66 en 0,51. Het

streven om drie inhoudelijk aansluitende opgavenverzamelingen te maken in

opklimmende moeilijkheidsgraad is dus geslaagd.

Met de chi-kwadraat toets is de geobserveerde frequentieverdeling van goede

antwoorden van de groep Laag afgezet tegen die van groep Midden en de groep Hoog

zowel in de PPON-onderzoeksgroep als in de LOVS-groep. Hiermee kan worden

vastgesteld in hoeverre de gemaakte set binnen het vaardigheidsbereik van de drie

groepen ligt. Voor de PPON-groep zou er geen significant verschil moeten zijn tussen

het geobserveerde en het verwachte aantal goede antwoorden, omdat de opgaven ‘op

maat’ waren toegewezen. In de LOVS-groep werden juist wel verschillen verwacht: de

twee extra-opgaven 9 en 11 van de groep Laag deden immers een beroep op een

hoger vaardigheidsniveau. Voor leerlingen uit de groep Hoog gold het omgekeerde.

Extra-opgave 6 was gemakkelijker dan die van de eigen set (P69) en extra-opgave 9

Hoofdstuk 5

146

behoort tot de gemakkelijkste opgaven van de uitgebreide set (P56). De resultaten van

de twee toetsen zijn in beide gevallen in overeenstemming met de geformuleerde

hypothese:

– Het verschil tussen de gevonden en de verwachte aantallen goede antwoorden

zijn in de PPON-onderzoeksgroep door toeval veroorzaakt (chi-

kwadraat=1,902; N=132; df6; n.s.).

– Er is echter wel een significant verschil in de LOVS-groep (chi-

kwadraat=17,358; N=133; df6; p<.01).

Dit bevestigt dat de gevormde sets aan de verwachtingen voldoen. Bij de PPON-

afname zijn de kansen op succes in alle drie de vaardigheidsgroepen ‘gelijk’ door een

juiste afstemming van de moeilijkheidsgraad van de voorgelegde reeks op het

vaardigheidsniveau van de leerlingen. De opgaven van de LOVS-groep maken het

verschil juist beter zichtbaar binnen de groep Laag, omdat de twee extra-opgaven een

beroep doen op kennis en vaardigheden die tot een hoger ontwikkelingsniveau

behoren.

5.3.4 Opgavenkenmerken

De 15 aftrekopgaven, die in de drie gemaakte sets zijn opgenomen, staan in bijlage 3.

Ze zijn geselecteerd op basis van drie eigenschappen die volgens de in hoofdstuk 3 en

4 besproken onderzoeksliteratuur er toe doen, namelijk: 1. de moeilijkheidsgraad, 2. de

verschijningsvorm van aftrekken (semantische structuur) en 3. kenmerken van de

getallen. We zagen in hoofdstuk 4 dat de moeilijkheidsgraad toeneemt naarmate de

bewerkingsmethode die de leerling met de aftrekstrategie combineert een beroep doet

op feitenkennis, concepties van getallen en aftrekken of specifieke vaardigheden die

tot een hoger ontwikkelingsniveau behoren. Leerlingen herkennen aan de context en

het taalgebruik van een aftrekprobleem een rekenstructuur die ze eerder in

vergelijkbare contexten zijn tegengekomen. De getallen roepen op hun beurt

associaties op met geheugenfeiten en/of numerieke relaties die sterk lijken op de

rekensom die de leerling uit de opgave abstraheert. De 15 geselecteerde aftrekopgaven

worden hieronder, vanuit deze drie inhoudelijke oogpunten geordend.

Moeilijkheidsgraad. Hierboven is al gezegd dat de moeilijkheidsgraad van de voorgelegde

opgaven pas na de individuele afnamen is vastgesteld, via kalibratie van de opgaven

voor de constructie van de schaal Bewerkingen: optellen en aftrekken. De grafiek van figuur

5.6 toont deze opgaven in oplopende volgorde van moeilijkheidsgraad. De lijnen P33

en P66 vormen de grens tussen respectievelijk de groep Laag en Midden en de groep

Midden en Hoog. De twee aanvulproblemen van opgave 5 (25 + .. = 36 # 36 – 25 = ..)

en opgave 11 (90 + .. = 102 # 102 – 90 = ..) zijn de gemakkelijkste opgaven van de

totale verzameling (Groep Laag en LOVS-overall). Het zuivere aftrekprobleem van

opgave 16 (900 - 595 # 595 + … = 900) en het combinatieprobleem van opgave 14


147

(370 + … = 620 # 620 - 370) zijn de twee moeilijkste opgaven met driecijferige

getallen. Vlekopgave 17, die een beroep doet op inzicht in de positionele opbouw van

de getallen (998 + .. = 1662), sluit het rijtje af.

Figuur 5.6 Moeilijkheidsgraad en beheersingsniveau van de 15 voorgelegde aftrekopgaven

Verschijningsvormen van aftrekken. Uitgaande van de in hoofdstuk 3 en 4 samengevatte

onderzoeksliteratuur zijn de aftrekopgaven geselecteerd op basis van de volgende vier

verschijningsvormen van ‘aftrekken’:

– afhalen

– aanvullen (volmaken)

– verschil bepalen

– deel uitrekenen (scheiden)

Er zijn drie formele aftrekkingen geselecteerd. Omdat onderbouw-leerlingen het

minteken sterk associëren met ‘afhalen’, vormen deze opgaven, samen met opgave 16,

de klasse “afhalen”. Bij de overige opgaven wordt om twee redenen de nadruk gelegd

op problemen waarin aftrekken niet de betekenis heeft van aftrekken. Ten eerste

omdat het de typen contextopgaven zijn die een aanzienlijke groep leerlingen niet

foutloos kan oplossen. Ten tweede omdat deze klassen aftrekproblemen een grote

variatie in combinaties van strategie en rekenprocedures uitlokken. Figuur 5.7

presenteert de 15 opgaven geordend naar verschijningsvorm en moeilijkheidsgraad

binnen de onderscheiden klassen. In de drie laatste kolommen staan de operaties die

Hoofdstuk 5

148

de beschrijving van de probleemsituatie en de geformuleerde vraag (en de afbeelding)

suggereren. Merk het verschil op bij de categorie ‘verschil bepalen’ tussen opgaven 2

en 6 die indirect aftrekken uitlokken (Hoeveel jaar/euro minder?) en opgave 13, waarvan

de vraag neutraal is geformuleerd (Hoe groot is het verschil in hoogte?). Bij de categorie

‘scheiden’ worden de drie alternatieve operaties weergegeven, omdat de tekst of de

illustratie deze rekensommen kunnen uitlokken.

Aftrek-structuur

Opgaven P-

waarde Vgr Aftrekking

Indirecte optelling

Indirecte aftrekking

Aftrekken

04 kaal 79 L 60 - 35

10 kaal 67 M 100 - 86

12 kaal 54 M+H 62 - 48

16 35 H 900 - 595

Aanvullen

05 85 L 25 + .. = 36

11 89 L+M+H 92 + .. = 102

01 67 L+M 12 + .. = 25

08 64 M 32 + .. = 50

17 24 H 998 + … = 1662

Verschil bepalen

02 85 L 22 - .. = 18

06 69 L+M+H 40 - .. = 24

13 43 M+H 250 – 188 = … 188 + … = 250 250 - … = 188

Scheiden

03 73 L 50 – 25 = … 25 + … = 50 50 - …= 25

09 56 L+M+H 100 – 48 = .. 48 + .. = 100 100 - .. = 48

14 30 H 620 – 370 = … 370 + … = 620 620 - … = 370

Figuur 5.7 – Ordening van de individuele opgaven naar (semantische) aftrekstructuur

Kenmerken van de getallen. Uit de geraadpleegde onderzoeksliteratuur blijkt dat de

getallen zowel de strategie als de bewerking beïnvloeden. Ze lokken aftrekken dan wel

overbruggen uit en determineren de aard van bewerkingen als de leerling rijgt, splitst

of beredeneert. Deze potentiële invloed van de getallen wordt in deze paragraaf in

kaart gebracht.

Getalkenmerk Opgaven Niveau van formalisering

Aftrekker en verschil ≤ 19

2, 1 Met hooguit één 10-sprong, onafhankelijk van de strategie

Aftrekker > 19 en verschil ≤ 19

11, 5, 10, 6, 8, en 12 Met hooguit één 10-sprong bij indirect optellen/aftrekken springend of met afgesplitste getallen bij aftrekken

Aftrekker en verschil > 19

4, 3 en 9; 13, 14, 16 en 17

Springend of met afgesplitste getallen, onafhankelijk van de strategie

Figuur 5.8 - Relatie tussen getalkenmerken, strategie en niveau van formalisering van de rijgbewerkingen


149

Orde van grootte van het verschil: aanvullen of aftrekken

Van de leerlingen wordt verwacht dat ze rekening houden met de orde van grootte

van het verschil tussen de twee getallen van een aftrekopgave om te bepalen of

aanvullen dan wel aftrekken het meest voor de hand ligt. Op opgaven 1, 3 en 9 na,

lenen alle opgaven zich meer voor indirect optellen dan voor aftrekken.

Aftrekken versus overbruggen en springend versus structurerend rijgen

Figuur 5.8 laat zien hoe de grootte van de aftrekker en van het verschil tussen

aftrektal en aftrekker de mate van complexiteit van de rijghandelingen

determineren. Als de aftrekker kleiner dan 19 is en het verschil tussen aftrektal en

aftrekker kleiner dan 19, hoeft de leerling, onafhankelijk van de strategie, maximaal

één sprong van tien te maken. In alle andere gevallen zijn handelingen complexer

en vooral bij aftrekken, waar meer getalcombinaties een beroep doen op het

gebruik van een lang getalpatroon dan wel een complexe vorm van structurerend

aftrekken.

Tekort/Tientaloverschrijding

De getallen determineren op een vergelijkbare manier de moeilijkheidsgraad van de

splitsbewerkingen.

Getalkenmerk

Eenheden van het aftrektal > dan die van de aftrekker Voorbeeld: 25-12 en 36-25

2 opgaven

Rond getal als aftrektal Voorbeeld: 60-35; 100-86

6 opgaven

Eenheden/tientallen van de aftrekker > dan die van het aftrektal. Voorbeeld: 62-48, 620-370 en 250-188

7 opgaven

Figuur 5.9 - Relatie tussen getalkenmerken en de complexiteit van de splitsbewerkingen

Bruikbare getalrelaties

We zagen ten slotte in hoofdstuk 4 dat de meest gevorderde leerlingen hoe langer

hoe meer afstand nemen van de contexten en zich meer op de getallen richten. In

de set opgaven van de groep Laag zijn daarom vijf opgaven opgenomen die de

associatie met bekende ‘dubbelrelaties’ kunnen oproepen. Leerlingen uit de groep

Laag kunnen in twee gevallen afronden en compenseren en in twee gevallen het principe

van het gelijk blijvend verschil toepassen.

De opgaven van de leerlingen met een hogere vaardigheid lenen zich minder voor

het gebruik van een inverse, maar bieden vaker de mogelijkheid de uitkomsten via

afronden en compenseren en het principe van het gelijk blijvend verschil te herleiden.

Figuur 5.10 toont de geheugenfeiten die leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep

zouden kunnen gebruiken.

Hoofdstuk 5

150

Opgaven p-

waarde Aftrekking

(Bijna) omge-keerde dubbel

Afronden & compenseren

11 89 102-90 90+10=100

04 kaal 79 60-35 30+30=60

03 73 50-25 25+25=50

06 69 40-24 20+20=40

01 67 25-12 12+12=24

09 56 100-48 50+50=100 50+50=100

Figuur 5.10 – Bruikbare relaties bij beredeneren in de set opgaven van de groep Laag

5.3.5 Afnameprocedure

De individuele gesprekken zijn gehouden in de middag tussen ± 13.30 en 14.30, na de

schriftelijke toetsafname in de ochtend. De volgende procedure is toegepast.

– De leerling krijgt een toetsboekje dat begint met een voorbeeldopgave.

– De toetsassistent legt aan de hand van dit voorbeeld de procedure uit.

– De leerling maakt aantekeningen als daar behoefte aan is en noteert het

antwoord in het hokje.

Op elke opgavenblad staat vervolgens de tekst van de opgave met of zonder

afbeelding, precies zoals deze in de schriftelijke PPON- en LVS-afname wordt

aangeboden. De leerling beschikt over voldoende ruimte om de situatie naar behoefte

te tekenen en een rekenhandeling helemaal uit te schrijven.

De gesprekstechnische aanwijzingen zijn geïnspireerd door de handleiding van de

Kwantiwijzer voor leraren (Van de Berg e.a. 1994). De afnameprocedure is beschreven in

de handleiding voor de individuele afnamen. Daarin komen een aantal punten aan de

orde die hieronder worden beschreven.

Bij de start van het gesprek stelt de toetsassistent zich nog eens voor, stelt

vervolgens de leerling op zijn of haar gemak, behandelt dan een voorbeeldopgave en

sluit het gesprek af met een compliment. Onderstaande tekst geeft een idee van de

gegeven aanwijzingen in deze fase van het gesprek.

U zegt:

‘Lees eens deze voorbeeldopgave hardop voor.

Begrijp je alle woorden van het verhaal?

Zie je dit vakje? (wijs aan). Daar kun je in tekenen, schrijven of iets

uitrekenen als je dat handig vindt om de som te maken.

Ik probeer in mijn boekje op te schrijven hoe jij de som uitrekent. Ik stel je

alleen vragen als ik niet begrijp wat je zegt of wat je doet.

Vertel mij nu eens nu hoe je het antwoord op deze vraag vindt.

Als je klaar bent, schrijf het antwoord in dit hokje (wijs aan)


151

Dat heb je goed gedaan. Weet je nu hoe het gaat?

Dan maken we nu de echte vragen’.

Vervolgens start de toetsassistent de cassetterecorder en legt de opgaven achter elkaar

voor, volgens onderstaande vaste systematiek:

1. Hij/zij laat de leerling de opgave hardop voorlezen.

2. Controleert of de taal geen probleem vormt.

3. Laat de leerling de opgave hardop oplossen, eventueel met aantekeningen op

papier.

Vraag indien nodig om een toelichting en noteer de oplossingsstrategie in het

observatieboekje, maar voorkom de suggestie van een oplossingsstrategie die

de leerling zou kunnen overnemen.

4. Laat de leerling het antwoord in het hokje schrijven (of op de gegeven

antwoordlijn).

5. Sluit af met een aanmoediging en/of complimentje.

De handleiding specificeert wat toetsassistenten wel en niet mogen zeggen en doen

– als de taal van de opgave een probleem vormt,

– als de leerling het probleem niet begrijpt,

– bij reacties van de leerling die aanleiding geven om door te vragen, omdat hij

iets doet dat niet direct observeerbaar is, als iets uit het hoofd uitrekenen en

stiekem met zijn vingers tellen. Na de laatste opgave, stopt de assistent de

cassette en bedankt de leerling voor zijn inspanning:

– ‘Ik vind dat je goed je best hebt gedaan. Knap hoor! Dank je wel en tot ziens’.

De meeste toetsassistenten hebben vaker PPON- en/of LOVS afnamen

georganiseerd en uitgevoerd. Voor de 4e rekenpeiling en de LOVS-afname een jaar

later is bovendien een tweedelige workshop georganiseerd. In het eerste deel werden

de toetsassistenten ingeleid in de wereld van hoofdrekenen. In het tweede deel hebben

ze de meest voorkomende vormen van rijgen, splitsen en beredeneren leren

herkennen via de analyse in kleine groepen van hiertoe geselecteerde paradigmatische

oplossingsmethoden. Bij deze gelegenheid is benadrukt hoe belangrijk het was dat de

toetsassistent zich als nieuwsgierige onderzoeker opstelde en niet als docent die wil

weten wat de leerling wel en niet kan. Uit zijn of haar opmerkingen, commentaren,

vragen, etc. moest de leerling begrijpen dat zijn hoofdtaak was de toetsassistent

duidelijk te maken hoe hij dacht en rekende.

De toetsassistenten beschikken over een observatieformulier om de waargenomen

oplossingsmethoden te registreren. In de kern gaat het er om dat ze nauwkeurig

noteren wat de leerling zegt en doet. Om controle achteraf mogelijk te maken, zijn alle

gesprekken op geluidsbanden opgenomen. In de fase van de codering van de

geregistreerde oplossingsmethoden, zijn deze opnamen alleen in de volgende gevallen

afgeluisterd:

Hoofdstuk 5

152

– bij zeer summiere of onduidelijke aantekeningen van de toetsassistent;

– bij twijfels over de interpretatie van de toetsassistent, op basis van wat de

leerling in het boekje had getekend en/of opgeschreven;

– bij tekens/vermoedens dat de toetsassistent het oplossingsproces had

gestructureerd.

5.3.6 Digitale registratie, codering en interbetrouwbaarheid

Alle oplossingsmethoden zijn in een Access bestand, per vaardigheidsgroep

geregistreerd. Elke digitale oplossing is driedimensionaal gecodeerd, volgens de criteria

van het in hoofdstuk 4 geconstrueerde classificatiesysteem (figuur 5.11).

Dimensie Categorieën

Strategie 1 Optellen

2 Indirect optellen

3 Aftrekken

4 Indirect aftrekken

5 Niet vast te stellen

Methoden 10 Rijgen

20 Splitsen

30 Beredeneren

40 Weten

50 Anders

60 Rest

Vorm/Niveau Rijgen

3 Met telstappen

4 Met tientallen als knooppunten (met eerst een sprong naar het tienvoud)

5 Met samengestelde getallen als knooppunten (direct met de 10-sprong)

6 Met afsplitsingen van getallen anders dan in tientallen en eenheden

7 Idem in combinatie met de factor 10

8 Gestandaardiseerd

Splitsen

4 Reken met ‘tienen en lossen’ (in situaties zonder tientaloverschrijding)

5 Splitsen in combinatie met rijgen

6 Horizontaal met tekorten of een tien openen / Buggy algoritmen

7 Kolomsgewijs, met positiewaarden en van links naar rechts

8 Met positiecijfers (standaardalgoritme)

Beredeneren

6 Puzzelen met optelfeiten

7 Afsplitsen en compenseren

8 Transformeren

Figuur 5.11 Driedimensionale codering van aftrekoplossingen in het getalgebied tot duizend


153

De betrouwbaarheid van het classificatiesysteem is gemeten met Cohens

coëfficiënt voor de mate van overeenstemming tussen beoordelaars. Op basis van de

codering door twee beoordelaars van een steekproef van 103 oplossingen is een kappa

van 0,86 gevonden (0.75 is excellent) bij de codering van ‘strategie’ en ‘methode’ en

van 0,74 bij de driedimensionale codering. De volgende procedure is gevolgd.

– De onderzoeker heeft eerst aan twee beoordelaars aan de hand van de

aftrekking 64 - 48 de systematiek en de categorieën van het systeem

gepresenteerd.

– Het drietal heeft hierop aansluitend een steeproef van vijftien opgaven (vijf

per vaardigheidsgroep) interactief gecodeerd.

– Vervolgens zijn de coderingen vergeleken en de afwijkingen besproken. Dit

leidde tot een nadere toelichting van de onderscheidende criteria voor

‘methode’ en ‘niveau van formalisering’ (vooral m.b.t. de oplossingen met

driecijferige getallen).

– Ten slotte hebben de twee beoordelaars twee uur lang (met de nodige

onderbrekingen) drie steekproeven oplossingen uit het digitale bestand van de

drie vaardigheidsgroepen gecodeerd.

– Kappa is op basis van deze coderingen uitgerekend.

De beoordelingsessie is afgesloten met een korte groepsevaluatie. Het betrof drie

kwesties. De codering van de ‘strategie’ is eenduidig. Maar de codering van de

‘methode’ kan bij twee klassen bewerkingen onderstaande twijfels bij beoordelaars

oproepen.

– Leerlingen gebruiken uitdrukkingen die niet dekken wat ze mentaal doen:

“Ik ga terugtellen”, bij 36 - 25 via (36) 26, 16 16-5-11

“Ik tel verder”, bij 25 + .. = 36 via (25) 35 35 + 1 = 36, dus 11

In beide gevallen rijgt de leerling met ’samengestelde getallen’ en niet met

‘telstappen’.

– Aftrekkingen van het type 60 - 35 en 100 - 86 (aftrekken vanaf een tienvoud)

worden in twee opeenvolgende bewerkingen gestructureerd:

60 - 30 30 - 5

100 - 80 20 - 6

Beoordelaars kunnen dit associëren met de combinatie van splitsen (60 – 30 =

30, denkend aan 6 – 3 = 3; 100 – 80 = 20, denkend aan 10 – 8 = 2) en rijgen

(30 - 5; 20 - 6).

Het onderscheidend criterium is de wijze waarop de leerling de uitkomst van

de bewerking van de tienvouden verantwoordt. Wordt de analogie met

aftrekken onder de tien gebruikt, dan wordt het label ‘Splitsen in combinatie

met rijgen’ toegekend.

Hoofdstuk 5

154

De codering van het ‘niveau’ roept ten slotte alleen misverstanden/twijfels op bij

rijgen met driecijferige getallen. Leerlingen gebruiken aanvankelijk bijna systematisch

een honderdtal als eerste knooppunt. Dit roept begrijpelijk de associatie op met de

sprong naar het tienvoud (niveau 4):

370 + .. = 620 via 370 + 30 = 400 400 + 200 600 + 20

620 - 370 via 620 – 20 = 660 600 - 300 300 - 50

Het gebruik van afsplitsingen van getallen (anders dan in tientallen en eenheden) in

combinatie met de factor tien is het onderscheidende criterium. Het is rijgen op

niveau 7.

5.4 Hoofdvragen en –analyses van de drie deelstudies

Het onderzoek naar oplossingsprocedures is gestructureerd uitgaande van drie

hoofdaspecten van het rekenwerk: 1. de gebruikte methoden en vormen van rekenen

en de resultaten die de drie vaardigheidsgroepen ermee behalen, 2. de wijze waarop ze

omgaan met relevante opgavenkenmerken en 3. de bron van de foutieve antwoorden

die ze geven.

Gebruiksfrequentie en resultaten

Drie vragen staan bij deze analyse - per vaardigheidsgroep - centraal:

– Hoe vaak zijn de geleerde hoofdrekenmethoden gebruikt en met welke

resultaten?

– Hoe formeel rijgen, splitsen en beredeneren de leerlingen?

– Hoe varieert het succes per niveau van rijgen, splitsen en beredeneren?

– De analyses spreken voor zich.

De tweede analyse moet primair inzicht verschaffen in het pallet van bewerkingen

die leerlingen zoal gebruiken, de derde in hoe het, halverwege de basisschool met de

progressieve schematisering staat.

Omgang met de context en de getallen

We zagen in hoofdstuk 3 en 4 dat leerlingen verschillend op de context en de getallen

van eenzelfde opgave reageren, dat de combinatie van strategie en rekenvorm de

moeilijkheidsgraad van de betreffende bewerking determineert en dat zowel

leerlingkenmerken als het aanbod en de kwaliteit van de instructie de flexibiliteit van

de leerling beïnvloeden.

Het onvolledige design maakt een systematische analyse van deze flexibiliteit

onmogelijk. We beperken ons dan ook tot het identificeren van patronen in de reactie

van de drie vaardigheidsgroepen op de voorgelegde typen aftrekstructuren en/of


155

specifieke eigenschappen van de getallen (zie figuur 5.7 t/m 5.10). We gaan daarbij uit

van de in hoofdstuk 4 onderscheiden combinaties van ‘aftrekstrategie’ (aftrekken;

indirect optellen; indirect aftrekken) en hoofdrekenmethoden (rijgen; splitsen;

beredeneren/weten).

De leidende vragen zijn:

– Welke combinaties worden het meest gebruikt en met welke resultaten?

– In hoeverre zijn de geïdentificeerde klassen oplossingsprocedures verbonden

met specifieke (combinaties van) eigenschappen van de opgaven?

Foutenpatronen

In Balans [40] (Kraemer, 2010) zijn de specifieke problemen van de drie

vaardigheidsgroepen in kaart gebracht64. De foutenanalyse van het

dissertatieonderzoek heeft een andere functie. Het is gericht op de identificatie van de

aspecten van rijgen, splitsen en beredeneren die de leerlingen in moeilijkheden

brengen en in die zin foutenpatronen genereren.

We zagen in hoofdstuk 1 dat er in de realistische didactiek verschil wordt gemaakt

tussen het beschrijven van een probleem en het bewerken van de getallen (Treffers, 1987;

Gravemeijer, 1994; 2003a). In de context van de analyse van hoeveelheidsrelaties

stellen Thompson & Tompson (1994) dat beschrijven een beroep doet op ‘relational’

reasoning en bewerken op ‘calculational’ reasoning. We hebben nu vanuit deze invalshoek

alle oplossingsprocedures geanalyseerd, waarbij (a) de beschrijving van het probleem of (b)

de bewerking van de getallen een foutief antwoord genereert. Twee vragen structureren

deze foutenanalyse:

– Hoe vaak wordt een contextopgave onjuist beschreven? En: wat is het

dominante patroon in deze foutieve horizontale mathematisering?

– Wat zijn de dominante patronen in de rijg-, splitsen beredeneerbewerkingen

die een foutief antwoord genereren?

Voor deze analyse van de bewerkingen maken we onderscheid tussen drie

categorieën oorzaken: 1. begrip van de rekenprocedure (begripsvorming als oorzaak);

2. rekenfout (memoriseren c.q. automatisering als oorzaak) en 3. uitvoering (verlies

van de grip op het proces van bewerken).

Hiermee zijn we aan het einde gekomen van de verantwoording van de

theoretische, empirische en methodologische grondslagen van onderhavig

dissertatieonderzoek. We rapporten in het vervolg de analyseresultaten van de

voortgang zoals gemeten bij de 4e PPON rekenpeiling (hoofdstuk 6) en van de drie

onderscheiden aspecten van de oplossingsprocedures: de toegepaste methoden en

vormen van hoofdrekenen, de omgang met relevante opgavenkenmerken en de bron

van foutieve antwoorden (hoofdstukken 7 t/m 9).

64 Zie paragraaf 9.5 (rijgen), 10.5 (splitsen) en 11.5 (beredeneren) van deze balans.

157

Hoofdstuk 6

Vaardigheidsniveaus en bouwstenen halverwege de

basisschool

6.1 Inleiding

In dit hoofdstuk en de hierna volgende hoofdstukken 7, 8 en 9 wordt gerapporteerd

over de analyseresultaten van het onderwijsniveau en de oplossingswijzen van de

onderzochte leerlingen. Hoofdstuk 8 slaat een brug tussen de kwantitatieve

beschrijving van de voortgang van referentieleerlingen en de kwalitatieve analyse van

hun hoofdrekenbekwaamheid. Het brengt, per vaardigheidsgroep, de vormen van

rijgen, splitsen en beredeneren die de onderzochte leerlingen zoal hebben gebruikt in

kaart. Voorbeelden van oplossingswijzen maken zichtbaar hoe zij op hun

vaardigheidsniveau denken, (hoofd)rekenen en symboliseren.

In dit perspectief, hebben we de onderwijsresultaten van de 4e rekenpeiling

(Kraemer e.a. 2005) tegen het licht gehouden van de reconstrueerde sequentie van de

formalisering van rijgen, splitsen en beredeneren om de voortgang van de

gebruikelijke referentieleerlingen goed in kaart te kunnen brengen. We gebruiken hier

de voorbeeldopgaven uit de drie relevante schalen voor Bewerkingen enerzijds en

Getallen en getalrelaties en Basisautomatismen anderzijds. Ze maken beschikbare

conceptuele en instrumentele bouwstenen zichtbaar en hierdoor het bereikte niveau

van formalisering van de betreffende leerlingen.

Onderstaande rapportage geeft antwoord op de vier vragen van deze oriënterende

didactische doorlichting van de resultaten van de 4e PPON rekenpeiling:

– Welke typen opgaven kunnen leerlingen met een lage, gemiddelde en hoge

vaardigheid zoal succesvol oplossen?

– Welke bouwstenen van rijgen, splitsen en beredeneren liggen in het

vaardigheidsbereik van deze leerlingen?

– Welke resultaten van het onderwijs in het domein van de Getallen en

getalrelaties, Basisautomatismen en Bewerkingen stemmen overeen met het

aanbod dat de leraren zeggen te geven?

Hoofdstuk 6

158

– Op welke essentiële punten wijken deze resultaten af van de verwachtingen,

zoals geformuleerd in (i) de Tussendoelen, annex leerlijnen en (ii) de

standaarden die de geraadpleegde experts hebben geformuleerd?

We beschrijven per vaardigheidsgroep, het bereikte niveau in het getalgebied tot

honderd en stellen daarbij de bouwstenen vast die ze hebben verworven. Dat schetst

de voortgang in het getalgebied. We leggen ten slotte een verband tussen de voortgang

in kennis en bekwaamheid en het aanbod dat de leerkrachten zeggen te geven.

6.2 Vaardigheidsniveau in het getalgebied onder de honderd

We schetsen de ontwikkeling van de (hoofd)rekenvaardigheid in het getalgebied tot

100, zoals gemeten in 2003 bij de 4e rekenpeiling halverwege de basisschool65.

Voorbeeldopgaven uit de schaal Bewerkingen maken de variatie in niveaus zichtbaar

binnen de betreffende vaardigheidsgroep, voorbeeldopgaven uit dezelfde schaal en de

schalen Getallen en getalrelaties en Basisautomatismen signaleren bouwstenen in ontwikkeling. In

een concluderende paragraaf maken we de balans op van de ontwikkeling halverwege

de basisschool.

6.2.1 Ontwikkelingsniveaus binnen de laagste vaardigheidsgroep

(≤P33)

Tabel 6.1 toont de mate waarin de percentiel-10, percentiel-25 en percentiel-33

leerlingen voorbeeldopgaven uit de rapportage van de 4e peiling beheersen. De

opgaven die de meest gevorderde leerlingen beheersen, zijn afgebeeld in figuur 6.1. De

opgaven, die in hun zone van naaste ontwikkeling liggen, behoren tot de verzameling

opgaven van figuur 6.4, die de meest gevorderde leerlingen van de middengroep

(percentiel-66 leerlingen) al beheersen.

65 Deze beschrijving is gebaseerd op mijn rapportage in hoofdstuk 4 van Balans [31] uit de PPON-reeks: Kraemer e.a., 2005. Zie Getallen en getalrelaties (p. 45-50), Basisoperaties (p. 59-63) en Bewerkingen (p. 75-84).

Vaardigheidsniveaus en bouwstenen halverwege de basisschool

159


1]

Zet deze getallen op volgorde van klein naar groot. Schrijf de getallen in de hokjes.

2]

Op de plank staan 3 volle dozen. Er liggen ook nog losse schriften. Hoeveel schriften zijn dat samen?

3]

In het dierentehuis wonen 80 dieren: 30 katten en verder alleen maar honden. Hoeveel honden wonen er?

4]

Moeder verdeelt 60 euro eerlijk over drie kinderen. Hoeveel euro krijgt ieder?

5]

In het hok staan 5 getallen. Welke van die getallen liggen op de getallenlijn tussen 60 en 70? ________ en ________

6]

Juf Leony haalt 34 balpennen uit de kast. Hoeveel doosjes van 10 pakt ze en hoeveel losse pennen?

Basisautomatismen 1] 12 – 7 = _______ 2] 32 + 8 = _______ 3] 100 – 9 = _______ 4] 84 – 40 = _______ 5] 58 – 4 = _______ 6] 14 – 7 = _______ 7] 48 + 40 = _______ 8] 27 + 50 = _______ 9] 70 – 7 = _______ 10] 56 – 50 = _______ 11] 15 – 8 = _______ 12] 79 – 5 = _______ 14] 45 + 55 = _______ Bewerkingen 1]

Opa had 68 euro in zijn portemonnee. Hij heeft voor 60 euro boodschappen gedaan. Hoeveel euro heeft hij over? 2]

Er zijn 36 verschillende plaatjes. Nicky heeft al 25 plaatjes. Hoeveel plaatjes mist zij nog? 3]

De school gaat met 2 bussen op schoolreis. In de ene bus zitten 50 leerlingen en in de andere bus 45. Hoeveel leerlingen gaan mee?

4] Reken dit handig uit:

5]

6]

58 rode en 34 gele ballonnen gaan de lucht in. Hoeveel ballonnen zijn dat samen?

7]

Alles is nu 5 euro goedkoper. Hoeveel euro betaal je dan voor de jas?

8]

In de pot zaten 100 knikkers. Janine heeft er 12 knikkers uitgehaald. Hoeveel knikkers zitten nu nog in de pot?

9]

Dit zijn bij elkaar 50 rozen. In de witte emmer staan 25 witte rozen. Hoeveel rode rozen staan dan in de grijze emmer?

Figuur 6.1 – Voorbeeldopgaven, in het getalgebied tot 100, die de percentiel-33 leerling beheerst

Hoofdstuk 6

160

Tabel 6.1 – Voortgang van percentiel-10, -25 en -33 leerlingen in het getalgebied tot 100

Referentie-leerling

Mate van beheersing*

Voorbeeldopgaven uit de schaal

Bewerkingen optellen-aftrekken


Basisautomatismen optellen-aftrekken

P33

Onvoldoende Overige Overige Overige

Matig 10 t/m 14 7 t/m 9 13 en 15 t/m 18

Goed 1 t/m 9 1 t/m 6 1 t/m 12 en 14

P25


Matig 7 t/m 14 6 t/m 9 13 t/m 17

Goed 1 t/m 6 1 t/m 5 1 t/m 12

P10

Onvoldoende Overige Overige overige

Matig 2 en 4 t/m 10 5 en 6 1 en 3 t/m 12

Goed 1 en 3 1 t/m 4 2

(*) Interpretatie Onvoldoende = Minder dan 50% kans op succes / Minder dan 5 van de 10 opgaven van het betreffende type goed Matig = Tussen 50% en 80% kans op succes / Tussen 5 en 8 van de 10 opgaven van het betreffende type goed Goed = Meer dan 80% kans op succes / Meer dan 8 van de 10 opgaven van het betreffende type goed

Voortgang bij (hoofd)rekenen met pen en papier

De meest gevorderde leerlingen van de laagste vaardigheidsgroep beheersen opgaven met

bewerkingen zoals die van voorbeeldopgaven 1 t/m 9 goed. Het zijn optelen

aftrekproblemen en kale rekensommen met onderstaande typen optellingen,

stipsommen en aftrekkingen:

68 - 60

36 - 25 / 25 + .. = 36

50 + 45

30 + 5 + 15 + 20

97 - 70

34 + 58

63 - 5

100 - 12

50 - 25 / 25 + .. = 50

De voorgelegde problemen confronteren de leerling met alle geleerde betekenissen

en vormen van optellen en aftrekken:

– wat optellen betreft: (i) samennemen, (ii) erbij doen en (iii) vergelijken;

– wat aftrekken betreft: (i) afhalen, (ii) combineren/vol maken, (iii) scheiden en

(iv) vergelijken.

Bewerkingen zoals die van voorbeeldopgaven 10 t/m 14 (zie figuur 6.4) liggen in

de zone van naaste ontwikkeling (matige beheersing).


161

De percentiel-25 leerling beheerst de zes eerste typen bewerkingen goed en die van

voorbeeldopgaven 7 t/m 14 matig, terwijl de percentiel-10 leerling alleen bewerkingen als

68 - 60 en 50 + 45 uit de voorgelegde verzameling goed beheerst. Deze leerling heeft

echter maar tussen 50% en 80% kans om de getallen van de voorbeelden 2 en 4 t/m

10 correct te bewerken.

Bouwstenen van rijgen en splitsen

Figuur 6.2 brengt de vormen van tientallig optellen en aftrekken van de

geconstrueerde sequentie in beeld (zie hoofdstuk 4) die direct aansluiten bij het tellen

van hoeveelheden.

We sporen de bouwstenen ervan op in de schriftelijke toetsresultaten.

NV RIJGEN SPLITSEN

5 Met samengestelde getallen Mengvorm splitsen-rijgen

4 Met tienvouden na de sprong Optelen/aftrekken

met eenheden van 10 en

3 Met telstappen

Figuur 6.2 Vormen van optellen en aftrekken die leerlingen in de eerste en tweede fase van optellen en aftrekken tot honderd kunnen uitvinden

Niveau 3 - Verkort tellen. Conceptueel gezien, doet verkort rijgen een beroep op de

wetenschap dat twee gehele getallen bij elkaar opgeteld een nieuw geheel getal vormen

(inclusierelatie; associatieve eigenschap van optellen) en dat de volgorde van de

getallen er niet toe doet (commutatieve eigenschap). De leerling moet ook de structuur

kennen in het systeem van de telwoorden, dat wil zeggen, weten dat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9 telkens met de tientallen 10, 20, 30, etc. worden gecombineerd. De gemakkelijkste

opgaven van de schaal Getallen en getalrelaties doen een beroep op deze inzichten. De

leerling moet getallen als 7 en 60 samennemen en, omgekeerd, getallen met de termen

van een som weergeven, bijvoorbeeld 45 als 5 + ?.

Instrumenteel gezien kunnen leerlingen pas vlot op dit niveau rijgen als zij vanuit

een willekeurig getal met één verder kunnen tellen en terugtellen, al dan niet met

behulp van een of andere visualisering van de gemaakte telstappen. De opgaven,

waarbij de leerling een reeks telwoorden moet voortzetten (77, 78, 79, …; 83, 82,

81…) vergen meer vaardigheid dan bovenstaande taken. Leerlingen, die op en onder

het niveau van de percentiel-10 leerling opereren, beheersen nu deze vier typen opgaven

nog maar matig. Dit betekent dat de groep 10% laagst presterende leerlingen nog niet

beschikt over alle basale bouwstenen voor rekenen tot 100.

Niveau 4 – Rijgen via het tiental. Conceptueel gezien, doet rijgen via het tiental een

beroep op de volgende kennis van getallen: 1. Elk geheel getal bestaat uit de unieke

combinatie van een aantal tientallen en aantallen eenheden. 2. Alle getallen kunnen

Hoofdstuk 6

162

met de combinatie van de cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, en 9 worden gesymboliseerd. 3.

Uit de unieke combinatie van tientallen en eenheden volgt dat elk getal ook een unieke

plaats heeft in de tientallige herhalingstructuur van de telrij.

Instrumenteel gezien moet de leerling (i) vlot binnen een interval van tien kunnen

optellen en aftrekken en (ii) vanaf een willekeurig tiental, 10 verder en tien terug

kunnen springen, zoals hieronder aangegeven:

Basisautomatismen binnen een interval van 10

– 24 + ? = 30 en 30 – 6 = ? bij de eerste stap (vol maken en leeg maken van een

tiental);

– 60 + 2 = ? en 60 - 2 bij de laatste stap (bewerking van de 2e term van de

afgesplitste eenheden)

Optellen en aftrekken met tien via

– verder tellen: 30, 40, 50, etc.

– terugtellen: 80, 70, 60, etc.

Taken zoals die van voorbeeldopgave 2, 6, 7 en 11 van de schaal Getallen en getalrelaties

doen een beroep op het vereiste getalbegrip en de daarbij horende telvaardigheden.

Voorbeeldopgaven 1, 5 en 8 doen op hun beurt een beroep op het gebruik van de

decimaal-positionele opbouw van gehele getallen en/of hun plaats binnen de

intervallen van tien, om getallen te ordenen of te positioneren en om schattingen te

beoordelen. Ze geven in die zin de nodige aanvullende informatie.

De percentiel-10 leerling kan nu een viertal samengestelde getallen in oplopende

volgorde ordenen (voorbeeldopgave 1) en het aantal bepalen van afgebeelde hoeveelheden

die in groepen van 10 zijn geordend (voorbeeldopgave 2). Deze leerling kan echter een

willekeurig aantal objecten en maten zoals 34 pennen en 73 euro nog maar matig met

zoveel eenheden van tien en zoveel lossen samenstellen (voorbeeldopgaven 6 en 7). Dit

maakt het verschil uit met de percentiel-33 leerling, die de eerste zes voorbeeldopgaven

van de schaal Getallen en getalrelaties al beheerst.

Uit de opgaven van de schaal Basisoperaties en Bewerkingen kan worden opgemaakt

dat de percentiel-10 leerling, in tegenstelling tot de percentiel-25 leerling, ook niet over alle

instrumentele voorwaarden beschikt. Hij kan foutloos binnen zeven seconden 32+8

uitrekenen (voorbeeldopgave 2), maar vergist zich regelmatig bij aftrekkingen als 70-7

vanaf een tiental (voorbeeldopgave 7). Voor beide types basisoperaties geldt, dat vaardige

tellers er uit komen door telkens met één te tellen (verder en terug). Leerlingen die het

dubbeltellen minder goed beheersen, maken meer kans om fouten te maken naarmate

ze een langere afstand verder en vooral terug moeten tellen.

Deze resultaten betekenen dat leerlingen die onder het niveau van de percentiel-33

leerling opereren in die fase verkeren waarin de bouwstenen voor rijgen op basis van

afstandrelaties tussen gehele getallen worden geconstrueerd. De beheersing van

onderstaande opgaven van de schaal Bewerkingen maakt aannemelijk dat ze, op een


163

relatief korte rijgafstand, met telstappen binnen en over een interval kunnen rekenen

en deze stappen van één efficiënt met de 10-sprong weten te combineren:

52 + 7 en 56 - 5

18 + 8; 38 + 6;

50 + 19 en 50 + 45 (voorbeeldopgave 3)

74 + .. = 80 en 25 + .. = 36 (voorbeeldopgave 2)

10 + 45 + 10

30 + 5 + 15 + 20

Niveau 4 – Startniveau van splitsen: optellen en aftrekken met tienen en lossen. Conceptueel

gezien doet splitsen zonder tientaloverschrijding een beroep op hetzelfde begrip van

tellen en van gehele getallen als rijgen via het tiental. Deze manier van optellen en

aftrekken vergt echter het inzicht dat men de tientallen en eenheden van twee getallen

‘apart’ bij elkaar kan optellen, omdat elk geheel getal de som is van een veelvoud van

10 en 1:

12 + 14

12 = 10 + 2; 14 = 10 + 4 12 + 14 is evenveel als (10 + 10) + (2 + 4)

36 - 25

36 = 30 + 6; 25 = 20 + 5 36 - 25 is evenveel als (30 - 20) + (6 - 5)

De optelling 50 + 45 van voorbeeldopgave 3 en de aftrekking 36 - 25 van voorbeeldopgave

2 van de schaal Bewerkingen laten zien dat een leerling over de vier ondertaande

automatismen moet beschikken om op deze manier te kunnen optellen en aftrekken:

– Getallen decimaal afsplitsen:

50 + 45 50; 45 = 40 + 5

36 - 25 36 = 30 + 6 en 25 = 20 + 5

– Optellen en aftrekken van tientallen

50 + 45 50 + 40 via 60(1), 70(2), 80(3), 90(4)

36 - 25 30 - 20 via 20(1), 10(2)

– Optellen en aftrekken onder de 10, (a) tellend, (b) met ondersteuning van

vingerbeelden of (c) direct en indirect met parate feitenkennis:

50 + 45 5 + 0 = 5

36 - 25 6 – 5 = 1

– Samen nemen van tientallen en eenheden:

50+45 90+5=95

36-25 10+1=11

Een leerling kan elk van deze rekenhandelingen tellend (met één of met tien)

uitvoeren, inclusief het samennemen van tientallen en eenheden. De beheersing van

onderstaande opgaven van de schaal Bewerkingen maakt aannemelijk dat deze

Hoofdstuk 6

164

procedure daarom zeer toegankelijk is en dus ook zeer aantrekkelijk voor de 10%

minst vaardige leerlingen.

5 + 73; 52 + 7 en 56 - 5;

24 + 24, 12 + 14, 44 + 43

50 + 45 (voorbeeldopgave 3), 55 + 20 en 45 - 30

37 - 20, 82 - 40, 68 - 60 (voorbeeldopgave 1)

10 + 45 + 10

30 + 5 + 15 + 20

Bovenstaande resultaten betekenen dat de minst gevorderde leerlingen op een

elementair niveau minimaal over drie hoofdrekenprocedures kunnen beschikken: 1.

verkort tellen, 2. rijgen via het tiental en 3. optellen en aftrekken met tienen en enen.

Niveau 5 – Direct springen met tien. Conceptueel gezien doet direct rijgen met de 10-

sprong een beroep op het inzicht dat “tien verder” neerkomt op één tiental bij het

betreffende aantal optellen (tien ‘meer’) en “tien terug” op de omgekeerde handeling:

één tien van het aantal aftrekken (tien ‘minder’). De ordening van de getallen 1 t/m

100 in rijen van 10 (100-veld) geeft toegang tot deze structuur en relatie. Afgezien van

de opgaven waarbij de leerling getalpatronen als 46, 56, 66 … en 85, 75, 65, …moet

voortzetten, zijn geen taken voorgelegd die dit inzicht in de eigenschap van de

optelling en aftrekking meten. Deze opgaven geven nu aan dat de percentiel-10 leerling, in tegenstelling tot de percentiel-25 leerling, nog niet in staat is om willekeurige reeksen

van dit type te reconstrueren. Het feit dat deze leerlingen bij de rekendictees

optellingen als 78 + 10 en aftrekkingen als 88 - 10 uit de schaal Basisoperaties wel

correct uitrekenen, maakt aannemelijk dat ze het inzicht in de wiskundige structuur

van de getalpatronen missen.

Instrumenteel gezien, doet direct rijgen met de 10-sprong een beroep op optelen

aftrekken binnen en over een interval van 10, die onder andere met onderstaande

voorbeeldopgaven van de schaal basisautomatismen zijn getoetst:

– Basisautomatismen binnen een interval van 10

type 62 + 7

8] 58 - 4 en 12] 79 - 5

– Basisautomatismen over een interval van 10

13] 45 + 9 en 19] 98 + 7

16] 92 - 6

Het aftrekken van eenheden van een samengesteld getal vergt meer of minder

vaardigheid, afhankelijk van de getallen. Zo is de aftrekking 79 - 5 (5 als kern van 9)

moeilijker dan 58 - 4 (8 als dubbel 4). De percentiel-25 leerling kan al vlot binnen een

interval optellen en aftrekken. Hij moet vooral over een tiental leren aftrekken. Dit

maakt het verschil met de percentiel-10 leerling die de meeste instrumentele voorwaarden

nog moet verwerven.


165

Zoals aangegeven bij de aanvang van deze beschrijving, beheerst de percentiel-25

leerling de eerste zes voorbeeldopgaven van de schaal Bewerkingen. De percentiel-33

leerling beheerst ook de hierna volgende drie opgaven goed en voorbeeldopgaven 10

t/m 14 matig. De getallen die de leerling in die gevallen moet bewerken, lenen zich bij

uitstek voor direct rijgen met 10 over een afstand die groter is dan 10. Dit maakt

aannemelijk dat deze leerlingen in elke geval op dit niveau de tientallen kunnen

bewerken, ook al moet ze de eenheden nog tellend of via het tiental, toevoegen /

afhalen.

97 - 70

34 + 58

50 - 25 of 25 + .. = 50

12 + 24 + 36

54 - 30

85 + .. = 100

56 - .. = 34, 34 + .. = 56 of 56 – 34 =

87 + .. = 96 / 96 - 87 =

Uit bovenstaande resultaten kunnen twee conclusies worden getrokken:

1. De groep 10% laagst presterende leerlingen beschikt niet over de

voorwaarden om een grotere afstand met opeenvolgende sprongen van 10 te

rijgen, noch om een groot aantal eenheden bij een samengesteld getal op te

tellen of ervan af te trekken.

2. Leerlingen verwerven hoe langer hoe meer de vereiste voorwaarden. Ze

blijven echter lang afhankelijk van verder tellen en terug tellen om eenheden

over een tiental af te trekken of op te tellen. Dit betekent dat ze, door de

telfouten en vergissingen die ze kunnen maken, nog lang een foutief antwoord

kunnen geven. Dit geldt zowel voor de percentiel-25 leerling als voor de

meeste gevorderde leerling van de laagste vaardigheidsgroep.

Niveau 5 – Rijgen in combinatie met splitsen. De fundamentele verandering ten opzichte

van splitsen op niveau 4 is dat de leerling op niveau 5 verschil maakt tussen 1.

optellingen die 1 t/m 9 eenheden opleveren (50+45) en optellingen die 10 of meer

eenheden geven (34 + 58) 2. aftrekkingen die wel en niet gaan (36 - 25 versus 62 - 48).

Leerlingen die met een realistische methode leren rekenen, komen daar achter via het

uitbeelden van rekensituaties (zoals die van de voorbeeldopgaven van de schaal

Bewerkingen) met decimale hulpmiddelen als dozen van 10 stuks, namaakgeld en MAB-

blokjes en staven. Ze leren hiermee rijgen met splitsen te combineren om het

overschot / het tekort aan eenheden op te lossen.

Conceptueel gezien, doet deze procedure een beroep op het begrip van wat er met

de tientallen en eenheden van een samengesteld getal gebeurt, als men zoveel

eenheden bij dit getal optelt of juist ervan aftrekt:

Hoofdstuk 6

166

– Wanneer verandert alleen het aantal eenheden?

– Wanneer verandert ook het aantal tientallen?

– Waarom? En: hoe?

Er zijn geen opgaven voorgelegd die direct informatie verschaffen over het

verworven inzicht in dit positionele aspect van optellen en aftrekken. Echter, op

voorbeeldopgave 6 na, liggen alle opgaven van de schaal Bewerkingen met een overschot of

tekort aan eenheden in of buiten de zone van de naaste ontwikkeling van de leerlingen

uit de groep Laag (zie voorbeeldopgave 7, 8, 10, 11, 12, 14; 15, 16, 17 en 18). Dit

maakt aannemelijk dat deze leerlingen nog niet het vereiste niveau van decimaal-

positioneel denken hebben bereikt.

Instrumenteel gezien vergt deze combinatie geen specifieke feitenkennis, noch

rekenautomatismen. Dit betekent dat het begrip van de positionele eigenschappoen

van optellen en aftrekken doorslaggevend is voor het nemen van deze drempel.

Conclusie ten aanzien van de leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep

In de resultaten van de groep leerlingen met de laagste vaardigheid bij de onderwerpen

Bewerkingen, Getallen en getalrelaties, Basisautomatsimen en Bewerkingen, tekent zich,

concluderend, de volgende trend af:

– De eerste 10% leerlingen van de laagste vaardigheidsgroep beschikt over de

conceptuele en instrumentele bouwstenen die hen in staat stelt om optelen

aftrekopgaven 1. verkort tellend, 2. springend met 10 in de telrij via een tiental

en 3. optellend en aftrekkend met tienen en enen op te lossen. Deze leerlingen

kunnen in principe ook vanaf een mentaal aantal direct met sprongen van 10

optellen en aftrekken, mits de rijgafstand niet al te groot is.

– Leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep, die dit niveau overstijgen,

beschikken wel over de voorwaarden om inzichtelijk en vlot met de 10-sprong

te rijgen, ook al zullen ze regelmatig de eenheden tellend of via het tiental

moeten bewerken.

– Instrumenteel gezien is de percentiel-25 leerling toe aan de combinatie van

rijgen met splitsen. Er zijn echter aanwijzingen dat deze leerling nog niet het

vereiste niveau van positioneel denken heeft bereikt dat toegang geeft tot

rijgen in combinatie met splitsen.

– Er zijn ten slotte sterke aanwijzingen dat de percentiel-33 leerling grotendeels

de vereiste bouwstenen heeft verworven om met de twee rijgprocedures en de

combinatie van rijgen met splitsen te kunnen hoofdrekenen.

Het vervolg van deze rapportage beschrijft de bouwstenen die leerlingen met meer

vaardigheid hebben verworven.


167

6.2.2 Ontwikkelingsniveaus binnen middelste vaardigheidsgroep (P33-

P66)

Tabel 6.2 toont de mate waarin de percentiel-33, percentiel-50 en percentiel-66 leerling

voorbeeldopgaven uit de rapportage van de 4e rekenpeiling beheerst. De opgaven die

de meest gevorderde leerlingen van deze middengroep beheersen, zijn afgebeeld in

figuur 6.4. De opgaven die in hun zone van naaste ontwikkeling liggen, behoren tot de

verzameling opgaven van figuur 6.5, die de ‘voorlopers’ halverwege de basisschool al

beheersen.

Tabel 6.2 – Voortgang van percentiel-33, -50 en -66 leerlingen in het getalgebied tot 100

Referentie-leerling

Mate van beheersing


Bewerkingen optellen-aftrekken


Basisautomatismen optellen-aftrekken

P66

Onvoldoende 18 Overige 20 en 21

Matig 15 t/m 17 9 t/m 12 19

Goed 1 t/m 14 1 t/m 8 1 t/m 18

P50

Onvoldoende 18 Overige Overige

Matig 15 t/m 17 7 t/m 11 15 t/m 18

Goed 1 t/m 14 1 t/m 6 1 t/m 14

P33


Matig 10 t/m 14 7 t/m 9 13 en 15 t/m 18

Goed 1 t/m 9 1 t/m 6 1 t/m 12 en 14


Voorbeeldopgaven 10 t/m 14 enerzijds en 15 t/m 17 anderzijds geven een idee van

het verschil in kennis en vaardigheid tussen de minst en de meest gevorderde leerling

van de middengroep. De percentiel-66 leerling beheerst de eerste cluster

voorbeeldopgaven goed, terwijl de percentiel-33 leerling deze typen opgaven nog maar

matig beheerst. De ‘voorlopers’ van deze middengroep zijn toe aan de taken van

voorbeeldopgaven 15 t/m 17, die (ver) buiten het bereikt van de ‘achterlopers’ liggen.

In de rapportage van de Balans wordt de vaardigheid van de gemiddelde leerling

tegen die van de percentiel-75 leerling afgezet, die tot de groep leerlingen met de

hoogste vaardigheid behoort. Voorbeeldopgaven 15 t/m 17 uit figuur 6.5 maken dit

verschil zichtbaar, zoals dit verder in deze rapportage wordt beschreven.

Bouwstenen van rijgen, splitsen en beredeneren

Figuur 6.3 brengt de twee nieuwe vormen van rijgend en splitsen optellen en aftrekken

en de informele vorm van beredeneren, die in de tussenfase van leren rekenen onder

de honderd worden uitgevonden, in beeld. We gaan, zover de toetsresultaten dat

Hoofdstuk 6

168

toelaten nu na of de middengroep over voorwaardelijke kennis en vaardigheden

beschikt.

Zodra de leerling beseft dat het oplossen van optelen aftrekproblemen neerkomt

op het ‘uitbeelden’ van de relatie tussen de hoeveelheden c.q. grootheden van een

contextopgave met min of meer vertrouwde optellingen en aftrekkingen, openbaart

zich een nieuwe wereld. Leerlingen bereiken dit niveau eerder of later, naarmate zij

meer getallen in netwerken van optelen aftrekrelaties organiseren, op basis van het

verworven inzicht in (i) de structuren van de natuurlijke getallen, (ii) de analogie

tussen rekenen tot 100 en rekenen onder de 10 onder door de decimaal-positionele

eigenschappen van de getallen en (iii) de eigenschappen van optellen en de inverse

relatie met aftrekken.

Nv Rijgen Splitsen Beredeneren


Met positiewaarden Puzzelen met optelfeiten

5 Met samengestelde getallen Mengvorm splitsen-rijgen

Figuur 6.3– Hoger gelegen vormen van hoofdrekenen

Niveau 6 – Rijgen met niet-decimaal afgesplitste getallen. Conceptueel gezien kunnen

leerlingen pas op dit niveau rijgen als zij zich realiseren dat optellen en aftrekken

neerkomt op het symboliseren van de relatie tussen aantallen (objecten of maten) met

bekende optelen aftrekrelaties. Onderstaande voorbeelden illustreren dit:

– 58 + 34 via 58 + 30 = 88 88 + 4= 92

– 62 - 48 via 62 – 40 = 22 22 – 8 = 14

Dit type berekeningen houdt in dat de leerling:

– getallen als term van een afsplitsing (c = a + b), een optelling (a + b = c) of

aftrekking (c – b = a of c – a = b) beschouwt,

– deze getallen zodanig afsplitst dat ze in een optelling of aftrekking aan elkaar

kunnen worden gekoppeld,

– hiertoe gebruik maakt van (i) de dubbelen vijf-structuur van de getallen in

combinatie met de factor tien (analogie met afsplitsen en samenstellen onder

de 10) en (ii) de associatieve en commutatieve eigenschap van optellen.

In die zin rijgt de leerling die dit niveau heeft bereikt met termen van rekensommen

en niet meer met aantallen op basis van afstandsrelaties tussen natuurlijke getallen.

De schaalopgaven geven vier aanwijzingen over het vaardigheidsniveau dat een

leerling moet bereiken om zo te kunnen denken, rekenen en symboliseren:


169

– de relatie tussen decimaal afsplitsen, optellen en aftrekken;

– het flexibel samenstellen van getallen,

– het gebruik van de analogie tussen samenstellen (optellen) en afsplitsen

(aftrekken) met eenheden en dezelfde operaties met tientallen en

– het netwerk van getalrelaties die de leerling heeft ontwikkeld.

Taken als die van voorbeeldopgave 2 van de schaal Getallen en getalrelaties (80 = 30

+ ..) toetsen direct het basale begrip van (i) decimaal afsplitsen, (ii) de relatie tussen

‘afsplitsen’, ‘optellen’ en ‘aftrekken’, (iii) de associatieve en commutatieve eigenschap

van optellen en (iv) de analogie met rekenen onder de tien. Een leerling kan de tweede

term op verschillende niveaus vinden. Hij kan verder tellen met tien, redeneren op

basis van onderstaande vingerbeelden (analogie van 80 = 30 + … met 8 als 5 + 3) of

feitenkennis (het moet 50 zijn want 80 = 50 + 30) of puur gewoon ‘weten’ dat het 50

is.

– 80 = 30 + 50 precies zoals 8 = 3 + 5 (vijf als kern van het getal)

– 60 = 30 + 30 precies zoals 6 = 3 + 3 (dubbel)

– 70 = 30 + 40 precies zoals 7 = 3 + 4 (bijna dubbel)

– 100 = 20 + 80, precies zoals 10 = 2 + 8 (afsplitsingen van 10)

De percentiel-25 leerling kan dit type afsplitsingen al foutloos oplossen. Twee

andere typen afsplitsingen van de rekenschaal vergen veel meer vaardigheid.

Afsplitsingen als 45 = 30 + .. liggen binnen het vaardigheidsbereik van de gemiddelde

leerling, afsplitsingen als 100 = 53 + … binnen dat van de percentiel-75 leerling.

Rekenkundig gezien zit het verschil in de combinatie van tientallen en eenheden. Op

het laagste niveau (80 = 30 + ..) ‘ breekt’ en ‘maakt’ de leerling tientallen vanuit de

analogie met optellen en aftrekken onder de 20. Op het tussenniveau (45 = 30 + ..)

moeten leerlingen deze wetenschap en kunde combineren met hun inzicht in de

positionele structuur van samengestelde getallen. Afsplitsen op het hoogste niveau

(100 = 53 + …) vergt het begrip van het effect van het optellen en aftrekken van

eenheden op gehele getallen. Deze schaalopgaven geven nu aan dat halverwege de

basisschool de percentiel-25 leerling het laagste niveau heeft bereikt, de gemiddelde

leerling het tussenniveau en de percentiel-75 leerling het hoogste niveau.

Een aantal opgaven van de schaal Getallen en getalrelaties doet een beroep op het

samenstellen en herstructureren van getallen met verschillende eenheden. Ze liggen

allemaal in het vaardigheidsbereik van de groep leerlingen met de hoogste

rekenvaardigheid. Voorbeeldopgave 12 is er daar een van. Deze doet een beroep op het

inzicht in de decimaal-positionele vermenigvuldigstructuur van gehele getallen en de

associatieve eigenschap van vermenigvuldigen: 68 is niet alleen 60 + 8, opgevat als (6 x

10) + (8 x 1). In deze context, is 68 ook evenveel als 50 + 18, gezien als (5 x 10) + (3 x

6). Halverwege de basisschool hebben alleen de meeste gevorderde leerlingen (≥ P90)

dit niveau van getalbegrip en structurering bereikt.

Hoofdstuk 6

170

Getallen en getalrelaties 7] 75 euro is _____ briefjes van 10

en _____ euro’s.

8]

4 kinderen raden hoeveel ballen in

de bak zitten.

In de bak zitten 88 ballen.

Wie raadt het best?

9]

Deze 4 kisten zijn vol.

De groenteboer doet alle appels in

zakken van 5.

Hoeveel volle zakken kan hij

maken?

10]

De pijl wijst de plaats van een getal

op de getallenlijn aan.

Welk getal is dat? Kies uit:

A 72

B 78

C 82

D 87

11]

Opa wordt 65.

Oma wil daarom 65

ballonnen loslaten.

Hoeveel zakken van 10

ballonnen moet ze dan

kopen?

Basisautomatismen 13] 45 + 9 = _______

15] 60 – 35 = _______

16] 92 – 6 = _______

17] 75 – 25 = _______

18] 80 – 34 = _______

Bewerkingen

10]

Liam koopt deze 3

fotorolletjes.

Hoeveel foto's kan ze

hiermee maken?

11]

Hoeveel kilo weegt Vincent?

12]

Rik heeft 100 punten en Saskia 85.

Hoeveel punten heeft Rik meer?

13]

Kevin heeft 56 knikkers. Na een

paar spelletjes met zijn vriendje

Pol heeft hij er nog 34 over.

Hoeveel knikkers heeft Kevin

verloren?

14]

Eva was vorig jaar 87 centimeter

lang.

Ze is nu 96 centimeter.

Hoeveel centimeter is ze

gegroeid?

Figuur 6.4 – Voorbeeldopgaven op beheersingsniveau van de percentiel-66 leerling

Rekenen met getallen als termen van een optelling (c.q. aftrekking) houdt bij de

eerste rekenstap in dat de leerling optelen aftrekrelaties van het type 58+30=88 en

62-40=22 inzet. Door de eenheden van de eerste term even weg te denken, kunnen

leerlingen de bruikbare afsplitsing herkennen: 88 = 58 + 30 in het geval van 58 + 30 =


171

88 en 62 = 40 + 22 in het geval van 62 – 40 = 22, daarbij denkend aan 80 = 50 + 30

(8 = 5 + 3) en 60 = 40 + 20 (6 = 4 + 2). Deze operaties zijn opgenomen in de toets

Basisoperaties, en in Balans 31 met onderstaande voorbeeldopgaven 4, 7 en 8 en 10

geïllustreerd:

4] 84 - 40

10] 56 - 50

7] 48 + 40 en 8] 27 + 50

Ook voor deze operaties geldt, dat de leerling op verschillende manieren en

niveaus het correcte antwoord kan vinden. Hij kan:

– de eerste term in tientallen en eenheden afsplitsen, de tientallen apart

bewerken en de eenheden eraan toevoegen (drempel 4-5 van splitsen)

84 = 80 + 4 80 - 40 via 70, 60, 50, 40 40 + 4 = 44

– de eenheden even wegdenken, met 10-sprong verder tellen en terugtellen, en

de eenheden aan het laatst uitgesproken tiental toevoegen (drempel 4 van

rijgen)

(84) (80) 70, 60, 50, 40 44

– vanaf de eerste term direct verder springen en terugspringen met 10 (drempel

5 van rijgen)

(84) 74, 64, 54, 44

– structurerend optellen en aftrekken naar analogie met optellen en aftrekken

tot 10 (de zesde drempel van rijgen):

84 – 40 = 44, denkend aan 84 = 44 + 40, al dan niet via 84 = 80 + 4,

dus 84 = 40 + 40 + 4

Uit de geobserveerde oplossingswijzen zal moeten blijken vanaf welk

vaardigheidsniveau een leerling vlot naar analogie kan rijgen. De percentiel-25 leerling kan,

hoe dan ook, de vier voorbeeldopgaven foutloos reconstrueren (ruim 80% kans op

succes), de percentiel-10 leerling nog niet (tussen 60% en 70% kans op succes). Dit

ondersteunt de conclusie van de vorige paragraaf ten aanzien van het verschil in

begrip en vaardigheid tussen deze referentieleerlingen.

Concluderend maken deze resultaten aannemelijk dat leerlingen die onder het

niveau van de gemiddelde leerling opereren nog onvoldoende de voorwaarden

realiseren om vlot te kunnen optellen en aftrekken met getallen als knooppunten van

optelen aftrekrelaties. Het vervolg van deze rapportage sluit aan bij de eerste

aanwijzing dat de percentiel-66 leerling, op grond van het verworven begrip van getallen,

optellen en aftrekken, daar wel toe in staat is en hierdoor ook om met positiewaarden

op te tellen en af te trekken.

Hoofdstuk 6

172

Niveau 6 Optellen en aftrekken met tientallen en eenheden als positiewaarden. Het is het begrip

van het effect van het optellen en aftrekken van eenheden, dat de combinatie van rijgen

met splitsen overbodig maakt. Wanneer de optelling meer dan 10 eenheden oplevert,

kan men 10 eenheden door een tiental vervangen. Andersom, wanneer er te weinig

eenheden zijn, kan men een tiental ‘openen’. Er komen dan 10 ‘extra’ eenheden,

genoeg om 1 t/m 9 af te trekken.

Dit vormt de conceptuele stap bij de overgang niveau 5 naar niveau 6 bij de

formalisering van splitsen. In de realistische methoden komen leerlingen hier achter

via het uitbeelden van hiertoe ontworpen optelen aftrekproblemen met de decimale

hulpmiddelen die bij de combinatie van rijgen met splitsen zijn geïntroduceerd. Deze

vorm van splitsen met tientaloverschrijding vergt, bij gevallen als 58 + 34 en 62 - 48, het

volgende begrip van gehele getallen en optellen:

a. Elk getal bestaat uit de unieke combinatie van tientallen en eenheden

(decimaal-positionele structuur van getallen en associatieve eigenschap van

optellen)

58 = 50 + 8 en 34 = 30 + 4

62 = 60 + 2 en 48 = 40 + 8

b. Elke optelling / aftrekking kan daarom volgens deze structuur worden

afgesplitst (associatieve eigenschap van optellen);

58 + 34 = (50 + 30) + (8 + 4)

62 - 48 = (60 - 40) + (2 - 8)

c. Tientallen laten zich, precies zoals de getallen 2 t/m 9 samenstellen en

afsplitsen volgens dubbelen vijfstructuur van de getallen en analogie tussen

optellen onder de 10 en optellen onder de 100):

58 + 34 50 + 30 = 80, zoals 5 + 3 = 8

62 - 48 60 – 40 = 20, zoals 6 - 4 = 2

d. Als de som van de eenheden groter is dan tien, telt men één tiental bij het

totaal aantal tientallen op (overdracht van de kleinere eenheden naar de

grotere) en voegt daarna de overgebleven eenheden toe.

Als er te weinig eenheden zijn, kan men er tien extra krijgen, door één tiental

van het grootste getal te openen:

58 + 34 8 + 4 = 12 80 + 12 = 80 + 10 + 2 = 92

62 - 48 2 - 8 gaat niet ik neem 10 van de 60: 12 – 8 = 4 de 20

wordt 10 10 + 4 =14

In de realistische methoden wordt het openbreken van één tiental van het aftrektal

om 10 eenheden vrij te maken echter niet geleerd. Daarvoor in de plaats leren de

leerlingen met ‘tekorten’ af te trekken, zoals hieronder geïllustreerd. Deze manier van


173

splitsend doet een beroep op een elementaire notie van negatieve getallen en de

basisautomatismen van aftrekken over de nul:

– Aftrekken met tekort: 62- 48 = via

60 – 40 = 20 2 – 8 = -6 20 – 6 = 14

2 - 8 via 2 – 2 = 0 en 8 = 2 + 6 6 te weinig

Drie clusters opgaven uit de rekendictees van de schaal Basisoperaties die

hieronder met voorbeeldopgaven zijn geïllustreerd doen hoe dan ook een

beroep op drie aspecten van het decimaal positioneel-denken met de tientallen

10 t/m 90 en de getallen 1 t/m 9 als positiewaarden:

– Tientallig-positioneel afsplitsen en optellen, rekening houdend met het

ontstaan van een tiental (inwisselen van 10 eenheden voor een tiental)

14] 45 + 55 = 100 want (50 + 40) + (5 + 5) = 100 100 = 55 + 45 of

100 = 45 + 55

20] 63 + 37 = 100 want (60 + 30) + (3 + 7) = 100 100 = 63 + 37 of

100 = 37 + 63

– Tientallig-positioneel afsplitsen en aftrekken, rekening houdend met het tekort

aan eenheden (eenheden van de tientallen aftrekken)

15] 60 – 35 = 25 want evenveel als (60 - 30) - 5 60 = 35 + 25 of

60 = 25 + 35

18] 90 – 34 = 56 want evenveel als (90 - 30) - 4 90 = 56 + 34 of

90 = 34 + 56

– Gebruik van de passende optelling (inverse relatie tussen optellen en

aftrekken)

17] 75 – 25 = 50 want 75 = 50 + 25

De rekensommen uit bovenstaande voorbeeldopgaven 14 en 20, 15 en 18 en 17

behoren nu tot de moeilijkste taken van de schaal Basisautomatismen. De percentiel-66

leerling kan al deze typen optellingen en aftrekkingen, op het moeilijkste type na (63 +

37 =), foutloos binnen 7 seconden reconstrueren. De gemiddelde leerling beheerst het

type 45 + 55 goed en de overige typen matig tot onvoldoende. Al deze basisoperaties

liggen, op die van voorbeeldopgave 14 na, buiten het vaardigheidsbereik van de

percentiel-33 leerling.

Aftrekkingen als 60 - 35 en 90 - 34 (vanaf een tiental) zijn ook in aftrekproblemen

van de schaal Bewerkingen voorgelegd. In voorbeeldopgave 9 is 50 - 25 gecontextualiseerd,

in voorbeeldopgave 11 de aftrekking 54 - 30. De percentiel-33 leerling heeft in beide typen

situaties veel meer kans op succes dan onder de conditie van het rekendictee. Dit

maakt aannemelijk dat sommige leerlingen niet splitsen maar rijgen en dat de splitsers,

Hoofdstuk 6

174

onder de gewone afnamecondities, meer tijd nemen dan de zeven beschikbare

seconden tijdens de rekendictees.

In contextproblemen zoals die uit voorbeeldopgaven 12, 14, 18 kan een leerling een

aftrekking herkennen en deze rekensom splitsend proberen uit te rekenen. In dit geval

moeten leerlingen, evenals bij kale aftrekkingen als 76-48, rijgen met splitsen

combineren of met tekorten rekenen (c.q. een tien openen om 10 eenheden vrij te

maken). Deze opgaven lenen zich ook stuk voor stuk voor een of andere manier van

rijgen.

Al deze voorbeelden geven de volgende informatie over de verschillen in niveaus

binnen de middengroep. Leerlingen tussen percentiel-50 en percentiel-66 kunnen nu opgaven

als de voorbeeldopgaven 9 t/m 14 foutloos uitrekenen. Ze beheersen kale

aftrekkingen als 76-48 nog maar matig en hebben minder dan 50% kans om

problemen als die van voorbeeldopgave 18 correct op te lossen. Voorbeeldopgave 9

markeert het beheersingsniveau van percentiel-66 leerlingen, zoals voorbeeldopgaven

16 en 18 de grens van hun kennis en bekwaamheid duiden.

Bovenstaande resultaten scherpen, concluderend, het beeld van de verschillen

binnen de middelste vaardigheidsgroep aan. Ze maken aannemelijk dat een leerling

minstens de kennis en bekwaamheid van de gemiddelde leerling moet verwerven om

op niveau 6, met getallen als positiewaarden, dan wel knooppunten van optelen

aftrekrelatie op te tellen en af te trekken.

Niveau 6 - Puzzelen met optelfeiten. Op dit startniveau van beredeneren reconstrueren

leerlingen de optelling of de stipsom die zij in een opgave herkennen met elementen

van parate optelfeiten. De twee onderstaande voorbeelden illustreren hoe zij losse

termen en sommen, als stukken van een puzzel, tot de optelling / stipsom van de

opgave combineren:

25 + .. = 50 via

40 + 10 = 50

20 + 20 = 40

10 + 10 = 20

5 + 5 = 10

20 + 5 = 25

25 + 25 = 50

24 + .. =40 via

20 + 4 = 24

20 + 20 = 40

16 + 4 = 20

24 + 16 = 40

Conceptueel gezien kunnen leerlingen die op dit niveau rijgen en splitsen ook hun

parate feitenkennis op deze manier gebruiken. Zij weten immers 1. dat elk getal de

som is van positiewaarden, 2. dat optellen associatief en commutatief is en 3. dat

aftrekken het omgekeerde is van optellen. De enige extra kennis is het besef dat men

op basis van deze drie elementen elke willekeurige (indirecte) optelling met rekenfeiten

kan ‘maken’, precies zoals men elk willekeurig getal met twee andere getallen kan

‘maken’. Dit bepaalt dan of een leerling wel of niet het initiatief neemt om deze stap te


175

nemen. De kans dat leerlingen dat doen neemt rekenkundig gezien toe naar mate zij

meer getallen in hun mentaal netwerk van optelen aftrekrelaties integreren.

Conclusie ten aanzien van de leerlingen uit de middengroep

In bovenstaande resultaten tekent zich, concluderend een tweedeling af. Leerlingen

die onder het niveau van de gemiddelde leerling opereren beschikken nog niet over de vereiste

voorwaarden om het rijgen met sprongen te verdichten tot optellen-aftrekken met

niet-decimaal afgesplitste getallen. Ze missen ook de bouwstenen om de drempel van

optellen-aftrekken met positiewaarden te kunnen nemen.

Leerlingen die dit niveau overstijgen zijn daar op (zeer) korte termijn wel aan toe.

Ze volgen de percentiel-66 leerling op de voet, die nu al op grond van het verworven

begrip van getallen, optellen en aftrekken op dit niveau onder de honderd rekenen.

Hieronder beschrijft het derde deel van de rapportage de vorderingen in de

eindfase van het leerproces.

6.2.3 Ontwikkelingsniveaus binnen de hoogste vaardigheidsgroep

(>P66)


Tabel 6.3 toont de mate waarin de percentiel-66, percentiel-75 en percentiel-90

leerlingen voorbeeldopgaven uit de rapportage van de 4e rekenpeiling beheersen. De

opgaven die de ‘voorlopers’ halverwege de basisschool beheersen, zijn afgebeeld in

figuur 6.5.

Tabel 6.3 – Voortgang van percentiel-66, -50 en 90 in het getalgebied tot 100

Percentiel-

leerling

Mate van

beheersing*

Voorbeeldopgaven

Bewerkingen Getallen en

Getalrelaties Basisautomatismen

P90

Onvoldoende Volledige

beheersing

Geen 21

Matig 13 en 14 20

Goed 1 t/m 12 1 t/m 19

P75

Onvoldoende Geen 14 21

Matig 18 10, 12 en 13 19 en 20

Goed 1 t/m 17 1 t/m 9 en 11 1 t/m 18

P66

Onvoldoende 18 Overige 20 en 21

Matig 15 t/m 17 9 t/m 12 19

Goed 1 t/m 14 1 t/m 8 1 t/m 18

De percentiel-90 leerling beheerst alle voorgelegde opgaven van de schaal Bewerkingen

goed. Voorbeeldopgaven 15 t/m 18 duiden het verschil aan tussen deze leerling en de

percentiel-66 leerling, waaronder de kale aftrekking 76-48 die tot de cluster moeilijkste

Hoofdstuk 6

176

opgaven van aftrekken tot honderd behoort. Alle bewerkingen doen een beroep op

hoofdrekenen met tientaloverschrijding.

De percentiel-75 leerling doet nauwelijks onder voor de voorlopers. Bewerkingen zoals

die uit voorbeeldopgave 18 (81 - 58, dan wel 58 + .. = 81 of 81 - .. = 58) duiden het

verschil aan met de percentiel-90 leerling.

Bouwstenen van rijgen, splitsen en beredeneren

In de laatste fase van de formalisering comprimeren leerlingen hun rijghandelingen tot

bepaalde manieren van ‘maken’ en ‘breken’ van getallen (niveau 8). Tegelijkertijd,

passen zij, op niveau 7, de uitgevonden vormen van rijgen met niet-tientallig

afgesplitste getallen aan voor de bewerking van (ronde) getallen met drie cijfers. Zij

leren in die fase ook formeler te herleiden, eerst via het compenseren en vervolgens

via het transformeren van bekende (c.q. meer toegankelijke) optellingen (c.q.

aftrekkingen).


12]

De kaasboer zet de 68 eieren in

dozen.

Hij maakt 5 dozen van 10 vol.

De rest zet hij in dozen van 6

eieren.

Hoeveel dozen van 6 zijn dat?

13]

Vader heeft deze bonnen voor

zijn verjaardag gekregen.

Voor hoeveel euro kan hij

boeken kopen?

14]

De getallenlijn van 0 tot 100 is

verdeeld in 4 stukken.

Welk getal moet bij de pijl staan?

Basisautomatismen

19] 98 + 7 = _______

20] 63 + 37 = _______

Bewerkingen 15]

Hoeveel kilometer is het van Port

naar Wos?

16] 76 – 48 = _______

17]

De lap stof is 100 centimeter

lang.

Moeder knipt een stuk stof af

dat 48 centimeter lang is.

Hoe lang is het stuk dat ze

overhoudt?

18]

De broek is goedkoper

geworden.

Hoeveel euro is de broek

goedkoper geworden?

Figuur 6.5 – Moeilijkste opgaven die de percentiel-90 leerling beheerst


177

Leerlingen die met een realistische methode leren rekenen, schakelen ook in deze

fase over van splitsend hoofdrekenen met positiewaarden naar - onder elkaar -

algoritmisch optellen en aftrekken met positiecijfers, via het zogenoemde kolomsgewijs

optellen en aftrekken. Het schema van figuur 6.6 brengt deze vorderingen in beeld.

Voor zover de schaalgegevens dit toelaten, schetst onderstaande beschrijving de

voortgang in de verwerving van de bouwstenen van deze vormen van optellen en

aftrekken.

Niveau 7 – Kolomsgewijs optellen en aftrekken. Het onder elkaar opschrijven van de getallen

maakt aanvankelijk het verschil tussen splitsen op niveau 6 en splitsen op niveau 7.

Echter, naarmate leerlingen in het hoofd vaker tientallen en eenheden optellen (5 + 3

= 8 en 6 – 4 = 2 i.p.v. 50 + 30 = 80 en 60 -40 = 20), nemen zij meer en meer afstand

van rekenen met getalwaarden. Leerlingen, die ook op deze manier driecijferige

getallen proberen te bewerken, doorzien de analogie en opereren in die zin op een

hoger niveau.

Nv Rijgen Splitsen Beredeneren

8 Formeel Met positiecijfers Transformeren

7 Idem in combinatie met de factor 10

Kolomsgewijs Compenseren


Met positiewaarden Puzzelen met optelfeiten

Figuur 6.6 Vormen van optellen en aftrekken die leerlingen in de laatste fase van optellen en aftrekken tot 100 kunnen uitvinden

Er zijn geen (clusters) opgaven uit de schalen Getallen en getalrelaties en

Basisautonatismen die specifieke informatie geven over de mate waarin de leerlingen,

halverwege de basisschool, toe zijn aan deze vorm van onder elkaar optellen en

aftrekken met positiewaarden. De geobserveerde oplossingswijzen zullen de

ontbrekende informatie moeten verschaffen.

Niveau 7 – Herleiden via compenseren. Leerlingen zijn, conceptueel gezien, toe aan

compenseren zodra zij zich realiseren dat zij de rekensom die zij in een opgave

herkennen, kunnen reconstrueren door de termen ervan te vergelijken met die van een

rekensom die zij kennen. Het mes snijdt aan twee kanten: de leerling hoeft niet meer

de termen van meer optelfeiten te puzzelen en kan bovendien ook parate aftrekfeiten

inzetten om op een vergelijkbare manier onbekende aftrekkingen uit te rekenen.

We zagen in hoofdstuk 4 dat leerlingen aanvankelijk vooral (omgekeerd) dubbelen

(c.q. bijna dubbelen) inzetten en later ook optellingen en aftrekkingen met een rond

getal als tweede of eerste term. Deze opgaven zijn echter over de gehele schaal

verspreid. Ook voor deze opgaven geldt, dat de mondelinge oplossingen moeten

aangeven in hoeverre leerlingen uit de lagere en middelste vaardigheidsgroepen

Hoofdstuk 6

178

sommige rekenfeiten op deze manier inzetten. Dit geldt ook voor transformeren op

niveau 8.

Niveau 8 – Herleiden via transformeren. Zodra leerlingen begrijpen welke handelingen een optelling

(c.q. aftrekking) veranderen en welke niet en waarom dat zo is, kunnen zij de rekensom van de

opgave direct herleiden tot een gelijkwaardige rekensom, door beide termen systematisch te veranderen.

Voorbeeldopgaven 6 en 16 uit schaal Bewerkingen laten zich, onder andere, op deze manier

uitrekenen:

6] 34 + 58 32 + 60 = 92

16] 76 - 48 78 – 50 = 28

Omdat dergelijke gevallen over de gehele schaal verspreid liggen, zullen de

oplossingswijzen moeten aantonen of en hoe goed sommige leerlingen op dit hoogste

niveau van beredeneren kunnen hoofdrekenen.

Niveau 8 - Gestandaardiseerd rijgen. Op het meest formele niveau van rijgen rekent de

leerling met zo weinig mogelijk optellingen of aftrekkingen. Dit komt neer op het

handig ‘maken’ of ‘breken’ van getallen uit de beschikbare relatienetten:

Rekentechnisch gezien bewerkt de leerling de eenheden naar analogie met optellen

en aftrekken over de tien. Dit maakt, instrumenteel gezien, het verschil met

structurerend rijgen op niveau 6, waarbij de leerling de eenheden met telstappen of via

het tiental optelt of aftrekt. Onderstaande voorbeeldopgaven illustreren de typen

voorwaardelijke operaties die met de rekendictees zijn getoetst:

– aftrekken over de 10

1] 12 - 7

6] 14 - 7

11] 15 - 8

– optellen en aftrekken over een tiental en zelfs 100

13] 45 + 9

16] 92 - 6

19] 98 + 7


179

De schaalopgaven geven nu aan dat alle leerlingen die op en boven het niveau van

de gemiddelde leerling presteren vlot met een tiental kunnen optellen en aftrekken.

Dit vormt de eerste aanwijzing van het vereiste vaardigheidsniveau om,

rekentechnisch gezien, op het hoogste niveau te kunnen rijgen.

Niveau 8 – Algoritmisch optellen en aftrekken met positiecijfers. Deze vorm van optellen en

aftrekken valt buiten het onderzoeksgebied. Er zijn ook geen opgaven voorgelegd met

de intentie om deze vaardigheid te toetsen. Er zijn enkele berekeningen van dit type

geobserveerd. Die zullen in hoofdstuk 7 worden besproken.

Conclusie ten aanzien van de leerlingen uit de hoogste vaardigheidsgroep

Uit bovenstaande resultaten kunnen drie conclusies worden getrokken:

– de meest gevorderde leerlingen hebben de geïdentificeerde bouwstenen

verworven;

– leerlingen die op en boven het niveau van percentiel-75 opereren, beschikken

over de belangrijke bouwstenen die toegang bieden tot de meest formele vorm

van rijgen;

– leerlingen die onder het gemiddelde presteren, lopen het risico om op niveau 6

te blijven steken, door hun gebrekkige automatisering van optellen en

aftrekken over een tiental.

– op basis van de schaalopgaven kunnen we geen uitspraken doen over de

bouwstenen van splitsen en beredeneren.

Zoals aangegeven in de inleiding van deze rapportage beperken we ons, wat de

getallen en optellen-aftrekken tot duizend betreft, tot de beschrijving van de trend in de

resultaten bij de onderwerpen Bewerkingen, Getallen en getalrelaties en Basisoperaties. Deze

trend wordt hieronder geschetst met de voorbeeldopgaven van balans 31.

6.3 Vaardigheidsniveau bij elementair hoofdrekenen onder de

duizend

Tabel 6.4 brengt de toename in de beheersing van de voorgelegde opgaven uit het

domein van de Bewerkingen, de Getallen en getalrelaties en de basisautomatismen tot

1000 in beeld. We schetsen in het vervolg wat de drie vaardigheidsgroepen halverwege

de basisschool zoal weten en kunnen. We beginnen met de laagste vaardigheidsgroep.

6.3.1 Niveau van de laagste vaardigheidsgroep

Figuur 6.7 toont de voorbeeldopgaven uit de schalen Bewerkingen, Getallen en getalrelaties

en Basisautomatismen, die voorlopers uit de laagste vaardigheidsgroep goed beheersen

Hoofdstuk 6

180

(minstens 80% kans op succes). Deze leerlingen kunnen bovendien al met een

redelijke kans op succes een deel van de opgaven van figuur 6.8 maken, die de

voorlopers van de middengroep al beheersen.

Tabel 6.4 – Voortgang van de referentieleerlingen in het getalgebied tot 1000

Referentie-

leerling

Mate van

beheersing


Bewerkingen

optellen-aftrekken

Getallen en

getalrelaties

Basisautomatismen

optellen-aftrekken

P90

Onvoldoende Geen Geen 21

Matig 15 t/m 18 8 en 9 20

Goed 1 t/m 14 1 t/m 7 1 t/m 19

P75

Onvoldoende Overige Geen Overige

Matig 6 t/m 14 7 t/m 9 19 en 20

Goed 1 t/m 5 en 9 1 t/m 6 1 t/m 18

P66


Matig 6 t/m 10 7 19

Goed 1 t/m 5 1 t/m 6 1 t/m 18

P50


Matig 6 t/m 10 4 t/m 7 15 t/m 19

Goed 1 t/m 5 1 t/m 3 1 t/m 14

P33


Matig 1 en 3 t/m 5 2 t/m 6 11 t/m 15

Goed 2 1 1 t/m 10

P25


Matig 1 en 3 t/m 5 2 t/m 4 7 en 8 t/m 15

Goed 2 1 1 t/m 6 en 8

P10


Matig 1 t/m 3 1 5 t/m 10

Goed Geen Geen 1 t/m 4

Uit de voorbeelden van de toets Getallen en getalrelaties kan worden afgeleid dat deze

leerlingen het volgende al redelijk goed tot goed kunnen:

– ronde getallen als 220 en 280 op een tientallig gemarkeerde getallenlijn kunnen

plaatsen;

– aantallen als 450 planten, met eenheden van 100 en 10 samenstellen;

– het aantal objecten dat in rijen van 10 is geordend, bepalen;

– iets, dat 799 euro kost, met briefjes van 100 betalen;

– 1000 met twee veelvouden van tien samenstellen.


181


1] Trek een lijn van het kaartje 280 naar de goede plaats op de getallenlijn.

Basisautomatismen

1] 30 + 120 = _______

2] 300 + 500 = _______

3] 150 – 30 = _______

4] 800 – 400 = _______

5] 200 – 50 = _______

6] 70 + 70 = _______

8] 130 – 40 = _______

9] 70 + 80 = _______

10] 500 – 90 = _______

Bewerkingen

2] 425 + 150 = _______

Figuur 6.7 (Getalgebied tot 1000) - Voorbeeldopgaven in die de percentiel-33 leerling beheerst

De kale optellingen en aftrekkingen van de schaal Basisautomatismen die deze

leerlingen in zeven seconden denktijd correct reproduceren, geven een idee van de

typen afsplitsingen van getallen die ze in optelen aftreksituaties kunnen inzetten. Ze

staan hieronder op een rijtje:

– Getalbeelden van tientallen

1] 150 als 120 + 30

3] 180 als 150 + 30

5] 200 als 150 + 50 en 7] 770 als 750 + 20

– Getalbeelden van 2 t/m 9 als

2] 500 + 300 en 4] 400 + 400

– Dubbelen

6] 140 als 70 + 70

– Analogie met optellen over de tien

8] 130 als 70 + 40 en 9] 150 als 70 + 80

– Ronde afsplitsingen van veelvouden van 100

10] 500 als 410 + 90

Op basis van bovenstaande kennis en rekenvaardigheid kunnen de meest

gevorderde leerlingen de gemakkelijkste opgaven van de schaal Bewerkingen met

minstens 80% kans op succes oplossen. Deze contextproblemen en formele

rekensommen doen een beroep op de volgende typen bewerkingen:

– elementair optellen binnen of over één interval van 100

1] 675 - 40

2] 425 + 150

– elementair optellen met veelvouden van 25

3] 175 + 125

Hoofdstuk 6

182

– aanvullen / aftrekken over de 100

4] 90 + .. = 102; 102 – 90 =

– aanvullen vanaf een veelvoud van honderd / aftrekken van een veelvoud van

honderd

5] 300 + .. = 465; 465 – 300 =

In paragraaf 6.2.3 is aangegeven dat leerlingen op niveau 7 van de geconstrueerde

sequentie hun hoofdrekenprocedures aanpassen voor de bewerking van getallen met

drie cijfers. Op grond van bovenstaande resultaten kan nu worden aangenomen dat de

voorlopers uit de laagste vaardigheidsgroep in deze fase zijn beland. Hun getalbegrip,

kennis van de herhalingstructuur van de telrij en rekenautomatismen stellen deze

leerlingen op zijn minst in staat om met tientallen en honderdtallen als knooppunten

te rijgen en met positiewaarden - zonder overschrijdingen – op te tellen en af te

trekken.

Het verschil met de 10% minst gevorderde leerlingen is aanzienlijk. Het gros van

de voorgelegde opgaven ligt namelijk buiten het vaardigheidsbereik van deze groep.

De optellingen en aftrekkingen van de eerste vier voorbeeldopgaven uit het

onderwerp Basisautomatismen weerspiegelen wat ze van de getallen tot 1000 weten en

hoe ze deze kennis bij optellen en aftrekken kunnen inzetten.

6.3.2 Niveau van de middengroep

De voorbeeldopgaven van figuur 6.8 weerspiegelen de kennis en bekwaamheden van

de middengroep in het getalgebied tot 1000.

De gemiddelde leerling onderscheidt zich van de voorlopers uit de laagste

vaardigheidsgroep door een ruimere kennis en vermoedelijk begrip van de decimaal-

positionele opbouw van de getallen, in relatie tot hun plaats in de telrij enerzijds

(voorbeeldopgaven 2 en 3 van het onderwerp Getallen en getalrelaties) en hun mogelijke

afsplitsingen in twee termen van een optelling of een aftrekking anderzijds

(voorbeeldopgaven 5 t/m 14 van het onderwerp basisautomatismen). Deze extra kennis en

vaardigheid maakt het verschil met de groep Laag bij elementair hoofdrekenen met

driecijferige getallen. Een gemiddelde leerling beheerst de bewerkingen die de eerste

vijf voorbeeldopgaven oproepen al goed en heeft bovendien al (ruim) 50% kans om

die van voorbeeldopgaven 6 t/m 10 correct op te lossen:

6] In context: 360 - 250, dan wel 360 - .. = 250 of 250 + .. = 360

7] In context: 325 + 175

8] Kaal: 620 - 370

9] In context: 275 + .. = 350, dan wel 350 - 275

10] Kaal: 700 - 32


183


2]

Het getal op het middelste kaartje ligt precies in het midden tussen 280 en 320. Welk getal is dat? Schrijf dat getal op het kaartje

3] Musab doet 450 plantjes in dozen van 100 en dozen van 10. Hij gebruikt zoveel mogelijk dozen van 100. Hoeveel dozen van 100 en hoeveel dozen van 10 heeft hij nodig? _______ dozen van 100 en _______ dozen van 10

4] In de filmzaal staan 13 rijen stoelen. In elke rij staan 10 stoelen. Hoeveel stoelen staan er in totaal?

5]

Twee van deze getallen zijn samen evenveel als 1000. Welke getallen zijn dat? _______ en _______

6]

Je betaalt met briefjes van honderd. Hoeveel briefjes heb je nodig?

Basisautomatismen

7] 720 + 50 = _______

11] 30 + 570 = _______

12] 143 + 7 = _______

13] 800 – 10 = _______

14] 800 – 70 = _______

15] 690 – 300 = _______

16] 80 + 580 = _______

17] 825 + 75 = _______

18] 620 – 60 = _______

Bewerkingen 1] 675 – 40 = _______ 3]

Er zijn 175 meisjes en 125 jongens lid van ‘Op rolletjes’. Hoeveel kinderen zijn dit in totaal?

4]

102 wielrenners doen mee aan de wedstrijd. 90 renners zijn al over de top van de berg gereden. Hoeveel wielrenners moeten nog over de top rijden?

Figuur 6.8 (Getalgebied tot 1000) – Voorbeeldopgaven die de percentiel-66 leerling beheerst

Voor deze bewerkingen geldt, dat de leerling met honderdtallen als knooppunten

kan rijgen of met positiewaarden kan optellen en aftrekken. Leerlingen die positioneel

rekenen, moeten dan wel ‘inwisselen’ en met een tekort of via het openen van een

honderdtal aftrekken.

De voorlopers uit de middengroep overstijgen slechts gradueel het niveau van de

gemiddelde leerling. Ze beheersen alle typen opgaven van figuur 6.4 goed en hebben

meer kans op bij hoger gelegen opgaven van figuur 6.6.

6.3.3 Niveau van de hoogste vaardigheidsgroep

De voorbeeldopgaven van figuur 6.9a en figuur 6.9b geven een idee van de voortgang

van de leerlingen met de hoogste vaardigheid in het getalgebied tot 1000.

De voorbeeldopgaven uit de toets Getallen en getalrelaties geven de volgende

informatie. Deze leerlingen:

820

630

260

530470

Hoofdstuk 6

184

– kennen de herhalingstructuur van de telrij en tot minstens 10 000;

– weten hoe getallen tot 1000 worden gemaakt en met de cijfers 0 t/m 9 worden

genoteerd en

– kunnen tellen, afpassen, samenstellen met losse eenheden in combinatie met

veelvouden van tien en honderd.

Getallen en getalrelaties 7]

Meneer Koppels bestelt 160 liter aarde. Hoeveel zakken van 20 liter zijn dat?

9]

Hoeveel schriften zijn dit bij elkaar?

8]

In elke la liggen nu 25 kralen. Sonia doet er in elke la 20 kralen bij. Hoeveel kralen zitten daarna in de 4 laden samen?

Basisautomatismen

19] 259 + 8 = _______

20] 670 + 55 = _______

21] 570 + 540 = _______

Figuur 6.9a (Getalgebied tot 1000) - Voorbeeldopgaven in het vaardigheidsbereik van de 33% meest gevorderde leerlingen (groep Hoog)

Deze leerlingen beheersen vrijwel alle opgaven van de toets Basisautomatismen. Dit

betekent dat ze al goed vertrouwd zijn met de structuren van driecijferige getallen en

met de analogie tussen optellen-aftrekken onder de tien en optellen-aftrekken met

tientallen en eenheden. De typen bewerkingen die ze al goed (voorbeeldopgave 8) en

matig (voorbeeldopgave 16) beheersen doen een beroep op dit getalbegrip en inzicht in de

decimaal-positionele eigenschappen van optellen, zoals hieronder geïllustreerd:

6] 360 – 250 via 360 – 200 = 160 160 – 50 = 110

of via 300 – 200 = 100 60 – 50 = 10 110

7] 325 + 175 via 325 + 75 = 400 400 + 100 = 500

of via

325 + 100 = 425 425 + 75 = 500

300 + 100 = 400 75 + 25 = 100 400 + 110 = 500

16] 620 – 370 via 620 – 300 = 320 320 – 70 = 300 – 50 = 250

of via

620 – 70 = 550 550 – 300 = 200

600 – 300 = 300 60 - 50 is 10 tekort 300 – 10 = 290 want 290 + 10 = 300


185

Bewerkingen

6]

Het vliegtuig maakt een duik

van 360 meter naar 250 meter

in de lucht.

Hoeveel meter is het gedaald?

7]

Hoeveel zeehonden telde men

dit jaar?

8] 620 – 370 = _______

9]

Minka mag 350 gram drop

kopen.

Ze heeft al 275 gram in het

zakje gedaan.

Hoeveel gram mag er nog bij?

10] 700 – 32 = _______

11]

Met het schoolreisje gaan 296

kinderen mee.

Er gaan 3 leerkrachten, 5

moeders en 4 vaders mee. Voor

iedereen wordt een zakje brood

gemaakt.

Hoeveel zakjes brood moeten er

gemaakt worden?

12]

Het hoogste gebouw is 250 meter

hoog. Het laagste gebouw is 189

meter hoog.

Hoe groot is het verschil?

13]

Laurie koopt deze fiets.

Voor haar oude fiets krijgt zij €

75,- terug.

Hoeveel moet ze nog bijbetalen?

14]

Bonga had vorig jaar 930

inwoners.

Nu zijn het er 142 minder.

Hoeveel inwoners heeft Bonga

nu?

15]

Hoeveel euro is de stereo-set

goedkoper geworden?

16]

620 kinderen hebben gestemd.

370 kinderen willen eerst een

zwembad. De andere willen eerst

een speelplein.

Hoeveel kinderen willen eerst een

speelplein?

17]

In een frisdrankfabriek vulde de

machine 1475 flessen per uur.

De machine is verbeterd en vult

nu 1600 flessen per uur.

Hoeveel flessen zijn dat per uur

meer?

18]

Dit huis is in 2000 opgeknapt.

Hoeveel jaar was het huis toen

oud?

Figuur 6.9b (Getalgebied tot 1000) - Voorbeeldopgaven in het vaardigheidsbereik van de 33% meest gevorderde leerlingen (groep Hoog)

De percentiel-75 leerling kan in tegenstelling tot de gemiddelde leerling en de voorlopers

van de middengroep (i) getallen als achttienhonderd al correct interpreteren en met cijfers

noteren, (ii) veelvouden van 20, 50 en 100 correct op een duizendlijn plaatsen en

herkennen en (iii) meer getallen samenstellen en uit elkaar halen. Dit stelt hen in

Hoofdstuk 6

186

principe in staat om ronde getallen als knooppunten te gebruiken voor het uitbeelden

van veranderingen en relaties als die van bovenstaande voorbeeldopgaven 6 en 7.

6.3.4 Conclusie

Het geheel overziend, kunnen we concluderen dat het verschil in voortgang tussen de

minst en de meest gevorderde leerling halverwege de basisschool wel erg groot is. Op

basis van het getalbegrip, het inzicht in optellen en aftrekken, de feitenkennis en de

basisautomatismen die de 10% laagst presterende leerlingen hebben verworven,

kunnen deze leerlingen slechts op een basaal niveau hoofdrekenen. Het komt neer op

verkort tellen, rijgen via het tiental of direct met één 10-sprong en optellen-aftrekken

met honderden, tienen en enen.

De voorlopers beheersen optellen en aftrekken tot honderd. Met hun kennis van

driecijferige getallen kunnen ze in principe al rijgen met honderdtallen en zelfs getallen

als 420 en 570 als knooppunten van aaneengesloten optellingen en aftrekkingen

gebruiken en ook met positiewaarden (met overschrijding van eenheden) optellen en

aftrekken.

De overige leerlingen opereren daar tussen, langs de verschillende niveaus van de

geconstrueerde sequentie van leren hoofdrekenen (zie hoofdstuk 4), naarmate ze over

de specifieke kennis en bekwaamheden waar de verschillende klassen bewerkingen een

beroep op doen, beschikken.

Zo ver reikt de kwantitatieve kerninformatie die de 4e PPON rekenpeiling

verschaft. Hoofdstuk 7 zal de rekenvormen die de leerlingen feitelijk gebruiken in

beeld brengen.

6.4 Onderwijsresultaten en aanbod van de leraar

Welke van de bovenstaande resultaten komen overeen met het aanbod dat de leraren zeggen te geven?

Deze paragraaf geeft, voor zover dat mogelijk is, antwoord op deze derde vraag van

de didactische doorlichting van de data van de 4e PPON rekenpeiling. De gebruikte

gegevens zijn ontleend aan de rapportage van de analyseresultaten van de

aanbodpeiling66. Drie aspecten van het aanbod zijn voor de kwalitatieve analyse van

de hoofdrekenbekwaamheid relevant, namelijk 1. de gebruikte rekenmethode en de

omgang met deze methode, 2. de toegepaste differentiatie en 3. de introductie en

vorm van algoritmisch rekenen. De relevante informatie wordt in deze volgorde

gepresenteerd.

66 Zie hoofdstuk 3 van balans 31 van de PPON reeks (Kraemer e.a. 2005).


187

6.4.1 Gebruikte rekenmethoden en omgang met de eigen methode

De relevante informatie uit de balans laat zich als volgt samenvatten.

Gebruikte rekenmethoden

De invoering van de euro heeft veel scholen aangespoord om snel een nieuwe reken-

wiskundemethode aan te schaffen. Een jaar na de invoering, wordt in ruim 80% van

de steekproef van scholen in de onderbouw een nieuwe euro-rekenmethode gebruikt.

De grootste groep deelnemende scholen werkt met Pluspunt (50%). De Wereld in

Getallen komt op de tweede plaats (ruim 20%), op enige afstand gevolgd door de

methode Rekenrijk (ongeveer11%). Andere methoden worden op minder dan 5% van

de PPON-scholen gebruikt.

Er is een relatie tussen de gebruikte methode en de schoolpopulatie. De nieuwste

(euro)versies van Pluspunt en De wereld in getallen komen relatief vaker voor in scholen

van stratum 167 dan in scholen van stratum 3 en omgekeerd, terwijl leraren van

stratum 3-scholen vaker Wis & Reken en Alles telt noemen. De laatste nieuwe methode

Rekenrijk wordt ook vaker genoemd in stratum 1- en stratum 2- scholen dan in

scholen van stratum 3.

Omgang met de methode

In alle drie de jaargroepen zegt meer dan 90% van de leraren dat zij de methode

vrijwel in hun geheel volgen. De overige leraren geven aan dat zij sommige elementen

weglaten. Leraren die specificeren wat ze dan doen, zeggen dat zij minder oefenstof

aanbieden, vanwege tijdgebrek en/of omdat leerlingen dat soms niet nodig hebben. Er

wordt, hoe dan ook, geen leerstofonderdeel van het onderwijsaanbod structureel

weggelaten. Leraren onderwijzen kortom in de regel wat er in hun methode staat.

Relatie aanbod-onderwijsresultaten

In alle gebruikte methoden wordt de realistische lijn van hoofdrekenen gevolgd. Dit

betekent dat de leerlingen eerst met tweecijferige getallen leren rijgen, vervolgens

splitsen en ten slotte beredeneren. Een leerling krijgt tot eind jaargroep 6 de tijd om

het hoogste niveau van hoofdrekenen onder de 100 te bereiken. Rijgen met

driecijferige getallen vangt gewoonlijk aan in de tweede helft van jaargroep 5.

Naarmate de leerlingen vorderen, leren ze ook kolomsgewijs en beredenerend op te

tellen en af te trekken.

De resultaten maken nu een evident verschil zichtbaar tussen de voortgang en de

prestaties in het getalgebied tot 100 en in het getalgebied tot 1000. Dit betekent dat de

67 Stratum 1: schoolscore ≤ 1.00; Stratum 2: schoolscore 1.01 – 1.20; Stratum 3: schoolscore >1.20 (vooral Nederlandse arbeiderskinderen en allochtone kinderen

Hoofdstuk 6

188

resultaten van de leerlingen sterk overeenstemmen met het aanbod van de realistische

methoden in het domein van de gehele getallen en de hoofdrekenbewerkingen.

6.4.2 Toegepaste differentiatie

In de gebruikte aanbodvragenlijst is de leraren gevraagd aan te geven welke van de vier

voorgelegde organisatievormen het meest overeen kwam met wat zij deden. Tabel 6.5

toont de sterke tendens om alleen de verwerking en de oefenstof te differentiëren.

Deze voorkeur komt overeen met de zogenoemde ‘differentiatie in voorkeur en

niveau’ die de auteurs van de realistische methoden aanbevelen. Leerlingen krijgen de

ruimte om de rekenvorm te kiezen die zij in de gegeven rekencontext vertrouwen.

Niet iedereen hoeft op hetzelfde moment, op dezelfde manier en op hetzelfde niveau

van formalisering te rekenen. Leraren volgen kortom, ook wat de instructie en

maatwerk betreft, hun methoden.

Tabel 6.5 - Differentiatievormen (% leraren)

Differentiatievormen Jg %

1. In het algemeen krijgen alle leerlingen tegelijk dezelfde instructie en maken zij

ook dezelfde oefenstof.

3 31,6

4 20,5

5 13,5

2. De instructie is in het algemeen voor alle leerlingen gelijk; bij de verwerking van

de oefenstof wordt gedifferentieerd naar niveau en/of tempo.

3 61,9

4 68,5

5 75,9

3. De instructie wordt per niveau- of tempogroep gegeven, eventueel met verdere

differentiatie bij de verwerking van de oefenstof

3 5,8

4 9,9

5 9,9

4. De instructie wordt individueel gegeven en ook de oefenstof wordt per leerling

bepaald.

3 0,7

4 0

5 0,7

In de conclusie van paragraaf 6.2.3 werd vastgesteld dat halverwege de basisschool

aanzienlijke verschillende tussen de minst en de meest gevorderde leerlingen zijn

ontstaan. Het ligt voor de hand om aan te nemen dat de tendens om de verwerking en

de leerstof te differentiëren leerlingen die meer in hun mars hebben de kans geeft om

vooruit te lopen. In die zin zou de sturing van het leerproces de toename van

verschillen tussen de minste en de meest gevorderde leerlingen in de hand kunnen

werken.


189

6.4.3 Introductie en vorm van algoritmisch rekenen

De leraren van de jaargroepen 4 en 5 hebben aangegeven of, en zo ja, op welk tijdstip

ze onder elkaar optellen en aftrekken met positiewaarden (kolomsgewijs rekenen) en/of

met positiecijfers (traditionele algoritmen) instrueerden. Tabel 6.6 geeft een beeld van

de praktijk.

Tabel 6.6 - Introductie kolomswijs en cijferend optellen en aftrekken (% leraren)

Rekenvorm Operatie 1e helft jg 5 2e helft jg 5 Jg 6

Kolomsgewijs Optellen 12,5 60 28

Aftrekken 7,5 49 44

Cijferend Optellen 12,9 37 52

Aftrekken 11,1 23,2 65,7

De antwoorden van de vragenlijsten tonen vijf opvallende tendensen (zie pagina 38 en

39 van de balans):

1. Er zijn nauwelijks leraren die al in jaargroep 4 onder elkaar leren optellen en

aftrekken. Bijna de helft van de leraren die op dit niveau lesgeeft zegt ook niet

te weten welke rekenwijze in de bovenbouw wordt aangeleerd.

2. In jaargroep vijf zegt bijna de helft van de leraren (44%) dat ze beide vormen

van rekenen aanbieden. Ongeveer een derde van de respondenten zegt dat

alleen de cijferalgoritmen worden aangeleerd, 8% dat alleen kolomsgewijs

rekenen wordt geïnstrueerd. De overige leraren weten gewoon niet wat de

school in de bovenbouw aanbiedt.

3. Leerlingen algoritmiseren eerst hun optelhandelingen en pas daarna hun

aftrekprocedures.

4. Kolomsgewijs rekenen slaat een brug tussen hoofdrekenen en cijferen.

5. Er tekent zich een relatie af tussen de gebruikte methode en de wijze en mate

van algoritmisering van optellen en aftrekken (zie pagina 39 van de balans). Een

grote groep leraren uit jaargroep 5 die een ‘oude’ methode gebruikt onderwijst

alleen het cijferalgoritme (60%);

De aantekeningen die de leerlingen in hun toetsboekjes hebben gemaakt, zijn niet

systematisch geïnventariseerd. Hierdoor kan geen relatie worden gelegd tussen het

aanbod en de onderwijsresultaten. We zullen hiertoe de geobserveerde

oplossingswijzen moeten gebruiken.

6.4.4 Conclusie

Bovenstaande informatie van de aanbodinventarisatie geven aanleiding om twee

conclusies te trekken. Leerlingen presteren ten eerste in de lijn van het aanbod en de

toegepaste sturing van het leerproces. Er zijn daarnaast ook aanwijzingen dat

Hoofdstuk 6

190

schoolteams van elkaar verschillen in de mate waarin ze afspraken maken over

algoritmiseren in de bovenbouw en over het tijdstip van aanbieding van onder elkaar

rekenen, naast of in het verlengde van hoofdrekenen aanbieden, met of zonder

kolomsgewijs rekenen als overgangsvorm. De kwalitatieve analyse van de oplossingen

moet nu overtuigende aanwijzingen voor de werking van deze onderwijsfactoren

verschaffen.

191

Hoofdstuk 7

Gebruikte methoden en vormen van aftrekken

7.1 Inleiding

In het voorgaande hoofdstuk zijn de verschillen in vaardigheidsniveau tussen de

leerlingen in kaart gebracht. In dit hoofdstuk bespreken we nu hoe leerlingen rijgen,

splitsen en beredeneren, bij het oplossen van een reeks aftrekopgaven die grotendeels

in hun vaardigheidsbereik liggen. De aandacht gaat uitsluitend uit naar de gebruikte

rekenvormen, los van de gevolgde strategie die in het hierna volgende hoofdstuk, in

combinatie met de rekenvormen, de volle aandacht zullen krijgen.

In onderstaand verslag van de analyse van de gebruikte vormen van rijgen, splitsen

en beredeneren, is als volgt rekening gehouden met de invloed van de context en de

getallen en met de illustratie ervan in hoofdstuk 8. De verwachte invloed van de

context en de getallen op de gebruiksfrequentie van de beschreven vormen is telkens

geëxpliciteerd. Ook is per vaardigheidsgroep aangeven in hoeveel opgaven van de

gemaakte set de betreffende kenmerken de frequentie van de betreffende vormen

kunnen beïnvloeden.

De vier onderzoeksvragen luidden als volgt:

Ten aanzien van de gebruikte hoofdrekenmethoden:

1. Hoe vaak gebruiken de leerlingen de vier geleerde hoofdrekenmethoden om

een opgave van de eigen set op te lossen (gebruiksfrequentie)?

2. Hoe vaak gaat dit gepaard met het vinden van het juiste antwoord? (succes)

Ten aanzien van de gebruikte vormen van rijgen, splitsen en beredeneren

3. Met welke vormen van rijgen, splitsen en beredeneren bewerken de leerlingen

de getallen van hun opgaven? (vormen / niveau van hoofdrekenen)

4. Volgens welk patroon worden deze vormen gebruikt? En: hoe varieert het

succes per niveau van formalisering?

In totaal zijn 1852 aftrekoplossingen geanalyseerd en in een van de zes

onderscheiden categorieën gecodeerd: (1) rijgen, (2) splitsen, (3) beredeneren, (4)

Hoofdstuk 7

192

weten, (5) anders en (6) rest. De vorm van rijgen, splitsen en beredeneren is

vastgesteld op basis van de drie indicatoren die in hoofdstuk 4 zijn geïntroduceerd: 1.

de aard van de rekenhandelingen, 2. de onderliggende wiskundige structuur en 3. het

gebruikte symboliseringsmiddel. Op basis van deze codering, zijn de oplossingen in

klassen gesorteerd die de wijze van rijgen, splitsen en beredeneren zichtbaar maken.

Pregnante voorbeelden van elke klasse brengen in dit hoofdstuk de trend in de

ontwikkeling van hoofdrekenen in beeld, langs de onderscheiden niveaus van de

geconstrueerde sequentie van de formalisering van rijgen, splitsen en beredeneren.

We presenteren eerst de gevonden patronen in het gebruik van rijgen, splitsen en

beredeneren (en van geheugenfeiten) bij de bewerking van de getallen van de

voorgelegde reeksen aftrekopgaven.

7.2 Gebruikte methoden

We brengen eerst de gebruiksfrequentie van de methoden en het succes van de

vaardigheidsgroepen in kaart.

7.2.1 Gebruiksfrequentie

We beginnen met de gebruiksfrequenties. De gebruiksfrequenties zijn per groep

berekend als het deel van de oplossingen van die groep dat als zodanig is

gecategoriseerd. De percentages van tabel 7.1 geven per vaardigheidsgroep aan (1) hoe

vaak de betreffende leerlingen de vier onderscheiden hoofdrekenmethoden hebben

toegepast (rijgen; splitsen; beredeneren; weten), (2) hoe vaak ze ‘anders’ hebben

gerekend en (3) hoeveel oplossingen tot de categorie ‘rest’ behoren (onjuiste

schematisering, sturing door de leraar of kan de opgave niet aan).

Tabel 7.1 - Gebruiksfrequentie van de geobserveerde hoofdrekenmethoden

Groep Rijgen Splitsen Beredeneren Weten Anders Rest Aantal oplossingen

Laag 57 % 8 % 8 % 7 % 11 % 9 % 602

Midden 65 % 17 % 8 % 2 % 4 % 4 % 610

Hoog 74 % 11 % 8 % 2 % 3 % 3 % 640

Totaal aantal oplossingsprocedures 1852

Het gebruikspatroon laat zich als volgt beschrijven.

Rijgen wordt, in alle drie de vaardigheidsgroepen het vaakst gebruikt. De

gebruiksfrequentie in de totale onderzoeksgroep bedraagt 63%. Wanneer we dit

vergelijken met het springend rekenen op scholen waar het honderdveld, in de jaren

tachtig, werd gebruikt (Beishuizen, 1986; Beishuizen en Van Mulken, 1986), ligt het

huidige rijgpercentage ongeveer 10% hoger. Leerlingen uit de groep Laag drukken dit


193

gemiddelde naar beneden, door het aandeel van twee andere categorieën: direct

‘weten’ en ‘anders’ rekenen.

Afgezien van de categorie Anders in de groep Laag, komt Splitsen op de tweede

plaats en Beredeneren op de derde. De frequentie van splitsen is gekelderd, in

vergelijking met het gebruik van deze methode in de jaren tachtig. Het aandeel van

splitsen varieerde, afhankelijk van de gebruikte rekenmethode, tussen 40% en 60%,

terwijl de huidige onderzoeksgroep in slechts 12% van de oplossingen heeft gesplitst.

Het laagste percentage van 8% in de groep Laag valt op, omdat juist ´rekenzwakke´

leerlingen in die periode sterk geneigd waren om te splitsen (Vuurmans, 1990). Deze

tendens lijkt nu verschoven te zijn naar de middengroep (aandeel=17%).

Als we het aandeel van Beredeneren en Weten samen nemen, kunnen we vaststellen

dat weinig leerlingen de onbekende term van een aftrekopgave direct uit een rekenfeit

hebben afgeleid. Het hoogste aandeel van 15% in de groep Laag valt des te meer op,

ook al leenden de getallen van de gemaakte reeks opgaven zich vaker voor deze

procedure dan de getallen van de reeks die de groepen Midden en Hoog hebben

opgelost (zie paragraaf 8.5 en 8.6)68.

De oplossingen van de categorieën Anders en Rest zijn uitgebreid behandeld in

hoofdstuk [12] van Balans 40 (Kraemer, 2010). Hier volstaan we echter met te

constateren, dat het contrast tussen Laag aan de ene kant en Midden en Hoog aan de

andere kant zich vermoedelijk laat verklaren door een combinatie van factoren

waaronder de taligheid van de aftrekproblemen in relatie tot het verworven inzicht in

de aftrekstructuren. Er zijn echter sterke aanwijzingen dat de factor ‘taal’ veel minder

een probleem vormt dan wel wordt verondersteld.

7.2.2 Succes

In het onderzoek is nagegaan, hoe vaak het gebruik van de vier methoden van

hoofdrekenen gepaard gaat met het vinden van het juiste antwoord. De resultaten

worden beschreven in tabel 7.2, waarin de percentages correcte antwoorden binnen de

vijf klassen berekeningen van elke vaardigheidsgroep worden weergegeven. De

oplossingen van de categorie Rest zijn niet in deze tabel opgenomen, omdat ze per

definitie als ‘foutief’ worden beschouwd. Het aantal oplossingen van dit type bepaalt

wel mede de gemiddelde totale goedscore van elke vaardigheidsgroep. Zo drukken de 9%

restoplossingen van de leerlingen met de laagste vaardigheid hun groepscore ongeveer

6% naar beneden. De analyseresultaten geven nu de volgende aanwijzingen over hoe

goed de leerlingen met de gebruikte methoden (hoofd)rekenen.

Leerlingen die de getallen van de opgave direct met een rekenfeit associëren, geven

in de meest gevallen het correcte antwoord (laag, 96%; midden, 90% en hoog, 100%).

Dit geldt ook voor de leerlingen uit de groep Laag (96% goed). Dit gegeven is om

twee redenen opmerkelijk. Ten eerste, omdat men in het verleden ‘rekenzwakke’

68 Deze invloed van de getallen komt uitgebreid aan de orde in hoofdstuk 8.

Hoofdstuk 7

194

leerlingen sterk associeerde met kinderen die eerder ‘mechanistisch’ dan ‘inzichtelijk’

rekenden. Ten tweede, omdat de laag presterende leerlingen van dit onderzoek veel

goede antwoorden hebben gevonden via de optelling die bij de aftrekking van de opgave

hoorde. Volgens recente bevindingen van onder ander Torbeyns, De Smedt

e.a.(2009), gebruiken basisschoolleerling namelijk zelden deze inverse relatie tussen

optellen en aftrekken. De onderzoekers identificeerden vier factoren die ongetwijfeld

een rol hebben gespeeld: (i) opgavenkenmerken, (ii) het aanbod, (iii)

leerlingkenmerken en (iv) de kwaliteit van de instructie. De meta-analyse van

beschikbare data over aftrekken via indirect optellen, zoals uitgevoerd door Gilmoer

& Papadatou-Pastou (2009), bevestigt de werking van deze factoren. Een van de

gevonden patronen maakt de verschillen in aantallen oplossingen van het type ‘weten’

en het hoge aantal correcte antwoorden begrijpelijk. Een contextopgave, al dan niet in

combinatie met een afbeelding, bevordert namelijk de associatie van de aftrekking van

deze opgave met de passende indirecte optelling. Voor de aftrekopgaven van dit

dissertatieonderzoek geldt, dat de getallen van de opgave de invloed van de context

kunnen aansterken (of juiste verzwakken), zoals beschreven in hoofdstuk 8.

Tabel 7.2 - Percentage correcte antwoorden per gebruikte hoofdrekenmethode

Groepen Rijgen Splitsen Redeneren Weten Anders Totaal

Laag 83 % 35 % 50 % 96 % 20 % 63%

Midden 87 % 43 % 63 % 90 % 31 % 71%

Hoog 91 % 58 % 69 % 100 % 24 % 82%

Rijgen gaat in alle drie de vaardigheidsgroepen gepaard met een hoog tot zeer hoog

percentage correcte antwoorden. Dit succes komt overeen met het geobserveerde

succes in de jaren tachtig. ‘Rijgers’ presteerden toen stelselmatig beter dan ‘splitsers’

(o.a. Beishuizen, 1985, 1989, 1993). De mate van succes bij rijgen komt ook overeen

met dat van de leerlingen in de onderwijsexperimenten van de jaren negentig (Selter,

1996; 1997; 2002; Selter & Sundermann, 1997; Klein, 1998; Menne, 2001).

Splitsen en Beredeneren worden het minst toegepast maar gaan, verhoudingsgewijs,

gepaard met het grootst aantal fouten. Dit is vooral ernstig voor de leerlingen uit de

groep Midden, omdat ze relatief vaak splitsen (17% splitsberekeningen). Ze geven in

slechts 43% van deze oplossingen het juiste antwoord.

Leerlingen uit de middengroep komen beter uit de verf wanneer ze opgaven

beredenerend oplossen (63% goed). Dit geldt ook, zij het in mindere mate, voor de

leerlingen uit de twee andere vaardigheidsgroepen.

Een oplossing valt onder categorie ‘Anders’ als de leerling niet duidelijk kan maken

hoe er is gerekend (onherkenbare rekenvorm). Het relatief hoge percentage correcte

antwoorden in deze categorie wijst uit, dat leerlingen correct kunnen rekenen, ook al

slagen ze er niet in om uit te leggen hoe ze denken en rekenen (c.q. hebben gedacht en

gerekend).


195

7.2.3 Patroon

De gebruiksfrequentie van de hoofdrekenmethoden maken vier patronen in de

verworven hoofdrekenbekwaamheid aannemelijk.

1. In alle drie de vaardigheidsgroepen rekenen de leerlingen in de lijn van de

verwachte invloed van kenmerken van de voorgelegde opgaven (zie hoofdstuk

5). Dit wijst erop dat ze zich sterk door de vorm, de context en/of de getallen van

een aftrekopgave laten leiden. We komen hier uitvoerig in hoofdstuk 8 op

terug.

2. Leerlingen met een lage vaardigheid rekenen anders tot honderd dan vóór de

modernisering van het rekenonderwijs. Ze rijgen beduidend meer en met veel

succes. Wanneer ze de aftreksom of stipsom, die ze in een opgave herkennen

met een bekend aftrekfeit of de passende optelling direct associëren, doen ze dat

meestal goed (zie Weten). Ze proberen zelfs deze som beredenerend te herleiden,

wat echter in 50% van de gevallen boven hun wiskundige kracht ligt.

3. Leerlingen uit de middengroep hebben een zekere neiging ontwikkeld om

positioneel te rekenen. Het gaat hen echter niet goed af. Ze lijken in die zin op

de ‘rekenzwakke’ leerlingen in de jaren tachtig, die een sterke voorkeur hadden

voor splitsen, maar bij aftrekken vaak een foutief antwoord gaven door het

mechanisch gebruik van een foutieve vorm van splitsen.

4. Leerlingen met de hoogste rekenvaardigheid behalen zeer goede resultaten met

de rijgmethode, ook al maken ze relatief veel opgaven met driecijferige getallen

die nog weinig (c.q. niet) in de klas aan de orde zijn geweest. Beredeneren en

vooral splitsen gaan hen beduidend minder goed af, waardoor de totaal

gemiddelde goedscore niet meer dan ‘goed’ is, namelijk 82%, tegen 71% in de

middengroep en 63% in de groep Laag. Dit patroon introduceert de laatste

conclusie.

5. Zowel de gebruiksfrequentie van rijgen, splitsen, beredeneren en weten als het succes

dat de leerlingen uit alle drie de vaardigheidsgroepen met deze methoden

hebben, stemmen overeen met (a) de volgorde van aanbieding in de realistische

methoden die leraren gebruiken en (b) de introductie van een of andere vorm

van algoritmisch aftrekken. ‘Eerst rijgen, dan splitsen en vervolgens

variarekenen’, zo luidt het adagio van de didactici van de TAL-groep (zie

paragraaf 3.4.2). Leerlingen uit de middengroep gebruiken deze methoden in

aflopende volgorde van frequentie, de overige leerlingen vooral rijgen en

beredeneren/weten en daarnaast ook splitsen.

Wie algoritmisch rekent, trekt systematisch af, zij het kolomsgewijs, zij het

cijferend. Beide type berekeningen vallen onder de categorie ‘splitsen’. Het

(zeer) lage percentage splitsoplossingen maakt aannemelijk dat weinig leerlingen

algoritmisch aftrekken.

Hoofdstuk 7

196

Al met al rekenen de leerlingen, kort gezegd, in de lijn van de volgorde van aanbieding

van hoofdrekenmethoden en de daarop volgende introductie van het algoritmisch

rekenen.

7.3 Hoe leerlingen rijgen

Rijgen is de meest gebruikte en de meest effectieve hoofdrekenmethode. We

presenteren in deze paragraaf de vormen van rijgen die de drie onderzochte

vaardigheidsgroepen hebben gebruikt, het patroon in het gebruik ervan en het succes

per niveau van rijgen. Paragraaf 7.4.1 geeft, per vaardigheidsgroep, de rekencondities

weer, die de context en de getallen opleggen. Deze informatie helpt om de resultaten

van de analyse van de gebruikte vormen van rijgen (paragraaf 7.4.2) en van de variatie

in oplossingsniveaus en succes (paragraaf 7.4.3) correct te interpreteren.

7.3.1 Rijgcondities

De leerlingen kunnen een in een context aangeboden aftrekprobleem op drie

manieren vertalen in een rekenopgave, door een aftrekking uit de opgave te

distelleren, of door er een indirecte optelling, of indirecte aftrekking van de maken (zie

paragraaf 5.3). Deze keuze wordt beïnvloed door de context en door de getallen in de

opgave. Sommige opgaven lenen zich meer voor aanvullen/ indirect optellen, andere

meer voor aftrekken/indirect aftrekken. De gemaakte keuze heeft gevolgen voor de

complexiteit van de bewerking die vervolgens uitgevoerd moet worden (zie 5.3). De

situatie is wat dit betreft niet voor alle leerlinggroepen gelijk, omdat de opgavensets

voor de groepen laag, midden en hoog zijn in dit opzicht niet identiek zijn.

De voorbeelden van tabel 7.3 illustreren hoe een leerling de tekst en context van

een aftrekprobleem verschillend kan interpreteren en de getallen van de opgave anders

in relatie tot elkaar kan brengen, waardoor de getallen ook anders rijgend kunnen

worden bewerkt.

Deze voorbeelden laten goed zien dat de leerling meer of minder getallen aan

elkaar koppelt (c.q. meer of minder sprongen van 10 en telstappen moet maken),

afhankelijk van (a) de grootte van de aftrekker en van het verschil tussen de het aftrektal

en de aftrekker getallen van de opgave en (b) de gekozen modellering: een stip om bij

indirect optellen / aftrekken (a + ? = c of c - ? = a) en een aftrekking (c – b = a), bij

aftrekken.


197

Tabel 7.3 Invloed van de getallen en de gekozen strategie op de complexiteit van de rijgbewerkingen

Opg. Indirect optellen* Aftrekken*

1 12+..=25

12+10=22 22+3=25 13

25-12=..

25-10=15 15-2=13 of met 2 telstappen

12 48+..=62

48+10=58 58+4=62 14

62-48=..

62-10 52 52-10=42 42-10=32 32-

10=22 22-8=14 of met 8 telstappen

9 48+..=100

48+10=58 58+10=68 68+10=78

78+10=88 88+10=98

98+2=100

10, 20, 30, 40, 50, 52

100-48=..

100-10=90 90-10=80 80-10=70 70-

10=60 60-8=52 of met 8 telstappen

(*) De afgelegde afstand met de 10-sprong is schuin gedrukt.

In tabel 7.4 beschrijven we de variatie in rijgcondities tussen de drie groepen, die

ontstaan als gevolg van verschillen in de contexten en de getallencombinaties van de

aangeboden opgaven (zie ook paragraaf 5.4.3).

Tabel 7.4 Verschillen in rijgcondities als gevolg van verschillen in contexten en getallen

Vgr Condities

Laag

– De PPON- en de LOVS-steekproeven hebben een kale aftrekking (opgave 4) gemaakt. Drie van de 5 (c.q. 7) contextproblemen sporen (sterk) aan om aan te vullen, geen een om af te trekken.

– Twee opgaven (1 en 2) kunnen, onafhankelijk van de modellering, met slechts één sprong worden opgelost. Alle overige opgaven vergen opeenvolgende sprongen, sommigen alleen bij aftrekken (opgaven 5, 6 en 11), anderen zowel bij aftrekken als bij overbruggen (3, 4 en 9).

Midden

– De PPON-groep heeft een kale aftrekking gemaakt (opgave 10) en één aftrek probleem dat sterk aanstuurt om aan te vullen tegen twee in de LOVS-groep. Geen een opgave lokte expliciet aftrekken uit.

– De LOVS-groep heeft ook opgave 1 gemaakt die met één sprong van 10 kan worden opgelost. De overige opgaven vergen opeenvolgende sprongen, alleen bij aftrekken (opgaven 6, 8, 11, 12) of zowel bij aftrekken als bij overbruggen (9 en 13).

Hoog

– De PPON- en de LOVS-steekproeven hebben één kale aftrekking gemaakt (opgave 12) en één aftrekprobleem dat sterk aanstuurt om af te trekken (opgave 16). Opgave 17, die beide steekproeven hebben gemaakt, vragen expliciet om aan te vullen. De LOVS-groep heeft ook opgave 11 gemaakt die sterk aanstuurt om aan te vullen.

– Alle opgaven vergen opeenvolgende sprongen, alleen bij aftrekken (opgaven 6, 11 en 12) of zowel bij aftrekken als bij overbruggen (9, 13, 14, 16 en 17).

Hoofdstuk 7

198

7.3.2 Vormen van rijgen

Bij het beschrijven van de vormen van rijgen gaan we uit van de in hoofdstuk 4

geconstrueerde sequentie van rijgvormen (zie figuur 4.11).

De cijfers 3 t/m 8 duiden het niveau van formalisering van de betreffende

rijgprocedures aan, zoals aangegeven in het schema van figuur 7.1. Verkort tellen komt

voort uit de telvormen die de leerling in de onderbouw uitvindt: verkort tellen met objecten

op niveau 2, als gecomprimeerde vorm van direct modelleren met verzamelingen objecten

(startniveau van rijgen).

Eigenschappen van rijgen

Aard v/d rekenhandelingen

Onderliggende wiskundige structuur

Symboliseringsmiddel

8 Formeel netwerk van relaties tussen numerieke relaties die verankerd zijn in rekeneigenschappen

puur mentaal

7 idem, in combinatie met de factor 10

schaalvergroting – knopentaal

– sommentaal

6 met niet tientallig afgesplitste getallen

getal als object dat een eigen betekenis heeft in haar relatie tot andere getallen

5 met samengestelde getallen als knooppunten

integratie van teltal en aantal

– afpassen met meetstroken / schuiven met kralen

– sprongen op een lege getallenlijn

– peilentaal sommentaal

4 met tienvouden als knooppunten

getallen als knooppunten van lineair-decimale getalrelaties

3 idem zonder objecten getal als som van twee andere getallen (8 als 7+1, 5+3; 4+4, …

telwoorden

2 verkort tellen met objecten

aantal als term van een numerieke relatie

gesymboliseerde telstappen (turfjes, rondjes, opgestoken vingers, etc.)

1 direct modelleren perceptueel-enactieve structuren breek-maak-transformaties

Figuur 7.1 Onderscheidende niveaus en vormen van rijgen

7.3.3 Gebruikspatroon en succes per niveau van rijgen

Alvorens het patroon te beschrijven volgens welk deze vormen worden gebruikt en

hoe het succes per vorm/niveau van rijgen varieert, geven we eerst een korte

toelichting van de uitgevoerde analyse.

Om de onderzoeksvragen te kunnen beantwoorden, zijn de in figuur 7.1

onderscheiden vormen van rijgen ingedikt tot vier hoofdcategorieën:

– tellen”: met (gesymboliseerd) telstappen

– springen: met tienvouden of samengestelde getallen als knooppunten van

lineair-decimale optel- of aftrekrelaties


199

– structureren: met niet-tientallig afgesplitste getallen (rekenen onder de 100) en in

combinatie met de factor 10 (rekenen onder de 1000);

– gestandaardiseerd: redenerend op basis van rekenregels binnen een eigen

relatienet

Deze vier klassen rijgbewerkingen dekken de niveauverhoging van tellen naar

springen, structureren en standaardiseren van de geconstrueerde sequentie van de

formalisering van de rijgprocedures.

De gebruiksfrequentie is voor deze analyse gedefinieerd als het totaal aantal keer

dat de betreffende vorm(en) in de betreffende vaardigheidsgroep is gebruikt.

Het succes is de totaal gemiddelde goedscore in de vier klassen rijgbewerkingen:

tellen, springen, structureren en gestandaardiseerd.

De variatie in de condities waaronder de leerlingen van de onderzoeksgroepen hebben

geregen betekent dat de analyseresultaten relatieve verschillen in de mate van

formalisering binnen de vaardigheidsgroepen weergeven. Ze brengen tot uitdrukking

het verworven vertrouwen in een beperkt repertoire van verschillende

handelingspatronen die de getallen (en de context) van de opgave oproepen. Springen,

structureren en gestandaardiseerd houden, kort gezegd, in de groep Laag iets anders in dan

in de middengroep en in de groep Hoog.

Tabel 7.5 brengt de analyseresultaten in beeld. De trend in deze data geeft nu de

volgende aanvullende informatie over de verworven rijgvaardigheid van de

onderzoeksgroep.

Tabel 7.5 – Gebruiksverdeling van de vormen van rijgen en succes per niveau van rijgen

Niveau van formalisering

Vaardigheidsgroepen

Laag Midden Hoog

Freq. % goed Freq. % goed Freq. % goed

Gestandaardiseerd (8) 27% 88% 37% 89% 30% 93%

Structureren (6-7) 5%

(N=16)- 13 v/d 16 21% 81% 48% 87%

Springen (4-5) 54% 83% 41% 88% 22% 99

Tellen (3) 14% 68% 1% (N=4) 3 v/4 / /

Groep Laag

Er is in de groep Laag in 27% van de oplossingen op het gestandaardiseerde niveau

geregen. De totaal gemiddelde goedscore bedraagt 88%. Dit betekent dat de

betreffende leerlingen betekenisvol redeneren binnen het gebruikte relatienet. In de

set aftrekopgaven die de PPON- en LOVS-steekproef hebben gemaakt (respectievelijk

6 en 8 items), waren er twee die, onafhankelijk van de gekozen strategie, met één

sprong konden worden opgelost (opgaven 1 en 2). Alle overige opgaven vergden

opeenvolgende sprongen, hetzij alleen bij aftrekken (opgaven 5, 6 en 11), hetzij zowel

bij aftrekken als overbruggen (3, 4 en 9).

Hoofdstuk 7

200

Drie tot zes van de 6 c.q. 8 opgaven konden ‘structurerend’ worden opgelost. Het

is slechts zestien keer waargenomen (5% van de rijgoplossingen). Dit maakt

aannemelijk dat structurerend rijgen medio jaargroep 5 nog niet vanzelfsprekend is

voor leerlingen met een lage vaardigheid, wat onze analyse van de bouwstenen

ondersteunt (zie paragraaf 6.2.1). De gebruikers rekenen wel inzichtelijk.

In ruim de helft van de oplossingen past de leerling één van de twee vormen van

springen toe. Dit wijst erop dat menige leerling zowel conceptuele als procedurele

bouwstenen mist om de springhandeling van niveau 6 te kunnen verdichten tot rijgen

met niet-tientallig afgesplitste getallen (niveau 6).

De frequentie van rijgen met telstappen is ten slotte opmerkelijk hoog voor

leerlingen halverwege de basisschool. Het lage succes (68%) heeft alles te maken met

de oplopende kans op vergissingen en telfouten naarmate de telafstand toeneemt (zie

de foutenanalyse van hoofdstuk 9).

Al met al, ondersteunen bovenstaande aanwijzingen de conclusies die getrokken is

bij de doorlichting van de onderwijsresultaten van de 4e PPON rekenpeiling (zie

paragraaf 6.2). Leerlingen met een lage vaardigheid zijn vooral goed vertrouwd met de

basale handelingspatronen van het rijgen. Ze blijven echter sterk afhankelijk van één

voor één tellen om de eenheden te bewerken.

Middengroep

Er is in de groep Midden in 37% van de oplossingen op het gestandaardiseerde niveau

geregen. De betreffende leerlingen beheersen de toegepaste procedures zeer goed

(89% goede antwoorden).

Deze brede middengroep is nog sterk afhankelijk van de twee vormen van springen

(41%) die ze zeer goed beheersen (89%), in vergelijking met structureren (21%). Bij dit

rijgen met niet-tientallig afgesplitste getallen bewerken sommige leerlingen uit de

middengroep de eenheden (nog) in twee stappen (via een tiental) en/of verder

tellend/terugtellend met stappen van één. De gemiddelde goedscore van 81%

suggereert dat sommigen de vereiste basisautomatismen (nog) onvoldoende

beheersen. Rijgen met uitsluitend telstappen is in deze middengroep maar vier keer,

dus bij uitzondering toegepast.

Op grond van de kwantitatieve voortgangsgegevens is in paragraaf 6.6 vastgesteld dat

de gemiddelde leerling voldoende kennis en bekwaamheid heeft verworven om op het

structurerend niveau van de sequentie te kunnen rijgen. Dit beeld moet worden

genuanceerd. De kwalitatieve data suggereren eerder dat er, binnen de middengroep,

twee subgroepen bestaan. Één met een lagere vaardigheid die meer lijkt op de meest

vaardige leerlingen van de groep Laag en nog sterk afhankelijk is van springen. Één

met een hogere vaardigheid die leerlingen uit de groep Hoog op de voet volgen en al

redelijk goed structurerend kunnen rijgen. Vermoedelijk zijn het deze leerlingen die de

twee relatief moeilijke opgaven met driecijferige getallen (12 en 13) ook correct

kunnen oplossen en de hun minder vaardige groepsgenoten die nog af en toe tellend

rekenen.


201

Groep Hoog

De meest gevorderde leerlingen rijgen op de drie hoogste niveaus van de sequentie.

Twee aspecten van de verdeling vallen op. Er wordt vooral met niet-tientallig afgesplitste

getallen geregen (48%) en in 30% van de oplossingen op het gestandaardiseerde niveau.

Dit is een prestatie van formaat, als we ons realiseren dat deze groep drie opgaven

heeft gemaakt met driecijferige getallen (13, 14 en 16), plus de indirecte optelling 998

+ … = 1662. Gestandaardiseerd bij gevallen als 250 - 189 of 189 + … = 250; 620 -

370 of 370 + .. = 620 en 990 - 595 of 595 + … = 900 doet een beroep op

rekenkennis en rekenvaardigheden die, volgens de voortgangsgegevens van hoofdstuk

6, globaal genomen door de 10% meest gevorderde leerlingen zijn verworven. Het ligt

voor de hand aan te nemen dat dit rekenen in het gebied boven de honderd de

relatieve lage frequentie van gestandaardiseerd rijgen en dus hoge frequentie van

structurerend rijgen verklaart. De hele groep rijgt, hoe dan ook, als groep boven het

niveau van de middengroep.

Op basis van deze gegevens ligt het, concluderend, voor de hand om aan te

nemen, dat deze leerlingen de (meeste) bewerkingen onder en over de honderd op

gestandaardiseerd niveau uitvoeren en één of meer opgaven met meer cijfers, op een

niveau lager, structurerend modelleren.

7.3.4 Patroon en voorlopige conclusie

Het geheel overziende maken de resultaten van de analyse van de rijgoplossingen en

het bereikte niveau van de drie vaardigheidsgroepen het volgende patroon zichtbaar.

– Leerlingen rijgen, halverwege de basisschool, op vier opeenvolgende niveaus:

(i) met telstappen (informeel), (2) met sprongen in de telrij (springen), (3) met

getallen als knooppunten van optel- of aftrekrelaties (structurerend) en (4) met

termen van operaties (gestandaardiseerd).

– De verschillen tussen de leerlingen zijn, zowel binnen de groep Laag als tussen

de drie vaardigheidsgroepen, groot tot zeer groot. De minst gevorderde

leerlingen uit de groep Laag hebben nog behoefte om met gesymboliseerde

telstappen te rekenen, terwijl hun groepsgenoten de gemakkelijkste

aftrekopgaven, sprongsgewijs en gestandaardiseerd kunnen uitrekenen.

Sommige leerlingen uit de groep Midden bereiken het gestandaardiseerde

niveau van rijgen niet, omdat ze de voorwaardelijke basisautomatismen nog

niet beheersen. Dit geldt ook voor plusminus twintig procent van de

leerlingen uit de groep Hoog, wanneer ze opgaven met driecijferige getallen

bewerken. Deze vaardigheidsgroep rekent echter vrijwel foutloos en

gestandaardiseerd tot 100.

Dit patroon geeft aanleiding tot drie voorlopige conclusies ten aanzien van de

didactiek van het leren rijgen.

Hoofdstuk 7

202

1. De prioriteit die aan rijgen wordt gegeven werpt, wat het succes betreft, de

verwachte vruchten af.

2. De aanzienlijke variatie in niveaus van rijgen en succes weerspiegelt de

toegepaste differentiatie naar voorkeur en niveau van de leerlingen, die de

auteurs van de gebruikte rekenmethoden aanbevelen en die een grote groep

leraren zegt toe te passen.

3. Het patroon in de resultaten geeft aanleiding om aan te nemen dat de leerlingen

met de hoogste vaardigheden (op of boven percentiel-75) het meest profiteren

van de condities waaronder ze leren rijgen en dat leerlingen met de laagste

vaardigheid juist de prikkel en steun missen die ze nodig hebben om hun

informele procedures, tijdig, naar behoren te verkorten en te formaliseren.

7.4 Hoe leerlingen splitsen

Het splitsen wordt zoals we hierboven zagen minder toegepast dan het rijgen.

Leerlingen uit de middengroep hebben het vaakst gesplitst, in ongeveer één op de vijf

oplossingen. We zagen in paragraaf 7.2 dat het hen niet goed afging. Zelfs de

leerlingen met de hoogste vaardigheidsgroep, die in één op de tien oplossingen

splitsen, komen niet verder dan 58% goede antwoorden. Leerlingen uit de laagste

vaardigheidsgroep komen in slechts één op de drie oplossingen op het goede

antwoord.

In deze paragraaf brengen we de vormen van splitsen die de leerlingen hebben

gebruikt in kaart. We beschrijven hoe vaak de leerlingen op de verschillende niveaus

hebben gesplitst en met welk succes. Het geheel geeft een beeld van de

kernproblemen die de drie vaardigheidsgroepen bij splitsen ondervinden en roept

vragen op ten aanzien van de gevolgde rekendidactiek. We beginnen met een

bespreking van de variatie in kenmerken van de opgaven in de verschillende opgaven

sets.

7.4.1 Splitscondities

Wanneer de leerlingen splitsen, betekent dit niet automatisch dat ze aftrekken.

Leerlingen combineren ook, bij het rekenen in context, uit zichzelf splitsen met indirect

optellen. De voorbeelden van tabel 7.6 illustreren de complexiteit van deze e

splitsbewerkingen

In tabel 7.6 beschrijven we de variatie in splitscondities tussen de drie groepen, die

ontstaan als gevolg van verschillen in de contexten en de getallencombinaties van de

aangeboden opgaven (zie ook paragraaf 5.4.3).


203

Tabel 7.6 Invloed van de getallen en de gekozen strategie op de complexiteit van de splitsbewerkingen

Opg. Indirect optellen* Aftrekken*

1 12+..=25

10+10=20 2+3=5 10+3=13

25-12=..

20-10=10 5-3=2 10+3=13

12 48+.. =62

Foutief

40+20=60 8-2=6 20+6=26

Correct

40+10=60 8+4=12 10+4=14

62-48=..

Foutief

60-40=20 8-2=6 20+6=26

Correct

60-40=20 2-8 is 6 te weinig; 20-6=14

9 48+.. =100

Foutief

48+60=100 8+2=10 60+2=62

Correct

40+50=90 8+2=10 50+2=52

100-48=..

Foutief

100-40=60 de 8 weer bij is 68

of 8 van de 10 rest 2, dus 62

Correct

100-40=60 60-8=52

(*) De foutieve splitshandelingen zijn in cursief gedrukt

Tabel 7.7 Verschillen in splitscondities als gevolg van verschillen in contexten en getallen

Vgr Condities

Laag

– De PPON- en de LOVS-steekproeven hebben een kale aftrekking (opgave 4) gemaakt.

Drie van de 5 (c.q. 7) contextproblemen sporen (sterk) aan om aan te vullen, geen een

om af te trekken.

– Beide groepen hebben twee opgaven zonder tientaloverschrijding gemaakt (1 en 5). De

PPON-groep heeft drie opgaven gemaakt met een tekort aan eenheden, met een

veelvoud van tien als aftrektal (3, 4 en 6). De LOVS-groep heeft ook ankeropgave 9

gemaakt die dezelfde splitscondities oplegt. Deze groep heeft ook twee

standaardopgaven met tientaloverschrijding gemaakt (2 en 11) tegen één in de PPON-

groep (opgave 2).

Midden

– De PPON-groep heeft kale aftrekking gemaakt (opgave 10) en één aftrekprobleem dat

sterk aanstuurt op aanvullen tegen twee in de LOVS-groep. Geen enkele opgave lokte

expliciet aftrekken uit.

– De LOVS-groep heeft ook opgave 1, zonder tientaloverschrijding, gemaakt. In vier

opgaven met een tekort aan eenheden was het aftrektal een veelvoud van tien (6, 8, 9 en

10). De LOVS-groep heeft één standaardopgave met tientaloverschrijding meer gemaakt

dan de PPON-groep, namelijk ankeropgave 13, naast de opgaven 11 en 12.

Hoog

– De PPON- en de LOVS steekproeven hebben één kale aftrekking gemaakt (opgave 12)

en één aftrekprobleem dat sterk aanstuurt om af te trekken (opgave 16). Opgave 17, die

beide steekproeven hebben gemaakt, vragen expliciet om aan te vullen. De LOVS-groep

heeft ook opgave 11 gemaakt die sterk aanstuurt om aan te vullen.

– In alle opgaven komen de leerlingen eenheden tekort. Het aftrektal is slechts in twee

extra ankeropgaven die de LOVS-groep heeft gemaakt een veelvoud van tien (opgaven 6

en 9).

Hoofdstuk 7

204

7.4.2 Rekenvormen

Om de gebruikte vormen van spitsen in kaart te brengen, is wederom gebruik gemaakt

van de in hoofdstuk vier beschreven sequentie (zie figuur 7.2). De cijfers 3 t/m 8

duiden het niveau van formalisering van de betreffende splitsprocedures aan. We

bespreken achtereenvolgens:

– het rekenen met tienen en lossen,

– de combinatie van rijgen met splitsen, op niveau 5,

– het optellen en aftrekken met positiewaarden op niveau 6 en 7, en

– het algoritmisch aftrekken, al dan niet met positiecijfers.

Eigenschappen van splitsen

Aard van de rekenhandeling Onderliggende

wiskundige structuur Symboliseringsmiddel

8 formeel positionele ordening van de

eenheden

traditioneel algoritme

7 kolomsgewijs verticale ordening van

rekenhandelingen

Tussen strepen

Onder elkaar, kolomsgewijs

6 Met positiewaarden

met tekort

via het vrij maken van een tien

buggy algoritme

positionele structuur van de

getallen

met decimale hulpmiddelen

horizontaal, in sommentaal

5 Combinatie van rijgen met

splitsen

integratie van teltal en aantal horizontaal, in sommentaal of

peilentaal

4 Optellen en aftrekken en

eenheden van 10 en 1, zonder

tientaloverschrijding

analogie in de structuur van

tellen met eenheden van 10 en

1

met decimale hulpmiddelen

horizontaal, in sommentaal

Figuur 7.2 Onderscheiden niveaus en vormen van splitsen

7.4.3 Gebruiksfrequentie en succes per niveau van splitsen

Deze paragraaf presenteert het gevonden patroon in het gebruik van bovenstaande

vormen van splitsen en in het succes per vorm/niveau, op basis van de condities van

tabel 7.8 en de codering van figuur 7.2.

Het aantal waarnemingen is relatief laag. De gebruiksfrequentie wordt daarom

zowel in percentages als in aantal berekeningen uitgedrukt. Het succes per

niveau/vorm van splitsen is uitgedrukt in een totaal aantal correcte antwoorden. Deze

analyseresultaten geven onderstaande aanvullende informatie over de verworven

splitsvaardigheid van de drie onderzochte groepen leerlingen.


205

Tabel 7.8 – Gebruiksverdeling van de vormen van splitsen en succes per niveau van splitsen

Niveau van formalisering Vaardigheidsgroepen

Laag Midden Hoog


Algoritmisch (8)

buggys

30

(61%)

(N=28)

2 49 (47%)

(35)

10 21(30%)

(16)

2

Met positiewaarden/

(6 of 7)

/ / 14 (13%) 13 27 (39%) 24

Mengvorm

splitsen-rijgen (5)

/ / 32 (31%) 14 21 (30%) 14

Met eenheden van 10-1

(4)

19

(39%)

15 9 (9%)9 8 / /

Totaal 49 17 (35%) 104 45 (43%) 69 40 (58%)

Groep Laag

De verdeling laat zien dat leerlingen uit de groep Laag óf met eenheden van tien en

één - op het meest informele niveau - splitsen, óf algoritmisch proberen af te trekken

of aan te vullen. Ze laten zich daarbij sterk door de context en de getallen leiden. Ze

trekken af of vullen aan ‘met tienen en lossen’ bij de opgaven zonder

tientaloverschrijding en algoritmisch bij opgaven met een tekort aan eenheden. Het

zijn, op opgave 2 na, telkens rekensituaties met een veelvoud van tien als aftrektal,

bijvoorbeeld 60 bij de kale aftrekking 60 - 35 en 40 bij opgave 6, waarin 40 - 24 (c.q.

24 + .. = 40) is gecontextualiseerd. Leerlingen zouden opgave 2 waarin het verschil

tussen 22 jaar en 18 jaar is gecontextualiseerd met de mengvorm (20 – 10 + 2 - 8) of

met tekort (20 – 10 - 6) kunnen uitrekenen. Ze vullen echter wijselijk genoeg aan tot

22 of springen terug naar 18.

Het patroon in succes weerspiegelt het verschil in abstractieniveau. Wie met tienen

en lossen aftrekt of aanvult, komt praktisch altijd op het goede antwoord, wie dat

algoritmisch probeert te doen, maakt vrijwel altijd de fout die het gebruikte buggy

algoritme automatisch genereert. Dit is het geval in 28 van 30 algoritmische

berekeningen. De totaal gemiddelde score bij splitsen is navenant, slechts 35%.

Deze analyse van hoe leerlingen met een lage vaardigheid splitsen bevestigt de

eerdere indruk (hoofdstuk 6) dat het gros van de leerlingen slechts op een zeer

elementair niveau positioneel kan denken. Het gevonden patroon bij splitsend

aanvullen en aftrekken geeft aanleiding om aan te nemen dat leerlingen die splitsen,

automatisch op de (context en de) getallen van de betreffende opgave reageren en het

overschot / het tekort aan eenheden nog niet als zodanig hebben geproblematiseerd. Wat

dit betreft, is er geen verschil tussen de huidige leerling met een lage vaardigheid en de

‘rekenzwakke’ leerling die, eind jaren tachtig, met het instrumentarium van het

Speerpunt rekenen werd geobserveerd (Vuurmans, 1990).

Hoofdstuk 7

206

Middengroep

De middengroep splitst meer gedifferentieerd in de lijn van de mogelijkheden die de

context en de getallen van de voorgelegde opgaven bieden. De frequentieverdeling

maakt het volgende patroon zichtbaar:

– In bijna de helft van de berekeningen bewerkt de leerling de getallen

algoritmisch, hetzij met aftrekhandelingen, hetzij aanvullend.

– De tweede meest gebruikte vorm is de combinatie van rijgen met splitsen in

31% van de oplossingen, die ook Selter (2002) in zijn onderzoek heeft

geobserveerd. In de resterende 13% berekeningen trekt de leerling met

tekorten af.

– Het succes verschilt sterk per oplossingsniveau. Het varieert van slechts één op

de vijf goed bij algoritmisch rekenen (eindniveau) tot bijna 100% goed bij

rekenen met tienen en lossen (startniveau) en bij aftrekken met tekorten op

niveau 6 en 7. De combinatie van rijgen met splitsen op niveau 5 leidt in

slechts één op de twee berekeningen tot een goed antwoord.

Bij de opsporing van de bouwstenen in hoofdstuk 6 werd aangenomen dat deze

mengvorm nog niet toegankelijk was voor de doorsnee leerling met een lage

vaardigheid. Bovenstaande resultaten geven aan, dat ook een deel van de leerlingen uit

de middengroep belangrijke bouwstenen mist. Dit resultaat spreekt de verwachting

van Beishuizen en van Van Mulken (1986; 1988) in de jaren tachtig tegen, dat de

mengvorm perspectieven biedt, door de integratie van rijgen met splitsen. Deze

integratie blijkt nu, in elk geval wat aftrekken betreft, complexer dan vermoed.

Het opmerkelijkste resultaat is echter, dat in 35 van de 49 formele berekeningen,

het leerlingen uit de brede middengroep zijn die een buggy algoritme inzetten. Daar

tegenover staat de bijna 100% goedscore in de cluster berekeningen met tekorten

Dit patroon maakt (samen met de voortgangsgegevens van hoofdstuk 6)

aannemelijk, dat de minst vaardige leerlingen uit de middengroep eerder met de

mengvorm en/of algoritmisch proberen te splitsen, terwijl de meest vaardige leerlingen

eerder met tekorten aftrekken.

Groep Hoog

Het meest opmerkelijk in het splitsgedrag van de leerlingen met de hoogste

vaardigheid is het gebruik van een buggy algoritme in bijna één op de vier

splitsberekeningen. Het beperkte succes bij splitsen met de mengvorm – twee op de drie

goed – bevestigt de veronderstelde complexiteit van deze manier van bewerken. Wij

moeten echter niet uit het oog verliezen, dat de betreffende leerlingen wellicht ook

opgaven met drie getallen op dit niveau hebben geprobeerd op te lossen, wat in de

meest klassen op dat moment nog niet aan de orde is gesteld.

Een tweede opmerkelijk resultaat is het contrast in succes tussen splitsen met

tekorten op niveau 6-7 (17 van de 24 goed) en algoritmisch splitsen op niveau 8 (2 van


207

de 21 goed). Dit wekt de indruk dat leren aftrekken met tekorten en algoritmisch leren

aftrekken los van elkaar staan.

7.4.4 Patroon en voorlopige conclusie

Het geheel overziende, maken de resultaten van de analyse van de splitsprocedures en

van het niveau van de drie vaardigheidsgroepen het volgende patroon zichtbaar.

Splitsen vormt, in alle drie de vaardigheidsgroepen, om verschillende redenen een

serieus probleem:

– Het gemeenschappelijk kernprobleem is dat sommige leerlingen automatisch

reageren op bepaalde opgaven door met één van de vier geïdentificeerde

buggy algoritmen af te trekken of aan te vullen.

– Een tweede gemeenschappelijk probleem van leerlingen met een

middelmatige en hoge rekenvaardigheid is, dat wie rijgen met splitsen

combineert, te vaak niet tot het juiste antwoord komt. Aftrekken met tekort is

in beide vaardigheidsgroepen wel erg effectief. Het succes contrasteert echter

extreem met de zeer lage prestaties op het hoger gelegen niveau van

algoritmisch aftrekken/aanvullen via een of andere vorm van

lenen/inwisselen.

– Leerlingen met een lage vaardigheid komen niet verder dan een redelijke

beheersing van aanvullen/aftrekken bij opgaven zonder tientaloverschrijding.

– Het valt ten slotte op, dat de resultaten bij rekenen onder de duizend, globaal

genomen overeen komen met die van Duitse leerlingen in Selters (1996; 1997,

2002) studies van rekenen met driecijferige getallen (zie ook Selter &

Sundermann, 1997).

Dit patroon geeft aanleiding om vier voorlopige conclusies te trekken ten aanzien van

de didactiek van leren splitsen (we komen daar nog op terug bij de analyse van de

omgang met de context en de getallen van de opgaven en bij de analyse van de

gemaakte splitsfouten).

1. Het uitstellen van leren splitsen, zoals TAL dat aanbeveelt, voorkomt niet dat

leerlingen zichzelf foutieve algoritmen aanleren. Het gebruik van contexten bij

leren hoofdrekenen werkt bovendien in de hand, dat leerlingen ook foutieve

aanvulalgoritmen bedenken. Dit vergroot de kans op foutieve antwoorden.

2. De mengvorm veronderstelt een zekere symbiose tussen lineair en positioneel

decimaal denken. Er zijn sterke aanwijzingen dat, met de huidige rekenlijn,

leerlingen daar pas aan toe zijn, als ze het niveau van de gemiddelde leerling

halverwege jaargroep 5 hebben bereikt.

3. Aftrekken met tekort is toegankelijk voor de middengroep en voor leerlingen

met een hoge rekenvaardigheid. Het bepaalt grotendeels het succes in beide

vaardigheidsgroepen.

Hoofdstuk 7

208

4. Er zij echter sterke aanwijzingen dat deze vorm van splitsen los staat van

algoritmisch leren aftrekken. Dit roept de vraag op naar de voordelen van de

realistische lijn via de mengvorm, aftrekken met tekort en kolomsgewijs aftrekken ten

opzichte van leren successief en synchroon inwisselen zodra de leerling

structurerend kan rijgen. Hoofdrekenen zou op deze manier oriënteren op

lenen, wat aftrekken met tekort niet doet, omdat inwisselen/lenen daar juist

bewust worden omzeild.

5. De geobserveerde foutieve aanvulalgoritmen met positiewaarden en met

positiecijfers ondersteunen niet de verwachting dat leren cijferen op de

Oostenrijkse manier (Lorenz en Radatz, 1993) perspectiefvol is.

De splitsresultaten tonen, al met al, ondubbelzinnig aan dat de actuele instructie, de

controle van de vorderingen van de leerlingen en de aansluiting bij wat leerlingen

weten en kunnen ontoereikend zijn om zinvol en effectief te leren splitsen. Het

gevonden patroon in het splitsgedrag ondersteunt, wat dit betreft, de aanwijzing bij

rijgen, dat leerlingen met de hoogste vaardigheid het meeste profijt trekken van de

huidige realistische onderwijsleercondities en de leerlingen met de laagste vaardigheid

het minst.

7.5 Hoe leerlingen beredeneren

Beredeneren is de derde, meest omstreden hoofdrekenmethode, die in het nieuwe

rekencurriculum is ingevoerd (zie hoofdstuk 2 en 3). We beschrijven hier de

gebruiksfrequentie van beredeneren en het succes dat de drie vaardigheidsgroepen

hiermee behalen. We bespreken echter eerst de relevante kenmerken van de opgave en

hoe deze over de opgavensets zijn verdeeld.

7.5.1 Beredeneercondities

Kenmerkend voor beredeneren is dat de leerling de rekensom van de voorgelegde

opgaven reconstrueert of herleidt, gebruikmakend van (a) parate rekenfeiten, (b) de

associatieve en commutatieve eigenschap en (3) de relatie tussen optellingen (c.q.

aftrekkingen). Bij de opzet van het onderzoek is gekozen om vooral leerlingen uit de

laagste vaardigheidsgroep uit te dagen vertrouwde relaties beredenerend te gebruiken.

Vijf opgaven van hun set kunnen de associatie oproepen met bekende ‘dubbelrelaties’.

Ze kunnen ook in twee gevallen afronden en compenseren. De leerlingen uit de twee

andere vaardigheidsgroepen kunnen minder vaak een (omgekeerde) dubbel gebruiken,

maar vaker afronden en compenseren en het principe van het gelijkblijvend verschil

toepassen. De tabel van het gearceerde informatiekader brengt deze condities in kaart

(zie hoofdstuk 5).


209

Tabel 7.9 Bruikbare relaties bij beredeneren

Getalrelatie Laag Midden Hoog

(Bijna) dubbel Opgaven 1, 2, 3, 4, 6 en 9

Opgaven 1, 6 en 9 Opgaven 1, 6 en 9

Afronden en compenseren

Opgaven 9 en 11 Opgaven 9, 11, 12 en 13

Opgaven 9, 11, 12, 13, 16, 17

Gelijkblijvend verschil Geen Opgaven 9 en 12 t/m 17

7.5.2 Rekenvormen

We gaan uit van het onderscheid dat we in hoofdstuk 4 hebben gemaakt tussen 1.

Puzzelen met optelfeiten (niveau 6), Compenseren (niveau 7) en Transformeren

(niveau 8).

7.5.3 Gebruiksfrequentie en succes per niveau van beredeneren

De totaal gemiddelde goedscore bij beredeneren bedraagt 50% in de groep Laag, 63%

in de middengroep en 69% in de groep Hoog. Tabel 7.10 laat zien hoe het succes

varieert, afhankelijk van de vorm die de leerling toepast.

Tabel 7.10 – Gebruiksverdeling van de vormen van beredeneren en succes per niveau


Vaardigheidsgroepen

Laag Midden Hoog


Transformeren (8) 1 1 / / 8 6

Compenseren (7) 33 12 37 22 32 23

Puzzelen met optelfeiten (6)

12 10 12 9 9 5

Totaal 46 23 (50%) 49 31 (63%) 49 34 (69%)

Deze data laten zich als volgt samenvatten:

1. In alle drie de vaardigheidsgroepen passen de leerlingen vooral afsplitsen en

compenseren toe. De frequentie heeft een orde van grootte van respectievelijk

70% in de groep Laag, 75% in de middengroep en 65% in de groep Hoog.

2. De twee onderste vaardigheidsgroepen beredeneren volgens hetzelfde patroon.

Er wordt in plusminus een kwart van hun herleidingen gepuzzeld en slechts bij

uitzondering op het hoogste niveau geredeneerd.

3. In de hoogste vaardigheidsgroep wordt juist even vaak op het hoogste niveau

geredeneerd als op het laagste.

Hoofdstuk 7

210

4. Het aantal goede antwoorden geeft aan dat puzzelen loont, maar dat

compenseren en transformeren niet vanzelfsprekend is.

7.5.4 Voorlopige conclusie

We zagen in hoofdstuk 6, dat de schriftelijke toets van de 4e rekenpeiling slechts

indirect, en in bescheiden mate, aanwijzingen geven over de mate waarin de leerlingen,

halverwege de basisschool, over de bouwstenen voor het beredeneren beschikken. De

analyse van de steekproef oplossingswijzen geeft nu een concreet beeld van hoe ze

zoal kunnen beredeneren, hoe klein het aantal waarnemingen ook mag zijn. Deze

kleinschalige studie geeft aanleiding om de twee volgende voorlopige conclusies te

trekken.

1. Precies zoals bij splitsen, is er sprake van een structureel probleem bij leren

beredeneren. Het gevonden patroon maakt aannemelijk dat drie factoren, in

een soort kettingreactie, op elkaar inwerken.

De probleemgerichte aanpak van hoofdrekenen, geeft leerlingen de kans om,

op eigen kracht, een primitieve vorm van herleiden onder de honderd te

bedenken. Deze komt voort uit het verworven inzicht in (a) de aard van een

natuurlijk getal (som van twee kleinere getallen), (b) de associatieve en

commutatieve eigenschap bij optellen en (c) de inverse relatie tussen optellen

en aftrekken. Dit, zogenoemde ‘puzzelen’ met optelfeiten biedt echter, evenmin

als verkort tellen bij rijgen en rekenen met tienen en lossen bij splitsen, perspectief op

langere termijn.

Alle drie de vaardigheidsgroepen komen relatief vaak tot een foutief antwoord

bij herleiden op basis van een bekend optel- of aftrekfeit. Dit maakt

aannemelijk dat een aanzienlijke groep leerlingen de conceptuele basis mist om

inzichtelijk te kunnen compenseren. Een conceptuele basis, die ze onder andere

zouden kunnen verwerven door te onderzoeken hoe het komt dat men de

rekensom met ‘stukken’ van bekende sommen kan samenstellen en wat de

regels van dit puzzelspel zijn.

Alleen leerlingen uit de hoogste vaardigheidsgroep komen aan transformeren

toe. Dit maakt aannemelijk dat het gros van de leerlingen niet de kans krijgt om

zelf het principe van het gelijkblijvend verschil uit te vinden, vanuit de

ontdekking van het wiskundige patroon achter alle herleidingen van het type

afsplitsen en compenseren.

Dit alles wijst erop dat de gevolgde didactiek ertoe leidt dat slechts een (zeer?)

beperkte groep leerlingen vertrouwd is met beredenerend herleiden, zoals

bedoeld.

2. De wijze van herleiden bevestigt de ontstane indruk bij rijgen en splitsen, dat

leerlingen met de hoogste vaardigheid het meeste van deze didactiek profiteren.


211

3. Onder bovenstaande condities kunnen de voordelen van beredeneren, als derde

methode van het driespan Rijgen-Splitsen-Variarekenen, onmogelijk de nadelen

van rijgen en splitsen opvangen, zoals verwacht bij de invoering van deze drie

hoofdrekenmethoden in het nieuwe rekencurriculum.

7.6 Weten

In 67 van de 1852 oplossingen heeft de leerling de gegevens van de opgave (vrijwel)

onmiddellijk met een geheugenfeit geassocieerd. Op basis van de verantwoording van

de leerlingen kon worden vastgesteld of zij een aftrekfeit of de equivalente optelling

paraat hadden. In onderstaand verslag van de analyse van de oplossingen worden

voorbeelden van beide type antwoorden getoond en de gebruiksverdeling en het

succes in kaart gebracht.

7.6.1 Indirect optelfeit en aftrekfeit als antwoord

Kinderen die, na het hardop lezen van de opgave, na enkele seconden een correct

antwoord geven, legitimeren hun antwoord door optelfeit of een aftrekfeit te noemen:

– Het moet 25 postzegels zijn want 25+25=50, dat weet ik;

– Het is 52 want 100-48=52, dat weet ik uit mijn hoofd

– 102-90 is 12, dat zie ik zo

Bij de constructie van de sequentie van de formalisering van beredeneren is

verantwoord waarom in deze dissertatie aanvullend optellen als aftrekstrategie wordt

beschouwd en niet als vorm van handig rekenen (variarekenen). Ook is het gemaakte

verschil verantwoord tussen enerzijds het onmiddellijk associëren van de gegevens van

een aftrekopgave met de equivalente optelling (weten) en anderzijds het afleiden van de

indirecte optelling van een aftrekopgave uit een bekende som (afsplitsen en

compenseren). Het gevolg van deze keuze is dat de zogenoemde ‘boogprocedure’ van

het variarekenen in onderhavig onderzoek onder ‘Weten’ valt, als leerlingen

onmiddellijk aan een optelfeit denken en onder ‘Beredeneren’, als zij moeten afsplitsen

en compenseren om het antwoord te kunnen geven. Figuur 7.3 laat zien hoe aftrekken

als het inverse van optellen is gebruikt.

Deze directe reacties laten zien dat het soms moeilijk is om, aan de hand van de

gemaakte protocollen, vast te stellen of de getallen (en de tekst) van de opgave direct

de passende optelling uit het geheugen oproepen (het criterium voor Weten). De

houding en communicatie van de toetsassistent bij doorvragen kan veel uitmaken. Op de

vraag hoe ze op hun antwoord zijn gekomen, reageren sommige kinderen door te

zeggen dan ze dat gewoon weten ( tweede oplossing van voorbeeld 84). Andere

leerlingen verantwoorden hun optelling door de onderliggende getalrelaties (uitvoerig)

Hoofdstuk 7

212

te expliciteren ( tweede oplossing van voorbeeld 81). De tweede oplossing van

voorbeeld 82 illustreert hoe kinderen dan in de war kunnen raken.

78] Opgave 1: 25-12= of 12+..=25

– Moet je 12 erbij 13 doen en dat is 25.

– 13 bij! Ziet het zo.

82] Opgave 9: 100-48= of 48+..=100

– 48+52=100

– Zegt 100-48. Assistent vraagt: Wat heb je in

je hoofd gedaan? 8-2...Ik weet het niet

meer!... 48+52 is samen 100

79] Opgave 2: 22-18= of 18+..=22

18 erbij …is 22. Dat is 4! Wist ze gewoon.

83] Opgave 10: 100-86= of 86+..=100

14! 86 erbij 14 is 100 want 80+10 en 6+4 is samen 100

80] Opgave 3: 50-25= of 25+..=50

Ik weet ook al wat het antwoord is, 25 want 25+25=50. Hoeft ze niet over na te denken.

84] Opgave 11: 102-90= of 90+.=100

– Erbij tellen van 90 naar 102 is 12. Dat weet

ik!

– 12! Dat weet ik gewoon. Die som hebben

we al eens gehad: 10+90=100; dan nog die 2

81] Opgave 6: 40-24= of 24+..=40

– 6! Hoe kom je eraan? Omdat 24 erbij 16

is 40. Hoe kom je aan 16! 4 erbij 6 is 10,

dan 20 erbij 10 is 30. Samen 40.

– 24+16=40; 24 plus iets is 40; dus 16

euro goedkoper

85] Opgave 16: 900-595 of 595+…=900

– Hij ziet gewoon dat het verschil 305 is.

– 900-305=595

– 305!

– Hij ziet gewoon dat 305 erbij 900 geeft

Figuur 7.3 - Voorbeelden van de directe associatie van de aftrekking van de opgave met de passende optelling

7.6.2 Frequentie, succes en conclusie

Tabel 7.11 geeft aan hoe vaak optelfeiten en aftrekfeiten zijn gebruikt en hoe vaak het

antwoord juist was. Door de beperkingen van het onderzoeksdesign en het zeer klein

aantal waarnemingen, zeggen deze resultaten echter nog maar weinig.

Tabel 7.11 Gebruiksverdeling van de vormen van beredeneren en succes per niveau


Vaardigheidsgroepen

Laag Midden Hoog


Aftrekfeit 10 10 4 4 5 5

Indirecte optelling 35 33 6 5 7 7

Totaal 45 10 12


213

Het is hoe dan ook zeer opmerkelijk, dat de leerlingen met de laagste vaardigheid

de numerieke gegevens van een aftrekopgave direct met het daarbij passende optelfeit

associëren. Dit kan worden gezien als een sterk punt van realistisch hoofdrekenen in

Nederland in vergelijking met de onderzochte klassen in België, waar de inverse relatie

tussen optellen en aftrekken, volgens de recente data van Torbeyns, De Smedt e.a.

(2009), zelden wordt gebruikt. De geobserveerde leerlingen uit het onderhavige

onderzoek maken in 7% van de oplossingen inzichtelijk, functioneel en effectief

gebruik van parate afsplitsingen van getallen die ze met de stipsom/aftrekking van de

opgave associëren. Dit geldt ook voor leerlingen uit de hogere vaardigheidsgroepen

die, zoals het informatiekader van paragraaf 7.5.1 dat aangeeft, minder opgaven

hebben gemaakt die zich hiervoor lenen.

7.7 Eerste balans van de modernisering

In hoofdstuk 2 is de context geschetst waarin de doelen, inhouden en didactiek van

leren rekenen in het getalgebied tot 1000 structureel zijn gemoderniseerd in de lijn van

de door WISKOBAS in gang gebrachte Nederlandse vernieuwing van het

rekenonderwijs (jaren zeventig) en de internationale gerichtheid op het verwerven van

de functionele gecijferdheid waar het aangebroken tijdperk van de

informatietechnologie een beroep op doet. De kerndoelen die aangeven wat de leerling

moet leren zijn in de jaren negentig geïmplementeerd. In dezelfde periode hebben

rekendidactici, al dan niet in samenwerking met onderzoekers, de realistische lijn en

didactiek van het rekenen tot 1000 ontwikkeld, zowel via leerplanontwikkeling (Tal-

team, 1999; Van de Heuvel-Panhuizen e.a. 2001), als via onderwijsexperimenten (o.a.

Vuurmans, 1991; Veltman, 1994; Klein, 1998; Menne, 2001). Sindsdien, maken de

auteurs van de realistische rekenmethoden, naar eigen inzicht, filosofie en behoeften

daar gebruik van (zie hierover Menne, 2001b; KNAW-commissie, 2009).

Het is niet mogelijk om de invloed van deze verandering op de rekenprestaties van

de leerlingen, direct vast te stellen. Afgezien van de rekenpeilingen, zijn de

hoofdrekenprestaties in Nederland namelijk telkens gedurende korte leerperioden,

vanuit verschillende invalshoeken en in verschillende contexten onderzocht en niet

systematisch, noch longitudinaal, vanuit een vast theoretisch kader en

onderzoeksdesign, zoals dat bij PPON gebeurt. We kunnen echter de resultaten van

de zogenoemde Leidse onderzoeksgroep die in de tachtiger en negentiger jaren zijn

uitgevoerd als ijkpunten nemen om de balans op te maken van wat de modernisering

teweeg heeft gebracht.

Deze paragraaf integreert nu in dit perspectief de aanwijzingen die de analyse van

de voortgang geven (hoofdstuk 6) met bovenstaande analyseresultaten van de

gebruikte methoden en vormen van hoofdrekenen rond drie kernkwesties die een

eerst, voorlopig beeld geven van merkbare veranderingen en onderwijsleerproblemen:

Hoofdstuk 7

214

– de mate van succes

– de verworven hoofdrekenbekwaamheid;

– factoren die het onderwijsleerproces en de opbrengst ervan beïnvloeden

De concluderende paragrafen van deelrapportages worden hiertoe als bron

gebruikt.

Mate van succes

Louter afgaande op het aantal correcte antwoorden die rijgen, splitsen en beredeneren

in de oplossingen van de onderzochte leerlingen opleveren, is de trend in de opbrengst

van hoofdrekenen vrij stabiel gebleven, in vergelijking met de trend die relevante

empirische data van de periode 1985-1995. laten zien:

– rijgen blijft de meeste effectieve methode (vergelijk Beishuizen, 1986;

Beishuizen, Van Putten en Van Mulken, 1997);

– splitsen genereert nog steeds de meeste fouten, door de toegepaste buggy

algoritmen (vergelijk Willemsen en Harskamp, 1990), een tendens die ook

zichtbaar is in de oplossingen waarin de leerling afsplitst en compenseert

(beredeneren).

– Handig rekenen werd, als communaal doel, aanvankelijk door specialisten van

het speciaal onderwijs, eerst afgewezen (zie hoofdstuk 2). Alleen de

voorlopers van jaargroep 5 in het reguliere basisonderwijs behalen een redelijk

niveau van beredenerend herleiden, precies zoals in het dissertatieonderzoek

van Van der Heijden (1993).

Ons onderzoek naar oplossingsprocedures geeft de volgende aanvullende en

relativerende informatie.

1. Het succes van de laagste vaardigheidsgroep bij rijgen (83%) noopt om drie

redenen tot een matig optimisme: (a) omdat deze leerlingen opgaven hebben

gemaakt die een beroep doen op de meest elementaire vormen van rijgen; (b)

omdat sommige leerlingen nog structureel verkort tellen en (c) omdat de

eenheden in relatief veel oplossingen, één voor één verder tellend en

terugtellend worden bewerkt.

2. Splitsen vormt structureel een ernstig probleem, omdat leerlingen foutieve

algoritmen toepassen en/of vormen van splitsen waar ze nog onvoldoende mee

vertrouwd zijn. Dit speelt vooral de onderste helft van de verdeling van

leerlingen parten, waaronder de leerlingen van de middengroep die graag

splitsen.

3. Deze zwakte van splitsen wordt enigszins gecompenseerd door het effectieve

gebruik van (a) optelfeiten bij het puzzelend reconstrueren van de indirecte optelling

die de leerling in een aftrekopgave herkent en (b) de parate indirecte optelling

die de leerling onmiddellijk met de getallen van de aftrekopgave associeert.


215

Kwaliteit van de verworven hoofdrekenbekwaamheid

Het onderhavige onderzoek heeft verder het onderstaande patroon in de kwaliteit van

de verworven hoofdrekenbekwaamheid aan het licht gebracht.

Gebruikspatroon van de hoofdrekenmethoden. Deze resultaten maken zichtbaar dat leerlingen

‘nu’ anders rekenen dan ‘toen’. Alle drie de vaardigheidsgroepen hebben nu een sterke

voorkeur voor rijgen. De neiging die ‘rekenzwakke’ leerlingen ‘toen’ hadden om te

splitsen (Vuurmans, 1991), tekent zich ‘nu’ in de middengroep af.

Begripsmatig versus procedureel hoofdrekenen. Er is een sterk contrast tussen het inzichtelijk

gebruik van getalrelaties bij rijgen en parate kennis als de leerling het antwoord direct

weet en de meer mechanische en instrumentele manier van splitsen en beredeneren.

Dit roept de associatie met het verschil dat cognitieve psychologen als Gray and Tall

(1994) maken tussen ‘proceptual’ en ‘procedural’ thinkers, dat wil zeggen tussen

leerlingen die meer rekenen vanuit hun conceptueel begrip van de getallen en de

operaties en leerlingen die meer vanuit hun begrip van de geleerde procedure rekenen

(zie ook Hiebert en Grouws, 2007). Vanuit deze invalshoek bekeken, tonen de

oplossingswijzen (a) of twee gezichten van dezelfde leerlingen, of (b) de constructies

van twee subgroepen leerlingen binnen de drie vaardigheidsgroepen, of (c) een

mengeling van beide. In het eerste geval hebben alle drie de vaardigheidsgroepen de

neiging om begripsmatig te rijgen en meer procedureel te splitsen en te beredeneren. In het

tweede geval zijn er, binnen elke vaardigheidsgroep, leerlingen die op hun niveau

conceptueel sterk in hun schoenen staan, en leerlingen die meer eigen

handelingsvoorschriften of die van de leraar volgen.

In de regel leren de leerlingen met de huidige realistische methoden eerst rijgen en

vervolgens splitsen en handig rekenen (beredeneren). De meeste tijd en aandacht gaan

echter, zeker tot medio jaargroep 5, uit naar rijgen. Dit betekent dat leerlingen onder

deze omstandigheden ruim de tijd krijgen om geleidelijk aan de conceptuele en

procedurele bouwstenen te verwerven die nodig zijn om de rijghandelingen te

formaliseren, zoals de gegevens over het behaalde niveau uit hoofdstuk 6 dat zichtbaar

maken. De aanzienlijke verschillen in succes, het structureel gebruik van buggy

algoritmen bij splitsen en de foutief samengestelde sommen en onjuiste compensaties

bij beredeneren maken aannemelijk dat dit minder (niet?) geldt voor de bouwstenen

van splitsen en beredeneren. Leerlingen zouden dan vanzelf hun uitweg proberen te

vinden door geleerde voorschriften uit hun geheugen op te halen en/of zelf bedachte

voorschriften te volgen

Vormen en niveaus van hoofdrekenen. Leerlingen rijgen, splitsen en beredeneren in

verschillende vormen op verschillenden niveau. Twee realistische condities maken dit

mogelijk: (1) de probleemgerichte aanpak van leren hoofdrekenen in combinatie met het

aangeboden driespan Rijgen-Splitsen-Variarekenen en (2) de differentiatie in voorkeur en

niveau. In de traditionele redactiesommen moest de leerling de juiste aftrekking in de

tekst en de getallen herkennen en de getallen vervolgens met het aftrekalgoritmen

Hoofdstuk 7

216

bewerken. De auteurs van realistische methoden leggen nu juist problemen voor die

zich verschillend laten schematiseren, conform de betekenis en verschijningsvorm van

aftrekken in de betreffende situatie. De leerling symboliseert dan de verandering of

relatie die in het voorgelegde probleem is gecontextualiseerd soms met een aftrekking

(c – b = ?), soms met een indirecte optelling (a + . = c), soms met een indirecte

aftrekking (c - ? = a). Hierdoor ontwikkelt hij naar eigen vermogen passende vormen

van rijgen, splitsen en beredeneren. Omdat elke startvorm gradueel wordt

geformaliseerd, impliceert deze didactische keuze dat de huidige leerling veel meer

opeenvolgende manieren van rekenen moet leren dan de leerling van de jaren zeventig-

tachtig. De geïdentificeerde vormen van rijgen, splitsen en beredeneren maken deze

invloed van de Nederlandse uitwerking van de realistische didactiek zichtbaar en in die

zin aannemelijk.

In hoofdstuk 2 is vastgesteld dat realistische didactici aanbevelen om het leerproces

naar voorkeur en niveau te differentiëren. Niet iedereen hoeft in dezelfde periode met

dezelfde methode op hetzelfde niveau te rekenen. Zelfs het eindniveau staat bij

realistisch hoofdrekenen niet vast, in die zin dat een leerling met minder capaciteiten

geholpen wordt om zo formeel mogelijk, doch onder het nagestreefde eindniveau te

rekenen. De geobserveerde vormen van rijgen, splitsen en beredeneren maken ook

deze invloed van de didactiek aannemelijk.

Het volgende patroon tekent zich in deze differentiatie af.

– Een kleine groep leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep blijft steken bij

verkort tellen. De voorlopers uit deze groep kunnen wel degelijk, op hun

ontwikkelingsniveau, gestandaardiseerd rijgen. Niemand opereert echter

inzichtelijk op het formele niveau van splitsen en beredeneren.

– De leerlingen uit de middengroep overstijgen het niveau van tellend rekenen.

De verdeling in gebruik en succes roept het beeld op van een subgroep met

minder begrip van positioneel rekenen die eerder de mengvorm probeert toe

te passen en/of foutief algoritmisch aftrekt en een subgroep die inzichtelijk

met tekort heeft leren aftrekken.

– De data van de groep leerlingen met het hoogste vaardigheidsniveau roepen

ook dit beeld op. Het verschil met de middengroep is dat de meest vaardige

subgroep het rekenen tot 100 onder de knie heeft en met driecijferige getallen

al behoorlijk inzichtelijk en vlot kan rekenen, terwijl de gemaakte typen

opgaven meestal pas in de tweede helft van jaargroep 5 worden behandeld.

Factoren

De analyseresultaten laten sporen zien van de invloed van vier factoren: 1. de gevolgde

didactiek, 2. het aanbod en de organisatie in de klas, 3. kenmerken van de voorgelegde

opgaven en 4. het vaardigheidsniveau van de leerlingen. Deze invloed laat zich als

volgt duiden.


217

TAL-didactiek. Hierboven zijn al drie essentiële aspecten van de TAL-didactiek aan de

orde geweest, namelijk de probleemgerichte aanpak, de volgorde van aanbieding van de drie

geleerde methoden van hoofdrekenen en de differentiatie naar voorkeur en niveau. We

kunnen hier een vierde aspect aan toevoegen: de gevolgde lijn in de formalisering en

gebruikte hulpmiddelen.

In hoofdstuk 2 en hoofdstuk 3 is de leerlijn gepresenteerd die de betrokkene

Nederlandse realistische didactici hebben geconstrueerd voor leren hoofdrekenen tot

honderd en duizend en de hulpmiddelen, modellen en notatiewijzen die daarbij

worden ingezet. Deze lijn is nu zonder meer herkenbaar in

– de geïdentificeerde vormen en niveaus van rijgen en splitsen,

– de manier waarop de leerlingen de verandering of relatie van de opgaven

symboliseren en

– de wijze waarop ze hun rekenhandelingen verwoorden en/of in rekentaal

noteren.

De invloed van de rekenlijn is om twee redenen minder pregnant in de oplossingen

van het type ‘Beredeneren’. Ten eerst omdat deze methode anders is gedefinieerd dan

‘Variakenen’ - de corresponderende methode van het driespan. Ten tweede omdat de

meest informele vorm – puzzelen met optelfeiten - niet wordt aan aangeboden, en dus

door de leerlingen zelf wordt uitgevonden.

De invloed van de drie aspecten van de realistische didactiek is, zo kunnen we

concluderen, in de gebruikte vormen van hoofdrekenen aanwijsbaar: 1. de geleerde

methoden, 2. de leerlijn en de bijbehorende volgorde van aanbieding en ingezette

hulpmiddelen en notatiewijzen en 3. de differentiatie in voorkeur en niveau.

Aanbod en organisatie in de klas. In hoofdstuk 6 zijn de relevante data van de

aanbodpeiling gepresenteerd. De grootste groep leraren zegt de aanwijzingen van de

gebruikte realistische methode te volgen. Dit houdt in dat ze de doorgaande rekenlijn

volgen en de verwerking en de oefenstof differentiëren – wat in de praktijk neerkomt

op differentiatie in voorkeur en niveau. Er tekent zich echter een grotere differentiatie

af wat de aanbieding van algoritmisch optellen en aftrekken betreft. Vast staat dat de

meeste leraren pas vanaf de tweede helft van jaargroep 5 onder elkaar leren rekenen,

hetzij met positiewaarden, van links naar rechts (kolomsgewijs), hetzij met

positiecijfers, van rechts naar links (traditionele algoritmen). Er zijn, hoe dan ook,

geen scholen waar leerlingen al in jaargroep 4 cijferend leren aftrekken.

Deze trend is eveneens duidelijk herkenbaar in de gebruikte vormen van

hoofdrekenen en de variatie in niveau van rekenen binnen de vaardigheidsgroepen. Er

zijn, concluderend, sterke aanwijzingen dat de leerlingen hoofdrekenen, zoals ze dat

met hun rekenboeken, onder leiding van hun leraar hebben geleerd.

Het meest opmerkelijke in relatie met de organisatie in de klas, is het grote aantal

foutieve antwoorden die voortkomen uit de inzet van een foutief algoritme bij splitsen

en/of een gebrekkig begrip van de mengvorm (splitsen) en compenseren

Hoofdstuk 7

218

(beredeneren). Dit wekt de indruk dat veel leraren de begripsproblemen niet tijdig

opmerken, of niet weten hoe ze die moeten opvangen en/of er niet in slagen om de

leerling adequaat te helpen. De dagelijkse observatie, evaluatie en diagnostiek is dan in

het geding, de mate waarin en wijze waarop de leraar zijn leerlingen volgt, niet alleen

wat de geleerde procedures betreft, maar ook wat betreft het verwachte begrip van

getallen, optellen en aftrekken.

Opgavenkenmerken en vaardigheidsniveau van de leerling. In bovenstaande rapportage is de

verwachte invloed van de context en de getallen aangeduid. Pregnante voorbeelden

van aanvullend rijgen, splitsen en beredeneren hebben deze invloed geïllustreerd. Hoe en

in welke mate leerlingen zich nu door de context en de getallen laten leiden is in de

tweede kwalitatieve analyse van de oplossingswijzen onderzocht. De resultaten ervan

worden in het hierna volgende hoofdstuk beschreven.

Het onderzoeksdesign laat, op zes ankeropgaven na, niet toe om de

oplossingswijzen van de drie vaardigheidsgroepen met elkaar te vergelijken. In die zin

geven bovenstaande analyseresultaten strikt genomen geen empirische aanwijzingen

over de invloed van het vaardigheidsniveau. De drie vaardigheidsgroepen hebben

echter opgaven die in hun vaardigheidsbereik liggen gemaakt. Verschillen tussen de

totale gemiddelde scores weerspiegelen dan wel degelijk de invloed van het

vaardigheidsniveau van de groep. Binnen de uitgevoerde studie naar de invloed van de

context en de getallen is ook, in oriënterende zin, onderzocht of het

vaardigheidsniveau een rol heeft gespeeld bij de oplossing van de zes ankeropgaven:

opgaven 6, 9 en 11 die leerlingen uit alle drie de vaardigheidsgroepen hebben gemaakt

en opgaven 1 (groep Laag en Midden) en opgaven 12 en 13 (groep Midden en Hoog).

Deze analyse en de resultaten hiervan worden besproken in hoofdstuk 8.

Op dit punt van de rapportage gekomen, weten we met welke vormen van rijgen,

splitsen en beredeneren en welke parate kennis de onderzochte leerlingen hebben

ingezet om opgaven van hun reeks op te lossen. We hebben ook de eerste

aanwijzingen van hoe de didactiek, opgavenkenmerken en het vaardigheidsniveau van

de leerlingen hun wijze en niveau van hoofdrekenen beïnvloeden. Om beter te kunnen

begrijpen hoe dit in zijn werk gaat, zijn zoals gezegd twee aanvullende analyses

uitgevoerd. Het hierna volgende hoofdstuk presenteert de analyseresultaten van de

omgang van de drie vaardigheidsgroepen met de context en getallen van hun opgaven,

in hoofdstuk 9 analyseren we de oplossingen met een foutief antwoord.

7.8 Staalkaart van oplossingen

Zoals eerder aangegeven sluiten we dit hoofdstuk af met een overzicht van

oplossingen die de in de voorgaande analyse gebruikte categorieën illustreren.


219

7.8.1 Rijgen

Bij rijgen onderscheidden we verkort tellen, springen, structureren en

gestandaardiseerd rijgen. Hieronder geven we voorbeelden van leerlingoplossingen

binnen deze vier categorieën.

Verkort tellen

Voorbeeldoplossingen 1 t/m 3 illustreren de informele vormen van optellen en

aftrekken die vooral in de groep Laag zijn toegepast. Enkele leerlingen uit de

middengroep hebben daar bij uitzondering ook gebruik van gemaakt.

1] Opgave 2: 18+.=22

Antwoord: 4

2] Opgave 6: 24+.=40

Antwoord 16

3] Opgave 5: 60-35

Terugtellen met de vingers: 60-59-58-57-56… wacht even! Begint opnieuw. Telt dan structurerend terug, door

telkens een interval leeg te maken en houdt de stand met de vingers van de twee handen bij:

Van 60, 59, 58 … 51, 50 naar 49, 48, 47 … 40 naar 39, 38, 37 … naar 29, 28, 27, 26, 25.

Ik doe er steeds 10 eraf, voor de zekerheid. Van de meester moet het met tientallen. Dat móet niet,

maar dat gaat sneller. Voor de zekerheid doe ik dat niet. Ik onthoud dat goed in mijn hoofd.

Figuur 7.4 – Voorbeelden van verkort tellen

De leerling van voorbeeld 1 handelt vanuit het inzicht dat elk natuurlijk getal

(behalve 1) de som is van twee andere natuurlijke getallen: 22 = 18 + ?. De rondjes

stellen de telstappen voor die hij maakt om het verschil te bepalen: 19(1), 29(2), 21(3),

24(4), dus 4 jaar. Er wordt twee geteld: één keer om de telstappen van de

overbrugging te visualiseren en één keer om het aantal gemaakte stappen te bepalen.

Dit is een schoolvoorbeeld van de toepassing van twee keer tellen in de eerste fase van

leren aftrekken tot 100. De leerling redeneert en vult aan vanuit het verworven inzicht

in de inclusierelatie tussen aantallen (Freudenthal, 1984; Cowan, 2003) en via de

visualiseringen van telstappen, zoals Steffe e.a (1983) en Fuson (1988) dat hebben

beschreven.

De oplossing van opgave 2 maakt zichtbaar hoe de leerling, die op dit niveau

rekent, de hoeveelheden van de opgaven met aantallen symboliseert (24 en 40), maar

de relatie ertussen via het opzeggen van telwoorden vaststelt. Streepjes stellen in dit

voorbeeld de telstappen voor. Ze laten goed zien dat de leerling de opvolgrelatie tussen

natuurlijke getallen gebruikt en dat aanvullend optellend wordt opgevat als verder tellen

met telkens één tot het gewenste aantal wordt bereikt.

1. 2. 3. 4

1, 2, 3, (…), 14, 15, 16

Hoofdstuk 7

220

Het derde voorbeeld toont, ten slotte, wat leerlingen doen, wanneer ze niet met

sprongen durven te rijgen (zoals hun leraar dat verwacht). Ze lopen de telrij af, van het

ene tiental naar het andere en houden met hun twee handen, de stand van de

gemaakte stappen bij.

Springen

De voorbeelden van figuur 7.5 maken de kenmerken van de twee springvormen goed

zichtbaar. In voorbeeld 8 laat de leerling de handigheid zien die hij heeft bedacht om

direct vanaf het mentaal aantal, 10 erbij op te tellen of er van af te trekken.

De bedenkers van de voorbeelden 4, 5, 6 en 7 laten zien hoe ze het langdradig

opzeggen van de telwoorden hebben gecomprimeerd en geformaliseerd tot rijgen met

tientallen als knooppunten van afstandrelaties. De sprongen van 10 en 1, die de leerling

van voorbeeld 4 heeft getekend, zijn opmerkelijk. Ze schematiseren namelijk de uit te

voeren bewerking (60 - 35) volgens het patroon van de decimale herhalingstructuur

tot 100. In vergelijking hiermee is de modellering van de leerling van voorbeeld 5 veel

informeler.

De leerling van voorbeeld 6 en die van voorbeeld 8 demonstreren dat men in de

twee telrichtingen, via het tiental kan rijgen, en hoe het werkt. De eerste springt in één

handeling naar het tiental (32+8=40), de tweede trekt in één handeling de eenheden af

(30-6=24). Al doende tonen ze aan, dat ze over essentiële instrumentele voorwaarden

beschikken om vlot op dit niveau te rijgen. Groepsgenoten die nog zo niet ver zijn,

springen met sprongen van 2 of 3 en/of tellen verder met stappen van één naar het

tiental, en trekken de eenheden, één voor één terugtellend af, zoals de leerling van

voorbeeld 5 en die van voorbeeld 8 dat doen.

De twee leerlingen van voorbeeld 9 en voorbeeld 10 maken, met hun

aanvulhandelingen, goed zichtbaar hoe de getallen van de opgave de bewerking

gemakkelijker of moeilijker maken.

Structureren

De voorbeeldoplossingen van figuur 7.6 tonen hoe leerlingen zich bevrijden van het

springen door met bekende afsplitsingen van getallen aan te vullen of af te trekken.

Oplossing 15 laat zien hoe ze dan handig gebruik maken van de decimaal-positionele

structuur van de getallen. In dit geval lost de leerling de kale aftrekking 60-35 op door

een denkbeeldige hoeveelheid van 60 dingen met 6 rijen van 10 rondjes zichtbaar te

maken. In één kruisbeweging trekt deze leerling 30 af en in één streepbeweging de 5

eenheden erbij. Het ligt voor de hand om aan te nemen dat de leerling dan 25 herkent

als 20+5, twee rijen van 10 en 5 erbij.

De oplossingen 12, 13 en 14 van figuur 7.6 zijn geënt op de opbouw van de

getallen in tientallen en eenheden en de analogie van optellen en aftrekken van

tientallen met optellen en aftrekken van eenheden:


221

62 – 40 = 22 via (60 + 2) – 40 = (60 - 40) + 2

48 + 40 = 88 via (40 + 8) + 40 = (40 + 40) + 8

100 – 48 = 52 via 100 - (40 + 8) = (100 - 40) - 8

Via het dichtstbijzijnde tienvoud (niveau 4)

4] Opgave 4: 60-35=

Antwoord: 25

5] Opgave 9: 100-48

Antwoord 53

6] Opgave 5: 32+.=50

Antwoord 18

7] Opgave 6: 40-.=24

Antwoord 16

Via het wegdenken van de eenheden (niveau 4)

8] Opgave 12: 62-48=

Antwoord 14

Eerst twee wegdenken. Dan springen met tien: (60) 50,40,30, 20.

Dan de twee erbij doen: 20+2=22

Direct met de 10-sprong (niveau 5)

9] Opgave 9: 48+.=100

Antwoord 52

10] Opgave 6: 24+..=40

Antwoord 16

Figuur 7.5 – Voorbeelden van rijgen met sprongen

In voorbeeld 12 en 13 gebruikt de leerling mogelijk de analogie met de

afsplitsingen onder de tien (60 = 40 + 20 Ξ 6 =4 + 2) en (80 = 40 + 40 Ξ 8 = 4 + 4;

dubbelstructuur), in voorbeeld 14 die met de afsplitsingen van 10 (100 = 60 + 40 Ξ 10

= 6 + 4).

De voorbeelden 16 t/m 24 van figuur 7.6 laten zien hoe leerlingen deze manier

van structurerend rijgen aanpassen voor de bewerking van driecijferige getallen

volgens het handelingspatroon (schema) van aanvullen (c.q. leeg maken) en aftrekken. In

de voorbeelden 16 t/m 21 gebruikt de leerling een honderdtal of 1000 als eerste

knooppunt. De leerling rekent in die zin volgens hetzelfde patroon als springen via het

Hoofdstuk 7

222

dichtstbijzijnde tiental. Op een vergelijkbare manier rekent de leerling in de

voorbeelden 22, 23 en 24 volgens het principe van direct springen vanaf een mentaal

aantal. In beide gevallen behandelt de leerling de honderdtallen zoals ze, onder de

honderd, de tientallen behandelen, en de tientallen zoals ze met eenheden opereren.

Tot honderd

12] Opgave 12: 62-48= Antwoord 14

13] Opgave 9: 48+.=100 Antwoord: 52 48+40=88; 88+2=90; 90+10=100 40+10+2=52

15] Opgave 4: 60-35= Antwoord: 25

14] Opgave 9: 100-48 Antwoord: 52 100-40=60; 60-8=52 via 59, 58, 57 ...

Boven de 100, met een honderdtal (c.q. duizend) als knooppunt

16] Opgave 14: 620-370= Antwoord 250 620-20=600 600-300=300 300-50= 250

18] Opgave 13: 189+…=250 Antwoord 61 189+1=190 190+10=200 200+50=250 50+10+1=61

20] Opgave 16: 595+…=900 Antwoord 305 595+5=600 600+300=900

300+5=305

17] Opgave 14: 370+…=620 Antwoord 250 370+30=400 400+200=600 500+20-620 200+30+20=250

19] Opgave 16: 900-595 Antwoord: 305 900-500=400 400-90=310 310-5=305

21] Opgave 17: 998+…=1662 Antwoord 664 998+2=1000 1000+600=1600 1600+62=1662 2+600+62=664

Met een samengesteld getal als knoppunt

22] Opgave 14: 620-370= Antwoord 250 620-300=320; 320-20=300; 300-50=250

23] Opgave 16: 900-595 Antwoord 305 900-95=805 805-50=305

24] Opgave 14: 250-189= Antwoord 61 250-100=150

150-50=100

100-30=70 79-9=61

Figuur 7.6 – Voorbeelden van structurerend rijgen met afgesplitste getallen

Gestandaardiseerd rijgen

De voorbeelden 25 t/m 37 van figuur 7.7 tonen de gestandaardiseerde vormen van

structurerend rijgen onder en boven de honderd volgens het schema van aanvullend

optellen, aftrekken en leeg maken. In alle gevallen gebruikt de leerling slechts één getal als

knooppunt. Als we de nullen van de voorbeelden 35 en 36 wegdenken, zien we goed

de analogie van rijgen met driecijferige getallen met rijgen met tweecijferige getallen.


223

7.8.2 Splitsen

Bij splitsen onderscheidden we de categorieën ‘rekenen met tienen en lossen’, splitsen

in combinatie met rijgen’, ‘rekenen met tekorten’, ‘(buggy) algoritmen’. Hieronder

geven we voorbeelden van leerlingoplossingen binnen deze vier categorieën.

Tot honderd

25] Opgave 10: 100-86 Antwoord 14



26] Opgave 10: 86+..=100 Antwoord 14 Dan doe ik 86 erbij 4 is 90; dan 10 erbij en dan 10+4=14

29] Opgave 9: 48+=100 Antwoord 52


27] Opgave 10: 100-…=86 Antwoord 14

30] Opgave 9: 48+=100 Antwoord 52

Boven de 100

33] Opgave 13: 250-189 Antwoord 61 / Puur mentaal 250-100=150

150-80=70 70-9=61

35] Opgave 14: 620-370 Antwoord 250 Puur mentaal 620-70=550 550-300=250

34] Opgave 13: 189+…=250 Antwoord 61

36] Opgave 10: 370+…=620 Antwoord 250 Puur mentaal 370+50=420

420+200=620 250

37] Opgave 16: 900-595 Antwoord 305 Puur mentaal 900-500=400 400-95=305

Figuur 7.7– Voorbeelden van formeel rijgen met termen van operaties

Rekenen met tienen en lossen

De voorbeelden van figuur 7.8 illustreren hoe een leerling, in situaties zonder

tientaloverschrijding, splitsend aftrekt of aanvult. Ze spreken voor zich. De tekst is de

letterlijke weergave van wat de betreffende leerlingen heeft gezegd.

Hoofdstuk 7

224

38] Opgave 1: 25-12

Antwoord 13

Puur mentaal

Gewoon: eerst de

tienen en dan de

lossen:

20-0=10 5-2=3

39] Opgave 1: 12+.=25

Antwoord 25

Puur mentaal

12+13=25

want 2+3 = 5 en

10+10 erbij is al 20,

dus 5+20=25

40] Opgave 5: 36-25=

Antwoord 11

Puur mentaal

30-20=10

6-5=1, dus 11

41] Opgave 5: 5+.=36

Antwoord 11

Puur mentaal

24+11=36

want 5+1=6 en

20+10=30

Figuur 7.8 – Voorbeelden van splitsen met tienen en lossen zonder tientaloverschrijding

Splitsen in combinatie met rijgen

We zagen in hoofdstuk 4 dat de leerling moet begrijpen hoe het toevoegen / afhalen

van ‘tienen en lossen’ een getal met twee cijfers verandert om een oplossing te kunnen

zoeken voor het probleem dat ontstaat wanneer men meer dan 10 eenheden krijgt bij

optellen en er te weinig van heeft om af te trekken. De voorbeelden van figuur 7.9

tonen de procedures die leerlingen aanvankelijk bedenken. Deze combinatie van

splitsend aftrekken van de tientallen en rijgend aftrekken van de eenheden is niet

nieuw. Zij werd al vóór de modernisering van het rekenprogramma gebruikt, zoals

onder andere Beishuizen en van Mulken (1986; 1988) hebben gesignaleerd.

De leerling van voorbeeld 42 volgt het standaardschema die leraren met de actuele

realistische methoden helpen uitvinden. De leerling hergroepeert de eenheden van het

aftrektal, nadat hij de tientallen heeft afgetrokken. De leerling van voorbeeld 43 doet

dit pas ‘aan het einde’, als hij de tientallen en de eenheden van het kleinste getal heeft

afgetrokken.

De leerling van voorbeeld 44 en 45 behoren tot de groep leerlingen met het

hoogste vaardigheidsniveau. Ze laten zien hoe ze, op basis van het verworven inzicht

in het decimaal-positioneel systeem en in de systematiek van aftrekken met tientallen

en eenheden de mengvorm van voorbeeld 42 en voorbeeld 43 hebben aangepast voor

de bewerking van driecijferige getallen.

Met tweecijferige getallen

42] Opgave 12: 62-48

Antwoord 14

43] Opgave 12: 62-48

Antwoord 14

Met driecijferige getallen

44] Opgave 14: 620-370

Antwoord 250 / Puur mentaal

600-300=300 300+20=320 320-50=250

45] Opgave 14: 620-370


600-300=300 300-70=230 230+20=250

Figuur 7.9 – Voorbeelden van splitsen in combinatie met rijgen, met twee- en driecijferige getallen


225

Rekenen met tekorten

De berekeningen van voorbeelden 46 t/m 49 uit figuur 7.10 illustreren hoe het

aftrekken met tekorten de combinatie van rijgen met splitsen overbodig maakt. Dit

aftrekken met tekorten is geïnspireerd door de zogenoemde ‘front-end substraction’ uit de

onderwijsexperimenten van Madell (1985). Leerlingen kwamen hierop door vrij met

MAB-materiaal uit te zoeken hoe decimaal–positioneel optellen en aftrekken werkt.

De leerling van voorbeeld 46 verwisselt de eenheden om uit te rekenen hoeveel hij

‘te weinig’ heeft en trekt dit verschil vervolgens af. De leerling van voorbeeld 47

symboliseert het tekort van 8 direct met -8. Dit zou een teken kunnen zijn dat hij meer

vertrouwd is met dit gebruik van negatieve getallen. Deze berekening is overigens één

van de 7 geobserveerde oplossingen waarin de leerling ‘tussen streepjes’ aftrekt. Dit

aantal waarnemingen is ontoereikend om vast te kunnen stellen of leerlingen die

tussen streepjes aftrekken het tekort direct met een negatief getal symboliseren. Geen

enkele leerling trekt overigens kolomsgewijs met tekort af.

Voorbeelden 48a en 48b tonen ten slotte hoe leerlingen uit de groep Hoog de

procedure voor aftrekken onder de honderd generaliseren voor aftrekkingen met

driecijferige getallen. Deze berekeningen zijn bijzonder, omdat dergelijke bewerkingen

niet op het programma van de eerste helft van groep 5 staan. De kans is dus groot dat

de betreffende leerlingen deze vormen van splitsend aftrekken op eigen kracht hebben

uitgevonden.

Met tweecijferige getallen

46] Opgave 12: 62-48

Antwoord 14

47] Opgave 10: 100-48

Antwoord 52

Met driecijferige getallen

48a] Opgave 13: 250-189


200-100=100; 50-89=39; 100-39=61

48b] Opgave 14: 620-370


600-300=300; 20-70=-50; 300-50=250

Figuur 7.10 – Voorbeelden van aftrekken met tekort met twee- en driecijferige getallen

Algoritmen en buggy algoritmen

De voorbeelden 49 en 50 en 51 en 52 van figuur 7.11a illustreren ten slotte de meest

abstracte en formele vorm van splitsend aftrekken en aanvullend optellen met

positiewaarden, de voorbeelden 53 en 54 van figuur 7.11b de analoge algoritmische vorm

van aftrekken en aanvullend optellen met positiecijfers.

De leerlingen van voorbeeld 49 en voorbeeld 50 van figuur 7.11a demonstreren

hoe het tekort aan eenheden op het eindniveau van splitsend hoodfrekenen wordt

Hoofdstuk 7

226

opgelost. Ze maken één tiental van het aftrektal vrij om een getal te krijgen dat groot

genoeg is om de eenheden van het kleinste getal af te trekken. Deze vorm van

aftrekken staat in de Amerikaanse reformscholen bekend als ‘alternate subtracting and

opening a ten’ (Fuson e.a. 1997), in de Nederlandse onderzoeksliteratuur als ‘successief’

of ‘simultaan’ inwisselen (Van Mulken, 1992).

De leerling trekt aanvankelijk eerst de tientallen af, zoals gebruikelijk, maar houdt

er rekening mee, dat dit wellicht niet de definitieve uitkomst zal zijn. Dit verklaart

waarom de leerling van voorbeeld 49 hardop zegt dat hij nog niet moet invullen. Bij

de ‘simultane’ variant van voorbeeld 50, trekt de leerling direct 40 van 50 af.

In de voorbeelden 51 en 52 past de leerling deze hoofdrekenvorm van inwisselen

toe in combinatie met aanvullen. Hij anticipeert in beide gevallen op het ontstaan van

een tiental.

Successief inwisselen bij aftrekken 49] Opgave 12: 62-48


60-40=20, nog niet invullen; 2-8...kan niet? Vroeger

ruilde ik het om: 8-2. Maar nu weet ik dat niet goed is.

Van de 20, maak ik 10. Dan doe ik er 2 bij is 12. Dan

doe ik er 8 af is 4. Samen met 10 is het 14.

Simultaan inwisselen bij aftrekken 50] Opgave 12: 62-48


50-40=10 12-8=4 10+4=14

Simultaan inwisselen bij aanvullend

optellen 51] Opgave 3: 25+..=50

Antwoord 25

20+20, dan 5+5, is bij elkaar 50. Het is

dus 24

52] Opgave 9: 48+…100


40+50=90 8+2=10 50+2=52

Figuur 7.11a – Hoofdrekenvormen van inwisselen / lenen

Bewerking 53 uit figuur 7.11b is het unieke geval van zuiver cijferend aftrekken. De

leerling heeft echter niet onder elkaar op papier gerekend, maar uit zijn hoofd. In twee

andere oplossingen heeft de leerling geprobeerd cijferend aan te vullen. De correcte

berekening is bewerking 54. Beide oplossingen komen overeen met de zogenoemde

‘Oostenrijkse’ methode69 van het omgekeerde optelalgoritme (Lorenz en Radatz, 1993).

53] Opgave 14: 620-370

Antwoord 250 / Hoofdcijferend

via 0+0=0 7+5=12 1+3=4 4+2=6

370 370 370 370

???+ ??0+ ?50+ 250+

620 ??0 20 620

54] Opgave 6: 24+..=40

Antwoord 16

Eerst 10 erbij: 20+10=30 Dan 6 bij 4 wordt 10

2 4 2 4

1 1 6

4 0 4 0

Figuur 7.11b – Unieke voorbeelden van cijferend aftrekken en van een correcte toepassing van aanvullend cijferen

69 Zie De Goei (2001), pagina 14


227

Buggy algoritmen

Een opmerkelijk resultaat van de analyse is dat relatief veel leerlingen uit alle drie de

vaardigheidsgroepen foutieve splitsalgoritmen toepassen, die in de Engelstalige

litteratuur ‘buggy algorithms‘ worden genoemd (Verschaffel, Greer en De Corte,

2007). De foutieve bewerkingen van de voorbeelden 55, 56 en 57 van figuur 7.12

illustreren de drie ‘buggy algorithms‘ die de onderzoeksgroep heeft toegepast: (1) de

bekende verwisseling van de eenheden (omkeringsfout; ‘false reversal’ of ‘small from

large’ procedure) en wat men (2) een wegdenk-fout en (3) maak-een-tien-fout zou kunnen

noemen.

Foutieve aftrekalgoritmen

Het kleinste van het grootste aftrekken

De losse opzij zetten (wegdenken) en weer aan de tientallen plakken

Aanvullen tot 10 en wat erbij komt bij tientallen optellen

55] Opgave 6: 40-24 Antwoord 24 via 40-20=20; 4-0=4; 20+4=24

56] Opgave 6: 40-24 Antwoord 24 via 4 even wegdenken 40-20=20; vier plakken, is 24

57] Opgave 6: 40-24 Antwoord 26 via 40-20=20; van 4 tot 10 is 6, dus 20+6=26

Foutieve aanvulalgoritmen

56] Opgave 6: 24+..=40 Antwoord 26 via

20+20=40 4+6=10 Dan is het 20+6=26

57] Opgave 9: 48+..=100 Antwoord 68 via

40+60=100 8+2=10;

20+20=40 4+6=10 Dan is het 20+6=26

Figuur 7.12 – Voorbeelden van de vier toepaste foutieve aftrekalgoritmen (‘buggy algorithms‘)

Naast bovenstaande typen foutieve aftrekalgoritmen, passen leerlingen uit de groep

Laag en sommige leerlingen uit de middengroep ook de foutieve aanvulalgoritmen toe.

Voorbeeld 56 en voorbeeld 57 maken goed zichtbaar dat de leerling juiste

afsplitsingen van 10 en 100 probeert te gebruiken, echter zonder zich te realiseren dat

het aanvullen van de eenheden een tiental oplevert. Deze leerlingen moeten in die zin

nog het principe van inwisselen uitvinden.

7.8.3 Beredeneren

Bij beredeneren onderscheidden we ‘puzzelen’, ‘afsplitsen & compenseren’, en

‘transformeren’. Hieronder geven we voorbeelden van oplossingen van leerlingen

binnen deze drie categorieën.

Hoofdstuk 7

228

Puzzelen met optelfeiten

Het proces bij rekenen tot 100 vangt aan op niveau 6. De leerlingen puzzel dan met

optelfeiten, handig gebruikmakend van de associatieve en commutatieve eigenschap

van optellen. Zodra zij zich realiseren dat zij de termen als schakel tussen twee

rekensommen kunnen gebruiken, worden afsplitsen en compenseren toegankelijk.

Wanneer zij ten slotte begrijpen hoe een rekensom verandert, als men één term

verandert, staan zij op de drempel van het, voor basisschoolleerlingen, hoogste niveau

van beredeneren. Onderstaande voorbeelden illustreren deze drie vormen van

beredeneren. Ze maken al doende de twee opeenvolgende niveauverhogingen

zichtbaar.

Voorbeelden 58 t/m 60 geven een idee van correcte en foutieve meest informele

vormen van beredeneren die de leerlingen hebben toepast. Deze drie oplossingen

brachten, onder andere, Gravemeijer (persoonlijke communicatie) op de term

‘puzzelen’. De leerling modelleert de situatie in de structuur van een stipsom. Deze

som wordt niet in de letterlijke zin van het woord ‘uitgerekend’, maar eerder, in de zin

van Freudenthal70, als rekenkundige uitdrukking gereconstrueerd: wat er links staat (a + . )

moet “maken” wat er rechts staat (c):

Opgave 3 [25 + ..] = [50]

Opgave 4 [35 + .. ] = [60]

Opgave 9 [24 + .. ] = [40]

De term ‘puzzelen’ duidt nu perfect deze reconstructie aan. De leerling stelt de

stipsom samen met op zichzelf staande optelfeiten, zoals hij de afbeelding van een

puzzel met losse stukken reconstrueert.

58] Opgave 3: 25+.=50

Antwoord 25 via

25+20… of moet het 25

zijn?...

20+20= 40

10+10=20

5+5=10

20+5=25

dan is het 25+25

59] Opgave 4: 60-35

Antwoord 25 via

5+5=10

Daar is 3 van (wijst de 3 aan)

30+30=60

Dus dan 35 erbij 5 is 20

(bedoelt: 60=35+5+20)

Dan is het 20+5=25

60] Opgave 6: 24+..=40

Foutieve herleiding

Antwoord 26 via

24+20=44-4

dan 10=4+6

24+6 …Komt er niet uit.

Nieuwe poging:

24! 20+20=40; 40-20=20;

het is 26

Figuur 7.13 – Voorbeelden van puzzelen met optelfeiten

Deze werkwijze is in veel gevallen nauwelijks te onderscheiden van de oplossingen

waarin de leerling splitsen met aanvullen combineert, omdat dezelfde optelfeiten en

70 In Appels en peren, gaat Freudenthal uitgebreid in op het fenomeen (stip)som en de status van het “is-teken”. Aan de hand van uitdrukking [4 + 3 = 7], maakt hij duidelijk dat dit teken niets anders betekent dan dat “aan weerszijden namen van hetzelfde ding staan en dat [4 + 3] een intentie overbrengt, die van sommetje (1984, p. 37-42).


229

dezelfde redenering wordt gevolgd. In deze studie is het volgende criterium voor

Beredeneren gebruikt: de leerling vult niet letterlijk aan met tienen en lossen, maar

combineert passende optelfeiten als de puzzelstukken die de gewenste stipsom

opleveren:

Afsplitsen en compenseren

We zagen in de theoretische en empirische grondslagen van hoofdstuk 3 en bij de

constructie van de sequentie van de formalisering, dat afsplitsen en compenseren

onder de honderd de aangepaste vorm is van herleiden onder de 20 op basis van

geheugenfeiten en met hulp van de eigenschappen van optellen en de inverse relatie

met aftrekken. In deze paragraaf passeren de geïdentificeerde vormen van afsplitsen

en compenseren de revue die de leerlingen in combinatie met enerzijds aftrekken en

anderzijds met indirect optellen hebben gebruikt. In de eerste klasse oplossingen

redeneert de leerling op basis van een aftrekfeit, in de tweede uitgaande van een optelfeit,

al dan niet naar analogie met rekenen onder de twintig.

Leerlingen hebben op drie manieren gebruik gemaakt van aftrekfeiten, namelijk in

combinatie met:

– het afronden van de aftrekker;

– het afronden van het aftrektal;

– het aanpassen van de eenheden om een rond verschil te krijgen.

Pregnante voorbeelden worden achter elkaar, aan de hand van drie overzichten,

gepresenteerd.

Voorbeelden 61 en 62 van figuur 7.14 tonen correcte en foutieve voorbeelden van

afronden van de aftrekker. De twee berekeningen van voorbeeld 61 zijn de twee

unieke oplossingen van opgave 9. Ze suggereren dat beide leerlingen zich door de

verhouding 1:2 (dubbelrelatie) laten leiden. In de voorbeeldoplossingen 62a en 62b

probeert de leerling 900 - 595 af te leiden uit 900 - 600 = 300 (veelvouden van 300), in

die van voorbeeldoplossingen 62c uit 900 – 500 - 400 (vijf-structuur). Dat in vier

daarvan de leerling in de verkeerde richting compenseert, wijst naar een

begripsprobleem. Één leerling uit de groep Hoog heeft ten slotte de stipsom 998 + .. =

1662 met 1662 – 1000 = 662 geassocieerd. Hij compenseerde echter niet met ‘met plus

2 is 664’.

Voorbeelden 63 en 64 illustreren het afronden van het aftrektal. Drieëntwintig

leerlingen hebben opgave 63, 102 - 90 via 100 – 90 = 10 opgelost. Het leidde echter in

slechts 14 oplossingen tot het juiste antwoord, een tweede teken dat compenseren niet

vanzelfsprekend is. Leerlingen die rijgend aftrekken onder de 100 hebben

geautomatiseerd, gebruiken het aftrekfeit 40 -20 = 20 om 40 - 24 uit te rekenen.

Voorbeeldoplossing 64 illustreert de foutieve compensatie die gemaakt wordt als

leerlingen de 4 van 24 eerst wegdenken. Zij associëren 40 - 24 met 40 - 20, maar tellen

Hoofdstuk 7

230

de 4 eenheden van 20 (die ze opzij hadden gezet) bij de rest op, in plaats van met -4 te

compenseren.

Correcte en foutieve voorbeelden van afronden van de aftrekker

61] Opgave 9: 100-48 via 100-50=50 De helft van de plank is 50 cm; dan is die 52 Is 52. Ik weet dat 48 op 50 lijkt. 50 is de helft van 100.

62b] Opgave 16: 900-595 Foutief opgelost via 900-600=300 595 van de 900 af; 595 dicht bij 600; 600-900=300; min 5 is 295 900-595; ik leen er 5; dan wordt dat 60-300=300; 300-5=295

62a] Opgave 16: 900-595 Correct opgelost via 900-600-300 900-300=600, plus 5 is 305 Van 595 maak ik 600; 300 houd ik over. Daarna doe ik er 5 af, eh..bij, eh..bij ja: 305.

62c] Opgave 16: 900-595 Foutief opgelost via 900-500=400 Denkt lang na: 900-595=404, nee 405 (Had moeten zijn: 95 eraf is 305) Dan doe je 900-500=400; 400+95=495; In boek: 900-500=400; 900+95=995

Correcte en foutieve voorbeelden van afronden van het aftrektal

63a] Opgave 9: 109-90

Correct opgelost via 100-90=10

100 eraf 90 is 10; 2 erbij 10 is12

Ik doe 2 van de 100 af. 100-90=10. Dan doe ik de 2 erbij, omdat ik die er net heb afgeteld

63]b Opgave 9: 109-90

Foutieve oplossingen

100-90=10; 10-2=8

Eerst 100 en dan eraf 90 dat is 10; en dan hou je er nog 2 over. Dat moet je 10 bijtellen en dat is dan 102. Dus moet je eerst plus 10

64] Opgave 6: 40-24 via 40-20-20/Foutieve oplossing

Je hebt eerst 40-24. Maar dan doen we eerst nog 24 eraf 4, dus dan hebben we 20. Dan nog 20 eraf halen van de 40, dat is 20. En nu moet je er nog 4 bij doen; dat is 24 (het antwoord).

Voorbeelden van aanpassen van de eenheden om een rond verschil te krijgen

65] Opgave 12: 62-48

62-42=22. Nee! 62-42=20; dan nog 6 eraf, dat is 14

66] Opgave 14: 620-370

Dan doe ik eerst 620-320=300; nog 50 eraf is 250

Figuur 7.14 – Correcte en foutieve voorbeelden van afronden van de aftrekker

Voorbeelden 65 en 66 tonen ten slotte de twee unieke oplossingen waarin dezelfde

leerling uit de groep Hoog de eenheden aanpast om een rond verschil te krijgen. In het

merendeel van de geobserveerde oplossingen lost de leerling het aftrekprobleem op

door de geabstraheerde stipsom uit één aftrekfeit af te leiden. Bij specifieke

combinaties van context en getallen herkennen sommige leerlingen echter een stipsom

die ze direct uit een bekend optelfeit proberen af te leiden. Ze overstijgen, al doende,

het niveau van puzzelen met losse optelfeiten. In de onderzoeksliteratuur wordt

aangenomen dat leerlingen in eerste instantie de zogenoemde ‘inverse ties’ (inverse

dubbelrelatie) en in het verlengde hiervan de bijna dubbelen gebruiken wanneer ze op

basis van de inverse relatie redeneren (Woods, Resnick en Groen, 1975). De

voorbeeldoplossingen van figuur 7.15 tonen een vergelijkbaar gebruik van bijna

dubbelen:


231

– de dubbelstructuur (opgaven 1, 6, 9, 14 en 24);

– de vijfstructuur (opgaven 9, 13 en 16);

– afsplitsingen van 50 (opgave 8);

– afsplitsingen van 100 en 1000 (opgaven 9 en 16).

Met tweecijferige getallen Met driecijferige getallen

67] Opgave 1: 12+..=25 via 12+12=24

12+12=24; dan maak ik er 13 van, is 25

68] Opgave 24+..=40 via 20+20=40

Eerst: 20 goedkoper. Nee! Het is 16. Dit is 24

en dit is 40. Als het 20 was, was het 20. Maar

nu is het 16, want de 4 komt er ook bij.

69] Opgave 8: 32+.=50 via 30+20=50

Dat is 18. 30+20=50; 2 eraf is 18

70] Opgave 9: 48+.=100 via 50+50=100

50+50=100, eraf 2 is 98, omdat het 48 is.

Ze komt tot de conclusie dat het een minsom moet

worden: 100-52=48

71] Opgave 9: 48+.=100 via 40+60=100

Bij 48, eerst 60 erbij gedaan en weer 2 vanaf

gehaald, dan kom ik op 52.

Bedoelt: 8 van de 60 af is 52.

72] Opgave 13: 189+.=250 via 90+60=150

Ik maak 189 even 90, dan weet ik dat

90+60=150. 1 teveel erbij gedaan. Het wordt

61.

73] Opgave 14: 370+.=620 via 370+300=670

370+300=670; doe ik nog 50 af, van 300, dan

heb ik 620. Dan is het 250

74] Opgave 16: 595+.=900 via 600+400=1000

Naar 600 is 5; van 600 naar 1000 is 400;

400+5=405. Dan is het 305 naar 900

75] Opgave 16: 595+.=900 via 500+400=900

500+400=900; dan moet je nog -595, dat is

dan 5; dan houden ze 305 over.

Figuur 7.15 – Voorbeelden van afsplitsen en compenseren in combinatie met indirect optellen

Transformeren

Op het hoogste niveau van beredeneren nemen leerlingen de maximale afstand van de

opgave door beide getallen van het rekenverhaal of de kale aftrekking te veranderen.

Daarom spreken Engelstalige onderzoekers als Fuson e.a. (1997) over de Change-Both-

Numbers method. Aritmetisch gezien herleiden de leerlingen de aftrekking dan tot een

andere gelijkwaardige aftrekking, door beide termen met evenveel op te hogen of te

verlagen. Als leerlingen aanvullend redeneren, moeten zij, precies zoals bij aftrekken,

beide termen met evenveel verhogen.

Deze vorm van beredeneerd hoofdrekenen is, op één uitzondering na, slechts in de

groep Hoog geobserveerd. De betreffende leerlingen redeneren meestal verbaal en

maken soms aantekeningen in formuletaal. In alle gevallen wordt het principe van het

‘gelijkblijvend verschil‘ toegepast. De voorbeeldoplossingen van figuur 7.16 tonen hoe

leerlingen de kale aftrekking 62 - 48 via 60 - 46 herleiden en de aftrekkingen 102 - 90

en 620 - 370 die in het probleem van opgave 11 en opgave 14 zijn gecontextualiseerd

in respectievelijk 100 - 88 en 600 - 350 veranderen, om gemakkelijker te kunnen

aftrekken.

Hoofdstuk 7

232

De uitleg van de leerlingen die correct redeneren toont hoe lastig het voor hen is

om duidelijk te maken hoe ze denken. Sommige leerlingen, zoals die van voorbeeld

76a en 76b, kunnen hun oplossing niet of slechts zeer summier toelichten en/of

onderbouwen. Dit komt zeer waarschijnlijk door het abstractieniveau van de mentale

operaties. Deze leerlingen moeten nog, al communicerend over hun oplossingen, de

woorden en uitdrukkingen ‘vinden’ die het nieuw verworven idee / principe helder

weergeeft. In de terminologie van Freudenthal (1988) is de ‘verbalisering’ van de eigen

gedachten in het geding. Groepsgenoten die hun oplossing wel kunnen

verantwoorden doen het meer instrumenteel procedureel dan formeel redenerend. Ze

beschrijven eerder de rekenstappen die ze zeggen te hebben gemaakt dan dat ze de

relatie tussen de termen expliciteren die de gevolgde redeneringen rechtvaardigen. In

die zin verbaliseren ze eerder in de lijn van algoritmisch rekenen dan conform de

systematiek van regel geleid afleiden.


76a] Opgave 12: 62-48 via 60-46

62 eraf 2 is 60. Eraf 46 is ….(denkt na)

14.

Toetsassistent vraagt dan uitleg. De

leerling herhaalt wat hij eerder zei.

Toetsassistent vraagt dan hoe hij aan

14 kom: Eraf 40, eraf 6. Bedoelt: 60-

40=20; 20-6=14.

76b] Opgave 12: 62-48 via 60-46

8-2=6. Dus als ik min 2 doe, dan hoef

ik nog maar min 46 te doen, is 14

77a] Opgave 14: 620-370 via 600-350

600-300=300: 50 eraf is 250 want ik had 600-300

gedaan.

Er moest eigenlijk 620-370, dus dan moet er nog

eraf 50.

77b] Opgave 14: 620-370 via 600-350

600-300=300; 620-20=600; 320+50=370; 300 en

50 eraf is 250

77c] Opgave 14: 620-370 via 600-350

300-600=300. Nog 20 eraf, dat is 300; 50 over, dat

haal je eraf, dan heb je 250.

Figuur 7.16 – Voorbeelden van transformeren

7.8.4 Weten

Bij de constructie van de sequentie van de formalisering van beredeneren is

verantwoord waarom in deze dissertatie aanvullend optellen als aftrekstrategie wordt

beschouwd en niet als vorm van handig rekenen (variarekenen). Ook is het gemaakte

verschil verantwoord tussen enerzijds het onmiddellijk associëren van de gegevens van

een aftrekopgave met de equivalente optelling (weten) en anderzijds het afleiden van de

indirecte optelling van een aftrekopgave uit een bekende som (afsplitsen en

compenseren). Het gevolg van deze keuze is dat de zogenoemde ‘boogprocedure’ van

het variarekenen in onderhavig onderzoek onder ‘Weten’ valt als de leerling

onmiddellijk aan een optelfeit denkt en onder ‘Beredeneren’ als hij moet afsplitsen en

compenseren om het antwoord te kunnen geven.

Figuur 7.17 toont geobserveerde voorbeelden van dit gebruik van de inverse relatie

tussen optellen en aftrekken. Deze directe reacties laten zien dat het soms moeilijk is


233

om, aan de hand van de gemaakte protocollen, vast te stellen of de getallen (en de

tekst) van de opgave direct de passende optelling uit het geheugen oproepen (het

criterium voor Weten).


78] Opgave 1: 25-12= of 12+..=25

Moet je 12 erbij 13 doen en dat is 25.

13 bij! Ziet het zo.

79] Opgave 2: 22-18= of 18+..=22

18 erbij …is 22. Dat is 4! Wist ze

gewoon.

80] Opgave 3: 50-25= of 25+..=50

Ik weet ook al wat het antwoord is, 25

want 25+25=50. Hoeft ze niet over na

te denken.

81] Opgave 6: 40-24= of 24+..=40

Denkt na en zegt: 24+16=40

6! Hoe kom je eraan? Omdat 24 erbij 16

is 40. Hoe kom je aan 16! 4 erbij 6 is 10,

dan 20 erbij 10 is 30. Samen 40.

24+16=40; 24 plus iets is 40; dus 16

euro goedkoper

82] Opgave 9: 100-48= of 48+..=100

48+52=100

Zegt 100-48. Assistent vraagt: Wat heb je in je

hoofd gedaan? 8-2...Ik weet het niet meer!...

48+52 is samen 100

83] Opgave 10: 100-86= of 86+..=100

14! 86 erbij 14 is 100 want 80+10 en 6+4 is

samen 100

84] Opgave 11: 102-90= of 90+.=100

90+12=102. Dus moet hij nog 12 bladzijde

lezen.

Erbij tellen van 90 naar 102 is 12. Dat weet ik!

12! Dat weet ik gewoon. Die som hebben we al

eens gehad: 10+90=100; dan nog die 2

85] Opgave 16: 900-595 of 595+…=900

Hij ziet gewoon dat het verschil 305 is.

900-305=595

305! Hij ziet gewoon dat 305 erbij 900 geeft

Figuur 7.17 - Voorbeelden van de directe associatie van de aftrekking van de opgave met de passende optelling

De houding en communicatie van de toetsassistent bij doorvragen kan veel uitmaken.

Op de vraag hoe ze op hun antwoord zijn gekomen, reageren sommige kinderen door

te zeggen dan ze dat gewoon weten ( tweede oplossing van voorbeeld 84). Andere

leerlingen verantwoorden hun optelling door de onderliggende getalrelaties (uitvoerig)

te expliciteren (tweede oplossing van voorbeeld 81). De tweede oplossing van

voorbeeld 82 illustreert hoe kinderen dan in de war kunnen raken.

Met deze observatie sluiten we de staalkaart van methoden en vormen van

aftrekken af.

235

Hoofdstuk 8


8.1 lnleiding

Nog sterker dan voor ‘Bewerkingen optellen’, geldt bij aftrekken dat de mate

van beheersing sterk wordt beïnvloed door de context van de opgave. De

context zorgt ervoor dat aftrekken de betekenis kan hebben van vergelijken,

van aanvullen of van wegnemen, terwijl bij een ‘kale opgave’ de betekenis

eenduidig door het bewerkingsteken ‘-‘ wordt aangegeven. Opgaven die

leerlingen wel beheersen wanneer zij als een contextloze aftrekking worden

aangeboden, worden niet meer of minder goed beheerst wanneer de leerling

de bewerking uit de context moet afleiden. In dit geval is het probleem zelfs

zo groot dat we afzonderlijke ontwikkelingslijnen afbeelden voor

aftrekopgaven zonder context en aftrekopgaven met context (Noteboom e.a.

2000, 57).

Zeker voor het onderwerp ‘Bewerkingen aftrekken’ geldt dat bij een volgend

onderzoek meer aandacht geschonken moet worden aan de invloed van de

context of misschien van de interactie tussen de context en het

oplossingsgedrag van de leerlingen (ibid. 61-62).

Zoals gezegd in de inleiding van deze dissertatie, waren bovenstaande aanwijzing en

verzoek van Noteboom en haar collega’s die verantwoordelijk waren voor de derde

rekenpeiling halverwege de basisschool, de aanleiding om bij de vierde rekenpeiling

oplossingswijzen systematisch te verzamelen en te analyseren. Hoofdstuk 7 heeft de

gegevens van de eerste analyse in kaart gebracht: de vormen van rijgen, splitsen en

beredeneren/weten die de leerlingen gebruiken, het patroon in de gebruiksfrequentie

ervan en succes per niveau van hoofdrekenen. Hoofdstuk 8 zoomt nu in op de relatie

tussen de context en de getallen van de opgaven en de wijze waarop de leerlingen de

gegevens van de opgave wiskundig organiseren en de getallen aritmetisch bewerken. Het

vormt het tweede luik van de analyse van de oplossingswijzen. Het derde luik van

hoofdstuk 9 rapporteert ten slotte de resultaten van de analyse van wat er bij beschrijven

en bewerken mis gaat en wat de bron van het probleem is.

Hoofdstuk 8

236

Zoals eerder betoogd blijkt uit de literatuur, dat inhoudelijke aspecten en

vormaspecten van een contextprobleem, via de grafische, tekstuele en numerieke

informatie van de opgave, de schematisering en bewerking beïnvloeden. Dit bracht

Beishuizen (1997) op het idee om de berekeningen van de onderzochte leerlingen

‘dubbel’ te coderen, na de ontdekking van patronen in oplossingswijzen die met de

gebruikelijke Leidse codering verborgen bleven (zie hoofdstuk 4). Deze dubbele

codering werkt als volgt. Het eerste toegekende label, de strategie, verwijst naar de

wiskundige schematisering, de manier waarop de leerling de numerieke gegevens en

het onbekende van het probleem met elkaar in verband brengt, die wordt gekenmerkt

door de rekensom die dit oplevert. Het tweede toegekende label, de methode, verwijst

naar de aritmetische bewerking van de getallen, dat wil zeggen naar de rekenmethode

die de leerling gebruikt om de getallen van een ‘som’ te bewerken.

Dit principe is nu toegepast om patronen op te sporen in het gebruik van de

mogelijke combinaties van aftrekstrategie en rekenmethode die wijzen op de invloed

van (a) de context, (b) de getallen, (c) de interactie tussen beide en (d) de interactie

tussen deze opgavenkenmerken en het niveau van de drie vaardigheidsgroepen. Bij de

beschrijving van de opzet en de analyse van de oplossingen vanuit deze invalshoek

(paragraaf 5.4.2) is expliciet aangegeven dat het onderzoeksdesign op de eerste plaats

is gekozen om de leerlingen de kans te geven om hun kennis en kunde te tonen, om

zo systematisch mogelijk te beschrijven hoe en op welk niveau van formalisering zij

PPON-opgaven oplossen. Het design is dus niet opgezet om de invloed van de

context, de getallen, het vaardigheidsniveau en de interactie tussen deze variabelen

systematisch te onderzoeken. De contexten, getallen en ankeropgaven zijn echter

zodanig gekozen, dat deze invloed en interactie kleinschalig en oriënterend kan

worden verkend.

Op grond van de gevonden patronen formuleerde Beishuizen (1997) de hypothese

dat de gebruikte combinatie van strategie en methode de moeilijkheidsgraad van een

opgave direct beïnvloedt, door het beroep dat deze combinatie doet op specifieke

rekenkennis (getalbegrip en begrip van aftrekken als conceptuele bouwstenen) en

specifieke procedures (tel- en rekenvaardigheden als instrumentele bouwstenen).

Vanuit deze invalshoek oppert Beishuizen dat alle geleerde manieren van rijgen zich

probleemloos met de drie aftrekstrategieën laten combineren: aftrekken, aanvullen en

leeg maken en dat deze flexibiliteit van rijgen voor een groot deel het succes van alle

vaardigheidsgroepen bij rijgen verklaart. Aanvullen via het tiental zou, vanuit dit

oogpunt bekeken, verklaren waarom een leerling met een lage vaardigheid een opgave

op deze manier correct oplost, terwijl een groepsgenoot met meer vaardigheid een

foutief antwoord geeft, bijvoorbeeld omdat deze een passend optelfeit probeert te

gebruiken en zich vergist bij het compenseren.

De oplossingswijzen zijn nu, vanuit deze invalshoek, op drie niveaus geanalyseerd.

Paragraaf 8.2 brengt op het niveau van de vaardigheidsgroep het gebruikspatroon van

de combinatie van strategie en hoofdrekenmethode en de variatie in succes in kaart. In

het verlengde hiervan presenteert paragraaf 8.3 de gevonden patronen bij het


237

opsporen van de verwachte invloed van twee eigenschappen van de opgaven: (a) de

betekenis van aftrekken die de leerling in de opgave herkent en (b) de orde van grootte

van het verschil tussen de getallen. Paragraaf 8.4 zoomt in op het strategiegebruik per

opgave van de gemaakte set. De gebruiksverdeling van ‘aftrekken’, ‘optellen tot’ en

‘aftrekken tot’ wordt daarbij als indicator gebruikt voor de mate van invloed van de

context en de vorm van de opgave (via de betekenis van aftrekken die de leerling herkent)

en de getalrelatie die de leerling kan benutten als indicator van de invloed van de getallen van

deze context- of formuleopgave. Paragraaf 8.5 rapporteert de analyse van het

strategiegebruik in de oplossingen van de zogenoemde ankeropgaven, dat wil zeggen van

de opgaven die leerlingen uit alle drie de vaardigheidsgroepen hebben gemaakt. Het

laat binnen de beperkte mogelijkheden van het onderzoeksdesign de overeenkomsten

en verschillen zien tussen de drie vaardigheidsgroepen in de schematisering van

eenzelfde opgave en de bijbehorende variatie in de mate van succes. Paragraaf 8.7

integreert ten slotte de bevindingen en brengt het geheel in verband met de eerste

balans die gemaakt is aan het einde van hoofdstuk 7. Het introduceert, al doende, het

derde luik van de rapportage in de vorm een staalkaart van de onjuiste (c.q. incorrecte)

manieren van schematiseren, bewerken en terugkoppelen als bron van foutieve antwoorden.

8.2 Combinatie van de hoofdrekenmethode met de

aftrekstrategie

Hoe vaak combineren de drie vaardigheidsgroepen rijgen, splitsen, beredeneren en

weten met ‘aftrekken’ of ‘overbruggen’? En: hoe sterk varieert het succes dat met deze

combinaties wordt behaald? Deze paragraaf geeft hier antwoordt op. Hiertoe toe zijn

1646 oplossingen van het bestand van 1852 geregistreerde oplossingen geanalyseerd.

Oplossingen van het type Anders (N=107) zijn buiten beschouwing gelaten, omdat

men in die oplossingen niet herkent hoe de leerling schematiseert en/of de getallen

bewerkt. De 99 Restoplossingen tellen ook niet mee, omdat ze geen relevante

informatie verschaffen.

De gebruiksfrequentie en het succes zijn, in percentages, in de tabellen 8.1a/b t/m

8.3 a/b in beeld gebracht. De patronen die deze data zichtbaar maken worden

hieronder per vaardigheidsgroep beschreven.

Groep Laag

De percentages van tabel 8.1a tonen een dominant gebruik van overbruggen (68%) en

van de combinatie met rijgen-overbruggen (49%) door de leerlingen uit groep Laag.

Hoofdstuk 8

238

Tabel 8.1a - Gebruiksfrequentie (in percentages) van de combinatie strategie-methode in de groep Laag

Strategie Methode Aantal

bewerkingen Rijgen Splitsen Beredeneren Weten

Aftrekken 22 (N=106)

5 (N=26)

3 (N=13)

2 (N=9)

32 (N=154)

Overbruggen 49 (N=238)

5 (N=24)

7 (N=33)

7 (N=36)

68 (N=331)

Totaal 71 10 10 9 100 (N=485)

We herkennen in de verdeling het gebruik van optelfeiten bij direct weten (37 keer)

en de lage gebruiksfrequentie van splitsen (10%). De verdeling verschaft een

belangrijke informatie: de leerlingen passen vrijwel even vaak splitsen toe in

combinatie met overbruggen als in combinatie met aftrekken. De analyse op

opgaveniveau geeft aan dat ze aftrekken óf aanvullen, en nooit splitsend leeg maken.

Tabel 8.1b - Succes (in percentage) in de groep Laag per gebruikte combinatie

Strategie Methode

Rijgen Splitsen Beredeneren Weten

Aftrekken 87 31 (8 van de 26)

15 (2 van de 13)

100 (9 van de 9)

Overbruggen 81 42 (10 van de 24)

64 (21 van de 33)

94 (34 van de 36)

De variatie in succes geeft nieuwe informatie in vergelijking met de aanvankelijke

analyse zonder onderscheid van strategie (vergelijk tabel 7.2)

– Beide rijgcombinaties gaan vaak gepaard met een goed antwoord en,

omgekeerd, geven leerlingen vaak een foutief antwoord, wanneer ze splitsend

aftrekken of aanvullen;

– Leerlingen die splitsend aanvullen komen iets vaker op een goed antwoord

dan leerlingen die splitsend aftrekken. Dit laat zich verklaren door de

verhouding tussen het aantal opgaven met tientaloverschrijving die met een

foutief aftrekalgoritme worden opgelost en het aantal opgaven zonder

tientaloverschrijving waarbij de leerling de tienen en lossen (tellend) kan

aanvullen.

– Deze tendens is veel sterker bij beredeneren. Ze laat zich verklaren door het

aantal oplossingen waarin de leerling correct met optelfeiten puzzelt en de

foutieve compensatie bij herleiden op basis van een aftrekfeit. Puzzelen op dit

ontwikkelingsniveau loont, afsplitsen en compenseren (nog) niet.

– De omgekeerde tendens tekent zich ten slotte bij rijgen af: de combinatie met

aftrekken leidt vaker tot een correct antwoord dan de combinatie met aanvullen

/ leeg maken. Dit is om twee redenen zeer opmerkelijk. Ten eerste, omdat


239

rekendidactici bewust contextproblemen voorleggen die aansporen om aan te

vullen of leeg te maken, opdat leerlingen op termijn aftrekopgaven waarvan de

getallen zich daarvoor lenen, op deze manier ‘handig’ kunnen uitrekenen. Ten

tweede, omdat de leerlingen beduidend vaker rijgen met overbruggen dan met

aftrekken combineren (respectievelijk 49% en 22%), terwijl ze met deze

combinatie vaker een foutief antwoord vinden (resp. 19% en 13%).

Overbruggen loont in die zin tegen de verwachting in, minder dan aftrekken.

Groep Midden

De frequentieverdeling van tabel 8.2a toont een evenwichtig gebruik van aftrekken en

overbruggen (52% tegen 48%) en van de twee meest gebruikte combinaties: Rijgen-

overbruggen (39%) en Rijgen-aftrekken (32%) bij de groep Midden.

Tabel 8.2a - Gebruiksfrequentie (in percentages) van de combinatie strategie-methode in de groep Midden



Aftrekken 32

(N=177) 14

(N=79) 5

(N=26) 1

(N=4) 52

(N=286)

Overbruggen 39

(N=217) 4

(N=25) 4

(N=23) 17

(N=6) 48

(N=271)

Totaal 71 18 9 2 100

(N=557)

Tabel 8.2b - Succes (in percentages)in de groep Midden per gebruikte combinatie

Strategie Methode


Aftrekken 86 42 (8 van de 26)

62 (16 van de 26)

100 (9 van de 9)

Overbruggen 87 48 (10 van de 24)

64 (15 van de 23)

89 (4 van de 5)

Dat deze groep iets vaker indirect optelt (aanvult) duidt op de invloed van de getallen.

Deze leerlingen hebben immers twee kale aftrekkingen (van de 6 of 8 opgave)

gemaakt, die in de regel door het minteken aftrekken uitlokken. Dat de groep vaker

aftrekt bij splitsen past bij positioneel rekenen en bij de getallen van de gemaakte

opgaven die, op één na, allemaal een beroep doen op aftrekken vanaf een rond getal

of met de mengvorm, dan wel met tekort of via het openen van een tiental. We

herkennen ook in de tabel het gebruik van optelfeiten bij beredeneren/weten die ook

duiden op de invloed van context en de getallen.

De percentages/aantallen van tabel 8.2b laten zien dat succes min of meer

onafhankelijk is van strategie. Dit wijst erop dat in de middengroep de strategische

component van de combinatie er minder toe doet dan de procedurele component. Een

Hoofdstuk 8

240

gemiddelde leerling is, globaal genomen, meer vertrouwd met rijgen dan met

beredeneren en splitsen. In die zin weerspiegelt de verworven

hoofdrekenbekwaamheid van de middengroep de volgorde van aanbieding bij de

geleerde methode.

Groep Hoog

De groep Hoog heeft in één op de vier oplossingen met ± 90% succes geregen. De

gebruiksfrequentie van tabel 8.3a laat zien dat deze leerlingen in deze bewerkingen

bijna drie keer zo vaak het verschil tussen beide getallen uitrekenen als dat ze het

kleinste getal van het grootste aftrekken (57% tegen 21%). Dit geeft aan dat de

hoofdrekenbekwaamheid in grote mate berust op het verworven vertrouwen in rijgen

en op de voordelen die aanvullen en/of het gebruik van optelfeiten en optelrelaties oplevert

ten opzichte van aftrekken en/of de inzet van aftrekfeiten en/of aftrekrelaties.

Tabel 8.3a - Gebruiksfrequentie (in percentages) van de combinatie strategie- methode in de groep Hoog



Aftrekken 21

(N=127)

10

(N=63)

4

(N=27)

1

(N=4)

37

(N=221)

Overbruggen 57

(N=347)

2

(N=6)

4

(N=22)

1

(N=8)

63

(N=383)

Totaal 78 12 8 2 100

(N=604)

Tabel 8.3b - Succes (in percentages)in de groep Hoog per gebruikte combinatie

Strategie Methode


Aftrekken 88 60

(8 van de 63)

67

(18 van de 27)

100

(4 van de 4)

Overbruggen 93 33

(2 van de 6)

73

(16 van de 22)

100

(8 van de 8)

De neiging tot overbruggen bij rijgen drukt haar stempel op het totaal gemiddelde

gebruik van overbruggen (63% tegen 37% aftrekken). In die zin maken leerlingen met

de hoogste vaardigheid optimaal gebruik van de kans die realistisch hoofdrekenen

biedt om veelzijdig en flexibel te rijgen.

De tweedeling in de data, wat het succes betreft, tussen rijgen aan de ene kant en

splitsen en beredeneren aan de andere kant, relativeert echter de kracht en voordelen

van realistisch hoofdrekenen. Ze scherpt de indruk aan die wij in hoofdstuk 7 van

beide methoden hebben gekregen. De meest vaardige leerlingen kunnen niet goed

genoeg splitsen en beredeneren om ook optimaal te kunnen profiteren van de voordelen

die splitsend én beredenerend aftrekken kunnen hebben.


241

Patroon

Concluderend kunnen we vaststellen dat de dubbele codering van de

oplossingswijzen, zoals aanbevolen door Beishuizen (1997), de relatie heeft bloot

gelegd tussen de gebruikte combinatie van aftrekstrategie en methode en de mate van succes (en

dus van de moeilijkheidsgraad van de gemaakte set opgaven). De verdeling per

vaardigheidsgroep laat zich als volgt weergegeven.

Bij realistisch probleemoplossen spelen drie clusters van factoren op elkaar in:

– de conceptuele en procedurele voorwaarden waar de combinatie van strategie en

methode een beroep op doet,

– de kenmerken van de opgaven die de geschiktheid van de combinatie bepalen en

– de beschikbare kennis en bekwaamheid van de leerling die de mate van inzichtelijk

denken en automatisch handelen bepalen.

Het gevolg van de wisselwerking is dat, op tijdstip t van de voortgang, het voor een

leerling uit de vaardigheidsgroep v, meer of minder loont, om strategie s met de methode m te

combineren, afhankelijk van de bouwstenen b, waar de verschillende combinaties een

beroep op doen (zie paragraaf 4.6.2).

De analyseresultaten maken nu een sterke kant en een zwakke kant van de

verworven hoofdrekenbekwaamheid aannemelijk. Rijgen loont in alle drie de

vaardigheidsgroepen, omdat de leerlingen over voldoende bouwstenen beschikken om

deze methode flexibel in te zetten. Dat wil zeggen dat ze de methode rijgen passend

gebruiken in combinatie met de strategieën aanvullen dan wel leeg maken en aftrekken.

Leerlingen met de hoogste vaardigheid zijn daar meester in geworden. Leerlingen met

de laagste vaardigheid lijken niet optimaal te profiteren van de flexibiliteit van de

rijghandelingen door problemen die ze ondervinden bij aanvullen en/of leeg maken.

De verworven bouwstenen, en dus de volgorde van aanbieding van de drie methoden,

maken dat beredeneren en splitsen minder goed uit de verf komen en relativeren in

die zin de kracht van realistisch hoofdrekenen ‘hier’ en ‘nu’. Het gros van de leerlingen

mist teveel conceptuele en procedurele voorwaarden om deze methoden adequaat en

effectief te kunnen afwisselen met rijgen.

De invloed van de context en de getallen van de voorgelegde set opgaven is nu

vanuit deze veronderstelling verkend, eerst globaal per set en vervolgens verfijnd per

opgave. De resultaten van deze oriëntatie worden in de hierna volgende paragrafen

gepresenteerd.

8.3 Invloed van de context en de getallen van de gemaakte set

opgaven

De uitgevoerde analyse is gebaseerd op de bevinding dat leerlingen de relatie, die in

een contextprobleem wordt beschreven, verschillend interpreteren, afhankelijk van de

Hoofdstuk 8

242

betekenis die zij, in die context, aan aftrekken hechten. Daarnaast kunnen leerlingen

ook een formele aftrekopgave als 62 - 48 verschillend interpreteren, als aftrekking of

als verschil. Freudenthal (1984b) en de vernieuwers van het rekenprogramma gingen

er van uit dat leerlingen vrij snel beseffen dat zij ‘van het begin’ of ‘van het eind’

kunnen aftrekken (Veltman, 1993) en dat zij het ook vrij snel vanzelfsprekend vinden

om de helft van het verschil tussen beide getallen als criterium te nemen voor de keuze

tussen ‘aanvullen’ en ‘aftrekken’.

Deze paragraaf geeft nu antwoorden op de twee vragen omtrent deze invloed van

de context en de getallen op het niveau van de gemaakte sets opgaven: welk patroon

tekent zich af in de relatie tussen het strategiegebruik en (a) de verschijningsvorm van aftrekken in de

gemaakte opgaven en (b) de orde van grootte van het verschil tussen de twee getallen?

De analyseresultaten worden hieronder in de volgorde van de vragen

gepresenteerd.

8.3.1 Relatie tussen de verschijningsvorm (c.q. betekenis) van

aftrekken en het strategiegebruik

Tabel 8.4 geeft een overzicht van de gevormde analyse-eenheden.

Tabel 8.4 – Analyse-eenheden bij het opsporen van de invloed van de context

Betekenis en/of

verschijningsvorm *

Oplossingswijzen**

Laag Midden Hoog

Aanvullen Opgaven 1, 5 en 11 Opgaven 1, 8 en 11 Opgaven 11 en 17

Verschil bepalen Opgaven 2 en 6 Opgaven 6 en 13 Opgaven 6 en 13

Deel uitrekenen Opgaven 3 en 9 Opgave 9 Opgaven 9 en 14

Afhalen Opgaven 4 Opgaven 10 en 12 Opgaven 12

(*) De drie formuleopgaven (60-35=; 100-86=; 62-48=) zijn beschouwd als opgaven met de betekenis van ‘aftrekken’

(**) De ankeropgaven zijn onderstreept.

Algemene tendens

De staven van diagram 8.1 maken de tendens in de totale groep zichtbaar. Op dit

analyseniveau is geen verschil gemaakt tussen de twee overbruggingstrategieën optellen

tot en aftrekken tot, omdat ‘leeg maken’ slechts bij uitzondering is gebruikt.


243

Diagram 8.1 - Gebruiksverdeling van aftrekken en overbruggen in de totale onderzoeksgroep

De staafverdeling laat zien dat de leerlingen de overbruggingsstrategie vooral

gebruiken bij het oplossen van opgaven waarin aftrekken de vorm aanneemt (c.q. de

betekenis heeft) van ‘aanvullen’, ‘verschil bepalen’ en ‘deel uitrekenen’ en dat ze de

opgaven van de categorie ‘afhalen’ (waaronder de drie ‘kale' aftrekkingen) overwegend

via aftrekken uitrekenen.

Gebruiksfrequentie per vaardigheidsgroep

Tabel 8.5 toont, per vaardigheidsgroep, de gebruiksfrequentie van de strategieën

aftrekken en overbruggen per onderscheiden klassen opgaven. De percentages maken

de volgende trend zichtbaar.

1. Aanvulopgaven worden overwegend overbruggend opgelost. Leerlingen uit de

middengroep passen in hun contextproblemen van dit type het vaakst de

aftrekstrategie tot (30%).

2. Hetzelfde patroon komt terug in de oplossingen waar een verschil of het deel

van iets wordt uitgerekend, zij het dat elke vaardigheidsgroep vaker aftrekt en

de middengroep het vaakst (36%).

3. ‘Afhaalopgaven’ opgaven worden ten slotte in de groepen Laag en Midden meer

eenzijdig met aftrekhandelingen uitgerekend dan in groep Hoog, waar

overbruggen in 30% van de oplossingen van deze klasse opgaven wordt

toegepast, waaronder die van het unieke ‘afhaalprobleem’.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

aanvullen verschil bepalen deel uitrekenen afhalen

freq

uen

tie

Verschijningsvorm

Gebruiksverdeling van aftrekken en overbruggen in de totale onderzoeksgroep

aftrekken overbruggen

Hoofdstuk 8

244

Tabel 8.5 - Gebruiksverdeling (in percentages) van aftrekken en overbruggen in de drie vaardigheidsgroepen per verschijningsvorm (c.q. betekenis) van aftrekken

Groep Strategie

Betekenis (c.q. verschijningsvorm) van aftrekken

Aanvullen Verschil bepalen

Deel uitrekenen

Afhalen

Laag Aftrekken 8 30 21 91 Overbruggen 91 70 79 9 Totaal 100 100 100 100

Midden Aftrekken 30 36 39 93 Overbruggen 70 64 61 7 Totaal 100 100 100 100

Hoog Aftrekken 13 23 36 70 Overbruggen 87 77 64 30 Totaal 100 100 100 100

Deze tendens betekent, concluderend 1. dat alle drie de vaardigheidsgroepen

globaal genomen, volgens hetzelfde patroon op de verschijnvorm (c.q. betekenis) van

aftrekken reageren en 2. dat de variatie in het gebruik van aftrekken en overbruggen

sterk overeenkomt met de geobserveerde verschillen in de gebruiksfrequentie van de

combinaties van aftrekmethode en strategie.

8.3.2 Relatie tussen de orde van grootte van het verschil tussen de

getallen en het strategiegebruik

In deze paragraaf gaan we na of er aanwijzingen zijn, dat de leerlingen - lettend op de

orde van grootte van het verschil tussen het aftrektal en de aftrekker - bewust kiezen

tussen aftrekken en overbruggen. Tabel 8.6 toont hoe de 646 berekeningen zijn

gesorteerd om dit vast te kunnen stellen.

Tabel 8.6 – Analyse-eenheden bij het opsporen van de invloed van de orde van grootte van het verschil

Verschil aftrektal

aftrekker

Oplossingswijzen*

Laag Midden Hoog

≤ ½ van aftrektal Opgaven 1, 3 en 9 Opgave 1

> ½ van aftrektal Opgaven 2, 4, 5, 6, 9 en

11

Opgaven 6, 8, 9, 10, 11,

12 en 13

Opgaven 6, 9, 11, 12, 13,

14, 16 en 17

*Ankeropgaven zijn onderstreept

Invloed van de orde van grootte van de getallen

De in diagram 8.2 samengevatte resultaten laten zien dat de leerlingen tegen de

verwachting in handelen. Aftrekken domineert namelijk in de berekeningen van de

klasse opgaven met getallen die beter met aanvullend optellen kunnen worden

bewerkt.


245

Diagram 8.2 - Orde van grootte van het verschil tussen de getallen en strategiegebruik

Dit patroon maakt aannemelijk dat andere kenmerken van de getallen in het spel

zijn dan de orde van grootte van het verschil tussen aftrektal en aftrekker.

Gebruikspatroon bij aftrekken als ‘afhalen’

Diagram 8.3 toont de gebruiksverdeling van aftrekken en overbruggen in de

berekeningen van de drie formluleopgaven 4 (60 - 35), 10 (100 - 86) en 12 (62 - 48) en

die van contextprobleem 16 (900 - 595), waar aftrekken de betekenis heeft van

‘afhalen’. Deze opgaven lenen zich stuk voor stuk meer voor aanvullend optellen dan

voor aftrekken. De staafverdeling laat zien dat de leerlingen in het gros van de

oplossingen juist de tegenovergestelde strategie volgen. De drie kale aftrekkingen

worden slechts bij uitzondering via aanvullend optellen opgelost, 100 - 86 vaker dan 62 -

48 en 60 - 35.

In de groep Hoog contrasteert de schematisering van het ‘afhaalprobleem’ met de

aanpak van de kale aftrekking 62-48 (opgave 12). De helft van de leerlingen negeert de

context en gebruikt 600 als knooppunt om de stipsom 598 + .. = 900 uit te rekenen,

terwijl de aftrekking 62 - 48 in slechts 7% van de berekeningen overbruggend wordt

uitgerekend. De nog lagere gebruiksfrequentie van overbruggen in de groep Midden

ondersteunt de veronderstelling dat leerlingen zich door andere eigenschappen van

deze opgave laten leiden dan door de orde van grootte van het verschil tussen 48 en

62. De oplossing van de tweede formuleopgave 100 - 86 bevestigt dit. In één op de

tien oplossingen heeft de leerling 86 + .. = 100 (meestal correct) uitgerekend in plaats

van 86 van 100 af te trekken. Een voor de hand liggende verklaring is dat de

combinatie van 86 met 100 sterk de associatie oproept met de bekende splitsing van

100 in 80 + 20.

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

≤ de helft > de helft ≤ de helft > de helft ≤ de helft > de helft

LAAG MIDDEN HOOG

freq

uen

tie

Relatie tussen het strategiegebruik en de orde van grotte van het verschil tussen aftrektal en aftrekker

overbruggen aftrekken

Hoofdstuk 8

246

Diagram 8.3 - Strategiegebruik bij de vier opgaven waar aftrekken de betekenis heeft van ‘afhalen’

8.3.3 Patroon

Bovenstaande analyseresultaten maken, concluderend, drie aspecten aannemelijk van

de wijze waarop leerlingen halverwege de basisschool met de context en de getallen

van hun aftrekopgaven omgaan:

– Ze laten zich in de regel sterk leiden door de context.

– Ze passen daarbij de overbruggingsstrategie vooral toe in situaties waar er

sprake is van ‘aanvullen’, ‘verschil bepalen’ en ‘deel uitrekenen’ en de

aftrekstrategie vooral bij het uitrekenen van formuleopgaven.

– Als ze het minteken van een formuleopgave of de suggestie van de stam en de

vraag van een zuiver aftrekprobleem negeren, komt het eerder door de directe

associatie van de getallen van de opgave met een bekend rekenfeit (c.a.

afsplitsing van een getal), dan door een bewuste afweging op basis van de orde

van grootte van het verschil tussen de getallen.

Dit patroon is nu kwalitatief en per set, op opgavenniveau opgespoord. De resultaten

van deze analyse worden hieronder per vaardigheidsniveau gepresenteerd.

8.4 Interactie tussen de betekenis van aftrekken en de relatie

tussen de getallen van de opgave

‘Vroeger’ werden leerlingen geacht de juiste aftrekking uit de tekst en de vraag van een

redactieopgave te abstraheren. ‘Nu’ wordt juist verwacht, dat zij de bewerking adequaat

op de getallen afstemmen. Om zichtbaar te maken of ze dat doen en om bovenstaande

0%

20%

40%

60%

80%

100%

opgave 04 (L)60-35

opgave 10 (M)100-86

opgave 12 (M)62-48

opgave 12 (H)62-48

opgave 16 (H)900-595

freq

uen

tie

Strategiegebruik bij de vier opgaven waar aftrekken de betekenis heeft van 'afhalen'

aftrekken overbruggen


247

aanname hieromtrent te kunnen toetsen, zijn de oplossingen van de drie

vaardigheidsgroepen, per opgave en per aftrekstrategie gesorteerd. De staven van de

diagrammen 8.4, 8.5 en 8.6 geven de gebruiksverdeling van (i) aftrekken), (ii) optellen

tot en (iii) aftrekken tot, per opgave weer. De opgaven zijn per type context

gegroepeerd. De mate van overeenkomst tussen de meest gevolgde strategie en de

betekenis van aftrekken in de betreffende cluster aftrekproblemen bepaalt de volgorde

van de opgaven in deze cluster. De resultaten van deze analyse worden hieronder per

vaardigheidsgroep gepresenteerd. Telkens worden eerst de invloed van de context

geëxpliciteerd en vervolgens die van de getallen die de invloed van de context versterkt

of juist tegenwerkt.

8.4.1 Groep Laag

Afgezien van opgave 2 en 6, toont de staafverdeling van diagram 8.4 een stabiel

patroon in het gebruik van de drie aftrekstrategieën.

Invloed van de context

De leerlingen reageren conform de hierboven gerapporteerde algemene trend. De drie

aanvulproblemen (opgave 1, 5 en 11) worden vrijwel uitsluitend aanvullend optellend

opgelost. Een verschil of het onbekende deel van iets wordt eveneens overbruggend

opgelost (opgaven 2 en 6), terwijl de kale aftrekking 60 - 35, op één oplossing na,

aftrekkend wordt uitgerekend.

Diagram 8.4 – Strategiegebruik per opgave in de groep Laag (frequentie in %)

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

opgave 1 opgave 5 opgave 11 opgave 2 opgave 6 opgave 3 opgave 9 opgave 6

aanvullen verschil deel-geheel afhalen

freq

uen

tie

Stragiegebruikper opgave in de groep Laag

aftrekken optellen tot aftrekken tot

Hoofdstuk 8

248

Invloed van de getallen

Er zijn twee aanwijzingen voor de invloed van de getallen. Het eerste is de gevolgde

rekenrichting bij het uitrekenen van het verschil in leeftijd bij opgave 2 en in prijs bij

opgave 6, het tweede de relatieve hoge gebruiksfrequentie van aftrekken bij opgaven 3,

6 en 9.

Zowel bij opgave 2 als bij opgave 6 sporen de tekst, de presentatie van de gegevens

en de gestelde vraag sterk aan om het betreffende verschil van ‘hoog’ naar ‘laag’ in de

aftrekrichting, dus via indirect aftrekken tot, uit te rekenen:

Joyce weegt 18 kilo en Lex 22. Hoeveel kilo is Joyce lichter dan Lex?

22-..=18 en niet 18+..=22

De bloes met de korte mouwen is goedkoper (€ 24) dan de bloes met de lange mouwen

(€ 24). Hoeveel euro goedkoper?

40-..=24 en niet 24+..=40

Bij opgave 6 negeren de meeste leerlingen de gesuggereerde rekenrichting. Ze

vullen aan in plaats van leeg te maken. Een aanzienlijke groep leerlingen rekent echter

het verschil tussen 18 jaar en 22 jaar van ‘hoog’ naar ‘laag’ uit, conform de tekst en

structuur van de opgave. De voor de hand liggende verklaring voor aanvullen tegen de

context in is, dat veel leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep (a) inmiddels weten

dat het er in dergelijke situaties niet toe doet of ze aanvullen of leeg maken en (b) bij

voorkeur in de telrichting verder tellen (19, 20, 21, 22 4), dan wel verder springen

via het tiental (2022 4) of over het tiental verder optellen (18+4=22, dus 4). De

getallen versterken de sturing door de context in die zin, dat ze aansluiten bij de

wetenschap van de tweezijdigheid van ‘verschil bepalen’ en vertrouwde

aanvulprocedures.

Op een vergelijkbare manier houden de getallen, evenals de context, aftrekken (22–

18=) buiten het blikveld, zoals de staafverdeling dat zichtbaar maakt.

De verdeling in opgave 6 roept echter eerder het beeld op van een krachtenspel

tussen aantrekkelijke bewerkingen: ‘aanvullen van 24 tot 40’ enerzijds en ‘24 van 40

aftrekken’ anderzijds. Aanvullen is om dezelfde redenen als bij opgave 2 aantrekkelijk.

Het ligt voor de hand om aan te nemen dat aftrekken aantrekkelijk is voor elke leerling

die €40 en €24 direct met 40 - 20 = 20 associeert.

Een tweede teken van de invloed van de getallen is de relatieve hoge

gebruiksfrequentie van aftrekken bij opgaven 3, 6 en 9. Het gemeenschappelijke

kenmerk van de drie geabstraheerde aftrekkingen is de combinatie van een rond

aftrektal met een samengestelde aftrekker:

Opgave 3: 50-25=

Opgave 6: 40-24

Opgave 9: 100-48


249

De vertrouwdheid met 50 - 20, 40 - 20 en 100 - 40 (c.q. de parate kennis) zou deze

aanpak in de hand kunnen werken. De getallen van deze opgaven trekken in die zin

aftrekken aan bij leerlingen die ‘achter deze getallen’ een aftrekfeit herkennen die ze

voor een vertrouwde aftrekbewerking kunnen gebruiken.

8.4.2 Groep Midden

De invloed van de context is in de staafverdeling van de middengroep (diagram 8.5)

duidelijk herkenbaar. De variatie in de verdeling van de staven roept echter de

associatie op met een gedifferentieerde (c.q. flexibele) omgang met de context en

vooral met de getallen van de opgaven (c.q. een flexibel gebruik van de drie

strategieën).

Diagram 8.5 – Strategiegebruik per opgave in de groep Midden (frequentie in %)


Leerlingen uit de groep Midden reageren, globaal genomen, conform de algemene

tendens op de voorgelegde betekenis (c.q. verschijningsvorm) van aftrekken. Twee

van de drie aanvulproblemen (opgave 1 en 11) worden vrijwel uitsluitend via optellen tot

opgelost. Veel leerlingen rekenen het verschil van opgave 13 en het onbekende deel

van opgave 9 overbruggend uit, terwijl de twee formuleopgaven overwegend

aftrekkend worden opgelost.

Het gebruik van aftrekken tot en vooral het dominante gebruik van aftrekken in de

oplossingen van opgave 8 (13%) zijn tegenstrijdig met het aanbod. Dit type

aftrekproblemen wordt namelijk in alle rekenmethoden gebruikt om de zogenoemde

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%



freq

uen

tie

Strategiegebruik per opgave in de groep Midden


Hoofdstuk 8

250

winkelmethode te introduceren en aan te bevelen, dat wil zeggen, aanvullend optellend,

via het dichtstbijzijnde veelvoud van (vijf of) tien, zoals de kassajuffrouw dat doet:

32+.-=50 via

32 en 3 is 35, en 5 is 40 en 10 is 50, dus 3+5+10 is samen 18 euro

Het woord ‘terug’ in de vraag Hoeveel euro krijgt hij terug? kan, semantisch gezien,

overbruggen van ‘hoog’ (50) naar ‘ laag’ (32) verklaren, maar zeker niet aftrekken. Het

aandeel van aftrekken tot in de oplossingen van opgave 6 bevestigt overigens de

hierboven veronderstelde invloed van tekstuele kenmerken.


De staafverdeling ondersteunt bovenstaande veronderstellingen ten aanzien van het

krachtenspel tussen de context en de getallen dat tot uitdrukking komt in het aandeel

van aanvullen aan de ene kant en aftrekken aan de andere kant.

– De combinatie van een rond getal als grootste getal met een samengesteld

kleiner getal spoort veel leerlingen aan om opgave 8 (aanvullen), opgave 6

(verschil bepalen) en opgave 9 (deel uitrekenen) met aftrekhandelingen op te

lossen, respectievelijk via 50 - 32, 40 - 24 en 100 - 48. .Wie 50 - 30, 40 - 20

en/of 100 - 80 paraat heeft, zou deze relaties ‘vanzelf’ kunnen inzetten.

– De vergelijkbare directe associatie van 86 met een ‘deel’ van 100 zou de

aanvuloplossingen van opgave 10 (kale aftrekking 100 - 86) kunnen verklaren,

wellicht via de associatie met 80 + 20 = 100 (wat moet ik dan bij 84 optellen

om 100 te krijgen?).

8.4.3 Groep Hoog

Diagram 8.6 toont tenslotte een structureel gebruik van alle drie de strategieën bij de

groep hoog, geheel in de lijn van de hierboven veronderstelde rol van de context en de

getallen.


251

Diagram 8.6 – Strategiegebruik per opgave in de groep Hoog (frequentie in %)


Contextprobleem 11 en vlekopgave (17) worden geheel in de lijn van de context, van

‘laag’ naar ‘hoog’ opgelost. Het minteken van opgave 12 trekt, zoals in de groep

Midden, sterk aftrekhandelingen aan, terwijl de overige aftrekproblemen meer

gedifferentieerd worden opgelost.


Het meest opmerkelijk in dit diagram is de staafverdeling van het uniek zuivere

aftrekprobleem (opgave 16). Het ligt voor de hand om aan te nemen dat 595 in

combinatie met 900 aanvullen via het dichtstbijzijnde tiental aantrekt bij leerlingen die

595 direct met ‘5 minder dan 600’ associëren (600 = 595 + 5, dan wel 595 + 5 = 600

of 600 – 5 = 595).

De aftrekoplossingen van opgave 6 (verschil) en 9 (deel van) bevestigen dat de

combinatie van een rond groot getal met een samengesteld kleiner getal

aftrekhandelingen aantrekt.

De staafverdeling van de opgaven 6, 13 en 16 laat ten slotte zien dat sommige

leerlingen adequaat ‘terugrekenen’ in contexten die dat niet suggereren. Alleen bij

opgave 6 kan uit de tekst en de vraag verklaard worden waarom ze aftrekkend

overbruggen en niet aanvullend:

40-..=24 in plaats van 24+..=40

620-..=370 in plaats van 370+..=620

900-..=595 in plaats van 595+..=900

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%



freq

uen

tie

Strategiegebruik per opgage in de groep Hoog


Hoofdstuk 8

252

8.4.4 Conclusie

Concluderend kan worden vastgesteld dat de leerlingen volgens een vrij stabiel

patroon op de context en de getallen reageren. De geobserveerde variatie maakt

aannemelijk dat de vertrouwdheid van leerlingen met specifieke getalrelaties hen

‘natuurlijkerwijs’ aanspoort om eerder de ene strategie te volgen dan de twee andere

alternatieven. Als deze veronderstelling correct is, neemt de kans dat leerlingen zich

meer door de getallen dan door de context laten leiden toe zodra zij beseffen dat een

willekeurig aftrekprobleem (c.q. kale aftrekking) op drie manieren kan worden herleid

en naarmate zij meer getallen flexibel kunnen afsplitsen (c.q. kunnen samenstellen) op

basis van hun optelen aftrekrelaties met andere getallen, bijvoorbeeld 40 = 24 + 16,

wetend dat 24 + 16 = 40 en dat 40 -16 dus evenveel is als 24. De geobserveerde

herleidingen bij beredeneren en de oplossingen van het type ‘weten’ ondersteunen deze

gedachte. Leerlingen gebruiken vooral optelrelaties die bij de aftrekking van de opgave

passen.

De oplossingspatronen van de drie vaardigheidsgroepen laten zien dat de

leerlingen op drie manieren op de verschijningsvorm (c.q. betekenis) van aftrekken en

op de tekstuele en picturale kenmerken van aftrekopgaven reageren: 1. ze volgen

‘letterlijk’ de meer impliciete of expliciete suggesties (‘conformeren’), 2. maken gebruik

van alternatieve werkwijzen (accommoderen) of 3. rekenen geheel tegen de context in

(negeren), dit alles, mede afhankelijk van de getalrelaties die de getallen van de context

uit het geheugen oproepen, bij de interpretatie van de gegeven informaties).

Vier mechanismen zijn bij dit proces geïdentificeerd:

A. Het minteken van kale aftrekkingen lokt sterk aftrekken uit.

B. Aanvulproblemen sporen sterk aan om aanvullend op te tellen.

C. Problemen waar er sprake is van een verschil en combineren/scheiden lokken meer

of minder gedifferentieerde oplossingswijzen uit, afhankelijk van de getallen.

D. De combinatie van een groot rond getal (veelvoud van tien) en een samengesteld

klein getal trekt sterk aftrekhandelingen aan, door de associatie die de leerling bij

dergelijke paren maakt met vertrouwde aftrekkingen als 50 – 30 = 20

(afsplitsing van 50), 60 – 30 = 30 (omgekeerde ‘dubbel’) en 100 – 80 = 20

(afsplitsing van honderd’).

Bovenstaande analyse ging uit van de interactie tussen de moeilijkheidsgraad van

een opgave en de beschikking over de conceptuele en procedurele bouwstenen waar

het gebruik van een combinatie van strategie en procedure een beroep op doet. Vanuit

deze invalshoek ligt het voor de hand om aan te nemen dat het vaardigheidsniveau

van de leerling haar stempel drukt op de wijze waarop de leerling een aftrekopgave

schematiseert en de getallen van de geabstraheerde rekensom (c – b = ? of b + ? = c

dan wel c - ? = b) bewerkt. Het onderzoeksdesign biedt, zoals eerder vastgesteld

slechts de mogelijkheid om de tendens van de invloed van de voortgang in de


253

oplossingen van een vijftal ankeropgaven op te sporen. De hierna volgende paragraaf

presenteert de resultaten van deze verkenning.

8.5 Relatie tussen het vaardigheidsniveau, het strategiegebruik

en het succes bij aftrekken

Verschillen leerlingen uit de groep Laag, Midden en Hoog bij in de manier waarop zij de

ankeropgaven schematiseren? Zo luidt de vraag bij de uitgevoerde analyse. In totaal zijn

960 ankeroplossingen geanalyseerd. De kleinste cluster oplossingen is dat van opgave

9 in de groep Laag (N=27), de grootste dat van opgave 12 in de groep Hoog (N=90).

Het gemiddelde aantal waarnemingen per analyse-eenheid bedraagt 64.

Tabel 8.7 geeft een overzicht van de opgavenkenmerken die een rol kunnen spelen.

De verwachte verschillen in beïnvloeding zijn onder de tabel nader geëxpliciteerd.

Tabel 8.7 – Kernmerken van de ankeropgaven

Opg. P waarde Betekenis van aftrekken

Onderliggende aftrekking

Vaardigheidsgroep

1 67 Aanvullen 25-12 Laag en Midden

6 69 Verschil bepalen 40-24 Laag, Midden en Hoog

9 56 Deel uitrekenen 100-48 Laag, Midden en Hoog

11 89 Aanvullen 102-90 Laag, Midden en Hoog

12 54 Afrekken (formuleopgave) 62-48 Midden en Hoog

13 43 Verschil bepalen 250-189 Midden en Hoog

Verwachte verschillen in beïnvloeding van de ankeropgaven

Betekenis Formuleopgave 12 spoort, door het minteken, sterk aan tot aftrekken, terwijl het voorgelegde aftrekprobleem meer aanstuurt op overbruggen. Opgave 6 onderscheidt zich van alle andere contextopgaven door de tekst en de vraag die aansporen om terug te rekenen.

Getallen Het loont in alle gevallen om aan te vullen in plaats van af te trekken. In vier opgaven is het aftrektal een rond getal dat, blijkens bovenstaande analyse, sommige leerlingen aanspoort om af te trekken (of leeg te maken) in plaats van aan te vullen. Opgaven 6 en 9 lijken sterk op elkaar door de voor de hand liggende associatie met een bekend dubbel die zowel aanvullen als aftrekken kan uitlokken: 40 als dubbel 20 en 100 als dubbel 50. De getallen van opgaven 11 lokken daarentegen sterk aanvullend optellen uit, door het kleine verschil tussen aftrektal en aftrekker en omdat 92 dicht bij 90 ligt.

Hoofdstuk 8

254

8.5.1 Relatie tussen vaardigheidsniveau en strategiegebruik

Diagram 8.7 maakt de variatie in schematisering zichtbaar. Het beïnvloedingspatroon

wordt hieronder per uitgevoerde vergelijking beschreven.

Laag versus Midden versus Hoog

Er zijn maar drie ankeropgaven die door leerlingen uit alle drie de

vaardigheidsgroepen zijn gemaakt:

– opgave 6: N Laag=74; N Midden=76; N Hoog=47

– opgaven 9: N Laag=27; N Midden=76; N Hoog=47)

– opgave 11: N Laag=38; N Midden=81; N Hoog=89)

De staafverdeling van deze opgaven laat zien dat de leerlingen uit de groep Laag

deze opgaven zichtbaar minder gedifferentieerd modelleren. Ze vullen aan of trekken

af, terwijl hun klasgenoten met een hoger vaardigheidsniveau ook terugrekenen

(aftrekken tot). De middengroep onderscheidt zich op haar beurt van de twee andere

door vaker af te trekken, een tendens die in alle uitgevoerde analyses is geconstateerd.

Diagram 8.7 – Strategiegebruik (percentage) in de oplossingen van de ankeropgaven

Laag versus Midden

Welke verschillen tekenen zich af tussen de groep Midden en de groep Hoog, als

we ook de oplossingen van ankeropgave 1 bij de vergelijking betrekken? De

staafverdeling van deze opgave laat zien dat beide groepen op dezelfde manier op de

tekst en de getallen van opgave 1 reageren, zij het dat aftrekken in de middengroep

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Laa

g

Mid

den

Ho

og

Laa

g

Mid

den

Ho

og

Laa

g

Mid

den

Ho

og

Laa

g

Mid

den

Mid

den

Ho

og

Mid

den

Ho

og

Opgave 6 Opgave 9 Opgave 11 Opgave 1 Opgave 12 Opgave 13

freq

uen

tie

Strategiegebruik in de oplossingen van de ankeropgaven



255

iets vaker wordt toepast. Deze sterkere neiging tot aftrekken is in de verdeling van alle

opgaven, op die van opgave 6 na, zichtbaar en het sterkst bij opgave 9 (40% tegen

20% in de groep Laag). De contexten verklaren de variatie:

– aanvullen, bij opgave 11 versus

– verschil bepalen, bij opgaven 6 versus

– combineren/scheiden, bij opgave 9.

Er tekenen zich, concluderend, twee verschillen af tussen leerlingen met een lage

vaardigheid en leerlingen met een gemiddelde vaardigheid. Ze trekken enerzijds

minder vaak af en profiteren anderzijds minder van de mogelijkheid om terug te

rekenen. In die zin zouden leerlingen met een lage vaardigheid minder flexibel en

gevarieerd hoofdrekenen dan leerlingen met een middelmatige vaardigheid.

Midden versus Hoog

Leerlingen uit de groepen Midden en Hoog hebben 4 ankeropgaven gemaakt, drie

onder de honderd (6, 9 en 12), één over de honderd (11) en één met driecijferige

getallen (13). De staafverdeling laat zien dat leerlingen uit de groep Hoog, globaal

genomen, niet anders op de betekenissen van aftrekken en de getallen reageren dan de

leerlingen uit de middengroep. Er tekent zich slechts een gradueel verschil af in de

verhouding tussen aftrekken en overbruggen. De middengroep trekt in absolute zin vaker

af, terwijl de meest vaardige leerlingen vaker beide overbruggingstrategieën toepassen,

onder andere bij het oplossen van de kale aftrekking 62 - 48 van opgave 12.

8.5.2 Relatie tussen vaardigheidsniveau en succes

De percentages van tabel 8.8 tonen een grote variatie in succes. Het succes per opgave

weerspiegelt de verschillen in de voortgang die op basis van de schriftelijke toets van

de 4e PPON rekenpeiling zijn vastgesteld (zie hoofdstuk 6).

Tabel 8.8 – Gemiddeld percentage correcte antwoorden per ankeropgave, vaardigheidsgroep en toegepaste strategie

Anker- opgave

Laag Midden Hoog

P AF OV. P AF OV. P AF OV.

6 50 53 48 76 83 72 98 94 100

9 63 60 64 86 93 80 94 92 94

11 87 33 91 89 67 95 87 88 99

1 67 100 66 83 100 81 Niet gemaakt

12 Niet gemaakt 62 62 50 89 83 100

13 Niet gemaakt 56 18 71 82 53 89

P=P-waarde; AF=Aftrekken; OV=Overbruggen

Hoofdstuk 8

256

Het percentage correcte antwoorden per strategie scherpt de algemene tendens aan

die de analyse van het gebruikspatroon per vaardigheidsgroep aan het licht heeft

gebracht.

– Overbruggen drukt in de groep Hoog in het algemeen en in alle drie de

vaardigheidsgroepen bij de gemakkelijkste opgave 11 positief haar stempel op

het succes van de leerling. Omdat de leerlingen in die oplossingen vooral

aanvullend rijgen, komt deze combinatie van strategie en procedure in

aanmerking als een bevorderende factor voor succes. Dit stemt overeen met

de bevindingen van Beishuizen (1997) in de tweede helft van de jaren

negentig.

– De lagere goedscores bij overbruggen in de groep Laag (afgezien van de

oplossingen van opgave 11) en bij drie van de zes opgaven die de

middengroep heeft gemaakt, bevestigen de eerdere aanwijzingen, dat

aanvullend optellen (c.q. leeg maken) niet als zodanig ‘automatisch’ meer kans

op succes geeft dan aftrekken. Het structureel verschil tussen overbruggen en

aftrekken is, dat de opeenvolgende aftrekhandelingen direct tot het antwoord

leiden, terwijl de leerling het verschil tussen de twee getallen indirect uit de

overbruggingshandelingen (aanvullen dan wel leeg maken) moet afleiden. De

kans dat de leerling ergens in de bewerking een vergissing of een fout maakt

is, in die zin, bij overbruggen veel groter dan bij aftrekken.

– Aftrekken stelt structureel de leerlingen uit de groep Laag voor problemen. De

percentages maken de interactie tussen de getallen en het vaardigheidsniveau

zichtbaar. De goedscore zakt in de groep Laag tot 33% bij het uitrekenen van

102 - 90, tegen 67% in de groep Midden en 88% in de groep Hoog.

– Een vergelijkbaar patroon is zichtbaar in de bewerkingen van de twee hoogste

vaardigheidsgroepen bij het uitrekenen van de kale aftrekking 62 - 48 (opgave

12) en 250 - 189 die sommige leerlingen uit opgave 13 abstraheren. Het succes

zakt van ± 92% bij opgave 9 tot 62% in de groep Midden en 83% in de groep

Hoog bij opgave 12 en tot respectievelijk 18% en 53% bij opgave 13. Deze

verschillen stemmem overeen met de in hoofdstuk 6 geconstateerde

verschillen in voortgang bij rekenen tot honderd en duizend.

8.5.3 Conclusie

Uit bovenstaande resultaten kunnen twee drie conclusies worden getrokken:

1. De verworven conceptuele en procedurele bouwstenen bepalen sterk (a) welke

combinatie van aftrekstrategie en hoofdrekenprocedure een leerling meer

vanzelfsprekend vindt, (b) daarom vaker gebruikt en (c) al doende meer succes

heeft.


257

2. Leerlingen met een lagere vaardigheid kunnen in die zin niet alleen minder

abstract en beknopt hoofdrekenen, zoals vastgesteld in hoofdstuk 7, maar ook

minder gedifferentieerd (c.q. flexibel, gevarieerd). De volgende verschillen

tekenen zich wat dit betreft af. Leerlingen uit de hoogste vaardigheidsgroep

rekenen het meest gedifferentieerd door hun gebruik van alle drie strategieën.

Leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep leunen vooral op de combinatie van

rijgen met aanvullen en aftrekken. Leerlingen uit de middengroep nemen een

tussenpositie in. Ze trekken vaker af, maar maken minder gebruik van

terugrekenen.

3. Aanvullend rijgen bevordert evident het succes. Deze combinatie geeft echter

in de groep Midden en vooral Laag, ook evident aanleiding om vergissingen of

fouten te maken, die in het hierna volgende hoofdstuk worden gepresenteerd.

8.6 Terugblik en afsluitende conclusie

In paragraaf 7.7 is op grond van de analyseresultaten van de voortgang en de

bouwstenen enerzijds (hoofdstuk 6) en van de vormen en niveaus van hoofdrekenen

anderzijds (hoofdstuk 7), een voorlopige balans opgemaakt van de realistische

modernisering van het rekenonderwijs. Deze paragraaf scherpt deze interpretatie van

de opbrengsten en de beperkingen van de vernieuwing aan op basis van de informatie

die de omgang met de context en de getallen heeft opgeleverd. Daarom worden

hiertoe eerst de bevindingen per uitgevoerde analyse geïnventariseerd.

8.6.1 Beeld van de omgang met de context en de getallen

Binnen de mogelijkheden die het design toeliet is gepeild hoe flexibel en gevarieerd de

onderzochte groepen leerlingen de aftrekopgaven van hun eigen set hebben opgelost.

Recapitulerend zijn de volgende conclusies getrokken op basis van de resultaten van

de analyse van de 970 bruikbare oplossingen van het type rijgen, splitsen, beredeneren

en weten.

A. Op basis van de resultaten van het behaalde succes bij de combinatie van de

vier methoden met strategieën aftrekken en overbruggen is in paragraaf 8.2 de

hypothese geformuleerd dat rijgen structureel loont, omdat elke

vaardigheidsgroep over voldoende bouwstenen beschikt om deze methode

passend te gebruiken, in combinatie met aanvullen dan wel leeg maken en aftrekken.

Leerlingen met de hoogste vaardigheid zijn daar evident expert in geworden.

Leerlingen met de laagste vaardigheid lijken juist niet optimaal te profiteren van

de flexibiliteit die de rijghandelingen bieden, door problemen die ze

ondervinden bij aanvullen en/of leeg maken.

Hoofdstuk 8

258

De verworven bouwstenen maken in die zin het verschil tussen rijgen aan de

ene kant en beredeneren en splitsen aan de andere kant. In alle drie de

vaardigheidsgroepen mist het gros van de leerlingen evident teveel conceptuele

en procedurele voorwaarden om beredeneren en splitsen adequaat en effectief

te kunnen afwisselen met rijgen.

B. Op ditzelfde niveau is verkend wat de invloed is van de betekenis van aftrekken in

de gemaakte opgave en de orde van grootte van het verschil tussen de twee getallen

van deze opgave. In paragraaf 8.3 is vastgesteld dat de leerlingen, in alle drie de

vaardigheidsgroepen, volgens een vrij stabiel patroon op de context en de

getallen reageren. Ze modelleren in de lijn van de impliciete of expliciete

suggesties van de tekst (‘conformeren’), maken gebruik van alternatieve

werkwijzen (accommoderen) of rekenen geheel tegen de context in (negeren).

De analyse van de invloed van de getallen maakt aannemelijk dat een leerling

niet strategisch rekening houdt met de orde van grootte van het verschil tussen

de getallen, maar eerder spontaan gebruik maakt van de beschikbare getalrelatie

die de twee getallen van de opgave (vrijwel) onmiddellijk oproepen bij het

lezen van de tekst van de opgave. In die zin beïnvloedt de interactie tussen de

beschikbare bouwstenen en de parate feitenkennis daarbinnen aan de ene kant

en de verschijningsvorm (c.q. betekenis van aftrekken) en eigenschappen van

de twee getallen van een opgave aan de andere kant de aanpak en bewerking

van deze opgave.

C. De gedetailleerde analyse op opgavenniveau per set heeft bovenstaande

aanwijzingen aangescherpt. Vier mechanismen zijn in paragraaf 8.4

geïdentificeerd: 1. Het minteken van kale aftrekkingen lokt sterk aftrekken uit, 2.

Aanvulproblemen sporen sterk aan om aanvullend op te tellen, 3. Problemen

waarbij sprake is van een verschil en van combineren/scheiden lokken meer of

minder gedifferentieerde oplossingswijzen uit, afhankelijk van de getallen en 4.

De combinatie van een groot rond getal (veelvoud van tien) met een samengesteld

klein getal trekt sterk aftrekhandelingen aan, via de associatie met vertrouwde

aftrekkingen als 50 – 30 = 20 (afsplitsing van 50), 60 – 30 = 30 (omgekeerde

‘dubbel’) en 100 – 80 = 20 (afsplitsing van honderd).

D. De analyse van het strategiegebruik in de oplossingen van de ankeropgaven

heeft enige informatie verschaft over de invloed van het vaardigheidsniveau op

de omgang met de context en de getallen van de opgaven. Leerlingen uit de

hoogste vaardigheidsgroep buiten de drie aftrekstrategieën uit en rekenen in die

zin meest gedifferentieerd. Leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep leunen

echter vooral op de combinatie van rijgen met aanvullen en aftrekken.

Leerlingen uit de middengroep nemen een tussenpositie in. Ze trekken vaker af,

maar maken minder gebruik van terugrekenen.

Aanvullend rijgen bevordert evident het succes. Leerlingen uit de groepen Laag

en Midden hebben daar echter evident minder baat bij door de vergissingen of


259

fouten die ze maken, als ze aanvullen met rijgen, dan wel splitsen en/of

beredeneren combineren (paragraaf 8.5).

8.6.2 Tweede voorlopige balans van realistisch hoofdrekenen

In paragraaf 7.7 zijn drie aspecten als indicatoren gebruikt om de eerste voorlopige

balans te maken van de realistische modernisering van het rekenonderwijs: 1. de mate

van succes van de leerlingen, 2. de kwaliteit van de verworven hoofdrekenbekwaamheid en 3.

aspecten van de didactiek aan de ene kant en van het aanbod en de organisatie van de leraar

aan de andere kant die in aanmerking komen als onderwijsfactoren die hun stempel

drukken op dit succes en deze kwaliteit.

Als we nu de kerngegevens over (a) het vaardigheidsniveau, (b) de vormen en

niveaus van rekenen en (c) de omgang met de context en de getallen samen nemen,

dan tekenen zich onderstaande vier hoofdtrekken af van de huidige stand van zaken

bij leren aftrekken tot honderd en duizend:

1. De huidige leerlingen lossen contextopgaven op met verschillende typen

getallencombinaties waarin aftrekken verschillende betekenissen heeft en

evident niet eenzijdig met aftrekhandelingen. Ze symboliseren op verschillende

manieren de verandering of de relatie die in een aftrekprobleem is beschreven

en bewerken de getallen van de geabstraheerde som met verschillende

methoden en op verschillende manieren, niveaus en wijze van structureren. Al

doende maken de huidige leerlingen, wat de manier van aftrekken betreft, de

verwachtingen van het kerndoel hoofdrekenen waar.

2. Het contrast dat zich aftekent tussen efficiënt en effectief rijgen en direct

associëren met parate kennis (weten) aan de ene kant en minder adequate en

vaak incorrect beredeneren en vooral splitsen aan de andere kant en de

zichtbare tendens om formuleopgaven meer eenzijdig te benaderen en te

herleiden dan contextopgaven maken de kracht en de zwakke kanten van de

actuele rekenlijn en rekendidactiek zichtbaar.

3. Onder de huidige onderwijscondities reageren de leerlingen spontaan op de

tekst (en vraag) van de opgaven en de getallen van deze opgaven vanuit de

(onmiddellijke) associatie met het paraat rekenfeit dat bij de herkende betekenis

van aftrekken past.

4. De oplossing van reeksen opgaven genereert rekenschema’s die beschikbaar

zijn voor een gedifferentieerde modellering van elke willekeurige aftreksituatie

en voor een daarbij passende bewerking van de getallen.

We lichten dit kort toe, alvorens over te gaan naar het derde luik van de rapportage

in het hierna volgende hoofdstuk.

Hoofdstuk 8

260

Ad.1 Veelzijdig herleiden van aftrekopgaven

De traditionele splits-bij-tien methodiek bij rekenen tot twintig berustte op de eenzijdige

gerichtheid op aftrekken in de vorm/betekenis van wegnemen: bij een ‘min’-som als

12 - 6, trek je af via de 10: 12 – 2 - 4. Door de ‘afhaal’-problemen af te wisselen met

andere problemen waarbij sprake is van scheiden, gelijk maken en vergelijken, zouden

leerlingen van begin af aan, natuurlijkerwijs worden geprikkeld gebruik te maken van

de inverse relatie tussen optellen en aftrekken. Vanuit deze veelzijdige modellering van

problemen zouden ze verschillende vormen en procedures van afsplitsend rekenen

kunnen ontwikkelen (rijgen, splitsen en variarekenen) die ze, in de middenbouw,

vanzelfsprekend zouden kunnen leren aanpassen voor de bewerking van twee- en

driecijferige getallen (hoofdrekenen tot honderd en duizend) (zie de paragraven 2.5.2

en 2.5.4).

Het strategiegebruik (paragrafen 8.2 t/m 8.5) en de structurering van de

rijghandelingen tonen aan dat het gros van de onderzochte leerlingen deze

verwachting (op eigen niveau van kennis en bekwaamheid), wat de manier van

aftrekken betreft, op de drie kernpunten waar maakt:

– Ze organiseren de numerieke gegevens van een opgave in drie verschillende

rekenstructuren (of c – b = ?, of b + ? = c, of c - ? = b)

– bewerken de getallen met één van de vier geleerde methoden (rijgen, splitsen,

beredeneren en weten) en

– maken daarbij gebruik van verschillende rekenvormen op verschillende niveaus

van denken, rekenen en symboliseren.

Men kan nu deze veelzijdige modellering van de relatie tussen de aantallen en

meetgetallen van aftrekproblemen met optelen/of aftrekrelaties zien als een cruciale

opbrengst van de probleemgerichte en interactief-reflectieve aanpak van het realistisch

hoofdrekenen. De leerlingen leren evident adequaat ‘kwantitatief’ denken in de zin van

Thompson (1994) en efficiënt ‘aritmetisch’ symboliseren in de zin Tall en Gray (1994).

Ad.2 Kracht en zwakke kanten van de huidige realistische rekenlijn en de

didactiek

Vier kernaspecten typeren de realistische aanpak van leren aftrekken tot honderd en

duizend: 1. het gebruik van contextproblemen als bron, model, aanjager van

niveauverhoging, oefening en toepassing, 2. de interactieve reflectie op en organisatie

van uitgevonden aanpakken en bewerkingen, 3. eerst leren rijgen als

basisbekwaamheid en pas daarna splitsen en variarekenen en 4. de progressieve

schematisering van de drie hoofdrekenmethoden via de didactische drieslag informeel-

contextgebonden, semiformeel-modelondersteunend en formeel-vakmatig (hoofdstuk

2 en 3).

De analyse (per set en per opgave) van hoe de onderzochte leerlingen de gegevens

van hun aftrekopgaven met elkaar in verband brengen en de getallen van de


261

betreffende ‘rekensom’ (aftrekking of stipsom) bewerken, maakt drie patronen

zichtbaar die aannemelijk maken dat bovenstaande vier kernaspecten van de didactiek

zowel positieve als negatieve effecten hebben. Het gros van de leerlingen heeft

efficiënt en effectief leren rijgen, ook al verloopt aanvullend optellen in de groep Laag

niet probleemloos.

Tegenover deze kracht van rijgen staan de zwakte van splitsen en de middelmaat

van beredeneren. Het ligt voor de hand om aan te nemen dat twee factoren de

leerlingen parten spelen. De rijgende manier van modelleren in de eerst fase van het

leerproces werkt natuurlijkerwijs aanvullend splitsen en beredeneren in de hand. Deze twee

combinaties doen nu, afhankelijk van de getallen, een beroep op conceptuele kennis

en specifieke vaardigheden waar sommige leerlingen (nog) niet over beschikken.

Een tweede factor is de volgorde van aanbieding. Het gros van de leerlingen heeft

vooral leren rijgen en relatief weinig leren splitsen en beredenerend leren herleiden.

De kans dat sommigen, vanuit hun intuïtieve notie van positioneel en relationeel

denken, uit zichzelf foutieve procedures bedenken, neemt dan toe, naarmate de leraar

het leren splitsen en beredeneren uitstelt, omdat rijgen nog onvoldoende is beheerst.

Deze leerlingen maken dan gedurende een zekere periode ‘tijdelijk’ de geobserveerde

incorrecte bewerkingen die Beishuizen (1997) voor het eerst heeft gesignaleerd.

Er zijn te weinig formuleopgaven voorgelegd om de oplossingen ervan met die van

contextproblemen te kunnen vergelijken. Het zichtbare contrast tussen de flexibele

schematisering van de aftrekproblemen in combinatie met een gevarieerde bewerking

van de getallen aan de ene kant en de sterke tendens om de drie voorgelegde

formuleopgaven vooral met aftrekhandelingen uit te rekenen doet echter vermoeden

dat een aanzienlijke groep leerlingen niet beseft dat de kale aftrekkingen die de leraar

aan de orde stelt niets anders zijn dan de ‘rekensommen’ die zij in aftrekproblemen

kunnen herkennen en die ze soms in een stipsom veranderen.

Als deze interpretatie van de data correct is, werken twee aspecten van de huidige

probleemgerichte aanpak een zekere systeemscheiding in de hand. Ten eerste de

langdurige contextgebonden aanloop via verkort tellend en springen. Ten tweede de

formalisering in de eindfase van het proces. Leerlingen leren niet hun modellering met

sprongen systematisch te transformeren in structurerend optellen en aftrekken met

adequate afsplitsingen van getallen, de rekenwijze die de weg opent voor het

contextloos formele rekenen (zie niveau 6 van de sequentie in paragraaf 7.3).

Ad. 3 Spontane schematisering op basis van vertrouwde getalrelaties en

rekenschema’s

De analyse van het strategiegebruik op opgavenniveau heeft aan het licht gebracht dat

drie eigenschappen van een aftrekopgave een rol spelen bij de oplossing van een

aftrekopgave: 1. de betekenis/verschijningsvorm van aftrekken die de tekst en de

vraag van een contextprobleem evoceren, 2. het ‘plusteken’ van een

stipsom/vlekkenopgave en het ‘minteken’ van een kale aftrekking die als signaal

werken voor respectievelijk ‘verder optellen’ en ‘aftrekken’ en 3. het getalpaar van een

Hoofdstuk 8

262

context of van een kale rekensom die de associatie oproept met een paraat

feitenkennis en een daarbij passende manier van aftrekken, aanvullen of leegmaken.

De gevonden patronen maken twee mechanismen aannemelijk. De context (c.q.

het bewerkingsteken van de rekensom) en de getallen van de opgaven versterken

elkaar of werken juist elkaar tegen. Onder deze omstandigheden determineren de

parate kennis van de leerlingen en het verworven vertrouwen in een bepaalde manier van

structuren hoe zij de getallen van de opgave met elkaar in verband brengen en

bewerken. In die zin maakt eerder de voortgang in kennis en bekwaamheid het

verschil tussen leerlingen bij schematiseren dan de mate waarin ze vooraf strategisch

afwegen welke structurering loont. In die zin ondersteunen de data eerder

Gravemeijer’s (2007) aanname van spontaan modelleren dan de visie op modelleren op

basis van strategische kennis en vaardigheden, zoals Corte en Verschaffel (1988) dat destijds

hebben aanbevolen en zoals Van Mulken (1992) dat heeft onderzocht.

Ad. 4 Algemeen toepasbare handelingspatronen

Wij kunnen uit de geobserveerde oplossingswijzen duidelijk twee algemene toepasbare

handelingspatronen abstraheren die in principe efficiënt zijn: aftrekken in combinatie met

rijgen, splitsen en beredeneren en indirect optellen in combinatie met rijgen. Hiermee kan een

leerling elk willekeurig aftrekprobleem en elke formuleopgaven oplossen. De data

geven de indruk dat veel foutieve antwoorden voortkomen uit de generalisering van

de strategie van indirect optellen, wat de bewerkingen met splitsen en beredeneren

complexer maakt. Dit leidt de foutenanalyse van het hierna volgende hoofdstuk in.

263

Hoofdstuk 9

Staalkaart van de gemaakte fouten

9.1 Inleiding

De drie voorafgaande analyses hebben belangrijke patronen aan het licht gebracht die

samenhangen met de voortgang van de leerlingen in de conceptualisering van de

getallen, tellen en de operaties samen met het verworven begrip van de in hoofdstuk 4

onderscheiden vormen van rijgen, splitsen en beredeneren. Leerlingen rijgen vaak en

met goede resultaten. De kans op fouten neemt echter sterk toe als ze de getallen

beredenerend en vooral met de splitsmethode bewerken. De analyse van het gebruik

van de geleerde vormen van rijgen, splitsen en beredeneren heeft aangetoond dat ze

bij splitsen vaak foutieve algoritmen toepassen, fouten maken in de omgang met de

context, dat indirect optellen in combinatie met rijgen, splitsen en beredeneren

foutgevoelig is. Deze data vormen de aangrijpingspunten voor de foutenanalyse van

dit hoofdstuk.

In Balans [40] (Kraemer, 2010) zijn de specifieke problemen van de drie

vaardigheidsgroepen in kaart gebracht71. De foutenanalyse van het onderhavige

dissertatieonderzoek heeft een andere functie. Het is gericht op de identificatie van die

aspecten van rijgen, splitsen en beredeneren die leerlingen in moeilijkheden brengen

en in die zin foutenpatronen genereren.

We gaan daarbij uit van Gravemeijer’s (1994) onderscheid tussen het beschrijven van

een probleem en het bewerken van de getallen dat past bij Thompson & Tompson’s

(1994) onderscheid tussen relational’ reasoning en ‘calculational’ reasoning. We hebben

nu vanuit deze invalshoek alle oplossingsprocedures geanalyseerd, waarbij (a) de

beschrijving van het probleem of (b) de bewerking van de getallen een foutief antwoord

genereert. Twee vragen structureren deze foutenanalyse:

– Hoe vaak wordt een contextopgave onjuist beschreven? En: wat is het

dominante patroon in deze foutieve horizontale mathematisering?

71 Zie paragraaf 9.5 (rijgen), 10.5 (splitsen) en 11.5 (beredeneren) van deze balans.

Hoofdstuk 9

264

– Wat zijn de dominante patronen in de rijg-, splitsen beredeneerbewerkingen

die een foutief antwoord genereren?

De 1852 geregistreerde oplossingen zijn in twee klassen gesorteerd. De eerste

groep bestaat uit oplossingen waarin de leerling de twee getallen en de onbekende

derde correct met elkaar in verband heeft gebracht, de tweede uit oplossingen met een

foutieve schematisering van het probleem. Op grond van dit onderscheid is verschil

gemaakt tussen drie klassen fouten: 1. foutieve schematisering, 2. bewerkingsfouten en 3.

restfouten.

‘Bewerkingsfouten’ zijn fouten die de leerling maakt bij de bewerking van de

getallen vanuit een correcte schematisering van de situatie, ‘Restfouten’ wat leerlingen doen

in de oplossingen waarin zij op een onherkenbare manier rekenen en daarom ook

geen informatie verschaffen, behalve dat de leerling ‘faalt’. Uitgaande van het verschil

tussen ‘conceptuele’ en ‘instrumentele’ bouwstenen aan de ene kant en tussen de mentale

structurering van en de gelijktijdige controle op de uitgevoerde rekenhandelingen aan de

andere kant, zijn drie soorten bewerkingsfouten onderscheiden: 1. begripsfouten c.q.

misconcepties die naar de conceptuele bouwstenen verwijzen, 2. foutieve

basisoperaties die naar instrumentele tel- en rekenvoorwaarden verwijzen en 3. overige

fouten die ontstaan bij een verlies van de greep op de bewerking (getalverwisseling,

verwarring, vergissing, omissie, etc.). Alle oplossingen uit de categorie rijgen, splitsen

en beredeneren, waarin de leerling een foutief antwoord geeft, zijn vanuit deze drie

onderscheidingscriteria geanalyseerd. Het resultaat is een staalkaart van

geïdentificeerde typen begripsfouten, foutieve basisoperaties en overige fouten die foutieve

antwoorden teweeg brengen bij het rijgend, splitsend en beredenerend bewerken van

de getallen.

We presenteren eerst een overzicht van hoe vaak de drie typen zijn gemaakt.

9.2 Frequentieverdeling van de drie klassen fouten

Diagram 9.1 toont de frequentieverdeling van de foutieve antwoorden per

onderscheiden klasse incorrecte oplossingen: 1. Schematiseren, 2. Bewerken en 3. Rest. In

de categorie ‘schematiseren’ zijn alle oplossingen samengebracht waarin de leerling de

twee gegeven getallen en het derde onbekende onjuist aan elkaar heeft gekoppeld.

Onder ‘bewerken’ vallen alle oplossingen waarin de gegevens van de opgave correct zijn

geïnterpreteerd en in kaart gebracht, maar waarin een gebrekkig begrip van de

procedure, een foutieve rekenoperatie of een ‘overige’ fout een foutief antwoord

voortbrengt. De verzameling Rest bestaat uit alle overige oplossingen waarvan het

antwoord als ‘fout’ wordt beschouwd omdat de toetsassistent de oplossing heeft

beïnvloedt of omdat de leerling vastloopt en aangeeft dat een dergelijke opgave niet te

kunnen maken en uit de oplossingen van de categorie ‘anders’ (niet geïdentificeerde

rekenmanier) met een foutief antwoord.


265

Diagram 9.1 – Aantal fouten per onderscheiden klassen

In 32 oplossingen van de groep Laag, in 12 van de groep Midden en in 2 van de

groep Hoog heeft de leerling de gegevens van de opgave onjuist geschematiseerd. Dit

betekent dat respectievelijk 14%, 7% en 2% van de gemaakte fouten uit een foutieve

horizontale mathematisering voortkomt.

Het grootste gedeelte van de gemaakte fouten komt voort uit een foutieve

bewerking van de getallen: 76% in de groep Laag, 85% in de groep Midden en 84% in

de groep Hoog.

Het aandeel van de ‘restfouten’ bedraagt 9% in de groepen Laag en Midden en

bereikt 15% in de groep Hoog. Dit komt onder meer doordat gevorderde leerlingen

sommige van de voorgelegde opgaven met driecijferige getallen nog niet zelfstandig

kunnen oplossen.

Tabel 9.1 geeft de gedetailleerde frequentieverdeling weer van de gemaakte fouten

per onderscheiden klasse en het aandeel van de fouten in het totaal aantal oplossingen

per categorie. Om een en ander in perspectief te plaatsen roepen we het totaal aantal

waarnemingen in de betreffende vaardigheidsgroep in herinnering: 602 oplossingen in

de groep Laag, 610 in de groep Midden en 640 in de groep Hoog.

Tabel 9.1 – Frequentieverdeling van de gemaakte fouten

Groep Sch. Bewerking van de getallen Rest

Totaal R S B W A S GO

Laag 32

(15%) 60

(27%) 32

(14%) 23

(10%) 2

(1) 50

(23%) 12

(5%) 9

(4%) 221

(100%)

Midden 12

(7%) 53

(30%) 59

(34%) 18

(10%) 1

(/) 18

(10%) 7

(4%) 8

(5%) 176

(100%)

Hoog 2

(2%) 41

(35%) 29

(25%) 15

(13%) /

13 (11%)

5 (4%)

12 (10%)

117 (100)

S=Schematisering; R=Rijgen; S=Splitsen; B=Beredeneren; W=Weten;

A=Anders; S=Sturing; GO=Geen Oplossing

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Laag Midden Hoog

Schematiseren Bewerken Rest

Hoofdstuk 9

266

9.3 Foutieve schematisering

Leerlingen vergissen zich op twee manieren bij de decodering van de tekst van de

opgave en/of de rekenkundige organisatie van de numerieke gegevens. In het gros van

de gevallen (30 van de 32 oplossingen in de groep Laag, 9 van de 12 in de groep

Midden en 2 in de groep Hoog) ‘zien’ ze een optelling (a + b = ?) in plaats van een

indirecte optelling (a + ? = c). Bij uitzondering hechten ze een onjuiste betekenis aan

de beschreven handeling of relatie, die een foutieve schematering en redenering

teweeg brengt, zoals in de voorbeelden van figuur 9.1.

Opgave 9: 48+..=100 (Groep Laag) De leerling kijkt naar de afbeelding en zegt: 49! Het andere stuk is meer, dus 49 of ook 48, want ze zijn even lang!

Opgave 1: 90+..=102 (Groep Midden) Plus 10 is honderd. Twee keer honderd meer is 210. Toetsassistent vraagt om de som nog eens goed te lezen. De leerling blijft bij 210.

Opgave 13: 189+...=250 (Groep Hoog) 189? ....De leerling denkt na, schrijft op 189+250=150 en geeft 150 als antwoord

Figuur 9.1 – Voorbeelden van incidentele foutieve schematisering en redenering op grond van een incorrecte interpretatie van de gegevens (en afbeelding) van een contextopgave

De geobserveerde foutieve beschrijvingen laten zich op twee manieren duiden.

Semantisch gezien verwart leerling de structuur van optelproblemen die de betekenis

hebben van ‘erbij doen’ of ‘samen nemen’ met die van aftrekproblemen waarin ‘aftrekken’

de betekenis heeft van ‘aanvullen’, ‘vol maken’, ‘gelijk maken’ en dergelijke. Puur

rekenkundig gezien, is er sprake van een verwarring tussen aanvullend optellen als een van

de drie alternatieve aftrekstrategieën en optellen als rekenoperatie.

De tekening van opgave 9 bevordert een begripsfout in vier oplossingen van de

groep Laag, Midden en Hoog. De betreffende leerlingen ‘zien’ – in de letterlijke zin van

het woord - dat de plank doormidden wordt gezaagd. In de drie resterende foutieve

oplossingen van deze opgave wordt de situatie op een onbegrijpelijke manier

geïnterpreteerd.

Uit deze data kunnen twee conclusies worden getrokken. Het zijn vooral leerlingen

met een lage rekenvaardigheid die zich vergissen bij de interpretatie en organisatie van

de tekstuele en numerieke gegevens van een aftrekprobleem. Ze verwaren dan in de

meeste gevallen optellen als operatie met de betekenis van ‘samen nemen’ of ‘erbij doen’

met aanvullend optellen als aanpak in situaties waar er sprake is van ‘aanvullen’, ‘vol

maken’, ‘gelijk maken’ en dergelijke.

Contextproblemen zijn in de realistische methoden geïntroduceerd om de

begripsvorming van optellen en aftrekken te bevorderen, leerlingen te helpen de

hoofdrekenmethoden vanuit hun eigen informele oplossingen en producties te

differentiëren en te perfectioneren en de verworven procedures flexibel (adequaat) te leren


267

toepassen. Het geringe aantal ‘pure’ schematiseringsfouten geeft aan dat leraren deze

doelstelling bij het gros van hun leerlingen realiseren. In de terminologie van

Thompson (1993), onderscheidt het gros van de leerlingen klassen aftrekproblemen

op grond van de aard van de ‘kwantitatieve’ relatie tussen de betreffende hoeveelheden

(c.q. grootheden) (afhalen, vergelijken, scheiden, gelijk maken) en symboliseren zij

deze relaties adequaat in de vorm van drie beschikbare rekenstructuren: een aftrekking

(c – b = ?), een indirecte optelling (b + ? = c) of een indirecte aftrekking (c - ? = b).

Vijftien procent van de gemaakte fouten in de groep Laag komt echter juist uit een

foutieve schematisering van de probleemsituatie voort. Dit maakt aannemelijk dat

deze leerlingen meer leertijd en expliciete begeleiding nodig hebben om 1. de

(semantische) structuur van optelen aftrekproblemen te onderzoeken en te

organiseren en 2. op hun begripsniveau uit te vinden waarom eenzelfde

aftrekprobleem op drie manieren kan worden gemodelleerd en wat dat voor het

oplossen van een willekeurig probleem (en een kale aftrekking) betekent. In die zin

zouden leerlingen, via de reflectie op en organisatie van eigen schematiseringen, de

strategische kennis en vaardigheden kunnen verwerven waar De Corte en Verschaffel

(1988) op doelden in hun kanttekeningen bij de Proeve van een nationaal programma voor

het reken-wiskundigonderwijs op de basisschool (zie paragraaf 2.6.5). De geobserveerde

foutieve schematiseringen in onderhavig onderzoek vormen in die zin

aangrijpingspunten voor het onderzoek naar de rol van heuristische en metacognitieve

vaardigheden van een effectieve instructiemethode, zoals bedoeld door de

Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek (2010) in haar

programmeringsstudie voor rekenonderzoek in het primair onderwijs72.

9.4 Bewerkingsfouten bij rijgen

Diagram 9.2 toont de frequentieverdeling van de drie onderscheiden typen fouten

bij rijgen (begripsfout; basisoperatie; overige) per vaardigheidsgroep en gevolgde

strategie. In deze globale analyse zijn de oplossingen van het type optellen tot en

aftrekken tot samen genomen in dezelfde categorie ‘overbruggen’. Het volgende

patroon tekent zich af:

– Het aandeel van de begripsfouten en overige fouten is in alle drie de

vaardigheidsgroepen groot in vergelijking tot het aantal foutieve

basisoperaties.

– Leerlingen uit de groep Laag maken het vaakst uitvoeringsfouten (categorie

‘overige’).

72 Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek (2010), pagina 9

Hoofdstuk 9

268

– Leerlingen uit de groep Midden vallen op door het relatief hoge aantal

rekenfouten bij aftrekken (categorie ‘basisoperaties’) en conceptuele fouten bij

overbruggen (categorie ‘begrip’).

– In de groep Hoog genereert overbruggen (indirect optellen of indirect aftrekken)

meer problemen dan aftrekken.

De meest voorkomende fouten worden hieronder, per categorie, met

kenmerkende voorbeelden gepresenteerd.

Diagram 9.2 - Verdeling van de rijgfouten per vaardigheidsgroep en per strategie

9.4.1 Begripsfouten

In 47 van de 154 rijgoplossingen met een foutief antwoord (31%) veroorzaakt een

(tijdelijke) begripsfout een incorrecte bewerking. Drie typen zijn geïdentificeerd:

1. de leerling slaat de eerste en/of laatste stap over bij de modellering met

(gesymboliseerde) telstappen;

2. de leerling geeft een tussenliggend getal of het eindgetal als antwoord bij

overbruggen;

3. de leerling knoopt getallen niet correct aan elkaar.

Modellering met gesymboliseerde telstappen

De enkele leerlingen die de relatie tussen de aantallen of meetgetallen van de opgave

twee keer tellend met rondjes, puntjes of turfjes uitbeelden, doen dat meestal goed. De

eerste foutieve oplossing van figuur 9.2 illustreert de complexiteit van turven in

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Laag Midden Hoog Laag Midden Hoog

Overbruggen Aftrekken

Aan

tal fo

ute

n

Begrip Basisoperaties Overige


269

combinatie met het begin- en eindgetal. In drie overbruggingsoplossingen zonder pen

en papier, maakt de leerling de bekende starten eindfouten (Van de Berg, van Eerde

& Lit, 1994) die de twee oplossingen van voorbeeld 2 illustreren.

1] Opgave 3: 25+.=50

De leerling schrijft 25 aan de linker kant van het blad en 50 aan de rechter kant.

Hij telt vervolgens door vanaf 25 tot 50 en symboliseert elke telstap met een streepje.

Hij symboliseert niet de stap van 49 naar 50, omdat het getal 50 al staat. Hij telt

vervolgens de streepjes een voor een geteld en komt, al doende tot één tekort.

2] Opgave 2: 18+..=22

Startfout: 18 19 20 21 22, is 5

Eindfout: Tel ik door naar 22 (19, 20, 21), dat is 3

Figuur 9.2 – Voorbeelden van incorrect modeleren met (gesymboliseerde) telstappen

Tussenliggend getal of het eindgetal als antwoord

In 17% van de rijgoplossingen met een foutief antwoord geeft de leerling het bereikte

getal als antwoord, als hij aanvult of leegmaakt. Een voor de hand liggende verklaring

is dat het aan elkaar knopen van geschikte getallen zoveel inspanning kost, dat het

middel (overbruggen) tot doel verwordt (tot n springen). De leerling verliest, anders

gezegd, de context en de vraag uit het oog. Uit onderstaande voorbeelden kan worden

afgeleid dat dergelijke fouten vooral worden gemaakt door leerlingen die, door hun

een beperkt inzicht in te gebruiken getalrelaties, een lange omslachtige rijgweg volgen.

Dit geldt des te meer voor de leerling die puur uit het hoofd rijgt (en geen sprongen

op een getallenlijn tekent).

3] Opgave 11: 90+.=102

Antwoord: 102 via

90+10=100; 100+2=102

5] Opgave 16: 900-.=595

Antwoord: 595 via

900 min... effe kijken...

900-300=600; dan 600-5=595

Figuur 9.3 – Voorbeelden tussenliggend getal en eindegetal als antwoord

Onjuist aaneenknopen van getallen

In de derde klasse begripsfouten mist de leerling het inzicht in het netwerk van optel-

of aftrekrelaties om de handeling of relatie van de opgave te kunnen symboliseren.

Hoofdstuk 9

270

Aanvullend optellen

7] Opgave 3: 25+..=50

Ik heb er 20 bijgeteld en daarna 5, is 25 of eh …

35.

8] Opgave 6: 24+..=40

Ik heb er 20 bijgedaan… dan kom je op 34 en

dan nog 6 erbij, zo kom ik op 26

9] Opgave 17: 998+…=1662

98+2=1000 16 tienen of zo …600; 602…,

zoiets!

998+2=1000 62 erbij 62+2=64

64 is de uitkomst

998+4= 1002 1002+60=1062

1062+600=1662 660 is de uitkomst.

Aftrekken

13] Opgave 10: 100-86

100-20=80, eraf 20 is 69, eraf 30 is 30 eraf

6 is 22

(10 te weinig eraf; onjuiste compensatie)

16] Opgave 6: 40-24

40-10=30, 10 eraf is te veel, 10 erbij weer

teveel. Zes aftellen, kom je op 24; heb je 26

eraf gedaan 26

18b] Opgave 13: 250-159=

250-100=150, 150-90=60 en nog die 1

eraf is

Figuur 9.4 – Voorbeelden van incorrect aaneenknopen van getallen

9.4.2 Foutieve basisoperaties

Het antwoord van 32 rijgoplossingen is fout, omdat de leerling onjuist heeft opgeteld

of afgetrokken (21%). De meeste fouten worden gemaakte door leerlingen van de

middengroep bij aftrekhandelingen. Hieronder staan enkele geobserveerde foutieve

basisoperaties bij overbruggen en bij aftrekken. Het zijn stuk voor stuk bekende

fouten die deels door ‘slordigheid’ of gebrek aan concentratie worden gemaakt,

bijvoorbeeld:

34 + 8 = 40

400 – 90 = 410

20 – 4 = 26 en 20 – 4 = 24

150 – 80 = 30

400 - 95 = 495

9.4.3 Overige fouten

De overige 74 geobserveerde fouten (48%) zijn onder de categorie ‘overig’

gerangschikt. De leerling volgt in deze oplossingen meestal een omslachtig rijgweg

en/of verliest de greep op de modellering met telstappen of getalrelaties. Leerlingen

die zonder aantekeningen rijgen overbelasten hun werkgeheugen. Leerlingen die hun

handelingen niet overzichtelijk noteren raken in verwarring of maken

slordigheidsfouten.

Het feit dat leerlingen in die oplossingen vaak ‘onwaarschijnlijke’ antwoorden

geven - wat ook voorkomt in de oplossingen met bovenstaande begripsfouten - geeft

aan dat ze eerder ‘spontaan’, ‘op het gevoel’ of ‘automatisch’ rekenen dan ‘bewust’,


271

‘planmatig’ en ‘kritisch’. In deze categorie zien we telkens drie soorten fouten: niet

correct bijhouden van telstappen, getalverwisseling en omissie, vergissing, verwarring

e.d..

9.4.4 Conclusie

Samenvattend kan worden geconcludeerd, dat drie aspecten van de rijgbewerkingen

de bron van problemen vormen die zich bij rijgen voordoen: 1. de relationele en

procedurele aspecten van de symbolisering met getalrelaties, 2. de beheersing van de

voorwaardelijke rekenautomatismen en 3. het houden van de greep (c.q. controle) op

de bewerkingen. Dit wordt hieronder kort toegelicht, alvorens over te gaan naar de

analyseresultaten van de splitsfouten.

Ad. 1 Relationele en procedurele aspecten van de symbolisering met

getalrelaties

De vorige analyses hebben aan het licht gebracht dat het succes bij rijgen in alle drie

de vaardigheidsgroepen te danken is aan het feit dat de leerlingen over voldoende

conceptuele en instrumentele bouwstenen beschikken om de flexibiliteit van de

rijgmethode uit te kunnen buiten en dat leerlingen met de hoogste vaardigheid daar

expert in zijn geworden. De foutenanalyse maakt nu aannemelijk dat twee

voorwaarden het verschil maken tussen deze leerlingen en hun minder vaardige

groepsgenoten. De leerlingen die voorlopen hebben een eigen rekensysteem

opgebouwd, waarin de getallen de knooppunten vormen van netwerken van optelen

aftrekrelaties. Dit maakt het hun mogelijk om telkens een parate getalrelatie te

gebruiken die geschikt is om de relatie tussen de drie grootheden of hoeveelheden van

een aftrekprobleem te symboliseren, dan wel de relatie tussen de getallen van een kale

aftrekking te herleiden.

In de terminologie van Thompson e.a. (1994), beheerst de leerling die

gestandaardiseerd rijgt de kunst om de meest efficiënte getalrelatie(s) in te zetten om het

kwantitatieve verschil tussen de aantallen (c.q. maten) van een aftrekprobleem te

symboliseren, dan wel het verschil in waarde tussen de getallen van een kale aftrekking

uit te rekenen. Als deze interpretatie van de data correct is, bepaalt de mate van

formalisering van rijgen, via de ingezette getalrelaties, direct de mate van efficiency en

effectiviteit van de rijghandeling. Modelleren op basis van de opvolgrelatie tussen de

telwoorden (verkort tellen) is omslachtiger en in de regel minder efficiënt en effectief

dan modelleren op basis van de afstandrelatie tussen de natuurlijke getallen (springen),

die op haar beurt omslachtiger is dan modelleren in termen van afgesplitste getallen

(structureren).

Deze relatie met de formalisering vraagt aandacht voor de begripsfouten van de

kleine groep leerlingen op het startniveau van rijgen en voor de verwarring die rijgen

over een langere afstand met zich meebrengt.

Hoofdstuk 9

272

Rijgen is verankerd in het gebruik van telwoorden om aantallen vast te stellen. De

fouten die de tellers maken zijn ernstig, omdat ze het verschil tussen een getal als

‘aantal’ en het getal als ‘teltal’ niet doorzien en daarom niet kunnen begrijpen hoe de

relatie hiertussen bij verkort tellen wordt gebruikt.

Het niet paraat hebben van adequate getalrelaties is, zoals hierboven gezegd, de

bron van de meeste begripsfouten in het relatief kleine cluster foutieve

rijgoplossingen. De foutieve structurering bij overbruggen maakt ons attent op het

risico dat leerlingen lopen naarmate zij zich meer moeten inspannen om passende

optellingen (c.q. aftrekkingen) uit hun geheugen op te roepen en aan elkaar te knopen.

Overbruggen kan doel op zich worden, met als gevolg dat leerlingen het getal dat zij

met veel moeite hebben bereikt als antwoord geeft. De gelijkenis tussen de

optelhandelingen en de aanvulhandelingen versterkt nog eens de kans op verwarring

bij de combinatie van rijgen met indirect optellen.

Ad. 2 Basisoperaties

Elk vorm van rijgen doet een beroep op specifieke basisautomatismen. Het relatief

grote aandeel van de rekenfouten in de middengroep bij de combinatie van rijgen met

aftrekken bevestigt het beeld dat de vorige analyses van deze leerlingen hebben

gegeven. Ze combineren rijgen ongeveer even vaak met aftrekken als met aanvullen.

Leerlingen die onder het niveau van de gemiddelde leerling presteren, beheersen

echter nog onvoldoende de basisoperaties om routinematig over een tiental (92 – 6 =

86) af te trekken of zoveel tientallen van een samengesteld getal af te trekken (62 – 40

= 22). Dit suggereert om, bij de overgang van springen naar structureren, de leerlingen

de tijd te gunnen om, met en zonder ondersteuning van een context te onderzoeken

hoe ronde en samengestelde getallen op basis van hun mogelijke afsplitsingen met

elkaar in verband staan en, vanuit dit inzicht, de voorwaardelijke basisautomatismen in

te slijpen.

Ad. 3 Controle op de bewerking

De geobserveerde ‘overige’ fouten zijn gelieerd aan enerzijds de omslachtigheid van de

gebruikte procedure en anderzijds aan aspecten van de rekenhouding die de leerling bij

hoofdrekenen ontwikkelt. De telfouten en de getalverwisselingen, omissies,

vergissingen e.d. die leerlingen maken wanneer ze over een lange afstand in de telrij

springen, tonen daarnaast de invloed van de gebrekkige automatisering.

Dat leerlingen dan relatief vaak een ‘onwaarschijnlijk’ antwoord geven ondersteunt

de aanname in de interpretatie van de omgang met de context en de getallen in

hoofdstuk 8, dat de leerlingen, bij het schematiseren en bewerken van een opgave,

eerder ‘spontaan’ en ‘automatisch’ handelen dan ‘planmatig’ en ‘kritisch’.

In het debat over de doelen en inhouden van het rekencurriculum gingen Treffers,

Feys en de Moor (1987b) er van uit dat rijgen als groot voordeel had, dat ‘de orde van

grootte van de uitkomst van meet af aan in zicht komt’. De data maken nu aannemelijk dat dit


273

een kritische rekenhouding vraagt die het gros van de leerlingen onder de huidige

leercondities niet ontwikkelt, hoewel het een cruciaal aspect vormt van de

nagestreefde gecijferdheid (McIntosch, Reys & Reys, 1992).

Dit structurele probleem ondersteunt het belang - dat bij de interpretatie van de

incorrecte schematisering van contextproblemen is geformuleerd (zie paragraaf 9.3) -

van meer gerichte en systematische aandacht voor de drieslag schematiseren-uitrekenen-

terugkoppelen in de contextgebonden fase van leren rijgen. Leraren zouden op deze

manier kunnen voorkomen dat leerlingen ‘onnodige’ fouten maken bij de organisatie

van de numerieke gegevens van een aftrekopgave in een rekensom, de bewerking van

de getallen van deze som en de interpretatie van de uitkomst van de berekening.

Het grote aantal ‘overige’ fouten wijst wat dit betreft op de noodzaak om, bij de

overgang van de verkort tellen naar springen en structureren met afsplitsingen van getallen,

telkens met de leerlingen een adequate rekentaal en symbolische notatie van de

rekenhandelingen te ontwikkelen. In eerste instantie ter ondersteuning van de

schematisering, de bewerkingen en de terugkoppeling in de loop van het oplossingsproces, in

tweede instantie ter ondersteuning van de reflectie op en de communicatie over de

gebruikte rijgschema’s/rekensommen en getalrelaties erna, bij de verticale mathematisering

van de uitgevoerde hoofdrekenactiviteit.

Bovenstaand beeld van de fouten en van de mogelijke invloed van de condities

waaronder leerlingen leren rijgen relativeren aanzienlijk het geobserveerde flexibel en

gevarieerd gebruik van rijgen en het succes dat leerlingen uit de groepen Laag en

Midden met deze methode behalen dat naar voren kwam in de presentatie van de

vormen en niveaus van rijgen in hoofdstuk 7 en de omgang met de context en de

getallen in hoofdstuk 8. Het geheel roept de conclusie op dat er nog winst te behalen

is, ook al rechtvaardigen de gemiddelde goedscores van 83% in de groep Laag, 87% in

de groep Midden en 91% in de groep Hoog de kwalificatie ‘goed’. We moeten ons

immers realiseren 1. dat deze prestaties de oplossingen betreft van opgaven op het

niveau van de leerling en 2. dat het om de rekenvaardigheid gaat waar de meeste

aandacht naar toe is gegaan en waar leerlingen het meest afhankelijk van zijn. In die

zin blijven de ‘goede’ scores bij rijgen onder de verwachte mate van gecijferdheid

halverwege de basisschool. Ze vallen ook tegen in het licht van de verwachtingen die

de positieve effecten van de realistische onderwijsexperimenten voor de eeuwwisseling

hebben gekweekt: enerzijds de meer open, realistische vormgeving van leren rijgen

(Klein, 1998) en anderzijds de daarbij passende vormen van productief oefenen

(Menne, 2001).

9.5 Bewerkingsfouten bij splitsen

In deze paragraaf geven we volgens dezelfde systematiek als bij rijgen, een overzicht

van de meer structurele en meer incidentele problemen die zich voordoen, wanneer de

Hoofdstuk 9

274

leerling een van de geleerde vormen van splitsen inzet om af te trekken, dan wel

indirect op te tellen (aanvulstrategie).

Diagram 9.3 – Frequentieverdeling (aantallen) van de splitsfouten per vaardigheidsgroep

Het contrast in de verdeling van de staafdiagrammen tussen de begripsfouten aan de

ene kant en de foutieve basisoperaties en de gemaakte uitvoeringsfouten aan de andere kant

maakt het structureel probleem zichtbaar. In alle drie de vaardigheidsgroepen zetten

leerlingen procedures in die incorrect zijn of die ze onvoldoende begrijpen. Dit gebeurt het

vaakst bij de combinatie van splitsen met aftrekken. Niet minder dan 73% van de

fouten die de middengroep bij splitsen maakt, komt voort uit een of andere

begripsfout bij aftrekken. Deze problemen spelen leerlingen uit de laagste

vaardigheidsgroep juist minder parten, omdat ze in slechts 8% van de oplossingen

splitsen. Pregnante voorbeelden duiden hieronder, per categorie, de bron van de

problemen aan, die de leerlingen bij hun splitsbewerkingen ondervinden.

9.5.1 Begripsfouten

Honderd twaalf (112) van de 120 foutieve antwoorden komen voort uit een of ander

type begripsfout. In 28 oplossingen - ruim 23% van de gevallen - heeft de leerling een

onjuiste aanvulprocedure uitgevoerd. Op twee gevallen na, zijn het leerlingen uit de groep

Laag (N=14) en Midden (N=12) die een of ander aspect van indirect optellen met

tientallen en eenheden niet (goed) begrijpen. We hebben twee klassen begripsfouten

geïdentificeerd. Er wordt niet geanticipeerd op het ontstaan van een tiental. Dit

veroorzaakt 18% van het totaal aantal foutieve splitsfouten. Daarnaast maken

leerlingen ook een klein aantal overige begripsfouten. De voorbeelden van figuur 9.5 laten

‘kopieën’ van de foutieve aanvulhandelingen zien die van Mulken (1992) voor het

eerst in zijn dissertatie heeft gesignaleerd bij indirect optellen met tientallen en

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Laag Midden Hoog Laag Midden Hoog

Aftrekken Indirect optellen

Aan

tal

Frequentieverdeling van de splitsfouten per vaardigheidsgroep

Begrip Basisoperaties Uitvoering


275

eenheden. Wij zagen in het theoriedeel van deze dissertatie dat Beishuizen (1997) dit

als een ’tijdelijk’ probleem beschouwde. Wie incorrect aanvult heeft, simpel gezegd,

nog niet begrepen wat decimaal-positioneel optellen inhoudt en hoe het in combinatie

met aanvullen werkt. De geobserveerde correcte en incorrecte oplossingen van de

onderhavige studie sluiten aan bij de data van Mulken en ondersteunen Beishuizen’s

visie op de onderliggende problematiek.

Bij de overige begripsfouten, geeft de leerling het eindgetal als antwoord, precies zoals dat

(veel vaker) bij rijgen gebeurt. Soms interfereert ‘optellen’ met de mengvorm splitsen-rijgen

met aanvullen met 10 en 1, denkt de leerling eenheden weg en vergeet die later te

bewerken of probeert de leerling kolomsgewijs te rekenen, etc.. .

Niet anticiperen op het ontstaan van een tiental bij het aanvullen van de eenheden

32] Opgave 1: 12+.=25 2+3=5; 10+10 erbij is al 20, dus 5+ 20=25; 25 is het antwoord

34] Opgave 10: 100-86= 6+4=10, dus; 100-80=20; 20+4=24

33] Opgave 6: 24+..=40 Het is 26 euro goedkoper: 20+20=40… plus…. 4+6=10…26

35] Opgave 14: 370+…=620 300 plus 300 is 600, moet 20 zijn, 70 erbij geteld; 70-20=50, dus 350

Figuur 9.5 – Voorveelden van begripsfouten bij aanvullend splitsen

Positioneel structureren van aftrekhandelingen

In 57 berekeningen - 48% van de foutieve splitsoplossingen – passen leerlingen een

ingeslepen foutief aftrekalgoritme toe (buggy’s) en in 27 berekeningen (23%) vormen van

splitsen die zij niet goed begrijpen: de mengvorm splitsen-rijgen, aftrekken met tekort of

lenen. De voorbeelden van figuur 9.6 illustreren de vier geïdentificeerde typen

begripsfouten.

Buggy algoritmen

Het kleinste van het grootste aftrekken 40] Opgave 1: 22-18

Eerst tientallen: 10 eraf is 10, dan de getallen uitrekenen 8-2=6; 16

Eenheden wegdenken en weer toevoegen. 43] Opgave 5: 60-35

60-30 en dan doe ik die 5 er weer bij, is 35

44] Opgave 10: 100-86 10-8=2; ik maak er 20 van; 6 erbij is 26

Verschil met 10 toevoegen 45] Opgave 10: 100-86

8 van de 10, 2 over; 60+2=62

Begripsfout bij mengvorm splitsen-rijgen

Eenheden van beide getallen eraf 46] Opgave 12: 62-48

60-40=20; 20-8=12; 12-2=10, ik was de 2 vergeten.

Eenheden van het aftrektal niet bewerkt 47] Opgave 12: 62-48

Eerst 40 van de 60 afhalen is 20; 20-8=12

Begripsfout bij aftrekken met tekort 48] Opgave 14: 620-370

600-300=300, van 70 doe ik 50 eraf is weer 20, dus 350

49] Opgave 13: 250-289 100 van 200 eraf is 100; 80 eraf 50 is 30 tekort; 30 van 100 af is 70; 9 erbij is 79

Figuur 9.6 – Voorbeelden van begripsfouten bij splitsend aftrekken

Hoofdstuk 9

276

Buggy algoritmen

De voorbeelden illustreren de geïdentificeerde foutieve aftrekalgoritmen die in

paragraaf 7.4.2 zijn gepresenteerd. Deze procedures generen 25 van de 59 foutieve

antwoorden in de middengroep (42%) die het vaakst splitst, maar ook 14 van de 29

foutieve splitsantwoorden van de groep Hoog (48%) en 18 van de 32 in de groep Laag

(56%). De leerlingen trekken het vaakst het kleinste aantal eenheden van het grootste

af, zelfs sommige leerlingen uit de groep Hoog, bij de bewerking van driecijferige

getallen. De twee andere foutieve algoritmen - ‘wegdenken en weer toevoegen’ en

‘verschil met 10 toevoegen’ - worden veel minder frequent toegepast. Dit geeft aan dat

er wel degelijk sprake is van ‘buggys’. De gebruiksfrequenties is overigens niet per

leerling vastgesteld, omdat het aantal waarnemingen daarvoor te klein is.

Overige begripsfouten

– Er zijn twee tijdelijke misconcepties van de mengvorm geobserveerd.

Sommige leerlingen trekken de eenheden van beide getallen af, terwijl andere

de eenheden niet van de aftrekker afhalen. Deze begripsfouten verklaren 22

van de 120 foutieve splitsantwoorden (18%).

– Bij rekenen met tekorten kan de leerling het tekort aan tienvouden bij de

resterende honderdtallen toevoegen of de eenheden van het kleinste getal

toevoegen in plaats van aftrekken.

– Weinig leerlingen komen aan lenen toe. De voorbeelden illustreren

ondervonden moeilijkheden.

9.5.2 Basisoperaties

Er zijn nauwelijks foutieve basisoperaties geobserveerd bij splitsen, één terugtelfout in

de groep Midden en drie aftrekfouten in de groepen Midden en Hoog. Het ligt voor de

hand om aan te nemen dat dit samenhangt met het feit dat leerlingen weinig splitsen

en dat ze relatief vaak een buggy algoritme toepassen.

9.5.3. Overige fouten

Tegen de verwachting van de vernieuwers in, komen ‘overige’ fouten nauwelijks voor

bij splitsen, en dit zeker in vergelijking met indirect aanvullen met de rijgmethode. Dit

komt ongetwijfeld door het kleiner aantal rekenstappen. In de geobserveerde gevallen

verwisselen leerlingen een getal of verliezen zij de greep op de bewerking.


277

9.5.4 Conclusie

Samenvattend kan worden geconcludeerd dat drie aspecten van de splitsbewerkingen

de meest voorkomende foutieve antwoorden voortbrengen:

– het routinematig toepassen van ingeslepen foutieve aftrekalgoritmen

(aandeel=48%);

– het onjuist indirect optellen met tientallen en eenheden bij het oplossen van

aftrekproblemen via aanvullen (aandeel=23%) en

– het incorrect bewerken van de eenheden bij de combinatie van rijgen met

splitsen (aandeel=18%).

De overige fouten komen incidenteel voort uit (a) lokale begripsfouten bij

aanvullen, (b) onbegrip van aftrekken met tekort dan wel inwisselen en (c)

uitvoeringsfouten van het type getalverwisseling en verwarring/vergissen.

Deze aanvullende data over de verworven splitsvaardigheid richten de aandacht op

drie aspecten van de actuele onderwijscondities: 1. het volgen van leerlingen in hun

ontwikkeling bij leren hoofdrekenen (evaluatiepraktijk) en het vaststellen van het

bereikte niveau van denken en rekenen (diagnostiek) in relatie met 2. de didactiek bij

leren splitsen aan de ene kant en 3. de differentiatie van leren hoofdrekenen aan de

andere kant.

Ad. 1 Evaluatiepraktijk en diagnostiek

Ruim 70% van de gemaakte splitsfouten komt voort uit tijdelijke begripsfouten die

kunnen ontstaan zodra leerlingen de basale notie van ‘tiental’ en ‘eenheid’ hebben

verworven. Zij kunnen dan uit zichzelf de splitsing van getallen in zoveel tienen en

zoveel lossen gebruiken om aantallen en maten samen te stellen, te

vergelijken/ordenen en bij elkaar op te tellen/van elkaar af te trekken. Het ligt voor de

hand om aan te nemen dat de meeste leerlingen die buggy-algoritmen toepassen en

systematisch foutief aanvullen hun incorrecte procedures in de loop van groep vier of

de eerste helft van jaargroep vijf hebben bedacht. Als deze aanname correct is,

betekent dit dat wat eerst een te verwachten tijdelijke begripsfout was een probleem is

geworden dat de voortgang blokkeert.

De vernieuwers van het rekencurriculum en de rekendidactiek zijn er destijds van

uitgegaan dat leerlingen minder risico’s zouden lopen, wanneer ze pas later zouden

leren splitsen, in het verlengde van de opgedane ervaring met rijgen, tellen en meten

met tien en samenstellen van grote hoeveelheden. De oplossingen en gemaakte fouten

tonen aan, dat uitstellen van splitsen en eerst leren rijgen niet voorkomt dat leerlingen

buggy algoritmen bedenken. Wij kunnen achteraf vaststellen dat de vernieuwers

daarbij een cruciale factor over het hoofd hebben gezien: namelijk wat er zich tijdens

een hoofdrekenactiviteit in de klas afspeelt en de rol die de leraar daarbij speelt. De

data plaatsen, wat dit betreft, vraagtekens bij:

Hoofdstuk 9

278

– de kwaliteit van de dagelijkse observatie van de leerlingen en analyse van de

eigen constructies,

– de omgang met een begripsfout die zich in de communicatie en/of in het

schriftelijke werk van de leerlingen manifesteert,

– de uitvoering van de voortgangsevaluatie, diagnostiek en leerlingenzorg, zoals

aanbevolen en georganiseerd in de gebruikte rekenmethode en

– het functioneel gebruik van de halfjaarlijkse methode-onafhankelijke evaluatie

met de LOVS-toetsen.

Het ligt voor de hand om aan te nemen dat de leraar niet tijdig een begripsfout

waarneemt en hierdoor niet direct inspeelt op onjuiste mentale representaties van

tientallig aftrekken bij de ontplooiing van positioneel denken. Daarbij spelen de

prioriteiten van de methode en de leerkracht een rol, de leertijd en de deskundigheid

van de individuele leraar om in te spelen op de verschillen tussen de leerlingen.

Splitsen vormt kortom om twee redenen een structureel probleem. Aan de ene

kant speelt de didactiek niet adequaat in op de begripsvorming van decimaal-

positioneel denken en rekenen en de aantrekkingskracht van opereren met tientallen

en eenheden. Aan de andere kant schiet de leraar tekort bij de evaluatie van de

voortgang en het diagnostisch vaststellen van tijdelijke begripsfouten en zelf bedachte

foutieve procedures.

Ad. 2 Tekortkomingen van de aanpak van leren splitsen

De realistische aanpak van leren splitsen is geschetst in hoofdstuk 3. Er wordt gestart

bij het uitbeelden van probleemsituaties met hulpmiddelen als namaakgeld die

uitnodigen om het tekort aan eenheden eerst op te vangen via de combinatie van rijgen

met splitsen en vervolgens via aftrekken met negatieve positiewaarden dat uiteindelijk leidt tot

onder elkaar aftrekken met negatieve getallen. Deze benadering omzeilt de mentale

constructie van een of andere vorm van ‘lenen’ met positiewaarden, zoals dat in

sommige reformklassen van de problemsolving didactiek gebeurt (zie de classificatie

van Fuson e.a.,1997, in hoofdstuk 3). Het gros van de onderzochte leerlingen nu valt

uit bij het uitrekenen van een aftrekopgave met tientaloverschrijding via aftrekken of

aanvullen met een van de beschikbare splitsprocedures. Vier geïdentificeerde

kernproblemen tonen aan dat de gevolgde leerweg niet vanzelfsprekend is en ook niet

effectief:

– een grote groep leerlingen past, precies zoals vóór de modernisering

(Willemsen en Harskamp, 1990), foutieve aftrekalgoritmen toe;

– de aanloop via rijgen werkt de ontwikkeling van foutieve aanvulalgoritmen in

de hand;

– de mengvorm, waar Beishuizen en Van Mulken (1988) voor pleiten, is zelfs voor

sommige leerlingen met een gemiddelde en hoge vaardigheid te complex om

als startprocedure te kunnen fungeren;


279

– op enkele uitzonderingen na, komen de leerlingen niet aan inwisselen toe,

terwijl de voortgangsgegevens signaleren dat de leerlingen uit de hoogste

vaardigheidsgroep over de bouwstenen beschikken om de hoofdrekenmanier

te leren via het adequaat afsplitsen van het aftrektal (open maken van een tien

of een honderd), zoals geïllustreerd in hoofdstuk 3.

Dit geeft aan dat men de huidige lijn van leren splitsen ‘realistischer’, consistenter

met de sleutelprincipes en systematischer zou moeten proberen in te richten. Men zou

klassengesprekken kunnen houden over aftrekken en aanvullen met tientallen en

eenheden en daarbij aansluiten bij het beeld dat de leerlingen zich hebben gevormd

van (a) de decimaal-positionele opbouw van tweecijferige getallen, (b) de associatieve

en commutatieve eigenschap van optellen en (c) de inverse relatie tussen optellen en

aftrekken.

Ad. 3 Differentiatie van leren hoofdrekenen

De geconstrueerde sequentie van de formalisering (zie hoofdstuk 4) is gebaseerd op

de geraadpleegde theoretische literatuur en empirische evidenties. De onderscheiden

niveaus markeren de weg waarlangs leerlingen, geleidelijk aan, de bouwstenen

ontwikkelen die hen uiteindelijk in staat stellen om een willekeurig aftrekopgave puur

formeel te herleiden, lineair (rijgend), dan wel positioneel (decimaal splitsend) of

deductief (beredenerend).

De resultaten van de foutenanalyse scherpen het beeld aan dat we ons hebben

gevormd van het differentiatieproces tussen de leerlingen bij leren hoofdrekenen op

basis van de analyseresultaten. Een ware kloof isoleert de minst gevorderde

leerklingen uit de laagste vaardigheidsgroep van de voorlopers uit de hoogste

vaardigheidsgroep. Twee opmerkelijke gegevens typeren wat dit betreft de huidige

stand van zaken. In vergelijking met de situatie vóór de modernisering, ondervinden

nu de leerlingen van de middengroep de meeste problemen, omdat ze graag splitsen. Ze

lijken in die zin op de ‘rekenzwakke’ leerlingen die aan het einde van de jaren tachtig

in het kader van het Speerpunt rekenen (Vuurmans, 1991) en de ontwikkeling van

Kwantiwijzer voor leraren (van de Berg, van Eerde & Lit, 1994) diagnostisch zijn

geïnterviewd.

Een opmerkelijke trend in alle data is dat een ‘vaardige’ leerling zich van andere

groepsgenoten lijkt te onderscheiden door de neiging om (a) zeer flexibel te rijgen en

(b) splitsen vooral in te zetten om aftrekproblemen of kale aftrekkingen met

aftrekhandelingen op te lossen (dus niet in combinatie met indirect optellen).

De data weerspiegelen in die zin de differentiatie in voorkeur en niveau die in de

rekenmethoden wordt aanbevolen en die een grote groep leraren zegt toe te passen.

De zeer gebrekkige splitsvaardigheid die een grote groep leerlingen (waardonder

leerlingen uit de hoogste vaardigheidsgroep) heeft verworven, roept de vraag op of

een aanzienlijke groep leerlingen niet onder hun capaciteiten hoofdrekent, omdat de

Hoofdstuk 9

280

leraar hen, onder andere, onvoldoende of niet adequaat uitdaagt om positioneel te

leren denken en aftrekken.

Concluderend, sporen de geïdentificeerde problemen bij aftrekken en aanvullen

met splitsprocedure aan om de positie en de ontwikkeling van leren splitsen binnen

hoofdrekenen en in relatie met onder elkaar leren aftrekken te heroverwegen. Dit

vormt een van de kernonderwerpen van de problematisering van hoofdrekenen en de

discussie in de afsluiting van deze dissertatie.

9.6 Bewerkingsfouten bij beredeneren

Wat is het structureel probleem bij beredeneren? Dit derde deelverslag van de uitgevoerde

analyse geeft hier antwoord op.

9.6.1 Begripsfouten

De Leerlingen gebruiken optelfeiten of aftrekfeiten om de rekensom van de opgave te

reconstrueren. Hier treden begripsfouten op die de voorbeelden van figuur 9.7a

illustreren: de leerling geeft het eindgetal als antwoord of stelt dit getal niet goed

samen met optelfeiten en compenseert niet of niet goed bij het herleiden van de

rekensom van de opgave tot een paraat optelfeit of een vertrouwde aftrekking.

Samengesteld getal als antwoord

54] Opgave 6: 24+..=40 /Antwoord 25

10+10=20; 2+2=24; erbij is 25

Tekent de stapels na en maakt de eerste even hoog

als de tweede. 24: 2x10=20; 2x2=4, dus 24

erbij

Term van de indirecte optelling als antwoord

55] Opgave 1: 12+..=25 / Antwoord 12

12! ... Ik doe er gewoon 12 bij, dan weet ik het...

12

erbij 12 is 25... dus…12

58] Opgave 10: 48+..=100 / Antwoord 60

Dat is plus 60 dan heb je nog 8 over. Die doe je

er vanaf. Dan is dat 100; dit is het andere stuk

en dat is dan 60 cm .

Figuur 9.7a Voorbeelden van begripsfouten bij (aanvullend) beredeneren

Samen te stellen getal (of term van de indirecte optelling) als antwoord

Dertien van de 56 foutieve antwoorden (aandeel=23%) lijken sterk op fouten die ook

bij aanvullend rijgen en splitsen worden gemaakt. Leerlingen verliezen uit het oog dat

zij de ontbrekende term van de indirecte optelling moeten vinden en richten zich

louter op de reconstructie van de optelrelatie: a + b = c. Het gevolg daarvan is dat zij

of het samen te stellen getal als antwoord geven (voorbeeld 54) of één term van de

gebruikte relatie (voorbeeld 55).


281

Deze fouten zijn nauwelijks te onderscheiden van de foutieve splitsprocedures,

omdat dezelfde optelstructuren en optelrelaties worden gebruikt. Het gebruikte

criterium is dat leerling die splitsend aftrekt dat algoritmisch doet, terwijl leerlingen die

beredenerend samenstellen bekende sommen of producten als puzzelstukken

gebruiken.

Onjuist samenstellen met optelfeiten

De voorbeelden geven een idee van de redenering die leidt tot een foutieve

reconstructie van een indirecte optelling met beschikbare ‘sommen’. Het probleem

komt steeds voort uit de associatie van de getallen van de opgave met één of meer

bekende sommen. De leerling probeert dan de indirecte optelling van de opgave tot de

betreffende som te herleiden of met passende optelfeiten samen te stellen.

Niet of onjuist compenseren

Wij weten uit hoofdstuk 6 dat een aantal leerlingen uit de groepen Midden en Hoog de

indirecte optelling (c.q. aftrekking) van een aftrekprobleem tot een bekende optelling

(c.q. aftrekking) probeert te herleiden. Sommige komen daar niet uit, omdat ze niet

doorzien hoe compenseren, onder verschillende omstandigheden werkt. De

voorbeelden van figuur 9.7b illustreren deze problemen

Niet en onjuist compenseren van het

verschil met een paraat optelfeit

62] Opgave 1: 12+.=25

Antwoord: 12 rest 1

12+12=24; nog 1 erbij is 25; 24 rest 1.

59] Opgave 8: 32+.=50 ? Antwoord 22

30+20=50; 30+2=32 en 20+2=22, dus 22

60] Opgave 6: 24+.=40 / Antwoord 24

24+20=44; 44-4=40; dus 20 of via

20+20=40, dus 24

61] Opgave 13: 189+.=250 / Antwoord 59

Ik maak er 190 van; 60 erbij om 250 te

krijgen. Maar ik moet er nog eentje afdoen,

en dan krijg ik 59

Niet en onjuist compenseren van het

verschil met een vertrouwde aftrekking

63] Opgave 3: 60-35

Eerst 60-30=30;30+5=35

64] Opgave 6: 40-24 / Antwoord 24

Eerst 40-20=20, dan 4 erbij is 24 euro of: 40-

20+4=24; dus 40 min 24 is 24

65] Opgave 16: 900-595 / Antwoord 295

595 van de 900 af; 595 dicht bij 600; 900-

600=300; min 5 is 295

Figuur 9.7b – Voorbeelden van niet of onjuist compenseren

Onjuist compenseren van het verschil met een paraat optelfeit. Wij zagen in paragraaf 9.4.1

hoe leerlingen de context uit het oog kunnen verliezen, wanneer zij moeizaam rijgend

aanvullen en in paragraaf 9.5.1 dat splitsend aanvullen in situaties met

tientaloverschrijding complex is, omdat leerlingen moet anticiperen op het ontstaan

van een tiental, dan wel achteraf hun aanvulhandelingen bij moet stellen. De

voorbeelden tonen de complexiteit van het herleiden van de indirecte optelling van

Hoofdstuk 9

282

een aftrekprobleem tot een paraat rekenfeit. Leerlingen die daar nog niet aan toe zijn,

slaan op drie manieren de plank mis. In de meeste gevallen compenseren ze in de

verkeerde richting. Soms wordt er gewoon niet gecompenseerd. Een op de vijf

foutieve antwoorden bij beredeneren komt uit deze begripsfouten van aanvullend

beredeneren voort.

Onjuist compenseren van het verschil met een vertrouwde aftrekking. Het grootste aantal foutieve

antwoorden bij beredeneren komt echter voort uit afsplitsen en compenseren op basis

van een aftrekfeit (23 van de 56; aandeel=46%). De leerling van voorbeeld 63

compenseert niet, die van voorbeeld 64 en voorbeeld 65 wel, maar in de

tegenovergestelde richting.

9.6.2 Basisoperaties

Er is bij beredeneren slechts één zuiver geval van foutief aftrekken geobserveerd: ‘88

van de 100 is 28’. Deze aftrekfout van een leerling uit de groep Hoog is consistent met

het foutief gebruik van de splitsingen van 10 en 100 om indirecte sommen op te

lossen.

9.6.3 Overige fouten

Wat voor splitsen geldt, geldt ook voor beredeneren. Er worden zelden fouten van het

type overige fouten gemaakt.

9.6.4 Conclusie

Wij zagen bij de analyse van de rijgpoplossingen hoe gevarieerd de leerlingen uit alle drie

de vaardigheidsgroepen de relatie tussen de hoeveelheden (c.q. grootheden) van de

voorgelegde aftrekproblemen met optel- of aftrekrelaties kunnen weergeven. Dit leidde

in de tweede voorlopige balans van de modernisering tot de vaststelling dat de

probleemgerichte en interactief-reflectieve aanpak van realistisch hoofdrekenen een

grote groep leerlingen in staat stelt adequaat ‘kwantitatief’ te denken en de relaties

tussen aantallen en meetgetallen efficiënt ‘aritmetisch’ te symboliseren.

De modellering van dezelfde problemen door dezelfde leerlingen in de oplossingen

van het type Weten en Beredeneren maken nu de beperkingen zichtbaar van de

verworven bekwaamheid in aritmetisch redeneren en symboliseren.

Uit de geobserveerde correcte en foutieve oplossingen kan worden afgeleid dat de

leerlingen

– weten dat de getallen van een contextopgave voor een aantal dingen of maten

staan;


283

– het verschil in aantal dingen of maten soms goed en soms onjuist met parate

optelfeiten en/of aftrekfeiten weergeven (aritmetisch symboliseren).

Het beeld van het bereikte niveau van beredeneren is dat van leerlingen, die in de

lokale situatie van een aftrekopgave en met de specifieke getallen van deze

rekensituatie, telkens weer uitzoeken hoe zij de relatie tussen de betreffende aantallen

dingen of maten met geschikte getalrelaties correct kunnen weergeven. Het is het

beeld van de puzzelaar die nog niet in staat is om vanuit een hoger gelegen standpunt

numerieke relaties als ‘rekendingen’ in te zetten, 1. omdat de getalrelaties nog te sterk

verbonden zijn met de fenomenen van de contexten en 2. omdat hij nog niet even

vertrouwd is met alle rekenregels die nodig zijn om op deze formele manier met

geschikte optellingen en aftrekkingen te symboliseren. In de terminologie van Treffers

(1987) blijven de onderzochte leerlingen steken op het niveau van de lokale

(contextgebonden) horizontale beschrijving met numerieke relaties. Als deze

interpretatie van de resultaten bij beredeneren correct is, moeten ze deze lokale

symboliseringen nog vertikaal organiseren, in de zin die Freudenthal (1991) en

Gravemeijer (2003a) aan de verticale mathematisering bij (hoofd)rekenen geven. Dit

betekent concreet dat ze, uit de grote verscheidenheid van herleidingen die ze in de

verschillende contexten hebben gemaakt, rekenregels moeten leren abstraheren die de

omgang met optellingen en aftrekkingen bij het symboliseren van processen en fenomenen

regelen.

Vanuit dit oogpunt bekeken laat de beperkte opbrengst bij beredeneren zich

verklaren door het feit dat het gros van de onderzochte leerlingen het niveau van

contextgebonden symboliseren niet overstijgt (niveau 6 en 7 van de ontwikkelde

sequentie). Aftrekproblemen met een optelstructuur sporen leerlingen aan de ene kant

aan om met optelrelaties te symboliseren, terwijl ze nog niet beschikken over het

inzicht in de operaties en de rekenregels, waar deze ‘indirecte’ symbolisering een

beroep op doet. Aan de andere kant is een zeer grote groep leerlingen, waaronder

leerlingen met een middelmatige vaardigheid, nog onvoldoende vertrouwd met

aftrekken onder de honderd. Ze hebben daarom nog te weinig getallen in netwerken

van aftrekrelaties georganiseerd om geschikte aftrekfeiten uit dit systeem

vanzelfsprekend als ‘hulpsom’ te kunnen gebruiken. In die zin heeft het langdurig

aftrekken in contexten en de inzet van aftrekproblemen met een optelstructuur om

veelzijdig te leren symboliseren, zoals dat bij realistisch hoofdrekenen gebeurt, ook

nadelen. Vanuit het oogpunt van de verwachtingen beschouwd, vertraagt deze aanpak

ons inziens in de groepen Laag en Midden de begripsvorming van ‘aftrekken’ en, in alle

drie de vaardigheidsgroepen, de ontwikkeling en automatisering van

gestandaardiseerde aftrekprocedures. Het belemmert ons inziens tevens de toegang tot

de voor basisschoolleerlingen hoogste vorm van herleiden en symboliseren via de

transformatie van de geabstraheerde aftrekking van een aftrekprobleem (c.q. een kale

aftrekking) in een meer toegankelijke gelijkwaardige aftrekking.

Hoofdstuk 9

284

9.7 Samenvattend overzicht van de structurele fouten

In hoofdstuk 10 maken we de balans op van hoofdrekenen. Het brengt de sterke en

zwakke kanten van de verworven bekwaamheid in relatie met de resultaten van de 4e

rekenpeiling en de kernaspecten van de realistische hoofdrekendidactiek die de auteurs

van de gebruikte rekenmethode als referentie nemen. Deze paragraaf inventariseert in

dit perspectief de hoofdresultaten van de foutenanalyse en brengt ze in verband met

de relevante aspecten van de realistische didactiek en met de huidige praktijk van de

evaluatie en de organisatie van het leerproces door de leraar in de klas (zoals gepeild).

9.7.1 Hoofdresultaten van de foutenanalyse

De oplossingswijzen geven de volgende aanwijzingen over tekortkomingen op het

niveau van de schematisering en de bewerking van de getallen.

Ten aanzien van de schematisering blijkt dat, als leerlingen foutief schematiseren, zij dan

meestal de getallen van een aftrekprobleem in een optelsom organiseren die aanvullend

optellend kan worden opgelost. Zij verwarren in die zin optellen als een operatie met

aanvullend optellen als aftrekstrategie.

Bij het “bewerken”, tekenen zich de volgende patronen af in de fouten die leerlingen

maken en die foutieve antwoorden genereren:

1. De meeste foutieve antwoorden komen voort uit het routinematige gebruik van

opgeslagen foutieve splitsalgoritmen en tekortkomingen in de uitvoering van

indirect optellen met een vorm van rijgen, splitsen en beredeneren.

2. Leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep missen de bouwstenen om op de

hoger gelegen niveaus te kunnen herleiden. Hierdoor gebruiken ze omslachtige

manieren van structureren (met telstappen en/of met veel getallen als

knooppunten) die gemakkelijker fouten generen.

3. De onderzochte middengroep splitst graag, zet relatief vaak buggy algoritmen in,

zowel bij aftrekken als bij aanvullen en mist bovendien voorwaardelijke

aftrekautomatismen. Deze groep blijft vooral hierdoor steken op een middelmatig

niveau van hoofdrekenen. Daarnaast mist een deel van de leerlingen de

bouwstenen om (a) inzichtelijk rijgen met splitsen te kunnen combineren en (b)

vanzelfsprekend te compenseren, wanneer ze m.b.v. een geheugenfeit proberen

te herleiden.

4. Leerlingen met de hoogste vaardigheid maken twee typen fouten. Sommige

generaliseren de foutieve aftrek- en aanvulalgoritmen die ze hebben bedacht

voor indirect optellen en aftrekken tot honderd. Andere maken dezelfde typen

fouten als leerlingen uit de middengroep bij de aanpassing van de combinatie

splitsen-rijgen en van afsplitsen en compenseren voor de oplossing van opgaven met

driecijferige getallen.


285

9.7.2 Relatie met de didactiek, evaluatie en organisatie van het

leerproces

Bovenstaande resultaten ondersteunen aan de ene kant de voorlopige balans die aan

het einde van hoofdstuk 7 is gemaakt. Ze dragen aan de ander kant nieuwe elementen

aan die het beeld van de invloed van ‘onderwijsfactoren’ differentiëren en

aanscherpen. Dit geldt vooral voor het aandeel van het dagelijks volgen van de

leerling, het diagnosticeren van de stand van zaken en het afstemmen van de

activiteiten, taken en opdrachten van de methode op de behoeften en mogelijkheden van

individuele en groepen leerlingen. De aangrijpingspunten voor de definitieve balans

van deel III worden hieronder gepresenteerd:

1. de kwaliteit van de dagelijkse evaluatie van en reactie op de processen in de

klas;

2. het differentiatieproces;

3. de taal van hoofdrekenen;

4. de kracht en de beperkingen van veelzijdig contextgebonden hoofdrekenen.

Ad.1 Kwaliteit van de dagelijkse evaluatie van en reactie op de processen in

de klas

De geïdentificeerde begripsfouten, foutieve algoritmen en aftrekfouten roepen de vraag op of

leraren wel dagelijks de balans opmaken van 1. het doel dat ze voor ogen hadden en

wat de leerlingen feitelijk hebben bereikt en 2. wat er zich, onder hun begeleiding,

tussen de leerlingen heeft afgespeeld en 3. de verandering die deze interacties teweeg

hebben gebracht in de gebruikelijke manier van denken, rekenen en symboliseren van

individuele leerlingen en subgroepen. Tijdelijke begripsfouten en foutieve procedures

maken natuurlijkerwijs deel uit van rekenen-wiskunde leren. Leerlingen moeten

immers telkens opnieuw vanuit een hoger gelegen aritmetische standpunt, hun beeld

van de getallen en hun wijze van omgaan met deze getallen bijstellen en de ontdekte

abstractere structureren en relaties leren gebruiken om hun gebruikelijke manier van

aftrekken en indirect optellen verder te formaliseren.

De geconstateerde fouten zijn echter van een andere orde. De foutieve

aftrekalgoritmen worden doorgaans in de loop van groep 4 uitgevonden. De foutieve

aanvulalgoritmen zijn direct gelieerd aan het dagelijks rekenen in contexten. Rationeel

gezien, kan een leraar deze twee typen fouten niet over het hoofd zien, noch het

systematisch foutief combineren van rijgen met splitsen, noch systematisch in de

verkeerde richting compenseren. Dit betekent dat leraren óf niet tijdig begripsfouten

identificeren, óf niet weten hoe ze adequaat op deze begripsfouten kunnen reageren,

óf maatregelen op schoolniveau missen die het mogelijk maken om tijdig te signaleren

en adequaat didactisch te handelen.

Deze problemen roepen nu het beeld op van de knelpunten in het rekenonderwijs,

zoals weergegeven door de Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk

Hoofdstuk 9

286

Onderzoek (2010) in haar programmeringsstudie. Wijzend naar een recent rapport van

de Inspectie van het Onderwijs over opbrengstgericht werken en de relatie met

rekenprestaties (Timminga & Swanborn, 2010), richt de NWO de aandacht op het

instructie- en communicatieproces in de klas73 en het ‘samenspel’ van rekendoelen,

leerstofaanbod, instructiewijzen, groeperingsvormen en evaluatie, afgestemd met

andere klassen:

Er komen uit onderzoek ook signalen dat de instructie in het rekenonderwijs

niet ver is ontwikkeld. Deze betreffen bijvoorbeeld het ondersteunen van het

zelfstandig oplossen van complexe opgaven, het voeren van interactieve

gesprekken met leerlingen over hun oplossingswijzen, het analyseren van het

rekenwerk van kinderen en het geven van procesgerichte feedback tijdens de

les. Leerkrachten gebruiken rekentoetsen vooral voor het maken van een

overzicht van de resultaten en het bieden van herhalingsstof aan zwakke

rekenaars. Zij geven doorgaans geen gerichte extra instructie over

rekenonderdelen die kinderen niet goed beheersen (p. 10).

Vanuit dit oogpunt bekeken, mist de leraar enerzijds een zeker vakmanschap (Simon,

1995; Hiebert & Grouws, 2007) en anderzijds de structuur en steun van een

professionele schoolorganisatie (Inspectie van het Onderwijs, 2008).

Ad. 2 Differentiatieproces

De resultaten van de foutenanalyse bevestigt de ware kloof die is ontstaan tussen de

minst gevorderde leerlingen die het verschil tussen 12 en 25 munten nog turvend

modelleren en de meest gevorderde leerlingen die de vlekopgave 998 + … = 1662

oplossen door direct 2 bij 662 op te tellen. De fouten maken twee patronen zichtbaar.

De verschillen ontstaan zowel bij de formalisering van rijgen dat de eerste prioriteit

krijgt als bij leren splitsen en variarekenen. En bij alle drie de leerprocessen profiteren

de meest vaardige leerlingen het meest van de actuele instructie- en

differentiatiepraktijk. Wij zagen in hoofdstuk 4 dat de NWO (ibid. 12-13) in haar

programmeringsstudie, wat dit aspect van leren rekenen betreft, er van uitgaat dat de

rekenprestaties geen duidelijk verschil laten zien in het effect van de toegepaste vorm

van differentiëren. De twee gangbare conclusies worden overgenomen: 1.

differentiëren in niveaugroepen over de hele school of binnen een klas werkt vooral in

het voordeel van de betere rekenaars en 2. het effect van differentiatie binnen een klas

is groter naarmate de verschillen in rekenniveau van leerlingen van de klas groter zijn.

De resultaten van onderhavige onderzoek komen in die zin overeen met de trend in

internationale data. De geïdentificeerde problemen passen bovendien bij de patronen

die in de Nederlandse klassen zijn gevonden (Timminga & Swanborn, 2010).

Nederlandse leerkrachten differentiëren tegenwoordig de verwerkingstof (laag,

midden, hoog) op basis van de aanwijzingen van hun rekenmethode, maar stemmen

73 Zie de knelpunten in de rekendidactiek van paragraaf 2.1.


287

de instructie en begeleiding vaak niet af op verschillen tussen leerlingen. Dit vormt een

reëel knelpunt, te meer omdat een grotere differentiatie in aanbod en

instructie/verwerking, zoals leraren in scholen voor speciaal basisonderwijs dat

bijvoorbeeld doen, op gespannen voet staat met goed realistisch lesgeven (Kraemer,

2009c).

Ad.3 Taal van hoofdrekenen

In hoofdstuk 3 is de rol van de taal vanuit twee oogpunten aan de orde gesteld: aan de

ene kant, tijdens het proces van realistisch probleemoplossen, aan de andere kant met

betrekking tot de langlopende organisatie van de leerervaring in de loop van de

verticale mathematisering van hoofdrekenactiviteit en de uitgevonden procedures

voor rijgen, splitsen en beredeneren.

Bij het oplossen van contextopgaven doen zich drie problemen voor die

verbonden zijn met taal als communicatie- en symboliseringsmiddel: 1. het ontrafelen

(decoderen) van de relevante informatie uit de tekst en de vraag van een opgave, 2. het

interpreteren van deze gegevens in termen van een kwantitatieve relatie tussen de

hoeveelheden van de betreffende probleemsituatie en 3. het symboliseren van deze

relatie met passende getalrelaties.

Dit spoort aan om, zoals gezegd in de conclusie van paragraaf 9.3, een passende

oriëntatie en begeleiding van de leerlingen uit te vinden.

Door oplossingen, redeneringen en ideeën taalkundig en grafisch weer te geven,

kunnen de leerlingen hierover nadenken en discussiëren. In die zin vormt de

mondelinge, grafische en getalsmatige rekentaal een sturende factor bij de geleidelijke

formalisering van de hoofdrekenprocedures. De gemaakte fouten signaleren wat dit

betreft vier problemen.

1. Het patroon in de interviewsituatie is dat de leerling uit zijn hoofd rekent, het

antwoord geeft en vervolgens mondeling uitlegt (c.q. probeert uit te leggen) hoe

hij heeft gedacht en gerekend. Het grootste deel van de geanalyseerde

oplossingen is op deze manier tot stand gekomen (retrospectie). In de overige

oplossingen heeft de leerling hardop gedacht en daarbij aantekeningen op

papier gemaakt of alle rekenstappen symbolisch weergegeven (hardop denken).

Het aanbod en de praktijk maken de wisselwerking tussen factoren aannemelijk.

In de huidige rekenboeken en rekenpraktijk in de klas, gaat de aandacht bij

hoofdrekenen vooral naar de rekenprocedure, namelijk zo kort en/of handig

mogelijk rekenen en veel minder naar (a) de wiskundige grondslag van de

procedure, dat wil zeggen de numerieke aspecten die deze procedure

rechtvaardigen en (b) het bedenken van een functionele symbolisering van de

uitgevonden modellering met getalrelaties in de vorm van een passende

bewoording en schriftelijke notatiewijze. Onder deze omstandigheden hechten

leerlingen ten eerste een zeer hoge status aan rekenen uit het hoofd en ze

beschouwen het maken van aantekeningen als een teken van ‘zwakte’.

Hoofdstuk 9

288

Leerlingen die op een formeel niveau denken en rekenen, kunnen dan een

afkeer ontwikkelingen voor een symbolisering van een lager orde en ‘faute de

mieux’ uit het hoofd rekenen, d.w.z. omdat ze geen functionele notatiewijze voor

hun manier van modelleren hebben geleerd74.

2. Sommige leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep vallen terug op lagere,

meer omslachtige vormen van symboliseren die ze niet goed toepassen.

3. Als gevolg van probleem 1, maken leerlingen bij rijgen, alleen gebruik van de

symbolisering met sprongen op een getallenlijn of in formele rekentaal.

4. De getallen van een aftrekprobleem bepalen de moeilijkheidsgraad van

aanvullen met de splitsmethode en via herleiden met optelfeiten. Leerlingen die

de relatie van een dergelijk probleem met tientaloverschrijding op deze manier

proberen op te lossen, komen regelmatig in de problemen, omdat ze niet onder

woorden kunnen brengen hoe ze denken en/of rekenen en/of een notatiewijze

missen die bij deze aanvulhandelingen passen.

De data ondersteunen de aanname in deze studie, dat progressief schematiseren

impliceert dat leerlingen, bij elke niveauverhoging, hun mondelinge rekentaal en

notatiewijze afstemmen op de abstractere eigenschappen van de nieuwe uitgevonden

rekenprocedure.

Ad.4 Kracht en beperkingen van gevarieerd contextgebonden hoofdrekenen

Bovenstaande resultaten van de foutenanalyse scherpen ten slotte het beeld aan van de

sterkere en zwakkere kanten van de TAL-didactiek. Deze aanpak heeft als voordeel

dat het gros van de leerlingen de relatie tussen de hoeveelheden (c.q. grootheden) van

de verschillende klassen aftrekproblemen meestal efficiënt en effectief met relaties

tussen hele getallen leert symboliseren. De geïdentificeerde fouten maken vier nadelen

zichtbaar:

1. Deze aanpak verhindert niet dat leerlingen, die daar conceptueel nog niet aan

toe zijn, aan om aftrekproblemen met een optelstructuur ook positioneel en/of

beredenerend met optelrelaties te modelleren, precies zoals Beishuizen (1997) dat

heeft gesignaleerd.

2. De nadruk op veelzijdig aftrekken gaat ten koste van de aandacht voor de

problematisering van ‘aftrekken’ als rekenoperatie, vanuit het oogpunt van

rijgen, splitsen en beredeneren, met als gevolg dat leerlingen foutieve

aftrekalgoritmen inslijpen en niet echt weten wat ‘compenseren’ inhoudt bij het

herleiden tot een aftrekfeit.

3. Het langdurig rekenen in contexten en de vigerende afwisseling van rekenen

met en zonder context lijkt ertoe te leiden dat heel veel leerlingen de

rekenwereld in twee subwerelden scheiden. Aan de ene ligt de wereld van de

74 Zie in dit verband de opmerkingen van de tweelingzussen Ylja en Joni in hoofdstuk 1 over rekenen op de lege getallenlijn in het interview van Marja van de Heuvel-Panhuizen.


289

contextproblemen die veelzijdig, gevarieerd en vooral rijgend worden opgelost,

aan de andere kant die van de ‘aftreksommen’ die eenzijdig met

aftrekprocedures, zij het rijgend, zij het splitsend worden uitgerekend. Het

gevolg daarvan is dat, afgezien van een kleine groep leerlingen met een hogere

rekenvaardigheid, het gros van de leerlingen niet toe lijkt te komen aan de

ontdekking dat een uitdrukking als 62 – 48 = 40 zowel het aftrekken van 48 van

62 symboliseert als het verschil tussen 62 en 48. De huidige praktijk blokkeert

in die zin de toegang tot puur getalsmatig - lineair of deductief - aftrekken op

niveau 8 van de ontwikkelde sequentie. Leerlingen maken hierdoor gedurende

een lange periode aftrekfouten die de leraar zou kunnen voorkomen door (a)

aftrekken tijdig en adequaat te problematiseren en (b) daarbij de relatie te leggen

tussen de symbolisering van de kwantitatieve relatie bij probleemoplossen met

optelen aftrekrelaties en de herleiding van kale aftrekkingen met dezelfde

getalrelaties.

4. Leerlingen mogen lang op eigen niveau rijgend modelleren. Dit bevordert het

maken van fouten bij aanvullend rijgen op een langere afstand door de

omslachtigheid van modelleren met telstappen en sprongen van 10 en vertraagt

tegelijkertijd de ontwikkeling van de bouwstenen voor structurerend leren

rijgen met passende afsplitsingen van getallen.

Deze globale aanduiding van de kracht en beperkingen van de realistische didactiek

vraagt om een uitgewerkte balans en problematisering. Het introduceert in die zin de

balans van de verworven bekwaamheid van hoofdstuk 10 en de analyse van de relatie

tussen de opbrengst van rekenen onder de honderd en de TAL-didactiek in het

slothoofdstuk.

291

Hoofdstuk 10

Balans van rijgen, splitsen en beredeneren

10.1 Inleiding

In de voorgaande hoofdstukken zijn de resultaten van de twee uitgevoerde empirische

onderzoeken gerapporteerd. We hebben in kaart gebracht wat leerlingen zoal kunnen

en rapporteerden over de gevonden patronen in de gebruikte methoden en vormen

van hoofdrekenen, de omgang met de context en de getallen van de opgaven en de

gemaakte fouten. In dit hoofdstuk maken we de balans op. We doen dit in de vorm

van een sterkte-zwakte analyse op basis van de patronen die we in de clusters correcte

en foutieve oplossingsprocedures hebben geïdentificeerd. Uit de balans van de plussen

en de minnen distilleren we de hoofdtendensen in de wijze van beschrijven en

bewerken. Op basis daarvan schetsen we ten slotte een aannemelijk beeld van het

patroon in de ontwikkeling van numeriek leren denken onder de actuele condities van

leren hoofdrekenen onder de honderd.

10.2 Rijgen

Rijgen is de methode die het vaakst wordt gebruikt (L=57%; M=65%; H=74%). De

toegepaste vormen van rijgen genereren ook het hoogste percentage correcte

antwoorden (L=83%; M=87%; H=91%). Deze methode wordt ook het vaakste

toegepast in de meeste oplossingen van de gemeenschappelijke opgaven

(ankeropgaven 1, 6, 9, 11, 12 en 13). De data van de vorige hoofdstukken tonen echter

zowel sterke als zwakke kanten van rijgen.

10.2.1 Sterke kanten van het rijgen

Een van de sterke kanten van het rijgen is dat het zich met alle drie de

aftrekstrategieën laat combineren en daarom breed toepasbaar is. Het sluit direct aan

Hoofdstuk 10

292

bij het tellend aftrekken en bevordert het getalbegrip en de opbouw van netwerken

van getalrelaties. Dit komt als volgt tot uitdrukking in de analyseresultaten. De hoge

frequentie van rijgoplossingen in combinatie met de grote variatie in aanpakken en

oplossingswijzen en het hoge percentage correcte antwoorden bewijst dat de geleerde

rijgvaardigheid breed toepasbaar is. Leerlingen hebben, op basis van het aanbod in de

rekenboeken, verschillende rijgschema´s ontwikkeld en leren gebruiken. Ze herkennen

de probleemtypen, organiseren de gegevens in een passende rekenstructuur en

bewerken de getallen op verschillende niveaus met een breed arsenaal van adequate

rekenvormen. In die zin beschikt het gros van de leerlingen over een breed toepasbare

aftrekvaardigheid.

Typerend voor de Nederlandse leerlingen in vergelijking met leerlingen in de

Amerikaanse reformklassen (Fuson, Wearne e.a., 1996) is dat ze de geleerde vormen

van rijgen (tellen, springen en structureren) niet alleen met aftrekken en indirect optellen

combineren, maar ook met indirect aftrekken. Al doende, maken ze de verwachtingen bij

rijgen waar. Op enkele leerlingen na, heeft iedereen minstens vier aftrekschema’s

paraat. Die bestaan uit een combinatie van aftrekken of indirect optellen enerzijds en

springen via het tiental of springen met de 10-sprong anderzijds.

Eén van de argumenten om met rijgen te beginnen was dat deze methode direct

aansluit bij het informeel oplossen van aftrekproblemen met telstappen (Treffers, Feys

en de Moor, 1990). We zagen in hoofdstuk 7 dat een groep leerlingen met een lage

rekenvaardigheid (de) opgaven van hun reeks met telwoorden modelleren, met en/of

zonder symbolisering van de telstappen met streepjes, opgestoken vingers e.d. Bij een

groot aantal springoplossingen zetten leerlingen, die niet vlot over een tiental kunnen

springen, telvaardigheden in om de eenheden van het tweede getal te bewerken. Rijgen

vormt in die zin letterlijk een natuurlijke schakel tussen de oorspronkelijke vormen

van aftrekken met verzamelingen objecten en het gedifferentieerd modelleren op basis

van de splitsstructuren van getallen en de relatie tussen optelen aftrekrelaties. Deze

oplossingen bevestigen de bevinding in de Amerikaanse reformklassen, dat leerlingen

de telmethoden die ze bij leren rekenen tot 10 en 20 ‘natuurlijkerwijs’ uitvinden, ook

uit zichzelf in het getalgebied tot 100 generaliseren (Carpenter, 1997; Fuson, Wearne,

e.a., 1997).

Een ander argument om rijgen in te voeren was dat leerlingen hun getalkennis op

verschillende manieren en niveaus kunnen benutten. Rijgen zou hierdoor kunnen

voorkomen dat leerlingen met getallen goochelen, zoals dat gebeurt als ze, splitsend in

tientallen en eenheden, met cijfers proberen op te tellen en af te trekken. De

modellering van de ingebrachte oplossingen op een zelf gemaakte getallenlijn zou

bovendien, via de vergelijking van de gebruikte knooppunten, inzicht verschaffen in

de structuur van de tientallige lineaire relaties tussen deze getallen. De

gebruiksfrequentie van rijgen en het aandeel van de rijgoplossingen in het succes van

de leerlingen staven dit argument. Bij de verschillende combinaties van springend en

structurerend rijgen met aftrekken, indirect optellen (aanvullen) en indirect aftrekken (leeg

maken) maken de leerlingen uit alle drie de vaardigheidsgroepen op verschillende


293

niveaus van verkorting inzichtelijk gebruik van passende en correcte netwerken van

getallenrelaties. Leerlingen die het niveau van springen overstijgen, benutten het

verworven inzicht optimaal in de getallen en de rekenrelaties in het getalgebied tot

twintig. De meest gevorderde leerlingen, die vlot met driecijferige getallen rijgen,

maken bovendien gebruik van de factor tien, de analogie van rekenen tot 1000 met

rekenen tot 100 en netwerken van relaties met driecijferige getallen en geheugenfeiten.

Dit alles laat zien hoe sterk rijgen bijdraagt tot het begrip van getallen en tientalligheid

en aan de mentale constructie van gedifferentieerde netwerken van getalrelaties.

De grote variatie in aanpakken en rijgbewerkingen geeft verder aan dat dit te

danken is aan het feit dat iedere leerling op eigen niveau kan rijgen, omdat de

formalisering van de procedures synchroon loopt met de begripsvorming. Er wordt

op alle onderscheiden niveaus van de gereconstrueerde sequentie geregen, van verkort

tellen tot gestandaardiseerd.

Naarmate de leerlingen vorderen in de formalisering van de rijghandelingen tot

honderd, leggen ze ten slotte natuurlijkerwijs de basis voor rekenen onder de 1000.

Dit blijkt uit de vanzelfsprekendheid waarmee de meest gevorderde leerlingen de

procedures voor rijgen onder de honderd generaliseren voor de bewerking van

driecijferige getallen. Sommigen kunnen zelfs al 620-370 of 370+…=620

gestandaardiseerd uitrekenen, terwijl dergelijke bewerkingen nog niet structureel zijn

aangeboden.

10.2.2 Zwakke kanten van het rijgen

Drie patronen geven echter aanleiding om de kracht van de verworven rijgvaardigheid

te relativeren. In de eerste plaats zijn er sterke aanwijzingen dat het brede pallet van

oplossingsprocedures die leerlingen inzetten sterk verbonden is met de klassen

opgaven die ze zelf onderscheiden. Als deze interpretatie van de data correct is,

worden de getallen meer ‘instrumenteel’ dan `flexibel` bewerkt.

In de tweede plaats constateren we grote verschillen in de gemiddelde

gebruiksfrequentie en goedscores bij tellen, springen, afsplitsen en gestandaardiseerd

rijgen (paragraaf 7.3.3). Dit maakt aannemelijk dat een relatief grote groep leerlingen

de conceptuele en procedurele bouwstenen mist die toegang verschaffen tot aftrekken

en indirect optellen met afgesplitste getallen, los van enige context. Dit vormt een

extra probleem bij het overschakelen van rijgen met benoemde getallen naar rekenen

met getallen als rekenobjecten en rekeneigenschappen.

Een bijkomend probleem ten slotte is dat de kans op een foutief antwoord bij

rijgen groot blijft wanneer de leerling over een langere afstand met telstappen

modelleert of met aaneengeregen tienvouden c.q. samengestelde getallen werkt.

Leerlingen die op deze manier indirect optellen, lopen de meeste risico’s, zeker als ze

geen aantekeningen maken. Deze handelingen belasten hun werkgeheugen namelijk

zodanig, dat ze de controle op hun bewerking verliezen en hierdoor het bereikte getal

als antwoord geven, getallen verwisselen, of iets over het hoofd zien.

Hoofdstuk 10

294

10.2.3 Balans van het rijgen

Samenvattend: rijgen wordt het vaakst toegepast en behaalt goede resultaten. Menig

leerling blijft echter steken op het niveau van opgavenspecifiek hoofdrekenen. Dit

vormt een extra belemmering voor de leerlingen die ook de bouwstenen missen om

over te kunnen schakelen naar een hoger niveau van symboliseren en sequentieel

rekenen.

10.3 Splitsen

De onderzochte leerlingen hebben veel minder vaak gesplitst dan geregen (L=8%;

M=17%; H=11%). Het zeer hoge percentage foutieve antwoorden (L=64%; M=57%

en H=42%) geeft al aan, dat sterke aspecten van het splitsgedrag de tekortkomingen

niet kunnen compenseren.

10.3.1 Sterke kanten van het splitsen

Deze sterke kanten betreffen de volgende aspecten. Leerlingen met een lage

vaardigheid kunnen foutloos aanvullen en aftrekken bij opgaven zonder

tientaloverschrijding. Als leerlingen met een hoge vaardigheid met tekort aftrekken,

doen ze dat inzichtelijk en foutloos. Het grootste pluspunt van splitsen is dat deze

methode, in tegenstelling tot rijgen, nauwelijks uitvoeringsfouten in de hand werkt.

Verder blijkt dat een klein aantal leerlingen uit de hoogste vaardigheidsgroep de

mengmethode correct toepast, terwijl die in de regel nog niet is aangeboden (620 - 370

via 600 - 300 300 + 20 320 -70 = 250). Deze leerlingen tonen al doende aan, dat

ze vooruit lopen in de conceptualisering van tientallig aftrekken met positiewaarden.

Ze onderscheiden zich in die zin van Duitse (Selter, 2002) en Amerikaanse (Fuson e.a.

1997) leeftijdsgenoten die moeite hebben met deze mengmethode of deze niet

gebruiken.

10.3.2 Zwakke kanten van het splitsen

Over het geheel genomen komt het gros van de foutieve antwoorden bij het splitsen

voort uit het onbegrip van de gebruikte procedure. Dit typeert de algemene tendens

bij het bewerken van de getallen met de splitsmethode. Het signaleert de gebrekkige

conceptuele basis van de doorsnee leerling. De foutenanalyse heeft de begripsfouten

aan het licht gebracht die de ernst van het probleem zichtbaar maken.

Het hoofdprobleem is dat een grote groep leerlingen foutieve algoritmische

manieren van aftrekken en indirect optellen met tientallen (c.q. tienvouden) en

eenheden heeft ingeslepen, die verbonden zijn met bepaalde typen contexten en kale


295

aftrekkingen. De data maken aannemelijk dat ze ‘automatisch’ worden ingezet, net

zoals de correcte vaste vormen van rijgen. In de aftrekbewerkingen gebruiken de

geobserveerde leerlingen dezelfde ‘buggy algoritmen’ (en varianten ervan) als de

Amerikaanse leerlingen (Fuson, e.a., 1997).

Het voorkomen van dergelijke buggys wekt om twee redenen verbazing. Ten

eerste wordt in de Nederlandse onderwijscultuur van leraren verwacht dat zij

begripsfouten tijdig signaleren en daar adequaat op reageren. Hoe komt het dan dat

zoveel leerlingen in deze onderwijsperiode als het ware hun gang mogen gaan? Ten

tweede was het voor de eeuwwisseling al bekend, dat splitsend aanvullen in situaties

met tientaloverschrijding een beroep doet op inzichten en vaardigheden die de

doorsnee leerling in jaargroep vijf nog niet heeft verworven (Van Mulken, 1992; De

Jode, 1996; Hoogenberg en Paardekooper, 1996). In de onderhavige studie komt 38%

van de foutieve splitsantwoorden van de laagste vaardigheidsgroep voort uit een

onjuiste mentale representatie van de aanvulhandelingen. Ze denken en rekenen net

zoals hun leeftijdsgenoten tien jaar eerder. Ze beseffen niet dat het aanvullen van de

eenheden een ‘extra’ tiental oplevert, waardoor ze telkens ‘tien hoger’ uitkomen. Dit

ondersteunt overigens Beishuizen’s (1997) standpunt dat splitsen, in tegenstelling tot

rijgen, aanvankelijk niet geschikt is om indirect op te tellen. Dat leerlingen zonder

argwaan ‘26’ als antwoord geven op de opgave 24 + … = 40, maakt aannemelijk dat

ze ‘mechanisch’ rekenen, zonder enige aandacht voor de geloofwaardigheid van een

gevonden uitkomst (24 + 26 = 40!). Het doet vermoeden dat het probleem ernstiger is

dan een tijdelijke misconceptie van splitsend aanvullen.

Een tweede structureel probleem is dat de mengvorm een barrière vormt in de

progressieve mathematisering. De meeste leerlingen zijn noch conceptueel, noch

procedureel geëquipeerd om de positionele en sequentiële manier van denken en

rekenen in één methode te integreren. Dit typeert het verschil met de leerlingen uit de

hoogste vaardigheidsgroep, die aftrekkingen als 620 - 370 al vlot en inzichtelijk met de

mengprocedure kunnen uitrekenen.

Aftrekken met tekorten is ten slotte niet voor iedereen even vanzelfsprekend.

10.3.3 Balans van het splitsen

Uit bovenstaande plussen en minnen kunnen we niet anders concluderen dan dat

splitsen halverwege de basisschool in elk geval tijdelijk en wellicht ook structureel een

probleem vormt. De volgende tendensen typeren de stand van zaken wat betreft de

ontwikkeling van positioneel denken en rekenen, al of niet in combinatie met

sequentieel opereren. De meerderheid van de leerlingen mist de conceptuele

bouwstenen voor betekenisvol opereren met positiewaarden in aftreksituaties met

tientaloverschrijding. In alle drie de vaardigheidsgroepen slijpt menige leerling foutieve

algoritmische manieren van aftrekken in, naast het indirect optellen, als gevolg van een

gerichtheid op specifieke opgavenkenmerken. Dit alles belemmert de voortgang in

Hoofdstuk 10

296

verticale mathematisering van positioneel denken en rekenen, te meer omdat leraren

de geobserveerde extreme verschillen in begripsvorming toelaten.

10.4. Beredeneren

Beredeneren wordt in slechts 8% van de oplossingen van alle drie de

vaardigheidsgroepen toegepast. Het percentage correcte antwoorden bedraagt 50% in

de groep Laag, 63% in de groep Midden en 69% in de groep Hoog. Ook voor deze

methode geldt, dat de verwachte en de geobserveerde bekwaamheid behoorlijk van

elkaar verschillen. Belangrijke sterke punten die eerst aan de orde komen, maken het

verschil met splitsen.

10.4.1 Sterke punten van het beredeneerd aftrekken

Succes bij beredeneren komt voort uit twee sterke kanten van de verworven

bekwaamheid. De leerlingen maken efficiënt en effectief gebruik van (a) de inverse

relatie en gememoriseerde optellingen en (b) het principe van het gelijkblijvend

verschil. Dit verkleint de kans op rijgen splitsfouten.

Twee rekenmanieren tonen het voordeel dat leerlingen trekken van de verworven

redeneervaardigheid. Ten eerste laten leerlingen die op het grondniveau opereren zien

dat ze betekenisvol optelfeiten als puzzelstukken samenstellen om de stipsom van een

aftrekprobleem (bijvoorbeeld 25 + .. = 50) te construeren, daarbij vanzelfsprekend

gebruik makend van associativiteit en commutativiteit: [25 = 20 + 5]; [5 + 5 = 10]; [10

+ 10 = 20]; [20 + 20 = 40] 25 + 25 = 50. Deze werkwijze slaat een natuurlijke

brug tussen ‘structurerend’ rekenen onder de tien op basis van getalbeelden c.q.

geheugenfeiten en ‘tientallig herleiden’, gebruikmakend van de relatie tussen

numerieke relaties, wat in de Engelstalige literatuur ‘derived facts strategies’ wordt

genoemd (zie hoofdstuk 4).

In het gebruikte categorieënsysteem wordt een onderscheid gemaakt tussen Weten

en Beredeneren (paragraaf 4.3). Beredeneren neemt meer tijd in beslag omdat de leerling

een of andere herleidingsprocedure moet toepassen. In oplossingen van het type

“Weten” associeren leerlingen vrijwel onmiddellijk de getallen van de aftrekopgave

met een geheugenfeit. We zagen nu in hoofdstuk 7 dat menige leerling uit de laagste

vaardigheidsgroep op deze manier een kleine klasse aftrekopgaven die aan twee

criteria voldoet, succesvol kan oplossen. Het zijn contextproblemen waarin aftrekken

de betekenis van ‘vergelijken’ of ‘scheiden’ heeft en waarvan de getallen de associatie

oproepen met een ‘inverse’ (bijna) dubbel (50 als 25 + 25 = 50; 25 als 13 + 12 = 25;

100 als 48 + 52) of met een splitsing van honderd. Leerlingen uit de middengroepen

lossen op een analoge manier de kale aftrekking 100 - 86 op, via de directe associatie

met 86 + 14 = 100. Daarmee onderscheiden ze zich in die zin van de Amerikaanse


297

leerlingen uit de reformscholen (Fuson, e.a., 1997) en de Vlaamse leerlingen in het

onderzoek van Torbeyn e.a. (2006), die zelden gebruik maken van indirect optellen.

De keerzijde van deze medaille is echter dat de leerlingen als het ware automatisch op

de prikkel van de opgave reageren, en niet vanuit de beoogde aritmetische houding.

Dit duidt op een sterke overeenkomst in de beperking van de verworven

deelvaardigheden, die immers ook voor rijgen en splitsen geldt.

10.4.2 Zwakke punten van het beredeneerd aftrekken

Tegenover de sterke punten staan echter vier nadelige tendensen binnen het

beredenerend herleiden: 1. de leerlingen missen de conceptuele basis van afsplitsen en

compenseren, 2. ze komen niet toe aan transformeren, 3. ze vergissen zich bij

compenseren bij aanvullend herleiden en 4. ze ontwikkelen niet de functionele taal die

ze nodig hebben ter ondersteuning van het denken en voor de communicatie met de

leraar en groepsgenoten.

Zoals eerder opgemerkt (zie hoofdstuk 5) zijn de voorgelegde opgaven niet

specifiek geselecteerd om te toetsen in hoeverre leerlingen via compenseren en/of

transformeren kunnen herleiden. Zes opgaven lenen zich echter voor afronden en

compenseren en zeven voor transformeren op basis van het principe van het gelijk

verschil.

De foutieve herleidingen binnen deze twee clusters wijzen erop dat de leerlingen

hier (nog) niet goed mee omgaan. In een relatief groot cluster van 64 oplossingen

wordt de aftrekking, die uit een contextprobleem is geabstraheerd, opgelost via een

bekende aftrekking die erop lijkt.

40-24 via 40-20=20 (opgave 6)

100-48 via 100-50=50 (opgave 9)

900-595 via 900-600 of 900-500 (opgave 16)

1662-998 via 1662-1000=662 (opgave 17)

De compensatie genereert in die gevallen 46% van de foutieve antwoorden van de

beredeneeroplossingen. Het is dus bij lange na niet vanzelfsprekend. Dit is om

minstens drie redenen merkwaardig. Deze vorm van beredeneren staat officieel op het

programma van hoofdrekenend aftrekken tot 100. Het krijgt expliciet aandacht in

diagnostische activiteiten van onder andere de Kwantiwijzer voor leraren (van de Berg

et al. 1994). En deze vorm sluit direct aan bij het gebruik van getalbeelden en bekende

aftrekfeiten bij de reconstructie van de tafels.

Dat transformeren problematisch is, is minder verrassend gezien het feit dat deze

‘rekenmanier’ gezien wordt als sluitstuk van het zogenoemde ‘variarekenen’. Het

principe van het gelijkblijvend verschil is door de leerlingen slechts in een achttal

oplossingen toegepast (dit betreft op één na leerlingen uit de hoogste

vaardigheidsgroep):

Hoofdstuk 10

298

62-48 via 64-50=14 (opgave 12)

102-90 via100-88 (opgave 11)

620-370 via 650-300 (opgave 14)

Wat ten slotte in de protocollen is opgevallen, is dat leerlingen moeilijk kunnen

vertellen wat ze in een opgave zien, hoe ze de getallen van de opgave met elkaar in

verband brengen en met de termen van andere vertrouwde numerieke relaties en

binnen dit lokaal relatienet redeneren, vanuit het verworven inzicht in de

rekeneigenschappen. Wij zagen wat dit betreft (hoofdstuk 3), dat Freudenthal (1981)

en van Hiele (1973; 1981) ervan uitgaan dat de taal een essentiële rol speelt in de

verticale mathematisering van de eigen activiteit bij numeriek en meetkundig leren

denken als medium om denkbeelden en werkwijzen te objectiveren, bespreekbaar te

maken en te organiseren. In de meeste interviews herleidt de leerling puur mentaal (uit

het hoofd). Leerlingen die aantekeningen maken, symboliseren hun gedachtegang met

de ‘losse sommen’ of met aaneensluitende operaties die de stappen in de gevolgde

redenering symboliseren. Dit betekent dat ze weten dat abstracte redeneringen in

sommentaal kunnen worden genoteerd. Dat leerlingen zo vaak niet of onjuist

compenseren en hun gedachtegang ook vaak niet goed onder woorden kunnen

brengen, zou een signaal kunnen zijn dat ze een functionele mondelinge en

schriftelijke ‘redeneertaal’ missen.

10.4.3 Balans van het beredeneerd aftrekken

Zoal verwacht, lijkt de hoofdtendens die we in de correcte en foutieve herleidingen

kunnen distilleren sterk op het hoofdpatroon dat we in de splitsbewerkingen hebben

geïdentificeerd. Leerlingen die op het grondniveau betekenisvol met optelfeiten

manipuleren, staan conceptueel en procedureel gezien, op verre afstand van

groepsgenoten die puur redeneren op basis van relaties tussen numerieke relaties. Wat ze

qua numeriek denken met elkaar verbindt, is het gebruik van de associatieve en

commutatieve eigenschap van optellen en de inverse relatie tussen optellen en

aftrekken. Het cruciaal verschil zit in de ‘rekenobjecten’ waarmee ze manipuleren,

namelijk met weetjes (rekenfeiten) of met numerieke relaties, die met de gegeven optelling,

aftrekking of splitsing in verband worden gebracht.

Het leerprobleem is echter om twee redenen minder ernstig dan bij splitsen. Ten

eerste, omdat beredeneren alleen lokaal, in specifieke gevallen loont. Ten tweede,

omdat vrijwel iedereen op een elementair niveau heeft leren gebruik te maken van de

gereedschappen van deductief rekenen: geheugenfeiten en de rekeneigenschappen. In

die zin is een inzichtelijke basis gelegd die bij splitsen ontbreekt.


299

10.5 Ontwikkelingspatroon

Ter afsluiting typeren we de voortgang in het numerieke denken op basis van de

gevonden tendensen in ‘beschrijven’ en ‘bewerken’.

Er wordt vaak geregen en met goede resultaten. Wanneer leerlingen de getallen

anders bewerken, genereren de gevolgde redenering en uitgevoerde rekenhandelingen

in alle drie de vaardigheidsgroepen veel meer foutieve antwoorden, vooral als gevolg

van begripsfouten en in het bijzonder bij splitsend aftrekken of indirect optellen. Er is

in die zin sprake van een scheefgroei tussen enerzijds sequentieel denken en anderzijds

deductief en vooral positioneel denken aan de andere kant. Er zijn sterke aanwijzingen

dat leerlingen uit de middengroep daar het meest last van hebben, omdat ze de

getallen van hun opgaven relatief vaak met een of andere splitsprocedure proberen te

bewerken.

Leerlingen uit alle drie de vaardigheidsgroepen reageren in de regel (vrijwel)

‘onmiddellijk’ (‘spontaan’; ‘automatisch’) op wat ze in de betreffende opgave zien. Ze

gaan af op (een combinatie van) specifieke kenmerken die geassocieerd zijn met

‘klassen opgaven’ en daaraan verbonden paradigmatische oplossingsprocedures. Het

ligt voor de hand om aan te nemen dat twee factoren voor een groot deel

determineren wat de leerling ziet en wat hij ermee doet. Enerzijds het gebruik van

specifieke contextproblemen en kale aftrekkingen tijdens de instructie (de gevolgde

rekendidactiek). Anderzijds, het bereikte niveau van begrip en vaardigheid (de

voortgang van de leerling in numeriek denken).

De drie clusters oplossingsprocedures maken ten slotte aannemelijk dat de

scheefgroei en het gebruik van opgavenspecifieke oplossingsprocedures gepaard gaat

met het bestendigen (en wellicht het vergroten) van de verschillen die bij rekenen

onder de twintig tussen de leerlingen zijn ontstaan. Dit bemoeilijkt aanzienlijk de

verwachte afstemming van de voortgang en de activiteiten van de gebruikte methode

op de gedachten en werkwijzen van de leerlingen. Ten eerste omdat de leraar moet

voortbouwen op wat leerlingen al weten en kunnen. Ten tweede vanwege de grote

verschillen in abstractieniveau tussen informeel en formeel tientallig denken en

hoofdrekenen.

Bovenstaand patroon is geabstraheerd uit de oplossingswijzen van drie

vaardigheidsgroepen die, op hetzelfde afnamemoment, een eigen set opgaven hebben

gemaakt en niet uit een analyse van de ontwikkeling van oplossingswijzen in de loop

van de tijd. Dit noopt tot enkele kanttekeningen. Ten eerste relativeert het de

empirische fundering van het patroon. Ten tweede moeten we bedenken dat we niet

weten, hoe de geobserveerde leerlingen zich verder, in de tweede helft van jaargroep 5

en in de bovenbouw, hebben ontwikkeld. Slaagt het gros van de leerlingen er toch in

positioneel (en deductief) te denken en te rekenen, zoals verwacht? Of: zet de

scheefgroei zich juist voort? Het antwoord hierop bepaalt hoe we de geobserveerde

stand van zaken moeten beoordelen. Als de tijdelijke, aanvaardbare gevolgen van het

Hoofdstuk 10

300

aanbod of als structureel probleem dat een structurele herziening van de gevolgde

didactiek vereist. Dit brengt ons tot het vervolg van deze studie.

In feite zijn we met het tegen elkaar afwegen van de patronen die in de

analyseresultaten zijn gevonden en het beschrijven van de wijze waarop de

onderzochte leerlingen hun opgaven analyseren en schematiseren, aan het eindpunt

gekomen van de studie naar hoe de drie vaardigheidsgroepen denken en rekenen bij

het maken van opgaven in het gebied van het aftrekken tot 100, respectievelijk 1000.

In het hierna volgende hoofdstuk interpreteren we eerst wat er bij leren aftrekken

onder de honderd gebeurt. We reflecteren van hieruit over de vraag in hoeverre de

geobserveerde ontwikkelingstendens het gevolg is van de standpunten die de

Nederlandse didactici hebben ingenomen ten aanzien van de gevoelige onderwerpen

die de speciale kleuring geven aan de realistische stijl van ‘geleid uitvinden’, zoals

omschreven in hoofdstuk 3.

301

Hoofdstuk 11

Discussie

11.1 Inleiding

Dit dissertatieonderzoek is opgezet om vaststellen welke bouwstenen van

hoofdrekenen leerlingen een lage, gemiddelde en hoge rekenvaardigheid halverwege

de basisschool hebben verworden, hoe ze denken en rekenen bij het oplossen van een

reeks aftrekopgaven in het getalgebied tot honderd (met een uitbreiding in het gebied

tot duizend), die bij hun ontwikkelingsniveau passen en in hoeverre hun

oplossingsprocedures het aanbod en de gevolgde didactiek weerspiegelen. We spitsen

de discussie toe op de relatie tussen wat leerlingen doen en kenmerkende aspecten van

de gevolgde instructiewijze.

We hebben in het vorige hoofdstuk de dominante ontwikkelingstendens

beschreven op basis van de gevonden patronen in de analyse van de

oplossingsmethoden en gemaakte fouten. We kwamen tot de conclusie dat er sprake

was van een scheefgroei tussen enerzijds sequentieel denken en anderzijds deductief en

vooral positioneel denken, dat aan vier aspecten kan worden herkend:

– Er wordt vaak inzichtelijk en gevarieerd geregen en met goede resultaten.

– Wanneer leerlingen de getallen anders bewerken, genereren begripsfouten in

alle drie de vaardigheidsgroepen veel meer foutieve antwoorden, in het

bijzonder bij splitsend aftrekken of indirect optellen.

– Typerend voor alle drie vaardigheidsgroepen is dat de leerlingen afgaan op

(een combinatie van) specifieke kenmerken die geassocieerd zijn met ‘klassen

opgaven’ en daaraan verbonden paradigmatische oplossingsprocedures.

– De achterstand die sommige leerlingen hebben opgelopen bij het rekenen

onder de twintig wordt niet goedgemaakt en neemt wellicht bij sommige

(groepen) leerlingen zelfs toe.

Met deze typering van de stand van zaken bij aftrekken onder de honderd, zijn we

in feite aan het eindpunt gekomen van de studie.

Hoofdstuk 11

302

In de context van het publieke debat over traditioneel versus realistisch rekenen en

van ontwikkelingen binnen het project Cito-Volgsysteem (LOVS) spitsen we de discussie

toe op twee vragen die de geïdentificeerde ontwikkelingstendens oproept:

– Wat gebeurt er bij tientallig leren aftrekken?

– In hoeverre weerspiegelt het contrast tussen de verworven vaardigheden het

standpunt dat het TAL-team heeft ingenomen ten aanzien van de gevoelige

kwesties binnen het concept van de reconstructiedidactiek met betrekking tot

het algemene doel, de afbakening van de leerstof en macrostructurering van

het leerproces en de functie van de klas (zie hoofdstuk 3)?

Het uitgevoerde onderzoek heeft, wat beide vragen betreft, essentiële beperkingen

die we aanstippen en die aanleiding geven om de rapportage af te sluiten met een

drietal aanbevelingen voor vervolgstudies.

11.2 Interpretatie van wat er bij aftrekken onder de

honderd/duizend gebeurt

Om ons voor te kunnen stellen wat er gebeurt, verplaatsen we ons eerst in de positie

van de leerling en vervolgens in die van de leraar. We laten ons bij deze interpretatie

leiden door de twee voor de hand liggende complementaire vragen:

– Wat beweegt de leerlingen om te handelen, zoals we dat hebben

geobserveerd? En:

– Hoe komt het dat zij van de leraar de ruimte krijgen om dat te doen?

11.2.1 Beweegredenen van de leerlingen

We richten ons eerst op de vraag naar wat de leerlingen beweegt om zo vaak te rijgen

en daarbij opgave-specifieke oplossingen te gebruiken. We menen het antwoord

hierop te vinden in Klein’s (1998) onderwijsexperiment met twee

instructiemethodieken (zie ook Klein e.a., 1998): de Proeve-leerlijn (Treffers & de Moor,

1990; zie hoofdstuk 2) die wordt vergeleken met de Stadia-lijn (de meer

gestructureerde en procedurele aanpak van de Leidse onderzoeksgroep). De Proeve-

leerlingen van jaargroep 4 werden van begin af aan gestimuleerd om verschillende

oplossingsprocedures te gebruiken via de inzet van contextproblemen en het

tweezijdig leren aftrekken, vanuit de visualisering van aantallen en hoeveelheidsrelaties

met de tientallig gekleurde kralenketting. Onder deze condities ontwikkelden zowel

“sterke” als “zwakke” rekenaars een flexibelere manier van hoofdrekenen dan de

Stadia-leerlingen. De groep zwakste leerlingen had qua prestatie ook een klein tot

groot voordeel bij deze aanpak in de loop van het experiment. Het effect op “sterke

Discussie

303

rekenaars” liep uiteen van een matig voordeel tot een licht nadeel van de Proeve-

aanpak. In de eerste periode van jaargroep 5 zijn geen verschillen geobserveerd bij de

generalisering van de geleerde procedures voor de bewerkingen van getallen met drie

cijfers (rekenen onder de 1000). De Proeve-leerlingen bleven echter meer ‘flexibel’

rekenen dan de Stadia-leerlingen. Ze stemden vaker hun oplossingsprocedure op

relevante opgavenkenmerken af.

Het oplossingsgedrag en de rijgprestaties van de leerlingen van onderhavig

onderzoek komen sterk overeen met Klein’s observaties. De combinatie van

inzichtelijk, vlot en succesvol rijgen doet aannemen dat de succeservaring de

‘hoofdoorzaak’ is van de sterke neiging tot rijgen. Waarom zou je anders rekenen als

vertrouwde rekenmanieren werken? Dat de nadruk tot zeker eind jaargroep 4/begin

jaargroep 5 op flexibel rijgen wordt gelegd, maakt deze aanname des te

geloofwaardiger.

Figuur 11.1 – Oplossingen van Wilco (“zwakke” leerling van jaargroep 4) in het voorjaar (Bron: Beishuizen, 1997, 151).

De ingezette types contextproblemen komen in aanmerking als oorzaak van de

neiging om opgave-specifieke oplossingsprocedures te gebruiken. We zagen in

hoofdstuk 4 dat de onderzoekers hiervoor het Leidse classificatiesysteem hebben

Hoofdstuk 11

304

uitgebreid met twee nieuwe categorieën: ‘clever’ (45 + 39 via 44 + 40; 65 - 49 via 66 -

50) en ‘connecting arc’, Treffers’ (1994) zogenoemde ‘boogmethode’75 (51 - 49 via

49+2=51). We kunnen ons voorstellen dat, via de systematische afwisseling van

‘afhaal-opgaven’ met ‘verschil-opgaven’ en relevante variatie van de getallen, leerlingen

gaandeweg oplossingspatronen inslijpen die ze spontaan inzetten in situaties waarin ze

de betreffende rekenstructuur c.q. type getalrelaties herkennen (zie figuur 11.1 voor

enkele voorbeelden). Dit effect kan worden versterkt in klassen waar de leraar het

leerproces naar zijn hand zet door de betreffende procedure stap voor stap op het

bord te instrueren, verlengde instructies hierover te geven en extra te oefenen, zoals

Winnubst (2001) net voor de eeuwwisseling heeft geobserveerd bij zijn begeleiding

van leerkrachten op scholen die één van de nieuwe realistische methoden hadden

ingevoerd. Flexibel rekenen neemt dan de gedaante aan van vaardigheidstraining.

Waarom wijken leerlingen dan toch bij sommige opgaven van deze gedragslijn af? Aansluitend bij

Beishuizen (1997), nemen we aan dat dit komt door de voortgang in de

begripsvorming. In de loop van jaargroep 4 raken leerlingen geïntrigeerd door de

verschillende ‘uitdrukkingen’ van ‘tientalligheid’, als (i) de structuur van het systeem

van telwoorden, (ii) de relatie tussen de hoeveelheid, de uitspraak en de notatiewijze

van getallen en (iii) getalpatronen als 25, 35, 45, … en 51, 41, 31, … Deze

‘rekenfenomenen’ zetten leerlingen vermoedelijk natuurlijkerwijs aan het denken. Het

ligt vanuit die optiek voor de hand om aan te nemen dat geobserveerde correcte

positionele optelen aftrekhandelingen in contexten zonder tientaloverschrijding de

neerslag daarvan is, evenals de buggy algoritmen die we hebben geobserveerd.

Bovendien ontwikkelen kinderen heel vroeg de neiging om efficiënt met getallen te

opereren. In vergelijking met rijgen met de 10-sprong, loont het om bijvoorbeeld 42

van 68 splitsend af te trekken (58, 48, 38, 28 26 versus 60 – 40 = 20 8 – 2 = 6

20 + 6 = 26). Ten slotte kan ook de geleidelijke organisatie van de getallen,

geheugenfeiten, optellingen en aftrekkingen en het verworven begrip van de

rekeneigenschappen leerlingen ertoe bewegen iets te ondernemen dat nog boven hun

macht ligt. Het schoolvoorbeeld hiervan is de oplossing van Eddy in Beishuizen’s

(1997, 128) observatie (figuur 11.2; zie hoofdstuk 4).

Dan blijft de vraag over waarom leerlingen telkens weer hun buggyprocedures

inzetten, terwijl ze stelselmatig een foutief antwoord genereren, wat weer de vraag

oproept waarom de leraar dat toelaat. We kunnen ons drie verklaringen voorstellen.

Ten eerste, ze zijn er zich niet van bewust, omdat ze te sterk zijn gericht op het vinden

van het antwoord. Ten tweede, omdat ze een breed pallet van oplossingsprocedures

gebruiken, waardoor de foutieve bewerkingen minder opvallen. En ten derde,

gewoonweg omdat de leraar daar niet op reageert. Dit nodigt uit om ook vanuit het

standpunt van de leraar naar de houding van de leerlingen en hun correcte en foutieve

bewerkingen te kijken.

75

Zie ook Treffers & Veltman, (1994).

Discussie

305

Figuur 11.2 Foutieve compensatie bij indirect optellen, gebruik makend van commutativiteit (30+9=9+30) in combinatie met de decimale opbouw van 39) (Bron: Beishuizen, 1997, 128)

11.2.2 Omgang van de leraar met de houding en gedragspatronen van

de leerlingen

De verschillen in succes bij de bewerkingen die de leerlingen uitvoeren zijn de neerslag

van de interacties in de klas. De doorslaggevende factor bij realistisch rekenen is de

volgorde waarin en de wijze waarop de leerkracht rijgen, splitsen en beredeneren

aanbiedt en leert formaliseren en toepassen. Uit de opgedane ervaring met de

implementatie van realistische methoden en het toezicht op de kwaliteit van het

basisonderwijs (Inspectie van het onderwijs, 2004) weten we dat wat de leerkracht aan

de orde stelt de neerslag is van een complex spel van factoren, o.a.:

– afspraken die in het team zijn gemaakt over de doorgaande lijn bij rekenen;

– de behoeften aan aanpassingen door kenmerken van de schoolpopulatie;

– het begrip van wat de bedoeling is bij het behandelen van de leerstof in de les;

– wat de leerkracht zelf in deze leerstof belangrijk vindt.

We zagen wat dit betreft in hoofdstuk 6 dat meer dan 90% van de leerkrachten die

aan de 4e PPON rekenpeiling hebben deelgenomen zegt dat ze de aanwijzingen van

hun methode vrijwel in hun geheel volgen. Dat bijna de helft van de leraren van

jaargroep 4 zegt niet te weten hoe het rekenen met gehele getallen ‘verder loopt’ op

school is een teken dat er iets aan de verwachte regie vanuit het schoolteam schort.

Dit kan het blind volgen van de methode (Winnubst, ibid.) in de hand werken en de

focus daarbij op het doel en de leerstof van de opeenvolgende lessen. Dit gaat ten

koste van de aandacht voor de gedachten, werkwijzen en begripsfouten die in de

groep leven.

Vanuit deze optiek is het denkbaar dat leerkrachten om twee hoofdredenen niet

ingaan op begripsfouten en foutieve bewerkingen die leerlingen tijdens een

Hoofdstuk 11

306

groepsgesprek of een ‘tweegesprek’ inbrengen. Ze vinden dat de betreffende

procedures buiten het doel van de les vallen en/of schatten in dat te veel leerlingen

zullen afhaken bij de klassikale behandeling ervan. Als deze interpretatie correct is,

betekent dit dat de kans op scheefgroei toeneemt, naarmate splitsen en beredeneren

langer worden uitgesteld. Dit heeft precies het omgekeerde effect van de bedoeling

achter de aanbevolen volgorde van rijgen naar splitsen, met het variarekenen parallel

daaraan.

Er is ten slotte een derde factor in het spel, die wellicht de hoofdrol neemt. Het

betreft het methodegebonden systeem van de leerlingenzorg op groepsniveau. Dit

systeem omvat de hele cyclus van activiteiten waar de Inspectie van het onderwijs op

toeziet. Van de signalering van de problemen tot de evaluatie van het effect van het

aanbevolen maatwerk, via de voorgestelde diagnostische gesprekken en adaptatie van

aangedragen remediërende activiteiten. Het contrast tussen de vaardigheden wekt de

indruk dat extra leertijd, verlengde instructies en extra oefenen eerder voor de

perfectionering van rijgen worden benut dan voor inzichtelijk leren splitsen en

bedeneren. Hetzij omdat de methode daar de nadruk op legt, hetzij om de door de

buitenwereld verwachte minimumdoelen en rekenprestaties te kunnen realiseren.

Waarom zou je immers investeren in moeilijk te leren manieren van hoofdrekenen als

iedereen inzichtelijk en gevarieerd kan leren rijgen?

Het ontbreken van expliciete aanwijzingen over wat leerlingen met name bij

splitsen en beredeneren moeten weten en kunnen zou deze begrijpelijke houding

kunnen versterken. De observatie van leerkrachten uit Winnubsts (ibid. 79)

begeleidingspraktijk dat ‘dingen’ die blijkbaar cruciaal zijn onvoldoende in de

handleiding zijn geëxpliceerd, maken dit aannemelijk. Wellicht zouden

methodeschrijvers vooral de gemaakte keuzes en/of aanbevelingen (beter) moeten

beargumenteren en dit met schoolvoorbeelden moeten illustreren om de aandacht van

de leerkracht op de betreffende kwestie te richten.

Een bijkomende beperking is ten slotte het gegeven dat het in de Nederlandse

scholen niet gebruikelijk is (zoals in de Amerikaanse reformscholen) dat de leraar zelf

een les organiseert om denkbeelden en werkwijzen (inclusief misconcepties en buggy

procedures) die in de groep ‘leven’ individueel te onderzoeken en klassikaal te

organiseren en te systematiseren, zoals Amerikaanse realisten dat aanbevelen (zie

hoofdstuk 3).

Hoe geloofwaardig bovenstaande interpretatie ook klinkt, zij mist nog de nodige

theoretische grondslag. Daarom keren we bij de afsluitende discussie terug naar het

theoretische kader van hoofdstuk drie, waarin we vier spanningsvelden binnen de

zogenoemde ‘algemene reconstructiedidactiek’ hebben geïdentificeerd. De leidende

vraag is in hoeverre het contrast tussen de verworven vaardigheden het standpunt

weerspiegelt dat het TAL-team heeft genomen ten aanzien van de tegenstellingen met

betrekking tot het algemene doel, de afbakening van de leerstof en macrostructurering

van het leerproces en de functie van de klas.

Discussie

307

11.3 Discussie: realistische kleuring van geleid uitvinden

We zagen in hoofdstuk 2 dat zo’n tien jaar voor de eeuwwisseling, de internationale

gemeenschap van rekendidactici, psychologen en onderwijskundigen zich tot doel

stelde de dagelijkse rekenpraktijk in de klas drastisch te veranderen. Ze zetten daarbij

hun koers op wat we in hoofdstuk 3 de ‘reconstructiedidactiek’ hebben genoemd, een

instructiewijze ‘beyond natural teaching’, zoals Wood (1998) dat formuleerde.

‘Vroeger’ trachtten leraren de formele rekenalgoritmen concreet en toegankelijk te

maken voor de leerling. Nu moeten zij het omkeerde doen: uitgaande van intuïtieve en

informele wiskundige gedachten en rekenprocedures, de leerling helpen deze vier

algoritmen op te bouwen. Het begrip ‘mathematiseren’ duidt deze constructie aan van

de eigen rekenwerktuigen, vanuit de intuïtieve en informele handelingen op het

‘natuurlijke’, kinderlijke niveau van ‘rekenen’.

Dit concept van de reconstructiedidactiek gaat uit van drie sleutelprincipes: het

organiseren en systematiseren van de eigen rekenervaringen, de getrapte abstractie van

wiskundige ‘dingen’ (concepten c.q. mentale objecten) uit eigen handelingspatronen

(‘encapsulation’) en het systematische gebruik van contextproblemen, hulpmiddelen

en modellen, en de klas als sociaal verband. We constateerden echter dat vier

spanningsvelden bij het ontwerpen de rekendidactici, psychologen en

onderwijskundigen uit de onderzoeksgemeenschap uit elkaar kunnen drijven. Dit

betreft de tegenstellingen ten aanzien van het algemene doel, de afbakening van de

leerstof en macrostructurering van het leerproces en de functie van de klas die we in

hoofdstuk 3 hebben geëxpliciteerd.

In de laatste decennia van de vorige eeuw zijn, in deze nieuwe context, drie

paradigmatische vormen van lesgeven in het domein van optellen en aftrekken tot

honderd ontwikkeld die in deze dissertatie zijn aangeduid met de term TAL-didactiek,

de probleemoplossende didactiek en de Amerikaanse realistische didactiek. De

vergelijking van deze ‘varianten van de reconstructiedidactiek’ toont aan dat men kan

spreken van een ‘algemene reconstructiedidactiek’ die een verschillende inkleuring

krijgt, afhankelijk van het ingenomen standpunt in de ervaren spanningsvelden.

We nemen deze conclusie als uitgangspunt voor de discussie. We laten de

tegenstellingen de revue passeren. We reflecteren telkens over de relatie tussen het

ingenomen standpunt van het TAL-team en de gedragspatronen van de verworven

hoofdrekenvaardigheid en vragen ons daarbij af in hoeverre alternatieve standpunten

kansen bieden ter versterking van de TAL-didactiek.

11.3.1 Algemeen doel (focus)

Men kan zich, wat het algemene doel betreft meer focussen op de opbouw van een relatienet

(conceptuele oriëntatie) of meer op de eindvormen van optellen en aftrekken van het programma

(procedurele oriëntatie).

Hoofdstuk 11

308

Wat het algemene doel betreft, deelt het TAL-team met de ontwerpers van de

probleemoplossende didactiek de oriëntatie op inzichtelijk en efficiënt toewerken naar

de nagestreefde eindvormen van optellen en aftrekken onder de honderd (c.q.

duizend). Deze oriëntatie contrasteert met de gerichtheid binnen de Amerikaans

realistische didactiek op de progressieve mathematisering van de relevante

probleemvelden: tellen, meten en rekenen.

In het voetspoor van Treffers (1987) focust het TAL-team op ‘efficiënt aansturen’

van de ‘progressieve schematisering’ die de leerling tot het verwachte eindniveau moet

brengen. Dat is formeel gestandaardiseerd rijgen en splitsen enerzijds en handig en

flexibel rekenen anderzijds, gebruikmakend van allerlei getalrelaties en

rekeneigenschappen. De geobserveerde scheefgroei roept vraagtekens op, in eerste

instantie ten aanzien van de aansturing van de progressieve schematisering bij leren

splitsen en beredeneren, maar ook ten aanzien van de voltooiing van de formalisering

van de rijghandelingen. De discussie hieromtrent is echter lastig, omdat het TAL-team

geen tussendoel voor medio jaargroep vijf heeft geformuleerd.

De richtlijnen van het TAL-team met betrekking tot rekenen tot 100 (zie

hoofdstuk 2) komen op het volgende neer:

– Eind groep vier (E4) kunnen leerlingen optelen afrekopgaven tot 100 zowel

kaal als toegepast rijgend oplossen (op de getallenlijn, in sommentaal of

helemaal uit het hoofd);

– Eind groep vijf (E5) wordt verwacht dat ze deze opgaven vlot en met inzicht

uit het hoofd berekenen, desgewenst met tussennotatie. De leerlingen kunnen

dan drie methoden inzetten: naast rijgen, ook splitsen en/of de handige

vormen van variarekenen.

– Eind groep zes (E6) moet de leerlingen routinematig onder de honderd

kunnen rekenen.

Wat opvalt is dat de uitdrukking ‘vlot en met inzicht uit het hoofd rekenen’ (E5)

geen houvast geeft, omdat het niet consistent is met het streven naar de efficiënte

aansturing van het formaliseringsproces. Het specificeert niet de aard noch het

abstractieniveau van de betreffende rijg-, splitsen gevarieerde procedures die overigens

niet in de doelbeschrijving zijn geëxpliciteerd. Dit roept in het perspectief van de

noodzakelijke differentiatie van de conceptualisering van de getallen, tellen, optellen

en aftrekken en de formalisering van de rekenhandelingen, zeer specifieke vragen op

als:

– Mogen de leerlingen nog met de 10-sprong rijgen? Of: wordt er van hen

verwacht dat ze met tienvouden optellen en aftrekken?

48+..=100 via 58, 68, 78, 88 90 100 (dus 52) versus 48+50 98+2

(dus 52)

Discussie

309

– Moeten ze bij rijgen de eenheden van het tweede getal in één handeling

toevoegen of afhalen? Of mogen ze dat via het dichtstbijzijnde tienvoud

doen?

62-48= via 62-40 22-8 via 22-2 en 20-6=14 versus 62-40 22-8=14

– Welke vorm van splitsen moeten ze vlot en met inzicht kunnen toepassen?

En: vanuit welke afwegingen?

– Idem voor variarekenen.

Door de gekozen focus op de eindprocedures en getrapte formalisering van de

telhandelingen, hebben zowel de methodeschrijvers als de leerkrachten die op de

handleiding koersen, meer gedetailleerde onderscheidingscriteria nodig om,

bijvoorbeeld bij rijgen, de overgang van individuele c.q. groepen leerlingen te kunnen

initiëren van verkort tellen naar springen, rekenen met tienvouden en

gestandaardiseerd rijgen. De didactische drieslag ‘informeel-semi-formeel-formeel’ van

Treffers (1987), het TAL-team (1999) en Menne (2001) is, om in de termen van

Treffers (ibid.) te spreken te ‘grof’ om het efficiënt aansturen dat men nastreeft in de

praktijk van de zorgverbreding te kunnen realiseren. Voor dit doel zou de progressieve

schematisering verder moeten worden gestructureerd, in bijvoorbeeld de vorm van de

sequentie van onderhavige studie.

Dat het TAL-team dat niet heeft gedaan is begrijpelijk vanuit de bezwaren die

‘Amerikaanse realisten’ als Cobb (1997) en Fosnot en Dolk (2001) hebben tegen

hiërarchisch uitgelijnde instructiesequenties die inspelen op de verwachte continue

stroom van gedachten en constructies van individuele leerlingen. De TAL-didactiek

was al voor sommige collega’s uit eigen kring (Keizer, Figueiredo, van Galen,

Gravemeijer & van Herp, 2005) te eenzijdig gericht op de procedurele verkorting van

de rekenhandelingen. Zij misten, in Buijs’ (2007, 40) woorden, ‘de ontwikkeling van

fundamentele wiskundige inzichten’. Deze collega’s verwachtten wat de Amerikaanse

realisten proberen te realiseren. Dit is de geleidelijke opbouw van de relatienetten

waarop hoofdrekenen is gebaseerd, via de mathematisering van de processen waaruit

ze voortkomen. Dit verlegt de aandacht van de gerichtheid naar de structuur van de

leerstof en van de formalisering bij leren aftrekken onder de honderd.

11.3.2 Leerstofstructuur

Men kan de leerstof ordenen in voorwaardelijke noties van getallen en tel- en rekenvaardigheden die

toegang geven tot tussenvormen van decimaal rekenen (bouwstenen en tussenproducten)

of

in wiskundige onderwerpen die betrekking hebben op het leren gebruiken van de getallen, tellen en de

bewerkingen om hoeveelheden en grootheden als lengte te kwantificeren en ermee te manipuleren (lagen

in de wiskundige realiteit van de leerling).

Hoofdstuk 11

310

Het verschil in gerichtheid drijft, in samenhang met de onderwijstraditie en de

wetenschappelijke achtergrond, de experts van de drie stromingen uit elkaar. De

Amerikaanse reformbeweging houdt het schriftelijk algoritmisch rekenen hoog in het

vaandel, terwijl het TAL-team het heeft vervangen door het passend gebruik van

flexibel hoofdrekenen en schriftelijk gestandaardiseerd rekenen met positiewaarden al

dan niet verder geformaliseerd in de vorm van de vier algoritmen.

Vanuit beide perspectieven dienen zich twee invalshoeken aan. Het TAL-team en

de cognitief-psychologisch georiënteerde experts van de problem solving didactiek

gaan meer uit van een ordening van specifieke kennis en (tel- en reken)vaardigheden

die toegang geven tot een hoger, formeler/abstracter niveau van rekenen.

Amerikaanse realisten gaan, in de lijn van Freudenthal (1991), juist uit van een

ordening en systematisering ‘in lagen’ van ervaringen van gezond verstand.

De positionering van het TAL-team resulteert in de bekende volgorde van

aanbieding die ontleend is aan de Proeve… (Treffers & de Moor, 1990): eerst rijgen,

dan splitsen en variarekenen er door heen. We missen echter zowel in de Proeve… als

in de twee TAL-publicaties de explicitering van de ‘diepe’ didactische gedachte achter

deze ordening. Methodeschrijvers moeten zich verdiepen in Menne’s (2001) lokale

theorie van het rekenen onder de honderd en haar ‘Geschiedenis van de getallenlijn’ (2004)

om daar achter te komen. De rijgmethode structureert in haar ogen het rekenen met

telstappen via het gebruik van de tientallige herhalingsstructuur van de getallenrij.

“Tevens wordt via het gevorderde rijgen de weg naar de decimale splitsmethode en

het gevarieerd hoofdrekenen geplaveid” (ibid. 11). Dit maakt realistisch rekenen zo

herkenbaar binnen de algemene reconstructiedidactiek. Rijgen speelt een drieledige

rol. Het brengt ten eerste het lineair-decimaal rekenen op gang via de structurering van

de informele telhandelingen. Het baant ten tweede de weg voor rekenen met

positiewaarden (splitsen) via het decimaal afsplitsen van het tweede getal (62 - 48 via

62 - (40 + 8)) en het rekenen met tienvouden (60 - 48 via 60 – 40 = 20 20 – 8 =

12). Het legt ten slotte de basis voor het gebruik van allerlei getalrelaties en

rekeneigenschappen in de vorm van compenseren (62 - 48 via 62 - 50) en

transformeren (62 - 48 via 64 - 50 of 60 - 46). Het TAL-team kapitaliseert in die zin

op rijgen. Het ligt voor de hand om aan te nemen dat deze drieledige functie van het

rijgen de voornaamste oorzaak is van de geobserveerde scheefgroei.

Wat missen Nederlandse leerlingen, wat Amerikaanse groepsgenoten in de

reformscholen wel krijgen, door de nadruk die op rijgen wordt gelegd? De hoge

gebruiksfrequentie van buggy algoritmen en de begripsfouten bij de combinatie van

splitsen met rijgen geeft aan dat men te veel ‘in de marge’ aandacht besteedt aan wat in

Engeland en de Verenigde Staten ‘unitizing’ wordt genoemd. Dit komt neer op het

systematiseren van inpak- en uitpakhandelingen, gebruikmakend van de twee

eigenschappen van het systeem van natuurlijke getallen: het bundelen in eenheden van

tien en de positionele ordening van deze eenheden. Terwijl leerlingen in de

reformklassen, onder leiding van de leraar, letterlijk onderhandelen over wat er in

uiteenopende probleemsituaties bij aftrekken met positiewaarden wel en niet mag,

Discussie

311

worden Nederlandse leerlingen, na uitgebreide ervaring met het rijgen, ‘getild’ op het

niveau van rekenen met ‘tienen en lossen’, via een bescheiden aantal activiteiten rond

het uitbeelden van ’afhaal-contextproblemen’ met passende decimale hulpmidden als

namaakgeld, eierendozen en MAB-blokjes.

Het is aannemelijk dat deze naar achteren geschoven, marginale en eenzijdige

aandacht voor positioneel denken en rekenen menige leerling parten speelt. Ze gaan

op eigen initiatief met ‘tienen en lossen’ experimenteren, met alle risico’s van dien. We

kunnen twee lessen uit het onderhavige onderzoek trekken. Het uitstellen van splitsen

voorkomt niet dat leerlingen buggy algoritmen uitvinden en gebruiken. En de

contextgebonden verankering van splitsen in het rijgen heeft niet het verwachte effect.

We moeten daarbij aantekenen dat de bewerking van de TAL-methodiek door de

methodeschrijvers en mogelijke aanpassingen van de leerkracht een cruciale rol

kunnen spelen, onder andere bij de start van eenvoudige aftrekkingen als 36 - 25.

Op grond van de experimenten hebben Fuson e.a. (1997) vastgesteld dat tientallig

leren aftrekken bij lange na niet vanzelfsprekend is. Ook de Amerikaanse varianten

van geleid uitvinden vanuit het perspectief van unitizing hebben hun beperkingen, als

we louter kijken naar de bewerkingen die de leerlingen uiteindelijk maken.

De gekozen optie voor de algemene gerichtheid en de leerstofordening werkt in

alle drie die varianten door in de macrostructurering van de tel-, meet- en

rekenactiviteiten van de leerlingen. Wat kan de impact ervan zijn op de groei van de

leerlingen?

11.3.3 Structurering van de verticale mathematisering van tellen-meten-

rekenen

In de TAL-didactiek vormt het rijgen in haar verschillende gedaanten het integrerende

element in de differentiatie, formalisering en flexibilisering van hoofdrekenen. In de

probleemoplossende methodiek vormt de getrapte abstractie van het optelen

aftrekalgoritme uit blokjesrekenen via de contextgebonden tel- en meetactiviteiten de

rode draad van het langlopende proces. Ten slotte vormt wat Stephan, Bowers, Cobb

& Gravemeijer (2003) ‘imagery’ noemen het integrerend element in de

mathematisering in de verschillende probleemvelden van het Amerikaanse realisme bij

(i) de eerste oriëntatie in tientallig opereren in de context van onder andere de ‘candy

shop’ (Cobb, Gavemeijer, Yackel, McCains & Whitenack, 1997), (ii) de hierop

aansluiten geleide uitvinding van gecombineerd (‘gecoördineerd’) gebruik van

eenheden c.q. maten via het meten van lengtes (Stephan, ibid.; zie ook Gravemeijer,

2000; 2003a) en (iii) de verdere formalisering van positioneel denken, symboliseren en

rekenen via de systematisering van inpak- en uitpakhandelingen in o.a. de context van

de ‘candy factory’ (Cobb, Yackel; Wood,1992, 22 en verder). Op afstand bekeken,

illustreren deze thematisch opgezette onderwijsleeractiviteiten Gravemeijers (2004)

ontwerpprincipe van ‘emergent modelleren’. Leerlingen objectiveren in de loop der

Hoofdstuk 11

312

tijd de ontdekte wiskundige structuren met ‘taal’ (modellen, symbolen, etc.) die bij hun

inzicht en handelingsbekwaamheid past.

Wat de TAL-didactiek ook ‘speciaal’ maakt, is de ondernomen poging om splitsen

en beredeneren met elkaar te integreren via rijgen. Er zijn wat dat betreft sterke

aanwijzingen dat de gekozen methodiek onvoldoende aansluit bij de ervaringen van

gezond verstand van de leerlingen. Als onze data representatief zijn en bovenstaande

interpretatie ervan correct is, dan is het zeer de vraag of de generalisering van de

didactische drieslag voor de formalisering van splitsen en variarekenen (c.q.

beredeneren), zoals Menne (2001) dat in haar lokale theorie voor rekenen tot honderd

heeft gedaan, perspectief biedt voor de versterking van de TAL-didactiek (figuur 11.3).

rekenen tot honderd

Niv

eau v

an

form

alis

erin

g

formeel, vakmatig

semi-formeel, modelondersteund

informeel, contextgebonden

rijgen splitsen varia

hoofdrekenmethoden

Figuur 11.3 Macro-structurering van de progressieve schematisering bij hoofdrekenen onder de honderd op basis van de generalisering van Treffers’ (1987) didactische drieslag (Bron: Menne, 2001, 31)

11.3.4 Rol van contextproblemen, leermiddelen en individuele

constructies

Men kan contextproblemen, leermiddelen en individuele constructies expliciet inzetten om een

specifieke perfectionering van een bepaalde rekenmethode te bewerkstelligen (geleide niveauverhoging)

of

voortbouwen op de ondernomen mathematisering van een probleemveld, waarbij de opeenvolgende

gereedschappen die worden gebruikt, deel uitmaken van de activiteit zelf (progressief modelleren en

symboliseren);

De rol van de contextproblemen is vooral relevant in relatie tot de observatie dat alle drie de

vaardigheidsgroepen, doch vooral leerlingen met een lage en gemiddelde vaardigheid,

de neiging hebben opgavenspecifieke oplossingsprocedures te gebruiken. De cruciale

verandering in de loop van de jaren negentig is het systematisch variëren van de

condities van de toepassingen via de afwisseling van contexten en aftrekken. Er wordt

daarbij op drie klassen oplossingen gefocust die onder de noemer ‘tweezijdig’

aftrekken vallen (Veltman, 1993):

Discussie

313

– ‘aftrekken’ via ‘terugspringen’ op een (denkbeeldige) getallenlijn (63-48=);

– ‘indirect optellen’ (48 + .. = 63) of ‘indirect afrekken’ (63 - .. = 48), via

respectievelijk ‘verder springen tot’ en ‘terugspringen tot’;

– redeneren vanuit het beeld van ‘aftrekken’ als de ‘omgekeerde operatie’ van

optellen (63 - 59 via 59 + 4 = 63; figuur 11.4), die in de methoden en in de

klas met de term ‘boog-methode’ wordt aangeduid (Treffers & Veltman,

1994).

Figuur 11.4 ‘Boog-benadering’ van aftrekken (Bron: Treffers, 1994).

Het ligt voor de hand om aan te nemen dat leerlingen hierdoor een houding

kweken die hun aandacht richt op vertrouwde eigenschappen van de opgaven die

verbonden zijn met de in de klas behandelde paradigmatische oplossingen.

Splitsen en beredeneren worden op rijgen geënt en via de modellering van

didactisch relevante contextproblemen in de steigers gezet. Buijs’ (2000, 42) probleem

in figuur 11.5 illustreert zowel de rol van de context als dat van de hulpmiddelen en de

eigen constructies van de leerlingen bij de benadering van splitsen.

Conflict van het tekort aan eenheden:

Je hebt 83 euro en je wilt iets kopen van 47 euro.

“Je het helemaal geen 7 losse euro’s. Je

hebt er 3, en daar moet je die 7 vanaf

halen”.

“Ja, precies. Dan kun je er eerst 3 afhalen

en dan moet je er nog 4 van de tientjes

afhalen”

Figuur 11.5 Gedachtewisseling over het tekort aan eenheden bij splitsend aftrekken (Buijs, 2000, p. 42)

Vanuit het oogpunt van de conceptualisering gezien, verschilt deze benadering via

de modellering van een wiskundig ‘arm’ contextprobleem niet van wat er in de

reformklassen van de probleemoplossende benadering gebeurt. Er is echter een groot

contrast tussen de zeer beknopte en rekentechnische argumentatie in het tweegesprek

tussen de leerlingen en de ‘onderhandelingen’ die onderzoekers als Carpenter (1997,

44) vanuit het principe van ‘sharing strategies’ in de grote kring organiseren. Dit

voorbeeld roept meer het beeld op van twee leerlingen die al hebben begrepen ‘hoe

het zit’. Ze gebruiken eerder het namaakgeld ter bevestiging van hun begrip van de

implicaties van de relatie tussen de tientallen en eenheden (die met briefjes van tien en

euromunten worden gesymboliseerd) voor ‘aftrekken’, dan dat ze ontdekken hoe

Hoofdstuk 11

314

aftrekken met tekorten werkt. Het is zeer de vraag of leerlingen die deze implicaties

nog niet kennen van deze dialoog wijzer worden.

Dit brengt ons op de rol van de eigen constructies. Terwijl ‘sharing’ het

sleutelwoord is in de probleemoplossende didactiek, geldt ‘stimulering van

niveauverhoging’ als principe voor het gebruik van de eigen constructies binnen de

TAL-didactiek. Waar het om gaat, is dat individuele leerlingen van elkaars gedachten

en uitvindingen leren en niet zozeer dat ze gezamenlijk, onder leiding van de leraar,

deze constructies tot producten van de klas als sociale groep organiseren en

systematiseren. Dit zou de kloof kunnen verklaren tussen de kleine groep voorlopers

die de regels doorzien van de geleerde vormen van splitsend aftrekken met

tientaloverschrijding en de grote meerderheid die het tekort aan eenheden nog als

rekenkundig probleem onder woorden moet brengen en als zodanig onderzoeken. Dit

verlegt de aandacht naar het laatste spanningsveld.

11.3.5 Gebruik van de samenwerking en communicatie in de groep

Men kan de samenwerking en communicatie meer gebruiken ter bevordering van de voortgang van

individuele leerlingen (nadruk op de individuele voortgang)

of

juist als de bouwstenen van het referentiekader dat de klas als gemeenschap steeds verder uitbouwt

(nadruk op de sociale activiteit van de groep).

In de Amerikaanse reformklassen fungeert de grote groep als sociale ruimte waarin

de individuele constructies ‘collectief’ worden georganiseerd. Dit proces maakt de

individuele leerlingen en de leraar bewust van de tijdelijke denkbeelden en gewoonten

die in de groep leven en die als zodanig de voortgang in het leerproces van het

‘collectief’ herkenbaar maken.

Dit verschilt sterk van de cultuur in de Nederlandse klassen. Het ligt voor de hand

om aan te nemen dat zowel de gekozen optie van het TAL-team als de verwachtingen

van de buitenwereld hun stempel drukken op wat er in de klas gebeurt. Het TAL-team

stelt de individuele ontwikkeling voorop en gebruikt de groep als stimulans. Van

schoolteams en van de leerkrachten wordt echter ook expliciet verwacht dat ze hun

onderwijs differentiëren. Dit rechtvaardigt het standpunt van het TAL-team, ook al

menen we dat in de huidige school- en klassencultuur verschillen tussen leerlingen de

samenwerking en communicatie zo sterk kunnen belemmeren dat geleid uitvinden niet

goed uit de verf kan komen.

Discussie

315

11.4 Opbrengst

De studie levert zowel een onderzoektheoretische als een praktische bijdrage.

11.4.1 Onderzoektheoretische opbrengst

Wiskunde-didactici, psychologen en onderwijskundigen vormen tegenwoordig een


wiskunde onderwijzen. Hun inspanning voor de ontwikkeling van een instructiepraktijk

‘van deze tijd’ overstijgt het dualisme van algemeen versus domeinspecifiek dat lang de

internationale samenwerking heeft tegengewerkt. Het breed gedragen uitgangspunt is

dat de leerlingen zelf hun wiskundige kennis moeten construeren. Dit is het centrale

uitgangspunt van wat internationaal ‘reform mathematics’ wordt genoemd. In

navolging van Treffers en de Moor (1990) beschouwen we in deze studie dit

vernieuwingsconcept als ‘reconstructiedidactiek’. In deze studie zijn nu theoretische en

didactische bruggen geslagen tussen de drie onderscheiden paradigmatische

uitwerkingen van de zogenoemde ‘algemene reconstructiedidactiek’. Het betreft de

Nederlandse, realistische aanpak van Treffers zoals uitgewerkt in het TAL-project,

onderwijsprogramma’s die in de USA ontwikkeld zijn vanuit wat we een cognitief-

psychologisch perspectief kunnen noemen en tenslotte een socio-constructivistische

variant van de realistische aanpak die is voortgekomen uit samenwerking van

Nederlandse en Amerikaanse onderzoekers. Hieruit zijn didactische componenten

geabstraheerd die het mogelijke maken om vast te stellen wat de onderscheiden

didactieken zo herkenbaar maakt. De vergelijking tussen het algemene doel, de


(contextproblemen, leermiddelen en modellen en de klas als sociaal verband) heeft

spanningsvelden binnen het vernieuwingsconcept van de reconstructiedidactiek

zichtbaar gemaakt die houvast bieden voor de reflectie en discussie ter versterking van

de eigen methodiek en voortgezette internationale samenwerking.

De TAL-didactiek fungeert in Nederland als model voor het ontwerpen van de

leergangen van de realistische reken-wiskundemethoden in het domein van de getallen

en de operaties. Deze instructiemethodiek is verankerd in Treffers’ (1987) algemene

realistische onderwijstheorie. Deze studie levert een bijdrage ten aanzien van twee

cruciale aspecten van deze realistische theorie en didactiek: de samenhang tussen de

‘hoofdrekenmethode van bewerken’ en de ‘gevolgde rekenstrategie’ in

toepassingssituaties, het onderscheid tussen ‘sequentieel’ (rijgen), ‘positioneel’

(splitsen) en ‘deductief‘ (variarekken) hoofdrekenen en ‘vormen’ daarbinnen die de

voortgang van de leerling in denken, symboliseren en bewerken in het getalgebied

herkenbaar maken.

Deze studie slaat wat dit betreft een brug tussen het Nederlandse

fenomenologisch-didactische ontwikkelingsonderzoek voor het ontwerpen van

Hoofdstuk 11

316

onderwijsleeromgevingen en -trajecten en het Amerikaanse empirische, cognitief-

psychologische onderzoek naar de ontwikkeling van het getalbegrip en optelen

aftrekalgoritmen. Vanuit deze integratie van idee en data is ten slotte een sequentie

ontwikkeld van de groei van de leerling in wat in deze studie ‘numeriek denken’ wordt

genoemd. Deze sequentie gaat uit van drie fasen in de verticale mathematisering: 1.

direct modelleren met verzamelingen objecten (visueel-motorisch niveau), het

symboliseren van de relaties tussen de hoeveelheden c.q. grootheden van een

contextprobleem met getalrelaties (proceptueel niveau) en 3. formeel opereren binnen

een eigen systeem van getalrelaties en rekenregels. De gemaakte analyse brengt aan het

licht dat het Nederlandse en Amerikaanse realisme tekort schiet in de afsluitende fase

van de conceptualisering van de ‘aftrekking’ als mentale handeling, zoals opgevat door

Freudenthal (1984b) en Van Hiele (1973). De betrokken didactici blijven steken op

het niveau van mentaal opereren met rekengetallen als knooppunten van lineair-decimale

netwerken van optelen aftrekrelaties. Ze verzuimen de slag te maken naar mentaal

opereren met numerieke relaties als rekenobjecten vanuit het verworven inzicht in de

eigenschappen van optellen en relatie tussen ‘optellen’ en ‘aftrekken’ als rekenkundige

‘operatie’. Dit richt de aandacht op de praktische bijdrage van de studie.

11.4.2 Praktische bijdrage

De geconstrueerde sequentie van de formalisering van rijgen, splitsen en beredeneren

organiseert in een hiërarchische volgorde de vormen van optellen en aftrekken die

leerlingen, onder de vakinhoudelijke begeleiding van hun leraar zelf kunnen uitvinden,

mits deze leraar conform de sleutelprincipes van de reconstructiedidactiek handelt.

Deze sequentie biedt daarom methodeschrijvers, schoolteams en individuele

leerkrachten de mogelijkheid om het langlopende proces van leren optellen en

aftrekken onder de duizend op kortere of langere termijn te plannen, daarbij rekening

houdend met differentiatiemogelijkheden. De toegevoegde waarde in vergelijking met

de Proeve-lijn (Treffers en de Moor, 1990; Klein, Beishuizen en Treffers, 1997) en de

TAL-lijn (TAL,1999; Buijs, 2000) komt door drie elementen. Ten eerste is dit de

eenduidige classificatie van strategieën, hoofdrekenmethoden en vormen van rijgen,

splitsen en beredeneren. Ten tweede de geëxpliciteerde visie op de samenhang tussen

de getrapte conceptualisering van ‘getal’, ‘tellen’, ‘optellen’ en ‘aftrekken’ en de

stapsgewijze differentiatie en formalisering van de rekenhandelingen, vanuit de directe

modellering van de relatie tussen hoeveelheden tot en met het mentaal manipuleren

met numerieke relaties en rekeneigenschappen. Ten derde, het overzicht van de

rekenkennis, tel- en rekenvaardigheden die de vlotte uitvoering van een nieuwe manier

van rekenen mogelijk maakt (rekentechnische voorwaarden). Hiermee is tevens de

waarde van de studie aangeven voor voortgezette toetsontwikkeling en onderzoek in

het kader van de projecten Cito Volgsysteem (LOVS) enerzijds en PPON anderzijds,

binnen de beleidsperspectieven van de kwaliteitszorg in het primair onderwijs. Dit

leidt de beperkingen in van de studie.

Discussie

317

11.5 Beperkingen

Er kleven minstens vier beperkingen aan dit dissertatieonderzoek. De gebruikte

realistische methoden zijn niet geanalyseerd. Er is niet in de klas geobserveerd. De

analyse betreft oplossingswijzen van één momentopname. De onderzoeker analyseert

ten slotte het werk van de leerlingen vanuit Freudenthal’s (1989) standpunt dat de

leerling zelf zijn rekenkennis en –instrumenten construeert.

Wat voor de ‘algemene reconstructiedidactiek geldt’, geldt ook voor de varianten

ervan, dus ook de TAL-didactiek. Methodeschrijvers kunnen een eigen standpunt

innemen ten aanzien van het algemene doel van rekenen onder de honderd, de

leerstofstructuur in relatie tot de macrostructuur van de formalisering en de ingezette

instrumentatie. Menne (2004,p. 10-11) observeerde, wat dit betreft vier patronen in de

reken-wiskundemethoden die tussen 1990 en 2001 zijn gebruikt. De lege getallenlijn

wordt in alle methoden als model gebruikt om eigen oplossingsprocedures vast te

leggen (visualiseren; symboliseren). Alle methoden volgen de niet-realistische systematiek

van de progressieve complicering. Dit betekent dat in het eerste half jaar van jaargroep

4 alleen eenvoudige opgaven worden voorgelegd die direct aansluiten bij inpak- en

uitpakhandelingen met groepen/rijen van 10 objecten en losse objecten (35+24; 59-

35). Hierna worden de complexere opgaven met tientaloverschrijding voorgelegd

(24+28; 52-28). Rijgen staat alleen in één methode voorop. In de andere methoden

worden de rijgen de splitsmethode gelijktijdig geïntroduceerd. Ook de gebruikte taal

(springentaal, pijlentaal en sommentaal) en hulpmiddelen variëren per methode. Dit

alles betekent dat realistisch rekenen ‘veel gezichten heeft’, zoals de KNAW-

commissie (2009, p. 26) dat constateerde. In tegenstelling tot Menne die een afwijking

observeert in de volgorde van aanbieding en aspecten van de instrumentatie, zien de

commissieleden, aansluitend bij Wittmann (2005), een afwijking in de verticale

mathematisering. In vergelijking met Treffers’ (1987) concept, zoals geëxpliciteerd met

zijn vijf principes van de realistische didactiek, zou tegenwoordig te veel aandacht

worden besteed aan de verkenning in contexten ten koste van de formalisering van het

denken en de bewerkingen. Dit alles toont het belang van de analyse van de

methoden, als het dagelijks gereedschap van de leerkracht.

Het MORE-onderzoek (Gravemeijer, van den Heuvel-Panhuizen, Dinselaar,

Ruesink, Streefland, Vermeulen, te Woerd, & van der Ploeg, 1993), Winnubst (2001)

en de doorlichting door de Inspectie van het onderwijsleerproces en de leerlingenzorg

in de klas (Inspectie van het onderwijs, 2004) hebben informatie verschaft over de

implementatie van realistische methoden en de realisering van wat er die methoden

staat. In de onderhavige studie ontbreekt dergelijk onderzoek naar de

onderwijspraktijk die de geobserveerde scheefgroei nader zou kunnen verklaren.

De tendens in de groei van de leerling is bovendien geabstraheerd uit het

rekenwerk van één momentopname en niet uit opeenvolgende constructies in de loop

van jaargroepen 4-5-6. Dit beperkt de empirische fundering van de beschrijvingen.

Hoofdstuk 11

318

Het is ten slotte bekend dat ontwerpen in het perspectief van de

constructiedidactiek vanzelf spanningen oproept tussen ‘open staan voor de gedachten

en constructies van de leerlingen’ en ‘zich verplicht voelen met de leerlingen naar

verwachte eindproducten te werken’ (Gravemeijer, 2004, 106). De huidige

schoolpraktijk, de eisen die door de buitenwereld worden gesteld en de

professionalisering van de leerkrachten vormen een forse beperking voor het

onderwijsideaal van leerlingen die in samenwerking met hun medeleerlingen zelf

wiskundige kennis ontwikkelen. Dit legitimeert de keuze van het TAL-team om te

kiezen voor inzichtelijk en efficiënt toewerken naar de eindvormen van optellen en

aftrekken. Deze studie toont echter ook de nadelen van deze keuze. Er lijdt geen

twijfel dat dit de overwegingen van het TAL-team sterk heeft beïnvloed, terwijl wij

ons vrij voelde om in Freudenthal’s voetspoor te treden.

11.6 Aanbevelingen

De patronen in de analyseresultaten verklaren de discrepantie, bij de derde PPON

rekenpeiling (Notenboom e.a., 2000), tussen de verwachtingen binnen de realistische

kring en de feitelijke resultaten bij aftrekken onder de honderd (hoofdstuk 1). Ze

vragen om een reflectie op de gekozen opties ten aanzien van het algemene doel, de


(contextproblemen, leermiddelen en modellen en de klas als sociaal verband) en over

de implicaties voor de opvang van de geobserveerde nadelen van de gemaakte keuzes.

De feitelijke versterking zou empirisch moeten worden onderbouwd, bijvoorbeeld

binnen de programmering van de Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk

Onderzoek (NWO). Het is van cruciaal belang dat dit ontwikkelingsonderzoek

plaatsvindt in de praktijk van de schoolorganisatie en onderwijs in de klas, in continue

samenwerking en communicatie met de betrokkene schoolteams en individuele

leerkrachten.

Het mes zou, vanuit deze benadering, van twee kanten kunnen snijden. De

onderwijsexperimenten zouden enerzijds het programma en de methodiek van

realistisch rekenen kunnen versterken en anderzijds de ervaringen van gezond verstand

van de leraren generen die kunnen worden ingezet ter versterking van de opleiding,

nascholing en begeleiden van (aanstaande) leerkrachten en schoolteams.

Drie uitdagingen dienen zich aan. Een betere balans tussen splitsen en rijgen, de

versterking van het beredeneren en meer aandacht voor ‘big ideas’ zoals unitizing en

eigenschapsrekenen. Dit alles in een klassencultuur die meer activeert om gezamenlijk

te werken aan gedeelde wiskundekennis.

319

Literatuur

Anghileri, J.(2001). Contrasting approaches that challenge tradition. In J. Anghileri

(Ed.), Principles and practice in arithmetic teaching: Innovative approaches for the primary

classroom (pp. 4-14). Buckingham: Open University Press.

Askew, M. & William, D. (1965). Recent research in mathematics education. London:

HMSO.

Atkins, S. (1999). Listening to students: The power of mathematical conversations.

Teaching children mathematics, 5(5), 289-295.

Ball, D. (1993). With an eye on the mathematical horizon: Dilemmas of teaching

elementary school mathematics. Elementary school journal, 93, 373-397.

Baroody, A. (1983). The development of procedural knowledge: An alternative

explanation for chronometric trends in mental arithmetic. Developmental review,

3, 225-230.

Baroody, A. (1985). Mastery of basic number combinations: Internalization of

relationships or facts? Journal for research in mathematics education, 16(2), 83-98.

Baroody, A., J., Torbeyn, J. & Verschaffel, L. (2009). Young children’s understanding

and Young Children's Understanding and Application of Subtraction-Related

Principles. Mathematical Thinking and Learning, 11, 2–9.

Battista, M. (2004). Applying cognition-based assessment to elementary school

students’ development of understanding of area and volume measurement.

Mathematical thinking and learning, 6(2), 205-226.

Bauersfeld, H. (1995). "Language games" in the mathematics classroom: Their

function and their effects. In P. Cobb & H. Bauersfeld (Eds.), The emergence of

mathematical meaning: Interaction in classroom cultures (pp. 271-289). Hillsdale, NJ:

Lawrence Erlbaum Associates.

Becker, J. & Selter, C. (1996). Elementary school practices. In Bishop, A., Clements,

K., Keitel, C., Kilpatrick, J. and Laborde, C. (Eds.). International handbook of

mathematics education, (pp. 511-564). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Beishuizen, M. (1983). Invloeden van leermiddelen op de uitvoering van

rekenhandelingen. In G. De Zeeuw, W. Hofstee & J.Vastenvouw (Red.)

Funderend onderzoek van het onderwijs en onderwijsleerprocessen. Bijdrage

ORD 1983 (pp. 45-54). Lisse: Swets & Zeitlinger.

320

Beishuizen, M. (1985a). Evaluation of the use of structured materials in the teaching

of primary mathematics. In B. Alloway & G. Mills (Eds.), New Directions in

education and training technology: Aspects of educational technology (Vol 18, pp. 246-

258). London: Kogan Page.

Beishuizen, M. (1985b). Vervolgonderzoek: Invloeden van leermiddelen op de

uitvoering van rekenhandelingen. In S. Dijkstra & P. Spa. (Red.).

Leerprocessen en instructie. Bijdrage ORD 1985 (pp. 131-144). Lisse: Swets

& Zeitlinger.

Beishuizen, M. (1993). Mental strategies and materials or models for addition and

subtraction up to 100 in Dutch second grades. Journal for research in mathematics

education, 24(4), 294-323.

Beishuizen, M. (1997). Development of mathematical strategies and procedures up to

100. In M. Beishuizen, K. Gravemeijer & E. van Lieshout (Eds.), The role of

contexts and models in the development of mathematical strategies and procedures (pp.

127-162). Utrecht: CD-β Press / Freudenthal Instituut.

Beishuizen, M. & Mulken, F. van (1986). Rekenleermiddelen en hoofdrekenen.

Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonerwijs, 4/5(4/1), 25-

29.

Beishuizen, M., Mulken, F. van, (1988). Twee veelgebruikte oplossingsmanieren bij

hoofdrekenen. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonerwijs,

6, 32-36.

Beishuizen, M., Gravemeijer. K. & Lieshout, E. van (1997). The role of contexts and

models in the development of mathematical strategies and procedure. Utrecht:

Freudenthal Institute.

Beishuizen, M., Putten, C. van & Mulken, F. van (1997). Mental arithmetic and

strategy use with indirect number problems up to one hundred. Learning and

Instruction, 7(1), 87-106.

Bereiter, C. (1985). Towards a solution of the learning paradox. Review of educational

research, 55, 201-226.

Berends, I. van de & Lieshout, E. van (2009). The effect of illustrations in arithmetic

problem-solving: Effects of increased cognitive load. Learning and instruction,

19, 345-353.

Berg, W., Eerde, D. van & Lit, S. (1994). Kwantiwijzer voor leerkrachten.Werkboek 8,

aftrekken onder de 100. Tilburg: Zwijsen.

Beth, E. & Piaget, J. (1966). Mathematical Epistemology and Psychology (W.Mays, trans.),

Dordrecht: Reidel.

Blakenburg, K. (1988). Relativering van hoofdrekenen. Panama-post, 6 (3), 27 – 28.

321

Blij, F. van der (1987). Hoe ver moet je komen? In E. Feijs en E. de Moor (Eds.).

Innovatie realistisch reken-wiskundeonderwijs, (Panama Cursusboek 5) (pp. 83-92).

Utrecht: OW&OC.

Blöte-Aanhane, A., Klein, A. & Beishuizen, M. (2000). Mental computation and

conceptual understanding. Learning and instruction, 10, 221-247.

Blöte-Aanhane, A., Burg, E. van der & Klein, A. (2001). Student's flexibility in solving

two digit addition and subtraction problems: Instructing effects. Journal of

educational psychology, 93, 627-638.

Boer, C. van den (2003). Als je begrijpt wat ik bedoel. Een zoektocht naar verklaringen voor

achterblijvende prestaties van allochtone leerlingen in het wiskundeonderwijs (dissertatie).

Utrecht: CD β Press.

Bokhove, J., Schoot, F. van der & Eggen, T. (1996). Balans van het rekenonderwijs

halverwege de basisschool 2. Uitkomsten van de tweede peiling rekenen/wiskunde medio

basisonderwijs (PPON-reeks 8b.). Arnhem, Cito.

Boswinkel, N. (1995). Interactie, een uitdaging. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van

het reken-wiskundeonderwijs, 14 (1), 4-13.

Boswinkel, N. & Nelissen, J. (2007). Leerstoflijnen in methoden. Leerstoflijnen uit

‘Speciaal Rekenen’ nader toegelicht. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek,

ontwikkeling, praktijk, 26, 4, 43-50.

Bouman, P. & Zelm, J. (1918). De rekenkundige denkbaarheden in logischen samenhang met –

als proeve van toegepaste logica – een rekenmethode voor de lagere school. Amsterdam:

Versluys.

Brink, F. (1989). Realistisch rekenonderwijs aan jonge kinderen (dissertatie). Utrecht:

OW&OC.

Brown, A., & Campione, J. (1994). Guided discovery in a community of learners. In

K. McGilly (Ed.), Classroom lessons: Integrating cognitive theory and classroom practice,

(pp. 229-270). Cambridge, MA: MIT Press.

Brown, J., & Lehn, K. van (1982). Towards a generative theory of ‘bugs’. In T.

Carpenter, J. Moser, & T. Romberg (Eds.), Addition and subtraction: A cognitive

perspective (pp. 117-135). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.

Brown, M. (1992). Researching primary numeracy. In A. Cockburn & E. Nardi, (Eds.)

Proceedings of the 26th conference of the International Group for the Psychology of

Mathematics Education ( pp. 1.015-1.030). Norwich.

Brown, M. (1999). Swings of the pendulum. In I. Thomson (Ed.), Issues in teaching

numeracy in primary schools (pp 3-16). Buckingham: Open University Press.

Bruggen, J. van & Gorter, R. (1985). De Canon voor het onderwijsaanbod in de

basisschool. Pedagogische Studiën, 62(4), 184-194.

Bruinsma, B. (Red.) (1969). Nieuw rekenen voor het basisonderwijs. Algemene Inleiding. Baarn:

Bosch en Keuning.

322

Bruner, J. (1967). Toward a theory of instruction. Cambridge: Harvard University Press.

Buijs, K. (1988). Schaduwzijden van het honderdveld – een reactie op de Proeve (2).

Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 6 (4), 3–10.

Buijs, K. (2000). Hoofdrekenen. In M. van den Heuvel-Panhuizen, K. Buys & A.

Treffers (Red.), Kinderen leren rekenen. Tussendoelen Annex Leerlijnen. Hele getallen,

Bovenbouw basisschool (pp. 37-64). Utrecht: Freundental Instituut/SLO.

Buijs, K. (2005). Wiskunde leren - een kwestie van gezond verstand -. In H. ter

Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.). Freudenthal 100 (pp. 98-105).

Utrecht: Freudenthal instituut.

Buijs, K. (2008). Leren vermenigvuldigen met meercijferige getallen (dissertatie) [Learning to

multiply with multidigit numbers (dissertation)]. Utrecht: Freudenthal

Institute for Science and Mathematics Education.

Buijs, K. (2007). Leren vermenigvuldigen en delen met meercijferige getallen (proefschrift).

Utrecht: Bètawetenschappen.

Buijs, K. (2011). Instructie in het rekenwiskundeonderwijs: op zoek naar verborgen kwaliteiten.

Presentatie op de Panamaconferentie 2011.

Buijs, K. & Eerde, D. van (1991). Tellen en rekenen tot twintig. ’s-Hertogenbosch:

Katholiek Pedagogisch centrum (KPC).

Cadot, J. & Vroegindeweij, D. (1986). 10 voor de basisvorming rekenen/wiskunde onderzocht.

Op weg naar een nationaal plan voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool en het

gebruik van de computer daarbinnen. Utrecht: OW&OC.

Carpenter, T. (1981). Problem structure and first-grade children’s initial solution

processes for simple addition and subtraction problems. Journal for research in

mathematics education, 12, 27-39.

Carpenter, T. (1985). Learning to add and subtract: An exercise in problem solving. In

E. Silver (Ed.), Teaching and learning mathematical problem solving: Multiple research

perspectives (pp. 17-40). Hillsdale, NJ: Erlbaum.

Carpenter, T. (1997). Models for reform of mathematics teaching. In M. Beishuizen,

K. Gravemeijer & van E. Lieshout (Eds.). The role of contexts and models in the

development of mathematical strategies and procedures (pp. 35-54). Utrecht:

Freudenthal Instituut.

Carpenter, T. & Moser, J. (1982). The development of addition and subtraction

problem-solving skills. In T. Carpenter. J. Moser & T. Rombergs (Eds.),

Addition and subtraction: A cognitive perspective. New Jersey: Erlbaum.

Carpenter, T. & Moser, J. (1983). The acquisation of addition and subtraction

concepts. In R. Lesh & M. Landau (Eds.), The acquisation of mathematical concepts

and processes (pp. 7-14). New York: Academic Press.

323

Carpenter, T., Hiebert, J., & Moser, J. (1981). Problem structure and first grade

children’s initial solution processes for simple addition and subtraction

problems. Journal for research in mathematics education 12 (1), 27-39.

Carpenter, T., Hiebert, J., & Moser, J. (1982). Cognitive development and children’s

solutions to verbal arithmetic problems. Journal for research in mathematics

education, 13 (2), 83-98.

Carpenter, T., Franke, M., Jacobs, V., Fennema, E., & Empson, S. (1998). A

longitudinal study of invention and understanding in children’s multidigit

addition and subtraction. Journal for research in mathematics education, 29 (1), 3-20.

Carpenter, T., Fennema, E., Franke, L., Levi, L., & Empson, S. (1999). Children’s

mathematics: Cognitively guided Instruction. Portsmouth, NH: Heinemann.

Cito (2008). Diagnosticeren en plannen in de onderbouw. Leerling- en onderwijsvolgsysteem.

Arnhem: Cito.

Cito (in druk). Diagnosticeren en plannen in de onderbouw. Leerling- en onderwijsvolgsysteem.

Arnhem: Cito.

Cobb, P. (Ed.) (1994). Learning mathematics: Constructivist and interactionist theories of

mathematical development. Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic.

Cobb, P. (1995). Cultural tools and mathematics learning: A case study. Journal for

research in mathematics education, 26(4), 362-385.

Cobb, P. (1997). Instructional design and reform: a plea for developmental research in

context. In M. Beishuizen, K. Gravemeijer & E. van Lieshout (Eds.), The role

of contexts and models in the development of mathematical strategies and procedures (pp.

273-291). Utrecht: CD-β Press / Freudenthal Instituut.

Cobb, P., Yackel, E., Wood, T., Wheatley, J. & Merkel, G. (1988). Creating a problem

solving atmosphere. Arithmetic teacher, 36(1), 46-47.

Cobb, P., Yackel, E., & Wood, T. (1992). A constructivist alternative to the

representational view of mind in mathematics education. Journal for research in

mathematics education, 23 (1), 2-33.

Cobb, P., Wood, T. &, Yackel, E. (1993). Discourse, mathematical thinking and

classroom practice. In E. Forman, N. Minick, & C. Stone (Eds.), Contexts for

learning: Sociocultural dynamics in children's development (pp. 91-119). New York:

Oxford University Press.

Cobb, P., & Yackel, E. (1996). Constructivist, emergent, and sociocultural

perspectives in the context of developmental research. Educational

Psychologist, 31, 175–190.

Cobb, P., Boufi, A., McClain, K. & Whitenack, J. (1997). Reflective discourse and

collective reflection. Journal for research in mathematics education, 28 (3), 258-277.

Cobb, P., Gravemeijer, K., Yackel, E., McClain, K., & Whitenack, J. (1997).

Mathematizing and symbolizing: The emergence of chains of signification in

324

one first-grade classroom. In D. Kirschner & J. Whitson (Eds.), Situated

cognition theory: Social, semiotic, and neurological perspectives (pp. 151–233). Mahwah,

NJ: Lawrence Erlbaum.

Cobb, P., McClain, K., & Gravemeijer, K. (2003). Learning about statistical

covariation. Cognition and instruction, 21, 1–78.

Cockcroft, W. (1982). Mathematics counts (report of the committee of inquiry into

teaching of mathematics in school)). London: Her Majesty Stationery Office.

Commissie Evaluatie Basisonderwijs (1994). Inhoud en opbrengsten van het

basisonderwijs. Evaluatie van het basisonderwijs. De Meern: Inspectie van het

onderwijs.

Commissie Herziening Kerndoelen (2002). Verantwoording delen. Herziening van de

kerndoelen basisonderwijs met het oog op beleidsruimte voor scholen. Den

Haag: Sdu.

Corte, E. de & Verschaffel, L. (1984). Redactie-opgaven in Vlaamse rekenmethoden

voor de eerste klas. In E. de Moor (Red.). Panama cursusboek 2. Utrecht,

SOL/OW&OC.

Corte, E. de & Verschaffel, L. (1985). Werken met eenvoudige rekenvraagstukjes in de

eerste klas (Red.). Panama Cursusboek 3. Utrecht, SOL/OW&OC.

Corte, E. de & Verschaffel, L. (1987). The effect of semantic structure on first

graders’ solution strategies of elementary addition and subtraction word

problems. Journal for research in mathematics education, 18 (5), 363 – 381.

Corte, E. de, & Verschaffel, L. (1988). Computer simulation as a tool in research on

problem solving in subject-matter domains. The international journal of educational

research, 12, 49-69.

Corte, E. de, Greer, B., & Verschaffel, L. (1996). Mathematics teaching and learning.

In D. Berliner & R. Calfee (Eds.), The handbook of educational psychology

(pp.491-549). New York: Macmillan.

Cowan, R. (2003). Does it all add up? Changes in children´s knowledge of addition

combinations, strategies and principles. In A. Baroody & A. Dowker (Eds.),

The development of arithmetic concepts and skills: Constructing adaptive expertise.

Mahwah, New Jersey/London: Lawrence Associates Publishers.

Craats, J. van (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. Nieuw archief voor

wiskunde, 8, 132-136.

Dekker, A., Heege, H. ter & Treffers, A. (1982). Cijferend vermenigvuldigen en delen volgens

Wiskobas. Utrecht: OW & OC.

DES (Departement of Education and Science) (1987). The National curriculum 5-16: A

consultation document. London: Her Majesty Stationery Office.

325

DES (Departement of Education and Science) (1999). The national numeracy strategy:

framework for teaching mathematics from reception to year 6. London: Her Majesty

Stationery Office.

DfEE. (1998a). The Implementation of the National Numeracy Strategy: The final report of the

Numeracy Task Force. London: DfEE.

DfEE (1998b). Framework for Numeracy. London: Department for Employment,

Standards and Effectiveness Unit.

Die, H. van (2010). De betekenis van de kerndoelen voor de vernieuwing van het

reken-wiskundeonderwijs. Reken-wisksundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling,

praktijk, 29 (4), 13-22.

Diels, P. & Nauta, J. (1936). Fundamenteel rekenen. Groningen: Wolters.

Dienes, Z. (1970). Wij bouwen wiskunde op. ’s-Hertogenbosch: Malmberg.

Dolk, M., Goffree, F. & Hertog, J. den (1997). Het fundament. Module ontworpen door het

MILE-team i.s.m. de aan het project MILE deelnemende opleiders. Utrecht:


Doornbos, K. (1985). Het schoolconcept van de nieuwe basisschool; vernieuwing en integratie.

Pedagogische Studiën, (62), 159-173.

Edelson, D. (2002). Design research: What we learn when we engage in design. The

journal of the learning sciences, 11 (1), 105-121.

Eerde, D. van, (1996). Kwantiwijzer. Diagnostiek van het reken-wiskundeonderwijs

(dissertatie). Tilburg: Zwijsen.

Eerde, D. van, Hajer, M., Koole, T. & Prenger, J. (2002). Betekenisconstructie in de

wiskundeles. De samenhang tussen interactief wiskunde- en taalonderwijs.

Pedagogiek, 22 (2), 134 – 147.

Expertgroep doorlopende leerlijn taal en rekenen (2008). Over de drempels met taal en

rekenen. Hoofdrapport van de Expertgroep Doorlopende leerlijnen Taal en Rekenen.

Enschede: Expertgroep Doorlopende leerlijnen Taal en Rekenen.Expertgroep

Doorlopende Leerlijnen bij Taal en Rekenen, (2007). Over de drempels met

taal en rekenen. Hoofdrapport van de expertgroep doorlopende leerlijnen bij

taal en rekenen. Enschede.

Fennema, E., Carpenter, T., Franke, M., Levi, L., Jacobs, V. & Empson, S.(1996). A

Longitudinal Study of Learning to Use Children’s Thinking in Mathematics

Instruction. Journal for research in mathematics education, 27, 403-434.

Fernandez, C. & Yoshida, M. (2004). Lesson study: A Japanese approach to improving

mathematics teaching and learning. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

Flexer, R. (1986). The power of five: the step before the power of ten. Arithmetic

teacher, 34, 5-10.

Fosnot, C. & Dolk , M. (2001). Young mathematicians at work: Constructing number sense,

addition and subtraction. Portsmouth: Heinemann.

326

Fosnot, C. & Dolk, M. (2002). Het leerlandschap (1). Panama-Post. Tijdschrift voor

nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 21 (2), 29–37.

Foxman, D. & Beishuizen, M. (2003). Mental calculation methods used by 11-year

olds in different attainment bands: A reanalysis of data from the 1987 APU

survey in the UK. Educational studies in mathematics, 51, 41-69.

Freudenthal, H. (1971). Geometry between the devil and the deep sea. Educational

studies in mathematics, 3, 413-435.

Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: Reidel.

Freudenthal, H. (1984a). Appels en peren / wiskunde en psychologie. Apeldoorn: Van

Walraven.

Freudenthal, H. (1984b). Didactische fenomenologie van wiskundige structuren. Utrecht:

OW&OC.

Freudenthal, H. (1987). Theorievorming bij het wiskundeonderwijs. Geraamte en

gereedschap. Panama-post, 5 (3), 4 – 15.

Freudenthal, H. (1989). Wiskunde fenomenologisch. Panama-post, 8 (2), 33 – 40.

Freudenthal, H. (1990a). Wiskunde fenomenologisch (aflevering 2). Panama-post, 8 (3),

11 – 20.

Freudenthal, H. (1990b). Wiskunde fenomenologisch (aflevering 3, slot). Panama-post,

8 (4), 51 – 61.

Freudenthal, H. (1991). Revisiting mathematics education. Dordrecht: Kluwer Academic.

Fuson, K., (1982). An analysis of the counting-on solution procedure in addition. In

T. Carpenter, J. Moser & T. Romberg (Eds.), Addition and subtraction: A cognitive

perspective. Hillsdale. N.J.: Erlbaum.

Fuson, K. (1988). Children’s counting and concepts of number. New York: Springer-Verlag.

Fuson, K. (1992). Research on whole numbers addition and subtraction. In D.

Grouws (Ed.), Handbook of research in mathematics teaching and learning (pp. 243 –

275). New York: Macmillan.

Fuson, K. & Fuson, A. (1992). Instruction Supporting Children’s Counting On for

Addition and Counting Up for Subtraction, Journal for research in mathematics

education, 23 (1), 52–78.

Fuson, K., Wearne, D., Hiebert, J., Murray, H., Human, P., Olivier, A., Carpenter, T.

& Fennema, E. (1997). Children's Conceptual Structures for Multidigit

Numbers and Methods of Multidigit Addition and Subtraction. Journal for

research in mathematics education, 28(2), 130-162.

Fuson, K. & Smith, S. (1997). Supporting multiple 2-digit conceptual structures and

calculation methods in the classroom: Issues of conceptual supports,

instructional design, and language. In M. Beishuizen, K. Gravemeijer & E.

327

van Lieshout (Eds.). The role of contexts and models in the development of mathematical

strategies and procedures (pp.163 – 198). Utrecht: Freudenthal Instituut.

Ginsburg, H. (1977). Children’s arithmetic: The learning process. New York: Van Nostrand.

Goddijn, A. (2005). Breuk, komma, getal. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het

reken-wiskundeonderwijs, 24, 2, 30-36.

Goei, E. de (2001). Aftrekken volgens een standaardprocedure (1). Tijdschrift voor

nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 20 (2), 12-20.

Goei, E. de (2002). Aftrekken volgens een standaardprocedure (2). Tijdschrift voor

nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 20 (3), 3-9.

Goffree, F. (1982). Wiskunde & didactiek, deel 1 [Mathematics and pedagogics, part 1].

Groningen: Wolters-Noordhoff.

Gravemeijer, K., (1983). De grondslagen van het programma Rekenen en Wiskunde.

Rotterdamse mededelingen 87. Rotterdam: Project OSM.

Gravemeijer, K. (1987). Three dimensions – een model voor doelen

theoriebeschrijving. Panamapost, 5(3), 46-55.

Gravemeijer, K. (1988). De grondslagen van het programma ‘Rekenen en Wiskunde’.

Achtergronden programma-ontwikkeling project O.S.M.. Rotterdam: Project

Onderwijs en Sociaal Milieu.

Gravemeijer, K. (1994). Developing realistic mathematics education. Utrecht: CD-β

Press.

Gravemeijer, K. (1995a). Onderwijsontwikkeling in de praktijk. In M. Dolk (Red.)

Vijfentwintig jaar ontwikkeling reken-wiskundeonderwijs – verleden, heden,

toekomst, 21-32. Utrecht: NVORWO.

Gravemeijer, K. (1995b). Het belang van social norms en socio-math norms voor

realistisch reken-wiskunde onderwijs. Tijdschrift voor nascholing en

onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs. 14 (2), 17-21.

Gravemeijer, K. (1996). Polsstok of prothese. Paper gepresenteerd op de Panama

voorjaarsdag 1996.

Gravemeijer, K. (1997). Instructional design for reform mathematics education. In M.

Beishuizen, K.P.E. Gravemeijer & E.C.D.M. van Lieshout (Eds.), The role of

contexts and models in the development of mathematical strategies and

procedures (pp. 13-34). Utrecht: Technipress, Culemborg.

Gravemeijer, K. (1998a). Developmental research as a research method. In J.

Kilpatrick & A. Sierpinska (Eds.), Mathematics education as a research

domain: A search for identity (An ICMI study) (Vol. 2 ,pp. 277–295).

Dordrecht: Kluwer Academic.

Gravemeijer, K. (1998b). Symboliseren en modelleren als wiskundige activiteit. In N.

Boswinkel & M. Dolk (Red.). Over rekenen gesproken – taal in/en rekenen

(pp. 35 – 51). Utrecht: Panama/Freudenthal Instituut.

328

Gravemeijer, K. (1999a). How emergent models may foster the constitution of formal

mathematics. Mathematical thinking and learning, 1, 155–177.

Gravemeijer, K. (1999b). Van concreet naar formeel. In W. Faes & W. Oonk (Red.),

Van Rekenend Nederland voor Fred Goffree. 65/2 Onderwijsverhalen voor

pabostudenten (pp. 62-64). Groningen: Wolters Noordhof.

Gravemeijer, K. (2000). Meten als basis voor het rekenen met de lege getallenlijn.

Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs,

18 (3), 37 – 46.

Gravemeijer, K. (2002). Preambule: From models to modeling. In K. Gravemeijer, R.

Lehrer, B. van Oers & L. Verschaffel (Eds.), Symbolizing, modeling and tool

use in mathematics education (pp. 7–12). Dordrecht: Kluwer Academic.

Gravemeijer, K. (2003a). Didactisch gebruik van de lege getallenlijn, Een persoonlijk

perspectief. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-

wiskundeonderwijs, 21 (2), 11 – 23.

Gravemeijer, K. (2003b). Betekenisvol Rekenen. Willem Bartjens, 22 (4), 5 – 8.

Gravemeijer, K. (2004). Local instruction theories as means of support for teachers in

reform mathematics education. Mathematical thinking and learning, 6(2),

105–128

Gravemeijer, K. (2005). Revisiting ‘mathematics education, revisited. In H. ter Heege,

T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.). Freudenthal 100 (pp. 106-113).

Utrecht: Freudenthal instituut..

Gravemeijer, K. (2006). Dyscalculie of ernstige rekenproblemen: een vakdidactisch

perspectief. In M. Dolk, M. en M. van Groenestijn (Eds.), Dyscalculie in

discussie (pp. 34-42). Assen: Van Gorcum.

Gravemeijer, K. (2007). Emergent modelling as a precursor to mathematical

modelling. In W. Blum, P. Galbraith, H-W, Henn & M. Niss (Eds.),

Modelling and Applications in Mathematics Education. The 14th ICMI study.

New ICMI study series Vol. 10 (pp. 137-144). New York: Springer.

Gravemeijer, K., Heuvel-Panhuizen, M. van den, Dinselaar, G. van de, Ruesink, G.,

Streefland, N., Vermeulen, W., Woerd, E. te & D. van der Ploeg (1993).

Methoden in het reken-wiskundeonderwijs, een rijke context voor vergelijkend onderzoek.

Utrecht: CDβ-press.

Gravemeijer, K. & Cobb, P. (2001). Designing classroom-learning environments that support

mathematical learning. Paper presented at the Conference of the American

Educational Research Association. Seattle: WA.

Gravemeijer, K. & Keizer, R. (2002). Kerndoelen in discussie. Tijdschrift voor nascholing

en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs. 20 (4), 3-6.

Gravemeijer, K. & Eerde, D. van (2004). Verschil maken. Tijdschrift voor nascholing en

onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 23 (1), 3 – 15.

329

Gravemeijer, K. & Cobb, P. (2007). Ontwikkelingsonderzoek als methode voor

onderzoek rond innovatieve leergangen. Pedagogische studiën, 84(5), 330-339.

Gray, E. (1994) Spectrums of performance in two digit addition and subtraction in: J.

P. Ponte $ J. F. Matos. (Eds.) Proceedings of the 18th International Conference for the

Psychology of Mathematics Education. Lisbon, Portugal.

Gray, E. & Tall, D. (1994). Duality, Ambiguity and Flexibility: A proceptual view of

simple arithmetic. The journal for research in mathematics education. 26 (2), 115-141.

Greer, B., & Verschaffel, L. (Eds) (1997). Wor(l)d problems in elementary school

mathematics. (Special issue). Learning and instruction, 7, 293-397.

Groen, G. & Parkman, J. (1972). A chronometric analysis of simple addition.

Psychological review. 79, 329-343.

Groen, G. & Poll, M. (1973). Subtraction and the solution of open sentence problem.

Journal of experimental child psychology,16, 92-302.

Groenewegen, J. & Gravemeijer, K. (1988). Rekenen en Wiskunde, Achtergronden

programma-ontwikkeling project OSM. Het leren van de basisautomatismen voor optellen

en aftrekken. Rotterdam, Project Onderwijs en Sociaal Milieu.

Harskamp, E. & Suhre, C. (1995). Hoofdrekenen in het speciaal onderwijs. Groningen:

GION.

Hatano, G. (1982). Learning to add and subtract: a Japanese perspective. In: T.

Carpenter, J. Moser & T. Romberg (Eds.). Addition and subtraction: a cognitive

perspective, (pp. 211-224). Hillsdale: Lawrence Erlbaum.

Heijden, M. van der & Beishuizen, M. (1986). Rekenmiddelen en hoofdrekenen.

Panama-post, 4, 25 – 29.

Heijden, M. van der (1988). Onderwijs in handig rekenen – wanneer, aan wie en hoe?

Enkele kantekeningen bij de ‘Proeve…’(1) en (2). Panama-post, 6 (3), 29 – 31.

Heijden, M. van der (1993). Consistentie van aanpakgedrag – een procesdiagnostisch onderzoek

naar acht aspecten van hoofdrekenen (dissertatie). Lisse, Swets & Zeitlinger.

Heuvel-Panhuizen, M. van den (2005). Twee ‘didacticikids’ over de lege getallenlijn.

In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.). Freudenthal 100 (pp.

82-89). Utrecht: Freudenthal instituut.

Heuvel-Panhuizen, M. van den & Goffee, F. (1986). Zo rekent Nederland. Enschede:

SLO.

Heuvel-Panhuizen, M. van den & Vermeer, H. (1999). Verschillen tussen meisjes en jongens

bij het vak rekenen-wiskunde op de basisschool. Eindrapport MMOJ onderzoek.

Utrecht: CDβ-press.

Heuvel-Panhuizen, M. van den, Buys, K. & Treffers, A. (Eds.) (2001). Kinderen leren

rekenen. Tussendoelen annex leerlijnen. Hele getallen bovenbouw basisschool. Groningen:

Wolters-Noordhoff.

330

Heuvel-Panhuizen, M., van den & Eggen, T. (2011). Verbetering toetspraktijk.

Onderzoeksvoorstel oor R&D onderzoek naar rekenen in het primair onderwijs. FIsme /

Universiteit Utrecht

Hiebert, J. (Ed.) (1986). Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics.

Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.

Hiebert, J. & Wearne, D. (1993). Instructional tasks, classroom discourse and students'

learning in second-grade arithmetic. American educational research journal, 30,

393- 425.

Hiebert, J. & Wearne, D. (1996). Instruction, understanding and skill in multidigit

addition and subtraction. Cognition and instruction, 14, 251-284.

Hiebert, J., Carpenter, T., Fennema, E., Fuson, K., Human, P., Murray, H., Olivier, A.

& Wearne, D. (1997). Problem-solving as a basis for reform in curriculum and

instruction: the case of mathematics. Educational researcher 25, 12-21.

Hiebert, J., Carpenter, T., Fennema, E., Fuson, K., Wearne, D., Murray, H., Olivier,

A. & Human, P. (1997). Making sense: Teaching and learning mathematics with

understanding. Portsmouth, NH: Hienemann.

Hiebert, J. & Grouws, D. (2007). The effects of classroom mathematics teaching on

students’ learning. In F. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics

teaching and learning (pp. 371- 404). Greenwich, CT: Information Age

Publishing.

Hiele, P. van (1973). Begrip en inzicht. Purmerend, Muusses.

Hiele, P. van (1981). Struktuur. Purmerend: Muusses.

Hoogenberg, E. & Paardekooper, E. (1995). Strategiegebruik en getalkenmerken bij

redactiesommen en contextopgaven tot 20 en 100 (doctoraalscriptie). Leiden.

Hope, J. (1986). Mental calculation: Anachronism or basic skill? In H. Schoen & M.

Zweng (Eds). Estimation and mental computation (pp. 45-54). Reston: NTCM.

Houtveen, A. (1994). Onderwijs op maat in het basisonderwijs. Utrecht: ISOR

Huitema, S. (1988). We overvragen de basisschool. Balans van het rekenonderwijs in de

basisschool. Uitkomsten van de eerste rekenpeiling medio en einde basisonderwijs (pp. 163-

168). Arnhem: Cito (PPON-reeks nr. 1).

Huitema, S. (1991). Meer hoofdrekenen en minder cijferen. Willem Bartjens, 11 (1), 4 –

8.

Inspectie van het onderwijs (1996). Onderwijs-op-maat in het primair onderwijs:

Toetsingskader. Arnhem: Inspectie van het onderwijs.

Inspectie van het onderwijs (2000). Onderwijsverlag 1999/2000. Utrecht: Inspectie van

het onderwijs.

Inspectie van het onderwijs, (2002). De kwaliteit van het speciaal basisonderwijs. Nulmeting

bij een nieuw schooltype. Utrecht: Inspectie van het onderwijs.

331

Inspectie van het onderwijs (2004). Onderwijsverlag 2003/2004. Utrecht: Inspectie van

het onderwijs.

Inspectie van het onderwijs, (2007). De kwaliteit van het speciaal basisonderwijs in 2005 en

2006. Utrecht: Inspectie van het onderwijs.

Internationaal perspectief. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-

wiskundeonderwijs,15 (2), 40-45.

Jansen, H. (1973). Wat hoofdrekenen is, weet iedereen, Wiskobasbulletin, 2(3), 784-786.

Janssen, J., Kraemer, J-M & Noteboom, A. (1995). Leerlingvolgsysteem Rekenen-Wiskunde

voor goep 3 en 4. Arnhem: Cito.anssen, J., Kramer, J-M & Noteboom, A. (1996).

Leerlingvolgsysteem Rekenen-Wiskunde voor goep 5 en 6. Arnhem: Cito.


voor goep 5 en 6. Arnhem: Cito.


voor goep 7 en 8. Arnhem: Cito.

Janssen, J., Schoot, F. van der, Hemker, B. & Verhelst, N. (1999). Balans van het reken-

wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 3. Uitkomsten van de derde peiling in

1997. Arnhem, Cito. (PPON-reeks nr. 13).

Janssen, J., Scheltens, F. & Kraemer, J.M. (2007). Leerling- en onderwijsvolgsysteem.

Handleiding groep 5. Arnhem: Cito.

Jaspers, M. & Lieshout, E. van (1991). Training specific modelling strategies for word problem

solving in a computer assisted instruction program. Lisse: Swets & Zeitlinger

Publishers.

Jong, R. de (Ed.) (1977). De abakus [The abacus]. Utrecht: IOWO.

Jong, R. de (1985). Een opmerkelijke omwenteling. In: E. de Moor (ed.),

Panamacursusboek 3. Reken-wiskundeonderwijs anno 1984. Utrecht: SOL / OW &

OC.

Jong, R. de (1986). Wiskobas in methoden (dissertatie). Utrecht: OW & OC.

Joode, M. de (1996). Rekenstrategieën bij redactiesommen en contextopgaven in

Groep 5. (doctoraalscriptie). Leiden Universiteit.

Keijzer, R. (2000). Derde PPON-peiling: terugblik en overwegingen. In R. Keijzer &

W. Uittenboorgaard, Tien jaar PPON – lessen voor de toekomst (pp. 11-21).

Utrecht: Panama/Freudenthal Instituut.

Keijzer, N., Figueiredo, N., Galen, F. van, Gravemeijer, K. & Herpen, E. van (2005).

Breuken procenten, kommagetallen en verhoudingen. Tussendoelen annex leerlijnen.


Kilpatrick, J. (1992). A history of research in mathematics education. In D. Grows

(Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning. New York, NY:

Macmillan.

332

Klein, A. (1998). Flexibilization of mental arithmetic strategies on a different knowledge base: the

empty number line in a realistic versus gradual program design (dissertatie). Utrecht:

CD-β Press/Freudenthal Insitituut.

Klein, A. & Beishuizen, M. (1994). Flexibilisering van rekenstrategieën op een

verschillende kennisbasis. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-

wiskundeonderwijs, 13 (1), 32 – 38.

Klein, A., Beishuizen, M. & Treffers, A. (1998). The empty number line in Dutch

second grades: Realistic versus gradual program design. Journal for research in

mathematics education, 29(4), 443-464.

Klep, J. (2002). Kerndoelen rekenen-wiskunde in een politiek krachtenveld.

Voorstellen voor kerndoelen rekenen-wiskunde. Tijdschrift voor nascholing en

onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 20 (4), 11-16.

KNAW-commisie (2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering.

Amsterdam: Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen.

Kouba, V., Brown, C., Carpenter, T., Lindquist, M., Silver, E. & Swafford, J. (1988).

Results of the fourth NAEP assessment of mathematics: Numbers,

operations, and word problems. Arithmetic teacher, 35(8), 14-19.

Kraemer, J-M. (1995a). Rekenen-wiskunde. Hulpboek groep 3 en 4. Arhnem: Cito.

Kraemer, J-M. (1995b). Beleidsvoorwaarden voor een voortgezette

onderwijsontwikkeling. In M. Dolk (Red.) Vijfentwintig jaar ontwikkeling reken-

wiskundeonderwijs – verleden, heden, toekomst, (pp. 9-20). Utrecht: NVOWO.

Kraemer, J-M. (1996a). Rekenen-wiskunde. Hulpboek groep 5 en 6. Arhnem: Cito.

Kraemer, J-M. (1996b). Aanknopingspunten voor de versterking van het aanvankelijk

rekenen in LOM- en MLK-scholen. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het

reken-wiskundeonderwijs. 14 (2), 3-16 en 14(3), 3-16.

Kraemer, J-M. (1996c). Aanknopingspunten voor de versterking van het aanvankelijk

rekenen in LOM- en MLK-scholen. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het

reken-wiskundeonderwijs, 14 (3), 3-16.

Kraemer, J-M. (2002/2003). Hulpboek groep 3 t/m 6. Euro uitgave. Arhnem: Cito.

Kraemer, J-M. (2009a). Drempelverleggend leren en onderwijzen met LOVS.

Rekenwiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk. 27(3/4), 88-103.

Kraemer, J-M. (2009b). Ideeën, handelingen en symboliseringen van leerlingen als

leerinhouden. In:M. van Zanten (Ed.). Leren van evalueren – de lerende in beeld bij

reken-wiskundeonderwijs -. Utrecht: Panama / FIsme / Universiteit Utrecht.

Kraemer, J-M. (2010). Balans (40) van de strategieën en procedures bij het hoofdrekenen

halverwege de basisschool. Uitkomsten van de peiling in 2005. Arnhem: Cito.

Kraemer, J-M., Schoot, F. van der & Rijn, P. van (2009). Balans (39) van het reken-

wiskundeonderwijs in het speciaal basisonderwijs. Uitkomsten van de derde peiling in

2006. Arnhem: Cito.

333

Kraemer, J-M., Nelissen, J. & Janssen, J. (1996). Nascholingscursus rekenen-wiskunde, groep

3-4. Cito: Arnhem.

Kraemer, J-M., Janssen, J., Schoot, F. van der & Hemker, B. (2005). Balans van het

rekenwiskundeonderwijs halverwege de basisschool 4. Uitkomsten van de vierde peiling in

2003. PPON-reeks 31. Arnhem, Cito.

Kraemer, J-M. & Jansen, C. (2010). Ontwikkelingsgericht diagnosticeren & plannen in het

speciaal basisonderwijs. Rapportage van een experiment in het kader van het vaststellen van

het ontwikkelingsperspectief van leerlingen in het sbo (Interne nota).

Labinowicz. E (1985). Learning from children. Menlo Park, CA: Addison-Wesley

Publishing Company.

Lampert, M. (1990). When the problem is not the question and the solution is not the

answer. American educational research journal, 27(1), 29-64.

Lesh, R., & Yoon, C. (2004). Evolving communities of mind---in which development

involves several interacting and simultaneous developing strands. Mathematical

thinking & learning, 6(2), 205-226.

Levin, J. (1981) Estimation techniques for mathematics: every day math and

mathematics instruction. Educational studies in mathematics, 12, 421-435.

Lieshout, E. van (1997). What can research on word and context problems tell about

effective strategies to solve subtraction problems. In M. Beishuizen, K.

Gravemeijer, & E. van Lieshout (Eds.), The role of contexts and models in the

development of mathematical strategies and procedures (pp. 79-111). Utrecht: CDβ

Press.

Lorenz, J. & Radatz, H. (1993). Handbuch des Förderns im Mathematikunterricht.

Hannover, Schroedel.

Luit, J. van (1988). Naar een verfijning van de ‘Proeve van een nationaal programma

voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool’ (2) ten behoeve van het

speciaal onderwijs. Panama-post, 6 (3), 23 – 26.

Maddel, R. (1985). Children’s natural processes. The arithmetic teacher, 32, 7, 20-22.

McIntosh, A., Reys, B. & Reys, R. (1992). A proposed framework for examining basic

number sense. For the learning of mathematics, 12(3), 2-8.

McKnight, C., Crosswhite, F., Dossey, J., Kifer, E., Swafford, J., Travers, K. &

Cooney, T. (1987). The underachieving curriculum: Assessing U.S. school mathematics

from an international perspective. Champaigne, IL: Stipes.

Melissen, M. & Drent, M. (2008). TIMSS 2007 Nederland. Trends in leerprestaties in exacte

vakken in het basisonderwijs. Enschede: Universiteit Twente.

Menne, J. (2001). Met sprongen vooruit. Een productief oefenprogramma voor zwakke rekenaars

in het getallengebied tot 100 – een onderwijsexperiment (dissertatie). Utrecht:


334

Menne, J. (2004). Geschiedenis van de lege getallenlijn. Tijdschrift voor nascholing en

onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 20 (1), 3 – 14.

Ministerie van Onderwijs en Wetenschappen (1992). Wet op de basisvorming. Staatsblad

270. Den Haag: Ministerie van Onderwijs en Wetenschappen.

Ministerie van Onderwijs en Wetenschappen (1993). Besluit kerndoelen voor het

basisonderwijs. Den Haag: Sdu.

Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen (1998). Kerndoelen basisonderwijs

1998. Den Haag: Sdu.

Mommers, C. & Janssen, G. (1997). De toekomst van het basisonderwijs. In Zwijsen,

een passie voor uitgeven, (pp. 243-245). Tilburg: Zwijsen.

Moor, E. de (1980). Gevarieerd rekenen. Leerplanpublikatie 11. Wiskobas-Bulletin, 9 (1/2/9)

Utrecht: IOWO, Rijksuniversiteit Utrecht.

Mulken, F. van (1992). Hoofdrekenen en strategisch handelen. Het gevarieerd gebruik van twee

grondvormen van optellen en aftrekken tot honderd (dissertatie). Leiden.

Mullis, I., Martin, M., Olson, J., Berger, D., Milne, D. & Stanco, G. (2008). TIMSS-

2007 Encyclopedia. A guide to mathematics and science education around the world. Part

2, Boston: Boston College, TIMSS & PITLS International Study Center.

NCTM (1980). An agenda for action. Recommendations for school mathematics of the 1980’s.

Reston, NCTM.

NCTM (1991). Professional standards for teaching mathematics. Reston, VA: NCTM.

NCTM Research Advisory Committee. (1996). Justification and reform. Journal for

research in mathematics education, 27, 516–520.

Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek (2010).

Programmeringsstudie Rekenonderzoek in het primair onderwijs Rekenonderzoek in het

primair onderwijs. Den-Haag: NOWO.

Nelissen, J. (1987). Kinderen leren wiskunde. Een studie over constructie en reflectie in het

basisonderwijs. Gorinchem: De Ruiter.

Netelenbos, T. (1995). De school als lerende organisatie. Den Haag: Sdu.

Nieland, J. (1986). Wat was en is hoofdrekenen eigenlijk? Tijdschrift voor nascholing en

onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 5, 1, 3-6

Noteboom, A., Schoot, F. van der, Janssen, J. & Veldhuijzen, N. (2000). Balans van het

rekenwiskundeonderwijs halverwege de basisschool 3. Uitkomsten van de derde peiling in

1997. PPON-reeks 15. Arnhem, Cito.

Nye, B., Konstantopoulos, S. & Hedges, L. (2004). How large are teacher effects?

Educational evaluation and policy analysis. 26(3), 237-257.

Onderwijsraad (1999). Zeker weten. Leerstandaarden als basis voor toegankelijkheid. Den

Haag: Onderwijsraad.

335

Papert, S. (1980). Mindstorms: Children, computers, and powerful ideas. New York: Basic

Books.

Paulos, J. (1988). Innumeracy. Mathematical illiteracy and its consequences. New York: Hill &

Wang.

Piaget, J. (1972). The principles of genetic epistemology. London: Routledge & Kegan Paul.

Plunkett, S. (1979). Decomposition and all that rot. Mathematics in school, 8(3), 2–5.

Prenger, J. (2005). Taal telt! Een onderzoek naar de rol van taalvaardigheid en tekstbegrip in het

realistisch wiskundeonderwijs (dissertatie). Groningen: Rijksuniversiteit

Groningen.

Prenger, J. (2007) Met taal kun je rekenen. De rol van taalvaardigheid en tekstbegrip

bij het oplossen van een wiskundeopgave. Volgens Bartjens...Tijdschrift voor

rekenwiskundeonderwijs, jaargang 26, 4 – 7.

Putnam, H. (1988). Representation and reality. Cambridge: Bradford books.

Radatz, H. (1980). Student’s errors in mathematical learning process: a survey. For the

learning of mathematics, 16-21.

Rademakers, G., Putten, C. van, Beishuizen, M. & Janssen, J. (2004). Traditionele en

realistische algoritmen bij het oplossen van deelsommen in groep 8. Tijdschrift

voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 23 (4), 3 – 7.

Resnick, L. (1981). Instructional psychology. Annual review of psychology, 32, 659-704.

Resnick, L. (1987). Syntax and semantics in learning to subtract. In T. Carpenter, J.

Moser & T. Romberg (Eds.), Addition and subtraction: A cognitive perspective (pp.

41-97). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.

Resnick, L. & Ford, W. (1981). The psychology of mathematics for instruction. Hillsdale, NJ:

Erlbaum.

Reys, B. (1985). Mental computation. Arithmetic teacher, 32(6), 43-46.

Reys, B. & Reys, R. (1986). Mental computation and computational estimation – their

time has come. The arithmetic teacher, 33, 4-6.

Rezigt, G.J. (1993). Effecten van differentiatie op de basisschool. Groningen: RION.

Rohlen, T. P. (1983). Japan's high schools. Berkeley: University of California Press.

Schifter, D. (1996). What's happening in math class? Reconstructing professional identities. Vol.

2. New York: Teachers College Press.

Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. New York: Academic Press.

Schoot, F. van der (2001). Standaarden voor kerndoelen basisonderwijs. De ontwikkeling van

standaarden voor kerndoelen basisonderwijs op basis van de resultaten uit peilingsonderzoek

(dissertatie). Arhnem: Cito.

Schoot, F. van der (2002). Aanwijzingen voor de toetsleiders (Interne nota). Arnhem: Cito,

336

Schoot, F. van der (2008). Onderwijs op peil? Een samenvattend overzicht van 20 jaar PPON.

Arhnem: Cito.

Schoot, M. van der, Reijntjes, A. & Lieshout, E. van (2011). How do children deal

with inconsistencies in text? An eye fixation and self-paced reading study in

primary school children. Reading and writing: An interdisciplinary journal

Schoot, M. van der, Vasbinder, A., Horsley, T., Reijntjes, A. & Lieshout, E. van

(2009). Lexical ambiguity resolution in good and poor comprehenders: An eye

fixation and self-paced reading study in primary school children. The journal of

educational psychology, 101(1), 21-36.

Selter, C. (1996). Doing mathematics while practicing skills. In C. van den Boer & M.

Dolk (Eds.), Modellen, meten en meetkunde. Paradigma’s van adaptief onderwijs (pp.

31-44). Utrecht: Freudental Instituut.

Selter, C. (1997). Instructional design for teacher education. In M. Beishuizen, K.

Gravemeijer, & E. van Lieshout (Eds.), The role of contexts and models in the

development of mathematical strategies and procedures (pp. 55-78). Utrecht: CD-β

Press / Freudenthal Instituut.

Selter, C. (2002). Addition and subtraction of three-digit numbers: German elementary

children’s success, methods and strategies. Educational studies in mathematics, 47,

145-173.

Selter, C. & Sundermann, B. (1997). Engenproduktionnen – von Anfang an! Die

Grundschulzietschrift, 110, 12-15.

Senge, P., Cambron, N., Lucas, T., Smith, B., Dutton, J. & Kleiner, A. (2000). Het vijfde

discipline Praktijkboek. Strategieën en instrumenten voor het bouwen van een lerende

organisatie. Schoonhoven: Academic Service.

Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on

processes and objects as different sides of the same coin. Educational studies in

mathematics, 22, 1-36.

Simon, M. (1995). Reconstructing mathematics pedagogy from a constructivist

perspective. Journal for research in mathematics education, 26(2), 114-145,

Simon, M. (2001). De rol van de leerkracht in het bevorderen van begripontwikkeling.

In R. Keizer & W. Uittenbogaard. Uit de lengte of uit de breedte - de kwaliteit van het

meetonderwijs (pp. 71-82). Utrecht: Panama/Freudenthal Instituut.

Simon, M. & Tzur, R. (2004) Explicating the role of mathematical tasks in conceptual

learning: An elaboration of the hypothetical learning trajectory. Mathematical

thinking and learning, 6, 91-104.

Slavin, R. & Lake, C. (2008). Effective programs in elementary mathematics. A best-

evidence syntheses. Review of educational research, 78, 427-515

337

Song, M., & Ginsburg, H. (1987). The development of informal and formal

mathematical thinking in Korean and U.S. children. Child development, 58, 1286-

1296.

Steffe, L., Thompson, P. & Richards, J. (1982). Children’s counting in arithmetical

problem solving. In T. Carpenter, T. Romberg & J. Moser (Eds.), Children’s

arithmetic: A cognitive perspective (pp. 83-98). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.

Steffe, L., Glasersfeld, E. von, Richards, J. & Cobb, P. (1983). Children’s counting types.

Philosophy, theory and application. New York: Praeger Publishers.

Steffe, L. (2004). On the construction of learning trajectories for children: The case of

commensurate fractions. Mathematical thinking and learning, 26(2), 129-162.

Stein, M., Grover, B. & Silver, E. (1991). Changing instructional practice: A

conceptual framework for capturing the details. In R. Underhill (Ed.),

Proceedings of the thirteenth annual meeting of the north American chapter of the

International group for the Psychology of mathematics education, Vol. 1 (pp 36-41).

Virginia: Virginia Tech.

Stein, M., Remillard, J. & Smith, M. (2007). How curriculum influences student

learning. In F. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and

learning (pp. 319-369) . Charlotte, NC: Information Age.

Stephan, M. (1998). Supporting the development of one first-grade classroom’s conception of

measurement: Analyzing student’s learning in social context. Unpublished doctoral

dissertation. Vanderbilt University, Nashville, TN.

Stephan, M., Bowers, J., Cobb, P., & Gravemeijer, K. (Eds.) (2004). Supporting

students’ development of measuring conceptions: Analyzing students’

learning in social context. Journal for research of mathematics education monograph,

12.

Stephan, M., Cobb, P., Gravemeijer, K. & Estes, B. (2001). The role of tools in

supporting students’ development of measuring conceptions. In A. Cuoco

(Ed.), The roles of representation in school mathematics (pp. 63–76). Reston, VA:

National Council of Teachers of Mathematics.

Stevenson, H., Lee, S. & Stigler, J. (1986). Mathematics achievement of Chinese,

Japanese, and American children. Science, 231, 693-699.

Stigler, J., Lee, S. & Stevenson, H. (1990). The mathematical knowledge of Japanese, Chinese

and American elementary school children. Reston, VA: NCTM.

Stigler, J. & Hiebert, J. (1997). Understanding and improving classroom mathematics

instruction: an overview of the TIMSS video study. Phi delta kappan, 79, 14-21.

Stigler, J. & Hiebert, J. (1998). Teaching is a cultural activity. American educator, 4-10.

Straker, A. (1999). The national numeracy project 1996 – 99. In I. Thompson (Ed.),

Issues in teaching numeracy in primary school (pp. 39-48). Buckingham: Open

University Press.

338

Streefland, L. (1998) Realistisch breukenonderwijs (dissertatie). Utrecht: Freudenthal

Instituut.

Tall, D. (2006). A theory of mathematical growth through embodiment, symbolism en

proof. Annales de didactique et de sciences cognitives, 11, 195-215. Strasbourg: IREM

TAL-team (1999). Jonge kinderen leren rekenen. Tussendoelen Annex Leerlijnen. Hele Getallen.

Onderbouw Basisschool. Groningen, Wolters-Noordhoff. Groningen, Wolters-

Noordhoff.

Theunissen, J. (1988). Een hoge norm. In J. Wijnstra (Red.). Balans van het rekenonderwijs

in de basisschool. Uitkomsten van de eerste rekenpeiling medio en einde basisonderwijs,

(pp. 169-181). Arnhem: Cito (PPON-reeks nr. 1).

Thompson, A., Philipp, R., & Thompson, P. (1994). Calculational and conceptual

orientation in teaching mathematics. 1994 Yearbook of the NCTM. Reston:

National Council of Teachers of Mathematics

Thompson, A., Philipp, R., Thompson, P. & Boyd, B. (1994). Calculational and

conceptual orientations in teaching mathematics. In A. Coxford (Ed.), 1994

Yearbook of the NCTM (pp. 79-92). Reston: NCTM.

Thompson, A. & P. Thompson (1996). Talking about rates conceptually, part II:

Mathematical knowledge for teaching. Journal for research in mathematics education,

29, 121-142.

Thompson, I. (Ed.) (1997). Teaching and learning early number. Buckingham (UK): Open

University Press.

Thompson, I. (Ed.) (1999). Issues in teaching numeracy in primary school. Buckingham (UK):

Open University Press.

Thompson, I. (2000). Mental calculation strategies for addition and subtraction – Part

2. Mathematics in school, Volume 29 (1), 24-26.

Thompson, I. (2003) Deconstructing the National Numeracy Strategy’s approach to

calculation. In I. Thompson (Ed.), Enhancing primary mathematics teaching, (pp.

16-28). Maidenhead: Open University Press.

Thompson, P. (1993). Quantitative reasoning, complexity, and additive structures.

Educational studies in mathematics, 25(3), 165-208.

Thompson, P. & Saldanha, L. (2003). Fractions and multiplicative reasoning. In J.

Kilpatrick, G. Martin & D. Schifter (Eds.), Research companion to the principles and

standards for school mathematics (pp. 95-114). Reston: NTCM

Thurston, W.P. (1990). Mathematical education. Notices of the American mathematical

society, 27 (7), 844-850.

Timminga, E. & Swanborn, M. (2010). Stand van Zaken Opbrengstgericht werken in het

Basisonderwijs bij Rekenen-wiskunde. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs.

339

Torbeyns, J., Smedt, B. de, Ghesquière, P. & Verschaffel, L. (2009). Acquisition and

use of shortcut strategies by traditionally-schooled children. Educational studies

in mathematics. 71 (1), 1-17.

Torbeyns, J., Smedt, B. de, Stassens, N., Ghesquière, P. & Verschaffel, L. (2009).

Solving subtraction problems by means of indirect addition. Mathematical

teaching and learning, 11, 79-91.

Treffers, A. (1975). De kiekkas van Wiskobas. Utrecht: IOWO.

Treffers, A. (1978). Wiskobas doelgericht (dissertatie). Utrecht: IOWO.

Treffers, A. (1982a). Cijferen in het rekenonderwijs van toen en nu. Pedagogische Studiën

(59) 97-115.

Treffers, A. (1982b). Basisalgoritme in het wiskunde-onderwijs op de basisschool.

Pedagogische Studiën, 59 ,471-483.

Treffers, A. (1983). Geïntegreerd cijferen volgens progressieve schematisering.

Pedagogische Studiën 60, 351 – 362.

Treffers, A. (1985). Reken-wiskundeonderwijs in historisch perspectief. In E. de Moor

(Ed.), Panama cursusboek 3. Reken- wiskundeonderwijs anno 1984 (pp. 9-15). Utre

cht: OW & OC.

Treffers, A. (1986). Analyseren en ontwikkelen van reken/wiskunde-onderwijs vanuit

twee verschillende basisconcepties. Pedagogische studiën (63), 97-115.

Treffers, A. (1987). Three dimensions: A model of goal and theory description in mathematics

instruction. The Wiskobas project. Dordrecht: Kluwer.

Treffers, A. (1988). Over de merkbare invloed van onderwijsmethoden op

leerprestaties. In J. Wijnstra, (Red.) (1988). Balans van het rekenonderwijs in de

basisschool. Uitkomsten van de eerste rekenpeiling medio en einde basisonderwijs (pp. 181

– 190). Arnhem: Cito (PPON-reeks nr. 1),

Treffers, A. (1989). Het voorkomen van ongecijferdheid op de basisschool (oratie). Utrecht: OW

& OC.

Treffers, A. (1991a). Realistic mathematics education in the Netherlands 1980-1990.

In L. Streefland (Ed.) Realistic Mathematics Education in primary school (pp. 11-

20).Utrecht: CD β Press.

Treffers, A. (1991b). Hoofdrekenen toen en nu. In M. Dolk & E. Feijs, (Eds.).

Panamacursusboek 9: Deskundigheid. (pp. 41–47). Utrecht: OW&OC.

Treffers, A. (1993). Wiskobas en Freudenthal realistic mathematics education.

Educational studies in mathematics, 25, (1-2), 89-108.

Treffers A. (1994a). Basale (on)gecijferdheid. In M. Dolk, H. van Luit & E. te Woerd

(Red.). Speciaal rekenen. Utrecht: Panama/HMN/FI, 11-28.

Treffers A. (1994b). Het voorkomen van ongecijferdheid op de basisschool (oratie). Utrecht: OW

& OC, Rijksuniversiteit Utrecht.

340

Treffers, A., (1999a). Rekenen tot twintig (1), Willem Bartjens, 18 (4), 4–9.

Treffers, A., (1999b). Rekenen tot 20. In A. Treffers, M. van den Heuvel-Panhuizen &

K. Buys (Eds.). Jonge kinderen leren rekenen (pp. 45-71). Groningen:

Wolters-Noordhoff.

Treffers, A. (2005). De (on)navolgbare Freudenthal. In H. ter Heege, T. Goris, R.

Keijzer & L. Wesker (Red.). Freudenthal 100 (pp.135-144).Utrecht: Freudenthal

instituut,

Treffers, A. (2010). De stille revolutie. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling,

praktijk, 29 (4), 13-11.

Treffers, A. & Moor, E. de (1984). 10 voor de basisvorming rekenen-wiskunde. Op weg naar

een nationaal plan voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool en het gebruik van

de computer daarbinnen. Utrecht: OW&OC/Panama/SOL.

Treffers, A. & Goffree, F. (1985). Rational analysis of realistic mathematics education- the

Wiscobas Program. In L. Streefland (Ed.). Proceedings of the ninth international

conference of psychology of mathematics education (pp. 97-123). Utrecht:

OW & OC.

Treffers, A., Feys, E. & Moor, E. de (1987a). Proeve van een nationaal program voor

het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool (1). Panama-post, 6 (1), 7-28.

Treffers, A., Feys, E. & Moor, E. de (1987b). Proeve van een nationaal program voor

het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool (2). Panama-post, 6 (3), 24-31).

Treffers, A, Moor, E. de & Feijs, E. (1988). Proeve van een nationaal programma voor

het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool (3). Tijdschrift voor nascholing en

onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs. 6 (3), 57-65.

Treffers, A., Moor, E. de & Feijs, E. (1989). Proeve van een nationaal program voor het

rekenwiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 1. Overzicht einddoelen. Tilburg:

Zwijsen.

Treffers, A. & Moor, E. de (1990). Proeve van een nationaal programma voor het

rekenwiskundeonderwijs op de basisschool, deel 2. Basisvaardigheden en cijferen. [WEG!

Standards for primary mathematics teacher education, part 2]. Tilburg:

Uitgeverij Zwijsen.

Treffers, A. & Veltman, A. (1994). Relatie-boogje als brug tussen bewerkingen.

Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 12, 3, 11 – 14.

Treffers, A. & Veltman A. (1996). Onder nul: rekenen met negatieve leeftijdsgetallen.

Willem Bartjens, 15 (4), 38 – 41.

Treffers, A., Noteboom, A. & Goei, E. de (2001). Kolomsgewijs rekenen en cijferen.

In M. van den Heuvel-Panhuizen, K. Buys & A. Treffers (Red.), Kinderen leren

rekenen. Tussendoelen annex leerlijnen. Hele getallen, bovenbouw basisschool (pp. 65-89).


341

Veldhuis, E. (1981). Deelleergang cijferend optellen en aftrekken, volgens het principe van

progressieve schematisering, gegeven in het kader van remedial teaching van vier kinderen in

het buitengewoon onderwijs (doctoraalscriptie). Utrecht: IPAW.

Veltman, A. (1993). Van het begin en van het eind: ontwikkelingsonderzoek naar het rekenen tot

100 op de lege-getallenlijn (doctoraalscriptie). Utrecht: Faculteit Sociale

Wetenschappen.

Verhelst, N., Glas, C., & Verstralen, H. (1993). OPLM: One parameter logistic model.

Computer program and manual. Arnhem: Cito.

Verschaffel, L. (1988). Enkele kanttekeningen bij de ‘Proeve van een nationaal

programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool’ (3).

Panama-post, 6 (4), 11-16.

Verschaffel, L. (1996). Ontwikkelingen in het onderzoek van het

reken/wiskundeonderwijs: een internationaal perspectief. Panama-Post, 15, nr.

2, 40-45.

Verschaffel, L. & Corte, E. de (1993). A decade of research on word-problem solving

in Leuven: Theoretical, methodological and practical outcomes. Educational

Psychology Review, 5, 239-256.

Verschaffel, L., Corte, E. de, Struyf, E. & Gielen, I. (1995). Handig en flexibel

hoofdrekenen in het getalgebied 1-20. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van

het reken-wiskundeonderwijs,13 (3), 28 – 36.

Verschaffel, L. & Corte, E. de (1997). Teaching realistic mathematical modeling in the

elementary school. A teaching experiment with fifth graders. Journal for

Research in Mathematics Education, 28, 577-601.

Verschaffel, L., Greer, B. & De Corte, E. (2000). Making sense of word problems. Lisse:

Swets & Zeitlinger.

Verschaffel., L. & Ruijssenaars, W. (2002). Keuze en ontwikkeling van aanvankelijke

rekenstrategieën: inleiding tot het themanummer. Pedagogische studiën. Tijdschrift

voor onderwijskunde en opvoedkunde. 79, (2), 83-88.

Verschaffel, L., Greer , B. & Corte, E. de (2007). Whole number concepts and

operations. In F. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching

and learning (pp. 557-628). Greenwich, CT: Information Age Publishing.

Visser, J. (2008). Rapportage oriëntatiefase LOVS speciaal (basis)onderwijs (Interne nota)

SO.2008.003.

Vos, W. de (1998). Het methodegebruik op de basisschool. Maastricht: Shaker publishing.

Vuurmans, A. (Red.) (1991). Rekenen tot honderd. Handleiding. ’s-Hertogenbosch:

Katholiek Pedagogisch Centrum (KPC).

Whitenack, J. & Yackel, E. (2002). Making Mathematical Arguments in the Primary

Grades: The Importance of Explaining and Justifying Ideas. Teaching children

mathematics, 8, 524-527.

342

Whitney, H. (1985). Taking responsibility in school mathematics education. In L.

Streefland (Ed.), Proceedings of the ninth international conference for the psychology of

mathematics education. Vol. 2. Utrecht: OW&OC.

Whitney, H. (1988). Mathematical reasoning, early grades: growth through involvement, curriculum

outline. Princeton: Institute for Advanced Study (unpublished manuscript).

Wijnstra, J. (Red.) (1988). Balans van het rekenonderwijs in de basisschool. Uitkomsten van de

eerste rekenpeiling medio en einde basisonderwijs. Arnhem: Cito (PPON-reeks nr. 1).

Willemsen, T. & Harskamp, E. (1990). Systematische fouten in het optellen en

aftrekken tot honderd. Panama-post 8,(4), 20 – 25.

Winnubst, J. (2001). Onderzoek naar de huidige situatie inzake realistisch

rekenonderwijs op basisscholen. In R. Keijzer & W. Uittenbogaard, Uit de

lengte of uit de breedte – de kwaliteit van het meetonderwijs (pp. 71-82). Utrecht:

Panama/Freudenthal Instituut,

Wittmann, E. (2005). Realistic mathematics education, past and present. Nieuw archief

woor wiskunde, 5/6 (4), 294-296.

Woods, S., Resnick, L. & Groen, G. (1975). An experimental test of life process

models for subtraction. Journal of educational psychology, 67, 17-21.

Wood, T. (1995). An emerging practice of teaching. In P. Cobb & H. Bauersfeld

(Eds.), The emergence of mathematical meaning: Interaction in classroom cultures (pp.

203-227). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Wood, T. (1998). Creating classroom interactions for mathematical reasoning: beyond

‘natural thinking’. In P. Abrantes, J. Porfírio & M. Baía (Eds.), The interactions

in the mathematics classroom – Proceedings of CIEAEM 49 (pp. 34 - 43). Setúbal:

Escola Superior de Educação.

Wood, T. (1999). Creating a context for argument in mathematics class. Journal for

research in mathematics education, 30, 171-187.

Wood, T. & Sellers, P. (1997). Deepening the analysis: longitudinal assessment of a

problem-centered mathematics program. Journal for research in mathematics

education, 28, 163-186.

Yackel, E. (1995). Children's talk in inquiry mathematics classrooms. In P. Cobb & H.

Bauersfeld (Eds.), The emergence of mathematical meaning: Interaction in classroom

cultures (pp. 131-162). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Yackel, E. & Cobb, P. (1996). Sociomathematical norms, argumentation, and

autonomy in mathematics. Journal for research in mathematics education. 27 (4),

458-477.

343

Appendix

345

Bijlage 1 Kerninhouden per onderwerp in relatie tot de tussendoelen en de gemeten leerresultaten bij de derde peiling rekenen-wiskunde halverwege de

basisschool in 1997 Bron: Noteboom, van der Schoot, Janssen & Veldhuijzen (2000)

Onderwerpen Kerninhouden Domeinen/Tussendoelen Leerresultaten

Tellen en ordenen

– Kennis van de telrij

– Tellen van hoeveelheden en aantallen,

– Vergelijken en ordenen van getallen

– Globaal en precies positioneren van deze getallen op een getallenlijn.

Het betreft voornamelijk het getallengebied tot 100 maar ook getallen uit het gebied tussen 100 en 1000 komen voor. De volgende typen opgaven worden zowel kaal als in context voorgelegd:

– verder tellen en terug tellen met sprongen van 1, 10 en 100 vanaf een bepaald punt in de telrij

– verder tellen en terug tellen met sprongen van 5, 20 of 25 vanaf daarbij horende mooie getallen

– tellen van geordende hoeveelheden (zoals rijen postzegels op een vel)

– grootste of kleinste getal uit een aantal getallen bepalen

– getallen in volgorde zetten van klein naar groot

– getallen plaatsen tussen andere getallen in de telrij

– getallen globaal en precies plaatsen op de getallenlijn en de plaats van getallen op de getallenlijn herkennen.

GEHELE GETALLEN A. De kinderen kunnen de telrij tot honderd opzeggen en vanaf ieder getal in dit domein door- en terug tellen. Dit geldt zowel voor de kleine telrij met enen (1, 2, 3, …) als de grote telrij met tienen (10, 20, 30, …). B. De kinderen zijn instaat om getallen tot honderd te positioneren op de (bijna) lege getallenlijn, te structureren in tientallen en eenheden, en te contextualiseren in zinvolle situaties.

De percentiel-90 leerling realiseert beide verwachtingen ten aanzien van tellen en positioneren. De percentiel-10 leerling komt niet verder dan een goede beheersing van tellen met sprongen van één. Globaal genomen, beheerst 75% van de leerlingen tussendoel [A] goed. Deze groep leerlingen beheerst het precies plaatsen van getallen op de getallenlijn goed tot matig en het globaal plaatsen matig tot onvoldoende.

346

Structureren

Het gaat om de vertrouwdheid met en het gebruik van de structuren van getallen tot en met 100 en 1000. De nadruk ligt daarbij op samenstellen, dan wel afsplitsen (structureren) of aanvullen gebruikmakend van (de relatie tussen) honderdtallen (H), tientallen (T) en eenheden (E). De volgende typen opgaven worden o.a. in contexten, ‘kaal’ of met afbeeldingen voorgelegd:

– getallen en aantallen samenstellen met H, T en E (bijvoorbeeld het bepalen van een totaalbedrag van bankbiljetten van 100 en van 10 en losse guldens);

– getallen en aantallen splitsen in H, T en E (345 = 300 + 5 + ?) of in een context (bijvoorbeeld een aantal van 46 eieren verpakken in doosjes van 10 en aangeven hoeveel doosjes nodig zijn of hoeveel volle doosjes gemaakt kunnen worden;

– splitsen van 100 en 1000 in twee getallen en aanvullen tot 100/1000 of veelvouden van tien en honderd (bijvoorbeeld 100 = 80 en ?; 58 + ? = 100; 850 + ? = 1000; 54 + ? = 60).

Minder dan 75% van de leerlingen beheerst het tussendoel van structureren in voldoende mate (50% tot 80% kans op succes). De percentiel-25 leerling kan 100 in twee ronde getallen als 70 + 30 goed afsplitsen zie voorbeeldopgave [2] van figuur 1.3), de percentiel-10 leerling nog maar matig. De percentiel-50 leerling heeft maar 60% kans om een stipsom als 64 + ? = 100 van voorbeeldopgave [8] correct op te lossen, bijvoorbeeld vanuit de wetenschap, dat 100 evenveel is als 60 + 40 en 70 + 30. De percentiel-90 leerling heeft evenveel kans om de moeilijkste opgave van de schaal (voorbeeldopgave [12] van figuur 1.4) correct op te lossen: 43 + ? = 100

Basisautomatismen: optellen

– Alle optellingen uit het getallengebied tot 20, met en zonder overschrijding van 10

– De volgende basisoptellingen uit het g tallengebied tot 100:

(i) 20 + 60, (ii) 24 + 5, (iii) 24 + 7 en 46 + 4 en (iv) 36 + 20 en 70 + 15

ELEMENTAIRE BEWERKINGEN C. Eind groep 4 hebben de kinderen de optellingen en aftrekkingen tot tien gememoriseerd en tot twintig geautomatiseerd.

Vrijwel alle leerlingen beheersen de in het tussendoel beschreven vaardigheid en de vaardigheid van de meeste leerlingen overstijgt duidelijk het niveau van de tussendoelen.

– 93% tot 99% van de leerlingen beheerst de optelopgaven opgaven onder de 10 en onder 20 goed en 80% tot 99% de aftrekopgaven’;

– 90 tot 95% van de leerlingen is vertrouwd met optellingen als 20 + 50, 73 + 10 en 25 + 6 en 80% tot 93% met aftrekkingen als 90 - 40 en 40 – 6

Basisautomatismen: aftrekken

– Alle aftrekkingen uit het getallengebied tot 20, met en zonder overschrijding van 10

– De volgende basisaftrekkingen uit het getallengebied tot 100: 70 – 50; 67 – 5; 40 – 6; 92 – 8; 74 – 60

347

Bewerkingen: optellen

De nadruk ligt op optellen onder 100. Het betreft alle optellingen met twee of meer getallen, waarbij de uitkomst kleiner dan 100 of net boven 100 ligt. Bijvoorbeeld: 34 + 50; 32 + 17; 45 + 8; 37 + 63; 28 + 27, 98 + 3. Er worden echter ook enkele opgaven ‘over de honderd’ en in het gebeid onder de 1000 aangeboden. Het gaat dan om het rekenen met ronde getallen, bijvoorbeeld: 180 + 40 en 420 + 150. De opgaven worden zowel in formele rekentaal, als in contexten aangeboden. De optelling kan de betekenis van ‘toevoegen’ aannemen of van ‘samennemen’. Hoewel de kinderen de meeste opgaven waarschijnlijk uit hun hoofd kunnen uitrekenen, hebben ze de mogelijkheid tussennotaties op papier te noteren

BEWERKINGEN (hoofdrekenen)

D. De kinderen zijn in staat optelen aftreksommen tot honderd zowel kaal als in toepassingen op te lossen. Ze maken daarbij gebruik van de getallenlijn, of noteren tussenstappen in sommentaal, of rekenen helemaal uit het hoofd.

Dit tussendoel wordt wel door de gemiddelde leerling goed beheerst, en min of meer ook door leerlingen op percentielniveau 25. Zij beheersen optellingen als 53 + 16 en 27 + 13, zowel in een kale presentatie als in eenvoudige contexten en ook beheersen ze kale optellingen als 45 + 8, maar als die worden aangeboden in een context, waarin de optelling niet direct herkenbaar is, dan beheersen deze leerlingen dergelijke opgaven niet goed, maar matig. Onder het voorbehoud dat de context de optelling niet te veel versluiert, kunnen we constateren dat dit tussendoel door zo’n 75% van de leerlingen wordt bereikt.

Bewerkingen: aftrekken

Aftrekken onder 100 en het aftrekken onder 1000 met afgeronde getallen worden getoetst. Alle aftrekkingen met en zonder overschrijding van het tiental komen in aanmerking, bijvoorbeeld 82 – 7; 85 – 50; 67 – 25; 74 – 38. Ook komen er opgaven voor waarbij het honderdtal net wordt overschreden (bijvoorbeeld 103 – 5) of waarbij het verschil tussen de gegeven getallen heel klein is (bijvoorbeeld in de opgave 103 – 99). Aftrekken onder 1000 wordt beperkt tot rekenen met ronde getallen waarbij de leerling honderdvouden, en tienvouden moet bewerken, zoals bij 120 – 30. De opgaven worden zowel in formele rekentaal als in contexten aangeboden. Aftrekken kan de betekenis hebben van ‘eraf halen’, ‘aanvullen’ en ‘verschil bepalen’.

De beheersing is zeker nog onvoldoende. Met name aftrekkingen van het type 64 – 28 worden door veel leerlingen nog niet goed beheerst. Wanneer de aftrekking dan bovendien uit de context opgemaakt moet worden, dan ontstaan er voor veel leerlingen toch extra problemen. Aftrekkingen tot honderd in toepassingen zoals in het tussendoel wordt beschreven zijn voor veel leerlingen nog moeilijk.

349

Bijlage 2 Design afname van de vierde PPON (2003), halverwege de basisschool Onderstaand overzicht laat zien hoe de tien toetsboekjes (b1 t/m b10) van de 4e PPON zijn samengesteld uit blokjes opgaven van:

– het LOVS onderzoek (afname eind jaargroep 4, medio jaargroep 5 en eind jaargroep 5);

– de verzameling unieke opgaven die voor deze 4e PPON van 2003 zijn ontworpen. Elke blok bestaat uit 4 t/m 14 unieke opgaven van de onderscheiden categorieën. De getallen van het overzicht duiden aantallen opgaven aan.

351

Bijlage 3 De aftrekopgaven van de kwalitatieve studie (schaal Bewerkingen: Optellen-aftrekken)

1

Hoeveel munten moet je op de stapel van 12 leggen om een stapel van 25 munten te krijgen? ______ munten

2

Joyce weegt 18 kilo. Zij is lichter dan Lex. Hoeveel kilo lichter? ______ kilo

3

Fatima bewaart 50 postzegels in deze doos. In de la van België liggen 25 postzegels. Hoeveel postzegels liggen dan in de la van Nederland? ______ postzegels

4

60 – 35 = ______

5

Er 36 verschillende plaatjes. Nicky heeft al 25 plaatjes. Hoeveel plaatjes mist zij nog? ______ plaatjes

6

De bloes met de korte mouwen is goedkoper dan de andere bloes. Hoeveel euro goedkoper? ______ euro

8

Jeroen betaalt met een briefje van 50 euro. Hoeveel krijgt hij terug? ______ euro

9

Je zaagt de plank door. Het ene stuk is 40 centimeter lang. Hoe lang is het andere stuk? ______ centimeter

10

100 – 86 = ______

11

Het boek heeft 102 bladzijden. Joost heeft 90 bladzijden gelezen. Hoeveel bladzijden moet hij nog lezen om het boek uit te krijgen? ______ bladzijden

12

62 – 48 = ______

13

Het hoogste gebouw is 250 meter hoog. Het laagste gebouw is 189 meter hoog. Hoe groot is het verschil? ______ meter

14

620 kinderen uit Maasbroek hebben gestemd. 370 kinderen willen eerst een zwembad. De anderen willen eerst een speelplein. Hoeveel kinderen willen eerst een speelplein? ______ kinderen

16

De ouders van Mario hebben 900 euro. Ze gebruiken dit geld om deze fiets te kopen. Hoeveel geld houden ze over? ______ euro

17

Welk getal ligt onder de vlek? ______

353

Summary

Solution methods for subtraction up to 100

In the last decades of the 20th century, a new approach was developed for teaching how to add or subtract small numbers in primary school. This new approach advises to ground the process of learning to add and subtract in activities such as counting, comparing, and manipulating quantities. In addition, students are to be stimulated to reflect on solution methods of both contextual problems and bare sums, in order to help them in developing a higher level of thinking. This then will have to be accompanied by a directed effort to foster the clever use of number relations and arithmetical properties. The underlying idea is to ground student understanding in contextual problems and foster progressive mathematization of their own mathematical activity in order to ensure the development of both student understanding and proficiency with applications. Between 1990 and 2002, this new approach—which became known as ‘realistic mathematics education’ (RME) in the Netherlands—is worked out in a new generation of textbook series, which are introduced in almost all Dutch primary schools.

The result of the innovation, however, was less than expected. The Dutch assessment institute Cito regularly monitors the level of proficiency in

various school subjects, such as mathematics, halfway and at the end of primary school. This is a national survey, called PPON, which has as its objective to enable informed discussions about the results of schooling. The results of the third survey (1997) showed that the Dutch students were not as proficient in subtracting two-digit numbers as might have been expected. They were still unsuccessful in tasks such as 62-48, and also seemed to have trouble with solving subtractions that were presented as contextual problems where subtracting does not come to the fore as ‘taking away’.

This generated questions about how students proceed when solving bare subtraction problems, or subtraction problems in contexts, and why this causes difficulties.

This study on the solution procedures of students is designed to answer those questions. About 1850 individual solutions of about 300 Dutch third-grade students are assembled in the months January and February of 2003 and 2004. These are analyzed to find patterns in the ways students think, symbolize and calculate when solving subtractions that fit their ability level. To do so three groups of students were created, according to their ability; high, middle and low.

354

Chapter 1 describes the background of the study, presents the problem definition, and delineates the research domain. The new approach of primary school mathematics is elaborated against the background of the societal, political, and scientific developments of the 1980’s when the new approach emerges. Earlier, in reaction to the launch of the Sputnik by the USSR, traditional arithmetic instruction had been replaced in many countries by what became known as ‘New Math’. Now the societal relevance of the written algorithms is questioned. Research shows that students have great difficulty in mastering the four basic written algorithms, in addition it shows that students invent informal solution procedures to solve applied problems, instead of applying the standard algorithms. These developments trigger an international reconsideration of what basic mathematical skills the average citizen will need to survive in daily life and work, now that almost everybody owns a pocket calculator and the use of personal computers is growing.

In the Netherlands, this reconsideration coincides with the reorganization of lower secondary education, known as ‘Basisvorming’. In this chapter, we describe how mathematics educators, under the auspices of the Dutch Association for Improvement of Mathematics Education (NVORWO), respond to these developments by developing, in their own circles, a new curriculum that fits the national innovation policy for primary education. This new curriculum is elaborated in the ‘Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool’ (Proof of a national program for mathematics education in primary school) that is published in 1990.

In spite of the renewal of the textbooks on the basis of the national program, the results of the 3rd PPON in 1997 are disappointing. Too many student fail to reach the intermediary goals for addition and subtraction up to 100 (1000). This implies that they run the risk to keep on lagging behind, especially when the transition is made towards the written algorithms. The PPON results also show that contextual problems, in which subtraction has another meaning than ‘taking away’, generate problems of which the cause is not known. In order to try to explain the results, the research of this study aims at three key aspects of the students’ understanding: understanding how to use numerical symbolizations to represent relations between quantities or magnitudes (relational understanding), understanding how the numbers that have to be operated on can be manipulated (operational understanding), and understanding how to circumvent difficult operations by responding to the opportunities the given numbers offer (strategical understanding). According to the instructional approach that is proposed by the aforementioned Dutch mathematics educators students need to be given the opportunity to construct mathematical knowledge and tools by themselves, under guidance of the teacher. Important in this process are whole class discussions in which students reflect on the different ways they and their peers interpret relations between numbers in contextual problems or bare sums, and how they translate these into mathematical operations. The latter aspect of learning mental arithmetic relates to the fact that linguistic and design features of textual problems are known to influence solution processes in positive or negative ways. Depending on what the student sees or recognizes in the task and the

355

demands of the chosen solution procedure on specific arithmetical knowledge and skills.

Chapter 2 offers a historical reconstruction of the development of the national program for mathematics education in primary school. We depict this program as a response tot the international problems of functional mathematical knowledge and –skills in the 1980’s. The Dutch response differs considerably from the ‘Agenda for Action’ of the American National Council of Teachers of Mathematics (2x of?) (NCTM) and the British ‘Cockcroft report’. In contrast to the English speaking countries, mental arithmetic always has had it’s own place in the Dutch curriculum, next to the written algorithms. Within this tradition, the Dutch mathematics educators choose for an integrated program for mental arithmetic and the algorithms. This is elaborated in the following manner. Mental arithmetic is linked to a certain understanding and feel for numbers, which is used as a basis for the development of the written algorithms. Treffers, de Moor and Feijs, elaborate this idea in a series of articles, resulting in an instructional sequence that is part of the aforementioned national program. This instructional sequence starts with the so-called ‘rijgmethode’, or ‘jumping method’, in which numbers are incremented or decremented by jumping with a multiple of 10s and 1s (e.g. 62-48 via 62-40=22, 22-8=14). When the students have mastered this method, they are to shift towards the method of splitting tens and ones; first in combination with the jumping method, (62-48 via 60-40=20; 20+2=22; 22-8=14), then by the method of ‘deficits’ (62-48 via 60-40=20; 2-8 is -6; 20-6=14). The latter method is standardized into a written algorithm, known as ‘column-wise subtraction’, which preludes the traditional standard algorithm.

The realistic approach and its theoretical foundation constitute the topic of chapter 3. Since the realistic approach can be seen as one of several international elaborations of what the Dutch call a ‘reconstruction pedagogy’, we add two alternatives of what is internationally denoted ‘reform mathematics’. These two are, the problem-solving approach that builds on cognitive psychology research, and a socio-constructivist approach that was strongly influenced by RME—and which may be called an American version of RME. All three approaches emphasize that students have to construct mathematical concepts and procedures by themselves in a manner that reflects the mathematical activity of the generations of mathematicians who invented our arithmetical system. Students are expected to organize and systematize their own mathematical experiences. In doing so, they develop concepts of numbers, and concepts of addition and subtraction, which give them access to higher levels of numerical thinking and acting. In relation to this, we discern three distinct instructional approaches, which represent three forms of guided reinvention. We show that one may indeed speak of one ‘reconstruction approach’ that is colored in different ways, depending on the choices made on four central points: the instructional focus, the instructional sequencing, the way formalizing is organized, and the role group processes. The Dutch realistic approach, for instance, is characterized by (1) the focus on steering the process of progressively schematizing calculation methods in an efficient manner; (2) the grounding of ways of calculating in modeling contextual problems; (3) formalizing along three levels of thinking, symbolizing and

356

calculating via specific contextual problems; and (4) using the group for fostering the progress of individual students.

In chapter 4 the interpretative framework, which is necessary to categorize and analyze the solution procedures of the students, is developed. It consists of a classification system and a sequence of levels of formalization along three forms of mental arithmetic, jumping (rijgen), splitting tens and ones, and reasoning. The latter refers to a deductive form of mental arithmetic in which the result of an addition or subtraction is derived from known addition or subtraction facts. The various forms and levels of jumping, splitting, and reasoning are distinguished on basis of three connected characteristics: the kind of number relations that are used to model the problem, the character of the arithmetic operations, and the way they are symbolized. This framework is based on theories of abstraction that have been found in the literature and documentation of self-invented solution methods of students.

Chapter 5 describes the research design and instruments. The research of solution procedures is embedded in two regular research projects of Cito, the 4th PPON half-way primary school held in January-February 2003 and the standardization research for the new tests of the ‘Cito Volgsystem’ (a test system that aims at charting the progress of primary school students on a regular basis), which has been carried out in January-February 2004. In both cases three groups of about 50 students (with a low, average, and high ability respectively) solve a series of tasks that correspond to their ability level have been observed by test assistants.

We use the results of the 4th PPON as quantitative empirical data about the students’ proficiency with whole numbers, adding, subtracting, and counting, which are requisite for progressive formalization, and flexibilization of mental arithmetic. We therefore, first sketch the design of the PPON at the beginning of this chapter. Next we describe the design and the instruments of the research on solution procedures. Concerning the latter we have chosen for direct observation, following the successful use of this method in diagnostic research in the area of arithmetic up to one hundred by the Kwantiwijzer project. Which also points to the value of linking observational data to quantitative data for which we use the PPON results. We have chosen to develop three different sets of tasks for the three ability groups (high, average, and low) to allow for tasks that would fit the level of each group, in order to create optimal conditions for the students to show their understanding and skills. The downside of this set up is that the three groups can only be compared via some anchoring items. The main part of the items consists of contextual problems, with a variation of number combinations, in which subtraction has a meaning different from ‘taking away’. This is done, to evoke a broad pallet of solution procedures.

The solution procedures of the students are analyzed from three complementary perspectives in three sub-studies. These concern: the methods and forms of mental arithmetic, the handling of the contexts and the numbers in the tasks, and the errors of the students. All solutions are coded on three levels. Following Beishuizen we discern between strategy (direct subtraction, indirect subtraction or indirect addition), and the calculation method (jumping, splitting, reasoning or knowing). The third code indicates the level of formalization.

357

Chapter 6 charts the advancement of the three ability groups in the domain of whole numbers, addition and subtraction up to 100 (respectively 1000), and identifies which of the building blocks that are needed for mental arithmetic are acquired. It shows that there is a strong differentiation both between and within the three ability groups. The 10 percent weakest students were conceptually and instrumentally insufficiently equipped to surpass the elementary level of curtailed counting and jumping, while the 10 percent strongest students mastered arithmetic up to 100 and had acquired the building blocks for solving three-digit additions and subtraction with jumping or splitting. The other students operate on different levels of the postulated learning route, depending on whether they posses the specific knowledge and skills needed for the various forms of jumping, splitting or reasoning. The information given by the teachers about their instruction shows that the measured advancement reflects the common practice in the classrooms.

The chapters 7, 8 and 9 describe the patterns found in (i) the methods and forms of mental arithmetic that were used, the way the contexts and numbers were used, and (iii) the errors made by the students. The results show that jumping was the most used method, splitting the second one and reasoning the third—if we do not take into account the solution categories ‘other’ and ‘rest’. The students of the low-ability group use jump methods more often than splitting methods—in this the results differ from the 1980’s when the weaker students used the jumping method less frequently. They further linked their solutions in 8% of the cases directly to a known fact, and they also applied basic forms of reasoning in the same number of the cases. The students of the middle group distinguish themselves by their strong tendency to use the splitting method, which was only successful in 43% of the cases. Overall, the splitting method, with 35% correct in the low-ability group, and 48% correct in the high-ability group, is less effective than the jumping method (L=82%, M=87%, H=91%). The results of the analysis of the data on the forms of jumping, splitting and reasoning, fit with the data on student achievement and the differentiation in levels of formalizing described in chapter 6. They reveal a contrast between the use of insightful and fluent jumping methods at various levels of formalization en the lack understanding of reasoning methods, and especially the splitting method.

The patterns in the way contexts and numbers are treated, and information on the calculations that generate wrong answers, offer important clues about the sources of the problems of the students with subtraction up to 100. Jumping is more rewarding than reasoning or splitting, because every student has sufficient understanding and instrumental skills to solve subtraction problems on their own level, independent whether the problem is interpreted as direct subtraction, indirect subtraction or indirect addition. The data reveal a strong tendency to solve contextual problems in two directions, and bare sums primarily in one direction, direct subtraction, which is not always wise. The results of the analysis of the errors illuminate this further. There are three causes for the erroneous answers: incorrect algorithmic operations with tens and ones, insufficient understanding of the splitting or reasoning methods, and the inclination to use indirect addition to solve contextual problems, although this is still to difficult for most students.

358

In chapter 10 we consider the findings, to observe that here is an imbalance that comes to the fore in various ways. The jumping method is used frequently, and with good results. But when the students use different methods, a lack of understanding generates wrong answers, especially when splitting methods are used for direct subtraction or indirect addition. All three ability groups tend to be guided by specific characteristics of contextual problems, which are tied to ‘problem types’ with their own specific solution procedures. Finally, the students who already were behind with addition and subtraction up to 20, do not catch up.

The closing chapter 11, focuses on what might move students, who are taught with the modern textbooks, to act as they do, and on why teachers allow them to do so. In addition, the question is addressed, whether or how the resulting contrast between jumping and splitting/reasoning reflects the way the realistic approach is elaborated by the Dutch mathematics educators for subtraction up to 100. The observed imbalance raises questions about the guidance of the progressive mathematization of splitting and reasoning, but also about the final phase of the jumping operations. The data call attention up on three major issues. First, they suggest that the way in which the learning process is structured has to be refined to address the barriers the students meet. Second, delaying the splitting method does not keep the students from experimenting with splitting numbers in tens and ones when solving subtraction problems, and it shows that the jumping method does not prepare them for this. Third, the didactical use of specific types of context problems creates the risk of students developing problem-specific solution methods. Fourth, the use of reflective whole-class discussions, which aim at stimulating individual students to start using more sophisticated solution methods, may contribute to enhancing the difference between students.

Based on the results of our research, we advise mathematics educators to reconsider the realistic approach as it is currently worked out for subtraction up to 100, and strengthen it by trying to find a better balance between working on the splitting method and the jump method, together with an effort to enhance the reasoning method, and pay more attention to the ‘big ideas’ such as unitizing and arithmetical properties. This within a classroom culture that activates to work collaboratively on shared mathematical understanding.

359

Curriculum Vitae

Jean-Marie Kraemer voltooide in juni 1968 de opleiding tot onderwijzer op de École

Normale te Metz (Frankrijk). Hij begon zijn loopbaan als onderwijzer in scholen in

achterstandswijken en met leerlingen uit de Maghreblanden. Hierna sloot hij zijn

Franse onderwijscarrière af als leraar basisonderwijs op het Lycée Français te Den-

Haag, tussen september 1971 en juni 1977. In deze overgangsperiode voltooide hij de

avondopleiding MOA-pedagogiek aan de Katholieke Leergangen. Hij studeerde

hierop aansluitend Pedagogiek aan de Rijksuniversiteit van Leiden, specialisatie

Onderwijskunde.

Zijn Nederlandse loopbaan vangt aan met de functie van student-assistent binnen

de ontwikkelgroep Rekenen & Wiskunde van het project Onderwijs en Sociaal Milieu

te Rotterdam. Daar ontwikkelt hij tussen 1977 en 1986 de leergang meten-meetkunde

van de methode Rekenen & Wiskunde en verzorgt hij de scholingsactiviteiten op dit

gebied. Na afloop van dit project, onderzocht hij tussen 1986 en 1989, op de Erasmus

universiteit te Rotterdam, de invloed van ‘onderwijsfactoren’ op de prestaties van

‘allochtone’ leerlingen bij taal en rekenen, in ‘zwarte’ scholen van de Randstad.

Van 1989 tot medio 2011 werkt hij als wetenschappelijke medewerker Rekenen-

wiskunde op de afdeling Basis- en Speciaal Onderwijs van Cito, te Arnhem. Hij richt

zich daar op drie activiteitengebieden: de periodieke peiling van het rekenniveau

(PPON) medio jaargroep 5 en in het speciaal onderwijs, diagnostisch onderzoek en

ontwikkelingsactiviteiten ten behoeve van de leerlingenzorg en scholing

‘leerlingenzorg’ en experimenten rond de inzet van het Cito-volgsysteem bij de

integratie van scholing met de verbetering van de adaptief plannen en lesgeven.

Sinds augustus 2011 woont hij in Portugal. Hij bouwt daar voort op zijn rol van

buitenlands adviseur en scholer bij het project Desenvolvendo o sentido du número

(ontwikkeling van gecijferdheid).

Oplossingsmethoden voor aftrekken tot 100 · CIP-GEGEVENS KONINKLIJKE BIBLIOTHEEK, DEN HAAG...

Documents

Transcript of Oplossingsmethoden voor aftrekken tot 100 · CIP-GEGEVENS KONINKLIJKE BIBLIOTHEEK, DEN HAAG...