Operations Chapter II Lecture # 3

Phys. 433 Computational Physics

Dr. Nidal ERSHAIDATPhysics Dept.

Yarmouk University211-63 Irbid J O R D A N

Lecture # 3

Chapter II

Fundamental Mathematical

Operations

A) Differential Equations

� ��

3

2-1 1st Order Differential Equations

! Differential eq. of all orders transform to a set of 1st order differential equations

! , x =[a,b], y(a) = y0(((( ))))y,xxdyd

f====

In this course you will learn how to solve numerically the 1st Order DE of the type:

I

Types of Differential Equations

��

� ��

5

Ordinary Differential EquationsODEs = equations involving derivatives with

respect to a single variable, usually time.

We shall discuss linear ODEs for which we

know the analytical solution.

Reason: to enable us to make comparisons

between the numerical and analytical solutions

and does not imply any restriction on the sorts

of problems to which the methods can be

applied.

� ��

6

1st Order Differential EquationsHigher order differential equations can be reduced to 1st order DE by appropriate choice of additional variables.

The simplest such choice is to define new variables to represent all but the highest order derivative.

� ��

7

Reducing DE to 1st Order DEThe Newton case

Examples:(((( ))))xF

dtxd

m 2

2

====• Newton’s Law

And Newton’s law can be rewritten as follows:We define the momentum P = m v

(((( ))))

��

��

��

��

====

====

� ��

8The damped harmonic oscillator• The damped harmonic oscillator equation

��

��

��v ��

0ydtdy

dtyd

m 2

2

====κκκκ++++ηηηη++++

0tdyd ====−−−− v

0ymmdt

d ====κκκκ++++

ηηηη++++ vv

(1)

(2)

(3)

� ��

9

n 1st Order Differential Equations

Any ODE in n unknowns can then be written in the general form.

(((( )))) ��

�� ====++++ f

Where y and f are n-component vectors.

Similarly any nth order differential equation can be reduced to n 1st order equations. Such systems of ODEs can be written in a very concise notation by defining a vector, whose elements are the unknowns, such as y and v��

Solution Techniques

� ��

11

2-2 Solution Techniques

Formally the solution of the ODE (I) is obtained by integration over the interval [x0,x] as follows:

(((( )))) 0y,xxdyd ====++++ f

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))∫∫∫∫ ′′′′′′′′′′′′−−−−====x

x

0

0

xdx,xyxyxy f

We have to make some approximations since we need to know y(t) in order to compute the integral to the right!

I

(4)

� ��

12

All differential equations require boundary conditions. We shall consider cases in which all the boundary conditions are defined at a particular value of t (e.g. t0).

Using Boundary Conditions

For higher order equations the boundary conditions may be defined at different values of t.

� ��

13

First we shall consider simple linear differential equations of the form:

1st Order Differential Equations

��

�� ====αααα++++

! αααα > 0 y(t) = y0 e-ααααt The Decay equation

! αααα < 0 y(t) = y0 e+ααααt The Growth equation

! αααα = ± iωωωω y(t) = y0 emmmmiωωωωt Oscillation equation

(((( )))) 0y,xxdyd ====++++ f I

x →→→→ t

F(x,y) →→→→ αααα y

Solution of Differential Equations

One-Step Methods

� ��

15

2-3 Solutions1) One-Step Methods

" I) Simple One-step Method

x0

x1

x2

h

��

��

– xi �� = xi �� x��i ��(x0 = a, xN = b)

i = 1,2,…N– try to find a solution y

��at xi

s Method’Euler

� ��

17

2) Euler’s Method

• Using Taylor’s series

y(x) = y(xi) + (x - xi) y’(xi)

+ ((x - xi)2 /2)y’’(θθθθ)

where θθθθ is between x & xi

For x = xi+1:

y(xi+1) = y(xi) + h y’(xi)+(h2/2) y’’(θθθθi )

where θθθθi is between xi & xi+1

(5)

(6)

� ��

18

Euler’s Method (cont’d)

y(xi+1) = y(xi) + h y’(xi) +��(h2)

i عند نهاية الفترةعند نهاية الفترةعند نهاية الفترةعند نهاية الفترةتساوي قيمتهاتساوي قيمتهاتساوي قيمتهاتساوي قيمتهاi+1عند بداية الفترةعند بداية الفترةعند بداية الفترةعند بداية الفترةyقيمةقيمةقيمةقيمة

iالمشتقة عند نهاية الفترةالمشتقة عند نهاية الفترةالمشتقة عند نهاية الفترةالمشتقة عند نهاية الفترةقيمةقيمةقيمةقيمة××××طول الفترةطول الفترةطول الفترةطول الفترة+

yi+1 = yi + h yi’ = yi + h f(xi ,yi)

��

��

Error = ��(h2)

(8)

(7)

� ��

19

3) Taylor 2nd Order Method

! As Euler’s but using the 2nd order

in the series

طريقة تيلور من الرتبة الثانية

! y(x) = y(xi) + (x - xi) y’(xi) +

((x - xi)2 /2!)y’’(xi)+O(h3)

! For x = xi+1:

y(xi+1) = y(xi) + h y’(xi) +(h2/2) y’’(θθθθi)

� ��

20

Taylor Method (cont’d)

# yi+1 = yi + h y’i + (h2/2) y’’i

# with an error = ��(h3)

(((( ))))(((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))iiiiii

iiii

iii

,yx,yx,yx

,yxxd

dy

xdd

y

&,yxy

'y

'x

'''

'

fff

f

f

××××++++====

========

====

::::الآن بما أن�الآن بما أن�الآن بما أن�الآن بما أن�

(9)

(10)

� ��

21

# yi+1 = yi + h y’i + (h2/2) y’’i

Taylor Method (cont’d)

:فإن�

yi+1 = yi + h T2(xi , yi):حيث

# yi+1 = yi + h{f(xi,yi)

+(h/2)[ ]}(((( )))) (((( )))) (((( ))))iiiiii ,yx,yx,yx 'y

'x fff ××××++++

(11)

(12)

T2(xi , yi) = h {f (xi,yi)

+(h/2)[ ]}(((( )))) (((( )))) (((( ))))iiiiii ,yx,yx,yx 'y

'x fff ××××++++

� ��

22

Taylor Method (notation)

If we define:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))iiii

ii ,yxx

,yx,yx '

xx

xx ff

ff ====∂∂∂∂

∂∂∂∂========

Then we can rewrite T2 as follows:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))iiii

ii ,yxx

,yx,yx '

yyy ff

ff ====∂∂∂∂

∂∂∂∂======== y

and

T2(xi , yi) = f(xi , yi)

+ (h/2)[fx(xi,yi)+fy(xi,yi)*f (xi,yi )](13)

� ��

23

Taylor Method Examples

# y’ = - x y = f(x,y)

# y’’ = -y + (-x) * y’ = f (x,y) + fx f (x,y)

(((( )))) y,yxxx −−−−======== iiff

(((( )))) x,yxyy -ff ======== ii

T2(xi , yi) = - xi yi + (h/2)[(-yi) + (-xi) )(-xi yi)]

= yi [xi + (h/2) (xi2 - 1)]

= - yi [xi + (h/2) (1 - xi2)]

� ��

24

Taylor Method Examples

⇒⇒⇒⇒ yi+1 = yi {1 + h[-xi + (h/2) (xi2 - 1) ]}

We shall use this result in the lab.

Lecture # 4

Chapter II

Fundamental Mathematical

Operations

Runge-Kutta Methods


One-Step Methods (cont’d)

Runge-Kutta Methods

� ��

28

Runge-Kutta MethodsIn numerical analysis, the Runge-Kutta

methods are an important family of implicit

and explicit iterative methods for the

approximation of solutions of ordinary

differential equations. These techniques

were developed around 1900 by the

German mathematicians C. Runge and M.W.

Kutta.

� ��

29

Martin Wilhelm Kutta (1867-1944)

Martin Wilhelm Kutta was born in Pitschen, Upper Silesia (today Byczyna, Poland). He attended the university of Breslau from 1885 to 1890., and continued his studies in Munich until 1894, where he became the assistant of von Dyck. From 1898, he spent a year at the University of Cambridge. Kutta became professor in Stuttgart in 1911, where he stayed until his retirement in 1935.In 1901, he had co-developed the Runge-Kutta method, used to solve ordinary differential equations. He is also remembered for the Zhukovsky-Kutta aerofoil.Kutta died in Fürstenfeldbruck, Germany.

� ��

30

Carle David Tolmé Runge (1856-1927)

Carle David Tolmé Runge was a mathematician, physicist, and spectroscopist. He was co-developer of the Runge-Kutta method, in the of the numerical analysis field.He spent the first few years of his life in Havana, where his father was the Danish consul. The family later moved to Bremen, where his father died early (in 1864). In 1880 he received his Ph.D. in mathematics at Berlin, where he studied under Karl Weierstrass. In 1886 he became a professor in Hanover.In addition to pure mathematics he was interested in the application of this work to astronomical spectroscopy.In 1904 he went to Göttingen, where he remained until he retired in 1925. Runge crater on the Moon is named after him.

2nd Order Runge-Kutta Method

� ��

32

# yi+1 = yi + h y’i + (h2/2) y’’i

2nd Order Runge-Kutta Method The main idea is to find the values of a1, αααα1and ββββ1 which make a1 f(x+αααα1,y+ββββ1) equals approximately T2 (See equation 13)

We shall use the Taylor series for the function f(x+αααα1,y+ββββ1), i.e.

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))yx,y

xx,y

x,yy,x 1111 ∂∂∂∂∂∂∂∂ββββ++++

∂∂∂∂∂∂∂∂αααα++++====ββββαααα

ffff

(((( )))) (((( )))) (((( ))))x,yx,yx,y y1x1 fff ββββ++++αααα++++====

We want that a1 f(x+α1,y+β1) = T2

� ��

33

2nd Order RKM (cont’d)

��

T2(xi , yi) = h{f(xi,yi)

+(h/2) [ ]}(((( )))) (((( )))) (((( ))))iiiiii ,yx,yx,yx 'y

'x fff ××××++++

(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]iiiiii fff ,yx,yx,yxa y1x11 ββββ++++αααα++++====

Comparing the coefficients in eq. 14, gives:

a1 = 1, αααα1 = h/2 and ββββ1 = h/2 (f(xi ,y))

(14)

� ��

34

��

2nd Order RKM (cont’d)

This is what we call 2nd Order RKM which we usually write as:

17

(15)yi+1 = yi + h f (xi + , yi + f(xi,yi))2h

2h

(16)yi+1 = yi + h f (xi + , yi + )2h

2K

K = h ��(xi,yi))

4th Order Runge-Kutta Method

� ��

36

# yi+1 = yi + h y’i + (h2/2) y’’i

4th Order Runge-Kutta Method The main idea is to find the values of a1, αααα1and ββββ1 which make a1 f(x+αααα1,y+ββββ1) equals approximately T2 (See equation 13)

We shall use the Taylor series for the function f(x+αααα1,y+ββββ1), i.e.

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))yx,y

xx,y

x,yy,x 1111 ∂∂∂∂∂∂∂∂ββββ++++

∂∂∂∂∂∂∂∂αααα++++====ββββαααα

ffff

(((( )))) (((( )))) (((( ))))x,yx,yx,y y1x1 fff ββββ++++αααα++++====

We want that a1 f(x+αααα1,y+ββββ1) = T2

� ��

37

4th Order RKM (cont’d)

Using a similar technique, the 4th order RKM method gives:

Where

(18)(((( ))))432111 KK2K2K61

yy ++++++++++++++++==== ++++++++ ii

(((( ))))ii y,xfK1 h====

++++++++====

2K

y,2

xfK 12 ii

hh

++++++++====

2K

y,2

xfK 23 ii

hh

(((( ))))34 Ky,xfK ++++++++==== ii hh

(19)


Multistep Methods1) Explicit method:

2nd order Adams-Bashfort

Lecture # 5

� ��

39

2-3 Multistep Methods1- Explicit method : 2nd order Adams-Bashfort

:من الممكن حل المعادلة التفاضلية

:وذلك بإجراء تكامل لطرفيها

(((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫1+n

n

1+n

n

x

x

x

x

xdy,x=yd f

(((( ))))��

��f====

(20)

� ��

40

Linear interpolation

اااانجري نجري نجري نجري فإن�نا فإن�نا فإن�نا فإن�نا على فترة التكامل على فترة التكامل على فترة التكامل على فترة التكامل yلا نعرف قيمة لا نعرف قيمة لا نعرف قيمة لا نعرف قيمة لأن�نا لأن�نا لأن�نا لأن�نا ستكمالاستكمالاستكمالاستكمالا��خطياخطياخطياخطيا�� و و و و xn::::بإستخدام النقطتينبإستخدام النقطتينبإستخدام النقطتينبإستخدام النقطتينfللدالةللدالةللدالةللدالة�

xn+1

1nn

n1n xxxx

−−−−−−−− −−−−−−−−

−−−−==== fffhh

(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫++++====1+n

n

1+n

n

x

x

n1n-

x

x

1n-n

n1+n dxx-x-dxx-xyyhh

ff

(21)

(22)

41

Linear interpolation (2)

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]](((( ))))[[[[ ]]]]0x-x

2

x-xx-x2

y=y

2n1+n

1n-

21n-n

21n-1+n

nn1n

−−−−−−−−

−−−−++++++++

h

hf

f

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

−−−−++++====

−−−−−−−−++++====

1n-nn

21n-2n2nn1+n

21

23

y

222

2yy

ff

fff

h

hh

hh

hh

::::فإن�فإن�فإن�فإن�

xn+1! ::::وبما أن�وبما أن�وبما أن�وبما أن� = xn + hووووxn-1 = xn – h

(24)

(23)

42

عملية عملية عملية عملية ““““نبدأ نبدأ نبدأ نبدأ حت�ى حت�ى حت�ى حت�ى يجب أن تكون معلومة يجب أن تكون معلومة يجب أن تكون معلومة يجب أن تكون معلومة y1 و و و و x1 قيمة قيمة قيمة قيمة أي أن�أي أن�أي أن�أي أن�متعد�دة متعد�دة متعد�دة متعد�دة ““““ مثل هذه الطريقة تدعى مثل هذه الطريقة تدعى مثل هذه الطريقة تدعى مثل هذه الطريقة تدعى ، ولهذا السبب فإن� ، ولهذا السبب فإن� ، ولهذا السبب فإن� ، ولهذا السبب فإن�““““��““““الخطوات الخطوات الخطوات الخطوات

Iteration needs xi and yi

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] x-xx-x2

y= 21-nn

21-n1+n

nn −−−−++++

hf

n = 1 →→→→

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

−−−−++++====

−−−−−−−−++++====

1n-nn

21n-2n2nn1+n

21

23

y

222

2yy

ff

fff

h

hh

hh

hh

−−−−++++==== 02

123

yy 112 ffh

(25)

(26)

� ��

43

عملية عملية عملية عملية ““““نبدأ نبدأ نبدأ نبدأ حت�ى حت�ى حت�ى حت�ى يجب أن تكون معلومة يجب أن تكون معلومة يجب أن تكون معلومة يجب أن تكون معلومة y1 و و و و x1 قيمة قيمة قيمة قيمة أي أن�أي أن�أي أن�أي أن��““““

Iteration needs xi and yi

��نستعمل إحدى طرق الخطوة الواحدة للحصول على نستعمل إحدى طرق الخطوة الواحدة للحصول على نستعمل إحدى طرق الخطوة الواحدة للحصول على نستعمل إحدى طرق الخطوة الواحدة للحصول على ��

، ثم� ، ثم� ، ثم� ، ثم� ....نستخدمها في المعادلة لعمل المطلوبنستخدمها في المعادلة لعمل المطلوبنستخدمها في المعادلة لعمل المطلوبنستخدمها في المعادلة لعمل المطلوب

““““الخطوات الخطوات الخطوات الخطوات متعد�دة متعد�دة متعد�دة متعد�دة ““““ مثل هذه الطريقة تدعى مثل هذه الطريقة تدعى مثل هذه الطريقة تدعى مثل هذه الطريقة تدعى ولهذا السبب فإن�ولهذا السبب فإن�ولهذا السبب فإن�ولهذا السبب فإن�

Multistep Methods2) Implicit method:

3rd order Adams-Molton

� ��

45

3rd order Adams-Molton نفس فكرة الطريقة السابقة باستثناء أن�نفس فكرة الطريقة السابقة باستثناء أن�نفس فكرة الطريقة السابقة باستثناء أن�نفس فكرة الطريقة السابقة باستثناء أن�الفكرة هنا هي الفكرة هنا هي الفكرة هنا هي الفكرة هنا هي

::::أن�أن�أن�أن�الرتبة الثالثة وفيها نجد الرتبة الثالثة وفيها نجد الرتبة الثالثة وفيها نجد الرتبة الثالثة وفيها نجد حت�ى حت�ى حت�ى حت�ى الاستكمال يتم الاستكمال يتم الاستكمال يتم الاستكمال يتم

[[[[ ]]]]1-nn1+nn1+n 8512h

yy fff −−−−++++++++====

Implicit because yn+1 appears on both sides of the eqn. One has to • (Predictor) : Use an explicit method to compute yn+1 put the result on the right side • (Corrector) : then compute it on the Left side

(25)

� ��

46

Stability of a solution

A solution is stableIf the error range grows slowly & within a small interval

A solution is unstableIf the error range grows rapidly and becomes bigger than the proper solution itself

Lecture # 6Chapter II

Fundamental

Mathematical OperationsB) Numerical Analysis

Numerical Integration

� ��

49

� ��

50

Numerical Integration

::::الهدفالهدفالهدفالهدف

حساب تكامل دالة ما أسهل نسبيا من إيجاد حساب تكامل دالة ما أسهل نسبيا من إيجاد حساب تكامل دالة ما أسهل نسبيا من إيجاد حساب تكامل دالة ما أسهل نسبيا من إيجاد : : : : التكامل العدديالتكامل العدديالتكامل العدديالتكامل العددي) ) ) ) أأأأ��ليس إلاليس إلاليس إلاليس إلاالدالة بين نقطتين الدالة بين نقطتين الدالة بين نقطتين الدالة بين نقطتين تكامل تكامل تكامل تكامل المشتقة لأن�المشتقة لأن�المشتقة لأن�المشتقة لأن� مساحة مساحة مساحة مساحة الالالال حساب حساب حساب حساب ��

.... بين هاتين النقطتين بين هاتين النقطتين بين هاتين النقطتين بين هاتين النقطتينمحصورة تحت الدالةمحصورة تحت الدالةمحصورة تحت الدالةمحصورة تحت الدالةالالالال

تكامل تكامل تكامل تكامل بحيث يكونبحيث يكونبحيث يكونبحيث يكونfمحاولة إيجاد تقريب للاقترانمحاولة إيجاد تقريب للاقترانمحاولة إيجاد تقريب للاقترانمحاولة إيجاد تقريب للاقتران= = = = تقريب التكامل تقريب التكامل تقريب التكامل تقريب التكامل ....التقريب دقيقا وقريبا من التكامل المطلوبالتقريب دقيقا وقريبا من التكامل المطلوبالتقريب دقيقا وقريبا من التكامل المطلوبالتقريب دقيقا وقريبا من التكامل المطلوب

(((( ))))∫∫∫∫h

h-

dxxf

� ��

51

لتقريب التكامل لتقريب التكامل لتقريب التكامل لتقريب التكاملقاعدة شبه المنحرفقاعدة شبه المنحرفقاعدة شبه المنحرفقاعدة شبه المنحرف) ) ) ) أأأأ

(((( )))) (((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ++++====h

h

h

h 0

0

--

dxxdxxdxx fff

(((( )))) dx+xdx+xdxx0

001

0

010

-∫∫∫∫

−−−−++++∫∫∫∫

−−−−====∫∫∫∫

−−−−

−−−− h

hh

h

h hf

fff

fff

تقريب الدالة بشبه المنحرف الناتج عن وصل : الفكرة

: النقطتين

)))): والنقطتين )))))(ff, 1 hh ====(((( )))))0(ff,0 0 ==== (((( )))))(ff, 1 hh −−−−====−−−− −−−−

(((( )))))0(ff,0 0 ====

Trapezoidal Rule

(27)

� ��

52

f(x)

-h h

(-h, f-1)

(+h, f+1)

(0, f0)

x

� ��

53

قاعدة شبه المنحرف لتقريب التكاملقاعدة شبه المنحرف لتقريب التكاملقاعدة شبه المنحرف لتقريب التكاملقاعدة شبه المنحرف لتقريب التكامل

××××

−−−−++++

××××

−−−−==== −−−− h

hh

hh 0

201

0

210 +

2h

+2

fff

fff

[[[[ ]]]]101 22

fff ++++++++==== −−−−h

(((( ))))3E h��==== :الخطأ فيها هو

(((( ))))∫∫∫∫h

h-

dxxf

(28)

� ��

54

Simpson’s Rules صيغ سيمبسون

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))0

3

0

2

00 x!3

xx

!2x

xxxx fffff ′′′′′′′′′′′′++++′′′′′′′′++++′′′′++++====

(((( )))) (((( ))))32

1012110 x

h2

2x

h2xx ��++++

++++−−−−++++

−−−−++++==== −−−−−−−− fffff

ff

3h2

h2

2h2

3

2101

0 ××××++++−−−−

++++==== −−−−ffff

متسلسلة تيلورباستخدام

(((( ))))∫∫∫∫h

h-

dxxf [[[[ ]]]]101 43h

−−−−++++++++==== fff

(29)

� ��

55

Simpson’s Composite Rules المركب�ة سيمبسونةصيغ

: : : : حيثحيثحيثحيث فترة متساوية العرض فترة متساوية العرض فترة متساوية العرض فترة متساوية العرض �� باعتبارباعتبارباعتبارباعتبارh

abN

−−−−====

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( ))))∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ++++====

b

2-b

4+a

2+a

2+a

a

b

a

dxx+

...+dxxdxxdxx

h

h

h

h

f

fff

::::فإن�فإن�فإن�فإن�

� ��

56

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))hhh

h

2aa4a3

dxx2+a

a

++++++++++++++++====∫∫∫∫ ffff

...(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))hhh

hh

h

4a3a42a3

dxx4+a

2+a

++++++++++++++++++++====∫∫∫∫ ffff

:أن�وبجمع هذه الحدود نجد

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))bb42b3

dxxb

-b

ffff ++++−−−−++++−−−−====∫∫∫∫ hhh

h

: وبتطبيق قاعدة سيمبسون السابقة نجد أن�

� ��

57

المركب�ة المركب�ة المركب�ة المركب�ة سيمبسون سيمبسون سيمبسون سيمبسونةةةةصيغصيغصيغصيغوهذه هي

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

++++++++

++++++++++++

====

∑∑∑∑

∑∑∑∑∫∫∫∫ −−−−

====

−−−−

====

ba2

a4a

3dxx

2N

1

1N

1b

a fjf

iff

f

j

i

h

hh

(30)

Numerical Differentiation

� ��

59

Numerical Differentiation:::: العددي العددي العددي العدديالتفاضلالتفاضلالتفاضلالتفاضل) ) ) ) بببب

الأولىالأولىالأولىالأولىالمشتق�ة المشتق�ة المشتق�ة المشتق�ة تقريب تقريب تقريب تقريب

للاشتقاق وللاشتقاق وللاشتقاق وللاشتقاق و قابلقابلقابلقابلاقتران اقتران اقتران اقتران fحيث حيث حيث حيث ��f’��x0 تقريب قيمةتقريب قيمةتقريب قيمةتقريب قيمة: : : : الفكرةالفكرةالفكرةالفكرة!x0

f نقطة في مجالنقطة في مجالنقطة في مجالنقطة في مجال

النقطة النقطة النقطة النقطة ن� ن� ن� ن� أ أ أ أإلى فترات متساوية بحيثإلى فترات متساوية بحيثإلى فترات متساوية بحيثإلى فترات متساوية بحيث) ) ) ) المجالالمجالالمجالالمجال((((الفترة الفترة الفترة الفترة تقس�م تقس�م تقس�م تقس�م !::::تعطى بالعلاقةتعطى بالعلاقةتعطى بالعلاقةتعطى بالعلاقة��ذات الترتيبذات الترتيبذات الترتيبذات الترتيب

xn = x0 + n h

::::الطريقة الأولىالطريقة الأولىالطريقة الأولىالطريقة الأولى) ) ) ) أأأأباستعمال النقطتينباستعمال النقطتينباستعمال النقطتينباستعمال النقطتين التقريب التقريب التقريب التقريب

61

Forward Differentiation Formulaالتقريب باستعمال النقطتينالتقريب باستعمال النقطتينالتقريب باستعمال النقطتينالتقريب باستعمال النقطتين: : : : الطريقة الأولىالطريقة الأولىالطريقة الأولىالطريقة الأولى) ) ) ) أأأأ

صيغة التفاضل المتقدمةصيغة التفاضل المتقدمةصيغة التفاضل المتقدمةصيغة التفاضل المتقدمة::::متسلسلة تيلور للاقترانمتسلسلة تيلور للاقترانمتسلسلة تيلور للاقترانمتسلسلة تيلور للاقتران

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))x2x-x

xx-xxx 0000 ffff ′′′′′′′′++++′′′′++++====

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))θθθθ′′′′′′′′++++′′′′++++====++++ ffff2

xxx2

000h

hh

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))θθθθ′′′′′′′′++++′′′′====−−−−++++ ffff2

xxx2

000h

hh

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))θθθθ′′′′′′′′−−−−−−−−====′′′′ f

fff

2xx

x 010

hh

(31)

� ��

62

1st Derivative using FDFصيغة التفاضل المتقدمةصيغة التفاضل المتقدمةصيغة التفاضل المتقدمةصيغة التفاضل المتقدمة

::::أن% المشتق%ة الأولى باستخدام هذه الصيغة تعطى بالعلاقةأن% المشتق%ة الأولى باستخدام هذه الصيغة تعطى بالعلاقةأن% المشتق%ة الأولى باستخدام هذه الصيغة تعطى بالعلاقةأن% المشتق%ة الأولى باستخدام هذه الصيغة تعطى بالعلاقةأي أي أي أي

(((( )))) (((( ))))h�++++−−−−====′′′′h

x 010

fff

أن�أن�أن�أن�بما بما بما بما

(((( ))))b][a, x

xmax2h

E

∈∈∈∈

′′′′′′′′≤≤≤≤ f

x0 < θθθθ < x1

::::فإن%فإن%فإن%فإن%

(33)

(32)

� ��

63

المتراجعةالمتراجعةالمتراجعةالمتراجعةصيغة التفاضل صيغة التفاضل صيغة التفاضل صيغة التفاضل Backward Differentiation Formula

م م م م بطريقة مماثلة للطريقة السابقة نجد أن% المشتق%ة الأولى باستخدابطريقة مماثلة للطريقة السابقة نجد أن% المشتق%ة الأولى باستخدابطريقة مماثلة للطريقة السابقة نجد أن% المشتق%ة الأولى باستخدابطريقة مماثلة للطريقة السابقة نجد أن% المشتق%ة الأولى باستخدا::::هذه الصيغة تعطى بالعلاقةهذه الصيغة تعطى بالعلاقةهذه الصيغة تعطى بالعلاقةهذه الصيغة تعطى بالعلاقة

(((( )))) (((( ))))hh

�++++−−−−

====′′′′ −−−−100x

fff

(((( ))))b][a, x

xmax2h

E

∈∈∈∈

′′′′′′′′≤≤≤≤ f

�� في حساب المشتقة عند في حساب المشتقة عند في حساب المشتقة عند في حساب المشتقة عند أأأأالخطالخطالخطالخط��

))))::::هوهوهوهو ))))θθθθ′′′′′′′′==== f2

Eh

(35)

(34)

::::الثانيةالثانيةالثانيةالثانيةالطريقة الطريقة الطريقة الطريقة ) ) ) ) ببببصيغ الثلاث صيغ الثلاث صيغ الثلاث صيغ الثلاث باستعمال باستعمال باستعمال باستعمال التقريب التقريب التقريب التقريب

نقاطنقاطنقاطنقاط

� ��

65

المركزي�ةالمركزي�ةالمركزي�ةالمركزي�ةصيغة التفاضل صيغة التفاضل صيغة التفاضل صيغة التفاضل

Central Differentiation Formula

::::متسلسلة تيلور للاقترانمتسلسلة تيلور للاقترانمتسلسلة تيلور للاقترانمتسلسلة تيلور للاقتران

بالطرح

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))1

3

0

2

000 !3x

!2xxx θθθθ′′′′′′′′′′′′++++′′′′′′′′++++′′′′++++====++++ fffff

hhhh

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))2

2

0

2

000 !3x

!2xxx θθθθ′′′′′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′++++′′′′−−−−====−−−− fffff

hhhh

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))21

3

01-1 !3h

xh2xx θθθθ′′′′′′′′′′′′++++θθθθ′′′′′′′′′′′′++++′′′′====−−−− fffff

� ��

66

صيغة التفاضل المركزية

: : : : مقداره مقداره مقداره مقدارهبخطأبخطأبخطأبخطأ

::::ومنهاومنهاومنهاومنها(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))21

21-1

0 122x θθθθ′′′′′′′′′′′′++++θθθθ′′′′′′′′′′′′−−−−

−−−−====′′′′ ff

fff

hh

::::أي أن�أي أن�أي أن�أي أن�

(((( ))))h2

x 1-10

fff

−−−−====′′′′

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))221

2

12h

h�====θθθθ′′′′′′′′′′′′++++θθθθ′′′′′′′′′′′′ ff

(37)

� ��

67

:::: الثانية الثانية الثانية الثانيةالمشتقةالمشتقةالمشتقةالمشتقة تقريب تقريب تقريب تقريب ----��

: نجد أن�من الصيغ السابقةأي باستخدام

(((( ))))

−−−−−−−−

−−−−====′′′′−−−−′′′′

====′′′′′′′′ −−−−−−−−

hhhh 2221

2x 200211

0ffffff

f

Homework: Prove eq. 40

2202

4

2

h−−−−++++−−−−

====fff

(38)

Next Lecture Chapter 3: Newton and Kepler

Operations Chapter II Lecture # 3

Documents

Transcript of Operations Chapter II Lecture # 3