EDUCATION Revista Mexicana de Fsica 60 (2014) 3950 JANUARYJUNE 2014

Ondas solitarias no lineales: una introduccion a los solitones opticos espacialesS. Lopez-Aguayo, M. Esparza-Echevarra, G. Lem-Carrillo y J. C. Gutierrez-Vega

Photonics and Mathematical Optics Group, Tecnologico de Monterrey,Monterrey, Mexico 64849,

e-mail: servando@itesm.mx

Received 24 February 2014; accepted 12 May 2014

Se expone la teora basica de los solitones opticos espaciales, enfocandose en los solitones fundamentales brillantes. Estos conceptos sonilustrados mediante dos programas desarrollados en MATLAB. El programa Petvia Mex, calcula el perfil de los solitones fundamentalesque corresponden a la ecuacion no lineal general de Schrodinger, mientras que el programa SSF Mex, simula la propagacion paraxial de unhaz optico en un medio no lineal. Utilizando ambos programas, se discuten diversos casos de importancia en el area de los solitones opticosespaciales, con el fin de estimular el interes en el lector tanto en el area de los solitones, como en el area de la fsica no lineal en general.

Descriptores: Solitones; ondas no lineales; ondas solitarias; optica no lineal.

The basic theory of spatial optical solitons is reviewed, focusing on fundamental bright solitons. The Physics of solitons is illustrated withtwo programs developed in MATLAB. One of these programs Petvia Mex, calculates the profile of fundamental solitons corresponding tothe generalized nonlinear Schrodinger equation, while the other program SSF Mex, simulates the paraxial propagation of optic beams innon-linear media. Using both codes, various phenomena of spatial optical solitons are discussed to stimulate the interest of the reader intosoliton theory and Nonlinear Physics in general.

Keywords: Solitons; nonlinear waves; solitary waves; nonlinear optics.

PACS: 42.65.Tg; 42.81.Dp; 42.65.Sf

1. Introduccion

1.1. Antecedentes historicos

En 1834, el ingeniero escoces John Scott Russell, al encon-trarse en el canal Union en Hermiston, Escocia, registro porprimera vez un fenomeno que se volvera fundamental parael desarrollo de la fsica no lineal. En las propias palabras deRussell [1]:

Creo que sera mejor introducir este fenomeno descri-biendo las circunstancias de mi primer encuentro con esto.Estaba observando el movimiento de un bote, el cual era ja-lado rapidamente a lo largo de un estrecho canal por un parde caballos cuando el bote se detuvo repentinamente, mas noas la masa de agua justo delante de la proa del bote en elcanal, la cual se haba puesto en movimiento en un estadode violenta agitacion: repentinamente, esta masa en agitacionempezo a salir hacia delante con gran velocidad, tomando laforma de una larga elevacion solitaria, redonda, suave y biendefinida de una masa de agua, la cual continuo su curso alo largo del canal aparentemente sin cambio de forma o dis-minucion de velocidad. La segu montado en un caballo, yaun la vi pasar a una razon de algunas ocho o nueve millaspor hora, conservando su figura original algunos treinta piesde largo y entre un pie y pie y medio de altura. Pasado untiempo, su altura gradualmente disminuyo, y despues de se-guirla una distancia de dos millas, la perd en unos recodosdel canal. As que, en el mes de agosto de 1834, fue mi pri-mera oportunidad de encontrarme con ese singular y hermosofenomeno, al cual he llamado onda de traslacion, un nombreque generalmente ahora se acepta.

El merito de Russell consistio en seguir dicha onda detraslacion durante una muy larga distancia para as repor-tar por primera vez tal fenomeno. Durante los primeros casi100 metros, una onda solitaria se mantuvo propagando conla misma forma, contrario a la mayora de las olas que sim-plemente se rompen o atenuan de manera mucho mas rapi-da. Sin embargo, esta onda solitaria logro sobrevivir durantemas de 3 Km. La teora hidrodinamica hasta entonces cono-cida, resultaba insuficiente para explicar la existencia de talfenomeno. Esta condicion motivo a que reconocidos cientfi-cos de aquella epoca, tales como Airy y Stokes, afirmaranque las conclusiones obtenidas de las observaciones experi-mentales de Russell deban estar equivocadas [2]. No fue sinohasta el ano de 1871, cuando el frances Boussinesq publico elformalismo fsico-matematico necesario para dar sustento alas observaciones de Russell [3]. Posteriormente, en 1895los matematicos holandeses Korteweg y su estudiante DeVries obtuveron una ecuacion diferencial parcial que mode-laba el fenomeno observado por Russell: la llamada ecuacionKdV [4]. Sin embargo, dicha ecuacion, al ser no lineal, repre-sentaba tambien un enorme reto para su analisis durante esaepoca, quedando paulatinamente, como una mera curiosidadcientfica. No fue sino hasta el surgimiento de las primerascomputadoras, cuando durante 1965 dos fsicos-matematicosamericanos, Norman Zabusky y Martin Kruskal, realizaronlos trabajos pioneros en la obtencion de soluciones numericasa la ecuacion KdV [5], demostrando la existencia de ondassolitarias que se mantenan evolucionando permanentementesin sufrir deformacion alguna, dandole ademas el nombre adichas soluciones no lineales de solitones. Posteriormente,la existencia de solitones fue paulatinamente identificada en

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diversos sistemas de la naturaleza: ademas de producirse enlos canales de agua, se encontro la posibilidad de formacionde solitones en fibras opticas, en los impulsos electricos delas neuronas, en procesos de condensacion de Bose-Einstein,en el transporte de energa en protenas o incluso en la forma-cion de tormentas en otros planetas como en la mancha rojadel planeta Jupiter. El fenomeno soliton se volvio recurrentea gran escala en fsica no lineal: aparecio desde el estudio dela fuerza gravitatoria hasta la teora de cuerdas [6-10].

1.2. Solitones opticos espaciales

Es importante aclarar que la definicion formal del termino so-liton varia conforme al area de estudio, llegando incluso a sermotivo de controversia entre puristas.

Para el presente trabajo, definimos al soliton de manerageneral como: una onda solitaria que no sufre una defor-macion visible durante su evolucion en un medio no lineal.Dicho de otro modo, el soliton es una onda aislada que secomporta como partcula al excitarse diversos fenomenos nolineales.

En optica, existen dos principales tipos de solitones: silos fenomenos no lineales logran contrarrestar el fenomenode dispersion cromatica (fenomeno donde diferentes longi-tudes de onda viajan a diferentes velocidades) produciendouna invarianza del perfil en el tiempo, se habla de un solitonoptico temporal, mientras que si la no linealidad contrarrestala difraccion y la invarianza del haz es producida en algunacoordenada espacial, se habla entonces de un soliton opticoespacial. En el presente trabajo nos concentraremos en esteultimo tipo de solitones. Sin embargo, muchos de los con-ceptos aqu expuestos pueden ser extrapolados a la teora desolitones opticos temporales, as como a la fsica de solitonesen general [11].

Un haz de luz laser al propagarse en un medio no lineal,puede modificar el ndice de refraccion de tal manera que es-te aumente como resultado de una mayor intensidad del laser,produciendo un fenomeno de un auto-enfocamiento del hazoptico, y oponiendose as a la tendencia natural del haz deexperimentar una divergencia debido al fenomeno de difrac-cion. Si el fenomeno de auto-enfocamiento por cuestiones nolineales y la difraccion son balanceadas adecuadamente, elhaz no sufrira deformacion, creandose as un soliton opticoespacial.

La primera observacion con solitones espaciales reporta-da data de 1974 por Ashkin y Bjorkholm [14], al propagar enuna celda llena de vapor de sodio, un haz con un perfil trans-versal simetrico circular. A bajas potencias, el haz laser sedifracto dentro de la celda, mientras que para altas potencias,el haz se estabilizo y se logro propagar sin experimentar unadifraccion visible.

Todos los solitones opticos requieren que se produzca unaexcitacion no lineal lo suficientemente fuerte entre el haz deluz laser y el material a traves del cual dicho haz se propa-ga. Esta excitacion requiere que la distancia de difracciondel haz sea comparable con la distancia donde se manifies-

ta el auto-enfocamiento del haz debido al medio no lineal.En el caso de solitones espaciales, estas distancias se limi-tan tpicamente a centmetros, dando como consecuencia quese requiera una excitacion fuerte de alguna no linealidad, adiferencia de los solitones temporales producidos en fibrasopticas, en donde la no linealidad excitada es pequena, pu-diendo ser esta tratada como un fenomeno de pertubacion, ydando como resultado que las distancias de propagacion enestos casos pueden llegar a ser de kilometros. Ademas, otradiferencia entre los solitones espaciales respecto a los tem-porales es su dimensionalidad. Mientras que los solitones defibra optica se describen por una unica dimension temporal,los espaciales pueden ser de 1, 2 o 3 dimensiones, dependien-do del numero de dimensiones espaciales en donde se logre elauto-atrapamiento por cuestiones puramente no lineales. Es-ta posibilidad les transfiere a los solitones opticos espaciales,una mayor riqueza y complejidad de fenomenos, tal como lacapacidad de producir trayectorias circulares y espirales, fa-cilitando el estudio de transferencia de momentum angular enmedios no lineales [11-16].

Otra propiedad de interes en los solitones, es el estudiode las interacciones entre ellos [17], siendo esta propiedadpor la que se sugirio originalmente el nombre de solitonal fenomeno, debido a su comportamiento de partcula, yaque los solitones son capaces de experimentar fenomenosde atraccion, repulsion o transferencia tanto de momentumlineal como de momentum angular. En el caso mas simplede un soliton de una dimension, y para un reducido numerode medios no lineales, las interacciones pueden ser tratadasde manera analtica usando una tecnica matematica conocidacomo dispersion inversa (Inverse Scattering) [8,15]. Sin em-bargo, para la mayora de los medios no lineales, el analisismediante simulaciones computacionales se vuelve en muchasocasiones, la unica herramienta disponible actualmente pararealizar estudios de solitones.

2. Teora de solitones opticos espaciales

2.1. La ecuacion no lineal de Schrodinger generalizada

Empezamos una descripcion fsico-matematica de los soli-tones opticos espaciales, senalando que la propagacion deun campo electrico complejo escalar E asociado con un hazoptico continuo, se puede modelar a partir de la siguienteecuacion de onda obtenida directamente de las ecuaciones deMaxwell [11]:

2E 1c22E

t2=

10c2

2P

t2, (1)

donde c es la velocidad de la luz en el vaco y 0 es la per-timitividad del vaco. La polarizacion inducida P , se puedeexpresar como:

P (r,t) =Pl(r,t)+Pnl(r,t), (2)expresion en la cual Pl(r,t) modela los efectos lineales, yPnl(r,t) aquellos de caractersticas no lineales, y en donde r

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representa las coordenadas espaciales. Asumiendo que (i) larespuesta no lineal del medio es instantanea, (ii) que Pnl(r,t)puede ser considerada como una perturbacion a Pl(r,t), (iii)que el campo optico mantiene su polarizacion en propagaciony ademas (iv) que el campo optico es cuasi-monocromatico,proponemos una solucion en la forma

E(r) =(r) exp(i0z), (3)

donde 0 = 2pin0/, es la constante de propagacion en fun-cion de la longitud de onda , y n0 es el ndice de refraccionen el vaco. Se puede demostrar que al asumir la aproxima-cion paraxial, la envolvente del haz optico (r) cumple conla siguiente ecuacion diferencial no lineal [11,19]:

i0Z

+12

(2X2

+2Y 2

)+ 0k0nnl(||2) = 0, (4)

donde k0 = 2pi/ y nnl es el termino que modela la no li-nealidad en funcion de la intensidad del haz optico ||2. Ob-serve que en ausencia de fenomenos no lineales, la Eq. (4),se reduce a la ecuacion paraxial. A continuacion, se definennl = n2G(||2), siendo n2 > 0, el coeficiente Kerr del ma-terial no lineal. En el estudio teorico de solitones, es practicacomun el introducir variables adimensionales, esto con el finde facilitar el posterior analisis numerico. Por lo anterior, sepropone un cambio de variables [11]:

x = X/w0, y = Y/w0,

z = Z/Ld, U =k0 |n2|Ld, (5)

dondew0 un parametro de escala transversal relacionado conel ancho del haz inicial y Ld = 0w20 es conocida como ladistancia de Rayleigh o la longitud de difraccion. De esta ma-nera, la Eq. (4), puede ser reescrita de manera adimensionalcomo:

iU

z+12

(2U

x2+2U

y2

)+N(|U |2)U = 0, (6)

siendo la funcion N(|U |2) aquella que describe las propieda-des nolineales del medio, con la condicion de N(0) = 0. LaEq. (6) es conocida como la ecuacion no lineal de Schrodin-ger generalizada (GNLSE, por sus siglas en ingles, Generali-zed Nonlinear Schrodinger Equation). Se dice que esta ecua-cion es (2 + 1)-dimensional, donde el 2 se refiere al numerode dimensiones transversales del haz y el +1 corresponde ala direccion de propagacion en z. Sin embargo, para el pre-sente trabajo se trabajara por simplicidad, unicamente con laGNLSE (1 + 1)-dimensional que corresponde a: [11,19,20]:

iU

z+122U

x2+N(|U |2)U = 0, (7)

En donde la coordenada en y ha sido simplemente suprimida.Desde un punto de vista fsico, esta supresion puede lograr-se al imponer dos placas paralelas de considerable extensionen un medio no lineal, formando as una gua de onda plana,

la cual encapsulara el haz en la dimension y, dejando visibleel fenomeno de difraccion solamente en la coordenada x. LaEq. (7) es la ecuacion base que modelara todas nuestras si-mulaciones en el presente trabajo: el primer termino de dichaecuacion es conocido como el termino de evolucion o propa-gacion, el segundo termino toma en cuenta el fenomeno dedifraccion, mientras que el ultimo termino es el responsablede caracterizar la no linealidad.

2.2. Diferentes clases de no linealidades

Tanto la existencia como las diversas propiedades de los soli-tones, dependen de manera crucial de los diferentes tipos deno linealidades. Haces opticos con potencias y perfiles trans-versales iguales se pueden comportar de manera totalmentediferente en diversos medios no lineales; de ah la importan-cia del analisis particular de cada una de las distintas funcio-nesN(|U |2). A continuacion se mencionan algunos ejemplosde las funciones no lineales mas comunmente utilizadas:

2.2.1. Medio Kerr

El caso del medio no lineal mas ampliamente estudiado[8,15,18], en el cual la funcion

N(|U |2) = |U |2 , (8)

modela el llamado medio Kerr. El interes por este medio radi-ca en que convierte a la Eq. (7) en una ecuacion integrable, loque significa de manera general, que la Eq. (7) admitira solu-ciones que s pueden ser obtenidas analticamente. En el casodel medio Kerr, la Eq. (7) recibe el nombre particular de ecua-cion no lineal de Schrodinger (NLSE, Nonlinear SchrodingerEquation). En el caso del signo positivo en la Eq. (8), exis-te una no linealidad de auto-enfocamiento, que es el tipo deno linealidad estudiada en el presente trabajo. En el caso delsigno negativo, existe una no linealidad de desenfocamiento,la cual permite la existencia ya no de ondas solitarias bienlocalizadas, sino de zonas de oscuridad bien localizadas, ro-deadas por un haz continuo y constante de luz, dando lugaras a los llamados solitones oscuros [21].

2.2.2. Medios de competicion de no linealidades

Al excitarse fenomenos no lineales por medio de un haz opti-co, la primera contribucion clasica a tomar en cuenta es ladependencia con respecto a |U |2 , sin embargo, para camposopticos de mas altas intensidades, el ndice de refraccion de-be modelarse tomando en cuenta otros ordenes de contribu-ciones no lineales. Por ejemplo, varios materiales exhiben uncomportamiento dado por [11,19]

N(|U |2) = c1 |U |2 + c2 |U |4 , (9)

en donde si c1 > 0 y c2 < 0, se producira una competenciaentre el auto-enfocamiento de tercer orden dado por el coefi-ciente c1, y el auto-desefocamiento de quinto orden dado por

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el coeficiente c2. A bajas intensidades del haz optico, pre-dominara el efecto del auto-enfocamiento, mientras que paraaltas intensidades, sera el efecto de auto-desenfocamiento elque predomine. Lo anterior dara como resultado que, en estetipo de medios los solitones fundamentales existan hasta cier-to valor de intensidad, ya que despues de cierto valor umbral,solo se podran generar solitones oscuros.

2.2.3. Medios de saturacion

Otra funcion no lineal de interes, es aquella que modela unmedio de saturacion [19,22], que esta representado por

N(|U |2) = |U |2

1 + s |U |2 , (10)

en donde s se le conoce como parametro de saturacion. Ob-serve que si s = 0, se recupera la funcion dada por la Eq. (8).Este modelo es ampliamente utilizado ya que la saturacion dela no linealidad al utilizar altas potencias es bastante comunen diversos medios no lineales, tal como ocurre por ejemplo,en los materiales fotorrefractivos [11].

Existen muchos otros tipos de funciones N(|U |2) quemodelan medios no lineales mas exoticos, tales como: me-dios no locales [23], medios de no linealidad transitiva [11],medios de saturacion no lineal del tipo logartmico satura-ble [24], medios basados en redes fotonicas [25], etc. Elanalisis particular de los solitones para cada uno los diferen-tes medios no lineales, constituye por s mismo todo un reto,dando lugar a la obtencion de toda una variedad de entidadessolitonicas con propiedades fsicas muy diversas.

2.3. Solitones espaciales en la NLSE

La obtencion de soluciones del tipo soliton mediante tecnicasanalticas a la Eq. (7) se reduce a funcionesN(|U |2)muy par-ticulares. Por ejemplo, para el caso del medio Kerr, se puedeverificar que, proponiendo una solucion solitonica del tipo

U(x, z) = S(x) exp[i(x, z)], (11)

donde tanto S como son funciones puramente reales y uti-lizando ademas las condiciones: (i) que S = a y dS/dx = 0para x = 0 y (ii) que tanto S como dS/dx tiendan a ceroconforme |x| , lo que asegura obtener una onda solita-ria, permite encontrar soluciones invariantes en su amplitudS(x), con un perfil semejante a un haz Gaussiano, en dondesolo la fase exp[i(x, z)] experimentara cambios durante lapropagacion. Si ademas buscamos un soliton que sea simetri-co respecto a x = 0, obtenemos la solucion invariante masbasica a la NLSE: el soliton brillante fundamental del medioKerr, que esta dado por [11,26],

U(x, z) = a sech(a x) exp[ia2z/2], (12)

donde a es un numero real. En la Fig. 1(b), se muestra el per-fil correspondiente a dicho soliton. Observe que este modo

fundamental, al tener una intensidad mayor en la parte cen-tral, equivale tambien a que el ndice de refraccion mas altose encuentra ubicado en dicha region. De manera similar, losefectos de difraccion son mas apreciables en la zona mas an-gosta, que precisamente coincide con la zona central, por loque de esta manera es posible el equilibrio entre la difrac-cion y los efectos no lineales debidos al auto-enfocamiento.Sin embargo, esta solucion invariante a la Eq. (7) utilizandola Eq. (8), no es unica. De hecho, existen un numero infinitode soluciones de este tipo, que estan en funcion al numero dezeros del perfil U(x, 0). Los solitones que no poseen ninguncero, los solitones fundamentales, son de manera general losmas faciles de reproducir en diversos experimentos en labo-ratorio. A pesar de que el presente trabajo se centra en el es-tudio de los solitones espaciales fundamentales brillantes, esimportante aclarar que ademas existen otras familias solitoni-cas espaciales, que de manera muy general, se pueden clasifi-car en solitones con diferentes topologas que pertenecen a unmismo medio, o en solitones que son formados por diferentesmecanismos fsicos. En el primer caso, podemos mencionarcomo ejemplo, a los solitones fundamentales y los solitonesde diversos ordenes (aquellos que cuentan con diferentes can-tidades de ceros en su perfil), as como tambien a los vorticessolitonicos [23] , azimutones [27] y elipticones [28], mientrasque en el segundo caso, podemos mencionar como ejemplo,los solitones fotorefractivos [22], los solitones grises y oscu-ros [21] y los solitones no locales [23], entre otros.

Al estudiar el fenomeno soliton, se debe tener presenteque el principio matematico de superposicion no se cumple.Este principio senala que si un sistema acepta una solucionA y ademas una solucion B, entonces A+B sera tambien unasolucion a dicho sistema. De lo anterior se puede demostrarque al multiplicar la Eq. (12) por una constante diferente auno, la solucion no sera ya del tipo soliton, perdiendo as lapropiedad de invarianza. Sin embargo y de manera intere-sante, el superimponer dos solitones de la forma dada por laEq. (12), se obtiene un estado compuesto que, ha pasado aser comunmente conocido como soliton de segundo orden, apesar de que dicho perfil estrictamente no puede ser conside-rado como soliton bajo nuestra previa definicion. Dicho es-tado compuesto experimenta cambios periodicos durante supropagacion que estan dados por [26,29]

U(x, z) =4[cosh(3x) + cosh (x)] exp[iz/2]

cosh (4x) + 4 cosh (2x) + 3 cosh (4 z), (13)

En la Fig. 1(c), se observa la propagacion del perfil. Observeque el haz tiene una periodiciad de pi/2.

2.4. Solitones fundamentales en la GNLSE

El problema para encontrar las soluciones del tipo solitoncuando N(|U |2) es diferente al caso del medio Kerr, presen-tan complicaciones extraordinarias. De hecho, para la enor-me mayora de los casos, la Eq. (7) se vuelve no integrable,lo que significa que dicha ecuacion solo posee soluciones quese pueden encontrar por metodos numericos o tecnicas semi-

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analticas como metodos de perturbacion. De ah el porque elmundo de los solitones ha vivido su auge apenas durante losultimos 50 anos aproximadamente; epoca que coincide preci-samente con el inicio del uso de la computadora como meto-do para analizar y resolver problemas de alta complejidad.Por tal motivo, en el presente trabajo, se ofrece el programaPetvia Mex, que es un codigo abierto y libre, escrito en MA-TLAB, en donde se ha implementado el metodo numerico dePetviashvili [30,31,32], para encontrar solitones fundamenta-les a la GNLSE descrita por la Eq. (7). Dicho codigo proponesoluciones solitonicas fundamentales de la forma:

U(x, z) =(x)exp(iz), (14)

en donde la funcion real (x) y su derivada tienden a ceroconforme |x| y el parametro > 0, recibe el nombrede constante de progacion del soliton. En el apendice A se ex-plica mas a fondo el metodo de Petviashvili. Una de las ven-tajas de este algoritmo, es su alta razon de convergencia, yaque esta es practicamente independiente de que tan cercanase encuentre la solucion inicial propuesta respecto a la so-lucion verdadera. Esto contrario a otros algoritmos iterativosmas especializados en la literatura, en donde la solucioninicial propuesta (o ansatz), debe encontrarse muy cercana ala solucion verdadera para que se produzca una convergen-cia en el algoritmo. Por otro lado, la desventaja del algoritmode Petviashvili, es que solo pueden obtenerse exclusivamentelos solitones fundamentales.

Una manera de caracterizar a los solitones obtenidosnumericamente, es a traves del calculo de la potencia P [11],

P () =

|U(x, 0)|2 dx =

|U(x, z)|2 dx, (15)

note que dicha cantidad es invariante en la propagacion, yademas que se encuentra en funcion de la constante de pro-pagacion del soliton .

2.5. Propagacion de solitones fundamentales

Una vez obtenida la solucion tipo soliton, es posible realizarun analisis de sus diversas propiedades dinamicas, utilizandocomo condicion inicial en la GNLSE al soliton previamenteobtenido. Para facilitar el estudio de este proceso, se ofreceel programa SSF Mex, que tambien es un codigo abierto ylibre, realizado en MATLAB, en donde se encuentra imple-mentado el metodo del paso dividido de Fourier (o split-stepFourier method) [15,33,34]. Dicho metodo de propagacionparaxial no lineal esta basado en la transformada de Fourier,y es uno de los metodos enlistados bajo el nombre de meto-dos pseudo-espectrales [8]. El metodo del paso dividido deFourier realiza el procesamiento de calculos mucho mas rapi-do que otros metodos numericos, como por ejemplo aquellosbasados en diferencias finitas. La razon de esto es que usaalgoritmos muy eficientes como la transformada rapida deFourier (FFT), ademas de que las versiones mas recientes de

MATLAB tienen implementada la llamada transformada deFourier mas rapida del Oeste (FFTW) [35]. El metodo delpaso dividido de Fourier se usa extensivamente para resolverla NLSE en problemas de fibras opticas. De manera muy ge-neral, el metodo del paso dividido de Fourier asume que elcampo optico U se propaga de z a z + h calculando el efectode difraccion de forma separada al de la no linealidad. Pa-ra una explicacion mas detallada de este metodo, se puederevisar el apendice B.

2.6. Estabilidad de las ondas solitarias

Si el principio de superposicion no es valido en medios nolineales, entonces la pregunta: Que ocurrira durante la pro-pagacion si se perturba ligeramente el perfil ideal e inicial delsoliton? no tiene una respuesta trivial. Para conocer esta res-puesta se realiza un analisis de estabilidad de solitones. Y esque la sola existencia de solitones, resolviendo ya sea analti-ca o numericamente la Eq. (7) no garantiza su estabilidaden la propagacion [20]. Para fines de este trabajo, un solitonse considerara estable si, sufriendo una perturbacion inicial,su intensidad se mantiene relativamente invariante durante supropagacion. Los solitones que son estables a lo largo de supropagacion son de importancia fundamental, ya que son losunicos solitones capaces de ser observados experimentalmen-te.

Para el caso de los solitones temporales, los efectos no li-neales son debiles, por lo que la funcion utilizada en la Eq. (7)dara como resultado siempre modelos integrables o casi inte-grables, resultando en solitones temporales estables o cuasi-estables, que solo tendran pequenas variaciones que podranser analizadas mediante teora de perturbaciones.

Sin embargo, en el caso de los solitones espaciales, susinestabilidades se encuentran asociadas con efectos no trivia-les de diferente naturaleza que van mas alla de la teora deperturbaciones. Por lo que de manera general, el soliton pue-de propagarse durante distancias extremadamente largas paraanalizar la aparicion de eventuales cambios en su intensidad,decidiendo as si el soliton es estable o inestable. Este procesoes normalmente acelerado al anadir una componente aleatoriade ruido al soliton, para despues propagar el perfil perturba-do. En el caso de los solitones fundamentales brillantes existeademas un criterio de estabilidad conocido como criterio deVakhitov-Kolokov. De manera general, dicho criterio estable-ce que, un soliton fundamental sera estable siempre y cuandocumpla con la siguiente condicion [20,36]

dP

d> 0, (16)

Es importante remarcar que el criterio de Vakhitov-Kolokov aplica solo para solitones fundamentales y no pa-ra otras entidades como un vortice solitonico. Dicho criteriopuede ser utilizado tambien en el caso de perfiles espacialesbidimensionales, demostrando as por ejemplo, que los soli-tones espaciales en dos dimensiones son siempre estables pa-ra el caso de propagacion en un medio de saturacion, mientrasque en el caso del medio Kerr, son siempre inestables.

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2.7. Empleando con cuidado la GNLSE

La Eq. (6) es considerada una de las ecuaciones universalesen optica no lineal. Sin embargo, nos gustara advertir de al-gunas situaciones en donde el uso de dicha ecuacion puededar lugar a la obtencion de resultados erroneos en las simu-laciones computacionales. Por ejemplo, en la derivacion dela Eq. (6) se asume que el campo del haz optico mantienesu polarizacion. Sin embargo, al utilizar dos componentes or-togonales de un solo campo optico (en el caso de un mediobirrefringente), o al utilizar dos o mas campos opticos con lamisma polarizacion pero con diferentes frecuencias, se puededemostrar que efectivamente, existe la posibilidad de forma-cion de solitones opticos, pero en ambos casos se hace yareferencia a los solitones vectoriales, que ya no son mode-lados por Eq. (6), sino en su lugar resultan de una serie deecuaciones no lineales de Schrodinger acopladas.

Otro tipo de situacion en donde hay que ser cautelososcon el uso de la Eq. (6) , es cuando se utiliza un funcionalno lineal que no sea del tipo Kerr. Por ejemplo, si se tiene unfuncion con una no linealidad de m-potencia dado por

N(|U |2) = |U |2m , (17)se puede mostrar que este caso la GNLSE permite propagarsolitones cuya energa puede llegar a concentrarse de manerainmediata en un punto durante la propagacion, produciendouna singularidad en la intensidad del haz, fenomeno que re-cibe el nombre de colapso del haz optico [11]. Dicho colapsoocurre de manera general, cuando mD 2, donde D es ladimension transversal del haz optico a investigar. En el casoespecfico de los solitones espaciales bidimensionales, el me-dio Kerr (m = 1) es suficiente para inducir el colapso del hazoptico. En el caso del haz unidimensional pero con m = 2, sepuede producir el colapso del haz, tal como se puede observaren la Fig. 3 (a). Al ocurrir la aparicion de dicha singularidaden las simulaciones, hay que incluir otro tipo de fenomenospara modificar la Eq. (6), tal como tomar en cuenta efectos noparaxiales, para as describir entonces un modelo mas realistade la propagacion del haz en el medio en cuestion.

As como hay que tener cautela al emplear la GNLSE,tambien se debe tomar cierta precaucion con el uso del termi-no soliton, sobre todo cuando se trabaja de una manera multi-disciplinaria. Como se menciono anteriormente, la definicionformal del soliton vara entre los diferentes campos de estu-dio cientficos. Desde un punto de vista mas matematico, sehace la distincion formal entre solitones y ondas solitarias.Siendo los solitones ondas solitarias, un soliton ademas de-be ser capaz de experimentar colisiones elasticas (aquellasen donde no existe una perdida de energa al interactuar conotros solitones), as como tambien un soliton debe de poseerun numero infinito de cantidades de conservacion, como loson: la potencia, el momentum, el Hamiltoniano, ademas deconservar otras cantidades que no poseen una interpretacionfsica, por lo menos no de una manera directa. Por ende, es-trictamente un soliton solo exisitira cuando el sistema estu-diado sea integrable y se pueda analizar utilizando la tecnica

de dispersion inversa, ya que de lo contrario, se hablara en-tonces estrictamente de ondas solitarias que al sufrir algunacolision, podran modificarse o incluso destruirse por com-pleto. Sin embargo, desde un punto de vista mucho mas fsi-co, tal distincion matematica entre solitones y ondas solitariases mucho mas relajada, siendo ambos terminos consideradosnormalmente sinonimos, como es el caso manejado en el pre-sente documento.

3. Laboratorio virtual de solitones opticos es-paciales

El estudio de solitones opticos espaciales requiere sin lugarel dudas, del uso de una computadora para llevar a cabo cier-tos tipos de analisis. En esta seccion se presentan algunosresultados obtenidos utilizando los codigos Petvia Mex ySSF Mex, esperando alcanzar dos objetivos: primero, el dereforzar e ilustrar la teora de los solitones opticos espacia-les anteriormente descrita y segundo, el de estimular la ex-ploracion de los solitones opticos espaciales. Ambos codi-gos pueden ejecutarse sin necesidad de saber programar enMATLAB, ya que tan solo se necesita escribir el respectivonombre del codigo en la ventana de comandos, para luego irseleccionando las diversas opciones presentadas. Una ventajade ambos codigos, es que pueden ser modificados/depuradospara incluir/eliminar diversos procesos o datos de los algo-ritmos a conveniencia del usuario; por ejemplo, ambos codi-gos pueden ser modificados para realizar el estudio de soli-tones bidimensionales. En un computadora promedio actualde escritorio, para una z < 10, y utilizando la configuracionoriginal de los programas (numero de puntos de discretiza-cion, numero de pasos a desplegar, opciones del menu, etc),cada simulacion debe ejecutarse en menos de 10 minutos.Ambos codigos pueden ser descargados en la siguiente liga:http://homepages.mty.itesm.mx/slopez/codigos.htm. A conti-nuacion se presentan algunos resultados obtenidos con dichosprogramas, en donde con cada simulacion realizada, se dis-cute e ilustra ademas un aspecto fundamental de la fsica desolitones opticos espaciales.

3.1. Demostracion de la invarianza del soliton

En la Fig. 1(a)-(b) se presentan los resultados de la propaga-cion de un haz Gaussiano (de ancho y amplitud unitaria) yde un haz solitonico en un medio Kerr, respectivamente. Ob-serve que mientras el haz Gaussiano sufre de una difraccionvisible para z = 5, el soliton mantiene el perfil de intensidadinicial incluso para z = 10, formando as su propia gua deonda durante toda la propagacion. De manera general, se pue-de pensar que tanto la intensidad como la forma del perfil, sonlos adecuados en el caso del soliton para excitar un procesono lineal de auto-enfocamiento, que balancea y contrarrestael fenomeno inherente de difraccion del haz, resultando enuna cancelacion mutua de ambos fenomenos, propagandoseas un haz optico invariante. En todas las simulaciones pre-sentadas en este trabajo, se muestra la intensidad del haz op-

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FIGURA 1. Propagacion en un medio Kerr de (a) un haz Gaussiano, (b) un soliton. Propagacion de un haz compuesto (soliton de segundoorden) en (c) un medio Kerr, (d) un medio de saturacion, con parametro s = 0.1.

tico |U(x, z)|2 , en lugar de la amplitud. Lo anterior debi-do a que la intensidad es realmente el perfil percibido por elojo humano. Ademas, se muestran las propagaciones en vi-sualizaciones de 2 o 3 dimensiones, sin que exista algunadiferencia fsica del perfil real entre ambos formatos.

3.2. Importancia del medio no lineal en la propagacion

Para mostrar como la propagacion de un haz optico es parti-cularmente sensible a diferentes medios no lineales, se mues-tran en las Figs. 1(c)-(d) las propagaciones de un haz descritopor la Eq. (13). Observe que dicho haz se comporta de ma-nera periodica durante su propagacion en el medio Kerr Fig.1(c), mientras que el mismo perfil inicial, al propagarlo en unmedio de saturacion (s = 0.1), el cual puede ser considera-do como un perturbacion al medio Kerr, pierde la periodici-dad anterior como se observa en la Fig. 1(d). Esto muestraque cada medio no lineal admitira solo solitones o estadoscompuestos con un perfil transversal incial muy especfico. Yaunque para ciertos casos, es posible realizar aproximacionesde los perfiles solitonicos con haces Gaussianos mediante unatecnica semi-analtica de afinacion de parametros (ancho delhaz, amplitud, etc), que es conocida como el metodo varia-cional para solitones [37], para la mayora de los materiales

no lineales, es indispensable utilizar alguna tecnica numericapara obtener los perfiles solitonicos.

3.3. Solitones del tipo no Kerr

Para ilustrar la obtencion de perfiles solitonicos a traves delprograma Petvia Mex, mostramos primeramente los resulta-dos de propagar el pefil solitonico dado por la Eq.(12), perorealizando la propagacion tanto en un medio de saturacioncomo en un medio de competicion de no linealidades, comose muestra en la Fig. 2. (a) y (d) respectivamente. Observeque para ambos casos el perfil inicial experimenta deforma-ciones, lo cual claramente muestra que no es un soliton. Pa-ra obtener los perfiles solitonicos correspondientes, se man-da ejecutar primero el programa de Petvia Mex, utilizando = 1 para ambos medios no lineales, obteniendo los perfi-les mostrados en la Fig. 2 (b) y (e) que corresponden al casodel medio de saturacion y de competicion de no linealida-des respectivamente. A continuacion se carga dicho perfil enel programa SSF Mex para realizar su propagacion. Observeque ambos perfiles en la Fig. 2 (c) y (f) mantienen esta vezsu invarianza, corroborando que son los correspondientes so-litones.

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FIGURA 2. Propagacion de perfiles iniciales solitonicos que corresponden al medio Kerr, pero propagados en un medio de (a) saturacion(s = 0.5) y (d) competencias de no linealidades (c1 = 1 y c2 = 1). Perfiles solitonicos que corresponden a los anteriormente mencionadosmedios de (b) saturacion y (e) competicion de no linealidades. En ambos casos =1. Propagacion de los respectivos solitones obtenidosnumericamente, en los medios de (c) saturacion y (f) competicion de nolinealidades.

3.4. Colapso del haz

Para ilustrar el fenomeno del colapso de haz, se muestra enla Fig. 3 (a) la propagacion realizada a partir de una con-dicion inicial de la forma U(x, 0) = exp(x2/4) y cuyapropagacion se ha realizado en un medio de competicion deno linealidades con c1 = 0 y c2 = +1. Observe que con-forme se propaga el haz optico, existe un incremento del va-

lor pico de intensidad, esto debido al fenomeno no lineal deauto-enfocamiento. Sin embargo, a un cierto valor de distan-cia (z ' 1.6), dicho crecimiento se vuele exponencial y seproduce rapidamente un incremento singular en la intensidad,invalidando desde esa distancia la simulacion de la propaga-cion, ya que dicho efecto sera contrarrestado fsicamente poralgun fenomeno de saturacion o de otra ndole.

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FIGURA 3. (a) Demostracion del fenomeno de colpaso de haz optico, en un medio de no linealidad de quinto orden. Interacciones de solitonesen un medio Kerr, con x0 = 3. Los solitones se encuentran (b) en fase (% = 0), (c) en contrafase (% = pi) y (d) desfasados (% = pi/4).

3.5. Caracterstica de partcula: interaccion entre soli-tones

El comportamiento de partcula de los solitones opticos es-paciales, se puede ilustrar mediante dos solitones que inicial-mente se encuentran cercanos entre ellos. Para un medio Kerr,dicha condicion inicial se encuentra expresada por:

U(x, 0) = sech(x+ x0) + sech(x x0) exp(i%), (18)en donde x0 cuantifica la distancia de separacion entre soli-tones, y el parametro %, es la fase relativa que existe entreambas ondas solitarias. En la Fig. 3(b)-(d) se muestran losresultados de las propagaciones. Si % = 0, los solitones seencuentran en fase, por lo que existe una interferencia cons-tructiva en su parte central, lo que produce un aumento delndice de refraccion en esa zona, dando como consecuenciaun fenomeno de atraccion como se muestra en la Fig. 3(b). Si% = pi, se tienen solitones en contrafase, o de manera equi-valente, se habla de una interferencia destructiva, que se tra-ducen en una disminucion del ndice de refraccion alrededorde x = 0, produciendo entonces un fenomeno de repulsion,como se puede apreciar en Fig. 3(c). Para otros valores de%, se producen dinamicas mas complejas, combinando zo-nas de atraccion y zonas de repulsion, como se observa en laFig. 4(d), en donde % = pi/4.

3.6. Analisis numerico de la estabilidad de solitones

Una parte crucial en el estudio de los solitones opticos espa-ciales, es determinar si las soluciones solitonicas son estables.Mediante el codigo de Petvia Mex, se obtienen primeramen-te los perfiles de los solitones para los casos =5 y = 0.5,mostrados en las Fig. 4(a) y Fig. 4(d) respectivamente, endonde ambos casos corresponden a un medio de competicion,con c1 = 0.7 y c2 = +1. Al propagar ambos solitones, se ob-serva invarianza en el perfil de intensidad, tal como es naturalde esperarse, tanto para el caso de =5 y = 0.5, como semuestran en la Fig. 4(b) y (e) respectivamente. A continua-cion, para nuestro analisis de estabilidad numerica, se repitenambas propagaciones, pero esta vez se anade un valor tpicodel 10% de perturbacion (o ruido) al perfil inicial, esto conel fin de acelerar el proceso de aparacion de inestabilidades.Observe que para =5, el soliton con ruido muestra esta vezen la Fig. 5(c) cambios importantes en la intensidad duran-te propagacion, con lo cual se concluye que el soliton con=5 es inestable. Sin embargo, para el caso de =0.5, el per-fil mostrado en la Fig. 4(f) se mantiene cuasi-invariante, porlo cual se dice que para este caso se tiene un soliton estable,por lo menos para z < 10. De esta forma se concluye, que enun arreglo experimental sera mas facil observar solitones con = 0.5.

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FIGURA 4. Perfiles solitonicos en un medio de competicion de no linealidades, en donde c1 = 0.7 y c2 = 1, con (a) = 5 y (d) = 0.5.Propagacion de los solitones sin haber anadido ruido, para (b) = 5 y (d) = 0.5. Propagacion de los solitones anadiendo 10 % de ruidopara (c) = 5 y (f) = 0.5.

4. Conclusiones

Se ha presentado una introduccion a la teora basica sobresolitones opticos, concentrandose en los solitones opticos es-paciales unidimensionales. Se ha reforzando e ilustrando di-cha teora mediante dos programas de codigo libre y abiertoen MATLAB: Petvia Mex, que es un programa capaz de ob-

tener soluciones fundamentales solitonicas, y SSF Mex, quees un programa para realizar propagacion paraxial de camposescalares complejos en medios no lineales. Se espera que am-bos programas ayuden a incrementar y difundir el interes porrealizar investigacion en el area de los solitones opticos espa-ciales, as como tambien a despertar un mayor interes por elarea de la fsica no lineal en general.

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Apendice

A. El metodo de relajacion de PetviashviliLa implementacion de dicho algoritmo se basa en reescribirla Eq. (7) como:

+122x2

+N(||2)=0, (19)

en donde se ha propuesto la busqueda de un soliton de la for-ma descrita por la Eq. (14). Aplicando una transformacion deFourier F , de tal forma que F{} = y recordando que enel dominio de Fourier F{2x2 } = k2x donde kx corres-ponde a la frecuencia espacial, se obtiene

12k2x+N=0, (20)

donde N = F{N(||2)}. Despejando para y sugerien-do un procedimiento iterativo se obtiene

n+1=N(n)+1/2 k2x

, (21)

en donde el subndice n representa la nesima iteracion delalgoritmo. El procedimiento iterativo dado por la ecuacionanterior usualmente diverge, por lo que es necesario introdu-cir un factor de estabilizacion Mn, corrigiendo el proceso deiteracion a

n+1=N(n)+1/2 k2x

Mn , (22)

en donde el factor de estabilizacion esta dado por:

Mn =

( + 1/2 k2x)2 dkx

N(n)dkx, (23)

en donde significa el complejo conjugado y es unparametro libre que al cumplir la condicion de 1

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