On the Dynamics and Synchronization of a Class of Nonlinear High Frequency Chaotic Oscillators:...

Table des matièresIntroduction

Analyse dynamique des oscillateurs de type ColpittsSynchronisation des oscillateurs de type Colpitts

Application aux communications sécurisées par chaosConclusion et perspectives

On the Dynamics and Synchronization of aClass of Nonlinear High Frequency Chaotic

Oscillators: Analysis and Applications toCommunication

Par:KAMDOUM TAMBA Victor(M.Sc. en Physique/Electronique)

En vue de l’obtention du Doctorat/Ph.D en Physique/Electronique

sous la direction de :FOTSIN Hilaire Bertrand

(Maître de Conférences )

Decembre 2014

KAMDOUM TAMBA Victor Dynamics and Synchronization of Chaotic Oscillators: Analysis and Applications to Communication 1 / 63




1 IntroductionContexte de la thèseEtat de l’artMotivationsObjectifsQuestions de recherche

2 Analyse dynamique des oscillateurs de type ColpittsRéponse à la question de recherche 1

3 Synchronisation des oscillateurs de type ColpittsRéponse à la question de recherche 2

4 Application aux communications sécurisées par chaosRéponse à la question de recherche 3

5 Conclusion et perspectives





Contexte de la thèseEtat de l’artMotivationsObjectifsQuestions de recherche

Contexte de la thèse

Applications des générateurs de signaux chaotiques haute fréquence :

Les systèmes de télédetectiongénération des signaux RADAR utilisés pour la détection, l’esti-mation et la classification ;

Les systèmes de génération des nombres/bits aléatoirescryptographie digitale, processus d’authentification et la modéli-sation stochastique ;

Les systèmes de télécommunicationcommunications sécurisées par chaos large bande.






Contexte de la thèseProblème de sécurité : confidentialité, authenticité, et intégrité.

FIGURE 1 : Principe de la communication

Dans ce contexte, ce n’est pas seulement l’utilisateur autorisé (des-tinaire B) qui peut accéder à l’information mais le pirate aussi. Pourempêcher l’accès au pirate, la protection de l’information est une né-cessité absolue.







FIGURE 2 : Système optique et opto-électronique

Y Chembo, thèse de doctorat, University of the Balearic Islands 2006

Avantages :

Grande pureté spectrale ;Large bande fréquentielle(s’étalant sur plusieurs GHz) ;Signal chaotique de très grandecomplexité (chaos de grandedimension).

Inconvénients :

Très coûteux ;Très sensibles aux fluctuationsenvironnementales ;Relativement difficile àimplémenter.







Oscillateurs électroniques

Les composants sont disponibles et bon marché ;Compacts et stables ;Facile réaliser.

Oscillateurs de type Colpitts

La possibilité de faire varier la fréquence de la gamme des kHzaux GHz selon la technologie choisie ;La non linéarité est intrinsèque (obtenue par le BJT) ;Le système est non symétrique et par conséquent générique.

IL ressort que générer les signaux chaotiques haute fréquence àpartir des oscillateurs de type Colpitts présente un grand intérêt.







FIGURE 3 : Principe de sécurisation des communications par chaos

http ://picasso.di.uoa.gr. Photonic Integrated Components Applied to Secure Chaos Encoded Optical Communications Systems






Etat de l’art (1)A. Tamasevicius et al., Elec. Lett. 40, 1569 (2004).S. Bumeliene et al., Nonlinear Dyn. 44, 167 (2006).

Points fortsGénération d’onde chaotique dans la gamme MHz au GHz ;Simulations analogiques (PSPICE).

LimitesModélisation mathématique limitée (Modèle linéaire continu parmorceau (PWL) dont l’exploitation est plus délicate) ;Manque d’analyse de la stabilité et des bifurcations (transitionsvers le chaos) ;

Or la maîtrise de tous ces éléments est indispensable pour une bonneexploitation technologique de ces oscillateurs.






Etat de l’art (2)H. B. Fotsin et al., Phys. Lett. A 339, 304 (2005).J. Kengne, Ph.D. Thesis, Univ. of Dschang, Sept. (2011).

Points fortsModélisation mathématique, analyse de la stabilité et des bifurca-tions, synchronisation avec identification des paramètres ;Application au masquage chaotique des communications.

LimitesEtudes Restreintes uniquement en basse fréquence ;Pas de prise en compte des perturbations internes et externesdans le processus de communication ;Restriction sur l’amplitude du messages à transmettre et faibleniveau de sécurité.






Etat de l’art (3)J. Effa et al., Nonlinear Dyn. 58, (2008).

Points fortsSynchronisation utilisant les contrôleurs non linéaires ;Vérification de la faisabilité par des simulations numériques.

LimitesModélisation mathématique une fois de plus limitée (Modèle li-néaire continu par morceau (PWL)) ;Pas de prise en compte des perturbations (internes et externes)dans le processus de synchronisation ;Pas d’implémentation réelle du processus de synchronisation.

Or dans la réalité, les perturbations existent et peuvent influencer consi-dérablement la qualité des communications.

KAMDOUM TAMBA Victor Dynamics and Synchronization of Chaotic Oscillators: Analysis and Applications to Communication10 / 63





Motivations

La volonté d’étudier les générateurs de signaux chaotiques dansleurs configurations haute fréquence afin d’optimiser leurs perfor-mances ;

L’ambition d’analyser en détail la dynamique (théoriquement etexpérimentalement) de ces générateurs afin de proposer des élé-ments technologiques pouvant permettre aux ingénieurs de télé-communication de mieux choisir et dimensionner leurs systèmes ;

Le souci de renforcer la sécurité des systèmes de communicationafin de garantir la confidentialité, l’authenticité et l’intégrité.






Objectifs

Etudier en détail la dynamique des oscillateurs de type Colpittsafin de mieux les caractériser et permettre la bonne compréhen-sion des phénomènes complexes présentés par ces oscillateurs ;

Développer de nouvelles techniques de synchronisation baséessur des fonctions projectives en tenant compte de différents sce-narios qui peuvent exister en pratique (perturbations internes etexternes) ;

Exploiter ces techniques de synchronisation dans les systèmesde communications sécurisées par chaos.






Questions de recherche

1 Quelles sont les potentialités d’une modélisation mathématiqueet d’une implémentation concrète des oscillateurs électroniqueshaute fréquence de type Colpitts ?

2 Quelle est la précision et la robustesse des techniques de syn-chronisation basées sur les fonctions projectives développées dansce travail ?

3 Les techniques développées dans ce travail sont telles fondamen-tales pour la conception et la réalisation des architectures (circuitsélectroniques) de sécurisation des communications ?





Réponse à la question de recherche 1

Oscillateur amélioré de Colpitts

FIGURE 4 : Oscillateur amélioré de Colpitts (a) et modèle du BJT (b)

A. Tamasevicius et al., Elec. Lett. 40, 1569 (2004)






Equations d’état Colpitts amélioré

RcC1dVc1

dt= V0 − Vc1 − Vc2 − Rc IL − Rc f (VBE ), (1a)

RcC2dVc2

dt= V0 − Vc1 − Vc2 − Rc I0 + Rc IL, (1b)

C3dVc3

dt= IL − (1− αF )f (VBE ), (1c)

LdILdt

= −RbIL − Vc1 − Vc2 − Vc3 . (1d)

où :

f (VBE ) =

{φpwl , modèle continu par morceauφEXP . modèle exponentiel (2)






Equations d’état normalisées

x1 = σ1(−x1 − x2) + x4 − γφpwl(x1, x3), (3a)x2 = ε1σ1(−x1 − x2) + ε1x4, (3b)x3 = ε2 (x4 − (1− αF )γφpwl(x1, x3)) , (3c)x4 = −x1 − x2 − x3 − σ2x4. (3d)

oùφpwl(x1, x3) =

{x1 + x3, x1 + x3 ≤ 11. x1 + x3 > 1 (4)

etφexp(x1, x3) = exp(x1 + x3)− 1 (5)






Variables et paramètres

xiVT = Vci − V 0ci

(i = 1,2,3), x4VT = ρ(IL − I0L ), (6a)

t = τ√

LC1, ρ =√

L/C1, ε1 = C1/C2, ε2 = C1/C3, (6b)σ1 = ρ/Rc , σ2 = Rb/ρ, γ = ρI0/VT . (6c)

où

V 0c1

= V0 + VT ln(1 + I0/Is) + ((1− αF )Rb − αF Rc)I0, (7a)

V 0c2

= −(1− αF )RbI0 − VT ln(1 + I0/Is), (7b)

V 0c3

= −V0 − ((1− αF )Rb − αF Rc)I0, (7c)

I0L = (1− αF )I0. (7d)






Comparaison des modèles PWL et EXP

FIGURE 5 : Comparaison des modèles PWL et EXP

Le modèle EXP est de classe C∞ alors que le modèle PWL est declasse C0. Le modèle PWL est une approximation du premier ordre dumodèle EXP. Il est donc incapable de ressortir tous les comportementsdynamiques présentés par le circuit réel.






Analyse de la stabilité

MJ/0 =

−σ1 − γ −σ1 −γ 1−ε1σ1 −ε1σ1 0 ε1

−ε2(1− αF )γ 0 −ε2(1− αF )γ ε2−1 −1 −1 −σ2

(8)

ε1 = 0.85, ε2 = 20.00, σ1 = 1.490, (9a)σ2 = 0.872, γ = 40.00, αF = 255/256 (9b)

λ1 = −44.0667, λ2 = −3.6578, λ3,4 = 0.4855± 2.4597i (10)

Comme il existe des valeurs propres à parties réelles positives,l’unique point d’équilibre est instable. Alors le système peut oscillerchaotiquement (oscillations auto-excitées).






Diagramme des paramètres

FIGURE 6 : Diagramme des paramètres dans le plan σ1-ε2.

V. Kamdoum Tamba, H.B. Fotsin, J. Kengne, Elie B. Megam Ngouonkadi and P.K. Talla, Int. J. Dynam. Control (2016)






Transition vers le chaos

FIGURE 7 : Transition vers le chaos suivant γ (gauche) et ε1 (droite)







Portraits de phase

FIGURE 8 : Portraits de phase numériques (gauche) et analogiques (droite)







Hystérésis et coexistence des attracteurs

FIGURE 9 : Hystérésis et coexistence des attracteurs







Bassin d’attraction

FIGURE 10 : Bassin d’attraction illustrant plusieurs attracteurs







Chaos transitoire

FIGURE 11 : Chaos transitoire







Oscillateurs de Colpitts à deux étages

FIGURE 12 : Oscillateurs de Colpitts à deux étages

V. Kamdoum Tamba, H. B. Fotsin, J. Kengne, F. Kapche Tagne, and P. K. Talla, Journal of chaos (2014)






Equations d’état Colpitts à deux étages

C1dVc1

dt= I1 − αF1 f (VBE1 ), (11a)

C2dVc2

dt= I1 − I0 + (1− αF1 )f (VBE1 ) + (1− αF2 )f (VBE2 ), (11b)

C3dVc3

dt= IL + (1− αF1 )f (VBE1 )− αF2 f (VBE2 ), (11c)

L1L2 −M2

L2

dI1dt

= V0 − Vc1 − Vc2 − Vc3 − RI1 −ML2

RLI2, (11d)

L1L2 −M2

MdI2dt

= V0 − Vc1 − Vc2 − Vc3 − RI1 −L1

MRLI2. (11e)

où

f (VBE i ) = Is

[exp(

VBE i

VT)− 1

](i = 1,2) (12)







Equations d’état normalisées

x1 = σ1(x4 − γφ(x2 + x3)), (13a)x2 = x4, (13b)x3 = σ2(x4 − γφ(x2)), (13c)x4 = σ3(−x1 − x2 − x3 − εx4 − αx5), (13d)x5 = σ4(−x1 − x2 − x3 − εx4 − µαx5). (13e)

oùφ(y) = exp(−y)− 1 (14)






Variables et paramètres

xiVT = Vci − V 0ci

(i = 1,2,3), xjVT = ρ(Ij − I0j ) (j = 1,2), (15a)

t = τ√

L2C2, ρ =√

L1/C2, σ1 = C2/C1, σ2 = C2/C3, (15b)

σ3 = L1L2/(L1L2 −M2), σ4 = L1M/(L1L2 −M2), (15c)

γ = ρI0/VT , ε = R/ρ, µ = L1L2/M2, α = RLM/L2ρ. (15d)

où

V 0c1

= V0 − V1 − RI0 + VT ln(1 + I0/Is), (16a)

V 0c2

= −VT ln(1 + I0/Is), (16b)

V 0c3

= V1, (16c)

I01 = I0, (16d)

I02 = 0. (16e)






Analyse de la stabilité

MJ/0 =

0 γσ1φ(x20 + x30) γσ1φ(x20 + x30) σ1 00 0 0 1 00 γσ2φ(x20) 0 σ2 0−σ3 −σ3 −σ3 −σ3ε −σ3α−σ4 −σ4 −σ4 −σ4ε −σ4µα

(17)

σ1 = 1.2, σ2 = 1.0, σ3 = 2.7, σ4 = 1.8, ε = 0.8, µ = 1.5, γ = 2.6, α = 1.6(18)

λ1,2 = −1.050± 0.458i , λ3 = −5.701, λ4,5 = 0.373± 2.332i . (19)

Comme il existe des valeurs propres à parties réelles positives, leO(0,0,0,0) est un point d’équilibre instable. Alors le système peutosciller chaotiquement (oscillations auto-excitées).






Transition vers le chaos

FIGURE 13 : Transition vers le chaosKAMDOUM TAMBA Victor Dynamics and Synchronization of Chaotic Oscillators: Analysis and Applications to Communication31 / 63





Circuit d’implémentation

FIGURE 14 : Circuit d’implémentation







Portraits de phase

FIGURE 15 : Portraits de phase numériques (a) et expérimentaux (b)







Synchronisation projective et ses variantessynchronisation projective fonctionnelle commutée

e(t) = xi (t)−m(t)yj (t) (20)

où i 6= j et m(t) = diag(m1,m2, ...,mn)

Si i = j on a la synchronisation projective fonctionnelleSi i = j et m(t) = I on a la synchronisation projective

Avantages de la méthode

Dans les méthodes classiques de synchronisation, i = j et m(t) = ILe fait de considérer que i 6= j et que m(t) est une matrice diago-nale d’ordre n rend le processus de synchronisation plus complexe etaugmente le nombre de clés dans le processus de communication.Ces considérations supplémentaires compliquent la tâche aux pirateset augmentent le degré de sécurité des communications.






Position du problème

Considérons les systèmes maître et esclave définis respectivementpar les relations(21) et (22)

x = F1(t , xi ) + G1(t , xi )φ+ D′(t) (21)

y = F2(t , yj ) + G2(t , yj )θ + D′′(t) + u(t , xi , yj ) (22)

où :xi et yi : variables d’étatF1(t , xi ),G1(t , xi ),F2(t , yj ) et G2(t , yj ) : fonctions continues nonlineairesφ∈ Rp et θ∈ Rq : vecteurs des paramètres inconnusD′(t) = (d11,d12, ...d1n)T et D′′(t) = (d21,d22, ...d2n)T ∈ Rn :représentent les perturbations externes appliquées aux systèmes etu(t , xi , yj ) la fonction de commande.






Objectif de la méthode

Objectif

L’objectif ici est de trouver la fonction de commande u(t , xi , yj ) quiassure la synchronisation projective commutée entre les systèmesmaître (21) et esclave (22) avec l’identification des parametres incon-nus φ∈ Rp et θ∈ Rq et en présence des perturbations externes D′(t)et D′′(t).c’est à dire limt→∞‖e(t)‖ = limt→∞‖xi −m(t)yj‖ = 0 (i 6= j)






Modèles des systèmes maître-esclave

Colpitts à deux étages couplés comme systèmes maître et esclave

x1 = a1x4 − b1φ(x2 + x3) + d11(t), (23a)

x2 = x4 + d12(t), (23b)

x3 = c1x4 − d1φ(x2) + d13(t), (23c)

x4 = −x1 − x2 − x3 − ε1x4 + d14(t). (23d)

y1 = a2y4 − b2φ(y2 + y3) + u1(t , x , y) + d21(t), (24a)

y2 = y4 + u2(t , x , y) + d22(t), (24b)

y3 = c2y4 − d2φ(y2) + u3(t , x , y) + d23(t), (24c)

y4 = −y1 − y2 − y3 − ε2y4 + u4(t , x , y) + d24(t). (24d)






Combinaisons des erreurs

Les différentes combinaisons des erreurs de synchronisation sontdonnées par l’expression :

n(A0) =n!− n(A0) = [1− 1 +12!− 1

3!+

14!− ...+ (−)n 1

n!]n!

=n!n∑

p=2

(−1)p 1p!

(n ≥ 3)(25)

Pour notre système de dimension 4, la relation (25) donne :

n(A0) = 4!(12!− 1

3!+

14!

) = 9 (26)

Cela signifie que nous avons au total 9 possibilités de synchronisationreprésentées dans le tableau suivant.






Possibilités de synchronisation

e1 = x1 −m1(t)y2 e1 = x1 −m1(t)y3 e1 = x1 −m1(t)y4












V. Kamdoum Tamba, H. B. Fotsin, J. Kengne, P. K. Talla and T. Fozin Fonzin, Far East J. of Dynamical Systems (2013)






Fonctions de commande

u1(t , x , y) =1

m4(t){− x1 − x2 − x3 − ε1x4 −m4(t)[a2y4 − b2φ(y2 + y3)]

− m4(t)y1 + k4e4 + γ14 tanh(m4(t)e4)−m4(t)λ21 tanh(m4(t)e4)},

u2(t , x , y) =1

m1(t){

a1x4 − b1φ(x2 + x3)−m1(t)y4 − m1(t)y2 + k1e1

+ γ11 tanh(m1(t)e1)−m1(t)λ22 tanh(m1(t)e1)},

u3(t , x , y) =1

m2(t){

x4 −m2(t)[c2y4 − d2φ(y2)]− m2(t)y3 + k2e2

+ γ12 tanh(m2(t)e2)−m2(t)λ23 tanh(m2(t)e2)},

u4(t , x , y) =1

m3(t){

c1x4 − d1[φ(x2)]−m3(t)(−y1 − y2 − y3 − ε2y4)

− m3(t)y4 + k3e3 + γ13 tanh(m3(t)e3)−m3(t)λ24 tanh(m3(t)e3)}.







Lois d’adaptation des paramètres

˙a2 = y4e1, (28a)˙b2 = −φ(y2 + y3)e1, (28b)˙c2 = y4e3, (28c)˙d2 = −φ(y2)e3, (28d)˙ε2 = −y4e4. (28e)

où ki (i = 1,2,3,4), sont des constantes positives à choisir de façonjudicieuse et a2, b2, c2, d2, ε2 sont les estimations des paramètres in-connus.V. Kamdoum Tamba, H. B. Fotsin, J. Kengne, P. K. Talla and T. Fozin Fonzin, Far East J. of Dynamical Systems (2013)






Expressions des perturbations

d1i =

d11 = 0.3 sin(10πt) + g(t)d12 = 0.1 cos(10πt) + g(t)d13 = 0.2 sin(10πt) + g(t)d14 = 0.2 cos(10πt) + g(t)

(29)

d2i =

d21 = sin(10πt)d22 = cos(10πt)

d23 = − sin(10πt)d24 = − cos(10πt)

(30)

g(t) = 10(rand + 0.5) (31) FIGURE 16 : Bruit blanc et histogramme






Résultats de la synchronisation

FIGURE 17 : Résultats de la synchronisation sans (gauche) et avec perturba-tions (droite)







Position du problème

Considerons le système défini par :

x = f (x) (32)

où x = (x1, x2, x3, x4) est le vecteur des variables d’état.Divisons le système (32) en deux parties données par :

v = f (v , x4), (33a)

x4 = g(v , x4). (33b)

le système couplé maître-esclave est donné par :

vm = f (vm, x4), (34a)

x4 = g(vm, x4), (34b)

vs = g(vs, x4) + ui . (34c)

où x4 est la variable de couplage et ui la fonction de commande.KAMDOUM TAMBA Victor Dynamics and Synchronization of Chaotic Oscillators: Analysis and Applications to Communication44 / 63





Objectif de la stratégie

Objectif

L’objectif est de déterminer la fonction de commande ui (i = 1,2,3,4)qui assure la synchronisation projective des systèmes maître (34a) etmaître (34c) avec n’importe quelle matrice Λi (t) et en présence desperturbations externesc’est à dire limt→∞‖e(t)‖ = limt→∞‖vs − Λi (t)vm‖ = 0

pour atteindre cet objectif, nous considérons deux oscillateurs amélio-rés de Colpitts nommés (S1) et (S2) comme systèmes maître et es-clave pour construire l’émetteur et le récepteur.






Diagramme de la communication sécurisée par chaos

FIGURE 18 : Diagramme de la communication sécurisée par chaos







Le modèle des systèmes couplés (S1) et (S2) est donné par :

x1m = a(−x1m − x2m) + x4 − bφ(x1m, x3m), (35a)x2m = c(−x1m − x2m) + dx4, (35b)x3m = εx4 − fφ(x1m, x3m), (35c)x4 = −x1m − x2m − x3m − gx4, (35d)x1s = a(−x1s − x2s) + x4 − bφ(x1s, x3s) + u1, (35e)x2s = c(−x1s − x2s) + dx4 + u2, (35f)x3m = εx4 − fφ(x1s, x3s) + u3. (35g)

où φ(x1s, x3s) = exp(x1s + x3s)− 1 et ui (i=1,2,3) est la fonction de

commande à déterminer.






Fonctions de commande

Les systèmes maître (S1) et esclave (S2) synchronisent avec lesfonctions de commande ui (i=1,2,3) définie par :

u1 = ae2 − (1− Λ1(t))x4 + bφ(x1s, x3s)− Λ1(t)bφ(x1m, x3m)

+ Λ1(t)x1m − k1e1, (36a)

u2 = ce1 − d(1 + Λ2(t))x4 − Λ2(t)x2m − k2e2, (36b)

u3 = −ε(1− Λ3(t))x4 + fφ(x1s, x3s)− Λ3(t)fφ(x1m, x3m) + Λ3(t)x3m − k3e3.(36c)

où les ki (i = 1,2,3,4) sont des constantes positives qui doivent êtrechoisis judicieusement pour assurer la bonne synchronisation des sys-tèmes S1 et S2.






Messages et perturbationsMatrice diagonale Λi (t) et messages :

Λi (t) = ∆i (2+sin(2πt)), ∆i = [1,−1, 1] (37)

m(t) = 3 + 2 sin(t), m(t) = 2sgn(sin(t)) (38)

Perturbations :

d1i =

d11 = cos(5πt) + g11

d12 = − cos(10πt) + g12

d13 = sin(15πt) + g13

(39)

d2i =

d21 = 0.5 cos(5πt) + g21

d22 = −0.3 cos(10πt) + g22

d23 = 0.4 sin(15πt) + g23

(40)

gij =√−2 lnα cos(2πα) (41) FIGURE 19 : Bruit blanc gaussien et

histogramme






Codage et décodage des messages

FIGURE 20 : Sécurisation des communications par chaos sans perturbationsKAMDOUM TAMBA Victor Dynamics and Synchronization of Chaotic Oscillators: Analysis and Applications to Communication50 / 63





Codage et décodage des messages

FIGURE 21 : Sécurisation des communications par chaos avec perturbations






Circuits d’implémentation de la synchronisation

FIGURE 22 : Circuits d’implémentation







Le modèle du système maître est donné par

x1m = x3m − αFγφ(x2m), (42a)x2m = ε(x3m + (1− αF )γφ(x2m)), (42b)x3m = σ1(−x1m − x2m − ηx3m − αx4m), (42c)x4m = σ2(−x1m − x2m − ηx3m − µαx4m). (42d)

Et celui du système esclave par

x1s = x3s − αFγφ(x2s) + k(x2s − x2m), (43a)x2s = ε(x3s + (1− αF )γφ(x2s)) (43b)x3s = σ1(−x1s − x2s − ηx3s − αx4s), (43c)x4s = σ2(−x1s − x2s − ηx3s − µαx4s). (43d)

V. Kamdoum Tamba, H. B. Fotsin, J. Kengne, F. Kapche Tagne, and P. K. Talla, Eur. Phys. J. Plus (2015)






Synchronisation expérimentale

FIGURE 23 : Etat de non synchronisation et de synchronisation







Modules expérimentaux

FIGURE 24 : Modules expérimentaux de sécurisation des communications







Codage et décodage d’un message analogique

FIGURE 25 : Codage et décodage d’un message analogiqueKAMDOUM TAMBA Victor Dynamics and Synchronization of Chaotic Oscillators: Analysis and Applications to Communication56 / 63





Codage et décodage d’un message numérique

FIGURE 26 : Codage et décodage d’un message numériqueKAMDOUM TAMBA Victor Dynamics and Synchronization of Chaotic Oscillators: Analysis and Applications to Communication57 / 63




Conclusion (1)

La modélisation des oscillateurs haute fréquence de type Colpittsa été faite en utilisant des modèles mathématiques appropriéspermettant de mieux rendre compte des phénomènes réels pré-sentés par ces oscillateurs ;

Les outils de caractérisation du chaos (diagramme de bifurcation,exposant de Lyapunov, spectre de puissance) ont été utilisés pourétudier en détail la dynamique complexe des différents oscilla-teurs ;

De nouveaux phénomènes tels que : la coexistence des attrac-teurs, le dédoublement de période inverse, le chaos transitoire etbien d’autres ont été observés ;

Les résultats théoriques, numériques et expérimentaux sont enaccord ;





Conclusion (2)

Nous avons synchronisé ces oscillateurs en présence des pertur-bations internes et externes en utilisant des méthodes basées surles fonctions projectives ;

Les simulations numériques ont montré la faisabilité et la robus-tesse méthodes proposées ;

Une exploitation de ces techniques de synchronisation a été faitedans le domaine des communications sécurisées par chaos ;

Le caractère imprédictible des matrices et la commutation desvariables d’état dans le processus de synchronisation ont permitd’augmenter la complexité et le niveau de sécurité des communi-cations par rapport aux méthodes classiques ;

Les méthodes développées ont présenté moins de contraintes surl’amplitude, le nombre et la nature du message.





Perspectives

Utiliser des équipements appropriés pour mener des investiga-tions expérimentales avancées telles que : l’analyse spectrale,l’analyse des bifurcations et les sections de Poincaré. Cela nouspermettra de faire une comparaison avec les résultats théoriquesobtenus dans cette thèse ;

Adaptater les méthodes de synchronisation qui ont été élaboréesdans cette thèse pour des systèmes chaotiques continus aux casdes systèmes chaotiques discrets.

Appliquer nos différents modèles à la génération des bits aléa-toires, qui sont très utilisés pour des applications telles que : cryp-tographie digitale, processus d’authentification, modélisation sto-chastique et la loterie.





Liste des publications

Publications issues de la thèse1 V. Kamdoum Tamba, H.B. Fotsin, J. Kengne, Elie B. Megam Ngouonkadi, and P.K. Talla,

Emergence of complex dynamical behaviors in improved Colpitts oscillators : antimonotoni-city, coexisting attractors, and metastable chaos. International Journal of Dynamical andControl (2016) DOI. : 10.1007/s40435-016-0223-4.

2 V. Kamdoum Tamba, H.B. Fotsin, J. Kengne, F Kapche Tagne, and P.K. Talla, Coupledinductors-based chaotic Colpitts oscillators : mathematical modeling and synchronization is-sues. European Physical Journal Plus 130 (2015) DOI. : 10.1140/epjp/i2015-15137-x.

3 V. Kamdoum Tamba, H.B. Fotsin, J. Kengne, F. Kapche Tagne, and P.K. Talla, Complex dyna-mical behavior of a two-stage Colpitts oscillator with magnetically coupled inductors. Journalof Chaos. DOI. : 10.1155/2014/945658.

4 V. Kamdoum Tamba, H.B. Fotsin, J. Kengne, P.K. Talla and T. Fozin Fonzin, Complete swit-ched adaptive modified function projective synchronization of two-stage chaotic Colpitts oscil-lators with uncertain parameters and external disturbances. Far East Journal of dynamicalsystems 21(2) (2013) 93-114.





Autres publications1 Elie B. Megam Ngouonkadi, H.B. Fotsin, P. Louodop Fotso, V. Kamdoum Tamba and Hilda A.

Cerdeira, Bifurcations and multistability in the extended Hindmarsh-Rose neuronal oscillator.Chaos Solitons and Fractals DOI. : 10.1016/j.chaos.2016.02.001 (2016).

2 J. Kengne, Z. Tabeboueng, V. Kamdoum Tamba and A. Nguomkam Negou, Periodicity, chaosand multiple attractors in a memristor-based Shinriki’s circuit. Chaos AIP 25, 103126 DOI. :10.1063/1.4934653 (2015).

3 Elie B. Megam Ngouonkadi, Martial Kabong Nono, V. Kamdoum Tamba and H. B. Fotsin,Phase synchronization of bursting neural networks with electrical and delayed dynamic che-mical couplings. European Physical Journal B. DOI. : 10.1140/epjb/e2015-60505-7 (2015).

4 G.B. Nkamgang, E. Foadieng, V. Kamdoum Tamba, P.K. Talla and A. Fomethe, A Modelfor a Thin Magnetostrictive Actuator in Nonlinear Dynamics. Research Journal of AppliedSciences, Engineering and Technology 11(11) :1245-1256 (2015).

5 J. Kengne, J.C. Chedjou, M. Kom, K. Kyamakya, and V. Kamdoum Tamba, Regular oscilla-tions, chaos, and multistability in a system of two coupled van der Pol oscillators : numericaland experimental studies. Nonlinear Dynamics DOI. : 10.1007/s11071-013-1195-y (2014).

6 J. Kengne, F. Kenmogne and V. Kamdoum Tamba, Experiment on bifurcation and chaos incoupled anisochronous self-excited systems : case of two coupled van der Pol-Duffing oscil-lators.Journal of Nonlinear Dynamics. DOI. : 10.1155/2014/815783 (2014).





Remerciements

L’administration de l’Université de Dschang pour toutes les facili-tés accordées pendant cette thèse ;

Tous les membres du Jury pour avoir accepté évaluer ce travail ;

SCP, EMA, ICTP et CIMPA pour l’opportunité qu’ils nous ont donnéde présenter quelques parties de ce travail lors de leurs diffé-rentes conférences internationales ;Toute ma famille pour le soutien incommensurable ;

Toute l’assistance pour votre aimable attention.


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