On Skew Fuss Paths
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1
On Skew Fuss Paths
Li-Chih Chen
陳立志指導教授:游森棚教授
Department of Applied Mathematics
National University of Kaohsiung, ROC
Aug 11, 2013
2
Outline
• Introduction
Dyck paths Fuss paths
Skew Dyck paths Skew Fuss paths
• Main results
• Idea of proof
• Discussions and future work
3
Dyck pathsDefinition 長度為 n 的 Dyck paths := ◎ 起點 (0,0) ,終點 (2n,0) ◎ 使用向上步 " " U (1,1) 與向下步 " "
D (1,-1) ,且不落在 x 軸之下。 ◎ 長度 n 是指其向上步 U 的個數。 n=3
有 5 個 Dyck paths
4
( ) : C n Dyck paths of length n
21( ) 1,1,2, ,14,
1
Catalan numbers
nC n
nn
Theorem (André ,1887)
2
2 3 4
1 1 41
2
1 2 14
zC z zC z
z
z z z z
5
◎Generating function
5
5
2-Fuss pathsDefinition(Fuss,1795,Bertrand,1887)
長度為 n 的 2-Fuss paths :=◎ 起點 (0,0) ,終點落於 x 軸。◎ 使用向上步 U(2,2) 與向下步 D(1,-1) ,且不
落在 x 軸之下。 ◎長度 n 是指其向上步 U 的個數。
有 3 個 2-Fuss paths
n=2
DU
6
2 : 2- F n Fuss paths of length n
2 31 =1,1, ,12,55,
2 1
=Fuss-Catalan numbers
nF n
nn
Theorem (Fuss,1795,Bertrand,1887)
32 2 2 31 1 12F z z F z z z 3
3
◎Generating function
7
2-Fusspaths
Dyckpaths
8
m-Fuss pathsDefinition (Fuss,1795,Bertrand,1887)長度為 n 的 m-Fuss paths :=◎ 起點 (0,0) ,終點落於 x 軸。◎ 使用向上步 U(m,m) 與向下步 D(1,-1) ,且
不落在 x 軸之下。 ◎長度 n 是指其向上步 U 的個數。
m 格
m格
n=2
有 4 個 3-Fuss paths
DU
9
: - mF n m Fuss paths of length n◎
◎Generating function
Theorem (Fuss,1795,Bertrand,1887)
11
mm mF z z F
11
1 m m n
F nmn n
10
2-Fusspaths
m-Fusspaths
Dyckpaths
11
Skew Dyck pathsDefinition (Deutsch et al,2010) 長度為 n 的 Skew Dyck paths :=◎ 起點 (0,0) ,終點落於 x 軸。◎ 使用向上步 U(1,1) 、右下步 D(1,-1) 與左下
步 L (-1,-1) ,且不落在 x 軸之下。 ◎長度 n 是指其向上步 U 的個數。
有 3 個 Skew Dyck paths
n=2
LDU
12
( ) : S n Skew Dyck paths of length n◎
◎Generating function
k k1
1( ) c =1,1, ,10,36, c =Catalan numbers
1
n
k
nS n
k
Theorem (Deutsch et al,2010)
2
2
2 3 4
1 1 6 51+ 1
2
1 10 36
z z zS z z S z S z
z
z z z z
3
3
13
Skew Dyck paths
2-Fusspaths
m-Fusspaths
Dyckpaths
14
Skew Dyck paths
2-Fusspaths
m-Fusspaths
Dyckpaths
? ?
Our question…
15
Yes, we find it !
16
Main results
17
Skew Dyck paths
2-Fusspaths
m-Fusspaths
Skew2-Fusspaths
Dyckpaths
Skewm-Fusspaths
18
Definition 5.1 (Chen,2013)長度為 n 的 Skew 2-Fuss paths :=◎ 起點 (0,0) ,終點落於 x 軸。◎ 使用向上步 U(2,2) 、右下步 D(1,-1) 與左下
步 L (-1,-1) ,且不落在 x 軸之下。◎長度 n 是指其向上步 U 的個數。
Skew 2-Fuss paths
LDU有 2 個 Skew 2-Fuss paths
n=1
19
n=2
有 14 個 Skew 2-Fuss paths
20
Theorem 5.2 (Chen,2013)
22 2 2 2
2 3
1+ -1 +1
1 2z+ 118
S z z S S S
z z
Generating function
14
2 ( ) : 2- S n Skew Fuss paths of length n
12 +1
0 0
21( ) 2
1
1,2, ,118,1114,11306,
n nk
k j
n n jS n
k j k n jn
14
Theorem 5.3 (Chen,2013)
proof :step1 :利用結構拆解法
21
3 2
2
1 1 1
1 1 1
S zS zS z S zS S
S z S S S
or ss
s s
or ss
or
or
S-1
s
S-1
1D
D
D
D
z
LL
L
L
zz
z
USD’SD”S
USD’SL’ U(S-1)L’L”
U(S-1)L’D’S
step2 :
step3 :用 Lagrange Inversion formula
2 1 2
1+1
0 0
1( ) 3 1 2
21 2
1
n nn n
n nk
k j
S n z G z z z zn
n n j
k j k n jn
2
2
1 1 1 1
3 1 2
G S S z S S S
G z G G G
令 代入
22
proof :
23
Skew m-Fuss paths
Definition 5.4 (Chen,2013)長度為 n 的 Skew m-Fuss paths :=◎ 起點 (0,0) ,終點落於 x 軸。◎ 使用向上步 U(m,m) 、右下步 D(1,-1) 與
左下步 L (-1,-1) ,且不落在 x 軸之下。◎長度 n 是指其向上步 U 的個數。
m 格m 格
U LD
24
( ) : - mS n Skew m Fuss paths of length n
1 2 1
0 0
1 21( ) 2
1
n nm m n k
k j
m n n jS n
j k n jn n k
Theorem 5.6 (Chen,2013)
2 11+ -1 +1
mm m m mS z z S S S
◎ Generating function
Theorem 5.5 (Chen,2013)
step1 :利用數學歸納法及結構拆解導出
已知 m=1 時成立 ( 即定理 4.2)
已知 m=2 時成立 ( 即定理 5.2)
假設 Skew m-Fuss paths 時成立證明 Skew (m+1)-Fuss paths 時也成立設 Skew (m+1)-Fuss paths 的生成函數記為 S
25
121 1 1 mS z S S S
proof :
26
依第一次下降到 y=1 及 y=0 分類,並令第
一次下降到 y=0 的單位步的起點為 P ,可
分成 4 種類型:(Ⅰ) LD (Ⅱ) LL (Ⅲ) DD (Ⅳ) DL
m+1
m+1
m+1
m+1
P P
P P
LL
L
L
D
DD
D
(Ⅰ ) (Ⅱ )
(Ⅲ ) (Ⅳ)
proof :
case1 :
27
◎ ( )( ) Ⅰ Ⅱ 型:第一次下降到 y=1 的上一步是 L 的路徑。
◎ 在 ( )( )Ⅰ Ⅱ 型中,先考慮 y=1 之上的路徑,就是以 (1,1) 為起點, P 為終點的路徑。
◎( )Ⅰ 型的路徑=原點到 P 的路徑 × ( S )◎( )Ⅱ 型的路徑=原點到 P 的路徑 × ( 1 )◎( )( ) Ⅰ Ⅱ 型相當於以原點為起點, P 為終點的
路徑,乘上 (S+1) 。
m+1 m+1
P PL
LLD
(Ⅰ ) (Ⅱ )
proof :
case2 :
28
◎ ( )( ) Ⅲ Ⅳ 型:第一次下降到 y=1 的上一步是 D 的路徑。
◎ 在 ( )Ⅲ ( )Ⅳ 中,先考慮 y=1 之上的路徑,就是以 (1,1) 為起點, P 為終點的路徑。
◎( )Ⅲ 型的路徑=原點到 P 的路徑 × ( S )◎( )Ⅳ 型的路徑=原點到 P 的路徑 × ( 1 )◎( )( ) Ⅲ Ⅳ 型相當於以原點為起點, P 為終點
的路徑,乘上 (S+1)
m+1 m+1
P PLD
DD
(Ⅲ ) (Ⅳ)
proof :
29
原點走到 P 的函數方程由數學歸納法假設為 12 1 1 mz S S S
滿足 S 的函數方程 = 原點走到 P 乘上(S+1), 即
12
2
1 1 1 1
1 1 1
m
m
S z S S S S
z S S S
proof :m+1
m+1
m+1
m+1
P P
P P
LL
L
L
D
DD
D
(Ⅰ ) (Ⅱ )
(Ⅲ ) (Ⅳ)
m
m
P
L
D
P
Skew m-Fuss paths Skew (m+1)-Fuss paths
×(S+1)
×(S+1)
step2 :
step3 :用 Lagrange Inversion formula
11 2
1 2 +1
0 0
1( ) 3 1 2
1 21 2
1
n m nm n n
n n m n k
k j
S n z G z z z zn
m n n j
j k n jn k
30
12
12
1 1 1 1
3 1 2
m
m
G S S z S S S
G z G G G
令 代入
proof :
m
1
2
3
4
5
6
1, 1, 3, 10, 36, 137, ……
1, 2, 14, 118, 1114, 11306, ……
1, 4, 64, 1296, 29888, 745856, ……
1, 8, 288, 13568, 734720, 43202560, ……
1, 16, 1280, 137216, 17006592, 2293825536,……
1, 32, 5632, 1351680, 376569856, 114340921344,……
0
s mn
n
31
32
Skew Dyck paths
2-Fusspaths
m-Fusspaths
Skew2-Fusspaths
Dyckpaths
Skewm-Fusspaths
33
按照向左步的計數 (Skew 2-Fuss paths)
,
2
2 3 2
2 3 4 5 3
,
1+ 1 +
1 (1 ) (3 6 4 )
(12 35 40 23 7 )
k nn kS S y z a y z
S z S S y S y
y z y y y z
y y y y y z
2令
Theorem 5.7◎Generating function
n=2
34
按照向左步的計數 (Skew 2-Fuss paths)
2 2
2 1 1
k-n+j0 0 0
,
2 11
1
nn n
n n kn i j
nk j i
S y z S y z
jn n kS y y
n k j in
令
Theorem 5.8
:
step1 :利用結構拆解 ,將左下步標記為 y
35
3 2 2
2
1 1 1
S-1 1
S zS zy S zyS zyS S
z S y S S y
or or
Soror
1 z z
z z
yy
yy
S
S
S-1
S-1
SS
S
proof :
step2 :
step3 :用 Lagrange Inversion formula
21
1 1
k-n+j0 0 0
1+1 1
2 11
1
nnn n n
n n kn i j
k j i
z S z G z z y z zyn
jn n ky
n k j in
2
2
1 S-1 1
1 1
G S z S y S S y
G z G y G Gy
令 代入
36
proof :
37
2 11
k-n+j0 0 0
,
2m-1 2 11
1
m mnn
m n kn nn i j
k j i
S y z S y z
jn m n kny
jn n k i
,
12
,
1+ 1 +
m k nn k
m
S S y z a y z
S z S S y S y
令
Theorem 5.9◎Generating function
按照向左步的計數 (Skew m-Fuss paths)
38
Discussions and future work1.數論性質( 1 ) Dyck paths(Catalan 數 )
( 2 ) Fuss paths(Fuss Catalan 數 )
211 mod 2 2 1
1kn
nnn
若且唯若
11
1 mod 1 1 11
km nm n m
mn n
若且唯若
39
Discussions and future work1. 數論性質( 3 ) Skew 2-Fuss paths
2 0 mod 2 ( 1)nS n
證明:定義 ψ : →
ψ(……L) =…… D ,且 ψ(……D) =…… L ,顯然是一個 involution , ψ 將所有 中的路徑二二配對,故
必為偶數。
2nS
ψ
2nS
2nS 2 2
n ns S
n=2
Theorem 6.1
40
Discussions and future work1. 數論性質( 3 ) Skew 2-Fuss paths
Question: Skew m-Fuss paths 的數論性質?
2
2
2
1 1,2 mod 4
2 1,2,6,6,2 mod8
3 1,2,14,6,10,10,6,14,2 mod16
n
n
n
S
S
S
Conjectures:
41
2. 細分 Dyck Paths :按照山峰數 Narayana numbers
按照隧道( tunnel )數 Narayana numbers
按照區塊( block )數 Ballot numbers
按照第一個山峰的高度 Ballot numbers
按照高度( height ) Height distribution
Discussions and future work
Question:Skew m-Fuss paths 按照以上細分是否有結果?
42
3. Skew 2-Fuss paths 按 " " 步的細分
Discussions and future work
1 12
0 0 1
2 11
1
n n kn i j
nk j i
n n j kS y y
n k j k n j in
20
21
22 2
22 1
31 0 " " 2-
2n+1
3 1 1 " "
1
11 1 2 2 " "
2
2 1 " " 3 2
n
n
nn
nn
ny S y Fuss paths
n
ny S y
n
n nn y S y
n y S y n
個 此即
個
個
個
( )★
Question: ( )★ 有簡單的証明嗎?
43
Discussions and future work
4. 組合結構?◎There are Catalan Structures
◎There are Fuss Structures
Question: Skew m-Fuss paths families ??
200
50
44
THANK YOU !