ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕ ΤΟ MAPLE

Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MAPLE 1. Τι είναι το MAPLE. Είναι γνωστό ότι οι Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές µπορούν να εκτελέσουν αριθµητικούς υπολογισµούς πολύ γρήγορα. Τα τελευταία χρόνια έχει γίνει δυνατό να χρησιµοποιηθούν για και αλγεβρικούς υπολογισµούς µε τη χρήση τόσο συµβόλων, όσο και αριθµών. Το MAPLE είναι ένα από τα πλέον ισχυρά τέτοια συστήµατα και θα χρησιµοποιηθεί σε πολλά από τα µαθήµατά σας τα επόµενα τρία-τέσσερα χρόνια. Στο µάθηµα ‘‘Υπολογισµός µε το MAPLE’’ θα γνωρίσετε τα βασικά στοιχεία του MAPLE. Το µάθηµα αυτό δε θα σας διδάξει µόνο κάποια πράγµατα για το MAPLE και το CALCULUS, αλλά θα χρησιµεύσει και σα µέθοδος επανάληψης κάποιων βασικών στοιχείων Μαθηµατικών. Θα προσέξετε ότι άλλα µαθήµατα Μαθηµατικών χρησιµοποιούν το MAPLE καθ’όλη τη διάρκεια του έτους. 2. Τι µπορεί να κάνει το MAPLE. Ο παρακάτω πίνακας δίνει µερικά από τα πολλά στοιχεία του MAPLE:

_ Μπορεί να κάνει υπολογισµούς µε τη χρησιµοποίηση χιλιάδων ψηφίων και σταθερής ή µεταβλητής υποδιαστολής.

_ Μπορεί να χειριστεί τύπους µε πολυώνυµα, τριγωνοµετρικές συναρτήσεις, λογάριθµους και πολλές ακόµη ειδικές λειτουργίες που θα συναντήσετε στα µαθήµατα πτυχίου.

_ Μπορεί να επιλύσει συστήµατα εξισώσεων. _ Μπορεί να παραγωγίσει, να ολοκληρώσει και να επιλύσει διαφορικές εξισώσεις. _ Μπορεί να σχεδιάσει γραφήµατα σε δύο και τρεις διαστάσεις. _ Μπορεί να χειριστεί πίνακες µε συµβολικές ή αριθµητικές εισαγωγές.

3. Πώς έχουµε πρόσβαση στο MAPLE από τα Windows 95. Η έκδοση που θα χρησιµοποιήσουµε διατίθεται στα Windows 95. Για την πρόσβαση στο πρόγραµµα χρειάζονται οι παρακάτω ενέργειες (Σηµ. αν τα Windows είναι ήδη εγκατεστηµένα δε χρειάζεται να πιέσετε το RESET. Πηγαίνετε απ’ ευθείας στο βήµα Β.) : Α. Πιέστε το RESET. Β. Όταν εµφανιστούν τα εικονίδια, κάντε διπλό κλικ στο MAPLE (φύλλο σφενδάµου) ή

(i) Πιέστε το START. (ii) Μετακινήστε τον κέρσορα στο βέλος µετά το ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ. Εµφανίζεται ένα ΜΕΝΟΥ. (iii) Μετακινήστε τον κέρσορα στο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

1

και θα βρείτε το MAPLE V εκδ.5. Κάντε αριστερό κλικ και περιµένετε να φορτώσει το πρόγραµµα. Τώρα έχετε στην οθόνη σας ένα φύλλο εργασίας στο οποίο µπορείτε να δώσετε εντολές.

4. Πώς τίθεται σε λειτουργία το MAPLE. Θα προσέξετε ότι όταν το σύστηµα περιµένει εντολές εµφανίζεται το σύµβολο > και µια λεπτή κάθετη γραµµή. Η γραµµή σας δείχνει την αρχή του κειµένου. Στις σηµειώσεις αυτές ‘‘ > οτιδήποτε’’ η λέξη οτιδήποτε απεικονίζει την εντολή σας. Το αποτέλεσµα δίνεται από το MAPLE στο κέντρο της επόµενης γραµµής. Για παράδειγµα:

> 2+2 ; 4

Τούτο σηµαίνει πως γράφετε 2, συν , 2 και “;”. Πιέζετε ENTER. Το σύµβολο ; δείχνει στο πρόγραµµα το πέρας εντολής. Το συχνότερο λάθος είναι να ξεχαστεί το “;”. Η εντολή µπορεί να καταλαµβάνει περισσότερες σειρές, που η κάθε µία θα τελειώνει µε ENTER. Το πρόγραµµα θα λειτουργήσει µετά το ; ακολουθούµενο από ENTER. Μπορείτε να βάλετε περισσότερους από έναν υπολογισµούς σε µια σειρά. Για παράδειγµα: > 3+4 ; 4-2 ; 7

2 5. ∆υνατότητα βοήθειας. Μία από τις χρησιµότερες δυνατότητες του MAPLE είναι το HELP. Μπορείτε να το χρησιµοποιήσετε µε δύο τρόπους:

(i) Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε το ΜΕΝΟΥ στο πάνω µέρος της οθόνης, όπου µπορείτε να πάρετε πληροφορίες για όλο το σύστηµα. Για το σκοπό αυτό, µετακινήστε τον κέρσορα στο HELP και κάντε αριστερό κλικ. Στο µενού που εµφανίζεται, κάντε κλικ στο TOPIC SEARCH ή στο FULL TEXT SEARCH και εισάγετε το θέµα στο οποίο χρειάζεστε βοήθεια.

(ii) Αν θέλετε συγκεκριµένες πληροφορίες για κάποια βασική λέξη όπως για παράδειγµα τη λέξη EXPAND, αλλά δε γνωρίζετε πώς να τη χρησιµοποιήσετε, δε χρειάζεται να χρησιµοποιήσετε το ΜΕΝΟΥ HELP αλλά γράψτε: > ?expand;

Θα εµφανιστεί παράθυρο µε πληροφορίες για το θέµα µε παραδείγµατα. Αυτή η µέθοδος πρέπει να χρησιµοποιείται συχνά στα πρώτα στάδια του MAPLE. 6. Πώς σώζουµε την εργασία στο δίσκο ή πώς κάνουµε εκτύπωση. Όταν τελειώσετε µπορεί να θέλετε να σώσετε την εργασία σας. Για να το πετύχετε αυτό είτε στο σκληρό δίσκο είτε στη δισκέτα, υπάρχουν οδηγίες στις σελ. 27.Και για εκτύπωση, οδηγίες υπάρχουν στη σελ. 27(τελευταία σελ.).

2

Β. ΤΡΟΠΟΣ ΧΡΗΣΗΣ MAPLE. Το MAPLE χρησιµοποιεί + και – για πρόσθεση και αφαίρεση. Χρησιµοποιεί * για πολλαπλασιασµό, / για διαίρεση και ^ για εκθέτη. Οι στρογγυλές παρενθέσεις σηµαίνουν προτεραιότητα. ∆ηλαδή το 4 *(2+3) είναι ίσο µε 20.Όταν απαιτείται πολλαπλασιασµός πρέπει να γράψετε *. ∆ηλαδή το 4(2+3) είναι ίσο µ 4. Αν κάνετε λάθος, δε χρειάζεται να γράψετε τα πάντα από την αρχή. Μπορείτε να κάνετε κλικ όπου θέλετε να προσθέσετε ή να διαγράψετε κάτι. Αν θέλετε να αντιγράψετε κάτι, χρησιµοποιείστε CUT και PASTE στο ΜΕΝΟΥ EDIT. 1.1. Επαναφορά προηγούµενων απαντήσεων Το MAPLE χρησιµοποιεί το σύµβολο ’’(shift και 2) για επαναφορά του αµέσως προηγούµενου αποτελέσµατος. ∆ιπλό ’’ ’’ επαναφέρει την προηγούµενη και ’’ ’’ ’’ την ακόµη προηγούµενη απάντηση. ∆εν µπορείτε να πάτε περισσότερο πίσω. ∆ηλαδή: > 2+3; 5 > 6^ 2; 36 > ”” ; 5 1.2. Αριθµητική Ακεραίων Το σύµβολο ! χρησιµοποιείται ως παραγοντικό. Αντίθετα µε τους υπολογιστές τσέπης, δεν υπάρχει όριο στον αριθµό ψηφίων που µπορούν να χρησιµοποιηθούν.

> Ι00Ι θα δώσει ακριβή απάντηση Μερικές χρήσιµες βασικές λέξεις είναι: > igcd (4,12) ; 4 που δίνει το µέγιστο κοινό διαιρέτη

> ilcm (8,12); 24

που δίνει το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο > ifactor (36); (2)2 (3)2

θα παραγοντοποιήσει έναν ακέραιο στους κύριους παράγοντές του.

3

Αν n είναι συγκεκριµένος ακέραιος, τότε άλλες βασικές λέξεις είναι ithprime(n) που αποδίδει το νιοστό πρώτο αριθµό, nextprime(n) που αποδίδει το µικρότερο πρώτο αριθµό µεγαλύτερο του n και preprime(n) που αποδίδει το µεγαλύτερο πρώτο αριθµό µικρότερο του n. Μπορείτε να ελέγξετε αν κάποιος αριθµός είναι πρώτος, χρησιµοποιώντας isprime(n) που αποδίδει απάντηση σωστό ή λάθος. 1.3. Αριθµητική Μεταβλητών θέσεων υποδιαστολής. Το σύµβολο Pi αντιστοιχεί στο π=3,14159…. Το σύµβολο exp(1) αντιστοιχεί στο e=2,71882. Αυτές είναι δύο από τις συχνότερες σταθερές που χρησιµοποιούνται στα Μαθηµατικά. Το σύµβολο evalf (x) αντιστοιχεί µε “υπολογισµό του x (θεωρώντας τον σα µεταβλητή)” Το evalf (x,n) συµβολίζει ‘‘υπολογισµό x ως προς n σηµαντικά στοιχεία Το σύστηµα λειτουργεί µε 10 σηµαντικά στοιχεία. Για να αλλαχθεί ο τύπος γράψτε: > Digits:=18; Τώρα όλες οι λειτουργίες µεταβλητών υπολογίζονται σε 18 σηµαντικά στοιχεία. Προσοχή, υπάρχει ¨ : ¨πριν από το =. 1.4. Μη υπολογιζόµενες παραστάσεις Αν κάνετε έναν υπολογισµό που έχει ακριβή απάντηση, το MAPLE δε θα τον υπολογίσει, εκτός αν το ζητήσετε συγκεκριµένα. Για παράδειγµα: > P^2; π2

> evalf(’’) 9,8696044 1.5. Μιγαδικοί αριθµοί Στο πρόγραµµα MAPLE το γράµµα I ισοδυναµεί µε τετραγωνική ρίζα (-1) που είναι η βάση για τους µιγαδικούς αριθµούς. Μπορείτε να κάνετε σύνθετους χειρισµούς στο MAPLE µε τον ίδιο τρόπο που κάνετε στην αριθµητική. Μη ξεχνάτε να χρησιµοποιείτε ¨ * ¨ για τους πολλαπλασιασµούς. Για παράδειγµα: > (3+2*Ι)* (2-4*Ι); 14-8 I Οι µιγαδικοί αριθµοί παριστάνονται όπως κατωτέρω: Προσέξτε το σύµβολο : πριν από το = > z 1:=1+I; z1:=1+I > z2:=3+4*I; z2:=3+4 I

4

Το άθροισµα, η διαφορά, το γινόµενο και το πηλίκο εξάγονται µε τη χρήση βασικών µαθηµατικών χειρισµών. Στο υπόλοιπο µέρος του παρόντος κεφαλαίου, το σύµβολο cplex παριστά ένα γενικό σύνθετο αριθµό. Οι πλέον βασικές εντολές στο MAPLE για χρήση σε συνδιασµό µε τους σύνθετους αριθµούς είναι: Re (cplex), που δίνει το πραγµατικό µέρος του cplex (σύνθετου αριθµού)

> Re (z2); 3

Im (cplex), που δίνει το φανταστικό µέρος του cplex > Im (z1*z2);

argument (cplex), που δίνει το πρωτεύον όρισµα του cplex > argument (z1); ¼ π

> argument (z2); arctan (4 /3 )

abs (cplex), δίνει όλο το µέγεθος ή το µέρος του cplex > abs (z2); 5 conjugare (cplex), δίνει το µιγαδικό συζυγή του cplex > conjugare (2-3*I);

2+3 I polar (r,+), είναι µιγαδικός αριθµός µε το r ως µέγεθος και το + ως πρωτεύον όρισµα. > z3:=polar (2,Pi/3);

z3:=polar(2, 1/3 π)

convert (z, polar), µετατρέπει το z στην πολική του µορφή. > convert (z1, polar);

polar )41),2(( π

evalc (cplex), επιχειρεί την ανεύρεση των πραγµατικών και φανταστικών µερών του cplex > z4:=evalc (z3);

z4:= 1+I )3( evalf, µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να δώσει απαντήσεις µεταβλητής υποδιαστολής > evalf (z4);

1.+1.732050808 I sin (1+I); δεν επεκτείνεται αν δεν το ζητήσετε. Σε αριθµητική µιγαδικών χρησιµοποιείστε evalc για µιγαδικούς υπολογισµούς. Έτσι: > evalc (sin(1+ I)); sin (1)cosh(1)+ Icos(1)sinh(1) Αυτό υπολογίζεται µε evalf (’’); 1.6. Πολυώνυµα Μέχρι τώρα µελετήσαµε υπολογισµούς µε αριθµούς. Το πρόγραµµα MAPLE χειρίζεται και σύµβολα. > x^2+3*x+2; x2 +3x+2 Πράξεις όπως η παραγοντοποίηση γίνονται µε τη λέξη factor.

5

> factor (’’); (x+2) (x+1) Και η αντίθετη διαδικασία µε τη λέξη expand > expand (’’);

x2 +3x+2 1.7. Ετικέτες Συχνά είναι χρήσιµο να µπορούµε να κάνουµε αναδροµή σε παραστάσεις εκτός των ορίων που µας επιτρέπει το σύµβολο που περιγράφεται στο κεφάλαιο 1.1. Για το σκοπό αυτό, χρησιµοποιούµε το σύµβολο “:= “ για να δώσουµε µια ετικέτα (όνοµα) σε µία παράσταση, όπως είδαµε στο κεφάλαιο των µιγαδικών αριθµών. > f:=x^2+3*x; f:=x2 +3x > g:= factor (f);

g:= x(x+3) > expand (g); x2 +3x

Μπορεί επίσης να καθοριστεί µία τιµή σε µία µεταβλητή που θα χρησιµοποιείται όποτε αναφέρεται αυτή η µεταβλητή > x:= 1; x:=1 Με τον καθορισµό του g όπως παραπάνω αυτό θα έδινε > g;

4 Για τη διαγραφή ονόµατος που επιθυµείτε να χρησιµοποιηθεί και πάλι σε µεταβλητή χρησιµοποιούµε: > x:= ’x’ ; το x είναι τώρα πάλι η µεταβλητή x και > g;

x(x+3) η παράσταση > f:= x^2+3*x;

f:=x2 +3x στην οποία δώσατε µία ετικέτα (όνοµα) παρουσιάζεται ως f να έχει καθοριστεί ως συνάρτηση του x. Αυτό όµως δεν είναι πραγµατική συνάρτηση (ονοµάζεται κάποτε εµφανής συνάρτηση), επειδή η παράµετρος x είναι καθορισµένη. Έτσι, f(y) ή f(2) δεν είναι δυνατή, πρέπει να καθορίσουµε τιµή στο x ή να κάνουµε αντικατάσταση µε τη χρήση του συµβόλου subs. Έτσι: > f:= x^2+3*x; f:=x2 +3x > x= 1; x:= 1 > f; 4 ή > f:=x^2+3*x; f:=x2 +3x > subs (x=1,f); 4

6

Ο προφανής τρόπος για τον καθορισµό των συναρτήσεων, f(x):= ,δε λειτουργεί επειδή όταν το MAPLE δέχεται ,ας πούµε, f(x):=3*x, αποθηκεύει σε πίνακες την πληροφορία ότι f, στην περίπτωση που η µεταβλητή είναι x, µας δίνει 3x. Αν ζητήσετε f(2) ή f(y) το MAPLE δεν αναγνωρίζει και δίνει: > f(x):=3*x; f(x):=3x >f(x),f(y),f(2); 3x, f(y), f(2) Στα κεφάλαια 1.8 µέχρι 1.12 θα µιλήσουµε για τις συναρτήσεις. Να θυµάστε πάντως ότι: > f:=x^2+3*x; f: =x2 +3x καθορίζει παράσταση (ή εµφανή συνάρτηση). 1.8. Βασικές Συναρτήσεις Το πρόγραµµα MAPLE αναγνωρίζει όλες τις βασικές τριγωνοµετρικές συναρτήσεις, sin(x) δίνει την τιµή του ηµίτονου (x), σε ακτίνια. Το sin(x) είναι πραγµατική παράσταση. Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε τις υπόλοιπες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις µε τον ίδιο τρόπο. Υπάρχουν ακόµη αντίστροφες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις. Για παράδειγµα: arcsin (x) και arctan (x) δίνει τη γωνία σε ακτίνια µέσα στα όρια [-π/2,

π/2 ]. Παρόµοιοι περιορισµοί υπάρχουν και σε άλλες αντίσροφες συναρτήσεις.

sgrt (x) ισοδυναµεί µε x exp (x) ισοδυναµεί µε ex

log(x) και In(x) ισοδυναµούν µε λογάριθµο µε βάση 2 log 10(x) είναι λογάριθµος µε βάση 10

Υπάρχουν και άλλες συναρτήσεις, αλλά οι παραπάνω είναι οι συχνότερες. Το MAPLE χρησιµοποιεί πολλές τριγωνοµετρικές ταυτότητες. Τρεις λέξεις κλειδιά σχετικές µε τις συναρτήσεις είναι: simplify, factor και normal. Για παράδειγµα: > f:= sin(2*x)+cos(38x); f:= sin(2x)+cos(3x) > simplify(f); 2sin(x)cos(x)+4cos(x)3-3cosx > factor(’’); cos(x)(2sin(x)+4cos(x)2-3)

> normal (x^2-y^2)/(x-y)^3);

2)()(

yxyx

−+

7

1.9. Λογικές Παραστάσεις Καθορίζονται όπως παρακάτω:

> g:=(x-1)/((x+1)*(x-2));

g:= )2)(1(

)1(−+

−xx

x

Η λέξη κλειδί convert είναι ιδιαίτερα χρήσιµη και εκφράζει αυτό σε µερικό κλάσµα:

> convert (g, parfrac, x);

2

131

11

32

−+ xx

1.10. Σχεδίαση Γραφηµάτων Ένας άλλος χρήσιµος τοµέας του MAPLE είναι η ικανότητα σχεδίασης γραφηµάτων. Η λέξη κλειδί είναι plot. Για να φτιάξουµε ένα γράφηµα, ας πούµε, y = x2 µεταξύ x = -2 και x = 3 πρέπει να πληκτρολογήσουµε: > plot (x^2, x= -2..3); Το γράφηµα παρουσιάζεται στο φύλλο εργασίας. Αν κάνετε κλικ στο γράφηµα, εµφανίζεται ένα τετράγωνο πλαίσιο γύρω από αυτό. Μπορείτε να βρείτε τις συντεταγµένες οποιουδήποτε σηµείου του γραφήµατος µε την κίνηση του κέρσορα στο σηµείο αυτό και αριστερό κλικ. Με το γράφηµα σε πλαίσιο, ελέγξτε τις λειτουργίες στη γραµµή εργαλείων πάνω από το φύλλο εργασίας. Για να κλείσετε, για παράδειγµα, το πλαίσιο κάντε κλικ στην αντίστοιχη εντολή. Για πολλαπλές γραφικές παραστάσεις στο ίδιο γράφηµα χρησιµοποιείστε:

> plot (y, y^ 2,y^3,y = -1..1); Τα γραφήµατα εµφανίζονται µε διαφορετικό χρώµα. Η σειρά µπορεί να καθοριστεί ως: > plot (tan(x),x =2*sin(3*y),x = 0..2,y = 0..4); Για να σχεδιάσετε τρισδιάστατες εικόνες χρησιµοποιείστε plot 3D: > plot 3d(x^3sin(3*y),x = 0…2,y = 0..4); ∆ηµιουργείστε πλαίσιο στο γράφηµα µε κλικ και ελέγξτε τη γραµµή εργαλείων. Κάντε κλικ στο Style, Colour , Axes και Projection για να δείτε πως λειτουργούν.

8

1.11. Επίλυση Εξισώσεων Η λέξη solve επιτρέπει την επίλυση µίας ή περισσοτέρων εξισώσεων

> solve (x-2*y = 7,3*x-y = 6,x,y); y = -3,x =1

Η εντολή >solve (x =cos(x)); δεν αποτελεί παρά την αρχή για την επόµενη εντολή, επειδή δεν υπάρχει ακριβής λύση. Αν σχεδιάσετε γραφική παράσταση του x και cos(x) στο ίδιο γράφηµα θα δείτε ρίζα µεταξύ 0 και 1. Η εξίσωση επιλύεται µε το

> fsolve (x = cos(x),x); 0,7390851332 1.12. Εύρεση Μιγαδικών Ριζών Εξισώσεων Αν χρησιµοποιείτε solve για την επίλυση πολυώνυµης εξίσωσης, τότε αν οι ρίζες είναι µιγαδικές θα δώσει αποτελέσµατα µε τη µορφή µιγαδικών αριθµών α+ Ιβ > solve (x^2+x+1 = 0,x); -½ +½ I …..,-½ -½ I…. Αν πρέπει οι ρίζες να ευρεθούν αριθµητικά µε χρήση fsolve τότε χρειάζεται να διευκρινήσετε , ότι επιθυµείτε µιγαδικές ρίζες. > f: = x^4+4x^3-8x^2+32x-5; f: = x4 +4x3 –8x2 +32x-5 > fsolve (f = 0,x); -6,162277660, 0,1622776602 Προφανώς έχουν βρεθεί µόνο οι δύο πραγµατικές ρίζες. Αν επιθυµείτε και µιγαδικές ρίζες, τότε γράψτε: > fsolve (f = 0,x,complex); -6.162277660,01622776602,1.-2.I,1+2.I Παραδείγµατα χρήσης solve: Συµβολική επίλυση > solve (f = m*a,a); f/m

> solve (f = m*a ,a); a = f/m

9

Επίλυση εξισώσεων > eq: = x ^ 4-5*x ^ 2+6*x = 2; eq: = x4 –5x2 +6x = 2 > solve (eq, x); -1+ 3 ,-1- 3 ,1,I > sols: = [solve(eg, x)]; sols: = [-1+ 3 ,-1- 3 ,1,1] > sols[1]; -1+ 3 > evalf (sols); [.732050808,-2.732050808,1.,1.] > sols[1]; 1 > subs(x = sols[1],eq); 2=2 Σύστηµα εξισώσεων > eqns: = u+v+w = 1,3*u+v=3, u-2*v-w =0; eqns: =u+v+w=1,3u+v=3,u-2v-w=0 Επίλυση ως προς u, v, w > sols:=solve (eqns);

sols:=u=54 , v=

53 , w=

552−

Έλεγχος λύσεων > subs (sols, eqns); 1=1, 3=3, 0=0 Επιλογή µιας λύσης > subs (sols,eqns);

54

Επιλογή όλων των λύσεων > assign (sols);

u; 54

Άλλα παραδείγµατα: > solve (x^5-3*x^4+2*^2-x+3,x); > Root+of (z5 –3_ z4 +2_z2 - _z+3)

10

> allvalues(%); -1.127479307,.03687403922-.8565945569 I , . 03687403922 + . 8565945569 I , 1.327862375,2.725868853 2.Βασικό πρόγραµµα CALCULUS Χρησιµοποιούνται οι λέξεις diff και int για διαφοροποίηση και ολοκλήρωση αντίστοιχα. > diff (x^2+log(x),x);

2x+x1

> int (x*exp(x),x); xex – ex Σε κάθε περίπτωση το δεύτερο µέλος λέει στο σύστηµα ποια µεταβλητή διαφοροποιείται ή ολοκληρώνεται. Αν χρειάζεται να επιλύσετε ένα οριστικό ολοκλήρωµα, τότε χρησιµοποιείστε: > int (exp(cos(x)), x = 0…1);

31

Αν υπάρχει δυσκολία επίλυσης, τότε θα απεικονισθεί απλώς το ολοκλήρωµα. > int (exp(cos(x)),x=0…1); ∫ dxxe )cos(1

0

Χρησιµοποιείστε τώρα την εντολή evalf για την εξαγωγή αριθµητικής προσέγγισης. Για τη δηµιουργία ολοκληρώµατος, αλλά όχι την ολοκλήρωσή του χρησιµοποιείστε Ιnt. > Int (x^ 3, x); ∫ dxx3

Για την εξαγωγή αποτελέσµατος: > value (’’);

4

41 x

Προσέξτε τα παρακάτω: > int (x^2,x=1..3); ∫ dxx23

1

11

> value (’’);

3

26

αλλά > int (x^2,x = 1...3); ∫ dxx23

1

> evalf (’’) 8,6666667 3. Πραγµατικές συναρτήσεις στο MAPLE. (Συναρτήσεις που καθορίζονται από το χρήστη.) Όπως είδαµε στο κεφ. 1.7, πρέπει να προσέχουµε όταν µιλάµε για κάποια συνάρτηση στο MAPLE. Όταν χρησιµοποιούµε > f := x^2+2*x+3; f:=x2 +2x+3 αυτό είναι παράσταση και όχι πραγµατική συνάρτηση. 3.1 Ορισµός Συνάρτησης Ο τρόπος που σχηµατίζεται µία συνάρτηση είναι ο καθορισµός των όρων. Το σύµβολο — > χρησιµοποιείται για να καθορίσει τη συνάρτηση x2 : > f:=x — >x^2; f:=x — >x2 Αυτό διαβάζεται ……………… ? Η ψευδής παράµετρος x µπορεί να είναι οτιδήποτε και θα δείτε ότι αν γράψουµε: > g := — >x^3; g:= — > x > g(2); 8 Ακόµη και ο επανακαθορισµός της παραµέτρου που χρησιµοποιήθηκε δεν επηρεάζει τον ορισµό της συνάρτησης > +:3; +:=3

> g(4); 64

Ένας εναλλακτικός τρόπος καθορισµού ενός όρου……? είναι η εντολή unapply. Για παράδειγµα: > f:= unapply(x^2,x); f:=(x — >x)2 > f (3) ; 9

12

> y:=x^3+2*x+4; y:=x3 +2x+4 > g:= unapply(y,x); g:=x — >x3 +2x+4 3.2 Συναρτήσεις µε περισσότερες από µία µεταβλητές. Η ίδια µέθοδος χρησιµοποιείται για τον καθορισµό συναρτήσεων µε περισσότερες από µία µεταβλητές. Για παράδειγµα για: f (x,y) = x2 –y2 η εντολή είναι: > f:= (x,y) — > x^2-y^2; f: (x,y) — > x2 –y2 > f( u,v);

u2 –v2 3.3 ∆ιαφοροποίηση Συνάρτησης Είδαµε ήδη ότι χρησιµοποιούµε την εντολή diff (x,y) για να διαφοροποιήσουµε το y ως προς το x. Για να διαφοροποιήσουµε µία συνάρτηση χρησιµοποιούµε το D: > f: = x— >x^2; f:= x — >x2 > g: = D(f) (x); g: = x — >2x Όµως αν χρησιµοποιήσουµε: > D (f) (x); 2x παράγεται παράσταση, αφού παίρνει τιµή ως προς x Αν ορίσουµε > f:= (x,y) — > x^4-y^4; (x,y) — >x4 –y4 τότε D[1] f παράγει συνάρτηση που βασίζεται στο αποτέλεσµα του f σε σχέση µε την πρώτη µεταβλητή, δηλαδή το x. Το D[1,2] (f) παράγει συνάρτηση που βασίζεται στο αποτέλεσµα σε σχέση µε το x που ακολουθείται από το y. Το σύµβολο $ χρησιµοποιείται για διαφοροποίηση παράστασης και δηλώνει επαναλαµβανόµενη διαφοροποίηση ως προς τη µεταβλητή. ∆ηλαδή: > D[1$4, 2$3] (f) ; Θα δώσει συνάρτηση που προέρχεται από τη διαφοροποίηση της συνάρτησης f, 4 φορές ως προς x και 3 φορές ως προς y. > D[2,2] (f); (x,y) — > - 12y2 > D[2,$4] (f); (x,y) — > -24

13

3.4 Σύνθετες Συναρτήσεις Αν έχουµε δύο συναρτήσεις που ορίζονται ως f(x) και g(x) τότε η σχέση f(g (x)) γράφεται στο MAPLE ως (f@g) (x). > f:=x — > x^2; f: = x — >x2 > g:= x — > x+3; g: = x — > x+3

> (f@g) (x);

(x+3)2 > (g@f) (u); u2 +3 Αν η συνάρτηση fcn επαναλαµβάνεται n φορές, τούτο µπορεί να συντµηθεί ως fcn@@n > (sin@@3) (z); sin (3) (z) Αυτό φαίνεται παράξενο, αλλά µπορούµε να να δούµε τι φανερώνει αν το επεκτείνουµε µε τη χρήση: > expand (’’); sin (sin(sin(z))) Το σύµβολο διαφοροποίησης D µπορεί επίσης να επαναληφθεί µε τον ίδιο τρόπο. Αν το f ορίζεται ως : > f: = x — > x ^ 4; f := x — > x4 τότε το δεύτερο αποτέλεσµα της συνάρτησης f µε τιµή x δίνεται ως εξής: > (D@@2) (f) (x); Με τον παραπάνω ορισµό του f τούτο δίνει 12x2 4.∆ιαφορικές Εξισώσεις Στο πρόγραµµα MAPLE y(x) δηλώνει συνάρτηση y που εξαρτάται από το x. Όταν λύνουµε διαφορική εξίσωση, προσπαθούµε να καθορίσουµε ποια συνάρτηση ικανοποιεί µια συγκεκριµένη διαφιρική εξίσωση. Αν πρέπει να λύσετε:

xydxdy

=

Τούτο γράφεται ως > del : = diff (y(x),x)=x*y(x);

del: )()( xxyxyx

=θ

=θ

Για τη λύση χρησιµοποιείστε dsolve (del,y(x)); Y(x) = e½ x2 –C1 Όπου C1 είναι αυθαίρετη σταθερά.

14

5. Όρια Ένα άλλο χρήσιµο εργαλείο στο MAPLE είναι η εντολή limit (όριο). Η εντολή limit δίνει την οριακή τιµή παράστασης , καθώς η µεταβλητή τείνει προς κάποια συγκεκριµένη τιµή. Αυτό χρησιµοποιείται συνήθως όταν η παράσταση έχει τη µορφή 0/0 ή ∞/∞. Η γενική µορφή είναι: > limit (expr, x=a); όπου expr είναι η παράσταση της οποίας η τιµή απαιτείται όταν η τιµή του x τείνει προς α. Για παράδειγµα: > limit (sin (x) /x, x = 0); Αυτό είναι ένα ιδιαίτερα γνωστό όριο που δίνει το αποτέλεσµα 1 Μπορεί να βρεθεί επίσης το όριο παράστασης καθώς το x τείνει στο άπειρο: > limit((4*x^2+3*x+7) / (25*x^2+9)), x= άπειρο ;

254

Μπορούν επίσης να βρεθούν τα αριστερά και τα δεξιά όρια (left, right limits): > limit (1/x^2, x = 0); ∞ αλλά > limit(1/x, x = 0); undefined (ακαθόριστο) > limit (1/x, x = 0,left); - ∞ > limit (1/x, x = 0, right); ∞ 6. Σειρά Taylor Η εντολή Taylor υπολογίζει µία κολοβή σειρά Taylor. Η θεωρία της σειράς Taylor θα διδαχθεί λεπτοµερώς σε επόµενα µαθήµατα. Ωστόσο, κάποια απλά παραδείγµατα της σειράς Taylor έχουν εµφανιστεί ήδη. Τα περισσότερα κοινά είναι ex ,sin x και cos x. Στο MAPLE η σειρά Taylor απεικονίζεται πάντοτε µέχρι κάποια τάξη που ενηµερώνει ποιος είναι ο επόµενος όρος της σειράς για τον οποίο δε δίνεται ρητά τιµή. Το όριο είναι η τάξη 6, όπως φαίνεται στο παράδειγµα: > taylor (exp (x),x );

1+x+ )(0120

1241

61

21 65432 xxxxx ++++

Η γενική µορφή της εντολής taylor είναι:

15

Taylor (expr, x = a, n) Όταν θέλετε τη σειρά Taylor για x=a µε όρους της τάξεως xn . Η σειρά Maclaurin είναι σειρά Taylor µε x=0. Συνήθως είναι χρήσιµη η αποµάκρυνση των όρων της τάξεως από εντολή taylor, αφού δεν ορίζεται τέτοια παράσταση. Αυτό γίνεται ως εξής: > convert (’’, polynom); όπου ’’ αναφέρεται στη σειρά Taylor της προηγούµενης γραµµής. Με την αποµάκρυνση των όρων της τάξεως µετατρέπεται σε πολυώνυµο και η παράσταση µπορεί να οριστεί. 7. ∆ιανύσµατα, Πίνακες Οι λέξεις κλειδιά του κεφαλαίου αυτού περιλαµβάνονται σε ανεξάρτητο τµήµα του MAPLE και πρέπει να φορτωθούν πριν από τη χρήση. Η εντολή είναι απλή. Πληκτρολογήστε: > with (linalg); Οι σηµαντικότερες λέξεις – κλειδιά του κεφαλαίου αυτού είναι vector και matrix,που σηµατοδοτούν επακριβώς την έννοιά τους. Για παράδειγµα: > v: = vector ([1,3,7]); Σχηµατίζεται τρισδιάστατο διάνυσµα αν πληκτρολογήσετε µόνο: > v; ∆ε θα δοθούν όλες οι τιµές του v, αλλά µόνο το v. Αν θέλετε να δείτε τις τιµές του v στην οθόνη πρέπει να πληκτρολογήσετε: > print (v); ή > evalm (v); Αν α και β ορίζονται ως δύο διανύσµατα, τότε οι λέξεις dotrod (α,β) και crossprod (α,β) θα σχηµατίσουν το εσωτερικό και το εξωτερικό γινόµενο αντίστοιχα των διανυσµάτων αυτών. Με τον ίδιο τρόπο ορίζονται οι πίνακες. Στην περίπτωση αυτή καθορίζονται τρεις παράµετροι. Ο αριθµός των γραµµών, των στηλών και οι εισαγωγές (στοιχεία) κατά γραµµή. Για παράδειγµα: > A: = matrix (2,3,[1,3,5,0,3,1]); ∆ηµιουργείται πίνακας µε 2 σειρές και 3 στήλες µε τα στοιχεία 1 3 5 στην πρώτη σειρά και 0 3 1 στη δεύτερη. Οι υπολογισµοί στους πίνακες γίνονται µε το evalm που σηµαίνει υπολογισµός πίνακα. Για πρόσθεση και αφαίρεση χρησιµοποιούνται κανονικά + και - .Ωστόσο, για τον πολλαπλασιασµό χρησιµοποιείται &* µε κενά γύρω του. Το γινόµενο δύο πινάκων είναι: > evalm (A &* B) ; Οι πράξεις αντιστροφής και µετάθεσης γίνονται µε τη χρήση > inverse (A) ; > transpose (A) ;

16

8. Αθροίσµατα και Γινόµενα Το πρόγραµµα MAPLE µπορεί να υπολογίζει πεπερασµένα αθροίσµατα και γινόµενα και µερικές φορές και άπειρα. Η εντολή για εξαγωγή συνόλου είναι: > sum (expr, I = α..β); όπου expr είναι παράσταση και α και β ακέραιοι. Άλλα παραδείγµατα: > sum (1^2, I = 1..10) ; 385 > sum (1/n ! , n = 0..infinity) ; e Αν το MAPLE δεν µπορεί να βρει ολοκληρωµένη απάντηση για το άθροισµα, δε δίνει τιµή και όπως µε τους ακέραιους χρησιµοποιείστε το evalf για αριθµητική απάντηση. Η γενική µορφή για τα γινόµενα είναι παρόµοια: > product (expr, I = α..β) ; για παράδειγµα: > product (n ,n = 1..5) ; 120 Παραδείγµατα Αθροισµάτων: > sum (k^2, k=0..4); 30 > sum (k^2, k=0..n);

61

61)1(

21)1(

31 23 +++−+ nnn

> sum (k^2, k);

kkk61

21

31 23 +−

> sum (a [k] *x^k, k = 0..4); a 4

43

32

210 xaxaxaxa ++++ > sum (a [k] *x^k, k = 0..n);

∑ =

n

k

kk xa

0

> Sum (k / (k+1), k =0 . .n) = sum (k / (k+1), k=0 . . n);

γ−+Ψ−+=+=

)2(110

nnk

kn

k∑

> sum (k / (k+1), k); k – Ψ (k+1) > sum (k*a^k, k);

2)1()(

−−−

aakkaak

17

> sum (binomial (n+k, k), k);

1

),(+

+n

kknkbinomial

> sum (k * binomial (n, k), k=0 . . n);

nn221

> sum ( - exp (- k), k) ;

keee

)1( +−

> sum ( 1 / k ! , k=0 . . infinity ); e > sum ( 1 / k ^2 , k=1 . . infinity );

2

61 π

9. ∆ιαδοχικές Παραστάσεις , Λίστες, Σύνολα. Συχνά είναι αναγκαία η επίλυση πολλών παραστάσεων ταυτόχρονα. Για παράδειγµα, όταν επιλύουµε δευτεροβάθµια εξίσωση έχουµε δύο λύσεις. Το MAPLE διαθέτει τρόπους για την ενοποίηση των παραστάσεων. 9.1. ∆ιαδοχικές Παραστάσεις Κάθε παράσταση χωρίζεται µε κόµµα. > 1,2,3 ; 1,2,3 > x , y ; x,y > x,(x+y)^2,3^,4 ; x,(x+y)2 , 81 Μπορούν να γίνονται µε µεταβλητές: > f: = a,b,c ; f : = a,b,c > solve (x^2+3*x+2,x) ; -1,-2 > sol: = ’’ ; sol: = -1, -2 Οι διαδοχικές παραστάσεις µπορούν να τεθούν σε ενιαίο σύνολο: > f , sol ; a, b, c , -1, -2 Η µηδενική διαδοχή σχηµατίζεται µε τη λέξη NULL. Η οθόνη δεν απεικονίζει τίποτε. Για παράδειγµα: > x: = NULL ; x: =

18

9.2. Λίστες (παραστάσεις µε αγκύλες) > x : = [1,2,3] ; x: = [1,2,3] Η κύρια διαφορά µεταξύ διαδοχικών παραστάσεων φαίνεται όταν τίθενται σε ενιαίο σύνολο. > y: = [a, b] ; y: = [a, b] > x, y ; [1,2,3] , [a, b] Ο διαχωρισµός διατηρείται χωρίς να αλλάζουν οι διαδοχικές παραστάσεις. Εµφανίζεται λίστα µε αύξουσα αριθµητική σειρά µε την εντολή sort. > A: = [1, 3,- 2, 0,7]; A: = [1, 3,- 2, 0,7] > sort (A); [-2, 0, 1, 3,7] Όταν χρησιµοποιούµε το sort σε λίστα ονοµάτων, τότε το MAPLE τα διευθετεί σε αλφαβητική σειρά. > sort ( [red, green, blue]); [blue, green,red] Η κενή λίστα χαρακτηρίζεται µε το σύµβολο [ ]. 9.3. Σύνολα Σύνολο είναι µία διαδοχική παράσταση µε > x: = 1, 2, 3 ; x: = 1, 2, 3 Τα σύνολα είναι περισσότερο περίπλοκα από τις λίστες, επειδή υπάρχουν αυτόµατοι κανόνες απλοποίησης. Τα σύνολα δεν είναι σε σειρά και δεν µπορούν να περιέχουν ίδιους αριθµούς ή γράµµατα. > 1, 2, 3,2,1; 1, 2, 3 > 0, 2, 1; 0, 1, 2 Υπάρχουν τρεις πράξεις στα Σύνολα, δηλαδή ένωση, τοµή και µείον που έχουν την ίδια σηµασία µε τους µαθηµατικούς όρους. Παραδείγµατα: > a:= 1, 2, 3; α: = 1, 2, 3 > b: = 3, 4, 5; b: = 3, 4, 5 > a union b;

19

1, 2, 3, 4, 5 > a intersect b; 3 > a minus b; 1, 2 > b minus a; 4, 5 Το κενό Σύνολο χαρακτηρίζεται µε Για να έχουµε τµήµα διαδοχικής παράστασης, λίστας ή συνόλου ακολουθούµε τη διαδικασία της επολογής. Αν Α είναι µία µεταβλητή που περιέχει λίστα, σύνολο ή διαδοχική παράσταση, τότε το Α [1] αποδίδει το πρώτο στοιχείο του, το Α [2] το δεύτερο στοιχείο και ούτω καθεξής. Η εξαγωγή είναι δυνατή µόνο όταν η λίστα, το σύνολο ή η διαδοχή έχουν δοθεί σε µία µεταβλητή . > a: = 5,4,0,2; a: = 5,4,0,2; > a: = 3; 4 > b: = -1, x, -sin (z); b: = -1, x, -sin (z) > b[2]; x 9.4. Μετατροπή από λίστες σε σύνολα . Η µετατροπή είναι απλή. Ακολουθείται η παρακάτω διαδικασία: > a: = 1, x, 1 –z; a: = 1, x, 1 –z > [a]; [1, x, 1 -z] > a; 1, x, 1 -z Η µετατροπή προς την αντίθετη κατεύθυνση γίνεται µε καθορισµό του εύρους επιλογής, αλλιώς επιλέγονται όλα τα στοιχεία. > a: = [1, 2, 3,4]; a: = [1, 2, 3,4] > b: = x, y, z; b: = x, y, z > a [ ]; 1, 2, 3, 4 > b ; x, y, z

20

Με τον τρόπο αυτό λίστες µετατρέπονται σε σύνολα και σύνολα σε λίστες µε τη χρήση διαδοχικών παραστάσεων. Εναλλακτικά µπορείτε να χρησιµοποιήσετε την εντολή convert > convert (a, set), που µετατρέπει τη λίστα α σε σύνολο > convert (b,list), που µετατρέπει το σύνολο b σε λίστα. Οι λέξεις op και nops είναι χρήσιµες στις λίστες και τα σύνολα. Η λέξη op επιλέγει συγκεκριµένα στοιχεία και η λέξη nops δίνει τον αριθµό των στοιχείων. Με τον ορισµό του a και b έχουµε: > op (2, b); y > nops (a) 4 10. Το Μαθηµατικό Πακέτο (Ολοκλήρωση) Το Πακέτο αυτό δίνει τη δυνατότητα διαφόρων µεθόδων ολοκλήρωσης τόσο αναλυτικής όσο και αριθµητικής. Θα το χρησιµοποιήσουµε αποκλειστικά για την εύρεση των τιµών ολοκληρωµάτων. ∆ίνει τη δυνατότητα για σταδιακή επίλυση προβληµάτων και όχι την παροχή απαντήσεων και βοηθά στην καλύτερη κατανόηση των τεχνικών ολοκλήρωσης. Το πρόγραµµα φορτώνεται µε: > with (student) 10.1 Ολοκλήρωση µε Αντικατάσταση Καθορίστε πρώτα το ολοκλήρωµα που ζητάτε µε Int. Βεβαιωθείτε ότι δε χρησιµοποιείτε το Int διαφορετικό. Η απάντηση θα απεικονιστεί αµέσως και αυτό θα καταστρέψει τη διασκέδαση! > I1: = Int(4* x ^ 3* cos(x^4+2), x); I 1: = ∫ 4x3 cos (x4 +2) dx Μία από τις κύριες µεθόδους ολοκλήρωσης είναι µε αντικατάσταση. Στην περίπτωση αυτή θέλουµε να αλλάξουµε τη µεταβλητή u = x4 .Αυτό γίνεται στο MAPLE ως εξής: > I2: = changevar (u = x^4, I1, u); Το πρώτο µέλος είναι η αλλαγή που θέλετε, το δεύτερο το ολοκλήρωµα στο οποίο θα γίνει η αλλαγή και το τρίτο η µεταβλητή που θέλετε στο νέο ολοκλήρωµα. Σ’ αυτή την περίπτωση πρέπει να έχουµε το αποτέλεσµα: > I2: = ∫ cos (u + z) du Μια δεύτερη αλλαγή µεταβλητής θα είναι : > I3: = changevar (v = u + z, 12, v);

21

που δίνει: I3 = ∫ cos vdv Σ’ αυτό το στάδιο θα πρέπει να γνωρίζετε την απάντηση, έτσι το µόνο που έχετε να κάνετε είναι να πληκτρολογήσετε: > Value (’’) που δίνει: sin v Αντικαταστήστε : > subs (v = u + z , u = x^4’’) ; που δίνει: sin (x4 +2) Αυτή η τεχνική εφαρµόζεται µε τον ίδιο τρόπο στα πεπερασµένα ολοκληρώµατα. 10.2 Ολοκλήρωση κατά µέρη Αποτελεί τµήµα του µαθητικού πακέτου και έτσι αρχίζουµε: > with (student) > I1: = int (x* sin(x), x) ; > intparts (I 1, sin (x)); Το πρώτο µέλος είναι το ολοκλήρωµα, το δεύτερο το τµήµα του ακέραιου που πρέπει να διαφοροποιηθεί. Στην παραπάνω περίπτωση αυτό θα δώσει:

dxxxxx 22 )cos(21)sin(

21

∫−

Φυσικά αυτό είναι περισσότερο περίπλοκο από το αρχικό ολοκλήρωµα, επειδή επιλέξαµε λάθος τµήµα για διαφοροποίηση. Η σωστή µέθοδος θα ήταν: > intparts (I 1,x); -x cos(x)-∫-cos(x)dx Αυτό απλοποιείται µε: > value (’’); -x cos(x)+sin(x) Μερικά ολοκληρώµατα χρειάζονται επαναλαµβανόµενη εφαρµογή της τµηµατικής ολοκλήρωσης. Αυτό στο MAPLE γίνεται µε επανάληψη της εντολής intparts. Ένα ολοκλήρωµα που θα εµφανιστεί συχνά στην εργασία έχει τη µορφή: > dxxex )cos(∫Αυτό χρειάζεται δύο τµηµατικές ολοκληρώσεις, οπότε επανεµφανίζεται το αρχικό ολοκλήρωµα. Αν το αρχικό ολοκλήρωµα ορίζεται ως Ι2, τότε, αφού έχουµε χρησιµοποιήσει τµήµατα δύο φορές, η απάντηση καθορίζεται µε τη χρήση: > isolate (12 = expand(’’), 12);

22

που δίνει την απάντηση. 11. Βασικός Προγραµµατισµός στο MAPLE Εσωτερικά το MAPLE αποτελείται από µικρό αριθµό εντολών για το σχηµατισµό βρόγχων, κλάδων, διαδικαστών κ.ά. Αυτές οι εντολές σχηµατίζουν τη γλώσσα προγραµµατισµού του MAPLE. Όλες οι άλλες εντολές (π.χ. solve) γράφονται µε αυτή τη γλώσσα προγραµµατισµού. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε αυτές τις εντολές για να φτιάξουµε το δικό µας πρόγραµµα. 11.1 Βρόγχοι Οι βρόγχοι σχηµατίζονται µε το for ή το while και το do ή το od. > for x from 1 to 3 do > print (x); > od ; 1 2 3 > for x from 5 to 1 by-2 do > print (x) ; > od ; 5 3 1 > for i in [1, 2, 3] do > print (i); > od ; 1 2 3 > x: = 0 > while (x < 3) do > x: = eval (x) +1 > od ; x: = 1 x: = 2 x: = 3 Έτσι ένα πρόγραµµα για άθροισµα των δέκα πρώτων περιττών αριθµών θα έδειχνε:

> total: = 0 total=0 > for i from 1 to 19 by 2 do

> total: =total + i > od: > print (total) ;

100 Όπως είδαµε στο κεφάλαιο 1 µπορούµε να το κάνουµε αυτό πληκτρολογώντας sum

23

> sum (2* κ +1, κ = 0..9) ;

100 Μια χρήσιµη δυνατότητα είναι η τοποθέτηση σε σειρά που χρησιµοποιείται για παράδειγµα για να δηµιουργήσει τα ονόµατα των µεταβλητών α0, α1, α2 κ.λ.π. αυτόµατα. > for j from 1 to 6 do

> a . j : = (2* j+1)*sin ( j*Pi *r); > od ;

a l : = 3 sin (π r) a 2 : = 5 sin (2 π r) a 3 : = 7 sin (3 π r) a 4: =9 sin (4 π r) a 5: =11 sin (5 π r) a 6: =13 sin (6 π r) Αν στη συνέχεια θέλουµε να τα αθροίσουµε όλα αυτά τότε:

> total 2 : = 0; total 2: = 0 > for j from 1 to 6 do

> total 2: = total 2+a . j ; > od ;

total 2: =3 sin ( π r) total 2: =3 sin ( π r)+5sin (2 π r) total 2: =3 sin ( π r)+5sin (2 π r)+7sin (3 π r) total 2: =3sin ( π r)+5sin (2 π r)+7sin (3 π r)+9sin (4 π r) total 2: =3sin (π r)+5sin (2 π r)+7sin (3 π r)+9sin (4 π r)+11sin(5π r) total 2: =3sin (π r)+5sin (2 π r)+7sin (3 π r)+9sin (4 π r)+11sin(5π r)+13sin(6π r) ……………………………………. ………………………….?????????????????????? 11.2 Κλάδοι Οι κλάδοι, οι διακρίσεις και οι περιορισµοί σχηµατίζονται στο MAPLE µε τις λέξεις if, then, else και fi. > if condition 1 then… > if condition 2 then… > if condition 3 then… Για παράδειγµα:

> x: = 0: do x : eval (x)+1 : if x >3 then break ; fi; print (x): od : 1 2

24

Γ. ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗ 1. ΧΩΡΟΣ ΣΤΟ ΣΚΛΗΡΟ ∆ΙΣΚΟ Για να αναζητήσετε ένα αρχείο MAPLE από το σκληρό όταν δεν έχετε παράθυρα MAPLE θα δείτε το εικονίδιο του οδηγού 4 στην οθόνη σας. Κάντε διπλό κλικ και θα εµφανιστεί Για να σώσετε την εργασία MAPLE στο σκληρό, κάντε κλικ στο FILE και κατόπιν στο SAVE AS στο ΜΕΝΟΥ. Στο SAVE AS, θα δείτε ότι είστε στο δίσκο u. Στο αριστερό µέρος, file name, θα δείτε * . mws που σηµαίνει φύλλο εργασίας MAPLE. Με το ποντίκι οδηγείστε τον κέρσορα ανάµεσα στο * και στο . και διαγράψτε το * και αντικαταστείστε το µε το όνοµα που θέλετε, π.χ. φύλλο 1,οπότε θα έχετε φύλλο 1. mws. Κάντε κλικ στο O.K και η εργασία σας θα σωθεί στο σκληρό δίσκο και θα ονοµάζεται φύλλο 1. mws. Για να αναζητήσετε ένα αρχείο MAPLE από τον σκληρό όταν δεν έχετε παράθυρα θα δείτε το εικονίδιο του οδηγού 4 στην οθόνη σας. Κάντε διπλό κλικ και θα εµφανιστεί παράθυρο του οδηγού 4 µε τα αρχεία σας. Κάντε διπλό κλικ στο αρχείο που θέλετε και αυτό θα εµφανιστεί. Αν ήδη βρίσκεστε στο MAPLE, κάντε κλικ στο FILE και µετά στο OPEN. Κάντε διπλό κλικ στο αρχείο που θέλετε στο παράθυρο του οδηγού u. 2. ΕΚΤΥΠΩΣΗ Κάντε κλικ στο FILE και κατόπιν στο PRINT ή απλώς στο εικονίδιο του εκτυπωτή στη γραµµή εργαλείων. 3. ∆ΙΣΚΕΤΕΣ Είναι χρήσιµο να κρατάτε αντίγραφο αρχείου του σκληρού δίσκου. Μπορείτε να µεταφέρετε τα αρχεία σας σε άλλο υπολογιστή, έτσι ώστε να προστατεύεστε από κάποια τυχαία διαγραφή ή απώλεια αρχείου. Για να σώσετε την εργασία σας σε δισκέτα, τοποθετείστε τη δισκέτα στον οδηγό α: του υπολογιστή. Κάντε κλικ στο FILE και κατόπιν στο SAVE AS. Κάντε κλικ στο βέλος και κατόπιν στο α:. Στο FILE NAME θα δείτε * . mws, που σηµαίνει φύλλο εργασίας MAPLE. Με το ποντίκι οδηγήστε τον κέρσορα ανάµεσα στο * και στο . ,διαγράψτε το * και αντικαταστήστε το µε το όνοµα που θέλετε, π.χ. φύλλο 1, οπότε θα έχετε φύλλο 1 .mws. Κάντε κλικ στο Ο.Κ και η εργασία σας θα σωθεί στη δισκέτα µε το όνοµα φύλλο 1. mws. Για να αναζητήσετε αρχείο MAPLE από τη δισκέτα σας όταν δε βρίσκεστε στο MAPLE, κάντε διπλό κλικ στο MY COMPUTER, κατόπιν στο FLOPPY [Α:] και κατόπιν στο αρχείο που θέλετε. Όταν βρίσκεστε ήδη στο MAPLE, κάντε κλικ στο FILE και κατόπιν στο OPEN. Κάντε κλικ στους οδηγούς και κατόπιν στο α: .Τα αρχεία mws θα εµφανιστούν σε πίνακα, από τον οποίο µπορείτε να επιλέξετε µε διπλό κλικ το αρχείο που θέλετε.

25

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MAPLE

1. Τι είναι το Maple. 2. Τι µπορεί να κάνει το Maple. 3. Πώς έχουµε πρόσβαση στο Maple από τα Windows 95. 4. Πώς τίθεται σε λειτουργία το Maple. 5. ∆υνατότητα βοήθειας. 6. Πώς σώζουµε την εργασία στο δίσκο και πώς κάνουµε εκτύπωση.

Β. ΤΡΟΠΟΣ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ MAPLE

1.1. Επαναφορά προηγούµενων συναρτήσεων. 1.2. Αριθµητική Ακεραίων. 1.3. Αριθµητική Μεταβλητών Θέσεων υποδιαστολής. 1.4. Μη υπολογιζόµενες παραστάσεις. 1.5. Μιγαδικοί αριθµοί. 1.6. Πολυώνυµα 1.7. Ετικέτες. 1.8. Βασικές συναρτήσεις. 1.9. Λογικές παραστάσεις. 1.10. Σχεδίαση Γραφηµάτων. 1.11. Επίλυση εξισώσεων. 1.12. Εύρεση µιγαδικών ριζών Εξισώσεων. 2. Βασικό πρόγραµµα CALCULUS. 3. Πραγµατικές συναρτήσεις στο MAPLE. 3.1. Ορισµός συνάρτησης. 3.2. Συναρτήσεις µε περισσότερες από µία µεταβλητές. 3.3. ∆ιαφοροποίηση συνάρτησης. 3.4. Σύνθετες συναρτήσεις. 4. ∆ιαφορικές εξισώσεις. 5. Όρια. 7. Σειρά Taylor. 8. Άθροισµα και Γινόµενο. 9. ∆ιαδοχικές παραστάσεις, λίστες, σύνολα. 9.1. ∆ιαδοχικές παραστάσεις.

26

9.2. Λίστες ( παραστάσεις µε αγκύλες). 9.3. Σύνολα. 9.4. Μετατροπή από λίστες σε σύνολα. 10. Το µαθηµατικό πακέτο(ολοκλήρωση). 10.1. Ολοκλήρωση µε αντικατάσταση. 10.2. Ολοκλήρωση κατά µέρη. 11.Βασικός προγραµµατισµός στο MAPLE. 11.1. Βρόγχοι. 11.2. Κλάδοι.

Γ. ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗ. 1. Χώρος στο σκληρό.

2. Εκτύπωση. 3.∆ισκέτες.

27