ТЕМА 1 - Infmatematuka.inf.ua/8_klas/books/kapinosov_8kl_sam_kontr.doc · Web...

ТЕМАТИЧНЕ ОЦІНЮВАННЯ

АЛГЕБРА8 клас

Тематичні самостійні і контрольні роботи

2005

Укладачі: Капіносов А.М., Сень Я.Г., Букарєва Т.Б.

Самостійні і контрольні роботи складені за посібником “А.Капіносов. Дидактичні матеріали. Алгебра, 8 клас”, рекомендованим Міністерством освіти і науки України (протокол №5 від 12.12.2004 р.)

Навчально-методичний посібник призначений для тематичного контролю навчальних досягнень учнів: проведення самостійних і контрольних робіт при вивченні курсу алгебри в 8 класі. З кожної теми він містить чотири варіанти самостійних робіт із системами задач середнього, достатнього і високого рівнів. Завдвння кожного рівня диференційовані за трьома ступенями складності. Для тематичного оцінювання контрольні роботи дані у чотирьох варіантах.

Для вчителів та учнів 8 класів.

Рецензенти: Пекарська Л.В. – методист кабінету математики рівненського ОІППО;Бережна Г.А. – учитель математики Запорізької ЗОШ Апостолівського району Дніпропетровської області.

2

ПЕРЕДМОВАПропонований навчально-методичний посібник призначений для

проведення самостійних робіт навчального і перевірного характеру та тематичного контрольного оцінювання. Самостійні роботи дані з кожної теми, а контрольні роботи з 2-3 тем у відповідності з рекомендаціями Міністерства освіти України.

Виконання самостійних робіт передбачено у три етапи на 3 уроках (по 15-25 хв). Спочатку на першому із цих уроків учні виконують завдання середнього рівня. На другому етапі учні, які досягли середнього рівня (поточних балів 5 або 6), виконують системи завдань достатнього рівня, а інші — повторно виконують завдання середнього рівня іншого варіанту. На третьому етапі системи завдань високого рівня пропонуються учням, що досягли достатнього рівня. Учням, що не досягли середнього чи достатнього рівнів, рекомендуються для виконання системи завдань відповідного рівня.

Інший спосіб використання самостійних робіт – виконання учнями завдань доступного рівня на завершальному етапі вивчення теми.

Рекомендуємо просту систему оцінювання і самооцінювання успіхів при виконанні систем завдань рівня.

Якщо учень виконав правильно завдання усіх трьох номерів рівня, його успіхи оцінюються вищими балами рівня (наприклад, балом 6 за завдання середнього рівня, балом 9 — достатнього рівня, балом 12 — високого рівня); якщо правильно виконано завдання двох номерів (будь-яких) — середнім балом рівня (відповідно бали 5, 8, 11); якщо ж виконано завдання одного номера — нижчим балом рівня (відповідно бали 4, 7, 10).

Після закінчення самостійної роботи бажано відразу розглянути розв’язання задач, правильні відповіді. Це дасть можливість кожному учневі самостійно оцінити досягнення на основі зіставлення одержаних результатів із правильними.

Оцінка за самостійну роботу виставляється за результатами її виконання на завершальному етапі.

Під час проведення тематичних контрольних робіт учням рекомендуються учням завдання такого рівня, який відповідає його поточним успіхам при вивченні теми (за результатами самостійних робіт).

У посібнику подано також орієнтовне плануванння систем уроків початкового вивчення теорії й уроків практики з розв’язування задач з кожної теми.

3

І. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИТЕМА 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Самостійні роботи

№ 1. Варіант 1.Середній рівень

1. 1) Знайти значення виразу 4х – 3, якщо х = -5.

2) Знайти допустимі значення змінної х у виразі: ; .

3) Подати вираз у вигляді многочлена стандартного вигляду: а) (а + 8)2; б) (а + 9)(а – 9); в) 9 (2а – 1).

2. Розкласти на множники вираз: а) 25а2 + 10а + 1; б) 64а2 – 9с2; в) 15а4 – 25ас.

3. 1) Спростити вираз (2х – 3)(2х + 3) – 2х(2х – 1).2) Розкласти на множники вираз х2 – 2ху + х - 2у.

Достатній рівень1. 1) Знайти значення виразу 5(а – 3b) – 5a + 7b, якщо b = -2.

2) Знайти допустимі значення змінної у виразі .

3) Розкласти на множники вираз:а) 2а2 – 50; б) 3а2 + 18а + 27.

2. Подати у вигляді многочлена стандартного вигляду вираз:а) а(2а – 3)(а – 7); б) (а2 + 4)(а – 2)(а + 2).

3. Розкласти на множники вираз: а) a2b – 2b + ab2 – 2a; б) а2 – с2 – 8а + 16.

Високий рівень

1. 1) Знайти допустимі значення змінної у виразі .

2) Довести, що значення виразу (а2 – 0,3а + 2,8) - (0,3а2 – 0,4а – 0,2) + (2 – 0,1а – 0,7а2) не залежить від значення змінної а.3) Розкласти на множники вираз 25а2 – 4х2 + 12ху – 9у2.

2. Подати у вигляді многочлена стандартного вигляду вираз (а – 2b – 3c)(a + 2b – 3c), використавши формулу скороченого множення.

4

3. Знайти область допустимих значень змінної у виразі .


1. 1) Знайти значення виразу 7х – 9, якщо х = -6.


3) Подати вираз у вигляді многочлена стандартного вигляду: а) (а + 9)2; б) (а - 7)(а + 7); в) 6 (3а – 1).

2. Розкласти на множники вираз: а) 49а2 + 14а + 1; б) 25а2 – 16b2; в) 12а5 + 20ас.

3. 1) Спростити вираз (8х + 3)(8х - 3) – 4х(16х – 2).2) Розкласти на множники вираз a2 – 5ab + a - 5b.

Достатній рівень1. 1) Знайти значення виразу 4(а + 5b) + 8a - 20b, якщо a = -10.


3) Розкласти на множники вираз:а) 3а2 – 300; б) 4а2 - 8а + 4.

2. Подати у вигляді многочлена стандартного вигляду вираз:а) x(3x + 2)(x – 1); б) (а - 3)(а2 + 9)(а + 3).

3. Розкласти на множники вираз: а) 3x + xy2 – x2y – 3y; б) а2 – b2 – 10а + 25.



2) Довести, що значення виразу (x2 + 0,5x - 3,4) - (0,7x2 – 0,7x – 0,1) + (4 – 1,2x – 0,3x2) не залежить від значення змінної x.3) Розкласти на множники вираз 9 + 6аb – a2 – 9b2.

2. Подати у вигляді многочлена стандартного вигляду вираз (а + 4b – 5c)(a - 4b – 5c), використавши формули скороченого множення.

3. Знайти область допустимих значень змінних у виразі .

5


1. 1) Знайти значення виразу -7х + 4, якщо х = -2.


3) Розкласти на множники вираз: а) а2 - 49; б) а2 + 14а + 49); в) 4х + 20.

2. Подати вираз у вигляді многочлена стандартного вигляду: а) (3х + 5)(3х – 5); б) (4а + 1)2; в) а3(4а2 – 5).

3. 1) Спростити вираз (2а – 1)(3а + 2) – 6а2 + 2.2) Розкласти на множники вираз 3а2 – ас + 3а - с.

Достатній рівень1. 1) Знайти значення виразу (х2 – 4у2)(х2 + 4у2) – х4, якщо у = -3.


3) Розкласти на множники вираз:а) 3а3 – 108а; б) ху2 + 14ху + 49х.

2. Подати у вигляді многочлена стандартного вигляду вираз:а) а2(2а – 1)(3а + 4); б) (2а + 3)(4а2 + 9)(2а - 3).

3. Розкласти на множники вираза) 10a3 – 5а2b – 8a + 4b; б) a2 + 64b2 + 16ab – 25.



2) Знайти значення виразу (x2 + 1,2xy - 3,6y2) - (2,7x2 – 0,3xy – 2,4y2) + (0,2y2 – 1,5xy + 1,7x2), якщо у = -0,7.3) Розкласти на множники вираз 9(2а + 5с)2 – 16(2с – а)2.

2. Подати у вигляді многочлена стандартного вигляду вираз (а2 – 3а – 2)(a2 + 3а – 2), використавши формулу скороченого множення.

3. Розкласти на множники вираз х2 + 6х + 5.


1. 1) Знайти значення виразу -9х + 2, якщо х = -11.


3) Розкласти на множники вираз: а) а2 - 81; б) а2 - 18а + 81; в) 7х – 28.

6

2. Подати вираз у вигляді многочлена стандартного вигляду: а) (7х - 9)(7х + 9); б) (8а - 1)2; в) х7(2х3 – 4).

3. 1) Спростити вираз (4а – 3)(5а + 2) – 20а2 + 6.2) Розкласти на множники вираз 9а2 – аb + 9a - b.

Достатній рівень1. 1) Знайти значення виразу (х3 + 2у2)(х3 - 2у2) – х6, якщо у = -3.


3) Розкласти на множники вираз:а) 5а3 – 245а; б) 4a2b2 + 20ab2 + 25b2.

2. Подати у вигляді многочлена стандартного вигляду вираз:а) а3(а – 3)(2а + 5); б) (3а - 5)(9а2 + 25)(3а + 5).

3. Розкласти на множники вираза) 21a4 – 14а3b – 3a + 2b; б) y2 – 4x2 + 12х – 9.



2) Знайти значення виразу (a2 + 0,7ab - 2,5b2) - (1,2a2 – 1,2ab – 0,7b2) + (1,9b2 – 1,9ab + 0,2a2), якщо b = -1,2.3) Розкласти на множники вираз 4(3а + 5b)2 – 9(2b – а)2.

2. Подати у вигляді многочлена стандартного вигляду (а2 + 2а – 1)(a2 - 2а – 1), використавши формули скороченого множення.

3. Розкласти на множники вираз х2 + 7х + 6.

ТЕМА 2. РАЦІОНАЛЬНІ ДРОБИ І ЇХ ОСНОВНІ ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ



1. 1) Звести дріб: до знаменника 20а; до знаменника а6.

2) Скоротити дріб: ; ; .

7

2. Звести дріб:

1) до знаменника 7а - 49; до знаменника а2 – 25.


3. 1) Звести дріб:

до знаменника а2 – 3а; до знаменника а2 – 49.

2) Скоротити дріб: ; .

Достатній рівень

1. 1) Перетворити дріб у тотожно рівний дріб зі знаменником

х(х2 – 4) і знайти значення змінної х, при яких відповідні значення дробів рівні.


2. Скоротити дріб і знайти його значення, якщо .

3. Довести тотожність .

Високий рівень1. 1) Скоротити дріб:

а) ; б) .

2) Довести тотожність .

Скоротити дріб (2 — 3):

2. ;

3. .

8



до знаменника 27а; до знаменника у12.

2) Скоротити дріб:

; ; .


1) до знаменника 4а - 36; до знаменника х2 – 81.



до знаменника а2 + 5а; до знаменника а2 – 36.






2. Спростити дріб і знайти його значення, якщо .


Високий рівень1. 1) Скоротити дріб:

а) ; б) .

9


Скоротити дріб (2 — 3):

2. ;

3. .


1. 1) Звести дріб: до знаменника 44х; до знаменника с8.



1) до знаменника 12а - 4; до знаменника 4х2 – 9.



до знаменника 9х – х2; до знаменника 2(а2 – 81).







10

3. Скоротити дріб і знайти його значення, якщо а = -5 і

х = 7.Високий рівень

1. 1) Скоротити дріб: а) ; б) .


2. Довести тотожність = .

3. Скоротити дріб .


1. 1) Звести дріб: до знаменника 42х; до знаменника с9.



1) до знаменника 20а - 8; до знаменника 9х2 – 1.

2) Скоротити дріб: ; ;

.


до знаменника a – 4a2; до знаменника 3(а2 – 64).




11




3. Скоротити дріб і знайти його значення, якщо а = -20 і

х = -4.Високий рівень



2. Довести тотожність = .


ТЕМА 3. СУМА І РІЗНИЦЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ДРОБІВ



Виконати дії:

1. 1) ; 2) ; 3) ; 4)

.

2. 1) ; 2) ; 3) .

12

3. 1) ; 2) ; 3) .

Достатній рівеньПодати у вигляді дробу:

1. 1) ; 2) ; 3) ;

2. 1) ; 2) .


Високий рівень1. Виконати дії:

1) ;

2) ;

3) .

2. Знайти значення a і b, при яких рівність є

тотожністю, і знайти усі допустимі значення змінної х.




1. 1) ; 2) ; 3) ; 4)

.

2. 1) ; 2) ; 3) .

3. 1) ; 2) ; 3) .

13


1. 1) ; 2) ; 3)

;

2. 1) ; 2) .



1) ; 2)

;

3) .

2. Знайти значення a і b, при яких рівність є

тотожністю, і встановити усі допустимі значення змінної х.




1. 1) ; 2) ; 3) ; 4)

.

14

2. 1) ; 2) ; 3)

.

3. 1) ; 2) ; 3) .


1. 1) ; 2) ; 3)

;

2. 1) ; 2) .

3. Встановити значення а, при якому вирази і + 3 тотожно

рівні.Високий рівень

1. Подати вираз у вигляді дробу:

1) ; 2) ;

3) .

2. Подати дріб у вигляді суми цілого раціонального виразу і

дробу.3. Довести тотожність

і

встановити допустимі значення змінних.№ 12. Варіант 4.

Середній рівеньВиконати дії:

15

1. 1) ; 2) ; 3) ; 4)

.

2. 1) ; 2) ; 3)

.

3. 1) ; 2) ; 3) .


1. 1) ; 2) ;

3) ;

2. 1) ; 2) .

3. Встановити значення а, при якому вирази і тотожно

рівні.Високий рівень

1. Подати вираз у вигляді дробу:

1) ;

2) ;

3) .

2. Встановити, при яких натуральних значеннях змінної х значення дробу

є натуральним числом.

16

3. Довести тотожність

і встановити допустимі значення змінної а.

Тематичне оцінювання: теми 1 — 3

Контрольна робота №1№ 13. Варіант 1.

Середній рівень


2) Виконати дії:

а) ; б) ; в) .

2. Скоротити дріб:

а) ; б) ; в) .

3. Виконати дії:

а) ; б) ; в) .


1. 1) Скоротити дріб .


а) ; б) ; в) .

2. Подати у вигляді дробу .

3. Спростити дріб і знайти його значення, якщо а = 27 і



17

2) Виконати дії: .

2. Спростити дріб .





а) ; б) ; в) .


а) ; б) ; в) .


а) ; б) ; в) .



2) Виконати дії: ; ;

.

2. Подати у вигляді дробу: .

3. Спростити дріб і знайти його значення, якщо а = 46 і



18

2) Виконати дії .






а) ; б) ; в) .


а) ; б) ; в) .


а) ; б) ; в) .


1. 1) Скоротити дріб: .


а) ; б) ; в) .


3. Знайти значення дробу: і знайти його значення, якщо

а = 9 і b = -1.

19


1. 1) Скоротити дріб і знайти його значення, якщо

і .


2. Виконати дії: .





а) ; б) ; в) .


а) ; б) ; в) .


а) ; б) ;

в) .




; ; .

20


3. Знайти значення дробу і знайти його значення, якщо

а = 15 і b = 1.Високий рівень

1. 1) Скоротити дріб і знайти його значення, якщо

і .




ТЕМА 4. ДОБУТОК І ЧАСТКА РАЦІОНАЛЬНИХ ДРОБІВ



Подати у вигляді дробу:

1. 1) ; 2) ; 3) ; 4)

.

2. 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

21

3. 1) ; 2) ;

3) ; 4) .


1. 1) ; 2) .

2. 1) ; 2) .

3. Подати дріб у вигляді раціонального дробу.


1) ; 2)

.

2. Подати у вигляді раціонального дробу:

1) ; 2) .




22

1. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2. 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

3. 1) ; 2) ;

3) ; 4) .


1. 1) ; 2) .

2. 1) ; 2) .



1) ;

2) .


1) ; 2) .

23




1. 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2. 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

3. 1) ; 2) ;

3) ; 4) .


1. 1) ; 2) .

2. 1) ;

2) .

24


Високий рівень1. Подати у вигляді раціонального дробу:

1) ;

2) .


1) ; 2) .




1. 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2. 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

3. 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

25


1. 1) ; 2) .

2. 1) ; 2) .



1) ; 2) .


1) ; 2) .


ТЕМА 5. ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ВИРАЗІВ НА ОСНОВІ ПРАВИЛ АРИФМЕТИЧНИХ ДІЙ.




1. 1) ; 2) ;

2. ;

26

3. .

Достатній рівеньВиконати дії:

1. 1) ;

2) ;

2. .


Високий рівеньВиконати дії:

1. 1) ;

2) ;

2. .

3. Подати вираз у вигляді раціонального дробу.



1. 1) ; 2) ;

2. ;

27

3. .


1. 1) ;

2) ;

2. .



1. 1) ;

2) ;

2. .




1. 1) ; 2) ;

2. ;

28

3. .


1. 1) ;

2) ;

2. .



1. 1) ;

2) ;

2. .




1. 1) ; 2) ;

29

2. .

3. .


1. 1) ; 2)

;

2. .



1. 1) ;

2) .

2. .


30



Середній рівеньПодати у вигляді раціонального дробу:

1. 1) ; 2) ; 3) ;

2. 1) ; 2) .

3. .

Достатній рівеньПодати у вигляді раціонального дробу:

1. 1) ; 2) .

2. .

3. .

Високий рівеньПодати у вигляді раціонального дробу:

1. 1) ;

2) .

2. .

3. .

31


Подати у вигляді раціонального дробу:

1. 1) ; 2) ; 3) .

2. 1) ; 2) .

3. .


1. 1) ; 2) .

2. .

3. .


1. 1) ;

2) .

2. .

3. .

№ 27. Варіант 3.

32


1. 1) ; 2) ; 3) ;

2. 1) ; 2) .

3. .


1. 1) ; 2) .

2. .

3. .


1. 1) ;

2) .

2. .

3. .

№ 28. Варіант 4.

33


1. 1) ; 2) ; 3) ;

2. 1) ; 2) .

3. .


1. 1) ; 2) .

2. .

3. .


1. 1) ;

2) .

2. .

3. .

ТЕМА 6. ДРОБОВІ РАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ

34



Розв’язати рівняння (1 — 2):

1. 1) ; 2) ; 3) .

2. .

3. Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Знайти дріб, що дорівнює нескоротному дробу , в якого знаменник на

6 більший від чисельника.

35

Достатній рівеньРозв’язати рівняння (1 —2):

1. 1) ; 2) ;

2. .

3. Розв’язати задачу за допомогою рівняння.Знаменник дробу на 4 більший від його чисельника. Якщо до чисельника дробу додати 11, а від знаменника відняти 1, то вийде дріб, обернений даному. Знайти цей дріб.


1. 1) Розв’язати рівняння:

2) Розв’язати задачу за допомогою рівняння.Два робітники, працюючи разом, можуть виконати завдання за 24 дні.

Перший робітник, працюючи один, міг би виконати цю роботу в 1

рази швидше, ніж другий. За скільки днів кожний з робітників, працюючи окремо, міг би виконати цю роботу?

2. Розв’язати рівняння .

3. Дано рівняння з параметром.

а) Знайти корінь рівняння, якщо а = 2; а = 10; а = -1.б) Встановити значення а, при яких рівняння не має розв’язків.



1. 1) ; 2) ; 3) ;

2. .


36

Знайти дріб, що дорівнює нескоротному дробу , у якого знаменник на

10 менший від чисельника .Достатній рівень

Розв’язати рівняння (1 —2):

1. 1) ; 2) ;

2. .

3. Розв’язати задачу за допомогою рівняння.Знаменник дробу на 5 більший від його чисельника. Якщо до чисельника дробу додати 11, а від знаменника відняти 1, то вийде дріб, обернений даному. Знайти цей дріб.


1. 1) Розв’язати рівняння

2) Розв’язати задачу за допомогою рівняння.Два робітники, працюючи разом, можуть виконати завдання за 40 днів.

Перший робітник, працюючи один, міг би виконати цю роботу в 2

рази швидше, ніж другий. За скільки днів кожний з робітників, працюючи окремо, міг би виконати цю роботу?


3. Дано рівняння з параметром.

а) Знайти корінь рівняння, якщо а = 3; а = 10; а = -1.б) Встановити значення а, при яких рівняння не має розв’язків.



1. 1) ; 2) ; 3) ;

2. .

37


Знайти число, яке потрібно додати до чисельника і знаменника дробу

щоб дріб збільшився удвічі.Достатній рівень

Розв’язати рівняння (1 —2):

1. 1) ; 2) ;

2. .

3. Розв’язати задачу за допомогою рівняння.Катер проходить 160 км за течією річки за той же час, що й 140 км проти течії. Знайти власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки дорівнює 2 км/год.


1. 1) Розв’язати рівняння:

2) Розв’язати задачу за допомогою рівняння.Одне з чисел на 31 більше від другого. Якщо суму цих чисел поділити на більше з цих чисел, то неповна частка буде дорівнювати 1, а остача дорівнюватиме 14. Знайти ці числа.


3. Розв’язати рівняння з параметром а .



1. 1) ; 2) ; 3) ;

2. .


Знайти число, яке потрібно додати до чисельника і знаменника дробу

щоб його значення збільшилося у 5 разів.

38

Достатній рівеньРозв’язати рівняння (1 —2):

1. 1) ; 2) ;

2. .

3. Розв’язати задачу за допомогою рівняння.Моторний човен проходить 100 км за течією річки за той же час, що й 64 км проти течії. Знайти власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки дорівнює 2 км/год.


1. 1) Розв’язати рівняння

2) Розв’язати задачу за допомогою рівняння.Одне з чисел на 18 більше від другого. Якщо суму цих чисел поділити на більше з цих чисел, то неповна частка буде дорівнювати 1, а остача дорівнюватиме 10.


3. Розв’язати рівняння з параметром а.

ТЕМА 7. СТЕПІНЬ З ЦІЛИМ ПОКАЗНИКОМ



1. 1) Обчислити: 4-3; ; .

2) Подати у вигляді степеня: ; ; (с2)-5; х2 : х-3; у4 у-7.

3) Подати у вигляді дробу, що не містить степенів з від’ємними показниками: 7а-10; 5аb-3.4) Записати в десятковому вигляді число: 5,21 106; 4,3 10-5.

39

2. 1) Подати у вигляді степеня з основою 2 число: .

2) Спростити вираз: а) 4ab-3 6a-3b5; б) (с3)-2 5с-4.

3. 1) Обчислити: ; -10-3; (-0,2)-4.

2) Перетворити у раціональний дріб вираз а-2 – b-2.3) Записати в стандартному вигляді число: 43000000; 0,00352.

Достатній рівень1. 1) Знайти значення виразу: а) (-3)-2 + 4-1 + 0,60; б) .

2) Спростити вираз .

3) Подати у вигляді раціонального дробу вираз (а-1) : (b2 – a2).

4) Записати в стандартному вигляді число: ;

.

2. Знайти значення виразу .

3. Обчислити суму 3,6 108 + 4,92 107 і записати її в стандартному вигляді.


1. 1) Обчислити: .


3) Обчислити різницю 9,3 10-4 – 8,4 10-5 і записати її в стандартному вигляді.

2. Довести, що при будь-яких цілих значеннях т і п вираз

набуває одного й того самого значення.

3. Обчислити значення виразу .

№ 34. Варіант 240


1. 1) Обчислити: 11-2; ; .

2) Подати у вигляді степеня: ; ; х5 х-9; у-3 : у-10; (т-3)4.

3) Подати у вигляді дробу, що не містить степенів з від’ємними показниками: 13а-12; 7а-4b.4) Записати в десятковому вигляді число: 7,26 106; 3,9 10-4.


2) Спростити вираз: а) 7ab-5 3a-4b7; б) 5с-9 (с-2)4.

3. 1) Обчислити: ; -2-4; (-0,3)-3.

2) Перетворити у раціональний дріб вираз х-3 + у-3.3) Записати в стандартному вигляді число: 58 000 000 000; 0,0000813.

Достатній рівень1. 1) Знайти значення виразу: а) (-2)-3 + 5-1 + 4 0,30; б) .


3) Подати у вигляді раціонального дробу вираз (x-1 – y--1) : (у2 – х2).


.




1. 1) Обчислити .

41

2) Спростити .

3) Обчислити різницю 7,2 10-5 – 2,3 10-6 і записати її в стандартному вигляді.

2. Довести, що при будь-яких цілих значеннях т і п вираз

набуває одного й того ж значення.

3. Обчислити значення виразу .


1. 1) Обчислити: (-7)-2; ; .

2) Подати у вигляді степеня: ; ; а-7 а8; а-3 : а-8; (х-4)5.

3) Подати у вигляді дробу, що не містить степенів з від’ємними показниками: 14а-15; -9а-5b.4) Записати в десятковому вигляді число: 8,13 105; 2,1 10-4.


2) Спростити вираз: а) 9xy-3 0,4x-6y-4; б) 4a-14 (a-3)-5 .

3. 1) Обчислити: ; -3-4; (-0,2)-3.

2) Перетворити у раціональний дріб вираз а-1 + a-2.3) Записати в стандартному вигляді число: 8700000; 0,000172.


1. 1) Знайти значення виразу: а) -5-2 + ; б)

.


3) Подати у вигляді раціонального дробу вираз (аc-3 – bc-1) : с-4.

42


.






3) Обчислити значення виразу 107 (2,4 106 – 3,1 105) і записати його в стандартному вигляді.

2. Довести, що значення виразу (5х-100 – 1)(5х-100 + 1) - (5х-100 + 22) + 20х-100 не залежить від значення змінної х.

3. Спростити вираз .


1. 1) Обчислити: (-8)-2; ; .

2) Подати у вигляді степеня: ; ; x-21 x19; a-6 : a2; (y3)-15.

3) Подати у вигляді дробу, що не містить степенів з від’ємними показниками: -25а-7; 7x-5y4.4) Записати в десятковому вигляді число: 3,024 106; 1,03 10-3.


2) Спростити вираз: а) 0,6x2y-10 5x-5y-3; б) c3 9(c-2)5 .

43

3. 1) Обчислити: ; 2-5; (-0,6)-3.

2) Перетворити у раціональний дріб вираз а-4 + a-3.3) Записати в стандартному вигляді число: 913000000; 0,0000074.


1. 1) Знайти значення виразу: а) ; б) .


3) Подати у вигляді раціонального дробу вираз (3a – 2b-1) : (4a3 – 5b-2).4) Записати в стандартному вигляді число: 0,0034 1017; 55,3 10-12.


3. Обчислити суму 3,1 10-3 + 4,2 10-4 і записати її в стандартному вигляді.




3) Записати в стандартному вигляді число 2000004.

2. Спростити вираз

3. Спростити вираз

.

44




1. 1) Обчислити: а) ; б) .

2) Подати у вигляді степеня:

а) ; б) a-6 a8; в) ; г) (x-2) : x-5.

3) Подати у вигляді дробу: b-10; ac-6.4) Розв’язати рівняння:

а) ; б) .

2. Спростити вираз (а-4)3 5a14.3. 1) Записати у стандартному вигляді число: 470000000; 0,000571.

2) Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Знайти дріб, що дорівнює нескоротному дробу і в якого сума

чисельника і знаменника дорівнює 72.Достатній рівень

1. 1) Знайти значення виразу (-4)-2 + 4-1 + 2 50.2) Подати у вигляді дробу (y-2 – x-2) : (y-1 + x-1).

3) Розв’язати рівняння x-1 + (3x)-1 = .


3. 1) Обчислити суму 6,92 104 + 1,37 105 і записати її в стандартному вигляді.2) Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Знаменник дробу на 7 більший від чисельника. Якщо до чисельника додати 16, а від знаменника відняти 5, то вийде дріб, що дорівнює оберненому до даного.


1. 1) Довести тотожність .

2) Подати в стандартному вигляді число (400000)3.

45

3) Розв’язати задачу за допомогою рівняння.Два робітники, працюючи разом, можуть виконати завдання за 4 дні. Преший робітник, працюючи один, міг би виконати цю роботу в 2 рази швидше, ніж другий. За скільки днів кожний з робітників, працюючи окремо, міг би виконати цю роботу?


3. Обчислити .

46




а) ; б) a-9 a12; в) ; г) (x-3) : x-7.

3) Подати у вигляді дробу: с-9; a2b-8.4) Розв’язати рівняння:

а) ; б) .

2. Спростити вираз (а-5)3 4a17.3. 1) Записати у стандартному вигляді число: 830000000; 0,0000921.


Знайти дріб, що дорівнює нескоротному дробу і в якого сума

чисельника і знаменника дорівнює 80.Достатній рівень

1. 1) Знайти значення виразу (-5)-2 + 5-1 + 3 40.2) Подати у вигляді дробу (b-2 – a-2) : (b-1 - a-1).




Чисельник дробу на 5 менший від знаменника. Якщо чисельник даного дробу збільшити на 19, а знаменик зменшити на 1, то одержиться дріб, дорівнює оберненому до даного. Знайти цей дріб.



2) Подати в стандартному вигляді число (500000)3.

47

3) Розв’язати задачу за допомогою рівняння.Дві труби за одночасного включення наповнюють басейн за 10 год. Перша труба може наповнити наповнити басейн в 2 рази швидше, ніж друга. За скільки годин може наповнити басейн кожна труба окремо?


3. Обчислити .




а) ; б) a-9 a12; в) ; г) x5 : x-4.

3) Подати у вигляді дробу: b-12; 2am-8.

4) Розв’язати рівняння: а) ; б) .

2. Спростити вираз (c-7)4 3c30.3. 1) Записати у стандартному вигляді число: 72100000; 0,00046.


Знайти дріб, що дорівнює нескоротному дробу , в якого чисельник на

7 менший від знаменника.Достатній рівень

1. 1) Знайти значення виразу (-6)-2 + 6-1 + 4 70.2) Подати у вигляді дробу (с-1 + a-1) : (с-2 - a-2).




48

Моторний човен проходить 72 км проти течії річки за той час, що і 80 км у стоячій воді. Знайти власну швидкість човна, якщо швидкість течії річки дорівнює 2 км/год.



2) Подати в стандартному вигляді число (50000)-3.3) Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Одне з чисел на 12 більше від другого. Якщо суму цих чисел поділити на більше з цих чисел, то неповна частка буде дорівнювати 1, а остача дорівнюватиме 5.

2. Довести, що вираз набуває одного й того ж самого

значення при будь-яких цілих значеннях m і n.3. Встановити значення а, при яких не має розв’язків рівняння

.




а) ; б) a-14 a16; в) ; г) x9 : x-5.

3) Подати у вигляді дробу: x-12; 2mn-5.

4) Розв’язати рівняння: а) ; б) .

2. Спростити вираз (c-7)3 4c25.3. 1) Записати у стандартному вигляді число: 9630000000; 0,0000192.


Знайти дріб, що дорівнює нескоротному дробу і в якого знаменник на

56 більший від чисельника.Достатній рівень

1. 1) Знайти значення виразу (-9)-2 + 9-1 + 3 50.2) Подати у вигляді дробу (m-1 - n-1) : (m-2 - n-2).

49




Моторний човен проходить 130 км за течією річки за той же час, що і 120 км у стоячій воді. Знайти власну швидкість човна, якщо швидкість течії річки дорівнює 2 км/год.



2) Подати в стандартному вигляді число (200000)-3.3) Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Одне з чисел на 15 більше від другого. Якщо більше з цих чисел поділити на менше, то неповна частка буде дорівнювати 4, а остача дорівнюватиме 3. Знайти ці числа.

2. Довести, що вираз набуває одного й того ж самого

значення при будь-яких цілих значеннях n.3. Встановити значення а, при яких не має розв’язків рівняння

.

ІІ. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛАТЕМА 8. ДІЙСНІ ЧИСЛА



1. 1) Подати у вигляді відношення цілого числа до натурального: 39; -12;

; -2,3.

50

2) Подати число у вигляді десяткового дробу і округлити його до

сотих.3) Порівняти числа:

а) 0,1123… і 0,0948…; б) –2,034… і -1,993… .2. 1) Порівняти числа:

а) 0,(7) і 0,77; б) 0,445… і .

2) Зобразити на координатній прямій проміжок .

3. 1) одиничного відрізка укладається у відрізку АВ рівно 2 рази.

Записати довжину відрізка AB звичайним дробом і десятковим.2) Десятковим записом числа є нескінченний дріб, ціла частина якого число 15, а після коми підряд виписуються натуральні степені числа 2. Записати число з першими десятьма знаками. Вказати, яким раціональним чи ірраціональним є число , й округлити його до тисячних.


1. 1) Записати у порядку зростання числа: 0, 22; 0,(2); 0,022; .

2) Записати число у вигляді десяткового дробу та знайти його

десяткове наближення до тисячних:а) з недостачею; б) з надлишком;

в) за правилом округлення чисел.3) Відрізок АВ складається із трьох одиничних відрізків, двох десятих і чотирьох сотих частин одиничного відрізка. Записати довжину відрізка десятковим дробом і нескоротним звичайним дробом.

2. Записати три раціональні числа, що знаходяться між числами 2, 111 і 2,(1).

3. 1) Дано раціональне число а = 0,(6). Знайти числа 10а і 9а та подати число а у вигляді нескоротного звичайного дробу.2) Дано ірраціональне число = 0,2525525552... в якому цифри “2” відокремлюються цифрами ”5”, кількість яких послідовно збільшується на 1. Записати ірраціональне число таке, щоб сума чисел і дорівнювала раціональному числу 7,(8).

51

Високий рівень1. 1) Записати два раціональні числа і ірраціональне число, що знаходяться

між числами 0,2 і 0,(2), задавши спосіб утворення десяткових знаків ірраціонального числа.2) Відрізок АВ складається з чотирьох десятих і шести сотих одиничного

відрізка. Встановити, яка найбільша частина одиничного відрізка

укладається ціле число разів у відрізку АВ і скільки разів. Записати будь-які дві інші частини одиничного відрізка, що укладаються ціле число раз у відрізку АВ.3) Дано число а = 0,(32). Знайти 100а, 99а і записати число а у вигляді нескоротного звичайного дробу.

2. Встановити, які з наведених раціональних чисел:

можна записати у вигляді скінченних десяткових дробів, і перетворити їх у десяткові дроби, звівши знаменники дробів до степенів числа 10.

3. Довести, що добуток раціонального числа а, відмінного від нуля, і будь-якого ірраціонального числа є ірраціональним числом.Вказівка: Довести на основі означення раціонального числа методом від супротивного.



; -7,2.

2) Подати число у вигляді десяткового дробу й округлити його до

сотих.3) Порівняти числа: а) 0,01122… і 0,02112…; б) –2,994… і -1,003… .

2. 1) Порівняти числа: а) 0,333 і 0,(3); б) 0,77… і .


3. 1) одиничного відрізка укладається у відрізку АВ рівно 5 разів.

Записати довжину відрізка АВ звичайним дробом і десятковим.2) Десятковим записом числа є нескінченний дріб, ціла частина якого число 15, а після коми підряд виписуються натуральні степені числа 5. Записати число з першими дев’ятьма десятковими знаками. Вказати,

52

яким — раціональним чи ірраціональним є число , і округлити його до тисячних.


1. 1) Записати у порядку зростання числа: 0, 888; 0,(8); 0,188; .


десяткове наближення до тисячних:а) з недостачею; б) з надлишком; в) за правилом округлення чисел.

3) Відрізок АВ складається з п’яти одиничних відрізків, чотирьох десятих і п’яти сотих частин одиничного відрізка. Записати довжину відрізка десятковим дробом і нескоротним звичайним дробом.

2. Записати три раціональні числа, що знаходяться між числами 3, 222 і 3,(2).

3. 1) Дано раціональне число а = 0,(7). Знайти числа 10а і 9а та подати число а у вигляді нескоротного звичайного дробу.2) Дано ірраціональне число = 0,4141141114... в якому цифри “4” відокремлюються цифрами ”1”, кількість яких послідовно збільшується на 1. Записати ірраціональне число таке, щоб сума чисел і дорівнювала раціональному числу 10,(7).


між числами 0,4 і 0,(4), задавши спосіб утворення десяткових знаків ірраціонального числа.2) Відрізок АВ складається з шести десятих і п’яти сотих одиничного

відрізка. Встановити, яка найбільша частина одиничного відрізка

укладається ціле число разів у відрізку АВ і скільки раз. Записати будь-які дві інші частини одиничного відрізка, що укладаються ціле число раз у відрізку АВ.3) Дано число а = 0,(27). Знайти 100а, 99а і записати число а у вигляді нескоротного звичайного дробу.

2. Встановити, які з наведених раціональних чисел:

можна записати у вигляді скінченних десяткових дробів, перетворити їх у десяткові дроби, звівши знаменники дробів до степенів числа 10.

3. Довести, що сума будь-якого раціонального числа а і ірраціонального числа є ірраціональним числом.

53

Вказівка: Довести методом від супротивного на основі означення раціонального числа.



; -3,2.


сотих.3) Порівняти числа: а) 0,00756… і 0,1199…; б) –5,897… і -4,034… .

2. 1) Порівняти числа: а) 0,33 і 0,(33); б) і 0,556… .


3. 1) одиничного відрізка укладається у відрізку АВ рівно 8 раз.

Записати довжину відрізка АВ звичайним дробом і десятковим.2) Десятковим записом числа є нескінченний дріб, ціла частина якого число 8, а після коми підряд виписуються натуральні степені числа 3. Записати число з першими дев’ятьма десятковими знаками. Вказати, яким раціональним чи ірраціональним є число і округлити його до тисячних.


1. 1) Записати у порядку зростання числа 0, 444; 0,(4); 0,044; .



3) При десятковому вимірюванні за допомогою одиничного відрізка ОE довжина відрізка АВ виражається дробом 5,84. Записати довжину

відрізка АВ звичайним дробом і вказати найбільшу частину відрізка

ОЕ, яка ціле число раз укладається у відрізку ОЕ.

54

2. Записати у вигляді нескінченних періодичних дробів три раціональні

числа, що знаходяться між числами 3 і 3 .

3. 1) Обчислити суму + 0,(7).

2) Дано ірраціональне число = 0,1313331333331... в якому цифри “1” відокремлюються цифрами “3”, кількість яких послідовно збільшується на 2. Записати ірраціональне число таке, щоб сума чисел і дорівнювала раціональному числу 5,(6).


між числами 0,(2) і 0,(23), використавши для запису ірраціонального числа тільки цифри 2 і 3. Вказати спосіб утворення десяткових знаків ірраціонального числа.

2) Довжина відрізка АВ становить довжини відрізка CD. Записати

довжину відрізка АВ, якщо за одиничний відрізок взяти відрізок у два рази менший від відрізка CD.3) Дано число а = 0,3(7). Знайти 100а, 10а, 90а і записати число а у вигляді нескоротного звичайного дробу.

2. Довести, що .

3. Довести, що не існує раціонального числа, яке є коренем рівняння х2 = 5.Вказівка: Довести методом від супротивного на основі означення раціонального

числа.


1. 1) Подати у вигляді відношення цілого числа до натурального: -145; 63;

0,72; .


сотих.3) Порівняти числа:

а) 0,000101… і 0,00009…; б) –12,876… і -11,073… .2. 1) Порівняти числа:

55

а) 0,52 і 0,(52); б) і 1,188.


3. 1) одиничного відрізка укладається у відрізку АВ рівно 11 разів.

Записати довжину відрізка звичайним дробом і десятковим.2) Десятковим записом числа є нескінченний дріб, ціла частина якого число 7, а після коми підряд виписуються натуральні числа, кратні 7. Записати число з першими дев’ятьма знаками. Вказати, яким — раціональним чи ірраціональним є число і округлити його до тисячних.


1. 1) Записати у порядку зростання числа: ; 0,(432); 0,43(2); 0,432;

0,4(32).



3) одиничного відрізка укладається у відрізку АВ рівно чотири рази.

Які з частин одиничного відрізка: чи укладуються у

відрізку АВ також ціле число разів і скільки?2. Обчислити суму чисел 0,(7) і 0,(12).

3. 1) Довести, що коли а і b раціональні числа, то і число —

раціональне.2) Записати будь-яке ірраціональне число, що знаходиться між числами 10,1 і 10,2, вказавши спосіб утворення його десяткових знаків.


між числами -0,(4) і -0,4, задавши спосіб утворення десяткових знаків ірраціонального числа.

56

2) Якщо за одиничний відрізок взяти відрізок OE, то довжина відрізка

АВ виразиться раціональним числом . Записати довжину відрізка,

якщо за одиничний відрізок взяти відрізок:а) у десять разів більший від відрізка ОЕ;б) у k разів менший від відрізка ОЕ.

3) Дано число а = 2,35(7). Знайти 1000а, 100а, 900а і записати число а у вигляді нескоротного звичайного дробу.


3. Довести, що не існує раціонального числа, яке є розв’язком рівняння х2 = n, де п — натуральне число, що не є квадратом натурального числа.Вказівка: Довести методом від супротивного на основі означення раціонального

числа.

ТЕМА 9. АРИФМЕТИЧНИЙ КВАДРАТНИЙ КОРІНЬ



1. 1) Обчислити: ; ; ; ; ; .

2) Знайти значення виразу: а) ; б) .3) Розв’язати рівняння: а) х2 = 11; б) х2 = -9.

2. 1) Обчислити: а) ; б) ; в) ; г) .

2) Записати між якими послідовними натуральними числами знаходиться .


2) Добути корінь: а) , якщо ; б) , якщо у < 0.

3) Розв’язати рівняння .

57



2) Спростити вираз , якщо а > 0, b < 0.3) Порівняти числа і 1,1.

2. Розв’язати рівняння 3. Знайти допустимі значення змінної х у виразі:

а) ; б) ; в) .

Високий рівень1. 1) Обчислити: а) ; б) .

2) Спростити вираз , якщо х < 0, y > 0.2. Знайти допустимі значення змінної х у виразі:

а) ; б) .



1. 1) Обчислити: ; ; ; ; ; .


2. 1) Обчислити: а) ; б) ; в) ; г) .

2) Записати між якими послідовними натуральними числами знаходиться .


2) Добути корінь: а) , якщо a < 0; б) , якщо b > 0.


58



2) Спростити вираз , якщо а < 0, b > 0.

3) Порівняти числа і 1,2.2. Розв’язати рівняння 3. Знайти допустимі значення змінної х у виразі:

а) ; б) ; в) .

Високий рівень1. 1) Обчислити: а) ; б) .

2) Спростити вираз , якщо х > 0, y < 0.3. Знайти допустимі значення змінної х у виразі:

а) ; б) .



1. 1) Обчислити: + ; ; ; ; .


2. 1) Обчислити: а) ; б) ; в) ; г) .

2) Порівняти числа: 6 і .


2) Добути корінь: а) , якщо х < 0; б) , якщо у > 0.


59



2) Спростити вираз , якщо а > 0, b < 0.

3) Порівняти числа і 1,3.

2. Розв’язати рівняння 3. Знайти допустимі значення змінної х у виразі:

а) ; б) ; в) .



2) Спростити вираз , якщо a < 0, b > 0.

2. Знайти допустимі значення змінних а і b у виразі:

а) ; б) .



1. 1) Обчислити: ; ; ; ; .

2) Знайти значення виразу: а) , якщо х = 8, у = 17; б) , якщо а = 17, b = 25.

3) Розв’язати рівняння: а) х2 = ; б) х2 = - .

2. 1) Обчислити: а) ; б) ; в) .

2) Записати між якими двома послідовними натуральними числами знаходиться .

60


2) Добути корінь: а) , якщо х > 0; б) , якщо y < 0.

3) Розв’язати рівняння .Достатній рівень


2) Спростити вираз , якщо а < 0.3) Порівняти числа і 1,3.

2. Розв’язати рівняння 3. При яких значеннях змінних х і у має зміст вираз:

а) ; б) ?Високий рівень


2) Спростити вираз , якщо a < 0, b < 0, c > 0.

2. Довести, що є ірраціональним числом.


ТЕМА 10. ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ, ЯКІ МІСТЯТЬ КВАДРАТНІ КОРЕНІ



1. 1) Спростити вираз .2) Винести множник з-під знака кореня: .3) Внести множник під знак кореня: .

4) Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу .

61

2. 1) Винести множник з-під знака кореня: .2) Внести множники під знаки коренів і порівняти корені: і .3) Розкласти на множники вираз а2 – 2.

3. 1) Спростити вираз .





2) Внести множник під знак кореня: а) ; б) , де а > 0; в) , де b < 0.




Високий рівень1. 1) Спростити вираз .

2) Внести множник під знак кореня і спростити підкореневий вираз:

а) , де а > 0, b < 0.


Виконати дії (2 — 3):

2. ;

3. .

62




2. 1) Винести множник з-під знака кореня: .2) Внести множники під знаки коренів і порівняти корені: і .3) Розкласти на множники вираз а2 – 7.






2) Внести множник під знак кореня: а) ; б) , де х > 0; в) , де х < 0.

3) Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу: .




2) Внести множник під знак кореня і спростити підкореневий вираз

, де а > 0, с < 0.


63

Виконати дії (2 — 3):

2. ;

3. .




2. 1) Винести множник з-під знака кореня: .2) Внести додатний множник під знак кореня: .3) Розкласти на множники вираз 9а2 – 7.






2) Внести множник під знак кореня: а) ; б) , де а > 0; в) , де b < 0.





64

2) Внести множник під знак кореня .


2. Виконати дії .




2) Винести множник з-під знака кореня: .

3) Внести множник під знак кореня: .

4) Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу: .

2. 1) Винести множник з-під знака кореня: .2) Внести множник під знак кореня: .3) Розкласти на множники вираз 11 - 25а2.






2) Внести множник під знак кореня: а) ; б) , де а > 0; в) , де x < 0.



65



2) Внести множник під знак кореня: , де а < 0 і c > 0.


2. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу .

3. Довести формулу складного кореня

.



Середній рівень1. 1) Обчислити: а) ; б) .

2) Розв’язати рівняння: а) x2 = 19; б) x2 = -17.3) Внести множник під знак кореня: .

2. 1) Порівняти числа і 0,666.

2) Обчислити: а) ; б) ; в) .



3) Звільнитись від ірраціональності в знаменнику дробу .

66

Достатній рівень1. 1) Обчислити: .


3) Записати у порядку зростання числа: ; ; .2. Розв’язати рівняння .


Високий рівень1. 1) Записати ірраціональне число, що знаходиться між числами 2,3 і 2,(3),

вказавши спосіб утворення його десяткових знаків.2) Спростити вираз .



3. Довести, що коренем рівняння не може бути раціональне число.









67


2) Спростити вираз .3) Записати у порядку зростання числа: ; ; 7.



Високий рівень1. 1) Записати ірраціональне число, що знаходиться між числами 3,7 і 3,(7),

вказавши спосіб утворення його десяткових знаків.2) Спростити вираз .



3. Довести, що коренем рівняння не може бути раціональне число.










68


3) Записати у порядку зростання числа: ; ; 8.



Високий рівень1. 1) Записати ірраціональне число, що знаходиться між числами 7,23 і 7,

(23) вказавши спосіб утворення його десяткових знаків.2) Спростити вираз .


2. Внести множник під знак кореня: ; .

3. — ірраціональне число, b — раціональне число. Довести, що —

ірраціональне число.



2) Розв’язати рівняння: а) x2 = -36; б) x2 = 37.3) Внести множник під знак кореня: .

2. 1) Порівняти числа 0,666 і .





69



3) Записати у порядку зростання числа: ; ; 8.



Високий рівень1. 1) Записати ірраціональне число, що знаходиться між числами 5,12 і 5,

(12) вказавши спосіб утворення його десяткових знаків.2) Спростити вираз: .

3) Звільнитись від ірраціональності в знаменнику дробу

2. Внести множник під знак кореня: ; .

3. — ірраціональне число, с — раціональне число. Довести, що — ірраціональне число.

ІІІ. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯТЕМА 11. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ



Розв’язати рівняння:

1. 1) х2 + 7х = 0; 2) х2 - = 0; 3) х2 - 3х – 10 = 0.

2. 3х2 + 10х – 13 = 0;3. 1) 5х(5х – 2) – 3 = 0.

2) Скласти зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють і .

Достатній рівень1. Розв’язати рівняння:

70

1) ; 2) 5(х – 10) – (х – 20)(х – 10) – 10х = 0.

2. 1) Скласти квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого

дорівнюють і .

2) Встановити, при якому значенні m рівняння х2 + (m – 3)х = 0 має один корінь — число 0.

3. Розв’язати рівняння х2 – 8х – 20 = 0 виділенням з лівої частини повного квадрата двочлена.


1. 1) Розв’язати рівняння .

2) Розв’язати рівняння –3х2 – 3х + 6 = 0 виділенням з лівої частини повного квадрата двочлена.

2. Відомо, що х1 і х2 — корені рівняння х2 + 5х - 3 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайти значення виразу х1

2 + х22.

3. Розв’язати рівняння х2 – 7|х| + 10 = 0.



1. 1) х2 - 5х = 0; 2) х2 - = 0; 3) х2 + 5х + 4 = 0.

2. 9х2 + 2х – 11 = 0;3. 1) 4х(х + 3) + 9 = 0.

2) Скласти зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють і .


1) ; 2) 6х – 3(х + 6) + (х – 12) (х – 6) = 0.

2. 1) Скласти квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого


2) Встановити, при якому значенні m рівняння 5х2 + (m + 10)х = 0 має один розв’язок — число 0.

3. Розв’язати рівняння х2 + 4х – 32 = 0 виділенням з лівої частини повного квадрата двочлена.

71



2) Розв’язати рівняння –2х2 + 10х + 4 = 0 виділенням з лівої частини повного квадрата двочлена.

2. Відомо, що х1 і х2 — корені рівняння х2 - 7х - 2 = 0. Не розв’язуючи

рівняння, знайти значення виразу .

3. Розв’язати рівняння х2 – 2|х| - 35 = 0.


Розв’язати рівняння:1. 1) х2 - 12х = 0; 2) 25х2 - 1 = 0; 3) х2 - 7х + 12 = 0.2. 2х2 + 7х + 5 = 0;

3. 1) .

2) Довести, що рівняння 7х2 – 6х + 1 = 0 має два різні корені, і, не обчислюючи коренів, знайти їх суму і добуток.


1) 3х2 + 2,5х – 0,5 = 0; 2) (3х + 4)(х - 2) - (х + 15) (х – 1) = 17.2. 1) Скласти квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого

дорівнюють 0,7 і –0,3.2) Встановити, при якому значенні m рівняння 4х2 – 3x + (5m - 2) = 0 має два корені, один з яких дорівнює 0, і знайти другий корінь.

3. Розв’язати рівняння х2 - 6х – 5 = 0 виділенням з лівої частини повного квадрата двочлена.



2) Розв’язати рівняння –4х2 - 12х + 8 = 0 виділенням з лівої частини повного квадрата двочлена.

2. Не розв’язуючи квадратне рівняння х2 + 9х - 3 = 0, скласти квадратне рівняння, корені якого на два більші від коренів даного рівняння.

3. Розв’язати рівняння x|х| – 6х + 5 = 0.

72


Розв’язати рівняння:1. 1) х2 + 20х = 0; 2) 36х2 - 25 = 0; 3) х2 - х - 90 = 0.2. 3х2 + 4х + 1 = 0;3. 1) 3х + 6(х + 4) – х(х + 4) = 0.

2) Скласти зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють 4 і

, і перетворити його у квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами.Достатній рівень

1. Розв’язати рівняння:1) -х2 – 4,5х + 2,5 = 0; 2) 5(х + 2) - 4(х - 2) - (х - 2)2 = 16.

2. 1) Скласти квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють 1 - і 1+ .2) Встановити, при якому значенні m рівняння х2 - 3mх – 10m2 = 0, де m > 0, має один корінь. Знайти цей корінь.

3. Розв’язати рівняння х2 - 10х + 20 = 0 виділенням з лівої частини повного квадрата двочлена.



2) Розв’язати рівняння –5х2 - 5х + 10 = 0 виділенням з лівої частини повного квадрата двочлена.

2. Відомо, що що х1 і х2 — корені квадратного рівняння х2 - 5х - 2 = 0. Не розв’язуючи даного рівняння, скласти квадратне рівняння, корені якого відповідно дорівнюють 3х1 і 3х2.

3. Розв’язати рівняння |х2 – 8х + 11| = 4.

Тематичне оцінювання

Контрольна робота №5ТЕМА 11. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ


Розв’язати рівняння:1. 1) х2 = -2х; 2) 4х2 = 36; 3) х2 - 4х + 3 = 0.

73

2. 1) Не розв’язуючи квадратне рівняння х2 + 7х – 3 = 0, встановити число його коренів, їх суму і добуток.2) Скласти зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють 2 і 10.

3. Розв’язати рівняння:1) х2 - 10х – 25 = 0; 2) х(х + 3) + (х – 3)2 = 36.

Достатній рівеньРозв’язати рівняння:

1. 1) 81х3 – 4х = 0; 2) (3х – 1)2 – (х – 8)(х + 4) = 43.2. 1) Один з коренів рівняння х2 – 7х + q = 0 дорівнює 3. Знайти

коефіцієнт q.2) Скласти зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють 3 - і 3 + .

3. 1) Довести, що коли у зведеному квадратному рівнянні вільний член від’ємний, то рівняння має два різні корені. 2) Розв’язати рівняння х2 + 2х – 8 = 0 виділенням повного квадрата двочлена.



2) Розв’язати рівняння 5х2 – 3х - 8 = 0 виділенням з лівої частини повного квадрата двочлена.

2. 1) Відомо, що х1 і х2 — корені рівняння х2 + 4х - 1 = 0. Не розв’язуючи

даного рівняння, обчислити значення виразу .

2) Не розв’язуючи рівняння 2х2 + 5х – 3 = 0, скласти квадратне рівняння, корені якого протилежні кореням даного рівняння.

3. Розв’язати рівняння х2 + |х| + х - 35 = 0.


Розв’язати рівняння:1. 1) х2 = 4х; 2) 3х2 = 27; 3) х2 - 6х - 16 = 0.2. 1) Не розв’язуючи квадратне рівняння х2 + 9х – 5 = 0, встановити число

його коренів, їх суму і добуток;2) Скласти зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють 3 і 9.

3. Розв’язати рівняння:1) х2 + 6х – 19 = 0;2) х(х - 4) + (х + 4)2 = 32.

74


1. 1) 49х3 – 25х = 0; 2) (5х – 1)2 – (х – 6)(х + 8) = 85.2. 1) Один з коренів рівняння х2 + pх – 18 = 0 дорівнює 3. Знайти

коефіцієнт p.2) Скласти зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють 4 - і 4 + .

3. 1) Довести, що коли у квадратному рівнянні перший коефіцієнт додатний, а вільний член від’ємний, то рівняння має два різні корені. 2) Розв’язати рівняння х2 + 2х – 15 = 0 виділенням повного квадрата двочлена.



2) Розв’язати рівняння 2х2 + 9х + 10 = 0 виділенням з лівої частини повного квадрата двочлена.

2. 1) Відомо, що х1 і х2 — корені рівняння х2 + 3х - 2 = 0. Не розв’язуючи

даного рівняння, обчислити значення виразу .

2) Не розв’язуючи рівняння 3х2 - 4х – 2 = 0, скласти квадратне рівняння, корені якого протилежні кореням даного рівняння.

3. Розв’язати рівняння х2 + |х| = 15 - х.


Розв’язати рівняння:1. 1) х2 = 7х; 2) 9х2 = 4; 3) х2 + 4х - 21 = 0.2. 1) Не розв’язуючи квадратне рівняння х2 - 13х – 7 = 0, встановити

число його коренів, їх суму і добуток;2) Скласти зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють -3 і -5.

3. Розв’язати рівняння:1) 5х2 - 9х + 4 = 0;2) х(х + 4) - 4(х + 4) – 15х = 0.


1. 1) 25х3 = 36х; 2) (6х – 1)(6х + 1) – (14х + 5)(х - 2) = 12х + 20.2. 1) Один з коренів рівняння х2 + 8х + q = 0 дорівнює 2. Знайти

коефіцієнт q.

75

2) Скласти квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого


4. 1) Довести, що коли у зведеному квадратному рівнянні сума другого коефіцієнта і вільного члена дорівнює -1, то один з коренів рівняння дорівнює 1. 2) Розв’язати рівняння х2 - 8х + 7 = 0 виділенням повного квадрата двочлена.

Високий рівень1. 1) Розв’язати рівняння 2х(х + 1)2 – (х – 3)(х + 3) = 2х3 + 25.

2) Розв’язати рівняння 2х2 + 5х + 2 = 0 виділенням з лівої частини повного квадрата двочлена.

2. 1) Різниця коренів квадратного рівняння х2 - 8х + q = 0 дорівнює 4. Знайти q.2) Не розв’язуючи рівняння 3х2 + 2х – 1 = 0, скласти квадратне рівняння, корені якого обернені до коренів даного рівняння.

3. Розв’язати рівняння х2 + х - 1 = .


Розв’язати рівняння:1. 1) х2 = -9х; 2) 25х2 = 9; 3) х2 - 5х - 36 = 0.2. 1) Не розв’язуючи квадратне рівняння х2 - 15х – 4 = 0, встановити

число його коренів, їх суму і добуток;2) Скласти зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють -7 і -5.

3. Розв’язати рівняння:1) 7х2 - 20х + 14 = 0;2) 2х(х - 4) - 8(х - 4) – 49х = 0.


1. 1) 16х3 = 25х; 2) (4х – 5)(4х + 5) – (4х + 1)(3х - 8) = 15х - 27.2. 1) Один з коренів рівняння х2 + px - 36 = 0 дорівнює 9. Знайти

коефіцієнт p.2) Скласти квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого


76

3. 1) Довести, що коли у зведеному квадратному рівнянні х2 + px + q = 0 сума другого коефіцієнта і вільного члена дорівнює -1, то один з коренів рівняння дорівнює –р - 1. 2) Розв’язати рівняння х2 - 4х - 45 = 0 виділенням повного квадрата двочлена.

Високий рівень1. 1) Розв’язати рівняння х(3х + 1)2 – (2х – 1)(2х + 1) = 9х3 + 11.

2) Розв’язати рівняння 3х2 - 4х - 2 = 0 виділенням з лівої частини повного квадрата двочлена.

2. 1) Різниця коренів квадратного рівняння х2 + px - 15 = 0 дорівнює 8. Знайти p.2) Не розв’язуючи рівняння 2х2 - 3х – 4 = 0, скласти квадратне рівняння, корені якого обернені до коренів даного рівняння.

3. Розв’язати рівняння 2х2 + 4х + 1 = .

ТЕМА 12. РІВНЯННЯ, ЩО ЗВОДЯТЬСЯ ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯКВАДРАТНИХ РІВНЯНЬ




1. 1) х4 - 5х2 + 4 = 0; 2) ; 3) .

2. 1) ; 2) .

3. 1) ; 2) .


1. 1) ; 2) .

2. .

77

3. .

78

Високий рівеньРозв’язати рівняння:

1. 1) ;

2) (2х + 1)4 – 29 (2х + 1)2 + 100 = 0.

2. .

3. .



1. 1) х4 - 13х2 + 36 = 0; 2) ; 3) .

2. 1) ; 2) .

3. 1) ; 2) .


1. 1) ; 2) .

2. .

3. .


1. 1) ; 2) (х + 3)4 – 20 (х + 3)2 + 64 = 0.

2. .

3. .

79



1. 1) х4 – х2 - 12 = 0; 2) ; 3) .

2. 1) ; 2) .

3. 1) ; 2) .


1. 1) ; 2) .

2. .

3. .


1. 1) ;

2) (х2 + х)2 – 8 (х2 + х) + 12 = 0.2. .

3. .



1. 1) х4 – 7х2 - 18 = 0; 2) ; 3) .

2. 1) ; 2) .

81

3. 1) ; 2) .


1. 1) ; 2) .

2. .

3. .


1. 1) ; 2) (х2 - 4х)2 – 14 (х2 - 4х) + 40 = 0.

2. .

3. .

ТЕМА 13. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ЗА ДОПОМОГОЮ РІВНЯНЬ, ЩО ЗВОДЯТЬСЯ ДО КВАДРАТНИХ



1. Одне число на 2 більше від другого, а їхній добуток дорівнює 35. Знайти ці числа.

2. Периметр прямокутника дорівнює 28 м. Знайти його сторони, якщо площа прямокутника дорівнює 48 м2.

3. З міста в село, відстань між якими 48 км, виїхали одночасно два велосипедисти. Швидкість одного з них на 4 км/год менша від швидкості другого, а тому він приїхав до місця призначення на 1 год пізніше. Знайти швидкість кожного велосипедиста.

Достатній рівень1. Сума квадратів трьох послідовних цілих чисел дорівнює 50. Знайти ці

числа.

82

2. Один робітник може виконати завдання на 5 год швидше від другого. За скільки годин може виконати це завдання кожний робітник, якщо,

працюючи разом, за 4 години вони виконали б завдання?

3. Турист проплив на моторному човні 10 км проти течії річки і повернувся назад на плоту. Знайти швидкість течії річки, якщо на плоту турист плив на 1 год більше, ніж човном, а власна швидкість човна становить 15 км/год.

Високий рівень1. Знайти двоцифрове число, в якого цифра одиниць на 4 більша від цифри

десятків, а добуток числа на суму його цифр дорівнює 208.2. Бригада робітників повинна була за декілька днів виготовити 272 деталі.

Перші десять днів бригада виконувала встановлену норму, а потім стала виготовляти щоденно на 4 деталі більше, ніж за нормою. Тому за один день до терміну було виготовлено 280 деталей. Скільки деталей повинна була виготовити бригада щоденно?

3. Щоб наповнити басейн двома трубами, потрібно 40 год. Якщо перша

труба наповнить басейна, а решту — друга труба, то басейн буде

заповнений за 78 год. За скільки годин може заповнити басейн кожна труба?


1. Різниця двох чисел дорівнює 5. Знайти ці числа, якщо їхній добуток дорівнює 84.

2. Сума двох сусідніх сторін прямокутника дорівнює 17 м. Знайти його сторони, якщо площа прямокутника дорівнює 60 м2.

3. З одного міста в інше, відстань між якими 300 км, одночасно виїхали два автомобілі. Швидкість одного з них на 10 км/год більша, від швидкості другого, а тому він приїхав до місця призначення на 1 год раніше. Знайти швидкість кожного автомобіля.

Достатній рівень1. Сума квадратів трьох послідовних парних натуральних чисел дорівнює

200. Знайти ці числа.2. Перша труба може наповнити басейн на 12 год раніше, ніж друга. За

скільки годин може наповнити басейн кожна труба, якщо при спільному

включенні за 10 год вони наповнюють басейна?

83

3. Турист проплив на моторному човні 5 км проти течії річки і повернувся назад на плоту. Знайти швидкість течії річки, якщо на плоту турист плив на 2 год більше, ніж човном, а власна швидкість човна становить 12 км/год.

Високий рівень1. Знайти двоцифрове число, в якого цифра одиниці на 2 менша від цифри

десятків, а добуток числа на суму його цифр дорівнює 424.2. Бригада лісорубів повинна була за планом заготовити за кілька днів 216

м3 дров. Перші три дні бригада виконувала щодня встановлену норму, а потім кожного дня заготовляла 8 м3 понад план; тому вже за день до строку було заготовлено 232 м3. Скільки дров бригада повинна була заготовляти щодня за нормою?

3. Двоє робітників, виконуючи певне завдання разом, могли б закінчити його за 12 днів. Якщо спочатку працюватиме тільки один з них, а коли він виконає половину з цієї роботи, його заступить другий робітник, то все завдання буде закінчене за 25 днів. За скільки днів кожний робітник окремо може виконати все завдання?


1. Добуток двох послідовних натуральних чисел дорівнює 72. Знайти ці числа.

2. Знайти катети прямокутного трикутника, якщо їхня різниця дорівнює 4 см, а площа трикутника дорівнює 22 см2.

3. Робітник повинен був виготовити за деякий час 24 деталі. Щоденно він виготовляв на 2 деталі більше, ніж за нормою, а тому виконав завдання на 1 день раніше. Скільки деталей щоденно виготовляв робітник?

Достатній рівень1. Різниця двох чисел дорівнює 3, а різниця між квадратом більшого з

чисел і меншим числом дорівнює 59. Знайти менше з чисел.2. Бак наповнюється двома трубами за 2 год 55 хв. За який час кожна

труба, діючи окремо, може наповнити бак, якщо перша труба може наповнити його на 2 год швидше, ніж друга?

3. Від пристані відійшов пліт за течією річки. Через 4,5 год від цієї пристані в тому ж напрямі відійшов катер, що наздогнав пліт на відстані 10 км від пристані. Знайти швидкість течії річки, якщо власна швидкість катера становить 18 км/год.

Високий рівень1. На першості школи з волейболу зіграно 21 матч, причому кожна

команда грала з кожною по одному разу. Скільки команд брало участь у першості?

84

2. Поїзд повинен був проїхати 32 км. Коли він проїхав 12 км, то був затриманий біля семафора на 6 хв. Тоді він збільшив швидкість на 10 км/год і прибув у пункт призначення із запізненням на 4 хв. Знайти початкову швидкість поїзда.

3. Щоб наповнити басейн через першу трубу, потрібно на 8 год більше часу, ніж при наповненні його через дві труби, і на 10 год менше, ніж через саму другу трубу. За скільки годин наповниться басейн через обидві труби?


1. Сума двох чисел дорівнює 20, а їхній добуток дорівнює 96. Знайти ці числа.

2. Одна із сторін прямокутника на 2 см більша від другої. Знайти сторони прямокутника, якщо його діагональ дорівнює 10 см.

3. Моторний човен пройшов 5 км за течією річки і 3 км проти течії, затративши на весь шлях 1 годину. Знайти швидкість човна в стоячій воді, якщо швидкість течії річки дорівнює 2 км/год.

Достатній рівень1. Одне з чисел на 2 менше від другого, а сума обернених до них чисел

дорівнює . Знайти ці числа.

2. За товар, що коштує 180 грн, кілька чоловік заплатили порівну. Якби їх було на 2 чоловіка менше, то кожен повинен був би заплатити на 3 грн більше. Скільки було чоловік?

3. З пункту А в пункт В, відстань між якими 4 км, відправились два пішоходи. Другий пішоход вийшов на 10 хв пізніше першого, але прийшов у пункт В на 2 хв раніше. Знайти швидкість другого пішохода, якщо вона на 1 км/год більша від швидкості першого пішохода.

Високий рівень1. У першості з футболу відбулося 132 матчі, причому кожна команда

грала з усіма іншими двічі. Скільки команд приймало участь у першості?

2. Автобус проїхав відстань між пунктами А і В, що дорівнює 200км, з деякою середньою швидкістю. Повертаючись назад, він 1 год їхав з тією самою швидкістю, а потім збільшив швидкість на 10км/год і повернувся в пункт А, витративши на зворотній шлях на 10 хв менше, ніж на шлях із А до В. Скільки часу витратив автобус на зворотний шлях?

3. Перший робітник може виконати деяке завдання на 2 години швидше, ніж другий. Якщо спочатку перший робітник буде виконувати завдання 2 год 20 хв, то решту завдання робітники при спільній роботі виконають

85

за 1 год. За скільки годин виконає все завдання перший робітник, працюючи окремо?


Контрольна робота № 6№ 73. Варіант 1.



2) Одне з чисел на 5 більше від іншого. Знайти більше з чисел, якщо їх добуток дорівнює 14.


3. Моторний човен пройшов 8 км за течією річки і 5 км проти течії, затративши на весь шлях 1 год. Знайти швидкість човна у стоячій воді, якщо швидкість течії річки дорівнює 3 км/год.



2) Одне з чисел менше від іншого на 5. Різниця між квадратом меншого числа і більшим числом дорівнює 85. Знайти ці числа.


3. За два дні спільної роботи два робітники виконали третину завдання. За скільки днів може виконати це завдання кожний робітник, працюючи окремо, якщо перший робітник може виконати його на 5 днів швидше, ніж другий?



2) У змаганнях з шахів зіграно 45 партій. Скільки шахістів взяли участь у змаганннях, якщо кожен з них зігрнав з усіма іншими по одному разу?

2. З пункту А в пункт В, відстань між якими дорівнює 120 км, виїхав автобус, а через 14 хв слідом за ним виїхав легковий автомобіль, швидкість якого на 20 км/год більша від швидкості автобуса. Знайти

86

швидкість автобуса, якщо у пункт В він приїхав на 16 хв пізніше від автомобіля.




2) Одне з чисел на 5 менше від іншого. Знайти менше з чисел, якщо їх добуток дорівнює 36.


3. Моторний човен пройшов 3 км за течією річки і 1 км проти течії, витративши на весь шлях 1 год. Знайти швидкість човна у стоячій воді, якщо швидкість течії річки дорівнює 1 км/год.



2) Сума двох чисел дорівнює 20. Знайти ці числа, якщо сума їх квадратів дорівнює 218.


3. За 40 годин спільної роботи дві бригади робітників виконали

завдання. За скільки днів може виконати завдання кожна з бригад, якщо перша з них може це зробити на 22 години раніше, ніж друга?



2) Кожен учень класу обмінявся фотокартками з усіма іншими учнями класу. Скільки учнів у цьому класі, якщо вони обмінялися 380 фотокартками.

2. З пункту А в пункт В, відстань між якими дорівнює 30 км, виїхав мотоцикліст, а через 6 хв слідом за ним виїхав автобус, швидкість якого на 10 км/год більша від швидкості мотоцикліста. Знайти швидкість автобуса, якщо у пункт В він приїхав на 4 хв раніше від мотоцикліста.


87



2) Різниця двох сторін прямокутника дорівнює 13 см. Знайти довжини сторін прямокутника, якщо його площа дорівнює 68 см2.


3. З пункту А до пункту В, відстань між якими дорівнює 40 км, виїхали одночасно два велосипедисти. Швидкість одного з велосипедистів на 2 км/год менша від швидкості другого, тому він прибув до В на 1 год пізніше. Знайти швидкість кожного з велосипедистів.



2) Сума квадратів двох послідовних натуральних чисел більша від добутку цих чисел на 57. Знайти ці числа.


3. Перша бригада повинна була виготовити 60 деталей, а друга — 72 деталі. Перша бригада виготовляла щогодини на 4 деталі більше, ніж друга, і працювала на 1,5 год менше від другої. Скільки деталей виготовляла кожна бригада за 1 год?



2) Знайти двоцифрове число, якщо відомо, що його цифра одиниць на 2 більша від цифри його десятків, а добуток числа і суми його цифр дорівнює 144.

2. Дві машини повинні були перевезти вантаж за 6 год. Друга машина

затрималась, і коли вона прибула, перша машина перевезла усього

вантажу, а решту його перевезла друга машина. Скільки часу потрібно кожній машині окремо для перевезення вантажу?

3. Розв’язати рівняння x(x + 2) (x + 3)(x + 5) = -8.

89



2) Сума двох сусідніх сторін прямокутника дорівнює 16 см. Знайти сторони прямокутника, якщо його площа дорівнює 55 см2.


3. Відстань між пунктами А і В дорівнює 480 км. Знайти швидкість, з якою проїхав першу половину цієї відстані автомобіліст, якщо другу половину він проїхав зі швидкістю, яка була від неї на 20 км/год більша, а на весь шлях затратив 7 год.



2) Різниця двох чисел дорівнює 3. Знайти ці числа, якщо сума їх квадратів дорівнює 89.


3. Перший насос повинен наповнити водою басейн об’ємом 720 м3, а другий об’ємом 960 м3. Перший насос перекачував щогодини на 10 м3

води менше, ніж другий, і працював на 2 год довше, ніж другий. Який об’єм перекачує кожен насос за 1 год?



2) Знайти двоцифрове число, якщо відомо що його цифра десятків на 2 більша від цифри його одиниць, а добуток числа і суми його цифр дорівнює 640.

2. Розв’язати рівняння (x - 2)x (x + 1)(x + 3) = 72.3. Дві бригади, працюючи разом, можуть прокласти деяку дорогу за 4 дні.

Якщо ж перша бригада прокладе дороги, а решту — друга бригада, то

вся дорога буде прокладена за 8 днів. За скільки днів може прокласти дорогу кожна з бригад, працюючи окремо?

90

ІV. ФУНКЦІЇТЕМА 14. ФУНКЦІЯ



1. 1) Знайти значення функції y = 5x – 2, якщо х = -3.2) Знайти значення аргументу х, при яких значення функції y = x2 – 4 дорівнює 5.3) Графіком функції y = f(x) є ламана АВС, де А( 4; -3), В(-2; 3) і С(2; 1). Побудувати графік функції і знайти за графіком:

а) область визначення функції; б) найменше значення функції;в) область значень функції; г) нуль функції;д) проміжок додатних значень функції.

2. Знайти область визначення функції, заданої формулою y = .

3. Знайти точки перетину графіка функції y = 2x + 3 з вісями координат.Достатній рівень

1. 1) Дано функцію f(x) = x2 – 3|x| + 2. Знайти f(-1); f(3).

2) Знайти область визначення функції y = .

3) Графіком функції у = f(x) є ламана АВCD, де А(-6; -2), В(1; 5), C(5; 3) і D(7; -3). Побудувати графік функції і записати її властивості (область визначення, область значень, проміжки знакосталості).

2. Функція у = 5х + 2 задана на відрізку . Які з чисел 32; 57; 12 належать області значень функції?

3. Встановити значення аргументу х, при яких набувають однакових значень функції у = (х + 1)(х + 2) і у = (2х - 1)(2х + 10) .

Високий рівень1. 1) Дано функцію f(x) = 3х + 2.

Довести, що f(a – 2) + f(a + 6) = f(a) + f(a + 4).

2) Знайти область визначення функції f(х) = .

3) Графік функції у = f(x) складається з точки А(-2; 6) і променів АМ і AN, де М (-8; 0) і N(1; 0). Побудувати графік даної функції і за графіком записати її властивості (область визначення, область значень, проміжки знакосталості).

91

2. Знайти значення аргументу, при яких значення функції дорівнює 3.

3. Графік функції y = f(x) складається з точки В(2; 4) і променів ВА і ВС, де А(-2; 0) і В(4; 0). Побудувати графік функції:

а) y = f ; б) .


1. 1) Знайти значення функції y = 4x + 7, якщо х = -2.2) Знайти значення аргументу х, при яких значення функції y = x2 + 1 дорівнює 10.3) Графіком функції y = f(x) є ламана АВС, де А( -2; 6), В(3; -4) і С(7; -2). Побудувати графік функції і знайти за графіком:

а) область визначення функції; б) найменше значення функції;в) область значень функції; г) нуль функції;д) проміжок додатних значень функції.

2. Знайти область визначення функції заданої формулою y = .

3. Знайти точки перетину графіка функції y = 3x – 6 з віссями координат.Достатній рівень

1. 1) Дано функцію f(x) = x2 – 5|x| + 8. Знайти f(-2); f(4).


3) Графіком функції у = f(x) є ламана АВCD, де А(-4; 4), В(-2; 0), C(2; -2) і D(6; 2). Побудувати графік функції і записати її властивості (область визначення, область значень, проміжки знакосталості).

2. Функція у = -2х + 7 задана на відрізку . Які з чисел: 15; -5; 15 належать області значень функції?

3. Встановити значення аргументу х, при яких набувають однакових значень функції у = (х - 1)(х - 2) і у = (3х + 1)(х - 2).

Високий рівень1. 1) Дано функцію f(x) = -2х + 5. Довести, що f(a + 1)

+ f(a + 9) = f(a + 3) + f(a + 7).


3) Графік функції у = (x) складається з точки С(2; -6) і променів СМ та СN, де М (-1; 0) і N(9; 0). Побудувати графік даної функції і за

92

графіком записати її властивості (область визначення, область значень, проміжки знакосталості).

2. Знайти значення аргументу, при яких значення функції дорівнює 6.

3. Графік функції y = f(x) складається з точок А(0; 2), В(4; -2), променя АМ, відрізка АВ і променя ВС, де М(-1; 0) і С(8; 0). Побудувати графік функції

а) y = (х); y = .


1. 1) Знайти значення функції y = , якщо х = 21.2) Знайти значення аргументу х, при яких значення функції y = 2x + 1 дорівнює 13.3) Графіком функції y = f(x) є ламана АВС, де А( -5; 2), В(-2; -4) і С(4; -1). Побудувати графік функції і знайти за графіком:

а) область визначення функції; б) найбільше значення функції;в) область значень функції; г) нуль функції;д) проміжок від’ємних значень функції.


3. Встановити, при якому значенні х набувають рівних значень функції y = x2 + 6 і у = 5х.


1. 1) Дано функцію f(x) = Знайти f(-5) + f(5).


3) Дано функцію у = х(x - 2), де –3 . Скласти таблицю значень функції з цілими значеннями аргументу. Побудувати графік функції, сполучивши плавною лінією точки графіка з цілими координатами. За графіком записати властивості функції (область визначення; проміжки знакосталості).

2. Функція у = 4х + 12 задана на відрізку . Довести, що функція не має нулів.

3. Знайти координати точок перетину з віссями координат графіка функції у = (х - 1)(2х + 3) - 7.

93


1. 1) Дано функцію f(x) = 5х + 2. Довести, що .


3) Графіком функції у = (x) є ламана АВCDE, де А(-6; 4), В(1; 2), C(1; 2), D(4; -4) і E(7; 8). Побудувати графік функції і записати її властивості (область визначення, область значень, проміжки знакосталості).

2. Знайти значення аргументу х, при якому значення функції у = |x – 3| + 4 дорівнює 10.

3. Графік функції y = (x) складається з точок А(-2; -2) і В(6; 2) та відрізка, що їх сполучає. Побудувати графік функції y = | (x)| і записати її область визначення і область значень.


1. 1) Знайти значення функції y = , якщо х = 63.2) Знайти значення аргументу х, при яких значення функції y = 4x - 1 дорівнює 21.3) Графіком функції y = f(x) є ламана АВС, де А( -3; -4), В(2; 6) і С(7; 1). Побудувати графік функції і знайти за графіком:

а) область визначення функції; б) найбільше значення функції;в) область значень функції; г) нуль функції;д) проміжок від’ємних значень функції.


3. Встановити, при якому значенні х набувають рівних значень функції у = 6х і y = x2 + 8.

Достатній рівень1. 1) Дано функцію f(x) = Знайти

f(-2) + f(3).


3) Дано функцію у = х(x + 2), де –3 . Скласти таблицю значень функції з цілими значеннями аргументу. Побудувати графік функції, сполучивши плавною лінією точки графіка з цілими координатами. За

94

графіком записати властивості функції (область визначення; проміжки знакосталості).

2. Функція у = -3х + 15 задана на відрізку . Довести, що функція не має нулів.

3. Знайти координати точок перетину з вісями координат графіка функції у = (х + 8)(х - 9) + 52.

Високий рівень1. 1) Дано функцію f(x) = -4х + 3. Довести, що f(а) + f(а + 2) = f(a + 1).

2) Знайти область визначення функції у = .

3) Графіком функції у = (x) є ламана АВCDE, де А(-6; -4), В(-3; 2), C(1; -2), D(4; 4) і E(7; -8). Побудувати графік функції і записати її властивості (область визначення, область значень, проміжки знакосталості).

2. Записати значення аргументу х, при якому значення функції у = |x + 7| + 3 дорівнює 15.

3. Графік функції y = f(x) складається з точок А(-5; 3) і В(1; -3) та відрізка, що їх сполучає. Побудувати графік функції y = |f(x)| і записати її область значень.

ТЕМА 15. ЛІНІЙНА ФУНКЦІЯ. ПРЯМА ПРОПОРЦІЙНІСТЬ



1. 1) Знайти значення функції y = 4x + 3, якщо значення аргументу дорівнює 2; -4.Побудувати графік функції: 2) y = 3х; 3) y = -5.

2. Щогодини робітник виготовляє 5 деталей. Скільки деталей виготовить робітник за t годин роботи? Задати формулою залежність кількості деталей k, виготовлених робітником, від часу t (у годинах). Якою функцією є дана залежність? За формулою встановити час, за який робітник виготовить 20 деталей; 55 деталей.

3. Побудувати графік функції у = + 3.

95


1. 1) Побудувати графік функції у = - 2 з областю визначення

. За графіком встановити область значень цієї функції.2) Довести, що графіку лінійної функції у = ax + b належить точка (-1; b – a).

2. Знайти нулі функції

3. Знайти графічно значення х, при яких функція у = -3х + 2 набуває значень, більших від числа –4.

Високий рівень1. 1) Встановити область визначення і побудувати графік функції

у = .

2) Знайти точку графіка лінійної функції , в якої абсциса і

ордината рівні.2. Записати двома виразами функцію y = 2|x| + x і побудувати її графік.3. Мотоцикліст, що виїхав з пункту А, рухався по прямолінійному шосе,

перші дві години зі швидкістю 50 км/год, а наступні дві години зі швидкістю 75 км/год. Задати формулою залежності відстані S до пункту А (у кілометрах) від часу руху t (у годинах).


1. 1) Знайти значення функції y = -2x + 5, якщо значення аргументу дорівнює -3; 8.Побудувати графік функції: 2) y = -5х; 3) y = 4.

2. У порожній басейн щохвилини надходить 0,9м3 води. Задати формулою залежність об’єму води V у басейні (у кубічних метрах) від часу t його наповнення (у хвилинах). Якою функцією є дана залежність? За формулою встановити час, за який у басейні стане 9м3; 27м3 води.

3. Побудувати графік функції у = + 3.


1. 1) Побудувати графік функції у = + 4 з областю визначення

. За графіком встановити область значень цієї функції.

96

2) Довести, що графіку функції у = + b належить точка (а; b + 1).

2. Знайти нулі функції

3. Знайти графічно значення х, при яких функція у = -2х + 5 набуває значень менших від числа 3.


у = .

2) Знайти точку графіка лінійної функції , в якої абсциса і

ордината протилежні числа.2. Записати двома виразами функцію y = 3|x| - x і побудувати її графік.3. Велосипедист, що виїхав з пункту А рухався перші дві години зі

швидкістю 20 км/год, а наступні дві години — зі швидкістю 10 км/год. Задати формулою залежність відстані S велосипедиста до пункту А (у кілометрах) від часу руху t (у годинах).


1. 1) Дано функціяю f(x) = 7x – 2. Обчислити f(5); f(-2).

Побудувати графік функції: 2) y = ; 3) y = -6.

2. Побудувати графік функції у = -3х + 5. 3. У басейні 180 м3 води. Щохвилини з басейна виливають 2 м3 води.

Задати формулою залежність об’єму води V (у кубічних метрах) убасейні від часу t виливання (у хвилинах). За формулою встановити, через скільки хвилин в басейні стане 150 м3; 20 м3 води.


1. 1) Дано функцію Довести, що f(-6) = f(12).

2) Побудувати графік функції у = -3х+ 4 з областю визначення . Знайти за графіком область значень функції.

2. Графіку прямої пропорційності належать точка А (2; -8) і точка B (-6; m). Знайти значення m.

97

3. Знайти графічно значення змінної х, при якому набувають однакових

значень функції і у = -х - 4.


у = .

2) Записати формулу лінійної функції, графік якої перетинає вісь у в точці з ординатою –3 і проходить через точку А (2; 5).

2. Побудувати графік функції y = |x| - 3.3. Мотоцикліст, що виїхав з пункту A, рухався по прямолінійному шосе

перші дві години зі швидкістю 60 км/год, а наступні дві години — зі швидкістю 50 км/год. Задати формулами залежність відстані S (у кілометрах) мотоцикліста до пункту А від часу руху t (у годинах).


1. 1) Дано функцію f(x) = -6x + 5. Обчислити f(-3); f(2).

Побудувати графік функції: 2) y = ; 3) y = 3.

2. Побудувати графік функції у = 2х - 3. 3. З пункту В, що знаходиться на відстані 20 км від пункту А, у напрямі

протилежному до пункту А, виїхав велосипедист зі швидкістю 25 км/год. Записати формулою залежність відстані S велосипедиста до пункту А у кілометрах від часу руху t (у годинах). За формулою встановити, через скільки годин від початку руху велосипедист буде на відстані 95 км; 170 км від пункту А.

Достатній рівень1. 1) Дано функцію Довести,

що f(-2) = f(6).

2) Побудувати графік функції у = - + 4 з областю визначення

. Знайти за графіком область значень функції.2. Графік прямої пропорційності проходить через точки А (10; -2) і

B (р; 3). Знайти число р.3. Знайти графічно значення змінної х, при яких набувають однакових

значень функції у = 5х - 3 і у = -х + 3.

98


у = .

2) Записати формулу лінійної функції, графік якої перетинає вісь у у точці з ординатою 7, а вісь х у точці з абсцисою 2.

2. Побудувати графік функції y = |x| + 5.3. Велосипедист, що виїхав з пункту A, рухався по прямолінійному шосе

перші дві зі швидкістю 30 км/год, а дві наступні години — зі швидкістю 25 км/год. Задати формулами залежність відстані S велосипедиста до пункту А (у кілометрах) від часу руху t (у годинах).

ТЕМА 16. ОБЕРНЕНА ПРОПОРЦІЙНІСТЬ. ФУНКЦІЇ у = х2, , у = х3



1. 1) Дано функцію у = . Знайти значення функції, якщо значення

аргументу дорівнює –2; 5.

2) Дано функцію f(x) = . Знайти значення х, якщо f(x) = -2.

2. Побудувати схематично графік функції у = , склавши таблицю

значень функції для значень аргументу 1; 2; 4; 8.3. Задати формулою залежність швидкості V (у км/год) проходження

відстані 100 км в залежності від часу t (у год). Якою функцією є ця залежність?

Достатній рівень1. Побудувати графік функції (1 — 2):

1) у = з областю визначення (0; );

2)

99

2. Графіку оберненої пропорційності у = належить точка А(12; -2).

Знайти коефіцієнт k.3. Знайти графічно корені рівняння х2 = -х + 2.


1. 1) Встановити графічно значення х, при яких функція у =

набуває значень більших від значень функції у = 2.

2) Знайти точки графіка функції у = , в яких однакові абсциса і

ордината.Побудувати графік функції (2 — 3):

2. у = 2 - . 3. у = .


1. 1) Дано функцію у = - . Знайти значення функції, якщо значення

аргументу дорівнює: –2; 10.

2) Дано функцію f(x) = . Знайти значення х, якщо f(x) = 2.


значень функції для значень аргументу 1; 2; 5; 10.3. Задати формулою залежність часу t (у год) проходження відстані

200 км від швидкості V (у км/год). Якою функцією є ця залежність?Достатній рівень

1. Побудувати графік функції (1 — 2):

1) у = з областю визначення (-; 0); 2)

2. Графіку оберненої пропорційності у = належить точка А(-3; -7).

Знайти коефіцієнт k.3. Знайти графічно корені рівняння х2 = х + 2.

100



набуває значень менших від значень функції у = 2.

2) Знайти точки графіка функції у = , в яких протилежні

абсциса і ордината.Побудувати графік функції (2 — 3):

2. у = . 3. у = .


1. 1) Дано функцію у = - . Знайти значення функції, якщо значення




значень функції для значень аргументу: 1; 2; 3; 6.3. Задати формулою залежність довжини а (у метрах) прямокутника,

площа якого дорівнює 100 м2, від ширини b (в метрах). Якою функцією є ця залежність?

Достатній рівень1. Побудувати графік функції (1 — 2):

1) у = з областю визначення (-; 0);

2) 2. Знайти графічно значення змінної х, при яких набувають однакових

значень функції у = і у = -3х.

3. Графіку оберненої пропорційності у = належить точка А(-12; 12).

Встановити, чи належить графіку точка В(3; -8).

101


1. 1) Встановити графічно значення х, при яких функція у = набуває

значень менших від значень функції у = 2х.

2) Знайти точки графіка функції у = , які знаходяться від осі

ординат на відстані, що дорівнює 3.Побудувати графік функції (2 — 3):

2. у = за допомогою графіка ; 3. у = .


1. 1) Дано функцію у = . Знайти значення функції, якщо значення




значень функції для значень аргументу 1; 2; 4; 8.

3. Знайти значення аргументу х, при яких функції у = і у =

набувають рівних значень.Достатній рівень

1. Побудувати графік функції (1 — 2):1) у = х2 з областю визначення (1; ); 2)

2. Графіку прямої пропорційності у = належить точка А .

Знайти коефіцієнт k.3. Розв’язати графічно рівняння х3 = -3х + 4.



набуває значень менших від значень функції у = -3х.

102

2) Знайти точки графіка функції у = , які знаходяться від осі

ординат на відстані, що дорівнює 20.Побудувати графік функції (2 — 3):

2. у = за допомогою графіка ; 3. у = .

Тематичне оцінювання


Середній рівеньПобудувати графік функції (1 — 3):

1. 1) y = 2x; 2) y = -4. 2. . 3. y = - .

Достатній рівень1. Побудувати графік функції:

1) y = з областю визначення і записати область її значень;

2)

2. Графік лінійної функції y = ax + 5 проходить через точку A(2; 1). Знайти а.

3. Знайти графічно розв’язки рівняння .Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції і побудувати її графік.

2) Задати функцію двома виразами і побудувати її графік.

2. Скласти формулу лінійної функції, графік якої проходить через точки A(0; 5) і B(1; 8).

3. Побудувати графік функції .

103


Побудувати графік функції (1 — 3):

1. 1) y = -4x; 2) y = 7. 2. . 3. y = .


1) y = з областю визначення функції і записати область її

значень;

2)

2. Графік лінійної функції y = 5x + b проходить через точку A(-2; 7). Знайти b.

3. Знайти графічно розв’язки рівняння .Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції і побудувати її графік.


2. Скласти формулу лінійної функції, графік якої проходить через точки A(0; -4) і B(1; -1).

3. Побудувати графік функції .№ 91. Варіант 3.


1. 1) y = 4x; 2) y = -3. 2. . 3. y = - .



2)

2. Графіку прямої пропорційності належать точки A(2; -16) і B(-4; m). Знайти значення m.

104

3. Знайти графічно корені рівняння .Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції і побудувати її

графік.



3. Побудувати графік функції .№ 92. Варіант 4.


1. 1) y = -3x; 2) y = 2; 2. ; 3. y = .



2)

2. Графіку прямої пропорційності належать точки A(3; 12) і B(-2; m). Знайти значення m.

3. Знайти графічно корені рівняння .Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції і побудувати її

графік.



3. Побудувати графік функції .

105

Тематичне планування вивчення курсу алгебри у 8 класі

Зміст Кількість годин

Дата

І. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИТема 1: Раціональні вирази

Початкове вивчення теорії1.1. Поняття виразу (повторення).1.2. Поняття раціонального виразу.1.3. Тотожні перетворення цілих раціональних виразів

(повторення).Відтворення і застосування теорії – розв’язування

задач середнього, достатнього і високого рівнів.

Тема 2: Раціональні дроби і їх основні тотожні перетворенняПочаткове вивчення теорії

2.1. Поняття раціонального дробу.2.2. Основна властивість раціональних дробів.2.3. Основні тотожні перетворення раціональних дробів.

Відтворення і застосування теорії – розв’язування задач середнього, достатнього і високого рівнів.

Тема 3: Сума і різниця раціональних дробівПочаткове вивчення теорії

3.1. Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками.

3.2. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками.

3.3. Додавання раціонального дробу і цілого раціонального виразу.


Тематичне оцінювання: теми 1 — 3. Контрольна робота №1.

343

1

2

5

11

3

5

1

1

3

1

106

Тема 4: Добуток і частка раціональних дробівПочаткове вивчення теорії

4.1. Множення дробів.4.2. Піднесення дробів до степеня.4.3. Ділення дробів.


Тема 5: Тотожні перетворення раціональних виразів на основі арифметичних дійПочаткове вивчення теорії



Тема 6: Дробові раціональні рівнянняПочаткове вивчення теорії

6.1. Поняття дробового раціонального рівняння.6.2. Найпростіші дробові раціональні рівняння.


Тема 7: Степінь з цілим показникомПочаткове вивчення теорії

7.1. Поняття степеня з цілим показником.7.2. Властивості степеня з цілим показником.7.3. Поняття стандартного вигляду додатного числа.



ІІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА. КВАДРАТНІ КОРЕНІТема 8: Дійсні числа

Початкове вивчення теорії8.1. Поняття раціонального числа (повторення).8.2. Поняття ірраціонального числа.8.3. Поняття дійсного числа, числових проміжків.8.4. Вимірювання відрізків.


5

113

4

13

1

4

13

5

113

1

185

1

13

107

Тема 9: Арифметичний квадратний коріньПочаткове вивчення теорії

9.1. Поняття арифметичного квадратного кореня.9.2. Властивості арифметичних квадратних коренів;

рівняння х2 = а.9.3. Арифметичний квадратний корінь з добутку і

дробу.9.4. Арифметичний квадратний корінь степеня.


Тема 10: Перетворення виразів, які містять квадратні кореніПочаткове вивчення теорії

10.1. Винесення множника з-під знака кореня.10.2. Внесення множника під знак кореня.10.3. Звільнення від ірраціональності в знаменнику

дробу.10.4. Спрощення виразів, які містять квадратні корені.



ІІІ. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯТема 11: Квадратні рівняння

Початкове вивчення теорії11.1. Поняття квадратного рівняння.11.2. Розв’язування неповних квадратних рівнянь.11.3 Розв’язування повних квадратних рівнянь.11.4. Теорема Вієта і теорема обернена до теореми

Вієта.Відтворення і застосування теорії – розв’язування

задач середнього, достатнього і високого рівнів.Тематичне оцінювання: теми 11.

Контрольна робота №5.

Тема 12: Рівняння, що зводяться до розв’язування квадратних рівняньПочаткове вивчення теорії

12.1. Біквадратні рівняння; введення нової змінної.

6

1

1

13

6

11

13

1

77

111

4

1

5

1

109

12.2. Дробові раціональні рівняння.Відтворення і застосування теорії – розв’язування

задач середнього, достатнього і високого рівнів.

13

Тема 13: Розв’язування задач за допомогою рнівнянь, що зводяться до квадратнихПочаткове вивчення теорії

13.1. Складання цілих рівнянь.13.2. Складання дробових раціональних рівнянь.



ІV. ФУНКЦІЯТема 14: Функція

Початкове вивчення теорії14.1. Поняття функції.14.2. Графік фйункції.


Тема 15: Лінійна функція. Пряма пропорційністьПочаткове вивчення теорії

15.1. Поняття лінійної функції і прямої пропорційності.15.2. Графік лінійної функції і прямої пропорційності.


Тема 16: Обернена пропорційність. Функції у = х2; у = ; у = х3

Початкове вивчення теоріїВідтворення і застосування теорії – розв’язування

задач середнього, достатнього і високого рівнів.Тематичне оцінювання: теми 14 — 16.

Контрольна робота №7.

Резерв

6

114

1

123

12

5

23

3

12

1

2

110

ТЕМА 1 - Infmatematuka.inf.ua/8_klas/books/kapinosov_8kl_sam_kontr.doc · Web...

Documents

Transcript of ТЕМА 1 - Infmatematuka.inf.ua/8_klas/books/kapinosov_8kl_sam_kontr.doc · Web...