Ocean Model ORNL

8/2/2019 Ocean Model ORNL

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O M

O c e a n M o d e l s

O c e a n M o d e l s

1 I n t r o d u c t i o n

W e h a v e e m b a r k e d u p o n t h i s e x p o s i t i o n o f o c e a n m o d e l s w i t h t h r e e g o a l s : ( a ) t o o u t l i n e t h e

h y d r o d y n a m i c a n d n u m e r i c a l f o u n d a t i o n s u p o n w h i c h t h e c u r r e n t o c e a n m o d e l s r e s t ; ( b ) t o

p r o v i d e t h e i n i t i a l t o o l s f o r b e g i n n e r s ( a n d e v e n f o r m o r e a d v a n c e d m o d e l e r s ) t o s i m u l a t e

a n d f o r e c a s t t h e o c e a n i c e n v i r o n m e n t ; a n d ( c ) t o p r o v i d e a g e n e r a l o v e r v i e w f o r t e c h n i c a l

p e o p l e i n a l l e l d s o n t h e c u r r e n t a p p r o a c h e s i n m o d e l i n g t h e c i r c u l a t i o n a n d t h e r m o d y n a m i c

s t a t e o f t h e o c e a n . I n g e n e r a l , m o s t o f t h e m e t h o d s t h a t w e w i l l c o n s i d e r h a v e b e e n p r o v e n

t o b e s u c c e s s f u l i n d e p i c t i n g a t l e a s t s o m e p a r t o f t h e o c e a n , a n d t o b e c o n s i s t e n t w i t h

a v a i l a b l e h y d r o g r a p h i c a n d r e m o t e l y s e n s e d o b s e r v a t i o n s . W e w i l l r e f e r e n c e s o m e o f t h e

p a p e r s c o n t a i n i n g m o d e l - d a t a v e r i c a t i o n a t t h e p r o p e r s t a g e s i n t h e p r e s e n t a t i o n , s o t h a t t h e

r e a d e r c a n f o l l o w u p a n d b e a b l e t o f o r m a m o r e c o m p l e t e u n d e r s t a n d i n g o f t h e o v e r a l l s u c c e s s

o f t h e s e m o d e l s w i t h a n i n s i g h t i n t o t h e c u r r e n t p r o s p e c t s f o r s i m u l a t i n g a n d f o r e c a s t i n g t h e

o c e a n i c e n v i r o n m e n t .

C l e a r l y , c h a n g e s i n t h e w o r l d o c e a n a r e g o i n g t o b e i m p o r t a n t f a c t o r s i n a n y g l o b a l

c h a n g e p r o c e s s e s . E v e n o n s h o r t e r t i m e s c a l e s , s u c h a s t h e 4 { 7 y e a r E l N i n o

1

c y c l e , t h e

o c e a n h a s b e e n s h o w n t o h a v e a p r o f o u n d e e c t o n o u r w e a t h e r a n d c l i m a t e . T h e g l o b a l i c e {

o c e a n s y s t e m i s a l s o a v a s t s t o r e h o u s e o f \ s t o r e d " w a t e r , h e a t a n d c a r b o n d i o x i d e , a n d t h u s

b e c o m e s o n e o f t h e m a i n c o n t r o l l e r s o f g l o b a l w a r m i n g . S o m e s e m i - e n c l o s e d s e a s , f o r e x a m p l e

t h e M e d i t e r r a n e a n a n d t h e A r c t i c w i t h l i m i t e d u s h i n g c a p a b i l i t i e s , h a v e b e e n t h e s i t e o f

d u m p i n g o f n o n - r a d i o a c t i v e a n d r a d i o a c t i v e w a s t e s w i t h s e r i o u s e n v i r o n m e n t a l c o n s e q u e n c e s .

A s i s k n o w n f r o m p r e v i o u s m o d e l i n g e o r t s a n d o u r k n o w l e d g e o f t h e p h y s i c a l p r o c e s s e s

o f t h e o c e a n , i t i s d i c u l t t o b u i l d a \ u n i v e r s a l " o c e a n m o d e l t h a t c a n t r e a t a c c u r a t e l y p h e -

1

E l N i n o i s a n o c e a n o g r a p h i c p h e n o m e n o n r s t o b s e r v e d i n t h e e a s t e r n P a c i c n e a r P e r u . I t o c c u r s

p e r i o d i c a l l y w i t h a n i r r e g u l a r p e r i o d o f a b o u t 4 { 7 y e a r s , a n d c o n s i s t s o f a n o m a l o u s w a r m i n g o f t h e w a t e r s

n e a r P e r u a n d c o o l i n g n e a r t h e P h i l i p p i n e s . I t i n v o l v e s m a j o r c h a n g e s i n b o t h t h e a t m o s p h e r i c a n d o c e a n i c

c i r c u l a t i o n o v e r t h e E q u a t o r i a l P a c i c , a n d i s a c l e a r e x a m p l e o f l a r g e - s c a l e a i r { s e a c o u p l i n g a n d s h o r t t e r m

c l i m a t i c v a r i a t i o n . T h e r s t o b s e r v a t i o n s n o t e d a n u n u s u a l w a r m i n g o f t h e w a t e r s o P e r u ( w h i c h c a m e

u s u a l l y a r o u n d C h r i s t m a s , h e n c e t h e n a m e , w h i c h m e a n s \ C h r i s t c h i l d " ) . T h e w a r m i n g d i m i n i s h e s t h e u s u a l

u p w e l l i n g o f c o l d a n d n u t r i e n t - r i c h w a t e r s t o t h e s u r f a c e , s o i t l e a d s t o a d i s a s t r o u s d e c r e a s e i n a n c h o v i e s

a n d o t h e r s h p r o d u c t i o n w i t h l a r g e e c o n o m i c c o n s e q u e n c e s .


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2

n o m e n a o n a l l s p a t i a l a n d t e m p o r a l s c a l e s i n t h e v a r i o u s o c e a n b a s i n s o f t h e w o r l d . T h i s i s

d u e b o t h t o n i t e c o m p u t e r s i z e a n d C P U s p e e d , a n d t o a n i m p e r f e c t d e s c r i p t i o n o f t h e p h y s -

i c a l p r o c e s s e s , s u c h a s t u r b u l e n c e . T h u s o c e a n m o d e l i n g e o r t s h a v e d i v e r s i e d i n t o d i e r e n t

c l a s s e s , s o m e c o n c e r n e d o n l y w i t h t h e t u r b u l e n t s u r f a c e b o u n d a r y l a y e r s , s o m e w i t h c o n t i -

n e n t a l s h e l v e s , a n d m a n y w i t h t h e m e s o - s c a l e e d d y - r e s o l v i n g c i r c u l a t i o n i n a g i v e n p a r t o f , o r

a w h o l e , o c e a n b a s i n . W o r l d o c e a n m o d e l s o f s u c h h i g h r e s o l u t i o n a r e j u s t o n t h e t h r e s h o l d

o f b e i n g b u i l t a n d t e s t e d . S i m i l a r l y , m o d e l s t h a t a i m t o g i v e r e a l - t i m e n o w c a s t s / f o r e c a s t s

u s i n g o b j e c t i v e l y a n a l y z e d i n i t i a l d e n s i t y e l d s a n d m o d e l - p r e d i c t e d a t m o s p h e r i c f o r c i n g ,

h a v e o n l y r e c e n t l y b e g u n t o b e t e s t e d e x t e n s i v e l y w i t h r e a l - t i m e o b s e r v a t i o n s . I n t h e p a s t ,

t h e s e m o d e l s h a v e b e e n c o n n e d t o a l i m i t e d d o m a i n w i t h s o m e o p e n b o u n d a r i e s p r e s e n t ,

a n d i n t h e p r e d i c t i v e m o d e c o u l d p r o f e s s t o m a k e s u c c e s s f u l p r e d i c t i o n s o n l y f o r a f e w d a y s

w i t h o u t a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n p r o v i d e d a t t h e b o u n d a r i e s a n d / o r f r o m o b s e r v a t i o n s m a d e

w i t h i n t h e d o m a i n . L a t e l y , t h e a r r i v a l o f n e w s u p e r c o m p u t e r s a n d m o r e e x t e n s i v e o c e a n

s u r v e i l l a n c e ( i . e . s a t e l l i t e a l t i m e t r y a n d I R s e n s i n g ) h a v e e x t e n d e d t h e a r e a a n d p e r i o d o f

p r e d i c t i o n , e . g . w i t h t h e w h o l e g l o b a l o c e a n 2 5 - l e v e l m o d e l b e i n g i n i t i a l i z e d a n d m o d e l e d a t

a r e s o l u t i o n o f 1 / 6 d e g r e e ( 1 6 k m ) o r b e t t e r o n a 2 5 6 p r o c e s s o r C M - 5 .

W e c a n t h e r e f o r e n a l l y a o r d t o s t a r t b u i l d i n g a n e d d y - r e s o l v i n g w o r l d o c e a n m o d e l

t h a t w i l l t r e a t b o t h t h e t h e r m o d y n a m i c a n d h y d r o d y n a m i c a s p e c t s . T h e n e r e s o l u t i o n

v e r s i o n s o f s u c h m o d e l s c a n b e u s e d t o d o r e a l - t i m e f o r e c a s t s f o r p e r i o d s o f s e v e r a l w e e k s .

T h e s e f o r e c a s t s w i l l b e q u i t e u s e f u l t o t h e s h i n g i n d u s t r y , s h i p r o u t i n g , l o n g r a n g e w e a t h e r

p r e d i c t i o n a n d s e a r c h a n d r e s c u e o p e r a t i o n s . T h e m o r e c o a r s e r e s o l u t i o n v e r s i o n s w i l l b e

u s e d t o d o l o n g t e r m c l i m a t e s i m u l a t i o n .

1 . 1 C l a s s i c a t i o n o f O c e a n M o d e l s

I n t h e l a s t t w o d e c a d e s s e v e r a l c r i t e r i a h a v e e m e r g e d b y w h i c h o c e a n o g r a p h e r s c l a s s i f y t h e i r

m o d e l s ( s e e F i g u r e 1 ) . G e o g r a p h y i s c l e a r l y o n e c r i t e r i o n , w i t h m o d e l s b e i n g d e s i g n e d f o r

t h e w o r l d o c e a n , t h e A t l a n t i c a n d P a c i c B a s i n s , t h e M e d i t e r r a n e a n , t h e G u l f o f M e x i c o ,

e t c . A s e c o n d c r i t e r i o n u t i l i z e s t h e p h y s i c a l p r o c e s s e s d e s c r i b e d : m o d e l s c a n b e h y d r o d y -

n a m i c , t h e r m o d y n a m i c o r b o t h . T h e s u r f a c e m i x e d l a y e r m o d e l s m e n t i o n e d a b o v e t i n t o

t h e t h e r m o d y n a m i c c l a s s , a n d s o m e o f t h e s i m p l e l a y e r e d m o d e l s ( s e e b e l o w ) a r e o f t h e h y -

d r o d y n a m i c t y p e . A t h i r d c r i t e r i o n i s c o n c e r n e d w i t h t h e c o n d i t i o n o n e p u t s o n t h e s u r f a c e

o f t h e o c e a n . A f o u r t h i s c o n c e r n e d w i t h t h e w a y t h e v e r t i c a l d e g r e e o f f r e e d o m i s h a n d l e d

( i n c l u d i n g m o d a l d e c o m p o s i t i o n i n t h e v e r t i c a l ) , a n d a f t h w i t h t h e p r e s e n c e o f d e n s i t y

v a r i a t i o n s .

1 . 1 . 1 F r e e S u r f a c e a n d R i g i d L i d M o d e l s

I n r e a l i t y , t h e o c e a n s u r f a c e i s f r e e t o d e f o r m u n d e r t h e i n u e n c e o f w i n d , h e a t i n g a n d t i d a l

f o r c e s . W e n d w i n d - d r i v e n w a v e s a n d s u r g e s u p t o s e v e r a l m e t e r s h i g h o n i t s s u r f a c e .

T h e s e a r e t y p i c a l l y s h o r t - l i v e d , h a v e s h o r t s p a t i a l s c a l e s a n d f a s t w a v e s p e e d s . T h e s u r f a c e

e l e v a t i o n s d u e t o t h e l a r g e , q u a s i - p e r m a n e n t o c e a n c u r r e n t s , o n t h e o t h e r h a n d , s u c h a s t h o s e

a s s o c i a t e d w i t h t h e G u l f S t r e a m a n d i t s e d d i e s , a n d m i d - o c e a n g y r e s , a r e o n l y f r a c t i o n s o f


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I n t r o d u c t i o n 3

Gulf

Sea

Bay

Hydrodynamic

Thermodynamic

Free Surface

Rigid Lid

Fixed Level

Isopyncal

Sigma-Coordinate

Semi-Spectral

Baratropic

Baroclinic

Surface Approximations

Physical

Geographical

Vertical Discretization

Density Variation

OCEANMODELS

Hydro-Thermodynamic

F i g u r e 1 : O c e a n M o d e l s


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4

a m e t e r o r s o , a n d m o v e v e r y s l o w l y . I n o r d e r t o a v o i d t h e s e v e r e l i m i t a t i o n o n t h e t i m e

s t e p d u e t o t h e f a s t g r a v i t y w a v e s ( t o b e d i s c u s s e d b e l o w ) , o n e p u t s a r i g i d l i d o n t h e o c e a n

a s t h i s a e c t s t h e l a r g e - s c a l e m o t i o n s o n l y s l i g h t l y . T h e r s t s u c h m o d e l w a s f o r m u l a t e d

b y B r y a n 4 ] . T h i s m o d e l h a s b e e n r e c e n t l y r e f o r m u l a t e d b y K i l l w o r t h e t a l . 3 6 ] t o r e t a i n

t h e f r e e s u r f a c e b y t r e a t i n g t h e f a s t m o d e s s e p a r a t e l y . M o d e l s t h a t t r e a t t h e f a s t w a v e s

i m p l i c i t l y h a v e b e e n d e v e l o p e d b y H u r l b u r t e t a l . 3 1 ] i n c o n n e c t i o n w i t h \ l a y e r e d " m o d e l s ,

b y M a d a l a a n d P i a c s e k 3 9 ] i n c o n n e c t i o n w i t h \ l e v e l " m o d e l s , a n d b y B l u m b e r g a n d M e l l o r

3 ] i n c o n n e c t i o n w i t h \ s i g m a - c o o r d i n a t e " m o d e l s f o r d e n i t i o n s o f \ l a y e r e d " , \ l e v e l " a n d

\ s i g m a " s e e t h e n e x t s e c t i o n ] .

1 . 1 . 2 F i x e d L e v e l , I s o p y c n a l , S i g m a - C o o r d i n a t e a n d S e m i - S p e c t r a l M o d e l s

T h e m o d e l s o f B r y a n 4 ] , M a d a l a a n d P i a c s e k 3 7 ] a n d K i l l w o r t h e t a l . 3 6 ] h a v e a l l u s e d

x e d l e v e l s i n t h e v e r t i c a l z - d i r e c t i o n , w i t h a v a r i a b l e s p a c i n g o f t h e d e p t h l e v e l s t o r e s o l v e

t h e r a p i d c h a n g e s i n t h e s u r f a c e l a y e r s . O n t h e o t h e r h a n d , B l u m b e r g a n d M e l l o r 3 ] a n d

H a i d v o g e l e t a l . 2 5 ] h a v e i n t r o d u c e d a s t r e t c h e d c o o r d i n a t e u s u a l l y r e f e r r e d t o a s s i g m a ( f o r

i t s p r e v i o u s u s a g e i n m e t e o r o l o g y ) , d e n e d a s = z = D w h e r e D i s t h e u i d d e p t h . T h i s

l e a d s t o b o u n d a r y s u r f a c e s t h a t c a n b e p u t a t = 0 ; 1 a n d a n a u t o m a t i c a c c o m m o d a t i o n

o f t h e d e p t h c o n t o u r s . I n a d d i t i o n H a i d v o g e l e t a l . 2 5 ] h a v e i n t r o d u c e d a s e m i - s p e c t r a l

r e p r e s e n t a t i o n o f t h e v e r t i c a l d i m e n s i o n ( s i g m a l a y o u t ) i n t e r m s o f C h e b y s h e v p o l y n o m i a l s

( c o l l o c a t i o n m e t h o d ) . B o t h o f t h e s e h a v e e m p l o y e d t h e f r e e - s u r f a c e f o r m u l a t i o n . S e e F i g u r e

2 a n d F i g u r e 3 .

A b o u t t h e s a m e t i m e t h a t t h e z - l e v e l m o d e l s w e r e d e v e l o p e d , s e v e r a l i n v e s t i g a t o r s h a v e

p r o c e e d e d t o e x p l o i t t h e f a c t t h a t t h e o c e a n i s s h a l l o w a n d h y d r o s t a t i c , a n d t h a t i t s v e r t i c a l

s t r u c t u r e h a s a s e m i - p e r m a n e n t t e n d e n c y . A m o d a l d e c o m p o s i t i o n b y e m p i r i c a l o r t h o g o n a l

f u n c t i o n s o r b y l i n e a r d y n a m i c m o d e s h a s s h o w n t h a t t h e r s t t h r e e o r f o u r m o d e s c a n u s u a l l y

c a p t u r e 9 5 p e r c e n t o f t h e e n e r g y . T h u s b y v e r t i c a l l y i n t e g r a t i n g t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n i n

z b e t w e e n i s o p y c n a l ( i . e . e q u a l d e n s i t y ) s u r f a c e s ( e m p l o y i n g t h e h y d r o s t a t i c r e l a t i o n ( 1 ) )

t h e y h a v e d e r i v e d a s y s t e m w h e r e t h e l a y e r - a v e r a g e d v e l o c i t i e s a n d l a y e r - t h i c k n e s s e s a r e t h e

d e p e n d e n t v a r i a b l e s . S i n c e t h e i s o p y c n a l s u r f a c e s m o v e w i t h t h e u i d , t h i s r e p r e s e n t a t i o n i s

i n f a c t q u a s i - L a g r a n g i a n . T h e r s t m o d e l u s i n g t h i s a p p r o a c h i n t h e f r e e s u r f a c e f o r m u l a t i o n

w a s b u i l t b y O ' B r i e n 5 1 ] , a n d i n t h e r i g i d - l i d f o r m u l a t i o n b y H o l l a n d a n d L i n 3 0 ] . M o r e

r e c e n t f o r m u l a t i o n s t h a t a l l o w t h e l a y e r s t o s u r f a c e h a v e b e e n d o n e b y B l e c k a n d B o u d r a 2 ]

a n d O b e r h u b e r 4 9 ] .

1 . 1 . 3 B a r o t r o p i c v s . B a r o c l i n i c M o d e l s

I n g e n e r a l , o c e a n m o d e l s d e s c r i b e t h e r e s p o n s e o f a v a r i a b l e d e n s i t y o c e a n t o a t m o s p h e r i c

m o m e n t u m a n d h e a t f o r c i n g . T h i s r e s p o n s e c a n v e r y s i m p l y b e r e p r e s e n t e d i n t e r m s o f

e i g e n m o d e s o f a l i n e a r i z e d s y s t e m o f e q u a t i o n s . W e w i l l a t t e m p t n o w t o g i v e a s i m p l i e d

p h y s i c a l d e s c r i p t i o n o f t h e s e m o d e s ( a t t h i s p o i n t t h e s t u d e n t s h o u l d a l s o r e a d C h a p t e r 6

o f G i l l 2 2 ] ) . T h e z e r o t h m o d e i s e q u i v a l e n t t o t h e v e r t i c a l l y - a v e r a g e d c o m p o n e n t o f t h e

m o t i o n , a l s o k n o w n a s t h e b a r o t r o p i c m o d e . T h e h i g h e r m o d e s a r e c a l l e d b a r o c l i n i c m o d e s


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H

H

-Coordinate Model

z-Coordinate Model

F i g u r e 2 : V e r t i c a l d i s c r e t i z a t i o n i n o c e a n m o d e l s ; H i s t h e b o t t o m d e p t h a n d t h e s e a

s u r f a c e d e e c t i o n .


6/71

6

z

H

Layered/Isopycnal-Coordinate Model

Reduced Gravity-Coordinate Model

F i g u r e 3 : V e r t i c a l d i s c r e t i z a t i o n i n o c e a n m o d e l s ; H i s t h e b o t t o m d e p t h , h i s t h e t h i c k n e s s

o f t h e u p p e r l a y e r a n d i s t h e f r e e s u r f a c e d e e c t i o n .


7/71


Water Column

with

Vertically Different

Horizontal Currents

Vertically Integrated

Horizontal Currents

H

F i g u r e 4 : B a r o t r o p i c M o d e l w h e r e a r e g i o n o f t h e o c e a n ' s w a t e r c o l u m n i s v e r t i c a l l y i n t e -

g r a t e d t o o b t a i n o n e v a l u e f o r t h e v e r t i c a l l y d i e r e n t h o r i z o n t a l c u r r e n t s .

a n d a r e a s s o c i a t e d w i t h h i g h e r o r d e r c o m p o n e n t s o f t h e v e r t i c a l d e n s i t y p r o l e . A l l o c e a n

m o d e l s d e s c r i b e d i n t h i s c h a p t e r w i l l m a k e t h e h y d r o s t a t i c s h a l l o w w a t e r a p p r o x i m a t i o n , i n

w h i c h t h e p r e s s u r e p d e p e n d s o n l y o n t h e d e p t h z , i . e . i t ' s g i v e n b y t h e c l a s s i c h y d r o s t a t i c

r e l a t i o n

d p

d z

= g ( 1 )

T h i s r e l a t i o n h o l d s i f t h e h o r i z o n t a l d i m e n s i o n s o f t h e o c e a n v o l u m e u n d e r c o n s i d e r a t i o n

a r e m u c h l a r g e r t h a n t h e v e r t i c a l d i m e n s i o n , h e n c e t h e s h a l l o w w a t e r d e s i g n a t i o n .

A s w e w i l l s e e i n s e c t i o n 2 . 1 , t h e p r e s s u r e g r a d i e n t s a s s o c i a t e d w i t h t h e f r e e s u r f a c e

e l e v a t i o n a r e c o n s t a n t w i t h d e p t h . T h u s t h e y f o r m p a r t o f t h e z e r o t h m o d e o r t h e v e r t i c a l l y -

a v e r a g e d m o d e , a n d a p p e a r o n l y i n t h e b a r o t r o p i c m o d e e q u a t i o n s . C o n s e q u e n t l y , t h e b a r o -

c l i n i c s y s t e m r e p r e s e n t i n g t h e h i g h e r - o r d e r m o d e s h a s n o s u r f a c e e l e v a t i o n a s s o c i a t e d w i t h

i t , a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s u r f a c e b o u n d a r y c o n d i t i o n i s t h a t o f a r i g i d l i d .

A p a r t i c u l a r f o r m o f t h e b a r o c l i n i c m o d e l s a r e t h e s o - c a l l e d r e d u c e d g r a v i t y m o d e l s . T h e s e

a r e e s s e n t i a l l y i s o p y c n a l m o d e l s o f s e v e r a l d e f o r m a b l e l a y e r s w h e r e t h e l o w e s t l a y e r h a s

i n n i t e d e p t h a n d z e r o v e l o c i t y . C l e a r l y n o b a r o t r o p i c m o d e i s a s s o c i a t e d w i t h s u c h m o d e l s ,

a n d a l t h o u g h t h e m o t i o n s a r e d r i v e n b y t h e d e n s i t y d i e r e n c e s b e t w e e n l a y e r s , t h e r e a r e

r e s t r i c t i o n s o n t h e m o t i o n s a n d i n t e r f a c e d e f o r m a t i o n s . F o r e x a m p l e , i n a t w o - l a y e r r e d u c e d

g r a v i t y ( R G ) m o d e l t h e d e v i a t i o n s o f t h e i n t e r f a c e b e t w e e n t h e t w o l a y e r s ( r e p r e s e n t i n g

e x c u r s i o n s o f t h e p y c n o c l i n e ) a r e m u l t i p l e s o f t h e f r e e s u r f a c e e l e v a t i o n , b y a f a c t o r w h i c h i s


8/71

8

p r o p o r t i o n a l t o t h e r a t i o = , b e i n g t h e d e n s i t y a n d t h e d e n s i t y d i e r e n c e b e t w e e n

t h e t w o l a y e r s ( t h e l o w e r o n e b e i n g h e a v i e r , o f c o u r s e ) .

W e w i l l d i s c u s s t h e b a r o t r o p i c m o d e l s i n t h e n e x t s e c t i o n a n d t h e r e d u c e d g r a v i t y m o d e l s

i n s e c t i o n 3 .

2 B a r o t r o p i c M o d e l s

T h e r e a r e s e v e r a l r e a s o n s w h y a b a r o t r o p i c m o d e l i s i n t e r e s t i n g a n d i m p o r t a n t p e r s e . T h e

r s t , a n d m o s t i m p o r t a n t , h a s b e e n d i s c u s s e d a b o v e , i . e . t h a t t h e f r e e s u r f a c e e l e v a t i o n

c o u p l e s d i r e c t l y t o t h e b a r o t r o p i c m o d e . S a t e l l i t e a l t i m e t e r m e a s u r e m e n t s

2

o f t h e f r e e s u r f a c e

e l e v a t i o n a r e o n e o f t h e i m p o r t a n t d a t a e l d s u s e d a s p a r t o f t h e i n i t i a l i z a t i o n a n d u p d a t i n g

p r o c e d u r e s f o r r e a l - t i m e o c e a n p r e d i c t i o n . T h u s i n f o r m a t i o n f r o m a l t i m e t e r s m a y r s t e n t e r

t h e o c e a n m o d e l t h r o u g h t h e b a r o t r o p i c m o d e , w h e r e i t r e p r e s e n t s a d i r e c t f o r c i n g ( s e e a

s i m i l a r d a t a f o r c i n g w i t h t i d e g a u g e i n f o r m a t i o n i n s e c t i o n 6 . )

A s e c o n d f e a t u r e o f b a r o t r o p i c m o d e l s i s t h e p r e s e n c e o f t h e f a s t f r e e s u r f a c e g r a v i t y

w a v e s .

3

T h e s i m p l e e x p l i c i t n i t e - d i e r e n c e s c h e m e s t r e a t i n g s u c h w a v e s a r e s u b j e c t t o

s e v e r e t i m e s t e p l i m i t a t i o n s , s o t h a t s o l u t i o n o f t h e b a r o t r o p i c m o d e m a y l e a d t o l a r g e

C P U r e q u i r e m e n t s . T h u s i t i s i m p o r t a n t t o s t u d y t h e s o l u t i o n o f t h i s s y s t e m w i t h e c i e n t

n u m e r i c a l s c h e m e s , b e f o r e i n c o r p o r a t i n g i t i n t o t h e g e n e r a l 3 - D b a r o c l i n i c { b a r o t r o p i c o c e a n

m o d e l . F o r a d i s c u s s i o n o f e x p l i c i t a n d i m p l i c i t m e t h o d s , a s w e l l a s l i m i t a t i o n s o n t h e t i m e

s t e p , t h e s t u d e n t s h o u l d c o n s u l t s e c t i o n 2 . 4 .

2 . 1 M o d e l E q u a t i o n s f o r a B a r o t r o p i c O c e a n

T h e d e r i v a t i o n o f m o d e l e q u a t i o n s f o r t h e b a r o t r o p i c a n d b a r o c l i n i c c o m p o n e n t s o f a h y -

d r o s t a t i c o c e a n , f r o m t h e N a v i e r { S t o k e s e q u a t i o n s f o r i n c o m p r e s s i b l e o w o n a r o t a t i n g

E a r t h , w i l l b e g i v e n i n a n a p p e n d i x i n t h e n e x t r e l e a s e o f t h i s c h a p t e r . H e r e w e w i l l o n l y

p r e s e n t t h e m i n C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s a n d w i t h c o n s t a n t f r i c t i o n c o e c i e n t s t o s i m p l i f y t h e

a r i t h m e t i c a l t e x t .

d U

d t

= + f V g H

d

d x

!

+ (

w

b

)

x

+ A r

2

U

d

d x

( U U = H )

d

d y

( U V = H ) ; ( 2 )

d V

d t

= f U g H

d

d y

!

+ (

w

b

)

y

+ A r

2

V

d

d x

( U V = H )

d

d y

( V V = H ) ; ( 3 )

2

A r a d a r a l t i m e t e r m e a s u r e s t h e d i s t a n c e f r o m t h e s a t e l l i t e t o t h e s u r f a c e o f t h e o c e a n , a n d i f t h e p o s i t i o n

o f t h e s a t e l l i t e i n s p a c e i s k n o w n , t h i s m e a s u r e m e n t a l l o w s t h e o c e a n s u r f a c e d e v i a t i o n s f r o m t h e l e v e l

c o r r e s p o n d i n g t o n o m o t i o n t o b e i n f e r r e d o n t i m e s c a l e s o f a f e w d a y s t o y e a r s . T h e t i m e s c a l e o f s i g n i c a n t

l a r g e s c a l e v a r i a t i o n o f w i n d f o r c i n g i s a f e w d a y s a n d i s c a l l e d s y n o p t i c t i m e s c a l e .

3

G r a v i t y w a v e s a r e w a v e s t h a t p r o p a g a t e a t t h e a i r { s e a i n t e r f a c e u n d e r t h e a c t i o n o f g r a v i t y . N o t e t h a t

t h e d i s p l a c e m e n t o f t h e h e a v y u i d r e p r e s e n t s a v a i l a b l e p o t e n t i a l e n e r g y a n d t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n s a r e

s o m e w h a t s i m i l a r t o t h o s e g o v e r n i n g w a v e s o n a s t r i n g .


9/71

B a r o t r o p i c M o d e l s 9

BAROTROPIC

MODELS

Model equations forBarotropic Oceans

Friction andTopography

Forcing

Numerical schemesfor Barotropic Models

Bottom Friction

Lateral Friction

Topography and

Basin geography

Climatological winds

GCM-derived winds

Explicit time integration

F i g u r e 5 : B r e a k d o w n o f B a r o t r o p i c M o d e l s


10/71

1 0

d

d t

=

d U

d x

+

d V

d y

!

; ( 4 )

w h e r e

~

U = ( U ; V ) | m a s s t r a n s p o r t s i n t h e x - a n d y - d i r e c t i o n s , r e s p e c t i v e l y

~

w

= (

w

)

x

; (

w

)

y

] | w i n d s t r e s s c o m p o n e n t s

~

b

= (

b

)

x

; (

b

)

y

] | b o t t o m s t r e s s c o m p o n e n t s

| f r e e s u r f a c e e l e v a t i o n

f = 2 s i n | C o r i o l i s p a r a m e t e r f o r l a t i t u d e ;

i s t h e a n g u l a r r o t a t i o n r a t e o f t h e E a r t h ( 7 1 0

5

s

1

)

H ( x ; y ) | t o p o g r a p h y ( b o t t o m d e p t h )

g | a c c e l e r a t i o n d u e t o g r a v i t y

r

2

| L a p l a c i a n o p e r a t o r i n h o r i z o n t a l c o o r d i n a t e s x ; y

A | c o e c i e n t o f l a t e r a l f r i c t i o n

x | g r i d s p a c i n g i n t h e l o n g i t u d i n a l d i r e c t i o n

y | g r i d s p a c i n g i n t h e l a t i t u d i n a l d i r e c t i o n

t | t i m e s t e p

T h e b o t t o m s t r e s s

b

c a n b e r e l a t e d i n a l i n e a r o r n o n l i n e a r w a y t o t h e b o t t o m v e l o c i t y ,

w h i c h i n t h i s c a s e h a s t o b e r e p l a c e d b y t h e d e p t h - m e a n a v e r a g e d v e l o c i t y . F o r a f o r m u l a t i o n

o f t h e s e t e r m s a n d a d i s c u s s i o n o f t h e t y p i c a l v a l u e s u s e d i n p r e v i o u s m o d e l i n g e o r t s s e e

t h e n e x t s e c t i o n .

W e c o m e n o w t o a d i s c u s s i o n o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e m a i n c r i t e r i o n h e r e

i s w h e t h e r a b o u n d a r y i s c l o s e d ( l i k e a t a s h o r e ) o r o p e n ( l i k e a t a s t r a i t w h e r e w a v e s

a n d c u r r e n t s c a n e n t e r a n d e x i t t h e m o d e l r e g i o n ) . A s o u r r s t e x e r c i s e w e c h o o s e c l o s e d

b o u n d a r i e s i n a r e c t a n g u l a r g e o m e t r y 0 < x < L

x

, 0 < y < L

y

] , f o r w h i c h t h e r e l e v a n t

c o n d i t i o n s i m p o s e d o n U , V , a n d a r e a s f o l l o w s :

U = V = 0 o n a l l b o u n d a r i e s

d

d x

=

1

g H

"

(

w

b

)

x

d

2

U

d x

2

! #

a t x = 0 ; L

x

d

d y

=

1

g H

"

(

w

b

)

y

d

2

V

d y

2

! #

a t y = 0 ; L

y

( 5 )

T h e v a n i s h i n g o f t h e t a n g e n t i a l v e l o c i t y i m p l i e s t h e e x i s t e n c e o f f r i c t i o n a l b o u n d a r y l a y e r s ,

b e c a u s e t h e v e l o c i t y i s b r o u g h t t o z e r o f r o m t h e f r e e s t r e a m v a l u e a c r o s s a t h i n b o u n d a r y

l a y e r , a n d i n t h i s l a y e r , f r i c t i o n i s i m p o r t a n t .

B e f o r e w e d i s c u s s t h e n u m e r i c a l p r o c e d u r e f o r s o l v i n g t h e a b o v e e q u a t i o n s ( 2 ) { ( 5 ) w e

m u s t d i s c u s s t h e f o r m u l a t i o n a n d m a g n i t u d e s o f t h e l a t e r a l a n d b o t t o m f r i c t i o n t e r m s , a n d

t h e n a t u r e a n d s o u r c e o f t h e w i n d s t r e s s e s u s e d t o f o r c e o r d r i v e t h e o c e a n m o d e l .


11/71

B a r o t r o p i c M o d e l s 1 1

2 . 2 F r i c t i o n a n d T o p o g r a p h y

2 . 2 . 1 T h e B o t t o m F r i c t i o n

E v e n i n m u l t i - l e v e l o c e a n m o d e l s w h e r e t h e r e i s a n a t t e m p t t o m o d e l i n g r e a t d e t a i l t h e

v e r t i c a l s t r u c t u r e , t h e e o r t t o r e s o l v e b o u n d a r y l a y e r s i s u s u a l l y c o n n e d t o t h e s u r f a c e

m i x e d l a y e r s ( s e e s e c t i o n 4 \ M i x e d - L a y e r M o d e l s " ) , p a y i n g l i t t l e a t t e n t i o n t o t h e s o - c a l l e d

\ b e n t h i c " o r b o t t o m b o u n d a r y l a y e r ( i . e . t h e t u r b u l e n t f r i c t i o n a l l a y e r a l o n g t h e o c e a n b o t -

t o m ) . G e n e r a l l y , m o s t o c e a n m o d e l s r e s o r t t o t h e a p p l i c a t i o n o f s o m e s o r t o f d r a g l a w i n

t h e l o w e s t l a y e r t o r e p r e s e n t t h e t u r b u l e n t f r i c t i o n a l p r o c e s s e s t h e r e . T h e u s e o f l a t e r a l ( i . e .

h o r i z o n t a l ) f r i c t i o n , o n t h e o t h e r h a n d , i s a n a l m o s t u n i v e r s a l c o n s t r a i n t i m p o s e d o n a l l h y -

d r o d y n a m i c n u m e r i c a l m o d e l s b y t h e i r i n a b i l i t y t o f o l l o w t h e n o n l i n e a r c a s c a d e o f e n e r g y

b e l o w s c a l e s o f t h e m e s h s i z e . T h i s f r i c t i o n e e c t i v e l y p r e v e n t s t h e p i l e u p o f e n e r g y i n a

n u m e r i c a l s i m u l a t i o n i n t h e w a v e l e n g t h r a n g e c o r r e s p o n d i n g t o t h e m e s h s i z e ( t h e n o n l i n e a r

t e r m s i n 3 - D t u r b u l e n c e c a u s e a n e n e r g y c a s c a d e d o w n t o w a r d h i g h w a v e n u m b e r s o r s h o r t

l e n g t h s c a l e s ) . T h e f o r m o f t h e b o t t o m f r i c t i o n t e r m c a n t a k e e i t h e r a l i n e a r o r n o n l i n e a r

f o r m ; b o t h f o r m u l a t i o n s h a v e b e e n u s e d i n t h e p a s t i n o c e a n m o d e l s o f v a r i o u s t y p e s .

a . T h e l i n e a r a p p r o a c h : T h i s h a s b e e n u s e d b y s e v e r a l m o d e l e r s u t i l i z i n g l a y e r e d - t y p e

o c e a n m o d e l s . N o w l i n 4 8 ] , d u r i n g a n i n v e s t i g a t i o n o f t h e e n e r g y t r a n s f e r s i n a t w o l a y e r

m o d e l , h a s a l s o d e r i v e d s o m e m a g n i t u d e s f o r t h e v a l u e o f

0

f r o m s p i n d o w n c o n s i d e r a t i o n s ,

w h e r e t h e w i n d i s t u r n e d o s u d d e n l y a n d t h e o w d e c e l e r a t e s d u e t o b o t t o m f r i c t i o n ( w i t h

m i n i m u m l a t e r a l f r i c t i o n ) i n t h i s c a s e . H i s r e c o m m e n d e d v a l u e o f

0

i s i n t h e r a n g e 1 {

5 1 0

7

/ s e c . C r e e g a n 6 ] h a s u t i l i z e d t h e l i n e a r d r a g l a w i n a s t u d y o f t h e w i n d - d r i v e n

c i r c u l a t i o n i n t h e G I N

4

S e a a n d u s e d a v a l u e o f

0

= 1 0

7

/ s e c .

b . T h e n o n - l i n e a r a p p r o a c h : M a n y o f t h e m o d e l i n g e o r t s i n t h e N o r t h S e a h a v e e m p l o y e d

a n o n l i n e a r b o t t o m s t r e s s o f t h e f o r m

b

x

= C

d

~

U U

b

y

= C

d

~

U V ; ( 6 )

w i t h t h e v a l u e o f t h e d r a g c o e c i e n t C

d

t a k e n t o b e e i t h e r . 0 0 2 5 o r . 0 0 5 0 , d e p e n d i n g o n t h e

a u t h o r . M a n y s t u d i e s 6 2 ] , 1 ] , 1 2 ] , 1 3 ] , a n d 9 ] h a v e u s e d C

d

= 0 0 2 5 , w h e r e a s 8 ] a n d 1 7 ]

h a v e u s e d a v a l u e o f C

d

= 0 0 5 0 . T h e s e v a l u e s w e r e g e n e r a l l y d e t e r m i n e d d u r i n g c o m p u t a t i o n

o f t i d e s , f r o m t h e i r t r a n s i e n t b e h a v i o r . I n c o n s i d e r i n g a n a p p l i c a t i o n o f t h e s e v a l u e s f o r t h e

b a r o t r o p i c e x p e r i m e n t s c a r r i e d o u t h e r e , w e m u s t c o n s i d e r w h e t h e r t h e n a t u r e o f t h e b e n t h i c

b o u n d a r y l a y e r p r o c e s s e s i n t h e N o r t h S e a a r e r e a l l y v e r y d i e r e n t f r o m t h e o n e s a t t h e

b o t t o m o f t h e G I N S e a . T o r e a l l y a n s w e r t h i s q u e s t i o n o n e w o u l d n e e d t o k n o w t h e t y p i c a l

b e n t h i c b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s e s , i n t e r i o r o w s p e e d s a n d t h e s i z e o f t h e t u r b u l e n t e d d i e s .

O n r s t a p p r o x i m a t i o n i t d o e s n ' t a p p e a r t h a t t h e s e p r o c e s s e s w o u l d b e v e r y d i e r e n t a t a

d e p t h o f 5 0 0 m f r o m t h o s e a t , s a y 2 5 0 0 m , a n d h e n c e t h e u s e o f d r a g c o e c i e n t s w i t h t h e

s a m e m a g n i t u d e a p p e a r s t o b e w a r r a n t e d .

4

G I N S e a : G r e e n l a n d { I c e l a n d { N o r w e g i a n S e a .


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50 50

55 55

60 60

0

500

1000

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2000

2500

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35004000

4500

5000

5500

6000

6500

7000

7500

8000

F i g u r e 6 : O c e a n D e p t h S u r r o u n d i n g t h e A l e u t i a n I s l a n d s ( i n m e t e r s )

i l l u s t r a t e t h e n a t u r e o f p r o c e s s i n g n e e d e d t o a c c e s s t h e d a t a b a s e a n d e x t r a c t t h e i n f o r m a t i o n

d e s i r e d .

2 . 3 . 1 B o t t o m T o p o g r a p h y

B o t t o m d e p t h i s o n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t p a r a m e t e r s f o r a r e a l i s t i c o c e a n m o d e l . B o t t o m

d e p t h i s d e r i v e d f r o m a c o u s t i c s o u n d i n g s f r o m a s h i p . N a t u r a l l y , a l l o c e a n b a s i n s a r e n o t

c o v e r e d e q u a l l y w e l l . R e g i o n s n e a r c o a s t s o f w e l l - d e v e l o p e d c o u n t r i e s s u c h a s t h e U . S . a n d

r e g i o n s w e l l - t r a v e r s e d b y s h i p s a r e c o v e r e d r e a s o n a b l y w e l l , w h i l e v a s t a r e a s o f t h e s o u t h e r n

h e m i s p h e r e a r e n o t e x p l o r e d v e r y w e l l . V e r y h i g h r e s o l u t i o n ( a p p r o a c h i n g 1 k m ) b o t t o m

t o p o g r a p h y i s g e n e r a l l y n o t a v a i l a b l e i n t h e p u b l i c d o m a i n . T h e b e s t r e s o l u t i o n p u b l i c

d o m a i n t o p o g r a p h y t h u s f a r i s t h e g r i d d e d E T O P 0 5 d a t a b a s e a t t h e N a t i o n a l C e n t e r f o r

A t m o s p h e r i c R e s e a r c h ( N C A R ) , w h i c h c o n t a i n s 5 m i n ( r o u g h l y 9 k m ) r e s o l u t i o n o f E a r t h ' s

t o p o g r a p h y ( i n c l u d i n g l a n d ) . T h i s d a t a b a s e i s g e n e r a l l y a d e q u a t e f o r d e e p e r p a r t s o f t h e

o c e a n , b u t i s l e s s r e l i a b l e o v e r c o n t i n e n t a l s h e l v e s (


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1 4

200

200

20 20

200400600800

100012001400160018002000220024002600280030003200340036003800

40004200440046004800500052005400560058006000

F i g u r e 7 : O c e a n D e p t h S u r r o u n d i n g t h e H a w a i i a n I s l a n d s ( i n m e t e r s )


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10 10

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0

1000

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3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

11000

F i g u r e 8 : O c e a n D e p t h S u r r o u n d i n g t h e M a r i a n a I s l a n d s ( i n m e t e r s )


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1 6

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35 35

40 40

45 45

50 50

0

400

800

1200

1600

2000

2400

2800

3200

3600

4000

4400

4800

5200

5600

6000

6400

6800

7200

7600

8000

F i g u r e 9 : S e a o f J a p a n T o p o g r a p h y ( i n m e t e r s )


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l a n d p o i n t s .

S e e e x e r c i s e s 1 a n d 2 .

2 . 3 . 2 W i n d S t r e s s

W i n d s b l o w i n g a t t h e s u r f a c e c o n s t i t u t e a v e r y i m p o r t a n t d r i v i n g f o r c e f o r o c e a n c u r r e n t s .

W i n d s t r e s s a t t h e s u r f a c e i s t h e r e f o r e a n e c e s s a r y f o r c i n g p a r a m e t e r f o r a n o c e a n m o d e l .

W i n d s a r e r o u t i n e l y o b s e r v e d a t m a n y c o a s t a l l o c a t i o n s a r o u n d t h e w o r l d , b u t t h e s e a r e

l i t t l e h e l p i n d e d u c i n g t h e w i n d s o v e r t h e o p e n o c e a n . H i s t o r i c a l l y , o b s e r v a t i o n s f r o m s h i p s

c o n s t i t u t e a m a j o r p o r t i o n o f o u r k n o w l e d g e o f w i n d s o v e r t h e o c e a n s , a l t h o u g h r e m o t e

s e n s i n g u s i n g m i c r o w a v e s c a t t e r o m e t e r s a n d r a d a r a l t i m e t e r s ( i n s t r u m e n t s t h a t e s s e n t i a l l y

m e a s u r e t h e w i n d - i n d u c e d r o u g h n e s s o f t h e s e a s u r f a c e a n d t h e r e b y i n f e r t h e w i n d s t r e s s

a c t i n g a t t h e s e a s u r f a c e ) m i g h t b e c o m e a n i m p o r t a n t f u t u r e s o u r c e . S i n c e w i n d s v a r y o v e r

a v a r i e t y o f t i m e s c a l e s i n c l u d i n g h o u r l y t o a n n u a l , i t i s d i c u l t t o o b t a i n c o m p l e t e w i n d

i n f o r m a t i o n a t a l l t e m p o r a l a n d s p a t i a l s c a l e s o v e r t h e o c e a n s . N u m e r i c a l w e a t h e r p r e d i c t i o n

m o d e l s a r e o n e s o u r c e o f \ s y n o p t i c " w i n d s , h o w e v e r i m p e r f e c t .

F o r l o n g e r t i m e s c a l e s , m a r i n e s u r f a c e o b s e r v a t i o n s f r o m s h i p s a r e a n i m p o r t a n t s o u r c e .

T h e s e o b s e r v a t i o n s h a v e b e e n c o l l e c t e d a n d a r c h i v e d , a n d l o n g - t e r m a v e r a g e s o v e r m a n y

d e c a d e s i n c o r p o r a t e d i n t o a h i s t o r i c a l d a t a b a s e . H e l l e r m a n a n d R o s e n s t e i n 2 9 ] d e r i v e d

m o n t h l y a v e r a g e w i n d s t r e s s e s f r o m s u c h a d a t a b a s e o v e r g l o b a l o c e a n s a t a r e s o l u t i o n o f 2

d e g r e e s ( r o u g h l y 2 0 0 k m ) . T h i s d a t a b a s e i s o f t e n a d e q u a t e f o r s i m u l a t i n g s e a s o n a l e v o l u t i o n

o f c u r r e n t s i n a n o c e a n m o d e l . M o s t o c e a n m o d e l r e s u l t s t o d a t e h a v e b e e n o b t a i n e d w i t h

s u c h c l i m a t o l o g i c a l w i n d e l d s . P r o v i d e d i s a p r o g r a m t o a c c e s s t h e H e l l e r m a n { R o s e n s t e i n

d a t a b a s e a n d e x t r a c t m o n t h l y w i n d s t r e s s e s f o r a n y r e g i o n w i t h p r e s c r i b e d l a t i t u d i n a l {

l o n g i t u d i n a l e x t e n t . T h e s e e l d s c a n b e d i s p l a y e d u s i n g G M T a n d c a n a l s o b e a n i m a t e d

t o l o o k a t t h e s e a s o n a l e v o l u t i o n o f w i n d s t r e s s / w i n d o v e r t h e r e g i o n . B e l o w a r e g u r e s

d e p i c t i n g t h e m o n t h l y a v e r a g e d w i n d s f o r t h e S e a o f J a p a n d u r i n g t h e f o u r s e a s o n s .

A n o t h e r d a t a s e t t h a t h a s j u s t b e e n r e l e a s e d i s t h e C o m p r e h e n s i v e O c e a n o g r a p h i c D a t a

S e t ( C O A D S ) , t h a t i s t h e l a t e s t ( t o 1 9 9 2 ) a r c h i v e o f m a r i n e s u r f a c e o b s e r v a t i o n s . T h u s n o t

o n l y w i n d s b u t a l s o s u r f a c e h e a t u x e s a r e a v a i l a b l e a s a n a v e r a g e o v e r e a c h m o n t h o f t h e

y e a r u n t i l 1 9 9 2 a t 2 d e g r e e s 2 d e g r e e s r e s o l u t i o n .

C l i m a t o l o g i c a l w i n d e l d s i n t h e p a s t h a v e u s u a l l y b e e n c o m p u t e d f r o m m a n y y e a r s o f

s h i p o b s e r v a t i o n s , b u t t h e y c a n a l s o b e o b t a i n e d f r o m a s e r i e s o f a n a l y z e d p r e s s u r e o r w i n d

e l d o u t p u t s o f w e a t h e r p r e d i c t i o n m o d e l s .

T o a s s i s t s y n o p t i c ( i . e . a t t h e s a m e t i m e o r r e a l - t i m e ) t y p e o c e a n m o d e l s i m u l a t i o n s s e v e r a l

o f t h e w e a t h e r p r e d i c t i o n c e n t e r s a r o u n d t h e w o r l d h a v e s t a r t e d t o a r c h i v e t h e i r a n a l y z e d

a n d p r e d i c t e d p r e s s u r e e l d s , w i n d s a n d s u r f a c e h e a t u x e s . A m o n g t h e s e a r e t h e B r i t i s h

M e t e o r o l o g i c a l O c e i n B r a c k n e l l , E n g l a n d a n d t h e E u r o p e a n C e n t r e f o r M e d i u m R a n g e


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i s v e r y e x p e n s i v e t o c o l l e c t d a t a o n w a t e r m a s s e s i n t h e o c e a n b e c a u s e o f t h e l a r g e s h i p t i m e s

n e e d e d t o p r o b e t h e d e e p p a r t s o f t h e o c e a n b a s i n . H o w e v e r , t h e d e e p w a t e r m a s s e s d o c h a n g e

v e r y s l o w l y , o v e r t i m e s c a l e s o f h u n d r e d s o f y e a r s a n d t h e r e f o r e i t i s p o s s i b l e t o r e g a r d t h e m

a s q u a s i - s t e a d y . T h u s , a p p e a l c a n b e m a d e t o T a n d S d a t a a r c h i v e d a t n a t i o n a l a r c h i v e s

s u c h a s t h e N a t i o n a l O c e a n o g r a p h i c D a t a C e n t e r ( N O D C ) a n d F N O C . T h e s e h i s t o r i c a l d a t a

c a n t h e n b e a n a l y z e d t o d e r i v e g r i d d e d T a n d S e l d s f o r m o d e l i n i t i a l i z a t i o n . L e v i t u s 3 7 ]

h a s d o n e s o a t 1 d e g r e e r e s o l u t i o n o v e r t h e g l o b a l o c e a n s a t 3 3 d e p t h s r a n g i n g f r o m t h e

s u r f a c e t o a b o u t 5 0 0 0 m d e p t h . T h e r e a r e e n o u g h d a t a i n t h e a r c h i v e s t o d e r i v e m e a n i n g f u l

t e m p e r a t u r e s o v e r t h e u p p e r 1 0 0 0 m o n a s e a s o n a l t i m e s c a l e a n d i n t h e u p p e r 2 0 0 m o r s o

a t m o n t h l y t i m e s c a l e s . D a t a o n s a l i n i t y a r e m o r e s p a r s e . T h e r e a r e o t h e r T & S d a t a b a s e s ,

b u t n o n e o f t h e s e a r e s o r e a d i l y a v a i l a b l e f o r t h e g e n e r a l p u b l i c . P r o v i d e d i s a p r o g r a m t o

a c c e s s a L e v i t u s g r i d d e d d a t a b a s e a n d e x t r a c t a n y g i v e n r e g i o n d e l i n e a t e d b y l o n g i t u d e a n d

l a t i t u d e a n d p l o t t h e r e s u l t s u s i n g G M T . T h e s e e l d s c a n a l s o b e a n i m a t e d .

S e e e x e r c i s e 4 .

2 . 4 N u m e r i c a l S c h e m e s f o r B a r o t r o p i c M o d e l s

W e n o t e t h a t t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s ( 2 ) { ( 4 ) h a s b o t h p a r a b o l i c a n d h y p e r b o l i c p r o p e r t i e s ,

t h e f o r m e r a s s o c i a t e d w i t h t h e d i u s i o n t e r m s a n d t h e l a t t e r w i t h t h e p r e s s u r e g r a d i e n t s

a n d n o n l i n e a r t e r m s . D i u s i o n o f m o m e n t u m w i l l l e a d ( b y i t s e l f ) t o a p a r a b o l i c p a r t i a l

d i e r e n t i a l e q u a t i o n . T h e c o u p l i n g o f t h e t i m e d e r i v a t i v e s ( i n a l l t h r e e e q u a t i o n s ) t o t h e

p r e s s u r e g r a d i e n t s a n d t h e C o r i o l i s t e r m s ( i n e q u a t i o n s ( 2 ) a n d ( 3 ) ) w i l l l e a d t o a s y s t e m

t h a t d e s c r i b e s i n e r t i a - g r a v i t y w a v e s a n d h a s h y p e r b o l i c c h a r a c t e r i s t i c s . ( N o t e : i n e r t i a - g r a v i t y

w a v e s h e r e r e f e r t o g r a v i t y w a v e s w h e r e t h e r e s t o r i n g b u o y a n c y f o r c e i s m o d i e d b y t h e

r o t a t i o n o f t h e E a r t h b y t h e C o r i o l i s f o r c e ) .

T h e b a s i c t e c h n i q u e s f o r t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s t o t h e s e v a r i o u s c l a s s e s o f p a r t i a l d i e r -

e n t i a l e q u a t i o n s a r e g i v e n i n t h e P D E c h a p t e r o f t h i s b o o k . F o r g e o p h y s i c a l u i d d y n a m i c

p r o b l e m s , a n e x t e n s i v e s u r v e y o f m o r e s p e c i c n i t e - d i e r e n c e s c h e m e s h a s b e e n g i v e n b y

G r a m m e l t v e d t 2 4 ] a n d A r a k a w a a n d M e s i n g e r 4 5 ] . A n o t h e r c o l l e c t i o n o f n u m e r i c a l m e t h o d s

i n o c e a n o g r a p h y c a n b e f o u n d i n O ' B r i e n 5 1 ] . A s t h e r e a d e r w i l l s e e f r o m b o t h t h e o u t s i d e

l i t e r a t u r e a n d t h e v a r i o u s c h a p t e r s o f t h i s b o o k , t h e n u m e r i c a l s c h e m e s f o r s o l v i n g t i m e -

d e p e n d e n t p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s f a l l g e n e r a l l y i n t o t w o c l a s s e s : e x p l i c i t o r i m p l i c i t .

T o e x p l a i n t h i s t e r m i n o l o g y , l e t u s a s s u m e t h a t a l l v a r i a b l e s a r e e v a l u a t e d a t d i s c r e t e t i m e

a n d s p a c e i n t e r v a l s s u c h t h a t ( U

n

)

i j

r e p r e s e n t s U ( n d t ; i d x ; j d y ) a n d d U = d t i s a p p r o x i m a t e d

a s ( U

n + 1

U

n

) = d t . T h e n t h e t e r m \ e x p l i c i t " d e n o t e s a s c h e m e w h e r e a l l t e r m s o n t h e r i g h t

h a n d s i d e s ( r . h . s . ) o f s y s t e m ( 2 ) { ( 4 ) a r e e v a l u a t e d a t t i m e s t e p s n , n 1 , e t c . , i . e . a t a n y

g i v e n t i m e t

n

t h e r . h . s . i s k n o w n f r o m p r e v i o u s t i m e s t e p s . O n t h e o t h e r h a n d , \ i m p l i c i t "

d e n o t e s a s c h e m e w h e r e s o m e o f t h e t e r m s o n t h e r . h . s . a r e e v a l u a t e d a t t i m e s t e p t

n + 1

a n d


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2 2

t h u s a r e n o t k n o w n a t t i m e t

n

. I n o r d e r t o p r o c e e d t h e n , o n e n e e d s t o t r a n s f e r t h e s e t e r m s

t o t h e l e f t h a n d s i d e s ( l . h . s ) o f t h e e q u a t i o n s a n d i n v e r t t h e c o r r e s p o n d i n g c o e c i e n t m a t r i x

f o r t h e u n k n o w n v a r i a b l e s a t t

n + 1

T h e i m p l i c i t t r e a t m e n t ( t o b e d e n e d b e l o w ) o f t h e b a r o t r o p i c e q u a t i o n s i n v o k e s t h e

i n v e r s i o n o f m a t r i c e s v i a d i r e c t o r i t e r a t i v e s o l v e r s . I t i s p r e c i s e l y i n t h i s a r e a t h a t m o s t

o f t h e r e c e n t a d v a n c e s i n t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s h a v e t a k e n

p l a c e . S o m e o f t h e s e a d v a n c e s h a v e c h a n g e d o u r c o n c e p t s a s t o w h i c h i t e r a t i v e o r d i r e c t

m a t r i x s o l v e r s a r e \ f a s t e s t " , b e c a u s e \ f a s t n e s s " d e p e n d s n o w a d a y s o n c o m p a t i b i l i t y w i t h

c o m p u t e r h a r d w a r e a s w e l l a s o n n u m e r i c a l c o n v e r g e n c e r a t e s ! T h i s h a s b e c o m e v e r y o b v i o u s

s i n c e t h e i n t r o d u c t i o n o f v e c t o r p i p e l i n e c o m p u t e r s , a n d e v e n m o r e s o w i t h t h e a p p e a r a n c e

o f m a s s i v e l y p a r a l l e l o n e s .

A t t h e s a m e t i m e , t h e d i e r e n t n a t u r e o f n e w c o m p u t e r a r c h i t e c t u r e s a n d t h e i n c r e a s i n g

s i z e o f c o m p u t e r m e m o r i e s a r e l e a d i n g t o r e n e w e d c o n s i d e r a t i o n o f t h e e x p l i c i t t r e a t m e n t o f

t h e b a r o t r o p i c m o d e . A f t e r a l l , a s t h e n u m b e r o f v e r t i c a l l e v e l s o r l a y e r s i n c r e a s e s ( e x c e e d s

2 0 , 3 0 o r e v e n 6 0 ) , o r a s w e a d d a d d i t i o n a l t r a n s p o r t e q u a t i o n s f o r t h e v a r i o u s b i o c h e m i c a l

s p e c i e s , t h e f r a c t i o n o f c o m p u t e r t i m e s p e n t i n s o l v i n g t h e 2 - D b a r o t r o p i c e q u a t i o n s p e r l e v e l

t e n d s t o d e c r e a s e . A t t h e s a m e t i m e , w e n o t i c e t h a t m o s t e x p l i c i t t e c h n i q u e s a r e u s u a l l y f u l l y

v e c t o r i z a b l e a n d \ p a r a l l e l i z a b l e " , t h u s g i v i n g s t r o n g c o m p e t i t i o n t o t h e i m p l i c i t t e c h n i q u e s

o n c o m p u t e r s o f t h i s a n d t h e n e x t d e c a d e .

2 . 4 . 1 E x p l i c i t T i m e I n t e g r a t i o n

W e c o m m e n c e w i t h e x p l i c i t t i m e m a r c h i n g s c h e m e s b e c a u s e t h e y d o n o t i n v o l v e m a t r i x

i n v e r s i o n o r i t e r a t i v e s o l v e r s . B e f o r e w e w r i t e d o w n t h e c o m p l e t e n i t e d i e r e n c e a n a l o g o f

e q u a t i o n s ( 2 ) { ( 4 ) , w e m u s t g i v e n i t e d i e r e n c e e x p r e s s i o n s t o t h e r s t a n d s e c o n d s p a t i a l

d e r i v a t i v e s i n t h e x - a n d y - d i r e c t i o n s . W e w i l l u s e o n l y c e n t e r e d d i e r e n c e s u n l e s s o t h e r w i s e

s t a t e d . D e n o t i n g f ( x ; y ) = f ( i d x ; j d y ) = f

i j

, w e h a v e

d U

d x

= ( U

i + 1 j

U

i 1 j

) = x ; ( 8 )

d V

d y

= ( V

i j + 1

V

i j 1

) = y ; ( 9 )

d

2

U

d x

2

= ( U

i + 1 j

+ U

i 1 j

2 U

i j

) = x

2

; ( 1 0 )

d

2

V

d y

2

= ( V

i j + 1

+ V

i j 1

2 V

i j

) = y

2

( 1 1 )

T h o u g h w e a v o i d h a v i n g t o u s e a m a t r i x i n v e r t e r t o s o l v e f o r t h e v a l u e s a t t

n + 1

, w e p a y

t h e p r i c e b y b e i n g r e s t r i c t e d i n t h e t i m e s t e p w e c a n t a k e . T h e s i z e o f a t i m e s t e p o n e c a n

t a k e i n s o l v i n g t i m e - m a r c h i n g d i e r e n t i a l e q u a t i o n s b y e x p l i c i t m e t h o d s i s g o v e r n e d b y t h e


20/71


f a m o u s C o u r a n t { F r i e d r i c h s { L e v y ( C F L ) s t a b i l i t y c o n d i t i o n . F o r w a v e e q u a t i o n s t h e t i m e

s t e p i s l i m i t e d b y t h e w a v e s p e e d , i n t h i s c a s e t h e s p e e d o f t h e s u r f a c e g r a v i t y w a v e s c

w

, a n d

i s g i v e n b y

t 4 0 0 0 m , s o t i s o f o r d e r

1 0 0 s e c f o r a s p a t i a l r e s o l u t i o n o f 2 0 k m n o r m a l l y a s s o c i a t e d w i t h e d d y - r e s o l v i n g b a s i n - s c a l e

o c e a n m o d e l s . T h i s i s w a s t e f u l f o r b a r o c l i n i c c a l c u l a t i o n s , b e c a u s e t h e i n t e r i o r o f t h e o c e a n

a d j u s t s v e r y s l o w l y t o c h a n g e s i n f o r c i n g .

E x p r e s s i o n s f o r t h e b o t t o m s t r e s s

b

i n t e r m s o f t h e v e l o c i t y c o m p o n e n t s h a v e a l r e a d y

b e e n g i v e n i n s e c t i o n 2 . 2 . 1 ,

b

x

= C

d

~

U U

b

y

= C

d

~

U V

( 1 3 )

I n t h e l i n e a r f o r m u l a t i o n

b

t a k e s t h e f o r m

b

x

=

0

U

b

y

=

0

V ;

( 1 4 )

w h e r e

0

h a s v a l u e s t y p i c a l l y b e t w e e n 1 0

6

o r 1 0

7

s e c

1

, d e p e n d i n g o n t h e a p p l i c a t i o n .

T h e v a l u e o f A h a s t o b e d e d u c e d b y c o n s i d e r i n g t h e t o p o g r a p h y g r a d i e n t s a s w e l l a s t h e

s t r e n g t h o f t h e n o n l i n e a r t e r m s ; h o w e v e r , t h e l a t t e r a r e q u i t e s m a l l e x c e p t i n v e r y s h a l l o w

w a t e r s . F o r a d i s c u s s i o n o f t h e m e s h - b o x R e y n o l d s n u m b e r c r i t e r i o n , s e e s e c t i o n 2 . 2 . 2 .

W e w i l l n o w w r i t e o u t t h e n i t e - d i e r e n c e a n a l o g s o f e q u a t i o n s ( 2 ) , ( 3 ) a n d ( 4 ) . I n t h e

r s t e x e r c i s e w e w i l l o m i t t h e n o n l i n e a r t e r m s , s i n c e t h e s e a r e s h o w n n o t t o b e i m p o r t a n t

i n b a r o t r o p i c o w s o f t h e d e e p o c e a n . F u r t h e r m o r e , w e w i l l u s e t h e l i n e a r b o t t o m f r i c t i o n

f o r m u l a t i o n ( 1 4 ) , a n d l o c a t e t h e v a r i a b l e s o n a s t a g g e r e d m e s h , c a l l e d t h e C - g r i d b y A r a k a w a

a n d M e s i n g e r 4 5 ] ( s e e F i g u r e 1 4 ) .

I n t h i s a r r a n g e m e n t t h e p r e s s u r e p a n d h e i g h t h v a r i a b l e s a r e l o c a t e d a t t h e c e n t e r o f t h e

m e s h b o x e s , a n d t h e m a s s t r a n s p o r t s U a n d V a t t h e c e n t e r o f t h e b o x b o u n d a r i e s f a c i n g

t h e x a n d y d i r e c t i o n s , r e s p e c t i v e l y .

A C - g r i d i s a c o m p o s i t e g r i d w h e r e b y t h r e e v a r i a b l e s a r e s o l v e d f o r . I t i s c o m p o s e d o f

t h r e e s u b g r i d s . T h e r s t s u b g r i d s h o w s a m e s h f o r t h e v a r i a b l e ( f r e e s u r f a c e h e i g h t ) , t h e

s e c o n d s h o w s a m e s h f o r t h e v a r i a b l e U ( W e s t { E a s t t r a n s p o r t ) , a n d t h e t h i r d s h o w s a m e s h

f o r t h e v a r i a b l e V ( N o r t h { S o u t h t r a n s p o r t ) . T h e o v e r l a y w i t h t h e r e s p e c t i v e s h i f t s ( s e e

F i g u r e 1 6 , F i g u r e 1 7 a n d F i g u r e 1 8 ) c o m p r i s e s t h e c o m p o s i t e g r i d .

U

n + 1

i j

U

n 1

i j

t

= f V

n

i j

g H

x

(

n

i j

n

i 1 j

)

+

A

x

2

( U

n 1

i + 1 j

+ U

n 1

i 1 j

+ U

n 1

i j + 1

+ U

n 1

i j 1

4 U

n 1

i j

) ; ( 1 5 )

+ (

x

)

n

i j

C

d

U

n 1

i j


21/71

2 4

Grid

UU U

UU U

UU U

U-Grid (Shifted West by dx/2)

VVV

VVV

VVV

V-Grid (Shifted South by dy/2)

U U

U

U

U

V VV

V VV

V VV

Composite Grid

xx

2

y

y

2

y

2

y

xx

2

x

x

2

x

2 x

y

y

y2

y

2

F i g u r e 1 4 : T h e S i g m a C o o r d i n a t e G r i d R e p r e s e n t a t i o n c o m p o s e d o f t h e s u b g r i d , t h e V

s u b g r i d , a n d t h e U s u b g r i d .


22/71


(Shifted West by dx/2)

(Shifted South by dy/2)

dx/2 dy/2

U Grid

V Grid

(Shifted West by dx/2) (Shifted South by dy/2)

Grid

W

EN

S

y x

dy

dx

F i g u r e 1 5 : E x p l o d e d V i e w o f t h e S i g m a C o o r d i n a t e G r i d R e p r e s e n t a t i o n


23/71

2 6

U i, j + 1

V i, j+ 1

i+1, j

i, j-1

i, j+1

U i, j

V i, j

i-1, j i, j

x

y

F i g u r e 1 6 : E x p a n d e d V i e w o f t h e S i g m a C o o r d i n a t e G r i d R e p r e s e n t a t i o n a n d t h e V a r i a b l e s

n e e d e d t o s o l v e f o r

i j


24/71


i-1, j+1 U i, j+1 i, j+1

V i-1, j+1 V i, j+1

i-2, j U i-1, j U i,j i, j U i+1, j i+1, j

V i, jV i-1,j

i-1, j-1 U i, j-1 i, j-1

i-1, j

x

y


n e e d e d t o s o l v e f o r U

i j


25/71

2 8

i, j+1

V i, j+1

U i, j i, j i+1, j

V i, j

i-1, j

V i-1, j V i+1, j

i-1, j-1

U i, j-1 i, j-1 U i+1, j-1

i+1, j-1

V i, j-1

i, j-2

U i+1, j

x

y


n e e d e d t o s o l v e f o r V

i j


26/71

R e d u c e d G r a v i t y M o d e l s 2 9

V

n + 1

i j

V

n 1

i j

t

= f U

n

i j

g H

y

(

n

i j

n

i j 1

)

+

A

y

2

( V

n 1

i + 1 j

+ V

n 1

i 1 j

+ V

n 1

i j + 1

+ V

n 1

i j 1

4 V

n 1

i j

) ; ( 1 6 )

+ (

y

)

n

i j

C

d

V

n 1

i j

n + 1

i j

n 1

i j

t

=

( U

n

i + 1 j

U

n

i j

)

x

( V

n

i j + 1

V

n

i j

)

y

( 1 7 )

W e w i l l e x e c u t e t h e a b o v e m o d e l n o w o n t h r e e c l a s s e s o f c o m p u t e r s :

( a ) o r d i n a r y s e r i a l c o m p u t e r s s u c h a s t h e S P A R C 2 o r S i l i c o n G r a p h i c s I r i ;

( b ) v e c t o r p i p e l i n e c o m p u t e r s s u c h a s t h e C r a y Y M P , w i t h o n e p r o c e s s o r o r m u l t i t a s k e d

f o r s e v e r a l p r o c e s s o r s .

( c ) m a s s i v e l y p a r a l l e l c o m p u t e r s s u c h a s t h e C M - 2 0 0 o r C M - 5 o f T h i n k i n g M a c h i n e s

C o r p o r a t i o n .

T h e r e s p e c t i v e c o d e s c a n b e f o u n d i n t h e d i r e c t o r y o f t h i s C h a p t e r . W e n o t e t h a t f o r

t h i s s i m p l e e x p l i c i t c o d e t h e o n l y i m p e d i m e n t s t o e i t h e r v e c t o r i z a t i o n o r \ p a r a l l e l i z a t i o n " a r e

c o n t a i n e d i n t h e f r i c t i o n t e r m s . T h e r e i s r e c u r s i o n w h e n s w e e p i n g a g r i d i n c r e m e n t i n g t h e I

i n d e x , f o r t h e n T ( I - 1 ) w i l l h a v e a n e w v a l u e w h e n t h e c o m p u t a t i o n c o m m e n c e s a t p o i n t I

f o r T ( I ) , b u t n e i t h e r i n a v e c t o r p i p e l i n e , n o r i n a m e s s a g e - p a s s i n g p a r a l l e l c o m p u t e r , c a n

t h i s v a l u e b e a c c e s s e d w h e n n e e d e d . T h e s o l u t i o n i s t o i n t r o d u c e a n a u x i l i a r y s t o r a g e v e c t o r ,

s a y T R , i n t o w h i c h t h e v a l u e s T

n 1

a r e l o a d e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h e t i m e s t e p , s o t h a t t h e

r i g h t h a n d s i d e s o f t h e e x p r e s s i o n f o r T

n + 1

a r e c o m p u t e d u s i n g T R , a n d h e n c e u s e t h e c o r r e c t

T

n 1

v a l u e s .

S e e e x e r c i s e s 5 a n d 6 .

3 R e d u c e d G r a v i t y M o d e l s

A s d i s c u s s e d i n s e c t i o n 1 . 1 . 3 , r e d u c e d g r a v i t y m o d e l s a r e a s i m p l e f o r m o f i s o p y c n a l m o d e l s .

T h e s i m p l e s t c a s e , t o b e d i s c u s s e d h e r e , i s t h e \ o n e - a c t i v e l a y e r " ( a l s o r e f e r r e d t o a s 1 . 5

l a y e r ) r e d u c e d g r a v i t y m o d e l , i n w h i c h a t o p l a y e r o f a g i v e n i n i t i a l t h i c k n e s s ( s a y 3 0 0 {

5 0 0 m ) o v e r l a y s a l a y e r o f i n n i t e d e p t h i n w h i c h t h e r e a r e n o m o t i o n s . A p e c u l i a r i t y o f

t h e s e m o d e l s i s t h e f a c t t h a t d e v i a t i o n s o f t h e i n t e r f a c e b e t w e e n t h e t w o l a y e r s ( r e p r e s e n t i n g

e x c u r s i o n s o f t h e p y c n o c l i n e ) a r e m u l t i p l e s o f t h e f r e e s u r f a c e e l e v a t i o n , b y a f a c t o r w h i c h

i s p r o p o r t i o n a l t o t h e r a t i o = , b e i n g t h e d e n s i t y a n d t h e d e n s i t y j u m p b e t w e e n

t h e t w o l a y e r s ( t h e l o w e r o n e b e i n g h e a v i e r , o f c o u r s e ) . T h e d e r i v a t i o n o f t h e a p p r o p r i a t e

e q u a t i o n s , f r o m t h e 3 - D N a v i e r { S t o k e s e q u a t i o n s f o r i n c o m p r e s s i b l e o w o n a r o t a t i n g E a r t h ,


27/71

3 0

w i l l b e g i v e n i n c o n n e c t i o n w i t h i s o p y c n a l m o d e l s i n a l a t e r r e l e a s e o f t h i s c a s e s t u d y . O n l y

t h e e q u a t i o n s f o r t h e o n e - a c t i v e l a y e r m o d e l a r e g i v e n b e l o w .

3 . 1 M o d e l E q u a t i o n s f o r a R e d u c e d G r a v i t y O c e a n

H e r e w e w i l l p r e s e n t t h e m f o r C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s a n d f o r c o n s t a n t f r i c t i o n c o e c i e n t s

o n l y ; t h e e x t e n s i o n t o s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s a n d n o n - c o n s t a n t f r i c t i o n w i l l b e l e f t t o t h e

s t u d e n t . T h e s e e q u a t i o n s a r e g i v e n i n d e t a i l i n H u r l b u r t a n d T h o m p s o n 3 1 ] a n d P r e l l e r a n d

H u r l b u r t 5 5 ] .

@ U

@ t

= + f V g

0

h

@ h

@ x

!

+ (

w

)

x

+ A r

2

U

@

@ x

U U

h

@

@ y

V U

h

@ V

@ t

= f V g

0

h

@ h

@ y

!

+ (

w

)

y

+ A r

2

V

@

@ x

U V

h

@

@ y

V V

h

@ h

@ t

=

@ U

@ x

+

@ V

@ y

!

( 1 8 )

w h e r e ,

~ = ( )

x

; )

y

] | i n t e r f a c i a l s t r e s s c o m p o n e n t s

h | t o t a l u p p e r l a y e r t h i c k n e s s ( m e a n + p y c n o c l i n e + s u r f a c e d e v i a t i o n s )

g

0

| r e d u c e d g r a v i t y i s g =

O t h e r q u a n t i t i e s a r e a s i n t h e b a r o t r o p i c m o d e l .

T h e i n t e r f a c i a l s t r e s s c a n b e r e l a t e d i n a l i n e a r o r a n o n l i n e a r w a y t o t h e v e l o c i t y

j u m p a c r o s s t h e l a y e r s F o r t h e f o r m u l a t i o n o f t h e s e t e r m s a n d a d i s c u s s i o n o f t h e t y p i c a l

v a l u e s u s e d i n m o d e l i n g e o r t s s e e s e c t i o n 2 . 2 . 1 . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e l a t e r a l

w a l l s ( c o a s t l i n e s ) a r e e s s e n t i a l l y t h e s a m e a s w e r e u s e d f o r t h e b a r o t r o p i c v e l o c i t i e s d i s c u s s e d

a t t h e e n d o f s e c t i o n 2 . 1 . W e h a v e d e n e d h t o b e t h e t o t a l u p p e r l a y e r t h i c k n e s s , a n d i t i s

e q u a l t o

h = h

0

+ + P ; ( 1 9 )

w h e r e h

0

i s t h e m e a n ( i n i t i a l u n d i s t u r b e d ) l a y e r t h i c k n e s s , i s t h e f r e e s u r f a c e e l e v a t i o n ,

a n d P i s t h e p y c n o c l i n e d e v i a t i o n . A s n o t e d b e f o r e ,

P = (

) ; ( 2 0 )

w h e r e i s t h e d e n s i t y j u m p b e t w e e n t h e u p p e r a n d l o w e r l a y e r s , ( w i t h t h e l o w e r b e i n g

h e a v i e r ) .

T h e s t u d e n t s h o u l d n o t e t h a t t h e t w o d e f o r m a t i o n s a n d P c o n s t i t u t e o n l y o n e d e p e n d e n t

v a r i a b l e , b e c a u s e o f t h e r e l a t i o n ( 2 0 ) . A l s o , e q u a t i o n s ( 1 8 ) a r e v e r y s i m i l a r t o e q u a t i o n s ( 2 ) {

( 4 ) f o r t h e b a r o t r o p i c o c e a n , w i t h t h e t o t a l u p p e r l a y e r t h i c k n e s s h r e p l a c i n g t h e f r e e s u r f a c e

e l e v a t i o n i n t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n ( 2 ) a n d g

0

r e p l a c i n g g i n t h e p r e s s u r e g r a d i e n t t e r m s


28/71

M i x e d - L a y e r M o d e l s 3 1

i n ( 2 ) a n d ( 3 ) . H o w e v e r , a l s o n o t e t h a t t h e v a r i a b l e u p p e r l a y e r t h i c k n e s s h h a s a l s o r e p l a c e d

t h e t o p o g r a p h y H i n t h e m o m e n t u m e q u a t i o n s , s o t h a t n o w t h e p r e s s u r e t e r m s h a v e b e c o m e

n o n l i n e a r .

4 M i x e d - L a y e r M o d e l s

4 . 1 T h e T u r b u l e n t S u r f a c e L a y e r

T h e s u r f a c e l a y e r s o f t h e o c e a n f o r m a p a r t o f t h e o c e a n { a t m o s p h e r e b o u n d a r y l a y e r s y s -

t e m , a n d a s s u c h a r e d o m i n a t e d b y t u r b u l e n t m i x i n g p r o c e s s e s a n d t h e a i r { s e a h e a t a n d

m o m e n t u m u x e s . T h e s e l a y e r s a r e r e f e r r e d t o c o l l e c t i v e l y a s t h e \ m i x e d - l a y e r " b e c a u s e

t h e r e i s a l m o s t a l w a y s p r e s e n t a t l e a s t o n e h o m o g e n e o u s l a y e r n e a r t h e s u r f a c e i n w h i c h t h e

t e m p e r a t u r e a n d s a l i n i t y p r o l e s a r e c o n s t a n t w i t h d e p t h ( t h e r e s u l t o f m i x i n g ) , a n d t h e

s o u n d v e l o c i t y i n c r e a s e s w i t h d e p t h d u e t o p r e s s u r e e e c t s . T h e b o t t o m o f t h e m i x e d - l a y e r

t h e n m o s t o f t e n r e p r e s e n t s t h e s u r f a c e m a x i m u m o f t h e s o u n d v e l o c i t y p r o l e .

M a n y t i m e s , h o w e v e r , t h e s i t u a t i o n i s m o r e c o m p l i c a t e d , i n t h a t t h e \ m i x e d - l a y e r " i s

a c t u a l l y c o m p o s e d o f a s a n d w i c h o f s e v e r a l h o m o g e n e o u s l a y e r s , e a c h t h e r e s u l t o f d i e r e n t

m i x i n g , c o o l i n g a n d h e a t i n g e p o c h s o n t h e d i u r n a l , s y n o p t i c ( i . e . w e a t h e r ) a n d s e a s o n a l

s c a l e s , o r a n y c o m b i n a t i o n o f t h e s e . D u e t o t h e l i m i t e d s c o p e o f t h i s c h a p t e r w e w i l l p r e s e n t

o n l y t h r e e o f f o u r o f t h e s e c o n g u r a t i o n s , s e l e c t e d o n t h e b a s i s o f f r e q u e n c y o f o c c u r r e n c e

a n d t h e i r e e c t o n a c o u s t i c p r o p a g a t i o n .

T h e b o u n d a r y l a y e r n a t u r e o f t h e n e a r - s u r f a c e l a y e r s h a s s t r o n g i m p l i c a t i o n s f o r t h e

m o d e l s d e s i g n e d t o s i m u l a t e t h e m . T h e p r i n c i p a l r e q u i r e m e n t f o r t h e s e m o d e l s i s t h e c o r r e c t

s p e c i c a t i o n o f t h e u x e s o f m o m e n t u m a n d h e a t a c r o s s t h e a i r { s e a i n t e r f a c e , a n d t h e c o r r e c t

s i m u l a t i o n o f t h e t u r b u l e n t m i x i n g d u e t o s u r f a c e w a v e b r e a k i n g a n d s h e a r o f t h e w i n d - d r i v e n

c u r r e n t s .

D u e t o t h e l a r g e d i s c r e p a n c y i n s p a t i a l s c a l e s b e t w e e n t h e h o r i z o n t a l e x t e n t o f a t m o -

s p h e r i c c y c l o n e s a n d t h e d e p t h o f t h e m i x e d l a y e r , m i x e d - l a y e r m o d e l s h a v e b e e n g e n e r a l l y

c o n s t r u c t e d a s 1 - D m o d e l s , w i t h p r e s s u r e g r a d i e n t s a n d a l l h o r i z o n t a l g r a d i e n t s n e g l e c t e d

( s e e K a n t h a a n d C l a y s o n 3 4 ] , M a r t i n 4 0 ] ) . T h e s e a s s u m p t i o n s a r e v e r y s i m i l a r t o t h e u s u a l

b o u n d a r y l a y e r a p p r o x i m a t i o n s i n h y d r o d y n a m i c s .

4 . 2 T h e M i x e d L a y e r E q u a t i o n s

T h e p r i n c i p a l b a l a n c e i n t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n c o m e s f r o m a b a l a n c e o f m o m e n t u m a c c e l -

e r a t i o n , v e r t i c a l m o m e n t u m d i u s i o n a n d t h e C o r i o l i s f o r c e d u e t o t h e E a r t h ' s r o t a t i o n :

@ U

@ t

=

@

@ z

K

m

@ U

@ z

!

+ f V ; ( 2 1 )

@ V

@ t

=

@

@ z

K

m

@ V

@ z

!

f U ; ( 2 2 )


29/71

3 2

w h e r e U a n d V a r e t h e E { W a n d N { S c o m p o n e n t s o f t h e v e l o c i t y , f i s t h e C o r i o l i s p a r a m e t e r

a n d K

m

i s t h e c o e c i e n t o f t u r b u l e n t m o m e n t u m d i u s i o n . T h e t r a n s p o r t e q u a t i o n f o r

h e a t b a l a n c e s v e r t i c a l d i u s i o n o f h e a t a n d i n c i d e n t s o l a r r a d i a t i o n Q

s

i n 1 - D m o d e l s , a n d

a l s o a d v e c t i o n o f h e a t i n 3 - D m o d e l s ( 1 - D m e a n i n g t h a t t h e s p a t i a l g r a d i e n t s i n o n l y o n e

d i r e c t i o n , i n t h i s c a s e z , a r e r e t a i n e d . I n o t h e r w o r d s , u i d o w i s r e g a r d e d a s h o r i z o n t a l l y

h o m o g e n e o u s ) . T h u s ,

@ T

@ t

=

@

@ z

K

h

@ T

@ z

!

+ Q

s

( 2 3 )

w h e r e T i s t h e t e m p e r a t u r e . T h e r e i s s i m i l a r l y a t r a n s p o r t e q u a t i o n f o r s a l t ,

@ S

@ t

=

@

@ z

K

s

@ S

@ z

!

; ( 2 4 )

w h e r e K

h

a n d K

s

a r e t u r b u l e n t d i u s i o n c o e c i e n t s f o r h e a t a n d s a l t , r e s p e c t i v e l y , a n d S i s

s a l i n i t y .

M o r e r e c e n t l y , t h e s e 1 - D m o d e l s h a v e b e e n e x t e n d e d t o 3 - D t o t a k e i n t o a c c o u n t d i v e r -

g e n c e s i n t h e v a r i o u s u x e s r e s u l t i n g f r o m t h e h o r i z o n t a l i n h o m o g e n e i t y o f t h e w i n d s , a n d t h e

e e c t o f t h e d y n a m i c o c e a n c u r r e n t s t h a t a d v e c t m o m e n t u m , h e a t a n d s a l t o n e v e n s m a l l e r

s c a l e s .

I n t h e a b o v e t r a n s p o r t e q u a t i o n s , w e h a v e u s e d a n a p p r o x i m a t i o n i n t h e t u r b u l e n t d i u -

s i o n t e r m s f o r t h e g e n e r a l i z e d v e r t i c a l t u r b u l e n t u x e s o f m o m e n t u m a n d h e a t , w u , w v , a n d

w t . T h e s e a p p r o x i m a t i o n s a r e o b t a i n e d v i a s o - c a l l e d c l o s u r e p r o c e d u r e s , a s i s u s u a l l y d o n e

i n t h e s i m u l a t i o n o f t u r b u l e n t o w s . A r e v i e w o f t h e s e m e t h o d s f o r g e o p h y s i c a l o w s i s g i v e n

i n a s u r v e y b y M e l l o r a n d Y a m a d a 4 4 ] a n d K a n t h a a n d C l a y s o n 3 4 ] . A n a p p l i c a t i o n o f r s t

a n d s e c o n d o r d e r c l o s u r e p r o c e d u r e s t o t h e o c e a n i c m i x e d l a y e r w a s p e r f o r m e d i n 6 6 ] . F o r

b r e v i t y , w e s h a l l o u t l i n e b e l o w o n l y t h e s o - c a l l e d r s t - o r d e r c l o s u r e o r e d d y d i u s i o n m o d e l s ,

w h e r e t h e v e r t i c a l t u r b u l e n t u x e s w u , e t c . a r e a p p r o x i m a t e d a s f o l l o w s

w u = K

m

@ U

@ z

; ( 2 5 )

w t = K

h

@ T

@ z

; ( 2 6 )

w h e r e t h e K ' s a r e c o m p u t e d f r o m r e l a t i o n s o f t h e t y p e

( K

m

; K

h

) = l q ( S

m

; S

h

) ; ( 2 7 )

w i t h

1

2

q

2

b e i n g t h e t u r b u l e n c e k i n e t i c e n e r g y

1

2

u

i

u

i

, l i s t h e s o - c a l l e d \ i n t e g r a l l e n g t h s c a l e "

o f t u r b u l e n c e , d e n e d a s

l =

Z

0

z

q z d z

Z

0

z

q d z

; ( 2 8 )


30/71

S i g m a - C o o r d i n a t e M o d e l 3 3

a n d S

m

, S

h

a r e s t a b i l i t y f a c t o r s t h a t h a v e a f u n c t i o n a l d e p e n d e n c e o n t h e R i c h a r d s o n n u m b e r

( t h e r a t i o o f t h e v e r t i c a l d e n s i t y v a r i a t i o n t o t h e v e r t i c a l v e l o c i t y s h e a r s q u a r e d ) . I n i t s

s i m p l e s t f o r m , t h i s f a c t o r i s a p p r o x i m a t e d a s ( 1 R i = R i

c

)

, w i t h c o m m o n l y h a v i n g a v a l u e

o f . 5 a n d R i

c

, t h e s o - c a l l e d c r i t i c a l R i c h a r d s o n n u m b e r ( a b o v e w h i c h t u r b u l e n c e c u t s o ) ,

h a v i n g a v a l u e o f . 2 5 . T h e t u r b u l e n c e q u a n t i t y q i s o b t a i n e d f r o m a n e q u a t i o n w h i c h b a l a n c e s

d i u s i o n , s h e a r p r o d u c t i o n a n d b u o y a n c y p r o d u c t i o n d u e t o s t r a t i c a t i o n a g a i n s t s e l f - d e c a y

o f t u r b u l e n c e , b u t i t w i l l n o t b e r e p r o d u c e d h e r e . F o r a m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e s e

m o d e l s , w e r e f e r t h e r e a d e r t o t h e p a p e r s o f M e l l o r a n d Y a m a d a 4 4 ] , K a n t h a a n d C l a y s o n

3 4 ] , a n d M a r t i n 4 0 ] .

4 . 3 B u l k v s . P r o l e M o d e l s

A t t h i s p o i n t w e m u s t i n t r o d u c e t h e c o n c e p t o f b u l k o r p r o l e m o d e l s ( t h e l a t t e r a r e a l s o

c a l l e d d i u s i v e o r d i e r e n t i a l ) , d e p e n d i n g o n w h e t h e r t h e a b o v e e q u a t i o n s a r e v e r t i c a l l y

i n t e g r a t e d t h r o u g h t h e l a y e r , o r l e f t i n t h e i r d i e r e n t i a l f o r m ( a s a b o v e ) . B u l k m o d e l s a l w a y s

p r e s u p p o s e t h e e x i s t e n c e o f a m i x e d l a y e r a n d c o n s i d e r t h e c h a n g e s o f i t s m o m e n t u m a n d

h e a t c o n t e n t d u e t o e n t r a i n m e n t o f h e a t a n d m o m e n t u m a t t h e s u r f a c e a n d a t t h e b o t t o m

o f t h e m i x e d - l a y e r . E x a m p l e s o f b u l k m o d e l s a r e t h e N i i l e r M o d e l 4 7 , 7 ] , a n d t h e G a r w o o d

m o d e l 2 1 ] . T h e p r o l e - t y p e m o d e l c o n s i d e r e d h e r e i s t h e M e l l o r { Y a m a d a m o d e l 4 3 ] w i t h

v a r i o u s d e g r e e s o f t u r b u l e n c e c l o s u r e , k n o w n a s t h e \ L e v e l 2 , 2 . 5 , e t c . " m o d e l . F o r a t h o r o u g h

e x a m i n a t i o n a n d c o m p a r i s o n o f s e v e r a l m o d e l s o f e a c h t y p e t h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o t h e w o r k

o f M a r t i n 4 0 ] a n d K a n t h a a n d C l a y s o n 3 4 ] , w h o u s e d m e t e o r o l o g i c a l d a t a a n d h y d r o g r a p h y

a t s e v e r a l l o c a t i o n s a r o u n d t h e g l o b e t o a s s e s s t h e p e r f o r m a n c e o f e a c h m o d e l .

5 S i g m a - C o o r d i n a t e M o d e l

T h e v e r y r s t 3 - D o c e a n m o d e l s w e r e m u l t i - l e v e l , z - c o o r d i n a t e m o d e l s a p p l i e d t o h i g h l y

i d e a l i z e d o c e a n s r e c t a n g u l a r i n s h a p e a n d u n i f o r m i n d e p t h ( F i g u r e 2 ( a ) ) . T h e r e a l o c e a n s

h a v e c o m p l i c a t e d g e o m e t r y a n d l a r g e c h a n g e s i n b o t t o m d e p t h , r a n g i n g f r o m a v e r y f e w

m e t e r s n e a r t h e c o a s t t o a f e w k i l o m e t e r s i n t h e d e e p b a s i n s . I t i s g e n e r a l l y d i c u l t t o r e s o l v e

t h e w a t e r c o l u m n e q u a l l y w e l l a n d e q u a l l y e c i e n t l y i n b o t h s h a l l o w a n d d e e p r e g i o n s o f a

b a s i n s i m u l t a n e o u s l y . S i n c e t h e n u m b e r o f v e r t i c a l l e v e l s i n a n o c e a n m o d e l i s c o n s t r a i n e d

p r i n c i p a l l y b y e c o n o m i c c o n s i d e r a t i o n s , e i t h e r t h e d e e p o r t h e n e a r - s u r f a c e r e g i o n s h a v e t o

b e s a c r i c e d . T h u s f o r s t r o n g t o p o g r a p h i c v a r i a t i o n s , z - c o o r d i n a t e m o d e l s a r e i n h e r e n t l y

d i s a d v a n t a g e o u s . T h a t i s w h y , w h i l e r i g i d l i d t h r e e - d i m e n s i o n a l z - c o o r d i n a t e m o d e l s h a v e

e n j o y e d w i d e - s p r e a d a p p l i c a t i o n t o d e e p o c e a n b a s i n s , a p p l i c a t i o n s t o s h a l l o w c o a s t a l r e g i o n s

o r b a s i n s w h e r e s h a l l o w r e g i o n s a r e n o t e x c l u d e d a r e q u i t e r a r e . S i n c e t u r b u l e n t m i x i n g p l a y s

a n i m p o r t a n t r o l e i n t h e c i r c u l a t i o n i n t h e e n t i r e w a t e r c o l u m n i n s h a l l o w w a t e r , a b e t t e r

s i m u l a t i o n o f b o t h t h e u p p e r a n d b o t t o m m i x e d l a y e r s i s p o s s i b l e w i t h a t o p o g r a p h i c a l l y

c o n f o r m a l v e r t i c a l c o o r d i n a t e s y s t e m , t h e s o - c a l l e d s i g m a c o o r d i n a t e s y s t e m ( F i g u r e 2 ( b ) ) .

I n a s i g m a - c o o r d i n a t e s y s t e m , t h e n u m b e r o f v e r t i c a l l e v e l s i n t h e w a t e r c o l u m n i s t h e

s a m e e v e r y w h e r e i n t h e d o m a i n i r r e s p e c t i v e o f t h e d e p t h o f t h e w a t e r c o l u m n . T h i s i s


31/71

3 4

a c h i e v e d b y t r a n s f o r m a t i o n o f t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s f r o m z - c o o r d i n a t e t o s i g m a - c o o r d i n a t e

i n t h e v e r t i c a l :

=

z

D

; ( 2 9 )

w h e r e D = H + , i s t h e d e p t h o f t h e w a t e r c o l u m n . N o t i c e t h a t u n l i k e t h e z - c o o r d i n a t e

s y s t e m , w h e r e t h e l a y e r t h i c k n e s s e s a r e u n i f o r m i n t h e h o r i z o n t a l , i t i s t h e n o r m a l i z e d t h i c k -

n e s s e s t h a t a r e u n i f o r m i n t h e s i g m a - c o o r d i n a t e s y s t e m , w h i l e t h e l a y e r t h i c k n e s s e s v a r y

w i d e l y f r o m g r i d p o i n t t o g r i d p o i n t . A l s o n o g r i d p o i n t i s w a s t e d i n t h e v e r t i c a l , u n l i k e

t h e z - c o o r d i n a t e m o d e l , w h e r e h i g h r e s o l u t i o n i n d e e p e r r e g i o n s o f a n o c e a n b a s i n m e a n s i n -

e v i t a b l e l o s s o f t h o s e g r i d p o i n t s i n s h a l l o w e r r e g i o n s . B e s i d e s , t h e s i g m a c o o r d i n a t e e n a b l e s

t h e b o t t o m ( b e n t h i c ) b o u n d a r y l a y e r t o b e b e t t e r r e s o l v e d e v e r y w h e r e i n t h e d o m a i n . I t i s

e a s y t o s e e t h a t a d e q u a t e r e s o l u t i o n o f t h e b e n t h i c l a y e r e v e r y w h e r e i n t h e d o m a i n c a n b e

a c h i e v e d i n z - c o o r d i n a t e s o n l y w i t h t h e u s e o f a p r o h i b i t i v e l y l a r g e n u m b e r o f l e v e l s i n t h e

v e r t i c a l .

H o w e v e r , t h e s e b e n e t s d o n o t c o m e w i t h o u t p e n a l t i e s . W h i l e a l l n u m e r i c a l o c e a n m o d e l s

e x p e r i e n c e d i c u l t i e s i n h a n d l i n g s h a r p t o p o g r a p h i c c h a n g e s f r o m o n e g r i d p o i n t t o t h e n e x t ,

t h e s i g m a - c o o r d i n a t e m o d e l s a p p e a r t o s u e r p r o p o r t i o n a t e l y m o r e . T h e p r o b l e m l i e s i n t h e

c a l c u l a t i o n o f t h e p r e s s u r e g r a d i e n t t e r m s i n t h e m o m e n t u m e q u a t i o n s . I n s i g m a c o o r d i n a t e s ,

s h a r p t o p o g r a p h i c c h a n g e f r o m o n e g r i d p o i n t t o t h e n e x t m e a n s t h a t t h e c a l c u l a t i o n o f t h e

p r e s s u r e g r a d i e n t i n v o l v e s t a k i n g t h e d i e r e n c e b e t w e e n t w o l a r g e t e r m s 2 6 ] a n d t h e r e f o r e

l a r g e r o u n d o e r r o r s . W h i l e t h i s p r o b l e m c a n b e a l l e v i a t e d b y i n c r e a s e d h o r i z o n t a l r e s o l u t i o n ,

i t c a n a l s o b e m i t i g a t e d b y s u b t r a c t i o n o f h o r i z o n t a l a v e r a g e s o f d e n s i t y f r o m t h e d e n s i t y

t e r m s b e f o r e c o m p u t i n g t h e d e n s i t y - g r a d i e n t i n d u c e d p r e s s u r e d i e r e n c e s f r o m o n e g r i d p o i n t

t o t h e n e x t . H o w e v e r , t h e o t h e r p r o b l e m a s s o c i a t e d w i t h s h a r p t o p o g r a p h i c c h a n g e s , n a m e l y

t h e h y d r o s t a t i c i n c o n s i s t e n c y , c a n b e r e d u c e d i n s e v e r i t y o n l y b y s m o o t h i n g t h e h o r i z o n t a l

g r a d i e n t s o f t o p o g r a p h y . I t i s g e n e r a l l y w i s e t o p r o c e s s t h e b o t t o m t o p o g r a p h y w i t h a l t e r

t h a t c a p s t h e r a t i o o f b o t t o m d e p t h s o f a d j a c e n t g r i d p o i n t s b e f o r e u s i n g i t i n t h e m o d e l .

H o w e v e r c a r e m u s t b e e x e r c i s e d t o e n s u r e t h a t t h e t o p o g r a p h y i s n o t s e v e r e l y c o r r u p t e d b y

t h i s p r o c e s s i n g , e s p e c i a l l y o v e r t h e s h a l l o w c o a s t a l r e g i o n s .

A s m e n t i o n e d e a r l i e r , t h e u p p e r a n d b o t t o m m i x e d l a y e r s c o n s t i t u t e a s i g n i c a n t f r a c t i o n

o f t h e w a t e r c o l u m n f o r c o a s t a l o c e a n s a n d t h e r e f o r e p l a y a v e r y i m p o r t a n t r o l e i n t h e

d y n a m i c s o f t h e r e g i o n . I t i s t h e r e f o r e e s s e n t i a l t o p a r a m e t e r i z e t h e v e r t i c a l m i x i n g a s

a c c u r a t e l y a s p o s s i b l e . ( F o r a d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f s o l v i n g f o r t u r b u l e n c e q u a n t i t i e s i n t h e

g e o p h y s i c a l c o n t e x t , s e e M e l l o r a n d Y a m a d a 4 3 ] a n d K a n t h a a n d C l a y s o n 3 4 ] ) . S e c o n d

m o m e n t c l o s u r e o f t u r b u l e n c e , w h i c h i n v o l v e s s o l v i n g t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s f o r R e y n o l d s

t u r b u l e n c e s t r e s s e s ( t h e s e c o n d m o m e n t s o f t h e v e l o c i t y e l d ) , p r o v i d e s o n e m e a n s o f d o i n g

t h i s . T h e m o d e l t o b e d i s c u s s e d i n c o r p o r a t e s t h i s f e a t u r e . T h e e v o l u t i o n o f t h e u p p e r m i x e d

l a y e r a n d t h e b e n t h i c b o u n d a r y l a y e r a r e t h e r e f o r e s o m e w h a t m o r e r e a l i s t i c u n d e r b o t h w i n d

s t i r r i n g a n d s u r f a c e h e a t u x e s .

F i n a l l y , p r o c e s s e s s u c h a s t i d e s a n d s t o r m s u r g e s a r e q u i t e i m p o r t a n t a s p e c t s o f s h a l l o w

w a t e r c i r c u l a t i o n a n d t o s i m u l a t e t h e s e e e c t s , t h e r i g i d l i d a p p r o x i m a t i o n h a s t o b e r e v o k e d

a n d f r e e s u r f a c e d y n a m i c s i n c l u d e d . S i n c e t h i s r e s u l t s i n s e v e r e t i m e s t e p l i m i t a t i o n s d u e

t o c o n s t r a i n t s i n

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