O^ao^ r -. ^^ ^ ^Ac^v15750/notes/lec15-flows.pdf6' ^(z^/- W>j^» J c^~ H^. ^awi ^la^JL ca^ 30 ^A ^A...

13
O^ao^ r -. ^^ ^ ^Ac^v .. ^c^U. ^f^^: I: Task -^^A , -^ u^ ^^..^ ^j>^»^ ft /& . --^. ^/^ ^^^<^^ s^c^"i^' ^d. j^W^ ^t ^ , " ^^r-^ sc^al[^"^f &f:-"^^^^^-^^ -. ^'^T-"^"^^7 ^ ^^ -/^ a. ^ A^ . ". 6<tr::, :^, :^^-- »,, "^^^--"'^ . if ^ c^^ ^r^d ^s:'f- ^J-~ a -ff ^^ . H^A. mayi^'l^y 'Z ^ ^ 03 y^. ^^ ^2. ^Uc^ Q^^^'^ ^-f . how fo ^^ ^^ ^tio^s1' ^^hiy^-^^ - <^z.

Transcript of O^ao^ r -. ^^ ^ ^Ac^v15750/notes/lec15-flows.pdf6' ^(z^/- W>j^» J c^~ H^. ^awi ^la^JL ca^ 30 ^A ^A...

Page 1: O^ao^ r -. ^^ ^ ^Ac^v15750/notes/lec15-flows.pdf6' ^(z^/- W>j^» J c^~ H^. ^awi ^la^JL ca^ 30 ^A ^A fe 'f^z ^^ic- ^"^j^f '^-c^\r^^. ^^^^y ^f--^.-fi v^ :

O^ao^ r -. ^^ ^Ac^v ..

^c^U. ^f^^: I: Task -^^A

, -^ u^ ^^..^^j>^»^ ft /& . --^.

^/^ ^^^<^^ s^c^"i^'^d. j^W^ ^t ^

,

" ^^r-^ sc^al[^"^f&f:-"^^^^^-^^-. ^'^T-"^"^^7

^ ^^ -/^ a.^ A^ .

". 6<tr::, :^, :^^--»,,"^^^--"'^

.if ^ c^^ ^r^d^s:'f- ^J-~

a -ff ^^

.H^A. mayi^'l^y 'Z ^

^ 03 y^.^^ ^2.^Uc^ Q^^^'^ ^-f .

how fo ^^ ^^ ^tio^s1'

^^hiy^-^^- <^z.

Page 2: O^ao^ r -. ^^ ^ ^Ac^v15750/notes/lec15-flows.pdf6' ^(z^/- W>j^» J c^~ H^. ^awi ^la^JL ca^ 30 ^A ^A fe 'f^z ^^ic- ^"^j^f '^-c^\r^^. ^^^^y ^f--^.-fi v^ :

^ s- ^.^

si~.

<~TN

Ai ^- <^

^/ ^ -V ^ -^ ^ ^ .^ ^

?. ^

~

rtT -4-

^ s s' s- ^ ^

i - (to

<^

^ !? ^- r I^

^ ^ <t^ f c^

TV-

-^^- s

^

"^ s

-

^ s

^

^ Oh~ §. .t '^ v-^

/\ ^ ^. s.

1^'

^~-^

^ ^ 1. -?

^ c^

$ ^

-^A ^

^ .

A'

4 ^

^S

- In

^^ ^

^'

^

i- ;i ^

<s ^

^ ^ r ^ f ^-

.^ ^- ^

^ >-

^ ^' ^

-^^ ^

0s t

~^

^'

11

£J.

^'

^' ^- i ^ ^

Page 3: O^ao^ r -. ^^ ^ ^Ac^v15750/notes/lec15-flows.pdf6' ^(z^/- W>j^» J c^~ H^. ^awi ^la^JL ca^ 30 ^A ^A fe 'f^z ^^ic- ^"^j^f '^-c^\r^^. ^^^^y ^f--^.-fi v^ :

'^fS^i^y^f.

'V^ilf^C^ j^^Jj/1 '^. >^\/1 <»

^-^1^^- ^ r^ ^'i^^^w'q^^ swy^ /-^^ '

<w>?*9^<!'9y ^

.y^y^ ?y f 0'^ ^"' ^

^^ .-^^ ,.r^-^-^^^^ y v ^ ^v 'lwvv

.., (^a^yfff -v^r ^Jr) y^]as ^i ^

.

(^ ^ w; ."^1</ "'" ^

.^1

^y^ = -w ^^

.

{^yv ^3^ -^^

^.^£ ^./5^ -1\CVL

9\^vt y^l^l!^ )

' ^v Tf^ ^^ »?'</'

. f^ ^-H ^ "r^w -sww-f^^ ^ (;f/^/sw^^w^/^^^W ^

9 ^.^W ^.^ >7^? ^^ -k/ ^

^U-'l^^W ., ^^y ^7^ ^

Page 4: O^ao^ r -. ^^ ^ ^Ac^v15750/notes/lec15-flows.pdf6' ^(z^/- W>j^» J c^~ H^. ^awi ^la^JL ca^ 30 ^A ^A fe 'f^z ^^ic- ^"^j^f '^-c^\r^^. ^^^^y ^f--^.-fi v^ :

p^ ^h^^:

1>^^JY^

S 0.

^ S^O&f ACX/U J-^-^-0^^vt c-^ /

<^r- ^^^

^ k A)^^.0 °

^tfl oftt^ wd^

0c

0

^

^^rna^ ^ 5

^^. ^.. - ^^^-<-/ " ,

^.- [N«^ ^ ^ ^cle^ ^ frjfl^' fVWf .. ^^ s^^^

oac<^ yw/^ch^fW 0 ^ -f( ) < C^fCe).

^ z:'^ ° ^'^ w ^^^^e^pu. fo^^^ ~ ' i^hf^f^^

fi^.. -W ^ S^s ^ ^^ ftf"a ^^^'

Pf .. ^ (i.) ffV^ rtl ^f^t n^- ^ wwf tdve^ '"^y^adef caMO^ffi^. Uff- ift)'^i

Z^J = Z'^;ep^s fi^/ojfc

^ is & (W<^ ^ h^ -fi^-Kvb^M C^ p^) - F/^ fto^ ^r /vit /M<^^^ ^^.

Page 5: O^ao^ r -. ^^ ^ ^Ac^v15750/notes/lec15-flows.pdf6' ^(z^/- W>j^» J c^~ H^. ^awi ^la^JL ca^ 30 ^A ^A fe 'f^z ^^ic- ^"^j^f '^-c^\r^^. ^^^^y ^f--^.-fi v^ :

[^ *^ .. ^re.^ .

fi^^ ^^ ^^ ^ p^-fi>^' ^^.,7 1 ^^J~>-ft^. lUisdZf, l^^*v^-

So \ ^^th C&^ahf ^fs^ l^lA^^^7^°^fI y ^ }

2)/^o/-^ ^<^"2'

1^ .. ^^, b^ ^ fwlh]'hi i ^dd^

^4 .. ^ ^-^ ^r'/£-) w '^/-," ^ ,^« - (^ - A^- ^ , ^ ^^

^{^-fie)s>

c^^-fle) ^ ^c^w^ca-fCe)

IA^1

^AA

^)

A ^.^ C£L^ u.ndo.

NOLOIK -^OtU /^ ^J^^ .'

< 9\v \1 b

s \ ,

<£r< ^^

(, -p.

|M^k) w ^ ^ .r^, fc i^ r^ic^^ 5^ . ^-^tl M. . ^^= YY^-ftv ^ ^ ^

Page 6: O^ao^ r -. ^^ ^ ^Ac^v15750/notes/lec15-flows.pdf6' ^(z^/- W>j^» J c^~ H^. ^awi ^la^JL ca^ 30 ^A ^A fe 'f^z ^^ic- ^"^j^f '^-c^\r^^. ^^^^y ^f--^.-fi v^ :

IA/A/^ 1^^ ^^f /?^ &v^ ^^»? ^^ Ai^f ?(3^{-pn ^iy'/iyfw -^. (f &^. ^^e/)Pl^/ ht?{f^o ^M^Y-A/^O^^/^lJ

Ki^ /(.. 'f f^ f^^^ ^i s^d- j (/> 'fi'^0 <^f '^/i -ff-^-bf^^ pvi^r-

W-.- C?^. ^ C^f>Ce) -^ y^OT*) M^ y.

^--/fa^tA^ ^3--fte)^^^) < c^j-ff^^ \'bgC<Wl ^^^u^ 4-^A^^ </^ol{ ye{Ucc<S.

i)A(k <iQ r^\ ^{-ff^^d 6 -

0 S (foJCa; ^ ^^.

A^fo. - f^3 ^f^ -ffoi^c^ye^^^ ^ y-i^A^^o.^f- <Jilj iM^TY^

^d!y

SiM'lV-V^f <2Ut fys)^ .

^^.^^, ^.d -^ M^//^^ ^ ^^A^. /^i^A CT*.

J^; ^^ -^- v> ft^ft-fc -ffei^ i^ ^

-f w ^nj o^

^ (F--^) ^ a. /f&i^c^ ^

ra^- flow c^e^-v^^, ro ^ /' hft^^ C^b^.6. [p^^-^}j

^ P(e)>, f(e) -n^ ^ p(e}-f(e)^^^^-

cr '^'lTfe- /^\ «^

p'^^

. /^- Ffe)<^J -^K ^£ -ffeJ-P^)^^^^-6.t"M

1^ ^f P-J?

Page 7: O^ao^ r -. ^^ ^ ^Ac^v15750/notes/lec15-flows.pdf6' ^(z^/- W>j^» J c^~ H^. ^awi ^la^JL ca^ 30 ^A ^A fe 'f^z ^^ic- ^"^j^f '^-c^\r^^. ^^^^y ^f--^.-fi v^ :

a

'^?OZ// t^WW/^^Hf ('? ^- ^!P^ ^10^ <^=

y-^ ?ny^A 7/v-^4? /tf^vch^

^y, 3j .^y cg-/^ y ^ ^i ''<v'^%/<

?^y/^</^ Twl WK?? -^^ .^ c^<^ v ^3^ w\/h .^

. ^t»*t</ -^^^ ^U^A a^t/Tyy^ /^/^ ^ 2w!7l| ^ : ^N

'^^ l^l = (^5))^ 4- /5)}^ 7 ?"7^ W^.^^^^/i^ ^ ^.p^ / in ^05

(y cy^ K^ ? ^ ^o/ ^v T}

^ Y \^^ r3^3 -^ YTO<^ l'vtf<Lf- ^

^rvj -^-rro VO

'^^-?y^y -^ <!^ sy^A^^^^ ^

. 9^}v/i yiof^- ^ f/'^^^^r ^yi<? ^-v ^ Gj^vJ^ '7-Pyywic/

?r^^>6 ^\i^^ ff 7^^ ^ ^ p7<^ yvTvot 4/<? ^

-^ wr»7<^,^/j^z^ -o <rv^ T.^ Iy^Kt^ 9c^c7%^-^ o^ 'y<?<f} ^ss^^jS^^^^ ^^r

Page 8: O^ao^ r -. ^^ ^ ^Ac^v15750/notes/lec15-flows.pdf6' ^(z^/- W>j^» J c^~ H^. ^awi ^la^JL ca^ 30 ^A ^A fe 'f^z ^^ic- ^"^j^f '^-c^\r^^. ^^^^y ^f--^.-fi v^ :

^ r ^

^ ^-

.c

.T s ^.

^~f

45 -? Jt

^-

J ^) s T5. ^

^ ^ ? i &

s ? ^ r $. s ^ i -? t ^ r ^

^? £

r ^ I t

(^ -^ -^ 1 ~n -^ r s ?. a ?T ^^ ^ ^

? Wt M I

C^J

? * 5 -^0

-^> i ^-

^5

(TS

^.-\>

^- ! s ^ c>'

-s

-s 4- v 0

'~~

N^

s ^ i <^N. -^ s.^

-^ j -?

^ r^ g.^

^

^- -I 1.

? ^^-

t .? ^ -§ ?- -Sh -1^ \^>

^ $-

^ ^ ^

^^

,a> ^1 ^ ^

i^~

2"

0''

h ^.

s -^ ^ -^ ^. ?. \-^

1

Page 9: O^ao^ r -. ^^ ^ ^Ac^v15750/notes/lec15-flows.pdf6' ^(z^/- W>j^» J c^~ H^. ^awi ^la^JL ca^ 30 ^A ^A fe 'f^z ^^ic- ^"^j^f '^-c^\r^^. ^^^^y ^f--^.-fi v^ :

Sff afp^W^^ 4^

<^a.y.<wo^ c^^U^^^f "r^'A^/y ^ ^pwf-hbL ^^ipkf

^k^ al/^ca^ jO^r t>^e.)

^/.^s'-

^

p^ofle

r<0

0

P. C>

jokj

0^,0^

oi.

edge he^^) P^^^i:jp^ a»w e/o f^S^J.

}N^t^ /w^' M ^l^'^-f/^

^^^Lj^ ^^^"y^P°/^^ om 'JD^ f>e^ ^J

-^^ ^ ^ys^ fe^ j)b

^

^y"'e,

0 0

SO _^^0

a i0

C\fft(V^'-

3^^^^ B ^-r^^

Ok

Ft

<-=:> 3 -ffoi^ ^h ff ^ V"^& .^I^M^W 'f-(e)v^es

^^Y

<t^^\^

Page 10: O^ao^ r -. ^^ ^ ^Ac^v15750/notes/lec15-flows.pdf6' ^(z^/- W>j^» J c^~ H^. ^awi ^la^JL ca^ 30 ^A ^A fe 'f^z ^^ic- ^"^j^f '^-c^\r^^. ^^^^y ^f--^.-fi v^ :

-^ ^{^<W! ^VW^ ^^^/na^fy f^a4^u^ kh A^^fi r^

(44 ^i^i OC^'P^) ^ oC^^)

a^^^^fer. C^^<t1AM^l^e)^b we^A. ^ mA -^M^ -. //I^(L }Q^UAJL> ^ ^M

'' , ~ ' . P/£>^^o y^^-hip ma^^Aftf^ ^a^boi^^eu ^M c^ctne)

Page 11: O^ao^ r -. ^^ ^ ^Ac^v15750/notes/lec15-flows.pdf6' ^(z^/- W>j^» J c^~ H^. ^awi ^la^JL ca^ 30 ^A ^A fe 'f^z ^^ic- ^"^j^f '^-c^\r^^. ^^^^y ^f--^.-fi v^ :

l"'-^ . .y.WK^ CT^ K^^S- (Vl*^.<^>

d!<^vynM

/i ^<)]V

<^yrw

\

0

/^^ (^

0<^^ ^ ^^ --v

0> n; ^^rx^yv

^ })V

^ (^^^Y^/ -'Wi!?^.

</[Q]^^W. ^|

^y<-

^WV4

o'<,

^

^

-^ <T r^9l< /^' ay^OS <y^vy ^.

^^,^^^) ^3 ^-^y^v r^("OH

Q=:^lZ. ^/VK'y/^^

'Yfv^yrw osy^Voy J^yf-v^ ^ b r"V3WS

^ ayw^

.

o?= ^ -^/^Lj^Q! T^f^y

0^^u1} ^ f^f^^^ ^^n^ ^V ^ ^^-/^ ^^^ ^ ^^

.^ ?y

^ -t? imef^Q]^^^^^ i-^ M^u 0;-= .- ^^ ^^ <"'/ ' ' ' , ^1W<^0 l^y»

^yia^p->( ^)^ ^ ^^ -^W^CI r^y yu/ T^^ ^ .^^

(^^vu^s ^^1 . p7«/j ^)i<y ^y^r\^f .. 9^^

Page 12: O^ao^ r -. ^^ ^ ^Ac^v15750/notes/lec15-flows.pdf6' ^(z^/- W>j^» J c^~ H^. ^awi ^la^JL ca^ 30 ^A ^A fe 'f^z ^^ic- ^"^j^f '^-c^\r^^. ^^^^y ^f--^.-fi v^ :

]-Pf!^ T^r^ w/^wt<7<7j?<via/

y^.'r '^' ^vws -^^?l4^uoc^^

'

f 9W)<1 V ^<7 yi^y WO) ~)

/_ = "^ ^MBWp

-. ^»^ ^ »yo^ 4^?' ^ yQU w' .1^

^&3[ Y^ 'r9\*^<l

rrfyr>j ^n>^ :s^?^

yr^i -yw^ (^t-(v?

rf^J^G O^M \M ^Cp^<y o^<

Ot$)7^ya:;

py»wi^0p -5

vyv^^ A0o^(^ i^yi

^ATp)<3 <y

(9)^01 - ^ -^0)^1 +n(T ^ ^"1

0-^), ^d] ^v^d^

= WV^)

Jr^^<^^^=(^01

)^

^ . Tnvw^rc? ^ ^^ ^ TP'^'5'n . ^

^c^o?/' v ^nj~g ^<q

. 0 ^Iyj9 ^ /»7<?^/ Ca;^@^<7/ ./'^ 3^ .^'m;'^

Q^fo>)^<9P7c^ : yywiQCf ^yvf9^ ^f\H e^^pQ .yv^ffy ^W3^ ^y

(7)^ <lv^'Ap Tpvwwt^^ . (-^1/\) =ff J^fff y^lirY9^ ^ wryyfV^

\yywvu«p pvi^^) .5^w0cf A9rvl0j *yi^ (VK?^ ; i</tjvi^p(g

Page 13: O^ao^ r -. ^^ ^ ^Ac^v15750/notes/lec15-flows.pdf6' ^(z^/- W>j^» J c^~ H^. ^awi ^la^JL ca^ 30 ^A ^A fe 'f^z ^^ic- ^"^j^f '^-c^\r^^. ^^^^y ^f--^.-fi v^ :

Eyvjl J& b .. diQj^wi& = i< f^fitt^ (^Df- -mxA^ IA^ ^(.^

^> c^+ <^ ^-^ ).o - ^f TirM

^T

-b fiflWL^

^i^t /^x>SLe

(^W~^-A04^6'

^(z^/- W>j^»J

c^~ H^. awi la^JL ca^ 30 ^A ^A fe 'f^z ^ic- ^"^j^f '^-

c^\r^^. ^^^^y ^f--^.

-fiv^ : <ffffy^ ff^i pl^^^, <vu<5l ^l\ j^A. ^o4 L ^ "^ <CJtfT= '1

fi^LKA : A ^toiJ ^<5i24(^L^ ^U2

AM<%»A

(^Pu^d- ^^\ l^f<^ /PO^^U

<^>^h^- '^yv^v^t^. ^* ^A'lCuL

k ^IM^ .J

a^. ^\o^ -. ^si^c^e. ^

^ <2XAA-<^>^ -f^r^^ALj ^^L R^ ft^^^.^ ve^ch^i ^^- yy^<^p^f3J.

y