number-theory
description
Transcript of number-theory
ทฤษฎจีํานวนเบื้องตนทฤษฎจีํานวนเบื้องตนทฤษฎจีํานวนเบื้องตนทฤษฎจีํานวนเบื้องตนทฤษฎจีํานวนเบื้องตนทฤษฎจีํานวนเบื้องตนทฤษฎจีํานวนเบื้องตนทฤษฎจีํานวนเบื้องตน ((((((((IIIIIIIInnnnnnnnttttttttrrrrrrrroooooooodddddddduuuuuuuuccccccccttttttttiiiiiiiioooooooonnnnnnnn ttttttttoooooooo NNNNNNNNuuuuuuuummmmmmmmbbbbbbbbeeeeeeeerrrrrrrr TTTTTTTThhhhhhhheeeeeeeeoooooooorrrrrrrryyyyyyyy))))))))
�������������� �� �����������ก������ ��
��� ““““�� ���������!"��#��”””” � $�%& 4
��%�� ��(!���)%� *
�������������� ��� ���������������������������������� ���� !�" �.%. 2537 *�� www.thai-mathpaper.net
�+��+�
��������������� ��� �����+,�� �� - 4 /�01���� ������ 15 � �� -34��������0�� 1��5�� *����������
�ก-������ก�� 78901���� :��������ก;��� 78901�����+,�%���� -�ก��:ก���ก������5-�����<��%����: �
���* ก ก�%5ก8��ก-��ก�� 78901����05�:�ก:�����ก�+��ก��� /�������!��%5ก8����+ ��05��1���/�� %5ก8�ก�����ก-������ ���:ก� ก��� ���� ����������ก ����4<������� : �01�����=��� �1�����������
������� ��� ���� 34�����������-�������-���������ก���*�:>�� ��������������������
��-����0�ก� - 1 0�%5ก8� 789� �ก-��ก��ก��� ���� ����������ก : �����4<������� ����/�
� - 2 0�ก ���?5�01�����=���: � 789����@ �ก-��ก��01�����=��� : �+A� ���/�� - 3 ������-����ก�
��*�:>�� ���������� �����+,��������-������������������ ��=�����0��+,�+�*����ก��34��������������กก;���� ��ก ���34�����
��������:������������������ก;����?������ก��34�������������� � -/�����/���;��B���
����� !� �����%�7 !�" 22 ��8��� �.%. 2549
�+��+�,�ก���������-�.ก
�ก�+��+���������������� ��� ��������+,�����:ก *��34�����������1�:���1�0�ก���%�D<�E ���� /�����-�������������ก-��ก��ก� ���ก�� (congruence) ����������� B5-�34�����ก;��;������������05����������
��������ก-��ก��ก� ���ก���������+,�� - 4 ���0�ก��-����ก���*�:>�� ����������
��5-� 34������������<���%�D<�E ���� -���/���1�:���1�/�ก�+��+���������������� ���������+,�
�������-� �1����34����� -��1�:���1��������ก�����ก;����?������ก��34����������� -��4� -/���������;��B���
����� !� �����%�7 !�" 30 ��?����� �.%. 2549
����(
�%%& 1 ก��� ���! 1 � 8
1.1 ก��� ���� 1
1.2 ����������ก 4
1.3 ����4<������� 7
�%%& 2 1+��!��23�� 9 � 13
2.1 01�����=��� 9
2.2 789� �ก-��ก��01�����=��� 11
�%%& 3 ��ก���6�.7��%���� ���8� 15 � 21
3.1 ��ก���*�:>�� ���������� 15
�%%& 4 ก� ���ก�� . �ก� ���ก���� ���8� 23 � 37
4.1 ����1�����ก�����* 23
4.2 ก� ���ก�� 24
4.3 ���������ก� ���ก�� 28
4.4 ก� ���ก���������� 32
�����ก� 37
� � � � � �
�%%& 1
ก��� ���!
1.1 ก��� ���!
0�ก� ����� 1.1 ?�� a �� b ���� ��/����� �ก8<���� a | b : �/�ก< - a �� b ��� ����0�/����� �ก8<� ��� a F b
��!��$��%& 1.1 3 | 12 ���-��0�ก�01������;� 4 - 1�/�� 12 = (3)(4)
� 3 | 12 ���-��0�ก�01������;� �4 - 1�/�� 12 = (�3)(�4)
(� 3) | (�12) ���-��0�ก�01������;� 4 - 1�/�� �12 = (�3)(4)
3 | (�12) ���-��0�ก�01������;� �4 - 1�/�� �12 = (3)( �4) �
3 �;1�� ก1����/�� a, b, c �+,�01������;�/�@ *�� - a, b ≠ 0
�������� a | b : � b | c
*��� �����0������� b = am : � c = bk ���-� m, k �+,�01������;�������
������� c = (am)k = a(mk) : � mk �+,�01������;�
��-���� a|c �
3 �;1�� ก1����/�� a, b, c �+,�01������;� -����+,�%4���
�������� a | b : � a | c
������� b = ap : � c = aq *�� - p, q �+,�01������;�
�%� ��� 1.1
ก1����/�� a, b �+,�01������;�*�� - a ≠ 0 0�ก ������ a �� b ����ก;������-� b = ac �1����01����
��;� c ���01����
%)�<�% 1.1
ก1����/�� a, b, c �+,�01������;�/�@ *�� - a, b ≠ 0 ?�� a | b : � b | c : �� a | c
%)�<�% 1.2
ก1����/�� a, b, c �+,�01������;� -����+,�%4��� ?�� a | b : � a | c : �� a | (bx + cy) �1����01������;�
x, y /�@
2 %)�<1+��!����-���8�
0������� bx = (ap)x = a(px) -----(1)
: � cy = (aq)y = a(qy) -----(2)
*�� - x, y �+,�01������;� (1) + (2); bx + cy = a(px) + a(qy) = a(px + qy)
���-� px, qy �+,�01������;�
����=����� *��� ����� 1.1 0������� a | (bx + cy) �������ก� �
�������� ���0�� bx + cy ��ก��� �ก������������ (linear combination) �1����01������;� x, y ������B5-�� +�*����/�ก���3 �= ������ก���*�:>�� �� � ��0���-����-�@ /� 78901����
3 �;1�� ก1����/�� a, b, c �+,�01������;� -����+,�%4���
�������� a | b 0�����������01������;� k - 1�/�� b = ak
0������� bc = (ak)c = a(kc) ���-� kc �+,�01������;�
*��� ����� 1.1 0������� a | bc �������ก� �
��!��$��%& 1.2 �1����01������;���ก n /�@ 0�:������ 7 | (23n � 1)
! �%+� ���-��0�ก������� -������ก����40�������ก-������ก��01������;���ก /� -��05�/��� �ก��+��������<���
%���� �����
�������: /�� n = 1 0������� 7 | (23(1) � 1) = 7 | 7 �+,�0��
������� P(1) �+,�0��
��������: /�� n = k �������� P(k) �+,�0��
������� �������� 7 | (23k � 1) 0�:������ P(k + 1) ��� 7 | (23(k + 1)
� 1)
0�ก 23(k + 1) � 1 = 2
3k ⋅ 23
� 1
= 8 ⋅ 23k � 1
= (7 + 1) ⋅ 23k � 1
= 7 ⋅ 23k + 1 ⋅ 23k
� 1
= 7 ⋅ 23k + (2
3k � 1)
0�ก�����E��0������� 7 | (23k � 1) : �0���;���������� 7 | 7 ⋅ 23k
����=����� P(k + 1) �+,�0��
*��� �ก��+��������<��%���� 0������� 7 | (23n � 1) �1����01������;���ก n /�@ �
%)�<�% 1.3
/�� a, b, c �+,�01������;� -����+,�%4��� ?�� a | b : �� a | bc
�� ���������!"��#�� 3
��!��$��%& 1.3 �1����01������;���ก n /�@ 0�:������ 24 | (2 ⋅ 7n + 3 ⋅ 5n
� 5)
! �%+� ���40��*��� �ก��+��������<��%����
�������: /�� n = 1 0������� 24 | (2 ⋅ 71 + 3 ⋅ 51
� 5) = 24 | 24
������� P(1) �+,�0��
��������: /�� n = k �������� 24 | (2 ⋅ 7k + 3 ⋅ 5k
� 5)
0�:������ 24 | (2 ⋅ 7k + 1 + 3 ⋅ 5k + 1
� 5)
��0�<� 2 ⋅ 7k + 1 + 3 ⋅ 5k + 1
� 5 = 2 ⋅ 7k ⋅ 7 + 3 ⋅ 5k
⋅ 5 � 5
= 14 ⋅ 7k + 15 ⋅ 5k
� 5
= (12 + 2) ⋅ 7k + (12 + 3) ⋅ 5k
� 5
= 12 ⋅ 7k + 2 ⋅ 7k
+ 12 ⋅ 5k + 3 ⋅ 5k
� 5
= 12 ⋅ (7k + 5
k) + (2 ⋅⋅⋅⋅ 7k
+ 3 ⋅⋅⋅⋅ 5k � 5)
*�������E��0������� 24 | (2 ⋅ 7k + 3 ⋅ 5k
� 5) : �0���;���������� 24 | 12 ⋅ (7k + 5
k)
����=�����*��� �ก��+��������<��%����0������� 24 | (2 ⋅ 7n + 3 ⋅ 5n
� 5) �1���� �ก01������;���ก
n /�@ �
.��=>ก��� 1.1
1. ก1����/�� a, b, c �+,�01������;� -����+,�%4��� 0����40�������������+��
1) ?�� a | b : � a | c : �� a | (b + c)
2) ?�� a | b : �� am | bm ���-� m ∈ Z
3) ?�� a | b : �?�� a | (b + c) : �� a | c
4) ?�� a | b : �?�� a | (bx + cy) : �� a |c ���-� x, y ∈ Z
5) ?�� b | c : � a | cb
: �� ab | c
6) ?�� b | c : � cb
| a : �� c | ab
2. �1����01������;���ก n 0����40�������������+��
1) 3 | (22n � 1)
2) 2 | (n2 � n)
3) 3 | (n3 � n)
� � � � � �
4 %)�<1+��!����-���8�
1.2 ��!��$!���ก
��!��$��%& 1.4 0��� �..�. ��� 32 ก�� 48
! �%+� :�ก���+�ก����� 32 ก�� 96 ��������
32 = 2 ⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅ 2
48 = 2 ⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅ 3
0���;������� ���+�ก�������� 32 ก�� 48 ���:ก� 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16
����=����� �..�. ��� 32 ก�� 48 � ��ก�� 16 �
�������� ก��� �..�. /��������� - 1.4 ��0/���ก��!ก���5-�ก;��� ����� ���-��0�ก 1, 2, 4, 8, 16, 32 �� 32 ��� ���� (�� ��� �32, �16, �8, �4, �2, �1) : ����-��0�ก 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 �� 48 ��� ���� (�� ��� �48, �24, �16, �12, �8, �6, �4, �3, �2, �1) ���ก ���
�ก�����5-�ก;��� 01��������@ �� �����+,����+�ก����� 32 : � 48 ��� 1������-���� B5-�34�����0�
��;���� ��� 32 : � 48 ����ก;� 16 �+,����+�ก����� : ��+,����+�ก����� -������ก -�������
����=����� 05���+������ �..�. ��� 32 ก�� 48 � ��ก�� 16 ��-����
����������ก� 789� -�����/0��ก��� /� -��0��ก��/����0�<�������� 789� ���� -�� ��0�
�ก�+�+,�:��LMก��� ��ก0�ก����: ������?����������0�ก�1������ก-��ก�� 78901����/���������%5ก8�
��� �ก� ��
3 �;1�� 0�ก d = (a, b) 0������� d | a : � d | b
������� 0��01������;� m, k -B5-� a = dm : � b = dk
������� �a = �dm = d(�m) ���-� � m �+,�01������;� /� 1��������ก�� �b = �dk = d(�k) ���-� � k �+,�01������;�
�%� ��� 1.2
ก1����/�� a, b �+,�01������;� -����+,�%4��� (��������� -���01����/�01������5-���������+,�%4���) : ����
0�ก ������ d ∈ Z �+,�����������ก (greatest common divisor : gcd) ���01������;� a, b ก;������-�
1) d | a : � d | b
2) ?�� c ∈ Z *�� - c | a : � c | b : �� c | d
%)�<�% 1.3
ก1����/�� a, b �+,�01������;� -������������/������5-���������+,�%4��� : �/�� d = (a, b) �+,� �..�. ���01������;� a, b : ��0������� (a, b) = (�a, b) = (a, �b) = (�a, �b)
�� ���������!"��#�� 5
��-���� d | (�a) : � d | (�b)
*��� ����� 1.2.1 0������� (�a, �b) = (�a, b) = (a, �b) �
����+���+,� 789� -�1���� 789� ��5-�B5-��ก-������ก������������ก �����
34�����0���+A� ��������������� ����������!ก��������� ��� (Euclidean Algorithm) ��� 789� ���
�+��
789� 1.4 ก�� 789� 1.5 �ก����40�� -������ก�ก���+ 34�����05��� �� ���40�������� 34����� -��/0
����?����������0�ก�1���ก-��ก�� 78901����/���������%5ก8�
��!��$��%& 1.5 0��� �..�. ��� 128 ก�� 320 [(128, 320)] ���� �����01������;� x, y - 1�/�� (128, 320) = 128x + 320y
! �%+� ก�����-���0������� (128, 320) *��/�� 789� 1.5 �����
320 = 2 ⋅ 128 + 64
128 = 2 ⋅ 64
������� (128, 320) = 64 ������� ��0�������01������;� x, y - 1�/�� 64 = 128x + 320y
%)�<�% 1.4
ก1����/�� a, b �+,�01������;� -����+,�%4�������ก�� : �/�� d = (a, b) : ��0��01������;� x, y
-B5-� d = ax + by
%)�<�% 1.5 ?�-����! �ก���?����� � �1����01������;���ก a, b
?�� a = bq1 + r1 0 ≤ r1 ≤ b
b = r1q2 + r2 0 ≤ r2 ≤ r1
r1 = r2q3 + r3 0 ≤ r3 ≤ r2
⋮
rk � 2 = rk � 1qk + rk 0 ≤ rk ≤ rk � 1
rk � 1 = rkqk + 1
: �� rk = (a, b)
6 %)�<1+��!����-���8�
������?��01������;� x, y ���ก ������*������ก����ก��� �..�. *�����������!ก������
��� �������
64 = 320 � 2 ⋅ 128
= 128(�2) + 320(1)
����=����� 01������;� x, y -����ก���� �2 ก�� 1 ��� 1���� �
.��=>ก��� 1.2
1. 0��� �..�. ��� 24 ก�� 50 ���� ������40���1������� �������
2. /�� a, b, c, d �+,�01������;� : � d = (a, b) 0����40�������������+��
ก) ( )a bd d
, = 1
�) (a + bc, b) = (a, b)
�) ?�� (a, b) = 1 : � a | bc : �� a | c
3. ?�� d | (35n + 26), d | (7n + 3) : � d > 1 0�:������ d = 11
4. /�� a, b, m �+,�01������;� -����+,�%4���: �� (m, ab) = 1 ก;������-� (m, a) = 1 = (m, b)
5. 0����40�����?�� a, b �+,�01������;���ก�4�: �� (a, b) = 2 ⋅ ( )a b2 2
,
6. 0����40�����?�� a �+,�01������;��4�: � b �+,�01������;��-: �� (a, b) = ( )a2
, b
7. 0����40�����?�� a, b �+,�01������;�*�� - (a, b) = 1 : �� (an, b
n) = 1 �1���� �ก@ 01������;�
��ก n
8. 0����40����� 7 �������?����/����4�/�4+ก�������������� 18,209 ก�� 19,043
� � � � � �
�� ���������!"��#�� 7
1.3 ��!�;�$!��8��
��!��$��%& 1.6 0��� [24, 40]
! �%+� ���-��0�ก 24 = 23 ⋅ 3
: � 40 = 23 ⋅ 5
0���;���� ����4<��� -�+,�01������;���ก���� -������:ก� 23 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120
����=����� [24, 40] = 120 �
����+���+,� 789� -�1����@ �ก-��ก������4<������� /���� 789� -�����ก ���?5�0����ก�+�+,�
:��LMก���
789� 1.6 ����?���40���������*��/��� ������������4<������� : ����������!ก��������� ��
( 789� 1.5) 34�����05��� ����/��34�����:���ก����40���+,�:��LMก���
789� ����+���+,� 789� -:�������������!������� �..�. : � �..�. ���01������;�/�@ B5-�
�������+�*������ก/�ก< -�� ������ �..�. ��� �..�. ���01������;��4�/� ก;����?�� �..�. ���
�..�. -�� ����� ��
�������� 789� 1.7 ��0��1��+/�����*��������40�� 34����� -��/0����?����������0�ก�1���ก-��ก�� 789 01����/���������%5ก8�
�%� ��� 1.3
ก1����/�� a, b �+,�01������;� -����+,�%4��� (��������� -���01����/�01������5-���������+,�%4���) : ����
0�ก ������ m ∈ Z �+,�����4<������� (least common multiple : lcm) ���01������;� a, b ก;������-�
1) a | m : � b | m
2) ?�� c ∈ Z *�� - a | c : � b | c : �� m | c
%)�<�% 1.6
/�� a, b, m �+,�01������;�/�@ *�� - a, b ����+,�%4�������ก��: �� m = [a, b] ก;������-� m > 0,
a | m, b | m : � m | n �1����01������;� n �ก��� -�+,�����4<������ a : � b
%)�<�% 1.7
ก1����/�� a, b �+,�01������;� *�� - a ⋅ b ≠ 0 : �� [a, b] = a b(a, b)⋅
8 %)�<1+��!����-���8�
.��=>ก��� 1.3
1. 0����40�� 789� 1.6
2. 0�:������ �..�. -�����/��������� - 1.6 �+,�0��
3. ก1����/�� a, b, c �+,�01������;���ก 0�:������ [ca, cb] = c ⋅ [a, b]
4. 0����40����� a | b ก;������-� [a, b] = | b |
5. ก1����/�� a, b �+,�01������;���ก: �� 0�:������ [a, b] = a ⋅ b ก;������-� (a, b) = 1
6. ก1����/�� a, b �+,�01������;���ก 0�:������ (a, b) | [a, b]
� � � � � �
�%%& 2
1+��!��23��
2.1 1+��!��23��
��!��$��%& 2.1 0���0�<�01��������+�� 01����/������+,�01�����=��� : �?��01����/�����+,�01�����=���
: ��0�:�ก���+�ก��/����4�/�4+3 �4<���01�����=���
21, 37, 53, 69, 91, 111, 323, 301
! �%+� ���-��0�ก 21 = 3 ⋅ 7 ������� 21 ����+,�01�����=���
37 = 1 ⋅ 37 ������� 37 �+,�01�����=���
53 = 1 ⋅ 53 ������� 53 �+,�01�����=���
69 = 3 ⋅ 23 ������� 69 ����+,�01�����=���
91 = 7 ⋅ 13 ������� 91 ����+,�01�����=���
111 = 3 ⋅ 37 ������� 111 ����+,�01�����=���
323 = 17 ⋅ 19 ������� 323 ����+,�01�����=���
301 = 7 ⋅ 43 ������� 301 ����+,�01�����=��� �
0�ก�������� - 2.1 0���;�������01�����=������4���ก��� : �����+��0���� ����� ��ก�<��%������� ���40��������: ����� 01�����=��������01������ก����+,������� ����+��0��+,� 789� -:������ �1����
01������;���ก �ก��� -��กก������� ��ก�� 2 0������+,�01�����=��� ������ก;�+,�3 �4<���01�����=���
� ������ �����
3 �;1�� ��0����40�� 789� ������� �ก��+��������<��%���� �������: n = 2 0���;�����������+,�0�� ������� 2 �+,�01�����=���
��������: /�� k �+,�01������;���ก *�� - k ≥ 2
�%� ��� 2.1
�1����01������;���ก P /�@ ?�� P ���������� 1 : � P � ������ ��0�ก ������ P �+,�01�����=���
(Prime numbers) : �?�� P ����+,�01�����=���: ��0�ก ������ P �+,�01����+�ก�� (composite numbers)
%)�<�% 2.1
�1����01������;���ก n ≥ 2 : �� n 0��+,�01�����=���������ก;�+,�3 �4<���01�����=���
10 %)�<1+��!����-���8�
0�:������ 789� �+,�0���1����01������;���ก 2 < n ≤ k
?�� k + 1 �+,�01�����=��� :������ 789� �+,�0�� :��?�� k + 1 ���/��01�����=���
0�ก� ����� 2.1 0������� k + 1 �+,�01����+�ก��
��-���� 0��01������;� p, q -B5-� 2 < p ≤ k : � 2 < q ≤ k : � k + 1 = pq
:��0�ก�����E���������� p, q �+,�3 �4<���01�����=���
����=����� 789� ���+,�0���1����01������;���ก n = k + 1
*��� �ก��+��������<��%���� 0������� 789� ���+,�0���1����01������;���ก n ≥ 2 �
789� ����+��0�����/����������/0������ 01������;���ก n -ก1����/�������+,�01�����=������
01����+�ก�������
3 �;1�� /�� n �+,�01������;���ก : ��+,�01����+�ก��
������� 0��01������;� a, b -B5-� n = ab *�� - 1 < a ≤ b < n
:�� n = n ⋅ n 0������� a ≤ n
?�� a �+,�01����+�ก��
*�� 789� 2.1 0������� a ��������+�ก���=��� : ����������
n �����+,����+�ก���=������ a ����
��-���� ���+�ก���=������ n �����������������กก��� n �
��!��$��%& 2.2 0���0�<���� 1001 �+,�01�����=������01����+�ก�� ?���+,�01����+�ก��/������/�
4+���3 �4<���01�����=�������
! �%+� 0�ก 789� 2.2 �� ����� 1001 = 31.64
: ��� ���ก���01�����=��� -����ก�� 31.64 ���:ก� 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31
:�����-��0�ก 11|1001 :������ 1001 ����+,�01�����=��� : �0������� 1001 = 11 ⋅ 91 �
3 �;1�� ��0����40�� 789� ����������������:���
*�����������01�����=��� k ��� (�01�����=���01�ก��) �� ����� 2, 3, 5, 7, 11, 13, 4, pk �+,�01�����=���
?����ก1����/�� n = (2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 4 ⋅ pk) + 1
%)�<�% 2.2
�1����01������;���ก n ?�� n �+,�01����+�ก��: �� n 0������01����+�ก�� -���������กก��� n
%)�<�% 2.3
�01�����=�����ก����+,�01����������
�� ���������!"��#�� 11
0���;���������� (n � 1)|(2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 4 ⋅ pk)
������� n F (2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 4 ⋅ pk)
��-�:������ n �����+,�01�����=��� ������ก;�01�����=��������-�@ �ก B5-����:���ก�������E��
����=����� ����?���40���������01�����=�����ก����+,�01�����������������ก� �
.��=>ก��� 2.1
1. 0����40����� 161, 051 �+,�01����+�ก��
2. 0����40����� �1����01������;���ก p ?�� p �+,�01�����=���: �� p �+,�01������ก��
� � � � � �
2.2 %)�<�%�ก&�!ก��1+��!��23��
01�����=���� 789� ��ก��� :��/� -��0��ก����0�<������������� ������ 34����� -��/0����?
����������0�ก�1���ก-��ก�� 78901����/���������%5ก8�
��!��$��%& 2.3 0�:������ 27 ก�� 35 �+,�01�����=�������� !�ก��
! �%+� *�� 789� 1.4 ��0�����:���/��������
1 ����?����/����4�/�4+ 1 = 27x + 35y �1����01������;� x, y ������
������� 35 = 27 ⋅ 1 + 8
27 = 8 ⋅ 3 + 3
8 = 3 ⋅ 2 + 2
3 = 2 ⋅ 1 + 1
2 = 1 ⋅ 1 + 1
����ก����ก�������� ���-���01������;� x, y -����ก�
0�ก 1 = 3 � 2 ⋅ 1
= 3 � (8 � 3 ⋅ 2)
= (27 � 8 ⋅ 3) � (8 � 3 ⋅ 2)
= (27 ⋅ 1 � (35 � 27 ⋅ 1) ⋅ 3) � ((35 � 27 ⋅ 1) � (27 � 8 ⋅ 3) ⋅ 2)
�%� ��� 2.2
01������;���ก a, b �+,�01�����=�������� !�ก�� (relatively prime) ก;������-� (a, b) = 1
12 %)�<1+��!����-���8�
= 27 ⋅ 1 � 35 ⋅ 3 + 27 ⋅ 3 � 35 ⋅ 1 + 27 ⋅ 1 + 27 ⋅ 2 � (35 � 27 ⋅ 1) ⋅ 3 ⋅ 2
= 27 ⋅ 7 � 35 ⋅ 4 � 35 ⋅ 6 + 27 ⋅ 6
= 27 ⋅ 13 + 35(� 10)
����=����� �01������;� x = 13, y = �10 - 1�/�� 1 = 27x + 35y
*��� ����� 2.2 05���+������ 27 ก�� 35 �+,�01�����=�������� !�ก���������ก� �
3 �;1�� /�� a, b �+,�01������;� : � p �+,�01�����=���
�������� p | ab 0�ก� ����� 1.1 0��������01������;� k -B5-� ab = kp
������� p �+,����+�ก���=������ ab
�������� p | a 0������� 789� ���+,�0��
���������+��� p Fa
:�� p �+,�01�����=��� *��� ����� 2.2 0������� (a, p) = 1
����=����� 0�ก:��LMก��� 1.2 ��� 2 (�) 0���� p | b �������ก� �
3 �;1�� /�� a, b �+,�01������;� : � d = (a, b)
�������� a = Md : � b = Nd
:�� d > 0 (��������� �..�.) ������� M = ad
: � N = bd
����ก�:������ ( ad
, bd
) = 1
0�ก d = (a, b) *��� ����� 1.2 0������� d |a : � d | b
: �*��� ����� 1.1 0��01������;� p, q - 1�/�� a = pd : � b = qd
������� ad
= p ⋅ 1 : � bd
= q ⋅ 1
0������� 1 |( )ad
: � 1 |( )bd
����=����� *��� ����� 1.2 0������� ( ad
, bd
) = 1
:�� M = ad
: � N = bd
*��� ����� 2.2 0������� M, N �+,�01�����=�������� !�ก��
�������ก� �
%)�<�% 2.4
/�� a, b �+,�01������;� : � p �+,�01�����=��� ?�� p | ab : �� p | a ��� p | b
%)�<�% 2.5
/�� a, b �+,�01������;� : � d = (a, b) ?�� a = Md : � b = Nd : �� M ก�� N �+,�01�����=���
����� !�ก��
�� ���������!"��#�� 13
��+A� �����������: �� - 2 ��-��01�����=������� 789� -�1�����ก 789� ��5-� ���:ก� 789�
� �ก�4 ���� ��<�� (Fundamental Theorem of Arithmetic) �������+��
��0��1� 789� 2.6 �+/�����*��������40�����������������+��
��!��$��%& 2.4 0�:�ก���+�ก����� 136 /�4+3 �4<���01�����=���
! �%+� ���-��0�ก 136 = 8 ⋅ 17
:�� 8 ����+,�01�����=��� : ��� ����� 8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 23
������� 136 ����?����/����4�/�4+3 �4<���01�����=��������� 23 ⋅ 17 �
��!��$��%& 2.5 0��� (160, 224) : � [160, 224] ��� 1����*��/�� 789� 2.6
! �%+� ���-��0�ก 160 = 5 ⋅ 25 : � 224 = 7 ⋅ 25
0���;���� ��� 160 : � 224 ����+�ก�������� 25 : � 25 | 160 : � 25 | 224
������� *��� ����� 1.2 0������� (160, 224) = 25 = 32
: ����-��0�ก 5 ⋅ 7 ⋅ 25 = 1,120 �+,�����4<������ ������01���� : ��������� -�������
������� *��� ����� 1.3 0������� [160, 224] = 1,120 �
.��=>ก��� 2.2
1. 0�:������ 147 ก�� 323 �+,�01�����=�������� !�ก�� ���� �����3 ��ก����������� 147 ก�� 323
2. 0����40����� ?�� k �+,�01������;���ก: �� 3k + 2 : � 5k + 3 �+,�01�����=�������� !�ก��
� � � � � �
%)�<�% 2.6
/�� a �+,�01������;���ก -��กก��� 1 : ������?���� a /����4�/�4+3 �4<���01�����=����������
�%%& 3
��ก���6�.7��%���� ���8�
3.1 ��ก���6�.7��%���� ���8�
��!��$��%& 3.1 ��ก�����+����ก�/��+,���ก���*�:>�� �� ก) 3x
2 + 2y
2 = 5
�) 4x + 3y = 1
�) 3x3 � y
3 = 0
! �%+� *��� ����� 3.1 0���;���������ก�/���� ก) � ��� �) ���: ��:���+,���ก���*�:>�� �� ���-��0�ก
ก) ����:+ -�ก-������ 2 ������ x, y : ��3 �= ��+,�01������;������������5-�3 �= � ���
x = 1, y = 1
�) ����:+ -�ก-������ 2 ������ x, y : ��3 �= ��+,�01������;������������5-�3 �= � ���
x = 1, y = � 1
�) ����:+ -�ก-������ 2 ������ x, y : ��3 �= ��+,�01������;������������5-�3 �= � ���
x = 0, y = 0 �
�1����/������� ��0���0�<�������ก���*�:>�� ����������B5-��+,�ก< -���� -���ก��� 34����� - ��/0�ก-��ก����ก���*�:>�� ������������� (Non�linear Diophantine Equation) ����?����������0�ก�1��
�ก-��ก�� 78901����/���������%5ก8�
�%� ��� 3.1
��ก���*�:>�� �� (Diophantine Equation) ��� ��ก� -����:+�ก-��������กก�����5-���� : ��3 �= �
�+,�01������;�
�%� ��� 3.2
��ก���*�:>�� ���������� (Linear Diophantine Equation) ��� ��ก���*�:>�� �� -��4�/�4+
a1x1 + a2x2 + a3x3 + 4 + anxn = b ���-� a1, a2, a3, 4, an, b �+,�01������;� : � ai ≠ 0 �ก@ 1 ≤ i ≤ n
16 %)�<1+��!����-���8�
��!��$��%& 3.2 ��ก�/��������� - 3.1 ��ก�/����� -�+,���ก���*�:>�� ����������
! �%+� 0�ก� ����� 3.2 0���;������ก� -�+,���ก���*�:>�� ���������� ���:ก� ��ก�/���� �) ���-��0�ก� x, y �+,����:+ : �����+��� !�"�+,�01������;� �
0�ก -����0�<�������:����� *���=�����ก� 4x + 3y = 1 ���ก ����+: �������ก����3 �= ���5-� - �+,�01������;�:��@ ��� x = 1 : � y = � 1 :�����-�����0�������� �����: ������� x = � 2 : � y = 3
ก;�+,�3 �= ������ก� 4x + 3y = 1 �ก���� ��-�:������3 �= ������ก���*�:>�� ������������0���� ��กก�����5-�3 �= � :��ก��� -��0��+��0�<��ก-��ก��ก���3 �= ������ก���*�:>�� ����������0���
/��������ก-��ก�� �3 �= �� �����ก���*�:>�� �����ก��������
��5-� /���������0���0�<��=�����ก���*�:>�� ����������������:+: �������:+� ������
��!��$��%& 3.3 0���3 �= � �-��+ : �3 �= ��=����������ก� 4x + 3y = 1
! �%+� 0�ก��ก� 4x + 3y = 1
� ��กก1�0�����:+ x 0������� 3y = 1 � 4x
������� y = 13
� 43
x
?��/�� x = t *�� - t �+,����:+����
0���� y = 13
� 43
t �+,�3 �= � �-��+�����ก���*�:>�� ���������� -ก1����/��
: �?��: ���� t = 1 �/�3 �= ��=�����ก;0������� x = 1 : � y = �1 �+,�3 �= ��=�����
�����ก� ��*�:>�� ���������� -ก1����/�� �
�%� ��� 3.3
01������;� x1, x2, x3, 4, xn -: ����/���ก���*�:>�� ���������� a1x1 + a2x2 + a3x3 + 4 + anxn = b
: �� 1�/����ก��+,�0����ก��� �3 �= ������ก���*�:>�� ����������� (����+��0�����ก����@ ���
�3 �= ��) 1) ����ก3 �= � -+�ก���+�������:+����/�@ B5-��+,�01������;���� �D �2 �%�&!���
(general solution)
2) ����ก3 �= � -+�ก���+����01������;� -:����� ���3 �= � -���0�กก�: ����01����
��;�/�3 �= � �-��+��� �D �2 ��23����� (particular solution)
�� ���������!"��#�� 17
��!��$��%& 3.4 0���3 �= � �-��+�����ก� 2x + 6y = 7
! �%+� 0�ก��ก� 2x + 6y = 7
� ��กก1�0�����:+ x 0������� 6y = 7 � 2x
������� y = 76
� 13
x
0���;���� ������0�: ���� x -�+,�01������;�/�@ ก;��� y 0��+,�01������;������� ������� ��ก�������3 �= � -�+,�01������;� �
0�ก����������� -3�����0���;������� ����� �ก+�ก��/�@ ��� ��ก���*�:>�� ����������������:+
�ก@ ��ก�0��3 �= � ������� 05��� �ก�ก<N� -0���0�<������ก�/��3 �= ���� 789� ����+��
3 �;1�� ก1����/�� ax + by = c : �/�� d = (a, b)
��0�:���ก�:���� ���40�� 789� ����ก�+,� 3 ��������� �$!�%& 1 0�:������ ?�� dFc : ����ก�0�����3 �= �
���-���������ก��0����40����������������������:���� �� -
������� 05�0�:������ ?����ก����3 �= �: �� d |c
����������ก����3 �= � �������/�� x0, y0 �+,�3 �= ����ก ���
������� ax0 + by0 = c
:��0�ก d = (a, b) ������� d | a : � d | b
*�� 789� 1.2 ��0������� d | (ax0 + by0)
����=����� d | c �������ก�
�$!�%& 2 0�:������ ?�� d | c : ����ก���0��3 �= �
�������� d | c �������0��01������;� k -B5-� c = dk
:��0�ก d = (a, b) *�� 789� 1.4 0��������01������;� p, q -B5-� d = ap + bq
������� c = (ap + bq)k = a(pk) + b(qk)
0������� x0 = pk : � y0 = qk �+,�3 �= ���5-������ก���
%)�<�% 3.1
ก1����/�� ax + by = c �+,���ก���*�:>�� ����������������:+ : �/�� d = (a, b) ?�� dFc
: ����ก�0�����3 �= � :��?�� d | c : ����ก��3 �= � : ��3 �= ��+,�01����������: �?�� �����
x0, y0 �+,�3 �= ���5-������ก�: �� 3 �= � �-��+�����ก�0���4�/�4+
x = x0 +( )bd
n : � y = y0 �( )ad
n ���-� n �+,�01������;�/�@
18 %)�<1+��!����-���8�
�$!�%& 3 0�:������ ?����ก����3 �= �: �� 3 �= �0����������� : ���4�/�4+
x = x0 + ( )bd
n : � y = y0 + ( )ad
n ���-� n �+,�01������;�/�@
����������ก��3 �= � ������� /�� x0, y0 �+,�3 �= ������ก��� 0������� ax0 + by0 = c
������� (ax + by) � (ax0 + by0) = c � c = 0
0���� ax + by = ax0 + by0
a(x � x0) = b(y0 � y) -----(3.1.1)
���-��0�ก d > 0 (��������� �..�.) ������� ��� ����ก� (1) ���� d 0����
ad
(x � x0) = bd
(y � y0) -----(3.1.2)
*��� ����� 1.1 0������� bd|( )a
d(x � x0)
: �0�ก:��LMก��� 1.2 ��� 2 (ก) : � (�) 0������� bd| (x � x0)
*��� ����� 1.1 0������� x � x0 = bd
n �1�������01������;� n
��-���� x = x0 + ( )bd
n -----(3.1.3)
: ���� x 0�ก��ก� (3) �/���ก� (2) 0�������
ad ( )b
dn = b
d(y0 � y)
y0 � y = ( )ad
n
��-���� y = y0 � ( )ad
n �
��!��$��%& 3.5 0���3 �= � �-��+�����ก� 4x + 3y = 1
! �%+� ���-��0�ก (3, 4) = 1 : � 1|1
������� *�� 789� 3.1 �����������ก����3 �= � -�+,�01������;�:�����
: �3 �= ����ก �����4�/�4+ x = x0 + ( )bd
n : � y = y0 � ( )ad
n
0�ก�������� - 3.1 �� �����3 �= ���5-������ก������ x0 = 1, y0 = �1
������� 3 �= � �-��+��� x = 1 + 3n : � y = �1 � 4n ���-� n �+,�01������;� �
��!��$��%& 3.6 0���3 �= � �-��+�����ก� 12x + 28y = 4
! �%+� ���-��0�ก (12, 28) = 4 : � 4 | 4 ������� ��ก����3 �= �
/��3 �= ���4�/�4+ x = x0 + ( )bd
n : � y = y0 � ( )ad
n
��0��������� x0, y0 *��/�����������!ก��������� �� ( 789� 1.5) �����
�� ���������!"��#�� 19
28 = 2 ⋅ 12 + 4
12 = 3 ⋅ 4
������� 4 = 28 � 2 ⋅ 12
= 12(�2) + 28(1)
0���� x0 = �2, y0 = 1
������� 3 �= � �-��+��� x = �2 + 7n : � y = 1 � 3n ���-� n �+,�01������;� �
��!��$��%& 3.7 0���3 �= ������ก� 121x + 33y = 99
! �%+� ���-��0�ก (121, 33) = 11 : � 11 | 99
������� ��ก����3 �= � : �/��3 �= ���4�/�4+ x = x0 + ( )bd
n : � y = y0 � ( )ad
n
*�����������!ก��������� ��0�������
121 = 3 ⋅ 33 + 22
33 = 1 ⋅ 22 + 11
22 = 2 ⋅ 11
������� 11 = 33 � 1 ⋅ 22
= 33 ⋅ 1 � 1 ⋅ (121 � 3 ⋅ 33)
= 4 ⋅ 33 � 1 ⋅ 121
�4<� ����ก����� 9 0������� 99 = 33(36) + 121(�9)
����=����� 3 �= ���5-���� x0 = �9, y0 = 36
������� 3 �= � �-��+��� x = �9 + 3n : � y = 36 � 11n ���-� n �+,�01������;� �
��!��$��%& 3.8 ������� A : �������� B ���ก�����ก�� �������� ��ก�� 55 �� ���-� 1�ก�0���������
����� ������� A ����?0��/����ก�����-����:?� � 5 ����� ����������� B ก;����?
0��/����ก�����-����:?� � 6 ����� ���/���+���E;ก�8���ก-��ก��01����:?����������� A
: �������� B
1) 01����:?����������� A < 01����:?����������� B
2) 01����:?����������� A = 01����:?����������� B
3) 01����:?����������� A > 01����:?����������� B
4) ��+������ ! �%+� /�� x = 01����:?�/�������� A
y = 01����:?�/�������� B
20 %)�<1+��!����-���8�
������� 01������ก���/�������� A : �������� B � ��ก�� 5x : � 6y ��� 1����
0������� 5x + 6y = 55 -----(3.1.4)
*��� ����� 3.2 0���������ก� (3.1.4) �+,���ก���*�:>�� ����������
���-��0�ก (5, 6) = 1 : � 1 | 55 *�� 789� 3.1 ��ก� (1) �3 �= ��+,�01������;�
: �/��3 �= ���4�/�4+ x = x0 + ( )bd
n : � y = y0 � ( )ad
n
0�ก 1 = 5 ⋅ (�1) + 6 ⋅ 1 -----(3.1.5)
�4<� ����ก� (3.1.5) ���� 55 0���� 55 = 5 ⋅ (�55) + 6 ⋅ 55
������� 3 �= ���5-������ก���� x0 = �55, y0 = 55
0����3 �= � �-��+�����ก� ��� x = �55 + 6n : � y = 55 � 5n ���-� n �+,�01������;� 0�ก*0 �� 0���;����������ก�3 �= ��=����� -�+,�01������;���ก� ������
������� x ≥ 0 : � y ≥ 0
0������� �55 + 6n ≥ 0 : � 55 � 5n ≥ 0
������� n ≥ 9 : � n ≤ 11
0���;���� 01������;� n -����ก���� n = 10
05����3 �= ��=�������� x = �55 + 6(10) = �55 + 60 = 5
: � y = 55 � 5(10) = 5
����=����� ��+������01����:?����������� A = 01����:?����������� B �
�������� ����0:ก�+P���/��������� - 3.8 ����ก��!��5-�*��� ��:��ก�:ก�+P���/��������� - 3.3 ก ������
� ��ก�������:+��5-�/����4�/�4+�ก���:+��5-� ����� 0�ก 5x + 6y = 55
� ��กก1�0�����:+ x 0���� 6y = 55 � 5x
������� y = 556
� 56
x
0���;���� x = 5 � ������ - 1�/�� y = 5 > 0 �
�������� -0�ก ���?5�����+���+,�ก���3 �= ������ก���*�:>�� ����������������:+ B5-��� �กก�
����@ ก;��� ����:+ �/���� �������� : ��/��ก���3 �= ������ก���*�:>�� ����������������:+���-�
��3 �= �������:+ -�� ��������/�4+������:+ -����+
�� ���������!"��#�� 21
��!��$��%& 3.9 0���3 �= � �-��+�����ก� 2x + 3y + 4z = 6
! �%+� ������� 2x + 3y + 4z = 6
������� (2x + 4z) � 6 = � 3y = 3(� y)
0������� 3 | ((2x + 4z) � 6) ��� (2x + 4z) ≡ 6 (mod 3)
:�� 6 ≡ 0 (mod 3) 0������� (2x + 4z) ≡ 0 (mod 3)
���ก;��� 2x ≡ � 4z (mod 3)
���-��0�ก 2 ≡ � 1 (mod 3) 0���� 2x ≡ �x (mod 3)
0������� �x ≡ �4z (mod 3)
*�� 789� 4.3 0������� x ≡ 4z (mod 1)
?��ก1����/�� z = m ∈ Z 0������� x = 4m + n �1����01������;� n
: ���� x, z �/���ก�*0 ��0���� 3y = 6 � 4m � 2(4m + n) = 6 � 12m � 2n
����=����� y = 2 � 4m � 23
n
:�����-��0�ก������ก�3 �= � -�+,�01������;�
������� ?����/�� n = 3k �1����01������;� k ก;0������� y = 2 � 4m � 2k
0����3 �= ������ก� ���
x = 4m + 3k,
y = 2 � 4m � 2k,
z = m �1���� m, k ∈ Z �
.��=>ก��� 3.1
1. 0���0�<������ก���*�:>�� ���������� -ก1����/������+���3 �= ������� ?��� 0�����3 �= �
�-��+����
1) 17x + 13y = 100
2) 1402x + 1969y = 1
3) 101x + 102y + 103z = 1
� � � � � �
�%%& 4
ก� ���ก�� . �ก� ���ก���� ���8�
4.1 ��!�+��� �ก�����6 (modulo)
ก��� -0��+��0�<��� ������ก-��ก��ก� ���ก��: �ก� ���ก����������/�� �� 0���ก ���?5�
����1�����ก�������5-�B5-�������1����: �� -/��/� 78901�����+,�01������ก *����ก�<��%������ก���
�1�����ก�������� �����* � (modulo) ���� ���������+��
��!��$��%& 4.1 0����������+�� 1) 16 (mod 3)
2) 15 (mod 3)
3) �16 (mod 3)
4) �15 (mod 3)
5) 0 (mod 6)
6) �1 (mod 6)
! �%+� 1) ���-��0�ก 16 = 5(3) + 1
������� 16 (mod 3) = 1
2) ���-��0�ก 15 = 5(3) + 0
������� 16 (mod 3) = 0
3) ���-��0�ก �16 = �5(3) � 1
������� 16 (mod 3) = �1
4) ���-��0�ก �15 = �5(3) + 0
������� �15 (mod 3) = 0
5) ���-��0�ก 0 = 0(6) + 0
������� 0 (mod 6) = 0
6) ���-��0�ก �1 = 0(6) � 1
������� �1 (mod 6) = � 1 �
�%� ��� 4.1 ��!�+��� �ก�����6 (modulo: mod)
ก1����/�� a, m �+,�01������;�/�@ : � m > 0 : �� a (mod m) ����?5� �%8 -���0�กก��� a ���� m
: ���ก m ��� ����� ��� (modulus)
24 %)�<1+��!����-���8�
.��=>ก��� 4.1
1. 0����������* 6 �1����01������;���ก 20 ���:ก
2. 0����������* 7 �1����01������;���ก 20 ���:ก
3. 0����������* 21 �1����01������;���ก����:�� 100 � 120
4. 0����������* 19 �1����01������;���ก����:�� 171 � 200
5. 0�����*+:ก��������������-����������* 31 �1����01������;���ก 100 ���:ก
� � � � � �
4.2 ก� ���ก�� (congruence)
��!��$��%& 4.2 0�ก�������� - 4.1 0�����/����4�/�4+ a ≡ b (mod m)
! �%+� 1) ���-��0�ก 3 | (16 � 1) ������� 16 ≡ 1 (mod 3)
2) ���-��0�ก 3 | (15 � 0) ������� 15 ≡ 0 (mod 3)
3) ���-��0�ก 3 | (�16 � (�1)) ������� �16 ≡ �1 (mod 3)
�1������� 4) � 6) ��/��34����� �� 1��+,�:��LMก������ �
����+���+,� 789� -�����/0�ก-��ก��ก� ���ก�� 789� /� -������ก ���?5�0�����4�/�:��LMก���
������������34�������0����������-��������0�ก�1���ก-��ก�� 78901����/���������%5ก8�
3 �;1�� /�� a, b, m �+,�01������;�: � m > 0
(fl) �������� a ≡ b (mod m)
*��� ����� 4.2 0������� m | (a � b)
*��� ����� 1.1 0������� a � b = km �1�������01������;� k
������� a = b + km -----(4.2.1)
*�� 789� 1.5 0��01������;� q, r - 1�/�� b = qm + r -----(4.2.2)
�%� ��� 4.2
ก1����/�� a, b, m �+,�01������;�/�@ : � m > 0 : �� a ���ก�� b ����* m ก;������-� m | (a � b)
: �/����� �ก8<� a ≡ b (mod m) : � �a ���ก�� b ����* m�
%)�<�% 4.1
ก1����/�� a, b, m �+,�01������;�: � m > 0 : �� a ≡ b (mod m) ก;������-� a (mod m) = b (mod m)
�� ���������!"��#�� 25
0���;���� m �� b �� ���%8� ��ก�� r ����+: ������ก� (4.2.2) �/���ก� (4.2.1) 0�������
a = (qm + r) + km
= (q + k)m + r
0���;���� m �� a �� ���%8� ��ก�� r ����ก��
����=����� a (mod m) = b (mod m) �������ก�
(›) �������� a (mod m) = b (mod m)
*�� 789� 1.5 0��������01������;� q1, q2, r1, r2 B5-� a = mq1 + r1 : � b = mq2 + r2
*�� - 0 ≤ r1 ≤ m : � 0 ≤ r2 ≤ m 0������� r1 = a � mq1 : � r2 = b � mq2
:��0�ก�����E�� ��0������� r1 = r2
������� a � mq1 = b � mq2
a � b = mq1 � mq2 = m(q1 � q2)
*��� ����� 1.1 0������� m | (a � b)
����=����� *��� ����� 4.2 0���� a ≡ b (mod m) �������ก� �
3 �;1�� ก1����/�� a, b, c, d, m �+,�01������;�/�@ *�� - m > 0, a ≡ b (mod m) : � c ≡ d (mod m)
1) 0�ก a ≡ b (mod m) : � c ≡ d (mod m)
*��� ����� 4.2 0������� m | (a � b) : � m | (c � d)
: �*��� ����� 1.1 0������� a � b = k1m : � c � d = k2m �1�������01������;� k1, k2
������� a = b + k1m -----(4.2.1)
: � c = d + k2m -----(4.2.2)
��ก� (4.2.1) + ��ก� (4.2.2); a + c = (b + k1m) + (d + k2m)
������� a + c = (b + d) + (k1 + k2)m
0������� m | [(a + c) � (b + d)] *��� ����� 4.2 0������� a + c ≡ b + d (mod m) �
2) 0�ก��� 1) �� ����� a = b + k1m : � c = d + k2m �1�������01������;� k1, k2
0������� ac = (b + k1m)( d + k2m) = bd + dk1m + bk2m + k1k2m2
%)�<�% 4.2
ก1����/�� a, b, c, d, m �+,�01������;�/�@ *�� - m > 0, a ≡ b (mod m) : � c ≡ d (mod m) : ��
�����������+���+,�0��
1) a + c ≡ b + d (mod m)
2) ac ≡ bd (mod m)
26 %)�<1+��!����-���8�
= bd + (dk1 + bk2 + k1k2m)m
��-���� m | (ac � bd) *��� ����� 4.2 0������� ac ≡ bd (mod m) �
3 �;1�� ก1����/�� a, b, c, m �+,�01������;�*�� - m > 0
(fl) 0�:������?�� ca ≡ cb (mod m) : �� a ≡ b( )m(c, m)
mod
�������� ca ≡ cb (mod m) : �/�� d = (c, m)
*��� ����� 4.2 0������� m |(ca � cb)
: �*��� ����� 1.1 0������� ca � cb = c(a � b) = qm �1�������01������;� q -----(4.2.3)
���-��0�ก d > 0 ������� ��� ����ก� (4.2.3)
0������� cd
(a � b) = ( )md
q *��� ����� 1.1 0������� md| c
d(a - b)
:�� ( )c md d
, = 1 (:��LMก��� 1.2 ��� 2 (ก)) ������� md| (a � b)
*��� ����� 4.2 0������� a ≡ b( )m(c, m)
mod
(›) ����/��34��������40���+,�:��LMก���
����=����� ca ≡ cb (mod m) ก;������-� a ≡ b( )m(c, m)
mod �������ก� �
3 �;1�� ก1����/�� a, b �+,�01������;�: �/�� m1, m2 �+,�01������;���ก*�� - (m1, m2) = 1
(fl) �������� a ≡ b (mod m1m2)
*��� ����� 4.2 0������� m1m2 | (a � b) *��� ����� 1.1 0��������01������;� k B5-� a � b = km1m2
:�� m1, m2 �+,�01�����=�������� !�ก�� ������� (m1, m2) = 1
*��� ����� 1.2 0������� 1 | m1 : � 1 | m2
*��� ����� 1.1 0������� m1 = k1 : � m2 = k2 �1�������01������;� k1, k2
0������� a � b = (kk1)m2 ������� m2 | (a � b)
: �/� 1��������ก�� a � b = (kk2)m1 ������� m1 | (a � b)
%)�<�% 4.3
ก1����/�� a, b, c, m �+,�01������;�*�� - m > 0 0�������
ca ≡ cb (mod m) ก;������-� a ≡ b( )m(c, m)
mod
%)�<�% 4.4
ก1����/�� a, b �+,�01������;�: �/�� m1, m2 �+,�01������;���ก*�� - m1, m2 �+,�01�����=�������� !�
ก��: �� a ≡ b (mod m1m2) ก;������-� a ≡ b (mod m1) : � a ≡ b (mod m2)
�� ���������!"��#�� 27
0������� a ≡ b (mod m1) : � a ≡ b (mod m2) �������ก�
(›) �������� a ≡ b (mod m1) : � a ≡ b (mod m2)
*��� ����� 4.2 0������� m1 | (a � b) : � m2 | (a � b)
������� *��� ����� 1.1 0������� a � b = qm1 : � a � b = rm2 �1�������01������;� q, r
:�� m1, m2 �+,�01�����=�������� !�ก��
������� 0��01������;� s -B5-� a � b = sm1m2
*��� ����� 1.1 0������� m1m2 | (a � b)
����=����� a ≡ b (mod m1m2) �������ก� �
.��=>ก��� 4.2
1. ก1����/�� a, b, c, m �+,�01������;�*�� - m > 0 0����40�������������+��
ก) ?�� ca ≡ cb (mod m) : � (c, m) = 1 : �� a ≡ b (mod m)
�) ?�� ca ≡ cb (mod m) *�� - c > 0 : � c | m : �� a ≡ b( )mc
mod
2. ก1����/�� a, b �+,�01������;� : � m, n �+,�01������;���กB5-� a ≡ b (mod m) 0����40�����?�� n | m
: �� a ≡ b (mod n)
3. ก1����/�� a, b �+,�01������;� : � m, c �+,�01������;���ก 0����40�����?�� a ≡ b (mod m) : ��
ca ≡ cb (mod cm)
4. ก1����/�� a, b, m �+,�01������;�*�� - m > 0 : � a ≡ b (mod m) 0����40����� (a, m) = (b, m)
5. 0����40�� 789� 4.3 /�����4<�
� � � � � �
28 %)�<1+��!����-���8�
4.3 ����� ?��ก� ���ก��
/������� -3����� �������0�<��ก-��ก��ก� ���ก��: � 789� ���+�ก��ก-��ก��ก� ���ก��
�+: �� �1��������������0�����0�<��ก-��ก�������� -�1�������ก� ���ก��B5-��1��+/��:ก�+P���/� 789 01���������4�����+���
3 �;1�� /�� a, b, c, m �+,�01������;�*�� - m > 0 : � a ≡ b (mod m)
1) 0�ก a ≡ b (mod m) *��� ����� 4.2 0������� m | (a � b)
: �*��� ����� 1.1 0��01������;� k B5-� a � b = km
������� a = b + km -----(4.3.1)
��ก� ����ก� (4.3.1) ����01������;� c
0���� a + c = (b + km) + c = (b + c) + km
������� (a + c) � (b + c) = km
*��� ����� 1.1 0������� m | [(a + c) � (b + c)]
����=����� 0���� a + c ≡ b + c (mod m) �������ก�
2) 0�ก��ก� (4.3.1) �4<� ����ก�����01������;� c
0���� ac = (b + km)c = bc + (kc)m
������� ac � bc = (kc)m
*��� ����� 1.1 0������� m | (ac � bc)
����=����� 0���� ac ≡ bc (mod m) �������ก�
3) ���40��*��/��� �ก��+��������<��%����
/�� P(n) : an ≡ b
n (mod m) �1����01������;���ก n /�@
�������: n = 1; ���-��0�ก a ≡ b (mod m) ������� P(1) �+,�0��
��������: /�� n = k; �������� P(k) �+,�0�� 0�:������ P(k + 1) �+,�0��
0�ก�����E�� ak ≡ b
k (mod m) : �0�ก a ≡ b (mod m)
*�� 789� 4.2 (2) 0������� ak ⋅ a ≡ b
k ⋅ b (mod m)
������� ak + 1 ≡ b
k + 1 (mod m) :������ P(k + 1) �+,�0��
%)�<�% 4.5
ก1����/�� a, b, c, m �+,�01������;�*�� - m > 0 : �/�� a ≡ b (mod m) 0�������
1) a + c ≡ b + c (mod m)
2) ac ≡ bc (mod m)
3) �1����01������;���ก n /�@ 0������� an ≡ b
n (mod m)
�� ���������!"��#�� 29
*��� �ก��+��������<��%���� 05������� an ≡ b
n (mod m) �1����01������;���ก n /�@ �
��!��$��%& 4.3 0����40�������������+��
1) ?�� a �+,�01������;��-: �� a2 ≡ 1 (mod 8)
2) ?�� a �+,�01������;��4�: �� a2 ≡ 0 (mod 4)
! �%+� 1) /�� a �+,�01������;��- 0������� a = 2k + 1 �1����01������;� k ������ �������
a2 = (2k + 1)
2
= 4k2 + 4k + 1
= 4(k2 + k) + 1
= 4(k(k + 1)) + 1
���-��0�ก k �+,�01������;� :������ k �����=�����ก; k + 1 �+,�01������;��4� ������� 0��01������;� m - 1�/�� k(k + 1) = 2m
0������� a2 = 4(2m) + 1 = 8m + 1
��-���� a2 ≡ 1 (mod 8)
2) /�� a �+,�01������;��4� 0������� a = 2k �1�������01������;� k
������� a2 = (2k)
2 = 4k
2
0������� 4|a2
��-���� a2 ≡ 0 (mod 4) �
��!��$��%& 4.4 0����%8�� ��0�กก���/�:�� ��������+�� 1) 250 ������ 7
2) 710 ������ 51
3) 521 ������ 127
4) 15 + 25 + 4 + 105 ������ 4
! �%+� 1) ���-��0�ก 250 = (23)
16 ⋅ 22
0���� 250 ≡ (23)
16 ⋅ 22 (mod 7)
��0�<� 23 ≡ 1 (mod 7) : � 22 ≡ 4 (mod 7)
������� 250 ≡ 116
⋅ 4 (mod 7) ≡ 4 (mod 7)
����=����� 250 ������ 7 �� ���%8� ��ก�� 4
2) ���-��0�ก 710 = (7
4)
2 ⋅ 72
0������� 710 ≡ (7
4)
2 ⋅ 72 (mod 51)
30 %)�<1+��!����-���8�
��0�<� 74 ≡ 4 (mod 51) : � 72 ≡ �2 (mod 51)
������� 710 ≡ 42 ⋅ (�2) (mod 51) ≡ 4
2 ⋅ 72 (mod 51)
≡ 19 (mod 51)
����=����� 710 ������ 51 �� ���%8� ��ก�� 19 �
3) ���-��0�ก 521 = (56)
3 ⋅ 53
0������� 521 ≡ (56)
3 ⋅ 53 (mod 127)
��0�<� 56 ≡ 4 (mod 127) : � 53 ≡ 53 (mod 127)
������� 521 ≡ 43 ⋅ 53 (mod 127)
≡ 203 (mod 127)
≡ 126 (mod 127)
����=����� 521 ������ 127 �� ���%8� ��ก�� 126 �
4) ���-��0�ก 1 ≡ 1 (mod 4) ≡ 5 (mod 4) ≡ 9 (mod 4)
2 ≡ 2 (mod 4) ≡ 6 (mod 4) ≡ 10 (mod 4)
3 ≡ 3 (mod 4) ≡ 7 (mod 4)
4 ≡ 0 (mod 4) ≡ 8 (mod 4)
������� 15 ≡ 1 (mod 4) ≡ 55 (mod 4) ≡ 9
5 (mod 4)
25 ≡ 25 (mod 4) ≡ 65 (mod 4) ≡ 10
5 (mod 4)
35 ≡ 35 (mod 4) ≡ 75 (mod 4)
45 ≡ 05 (mod 4) ≡ 85 (mod 4)
����=����� 15 + 25 + 35 + 4 + 10
5 ≡ 3(1
5) + 3(2
5) + 2(3
5) + 2(0
5) (mod 4)
≡ 3 + 96 + 486 + 0 (mod 4)
≡ 3 + 0 + 2 (mod 4)
≡ 5 (mod 4)
≡ 1 (mod 4)
0������� 15 + 25 + 4 + 105 ������ 4 0��� ���%8� ��ก�� 1 �
��!��$��%& 4.5 0�/������4���-��ก� ���ก��:������
1) 223 � 1 ������ 47 ����
2) 248 � 1 ������ 97 ����
! �%+� 1) ���-��0�ก
212 ≡ 7 (mod 47)
210
≡ 37 (mod 47)
�� ���������!"��#�� 31
: � 2 ≡ 2 (mod 47)
��0�<� 223 ≡ 212
⋅ 210 ⋅ 2 (mod 47)
≡ 7 ⋅ 37 ⋅ 2 (mod 47)
≡ 518 (mod 47)
≡ 1 (mod 47)
����=����� 223 � 1 ≡ 1 � 1 (mod 47) ≡ 0 (mod 47)
��-���� 223 � 1 ������ 47 ���� �
2) ���-��0�ก
212 ≡ 22 (mod 97)
��0�<� 248 ≡ (212)4 (mod 97)
≡ 224 (mod 97)
≡ 70 ⋅ 16 (mod 97)
≡ 1 (mod 97)
����=����� 248 � 1 ≡ 1 � 1 (mod 97) ≡ 0 (mod 97)
��-���� 248 � 1 ������ 97 ���� �
��!��$��%& 4.6 ก1����/�� a, b �+,�01������;� : � p �+,�01�����=�����ก 0����40�����?�� a2 ≡ b
2 (mod p)
: �� a ≡ ± b (mod p)
! �%+� /�� a, b �+,�01������;� : � p �+,�01�����=�����ก
�������� a2 ≡ b
2 (mod p)
0������� p | (a2 � b
2)
:�� a2 � b
2 = (a � b)(a + b)
������� p |(a � b)(a + b)
*�� 789� 2.4 0������� p |(a � b) ��� p |(a + b)
������� a ≡ b (mod p) ��� a ≡ � b (mod p)
��-���� a ≡ ± b (mod p) �
.��=>ก��� 4.3
1. ก1����/�� a, b �+,�01������;� : � p �+,�01�����=�����ก
1) 0����40����� 1 + 2 + 3 + 4 + (n � 1) ≡ 0 (mod n) ก;������-� n �+,�01������;��-
2) 0����40�����?�� a2 ≡ a (mod p) : �� a ≡ 0 (mod p) ��� a ≡ 1 (mod p)
32 %)�<1+��!����-���8�
2. 0����%8�� ��0�กก���������0������+�� 1) ���-��� 13 + 23 + 33 + 4 + 10
3 ���� 11
2) ���-��� 1 + 3 + 5 + 7 + 4 + 101 ���� 7
3) ���-��� 12 + 32 + 52 + 72 + 4 + 1012 ���� 131
� � � � � �
4.4 ก� ���ก���� ���8�
4.4.1 ก�����������ก������ก ���������
��!��$��%& 4.7 0���0�<����ก� ���ก�� -ก1����/������+���+,�ก� ���ก����������������
1) 3x ≡ �1 (mod 4)
2) x ≡ 2 (mod 5)
3) 2x2 ≡ �3 (mod 7)
4) x3 ≡ 1 (mod 13)
! �%+� *��� ����� 4.3 0���;�������ก� ���ก�� -ก1����/��/���� 3) : ���� 4) ���/��ก� ���ก��
��������������� � ���ก1� ��������:+ x ���� ��ก�� 1 ����ก� ���ก�� -ก1����/��/������-�@
�+,�ก� ���ก���������� ������� �
�%� ��� 4.3
ก1����/�� a, b, m �+,�01������;� *�� - m > 0 0���กก� ���ก�� -��4�/�4+ ax ≡ b (mod m) ���
�ก� ���ก���� ���8�� (linear congruence) -� x �+,����:+
�� ���������!"��#�� 33
��������ก����ก���*�:>�� ����������B5-��������0�<���: ��/�� - 3 ก� ���ก������������0� 3 �= ������ก��� �����0����3 �= �ก;��� :��ก���0��+?5�0������0���/������������� �3 �= �� ���
ก� ���ก�������������ก��������
?8�����ก� *�� �-��+����ก��3 �= � -��� ���ก��
789� -0�ก ���?5�����+���+,� 789��������� -0�/����0������ก� ���ก���������� -ก1� ����0�<�
��4������3 �= �������
3 �;1�� ก1����/�� ax ≡ b (mod m) �+,�ก� ���ก��������������* m : �/�� d = (a, m)
(fl) 0�:������?�� ax ≡ b (mod m) �3 �= ��+,�01������;�: �� d | b
�������� ax ≡ b (mod m) �3 �= ��+,�01������;�
�������/�� x0 �+,�3 �= ����ก� ���ก���������� 0������� ax0 ≡ b (mod m)
*��� ����� 4.2 0������� m | (ax0 � b)
*��� ����� 1.1 0������� ax0 � b = mk �1�������01������;� k
������� b = ax0 � mk
0�ก d = (a, m) *��� ����� 1.2 0������� d | a : � d | m
: �*�� 789� 1.2 0������� d | (ax0 � mk)
����=����� 0������� d | b �������ก�
(›) 0�:������?�� d | b : ��ก� ���ก�� ax ≡ b (mod m) �3 �= ��+,�01������;�
�������� d | b
*��� ����� 1.1 0��01������;� r - 1�/�� b = rd
: �0�ก d = (a, m) *�� 789� 1.2 0��01������;� x1, y1 - 1�/�� d = ax1 + my1
�4<� ����ก����� r 0���� rd = r(ax1) + r(my1) = a(rx1) + m(ry1)
�%� ��� 4.4
ก1����/�� ax ≡ b (mod m) �+,�ก� ���ก���������� ����ก01������;� x0 - 1�/�� ax0 ≡ b (mod m)
��� �3 �= �� ���ก� ���ก�� ax ≡ b (mod m) : �?���01������;� x1 �ก01������5-� - 1�/��
ax1 ≡ b (mod m) �+,�0���ก*�� - x0 ≡ x1 (mod m) : ��0���ก x0, x1 ���3 �= � - ���ก��
(congruent solution) :��?�� x0 T x1 (mod m) : ��0���ก x0, x1 ���3 �= � -��� ���ก�� (incongruent
solution)
%)�<�% 4.6
ก1����/�� ax ≡ b (mod m) �+,�ก� ���ก��������������* m : �/�� d = (a, m) : ��ก� ���ก��
ax ≡ b (mod m) 0��3 �= � -�+,�01������;�ก;������-� d | b
34 %)�<1+��!����-���8�
:�� b = rd ������� b = a(rx1) + m(ry1)
0���� a(rx1) � b = �m(ry1) = m(�ry1)
������� m | [a(rx1) � b]
��-���� a(rx1) ≡ b (mod m)
:������ ก� ���ก�� ax ≡ b (mod m) �01������;� rx1 �+,�3 �= � �
��!��$��%& 4.8 0���0�<����ก� ���ก���������� -ก1����/������+���3 �= �������
1) 2x ≡ 1 (mod 3)
2) 3x ≡ 3 (mod 4)
3) 4x ≡ 4 (mod 18)
! �%+� 1) 0�ก 2x ≡ 1 (mod 3)
���-��0�ก (2, 3) = 1 : � 1 | 1 ������� ก� ���ก�����3 �= ��+,�01������;�:�����
2) 0�ก 3x ≡ 3 (mod 4)
���-��0�ก (3, 4) = 1 : � 1 | 3 ������� ก� ���ก�����3 �= ��+,�01������;�:�����
3) 0�ก 4x ≡ 4 (mod 18)
���-��0�ก (4, 18) = 2 : � 2 | 4 ������� ก� ���ก�����3 �= � -�+,�01������;�:����� �
���� ����� 4.4 34��������/���������ก������� /�ก���3 �= ����ก� ���ก����������������������
3 �= � -��� ���ก����กก��� ������� 789� ����+��0�����/����������������ก� ���ก���������� -�3 �= �
�+,�01������;�*��3 ��� 789� 4.6 ����0��ก-3 �= � -��� ���ก��
34������� �ก����40�� 789� 4.7 �������� :��0��ก��������ก��1��+/��: ������
��!��$��%& 4.9 0���3 �= � -�+,�01������;� -��� ���ก����� 2x ≡ 1 (mod 3)
! �%+� 0�ก�������� - 4.8 (1) �� �����ก� ���ก�� -ก1����/���3 �= � -�+,�01������;�:�����
���-��0�ก d = 1 : � m = 3 0������� x = x0 + 3n ���-� n = 0 ������� 3 �= ���� x = x0
0�ก 2x ≡ 1 (mod 3) 0������� 2x � 3y = 1 �1�������01������;� y -----(4.4.1)
%)�<�% 4.7
ก1����/�� ax ≡ b (mod m) �+,�ก� ���ก��������������* m : � d = (a, m) ?�� d | b : ��ก�
���ก�� ax ≡ b (mod m) 0��3 �= � -��� ���ก��/�����* m ������� d *���4+:�����3 �= �
��� x = x0 + ( )md
n ���-� n = 0, 1, 2, 4, d � 1 *�� - x0 �+,�3 �= ��=��������5-����ก� ���ก��
ax ≡ b (mod m)
�� ���������!"��#�� 35
���-��0�ก 1 = 2(�1) � 3(�1)
������� x0 = x = �1 ≡ �1 (mod 3) �+,�3 �= ����ก� ���ก�� -ก1����/�� �
��!��$��%& 4.10 0���3 �= -�+,�01������;� -��� ���ก����� 4x ≡ 4 (mod 18) ! �%+� 0�ก�������� - 4.8 (3) 0������� d = 2 ������� ก� ���ก�����3 �= � -��� ���ก�� 2 3 �= �
: � m = 18 0������� x = x0 + 9n ���-� n = 0, 1
0�ก 4x ≡ 4 (mod 18) 0������� 4x � 18y = 4
��0�<� 18 = 4 ⋅ 4 + 2
4 = 2 ⋅ 2
0������� 2 = 18 ⋅ 1 � 4 ⋅ 4
������� 4 = 18 ⋅ 2 � 4 ⋅ 8
= 4(�8) � 18(�2)
0������� x0 = �8 �+,�3 �= ��=��������5-����ก� ���ก�� -ก1����/�� ����=����� 3 �= � -��� ���ก�� 2 3 �= � -����ก����
x1 = �8 + 9(0) = �8 ≡ �8 (mod 18) ≡ 10 (mod 18)
: � x2 = �8 + 9(1) = 1 ≡ 1 (mod 18) �
��!��$��%& 4.11 0���3 �= ����ก� ���ก�� 15x ≡ 3 (mod 9)
! �%+� ���-��0�ก 15 ≡ 6 (mod 9)
0���� 15x ≡ 6x ≡ 3 (mod 9)
���-��0�ก (6, 9) = 3
0������� 2x ≡ 1 (mod 3)
���-��0�ก � 2 ≡ 2(�1) ≡ 1 (mod 3)
0���� x0 = �1 �+,�3 �= ��=��������ก� ���ก�� 2x ≡ 1 (mod 3) : ��+,�3 �= ����ก�
���ก�� 15x ≡ 3 (mod 9) ����
������� /�� x = �1 + 3n ���-� n = 0, 1, 2
���-� n = 0; x = �1 ≡ 8 (mod 9)
���-� n = 1; x = �1 + 3(1) = 2 ≡ 2 (mod 9)
���-� n = 2; x = �1 + 3(2) = 5 ≡ 5 (mod 9)
������� 3 �= ����ก� ���ก����� x ≡ 2 (mod 9), x ≡ 5 (mod 9), x ≡ 8 (mod 9)
: ������ 3 3 �= �� ������ ���� (6, 9) = 3 �
36 %)�<1+��!����-���8�
4.4.2 � ��ก� ���ก������ก � (inverse of congruence)
��!��$��%& 4.12 0������3ก3����� 7 ����* 17
! �%+� ��0�<�ก� ���ก�� 7x ≡ 1 (mod 17)
0������� 7x � 17y = 1 -----(4.4.2)
0�ก 789� 1.5 0���� 17 = 7(2) + 3
7 = 3(2) + 1
������� (7, 17) = 1 : �������ก� ���ก�����3 �= � 1 3 �= �:�����
0�ก 1 = 7 � 3(2)
= 7 � 2(17 � 7(2))
= 7(1) � 2(17) + 7(4)
= 7(5) � 17(2)
������� x = x0 = 5
0������� 5 �+,����3ก3����� 7 (mod 17) �
���?�+������1����/�ก�%5ก8��ก-��ก�����3ก3�����ก� ���ก��ก;��� ���-�/���+,����-�����/�ก���
3 �= ����ก� ���ก������������ก������+0�ก��!ก� -�����0�<�/������� 4.4.1 ���0�:�������+��
��!��$��%& 4.13 0���3 �= ����ก� ���ก�� 7x ≡ 7 (mod 17)
! �%+� 0�ก 7x ≡ 7 (mod 17)
�4<� ��ก� ���ก������ 5 (0�ก�������� - 4.12 ��������3ก3����� 7 ����* 17 ��� 5)
0���� 5 ⋅ 7x ≡ 5 ⋅ 7 (mod 17) ≡ 35 (mod 17)
:�� 5 ⋅ 7x ≡ x ≡ 35 (mod 17)
≡ 1 (mod 17)
������� 3 �= ����ก� ���ก����� x ≡ 1 (mod 17) : ��3 �= ������������ (7, 17) = 1 �
�%� ��� 4.4
ก1����/�� a, m �+,�01������;�*�� - m > 0 : � (a, m) = 1 ?�� a �+,�3 �= ����ก� ���ก��
ax ≡ 1 (mod m) : ��0���ก a ��� ���!DกD��?�� a� ����* m
�� ���������!"��#�� 37
.��=>ก��� 4.4
1. 0���3 �= ����ก� ���ก��������������+��
1) 3x ≡ 2 (mod 7)
2) 6x ≡ 3 (mod 9)
3) 5x ≡ 6 (mod 17)
4) 4x ≡ 12 (mod 17)
5) 623x ≡ 511 (mod 679)
6) 481x ≡ 627 (mod 703)
2. 0������3ก3��ก��4<��� 1333 ����* 1517
3. 0���3 �= ����ก� ���ก��������������+��
1) 2x + 3y ≡ 4 (mod 7)
2) 3x + 6y ≡ 2 (mod 9)
3) 8x + 2y ≡ 4 (mod 10)
4. ก1����/�� a, b �+,�01������;� a′ �+,����3ก3��ก��4<��� a ����* m : � b′ �+,����3ก3��ก��4<
��� b ����* m 0�:������ a′b′ �+,����3ก3��ก��4<��� ab ����* m
� � � � � �
�� ���������!"��#�� 39
�����ก�
�����<N��:��:��. �2 �?8���� Ent" ��� 45. ก��� �Q : �1���ก�����<N��:��:��, 2545. ��� !��������!�. %)�<1+��!�. ก��� �Q : �� ���R��, 2543. ����� +��� !�"04��ก4 . F �%��� ������ . ��������� - 2. ก��� �Q : ������ !�ก������, 2546. *�D��< ����*�!�. %)�<1+��!� 1. ก��� �Q : ����� �� �����1�:��, 2545. ���ก ����. !�� �ก�� ������ �.4 (� 011, � 012). ก��� �Q : >A��ก���B;�����, 2539.
� � � � � �