Notiuni Teoretice (k5.Ro)

7/31/2019 Notiuni Teoretice (k5.Ro)

1/24

CUPRINS

NOTIUNI TEORETICE..2Derivata unei functii ntr-un punct 2

Operatii cu functii derivabile. Derivatele unor functii uzuale ..5

Proprietatile functiilor derivabile...10

APLICATII ..18


2/24

Functii derivabile

Notiuni teoretice

I. Derivata unei funcii ntr-un punct

I.0 o Originea noiunii de derivat

Au existat dou probleme, una fizic - modelarea matematic a noiunii intuitive de vunui mobil - i alta geometric - tangenta la o curb plan -, care au condus la descoperirea de derivat. Am folosit de mai multe ori referiri la viteza unui mobil, dar abia acum vom p

definiia matematic a acestui concept.I.1 o Definiia derivatei unei funcii ntr-un punct

Fie o funcie :E R (E R ) i 0 x , x0 punct de acumulare al mulimiiE. Reinem c este definit in x0.

DEFINITIA 1:1) Se spune c are derivat n punctul x 0 , dac exist ( n R )

,()(lim0

)0

0 x x x f x f

x x

notat cu (x0 );

2) Dac derivata (x0 ) exist i este finit se spune c funcia este derivabil n x 0 .

Observaii.1. Se poate ntmpla ca (x0 ) s existe i s fie + sau .2.Trebuie remarcat c problema existenei derivatei sau a derivabilitii

nu se pune n punctele izolate ale mulimii E (dac E are astfel de puncte!).Presupunem c(x0 ) exist; fcnd translaia x x0 = h, atunci din relaia de definii

rezult c

.)()(lim)(' 00

0

00 h

x f h x f

h x f

xh

+

+=

DEFINITIA 2: Dac o funcie : E R este derivabil n orice punct al unei submulimiF

E , atunci se spune c este derivabil pe mulimea F. In acest caz, funciaF R , x (x) se numetederivata lui pe mulimea F i se noteaz cu . Operaia prin care se obine din se numetederivarea lui .

2


3/24

Functii derivabile

TEOREMA 1 . Orice funcie derivabil ntr-un punct este continu n acel punct. Demonstraiaeste simpl: Presupunem c : E R este derivabil n punctul x0 E , deci

limita din definiia 1 exist i este finit.

( ) ( )

.in xcontinuaeste)()(lim

00)('lim)()(

lim()(lim

);()()()()(

00xx

000

0)0

0

000

00

0

0

0

f x f x f

x f x x x x

x f x f x f x f

x x x x x x

x f x f x f x f

x x xn x x

=

===

=

n general reciproca teoremei este fals. Un exemplu este funcia modul n origine.n studiul existenei limitei unei funcii ntr-un punct un criteriu util l-a constituit ega

limitelor laterale. Adaptm acest criteriu la studiul derivabilitii unei funcii ntr-un punct,cont c existena derivatei implic n fond existena unei anumite limite.

DEFINITIA 3. Fie E R i x0 E un punct de acumulare pentru E )x,(- 0 . Dac limita

0

00

)()(lim)('0

0 x x x f x f x f

x x x x

=0

ln uuu' u>0

eu

eu

u au au(ln a) u sin u ucos ucos u -usin utg u

uu

2cos' cos u 0

ctg uu

u2sin' sin u 0

arcsin u21

'u

u

u2


11/24

Functii derivabile

Adugm c dacu, vsunt funcii derivabile iu > 0, atunci funciauv = evlnu are derivata

( ) ,'ln''ln'ln'

+=

+=

uuvuvu

uuvuveu vuvv

formul care rezult aplicnd teorema de derivare a funciilor compuse funcieievlnu i innd cont c

( ) .'ln''lnuuvuvuv +

III. Proprietile funciilor derivabile

In continuare vom da metode de determinare a punctelor de maxim i minim, a interde monotonie, a intervalelor de convexitate etc. ale unei funcii, n care rolul derivatelor este

Unele din teoremele care urmeaz sunt intuitiv evidente (folosind de regul interpgeometric a derivatei) i demonstraiile pot fi la nceput omise, insistnd pe nelegerea enun

III.1 o Puncte de extrem. Teorema lui Fermat

Intr-o serie de probleme tehnice sau economice, i bineneles matematice, este importiut care sunt maximele i minimele anumitor mrimi variabile. Dup ce problemele cformulare matematic, adeseori ele se reduc la determinarea punctelor de extrem ale anfuncii. Sunt necesare n prealabil cteva definiii precise.

DEFINITIA 4:Fixm o funcie : A R ( A R ). Un punct x0 A se numetepunct de maxim

relativ (respectivde minim relativ ) al lui dac exist o vecintateU a punctului x0astfel nct pentru orice x U A s avem )( x f )( 0 x f (respectiv )()( 0 x f x f ).

In acest caz valoarea (x0) se numete unmaxim (respectiv unminim) relativ al lui .Punctele de maxim sau de minim relativ se mai numesc puncte de extrem relativ

inegalitile din definiie sunt stricte se spune c x0 este un punct de extrem strict. Valorile funciei punctele ei de extrem relativ se mai numescextremelerelative ale funciei.

Observaii.1) Funcia considerat trebuie s fie neaprat cu valori reale.2) Trebuie inut cont de faptul c o funcie poate s aib mai multe puncte de maxim

minim relativ, iar un minim s fie mai mare dect un maxim, ceea ce justific faptul c punmaxim i de minim sunt relative (fig. 3, c).Valorile )(inf ),(sup x f x f A x A x calculate

_ R se mai numesc

extremele globale ale lui peA..Punctele de extrem relativ se mai numesc puncte de extremlocal , deoarece inegalitile d

tipul celor din definiie sunt verifica te nu neaprat pe ntreg domeniul de definiie al funcinumai un jurul lui x0.

11


12/24

Functii derivabile

3) Dac marginea M= )(sup x f A x

este atins pe mulimea A, atunci orice punct x astfel nct(x0 )= M va fi un punct de maxim (nu neaprat strict). O situaie analoag (cu sensul inegschimbat) are loc pentru marginea inferioar i pentru punctele de minim.

Dac marginea superioar nu este atins pe mulimea A, atunci se poate spune c funcia nare puncte de maxim (fig. 4).

Teorema 7 . (teorema lui P. Fermat, 1601- 1665). Fie I un interval deschis i x 0 I unpunct de extrem (relativ) al unei funcii : I R. Dac este derivabil n punctul x 0, atunci (x0)=0.

Demonstraie.Presupunem c x0 este un punct de maxim (cazul minimului se trateaz lasau se reduce la cazul precedent considernd funcia ). Atunci exist o vecintate U a lu0 (i putem presupune c UI) astfel nct

12


13/24

Functii derivabile

)()( 0 x f x f pentru orice U x .

Cum este derivabil n x0, atunci f(x0 )= 0

00

' )()(lim)(0

0 x x x f x f x f

x x x xd

=> i (x0 )=

.)()(lim)(0

00

'

00 x x

x f x f x f x x x x

s

== x0 (respectiv pentru x U, x < x0), deci

f(x0 ) 0, f(x0 ) 0, de unde f(x0 ) = 0.Observaii.1) Dac nu ar fi fost interval deschis, de exemplu I =[a, b] i x0=a (sau x0=b),

atunci teorema nu ar fi fost adevrat pentru c (x) nu ar fi fost definit pentru x< a, respectiv pentrux > b(fig. 5 a).

2) Reciproca teoremei lui Fermat este n general fals: din faptul c este derivabil punct x0 i (x0 )=0 nu rezult c x0 este punct de extrem. De exemplu, pentru funcia(x)=x3 avem(0)=0, dar punctul x0=0 nu este punct de extrem local pentru c este strict cresctoare (fig.Se mai spune c teorema lui Fermat d condiii necesare de extrem, dar nu i suficiente.

y yy

y=x3

00 a b x x 0 x

a. b c.

Fig 5.

Teorema lui Fermat are o interpretare geometric evident : n condiiile enunului, punct de extrem, tangenta la grafic este paralel cu axaOx( fig. 5 c).

Dac : I R este o funcie derivabil pe un interval deschis I , atunci zerourile derivatei p I sunt numite i puncte criticeale lui pe I ; teorema lui Fermat afirm c punctele de extrem lsunt printre punctele critice. In practic, pentru determinarea punctelor de extrem ale unei fderivabile pe un interval deschis sau pe o reuniune de intervale deschise, se rezolv mai nti(x)=0 . Vom vedea mai trziu cum putem decide care din soluiile acestei ecuaii sunt punextrem pentru .

13


14/24

Functii derivabile

4.2 Teorema lui Rolle

O funcie: [a, b] R (a< b) se numete funcie Rolle dac este continu pe intervcompact [a, b] i derivabil pe intervalul deschis(a, b).

Teorema care urmeaz este o consecin a rezultatelor privind funciile i a teorem

Fermat, foarte util n aplicaii.Teorema 8. (teorema lui M. Rolle, 1652- 1719). Fie : [a, b] R a< b o funcie Rolle astfel nct (a)= (b) , atunci exist cel puin un punct c (a, b) astfel nct (c)=0 .

Demonstraie.Funcia fiind continu (conform teoremei lui Weierstrass) este mrgini atinge marginile n[a, b]. Fiem= ),(inf ],[ x f ba x M= )(sup],[

x f ba x .

Apar trei cazuri :I. M> (a). Exist un punctc [a, b] astfel nct M=(c)( M fiind atins) i, evident

c a, a b (dacc= a saub, atunci M= (c)ar fi egal cu(a)= (b), absurd); aadar, c (a, b) icumc este maxim local, atunci conform teoremei lui Fermat(c)=0.

II. m< (a).Similar.

III. m= M.Atunci funcia este constant pe[a, b], deci(c)=0 pentru oricec (a,b).COROLAR. Intre dou zerouri ale unei funcii derivabile pe un interval se afl cel puin

un zerou al derivatei. Demonstraie. Fie : I R derivabil pe un interval I i a, b I, a< b, zerouri ale lui . Atunc

(a)=0=(b) i putem aplica teorema lui Rolle pe intervalul [a, b].Teorema lui Rolle admite o interpretare geometric evident: dac segmentul determ

punctele(a, (a)), (b, (b))este paralel cu axa O x, atunci exist cel puin un punct ntre a i b n ctangenta la graficul lui este paralel cu axa O x (fig. 6).

Observaii.Toate condiiile din enunul teoremei lui Rolle sunt necesare, n sensul c dar renuna la vreuna din ele, atunci concluzia nu ar mai fi ntotdeauna adevrat.

a) Dac ar fi continu numai pe intervalul deschis(a, b), exemplul funciei

== 0daca,1]1,0(daca,

)( x x x

x f arat c nu se anuleaz pe intervalul(0, 1)dei(0)=(1). (fig. 7).

b) Dac (a) (b), este suficient s considerm funcia (x)= xpe [0, 1] (fig 8).c) Dac nu ar fi derivabil pe ntreg intervalul(a, b), concluzia teoremei ar fi fals, a

cum arat exemplul funciei(x)=| x |pe intervalul[-1, 1].

4.3 Teorema lui Lagrange i teorema lui Cauchy.

14


15/24

Functii derivabile

TEORAMA 9. (teorema lui J. Lagrange, 1736- 1813, a creterilor finite).Fie o funcieRolle pe un interval compact [a, b]. Atunci c (a, b) astfel nct

(b)- (a)= (b- a)(c) Demonstraie.Vom considera funcia auxiliar F(x)=(x)+kx, x [a, b], cu k o constant

real , pe care o vom determina din condiia F(a)= F(b). Aadar avem c,

y y y

1 1

y= x y= x

(a)=(b)

0 a c b x 0 1 x 0 1 x

Fig 6. Fig 7. Fig 8.

(a)+ ka= (b)+ kb, deci k= ba

a f b f )()( . Pentru acestk , funciaF verific condiiile teoremei lu

Rolle i, ca atare, exist un punct c(a, b) n care F(c)=0. Pe de alt parte , F(x)=(x)+k, x (a,

b), deci(c)+ k= 0, (c)+ba

a f b f

)()( = 0 i se obine relaia din enun.

Observaii.1) Relaia din enun yse mai numete formula creterilor finitesau formula de medie pentru derivabilitate ).

Notnd = ,abac

rezult 0< < 1 i

c= a+ (b- a)(a+ (b- a)), cu 0


16/24

Functii derivabile

depinznd de x; uneori se scriec= c x, ca atare,(x)- (a)= x- a)(c x ). Este important deremarcat c dac x a, atuncic x a.

Iat acum un corolar al teoremei lui Lagrange, care este util n a decidederivabilitatea unei funcii ntr-un punct.

COROLAR. Fie o funcie definit ntr-o vecintate V a punctului x 0,derivabil pe V\{x 0} i continu n x 0. Dac exist limita = 0

lim x x , atunci (x 0) exist i

(x0)= . Dac limita este finit, atunci este derivabil n x 0. Demonstraie.Aplicnd teorema lui Lagrange funciei pe un interval[x, x0 ] V ,

x< x0, rezult0

0)()( x x

x f x f

=(c x ) cu x< c x< x0 ,, deci

===

. Din definiia derivatei lui F n punctelea i b, exist >0 depinznd de astfel nct din faptul c|x- a|> (respectiv |x- b|> ) s rezulte c

.)(')()(

)(' respect iv

)(')()(

)('

+

==

2,1 d a c a,5

,11, d a c a,32

532 d a c a,5

532 d a c a,32)5,32( m a x)(

2

2

222

x x

x x x

x x x x

x x x x x x x x x f

Caz I. ( ) ( )+ ,11, x este continu pe intervalul ( ) ( )+ ,11, x deoarece , fiind un polinom de gradul 2,

este elementar , i orice funcie elementar este continu.Caz II. [ ]2 ,1 x

de asemenea este continu pe intervalul[ ]2 ,1 x deoarece este un polinom degradul 1.

In continuare studiem derivabilitatea in x= 1i x= 2. Pentru ca s fie derivabil n

cele dou puncte trebuie ca 1)1()(

lim1

)1()(lim

11

11

=

>

< x

f x f x

f x f

x x

x x , respectiv 2

)2()(li m

2)2()(

lim22

22

=

>

< x

f x f x

f x f

x x

x x .

( ) 01lim1

12lim

1)1()(

lim11

2

11

11

==

=

x

x x

f x f x

f x f

x x

x x

x x

12

35li m

2)2()(

lim21

21

=

+=

> x

x x

x

f x f

x x

x x

Din relaiile de mai sus rezult c nu este derivabil n punctele x= 1i n x= 2.Dac x R-{1,2} rezult c este derivabil deoarece este elementar .

Caz I. ( ) ( )+ ,21 , x

)1(23232)()(li m)('0

020

2

0

00

0

= ++== x

x x x x x x

x x x f x f x f

x x

Caz II. ( )2 ,1 x

155)()(

lim)('0

0

0

00

0

=

+=

= x x

x x x x

x f x f x f

x x

18


19/24

Functii derivabile

Prin urmare derivata funciei din enun este :( ) ( )( )

+=

2 ,1 d a c a,1

,21,-xd a c a),1(2)(

x

x x f

P 2 . Se d funcia : D R prin (x)= 4444

++ x x x x

. Se cere s se determinedomeniul maxim de definiie D apoi s se studieze continuitatea i derivabilitatea funciei pe acest domeniu. In ce puncte nu este derivabil?

tiine economice, Cluj Napoca 1995Soluie:

Condiiile de existen a funciei sunt :

( ),4 44

44

04

+

+

x

x x

x x

x

. Domeniul maxim de definiie este D= ( )+ ,4 .

( ) ( )4444)( ++= x x x x x x x x x f . De aici rezult c este continu ca fiind o sum decompuneri de funcii elementare. Pe l mai putem scrie astfel :

( ) ( ) |24||24|2424)( 22 ++=++= x x x x x f .

+=+

824-x d a c a ,24

824 d a c a ,24 |24|

824-x d a c a ,24

824-x d a c a ,24 |24|

x x

x x x x

x x

x x x

=>[ ]( )+

=8 , x d a c a ,4 x2

8 4 , x d a c a 4 , f( x ) . este

derivabil deoarece este o compunere de funcii elementare.In continuare studiem derivabilitatea n x=8.

.21

8 x44 x2

lim(8 ) f

08 x44

li m(8 ) f

8 x8 x

' d

8 x8 x

,' s

=

=

==

>

0 este o funcie derivabil cu derivata continu i (0)=1.S se arate c: )( ' f

xe )) x( f ( lim x 0

0

1

=

.Matematic, Sibiu, 1996

Soluie :

19


20/24

Functii derivabile

Pentru a arta c relaia din enun este adevrat pentru (0)=1 ne folosim deurmtoarea formul

( ) e f lim f

f x x x x

=+

1

0

1

0

0

( ) ( )[ ] .eee ) x( f lim ) x( f lim )( ' f x )( f ) x( f

lim x

) x( f lim

x x

x x x x00

01

00

0011

11 ===+=

P 4 . Se consider funcia : (0,+ ) R , (x)= ( ]( )++ e, x ,bax

e , x , ) x( ln 03unde a R i b

R. S se determine a i b astfel nct funcia s fie derivabil n x= e.A. S. E., 1995

Soluie :

Pentru ca s fie derivabil ine trebuie ca s fie continu ne. Adic, ) x( f lim )e( f ) x( f lim

e xe x

e xe x

== .

1

1

1

33

3

33

=====

===

>

>

0

120

020

2

0 =++

=ax

x x

cbxaxcbxaxlim ) x( ' f

Conform celor dou cazuri derivata funciei este :

>

=0 x ,e-

0 x ,ax ) x( ' f

x-

12.Pentru ca funcia s fie de dou ori derivabil pe R trebuie ca

)( f )( f ' ' d ' '

s 00 = .

21


22/24

Functii derivabile

11

0

2112

0

00

00

=+=

=+=

xe

lim )( f

a x

axlim )( f

x

x x

' ' s

x x

' ' d

=> a=21 .

Dup aflarea lui a, b , c funcia devine

0 x ,e

0 x , x x ) x( f

x-

>+= 121 2

.

P 7 . S se arate c :

++

=+

=++++ +1 x ,

) x( x )n( nx

x , )n( n

nx... x x nn

n

2

112

111

12

1

321

Matematic, Piteti, 1996Soluie :

Considerm cele dou cazuri , cnd x=1i cnd x1.Caz I. x=1

Se obine suma primelor n numere naturale care se demonstreaz prin inducie

matematic: 2

1

1

)n( nk

n

k

+==

.

Caz II. x1

111

1 =

+

= x

x x

nn

k

n .Derivnd aceast relaie se obine

( )( ) ( )( )( ) 2

1

2

11112

111

11111

11321

) x( x )n( nx

x x x x' x

x xnx... x x

nnnn ,

nn

++=

=

=++++ ++++ ,

tocmai ce era de demonstrat.

P 8 . Fie :[-1, 1] R o funcie care verific relaia x f(x) x+ x2 , oricare ar fi x [-1,1]. Artai c este derivabil n origine i calculai (0).

Matematic, Iai, 1990

Soluie : x0 => 0 f(0) 0 => f(0)=0;

x>0 => x x ) x( f

+ 11

) x( limlim

x x

x x

+>>

1100

00

10 = )( f '

d ; x x x

) x( f lim x x

+>>

= sin sin sin

sin

Fie f(x)=sin x: , ,

185

4 care verific condiiile teoremei lui Rolle, deci putemspune c este o funcie Rolle. Aplicnd teorema lui Lagrange rezult c

( ). sin

ccos

ccos sin sincb ,ac o362

250

1418

5418

5incatastfel

185

4cu +

Notiuni Teoretice (k5.Ro)

Documents

Transcript of Notiuni Teoretice (k5.Ro)