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notes de cours Analyse Cepstrale ANALYSE CEPSTRALE Dfinitions et applications

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notes de cours Analyse Cepstrale ANALYSE CEPSTRALE contenu Annulation d cho Dfinitions cepstre de puissance cepstre complexe proprits Quelques applications mesures de fonction de transfert et de coefficient de rflexion annulation d chos analyse des vibrations d engrenages

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notes de cours Analyse Cepstrale ANALYSE CEPSTRALE le problme de l annulation d chos x(t)= s(t) + s r (t) s(t) son direct, s r (t) son rflchi le problme de l annulation d chos comment extraire s(t) de x(t), i.e, supprimer l cho ?

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notes de cours Analyse Cepstrale Signal + Echo formulation du problme Hypothses simplificatrices la rflexion ne gnre qu un retard et une attnuation s r (t)= a 0.s(t-t 0 ) x(t)=s(t)+a 0.s(t-t 0 ) Dans le domaine frquentiel

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notes de cours Analyse Cepstrale Signal + Echo illustration Domaine temporel Domaine frquentiel s(t) a 0 s(t-t 0 ) t0t0 [X(f)] 2

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notes de cours Analyse Cepstrale Signal + Echo proprits de la phase Imag Rel 2.pi.f.t 0 1

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notes de cours Analyse Cepstrale Signal + Echo Effet du logarithme On prend le Log pour rendre additif l effet de l cho On en prend la Transforme de Fourier (inverse) f t

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notes de cours Analyse Cepstrale Le cepstre Plusieurs dfinitions Cepstre de puissance: Cepstre complexe:

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notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre de puissance Proprits C x ( ) = [TF -1 (Ln(S xx (f))] 2 frquence temps relation avec la fonction d autocorrlation R( )=TF -1 (S xx (f)) S xx (f) est rel et pair le CEPSTRE DE PUISSANCE EST REEL, PAIR

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notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre complexe Proprits C x ( ) = TF -1 [Ln(X(f)] X(f)=X Rel (f) + j.X Imag (f)=[X(f)].e j (f) Ln(X(f))=Log[X(f)] + j. (f) x(t) est rel X rel pair et X imag impair (f) est impair [X(f)] est pair Ln [X(f)] est pair le CEPSTRE COMPLEXE EST REEL ET CAUSAL

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notes de cours Analyse Cepstrale Cepstres de puissance et complexe Cas de signaux minimum de phase Soit x(t), X(f) = TF(x(t)) = [X(f)].e j (f) x(t) minimum de phase H{ln[X(f)]}= (f) C x ( ) = TF -1 { Ln (X(f))} = Ln[X(f)] + j. (f) C x ( ) est rel et causal ( >0) c est la somme dune partie paire et d une partie impaire TF -1 {Ln[X(f) 2 ]} est la partie paire, ie, le cepstre de puissance TF -1 { (f)} est la partie impaire, ie, le cepstre de phase 1 2 1

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notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre complexe Redploiement de la phase C x ( ) = TF -1 { Ln (X(f)) } = Ln[X(f)] + j. (f) pour valuer (f), on obtient une fonction variant entre - et +, qu il est ncessaire de redployer (Unwrapping) (f) doit tre une fonction continue en f. Il existe des algorithmes ddis (algorithmze de Triboulet 1977) f

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notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre Proprits, application la dconvolution Systme linaire temps : y(t)=h(t)*x(t)produit de convolution frquence :Y(f)=H(f).X(f)produit cepstre :C y ( ) = C h ( ) + C x ( ) somme (du fait du Log!) d o les applications de dconvolution pour sparer x (t) (l entre) de h(t) (le milieu) annulation d chos, identification des sources (sismique, etc..) h(t) x(t)y(t)

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notes de cours Analyse Cepstrale Dconvolution via le cepstre Exemple de l annulation d chos x(t)=s(t)+a 0.s(t-t 0 ), X(f)=S(f)[1+a 0.e -2 jft0 ] c x (t) = c s (t) +TF -1 {Ln(1+a 0 2 +2a 0.cos(2 ft 0 )} on liftre c s (t) S(f)= TF{exp(c s (t))} et s(t)=TF -1 {S(f)} remarque: le processus de reconstruction suppose les signaux minimum de phase tt

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notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre complexe Exemple d annulation d chos

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notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre Vocabulaire vocabulaire (Bogert 1963): SpectreCepstre FrquenceQufrence FiltrageLiftrage HarmoniqueRahmonique PriodeRpiode PhaseSaphe AmplitudeGamnitude

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notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre ANNEXES A: Proprits de symtrie et de parit par Transformes de Fourier Directe et inverse B: Systmes minimum de phase C: caractrisation de matriaux (acoustique)

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notes de cours Analyse Cepstrale Annexe A: Proprits de la Transforme de Fourier (1/3) ie, x(t) X(f) x(-t) X(-f) x(t) TF directe sur x(t) = TF inverse sur x(-t) FFFF

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notes de cours Analyse Cepstrale Annexe A: Proprits de la Transforme de Fourier (2/3) x(t) relX(f) = X*(-f) Re(X(f)) = Re(X(-f)) Im(X(f) = - Im(X(-f)) x(t) rel pairx(t) = x(-t) X(f)=X(-f) Im(X(f)) = 0 x(t) rel impairx(t) = -x(-t) Re (X(f)) = 0

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notes de cours Analyse Cepstrale Annexe A: Proprits de la Transforme de Fourier (3/3) Signal temporelSpectre rel, pairrel, pair rel, impairimag, impair imag, pairimag, pair imag, impairrel, impair relcomplexe conjugu pair complexe conjugu pairrel

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notes de cours Analyse Cepstrale Annexe B: Systmes minimum de phase (1/2) Plusieurs dfinitions : x(n) est minimum de phase ssi ln[X(w)] et Arg(X(w)) forment une paire de Hilbert H{Ln[X(w)]} = Arg(X(w)) un systme linaire de fonction de transfert H(w) est dit minimum de phase ssi H(w) est stable et d inverse stable, ie, ses ples et ses zros sont l intrieur du cercle unit (systme discret), ou gauche de l axe jw (systme continu)

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notes de cours Analyse Cepstrale Annexe B: Systmes minimum de phase (2/2) X 1 (f) = TF(x 1 (t))X 2 (f) = TF(x 2 (t)) (1) X 1 (f) = X 2 (f) (2)Arg(X 1 (f))>Arg (X 2 (f)) Si x 1 (t) est tel que (1) et (2) sont vrifies quelque soit x 2 (t) vrifiant (2), alors x 1 est dit phase minimum.( en ralit maximum) x 1 (n) x 2 (n) Arg(X(f)

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notes de cours Analyse Cepstrale Annexe C: Caractrisation de matriaux (1/3) Caractrisation acoustique dun matriau: x(t)= p(t) + (r 1 /r 2 ).p(t)*h(t-t 0 ) r 1, r 2 coefficients de rflexion t 0 =(r 2 -r 1 )/c X(f)=P(f){1+(r 1 /r 2 ).H(f).e -2 fto } on veut estimer h(t) la rponse impulsionnelle de la surface rflchissante ou on veut estimer r 1, r 2 Haut parleur micro

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notes de cours Analyse Cepstrale Annexe C: Caractrisation de matriaux (2/3) Expression du cepstre de puissance [X(f)] 2 =[P(f)] 2. {1+(r1/r2).H(f). e -2 fto }. {1+(r1/r2).H * (f). E +2 fto } on utilise le dveloppement Ln(1+z)=z-z 2 /2+ z 3 /3,. Pour [z]