Note di Analisi Matematica III

Note di Analisi Matematica III

Ad uso degli studenti di Fisica

Prof. Dr. Romeo Brunetti

Copyright c 2016 Romeo Brunetti

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First printing, September 2016

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Indice

I "Teoria" dell’integrazione di Riemann

1 Integrazione e misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Inf, Sup e oscillazioni 71.2 Notazioni standard per intervalli sulla retta reale 91.3 Rettangoli, insiemi rettangolari e partizioni 101.4 Somme di Darboux 121.5 Baby Fubini o della riduzione 151.6 Estensione, Composizione e Approssimazione 171.7 Misura nulla e caratterizzazione delle funzioni integrabili 21

1.8 Rettificabilità 261.9 Insiemi normali e loro integrali 271.10 Miscellanea 311.11 *Appendice: Somme di Riemann* 32

2 Integrazione assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1 Funzioni assolutamente integrabili 33

2.2 Criteri di integrabilità 362.3 Trasformata di Fourier 372.4 *Appendice: il calcolo dell’integrale gaussiano* 43

3 Arzelà e il cambiamento delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1 Convergenza uniforme 45

3.2 Il Teorema della convergenza limitata/dominata o di Arzelà 46

3.3 Approssimanti della delta di Dirac 463.4 Il Teorema del cambiamento delle variabili 463.5 Esempi di cambiamento delle variabili 463.6 Esempi di calcolo 46

II Forme Differenziali

III Integrazione su varietà

IV Funzioni di variabile complessa

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Testi 53Articoli 53

I1 Integrazione e misura . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1 Inf, Sup e oscillazioni1.2 Notazioni standard per intervalli sulla retta reale1.3 Rettangoli, insiemi rettangolari e partizioni1.4 Somme di Darboux1.5 Baby Fubini o della riduzione1.6 Estensione, Composizione e Approssimazione1.7 Misura nulla e caratterizzazione delle funzioni integrabili1.8 Rettificabilità1.9 Insiemi normali e loro integrali1.10 Miscellanea1.11 *Appendice: Somme di Riemann*

2 Integrazione assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1 Funzioni assolutamente integrabili2.2 Criteri di integrabilità2.3 Trasformata di Fourier2.4 *Appendice: il calcolo dell’integrale gaussiano*

3 Arzelà e il cambiamento delle variabili 453.1 Convergenza uniforme3.2 Il Teorema della convergenza limitata/dominata o di

Arzelà3.3 Approssimanti della delta di Dirac3.4 Il Teorema del cambiamento delle variabili3.5 Esempi di cambiamento delle variabili3.6 Esempi di calcolo

"Teoria" dell’integrazione diRiemann

1. Integrazione e misura

1.1 Inf, Sup e oscillazioniConsideriamo un sottoinsieme proprio non vuoto S dell’insieme dei numeri reali R. Chiamiamo con i simboliMS ed mS rispettivamente l’insieme dei maggioranti e minoranti dell’insieme S , ossia

MS D fx 2 R W per ogni s 2 S vale s � xg mS D fx 2 R W per ogni s 2 S vale s � xg :

Ci ricordiamo che

1.1.1 Teorema Sia S limitato superiormente in R allora esiste il minimo elemento diMS . Allo stessomodo, sia S limitato inferiormente in R allora esiste il massimo di mS .

Questo conduce alla seguente definizione1.1.2 Definizione Nelle ipotesi del Teorema di cui sopra, il minimo dei maggioranti di S , minMS , verràdetto estremo superiore e simboleggiato da supS , mentre il massimo dei minoranti, maxmS , verrà dettoestremo inferiore e simboleggiato da inf S .

Oss Se S non è limitato superiormente porremo supS D C1, se invece non è limitato inferiormenteporremo inf S D �1. Inoltre, per convenzione, si dichiara sup; D �1 e inf ; D C1.

1.1.3 Esempi 1. Sia S D f 1k; k 2 Ng. Poiché S è limitato superiormente ed inferiormente (S � Œ0; 1�,

ad esempio) allora l’insieme dei minoranti di S è non vuoto ed è mS D fx � 0g, quindi il massimo dimS è inf S D 0, mentre l’insieme dei maggiorantiMS D fx � 1g quindi supS D maxS D 1.

2.�

Riassumiamo le principali proprietà degli estremi superiori ed inferiori.

1.1.4 Teorema Sia S � R tale che supS 2 R. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:1. supS 2MS ,2. s � supS , per ogni s 2 S ,3. se a 2 R e per ogni s 2 S si ha s � a allora a 2MS e supS � a ,

8 Capitolo 1. Integrazione e misura

4. per ogni fissato � > 0 esiste s0 2 S tale che

supS � � < s0 � supS :

Lo stesso vale per l’estremo inferiore: sia S � R tale che inf S 2 R, allora le seguenti affermazioni sonoequivalenti:

1. inf S 2 mS ,2. s � inf S , per ogni s 2 S ,3. se b 2 R e per ogni s 2 S si ha s � b allora b 2 mS e inf S � b ,4. per ogni fissato � > 0 esiste s0 2 S tale che

inf S C � > s0 � inf S :

Alcune proprietà utili nel prosieguo sono le seguenti:

1.1.5 Teorema 1. Siano A � B � R. Vale la seguente catena di disuguaglianze:

inf B � inf A � supA � supB :

2. Siano A ;B non vuoti e limitati inferiormente, allora inf.A [ B/ D minfinf A ; inf Bg.3. Siano A ;B non vuoti e limitati superiormente, allora sup.A [ B/ D maxfsupA ; supBg.

Ricordiamo anche notazioni compatte che saranno utili a breve: sia f W A ! R, con A � Rn, alloral’immagine di A sotto f è definita come f .A/ :D fy 2 R W esiste x 2 A tale che y D f .x/g, e scriveremo,per ogni B � A

infx2B

f .x/ D inf f .B/ D inf fB ; supx2B

f .x/ D supf .B/ D supfB ;

dove fB denota la restrizione di f a B . In particolare, il diametro dell’immagine f .A/ è facilmentedimostrabile essere

diam.f .A// D supf .A/ � inf f .A/ D supz;w2A

jf .z/ � f .w/j :

Introduciamo anche il concetto di oscillazione di una funzione, legata come vedremo al concetto didiametro.

1.1.6 Definizione (Oscillazione) Sia f W D ! R, allora per ogni A � D definiamo l’oscillazione di fin A la quantità

(1.1) oscA.f / D diam.f .A// :

In particolare, definiamo l’oscillazione in un punto a 2 D come

osca.f / D inf f oscA.f / W A � D ; a 2 int.A/g :

1.1.7 Teorema Siano f W D ! R, D � Rn e a 2 D. La funzione f è continua in a se e solo seosca.f / D 0.

Dimostrazione. (Necessità) Se f è continua in a allora per ogni � > 0 esiste un ı > 0 tali che per ogni xappartenente alla sfera Aı centrata in a e con diam.Aı/ < ı si ha jf .x/ � f .a/j < �. Da questo otteniamoche valgono simultaneamente le relazioni

f .x/ < f .a/C � ; f .x/ > f .a/ � � :

Passando rispettivamente agli estremi superiori ed inferiori inAı si ha oscAı .f / D supf .Aı/� inf f .Aı/ �2�. Per l’arbitrarietà di � si ha l’asserto.

(Sufficienza) Sia osca.f / D 0. Allora per ogni � > 0 esiste ı > 0 tale che per ogni sfera Bı � D

centrata in a e con diam.Bı/ < ı, allora oscBı .f / < �. Ora, per ogni x 2 Bı , incluso a, si ha

1.2 Notazioni standard per intervalli sulla retta reale 9

inf f .Bı/ � f .x/ � supf .Bı/. Per cui si ottiene, jf .x/ � f .a/j � oscBı .f / < �, quindi f è continua ina. �

Concludiamo ricordando che dati due sottoinsiemi non vuoti A;B dei numeri reali, li diremo insiemiseparati se presi ad arbitrio due elementi a 2 A e b 2 B vale sempre a � b. Se A e B sono insiemi separati,l’elemento x 2 R tale che per ogni a 2 A e per ogni b 2 B è tale che a � x � b si chiama elemento diseparazione per A e B . Due insiemi separati A e B si dicono inoltre contigui se per ogni � > 0 esistonoa 2 A e b 2 B tali che b � a < �.

1.1.8 Teorema Condizione necessaria e sufficiente affinchè due insiemi non vuoti e separati A;B � Rsiano contigui è che esista un unico elemento separatore.

Dimostrazione. La condizione è necessaria. Ogni elemento diB è un maggiorante perA. QuindiA è limitatosuperiormente e per la completezza di R esiste reale supA. Lo stesso vale per B , ogni elemento di A è unminorante per B quindi B è limitato inferiormente e per la completezza di R esiste reale inf B . Si ha sempresupA � inf B , quindi tutti gli elementi di ŒsupA; inf B� sono elementi separatori per A e B . Se ne evinceche

0 � inf B � supA � b � a ; per ogni a 2 A ; b 2 B :

Dalla contiguità si evince che0 � inf B � supA < � ;

e per l’arbitrarietà di � si ha supA D inf B .La condizione è sufficiente. Sia x D supA D inf B , l’unico elemento di separazione per A e B . Per il

Teorema 1.1.4, per ogni � > 0 esistono a 2 A e b 2 B tali che

x ��

2< a � b < x C

�

2;

da cuib � a < � :

�

1.2 Notazioni standard per intervalli sulla retta realeRicordiamo che un intervallo in R è un qualsiasi insieme connesso nella topologia standard di R. Quindi se Iè un intervallo in R esso potrà essere uno dei seguenti sottoinsiemi di R: Supponiamo a < b numeri realiallora

1. .a; b/ :D fx 2 R W a < x < bg2. Œa; b/ :D fx 2 R W a � x < bg3. .a; b� :D fx 2 R W a � x � bg4. Œa; b� :D fx 2 R W a � x � bg5. fag6. Œa;C1/ :D fx 2 R W a � x < C1g, .a;C1/ :D fx 2 R W a < x < C1g7. .�1; b/ :D fx 2 R W �1 � x < bg, .�1; b� :D fx 2 R W �1 < x � bg

8. R9. ;

Gli intervalli in 1 � 4 sono detti intervalli propri o limitati o semplicemente intervalli, il caso 5 comprendegli intervalli detti intervalli degeneri, i casi rimanenti 6 � 8 sono detti intervalli impropri, o non limitati. Lapresenza dell’insieme vuoto ; è per pura convenienza.

Possiamo definire la lunghezza di un intervallo generico I come

l.I / D sup I � inf I :

Per cui, i casi 1 � 4 danno l.I / D b � a, il caso 5 vale l.fag/ D 0 (per ogni a 2 R), mentre per semirette eretta reale, casi 6 � 8, vale l.I / D C1. Per convenzione poniamo l.;/ D 0


1.3 Rettangoli, insiemi rettangolari e partizioniPossiamo utilizzare gli intervalli della sezione precedente per costruire a dimensione più alta oggetti geometricisemplici. In Rn, n 2 N, possiamo considerare i rettangoli n-dimensionali, paralleli agli assi coordinati, ossiai sottoinsiemi R � Rn definiti come prodotto cartesiano di n intervalli in R. Quindi

1.3.1 Definizione Un sottoinsieme R di Rn è detto rettangolo n-dimensionale (a volte semplicementerettangolo) se è della forma

R:D I1 � I2 � � � � � In D f.x1; : : : ; xn/ 2 Rn W xj 2 Ij ; j D 1; : : : ; ng ;

dove chiaramente Ij � R per j D 1; : : : ; n.Se R è un rettangolo n-dimensionale, lo diremo aperto, o chiuso, e/o limitato, e/o non degenere se e

solo se gli intervalli Ij , j D 1; : : : ; n, che lo costituiscono hanno tutti le medesime proprietà. Per contro,ovviamente, se almeno un intervallo che lo costituisce è vuoto il rettangolo stesso è vuoto.

Un rettangolo n-dimensionale degenere R è isometrico (come spazio metrico nella metrica euclidea) adun rettangolo m-dimensionale, dove m D n � k dove k è il numero di intervalli degeneri che compongonoR. Se k D n allora il rettangolo è costituito da un solo punto di Rn che verrà detto vertice.

1.3.2 Esempio Diamo alcuni esempi di rettangoli in R2:1. Œ0; 1� � Œ0; 1�, detto cubo in R2,2. Œ0; 1/ � Œ�1;C1/, una striscia di estensione infinita,3. Œ5; 5� � Œ2; 3�, esempio di rettangolo degenere,4. Œ5; 5� � Œ2; 2�, esempio di rettangolo degenere, un vertice, di coordinate .5; 2/,5. fx 2 R W 5 < x < 5g � Œ1; 2�, esempio di rettangolo vuoto.

�

1.3.3 Definizione Per ogni rettangolo n-dimensionale R definiamo col simbolo cl.R/ la sua chiusura,col simbolo int.R/ il suo interno, con il simbolo fr.R/ D cl.R/ n int.R/ la sua frontiera e con il simboloRı la ı-estensione con ı > 0, ossia se R D

QNjD1 Ij allora si estende ogni Ij D Œaj ; bj � con l’intervallo

.Ij /ı D .aj � ı; bj C ı/.

Oss Non è difficile dimostrare che se R1 ed R2 sono due qualsiasi rettangoli, allora R1 \R2 è ancora unrettangolo, possibilmente vuoto o degenere. Lo stesso non vale per l’unione. Inoltre seR è un rettangolon-dimensionale non degenere (non vuoto) allora fr.R/ è l’unione di 2n rettangoli degeneri, ciascunoisometrico ad un rettangolo n � 1-dimensionale. I 2n rettangoli così determinati sono detti anche lefacce di R. Notiamo anche che fr.R/ ¤ ; anche quando R è un rettangolo aperto.

Possiamo definire il concetto di misura di volume n-dimensionale per i rettangoli in Rn. Infatti se R è unrettangolo n-dimensionale possiamo porre

voln.R/ D l.I1/ � l.I2/ � � � l.In/ DnY

jD1

l.Ij / :

Quindi, notiamo che se R è limitato allora il suo volume è un numero reale non negativo, se è degenere (ovuoto) allora ha volume nullo, mentre se non è limitato allora il volume è infinito, come da intuizione, ameno che uno degli intervalli componenti non sia degenere, in tal caso il volume è sempre nullo. Si notianche che il concetto di volume non distingue rettangoli aperti e/o chiusi. È chiaro che spesso ci limiteremonel prosieguo al caso di rettangoli limitati.

Per far fronte alla mancata stabilità della famiglia dei rettangoli sotto le principali operazioni insie-mistiche (ad esempio l’unione, come ricordato poc’anzi) si opera una generalizzazione facendo uso delconcetto che in Analisi Matematica II abbiamo introdotto e chiamato ricoprimento di un insieme di Rn.Definiamo in effetti un sottocaso di ricoprimento di un sottoinsiemeA � Rn che chiameremo partizione diA.

1.3.4 Definizione (Insieme Rettangolare e Partizioni) Dato un sottoinsieme A � Rn, diremo che A èun insieme rettangolare di Rn se esiste almeno una scelta di un numero finito N 2 N di rettangoli (non

1.3 Rettangoli, insiemi rettangolari e partizioni 11

vuoti!) Rj di Rn, j D 1; : : : ; N , per i quali valgono le seguenti condizioni:1. int.Rj / \ int.Rk/ D ; se j ¤ k,2. A D

SNjD1Rj .

L’insieme P D .R1; : : : ; RN / di tali rettangoli viene detto una partizione dell’insieme rettangolare A.

Oss Viene dalla definizione che ogni rettangolo è in particolare un insieme rettangolare. Inoltre, esistonoinfinite partizioni di un insieme rettangolare.

Questa classe è stabile sotto le principali operazioni insiemistiche:

1.3.5 Teorema Siano A e B insiemi rettangolari in Rn, allora A [ B , A \ B e A n B sono insiemirettangolari.

Dimostrazione. (Idea) Non è difficile mostrare che proiettando sugli assi coordinati tutte le facce dei rettangolicomponenti la cui unione forma A e B che gli insiemi A [ B , A \ B e A n B (se non vuoti) sono datidall’unione di rettangoli formati dal prodotto cartesiano di intervalli che hanno per estremi i valori di duedelle proiezioni. �

Utilizzando la definizione di partizione già nel caso dei rettangoli, troveremo utile il seguente risultatotecnico:

1.3.6 Lemma Sia R un rettangolo n-dimensionale compatto non vuoto non degenere. Allora per ogniı > 0 esiste una partizione di R tale che ogni elemento della partizione abbia diametro minore di ı.

Dimostrazione. Poiché R è rappresentato da intervalli Ij D Œaj ; bj �, j D 1; : : : ; n, suddividiamo ognuno diessi in un egual numero, diciamo k 2 N, di sottointervalli di uguale lunghezza. Ossia xij � xij�1 D

bj�ajk

con j D 1; : : : ; n e ij D 1; : : : ; k. Prendendo piani paralleli agli assi di equazioni xj D xij , troviamo unapartizione di R in rettangoli compatti non vuoti e non degeneri Ri1��in il cui diametro è, per definzione,

diam.Ri1��in/ D

pnX

jD1

�bj � aj

k

�2D1

k

pnX

jD1

�bj � aj

�2D1

kdiam.R/ ;

per cui, dato ı > 0 esiste k0 2 N tale che per ogni k � k0 si ha diam.Ri1��in/ < ı. �

Possiamo estendere la nozione di volume al caso degli insiemi rettangolari. Data una partizione P di Ainsieme rettangolare definiamo

voln.A/ DXR2P

voln.R/ :

Tale definizione è ben posta perché non dipende dalla partizione scelta.

1.3.7 Teorema Sia A un insieme rettangolare di Rn e siano P 0 D .R01; : : : ; R0M / e P 00 D .R001; : : : ; R

00N /

due partizioni di A. Allora

voln.A/ DMXjD1

voln.R0j / DNXkD1

voln.R00k/ :

Dimostrazione. Consideriamo la famiglia fRjk W j D 1; : : : ;M ; k D 1; : : : ; N g, dove Rjk D R0j \ R00k

sono o rettangoli (non degeneri e non vuoti), o degeneri o l’insieme vuoto. Osserviamo che, in ogni caso, perogni j e k si ha

R0j D

N[kD1

Rjk ; R00k D

M[jD1

Rjk :

Da questo otteniamo

MXjD1

voln.R0j / DMXjD1

NXkD1

voln.Rjk/ DNXkD1

MXjD1

voln.Rjk/ DNXkD1

voln.R00k/ :


�

Denotiamo con Part.A/ l’insieme formato dalle partizioni di A. Possiamo definire un ordinamento perPart.A/. Se P e Q sono due partizioni, diremo che P è più fine di Q, se per ogni I 2 P (I è un genericorettangolo non vuoto non degenere compatto) esiste un (unico!) J 2 Q tali che I � J . Talvolta in simboli siscrive P � Q. Abbiamo una relazione d’ordine che però è chiaramente parziale, infatti non è vero che datedue qualsiasi partizioni di un insieme rettangolare una sia più fine dell’altra. Possiamo però costruirne unapiù fine a partire da una qualsiasi coppia P e Q. Si considerano le intersezioni I \ J , con I 2 P e J 2 Q

rispettivamente. Abbiamo tre possibilità: la prima è che l’intersezione è un nuovo rettangolo n-dimensionale,la seconda è un rettangolo degenere, la terza è l’insieme vuoto. Generiamo una nuova partizione considerandole sole intersezioni non vuote e non degeneri e denotiamo tale partizione col simbolo P _ Q. È chiaroche tale nuova partizione di A è più fine delle generatrici, infatti se K 2 P _ Q allora esistono I 2 P

e J 2 Q tali che K D I \ J , sicchè K D I \ J � I e K D I \ J � J , simultaneamente, e quindiP _Q � P e P _Q � Q. Part.A/ forma, in tal caso, un insieme detto diretto o direzionato. Tali insiemirappresentano una classe importante che rimpiazza, in alcune situazioni, l’insieme dei numeri naturali comeindice di successioni. La direzionalità descritta rappresenta un ragionevole rimpiazzo dell’indice “che tendeall’infinito” nella nozione di limite per le successioni.

1.4 Somme di DarbouxSia A � Rn un insieme rettangolare limitato non vuoto e sia f W A ! R una funzione limitata. Tramitela direzionalità di Part.A/, definiamo due successioni numeriche generalizzate. La prima è la somma, ointegrale, superiore di Darboux

I ?.f;P / DXR2P

supf .R/ voln.R/ ;

la seconda è la somma, o integrale, inferiore di Darboux

I?.f;P / DXR2P

inf f .R/ voln.R/ ;

dove, ovviamente P 2 Part.A/.Dalle proprietà degli estremi inferiori e superiori, Teorema 1.1.5, se ne deduce che, se P � Q in Part.A/

alloraI?.f;Q/ � I?.f;P / � I

?.f;P / � I ?.f;Q/ :

Ne deduciamo che gli insiemi numerici fI?.f;P / 2 R W P 2 Part.A/g e fI ?.f;P / 2 R W P 2 Part.A/g,sono rispettivamente limitati superiormente ed inferiormente, per cui esistono, rispettivamente, gli estremisuperiore ed inferiore,

I?.f /:D supfI?.f;P / W P 2 Part.A/g

�D lim

P2Part.A/I?.f;P /

�(1.2)

I ?.f /:D inffI ?.f;P / W P 2 Part.A/g

�D lim

P2Part.A/I ?.f;P /

�:(1.3)

1.4.1 Definizione Gli elementi di R nelle eq.(1.2) e (1.3), sono detti, rispettivamente, integrale inferioredi f e integrale superiore di f, entrambi su A.

Concludendo, abbiamo, nel linguaggio base degli insiemi in R, che gli insiemi fI?.f;P / W P 2 Part.A/ge fI ?.f;P / W P 2 Part.A/g formano una coppia di insiemi separati e che il loro intervallo di separazione èdato dall’insieme ŒI?.f /; I ?.f /�, poiché vale sempre1 che I?.f / � I ?.f / .

1.4.2 Definizione (Integrale di Riemann) Se esiste I 2 R tale che I D I?.f / D I ?.f / diremo che lafunzione f è integrabile secondo Riemann (Darboux) in A ed il suo integrale di Riemann in A vale I .

1È semplice mostrare che questo è vero dimostrando dapprima che date due qualsivoglia partizioni P 0 e P 00 in Part.A/ si ha sempreI?.f;P

0/ � I?.f;P 00/.

1.4 Somme di Darboux 13

Scriveremo, a seconda delle necessità, in modo equivalente

I D I.f / D

ZA

f

D

ZA

f .x/ dx D

ZA

f .y/ dy D

Zx2A

f .x/

D

Z� � �

ZA

f .x1; x2; : : : ; xn/ dx1dx2 : : : dxn :

La famiglia delle funzione integrabili secondo Riemann in A � Rn verrà denotata col simboloRiem.A/.

Oss La definizione di cui sopra è una evidente forzatura perché abbiamo solo determinato le somme diDarboux, senza introdurre quelle di Riemann. Quindi, ad essere pignoli, le funzioni della definizionesono quelle integrabili secondo Darboux. Si può dimostrare però che, una volta introdotta la definizionedi funzioni integrabili secondo Riemann, le due classi coincidono. La tecnica fa uso del concetto disuccessione generalizzata i cui indici sono elementi di una variazione dell’insieme diretto Part.A/(variante che tiene conto dell’associazione di un punto, detto marcatura, per ogni elemento di unapartizione assegnata di A).

Cominciamo con il vedere un esempio di funzione integrabile secondo Riemann.Sia f W R! R costante su un qualsiasi insieme rettangolare limitato R � Rn, ossia f .x/ D c 2 R per

ogni x 2 R. Allora, poiché inf f .R/ D supf .R/ D c le somme integrali superiori e inferiori valgono, perogni P 2 Part.R/,

I?.f;P / DXP2P

c voln.P / D cXP2P

voln.P / D c voln.R/ ;

I ?.f;P / DXP2P

c voln.P / D cXP2P

voln.P / D c voln.R/ :

Quindi le funzioni costanti su insiemi rettangolari limitati sono integrabili secondo Riemann, poiché I?.f / DI ?.f / per ogni partizione in Part.R/.

Un esempio di funzione non integrabile secondo Riemann è per n D 1 la funzione di Dirichlet, adimensione generica possiamo farne una ovvia generalizzazione. Prendiamo, ad esempio il cubo C D Œ0; 1�ne consideriamo l’intersezione di ciascun intervallo componente con i razionali Œ0; 1� \Q. Allora la funzionedi Dirichlet � su C in n dimensioni è la funzione che associa il valore 1 a tutti i punti x D .x1; : : : ; xn/ diC le cui componenti sono tutti elementi di Q \ Œ0; 1�, mentre vale 0 per tutti gli altri punti in C . Allora,inf f .C \Qn/ D 0 mentre supf .C \Qn/ D 1. Quindi è evidente che dalla definizione di somme inferiorie superiori si otterrà, rispettivamente,

I?.�/ D 0 ; I ?.�/ D voln.C / D 1n D 1 ;

quindi poiché vale sempre la disuguaglianza stretta I?.�/ < I ?.�/, indipendentemente dalla scelta dieventuali partizioni, la funzione di Dirichlet generalizzata continua a non essere integrabile secondo Riemannanche in dimensione generica.

Oss Come visto nell’esempio precedente gli integrali superiore ed inferiore esistono sempre, anche perfunzioni non integrabili secondo Riemann.

Esiste un buon criterio, dovuto a Riemann, per determinare quando una funzione è integrabile secondoRiemann.

1.4.3 Teorema [Criterio di Integrabilità di Riemann] Sia A un insieme rettangolare limitato in Rn ef W A! R una funzione limitata. Allora, la funzione f è integrabile secondo Riemann in A se e solo seper ogni � > 0 esiste una partizione P 2 Part.A/ tale che

I ?.f;P / � I?.f;P / < � :


Dimostrazione. La dimostrazione è ovvia per il Teorema 1.1.8. �

In particolare, il Criterio di Riemann ci indica che se P D fRj ; j D 1; : : : ; N g, ed usando l’eq. (1.1)),la seguente quantità

(1.4) I ?.f;P / � I?.f;P / D

NXjD1

�supf .Rj / � inf f .Rj /

�voln.Rj / D

NXjD1

oscRj .f / voln.Rj / ;

è cruciale per l’integrabilità. Per cui, la funzione f sarà integrabile in A se e solo se l’estremo inferiore diqueste sommatorie oscillanti è zero. Una ampia classe di funzioni per cui il controllo delle oscillazioni ègarantito sono le funzioni continue ed il risultato cruciale viene descritto dal seguente Teorema.

1.4.4 Teorema Sia A un insieme rettangolare compatto non degenere e non vuoto in Rn ed f W A! Rcontinua. Allora f 2 Riem.A/:

Dimostrazione. A è compatto non vuoto di Rn e quindi : .1/ f per Weierstrass è limitata in A, .2/ per ilTeorema di Heine-Cantor (1, vol.1, Teorema 2.7, pag. 214) è uniformemente continua in A. In formule,supf .A/ D max f .A/, inf f .A/ D min f .A/ e per ogni � > 0 esiste ı > 0 tali che per ogni coppiax0; x00 2 A tali che kx0 � x00k < ı si ha jf .x0/ � f .x00/j < �. Fissiamo � > 0 e sia ı > 0 conformementealla richiesta di uniforme continuità. Possiamo usare il Lemma 1.3.6 e trovare una partizione di A i cuielementi Rj , j D 1; : : : ; N , siano tali da avere diam.Rj / < ı. Quindi,

I ?.f / � I?.f / � I?.f;P / � I?.f;P /

D

NXjD1

�max f .Rj / �min f .Rj /

�voln.Rj /

D

NXjD1

oscRj .f /voln.Rj / :

Poiché i rettangoli Rj hanno diametro minore di ı allora ogni coppia di punti x0; x00 2 Rj è tale da avere,per l’uniforme continuità di f in Rj , jf .x0/ � f .x00/j < � da cui oscRj .f / � �. Dalla disuguaglianzaprecedente che I ?.f / � I?.f / � �voln.A/. Per l’arbitrarietà di � si ha la tesi. �

Una proprietà importante per l’integrale di Riemann è la linearità. Per dimostrarlo passiamo attraversoun lemma interessante che dimostra che integrali superiori ed inferiori hanno proprietà vicine alla linearità.

1.4.5 Lemma Siano f; g W A! R funzioni limitate sull’insieme rettangolare A � Rn limitato. Allora,l’integrale inferiore è sopralineare

I?.f C g/ � I?.f /C I?.g/ ;

mentre quello superiore è sottolineare

I ?.f C g/ � I ?.f /C I ?.g/ :

Dimostrazione. È sufficiente dimostrare la seconda asserzione, la prima segue invertendo le disuguaglianzenello scambio del sup con inf.

Sappiamo che per ogni x 2 A si ha

f .x/C g.x/ � sup.f .A//C sup.g.A// ;

quindi il membro di destra è un maggiorante per quello di sinistra, per cui vale

sup..f C g/.A// � sup.f .A//C sup.g.A// :

Da questo si evince che per ogni partizione P 2 Part.A/

I ?.f C g/ � I ?.f C g;P / � I ?.f;P /C I ?.g;P / :

1.5 Baby Fubini o della riduzione 15

Ora, per il Teorema 1.1.4 dell’estremo superiore, per ogni � > 0 esistono partizioni P e Q tali che

I ?.f;P / � I ?.f /C�

2

I ?.g;Q/ � I ?.g/C�

2:

(1.5)

Sia ora R D P _Q la partizione più fine generata dalle partizioni P e Q, vale

I ?.f;R/ � I ?.f;P /

I ?.g;R/ � I ?.g;Q/ :

Sommando ambo i membri ed usando l’eq.(1.5), si ha

I ?.f C g/ � I ?.f /C I ?.g/C � :

per l’arbitrarietà di � si ha la tesi. �

Infine, dimostriamo alcune tra le proprietà più rilevanti dell’integrazione secondo Riemann. Altreproprietà seguiranno nella sez. 1.6.

1.4.6 Teorema Siano f; g 2 Riem.A/, con A insieme rettangolare in Rn.

1. (Linearità) Allora f C g 2 Riem.A/ e vale

I.f C g/ D I.f /C I.g/ :

2. (Isotonia) Sia g � f in A. AlloraI.g/ � I.f / ;

in particolare se f � 0 alloraI.f / � 0 :

3. (Additività) Sia A D A1 [ A2, con Ai , i D 1; 2, anch’essi insiemi rettangolari limitati. Se f èintegrabile su A1 e A2, allora f è integrabile su A e A1 \ A2 e valeZ

A

f C

ZA1\A2

f D

ZA1

f C

ZA2

f :

Dimostrazione. Dal Lemma 1.4.5 si ha

I?.f /C I?.g/ � I?.f C g/ � I?.f C g/ � I ?.f /C I ?.g/ :

Poiché f e g sono integrabili allora I?.f / D I ?.f / D I.f / e lo stesso per g per cui, dalla disuguaglianzadi cui sopra,

I.f /C I.g/ � I?.f C g/ � I?.f C g/ � I.f /C I.g/ ;

da cui la tesi. �

1.5 Baby Fubini o della riduzioneCominciamo col vedere un primo strumento, detto degli integrali iterati, che permette il calcolo esplicito diuna categoria semplice di integrali. Ci soffermiamo dapprima al caso di dimensione 2.

1.5.1 Teorema Sia R D Œa; b� � Œc; d �, a < b ; c < d , rettangolo in R2 e f 2 Riem.R/.1. Se per ogni y 2 Œc; d � esiste l’integrale G.y/ D

R baf .x; y/ dx, allora la funzione y 7! G.y/ è

integrabile in Œc; d � e vale la formula

I.f / D

ZR

f D

Z d

c

G.y/ dy D

Z d

c

"Z b

a

f .x; y/ dx

#dy :

2. Se per ogni x 2 Œa; b� esiste l’integrale H.x/ DR dcf .x; y/ dy, allora la funzione x 7! H.x/ è


integrabile in Œa; b� e vale la formula

I.f / D

ZR

f D

Z b

a

H.x/ dx D

Z b

a

"Z d

c

f .x; y/ dy

#dx :

In caso valgano entrambi si haZ b

a

"Z d

c

f .x; y/ dy

#dx D

Z d

c

"Z b

a

f .x; y/ dx

#dy :

Non faremo la dimostrazione perché più avanti dimostreremo un risultato più generale. Quello che ciinteressa è però cominciare a vedere alcuni esempi di calcolo esplicito di integrali doppi.

1.5.2 Esempi 1. Sia f .x; y/ D 1.xCy/2

su R D Œ3; 4� � Œ1; 2�. Poiché la funzione f su R è continua,allora è integrabile su R per il Teorema 1.4.4 e valgono le conclusioni del Teorema 1.5.1, per cui,possiamo calcolare l’integrale doppio partendo dal calcolo dell’integrale nella variabile x e ottenere lafunzione

G.y/ D

Z 4

3

1

.x C y/2dx D

��

1

x C y

�xD4xD3

D1

3C y�

1

4C y:

Quindi

I.f / D

Z 2

1

G.y/ dy D

Z 2

1

�1

3C y�

1

4C y

�dy D

�lny C 3

y C 4

�yD2yD1

D ln25

24:

2. Sia C D Œ0; 1�2 il cubo in R2 e sia data la funzione

f .x; y/ D

8<:x C y ; x 2 Œ0; 1=2� ; y 2 Œ0; 1=2� ;

x C y � 1 ; x 2 .1=2; 1� ; y 2 .1=2; 1� ;

0 ; altrimenti :

La funzione f è ben definita su C ma non è continua, ad esempio nel punto .1=2; 1=2/ presenta unaoscillazione di ampiezza 1. Ciononostante,

H.x/ D

ZŒ0;1�

f .x; y/ dy D

Z 1=2

0

.x C y/ dy C

Z 1

1=2

.x C y � 1/ dy D

Z 1

0

.x C y/ dy �

Z 1

1=2

dy

D

�xy C

y2

2

�yD1yD0

� Œy�yD1

yD1=2D x :

Quindi la funzione x 7! H.x/ esiste ed è integrabile su Œ0; 1� per cui I.f / DR 10H.x/ dx D 1

2. Lo

stesso si può verificare nel caso della funzione y 7! G.y/ e si trova che gli integrali sono uguali, comeda conclusione del Teorema.

3. (Controesempio!) Sia R D Œ0; 2� � Œ0; 1� e sia data la funzione

f .x; y/ D

8<:xy.x2 � y2/

.x2 C y2/3; .x; y/ ¤ .0; 0/ ;

0 ; .x; y/ D .0; 0/ :

Integriamo prima rispetto la variabile x assumendo che y ¤ 0:

G.y/ D

Z 2

0

xy.x2 � y2/

.x2 C y2/3dx

uDx2Cy2!duD2xdxD

Z y2C4

y2

y.u � 2y2/

2u3du

D

Z y2C4

y2

�y

2u2�y3

u3

�du D

��y

2uC

y3

2u2

�uDy2C4uDy2

D �y

2.y2 C 4/C

y3

2.y2 C 4/2C

1

2y�1

2yD �

2y

.y2 C 4/2:

1.6 Estensione, Composizione e Approssimazione 17

Questa formula rimane valida anche per y D 0, poiché la funzione f si annulla sull’asse x D 0.Facendo l’integrale rispetto alla variabile y, si haZ 1

0

G.y/ dy D �

Z 1

0

2y

.y2 C 4/2dy D

�1

y2 C 4

�yD1yD0

D �1

20:

Facciamo ora l’integrale iterato nel senso opposto al precedente. Integriamo prima rispetto allavariabile y supponendo x ¤ 0:

H.x/ D

Z 1

0

xy.x2 � y2/

.x2 C y2/3dy

uDx2Cy2!duD2y dyD

Z x2C1

x2

x.2x2 � u/

2u3du

D

Z x2C1

x2

�x3

u3�

x

2u2

�du D

��x3

2u2C

x

2u

�uDx2C1uDx2

D �x3

2.x2 C 1/2C

x

2.x2 C 1/C

1

2x�1

2xD

x

2.x2 C 1/2:

Da notare che la formula rimane vera anche per x D 0 perché f è nulla su tutto l’asse delle y.Integrando sulla variabile x, si ottieneZ 2

0

H.x/ dx D

�1

4.x2 C 1/

�xD2xD0

D �1

20C1

4D1

5:

Conclusione, i due integrali non sono uguali! Il motivo è che la funzione f non è certamente inte-grabile sul rettangolo scelto poiché non è limitata in nessuno intorno dell’origine. Infatti è sufficienteconsiderare i punti .s; 2s/ e .2s; s/ e trovare che per ogni s ¤ 0

f .s; 2s/ D �6

125s2; f .2s; s/ D

6

125s2;

e quindi per s ! 0 la funzione assume valori arbitrariamente grandi di segno opposto. L’origine è unpessimo punto di discontinuità.

�

1.6 Estensione, Composizione e ApprossimazioneVediamo dapprima come estendere la nozione di integrale a sottoinsieme limitati più generali degli insiemirettangolari. SiaD � Rn limitato, sia inoltre f W D ! R una funzione limitata. Per ogni A � Rn insiemerettangolare limitato per cuiD � A definiamo una estensione della funzione f ad A nel modo seguente:

Qf .x/ D

(f .x/ ; x 2 D ;

0 ; x 2 A nD :

Abbiamo quindi esteso f ponendo uguale a zero il valore di Qf sul complemento diD in A. Allora diciamoche

(1.6)ZD

f:D

ZA

Qf ;

quando il secondo membro ha senso, ossia quando Qf 2 Riem.A/. È chiaro che la definizione è ben postaperché non dipende dall’insieme rettangolare che estende il dominio di f e quindi diremo che f 2 Riem.D/.

Anche in questa generalizzazione a insiemi limitati ma generici inRn valgono le conclusioni del Teorema 1.4.6.

Hanno un certo interesse, anche tecnico, alcuni risultati derivanti dalla composizione di funzioni inte-grabili con funzioni sufficientemente regolari. Questo permette anche di estendere le proprietà dell’integraledi Riemann, al di là del Teorema 1.4.6. Concluderemo la sezione con un risultato di approssimazione perfunzioni integrabili. Per quanto visto in eq. (1.6), se non esplicitamente indicato, gli integrali saranno intesisu sottoinsiemi limitati generici.


1.6.1 Teorema Siano A un insieme limitato in Rn, f 2 Riem.A/ e h funzione lipschitziana in R. Allorala composizione h ı f è integrabile secondo Riemann in A.

Dimostrazione. La funzione h è lipschitziana in R quindi esiste L � 0 tale che jh.y/ � h.z/j � Ljy � zj.Quindi oscA.h ı f / � LoscA.f /. Questo implica che, usando l’eq. (1.4) per h ı f , si ottiene

I ?.h ı f;P / � I?.h ı f;P / � L�I ?.f;P / � I?.f;P /

�:

È ovvio ora che se f è integrabile, così è h ı f . �

Oss Ricordiamo che affinchè h sia lipschitziana è sufficiente che la funzione sia C 1 su R con derivata limitata,ad esempio che sia C 1 su ogni sottoinsieme limitato.

1.6.2 Teorema Siano f; g 2 Riem.D/ dove D � Rn limitato. Allora il loro prodotto f � g è ancoraintegrabile secondo Riemann inD. Inoltre è integrabile il valore assoluto di f e vale

(1.7)ˇZD

f

ˇ�

ZD

jf j :

Dalla relazione

(1.8) f˙ D1

2.jf j ˙ f / � 0 ;

allora fC e f� sono integrabili se e solo se lo è f e si ha I.f / D I.fC/ � I.f�/.

Dimostrazione. Poiché valef � g D

1

2

�.f C g/2 � .f � g/2

�;

dal Teorema 1.6.1 e dal Teorema 1.4.6 applicati alla funzione lipschitziana z 7! z2 il risultato è immediato.Il valore assoluto è una funzione lipschitziana con costante L D 1, infatti

jjxj � jyjj � jx � yj :

Per cui jf j è integrabile in D se lo è f . La disuguaglianza eq. (1.7) è chiaramente vera per la proprietàdell’isotonia.

L’ultima parte del teorema segue dalla linearità dell’integrale. �

1.6.3 Teorema Sia f 2 Riem.D/ con D � Rn limitato e h una funzione continua ed iniettiva la cuiinversa è lipschitziana. Allora la composizione f ı h è integrabile secondo Riemann inD.

Questo Teorema verrà dimostrato più avanti.

1.6.4 Definizione (Supporto per funzioni) Sia f W Rn ! R, definiamo il supporto di f come la chiusuradell’insieme dei punti in Rn tali che f ¤ 0, ossia

suppf :D cl.fx 2 Rn W f .x/ ¤ 0g/ :

L’insieme delle funzioni continue a supporto limitato (quindi compatto) in Rn verrà denotato col simboloCc.Rn/.

Oss Vista la natura delle funzioni continue a supporto compatto, esse sono sempre integrabili in ogni insiemelimitato che contenga (o meno) il supporto. Infatti, se l’insieme limitato non contiene il supporto hola funzione identicamente nulla, che è sempre integrabile. Al contrario, se l’insieme limitato contieneil supporto allora essendo la funzione continua è integrabile, perché è già la sua stessa estensione. Èchiaro che l’insieme limitato, per arbitrariamente grande che esso sia, non gioca nessun ruolo in questa

1.6 Estensione, Composizione e Approssimazione 19

definizione e quindi possiamo scrivere l’integrale per convenzione come se fosse l’integrale esteso a tuttoRn, ossia interpreteremo I.f / D

Rf D

RRn f se f 2 Cc.Rn/. Vedremo in una prossima sezione

l’integrazione sugli aperti non necessariamente limitati, incluso Rn, di funzioni non necessariamente asupporto compatto.

Per costruire delle approssimazioni regolari si ha bisogno di tecniche abbastanza sofisticate. Introduciamoquì una di esse.

1.6.5 Definizione [Partizione dell’unità] Sia A � Rn e consideriamo un suo ricoprimento aperto C D

fOj W j 2 J g. Una partizione dell’unità di classe C k , k 2 N0, subordinata a C , è una collezione finitadi funzioni �s W Rn ! R, s D 1; : : : ; L, tali che

1. �s è di classe C k ,2. 0 � �s.x/ � 1, ogni x 2 Rn,3. per ogni s esiste un O 2 C , tale che supp.�s/ � O ,4.PLsD1 �s.x/ D 1, per ogni x 2 A.

Per dimostrare il risultato principale, ossia l’esistenza di una partizione dell’unità, descriviamo dapprimauna classe di funzioni ausiliarie: siano a0 < a < b < b0 e definiamo la funzione continua f D fa0 b0 a b W

R! R

f .x/ D

8ˆ<ˆ:

0 ; x � a0 ;

x � a0

a � a0; a0 � x � a ;

1 ; a � x � b ;

x � b0

b � b0; b � x � b0 ;

0 ; b0 � x :

È chiaro che f è continua su R. Siano R0 DQnjD1Œa

0j ; b0j � ; R

00 DQnjD1Œa

00j ; b00j � rettangoli in Rn, tali

che

(1.9) R0 � R00 ; a00j < a0j < b

0j < b

00j ; j D 1; : : : ; n :

Definiamo f W Rn ! R come

(1.10) f .x/ D fR0R00.x1; : : : ; xn/ D

nYjD1

fa00jb00ja0jb0j.xj /

per cui f è continua, in quanto prodotto di funzioni continue, e valgono le proprietà1. 0 � f .x/ � 1 ; se x 2 Rn ;2. supp.f / D R00;3. f .x/ D 1 ; se x 2 R0.

1.6.6 Teorema **[Esistenza partizione dell’unità] Per ogni insieme compatto K � Rn ed ogni suoricoprimento aperto C esiste una partizione dell’unità continua subordinata a C .**

Dimostrazione. Per ogni x 2 K esiste almeno un elemento O del ricoprimento C che lo contiene. Denotia-molo col simbolo Ox . Poiché Ox è aperto in Rn, esistono rettangoli R0x ; R00x per i quali valgono le relazionieq. (1.9) e tali che

x 2 int.R0x/ � R00x � Ox :

La collezione fint.R0x/ W x 2 Kg forma un ricoprimento aperto dell’insieme compatto K. Per Heine-Borel,esiste un numero finito di punti x1; : : : ; xL in K tali che

K �

L[jD1

int.R0xj / :

Definiamo, usando la costruzione delle funzioni ausiliarie in eq. (1.10),

�j D fR0xjR00xj; j D 1; : : : ; L ;

allora le funzioni �j W Rn ! R sono continue e valgono le proprietà


1. 0 � �j .x/ � 1 ; se x 2 Rn ,2. supp.�j / � R00xj � Oxj ,3. �j .x/ D 1 ; se x 2 R0xj .

Definiamo ora

(1.11) �1 D �1 ; �jC1 D .1 � �1/.1 � �2/ � � � .1 � �j /�jC1 ; j D 1; 2; : : : ; L � 1 :

Ne consegue che le funzioni �1 ; : : : ; �L soddisfano le prime tre proprietà della definizione di partizionedell’unità def. 1.6.5 subordinata al ricoprimento C . La relazione

(1.12)kX

jD1

�j D 1 �

kYjD1

.1 � �j / ;

è vera per k D 1. Supponiamo sia vera per k < L allora, sommando le relazioni in eq. (1.11) e (1.12), ridàl’eq.(1.12) per k C 1, quindi è vera anche per k D L. Ora, se x 2 K allora esiste un j per cui �j .x/ D 1,per cui

PLjD1 �j .x/ D 1. �

Per alcune applicazioni avremo necessità di più regolarità, quindi

1.6.7 Teorema ** Per ogni insieme compatto K in Rn ed ogni suo ricoprimento aperto C , esiste unapartizione dell’unità di classe C1 subordinata a C .**

Dimostrazione. (Idea) La dimostrazione è la stessa della precedente, sempreché si cambi la funzione f inuna funzione C1. A questo proposito, aggiungiamo alcune osservazioni:.a/ La funzione h W R! R definita come

h.x/ D

(0 ; x � 0 ;

e�1=x ; x > 0 ;

è una funzione C1 su tutto R anche in x D 0, dove le derivate sono tutte nulle. Infatti, esi-stono polinomi pk tali che h.k/.x/ D pk.

1x/h.x/ per x > 0. Otteniamo, limx!0C h.k/.x/ D

limy!1 pk.y/h.1=y/ D 0, ossia h.k/.0/ D 0..b/ Sia a < b allora definendo hab W R! R come

hab.x/ D h.b � x/h.x � a/ ;

otteniamo una funzione C1..c/ La funzione fab W R! R definita dalla posizione

fab.x/ D

R xahab.y/ dyR b

ahab.y/ dy

;

è una funzione C1 per la quale,

fab.x/ D 0 ; x � a I 0 < fab.x/ < 1 ; a < x < b I fab.x/ D 1 ; x � b :

.d/ Siano a00 < a0 < b0 < b00 e definiamo f D fa00 b00 a0 b0 come f .x/ D fa00 a0.x/f�b00�b0.�x/. Alloraf è una funzione C1 e si ha

f .x/ D 0 ; x � a00 I 0 < f .x/ < 1 ; a00 � x � a0 ;

f .x/ D 1 ; a0 � x � b0 I 0 < f .x/ < 1 ; b0 � x � b00 ;

f .x/ D 0 ; x � b00 :

�

Abbiamo bisogno di una generalizzazione della nozione di ı-estensione di un rettangolo:

1.7 Misura nulla e caratterizzazione delle funzioni integrabili 21

1.6.8 Definizione SiaA sottoinsieme di Rn, la sua ı-estensione, con ı > 0, simbolicamenteAı , è definitada

Aı D fy 2 Rn W ky � xk � ı ; x 2 Ag :

1.6.9 Lemma Sia K un compatto di Rn. Allora la sua ı-estensione, Kı , è un compatto. Se O è apertoin Rn che contiene K allora esiste ı > 0 tale che la sua ı-estensione Kı � O .

Dimostrazione. Sia O � K un insieme aperto. Allora, per ogni x 2 K esiste ı.x/ > 0 tale cheB.x; 2ı.x// � O . Per cui K �

Sx2K B.x; ı.x//, è un ricoprimento aperto di K. Poiché K è com-

patto, dal ricoprimento aperto possiamo estrarre un sottoricoprimento finito, ossia esistono x1; : : : ; xN tuttiin K tali che K �

SNkD1 B.xk ; ı.xk//.

Sia ı D minfı.xk/ W k D 1; : : : ; N g. Allora, per ogni y 2 Kı esiste x 2 K tale che ky � xk � ı equindi, per qualche k D 1; : : : ; N , si ha x 2 B.xk ; ı.xk//. Ne consegue

ky � xkk � ky � xk C kx � xkk � ı C ı.xk/ < ı.xk/C ı.xk/ D 2ı.xk/ ;

per cui y 2 B.xk ; 2ı.xk// � O , e si ottiene Kı � O . �

Usando l’esistenza di una partizione dell’unità, si può dimostrare il seguente potentissimo teorema diapprossimazione:

1.6.10 Teorema **[Approssimazione con funzioni continue] SianoD un insieme limitato in Rn e f WD ! R limitata. Allora per ogni � > 0 esistono funzioni g e h in Cc.Rn/, tali che

1. gD � f � hD ;2.R.h � g/ < � ;

3. I?.f / � I.g/ < � e I.h/ � I ?.f / < �.Inoltre, se f è integrabile secondo Riemann inD e se O è un aperto di Rn che contiene propriamenteD,allora è possibile scegliere i supporti delle funzioni g; h in modo tale da avere suppg � O , supph � O .**

Dimostrazione. Sia R0 un rettangolo che contieneD. Per ogni � > 0 possiamo trovare un altro rettangoloR00 tale che R00 � R0 e, applicando le definizioni in eq. (1.10), costruire h 2 Cc.Rn/, tale che

1R0 � h ;

Zh � voln.R0/ <

�

2:

Cambiando il ruolo di R0 e R00, si costruisce g 2 Cc.Rn/, tale che

g � 1R0 � h ; voln.R0/ �Zg <

�

2;

da cui ne consegue, sommando le disuguaglianze precedenti, che valeZ.h � g/ < � :

Dall’eq. 1.8 si ha f D fC � f�, quindi possiamo concentrarci sul caso in cui f � 0. Inoltre, possiamoconsiderare semplicemente il caso della funzione g � f , l’altro seguirà come prima.

da finire�

1.7 Misura nulla e caratterizzazione delle funzioni integrabiliVogliamo ora determinare le condizioni più generali per le quali gli integrali di Riemann esistono. Per farlo ènecessaria una breve escursione al di fuori dei concetti tipici associati all’integrazione secondo Riemann eche arrivano a toccare, almeno tangenzialmente, la teoria di Lebesgue. Nella fattispecie si usa la semplicenozione di insieme di misura trascurabile.


1.7.1 Definizione Sia A sottoinsieme di Rn. Diremo che A è a misura nulla in Rn se per ogni � > 0

troviamo un ricoprimento di A fatto da una quantità numerabile di rettangoli chiusi Rj , j 2 N, ossiaA � [j2NRj , tali che X

j2N

voln.Rj / < � :

Se questa disuguaglianza è vera diremo che il volume totale del ricoprimento è minore di �.

Vediamo gli esempi tipici di insiemi a misura nulla

1.7.2 Esempi 1. Sia Qn l’insieme degli elementi di Rn le cui n coordinate sono razionali. Essendo Qnumerabile, Qn è anch’esso numerabile. Quindi chiamiamo xk , k 2 N, i suoi elementi. Consideriamo

ora il cubo Ck centrato in xk e di lato n

r�

2kC1, per ogni k 2 N e per � > 0 fissato ad arbitrio. Ogni

cubo ha volume

voln.Ck/ D�

n

r�

2kC1

�nD

�

2kC1

e quindi Xk2N

voln.Ck/ DXk2N

�

2kC1D�

2< � :

Per l’arbitrarietà di � si ha che Qn ha misura nulla.2. È abbastanza intuitivo pensare che tutto ciò che ha volume nullo in Rn, almeno per gli insiemi a

cui sappiamo associare un tale valore, sono anche a misura nulla. Ad esempio, i rettangoli degenerihanno volume n-dimensionale nullo e quindi sono a misura nulla. Facciamo il caso del rettangoloR D Œ0; 1� � f1g. Questo ha chiaramente vol2.R/ D 0. Vediamo se è a misura nulla. Fissiamo� > 0 ad arbitrio e costruiamo la seguente successione di rettangoli che ricoprono R: per ogni j 2 Ndefiniamo

Rj D Œ0; 1� � Œ1 ��

2jC2; 1C

�

2jC2� :

È chiaro che ricoprono R perché sono uno dentro l’altro R1 � R2 � R3 � � � � � Rj � � � � e per il piùgrande vale R1 D Œ0; 1� � Œ1 � �

8; 1C �

8� � R qualunque sia la scelta di � > 0. Ognuno dei rettangoli

ha volume 2-dimensionale (area!) uguale a vol2.Rj / D �

2jC1 , quindiXj2N

vol2.Rj / DXj2N

�

2jC1D�

2< � :

Quindi il volume del ricoprimento è minore di � ed R ha misura nulla.3. Il contrario del punto .2/ non è vero. Se A ha misura nulla non è detto che abbia volume nullo. I

razionali ancora forniscono un esempio di questo fatto. Hanno misura nulla ma il volume non esiste.Per capire meglio quest’affermazione è necessario però attendere la sezione 1.8, dove viene fornita unageneralizzazione della nozione di volume per insiemi non necessariamente rettangolari.

4. L’insieme di Cantor ha misura nulla. Inoltre, nella costruzione dell’insieme di Cantor attraversola rappresentazione ternaria, è possibile mostrare l’esistenza di una funzione continua suriettivadall’insieme di Cantor a Œ0; 1�, quindi l’immagine di Cantor sotto questa mappa non preserva lamisurabilità nulla. Vedremo a breve che le lipschitziane invece fanno il giusto lavoro.

�

Dimostriamo alcune proprietà interessanti per insiemi a misura nulla.

1.7.3 Teorema 1. Se A ha misura nulla in Rn allora ogni B � A ha misura nulla.2. Sia A unione numerabile di insiemi A1; A2; : : : . Se ogni Aj ha misura nulla in Rn, lo stesso vale

per A.3. Un insieme A ha misura nulla in Rn se e solo se per ogni � esiste un ricoprimento numerabile di A

fatto da rettangoli aperti int.R1/; int.R2/; : : : tali cheXj2N

voln.Rj / < � :


4. Se A è compatto in Rn ed ha misura nulla allora per ogni � > 0 esiste un ricoprimento finito fattoda rettangoli (chiusi o aperti) Rj ; j D 1; : : : ; N tale che

NXjD1

voln.Rj / < � :

5. Se R è un rettangolo non degenere in Rn, allora R non ha misura nulla ma fr.R/ ha misura nulla.

Dimostrazione. .1/ è ovvio. Se Rj , j 2 N, ricopre A allora ricopre anche B e se il volume del ricoprimentoper A è minore di � lo stesso vale per B . Per dimostrare .2/ si usa l’ovvia estensione numerabile delprocedimento visto nell’esempio 1 in 1.7.2. .3/ Se i rettangoli aperti int.Rj /, j 2 N, coprono A così fanno irettangoli Rj , j 2 N. Quindi la condizione implica che il ricoprimento con i rettangoli chiusi ha misuranulla. Supponiamo, invece, che A abbia misura nulla. Quindi possiamo trovare un ricoprimento fatto conrettangoli R0j , j 2 N, di volume totale minore di �=2. Per ogni j scegliamo2 un rettangolo Rj tale che

(1.13) R0j � int.Rj / ; voln.Rj / � 2voln.R0j / :

Allora i rettangoli aperti int.Rj /, j 2 N ricoprono A ePj2N voln.Rj / < �. Il numero .4/ è facilmente

dimostrabile, perchéè da ogni ricoprimento fatto da rettangoli aperti del compatto con volume minore di �posso estrarre un sottoricoprimento finito che ancora avrà volume minore di �. Si può passare ai rettangolichiusi prendendo la chiusura dei rettangoli aperti del ricoprimento. (5) Poiché ogni fr.R/ è composto da2n facce, ossia rettangoli degeneri di volume n-dimensionale nullo, allora la loro unione avrà misura nulla,come segue dal ragionamento visto nell’esempio 2 di 1.7.2. Supponiamo ora che R abbia misura nullae troviamo una contraddizione. Poniamo � < voln.R/. Per quanto visto in .3/ possiamo ricoprire R dauna quantitià numerabile di rettangoli aperti int.Rj /, j 2 N, con

Pj voln.Rj / < �. Poiché R è compatto

possiamo ricoprirlo con un numero finito, diciamo N di rettangoli aperti, maPNjD1 voln.Rj / < �. Ora,

consideriamo i piani passanti per le facce di ciascun rettangolo del ricoprimento finito. Questo genera unapartizione del rettangolo R in, diciamo, P1; : : : ; PM rettangoli, per cui ogni Pj è dentro almeno un Rk . Neconsegue che

voln.R/ DMXiD1

voln.Pi / �NXkD1

voln.Rk/ < � < voln.R/ ;

una contraddizione. �

Oss È chiaro che seA hamisura nulla allora int.A/ hamisura nulla. Però non è vero in generale che cl.A/ abbiamisura nulla. Infatti i razionali in Œ0; 1� sono un classico controesempio perché cl.Q \ Œ0; 1�/ D Œ0; 1�che non ha misura nulla.

Abbiamo ora gli strumenti per dimostrare uno dei teoremi più importanti dell’analisi, chemostra l’esistenzadegli integrali di Riemann, caratterizzandone la classe più ampia delle funzioni integrabili. A questo proposito,ci ricordiamo della caratterizzazione della continuità di una funzione vista nel Teorema 1.1.7.

1.7.4 Definizione Sia f W A ! R, A � Rn, allora l’insieme disc.f / :D fa 2 A W osca.f / > 0g èl’insieme dei punti di discontinuità della funzione f in A.

Si vede facilmente che

(1.14) disc.f / D[m2N

discm.f / ;

dove discm.f / D fa 2 A W osca.f / � 1mg.

1.7.5 Teorema **[Lebesgue-Vitali] Sia R un rettangolo non vuoto e non degenere in Rn. Allora, la

2Questo è possibile considerando per ogni rettangoloR0jla sua estensione .R0

j/ı definita in 1.3.3. Scegliendo opportunamente ı si

ha l’asserto precedente.


funzione f è integrabile secondo Riemann in R se e solo se è limitata e l’insieme disc.f / è a misuranulla.**

Dimostrazione. (Sufficienza) Supponiamo disc.f / abbia misura nulla. Dimostriamo l’integrabilità di ftramite il Criterio di Riemman 1.4.3. Fissiamo � > 0 ad arbitrio e sia

�0 D�

2M C 2voln.R/;

doveM � jf .x/j per ogni x 2 R.Ricopriamo disc.f / con una quantità numerabile di rettangoli aperti int.R1/; int.R2/; : : : di volume

totale minore di �0, usando la 3 del Teorema 1.7.3. Per ciascun punto a 2 R che non appartiene a disc.f /,quindi laddove f è continua, scegliamo un generico rettangolo aperto int.Ra/ contenente a e tale che

(1.15) jf .x/ � f .a/j < �0 ; per x 2 R \Ra :

Ne deduciamo che gli insiemi aperti int.Rj /, j 2 N, e int.Ra/, per ogni a 2 R n disc.f /, ricoprono tutto R.Poiché R è compatto, posso scegliere una sottofamiglia finita

int.R1/ ; : : : ; int.Rk/ ; int.Ra1/ ; : : : ; int.Ral / ;

che continui a ricoprirlo e tale chePkjD1 voln.Rj / < �0 e per ogni int.Ras /, s D 1; : : : ; l , vale l’eq. (1.15).

Senza cambiare notazione chiamiamo semplicemente ancora int.Rj /, j D 1; : : : ; k, le intersezioni di talirettangoli con R e lo stesso per i rettangoli int.Ras /, s D 1; : : : ; l . Le due nuove famiglie ancora ricopronoR e per loro valgono ancora le due proprietà di volume e continuità, rispettivamente, appena viste.

Usiamo le facce di tutti i rettangoli appena definiti per fare piani paralleli ai piani cartesiani e cosí definireun partizione P del rettangolo R. Ogni elemento del ricoprimento sarà quindi unione finita di rettangoliappartenenti a P . Dividiamo allora la partizione in due famiglie disgiunte R e R0, tali che ogni rettangolodi P che appartiene ad uno dei rettangoli int.Rj / allora diremo che appartiene alla famiglia R, altrimentiogni rettangolo di P che appartiene ad uno dei rettangoli int.Ras /, allora diremo appartiene alla famiglia R0.Ora, per ogni coppia di punti x; y che appartengono ad un rettangoloQ 2 R, si ha

jf .x/ � f .y/j < 2M H) oscQ.f / � 2M ;

mentre se appartengono ad un rettangoloQ0 2 R0, si ha

jf .x/ � f .y/j < 2�0 H) oscQ0.f / � 2�0 :

Usando queste stime, le somme oscillanti di Darboux (vedi eq.(1.4)) valgono, separatamente per R e R0XQ2R

oscQ.f / voln.Q/ � 2MXQ2R

voln.Q/ ;(1.16) XQ02R0

oscQ0.f / voln.Q0/ � 2�0XQ02R0

voln.Q0/ :(1.17)

Ora

XQ2R

voln.Q/ �kX

jD1

XQ2Rj

voln.Q/ DkX

jD1

voln.Rj / < �0

mentre XQ02R0

voln.Q0/ �XQ2R

voln.Q/ D voln.R/ ;

quindi, mettendo insieme le cose, si ottiene

I ?.f;P / � I?.f;P / < 2M�0C 2�0voln.R/ D � ;


quindi f è integrabile per il Criterio di Riemann 1.4.3 e l’arbitrarietà di �.

(Necessità) Sia f integrabile su R. Poiché vale eq.(1.14), è sufficiente mostrare che ogni discm.f / hamisura nulla per la 2 del Teorema 1.7.3.

Fissiamom 2 N e � > 0. Sia P partizione di R per cui I ?.f;P /� I?.f;P / < �=2m. Sia discm.f / DD0 [D00, dove D0 è l’insieme i cui punti appartengono a fr.Q/ per qualche Q 2 P , e sia D00 il resto didiscm.f /. Dobbiamo stimare i volumi diD0 eD00.

Ora, datoQ 2 P , fr.Q/ ha misura nulla in Rn, e così vale per [Q2P fr.Q/. PoichéD0 è contenuto inquest’ultima unione allora ha anch’esso misura nulla per il punto 1 Teorema 1.7.3 e quindi esiste una quantitànumerabile di rettangoli di volume totale minore di �=2.

Vediamo oraD00. SianoQ1; : : : ;Qk i rettangoli di P che contengono punti diD00. Sia a 2 D00, allorauno dei rettangoliQj lo contiene e inoltre a … fr.Qj /, altrimenti sarebbe inD0. Allora, dalla dimostrazionedel Teorema 1.1.7, esiste ı > 0 tale cheQj contiene il cubo Cı centrato in a e di lato ı, sicchè

1

m� osca.f / � oscCı .f / � oscQj .f / :

Moltiplicando l’ultima disuguaglianza per voln.Qj / e sommando su j D 1; : : : ; k, si ottiene

kXjD1

1

mvoln.Qj / � I ?.f;P / � I?.f;P / <

�

2m:

Quindi il ricoprimento diD00 ha volume minore di �=2. Unendo i risultati perD0 eD00 si ha la tesi. �

Una prima applicazione di questo Teorema è il seguente risultato:

1.7.6 Teorema Sia R rettangolo non vuoto e non degenere in Rn e sia f W R ! R integrabile su R.Allora, si ha

1. Se f è nulla tranne che su un insieme di misura nulla, alloraRRf D 0.

2. Se f è non negativa e seRRf D 0, allora f è sempre zero eccetto un insieme di misura nulla.

Dimostrazione. Da fare. �

La richiesta d’esistenza dell’integrale è necessaria in virtù del controesempio dato dalla funzione diDirichlet.

1.7.7 Teorema Sia A aperto in Rn e sia S � A di misura nulla in Rn. Sia f W A ! Rn lipschitziana,allora f .S/ ha misura nulla in Rn.

Dimostrazione. Chiamiamo K la costante di Lipschitz di f . Il cubo C di lato L all’interno di A hadiam.C / D L

pn e quindi diam.f .C // � KL

pn. Dunque, per ogni x D .x1; x2; : : : ; xn/ 2 f .C /

si ha f .C / � B.x;KLpn/ �

QnjD1Œxj �KL

pn; xj CKL

pn �. f .C / è quindi dentro il cubo C 0 di lato

di ampiezza 2KLpn da cui

(1.18) voln.C 0/ D .2KLpn/n DMLn DMvoln.C / ; dove M D .2K

pn/n :

Sia ora � > 0 fissato ad arbitrio. Poiché S è a misura nulla, allora posso trovare una quantità numerabile direttangoli Rj , j 2 N, tali da ricoprire S e con volume totale del ricoprimento

Pj2N voln.Rj / < �

2M. Per

ogni j 2 N ricopriamo il rettangolo Rj con rettangoli R.i/j , i D 1; 2; : : : ; Nj , tali chePNjiD1 voln.R

.i/j / �

2voln.Rj / (vedi eq.(1.13) e la connessa annotazione). Per ciascun rettangolo R.i/j denotiamo con C .i/j ilcubo contenente f .R.i/j / per cui vale l’analoga dell’eq. (1.18). Si ottiene

f .S/ �[j2N

f .Rj / �[j2N

Nj[iD1

f .R.i/j / �

[j2N

Nj[iD1

C.i/j ;


da cui Xj2N

NjXiD1

voln.C .i/j / DXj2N

NjXiD1

Mvoln.R.i/j / � 2MXj2N

voln.Rj / < 2M�

2M< � :

Il Teorema è dimostrato. �

1.8 RettificabilitàIl problema della definizione di integrabilità su insiemi generici nella precedente sezione è che i sottoinsiemiseppur limitati di Rn hanno una variabilità enorme e possono esserci funzioni molto semplici su di essi cheperò non sono integrabili. L’esempio tipico lo abbiamo già visto nella sezione dell’integrabilità sui rettangoli.Consideriamo, per esempio, in Rn la funzione ı uguale ad 1 sui punti a coordinate tutte razionali con valori inŒ0; 1�. Poiché S D Qn \ Œ0; 1�n non è un rettangolo, allora estendiamo a zero la funzione ı a tutto Œ0; 1�n n S .Cosí facendo riotteniamo la funzione di Dirichlet su Œ0; 1�n che sappiamo essere non integrabile e quindi lafunzione ı pur nella sua semplicità non è integrabile secondo Riemann su S .

Da quanto descritto è importante cominciare a distinguere quei sottoinsiemi su cui almeno le costantisono integrabili. In effetti vogliamo definire il concetto di volume per tutti gli insiemi in cui questa nozioneha un senso, anche intuitivo.

1.8.1 Definizione Sia A sottoinsieme limitato di Rn, diremo che A è rettificabile (o misurabile secondoPeano-Jordan) se la funzione constante uguale a 1 è integrabile su A. In questo caso porremo

voln.A/:D

ZA

1 :

SeA � Rn, qualsiasi, allora denoteremo conR.A/ la famiglia dei sottoinsiemi diA compatti e rettificabili,in particolare, R.Rn/ è la famiglia di tutti gli insiemi compatti rettificabili in Rn.

Oss1. È chiaro che per l’integrabilità della funzione 1 si intende che se R è rettangolo che includeA allora la funzione costante 1 su A si estende alla funzione caratteristica di A, ossia a quellafunzione che è 1 per punti di A e vale 0 per punti in R n A. Nella parte iniziale della sezionela funzione ı si estende alla funzione di Dirichlet che è la funzione caratteristica dei razionali.Poiché essa non è integrabile, allora non esiste il volume dei razionali, come avevamo suggerito in3 di 1.7.2.

2. La definizione di volume coincide con quella elementare per i rettangoli nel caso in cui A fosseun rettangolo. Infatti, sup 1 D inf 1 D 1 sempre, e poiché ogni rettangolo è una partizione di séstesso allora

I?.1; R/ D voln.R/ ; I?.1; R/ D voln.R/ :Sicchè essendo uguali hanno uguali integrali superiori ed inferiori e quindi l’integrale dellafunzione 1 su R è proprio il volume del rettangolo.

Diamo le principali proprietà degli insiemi rettificabili.

1.8.2 Teorema 1. (Positività) Se A è rettificabile allora voln.A/ � 0.2. (Isotonia) Se A1 e A2 sono rettificabili e se A1 � A2, allora voln.A1/ � voln.A2/.3. (Additività) Se A1 e A2 sono rettificabili, anche A1 [ A2 e A1 \ A2 lo sono e vale

voln.A1 [ A2/ D voln.A1/C voln.A2/ � voln.A1 \ A2/ :

4. Se A è rettificabile lo è anche int.A/ e vale voln.A/ D voln.int.A//.5. Se A è rettificabile e f W A! R è limitata e continua allora è integrabile su A.

Dimostrazione. Semplice applicazione delle regole fondamentali dell’integrazione come viste nel Teore-ma 1.4.6 opportunamente generalizzate a insiemi limitati qualsiasi. �

Come fatto per l’integrabilità, diamo ora una caratterizzazione della rettificabilità che va oltre l’usualedescrizione fatta nei testi di base.

1.9 Insiemi normali e loro integrali 27

1.8.3 Teorema Un sottoinsieme A di Rn è rettificabile se e solo se A è limitato e fr.A/ ha misura nulla.

Dimostrazione. La funzione carattteristica di A è continua negli insiemi aperti int.A/ e Rn n cl.A/, dove valerispettivamente 1 e 0. La continuità è persa in fr.A/. Per il Teorema di Lebesgue-Vitali 1.7.5, la funzionecaratteristica è integrabile se e solo se fr.A/ ha misura nulla. �

Questo teorema è certamente intuitivo ma nasconde una insidia. Non è detto che la frontiera di uninsieme sia necessariamente “piccola,” ci sono situazioni in cui la frontiera di un insieme è più grandedell’insieme stesso! Il controesempio è dato, come al solito, dai razionali in Œ0; 1�. Infatti, fr.Q \ Œ0; 1�/ Dcl.Q \ Œ0; 1�/ n int.Q \ Œ0; 1�/, però i razionali sono densi, quindi cl.Q \ Œ0; 1�/ D Œ0; 1� mentre, poiché irazionali formano un insieme numerabile di elementi, allora si ha int.Q \ Œ0; 1�/ D ;. Quindi i razionalihanno una frontiera che è tutto l’intervallo Œ0; 1�, quindi la frontiera contiene l’insieme, e poiché l’insiemeŒ0; 1� è rettificabile, quindi non ha misura nulla, si ha che Q \ Œ0; 1� non è un insieme rettificabile, come giànotato precedentemente.

Tuttavia, casi semplici rafforzano l’intuizione, come vedremo nella prossima sezione.

1.9 Insiemi normali e loro integraliUna classe di esempi importanti di rettificabilità è data dagli insiemi detti semplici o normali.

1.9.1 Definizione Siano D 2 R.Rn�1/, ˛; ˇ W D ! R funzioni continue tali che ˛.x/ � ˇ.x/ perx 2 D. Il sottoinsieme N di Rn definito dalla relazione

N:D f.x; t/ 2 Rn�1 � R W x 2 D ;˛.x/ � t � ˇ.x/g ;

è detto insieme normale rispetto al sottospazio Rn�1.

La scelta dell’ultima variabile non è vincolante. Infatti se k C l D n � 1 e se x e y denotano puntigenerici in Rk e Rl rispettivamente, allora l’insieme

T D f.x; t; y/ 2 Rk � R � Rl W .x; y/ 2 D ; ˛.x; y/ � t � ˇ.x; y/g ;

è ancora un insieme normale in Rn.La proprietà fondamentale è la seguente:

1.9.2 Teorema **Se N è un insieme normale in Rn allora è compatto e rettificabile, ossia appartiene aR.Rn/.**

La dimostrazione del Teorema è posticipata alla successiva sezione.

L’interesse principale negli insiemi normali è che per essi funziona un teorema di tipo Fubini.

1.9.3 Teorema Sia S D f.x; t/ 2 Rn�1 � R W x 2 D ; ˛.x/ � t � ˇ.x/g un insieme normale in Rn

rispetto al sottospazio Rn�1. Sia f W S ! R una funzione continua. Allora f è integrabile su S eZS

f D

ZD

"Z ˇ.x/

˛.x/

f .x; t/ dt

#dx :

Oss1. poiché un insieme normale S D f.x; t/ 2 Rn�1 �R W x 2 D ; ˛.x/ � t � ˇ.x/g è rettificabile,

allora la funzione caratteristica ci fornisce il volume n-dimensionale e vale

voln.S/ DZD

"Z ˇ.x/

˛.x/dt

#dx D

ZD.ˇ.x/ � ˛.x// dx :

2. A volte il dominio risulta essere normale rispetto a più sottospazi. Prendiamo due esempi sempliciin R2: .a/ caso dei rettangoli (ovviamente è normale rispetto a tutte e due gli assi x e y),oppure, .b/ il triangolo T D f.x; y/ 2 R2 W x 2 Œa; b� ; y 2 Œa; b� ; y � xg. Vediamo


in dettaglio quest’ultimo caso. Se determiniamo T come insieme normale per l’asse x allora,T D f.x; y/ 2 R2 W x 2 Œa; b�; a � y � xg, ossia ˛.x/ � a e ˇ.x/ D x, mentre, se lo vediamonormale rispetto all’asse y avremo T D f.x; y/ 2 R2 W y 2 Œa; b� ; y � x � bg ossia, in questocaso, ˛.y/ D y e ˇ.y/ � b. Questo ci porta, considerando f W T ! R continua, alla seguenteformula Z

Tf .x; y/ dxdy D

Z b

a

�Z x

af .x; y/ dy

�dx D

Z b

a

"Z b

yf .x; y/ dx

#dy ;

detta formula di inversione di Dirichlet.

Vediamo alcuni esempi di integrazione.

1.9.4 Esempi 1. Sia C il semicerchio di centro .0; 1/ e raggio 1, contenuto nel primo quadrante di R2.Calcoliamo Z

C

xy dxdy :

Possiamo vedere C come normale rispetto all’asse delle y e scrivere C D f.x; y/ 2 R2 W y 2Œ0; 2� ; 0 � x �

p2y � y2g. Quindi, per Fubini,

ZC

xy dxdy D

Z 2

0

24Z p2y�y20

xy dx

35 dy

D

Z 2

0

y

�x2

2

�xDp2y�y2xD0

dy

D1

2

Z 2

0

y.2y � y2/ dy

D1

2

�2

3y3 �

y4

4

�yD2yD0

D2

3:

Allo stesso modo possiamo pensareC come normale rispetto all’asse x e quindi scrivereC D f.x; y/ 2R2 W x 2 Œ0; 1� ; 1 �

p1 � x2 � y � 1C

p1 � x2g e quindiZ

C

xy dxdy D

Z 1

0

"Z 1Cp1�x2

1�p1�x2

xy dy

#dx

D

Z 1

0

x

�y2

2

�1Cp1�x21�p1�x2

dx

D 2

Z 1

0

xp

1 � x2 dx

D �2

3

h.1 � x2/3=2

ixD1xD0

D2

3:

2. Calcoliamo l’integrale triplo ZE

xz dxdydz ;

dove E D f.x; y; z/ 2 R3 W x � 0 ; z � 0 ; 0 � y � 2 � x2 � z2g. L’insieme E è normale rispettoal piano .x; y/, infatti possiamo scrivere

E D f.x; y; z/ 2 R3 W .x; y/ 2 D ; 0 � z �p2 � y � x2g ;

1.9 Insiemi normali e loro integrali 29

doveD D f.x; y/ 2 R2 W x 2 Œ0;p2� ; 0 � y � 2� x2g è normale rispetto all’asse delle x. Quindi,

usando la doppia normalità, si ottieneZE

xz dxdydz D

ZD

24Z p2�y�x20

xz dz

35 dxdy D

Z p20

24Z 2�x2

0

24Z p2�y�x20

xz dz

35 dy

35 dx :

Le integrazione sono elementari, e si ottiene,Z p20

24Z 2�x2

0

24Z p2�y�x20

xz dz

35 dy

35 dx D1

2

Z p20

dx

Z 2�x2

0

x.2 � x2 � y/ dy

D1

2

Z p20

x

�.2 � x2/y �

y2

2

�yD2�x2yD0

dx

D1

4

Z p20

x.2 � x2/2 dx

D1

3:

3. Siano dati A D f.x; y; z/ 2 R3 W x2C y2 � 1g e B D f.x; y; z/ 2 R3 W x2C z2 � 1g, due cilindriin R3. Vogliamo calcolare il volume dell’intersezione A \ B .Vediamo come scrivere A \ B come insieme normale. Prendiamo la prima relazione x2 C y2 � 1di A e notiamo che la variabile y può variare nell’intervallo Œ�1; 1�. In questo intervallo, allora, lavariabile x varierà nell’insieme Œ�

p1 � y2;

p1 � y2�. Da questo, considerando ora il cilindro B , si

vede che la variabile z può variare in Œ�p1 � x2;

p1 � x2�, così da avere

A \ B D f.x; y; z/ 2 R3 W y 2 Œ�1; 1� ; x 2 Œ�p1 � y2;

p1 � y2� ; z 2 Œ�

p

1 � x2;p

1 � x2�g ;

come insieme normale rispetto all’asse y. Il volume è

vol3.A \ B/ DZA\B

1 D

Z 1

�1

24Z p1�y2�

p1�y2

"Z p1�x2�p1�x2

dz

#dx

35 dy :

Per ragioni di simmetria, ovvi dall’aspetto analitico del dominio (si hanno 8 differenti possibilità discelta di segno, tutte geometricamente equivalenti), si ha

vol3.A \ B/ D 8Z 1

0

24Z p1�y20

"Z p1�x20

dz

#dx

35 dy

D 8

Z 1

0

24Z p1�y20

p

1 � x2 dx

35 dy

D 8

Z 1

0

�x

2

p

1 � x2 Carcsin x2

�xDp1�y2xD0

dy

D 4

Z 1

0

yp1 � y2 dy C 4

Z 1

0

arccosy dy :

Ora, i singoli integrali valgonoZ 1

0

yp1 � y2 dy D

"�.1 � y2/3=2

3

#yD1yD0

D1

3;

mentreZ 1

0

arccosy dy D Œy arccosy�yD1yD0 C

Z 1

0

yp1 � y2

dy D arccos 1 � Œp1 � y2�

yD1yD0 D 1 :


In conclusione, vol3.A \ B/ D 163.

In effetti avremmo potuto fare una scelta più furba. Scegliendo l’insieme come normale rispetto all’assedelle x, si ha x 2 Œ�1; 1�, quindi y 2 Œ�

p1 � x2;

p1 � x2� e z 2 Œ�

p1 � x2;

p1 � x2�. In tal caso

vol3.A\B/ D 8Z 1

0

"Z p1�x20

"Z p1�x20

dy

#dz

#dx D 8

Z 1

0

.1�x2/ dx D 8hx �

x

3

ixD1xD0D16

3:

�

Vediamo alcune applicazioni interessanti.

1.9.5 Teorema Siano A 2 R.Rn/ ed f W A! R continua. Allora il grafico di f

Graf.f / :D f.x; t/ 2 Rn � R W x 2 A ; t D f .x/g ;

ha misura nulla in RnC1.Le stessa conclusione vale se f è semplicemente integrabile in A, inoltre, l’unione di una quantità

numerabile di grafici di funzioni integrabili in A è ancora a misura nulla.

Dimostrazione. Scegliamo un rettangoloR in Rn che contengaA. Allora, dato � > 0 definiamo � D �2voln.R/

.La funzione f è continua e quindi uniformemente continua nel compatto A per Heine-Cantor. Quindi, incorrispondenza di � si trova un ı > 0 tale che jf .x/ � f .y/j < � per ogni coppia x; y 2 A per cuikx � yk < ı. Ora, usando il Lemma 1.3.6, trovo una partizione di R in rettangoli fR1; : : : ; RN g di diametrominore di ı, tali che per ogni j D 1; : : : ; N e x; y 2 Rj \ A, si ha jf .x/ � f .y/j < �. Per ogni jscegliamo un punto xj in Rj \ A e definiamo l’intervallo Ij D Œf .xj / � �=2; f .xj / C �=2�. Allora, ilrettangolo n C 1-dimensionale Rj � Ij contiene ogni punto della forma .x; f .x// per cui x 2 Rj \ A,dunque [NjD1Rj � Ij � Graf.f / ed il volume totale di questo ricoprimento è

NXjD1

volnC1.Rj � Ij / DNXjD1

voln.Rj /� D �voln.R/ D�

2< � :

Quindi la tesi.Se f è integrabile allora è limitata in A, ossia esisteM � 0 tale che jf .x/j �M per ogni x 2 A. poiché

A è compatto, possiamo prendere un rettangolo R che lo contiene. Allora, estendendo f a zero in R n Aotteniamo che tale estensione, per il Teorema 1.7.5, coincide con una funzione h continua e definita in R ameno dell’insieme di misura nulla disc.f / contenuto propriamente in A. Allora, vale la seguente inclusione

Graf.f / � Graf.h/[.disc.f / � IM / ;

dove IM D Œ�M;M�. Per la prima parte del teorema il grafico di h ha misura nulla ed è semplice mostrareche lo stesso si può dire dell’altro insieme a secondo membro. Infatti, poiché disc.f / è a misura nulla, perogni � > 0, definendo � D �

2M, allora esiste un ricoprimento numerabile Rj ; j 2 N, fatto da rettangoli

(aperto o chiusi, non fa differenza), tale che il volume totale del ricoprimento è minore di �. Ora

disc.f / � IM �[j2N

Rj � IM ;

e l’espressione nel membro di destra è quindi un ricoprimento del membro di sinistra. Allora, calcolando ilvolume in RnC1 del nuovo ricoprimento si ha

volnC1

0@[j2N

Rj � IM

1A DXj2N

voln.Rj /vol1.IM / D 2MXj2N

voln.Rj / < 2M� D � ;

da cui il nuovo ricoprimento ha anch’esso volume minore di �. La dimostrazione di questa parte è conclusaappellandosi alla parte 1. del Teorema 1.7.3. L’utima affermazione è invece vera per la parte 2. del teoremaappena richiamato. �

Riprendiamo ora la dimostrazione del Teorema 1.9.2.

1.10 Miscellanea 31

Dimostrazione Teorema 1.9.2. Sia N D f.x; t/ 2 Rn�1 � R W x 2 D ;˛.x/ � t � ˇ.x/g. Dobbiamodimostrare che N è compatto e che fr.N / ha misura nulla.

SianoGraf.˛/ eGraf.ˇ/ i grafici delle funzioni˛ eˇ definenti l’insieme normaleN . Vogliamo dimostrareche fr.N / appartiene all’unione di Graf.˛/, Graf.ˇ/ e C D f.x; t/ 2 Rn W x 2 fr.D/ ; ˛.x/ � t � ˇ.x/g.poiché ciascuno degli insiemi è in N , ne consegue che fr.N / � N , e quindi N è chiuso. Essendo limitatoallora è compatto.

Da finire. �

Proponiamo ora la formula di Liu-Zu, altrimenti nota come formula di Cavalieri (Archimede, Fubini)però ottenuta circa 1300 anni prima dai cinesi Liu Hui e Zu Gengzhi (calcolo del volume della sfera), chepermette il calcolo dei volumi di insiemi rettificabili in RnC1 come integrali delle sezioni a dimensione n. Atal proposito, sia A � RnC1. Fissiamo t 2 R e l’indice j 2 f1; 2; : : : ; n; nC 1g. L’insieme

At;j:D f.x1; x2; : : : ; xn/ 2 Rn W .x1; x2; : : : ; xj�1; t; xj ; : : : ; xn/ 2 Ag ;

si dice sezione j-esima di A di piede t . Indichiamo con �j W A! R la proiezione j-esima di A definita da

�j .x/ D xj ; per ogni x 2 A :

1.9.6 Teorema Sia A rettificabile in RnC1 le cui sezioni At;j siano rettificabili in Rn per ogni t 2 R.Allora

volnC1.A/ DZIj

voln.At;j / dt ;

dove Ij è un qualsiasi intervallo compatto contenente la j -esima proiezione �j .A/ di A.

1.9.7 Esempi 1. Vediamo la formula di Liu-Zu, ossia il volume della sfera tridimensionale S3 centratanell’origine e raggio r > 0. La terza sezione di piede t è S3t;3 D f.x; y/ 2 R2 W x2 C y2 � r2 � t2g,che ha volume bidimensionale (area) vol2.S3t;3/ D �.r2 � t2/. La proiezione della sfera sull’asse z è�3.S

3/ D Œ�r; r�, quindi, usando la parità della funzione integranda,

vol3.S3/ D 2Z r

0

�.r2 � t2/ dt D 2�

�r2t �

t3

3

�tDrtD0

D4�

3r3 :

2. Sia f continua e positiva su Œa; b� � R. Sia Cf il cilindroide associato al grafico di f e sia

S:D f.x; y; z/ 2 R3 W x 2 Œa; b� ; 0 � y2 C z2 � f 2.x/g :

S è detto solido di rotazione attorno all’asse delle x generato da Cf . Tale insieme è chiaramenterettificabile. Il suo volume è quindi facilmente esprimibile tramite la formula del Teorema 1.9.6, infattila prima sezione di piede t è il disco centrato in t e di raggio f .t/, quindi

vol3.S/ DZ b

a

vol2.S1;t / dt DZ b

a

�f 2.t/ dt :

�

1.10 MiscellaneaInseriamo in questa sezione un certo numero di risultati importanti per calcolare alcune grandezze di interessein fisica.

1.10.1 Definizione Sia A un insieme rettificabile in Rn di volume positivo. Allora il baricentro di A è ilpunto xA 2 Rn di coordinate date dalla seguente formula

xAj D1

voln.A/

ZA

xj dx1 � � � dxn ; j D 1; : : : ; n :


1.10.2 Esempio Calcoliamo, ad esempio, il baricentro del semicerchio

C D f.x; y/ 2 R2 W x2 C y2 � 1 ; y � 0g :

Per ovvi motivi di simmetria xC D 0, calcoliamo quindi yC

yC D1

vol2.C /

ZC

y dydx :

L’area del semicerchio è vol2.C / D �=2 quindi

yC D2

�

Z 1

�1

dx

Z p1�x20

y dy D1

�

Z 1

�1

.1 � x2/ dx D4

3�:

�

1.10.3 Definizione Sia S � R3 un insieme rettificabile, in gergo “un solido.” Sia r una retta. Sex 2 R3, allora dist.x; r/ è la distanza del generico punto x dalla retta r (quì leggiamo la retta r come unsottoinsieme di R3, quindi dist.x; r/ D inffkx � yk W y 2 rg). Allora, il momento d’inerzia del solidoS (omogeneo di densità 1) rispetto alla retta r è dato da

IS;r:D

ZS

Œdist.x; r/�2 dxdydz :

1.10.4 Esempi 1. Calcoliamo il momento d’inerzia rispetto all’asse delle z del cono

C D f.x; y; z/ 2 R3 W x2 C y2 � 1 ;px2 C y2 � z � 1g :

poiché la distanza del generico punto di R3 dall’asse delle z èpx2 C y2, allora

IC;z D

ZC

.x2 C y2/ dxdydz :

L’integrale è facilmente calcolabile poiché C è descrivibile come insieme normale rispetto al piano.x; y/, con .x; y/ 2 D,D disco centrato nell’origine e di raggio 1, e quindi

IC;z D

ZD

"Z 1

px2Cy2

.x2 C y2/ dz

#dxdy

D

ZD

.x2 C y2/.1 �px2 C y2/ dxdy :

L’integrazione è ora semplice ma molto elaborata, quindi preferiamo aspettare uno dei prossimi capitoliin cui mostreremo come un ovvio cambio di variabile riduca il calcolo a qualcosa di facilmentepraticabile.

2. Calcolare i momenti d’inerzia rispetto agli assi della corona circolare C D f.x; y/ 2 R2 W x �0 ; y � 0 ; 1 � x2 C y2 � 9g.

IC;x D

ZC

y2 dxdy ; IC;y D

ZC

x2 dxdy :

Per l’ovvia simmetria i due momenti sono uguali. Calcoliamo il primo. La corona circolare non è uninsieme normale, però possiamo vederla come unione di insiemi normali con intersezione a misuranulla, quindi possiamo usare il Teorema dell’additività dell’integrazione. Allora C D C1 [ C2 dove,C1 D f.x; y/ 2 R2 W x 2 Œ0; 1� ;

p1 � x2 � y �

p9 � x2g, C2 D f.x; y/ 2 R2 W x 2 Œ1; 3� ; 0 �

y �p9 � x2g.

�

1.11 *Appendice: Somme di Riemann*

2. Integrazione assoluta

2.1 Funzioni assolutamente integrabili

Abbiamo visto la teoria dell’integrazione di Riemann che viene sviluppata su insiemi limitati e per funzionilimitate. In genere nelle applicazioni, specialmente in fisica, si ha che fare con funzioni non limitate e/oinsiemi non limitati, ad esempio e�kxk2 su Rn.

2.1.1 Definizione Sia A � Rn aperto e f W A! R continua. Se f è non negativa su A allora definiamol’integrale di f su A, e lo denotiamo col simbolo

RAf , come l’estremo superiore dei numeri reali

RKf

conK 2 R.A/, sempreché tale estremo superiore esiste. In questo caso, diremo che f è integrabile su A.Più in generale, se f è continua ma non necessariamente positiva, possiamo definire

fC.x/ D maxff .x/; 0g ; f�.x/ D maxf�f .x/; 0g ;

detta parte positiva e parte negativa di f , rispettivamente. Allora diremo che f è integrabile su A seentrambe fC e f� lo sono, nel senso precedentemente definito. In questo caso poniamoZ

A

f D

ZA

fC �

ZA

f� :

In questo caso diremo che f è integrabile in A in senso assoluto.

La definizione è un pò complicata da utilizzare a scopi pratici e vedremo altri metodi per fare i calcoliespliciti. Purtuttavia c’è ambiguità in questa definizione. Infatti, se A è aperto in Rn e sia f sia A sonolimitate, abbiamo due modi per definire l’integrale di f su A, quello appena descritto e quello descritto nellasezione 1.6. Dimostreremo che se l’integrale nel senso ordinario esiste, allora esiste l’integrale nel sensoassoluto, ed i due integrali sono uguali. Una parte di ambiguità persiste, perché può accadere che l’integralenel senso assoluto esiste ma non quello ordinario. È necessario adottare una convenzione:

Convenzione Se A è un insieme aperto in Rn, allora con la notazioneRAf si intende fin d’ora, a meno

che non sia specificato altrimenti, l’integrazione in senso assoluto.Un lemma tecnico permette un approccio diretto al calcolo.

2.1.2 Lemma Sia A aperto in Rn. Esiste una famiglia numerabile Kj , j 2 N, di compatti rettificabili,tali che A D

Sj2NKj e inoltre Kj � int.KjC1/ per ogni j 2 N.

34 Capitolo 2. Integrazione assoluta

Dimostrazione. Consideriamo B D Rn n A. Come complemento di un aperto B è chiuso. Definiamo alloragli insiemi

Cj D

�x 2 Rn W kxk � j ; dist.x; B/ �

1

j

�; per ogni j 2 N :

Per la continuità delle nozioni di distanza e norma rispetto ad x, gli insiemi Cj sono chiusi in Rn. Inoltre,sono compatti perchè limitati dalla sfera di centro 0 e raggio j . Inoltre, si ha chiaramente che Cj � CjC1e che ogni Cj è contenuto in A poiché composti da punti x tali che dist.x; B/ � 1=j > 0. Vediamo se laloro unione ricopre A. Sia allora x 2 A. Poiché A è aperto, allora esiste j 2 N tale che dist.x; B/ � 1=j ekxk � j . Quindi x 2 Cj , sicché A �

Sj Cj . Il viceversa è ovvio.

Definiamo oraAjC1 D

�x 2 Rn W kxk < j C 1 ; dist.x; B/ >

1

j C 1

�;

e usando ancora la continuità delle distanze ora AjC1 è aperto. È chiaro che AjC1 contiene Cj ed è contenutoin CjC1. Ossia, Cj � int.CjC1/. Non possiamo però ancora usare gli insiemi Cj perché non è detto chesiano rettificabili. Costruiamo gli insiemiKj . Per ogni punto x 2 Cj , scegliamo un cubo chiuso centrato in xe contenuto in int.CjC1/. Allora, al variare di x in Cj , gli interni dei cubi forniscono un ricoprimento apertoe per la compattezza di Cj esiste un sottoricoprimento finito. Sia Kj l’unione di tali cubi. Evidentemente èun insieme rettangolare, quindi è compatto e rettificabile. Ora, per costruzione,

Cj � Kj � int.CjC1/ � CjC1 � int.KjC1/ ; per ogni j 2 N :

Il teorema è dimostrato. �

Possiamo ora dare la caratterizzazione della definizione di assoluta integrabilità:

2.1.3 Teorema Sia A aperto in Rn e sia f W A ! R continua. Sia Kj , j 2 N, una successione inR.A/ tale che la loro unione sia A e valga Kj � int.KjC1/. Allora f è integrabile su A se e solo se lasuccessione

RKjjf j è limitata. In tal caso,Z

A

f D limj!1

ZKj

f :

Dimostrazione. Vediamo dapprima il caso in cui f è positiva (f � 0). Allora la successioneRKjf è

crescente, quindi è convergente se e solo se è limitata.

(Necessità) Sia f integrabile su A. Allora, poiché Kj 2 R.A/ si haZKj

f � supK2R.A/

ZK

f D

ZA

f :

Ne consegue che la successioneRKjf è limitata e quindi

limj!1

ZKj

f �

ZA

f :

(Sufficienza) Supponiamo che la successioneRKjf sia limitata. Prendiamo K 2 R.A/. Allora K è

ricoperto da insieme aperti int.Kj / � int.KjC1/, quindi per compattezza, da un numero finito di essi, mavisto che sono contenuti l’uno nell’altro, esisterà un indice N tale che K � int.KN /. Allora si haZ

K

f �

ZKN

f � limj!1

ZKj

f :

Poiché K è un arbitrario compatto rettificabile, ne consegue che f è integrabile su A e valeZA

f � limj!1

ZKj

f :

2.1 Funzioni assolutamente integrabili 35

Sia ora f di segno arbitrario. Per definizione f è integrabile in A se e solo se fC e f� sono integrabili inA. Per quanto visto sopra questo succede se e solo se le successione

RKjfC e

RKjf� sono limitate. Poiché

jf j D fCC f� allora questo succede se e solo se la successioneRKjjf j è limitata. Questo però è stato visto

nella prima parte, allora le due successioniRKjfC e

RKjf� convergono rispettivamente a

RAfC e

RAf�.

Poiché successioni convergenti possono essere sommate termine a termine allora la successioneZKj

f D

ZKj

fC �

ZKj

f� ;

è convergente e converge aRAfC �

RAf�. Quest’ultima espressione è

RAf per definizione. �

Come per l’integrazione ordinaria, per l’integrazione assoluta valgono alcune proprietà importan-ti.

2.1.4 Teorema Sia A un aperto in Rn. Siano f; g W A ! R continue. Allora, valgono le seguentiproprietà:

1. (Linearità) Se f e g sono integrabili su A, cosí vale per �f C �g, �;� 2 R, e si haZA

.�f C �g/ D �

ZA

f C �

ZA

g :

2. (Isotonia) Sia B aperto in Rn e B � A, allora se f è positiva in A e integrabile su A , allora èintegrabile su B e vale Z

B

f �

ZA

f :

3. (Additività) Supponiamo A e B aperti in Rn e f continua su A [ B . Se f è integrabile su A e Ballora è integrabile su A [ B , A \ B e valeZ

A[B

f D

ZA

f C

ZB

f �

ZA\B

f :

4. (Comparazione) Siano f e g integrabili su A aperto in Rn. Allora, se f .x/ � g.x/ per ogni x 2 A,si ha Z

A

f �

ZA

g :

In particolare, ˇZA

f

ˇ�

ZA

jf j :

Più importante è il seguente risultato che compare l’integrazione assoluta con quella ordinaria.

2.1.5 Teorema Sia A un insieme aperto e limitato in Rn e sia f funzione reale continua e limitata su A.Allora, l’integrale

RAf , come integrale sull’aperto A esiste. Se l’integrale

RAf , visto come integrale sul

limitato A, esiste, allora i due integrali sono uguali.

Dimostrazione. da fare �

In genere, calcolare esplicitamente gli integrali in senso assoluto non è facilmente praticabile con i criteriappena visti. In alcune situazioni è meglio adottare anche una formulazione alternativa. La seguente è spessopiù facilmente utilizzabile.

2.1.6 Teorema Siano A aperto in Rn e f W A ! R continua. Sia O1 � O2 � � � � � ON � � � �

successione di aperti la cui unione è A. Allora,RAf esiste se e solo se la successione

ROkjf j esiste ed è

limitata. In questo caso

limk!1

ZOk

f D

ZA

f :


2.1.7 Esempi Nei calcoli espliciti, in genere si usano aperti rettificabili (quindi limitati) e f limitata su diessi. Allora, l’integrale esiste come integrale ordinario e può essere calcolato con le tecniche già viste inprecedenza.

1. Sia A aperto in R2 definito dalla relazione

A D f.x; y/ 2 R2 W x > 1 ; y > 1g :

Sia f .x; y/ D 1=x2y2. Allora, f è limitata su A ma A non è limitato. Si possono usare entrambi iTeoremi 2.1.3 e 2.1.6 per il calcolo esplicito, anche se il secondo sembra leggermente più sempliceda utilizzare. Infatti, per il primo possiamo utilizzare, ad esempio, i compatti Kj D Œ.j C 1/=j; j �2,mentre per il secondo possiamo utilizzare gli aperti Oj D .1; j /2. Entrambi sono rettificabili equindi, poiché limitati, si possono usare integrali in senso ordinario. Infatti la funzione f è limitatasu Oj , questo perché prendendo la chiusura Oj è compatto, quindi, poiché f è continua allora èlimitata. Quindi gli integrali esistono nel senso ordinario (ad esempio, per il Teorema 1.7.5). Facciamol’integrazione rispetto agli aperti, usando Fubini si haZ

Oj

1

x2y2dxdy D

Z j

1

1

x2dx

Z j

1

1

y2dy D

��1

x

�xDjxD1

��1

y

�yDjyD1

D

�j � 1

j

�2:

È chiaro che ZA

f D limj!1

ZOj

f D 1 ;

quindi, l’integrale assoluto esiste.2. Sia ora A D .0; 1/2, con f come nell’esempio precedente. Abbiamo ora A aperto ma limitato mentref non è limitata su A. Decomponiamo A nei sottoinsiemi aperti Oj D .1=j; 1/2, ed f è ora limitatasu ognuno di essi, oltreché continua. L’integrabilità di f segue ancora, ad esempio, dal Teorema 1.7.5e quindi possiamo calcolareZ

Oj

f D

Z 1

1=j

1

x2dx

Z 1

1=j

1

y2dy D .j � 1/2 ;

per cui ne concludiamo che l’integrale assolutoRAf non esiste.

�

2.2 Criteri di integrabilitàDiamo i criteri di integrabilità assoluta per una classe rilevante di funzioni, che troviamo di sovente nelleapplicazioni. Le dimostrazioni sono differite alla sezione per il cambiamento delle variabili nell’integrazione.

2.2.1 Teorema Siano x0 2 Rn e ˛ > 0. Allora la funzione f W Rn n fx0g ! R definita da

f .x/ D1

kx � x0k˛;

è integrabile su ogni intorno rettificabile di x0 se e solo se ˛ < n.

La situazione opposta è

2.2.2 Teorema Siano x0 2 Rn e ˛ > 0. Sia f W Rn n fx0g ! R la funzione definita da

f .x/ D1

kx � x0k˛:

Allora, per ogni compatto rettificabile K di x0, la funzione è integrabile in senso assoluto su Rn nK se esolo se ˛ > n.

Questi teoremi implicano due criteri utili nelle applicazioni, vediamo quello indotto dal primo teorema.

2.3 Trasformata di Fourier 37

2.2.3 Lemma Siano x0 un punto di Rn, A un intorno aperto di x0 ed f una funzione continua inAnfx0g.Se esistono ˛ 2 .0; n/ eM > 0 tali che

jf .x/j �M

kx � x0k˛; per ogni x 2 A n fx0g ;

allora la funzione è integrabile su A.Viceversa, se esistono ˛ � n eM > 0 tali che

jf .x/j �M

kx � x0k˛; per ogni x 2 A n fx0g ;

allora f non è integrabile su A.

Oss La condizione di integrabilità della funzione f su un intornoA di x0 nel lemma precedente è equivalentea dire che esiste L 2 R tale che

limx!x0

kx � x0k˛jf .x/j D L :

Il secondo teorema implica invece il seguente lemma:

2.2.4 Lemma Se esistono ˛ > n eM > 0 tali che per ogni compatto rettificabileK contenente l’originedi Rn

jf .x/j �M

kxk˛; per ogni x 2 Rn nK ;

allora la funzione è integrabile su Rn.Viceversa, se esistono ˛ 2 .0; n/ e M > 0 tali che per ogni compatto rettificabile K contenente

l’origine di Rn

jf .x/j �M

kxk˛; per ogni x 2 A nK ;

allora f non è integrabile su Rn.

Oss Come prima, avremo integrabilità su Rn, in gergo integrabilità all’infinito, se per qualche ˛ > n si ha

(2.1) limkxk!1

kxk˛ jf .x/j D L <1 :

Questa condizione giocherà un ruolo cruciale nel seguito.

2.2.5 Esempi 1. Sia T il triangolo in R2 di vertici .0; 0/, .0; 1/, .1; 1/, ed f W T ! R la funzione

f .x; y/ D1

x C y:

2.�

2.3 Trasformata di FourierNella teoria delle serie di Fourier abbiamo visto come una ampia classe di funzioni ammette una decomposi-zione in una somma infinita di funzioni periodiche semplici di periodo fissato. Nel campo complesso si ha,sotto opportune condizioni

f .x/ D

C1XkD�1

ckeikx ;

in cui ck 2 C e vale

ck D1

2�

Z C��

f .x/e�ikx dx :


In effetti lo stesso può essere fatto decomponendo una data funzione in una sovrapposizione continua difunzioni periodiche, sotto opportune condizioni. La tecnica che ne risulta è potentissima ed è una delle tecnichemoderne più adottate in fisica e matematica per risolvere, ad esempio, problemi legati alla determinazionedelle soluzioni di equazioni alle derivate parziali, come l’equazione del calore, che descrive i fenomeni dipropagazione del calore nei mezzi materiali o l’equazione delle onde, che determina la propagazione deifenomeni ondulatori.

Sia N0 D N [ f0g. Gli elementi ˛ 2 Nn0 , ossia una n-upla .˛1; ˛2; : : : ; ˛n/ di numeri naturali (incluso

il valore nullo) verranno chiamati multi-indici. Tali multi-indici hanno una lunghezza determinata dallarelazione j˛j D ˛1 C ˛2 C � � � C ˛n.

Con ogni multi-indice possiamo definire le quantità seguenti: sia x D .x1; : : : ; xn/ un qualsiasi puntodi Rn, allora definiremo simbolicamente l’elemento x˛ D x

˛11 x

˛21 � � � x

˛nn , è chiaro dalla definizione che

x˛ 2 R. Allo stesso modo seD D .@1; : : : ; @n/ è il vettore gradiente delle derivate parziali in Rn scriveremoche se ˇ è un multi-indice alloraDˇ D @

ˇ11 � � � @

ˇnn , quindi la derivata parziale mista di ordine jˇj. Si intende

che se qualche elemento di ˇ è nullo la derivata parziale corrispondente non è presente.Questo ci porta alla seguente

2.3.1 Definizione Definiamo lo spazio delle funzioni a decrescita rapida su Rn, in simboli S.Rn/, lospazio lineare di quelle funzioni C1 su Rn, f W Rn ! R, tali che per ogni intero N 2 N esiste unacostante CN > 0 per i quali si ha

(2.2) jD˛f .x/j � CN .1C kxk/�N ;

per ogni multi-indice ˛ 2 Nn0 .

Più precisamente, per ogni N 2 N e ogni multi-indice ˛ 2 Nn0 definiamo la quantità

(2.3) kf kN;˛ D supx2Rn

.1C kxk/N jD˛f .x/j ;

allora S.Rn/ D ff 2 C1.Rn/ W kf kN;˛ < C1 ; per ogni ˛ 2 Nn0 ; N 2 Ng.

La terminologia è chiara: le funzioni sono tali da decrescere all’infinito più velocemente di ogni potenzadi kxk. Questo fa si che ogni funzione a decrescita rapida sia integrabile in senso assoluto su Rn, comesegue dall’eq. (2.1). La “norma” in eq. (2.3) in effetti è solo una seminorma, ossia non vale la proprietà chegli elementi di norma nulla sono l’elemento nullo. Inoltre, c’è una seminorma per ogni valore degli indici,quindi in realtà lo spazio S � S.Rn/ è uno spazio più complicato di uno spazio normato. Purtuttavia si puòdimostrare che è uno spazio metrizzabile, ossia è possibile definire una metrica, e con questa metrica è unospazio completo. Spazi di questo tipo sono più complicati degli spazi di Banach e prendono il nome di spazidi Fréchet (spazi numerabilmente normati, metrizzabili e completi).

2.3.2 Esempi Esempi tipici di elementi di S sono:1. Tutte le funzioni C1 a supporto compatto;2. f .x/ D x˛e�kxk2 per ogni ˛ 2 Nn

0 .Un controesempio, in 1 dimensione, è dato dalla funzione f .x/ D e�x2 sin

�ex2�. Questa non appartiene a

S.R/, perchè sebbene la f decresca rapidamente, vista la presenza dell’esponenziale decrescente e per lalimitatezza della funzione seno, le sue derivate non sono infinitesime all’infinito. �

Si può dimostrare che la condizione in eq. (2.2) è equivalente alla condizione per cui, per ogni coppia dimulti-indici ˛; ˇ 2 Nn

0 , si ha

kf k˛;ˇ D supfjxˇD˛f .x/j W x 2 Rng < C1 :

Notiamo che la funzione x 7! xˇf .x/ è in S se f lo è, inoltre lo stesso vale per x 7! D˛f .x/. In particolarequesto rimane vero per la composizione delle due precedenti operazioni, x 7! D˛.xˇf .x//.

La seguente definizione è cruciale:


2.3.3 Definizione Sia f 2 S . Allora definiremo trasformata di Fourier di f , simbolicamente Ff �Of W Rn ! C, la seguente espressione

Of .k/ D

ZRne�ihk;xif .x/ dx :

Per quanto detto sopra, l’integrando è assolutamente integrabile su Rn, quindi la definizione è ben posta. Inun certo senso, abbiamo l’analogo dei coefficienti di Fourier nel caso discreto. Per dimostrare che la funzionef è una sovrapposizione continua di funzioni periodiche semplici abbiamo necessità di sviluppare alcunirisultati preparatori.

2.3.4 Teorema Per la trasformata di Fourier f 7! Ff � Of valgono le seguenti affermazioni:

1. dxˇf .k/ D .iDk/ˇ Of .k/ , per ogni ˇ 2 Nn0 ;

2. D˛f .k/ D .ik/˛ Of .k/ , per ogni ˛ 2 Nn0 ;

3. F è un endomorfismo di S .

Dimostrazione. Vediamo prima l’asserzione 1. Sia � 2 R, e scegliamo un elemento della base standard inRn, ad esempio ej . È utile usare lo sviluppo di Taylor per � D 0 della funzione e�i�y D 1 � i�y C r.�; y/tale che il resto r.�; y/ è di ordine j�j2 (uniformemente in y) per � ! 0, ossia esiste M � 0 tale chejr.�; y/j �M j�j2. Allora valutiamo

Of .k C �ej / � Of .k/ D

ZRnf .x/

�e�ihkC�ej ;xi � e�ihk;xi

�dx(2.4)

D

ZRnf .x/e�ihk;xi

�e�i�xj � 1

�dx

D

ZRnf .x/e�ihk;xi

��i�xj C r.�; x/

�dx

D �i�dxjf .k/CR.�; k/ :Notiamo che l’espressione precedente è lineare in �, e che la quantità R la possiamo stimare nel seguentemodo

jR.�; k/j D j

ZRnf .x/r.�; x/e�ihk;xi dxj �M j�j2

ZRnjf .x/j ;

poiché f è in S allora la funzione R è infinitesima di ordine 2 per � ! 0. Allora, applicando il teoremasulle derivate parziali, si ha che la quantità in eq. (2.4) è derivabile nella direzione ej e quindi

DkjOf .k/ D �idxjf .k/ :

Iterando l’argomento, troviamo la tesiDˇ

kOf .k/ D .�i/jˇ jdxˇf .k/.

Vediamo ora la 2. Notiamo che .ik/ˇe�ihk;xi D .�D/ˇe�ihk;xi. Da quanto mostrato prima ed usandointegrazione per parti su ciascuna coordinata, si ha

.ik/˛..iD/ˇ Of /.k/ D �

ZRnD˛x .e�ihk;xi/xˇf .x/ dx

D

ZRne�ihk;xiD˛.xˇf .x// dx ;

dove, i termini al bordo dell’integrazione per parti sono nulli poiché f è in S . In particolare, la 2: segueprendendo ˇ D 0 2 N0.

Dimostriamo infine l’ultima asserzione. Utilizzando la precedente uguaglianza, otteniamo

jk˛.Dˇ

kOf /.k/j �

ZRnjD˛

x .xˇf .x//j dx < C1 ;

poiché f 2 S , quindi Of è in S . Quindi, la trasformata di Fourier manda elementi di S in sé stesso, edessendo definita tramite integrazione assoluta è una operazione lineare, dunque F 2 End.S/. �


2.3.5 Esempio Sia f .x/ D e�kxk2=2. Chiaramente f 2 S . Cerchiamo di ottenere la sua trasformata di

Fourier. Ci sono due metodi: uno diretto, utilizzando l’integrazione esplicita, l’altro indiretto, che fa usodel teorema precedente. Vediamo quest’ultimo metodo. Se deriviamo parzialmente la f si haDxj f .x/ D�xjf .x/, per cui trasformando con Fourier, si ottiene Dxj f .k/ D �dxjf .k/. Dal Teorema 2.3.4, si ottiene

DkjOf .k/ D �kj Of .k/ ; per ogni j D 1; : : : ; n :

La soluzione di questo sistema di equazioni differenziali del primo ordine è Of .k/ D ce�kkk2=2, con c 2 Rda determinare. La costante vale chiaramente c D Of .0/ per cui si ha

c D

ZRnf .x/ dx

D

ZRne�kxk

2=2 dx

D

ZR� � �

ZR

nYjD1

e�x2j=2dx1 � � � dxn

D

�Z C1�1

e�x2=2 dx

�nD .2�/

n2 :

Concludendo, Of .k/ D .2�/n2 e�kkk

2=2. �

2.3.6 Definizione Siano f; g 2 S . Definiamo la convoluzione di f e g come la funzione f �g W Rn ! Ctramite l’espressione

(2.5) f � g.x/ D

ZRnf .x � y/g.y/ dy :

2.3.7 Teorema Siano f; g 2 S.Rn/. Le seguenti affermazioni sono vere:1. f � g 2 S.Rn/;2. f � g D Of Og.

Dimostrazione. Non è difficile mostrare che vale la seguente disuguaglianza

jxˇ j � 2jˇ jjˇ jXkD0

kx � ykkkykjˇ j�k ;

valida per ogni ˇ 2 Nn0 e ogni y 2 Rn. Infatti, poiché jxj j � kxk, per ogni j D 1; : : : ; n, allora è anche vero

che se j 2 N0 vale jxj j j � kxk j , poiché le funzioni di potenza intera sono tutte strettamente crescenti inRC. In particolare, è quindi vera la disuguaglianza jxˇ j � kxkjˇ j. Ora, usando la disuguaglianza triangolareper la norma euclidea in Rn, per ogni y 2 Rn si ha

jxˇ j � kxkjˇ j

� .kx � yk C kyk/jˇ j

�

jˇ jXkD0

jˇj

k

!kx � ykkkykjˇ j�k

� 2jˇ jjˇ jXkD0

kx � ykkkykjˇ j�k ;

dove, nella terza riga si è fatto uso dello sviluppo del binomio, e nella quarta riga si è usata la stima (inverocruda, ma sufficiente per i nostri scopi) del fattore binomiale

�jˇ jk

�, che si ricorda conta il numero dei possibili


sottoinsiemi di k elementi in un insieme di jˇj elementi, con la totalità del numero dei sottoinsiemi possibili2jˇ j.

Ora, considerando la convoluzione in eq. (2.5), si ha che jf .x�y/g.y/j � supf jg.y/j, sicché l’integran-do nella convoluzione è assolutamente integrabile. Dimostriamo, usando la disuguaglianza precedentementedimostrata che in effetti appartiene a S . Infatti, derivando e moltiplicando, si ha, per ogni ˛; ˇ 2 Nn

0 che

jxˇD˛.f � g/.x/j �

ZRnjxˇ jjD˛f .x � y/jjg.y/j dy

� 2jˇ jjˇ jXkD0

ZRnkx � ykkjD˛f .x � y/j kykjˇ j�kjg.y/j dy < C1 ;

poiché le funzioni sono a decrescita rapida. Quindi f � g 2 S .Vediamo ora il punto 2. Si ha

f � g.k/ D

ZRne�ihk;xi

�ZRnf .x � y/g.y/ dy

�dx

D

ZRng.y/

�ZRne�ihk;xif .x � y/ dx

�dy

D

ZRng.y/

�ZRne�ihk;xCyif .x/ dx

�dy

D

ZRne�ih;yig.y/ dy

ZRne�ihk;xif .x/ dx

D Of .k/ Og.k/ ;

dove, nella seconda riga si sono scambiati gli ordine degli integrali, perché assolutamente convergenti, mentrenella terza riga si è fatto uso dell’invarianza per traslazioni dell’integrazione 1 dimensionale. �

Siamo ora pronti per dimostrare il principale risultato di questa sezione, ovvero, che una funzione adecrescita rapida ammette decomposizione continua tramite funzioni periodiche elementari, dette ondepiane.

2.3.8 Teorema **[Trasformata Inversa di Fourier] La trasformata di Fourier F è un automorfismo di S .La sua inversa è data dall’espressione

(2.6) .F �1 Of /.x/ � f .x/ D .2�/�nZ

Rneihk;xi Of .k/ dk :

Dimostrazione. Per x D 0 l’eq. (2.6) vale

f .x/ D .2�/�nZ

Rn

Of .k/ dk :

Sia ora f .0/ D 0, allora

f .x/ D

Z 1

0

d

dtf .tx/ dt D

nXjD0

xj

Z 1

0

Djf .tx/ dt D

nXjD0

xj Qgj .x/ ;

dove Qgj 2 C1.Rn/ per j D 1; : : : ; n. Usiamo ora il punto .d/ del Teorema sulla partizione dell’unità,Teorema 1.6.7, per trovare una funzione � 2 C1c .Rn/ tale che � sia uguale a 1 in un intorno dell’origine, edefinire

gj .x/ D .� Qgj /.x/Cxj

kxk2.f .1 � �//.x/ ;

che, per ogni j , fornisce una funzione a decrescita rapida in Rn. Infatti, è una funzione C1 perché combina-zione di funzioni C1, inoltre poiché � è a supporto compatto, all’infinito domina la parte in cui c’è f che èa decrescita rapida. Inoltre,

nXjD0

xjgj .x/ D �.x/

nXjD0

xj Qgj .x/C

nXjD0

x2j

kxk2.f .1 � �//.x/ D �.x/f .x/C .1 � �/.x/f .x/ D f .x/ :


Usando la trasformata di Fourier si ha

Of .k/ D i

nXjD0

Dkj Ogj .k/ :

Ora, invocando il teorema fondamentale del calcolo, e poiché Og 2 S.Rn/, si ha

(2.7)Z

Rn

Of .k/ D 0 ;

che dimostra l’eq (2.6) quando f .0/ D 0. Vediamo ora il caso generale, sia f 2 S generica. Definiamoh D f � f .0/g dove g è la funzione gaussiana in Esempio 2.3.5. Poiché S è spazio lineare, allora h 2 S evale h.0/ D 0, da cui, prendendo la trasformata di Fourier, si ottiene Oh D Of � f .0/ Og. Quindi per la (2.7)

0 D

ZRn

Oh.k/ dk D

ZRn

Of .k/ dk � f .0/

ZRnOg.k/ dk

e poichéR

Rn Og.k/ dk D .2�/n allora è verificata la eq. (2.6) per x D 0. La formula dell’inversa è ora valida

per y 2 Rn generico applicata alla funzione x 7! .��yf /.x/ D f .x C y/, la traslata della funzione f .Infatti, usando Fubini e l’invarianza per traslazione dell’integrazione su R, si ottiene

��yf .k/ D

ZRne�ihk;xif .x C y/ dx D

ZRne�ihk;x�yif .x/ dx D eihk;yi Of .k/ ;

che fornisce la formula (2.6) per il caso generico. �

Come si capisce dalla formula della trasformata inversa di Fourier, ora la funzione f è definita da unasovrapposizione continua di elementi, ek.x/ D eihk;xi, dette onde piane, che sono autofunzioni (limitate)dell’operatore di derivazione D, infatti, Dek.x/ D ikek.x/. Il significato e la portata tecnica di questoteorema per l’analisi precisa dei fenomeni fisici moderni è dirompente. Vediamo un caso semplice:

2.3.9 Esempio (Equazione del calore) Sia u W Rn � R ! R una funzione sufficientemente regolare, insimboli u.x; t/, dove x 2 Rn rappresenta la variabile “spaziale” mentre t 2 R quella “temporale.” Talefunzione soddisfa l’equazione del calore se vale

(2.8) Dtu.x; t/ D ��xu.x; t/ ; .x; t/ 2 Rn � R ; � > 0 ;

dove �x è il Laplaciano in Rn, ossia �x DPnjD1D

2xj. Se introduciamo il dato inziale

u.x; 0/ D f .x/ ;

dove anche f avrà la stessa regolarità di u, il campo scalare u rappresenta la distribuzione nello spazio e neltempo della temperatura di un corpo solido, sottoposto a flusso di calore al tempo t D 0, e l’equazione nedetermina l’evoluzione. Si tratta di una cosidetta equazione alle derivate parziali ed è quindi interessantevedere sotto quali condizioni possiamo determinare una soluzione dell’equazione con il problema al datoiniziale appena descritto. Non sappiamo come manipolare tali equazioni perché non sono equazioni diffe-renziali ordinarie, ma possiamo ricondurci ad esse usando la trasformata di Fourier. Supponiamo quindi dimetterci nelle condizioni di massima regolarità per poter usare la trasformata di Fourier, ossia, supponiamou.�; t /; f 2 S.Rn/, quindi a decrescita rapida nella sola variabile spaziale. Definiamo

Ou.k; t/ D

ZRne�ihk;xiu.x; t/ dx :

Se assumiamo di poter commutare l’operazione di integrazione con quella di derivazione, dall’equazione delcalore otterremo,

Dt Ou.k; t/ D �� kkk2Ou.k; t/ ; Ou.k; 0/ D Of .k/ ;

che ora è diventato un problema di Cauchy per una equazione differenziale ordinaria, letta nella sola variabiletemporale t . La soluzione è presto trovata, infatti, è

Ou.k; t/ D Of .k/e�t� kkk2

:

2.4 *Appendice: il calcolo dell’integrale gaussiano* 43

Definendo Ogt .k/ D e�t� kkk2 e ricordandoci dell’esempio della gaussiana, si trova, tramite l’antitrasformata

di Fourier,

gt .x/ D .2�/�n=2

ZRneihk;xi Ogt .k/ dk D .4� � t/

�n=2e�kxk2

4� t :

Ricordando la convoluzione abbiamo

Ou.k; t/ D Of .k/ Ogt .k/ D f ? gt .k/ ;

per cui, dall’antitrasformata di Fourier, si ottiene

u.x; t/ D .f ? gt /.x/

D

ZRnf .x � y/gt .y/ dy

D .4��t/�n=2Z

Rne�

kyk2

4�t f .x � y/ dy

D .�/�n=2Z

Rne�kyk

2

f .x � 2p� ty/ dy :

Poiché il calcolo effettuato contiene molte assunzioni, è di prammatica verificare che effettivamente lasoluzione u cosí trovata è effettivamente una soluzione del problema di Cauchy per l’equazione del calore.Tale controllo però deve essere necessariamente differito a quando avremo strumenti sufficienti per effettuarlo.

Concludiamo facendo notare che supponendo supp f in un insieme limitato e f non banale ossiaf � 0, si ha che per ogni x 2 Rn e ogni t 2 RC esiste un y 2 Rn tale che x � 2

p�ty 2 suppf , ossia

f .x � 2p� t/ � 0. Quindi, se ne deduce, che u.x; t/ > 0 per ogni x 2 Rn e ogni t 2 RC e la propagazione

del calore avviene a velocità infinita! �

2.4 *Appendice: il calcolo dell’integrale gaussiano*Z C1�1

e�x2

dx Dp� :

Sappiamo che l’integrale gaussiano esiste come integrale improprio, quindiZ C1�1

e�x2

dx D p 2 R ;

ovvero, per la parità

2

Z C10

e�x2

dx D p ; ”

Z C10

e�x2

dx Dp

2:

Poiché il problema eventualmente è solo all’infinito, allora scriviamo,

limn!C1

Z n

0

e�x2

dx Dp

2:

Ora,

(2.9)Z n

0

e�x2

dx Dpn

Z 1

0

e�nx2

dx ;

quindi, il problema è ricondotto al calcolo esplicito dell’ultimo integrale. La tecnica che verrà usata è lastima dell’integrando con funzioni che lo approssimano superiormente ed inferiormente. A tal proposito,ricordiamo una disuguaglianza elementare,

ey � 1C y ; per ogni y 2 R :

Usiamo la precedente stima in due modi differenti, per ottenere stime da sopra e da sotto della funzioneintegranda in eq. (2.9), ossia


1. Se y D �x2 ne conseguee�x

2

� 1 � x2 ;

ed usiamo l’ultima stima per 1 � x2 � 0, ossia �1 � x � 1, ottenendo, per ogni n 2 N

e�nx2

� .1 � x2/n ;

2. Inoltre vale, per ogni x 2 R, ex2 � 1C x2 ; ossia

1

1C x2� e�x

2

; che implica1

.1C x2/n� e�nx

2

:

In conclusione, vale la seguente disuguaglianza

.1 � x2/n � e�nx2

�1

.1C x2/n;

per ogni �1 � x � 1 ed ogni n 2 N. Per l’isotonia degli integrali si ha, di conseguenza,Z 1

0

.1 � x2/n dx �

Z 1

0

e�nx2

dx �

Z 1

0

1

.1C x2/ndx �

Z C10

1

.1C x2/ndx :

Per integrazione elementare si ha,Z 1

0

.1 � x2/n dx D

Z �=2

0

cos2nC1 x dx D.2n/ŠŠ

.2nC 1/ŠŠ;Z C1

0

1

.1C x2/ndx D

Z �=2

0

cos2n�2 x dx D.2n � 3/ŠŠ

.2n � 2/ŠŠ

�

2:

Quindi, otteniamopn

.2n/ŠŠ

.2nC 1/ŠŠ�pn

Z 1

0

e�nx2

dx �pn.2n � 3/ŠŠ

.2n � 2/ŠŠ

�

2;

dopo aver moltiplicato i membri perpn. Il primo termine si può scrivere come

n

2nC 1

.2n/ŠŠ

.2n � 1/ŠŠ

1pnD

n

2nC 1

..2n/ŠŠ/2

2nŠ

1pnD

n

2nC 1

.2nnŠ/2

2nŠ

1pnD

n

2nC 122n

.nŠ/2

2nŠ

1pn:

Usando la formula di Stirling, nŠ D nne�np2�n.1C o.1// per n!C1, nell’ultima equazione si ha

n

2nC 1

1pn22n

.nne�np2�n.1C o.1///2

.2n/2n e�2np4�n.1C o.1//

; n!C1 ;

n

2nC 1

p� .1C o.1// ; n!C1 ;

!�

2; n!C1 :

L’ultimo termine della disuguaglianza principale si stima in modo analogo scrivendolo come, ad esempio,pn.2n � 3/ŠŠ

.2n � 2/ŠŠ

�

2D

1

1pn

.2n�2/ŠŠ

.2n�3/ŠŠ

�

2;

per cui, il termine nel denominatore si stima come

1pn

.2n � 2/ŠŠ

.2n � 3/ŠŠ!p� ; n!C1 ;

da cui, finalmente,pn.2n � 3/ŠŠ

.2n � 2/ŠŠ

�

2!

p�

2; n!C1 :

Per il Teorema del Confronto delle successione numeriche reali, si hap�

2�p

2�

p�

2; ” p D

p� :

3. Arzelà e il cambiamento delle variabili

3.1 Convergenza uniformeCi ricordiamo di un risultato importante visto ad Analisi II, benché per integrazione su R, e stavolta generaliz-zato all’integrazione multidimensionale, che utilizza in modo cruciale la convergenza uniforme.

3.1.1 Teorema Siano A rettificabile in Rn, .fk/k2N e f , integrabili in A. Se la successione convergeuniformemente ad f in A allora I.fk/ converge a I.f /.

Dimostrazione. La dimostrazione è identica a quella fatta in R. Consideriamo

I.fk/ � I.f / D

ZA

fk �

ZA

f D

ZA

.fk � f / ;

per l’integrabilità e linearità. Quindi, prendendo il valore assoluto, ed usando la convergenza uniformedi fk a f in A, ossia per ogni � > 0 esiste k0 2 N tale che per ogni k > k0 ottengo jfk.x/ � f .x/j �kfk � f k1 < �, si ha

jI.fk/ � I.f /j �

ZA

jfk � f j � kfk � f k1voln.A/ < �voln.A/ :

Per l’arbitrarietà di � segue la tesi. �

Quello che però vogliamo enfatizzare ora è che la convergenza uniforme non è necessaria, può essereassicurata da un altra condizione, più semplice da verificare, e dalla convergenza puntuale. Il seguenteteorema è un primo passo importante.

3.1.2 Teorema (Teorema del Dini) Sia A compatto in Rn. Supponiamo che fk sia una successionedi funzioni continue e decrescenti (alternativamente, continue e crescenti) in A tali che convergonopuntualmente ad una funzione f continua in A, allora la successione fk converge uniformemente ad f inA.

Dimostrazione. Sia hk D fk � f . Allora hk � 0, hk ! 0 puntualmente ed è anche decrescente. Poichéè composizione di funzioni continue anche hk è continua. Ora, sia � > 0 arbitrario, l’insieme Ok deipunti x 2 A per cui hk.x/ < � è un aperto per la continuità della funzione. Inoltre, per la decrescenzadella successione, gli Ok formano una successione di aperti crescenti. Usiamo la convergenza puntuale e

46 Capitolo 3. Arzelà e il cambiamento delle variabili

deduciamo che per ogni x 2 A esiste un k sufficientemente grande tale che x 2 Ok . Ne consegue che A èricoperto dall’unione degli insiemi Ok . Quindi abbiamo un ricoprimento aperto di A e per la compattezzatroviamo un sottoricoprimento finito fatto di elementi della successione degli aperti Ok . Ma questi sonocrescenti, quindi trovo un indice N tra quelli del sottoricoprimento finito, il cui aperto ON contiene tuttigli altri ed in particolare A stesso. In effetti tutti gli aperti con indice k > N fanno lo stesso. Concludendo,abbiamo dimostrato che per � > 0 esiste un N tale che per ogni k > N l’insieme dei punti x per cui hk < �ricopre tutto A, ossia la convergenza è uniforme. �

3.2 Il Teorema della convergenza limitata/dominata o di Arzelà3.3 Approssimanti della delta di Dirac3.4 Il Teorema del cambiamento delle variabili3.5 Esempi di cambiamento delle variabili3.6 Esempi di calcolo

II Forme Differenziali

III Integrazione su varietà

IV

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53TestiArticoli

Funzioni di variabilecomplessa

Bibliografia

Testi1. C. D. Pagani & S. Salsa, “Analisi Matematica I & II,” Zanichelli, 2015-2016.

[v-CORSO MAT 314]2. N. Fusco, S. Marcellini & C. Sbordone, “Analisi Matematica II,” Liguori Editore, ed. 1995.

[v-CORSO FIS 176]3. M. H. Protter & C. B. Morrey, “A First Course in Real Analysis,” Springer-Verlag, 1975.

[v-515 PROT]4. W. Rudin, “Principi di Analisi Matematica,” McGraw-Hill, terza edizione 1991.

[TRENTO BIBL COM VIA ROMA, t-DG e 635, solo consultazione]5. M. Spivak, “Calculus on Manifolds,” Westview Press, 1971.

[v-514.72 SPI]6. M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Editrice Esculapio.7. S. Salsa & A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 2, Zanichelli.

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