Notas de Aula · n], 0 ≤ n ≤ M = 2 n d = N − 1 0, ... 1, 0 ≤ n ≤ M = N − 1 0, caso...
Transcript of Notas de Aula · n], 0 ≤ n ≤ M = 2 n d = N − 1 0, ... 1, 0 ≤ n ≤ M = N − 1 0, caso...
FiltrosDigitais
tipoFIR
1
Pro
cessamento
DigitaldeSinais
NotasdeAula
FiltrosDigitais
TipoFIR
RicardoTok
ioHiguti
Departamento
deEngenharia
Eletrica-FEIS
-Unesp
Observacao:Estas
notas
deau
laestaobaseadas
nolivro:“D
iscrete-Tim
eSignal
Processing”,
A.V
.Oppen
heim
andR.W
.Schafer,Prentice
Hall,1989/1999.
FiltrosDigitais
tipoFIR
2
FiltrosDigitais
TipoFIR
•Resposta
aoim
pulsocom
duracaofinita
•Funcaodetran
sferencia
H(z)=
MX n=0
b nz−
n
•Im
plementacaodeform
anao-recursiva
•Metodos
deprojeto
–Jan
elam
ento
–Amostragem
emfrequencia
–Metodos
otim
os
FiltrosDigitais
tipoFIR
3
Meto
dodoJanelamento
Sejaum
filtro
passa-baixas
idealcom
fase
linear:
Hd(e
jω)=
e−jω
nd,|ω|≤
ωc
0,ωc<
|ω|≤
π
Acorrespon
dente
resposta
impulsivaideale:
hd[n]=
sinωc(n−
nd)
π(n
−nd)
−∞
<n<
∞
Nota-se
quearesposta
impulsivatem
dura
caoinfinitaeenao-causal.
Umasolucaoparaisso
etruncararesposta
impulsiva,
toman
doN
=
M+1am
ostras
(M=
2nd):
h[n]=
hd[n],
0≤
n≤
M=
2nd=
N−1
0,caso
contrario
oqueequivaleamultiplicararesposta
impulsivaidealhd[n]por
umajanela
deduracaofinitaw[n]:
h[n]=
hd[n]·w[n]
ondenocaso
deum
simplestruncamento,w[n]eumajanelaretangu
lar:
w[n]=
1,0≤
n≤
M=
N−
10,
caso
contrario
FiltrosDigitais
tipoFIR
4
Resp
ostaim
pulsiva-filtro
passa-b
aixasideal
hd[n]=
sinωc(n−
nd)
π(n
−nd)
,−∞
<n<
∞
Truncando-se
aresposta
impulsivaidealpara0≤
n≤
M=
2nd,fica-se
com:
−10
−5
05
10
15
−0.20
0.2
0.4
0.6 −10
−5
05
10
15
−0.20
0.2
0.4
0.6
M=
5(F
IRtipoII)
M=
6(F
IRtipoI)
n
Exercıcio
Calcule
asrespostasim
pulsivas
ideais
detodos
ostipos
defiltrosideais
com
fase
linear:
passa-baixas,passa-altas,passa-faixaerejeita-faixa,
e
determinequetipos
defiltrosFIR
com
fase
linearpodem
ser(I,II,IIIou
IV).
FiltrosDigitais
tipoFIR
5
Meto
dodoJanelamento
Sejaaresposta
impulsivadeum
filtro
idealhd[n].
Deseja-se
aproxim
a-la
por
umaresposta
deduracaofinita
h[n]=
0,para
n<
0e
n>
M
Paraaap
roxim
acao,serabuscad
aasolucaoqueminim
izaoerro
quad
ratico:
E2=
∞X
n=−∞|h
d[n]−
h[n]|2
Com
oaresposta
final
tem
duracaofinita,
pode-se
separar
asomatoria
emtres
term
os:
E2=
−1
X
n=−∞|h
d[n]|2+
MX n=0
|hd[n]−
h[n]|2+
∞X
n=M
+1
|hd[n]|2
Com
ohd[n]esta
fixo,
aminim
izacao
deE
2consisteem
minim
izar
a
somatoria
domeio,
cujo
valormınim
oezero
quan
doh[n]=
hd[n].
Portanto,otruncamento
daresposta
idealcom
umajanelaretangu
lar
resultanomınim
oerro
quad
ratico
daap
roxim
acao.Noentanto,em
geral
otruncamento
com
ajanelaretangu
larnao
eamelhor
escolhanoprojeto
defiltros.
FiltrosDigitais
tipoFIR
6
Meto
dodoJanelamento
Oefeito
dojanelam
ento
emaisevidente
nodom
ınio
dafrequencia,
noqual
tem-seaconvolucaoperiodicaentrearesposta
emfreq.idealeoespectro
dajanela:
H(e
jω)=
1 2π
Z
π −πH
d(e
jθ)W
(ej(ω−θ))dθ
Dessa
form
a,aescolhadajanelaw[n]vaiinfluenciar
aresposta
emfreq.
dofiltro
obtidoepor
isso
existem
diversostipos
dejanelas
dispon
ıveis,
alem
daretangu
lar.
FiltrosDigitais
tipoFIR
7
EfeitodoJanelamento
FiltrosDigitais
tipoFIR
8
EfeitodoJanelamento
•Osmax
imos
desviosnas
faixas
depassagem
erejeicao
saoproduzidos
pelos
lobuloslaterais.Portanto,os
desviosefetivam
ente
obtidos
no
filtro
final
seraoiguais,poisforam
produzidos
pelos
mesmos
lobulos.
•A
largura
dafaixadetran
sicaoediretam
ente
proporcion
alalargura
dolobulo
principal.
FiltrosDigitais
tipoFIR
9
EfeitodoJanelamento
Havariostipos
dejanelas
quepodem
serusadas.Cad
aumapossuidifer-
entescaracterısticasde:
•Form
a:relacion
adacom
alargura
dolobulo
principal
eonıvel
de
lobulo
lateral;
•Comprimento:relacion
adacom
alargura
dolobulo
principal.
FiltrosDigitais
tipoFIR
10
Janelas
Existem
diversasjanelas,com
diferentescaracterısticasdeform
atonodom
ınio
dotempo,
queacab
ampor
influenciar
noseuespectro.
Osparam
etros
principaissaorelacion
ados,noespectrodajanela,
a:
•Form
a:relacion
adacom
alargura
dolobulo
principal
eonıvel
de
lobulo
lateral;
•Comprimento:relacion
adacom
alargura
dolobulo
principal.
lóbulo
principal
lóbulos
laterais
nível de
lóbulo
lateral
largura do
lóbulo principal
formato
comprimento
0w[n]
Mn
DTFT
N=
M+1
W(e
jω)
ω−π
π
FiltrosDigitais
tipoFIR
11
Janelas(comprimento
N=
16(M
=15))
05
10
15
0
0.2
0.4
0.6
0.81
reta
ng
ula
r
Ham
min
g
Han
nin
g
Bla
ckm
an
n
Jan
elas
com
N=
16(M
=15)
-10
1-8
0
-60
-40
-200
dB
Reta
ngu
lar
-10
1-8
0
-60
-40
-200
Ham
min
g
-10
1-8
0
-60
-40
-200
dB
Han
nin
g
-10
1-8
0
-60
-40
-200
Bla
ck
man
ω/π
ω/π
−→
Aose
modificaroform
ato
dajanela,
tanto
alarg
ura
dolobulo
principalcomoonıveldoslobuloslatera
issaomodificados.
FiltrosDigitais
tipoFIR
12
Janela
deKaiser
Fam
ılia
dejanelas
param
etrizadapor
um
fatordeform
aβ.
05
10
15
0
0.2
0.4
0.6
0.81
n
β=
0
β=
3
β=
6
Jan
elas
deKaisercom
N=
16
-1-0
.50
0.5
1-8
0
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-100
dB
ω/π
β=
0
β=
3
β=
6
Espectros
dejanelas
deKaisercom
N=
16
FiltrosDigitais
tipoFIR
13
Janela
deKaiser
Mudan
do-se
ocomprimento
dajanelaeman
tendo-se
ofatordeform
aβ.
-1-0
.50
0.5
1-8
0
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-100
dB
ω/π
N=
8
N=
16
N=
32
Espectros
dejanelas
deKaisercom
β=
6
−→
Mudan
do-se
oco
mprimento
dajanela
eman
tendo-se
oseufor-
mato,
altera-sealarg
ura
doslobulos(principal
elaterais)eodeca
i-
mento
doslobuloslatera
isem
funcaodafrequencia,
mas
onıveldo
primeirolobulo
latera
lperm
anece
omesm
o.
FiltrosDigitais
tipoFIR
14
TiposdeJanelas
Algunstipos
dejanelas
w[n]para0≤
n≤
M=
N−
1:
•Retangular:
w[n]=
1
•Bartlett
(triangular):
1−2|n−
M/2|/M
•Black
man:
0.42
−0.5cos(2π
n/M
)+0.08
cos(4π
n/M
)
•Hamming:
0.54
−0.46
cos(2π
n/M
)
•Hanning:
0.5−
0.5cos(2π
n/M
)
•Kaiser:
I 0[β(1
−[(n−
M/2)/(M
/2)]2)1
/2]
I 0(β)
,β≥
0
I 0(.)-funcaodeBesselmodificadadoprimeiro
tipoedeordem
zero
•Lancz
os:
sin[2π(n
−M/2)/M
]
2π(n
−M/2)/M
L
,L>
0
•Tukey:
1,|n
−M/2|<
αM/2
0.5+0.5cos�
n−(1+α)M
/2
(1−α)M
/2
�
,αM/2
≤|n
−M/2|≤
M/2
FiltrosDigitais
tipoFIR
15
EfeitodoJanelamento
Resp
ostaim
pulsiva-filtro
passa-baixasideal
02
46
810
12
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
reta
ng
ula
r
n
02
46
810
12
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Ha
mm
ing
n
•Notar
asimetriadas
janelas
-man
utencaodafase
linear.
FiltrosDigitais
tipoFIR
16
EfeitodoJanelamento
-Frequencia
00.5
10
0.2
0.4
0.6
0.81
00.5
10
0.2
0.4
0.6
0.81
00.5
10
0.2
0.4
0.6
0.81
Janela retangular
00.5
10
0.2
0.4
0.6
0.81
N=
3N
=15
N=
31N
=61
ω/π
ω/π
00.5
10
0.2
0.4
0.6
0.81
00.5
10
0.2
0.4
0.6
0.81
00.5
10
0.2
0.4
0.6
0.81
Janela de Hamming
00.5
10
0.2
0.4
0.6
0.81
N=
3N
=15
N=
31N
=61
ω/π
ω/π
FiltrosDigitais
tipoFIR
17
Cara
cterısticasdeJanelas
Caracterısticas
defiltros(passa-baixas,passa-altas,passa-faixa,
rejeita-
faixa)
projetados
com
janelas
decomprimento
N=
M+1
Janela
Δω/2π
Rp[dB]
Rs[dB]
LL
[dB]
δRetan
gular
0.9/N
0.7416
2113
0.089137
Han
ning
3.1/N
0.0546
4431
0.006306
Ham
ming
3.3/N
0.0194
5341
0.002236
Blackman
5.5/N
0.0017
7457
0.000196
Kaiser(β
=4.54)
2.93/N
0.0274
5034
0.003156
Kaiser(β
=6.76)
4.32/N
0.0027
7049
0.000316
Kaiser(β
=8.96)
5.71/N
0.000274
9066
0.000031
•Δω=
|ωs−
ωp|:largura
dafaixadetran
sicao
•R
p:max
imoripple
nafaixadepassagem
•R
s:m
ınim
aatenuacao
nafaixaderejeicao
•LL:relacaoentreas
magnitudes
dolobulo
principaledolobulo
lateral
•δeodesvio
efetivam
ente
obtidoquan
dose
utiliza
determinad
ajanela
•Notar
queδ=
δ p−ef
etivo=
δ s−ef
etivo
FiltrosDigitais
tipoFIR
18
Janela
deKaiser
•Jan
elas
com
form
atofixo:
apresentam
um
valorfixodenıveldelobulo
lateral,queindep
endedocomprimento
-oresultad
opodenao
sero
melhor
(menor
ordem
).
•AjaneladeKaiserenaverdad
eum
conjunto
dejanelas
param
etrizadas
por
β,cham
adodefatorde
form
a.
Dessa
man
eira,β
esta
rela-
cion
adocom
onıvel
delobulo
lateraldajanela.
Pro
cedim
ento
depro
jeto:
1.Determinar
alargura
detran
sicao:
Δω=
|ωs−
ωp|
2.Calcular:
A=
−20
log 1
0min{δ p,δ
s}
3.Determinar
ofatorβ:
β=
0,A
<21
0.5842(A
−21)0
.4+0.07886(A−21),
21≤
A≤
500.1102(A
−8.7),
A>
50
4.Calcularovalorap
roxim
adodeM
:
M=
A−
8
2.285Δ
ω
noqual
pode-se
terumavariacao
paramaisou
paramenos.
FiltrosDigitais
tipoFIR
19
Meto
dodojanelamento
Escolhadajanela:
1.Escolher
otipodajaneladeacordocom
osmax
imos
desviosnas
faixas
depassagem
erejeicao;
2.Determinar
oco
mprimento
dajaneladeacordocom
alargura
da
faixadetran
sicao.
Pro
cedim
ento
depro
jeto:
1.A
partirdas
especificacoes,determinar
aresposta
emfreq.ideal,ja
incorporan
dooterm
ocom
fase
linear(em
gerale−
jωM
/2);
2.Calculararesposta
impulsivaidealhd[n];
3.Determinar
otipo/form
atoeocomprimento
(M+
1)dajanelaw[n]
queatendeas
especificacoes;
4.Obteraresposta
dofiltro:h[n]=
hd[n]·w[n];
5.Verificarse
ofiltro
atendeas
especificacoes.Senecessario,
voltar
ao
passo
3.
FiltrosDigitais
tipoFIR
20
Exemplo:FiltroPassa-B
aixas
Esp
ecificacoes
•faixadepassagem:0a1.5kHz
•largura
detran
sicao:
0.5kHz
•freq.derejeicao:2.0kHz
•Max
imoRipple
nafaixadepassagem:0.1dB
•Mınim
aatenuacao
nafaixaderejeicao:50
dB
•Freq.am
ostragem
:8kHz
Tra
nsform
andopara
freq.discretasω=
2πf/f
s:
•faixadepassagem:0aωp=
3π/8
•largura
detran
sicao:
Δω=
π/8
•freq.derejeicao:ωs=
π/2
•Max
imoRipple
nafaixadepassagem:R
p=
0.1dB
(δp=
0.0116)
•Mınim
aatenuacao
nafaixaderejeicao:R
s=
50dB
(δs=
0.0032)
•Freq.am
ostragem
:8kHz
FiltrosDigitais
tipoFIR
21
Solucao
1.A
partirdas
especificacoes,determina-se
aresposta
emfrequenciado
filtro
passa-baixas
ideal/desejad
oH
d(e
jω)com
fase
linear,
noqual
aordem
Maindaedesconhecidaeωc=
(ωp+
ω2)/2=
0.4375π
ea
frequenciadecorte.
Con
sidera-se
um
term
odefase
linar
e−jω
M 2.
Hd(e
jω)=
e−jω
M 2,|ω|≤
ωc
0,ωc<
|ω|≤
π
2.Determina-se
aexpressao
daresposta
impulsivadofiltro
ideal/desejad
o:
hd[n]=
sinωc(n−
M/2)
π(n
−M/2)
3.A
partirdomınim
odesvio
(0,0032),oqueequivaleaumaatenuacao
de50
dB,escolhe-se
natabelaumajanelaquesatisfaz
aessa
condicao:
Ham
ming,
Blackman
,Kaiser,etc.
Escolhe-se
aqueresultaem
menor
ordem
,nocaso
ajaneladeHam
ming;
4.Determina-se
ocomprimento
dajanela,
neste
caso
N=
3.3/(Δ
ω/2π),
naqual
alargura
detran
sicaonormalizad
ae:
Δω
2π=
|ωs−
ωp|
2π=
1 16
Oqueresultaem
N=
52.8.
Com
oN
deveserinteiro,
utiliza-se
N=
53,oqueequivaleaM
=52,ou
seja,trata-se
deum
filtro
FIR
tipoI,poisaresposta
esimetrica.
5.Deposse
dos
valoresnumericos
deM
eωc,calculam-seos
valoresde
hd[n]para0≤
n≤
M=
52;
6.Calcula-seajanelaw[n],decomprimento
53:
w[n]=
0.54
−0.46
cos(2π
n/M
),0≤
n≤
M=
52
7.Realiza-seojanelam
ento
daresposta
ideal/desejad
a,ob
tendo-se
ofil-
tropratico:
h[n]=
hd[n]·w[n]
FiltrosDigitais
tipoFIR
22
Exemplo:FiltroPassa-B
aixas-janela
deHamming
010
20
30
40
50
60
−0.20
0.2
0.4
0.6
resp
osta
id
ea
l h
d[n
]
amplitude
010
20
30
40
50
60
−0.20
0.2
0.4
0.6
resp
osta
ob
tid
a h
[n]=
hd
[n].
w[n
]. J
an
ela
de
Ha
mm
ing
N=
53
am
ostr
a n
amplitude
FiltrosDigitais
tipoFIR
23
Exemplo:FiltroPassa-B
aixas-janela
deHamming
00.2
0.4
0.6
0.8
1−
80
−60
−40
−200
Re
sp
osta
em
fre
qu
en
cia
dB
00.2
0.4
0.6
0.8
1−
50
−40
−30
−20
−100
Re
sp
osta
de
Fa
se
rad
ω/π
00.0
50.1
0.1
50.2
0.2
50.3
0.3
5
0.9
981
1.0
02
Fa
ixa
de
Pa
ssa
ge
m −
Ha
mm
ing
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
10123
x 1
0−
3F
aix
a d
e R
eje
içã
o
ω/π
FiltrosDigitais
tipoFIR
24
Exemplo:FiltroPassa-B
aixas-janela
deKaiser
•A
=50
•β=
0.1102(A
−8.7)
=4.55
•N
>(A
−8)/(2.285Δ
ω)=
47.9
⇒N
=48,M
=47
•NoMATLAB:w=kaiser(N,beta);
010
20
30
40
50
−0.20
0.2
0.4
0.6
resp
osta
id
ea
l h
d[n
]
amplitude
010
20
30
40
50
−0.20
0.2
0.4
0.6
resp
osta
ob
tid
a h
[n]=
hd
[n].
k[n
]. J
an
ela
de
Ka
ise
r N
=4
8
am
ostr
a n
amplitude
FiltrosDigitais
tipoFIR
25
Exemplo:FiltroPassa-B
aixas-janela
deKaiser
00.2
0.4
0.6
0.8
1−
80
−60
−40
−200
Re
sp
osta
em
fre
qu
en
cia
dB
00.2
0.4
0.6
0.8
1−
40
−30
−20
−100
Re
sp
osta
de
Fa
se
rad
ω/π
00.0
50.1
0.1
50.2
0.2
50.3
0.3
5
0.9
981
1.0
02
Fa
ixa
de
Pa
ssa
ge
m −
Ka
ise
r
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
10123
x 1
0−
3F
aix
a d
e R
eje
içã
o
ω/π
FiltrosDigitais
tipoFIR
26
Exemplo
-FIR
Janelamento
Sejaum
diferenciad
orcom
fase
linear:
Hdif(e
jω)=
(jω)e
−jω
M/2,
−π<
ω<
π
Acorrespon
dente
resposta
impulsivaidealedad
apor:
hdif[n]=
cosπ(n
−M/2)
n−M/2
−sinπ(n
−M/2)
π(n
−M/2)2
,−∞
<n<
∞
Paraob
terum
filtro
FIR
,multiplica-searesposta
idealpor
umajanela
w[n],decomprimento
N=
M+1:
h[n]=
hdif·w[n]
•A
resposta
impulsivaob
edeceah[M
−n]=
−h[n]
•Filtros
FIR
tipos
IIIou
IV
FiltrosDigitais
tipoFIR
27
Resp
ostapara
M=5,janela
retangular
01
23
45
−1.5−1
−0.50
0.51
1.5
Difere
ncia
dor,
resposta
im
puls
iva, M
=5, ja
nela
reta
ngula
r
am
ostr
a
00.2
0.4
0.6
0.8
10
0.51
1.52
2.53
3.5
Difere
ncia
dor,
resposta
em
fre
q, M
=5, ja
nela
reta
ngula
r
Magnitude
ω/π
FiltrosDigitais
tipoFIR
28
Resp
ostapara
M=5,janela
retangular
05
10
15
20
25
30
35
40
0
0.2
0.4
0.6
0.81
entrada
Difere
ncia
dor,
M=
5, re
tangula
r
05
10
15
20
25
30
35
40
−2
−1012
am
ostr
a
saída
05
10
15
20
25
30
35
40
05
10
15
20
Difere
ncia
dor,
M=
5, re
tangula
r
entrada
05
10
15
20
25
30
35
40
−4
−2024
am
ostr
a
saída
FiltrosDigitais
tipoFIR
29
Resp
ostapara
M=5,janela
deHamming
01
23
45
−1.5−1
−0.50
0.51
1.5
am
ostr
a
Difere
ncia
dor,
resposta
im
puls
iva, M
=5
00.2
0.4
0.6
0.8
10
0.51
1.52
2.53
3.5
Difere
ncia
dor,
resposta
em
fre
q., M
=5
Magnitude
ω/π
FiltrosDigitais
tipoFIR
30
Resp
ostapara
M=5,janela
deHamming
05
10
15
20
25
30
35
40
0
0.2
0.4
0.6
0.81
Entrada
Difere
ncia
dor,
M=
5
05
10
15
20
25
30
35
40
−2
−1012
Saída
am
ostr
a
05
10
15
20
25
30
35
40
05
10
15
20
Entrada
Difere
ncia
dor,
M=
5
05
10
15
20
25
30
35
40
−4
−2024
Saída
am
ostr
a
FiltrosDigitais
tipoFIR
31
Resp
ostapara
M=6,janela
deHamming
01
23
45
6−
0.8
−0.6
−0.4
−0.20
0.2
0.4
0.6
0.8
am
ostr
a
Difere
ncia
dor,
resposta
im
puls
iva, M
=6
00.2
0.4
0.6
0.8
10
0.51
1.52
2.53
3.5
Difere
ncia
dor,
resposta
em
fre
q., M
=6
Magnitude
ω/π
FiltrosDigitais
tipoFIR
32
Resp
ostapara
M=6,janela
deHamming
05
10
15
20
25
30
35
40
0
0.2
0.4
0.6
0.81
Entrada
Difere
ncia
dor,
M=
6
05
10
15
20
25
30
35
40
−1
−0.50
0.51
Saída
am
ostr
a
05
10
15
20
25
30
35
40
05
10
15
20
Entrada
Difere
ncia
dor,
M=
6
05
10
15
20
25
30
35
40
−4
−2024
Saída
am
ostr
a
FiltrosDigitais
tipoFIR
33
Amostra
gem
em
Frequencia
Con
sisteem
amostrar
aresposta
emfrequenciaidealou
desejad
aecalcular
aDFT
inversa.
Sejaumaresposta
desejad
a:
Hd(e
jω)=
|Hd(e
jω)|ej
6H
d(e
jω)
Amostran
doH
d(e
jω)em
Lpon
tosequiespacad
osentreω
=0e2π
,
tem-se:
H[k]=
Hd(e
jω)|ω=2πk/L,
k=0..L−1
ApartirdeH[k]calcula-seaDFT
inversa,
obtendo-se
aresposta
im-
pulsiva.
Dateoria
daDFT,sabe-se
quearesposta
notemposera
composta
por
um
perıododosinal:
h[n]=
∞X
r=−∞hd[n
−rL
]
h[n]=
h[n],
n=
0..L
−1
Assim
,podehaver
aliasingnotempo,
caso
aresposta
impulsivadesejad
a
nao
tenhaduracaomenor
ouigual
aL,queeocaso
geral.Um
janelam
ento
tambem
podeserutilizadoparareduziresse
problema.
FiltrosDigitais
tipoFIR
34
Exemplo
-FIR
Amostra
gem
em
Frequencia
Con
sidereum
filtro
passa-baixas
com
assegu
intesespecificacoes
emrelacao
asfrequencias
decorte:
ωp=
0.4π
ωs=
0.5π
Usandoatecnicadeam
ostragem
emfrequencia,
aresposta
demagni-
tudeam
ostrad
afica
comoindicad
aasegu
ir,com
L=
32am
ostras
entre0
e2π
−2π
/L:
00.5
11.5
20
0.2
0.4
0.6
0.81
1.2
Resposta
deseja
da
ω/π
Dos
valoresdeH
d[k],incorpora-se
umafase
linearecalcula-seaDFT
inversa,
obtendo-se
aresposta
impulsivah[n].
Estaresposta
podeainda
sermultiplicadapor
umajaneladeHan
ning,
por
exem
plo.
Osgrafi
cos
segu
intesmostram
asrespostasim
pulsivas
eas
magnitudes:
FiltrosDigitais
tipoFIR
35
05
10
15
20
25
30
−0.20
0.2
0.4
Am
ostr
agem
em
Fre
q. −
Reta
ngula
r
00.2
0.4
0.6
0.8
1−
80
−60
−40
−200
ω/π
05
10
15
20
25
30
−0.20
0.2
0.4
Am
ostr
agem
em
Fre
q. −
Hannin
g
00.2
0.4
0.6
0.8
1−
80
−60
−40
−200
ω/π
FiltrosDigitais
tipoFIR
36
Meto
dosOtimos
Con
sistedaap
roxim
acao
daresposta
emfrequenciadesejad
aem
term
osdoerro
quad
ratico
oudoerro
absoluto.
Sejaum
filtro
FIR
tipoI(resp.im
p.simetrica,M
par):
H(e
jω)=
MX n=0
h[n]e
−jω
n=
A(ω
)e−jω
M/2
e
A(ω
)=
M/2
X n=0
d[n]cos(ω
n)
emqued[0]=
h[M
/2];
d[k]=
2h[(M/2)−
k],
k=
1..M
/2
Supon
haquesejam
dad
asas
especificacoes
deum
filtro
por
meiode
umaresposta
desejad
a:
Hd(e
jω)=
D(ω
)e−jω
M/2
naqual
D(ω
)representa
aresposta
deam
plitudedesejad
a.
•Problema:
determinar
oscoeficientesd[n]quemelhor
aproxim
ema
resposta
desejad
a.
EscolhendoL
pon
tosdaresposta
desejad
a,nas
freq.ωi,i=
0..L
−1,
procura-seomelhor
A(ω
i)queap
roxim
aD(ω
i)segu
ndoum
criteriodeerro.
FiltrosDigitais
tipoFIR
37
Meto
dosOtimos
•Aproxim
acao
pela
minim
izacao
do
erro
quadra
tico
:Deve-se
procuraros
coeficientesd[n]queminim
izem
oerro
dad
opor:
E=
LX i=
1
e2 i=
LX i=
1[A(ω
i)−
D(ω
i)]2
Oresultad
oedad
opelasolucaodemınim
osquad
rados
discretos
(ref:
Proak
is)
•Aproxim
acaopela
minim
izacaodoerroabso
luto:Procuram-se
oscoeficientestalque,
definindooerro:
E(ω
)=
A(ω
)−
D(ω
)
tenha-se
min{max
|E(ω
)|}
consideran
doos
errosnas
faixas
depassagem
erejeicao,nas
freq.
ωiescolhidas.
Asolucaoedad
apeloalgoritm
odeRem
ez(P
arks-
McC
lellan
).
FiltrosDigitais
tipoFIR
38
FiltrosOtimos-M
inim
ax
Con
sidereum
filtro
FIR
tipoI(sim
etrico,M
par),
cuja
resposta
erepre-
sentadapor:
H(e
jω)=
A(ω
)e−jω
L
naqual
A(ω
)=
LX n=0
d[n]cos(nω)
eha(L
+1)
param
etrosadeterminar.
Con
sidereagoraumaresposta
desejad
a
Hd(e
jω)=
D(ω
)e−jω
L
Nocaso
deum
filtro
passa-baixas,D(ω
)ficaria:
D(ω
)=
1,ω∈[0,ω
p](faixadepassagem)
0,ω∈[ω
s,π
](faixaderejeicao)
Definindoafuncaopeso:
W(ω
)=
δ s/δ
p,ω∈[0,ω
p]
1,ω∈[ω
s,π
]
naqual
δ peδ s
saoconstan
tesrelacion
adas
aosdesviosnas
faixas
depas-
sagem
erejeicao.O
erro
normalizad
ofica:
E(ω
)=
W(ω
)[A(ω
)−D(ω
)]
AfuncaopesoW
(ω)serveparanormalizar
oserrosnas
faixas
depassagem
erejeicao,quepodem
terdesviosdiferentes.
Oproblemaconsisteem
determinar
oscoeficientesd[n]queminim
izem
omax
imoerro
absoluto
|E(ω
)|quan
doωestivernas
faixas
depassagem
erejeicao.
FiltrosDigitais
tipoFIR
39
Solucaodaaproxim
acao
Asolucaoedad
apeloTeoremadaAlternan
cia:
Teorema
da
Altern
ancia:SejaΩ
um
subconjunto
deω
em[0,π
],
comopor
exem
plo
auniaodos
conjuntos[0,ω
p]e[ω
s,π
].EntaoA(ω
)ea
unicaemelhorap
roxim
acao
deD(ω
)(nosentidodeminim
izar
omax
imo
erro
absoluto)se
esomente
seafuncaoerro
E(ω
)eequiripple
etem
pelo
menos
L+2frequencias
ondeaderivad
aezero
(frequencias
extrem
antes).
Em
outras
palavras,existem,noconjunto
Ω,frequencias
extrem
antes
0≤
ω1<
ω2...<
ωL+2≤
π
queincluem
ωpeωs,talque:
E(ω
i)=
−E(ω
i+1)=
±|E
m|,
i=
1,2,...,
L+1
noqual
|Em|=
max
{ω∈Ω}|E
(ω)|
Umaresposta
queob
edeceao
teorem
adaalternan
cia,
paraL=
7,e:
FiltrosDigitais
tipoFIR
40
Possıveis
aproxim
acoespara
L=7
FiltrosDigitais
tipoFIR
41
Algoritm
ode
Park
s-M
cClellan
ou
Algoritm
ode
Re-
mez
Oob
jetivo
doproblemaedeterminar
amelhor
aproxim
acao
nas
frequencias
ωi,talque:
W(ω
i)[A
(ωi)−
D(ω
i)]=
(−1)
i+1δ,
i=
1,2,...,
(L+2)
ou LX n=0
d[n]cos(nωi)−
(−1)
i+1
δ
W(ω
i)=
D(ω
i),
i=
1,2,...,
(L+2)
Asolucaoedad
apelamelhor
aproxim
acao
polinom
ialqueob
edecaao
teorem
adaalternan
cia,
com
assegu
intescondicoes:
•O
numeromax
imodealternan
cias
e(L
+3);
•Alternan
cias
sempre
ocorrem
emωpeωs;
•O
filtro
sera
equiripple,exceto
epossivelm
ente
emω=
0eω=
π.
ParkseMcC
lellan
mostraram
queosegu
inte
algoritm
oresolveoprob-
lema:
FiltrosDigitais
tipoFIR
42
Algoritm
ode
Park
s-M
cClellan
ou
Algoritm
ode
Re-
mez
Pri
mei
ra�es
tim
ativ
a�das
(L+
2)�f
req.�e
xtr
eman
tes
Cal
cula
�oóti
mo�no
conju
nto
�
�i
Há�m
ais�d
e�(L
+2)
freq
.�extr
eman
tes�?
Inte
rpola
�pel
os�(
L+
1)
ponto
s�par
a�obte
r�A(e
)j�
Mel
hor
apro
xim
ação
Conse
rva�(
L+
2)�f
req.
refe
rente
s�aos�m
áxim
os
extr
emos
Cal
cula
�o�er
ro�E
()�e
enco
ntr
a�o�m
áxim
o,
onde�|
E(
)|>
=
�
��
As�f
req.
extr
eman
tes�s
em
odif
icar
am?
Sim
Sim
Não
Não
FiltrosDigitais
tipoFIR
43
Algoritm
ode
Park
s-M
cClellan
ou
Algoritm
ode
Re-
mez
Estim
ativadoco
mprimento
dofiltro
Umaap
roxim
acao
paraovalordeM
paraum
filtro
passa-baixas
com
aproxim
acao
pelometodootim
ofoidad
apor
Kaiser(1974):
M=
−10
log 1
0(δ
1δ 2)−
13
2.324Δ
ω
FiltrosDigitais
tipoFIR
44
Exemplo:Algoritm
odeRemez
Deseja-se
aproxim
arafuncaod(x)=
x4+
xpor
umafuncaodosegu
ndo
grau
:a(x)=
a0+a1x+a2x2nointervalo[0,1]usandoatecnicadamini-
mizacao
doerro
max
imoab
soluto.
Solucao:
Com
oopolinom
iodosegu
ndograu
tem
L=
2,hapelomenos
L+
2=
4frequencias
extrem
antes.
Con
sideran
doaprimeira
estimativa,
incluindoos
extrem
os,como: X1=
{0,0.3,
0.5,
1}
Deve-se
buscar
asolucaoparaaap
roxim
acao:
W(x
i)[a(x
i)−d(x
i)]=
(−1)
i+1δ,
i=
1,2,
3,4.
ou,consideran
doafuncaopesoigual
a1:
a(x
i)−
(−1)
i+1δ=
d(x
i),
i=
1,2,
3,4.
a0+a1xi+a2x2 i−(−
1)i+
1δ=
d(x
i),
i=
1,2,
3,4.
Naprimeira
iteracao,tem-seosistem
a:
10
021
10.3
0.32
−1
10.5
0.52
1
11
12−1
a0
a1
a2 δ
=
00.34
+0.3
0.54
+0.5
14+1
=
00.3081
0.5625
2
Cuja
solucaoe:
a0
a1
a2 δ
=
0.0337
0.3175
1.6150
0.0337
FiltrosDigitais
tipoFIR
45
Calculandoagoraafuncaoerro:e(x)=
a(x)−
d(x),
tem-seografi
co
segu
inte,deon
detira-sequeas
frequencias
extrem
anteseos
respectivos
errossao:
X2=
{0,0.23,0.76,1}
e(X
2)=
{0.0337,
−0.0405,0.1142,−0.0337}
00
.20
.40
.60
.81
−0
.06
−0
.04
−0
.020
0.0
2
0.0
4
0.0
6
0.0
8
0.1
0.1
2P
rim
eira
ite
raçã
o
x
e(x)
Com
ooresultad
odoerro
nao
eequiripple,utilizandoX
2,repete-se
o
procedim
ento,consegu
indoosegu
inte
resultad
o:
a0
a1
a2 δ
=
0.0619
0.0546
1.8214
−0.0619
FiltrosDigitais
tipoFIR
46
Anovafuncaoerro
eas
frequencias
extrem
antessaodad
aspor:
X3=
{0,0.28,0.78,1}
e(X
3)=
{0.0619,
−0.0661,0.0626,−0.0619}
00
.20
.40
.60
.81
−0
.08
−0
.06
−0
.04
−0
.020
0.0
2
0.0
4
0.0
6
0.0
8S
eg
un
da
ite
raçã
o
x
e(x)
Rep
etindonovam
ente:
a0
a1
a2 δ
=
0.0634
0.0615
1.8116
−0.0634
X4=
{0,0.28,0.78,1}
e(X
3)=
{0.0634,
−0.0634,0.0634,−0.0634}
FiltrosDigitais
tipoFIR
47
00
.20
.40
.60
.81
−0
.08
−0
.06
−0
.04
−0
.020
0.0
2
0.0
4
0.0
6
0.0
8T
erc
eira
ite
raçã
o
x
e(x)
Noqual
nota-se
queoerro
eequiripple
efinalizam
-seaq
uias
iteracoes.
Osgrafi
cosdafuncaod(x)=
x4+xedafuncaoa(x)sao:
00
.20
.40
.60
.81
0
0.2
0.4
0.6
0.81
1.2
1.4
1.6
1.82
x
Ap
roxim
açã
o −
alg
oritm
o d
e R
em
ez
x4+
x
0.0
63
44
8 +
0.0
61
50
4 x
+ 1
.81
16
x2
FiltrosDigitais
tipoFIR
48
Exemplo:FiltroPassa-B
aixas-Algoritm
odeRemez
•N
=44,M
=43
05
10
15
20
25
30
35
40
45
−0
.20
0.2
0.4
0.6
resp
osta
ob
tid
a h
[n].
Alg
oritm
o d
e R
em
ez N
=4
4
am
ostr
a n
amplitude
00
.20
.40
.60
.81
−8
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