1

2

Funcin de densidad de una variable

con distribucin normal (Gauss)

2

2

1

2

1)(

x

exf

donde:

x es la variable con distribucin normal

es la media o valor esperado de X

es la desviacin estndar o tpica de X

3

Grfica de la distribucin normal

4

5

Leptocrtica Platicrtica Mesocrtica

Existe una familia de curvas normales.

La forma de la curva normal cambia

dependiendo de la dispersin de los datos, la

cual est dada por la desviacin estndar

La Mesocrtica es la Normal Estndar

6

EL CASO DE LA VARIABLE

NORMAL ESTNDAR

Es aquella que tiene media, = 0 y

desviacin estndar o tpica, = 1.

Se representa por la letra z.

7

Distribucin normal estndar

8

9

Si una variable tiene distribucin normal

estndar, calcula las probabilidades siguientes:

a) P( Z = 2 )

b) P( Z < 2.15 )

c) P( Z > 1.75 )

d) P( -1.5 < Z < 2.83 )

e) P( Z < -2.49 Z > 2.49 )

f) P(0 < Z < 4.8)

12

reas notables de la distribucin normal

(reas redondeadas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal

13

reas notables de la distribucin normal

(reas redondeadas)

14

AREAS NOTABLES EN UNA

VARIABLE ALEATORIA

NORMAL

rea entre = 68.26% rea entre 0.68 = 50%

rea entre 2 =95.44% rea entre 1.96 = 95%

rea entre 3 =99.74% rea entre 2.58 = 99%

15

16

La expresin de que X est

distribuida en forma normal (o de

Gauss) con parmetros y 2 se abrevia de la siguiente manera:

X ~ N ( , 2 )

17

Ejercicio 1.

Si las calificaciones del coeficiente de

inteligencia tienen distribucin normal con

promedio de 100 y desviacin estndar

de 15, qu porcentaje de personas

califica para ser miembro de una

asociacin internacional cuyo coeficiente

debe ser de 132 o ms alto?

18

Grfica del ejercicio 1

21

ESTANDARIZACIN DE X

Si queremos calcular probabilidades para

X, cuyos parmetros y no son 0 y 1

respectivamente, entonces debemos hacer

un cambio, de la variable X, a una

variable normal estndar, Z, de la

siguiente manera:

XZ

22

reas equivalentes

X x1 x2 Z z1 0 z2

P(x1 < X < x2) = P(z1 < Z < z2)

rea bajo la funcin f(x) rea bajo la funcin f(z)

23

Aplica las reas notables de toda

distribucin normal al ejercicio de los

coeficientes de inteligencia.

24

Ejercicio 2: Un estudio reciente acerca de los salarios de los

trabajadores de mantenimiento de las aerolneas ms

importantes, demostr que el salario medio por hora

era de $20.5 dlares con una desviacin estndar de

$3.50. Se sabe que estos salarios se distribuyen en

forma normal o de Gauss. Si se elige un trabajador al

azar,

a) cul es la probabilidad de que gane entre $20.50

y $24.00 la hora?

b) qu porcentaje de trabajadores de mantenimiento

ganan entre $20.50 y $24.00 la hora? Extrado de: Lind et al. Estadstica. (2008).

25

Ejercicio 2.

26

Ejercicio 3:

Si las estaturas de 300 estudiantes estn

distribuidas en forma normal, con media

de 1.7 m y desviacin estndar de 9 cm.

Cuntos estudiantes tienen estatura

mayor a 1.60 m?

27

Ejercicio 3.

28

Ejercicio 4:

Hallar el valor de cada uno de los tres

cuartiles en la Distribucin Normal

Estndar.

29

Ejercicio 4.

30

Ejercicio 5:

Hallar el valor de cada uno de los

percentiles siguientes en la Distribucin

normal estndar:

P15

P25

P90

P95

31

Ejercicio 5.

32

Ejercicio 6:

Del grupo de personas del ejercicio 2,

supn que tienes a una de ellas cuya

estatura es de 1.65 m, en qu percentil se

encuentra? media = 1.7 m y la desviacin estndar = 9 cm

33

Ejercicio 6.

34

Ejercicio 7:

El promedio para recibir mencin

honorfica en una universidad es de 97 y

la desviacin estndar de 0.8. En una

convocatoria honorfica especial, se dar

un reconocimiento a los estudiantes con

promedio dentro del 3% ms alto; si los

promedios se distribuyen en forma

normal, cul es el mnimo que debe

tener un estudiante para recibir el

reconocimiento?

35

Ejercicio 7.

36

Ejercicio 8:

Un grupo de alumnos resuelven un examen y

los tiempos que tardan en contestarlo sigue

una distribucin normal con un tiempo medio

de 47 minutos y una desviacin estndar de

4.5 minutos. La maestra va a otorgan 5 puntos

extra al 15% de los alumnos que entreguen

primero. Calcula el tiempo mximo que deben

tardar los estudiantes si quieren obtener los

puntos extra. 42.32 minutos

37

Ejercicio 8.

38

Las medidas descriptivas:

Apuntamiento y Sesgo, las

da Excel cuando pedimos

las medidas descriptivas con

la Herramienta Anlisis de

datos.

39 La curva normal a la que se hace referencia en las tres grficas es la

Normal Estndar.

40

Coeficiente de Asimetra (As) o Sesgo

41

Respuestas del ejercicio 1

(Aplicacin de las reas notables):

EL 68.14% de las personas tienen un IQ entre 85 y 115;

el 95.14% de las personas tienen un IQ entre 70 y 130; y

el 99.74% de las personas tienen un IQ entre 60 y 145.

42

Respuesta del ejercicio 6: Percentil

28.77% = P29 , es decir que la persona se

encuentra dentro del 29% de personas con

estatura menor o igual a 1.65 m.