8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 1/36

Ó Ò Ø Ò Ø ×

½ Ì Ë Ô × Ó Ë Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × ½

½ º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

½ º ¾ Ì × Ø Ù Ò Ø Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

½ º ¿ Ó Ò Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

¾ Ì Ó Ð Ó Ñ Ù Ð Ö Ó Ò Ò Ç Ô Ò Ë Ø ½ ½

¾ º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½

¾ º ¾ Á Ò Ü Ë Ø × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾

¾ º ¿ Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ð Ó Ñ Ù Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º ½ ¿

¾ º Á Ñ Ò Ó

C (Ω) Ò

G(Ω)º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½

¾ º Ë Ó Ð Ö × Ó Ò Ö Ð Þ Ù Ò Ø Ó Ò × º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾

¾ º Ì Ö Ò × Ð Ø Ó Ò Ç Ô Ö Ø Ó Ö × Ò

G(Rn)º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¿

¿ Ì Ð Ö Ó Ò Ö Ð Þ Æ Ù Ñ Ö ¾

¿ º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

¿ º ¾ Ì Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

¿ º ¿ Ì Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

¿ º Á Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ò Ö Ð Þ Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ú Ö Ó Ñ Ô Ø Ë Ø × º º º º º º ¾

Ì Ë Ô Ó Ë Û Ö Ø Þ × Ø Ö Ù Ø Ó Ò ¾

º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

º ¾ Ë Û Ö Ø Þ × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ò Ø Ë Ò × Ó Ó Ð Ó Ñ Ù º º º º º º º º º ¾

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 2/36

º ¿ Ì Ð × × Ð È Ö × Ò Ø Ø Ó Ò Ó × Ø Ö Ù Ø Ó Ò º º º º º º º º º º º º º ¿ ¾

º Ì × × Ó Ø Ó Ò Ê Ð Ø Ó Ò Ò

G(Ω)

º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¾

Ð Ó Ö Ô Ý ¿

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 3/36

Ô Ø Ö ½

Ì Ë Ô × Ó Ë Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò ×

½ º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò

½ º ½ º ½ Ö ³ × Ð Ø Ù Ò Ø Ó Ò

½ º

δ(x) ¼ Ó Ö

x = 0

b

aδ(x)

½ Ó Ö

a < 0 < b

Ó Ò × Ö

¾ º

δn(x) = nπ(1+n2x2)

δn(x) −→ 0 ×

n −→ ∞ Ó Ö

x = 0º

δn(x) −→ ∞ ×

n −→ ∞ Ù Ø ∞

−∞

δn(x) Ü

= 1.

Ò a < 0 < b ¸ Ø Ò ba δn(x) Ü −→ 1 × n −→ ∞º Ì Ù × δn(x) × Ø

Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ó δ(x) × n −→ ∞

º Ù Ø δn(x) δ(x) × n −→ ∞

´ Ò Ù Ý Ë Ò × µ º

Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò

δn(x) −→ δ(x) × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ð Ð Ý º Ì × Ó Ð Ó Ù Ò Ø Ó Ò Û ×

Ò Ó Ø Ý Ë Ó Ó Ð Ú ´ ½ ¿ µ Ò Ë Û Ö Ø Þ ´ Ò Ø ½ ¼ × µ º

½

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 4/36

½ º ¾ Ì × Ø Ù Ò Ø Ó Ò

½ º ¾ º ½ Æ Ó Ø Ø Ó Ò N N0 Z Q Ò C Ò Ó Ø Ö × Ô Ø Ú Ð Ý Ø × Ø Ó Ô Ó × Ø Ú

Ò Ø Ö × ¸ Ò Ó Ò Ò Ø Ú Ò Ø Ö × ¸ Ò Ø Ö × ¸ Ö Ø Ó Ò Ð Ò Ù Ñ Ö × ¸ Ö Ð Ò Ù Ñ Ö × Ò

Ó Ñ Ô Ð Ü Ò Ù Ñ Ö × º

K Ò Ó Ø × Ø Ö Ø Ð

RÓ Ö

Cº

Á

n ∈ N Ô Ó Ò Ø

x ∈ Kn × Û Ö Ø Ø Ò ×

x = (x1, · · · , xn)

x j ∈ K

j = 1, 2, · · · , nº

Ì Ò Ò Ö Ô Ö Ó Ù Ø Ó

x Ò

y Ò

Kn ×

x y =n

j=1

x j y j ,

Ò Ø Ò Ó Ö Ñ ×

|x| = n

j=1

|x j|21

2

.

Ì × Ù Ñ Ó Ø Û Ó Ò Ó Ò Ñ Ô Ø Ý × Ø ×

X, Y ⊆ Rn × Ø × Ø

X + Y = x + y ∈ Rn : x ∈ X, y ∈ Y .

Á

X = xÛ Û Ö Ø

X + Y = x + Y º Ò Ð Ó Ó Ù × Ð Ý ¸

cX = cx ∈ Rn : x ∈ X

c ∈ Rº

Ð Ó × ´ Ó Ô Ò µ Ð Ð Ò

RnÓ Ö Ù ×

r > 0 Ò Ø Ö Ø

x ∈ Rn × Ò Ó Ø Ý

Br(x) = y ∈ Rn : |y − x| ≤ r ,

Ö × Ô Ø Ú Ð Ý

Bor (x) = y ∈ Rn : |y − x| < r .

Ï × Ø

Br(x) = Br(0) Ò

Bor = B

r (0)º Ì Ò

Br(x) = x+Br Ò

Br (x) = x+B

r º

Ò Ö Ð Ð Ý ¸ Ú Ò

X ⊆ Rn¸ Û Ò Ó Ø Ý

X = Ò Ø X = x ∈ X : ∃r > 0

× Ù Ø Ø Br (x) ≤ X

Ø Ò Ø Ö Ó Ö Ó

X Ý

X c = Rn \ X ¸ Ø Ó Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ó

X Ò

Rn¸ Ý

X = ((X c

)

)c

Ø Ð Ó × Ù Ö Ó

X Ò

Rnº

Ì × Ø Ò Ö Ó Ñ Ô Ó Ò Ø

x ∈ RnØ Ó Ø × Ø

Y ∈ Rn × Ø Ò Ù Ñ Ö

× Ø

(x, Y ) = inf y∈Y

|x − y|

Ò Ò Ð Ó Ó Ù × Ð Ý ¸ Ø × Ø Ò Ø Û Ò Ø Û Ó × Ø ×

X Ò

Y ×

× Ø

(X, Y ) = inf x∈Xy∈Y

|x − y| = inf x∈X

× Ø

(x, Y ).

¾

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 5/36

Ì Ö Ó Ù Ó Ù Ø

Ω Ò Ó Ø × Ò Ó Ò Ñ Ô Ø Ý Ó Ô Ò × Ø Ò

Rn

K ⊆⊆ ΩÑ Ò × Ø Ø

K ×

Ó Ñ Ô Ø Ò

Ω´ º º ¸ Ð Ó × Ò Ó Ù Ò µ Ò

S ⋐ ΩÑ Ò × Ø Ø

S × Ö Ð Ø Ú Ð Ý

Ó Ñ Ô Ø Ò

Ω× Ó Ø Ø Ø Ð Ó × Ù Ö × Ò

Ωº Ñ Ù Ð Ø ¹ Ò Ü

α × Ò Ð Ñ Ò Ø Ó

N0Ó

Ø Ó Ö Ñ α = (α1, · · · , αn)Û Ø α j ∈ N0, j = 1, · · · , nº Ï × Ø

|α| = α1 + · · ·+ αn

α! = α1!, · · · , αn!¸ Ò

0! = 1º Ó Ö

α, β ∈ Nn0 ¸ Û Û Ö Ø

α ≤ β

α j ≤ β j Ó Ö Ð Ð

j = 1, · · · , nº Á

x = (x1, · · · , xn ∈ Rn¸ Û × Ø

xα = xα11 · · · xαn

n º

Á

∂ j

∂ xj

∂ ∂ xj

× Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ö Ó Ô Ö Ø Ð Ö Ò Ø Ø Ó Ò Û º Ö º Ø

x j, j = 1, · · · , n Ò

∂ = (∂ 1, · · · , ∂ n) = ∇ × Ø Ö Ò Ø Ú Ø Ó Ö º Û × Ø

∂ α = ∂ α11 · · · ∂ αnn

=∂ |α|

∂ α1x1

· · ·∂ αnxn

= ∂ αx

Û Ø

∂ 0 ¸ Ø Ò Ø Ø Ý Ó Ô Ö Ø Ó Ö º

Ì × Ø Ó Ð Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ù Ò Ø Ó Ò ×

f : Ω −→ K

× Ò Ó Ø Ý

C (Ω,K) = C 0(Ω,K).

Ë Ñ Ô Ð Ý Û Û Ö Ø

C (Ω) Ø × Ú Ð Û Ò

K ×

RÓ Ö

Cº Ì × Ø Ó

kØ Ñ ×

(k ∈ N) Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ð Ý Ö Ò Ø Ð Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ò Ω × Ò Ó Ø Ý C k(Ω) º Ï Ð × Ó

× Ø

C ∞(Ω) =∞

k=0 C k(Ω)º Ú Ò Ø Ù Ò Ø Ó Ò

f, g : Ω → KØ Ö × Ù Ñ

f + g¸ Ø

Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ò

cf Ý

c ∈ K Ò Ø Ô Ö Ó Ù Ø

f g Ö Ò Ô Ó Ò Ø Û × Ý

(f + g)(x) = f (x) + g(x)

(cf )(x) = cf (x)

(f g)(x) = f (x)g(x)

x ∈ Ω

Í Ò Ö Ø × Ó Ô Ö Ø Ó Ò ¸ Ð Ð Ó Ú Ù Ò Ø Ó Ò × Ô × Ö × × Ó Ø Ú Ò Ó Ñ Ñ Ù Ø Ø Ú

Ð Ö × Ó Ú Ö

Kº º º ¸

(C (Ω), +, ·, )

C k(Ω), +, ·,

(C ∞, +, ·, ) Ö Ð Ö ×

Ó Ú Ö

Kº Ì × Ù Ô Ô Ó Ö Ø × Ù Ô Ô

f Ó Ù Ò Ø Ó Ò

f : Ω−→ K

× Ø Ð Ó × Ù Ö Ó Ø × Ø

x ∈ Ω : f (x) = 0 º º ¸ Ø × Ñ Ð Ð × Ø Ð Ó × × Ø Ò

ΩÓ Ù Ø × Û f Ú Ò × × º

Ì × Ø Ó Ð Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò

ΩÛ Ø Ó Ñ Ô Ø × Ù Ô Ô Ó Ö Ø × Ò Ó Ø Ý

C c(Ω)º

Ì Ò × Ô Ó Ð Ð Ñ × Ù Ö Ð Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò

Ω Ó Ö Û Ø

pthÔ Ó Û Ö

(1 ≤ p < ∞)Ó Ø Ö × Ó Ð Ù Ø Ú Ð Ù × Ä × Ù Ò Ø Ö Ð × Ò Ó Ø Ý

L p(Ω)

Ò Ø Ù × Ù Ð Ò Ó Ö Ñ Ò Ø × Ô × Ò Ó Ø Ý

· Lp(Ω) Ó Ö

· p, Ω º

L p(Ω) =

f : Ω −→ K

Ñ × Ù Ö Ð

Ω

|f | p Ü

< ∞

¿

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 6/36

L∞(Ω) × Ø Ò × Ô Ó Ä × Ù Ñ × Ù Ö Ð × × Ò Ø Ð Ð Ý Ó Ù Ò Ù Ò Ø Ó Ò

Ó Ò

Ω¸ Û Ø Ø Ù × Ù Ð Ò Ó Ö Ñ Ò Ó Ø Ý

· Lp(Ω) Ó Ö

· ∞, Ω º Ï Ò Ó Ø

L1(Ω)

Ø Ð Ò Ö × Ô Ó Ð Ð Ñ × Ù Ö Ð Ð Ó Ð Ð Ý Ä × Ù Ò Ø Ö Ð Ù Ò Ø Ó Ò

f Ó Ò

Ω× Ù Ø Ø Ø Ö × Ø Ö Ø Ó Ò f Ó Ò

Ω × Ò L1(Ω)

Ó Ö Ð Ð K ⊆⊆ Ωº

½ º ¾ º ¾ Ò Ø Ó Ò Ä Ø

D(Rn) Ò Ð Ö ´ Ó Ú Ö Ø Ð

Kµ Ó Ð Ð Ò Ò Ø Ð Ý

Ö Ò Ø Ð Ù Ò Ø Ó Ò ×

Rn −→ K Ú Ò Ó Ñ Ô Ø × Ù Ô Ô Ó Ö Ø × × Ó Ø Ø

D(Rn) = C ∞c (Rn)

= ϕ ∈ C ∞(Rn) :× Ù Ô Ô

ϕ ⊆⊆ Rn .

Ó Ö Ò Ý × Ø

X ⊆ Rn

¸ Û × Ø

D(X ) = C ∞c (X ) = ϕ ∈ D(Rn) :× Ù Ô Ô ϕ ⊆ X .

Ì Ñ Ñ Ö × Ó

D(Rn) Ò

D(X ) Ö Ð Ð Ø × Ø Ù Ò Ø Ó Ò × º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸

× Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò

ϕ : R→ KÛ Ø Ó Ñ Ô Ø × Ù Ô Ô Ó Ö Ø × Ø × Ø Ù Ò Ø Ó Ò º

Ï × Ó Û Ø × Ô Ó Ø × Ø Ù Ò Ø Ó Ò × × Ù Ò Ø Ð Ý Ð Ö º

½ º ¾ º ¿ Ü Ñ Ô Ð Ö × Ø ¸ Ð Ø

n = 1º Ì Ù Ò Ø Ó Ò

ϕ : R→ R Ò Ý

ϕ(x) = 0 , x ≤ 0exp(− 1

x) ,

x > 0

× Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý

ϕ /≡ 0

ϕ ∈ C ∞(R)

0 ≤ ϕ < 1

ϕ Ò Ö × × Ó Ò

(0, ∞) Ò × Ù Ô Ô

ϕ = [0, ∞)º

Á ¸ Ó Ö

−∞ < a < b < ∞¸ Û × Ø

ζ a, b(x) =ϕ(b − x)

ϕ(x − a) + ϕ(b − a), x ∈ R ,

Ø Ò

ζ a, b

∈C ∞(R)

0

≤ζ a, b

≤1

ζ a, b = 1Ó Ò

(

−∞, a]

¸ × Ù Ô Ô

ζ a, b ´ ¹

∞, b

Ò

ζ a, b Ö × × Ó Ò Rº

Æ Ó Û Ø × × Ý Ø Ó Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ò Ó Ò Ø Ö Ú Ð Ý Ù Ò Ø Ó Ò × Ô

D(Rn) Ó Ö ¸ ¹

∞ < a <b ≤ c < d < ∞

Ð Ø

ζ (x) = ζ a,b,c,d(x) = (1 − ζ a,b(x)) ζ c,d(x), x ∈ RØ Ò

ζ ∈D(R), 0 ≤ ζ ≤ 1, ζ = 1

Ó Ò

[b, c] Ò × Ù Ô Ô

ζ = [a, d]º

Á nN × Ö Ø Ö Ö Ý Ò ξ(λ) = ζ r,R(|λ − x|)¸ Û Ö λ, x ∈ Rn

Ò

0 < r < R < ∞

Ø Ò

ξ ∈ D(Rn)

0 ≤ ξ ≤ 1

ξ = 1Ó Ò

Br(x) Ò × Ù Ô Ô

ξ = BR(x)º Á Ò × Ø Ó

ζ r,R Û Ó Ù Ð Ù × Ø Ù Ò Ø Ó Ò

ζ º Å Ó Ö Ò Ö Ð Ð Ý ¸ Û Ó Ò × Ö Ø Ø Ò × Ó Ö Ô Ö Ó Ù Ø

ξ = ⊗n j=1 ξ j Ó Ù Ò Ø Ó Ò

(ξ j)n j=1 ⊆ D(R)

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 7/36

Û × Ò Ý

ξ(x) = Πn

j=1ξ

j,

Ó Ö

x = (x1,· · ·

, xn

)∈ R

n.

Ë Ò × Ù Ô Ô

ξ ´ × Ù Ô Ô

ξ1 µ

× · · · ×× Ù Ô Ô

ξn µ

⊆⊆ Rn¸ Û Ú

ξ ∈ D(Rn)º

Ò Ø Ó Ò Ó Ö

ϕ ∈ D(Rn)

ε > 0 Ò Ó Ö

λ, x ∈ Rn¸ Û × Ø

ϕε = 1εn

ϕ

λε

ϕ(λ) = ϕ(−λ)

(τ xϕ)(λ) = ϕ(λ − x)

ρ(ϕ) = sup|λ| : λ ∈× Ù Ô Ô

ϕº

À Ö

τ x × Ø Ø Ö Ò × Ð Ø Ó Ò Ó Ô Ö Ø Ó Ö Ò

ρ(ϕ) × Ø Ö Ù × Ó Ø × Ñ Ð Ð × Ø Ð Ó ×

Ð Ð Ò Ø Ö Ø Ø Ó Ö Ò Ó Ò Ø Ò Ò Ø × Ù Ô Ô Ó Ö Ø Ó

ϕ× Ó Ø Ø

ρ(ϕ) > 0

ϕ /≡ 0º

È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò Ó Ö

ϕ ∈ D(Rn), ε > 0, λ , x ∈ Rn Ò Ó Ö

α ∈ Nn0 ¸ Û Ú

½ º

(τ xϕε) (λ) = ϕε(λ − x) = ε−nϕ

λ−xε

, ˇ( ˇ )ϕ = ϕ

º

¾ º × Ù Ô Ô

τ xϕε = x + ε× Ù Ô Ô

ϕ¸ × Ù Ô Ô §

ϕ ¹ × Ù Ô Ô

ϕº

¿ º

±× Ù Ô Ô

ϕ ⊆ Bρ(ϕ)

ϕ (ϕε) = ερ(ϕ)

ρ(ϕ) = ρ(ϕ)

ρ (∂ αϕ) ≤ ρϕº

º

∂ αϕε = ε−|α| (∂ αϕ)

∂ αϕ = (

−1)|α| (∂ αϕ) Ú

º

Rn

(τ xϕε) (λ)

λ

ϕ

Rnϕ(λ)

λ

ϕ

º

Ì Ý Ð Ó Ö × Ó Ö Ñ Ù Ð Ä Ø

Ω ⊆ Rn Ó Ô Ò × Ø ¸

k ∈ N

f ∈ C k(Ω)¸ Ò Ð Ø Ø

Ð Ó × × Ñ Ò Ø

[x, x + h] = x + th ∈ Rn : t ∈ [0, 1] Ó Ò Ø Ò Ò

Ωº Ì Ò Ø

Ó Ð Ð Ó Û Ò Ì Ý Ð Ö ³ × Ó Ö Ñ Ù Ð Û Ø Ø Ò Ø Ö Ð Ö Ñ Ò Ö Ø Ö Ñ Ó Ð ×

f (x + h)

−f (x) =

n

j=1 1

0

(∂ jf ) (x + th) dt h j

´ À Ñ Ø Ó Ö Ñ Ù Ð µ

k = 1 Ò

f (x + h) − f (x) =k−1|α|=1

1

α!(∂ αf ) (x) · hα + Rk(x, h)

k ≥ 2,

Û Ö

Rk(x, h) = k|α|=k

1

α!

10

(1 − t)k−1 (∂ αf ) (x + th)dt · hα,

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 8/36

Ò Ó Ö Ø Ö Ñ Ò Ö

Rk(x, h)¸ Û Ú Ø × Ø Ñ Ø

|Rk(x, h)| ≤ |α|=k

1α!

sup[x,x+h]

|∂ αf | · |hα| ≤ |α|=k

sup[x,x+h]

|∂ αf | · |h|k.

È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò Ä Ø

X ⊆ Rn Ò

Y ⊆ Rn Ø Û Ó Ò Ó Ò Ñ Ô Ø Ý Ó Ô Ò × Ø × ¸

f ∈ C (Y )Ó Ö

L1loc(Y )

Ò Ð Ø

Φ = Φ(x, y) ∈ C ∞(X × Y )

× Ù Ø Ø

(1) ∃K ⊆⊆ Y : ∀x ∈ X,× Ù Ô Ô

Φ(x, ·) ⊆ K.Á

f (x) =

Y f (y)Φ(x, y)dy

Ó Ö

x ∈ X ¸ Ø Ò

F : X −→ K× Ø × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò

f ∈ C ∞(X )

Ò

∂ αx F (x) =

Y

∂ αx Φ(x, y)dy ∀x ∈ X, ∀α ∈ Nn0 .

Á Ò Ñ Ó Ö Ó Ú Ö ¸

Φ ∈ D(X × Y )Ó Ö

f ∈ C c(x) Ò

Φ(·, y) ∈ D(L) Ó Ö × Ó Ñ

L ⊆⊆ X Ò Ó Ö Ð Ð

y ∈× Ù Ô Ô

f Ø Ò

F ∈ D(X )º

È Ö Ó Ó

Ù Ø Ó ´ ½ µ Ø Ù Ò Ø Ó Ò

P hi(x, ·) ∈ D(K )º Ì Ö Ó Ö Ø Ä × Ù Ò Ø Ö Ð

f (x × Û Ð Ð Ò Ó Ö Ð Ð

x ∈ X º

Ä Ø

x ∈ X Ò Ð Ø Ò Ù Ñ Ö

r > 0 × Ù Ø Ø

B0(x) ⊆ X º Ô Ô Ð Ý Ò Ì Ý Ð Ö ×

Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò

Φ(x, y) Ò Ø Ô Ó × × Ð

x¸ Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ý Ò Ý

f (y)¸ Ò Ò Ø ¹

Ö Ø Ò Û º Ö º Ø

y ∈ Y Ó Ö

h ∈ B0r (x)

¸ Û Ú

(2) F (x + h) − F (x) =

n

j=1

Y f (y)∂ xjΦ(x, y)dy h j

+

K

f (y)

2|α|=2

1

α!

10

(1 − t) (∂ αx Φ) (x + th,y)dt hα

dy

Ì Ð × Ø Ò Ø Ö Ð × × Ø Ñ Ø Ý K

|f |

·

|α|=2

sup(λ,y)∈Br(x)×K

|(∂ αλ Φ) (x, y)|

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 9/36

|h|2 Ó Ò × Ø Ò Ø

(x) · |h|2 º º ¸ Ø ×

o(h) ×

h

−→0

º Õ Ù Ø Ó Ò ´ ¾ µ Ø Ó Ø Ö Û Ø Ø Ð × Ø Ö Ñ Ö ¸ × Ó Û × Ø Ø

f × Ö Ò Ø Ð Ø x ∈ X Ò

∂ xjF (x) =

Y

f (y)∂ xjΦ(x, y) dy ,j = 1, 2, · · · , n.

½ º ¿ Ó Ò Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò

Æ Ó Ø Ø Ó Ò Ò Ò Ø Ó Ò Ä Ø

Ω ∈ Rn Ó Ô Ò × Ø ¸

∅ = K ⊆⊆ Ω Ò Ð Ø

d = ×

(K, ∂ Ω)º Á

Ω = RnØ Ò

∂ Ω = ∅ Ò

0 < d < ∞º Á

Ω = Rn¸ Û × × Ù Ñ

Ø Ø

d = ∞. Ó Ö

ρ > 0, Ò Ø Ó Ñ Ô Ø Ò Ö Ð Ø Ú Ð Ý Ó Ñ Ô Ø

ρ − Ò Ó Ø

Ó Ñ Ô Ø × Ø

K, Ý

K ρ = x ∈ IRn : × Ø

(x, K ) ≤ ρ = K + Bρ

K 0ρ = inf K = x ∈ Rn : × Ø

(x, K ) < ρ = K + B0ρ

× Ó Ø Ø

0 < ρ < dØ Ò Û Ú

(1) K ⊆⊆ K 0ρ ⋐ K ρ ⊆⊆ K 0ρ ⊆ Ω

Ò

× Ø (K ρ, ∂ Ω) = × Ø (K 0ρ , ∂ Ω) = d − ρ

Æ Ó Ø Ø Ó Ò Ò Ë Ó Ñ Ê × Ù Ð Ø × Ó Ö

ϕ ∈ D(Rn) Ó Ò × Ö Ø × Ø

Ω(ϕ) = x ∈ Ω : τ xϕ ∈ D(Ω)= x ∈ Ω : x +

× Ù Ô Ô

ϕ ⊆ ΩÏ Ò Ó Ø Ø Ø

Ω(ϕ) = Rn

Ω = Rn Ò

Ω(ϕ) = Ω

ϕ = 0º Ì × Ø

Ω(ϕ) × Ó Ô Ò Ò

Rn´ Ô Ó × × Ð Ý Ñ Ô Ø Ý µ × Ò

Ω

= Rn

Ò

x

∈Ω(ϕ)

¸ Ø Ò × Ø Ø Ò

d = × Ø (K, ∂ Ω) ¸ Û Ö K = × Ù Ô Ô τ xϕ ⊆⊆ Ω¸ Û Ú

B0d(x) +

× Ù Ô Ô

ϕ = x + B0d +

× Ù Ô Ô

ϕ

=× Ù Ô Ô

τ xϕ + B0d

= K + B0d

= K 0d ⊆ Ω .

À Ò

B0d (x) ⊆ Ω(ϕ)

º

Å Ó Ö Ó Ú Ö Ø × Ø

Ω(vp) × Ö Ø Ò Ð Ý ¸ Ò Ó Ò Ñ Ô Ø Ý Ó Ö × Ñ Ð Ð Ú Ð Ù Ó

ρ(ϕ)

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 10/36

´ ½ µ

K ⊆⊆ Ω Ò

ρ(ϕ) < d × Ø

(K, ∂ Ω)Ø Ò

K ⊆ Ω(ϕ)º

Ë Ò

K +× Ù Ô Ô

ϕ

⊆K ρ Ó Ö

ρ(ϕ)

≤ρ < d

¸ Ø × Ó Ð Ð Ó Û × Ö Ó Ñ

´ ¾ µ × Ù Ô Ô τ xϕ = x +× Ù Ô Ô ϕ ⊆ Bρ(ϕ)(x)⊆K ρ⊆⊆Ω∀x∈K Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø

K ⊆ Ω(ϕε) Ó Ö

0 < ε < η = dρ(ϕ)

Ò Ó Ö Ú Ö Ý

ϕ /≡ 0 Ò

D(Rn) Ò

ε>0 Ω(ϕε) =

Ωº Ð × Ó Ò Ó Ø Ø Ø

Ω1, Ω2 ⊆ Rn Ö Ó Ô Ò × Ø Ò

Ω1 ⊆ Ω2

Ω1(ϕ) ≤ Ω2(ϕ)º

2

Ò Ø Ó Ò Ì Ó Ò Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ø Ó Ò ×

f ∈ C (Ω)(Ó Ö

f ∈ L1loc(Ω))

Ò

ϕ ∈D(Rn)

× Ò Ó Ö

x ∈ Ω(ϕ) /≡ ϕ Ý Ø Ó Ö Ñ Ù Ð

(1) (f ∗ ϕ)(x) = Ω f (y)ϕ(x − y) dy

=

x− × Ù Ô Ô ϕ

f (y) (τ xϕ) (y) dy

Ù × Ó Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý ½ º ¿ º ¾ ´ ¾ µ ¸

K ⊆⊆ Ω Ò

ρ(ϕ) ≤ ρ ≤ × Ø

(K, ∂ Ω)º

È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò Ä Ø

f ∈ C (Ω)Ó Ö

f ∈ L1loc(Ω)

Ò Ð Ø

ϕ ∈ D(Rn)º Ì Ò

f ∗ ϕ ∈C ∞ (Ω(ϕ))

Ò

∂ α(f ∗ ϕ) = f ∗ (∂ alphaϕ)Ó Ò

Ω(ϕ) ∀α ∈ Nn0 º

½ º Á f ∈ C (Ω), K ⊆⊆ Ω¸ Ø Ò (f ∗ ϕε)(x) −→ ϕ f (x) × ε −→ +0 Ù Ò ¹

Ó Ö Ñ Ð Ý Ò

x ∈ K Ò Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸

limε→+0

(τ xϕx) (λ)f (λ)dλ =

ϕ

f (x)∀α ∈Ω

º

¾ º Á

f ∈ C (Ω)¸ Ø Ò

f ∗ ϕ ∈ D(Rn) Ò × Ù Ô Ô

(f ∗ ϕ) ⊆× Ù Ô Ô

f +× Ù Ô Ô

ϕ = L Ð × Ó ¸

f (ϕ) < × Ø

(× Ù Ô Ô

f, ∂ Ω)Ø Ò

L ⊆⊆ Ω× Ó Ø Ø

f ∗ ϕ ∈ D(Ω)¸ Ò

Ø Ó Ò Ú Ö Ò Ò ´ ½ µ × Ù Ò Ó Ö Ñ Ó Ò

Rnº

¿ º Á

f ∈ C k(Ω) Ó Ö × Ó Ñ

k ∈ N¸ Ø Ò Ð × Ó

∂ α(f ∗ϕ) = (∂ αf )∗ϕÓ Ò

Ω(ϕ), |α| ≤k

º

º Á

f

∈L p

loc(Ω)Û Ö

1

≤p <

∞¸ Ø Ò

f

∗ϕε

−→ ϕ f Ò

L p(K ) ×

ε −→ 0+ Ó Ö Ú Ö Ý K ⊆⊆ Ωº

º Á

f ∈ L ploc Û Ø

1 ≤ p ≤ ∞, K ⊆⊆ Ω Ò

ρ(ϕ) ≤ ρ < × Ø

(K, ∂ Ω)Ø Ò

supx∈K

|(f ∗ ϕ)(x)| ≤ f Lp(K ρ) ϕLp′(Bρ(ϕ)),

Û Ö

p′ = p/( p − 1)

1 < p < ∞

p′ = ∞

p = 1 Ò

p′ = 1

p = ∞º

º Á

Ω = RnØ Ò

f ∗ ϕ = ϕ ∗ f Ò

τ x(f ∗ ϕ) = (τ xf ) ∗ ϕ = f ∗ (τ xϕ)∀x ∈ Rnº

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 11/36

È Ö Ó Ó Ö × Ø Û Ó Ò × Ö Ò Ü Ù × Ø Ó Ò Ó Ø × Ø

Ω(ϕ) Ý Ó Ñ Ô Ø × Ù × Ø ×

E m∞m=1 × Ù Ø Ø

E m ⊆⊆ Ω(ϕ)

E m ⊆ E 0m+1 ¸ Ò ∞m=1 = Ω(ϕ

º ×

E m Ó Ò

Ò Ø Ó Ö Ü Ñ Ô Ð ¸ Ò Ý × Ø Ó Ø Ó Ö Ñ

E m =

x ∈ Ω(ϕ :

× Ø

(x, ∂ (Ω(ϕ))) ≥ 1

m Ò

|x| ≤ m

,

Ò

Ω = Rn¸ Ó Ò Ò Ø

E m = Bm º Á Ò Ô Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò ½ º ¾ º ¸ Û × Ø

X = E 0m

Y = Ω

Φ(x, y) = ϕ(x, y) ∈ C ∞(R2n) Ò

K = E m +× Ù Ô Ô

ϕÒ Ó Ø Ø Ø ½ º ¾ º ´ ½ µ

× × Ø ×

× Ù Ô Ô

Φ(x, ·) =× Ù Ô Ô

τ xϕ = x +× Ù Ô Ô

ϕ ⊆ K ⊆⊆ Ω, x ∈ E 0m,

Û Ö Ø Ò Ð Ù × Ó Ò

K ⊆ Ω × Ó Ò × Õ Ù Ò Ó Ø Ò Ð Ù × Ó Ò

E m ⊆ Ω(ϕ) Ò

Ø Ò Ø Ó Ò Ó Ø × Ø

Ω(ϕ)º À Ò Ø Ö × Ø Ö Ø Ó Ò

(f ∗ ϕ)|E 0m ∈ C ∞(E 0m) Ó Ö

Ú Ö Ý

m ∈ NÛ Ö

f ∗ ϕ ∈ C ∞(Ω)º Ì Ó Ö Ñ Ù Ð Ó Ö Ø Ö Ò Ø Ø Ó Ò Ó Ø

Ó Ò Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Ú Ó Ù × Û × Ø Ø Ò Ø Ó Ó Ù Ò Ø Ø Ø

Ω ((∂ αϕ)) ⊇ Ω (ϕ)º

Ä Ø Ù × Ô Ö Ó Ú ´ ½ µ Ò ´ µ º Ì Ó Ø × Ò ¸ Ü

K ⊆⊆ Ω Ò × Ø × Ø

(K, ∂ Ω)

η = ρ/ρ(ϕ) Ó Ö × Ó Ñ

0 < ρ < dº Ì Ò ´ × Ð × Ó ½ º ¿ º ¾ ´ ½ µ Ò ´ ¾ µ µ Û Ú

K ⊆ Ω( ϕε Ò

Bερ(ϕ)(x) ⊆ K ρ ⊆⊆ Ω Ó Ö

ε ∈ (0, η) Ò

x ∈ K.

´ ½ µ Á

f ∈ C (Ω)¸ Ø Ò Ò Ò Ø Ú Ö Ð

µ = (x− y)/ε Ò Ø Ò Ø Ö Ð Ò Ò

Ø Ó Ò Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò ¸ Ó Ö Ü

x ∈ K ¸ Û Ó Ø Ò (f ∗ ϕε)(x) −

ϕ

f (x)

=

f (y)1

εnϕ

x − y

ε

dy − f (x)

ϕ

=

(f (x − εµ) − f (x))ϕ(µ)dµ

=

f (y)ε−nϕ(x − y

ε)dy − f (x)

ϕ

=

(f (x − εµ) − f (x))ϕ(µ)dµ

≤ |f (x − εµ) − f (x)ϕ(µ)| dµ

≤

Bρ(ϕ)

|ϕ|

λ∈Bερ(ϕ)

sup |f (x + λ) − f (x)|.

Ì Ð Ø Ø Ö Ü Ô Ö × × Ó Ò Ø Ò × Ø Ó Þ Ö Ó ×

ε −→ +0Ù Ò Ó Ö Ñ Ð Ý Ò

x ∈ K Ù × Ó

Ø Ù Ò Ó Ö Ñ Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ý Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò

f Ó Ò Ó Ñ Ô Ø × Ù × Ø × Ó

Ω´ Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸

Ó Ò

K ρ µ º

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 12/36

´ µ Á

f ∈ L ploc(Ω)

¸ Ø Ò × Ø Ø Ò

r = ερ(ϕ) Ó Ö Ö Ú Ø Ý ¸ Ó Ö

x ∈ K Ò

ε ∈ (0, η)

Û Ú (f ∗ ϕε)(x) − ϕ

f (x) =

Br(x)

(τ xϕε) (y)(f (y) − f (x))dy

≤ 1

εn

sup

Bρ(ϕ)

|ϕ|

Br(x)

|f (y) − f (x)|dy

=C (ϕ)

εn

Br

|f (x − µ) − f (x)|dµ

Û Ö

C (ϕ) = supBρ(ϕ)|ϕ|

º Á

p > 1 Ò

q := p/p − 1À Ð Ö ³ × Ò Õ Ù Ð Ø Ý Ñ Ô Ð ×

|(f ∗ ϕε)(x) − (ϕ) f (x)| ≤ C (ϕ)εn

1 dµ

1/q Br

|f (x − µ) − f (x)| pdµ1/p

Ê × Ò Ø Ó Ø

pØ Ô Ó Û Ö ¸ Ò Ø Ö Ø Ò Ò

x ∈ K Ò Ô Ô Ð Ý Ò Ù Ò ³ × Ì Ó Ö Ñ ¸

Û Ò Ø Ø K

(f ∗ ϕε)(x) −

ϕ

f (x)

p dx ≤ C (ϕ)ρ

εnp

Br

1 dµ

p/q Br

dµ K

|f (x − µ) − f (x)| pdx

≤ C (ϕ)ρ

εnp

Br

1 dµ p

× ×

supµ∈Br K

|f (x − µ) − f (x)| pdµ.

Á

p = 1Ø Ð Ø Ø Ö Ò Õ Ù Ð Ø Ý Ó Ð Ð Ó Û × Ö Ó Ñ ´ µ × Ó Ú ¸ Û Ø Ó Ù Ø Ô Ô Ð Ý Ò À Ð Ö ³ ×

Ò Õ Ù Ð Ø Ý º Ì Ù × ¸

f ∗ ϕε −

ϕ

f

Lp(K )

≤ C (ϕ)

εn

Br

1 dµ

·

× ×

supµ∈Brτ µf − f Lp(K )

Á Ø Ö Ñ Ò × Ø Ó Ò Ó Ø Ø Ø

Br

1 dµ = πn/2 rn

Γ(1+n/2) × Ø Ò ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð Ä × Ù

Ñ × Ù Ö Ó Ø Ð Ð

Br Û Ø

r = εφ(ϕ)¸ Û Ö

Γ(x) = ∞0

tx−1e−tdt (x > 0) ×

Ù Ð Ö ³ × Ñ Ñ Ù Ò Ø Ó Ò ¸ Ò Ø Ø × ×

supµ∈Brτ µf − f Lp(K ) −→ 0

×

ε −→ +0 Ù Ø Ó Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ý Ò Ø Ð Ö Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò

f ∈ L ploc(Ω)

Ó Ò Ó Ñ Ô Ø × Ù × Ø ×

Ó

Ω´ Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ Ó Ò

K ρ µ º

½ ¼

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 13/36

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 14/36

¾ º ¾ Á Ò Ü Ë Ø ×

¾ º ¾ º ½ Ò Ø Ó Ò Ó Ö ϕ ∈ D(Rn) Ò α ∈ Nn0 ¸ Ø α Ø Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò

ϕ × Ò Ý

M α(ϕ) =

Rn

λα ϕ(λ) dλ,

× Ó Ø Ø ´ Ý Ø Ò Ó Ú Ö Ð × Ó Ö Ñ Ù Ð Ó Ö Ò Ø Ö Ø Ó Ò µ

M α(ϕε) = ε|α|M α(ϕ)∀ε > 0 Ò

M α(ϕ) = (−1)|α|M α(ϕ).

Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸

M 0(ϕε) = M 0(ϕ) = M 0(ϕ), ∀ ε > 0.

¾ º ¾ º ¾ Ò Ø Ó Ò Á Ò Ø × Ø

Aq(Rn) = ϕ ∈ D(Rn) : M 0(ϕ) = 1Û Û ×

Ò Ò ½ º ¿ º ´ ½ µ ¸ × Ù × Ø ×

A(Rn) = ϕ ∈ A0(Rn) : M α = 0∀α ∈ Nn0 , 1 ≤ |α| ≤ q , q ∈ N

Ö Ð Ð Ø Ò Ü × Ø × º

¾ º ¾ º ¿ Ì È Ð Ý Ï Ò Ö Ì Ó Ö Ñ Ä Ø

ϕ ∈ C ∞(Rn) Ú × Ù Ô Ô Ó Ö Ø Ò Ð Ð

BR

R > 0º Ì Ò Ø × Ó Ù Ö Ö ¹ Ä Ô Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ

f Ó Ö

ϕÓ

ϕ × Ú Ò Ý

(1) f (z) = ϕ(z) = Rn

e−ix·zϕ(x)dx, z = (z1, · · · , zn) ∈ Cn, i =√−1,

× Ò Ò Ø Ö Ò Ð Ý Ø Ù Ò Ø Ó Ò Ó

n Ó Ñ Ô Ð Ü Ú Ö Ð ×

z j = x j + iy j, j = 1, · · · , n

× Ø × Ý Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò

(2) ∀N ∈ N, ∃C N > 0× Ù Ø Ø

∀z ∈ Cn, |f (z)| ≤ C N (1 + |z|)−N eR|im z|.

Ó Ò Ú Ö × Ð Ý ¸ Ò Ò Ø Ö Ò Ð Ý Ø Ù Ò Ø Ó Ò

f Ó Ò

Cn× Ø × × Ó Ò Ø Ó Ò ´ ¾ µ Ø Ò

Ø Ö Ü × Ø Ù Ò Ø Ó Ò ϕ ∈ C ∞(Rn)× Ù Ô Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ð Ð BR × Ù Ø Ø Ø

Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò ´ ½ µ Ó Ð × º

¾ º ¾ º Ä Ñ Ñ Ì × Ø ×

A(Rn) Ö Ò Ó Ò ¹ Ñ Ô Ø Ý Ò Ó Ò Ö × Ò ¸ Ú Ñ Ô Ø Ý Ò Ø Ö ¹

× Ø Ó Ò Ò

ϕ ∈ A(Rn)¸ Ø Ò

ϕε, ϕ ∈ A(Rn)º

¾ º ¾ º Ê Ñ Ö Ï Ú Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò º

Aq(Rn) Ó Ò Ø Ò ×

½ ¾

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 15/36

½ º Ö Ð Ú Ð Ù Ù Ò Ø Ó Ò × º

¾ º Ù Ò Ø Ó Ò

ϕÛ Ø Ö Ø Ö Ö Ý × Ñ Ð Ð × Ù Ô Ô Ó Ö Ø ´ × Ò × Ù Ô Ô

ϕ

⊆× Ù Ô Ô

ϕ0 µ º

¿ º Ú Ò Ù Ò Ø Ó Ò ´ Ó Ó × Ù Ò Ø Ó Ò ϕ0 ∈ A(Rn)µ Ø Ó Ú Ò Ò × Ø ak = 0

Ó Ö Ð Ð Ó

kØ Ò Ø Ù Ò Ø Ó Ò

ϕÛ Ð Ð Ú Ò Ò

ϕ ∈ A(R)Ô Ö Ó Ú

ak

Ö × Ù Ø Ð Ý Ó × Ò Ó Ö Ú Ò

kº

º Ù Ò Ø Ó Ò

ϕ× Ø × Ý Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò

ϕ(0) = 1´ Ó Ó ×

ϕ0 ∈ A(R)× Ù Ø Ø

ϕ0 = 1 Ò Ø Ò Ó Ö Ó Ó Ó ¼ µ º

Æ Ó Ø Ø Ø

q ≥ 2Ø Ò Ö Ð Ú Ð Ù Ð Ñ Ò Ø × Ó

A(Rn) Ò Ò Ó Ø × × Ù Ñ Ó Ò Ð Ý

Ò Ø Ú Ú Ð Ù × º

¾ º ¾ º Ò Ø Ó Ò Ò Ð Ö

A´ Ó Ú Ö Ð

Kµ Û Ø Ô Ö Ó Ù Ø Ò Ó Ø Ý

¸ ×

Ð Ð Ö Ò Ø Ð Ð Ö Ø × Ü × Ø × Ø Ð × Ø Ó Ò Ð Ò Ö Ñ Ô

D : A −→ A× Ø × Ý Ò Ä Ò Ø Þ Ö Ù Ð Ó Ö Ø Ö Ò Ø Ø Ó Ò Ó Ô Ö Ó Ù Ø

D(a b) = D(a) b + a D(b) ∀a, b ∈ A

º Ë Ù Ñ Ô Ô Ò

D × Ð Ð Ö Ò Ø Ð Ó Ô Ö Ø Ó Ö ´ Ó Ö

Ö Ú Ø Ó Ò µ Ò

Aº Á

D0 := A × Ø Ò Ø Ø Ý Ñ Ô Ó

A Ò

Dk := D(Dk−1 Ó Ö

k ∈ N¸ Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ò Ö Ð Ä Ò Ø Þ ³ × Ö Ù Ð Ó Ð × Ò

A

(1) Dk(a b) =k

j=0

k j

Dk− j(a) D j (b),

k j

:=

k!

j!(k − j)!.

¾ º ¿ Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ð Ó Ñ Ù Ð Ö

¾ º ¿ º ½ Ì Ö Ò Ø Ð Ð Ö

E M (Ω) : Ó Ò × Ö Ø Ò Ò Ø Ô Ö Ó Ù Ø

E (Ω) = (C ∞(Ω))A0(Rn)

Ó Ò × × Ø Ò Ó Ð Ð Ñ Ô ×

u : A0(Rn) −→ C ∞(Ω)¸ × Ó Ø Ø

E (Ω) = u : A0(Rn) −→ C ∞(Ω) .

À Ò

u :

A0(Rn)

−→C ∞(Ω) : ϕ

−→u(ϕ)

× Ó Ø Ø

u(ϕ) : Ω

−→K : x

−→u(ϕ)(x)º Ì Ú Ð Ù u(ϕ) ∈ C ∞(Ω) Ó Ò Ð Ñ Ò Ø u ∈ E (Ω) Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò ϕ ∈A0(Rn)

Ð Ù Ð Ø Ø Ô Ó Ò Ø

x ∈ ΩÛ Ð Ð Û Ö Ø Ø Ò ×

u(ϕ)(x) = u(ϕ, x)º Á Ò

Ø × Û Ý ¸ Ø × Ø

E (Ω) Ò Ó Ò × Ö × Ø × Ø Ó Ñ Ô ×

u : A0(Rn) × Ω −→K : (ϕ, x) −→ u(ϕ, x)

× Ù Ø Ø

u(ϕ, ·) ∈ C ∞(Ω) Ó Ö Ð Ð

ϕ ∈ A0(Rn)º Ì × Ø

E (Ω) × Ö Ò Ø Ð Ð Ö Ù Ò Ö Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Û × Ó Ô Ö Ø Ó Ö × Ó Ø Ó Ò ¸ × Ð Ö

Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ò ¸ Ô Ö Ó Ù Ø Ò Ô Ö Ø Ð Ö Ò Ø Ø Ó Ò

(c1u + c2v)(ϕ, x) = c1u(ϕ, x) + c2v(ϕ, x), c1, c2 ∈ K(u · v)(ϕ, x) = u(ϕ, x)v(ϕ, x)

(∂ αu) (ϕ, x) = ∂ αx (u(ϕ, x)), Ò

α ∈ Nn0 ,

½ ¿

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 16/36

Ó Ö Ú Ö Ý

u, v ∈ E (Ω)

ϕ ∈ A(Rn) Ò

x ∈ Ωº Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò

Ä Ò Ø Þ ³ × Ö Ù Ð Ó Ð × Ò

E (Ω)

(1) ∂ α(u v) =

0≤β ≤α

αβ

∂ α−β u

∂ β v

, α

β

=

α!

β !(α − β )!, α ∈ Nn

0 .

Ì Ð Ö

C ∞(Ω) × Ó Ò Ø Ò Ò

E (Ω) × Ø × Ù × Ø Ó Ø Ó × Ð Ñ Ò Ø × Ó

E (Ω)Û Ó × Ò Ó Ø Ô Ò Ó Ò Ø Ö × Ø Ú Ö Ð

ϕ ∈ A0(Rn)º Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × ¸ Ø Ñ Ô

σ : C ∞(Ω) −→ E (Ω)¸ Ò Ý

σ(f )(ϕ, x)

f (x) Ó Ö

f ∈ C ∞(Ω), ϕ ∈ A(Rn) Ò

x ∈ Ω × Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô Ñ Ò Ó

C ∞(Ω) Ò Ø Ó Ø Ð Ö

E (Ω) Ò Ø Ó

Ø Ð Ö

E (Ω)Ô Ö × Ö Ú Ò Ô Ö Ø Ð Ö Ú Ø Ú ×

∂ ασ(f ) = σ(∂ αf ) Ò

E (Ω), α

∈Nn0 .

Ó Ö Ø × Ó Ö Ú Ø Ý ¸ Û × Ø

f (ϕ, x) = σ(f )(ϕ, x)

f ∈ C ∞(Ω)º

Ë Ù Ñ Ñ Ò Ù Ô Ø Ø Û Ø Û Ú × Ó Ú ¸ Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø

E (Ω) × Ò × × Ó Ø Ú Ò Ó Ñ Ñ Ù Ø Ø Ú Ö Ò Ø Ð Ð Ö ´ Û Ø Ø

Ù Ò Ø Ð Ñ Ò Ø

1 = σ(1) ∈ E (Ω)Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ò µ

Ó Ò Ø Ò Ò Ø Ð Ö

C ∞(Ω) × Ö Ò Ø Ð × Ù Ð Ö º

¾ º ¿ º ¾ Ì Á Ð

N (Ω)

Ò Ð Ñ Ò Ø

u∈ E

(Ω) × Ð Ð Ñ Ó Ö Ø Ð Ñ Ò Ø Ø

× Ø × ×

(1) ∀ K ⊆⊆ Ω, ∀ α ∈ Nn0 , ∃N ∈ N

× Ù Ø Ø

∀ϕ ∈ AN (Rn),

∃c > 0, ∃η > 0× Ù Ø Ø ε ∈ (0, η) ⇒ sup

x∈K |∂ αu(ϕε, x)| ≤ cε−N .

Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ð Ý ´ ½ µ Ò × Ø Ø Ø Ø

(2) ∀ K ⊆⊆ Ω, ∀ α ∈ Nn0 , ∃N 1, N 2 ∈ N

× Ù Ø Ø

∀ϕ ∈ AN 1(Rn),

∃c > 0,

∃η

∈(0, 1)

× Ù Ø Ø

x

∈K, ε

∈(0, η)

⇒ |∂ αu(ϕε, x)

| ≤cε−N 2 .

Ï Ó Ø Ò

N × Ò ´ ½ µ Û × Ø

N = max(N 1, N 2)º Ì × Ø Ó Ñ Ó Ö Ø Ð Ñ Ò Ø × Ò

E (Ω) × Ò Ó Ø Ý

E M (Ω)º Í × Ò Ä Ò Ø Þ ³ × Ö Ù Ð Ò

E (Ω)¸ Ø × Ø

E M (Ω) × ¸ Ò

Ö Ò Ø Ð Ð Ö Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ò × Ò

E (Ω)¸ Ò Ñ Ó Ö Ó Ú Ö ¸ Ø

Ñ Ô

σ × Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô Ñ Ò Ó Ø Ð Ö

C ∞(Ω) Ò Ø Ó

E M (Ω)º Á Ò Ø Ó Ò

∂ αE M (Ω) ⊆ E M (Ω), α ∈ Nn0 º

¾ º ¿ º ¿ Ì Á Ð

N (Ω) Ä Ø

Γ Ø × Ø Ó Ð Ð Ò Ö × Ò × Õ Ù Ò ×

γ : N −→(0, ∞)

× Ù Ø Ø

γ (n) −→ ∞ ×

n −→ ∞º Ì

Γ × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý

½

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 17/36

γ 1, · · · , γ m ∈ ΓØ Ò

min γ 1, · · · , γ m ∈ Γ × Û Ð Ð º Ò Ð Ñ Ò Ø

u ∈ E (Ω) ×

Ð Ð Ò Ù Ð Ð Ð Ñ Ò Ø × Ø × Ø × ×

(1) ∀K ⊆⊆ Ω, ∀α ∈ Nn0 , ∃ N ∈ N, ∃ γ ∈ Γ : ε ∈ (0, η) ⇒ sup

x∈K |∂ αu(ϕε, x)| ≤ c εr(q)−N

Ì × Ø Ó Ð Ð Ò Ù Ð Ð Ð Ñ Ò Ø × Ò

E (Ω) × Ò Ó Ø Ý

N (Ω)º

Ö Ó Ñ Ø × Ò Ø Ó Ò ¸ Ø × × Ò Ø Ø

N (Ω) ⊆ E M (Ω)¸ Ò Ñ Ó Ö Ó Ú Ö Ý Ù × Ò

Ä Ò Ø Þ ³ × Ö Ù Ð Ò

E (Og) Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ó

Γ¸ Û Ò Ø Ø Ø Ð Ö

N (Ω) × Ø Ð Ò

E M (Ω)º Ì Ø ×

N (Ω) E M (Ω) ⊆ N (Ω) Ò

E M (Ω) N (Ω) ⊆ N (Ω) .

Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö ¸ N (Ω) × Ò Ú Ö Ò Ø Ù Ò Ö Ô Ö Ø Ð Ö Ò Ø Ø Ó Ò Ó Ô Ö Ø Ó Ò ×

∂ αN(Ω) ⊆ N (Ω) , α ∈ Nn0 .

¾ º ¿ º È Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ó

N (Ω) × Ô Ð Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ó Ø Ð

N (Ω) Ó Ò × × Ø Ò Ò

Ø Ø Ø Ø Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ó Þ Ö Ó Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ò Ø Ò Ø Ó Ò × × Ù

Ø Ø Ð Ð Ø × Ð Ñ Ò Ø × Ò Ø Ö Ö Ú Ø Ú × Ø Ò Ø Ó Þ Ö Ó × Ø Ö Ø Ø Ò Ý Ô Ó Û Ö Ó

εÔ Ö Ó Ú Ø Ø ϕ ∈ AN (Rn)

Û Ø N × Ù Ò Ø Ð Ý Ð Ö

(1) ∀ u ∈ N (Ω), ∀ k ∈ N, ∀ K ⊆⊆ Ω, ∀ α ∈ Nn0 , ∃ N ∈ N

× Ù Ø Ø

∀ ϕ ∈ AN (Rn) =⇒ sup

x∈K |∂ αu(ϕε, x)| = o(εk)

×

ε −→ +0.

¾ º ¿ º Ò Ø Ó Ò Ì Ó Ð Ó Ñ Ù Ð Ö Ó Ò Û Ò Ö Ð Þ Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ò

Ó Ô Ò × Ø

Ω ⊆ Rn × Ò × Ø Õ Ù Ó Ø Ò Ø ´ Ø Ó Ö µ Ð Ö

G(Ω) =

E M (Ω)

| N (Ω).

Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × ¸ Ó Ò

E M (Ω)Ø Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ö Ð Ø Ó Ò

∼ × Ò Ø Ö Ó Ù × Ó Ð Ð Ó Û ×

u ∼ v Ò Ó Ò Ð Ý

u − v ∈ N (Ω)¸ × Ó Ø Ø Ò Ö Ð Þ Ù Ò Ø Ó Ò

U ∈ G(Ω) ×

Ø Õ Ù Ú Ð Ò Ð × ×

U = [u] = v ∈ E M (Ω) : u ∼ v = u + N (Ω),

Ó × Ó Ñ Ð Ñ Ò Ø ×

u ∈ E M (Ω)Û × Ð Ð Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú Ó Ø Ò Ö Ð Þ

Ù Ò Ø Ó Ò

U º

½

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 18/36

Ð Ö Ó Ô Ö Ø Ó Ò × Ò Ô Ö Ø Ð Ö Ò Ø Ø Ó Ò Ò

G(Ω) Ö Ò Ó Ö Ò Ö Ð Þ

Ù Ò Ø Ó Ò ×

U = [u], V = [v] ∈ G(Ω) Ý Ñ Ò × Ó Ø Ö Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú × Ò Ù × Ù Ð Û Ý

c1U + c2V = [c1u + c2v], c1, c2 ∈ KU V = [u v]

∂ αU = [∂ αu]

Ì × Ó Ô Ö Ø Ó Ò × Ö Û Ð Ð ¹ Ò ¸ × Ò

N(Ω) × Ø Û Ó ¹ × Ð Ò Ø Ð Ö

E M (Ω)¸ Ò Ó Ø Ø × × Ø × Ö Ò Ú Ö Ò Ø Ù Ò Ö Ô Ö Ø Ð Ö Ú Ø Ú × º Ì Ò Ò Ø Ó

Ó Ù Ò Ø Ø Ð Ò Ö Ø Ý Ó Ó Ô Ö Ø Ó Ö

∂ α Ò Ä Ò Ø Þ ³ × Ö Ù Ð Ò

E M (Ω)¸ Û Ò × Ù Ö

Ø Ø

G(Ω) × Ö Ò Ø Ð Ð Ö ´ Ó Ú Ö Ø Ð

Kµ º

¾ º ¿ º Á Ñ Ò Ó

C ∞(Ω) Ò Ø Ó

G(Ω)Ì Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô Ñ Ò Ó Ø

Ð Ö

C ∞(Ω) Ò Ø Ó Ø Ð Ö

G(Ω) × Ø Ú Ø Ñ Ô Ô Ò

ı : C ∞(Ω) −→ G(Ω), ı(f ) = [f ] = f ( · , · ) + N (Ω) Ó Ö

f ∈ C ∞(Ω),

Û Ö

f (ϕ, x) = f (x) Ó Ö

(ϕ, x) ∈ A0(Rn) × Ωº Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ Ø Ò Ø Ú Ø Ý

Ó Ø × Ñ Ô Ô Ò Ñ Ò × Ø Ø Õ Ù Ð Ø Ý Ö Ð Ø Ó Ò ´ µ Ò

G(Ω) Ò Ö Ð Þ × Ø Ù × Ù Ð

Ô Ó Ò Ø Û × Õ Ù Ð Ø Ý Ó Ù Ò Ø Ó Ò Ò

C ∞(Ω)¸ Ø Õ Ù Ð Ø Ý

[ f ] · [ g ] = [ f g ]Ñ Ò ×

Ø Ø Ø Ô Ó Ò Ø Û × Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ù Ò Ø Ó Ò

f Ò

g Ò

C ∞(Ω)¸ × Ô Ö × Ö Ú Ò

G(Ω)

Ò Ø Õ Ù Ð Ø Ý

∂ α[f ] = [∂ αf ]× Ó Û × Ø Ø Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ö ×

∂ α Ò

G(Ω)

Ö × Ø Ö Ø Ø Ó

C ∞(Ω) Ó Ò × Ö Û Ø Ø Ù × Ù Ð Ô Ö Ø Ð Ö Ú Ø Ú Ò

C ∞(Ω)º Ì Ù × Û Ú Ø

Ó Ð Ð Ó Û Ò × Ø Ø Ñ Ò Ø

G(Ω) × Ò × × Ó Ø Ú Ò Ó Ñ Ñ Ù Ø Ø Ú Ö Ò Ø Ð Ð Ö Ò Û

Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ù Ò Ø Ó Ò

1 ∈ C ∞(Ω) × Ø Ù Ò Ø Ð Ñ Ò Ø ¸

ı(1) = 1 + N (Ω) ∈ G(Ω)

¸ Û × Ò Ó Ø Õ Ù Ð Ø Ó Þ Ö Ó ¸

ı(0) = N (Ω) ∈ G(Ω) Ò

C ∞(Ω) × Ö Ò Ø Ð × Ù Ð Ö Ò

G(Ω)º

¾ º ¿ º È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò

E M (Ω)

E (Ω)

Ò

N (Ω)

× Ò Ó Ø Ò Ð Ò

E (Ω)

º

È Ö Ó Ó Ë Ø Ô ½ º Ä Ø

Ω = Rn Ó Ö × Ñ Ô Ð Ø Ý º Ö × Ø Û Ó Ò × Ö Ø Ó Ø

δ ∈ G(Rn)Û Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ö

δ Ù Ò Ø Ó Ò ´ × Ð Ø Ö µ º Ò Ø × Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú Ý

uδ(ϕ, x) = ϕ(−x) = (τ xϕ)(0), ϕ ∈ A0(Rn), x ∈ Rn .

½

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 19/36

Ð Ö Ð Ý ¸

uδ ∈ E (Rn)º Á

K ⊆⊆ Rn Ò

α ∈ Nn0 ¸ Ø Ò

(∂

α

uδ) (ϕε, x) = ∂

α

(uδ(ϕε, x))= ∂ α (ϕε(−x))

= ε−|α|∂ α

ϕ−x

ε

=

−1

ε

|n|

ε−n (∂ αϕ)−x

ε

= (−1)|α|ε−n−|α| (∂ αϕ)

−x

ε

Ò × Ø Ø Ò

N = n + |α| Ó Ö

ϕ ∈ AN (Rn)Û Ò Ø Ø

|∂ α

uδ(ϕε, x)| ≤ supBρ(ϕ)|∂

α

ϕ| ε−N

= c ε−N

Ó Ö Ð Ð

x ∈ K Ò

ε ∈ (0, 1)º À Ò

uδ ∈ E M (Rn)º

Ë Ø Ô ¾ º Æ Ó Û v(ϕ, x) = eϕ(−x)¸ Ø Ò v ∈ E (Rn)

Ù Ø v /∈ E M (Rn) Ù ×

∀q ∈ N

∃ϕ ∈ Aq(Rn)× Ù Ø Ø

ϕ(0) = 1´ × Ö Ñ Ö ¾ º ¾ º ´ µ µ Ò Ò

v(ϕε, 0) = eϕ(0) = e(1/εn) ϕ(0) = e1/εnº ´ Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × ¸

v × Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú Ó

eδµ º

Ë Ø Ô ¿ º Ó Ò × Ö Ò Ð Ñ Ò Ø

U

∈ G(Rn)

Û Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú

u(ϕ) = e−1/ρ(ϕ)

Û Ó × Ò Ó Ø Ô Ò Ó Ò x ρ(ϕ) Û × Ò Ø Ö Ó Ù Ò ½ º ¾ º º Ë Ò Ý Ô Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò

½ º ¾ º ´ ¿ µ ¸

ρ(ϕε) = e−1/ερ(ϕ) Ö × × ×

ε −→ +0 × Ø Ö Ø Ò Ò Ý Ô Ó Û Ö Ó

εq

u ∈ N (Rn)´ Ó Ö

U = 0µ º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò ¸

u−1(ϕ) = 1/u(ϕ)Ø Ò

u−1 × Ò

E (Rn) Ù Ø Ò Ó Ø Ò

E M (Rn)× Ò

u−1(ϕε) = e1/ερ(ϕ) Ö Ó Û × × Ø Ö Ø Ò Ò Ý Ô Ó Û Ö

(1/ε)N ×

ε −→ +0º Ë Ò

u · U −1 = 1 /∈ N (Rn)¸ Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø

N (Rn) × Ò Ó Ø Ò

Ð Ò

E (Rn)º

¾ º ¿ º Ê Ñ Ö Ï Ò Ó Ø Ø Ø Ø Ð Ö

E M (Rn)Ó Ñ Ó Ö Ø Ð Ñ Ò Ø × ¸

Û × Ó Ñ Ô Ð Ø Ð Ý × Ñ Ð Ö Ø Ó

E (R

n)¸ Û × Ò Ø Ö Ó Ù Ý Ó Ð Ó Ñ Ù Ò Ó Ö Ö

Ø Ø Ø × Ø

N (Rn) Ò Ð Ò

E M (Rn)º Ì Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ð Ö

E M (Ω) Ò Ø Ð

N (Ω)Ø Ö Ö Ö Ø Ö Ó Ñ Ô Ð Ø ¸ Ò Ø Ý Û Ö Ú Ò Û Ø Ó Ù Ø

Ó Ò × Ö Ø Ó Ò º Ì Ö Ñ Ó Ø Ú Ø Ó Ò Ò Ø Ò Ø Ù Ö Ð Ö Ø Ö Ó Ø Ð Ö

G(Ω) Ó Ñ Ð Ö Û Ò Û Ø Ö Ý Ø Ó Ñ Ø × Ô Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ù Ò Ø Ó Ò ×

C (Ω) Ò Ø Ó

ω(Ω)º

¾ º ¿ º Á Ñ Ò Ó

C (Rn) Ò Ø Ó

G(Rn)Ì Ó Ñ Ô × Þ Ø Ñ Ò Û × Ø Ö Ø

Ø Ñ Ó × Ø × Ñ Ô Ð ×

Ω = Rnº Ó Ö

f ∈ C (Rn)Ø Ñ Ô Ô Ò

uf Ó Ò

A(Rn)

½

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 20/36

Ý Ø Ó Ö Ñ Ù Ð Ö Ð Ø Ó Ò

(1) uf (ϕ) = f ∗ ϕ, ϕ ∈ A0(Rn

).

Ì Ò Ø Ñ Ô Ô Ò

uf Ñ Ô ×

A0(Rn) −→ C ∞(Rn)º ´ Á Ò × Ø Ó Ù × Ò

f ∈ C (Rn)

Û Ù × Ò Ý

f ∈ L1loc(Rn)

º µ Ö Ó Ñ È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò ½ º ¿ º ¸ Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø

uf ∈ E (Rn)º Á

K ⊆⊆ Rn Ò

α ∈ Nn0 Ø Ò × Ø Ø Ò

N = n + |α| Ò Ø Ò Ò Ø Ó Ó Ù Ò Ø ½ º ¾ º ´ µ

Ò ½ º ¿ º ´ µ ¸ Ó Ö

ϕ ∈ AN (Rn)Û Ú

|(∂ αuf )(ϕε, x| = |∂ α(f ∗ ϕ)(x)|= |(f ∗ ∂ αϕε)(x)|=

(−ε)−|α| (f ∗ (∂ αϕ)ε) (x)

≤ ε−n−|α|

f L1(K ρ) ∂ α

ϕL∞(Bρ(ϕ))

= c ε−N , x ∈ K

Û Ö

r < ε < η = ρ/ρ(ϕ) Ò

ρ ∈ (0, ∞) × Ü º Ì Ù × ¸

uf ∈ E M (Rn)º

Á Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø Ø Ñ Ô Ô Ò

: C (Rn) −→ G(Rn) Ú Ò Ý

(3) (f ) ≡ U f = [uf ] = uf + N (Rn) , f ∈ C (Rn),

× Û Ð Ð Ò ´ Ò Ò Ð Ó Ó Ù × Ð Ý Ó Ö

f ∈ L1loc(Rn)

º Ì Ñ Ô Ô Ò

× Ð Ò Ö ¸

Ø × Ó Ð Ð Ó Û × Ö Ó Ñ Ø Ð Ò Ö Ø Ý Ó Ø Ñ Ô Ô Ò

f −→ uf Ò Ø Ò Ø Ó Ò Ó

Ó Ô Ö Ø Ó Ò × Ò G(Rn

)¸ Ò Ø × Ò Ø Ú Ù Ø Ó Ø Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ò

uf ∈ N (Rn

) =⇒f = 0¸ Û Ó Ð Ð Ó Û × Ö Ó Ñ Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ó

N (Rn) Ò È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò ½ º ¿ º ´ µ Ò

½ º ¾ º ´ µ º Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö ¸

Ó Ñ Ñ Ù Ø Û Ø Ô Ö Ø Ð Ö Ú Ø Ó Ò Ó Ô Ö Ø Ó Ö ×

∂ αÓ Ò Ø

× Ô

C k(Rn)Û Ö

k ∈ N

∂ α (f ) = (∂ αf ) Ó Ö f ∈ C k(Rn) Ò

|α| ≤ k ,

Ø × × Ó Ò × Õ Ù Ò Ó È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò ½ º ¿ º ´ ¿ µ º Ì Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ú Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ó

Ó Ð Ð Ó Û × Ö Ó Ñ Ø Ò Ø Ó Ò Ó

uf º

Ç Ò Ó Ø Ñ Ò Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó Ø Ð

N (Rn) × Ø Ø Ó Ø Ñ Ò ¾ º ¿ º ´ ½ µ

Ò ¾ º ¿ º ´ ¿ µ Ó

C ∞

(Rn

) Ò Ø Ó G(R

n

) Ó Ò

¾ º ¿ º ½ ¼ È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò Á

f ∈ C ∞(Rn)Ø Ò

uf −f ∈ N (Rn)× Ó Ø Ø

|C ∞(Rn) = ıº

È Ö Ó Ó Ä Ø

K ⊆⊆ (Rn) Ò

α = 0º Ô Ô Ð Ý Ò Ì Ý Ð Ó Ö ³ × Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò

½

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 21/36

f Ù Ô Ø Ó Ó Ö Ö

q ∈ N Ó Ö

x ∈ K,ε > 0 Ò

ϕ ∈ A0(Rn)¸ Û Ú ´ Ó Ö

α = 0µ

∂ α(uf

−f )(ϕε, x) = ∂ 0(uf

−f )(ϕε, x)

= (uf − f )(ϕ, x)

uf (ϕε, x) − f (ϕε, x)

= (f ∗ ϕε) (x) − f (x)

=

f (y) ϕε(x − y)dy − f (x)

= ε−n

f (y) ϕ

y − x

ε

dy − f (x)

=

f (x + ε µ)ϕ(µ)dµ −

f (x)ϕ(µ)dµ

=

( f (x + εµ) − f (x) ) ϕ(µ)dµ

=

q|β |=1

ε|β |

β !

∂ β f

(x)

µβ ϕ(µ)dµ + εq+1 ·

|β |=q+1

q + 1

β ! Bρ(ϕ)

10

(1 − t)q(∂ β f )(x + tεµ)ct · µβ ϕ(µ)dµ

Á

ϕ ∈ Aq(Rn)¸ Ø Ö × Ø × Ù Ñ Ú Ò × × ¸ Ò

0 < ε < η = ρ/ρ(ϕ)Û Ø

ρ ∈ (0, ∞) Ü ¸ Ø Ò Û Ú Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò × Ø Ñ Ø Ó Ö Ø × Ó Ò × Ù Ñ

εq+1

|β |=q+1

supK ρ

|∂ β f |

Bρ(ϕ)

|µρϕ(µ)dµ| = c εq+1

Ò Ð Ó Ó Ù × Ö Ù Ñ Ò Ø × Ò Ô Ô Ð Ø Ó Ò Ý Ô Ö Ø Ð Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ó Ö Ñ

∂ α(uf −f )

Û Ø Ò Ø Ó Ó Ù Ò Ø Ø Ø

∂ αuf = u∂ αf º

2

¾ º ¿ º ½ ½ Ê Ñ Ö Á Ò ¾ º ¿ º ´ ½ µ Û Ú × Ò Ø Ø

C ∞(Rn) × × Ù Ð Ö Ò

G(R

n)¸ × Ó Ø Ø Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸

ı(f g) = ı(f )·ı(g)

Ò

G(R

n)

f Ò

g Ö Ò

C ∞(R

n)º

Ý È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò ¾ º ¿ º ½ ¼ ¸ Ø Ñ Ô Ô Ò

× Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ Ó Ð Ö ×

C ∞(Rn) Ò

G(Rn) × Û Ð Ð ¸ Ò

f Ò

g Ö Ò Ò Ø Ð Ý Ö Ò Ø Ð Ù Ò Ø Ó Ò × Ø Ò

(f g) = ı (f g) = ı (f ) · ı (g) = (f ) · (g) Ò

G(Rn) .

Ì × Ñ Ô Ð ×

(1) uf g − uf · ug ∈ N (Rn) , f, g ∈ C ∞(Rn) .

À Ó Û Ú Ö ¸ Ø Ò Ð Ù × Ó Ò ´ ½ µ Ó × Ò Ó Ø Ø Ô Ð Ò Ò Ö Ð Ø Ù Ò Ø Ó Ò ×

f Ò

g Ø Ó Ò Ð Ý Ò

C k(Rn)Û Ø

k < ∞º Ë Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ü Ñ Ô Ð º

½

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 22/36

¾ º ¿ º ½ ¾ Ü Ñ Ô Ð ´ µ Ó Ö Ò Ý Ò Ø

k ∈ N0 ¸ Ø Ð Ö

C k(Rn) × Ò Ó Ø

× Ù Ð Ö Ò

G(Rn)´ Ö Ð Ø Ú Ø Ó Ø Ò Ð Ù × Ó Ò ¾ º ¿ º ´ ¿ µ µ ¸ × Ó Ø Ø Ø Ô Ö Ó Ù Ø

G(Rn

) · G(Rn

) Ó × Ò Ó Ø Ò Ö Ð Þ Ø Ô Ö Ó Ù Ø

C k

(Rn

) · C k

(Rn

)º

È Ö Ó Ó Ó Ò × Ö Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Û Ó Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ó Ò Ú Ö Ð

f (x) =

0

x ≤ 0 ,xk+1

x ≥ 0 ,

Ò

g(x) =

xk+1

x ≤ 0 ,0

x ≥ 0 .

Ì Ò

f g = 0 Ò

C k(R)× Ó Ø Ø

(f g) = 0 Ò

G(R)º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò ¸

(1) (uf · ug) (ϕε, x) = uf (ϕε, x) · ug (ϕε, x)

= (f ∗ ϕε) (x) · (g ∗ ϕε) (x)

=

f (x + εµ)ϕ(µ)dµ ·

g(x + εµ)ϕ(µ)dµ ;

Ø × Ñ Ô Ð ×

(uf · ug) (ϕε, 0) =

f (εµ)ϕ(µ)dµ ·

g(εµ)ϕ(µ)dµ

= ε2k+2 ∞0 µ

k+1

ϕ(µ)dµ · 0−∞ µk+1

ϕ(µ)dµ

Ì Ó Ô Ö Ó Ú Ø Ø

uf · ug /∈ N (R)¸ Ý Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý ¾ º ¿ º ´ ½ µ ¸ Ø × Ù × Ø Ó × Ó Û Ø Ø

(2) ∀ q ∈ N, q ≥ k + 1, ∃ ϕ ∈ Aq(R)× Ù Ø Ø

− 0−∞

µk+1ϕ(µ)dµ =

∞0

µk+1ϕ(µ)dµ =1

2.

Ì × Ò Ó Ò Ý Ø Ö Ù Ñ Ò Ø × Ò Ø Ô Ö Ó Ó Ó Ð Ñ Ñ ¾ º ¾ º ´ Ç Ñ Ø È Ö Ó Ó µ º

´ µ Ó Ò × Ö Ø Ù Ò Ø Ó Ò ×

f (x) = xk Ò

g(x) = xk

|x|

x∈ R

º Ì Ò ´ ½ µ Ò Ø Ó

Ó Ù Ò Ø ¸ Û Ú

(uf g − uf · ug) (ϕε, 0) = uf g(ϕε, 0) − (uf · ug)(ϕε, 0)

=

(f g)(εµ)ϕ(µ)dµ −

f (εµ)ϕ(µ)dµ

= ε2k+1

µ2k|µ|ϕ(µ)dµ −

µkϕ(µ)dµ ·

µk|µ|ϕ(µ)dµ

.

¾ ¼

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 23/36

Á

ϕ ∈ A(R)Ø Ò

µkϕ(µ)dµ = 0

Ò Ø Ö Ñ Ò × Ø Ó Ò Ó Ø Ø Ø Ù Ø Ó ´ ¾ µ ¸ Ó Ö

q ≥ 2k + 1¸ Ø Ö Ü × Ø × Ù Ò Ø Ó Ò

ϕ ∈ A(R)× Ù Ø Ø

µ2k|µ|ϕ(µ)dµ = 0−∞

µ2k|µ|ϕ(µ)dµ + ∞0

µ2k|µ|ϕ(µ)dµ

= − 0−∞

µ2k+1ϕ(µ)dµ +

∞0

µ2k+1ϕ(µ)dµ

=1

2+

1

2= 1 .

´ × Ò Ø Ö Ù Ñ Ò Ø Ó Ø Ö × Ø Ü Ñ Ô Ð º µ

À Ò

uf g − uf · ug /∈ N (R) Ò

(f g) = (f ) · (g) Ò

G(R)º

2

¾ º ¿ º ½ ¿ Ê Ñ Ö Ì × Ô

C (Rn) × Ñ Ò Ø Ó Ø Ð Ö

G(Rn)Ú Ø

Ñ Ô Ô Ò × Ò ¾ º ¿ º ´ ¿ µ Ò ¾ º ¿ º ´ ½ µ º Ð Ø Ö Ò Ø Ú Ð Ý ¸ Ó Ò Ñ Ø Ò Ò Ó Ø Ö Ñ ¹

Ò

ˇ : C (Rn) −→ G(Rn) × Ó Ð Ð Ó Û

f ∈ C (Rn)Ð Ø

ˇ (f ) Ø Õ Ù Ú Ð Ò

Ð × × Ó Ø Ñ Ô Ô Ò

f ∗ ϕϕ∈A(Rn) º Ð Ö Ð Ý ¸ Ø Ñ Ô Ô Ò

ˇ Ô Ó × × × × × Ð Ð Ø

Ô Ö Ó Ô Ö Ø × × Ø × Ý Ø Ñ Ô Ô Ò

¸ Ò Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö

ˇ |C ∞(Rn)=ı º Ì Ö Ó Ö

ˇ Ñ Ø Ð × Ó Ø Ò × Ò Ó Ò Ð Ñ Ò Ó C (Rn)

Ò Ø Ó

G(Rn)º À Ó Û Ú Ö ¸ Ó Ò

× Ø Ó Ô Ò Ñ Ò Ø Ø Ø Ñ Ô Ô Ò ×

Ò

ˇ Ö Ò Ó Ø Ø Ó Ù × × Ñ Ù Ð Ø Ò Ó Ù × Ð Ý ¸

× Ò

ˇ = º

¾ º Á Ñ Ò Ó C (Ω)

Ò

G(Ω)¾ º º ½ Ò Ø Ó Ò Ñ Ô Ô Ò

g × Ò Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ñ Ô Ô Ò

f Ø Ó × Ø

A′

A′ × Ø Ó Ñ Ò Ó

g Ò Ó Ò Ø Ò × Ø Ó Ñ Ò × Ó

f Ò

g(a) = f (a) Ó Ö Ð Ð

a ∈ Aº Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × ¸ g|A = f º

¾ º º ¾ Á Ñ Ò

C (Ω) Ò Ø Ó

G(Ω)

Ó Ò × Ö Ò Ñ Ò Ó Ø × Ô

C (Ω) Ò Ø Ó Ø Ð Ö

G(Ω) Ó Ö Ò Ö Ø Ö Ö Ý Ó Ô Ò × Ø

Ω ⊆ Rnº Ó Ö Ù Ò Ø Ó Ò

f ∈ C c(Ω)

× Ù Ò Ñ Ò × Ú Ò Ú Ø Ñ Ô Ô Ò

c : C c(Ω) −→ G(Ω) Ò Ý Ø

Ó Ö Ñ Ù Ð

c(f ) = uf + N (Ω)¸ Û Ö

uf (ϕ) = (f ∗ ϕ)|Ω , ϕ ∈ A(Rn)º Ì Ó Ü Ø Ò

Ø × Ñ Ò Ó Ò Ø Ó Ø × Ô

C (Ω)¸ Û Ô Ö Ó × Ó Ð Ð Ó Û × º Ä Ø

Ωρ Ò

Ü Ù × Ø Ó Ò Ó Ø × Ø

Ω Ý Ó Ñ Ô Ø × Ù × Ø ×

Ωρ Ó Ø Ó Ö Ñ

Ωρ = x ∈ Ω| × Ø

(x, ∂ Ω) ≥ ρ Ò

|x| ≤ 1/ρ , ρ > 0.

´ Á

Ω × Ó Ù Ò ¸ Ø Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò

|x| ≤ 1/ρ × Ö Ù Ò Ò Ø ¸ Ò

Ω = Rn¸ Ø

Ö × Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ò Ø Ò Ø Ó Ò Ó

Ωρ × Ó Ô Ø Ó Ò Ð º µ Ä Ø

χρ Ø Ö Ø Ö × Ø

¾ ½

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 24/36

Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ø × Ø

Ωρ (χρ ≡ 0

Ωρ = ∅µ º Ú Ò

ϕ ∈ A(Rn)¸ Û × Ø ´ × Ð × Ó

È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò ½ º ¿ º µ

(1) ℓ(ϕ) = χ2ρ(ϕ) ∗ ϕ ∈ C ∞

(Rn

).Ë Ò

ρ(ϕ) < 2ρ(ϕ) ≤ × Ø

(Ω2ρ(ϕ), ∂ Ω)¸ Û Ú

ℓ(ϕ) ∈ D(Ω)´ Ô Ó × × Ð Ý ¸

ℓ(ϕ) ≡ 0µ º

Å Ó Ö Ó Ú Ö ¸

K ⊆⊆ Ω Ò

ϕ ∈ A(Rn) Ö × Ù Ø Ø

ρ(ϕ) ≤ ϕK Û Ø

ϕK =1

4min

× Ø

(K, ∂ Ω), (1 + supx∈K

|x|−1

,

Ø Ò × Ù Ô Ô

ℓ(ϕ) ⊆ Ωρ(ϕ)

K ρ(ϕ) ≡ K + Bρ(ϕ) ⊆ Ω3ρ(ϕ) ¸ Ò

ℓ(ϕ) ≡ 1Ó Ò

Ω3ρ(ϕ) º Ï

Ò Ø Ñ Ò

: C (Ω) −→ G(Ω) Ò Ø × Ñ Û Ý × Ò ¾ º ¿ º ´ ¿ µ

¾ º Ë Ó Ð Ö × Ó Ò Ö Ð Þ Ù Ò Ø Ó Ò ×

´ ¾ º º ½ ¸

· · ·¸ ¾ º º ´ Ø Ó Ö Ý µ ¸ ¾ º º ´ È Ö × µ ¸ ¾ º º ´ Ñ Ó Ö Ô × Ñ µ ¸ ¾ º º µ Ç Ñ Ø Ë

Ò Ö Ð Ø Ø Ó Ô × º

¾ º º ½ ¼ Ò Ø Ó Ò Ä Ø

U = u + N (Ω) ∈ G(Ω) Ò Ö Ð Þ Ù Ò Ø Ó Ò Û Ø

Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú

u ∈ E M (Rn)º Ì Ö × Ø Ö Ø Ó Ò Ó

U Ø Ó Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø

G ⊆ Ω ×

Ò × Ó Ð Ð Ó Û ×

U |G = u|G + N (G) ∈ G(G)¸ Û Ö

((u|G)(ϕ) = u(ϕ)|G Ó Ö

ϕ∈ A

(Rn))º

Ð Ö Ð Ý ¸ Ò Ý Ö × Ø Ö Ø Ó Ò Ñ Ô Ô Ò × Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ Ó Ö Ò Ø Ð Ð Ö × º Ù Ö ¹

Ø Ö Ñ Ó Ö ¸ Ø Ò Û Ö × Ø Ö Ø Ó Ò Ñ Ô Ô Ò Ò Ö Ð Þ × Ø Ù × Ù Ð Ð × × Ð Ö × Ø Ö Ø Ó Ò

Ñ Ô Ô Ò Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ù Ò Ø Ó Ò ×

(f )|G = (f |G)

f ∈ C (Ω)× Ò

(uf )|G −uf |G ∈ N (G)

Ý Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý ¾ º º ¾ ´ ¿ µ ´ Ó Ò Ó Ñ Ô Ø × Ù × Ø × Ó

GØ × Ö Ò Ú Ò ¹

× × Ó Ö × Ñ Ð Ð Ò Ó Ù

ε > 0µ º

Ç Ñ Ø ¾ º º ½ ½ ´ È Ö Ø Ø Ó Ò × Ó Ø Ù Ò Ø Ý µ Ò Ó Ñ Ø ¾ º º ½ ¾ Ø Ø ×

G × × ´ Ó × Ø Ó Ò ×

Ó Ú Ö

Rnµ Ó Ö Ò Ø Ð Ð Ö º

¾ º º ½ ¿ Á Ñ Ò Ó

C c(Ω) Ò Ø Ó

G(Ω) Ä Ø Ù × Ó Ò × Ö Ø Ñ Ò Ó Ø

× Ô Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ù Ò Ø Ó Ò × Ò Ø Ó Ø Ð Ö Ó Ò Ö Ð Þ Ù Ò Ø Ó Ò × Ò Ñ Ó Ö

Ø Ð º Ì Ó Ø × Ò Û Û Ð Ð Ù × Ñ Ó Ö Ò Ó Ø Ø Ó Ò × Ó Û Ò Ü Ô Ð Ø Ð Ý Ø Ô Ò Ò

Ó Ñ Ò × Ó Ò

Ω Ø Ò Ó Ò Ð Ñ Ò Ó

C c(Ω) Ò Ø Ó

G(Ω)Û Ð Ð Ò Ó Ø

Ý

c,Ω ¸ Ò Ý

Ω Ø Ñ Ò Ó

C (Ω) Ò Ø Ó

G(Ω) Ò Ó Ø Ø Ø Ø Ñ Ô Ô Ò

ℓ Ò Ó Ú Ô Ò × Ó Ò

Ω × Û Ð Ð º Ì Ó Ö Ò Ó Ö × Ø Ö Ø Ó Ò × Ò

G(Ω) Ò Ò

C (Ω)Ñ Ò × Ø Ø Ñ Ò × Ò Ö × Ø Ö Ø Ó Ò × Ó Ñ Ñ Ù Ø Ø × × Û Ö Ø Ø Ò Ô Ö × Ð Ý

× Ó Ð Ð Ó Û ×

(1) Ω(f )|G = G(f |G), f ∈ C (Ω), G ⊆ Ω, G × Ó Ô Ò º

¾ ¾

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 25/36

¾ º º ½ Ò Ø Ó Ò

¾ º º ½ Ò Ø Ó Ò

¾ º º ½ Ê Ñ Ö

¾ º º ½ È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò

¾ º º ½ Ü Ñ Ô Ð ×

¾ º º ½ Ü Ñ Ô Ð

¾ º Ì Ö Ò × Ð Ø Ó Ò Ç Ô Ö Ø Ó Ö × Ò G(Rn)

¾ º º ½ Ò Ø Ó Ò

¾ º º ¾ Ê Ñ Ö

¾ ¿

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 26/36

Ô Ø Ö ¿

Ì Ð Ö Ó Ò Ö Ð Þ

Æ Ù Ñ Ö

¿ º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò

¿ º ¾ Ì Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ð Ö

¿ º ¿ Ì Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ð Ö

¿ º ¾ º ½ Ò Ø Ó Ò

¿ º Á Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ò Ö Ð Þ Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ú Ö Ó Ñ ¹

Ô Ø Ë Ø ×

Æ Ó Û Û Ò Ò Ò Ø Ö Ð Ó Ò Ö Ð Þ Ù Ò Ø Ó Ò

U ∈ G(Ω)Ó Ú Ö Ó Ñ Ô Ø × Ø

K ⊆ Ωº

¿ º º ½ Ò Ø Ó Ò Á

u ∈ E M (Ω) × Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú Ó

U Û × Ø

K

u(ϕ, x)dx Ó Ö

ϕ ∈ A0(Rn)º Ï Ò Ó Ø Ø Ø

I K (ϕ) ∈ E 0 Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö ¸

I K ∈ E 0,M º Ì Ò Ö Ð Þ

Ò Ù Ñ Ö

K

U = I K = I K + N 0 ∈ K × Ð Ð Ò Ò Ø Ö Ð Ó

U ∈ G(Ω)Ó Ú Ö

K Û Ö

K

U =

K

U (x)dxº

¾

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 27/36

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 28/36

Á

a < b < 0Ó Ö

0 < a < b¸ Ø Ò × Ù Ô Ô

ϕ ⊆ R\ −aε

, − bε

Ó Ö Ð Ð

ε > 0¸ Û Ò

I (ϕε) = 0× Ó Ø Ø

b

aδ(x)dx = 0

× Ò Ó Ö Ò Ö Ý Ò Ù Ñ Ö º Á

a < 0 < b¸ Ø Ò

× Ù Ô Ô ϕ ⊆ −aε , − b

ε Ó Ö Ð Ð ε > 0¸ Û Ò I (ϕε) = 1 × Ó Ø Ø ba δ(x)dx = 1 × Ò

Ó Ö Ò Ö Ý Ò Ù Ñ Ö º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸

R

δ(x)dx = 1º Á

a < 0 = b´ Ó Ö

a = 0 < bµ

Ø Ò

I (ϕε)

∞0

ϕ(µ) dµ

Ö × Ô º

I (ϕε) = 0−∞

ϕ(µ) dµ

Ó Ö × Ñ Ð Ð

ε > 0¸ Ò 0

aδ(x)dx

Ö × Ô º

b0

δ(x)dx

Ð × Ò

K \ KA ¸ × Ó Ø Ø Ø × Ò Ö Ð Þ Ò Ù Ñ Ö × Ö

Ò Ó Ø Ó Ö Ò Ö Ý Ò Ù Ñ Ö × ´ × Ò Ü Ñ Ô Ð ¿ º ¿ º Ø Ý Ò Ú Û × Ù Ò Ø Ö Ñ Ò µ º

Æ Ó Ø Ø Ø Ø Ò Ò Ó Ò Ø Ó Ò × Ò ¿ º º ´ ½ µ Ö Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ò Ú Û Ó

1 =

R

δ(x)dx =

× Ù Ô Ô

δ

δ(x) dx =

0

δ(x) dx.

¿ º º Ü Ñ Ô Ð Ó Ò × Ö Ø Ð Ñ Ò Ø

δ ∈ G(Rn) Ú Ò Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú

uδ(ϕ, x) = ϕ(−x)Û Ø ϕ ∈ A0(Rn)

¸ Ò x ∈ Rnº Á n = 1

Û Ú

R

xmδ(x)dx =

0 Ò

K

m ∈ Nº Ì × Ó Ð Ð Ó Û × Ö Ó Ñ Ø Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ü × Ø

Aq(Rn)º 2

¿ º º Ü Ñ Ô Ð Ó Ò × Ö

δ ∈ G(Rn) Ú Ò Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú

uδ(ϕ, x) = ϕ(−x)Û Ø

ϕ∈ A

0(Rn)¸ Ò

x∈Rn

º Ò Ð Ó Ó Ù × Ð Ý ¸ Ø Ó Ü Ñ Ô Ð ¿ º º ¸ Rn δ(x)dx = 1

Ó Û Ú Ö

Rn

δ2(x)dx ∈ K \ KA º

¿ º º Ê Ñ Ö Ì Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ò Ö Ð Þ Ù Ò Ø Ó Ò Ñ Ø × Ø Ð × × Ð Ó Ö ¹

Ñ Ù Ð Ó Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ý Ô Ö Ø × ¸ Ò Ó Ú Ö Ð × Ò Ø Ò Ø Ö Ð ¸ Ò Ó Ó Ö Ö

Ó Ò Ø Ö Ø Ó Ò ¸ Ø º Ó Ö Ü Ñ Ô Ð ¸

U ∈ Gc(Ω) Ò

V ∈ G(Ω)¸ Ø Ò Ó Ö Ð Ð

α ∈ Nn0

Û Ú Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ý Ô Ö Ø × Ó Ö Ñ Ù Ð

(1) Ω(∂ αU ) · V = (−1)|α| Ω U · (∂ αV ) Ò

K .

Á

U ∈ G(Ω)

ψ ∈ D(Ω)Ó Ö

U ∈ Gc(Ω)

ψ ∈ C ∞(Ω)¸ Ø Ò

U · ψ ∈ Gc(Ω)¸ Ò Ò

Ú Û Ó ¿ º ¿ º ´ ½ µ ¸ Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ò Ø Ö Ð × Û Ð Ð Ò

(2)

Ω

V · ψ =

× Ù Ô Ô ψ

V · ψ ∈ K ,

Û Ö Ø Ó Ø

· Ò Ó Ø × Ø Ô Ö Ó Ù Ø Ò

G(Og)º

¾

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 29/36

¿ º º È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò ´ ½ µ Á

f ∈ C (Ω)Ó Ò

f ∈ L1

Ð Ó

(Ω) Ò

ϕ ∈ D(Ω)¸ Ø Ò

Ω

(f ) · ψ = Ω

f ψ Ò K ,

Û Ö Ø Õ Ù Ð Ø Ý × Ù Ò Ö × Ø Ó Ó Ò Ø × Ò × Ó Ø Ó Ò Ú Ö × Ó Ò Ò × Ø Ó Ò ¿ º ¾ º Ò

Ò Ð Ó Ó Ù × × × Ö Ø Ó Ò Ó Ð × Ó Ö f ∈ C c(Ω) Ò ψ ∈ C ∞(Ω)

º

´ ¾ µ Á

f ∈ C c(Ω)¸ Ø Ò

Ω

(f ) = Ω

f Ò

Kº Ì × Ñ Õ Ù Ð Ø Ý Ó Ð × Ó Ö Ù Ò Ø Ó Ò ×

f ∈ L1(Ω)Û Ø Ó Ñ Ô Ø × Ù Ô Ô Ó Ö Ø º

È Ö Ó Ó Ç Ñ Ø º 2

¾

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 30/36

Ô Ø Ö

Ì Ë Ô Ó Ë Û Ö Ø Þ × Ø Ö Ù Ø Ó Ò

º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò

Á Ò Ø × Ô Ø Ö Ä º Ë Û Ö Ø Þ ³ × Ð Ò Ö × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ø Ó Ö Ý × × Ø Ù × Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ó Ò

Ó Â º º Ó Ð Ó Ñ Ù ³ × Ò Ó Ò Ð Ò Ö Ø Ó Ö Ý Ó Ò Ö Ð Þ Ù Ò Ø Ó Ò × º × Ø Ö Ù Ø Ó Ò ×

Ò × Ò Ö Ð Þ Ù Ò Ø Ó Ò Û Ð Ó Ð Ð Ý ´ Ó Ò Ú Ö Ý Ö Ð Ø Ú Ð Ý Ó Ñ Ô Ø Ó Ô Ò

× Ù × Ø × µ × Ô Ö Ø Ð Ö Ú Ø Ú Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ù Ò Ø Ó Ò × º Á Ø × Ó Ù Ð Ò Ó Ø Ø Ø

Ø × Ó Ò Ô Ø Ó × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × × Ü Ø Ð Ý Ø Ó Ò Ù × Ò Ø Ð × × Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò

Ø Ó Ö Ý º

º ¾ Ë Û Ö Ø Þ × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ò Ø Ë Ò × Ó Ó Ð Ó Ñ Ù

Ï Ú Ð Ö Ý Ô Ö Ó Ú Ø Ø

C ∞(Ω) ⊆ C (Ω) ⊆ G(Ω).

Ë Ò Ø Ð Ö

G(Ω) × Ò Ú Ö Ò Ø Ù Ò Ö Ô Ö Ø Ð Ö Ú Ø Ú × Ò × Ò Ô Ö Ø Ð

Ö Ú Ø Ú × Ò

G(Ω)

Ü Ø Ð Ý Ò Ö Ð Þ Ô Ö Ø Ð Ö Ú Ø Ú × Ò

C k(Ω) Ø × Ò Ø Ù Ö Ð

Ø Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ò Ð Ñ Ò Ø Ó G(Ω) Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Û Ý º

º ¾ º ½ Ò Ø Ó Ò Ò Ð Ñ Ò Ø

T ∈ G(Ω) × × Ø Ó × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ò Ò Ó Ô Ò

× Ø

Ω ⊆ Rn

∀K ⊆⊆ Ω

∃f ∈ C (Ω) Ò

∃α ∈ Nn0 × Ù Ø Ø

½ º

T |K o = (∂ α (f )) |K o = ∂ α j (f |K o) Ò

G(Ω)

Û Ö Û Ú Ù × Ø Ñ Ò ¾ º º ¾ º ´ ¾ µ Ò Ø Ö × Ø Ö Ø Ó Ò Ô Ö Ó Ô Ö Ø × ¾ º º ½ ¿ ´ ½ µ º

º ¾ º ¾ Æ Ó Ø Ø Ó Ò Ò Ê Ñ Ö Ì × Ø Ó Ð Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò

Ω × Ò Ó Ø Ý

D′(Ω) Ò Ò

¾

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 31/36

½ º

D′(Ω) = T ∈ G(Ω) : ∀K ⊆⊆ Ω, ∃f ∈ C c(Ω), ∃α ∈ Nno × Ù Ø Ø

T = ∂ α (f )Ó Ò

K o

Æ Ó Ø Ø Ø K, f, α Ö × Ò Ò Ø Ó Ò º ¾ º ½ K 1 ⊆⊆ Ω

× × Ù Ø Ø K ⊆ Ò Ø

K 1 = K o1 Ò

ζ ∈ D(K o1) × × Ù Ø Ø

ζ = 1Ó Ò

K Ò Û × Ø

f 1 = ζf ´ × Ó Ø Ø

f 1 = 0Ó Ò

Rn K o1 µ Ø Ò Û Ú

f 1 ∈ C c(K o1) ∈ C c(Ω)

f i|oK

f |oK µ Ò

Gº

Ì Ù × Ø Ù Ò Ø Ó Ò

f Ò Ò Ø Ó Ò º ¾ º ½ × Ò Ó Ø Ù Ò Õ Ù Ð Ý Ø Ö Ñ Ò Ò ´ Û ×

Ú Ö Ý Ó Ò Ú Ò Ò Ø µ Ø Ò Ó × Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ð Ø Ð Ý × Ù Ô Ô Ó Ö Ø Ó Ò Ò Ý Ó Ñ Ô Ø

× Ø

K 1 ⊆ ΩÛ Ó Ò Ø Ò ×

K Ò Ø × Ò Ø Ö Ó Ö º

º ¾ º ¿ Ü Ñ Ô Ð Ó Ö

x ∈ R¸ × Ø

× Ò

x = x|x|

x

= 0

0 x = 0

Ò × Ø

x+ = max(0, x) = x+|x|2

Ò

H (x) =× Ò

+x := (× Ò

x)+.

Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö ×

H (x) =

0 , x ≤ 01 , x > 0

Ì Ù Ò Ø Ó Ò

H × Ð Ð À Ú × Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ò

R´ Ø Ú Ð Ù

H (0) Ò Ó Ò ¹

× Ö Ø Ó Ù Ò Ø Ö Ñ Ò µ º Á Ò Ø Ú Û Ó Ñ Ò ¾ º ¿ º ´ ¿ µ Ò ¾ º ¿ º ´ ½ µ ¸ Ó Ö

Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú × Ó Ø × Ù Ò Ø Ó Ò × Ò Ø Ð Ö G(Ω)¸ Û Ú

U H (ϕ, x) = (H ∗ ϕ)(x) =

∞0

ϕ(λ − x) dλ ,

ϕ ∈ Ao x ∈ Rº

U x+(ϕ, x) = (x+ ∗ ϕ)(x) =

∞0

λϕ(λ − x)

λ

xU x+(ϕ, x) =

x

∞0

λϕ(λ − x)

λ

= − ∞0

λϕ′(λ − x) λ

= [−λϕ(λ − x)]∞0 +

∞0

ϕ(λ − x)

λ

=

∞0

ϕ(λ − x)

λ

= U H (ϕ, x)

À Ò

xU x+ = U H ,

¾

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 32/36

Ø Ø ×

x

x+ = U H

Ò Ò

(H ) =

x (x+)

Ò

G(Ω)

Ó Ö × Ø Ø ¸

H =

xx+ Ò

G(Ω).

Ì Ù ×

H ∈ D′(R)º Ö Ò Ø Ø Ò Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú Ó

H Û Ó Ø Ò

2

Ü

2U x+(ϕ, x) =

Ü

U H (ϕ, x)

= − ∞0

ϕ′(λ − x)

λ

= ϕ(−x)

= U δ(ϕ, x).

Ì Ö Ó Ö ¸

U

2

Ü

2 x+(ϕ, x) = U

Ü

H (ϕ, x) = U δ(ϕ, x).

Ì Ù ×

δ =

Ü H =

2

Ü

2x+ ∈ D′

R.

Ì Ò Ö Ð Þ Ù Ò Ø Ó Ò

δ ∈ G(R)Û Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú

U δ × Ð Ð Ø Ö

δ Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ö ´ Ö

δ × Ø Ö Ù Ø Ó Ò µ Ó Ò

Rº Ë Ô Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò ¾ º ¿ º ½ × Ø Ô ´ ½ µ Ò

Ü Ñ Ô Ð ¾ º º ½ º µ

º ¾ º Ü Ñ Ô Ð Æ Ó Û Û Ü Ø Ò Ü Ñ Ô Ð º ¾ º ¿ Ø Ó Ø ×

Rnº Ó Ö

x =(x1, · · · , xn) ∈ Rn

¸ Û × Ø

x+ = (x1)+· · ·

(xn)+

Ò

H n(x) = H ⊗n(x) = H (x1) · · · H (xn).

Á

U x+ Ò

U H n Ö Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú Ó

x+ Ò

H n Ò Ø Ð Ö

G(Rn)Ø Ò Ý Ò Ø ¹

Ö Ø Ó Ò Ý Ô Ö Ø × ¸ Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ö Ó Ñ ¾ º ¿ º ´ ½ µ Ø Ø

ϕ ∈ A(Rn)

x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn

¿ ¼

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 33/36

Ò

λ = (λ1, · · · , λn)¸ Ø Ò

∂ x1 · ∂ xnux+(ϕ, x) = ∂ x1 · ∂ xn Rn

λ+ϕ(λ − x)dλ

= ∂ x1 · ∂ xn

∞0

· · · ∞0

λ1 · · · λnϕ(λ1 − x1, · · · , λn − xn)dλ1 · · · dλn

= (−1)n

∞0

· · · ∞0

λ1 · · · λn (∂ λ1 · · · ∂ λn) (λ1 − x1, · · · , λn − xn)dλ1 · · · dλn

=

∞0

· · · ∞0

ϕ(λ − x)dλ´ Ý Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ý Ô Ö Ø × µ

=

RnH n(λ)ϕ(λ − x)dλ

= uH n(ϕ, x)

Ì Ù × ¸

H n = ∂ x1 · · · ∂ xnx+ Ò

G(Rn)× Ó Ø Ø

H n ∈ D′(Rn)º Ö Ò Ø Ø Ò Ø

Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú Ó

H n ¸ Û Ó Ø Ò

∂ 2x1 · · · ∂ 2xnux+(ϕ, x) = ∂ x1 · · · ∂ xnuH n(ϕ, x) = ϕ(−x) = uδ(ϕ, x) .

Ì Ù × Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø

δ = ∂ 2x1 · · · ∂ 2xnx+ ∈ G(Rn)º À Ò Ø Ö

δ Ù Ò Ø Ó Ò

δ ∈G(Rn)

¸ Û × Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú

uδ(ϕ, x) = ϕ(x)Û Ø

(ϕ, x) ∈ A0(Rn) × Rn

× × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ò

Rn´ Ò Ø × Ò × Ó Ó Ð Ó Ñ Ù µ º

2

º ¾ º Ì Ó Ö Ñ ´ ½ µ

D′(Ω) × Ð Ò Ö × Ô ´ Ó Ú Ö Ø Ð

Kµ ¸ Ù Ø Ò Ó Ø Ò Ð Ö º

´ ¾ µ

∂ β D′(Ω) ⊆ D′(Ω) ∀ β ∈ Nn0 º

È Ö Ó Ó Ç Ñ Ø º 2

º ¾ º Æ Ó Ø Ø Ó Ò Ò Ê Ñ Ö ×

º ¾ º Ì Ó Ö Ñ

º ¾ º Ê Ñ Ö

º ¾ º Ü Ñ Ô Ð

¿ ½

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 34/36

º ¾ º ½ ¼ Ü Ñ Ô Ð

º ¿ Ì Ð × × Ð È Ö × Ò Ø Ø Ó Ò Ó × Ø Ö Ù Ø Ó Ò

º ¿ º ½ Ò Ø Ó Ò

º ¿ º ¾ Ì Ó Ö Ñ

º ¿ º ¿ Ì Ó Ö Ñ

º ¿ º Ê Ñ Ö

º ¿ º Ó Ö Ó Ð Ð Ö Ý

º ¿ º Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ò Ü Ø Ò × Ó Ò ×

º ¿ º Ò Ø Ó Ò

º ¿ º ¾ Á Ñ Ò Ó

D′(Ω)Û Ø Ë Û Ö Ø Þ ³ × × Ô Ó × Ø Ö Ù Ø Ó Ò ×

º Ì × × Ó Ø Ó Ò Ê Ð Ø Ó Ò Ò G(Ω) º º ½ Ò Ø Ó Ò

º º ¾ È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò

¿ ¾

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 35/36

º º ¿ Ò Ø Ó Ò

º º È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò

¿ ¿

8/3/2019 NonLinearF

http://slidepdf.com/reader/full/nonlinearf 36/36

Ð Ó Ö Ô Ý

½ Ú Ò Ö Ö Ñ Ò Å Ó Ö Ò Ò Ð Ý × × ¸ Ó Ú Ö È Ù Ð Ø Ó Ò × ¸ Á Ò ¸ Æ Û Ó Ö ¸ ½ ¾ º

¾ Ê Ë Ó Û Ð Ø Ö À Ð Ö Ø Ë Ô Å Ø Ó × Ó Ö È Ö Ø Ð Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò ×

È Ø Ñ Ò È Ù Ð × Ò Ä Ñ Ø ¸ Ä Ó Ò Ó Ò ¸ ½ º

¿ Ó × ¸ Ã º Ù Ò Ø Ó Ò Ð Ò Ð Ý × × ¸ Ø º Ë Ô Ö Ò Ö ¹ Î Ö Ð ¸ Ö Ð Ò À Ð Ö

Æ Û Ó Ö ¸ ½ ¼ º

Ù Ò Ó Ö ¸ Æ Ò Ë Û Ö Ø Þ ¸ Â ¸ Ì Ä Ò Ö Ç Ô Ö Ø Ó Ö È Ö Ø Á ¸ Â Ó Ò Ï Ð Ý Ò

Ë Ó Ò × ¸ Æ Û Ó Ö ¸ ½ º

Ê º Ó Ù Ö Ò Ø Ò º À Ð Ö Ø Å Ø Ó × Ó Å Ø Ñ Ø Ð È Ý × × Á ¸ Á Á ¸ Á Ò Ø Ö ¹

× Ò ¸ ½ ¾ º