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7/28/2019 nolcos.ps
1/12
R E C E N T D E V E L O P M E N T S I N N O N L I N E A R
H
1
C O N T R O L
M a t t h e w R . J A M E S
P a p e r p r e s e n t e d a t I F A C N O L C O S , L a k e T a h o e , J u n e 1 9 9 5 .
R e s e a r c h s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e C o o p e r a t i v e R e s e a r c h C e n t r e f o r R o b u s t a n d A d a p t i v e S y s t e m s .
D e p a r t m e n t o f E n g i n e e r i n g , F a c u l t y o f E n g i n e e r i n g a n d I n f o r m a t i o n T e c h n o l o g y , A u s t r a l i a n
N a t i o n a l U n i v e r s i t y , C a n b e r r a A C T 0 2 0 0 , A u s t r a l i a .
A b s t r a c t . T h e l a s t f e w y e a r s h a v e s e e n a n u m b e r o f e x c i t i n g d e v e l o p m e n t s i n t h e a r e a k n o w n a s
n o n l i n e a r H
1
c o n t r o l . T h e a i m o f w o r k i n t h i s a r e a i s t o d e s i g n r o b u s t c o n t r o l l e r s f o r n o n l i n e a r
s y s t e m s u s i n g g e n e r a l i z a t i o n s o f t h e h i g h l y s u c c e s s f u l H
1
m e t h o d s u s e d i n l i n e a r s y s t e m s t h e o r y .
I n t h i s p a p e r w e g i v e a n o v e r v i e w o f t h e p r o b l e m s a n d m e t h o d s o f n o n l i n e a r H
1
c o n t r o l , i n c l u d i n g
t h e H
1
n o r m ( L
2
g a i n ) , s t a b i l i t y , i n f o r m a t i o n s t a t e m e t h o d s , a n d f a c t o r i z a t i o n . T h e d e v e l o p m e n t
o f t h i s a r e a h a s i n v o l v e d i m p o r t a n t c o n t r i b u t i o n s f r o m a n u m b e r o f r e s e a r c h e r s u s i n g a v a r i e t y o f
t e c h n i q u e s . I n a d d i t i o n , H
1
c o n t r o l h a s s p u r r e d r e n e w e d i n t e r e s t i n s o m e t r a d i t i o n a l a r e a s s u c h a s
d i e r e n t i a l g a m e s , d i s s i p a t i v e s y s t e m s , a n d s t o c h a s t i c ( r i s k - s e n s i t i v e ) c o n t r o l .
K e y W o r d s . N o n l i n e a r c o n t r o l s y s t e m s , r o b u s t H
1
c o n t r o l , r i s k - s e n s i t i v e s t o c h a s t i c c o n t r o l , d i f -
f e r e n t i a l g a m e s , d i s s i p a t i v e s y s t e m s .
1 . I N T R O D U C T I O N
C o n s i d e r t h e c l o s e d l o o p s y s t e m ( G ; K ) : w ! z
d e p i c t e d i n t h e f o l l o w i n g d i a g r a m .
G
K
w z
u
y
H e r e , G i s t h e p l a n t t o b e c o n t r o l l e d , K i s t h e
c o n t r o l l e r , w i s a d i s t u r b a n c e i n p u t , u i s t h e c o n -
t r o l l e d i n p u t , z i s a p e r f o r m a n c e o u t p u t a n d y i s
t h e o b s e r v e d o r m e a s u r e d o u t p u t s .
T h e b a s i c p r o b l e m o f H
1
c o n t r o l i s t h e f o l l o w i n g .
G i v e n a p l a n t G n d a c o n t r o l l e r K s u c h t h a t t h e
c l o s e d l o o p s y s t e m ( G ; K ) i s
( i ) i n t e r n a l l y s t a b l e , a n d
( i i ) - d i s s i p a t i v e , i . e . ,
1
2
Z
T
0
j z ( s ) j
2
d s
2
1
2
Z
T
0
j w ( s ) j
2
d s + ( x
0
)
f o r a l l w 2 L
2 T
a n d a l l T 0
( 1 . 1 )
f o r s o m e ( x ) 0 w i t h ( 0 ) = 0 ( t h e f u n c t i o n
d e p e n d s o n K , a n d i s a b i a s t e r m a c c o u n t -
i n g f o r t h e i n i t i a l s t a t e s x
0
o f G )
T h e H
1
p r o b l e m o r i g i n a t e d i n t h e w o r k o f
( Z a m e s , 1 9 8 1 ) o n r o b u s t c o n t r o l , w h i c h f o c u s e d
o n f r e q u e n c y d o m a i n i d e a s ( t h i s i s w h e r e t h e H
1
t e r m i n o l o g y c o m e s f r o m ) . T h i s w o r k s p a r k e d a l o t
o f i n t e r e s t , a n d e v e n t u a l l y a n e l e g a n t a n d f u n d a -
m e n t a l l y i m p o r t a n t s t a t e s p a c e s o l u t i o n w a s o b -
t a i n e d b y ( D o y l e e t a l , 1 9 8 9 ) . L e t u s r e c a l l t h e
s o l u t i o n t o a p a r t i c u l a r l i n e a r H
1
p r o b l e m , s e e
( P e t e r s e n e t a l , 1 9 9 1 ) , ( G r e e n & L i m e b e e r , 1 9 9 4 ) .
T h e p l a n t G i s d e s c r i b e d b y t h e m o d e l
G :
_x = A x + B
1
w + B
2
u
z = C
1
x + u
y = C
2
x + w
( 1 . 2 )
U n d e r s t a n d a r d a s s u m p t i o n s , t h e H
1
c o n t r o l
p r o b l e m f o r G i s s o l v a b l e i f a n d o n l y i f
( i ) t h e r e e x i s t s X 0 s o l v i n g
( A B
2
C
1
)
0
X + X ( A B
2
C
1
)
+ X (
1
2
B
1
B
0
1
B
2
B
0
2
) X = 0
( 1 . 3 )
w i t h A B
2
C
1
+ (
1
2
B
1
B
0
1
B
2
B
0
2
) X s t a b l e ,
( i i ) t h e r e e x i s t s Y 0 s o l v i n g
( A B
1
C
2
) Y + Y ( A B
1
C
2
)
0
+ Y (
1
2
C
0
1
C
1
C
0
2
C
2
) Y = 0
( 1 . 4 )
-
7/28/2019 nolcos.ps
2/12
w i t h A B
1
C
2
+ Y (
1
2
C
0
1
C
1
C
0
2
C
2
) s t a b l e ,
a n d
( i i i ) X Y <
2
I
T h e ( c e n t r a l ) c o n t r o l l e r i s g i v e n b y
_
x = ( A B
1
C
2
+ Y (
1
2
C
0
1
C
1
C
0
2
C
2
) ) x +
( B
1
+ Y C
0
2
) y + ( B
2
+
1
2
Y C
0
1
) u
u = ( C
1
+ ( B
2
+
1
2
Y C
1
)
0
X ( 1
1
2
Y X )
1
) x
I n t h i s p a p e r w e a r e i n t e r e s t e d i n t h e H
1
p r o b -
l e m f o r n o n l i n e a r s y s t e m s , a p r o b l e m w h i c h h a s
a t t r a c t e d m u c h i n t e r e s t i n r e c e n t y e a r s , a n d i t i s
o u r p u r p o s e t o r e v i e w s o m e o f t h e m a i n d e v e l o p -
m e n t s . F o r i l l u s t r a t i o n , w e c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g
p a r t i c u l a r n o n l i n e a r s y s t e m :
G :
_x = A ( x ) + B
1
( x ) w + B
2
( x ) u
z = C
1
( x ) + u
y = C
2
( x ) + w
( 1 . 5 )
W e a s s u m e A ( 0 ) = 0 , C
1
( 0 ) = 0 , C
2
( 0 ) = 0 . T h e
c o n t r o l l e r K i s a c a u s a l m a p
K : y ! u ; ( 1 . 6 )
t h e s t r u c t u r e o f w h i c h i s i n g e n e r a l u n s p e c i e d .
T h e k e y t a s k i s t o o b t a i n n e c e s s a r y a n d s u c i e n t
c o n d i t i o n s f r o m a p p r o p r i a t e n o n l i n e a r g e n e r a l i z a -
t i o n s o f t h e R i c c a t i e q u a t i o n s ( 1 . 3 ) , ( 1 . 4 ) . A s w e
s h a l l s e e , t h e s e i n v o l v e p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a -
t i o n s a n d i n e q u a l i t i e s ( e v e n i n n i t e d i m e n s i o n a l
o n e s ) .
A n i n t e r e s t i n g a n d i m p o r t a n t f e a t u r e o f t h e H
1
p r o b l e m i s t h a t i t h a s c l o s e c o n n e c t i o n s w i t h d i f -
f e r e n t i a l g a m e s , r i s k - s e n s i t i v e s t o c h a s t i c c o n t r o l ,
a n d d i s s i p a t i v e s y s t e m s , a n d a s a c o n s e q u e n c e
t h e s e s u b j e c t s h a v e e n j o y e d r e n e w e d i n t e r e s t . I n -
d e e d , t h e y h a v e a l o t t o c o n t r i b u t e t o t h e u n d e r -
s t a n d i n g o f r o b u s t c o n t r o l .
W e b e g i n i n x 2 w i t h a d i s c u s s i o n o f t h e H
1
n o r m
a n d d i s s i p a t i v e s y s t e m s , a n d p r e s e n t s o m e o f t h e
m a i n p a r t i a l d i e r e n t i a l i n e q u a l i t i e s a n d e q u a -
t i o n s . I n x 3 w e d e s c r i b e t h e r i s k - s e n s i t i v e i n d e x
a n d i t s r e l a t i o n s h i p t o t h e H
1
a n d H
2
n o r m s .
T h e s t a t e f e e d b a c k H
1
c o n t r o l p r o b l e m i s d i s -
c u s s e d i n x 4 , w h i l e t h e o u t p u t f e e d b a c k p r o b l e m
i s t r e a t e d i n x 5 . T h i s p a p e r i s w r i t t e n i n a h e u r i s -
t i c , t u t o r i a l s t y l e , a n d m a t h e m a t i c a l t e c h n i c a l i t i e s
a r e k e p t t o a m i n i m u m . A l s o , w e c o n n e o u r a t -
t e n t i o n t o t h e s o - c a l l e d o n e b l o c k p r o b l e m . F o r
f u l l d e t a i l s , r e a d e r s s h o u l d c o n s u l t t h e r e f e r e n c e s .
T h e b o o k ( B a s a r & B e r n h a r d , 1 9 9 1 ) p r e s e n t s t h e
g a m e t h e o r e t i c a p p r o a c h i n d e t a i l , w h i l e t h e b o o k
( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 6 ) c o v e r s a n u m b e r o f a s p e c t s
o f t h e t h e o r y ; a n d t h e f o r t h c o m i n g b o o k ( H e l t o n
& J a m e s , 1 9 9 7 ) p r e s e n t s t h e i n f o r m a t i o n s t a t e a p -
p r o a c h i n d e t a i l .
2 . T H E H
1
N O R M
C o n s i d e r a n o n l i n e a r s y s t e m w i t h i n p u t w a n d
o u t p u t z :
_x = f ( x ) + g ( x ) w
z = h ( x )
( 2 . 1 )
W e a s s u m e t h a t f ( 0 ) = 0 a n d h ( 0 ) = 0 .
O n e m e a s u r e o f t h e s i z e o f , i . e . , o f t h e a m o u n t
o f i n u e n c e o f w o n z , i s t h e \ H
1
n o r m " , o r m o r e
p r o p e r l y , t h e L
2
g a i n . B y d e n i t i o n , l e t u s s a y
t h a t k k
H
1
i f a n d o n l y i f w e h a v e
1
2
Z
T
0
j z ( t ) j
2
d t
2
1
2
Z
T
0
j w ( t ) j
2
d t + ( x
0
) ( 2 . 2 )
f o r a l l w 2 L
2 T
, T 0 , f o r s o m e 0 , ( 0 ) =
0 . H e r e , L
2 T
i s t h e s p a c e o f s q u a r e i n t e g r a b l e
f u n c t i o n s o n 0 ; T ] . T h e n k k
H
1
i s t h e s m a l l e s t
n u m b e r f o r w h i c h k k
H
1
T h e p r o p e r t y ( 2 . 2 ) ( a g e n e r a l i z a t i o n o f a t i m e d o -
m a i n a n a l o g o f t h e f r e q u e n c y d o m a i n d e n i t i o n o f
H
1
n o r m f o r l i n e a r s y s t e m s ) c a n b e t r e a t e d e -
c i e n t l y w i t h t h e t h e o r y o f d i s s i p a t i v e s y s t e m s , s e e
( W i l l e m s , 1 9 7 2 ) , ( H i l l & M o y l a n , 1 9 7 6 ) . I n d e e d ,
w e s a y t h a t i s - d i s s i p a t i v e ( w i t h r e s p e c t t o t h e
s u p p l y r a t e
2
j w j
2
j z j
2
) i t h e r e e x i s t s a n o n -
n e g a t i v e f u n c t i o n V ( x ) ( c a l l e d a s t o r a g e f u n c t i o n )
s u c h t h a t V ( 0 ) = 0 a n d
V ( x ) s u p
T 0 w 2 L
2 T
f V ( x ( T ) )
1
2
R
T
0
2
w ( r )
2
z ( r )
2
] d r : x ( 0 ) = x g
( 2 . 3 )
N o w k k
H
1
i i s - d i s s i p a t i v e . T o s e e
t h i s , i f k k
H
1
t h e n d e n e ( t h e a v a i l a b l e
s t o r a g e )
V
a
( x ) = s u p
T 0 w 2 L
2 T
f
R
T
0
2
w ( r )
2
z ( r )
2
] d r : x ( 0 ) = x g
( 2 . 4 )
I n v i e w o f ( 2 . 2 ) a n d t h e d e n i t i o n , i t f o l l o w s
t h a t 0 V
a
( x ) ( x ) , V
a
( 0 ) = 0 , a n d b y d y -
n a m i c p r o g r a m m i n g , V
a
s a t i s e s ( 2 . 3 ) ; h e n c e
i s - d i s s i p a t i v e . C o n v e r s e l y , i f i s - d i s s i p a t i v e ,
t h e n ( 2 . 3 ) i m p l i e s ( 2 . 2 ) w i t h = V
S t o r a g e f u n c t i o n s c a n b e c h a r a c t e r i z e d b y a P D I
( a n i n n i t e s i m a l v e r s i o n o f ( 2 . 3 ) ) , s e e ( W i l l e m s ,
-
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3/12
1 9 7 2 ) , ( H i l l & M o y l a n , 1 9 7 6 ) , ( J a m e s , 1 9 9 3 ) :
s u p
w
f r
x
V ( f ( x ) + g ( x ) w )
1
2
2
j w j
2
j h ( x ) j
2
] g 0
( 2 . 5 )
A v e r s i o n o f t h e B o u n d e d R e a l L e m m a t h e n s a y s
t h a t i s - d i s s i p a t i v e i k k
H
1
i t h e r e
e x i s t s a n o n - n e g a t i v e s o l u t i o n V ( x ) o f ( 2 . 5 ) w i t h
V ( 0 ) = 0 . I n g e n e r a l , V n e e d n o t b e g l o b a l l y
d i e r e n t i a b l e , b u t ( 2 . 5 ) c a n b e i n t e r p r e t e d i n t h e
v i s c o s i t y s e n s e , s e e ( J a m e s , 1 9 9 3 ) , ( B a l l & H e l t o n ,
1 9 9 3 ) , ( S o r a v i a , 1 9 9 4 ) , ( F l e m i n g & S o n e r , 1 9 9 3 ) .
T h e u t i l i t y o f t h e P D I ( 2 . 5 ) i s t h a t i t c a n b e
u s e d t o d e t e r m i n e o r c o m p u t e s t o r a g e f u n c t i o n s
V , a n d t h e r e b y e v a l u a t e t h e H
1
n o r m o f a s y s -
t e m . I n d e e d , i f t h e P D I ( 2 . 5 ) i s s o l v a b l e , t h e n
k k
H
1
; c o n v e r s e l y , i f t h e P D I i s n o t s o l v -
a b l e , t h e n k k
H
1
> . T h i s l e a d s t o t h e w e l l
k n o w n i t e r a t i v e s e a r c h f o r
= k k
H
1
I n g e n e r a l , ( 2 . 5 ) c a n n o t b e s o l v e d e x p l i c i t l y , a n d s o
o n e i s f o r c e d t o u s e a p p r o x i m a t i o n s , s e e ( J a m e s &
Y u l i a r , 1 9 9 5 ) . T h e n i t e d i e r e n c e d i s c r e t i z a t i o n
s u p
w
f
P
x
0
p
( x ; x
0
; w ) V
( x
0
)
t ( x ) (
2
j w j
2
j h ( x ) j
2
) g V
( x )
i s a n a p p r o x i m a t i o n t o ( 2 . 5 ) a s t h e d i s c r e t i z a -
t i o n p a r a m e t e r ! 0 ( f o r s u i t a b l e p
( x ; x
0
; w ) ,
t ( x ) ; s e e ( J a m e s & Y u l i a r , 1 9 9 5 ) ) . F o r e x a m p l e ,
c o n s i d e r t h e o n e d i m e n s i o n a l l i n e a r s y s t e m , w i t h
t r a n s f e r f u n c t i o n ( s ) = 1 = ( s + 0 5 ) , a n d m i n i m a l
r e a l i z a t i o n
_x = 0 5 x + u
y = x
N o w k k
1
= 2 , a n d t h e n u m e r i c a l s c h e m e c o n -
v e r g e s f o r > 2 a n d d i v e r g e s f o r 0 i f x 6= 0 a n d i s l o c a l l y a s y m p t o t -
i c a l l y s t a b l e ; a n d i f a l s o V h a s c o m p a c t l e v e l s e t s
( p r o p e r ) , t h e n i s g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e .
T h i s i s b e c a u s e t h e P D I ( 2 . 5 ) i m p l i e s t h a t
d
d t
V ( x ( t ) ) = r
x
V ( x ( t ) ) f ( x ( t ) )
1
2
j h ( x ( t ) ) j
2
0
G e o m e t r i c a l i n t e r p r e t a t i o n . A n i n t e r e s t i n g
g e o m e t r i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f t h e P D I ( 2 . 5 ) i s
g i v e n i n ( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 1 ) , ( v a n d e r S c h a f t ,
1 9 9 2 ) , ( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 3 ) , ( v a n d e r S c h a f t ,
1 9 9 6 ) , w h i c h , t o g e t h e r w i t h t h e l o c a l l i n e a r i z a -
t i o n o f a t x = 0 ,
l i n
= ( A ; B ; C ) =
(
d f
d x
( 0 ) ;
d g
d x
( 0 ) ;
d h
d x
( 0 ) ) , c a n b e u s e d t o p r o v e l o c a l
r e s u l t s . I n p a r t i c u l a r , s t o r a g e f u n c t i o n s c a n b e
p r o d u c e d w h i c h a r e s m o o t h a t l e a s t i n a n e i g h -
b o r h o o d o f x = 0
T h e H a m i l t o n i a n a s s o c i a t e d w i t h t h e P D I ( 2 . 5 ) i s
H
( x ; )
= s u p
w
f f ( x ) + g ( x ) w )
1
2
2
j w j
2
j h ( x ) j
2
] g
= f ( x ) +
1
2
2
g ( x ) g ( x )
0
0
+
1
2
h ( x )
0
h ( x ) ;
a n d t h e c o r r e s p o n d i n g H a m i l t o n i a n v e c t o r e l d
X
H
i s g i v e n b y t h e e q u a t i o n s
_x =
@
@
H
( x ; )
_
=
@
@ x
H
( x ; )
( 2 . 7 )
( T h e s e a r e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s f o r ( 2 . 5 ) . )
X
H
i s c a l l e d h y p e r b o l i c i t h e J a c o b i a n
D X
( 0 ; 0 ) =
"
@
2
@ x @
H
( 0 ; 0 )
@
2
@
2
H
( 0 ; 0 )
@
2
@ x
2
H
( 0 ; 0 )
@
2
@ @ x
H
( 0 ; 0 )
#
=
A
1
2
B B
0
C
0
C A
0
h a s n o p u r e l y i m a g i n a r y e i g e n v a l u e s . N o w i f X
H
i s h y p e r b o l i c , t h e r e e x i s t s ( a t l e a s t l o c a l l y ) a s t a b l e
i n v a r i a n t s u b m a n i f o l d N
t h r o u g h ( 0 ; 0 ) c o n s i s t -
i n g o f t r a j e c t o r i e s o f X
H
a t t r a c t e d t o ( 0 ; 0 ) . I t
t u r n s o u t t h a t i f A i s a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e a n d
X
H
i s h y p e r b o l i c , t h e n t h e r e e x i s t s a n e i g h b o r -
h o o d U o f x = 0 a n d a s m o o t h n o n - n e g a t i v e f u n c -
-
7/28/2019 nolcos.ps
4/12
t i o n V
( x ) s o l v i n g t h e P D E
H
( x ; r
x
V ) = 0 ( 2 . 8 )
( i . e . t h e P D I ( 2 . 5 ) w i t h e q u a l i t y ) i n U w i t h
V
( 0 ) = 0 , f +
1
2
g g
0
( r
x
V
)
0
a s y m p t o t i c a l l y s t a -
b l e i n U , a n d t h a t l o c a l l y N
i s d e t e r m i n e d b y
V
:
N
= f ( x ; ) : = r
x
V
( x ) ; x 2 U g ( 2 . 9 )
A l s o , V
e q u a l s t h e a v a i l a b l e s t o r a g e V
a
i n U ,
u n d e r a p p r o p r i a t e s t a b i l i t y a s s u m p t i o n s .
T h e s e r e s u l t s d e p e n d o n t h e c o r r e s p o n d i n g r e s u l t s
f o r t h e l i n e a r s y s t e m
l i n
r e l a t i n g t o t h e e x i s t e n c e
o f a s o l u t i o n X 0 o f ( 2 . 6 ) w i t h e q u a l i t y a n d
A +
1
2
B B
0
X a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e .
I f k k
H
1
, t h e n k
l i n
k
H
1
. C o n v e r s e l y ,
i f k
l i n
k
H
1
, t h e n ( 2 . 2 ) h o l d s f o r a l l w f o r
w h i c h t h e c o r r e s p o n d i n g t r a j e c t o r y s t a y s n e a r x =
0 . F o r f u r t h e r d e t a i l s , s e e ( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 1 ) ,
( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 2 ) , ( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 3 ) .
S u m m a r i z i n g , w e s e e t h a t w h i l e s t o r a g e f u n c t i o n s
n e e d n o t b e s m o o t h g l o b a l l y , t h e r e o f t e n e x i s t s t o r -
a g e f u n c t i o n s w h i c h a r e s m o o t h l o c a l l y a n d c a n
b e u s e d t o s t u d y t h e l o c a l H
1
b e h a v i o r , a n d t h i s
i s t i e d t o a n e x p l i c i t g e o m e t r i c a l s t r u c t u r e o f a
H a m i l t o n i a n s y s t e m . T o m a k e g l o b a l s t a t e m e n t s
r e g a r d i n g s t o r a g e f u n c t i o n s a n d t h e P D I ( 2 . 5 ) , o n e
c a n a p p e a l t o t h e t h e o r y o f v i s c o s i t y s o l u t i o n s
w h i c h d o e s n o t r e q u i r e s m o o t h n e s s . O f c o u r s e ,
m u c h s t r o n g e r r e s u l t s a r e a v a i l a b l e w h e n t h e s t o r -
a g e f u n c t i o n s a r e i n f a c t g l o b a l l y s m o o t h , a s i n t h e
l i n e a r c a s e .
W e w i l l s e e g e n e r a l i z a t i o n s a n d v a r i a n t s o f t h e
P D I ( 2 . 5 ) a n d t h e c o r r e s p o n d i n g P D E ( 2 . 8 ) i n t h e
s e q u e l | t h e y a r e t h e k e y m a t h e m a t i c a l e q u a t i o n s
n e e d e d f o r H
1
c o n t r o l .
3 . T H E R I S K - S E N S I T I V E I N D E X
T h e p a p e r ( J a c o b s o n , 1 9 7 3 ) i n t r o d u c e d a n e w
t y p e o f p e r f o r m a n c e i n d e x f o r s t o c h a s t i c o p t i m a l
c o n t r o l . T h i s i n d e x i s t h e a v e r a g e - o f - e x p o n e n t i a l
t y p e . W h e n a p a r a m e t e r m u l t i p l y i n g t h e c o s t
i n t h e e x p o n e n t i a l i s p o s i t i v e , t h i s i n d e x i s c o m -
m o n l y c a l l e d r i s k - s e n s i t i v e . J a c o b s o n s o l v e d t h i s
p r o b l e m f o r l i n e a r s y s t e m s , a n d s h o w e d t h a t t h e
s o l u t i o n a l s o s o l v e d a d e t e r m i n i s t i c d i e r e n t i a l
g a m e . L a t e r , ( G l o v e r & D o y l e , 1 9 8 8 ) e s t a b l i s h e d
a l i n k b e t w e e n r i s k - s e n s i t i v e c o n t r o l a n d H
1
c o n -
t r o l . I n t e r e s t i n g l y , r i s k - s e n s i t i v e c o n t r o l , w h i c h i s
s t o c h a s t i c , i s c l o s e l y r e l a t e d t o g a m e t h e o r y a n d
H
1
c o n t r o l , w h i c h i s d e t e r m i n i s t i c . R e c e n t l y , t h i s
r e l a t i o n s h i p h a s b e e n e x p l o r e d i n t h e n o n l i n e a r
c o n t e x t b y a n u m b e r o f a u t h o r s , a n d f u r t h e r i n -
s i g h t s h a v e b e e n o b t a i n e d ; s e e ( F l e m i n g & M c E -
n e a n e y , 1 9 9 1 ) , ( F l e m i n g & M c E n e a n e y , 1 9 9 3 ) ,
( F l e m i n g & J a m e s , 1 9 9 5 ) , ( J a m e s , 1 9 9 2 ) , ( R u n o l f -
s s o n , 1 9 9 1 ) , ( W h i t t l e , 1 9 9 0 a ) . I n p a r t i c u l a r , u s i n g
a s y m p t o t i c m e t h o d s , i t w a s s h o w n t h a t t h e r i s k -
s e n s i t i v e i n d e x i n c l u d e s b o t h H
2
a n d H
1
t e r m s .
C o n s i d e r o n c e m o r e t h e s y s t e m ( 2 . 1 ) , b u t t h i s
t i m e r e p l a c e w b y s c a l e d w h i t e n o i s e :
p
" v ( h e r e ,
" > 0 i s t h e n o i s e v a r i a n c e a n d v i s t h e f o r -
m a l d e r i v a t i v e o f a s t a n d a r d W i e n e r p r o c e s s ) .
T h e r i s k - s e n s i t i v e i n d e x f o r i s a r e a l n u m b e r
I
"
0 ( F l e m i n g & M c E n e a n e y , 1 9 9 3 ) , ( F l e m i n g
& J a m e s , 1 9 9 5 ) d e n e d b y
I
"
= l i m s u p
T ! 1
2
"
T
l o g E
x
e x p
1
2
2
"
Z
T
0
z ( t )
2
d t ] ( 3 . 1 )
T h i s i s a p a r t i c u l a r c a s e o f a l a r g e d e v i a t i o n s f o r -
m u l a , ( D o n s k e r & V a r a d h a n , 1 9 7 5 ) . T h e n u m b e r
= 1 =
2
> 0 i s c a l l e d t h e r i s k - s e n s i t i v e p a r a m e -
t e r .
A s s o c i a t e d w i t h t h i s i n d e x i s a f u n c t i o n V
"
s o l v -
i n g t h e P D E
I
"
=
"
2
t r ( g g
0
D
2
x
V
"
) + H
( x ; r
x
V
"
) ( 3 . 2 )
a n d V
"
( 0 ) = 0 . T h i s P D E a r i s e s a s f o l l o w s
( F l e m i n g & M c E n e a n e y , 1 9 9 3 ) . I f S ( x ; T ) d e n o t e s
t h e e x p e c t a t i o n i n ( 3 . 1 ) , t h e n S ( x ; T ) s a t i s e s a
p a r a b o l i c P D E b y t h e F e y n m a n - K a c f o r m u l a . I f ,
f o r l a r g e T ,
S ( x ; T ) e x p
1
2
"
( I
"
T + V
"
( x ) ) ] ; ( 3 . 3 )
t h e n o n e i s l e d t o ( 3 . 2 ) .
I n t e r e s t i n g l y , a n d i m p o r t a n t l y , t h e P D E ( 3 . 2 ) h a s
a n i n t e r p r e t a t i o n a s t h e H J B e q u a t i o n f o r a n e r -
g o d i c s t o c h a s t i c c o n t r o l p r o b l e m , g i v i n g a d i e r -
e n t i n t e r p r e t a t i o n f o r I
"
:
I
"
= s u p
w
l i m s u p
T ! 1
1
2 T
E
x
Z
T
0
( j h ( ( ( t ) ) j
2
2
j w ( t ) j ) d t ]
( 3 . 4 )
w h e r e i s t h e s o l u t i o n o f t h e a u x i l i a r y s t o c h a s t i c
d i e r e n t i a l e q u a t i o n
_
= f ( ) + g ( ) w +
p
" g ( ) v ;
w h e r e w i s t h e c o n t r o l a n d
p
" v i s t h e n o i s e .
A s m e n t i o n e d a b o v e , t h e r i s k - s e n s i t i v e i n d e x c o n -
t a i n s i n f o r m a t i o n a b o u t b o t h t h e H
1
a n d H
2
n o r m s . T h i s i s i n d i c a t e d i n t h e f o l l o w i n g d i a g r a m .
-
7/28/2019 nolcos.ps
5/12
Z
Z
Z
Z
Z~
=
" ! 0 ! 1
H
2
H
1
R S
F i x > 0 a n d s e n d " ! 0 , s o t h a t ( a t l e a s t f o r -
m a l l y ) I
"
! I
, V
"
! V
, a n d
I
= H
( x ; r
x
V
) ( 3 . 5 )
I f I
= 0 , w e e x p e c t t h a t V
w i l l b e a s t o r a g e
f u n c t i o n ( g i v e n s t a b i l i t y ) , s o t h a t w i l l b e -
d i s s i p a t i v e , a n d c o n v e r s e l y . T h u s t h e H
1
n o r m i s
d e t e r m i n e d f r o m t h e s m a l l n o i s e l i m i t o f t h e r i s k -
s e n s i t i v e i n d e x . T h e H
2
n o r m i s o b t a i n e d b y x -
i n g " > 0 a n d s e n d i n g ! 1 , s o t h a t I
"
! I
"
,
V
"
! V
"
, a n d
I
"
= l i m s u p
T ! 1
1
2 T
E
x
Z
T
0
j z ( t ) j
2
d t ]
4
= k k
H
2
( 3 . 6 )
I n t h e l i n e a r c a s e , w h e r e f ( x ) = A x , g ( x ) = B ,
a n d h ( x ) = C x , w e h a v e ( p r o v i d e d A i s s t a b l e a n d
k k
H
1
)
I
"
=
"
2
t r ( B
0
X
B ) ; V
"
( x ) =
1
2
x
0
X
x ;
w h e r e X
0 i s a s o l u t i o n o f ( 2 . 6 ) w i t h e q u a l i t y ,
a n d
I
= 0 ; V
( x ) =
1
2
x
0
X
x
A l s o ,
I
"
=
"
2
t r ( B
0
X B ) ; V
"
( x ) =
1
2
x
0
X x ;
w h e r e X 0 i s s o l u t i o n o f t h e L y a p u n o v e q u a t i o n
A
0
X + X A + C
0
C = 0
4 . S T A T E F E E D B A C K H
1
C O N T R O L
I t i s m u c h e a s i e r t o s o l v e c o n t r o l p r o b l e m s i f c o m -
p l e t e s t a t e i n f o r m a t i o n i s a v a i l a b l e . T h i s i s b e -
c a u s e t h e s t a t e o f a s y s t e m s u m m a r i s e s t h e p a s t
h i s t o r y o f t h e s y s t e m a n d t o g e t h e r w i t h t h e i n -
p u t s t h e f u t u r e e v o l u t i o n c a n b e d e t e r m i n e d . A c -
c o r d i n g l y , w e c o n s i d e r r s t t h e s t a t e f e e d b a c k H
1
c o n t r o l p r o b l e m , w h e r e t h e c o n t r o l l e r K i s a m e m -
o r y l e s s f u n c t i o n o f t h e s t a t e x , s o t h a t u = K ( x ) ;
s e e ( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 1 ) , ( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 2 ) ,
( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 3 ) , ( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 6 ) ,
( B a l l & H e l t o n , 1 9 8 9 ) , ( B a l l & H e l t o n , 1 9 9 2 ) ,
( J a m e s & B a r a s , 1 9 9 5 ) , ( M c E n e a n e y , 1 9 9 5 ) , ( S o -
r a v i a , 1 9 9 4 ) .
T h e c l o s e d l o o p s y s t e m ( G ; K ) i s t h e r e f o r e
_x = A ( x ) + B
1
( x ) w + B
2
( x ) K ( x )
z = C
1
( x ) + K ( x )
( 4 . 1 )
I f w e a s s u m e t h a t ( G ; K ) i s - d i s s i p a t i v e , t h e n
f r o m x 2 w e k n o w t h a t t h e r e e x i s t s a s t o r a g e f u n c -
t i o n V ( x ) 0 , w i t h V ( 0 ) = 0 , a n d s o l v i n g t h e
P D I
s u p
w
f r
x
V ( A ( x ) + B
1
( x ) w + B
2
( x ) K ( x ) )
1
2
2
j w j
2
j C
1
( x ) + K ( x ) j
2
] g 0
T a k i n g t h e m i n o v e r u = K ( x ) g i v e s
i n f
u
s u p
w
f r
x
V ( A ( x ) + B
1
( x ) w + B
2
( x ) u )
1
2
2
j w j
2
j C
1
( x ) + u j
2
] g 0
( 4 . 2 )
T h i s i s t h e k e y P D I f o r s t a t e f e e d b a c k H
1
c o n t r o l .
E v a l u a t i n g t h e m i n a n d m a x g i v e s
r
x
V ( A B
2
C
1
)
+
1
2
r
x
V (
1
2
B
1
B
0
1
B
2
B
0
2
) r
x
V
0
0 ;
( 4 . 3 )
w i t h t h e o p t i m i z i n g c o n t r o l a n d d i s t u r b a n c e ( i f
t h e y e x i s t ) g i v e n b y
u
( x ) = C
1
( x ) B
2
( x )
0
r
x
V ( x )
0
w
( x ) =
1
2
B
1
( x )
0
r
x
V ( x )
0
I n t h e l i n e a r c a s e , V ( x ) =
1
2
x
0
X x , w h e r e X 0
i s a s o l u t i o n o f ( 1 . 3 ) w i t h i n e q u a l i t y .
C o n v e r s e l y , i f t h e r e e x i s t s a s m o o t h s o l u t i o n
V ( x ) 0 , V ( 0 ) = 0 o f t h e P D I ( 4 . 2 ) , t h e n t h e
c o n t r o l l e r
K
( x )
4
= C
1
( x ) B
2
( x )
0
r
x
V ( x )
0
( 4 . 4 )
r e n d e r s t h e c l o s e d l o o p s y s t e m - d i s s i p a t i v e . S t a -
b i l i t y f o l l o w s i f ( A B
2
K
; C
1
+ K
) i s z e r o s t a t e
o b s e r v a b l e . N o t i c e t h a t t h e c o n t r o l l e r d e p e n d s e x -
p l i c i t l y o n t h e g r a d i e n t o f t h e s t o r a g e f u n c t i o n ,
a n d c o n s e q u e n t l y t h e e x i s t e n c e o f s u c h c o n t r o l l e r s
d e p e n d s c r i t i c a l l y o n t h e s m o o t h n e s s o f t h e s t o r -
a g e f u n c t i o n . A s d i s c u s s e d i n x 2 , i t f o l l o w s t h a t
i t i s t o o m u c h t o e x p e c t t h a t s u c h c o n t r o l l e r s w i l l
e x i s t s g l o b a l l y .
T h e s e r e s u l t s c a n b e r e n e d t o o b t a i n a P D E ,
v i z . :
r
x
V ( A B
2
C
1
)
+
1
2
r
x
V (
1
2
B
1
B
0
1
B
2
B
0
2
) r
x
V
0
= 0
( 4 . 5 )
A d d i t i o n a l l y , g e o m e t r i c a l a n d l o c a l r e s u l t s c a n b e
o b t a i n e d . I n d e e d , i f t h e H
1
c o n t r o l p r o b l e m f o r
-
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6/12
t h e l i n e a r i z e d s y s t e m i s s o l v a b l e , t h e n t h e H
1
p r o b l e m f o r t h e n o n l i n e a r s y s t e m i s s o l v a b l e l o -
c a l l y n e a r x = 0 ; s e e ( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 1 ) ,
( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 2 ) , ( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 3 ) ,
( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 6 ) . I n p a r t i c u l a r , a c o n t r o l l e r
o f t h e f o r m ( 4 . 4 ) c a n b e c o n s t r u c t e d n e a r x = 0
u s i n g a s t o r a g e f u n c t i o n w h i c h i s l o c a l l y s m o o t h .
D i e r e n t i a l g a m e s . T h e P D E ( 4 . 5 ) i s
a H a m i l t o n - J a c o b i - I s a a c s ( H J I ) e q u a t i o n c o r r e -
s p o n d i n g t o a m i n - m a x d i e r e n t i a l g a m e , v i z .
i n f
K
J
x
( K ) ;
w h e r e
J
x
( K ) = s u p
T 0 w 2 L
2 T
f
1
2
R
T
0
j z ( t ) j
2
2
j w ( t ) j
2
] d t : x ( 0 ) = x g
T h e t w o p l a y e r s a r e t h e c o n t r o l l e r u = K ( x ) ( m i n -
i m i z i n g ) , a n d t h e c o m p e t i n g d i s t u r b a n c e w ( m a x -
i m i z i n g ) . N o t e t h a t ( G ; K ) i s - d i s s i p a t i v e i
J
x
( K ) ( x ) ;
f o r s o m e 0 , ( 0 ) = 0 . A l s o , t h e v a l u e f u n c t i o n
V ( x ) = i n f
K
J
x
( K )
s o l v e s t h e P D E ( 4 . 5 ) .
T h e g a m e t h e o r e t i c a p p r o a c h t o H
1
c o n t r o l i s
d i s c u s s e d i n d e t a i l i n ( B a s a r & B e r n h a r d , 1 9 9 1 ) ;
s e e a l s o ( J a m e s & B a r a s , 1 9 9 5 ) .
R i s k - s e n s i t i v e s t o c h a s t i c c o n t r o l . C o n s i d e r
t h e f o l l o w i n g r i s k - s e n s i t i v e c o n t r o l p r o b l e m w i t h
s t o c h a s t i c d y n a m i c s
_x = A ( x ) +
p
" B
1
( x ) v + B
2
( x ) K ( x ) ; ( 4 . 6 )
a n d c o s t
I
"
( K ) = l i m s u p
T ! 1
2
"
T
l o g E
x
e x p
1
2
2
"
Z
T
0
j z ( t ) j
2
d t ] ;
w h i c h i s t o b e m i n i m i s e d ( s e e ( F l e m i n g & M c E -
n e a n e y , 1 9 9 3 ) ) :
I
"
= i n f
K
I
"
( K )
W e w o n ' t g o t h r o u g h t h e d e t a i l s o f t h e s o l u t i o n
t o t h i s p r o b l e m , b u t r a t h e r d i s c u s s i t s c o n n e c t i o n
w i t h g a m e t h e o r y , H
1
, a n d H
2
c o n t r o l . I n f a c t ,
b y e x p l o i t i n g t h e p a r a m e t e r s a n d " , a l l o f t h e s e
p r o b l e m s c a n b e r e g a r d e d a s p e r t u r b a t i o n s o f a
s i m p l e d e t e r m i n i s t i c o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m , r e -
v e a l i n g s t o c h a s t i c a n d d e t e r m i n i s t i c m e t h o d s f o r
m o d e l l i n g d i s t u r b a n c e s .
U s i n g t h e a l t e r n a t e r e p r e s e n t a t i o n ( 3 . 4 ) , w e s e e
t h a t t h e r i s k - s e n s i t i v e s t o c h a s t i c c o n t r o l p r o b l e m
i s e q u i v a l e n t t o a s t o c h a s t i c d i e r e n t i a l g a m e :
I
"
=
i n f
K
s u p
w
l i m s u p
T ! 1
1
2 T
E
x
Z
T
0
( j z ( t ) j
2
2
j w ( t ) j ) d t ]
H e r e , z ( t ) = C
1
( ( t ) ) + K ( ( t ) ) w h e r e i s t h e s o -
l u t i o n o f t h e a u x i l i a r y s t o c h a s t i c d i e r e n t i a l e q u a -
t i o n
_
= A ( ) + B
1
( ) w +
p
" B
1
( ) v + B
2
( ) K ( )
N o t e t h a t h e r e t h e r e i s a c o n t r o l l e r u = K ( x )
( m i n i m i z i n g ) , a c o m p e t i n g d i s t u r b a n c e i n p u t w
( m a x i m i z i n g ) , a n d a w h i t e n o i s e i n p u t
p
" v ( a v e r -
a g i n g ) .
S e n d i n g " ! 0 a n d ! 1 y i e l d s t h e r e l a t i o n s h i p s
d e p i c t e d i n t h e f o l l o w i n g d i a g r a m .
I
"
I
I
"
I
" ! 0
" ! 0
! 1 ! 1
I n t h i s d i a g r a m , t h e p e r f o r m a n c e i n d i c e s h a v e t h e
f o l l o w i n g i n t e r p r e t a t i o n s .
D e t e r m i n i s t i c d i e r e n t i a l g a m e a n d H
1
c o n t r o l :
I
=
i n f
K
s u p
w
l i m s u p
T ! 1
1
2 T
Z
T
0
( j z ( t ) j
2
2
j w ( t ) j ) d t
w i t h d y n a m i c s ( 1 . 5 ) .
H
2
o r r i s k - n e u t r a l o p t i m a l c o n t r o l :
I
"
= i n f
K
l i m s u p
T ! 1
1
2 T
E
x
Z
T
0
j z ( t ) j
2
d t ]
w i t h d y n a m i c s ( 4 . 6 ) .
D e t e r m i n i s t i c o p t i m a l c o n t r o l :
I
= i n f
K
l i m s u p
T ! 1
1
2 T
Z
T
0
j z ( t ) j
2
d t
w i t h d y n a m i c s
_x = A ( x ) + B
2
( x ) K ( x ) ( 4 . 7 )
F o r m a l l y , t h e o p t i m a l r i s k - s e n s i t i v e c o n t r o l l e r h a s
a n e x p a n s i o n ( f o r l a r g e a n d s m a l l " )
K
"
( x ) = K
( x ) +
1
2
K
H
1
( x ) + " K
H
2
( x ) + : : : ;
-
7/28/2019 nolcos.ps
7/12
w h e r e K
( x ) i s t h e o p t i m a l ( s t a b i l i z i n g ) c o n t r o l l e r
f o r t h e l i m i t d e t e r m i n i s t i c o p t i m a l c o n t r o l p r o b -
l e m
K
( x ) = C
1
( x ) B
2
( x )
0
r
x
V ( x )
0
w h e r e V ( x ) s o l v e s t h e P D E
I
= r
x
V ( A B
2
C
1
)
1
2
r
x
V B
2
B
0
2
r
x
V
0
;
a n d
K
H
1
( x ) = B
2
( x )
0
r
x
V
H
1
( x )
0
;
K
H
2
( x ) = B
2
( x )
0
r
x
V
H
2
( x )
0
H e r e , V
"
= V +
1
2
V
H
1
+ " V
H
2
+ , w h e r e
V
H
1
( x ) =
1
2
R
1
0
r
x
V ( x ( t ) ) B
1
( x ( t ) ) B
1
( x ( t ) )
0
r
x
V ( x ( t ) )
0
d t ;
a n d
V
H
2
( x ) =
1
2
R
1
0
t r ( B
1
( x ( t ) ) B
1
( x ( t ) )
0
D
2
V ( x ( t ) ) )
t r ( B
1
( 0 ) B
1
( 0 )
0
D
2
V ( 0 ) ) ] d t ;
w h e r e x ( t ) i s t h e o p t i m a l ( a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e ,
w i t h K ( x ) = K
( x ) ) t r a j e c t o r y o f ( 4 . 7 ) .
T h e s e a s y m p t o t i c c a l c u l a t i o n s a r e o n l y f o r m a l ; s e e
( C a m p i & J a m e s , 1 9 9 6 ) , ( J a m e s , 1 9 9 2 ) , ( F l e m i n g
& M c E n e a n e y , 1 9 9 3 ) , ( F l e m i n g & J a m e s , 1 9 9 5 )
f o r p r e c i s e t h e o r e m s . T h e s i g n i c a n c e o f t h e s e
f o r m u l a s l i e s i n t h e d e t a i l t h e y r e v e a l r e g a r d i n g
t h e s t r u c t u r e o f t h e r i s k - s e n s i t i v e c o n t r o l l e r , a n d
i t s H
1
a n d H
2
c o m p o n e n t s . T h e H
1
c o m p o -
n e n t K
H
1
( x ) d e p e n d s o n t h e d i s t u r b a n c e e n e r g y ,
w h e r e a s t h e H
2
c o m p o n e n t K
H
2
( x ) d e p e n d s o n
t h e d i u s i o n e e c t s o f t h e n o i s e .
I n t h e l i n e a r c a s e , w e h a v e
V ( x ) =
1
2
x
0
X x ; I
= 0 ;
w h e r e X 0 i s a s o l u t i o n o f t h e R i c c a t i e q u a t i o n
0 = ( A B
2
C
1
)
0
X + X ( A B
2
C
1
) X B
2
B
0
2
X ;
a n d
V
H
1
( x ) =
1
2
x
0
P x ; V
H
2
( x ) = 0 ;
w h e r e P 0 i s g i v e n b y
P =
Z
1
0
e
A
0
t
X B
1
B
0
1
X e
A
t
d t ;
a n d A
= A B
2
( C
1
+ B
0
2
X ) . T h u s
K
"
( x ) = ( C
1
+ B
0
2
X +
1
2
P ) x +
I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t i n t h e l i n e a r c a s e t h e
H
2
t e r m i n t h e r i s k - s e n s i t i v e c o n t r o l l e r i s z e r o !
5 . O U T P U T F E E D B A C K H
1
C O N T R O L
W e t u r n n o w t o t h e o u t p u t f e e d b a c k H
1
c o n t r o l
p r o b l e m , w h e r e t h e c o n t r o l l e r K i s a c a u s a l m a p
y ! u . A n u m b e r o f a u t h o r s ( B a l l & H e l t o n ,
1 9 8 9 ) , ( B a l l e t a l , 1 9 9 3 ) , ( I s i d o r i & A s t o l , 1 9 9 2 ) ,
( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 1 ) , ( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 2 ) ,
( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 3 ) , ( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 6 ) a s -
s u m e t h a t K h a s a s p e c i e d f o r m , n a m e l y a n i t e
d i m e n s i o n a l r e a l i z a t i o n w h o s e s t a t e h a s t h e s a m e
d i m e n s i o n a s t h e s t a t e x o f t h e p l a n t G . I n ( J a m e s
& B a r a s , 1 9 9 5 ) t h e s t r u c t u r e o f K w a s l e f t u n -
s p e c i e d , a n d t h e i n f o r m a t i o n s t a t e a p p r o a c h w a s
u s e d t o d e t e r m i n e t h e g e n e r a l n a t u r e o f K ( a n
i n n i t e d i m e n s i o n a l s y s t e m ) . I n d e e d , i t i s l i k e l y
t h a t g e n e r i c a l l y t h e H
1
p r o b l e m i s s o l v a b l e o n l y
b y a n i n n i t e d i m e n s i o n a l c o n t r o l l e r ( t h i s i s w e l l
k n o w n t o b e t h e c a s e i n s t o c h a s t i c c o n t r o l ) .
S p e c i e d c o n t r o l l e r s t r u c t u r e . L e t ' s b e g i n b y
a s s u m i n g t h a t K h a s t h e n i t e d i m e n s i o n a l r e a l -
i z a t i o n :
K :
_
= a ( ; u ; y )
u = b ( ; y ) ;
( 5 . 1 )
w h e r e d i m = d i m x , f o r s o m e f u n c t i o n s a ( ) , b ( )
t o b e d e t e r m i n e d . T h e c l o s e d l o o p s y s t e m ( G ; K )
( w i t h s t a t e ( x ; ) ) i s
_x = A ( x ) + B
1
( x ) w + B
2
( x ) b ( ; y )
_
= a ( ; b ( ; y ) ; y )
z = C
1
( x ) + b ( ; y )
I f ( G ; K ) i s - d i s s i p a t i v e , t h e n t h e r e e x i s t s a s t o r -
a g e f u n c t i o n e ( x ; ) 0 , w i t h e ( 0 ; 0 ) = 0 s a t i s f y -
i n g t h e P D I
s u p
w
f r
x
e ( A ( x ) + B
1
( x ) w
+ B
2
( x ) b ( ; C
2
( x ) + w ) )
+ r
e ( a ( ; b ( ; y ) ; C
2
( x ) + w ) )
1
2
2
w
2
C
1
( x ) + b ( ; C
2
( x ) + w )
2
]
0
( 5 . 2 )
T h e g o a l i s t o n d f u n c t i o n s a ( ) , b ( ) f o r w h i c h
t h e r e d o e s e x i s t a s t o r a g e f u n c t i o n s a t i s f y i n g ( 5 . 2 ) .
I n ( B a l l e t a l , 1 9 9 3 ) , t h e a u t h o r s m i n i m i z e t h e
L H S o f ( 5 . 2 ) o v e r a ( ) , b ( ) a n d o b t a i n s o m e i n -
t e r e s t i n g f o r m u l a s f o r t h e r e s u l t i n g o p t i m a l a
( ) ,
b
( ) . T h i s g i v e s a c o n t r o l l e r K
o f t h e f o r m
( 5 . 1 ) s o l v i n g t h e H
1
c o n t r o l p r o b l e m u n d e r c e r -
t a i n c o n d i t i o n s . A d i e r e n t a p p r o a c h w a s u s e d i n
( I s i d o r i & A s t o l , 1 9 9 2 ) , w h e r e K i s o b t a i n e d b y
a s s u m i n g t h e e x i s t e n c e o f a n o b s e r v e r - t y p e g a i n ,
-
7/28/2019 nolcos.ps
8/12
t o g e t h e r w i t h o t h e r c o n d i t i o n s ; t h u s t h e d y n a m i -
c a l p a r t o f K i s e s s e n t i a l l y a n o b s e r v e r .
I n ( v a n d e r S c h a f t , 1 9 9 3 ) ( a n d a l s o i n ( B a l l e t a l ,
1 9 9 3 ) ) , n o n l i n e a r a n a l o g s o f t h e R i c c a t i e q u a t i o n s
( 1 . 3 ) , ( 1 . 4 ) w e r e o b t a i n e d . T o s e e t h i s , s u p p o s e
a ( ; u ; y ) = k ( ) + ( ) y a n d b ( ; y ) = m ( ) . S u b -
s t i t u t i o n o f t h e s e e x p r e s s i o n s i n ( 5 . 2 ) a n d e v a l u -
a t i n g t h e m a x o v e r w g i v e s t h e P D I
r
x
e
r
e
0
A ( x ) + B
2
( x ) m ( )
k ( ) + ( ) C
2
( x )
+
1
2
2
r
x
e
r
e
0
B
1
( x )
( )
B
1
( x )
( )
0
r
x
e
r
e
+
1
2
C
1
( x ) + m ( )
2
0
N o w d e n e
V ( x ) = e ( x ; ( x ) ) ;
w h e r e i s a s m o o t h f u n c t i o n s u c h t h a t ( 0 ) = 0
a n d r
e ( x ; ( x ) ) = 0 . T h e n s u b s t i t u t i n g t h i s i n t o
t h e P D I w i t h = ( x ) a n d m i n i m i z i n g o v e r m ( )
s h o w s t h a t V s o l v e s t h e s t a t e f e e d b a c k P D I ( 4 . 3 ) .
N e x t , d e n e
R ( x ) = V ( x ; 0 )
T h e n s u b s t i t u t i n g t h i s i n t o t h e P D I w i t h = 0
a n d m i n i m i z i n g o v e r ( 0 ) s h o w s t h a t R s o l v e s t h e
( s o - c a l l e d d u a l ) P D I
r
x
R ( A B
1
C
2
)
+
1
2
( C
0
1
C
1
2
C
0
2
C
2
) 0
( 5 . 3 )
I t a l s o f o l l o w s t h a t ( a t l e a s t l o c a l l y ) V ( x ) R ( x ) ,
a k i n t o t h e l i n e a r c o u p l i n g c o n d i t i o n , a n d i t i s p o s -
s i b l e t o u s e t h e s e t w o s t o r a g e f u n c t i o n s t o o b t a i n
o u t p u t f e e d b a c k c o n t r o l l e r s , u n d e r c e r t a i n c o n d i -
t i o n s .
I n t h e l i n e a r c a s e , V ( x ) =
1
2
x
0
X x a n d R ( x ) =
2
2
x
0
Y
1
x , w h e r e X 0 a n d Y > 0 c o r r e s p o n d
t o s u b s o l u t i o n s o f ( 1 . 3 ) a n d ( 1 . 4 ) r e s p e c t i v e l y .
A l s o , e ( x ; ) =
1
2
2
( x )
0
Y
1
( x ) +
0
X ( 1
1
2
Y X )
1
]
I n f o r m a t i o n s t a t e s o l u t i o n . W e n o w r e l a x t h e
a b o v e r e s t r i c t i o n o n t h e s t r u c t u r e o f t h e c o n t r o l l e r
K , a n d s i m p l y l e t K b e a n y c a u s a l m a p y ! u
W e e m p l o y t h e i n f o r m a t i o n s t a t e a p p r o a c h u s e d i n
( J a m e s e t a l , 1 9 9 4 ) , ( J a m e s e t a l , 1 9 9 3 ) , ( J a m e s &
B a r a s , 1 9 9 5 ) , ( J a m e s & B a r a s , 1 9 9 6 ) , ( B e r n h a r d ,
1 9 9 4 b ) , ( H e l t o n & J a m e s , 1 9 9 7 ) f o r o u t p u t f e e d -
b a c k d y n a m i c g a m e s a n d H
1
c o n t r o l . I t i s i n t e r -
e s t i n g t o n o t e t h a t t h i s a p p r o a c h w a s m o t i v a t e d
b y c o n s i d e r i n g a r e l a t e d r i s k - s e n s i t i v e s t o c h a s t i c
c o n t r o l p r o b l e m ; i n s t o c h a s t i c c o n t r o l t h e o r y , t h e
i d e a o f i n f o r m a t i o n s t a t e ( o r s u c i e n t s t a t i s t i c ) i s
w e l l k n o w n , s e e ( K u m a r & V a r a i y a , 1 9 8 6 ) .
D e n e t h e m i n - m a x c o s t f u n c t i o n a l
J
p
0
( K ) = s u p
T 0
s u p
w 2 L
2 T
s u p
x
0
2 R
n
n
p
0
( x ( 0 ) ) +
1
2
R
T
0
j z ( s ) j
2
2
j w ( s ) j
2
d s
o
H e r e , p
0
( x
0
) i s a p e n a l t y t e r m f o r t h e i n i t i a l c o n -
d i t i o n x
0
o f t h e p l a n t G , m u c h l i k e a n a p r i o r
d e n s i t y i n s t o c h a s t i c c o n t r o l . C l e a r l y , ( G ; K ) i s
d i s s i p a t i v e i f a n d o n l y i f
J
( K ) 0 ; ( 5 . 4 )
f o r s o m e 0 w i t h ( 0 ) = 0 . T h e m i n - m a x g a m e
i s t o m i n i m i z e t h i s c o s t f u n c t i o n o v e r t h e c l a s s o f
a l l c a u s a l m a p s K . T o s o l v e t h e g a m e , w e t r a n s -
f o r m i t i n t o a n e q u i v a l e n t f u l l s t a t e i n f o r m a t i o n
g a m e b y i n t r o d u c i n g a n a p p r o p r i a t e s t a t e , v i z . ,
t h e i n f o r m a t i o n s t a t e .
F o r x e d u ( ) ; y ( ) , t h e i n f o r m a t i o n s t a t e p
t
i s d e -
n e d b y
p
t
( x ) = p
0
( ( 0 ) ) +
1
2
Z
t
0
j C
1
( ( s ) ) + u ( s ) j
2
2
j y ( s ) C
2
( ( s ) ) j
2
] d s ;
( 5 . 5 )
w h e r e ( ) i s t h e s o l u t i o n o f
_
= A ( ) + B
1
( ) ( y C
2
( ) ) + B
2
( ) u ( 5 . 6 )
w i t h t e r m i n a l c o n d i t i o n ( t ) = x . T h i s q u a n t i t y
d e s c r i b e s t h e w o r s t - c a s e p e r f o r m a n c e u p t o t i m e
t u s i n g t h e c o n t r o l u w h i c h i s c o n s i s t e n t w i t h t h e
o b s e r v e d o u t p u t y a n d t h e c o n s t r a i n t x ( t ) = x ;
i n ( K r e n e r , 1 9 9 4 ) , t h i s q u a n t i t y i s c a l l e d a c o n -
d i t i o n a l s t o r a g e f u n c t i o n . U s i n g t h e i n f o r m a t i o n
s t a t e , t h e d i s s i p a t i v e p r o p e r t y c a n b e r e p r e s e n t e d
i n t e r m s o f t h e n e w c o m p l e t e l y o b s e r v e d i n f o r m a -
t i o n s t a t e , v i z .
J
p
0
( K ) = s u p
T 0
s u p
y 2 L
2 T
f ( p
T
; 0 ) : p
0
g i v e n g ; ( 5 . 7 )
w h e r e ( p ; q )
4
= s u p
x
( p ( x ) + q ( x ) ) i s t h e \ s u p -
p a i r i n g " ( J a m e s e t a l , 1 9 9 4 ) . T h u s ( G ; K ) i s d i s -
s i p a t i v e i f a n d o n l y i f
s u p
T 0
s u p
y 2 L
2 T
f ( p
T
; 0 ) : p
0
g i v e n g 0 ; ( 5 . 8 )
w h e r e p
0
= f o r s o m e 0 , ( 0 ) = 0 . N o t e
t h a t y i s t h e d i s t u r b a n c e f o r t h e t r a n s f o r m e d p r o b -
l e m !
T h e d y n a m i c s f o r p
t
i s a p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a -
t i o n : f o r x e d u ( ) ; y ( ) w e h a v e
_p
t
= F ( p
t
; u ( t ) ; y ( t ) ) ; ( 5 . 9 )
-
7/28/2019 nolcos.ps
9/12
w h e r e F ( p ; u ; y ) i s t h e d i e r e n t i a l o p e r a t o r
F ( p ; u ; y ) = r
x
p ( A + B
1
( y C
2
) + B
2
u )
+
1
2
j C
1
+ u j
2
2
j y C
2
j
2
]
( 5 . 1 0 )
T h i s i s t h e n o n l i n e a r a n a l o g o f t h e R i c c a t i e q u a -
t i o n ( 1 . 4 ) . T h e d u a l P D I ( 5 . 3 ) ( w i t h e q u a l i t y ) i s
j u s t a s t a t i o n a r y v e r s i o n t h e t h e i n f o r m a t i o n s t a t e
d y n a m i c s ( 5 . 9 ) , ( w i t h u = 0 , y = 0 ) .
T h e c e n t r a l c o n t r o l l e r i s o b t a i n e d b y n d i n g t h e
c o n t r o l l e r w h i c h m i n i m i z e s J
p
( K ) . I f t h e H
1
p r o b l e m f o r G i s s o l v a b l e , t h e n t h e f u n c t i o n
W ( p ) = i n f
K
J
p
( K ) ( 5 . 1 1 )
i s n i t e o n a d o m a i n d o m W . B y d y n a m i c p r o -
g r a m m i n g , W s a t i s e s t h e ( i n n i t e d i m e n s i o n a l )
P D E
i n f
u
s u p
y
h r
p
W ( p ) ; F ( p ; u ; y ) i = 0 ;
( p ; 0 ) W ( p ) ; W ( ) = 0
( 5 . 1 2 )
( F o r t h e p u r p o s e o f t h i s p a p e r , w e t r e a t t h i s e q u a -
t i o n i n a f o r m a l s e n s e ; f o r m o r e d e t a i l s , s e e ( J a m e s
& B a r a s , 1 9 9 6 ) , ( H e l t o n & J a m e s , 1 9 9 7 ) . ) T h i s
i s t h e f u n d a m e n t a l P D E f o r o u t p u t f e e d b a c k H
1
c o n t r o l ( r a t h e r t h a n ( 4 . 3 ) ) . L e t u
( p ) a n d y
( p )
d e n o t e t h e v a l u e s o f u a n d y w h i c h a t t a i n t h e i n -
m u m a n d s u p r e m u m i n ( 5 . 1 2 ) . I n d e e d , a d i r e c t
c a l c u l a t i o n g i v e s ( w h e n t h e y e x i s t )
u
( p ) = h r
p
W ( p ) ; C
1
+ B
0
2
r
x
p i
y
( p ) = h r
p
W ( p ) ; C
2
1
2
B
0
1
r
x
p i
( 5 . 1 3 )
T h e s e f o r m u l a s d e n e t h e c e n t r a l c o n t r o l l e r K
b y
K
y ] ( t ) = u
( p
t
y ] ) ; ( 5 . 1 4 )
w h e r e p
0
i s s u i t a b l y c h o s e n i n d o m W . O f c o u r s e ,
t h e e x i s t e n c e o f t h e c e n t r a l c o n t r o l l e r d e p e n d s o n
t h e s m o o t h n e s s o f W ( p ) , i n a n a p p r o r i a t e s e n s e .
T h e p a r t i c u l a r c h o i c e o f p
0
i s a v e r y i m p o r t a n t
i s s u e ( s e e ( H e l t o n & J a m e s , 1 9 9 4 ) , ( H e l t o n &
J a m e s , 1 9 9 7 ) ) . I n ( J a m e s & B a r a s , 1 9 9 5 ) i t i s
s h o w n ( i n d i s c r e t e - t i m e ) t h a t u n d e r s u i t a b l e h y -
p o t h e s e s , K
s o l v e s t h e H
1
c o n t r o l p r o b l e m f o r
G i f a n d o n l y i f t h e H
1
c o n t r o l p r o b l e m f o r G i s
s o l v a b l e . S t a b i l i t y d e p e n d s o n o b s e r v a b i l i t y c o n -
d i t i o n s . A b l o c k d i a g r a m o f t h e c e n t r a l c o n t r o l l e r
i s a s f o l l o w s .
_p = F ( p ; u ; y )
u
u
p
y
T h i s i s t h e g e n e r a l s t r u c t u r e o f t h e o u t p u t f e e d -
b a c k c o n t r o l l e r .
T h e P D E ( 5 . 1 2 ) i s p e r h a p s u n f a m i l i a r i n t h e c o n -
t e x t o f H
1
c o n t r o l . H o w e v e r , a s t o r a g e f u n c -
t i o n f o r t h e c l o s e d l o o p s y s t e m ( G ; K ) c a n b e d e -
r i v e d f r o m i t , ( H e l t o n & J a m e s , 1 9 9 4 ) , ( H e l t o n &
J a m e s , 1 9 9 7 ) . I n d e e d , t h e n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n
e ( x ; p ) d e n e d b y t h e s i m p l e f o r m u l a
e ( x ; p ) = p ( x ) + W ( p ) ( 5 . 1 5 )
i s a s t o r a g e f u n c t i o n . T h i s f o l l o w s b e c a u s e
e ( x ; p ) 0 , e ( 0 ; ) = 0 , r
x
e ( x ; p ) = r
x
p ( x )
a n d r
p
e ( x ; p ) = E
x
+ r
p
W ( p ) ( w h e r e E
x
i s t h e
e v a l u a t i o n o p e r a t o r h E
x
; f i = f ( x ) ) , w h i c h i m p i e s
t h a t e ( x ; p ) s a t i s e s t h e d i s s i p a t i o n P D E
i n f
u
s u p
y
f r
x
e ( A + B
1
( y C
2
) + B
2
u )
+ h r
p
e ; F ( p ; u ; y ) i
+
1
2
j C
1
+ u j
2
2
j y C
2
j
2
] g = 0 ;
( 5 . 1 6 )
w h e r e t h e i n n u m a n d s u p r e m u m a r e a t t a i n e d a t
u = u
( p ) a n d y = y
( p ) r e s p e c t i v e l y . T h e o p -
t i m a l d i s t u r b a n c e i s w
( x ; p ) = C
2
( x ) + y
( p )
I n t e g r a t i n g t h e P D E ( 5 . 1 6 ) y i e l d s t h e d i s s i p a t i o n
i n e q u a l i t y
e ( x ( t ) ; p ( t ) ) +
1
2
R
t
0
j z ( s ) j
2
d s
e ( x
0
; p
0
) +
1
2
2
R
t
0
j w ( s ) j
2
d s
( 5 . 1 7 )
f o r a n y w 2 L
2 t
, f o r a l l t 0
I n g e n e r a l , t h e i n f o r m a t i o n s t a t e s o l u t i o n t o t h e
( n o n l i n e a r ) H
1
c o n t r o l p r o b l e m i s i n n i t e d i m e n -
s i o n a l , s i n c e i n g e n e r a l i t i s n o t p o s s i b l e t o c o m -
p u t e p
t
( x ) u s i n g a n i t e s e t o f O D E ' s . T h u s
i n g e n e r a l , p
t
e v o l v e s i n t h e i n n i t e d i m e n s i o n a l
s p a c e . M o r e o v e r , c o m p u t i n g u
( p ) r e q u i r e s t h e
s o l u t i o n o f a n i n n i t e d i m e n s i o n a l P D E | a v e r y
d i c u l t t a s k i n g e n e r a l ! H o w e v e r , t h e i n f o r m a -
t i o n s t a t e i s n i t e d i m e n s i o n a l i n s o m e c a s e s , s e e
( J a m e s & Y u l i a r , 1 9 9 5 ) , ( T e o l i s e t a l , 1 9 9 4 ) .
I n t h e c a s e o f l i n e a r s y s t e m s , t h e i n f o r m a t i o n s t a t e
i s g i v e n ( J a m e s & Y u l i a r , 1 9 9 5 ) e x p l i c i t l y b y
p
t
( x ) =
2
2
( x x ( t ) )
0
Y
1
( t ) ( x x ( t ) ) + ( t ) ;
w h e r e
_
x = ( A B
1
C
2
+ Y ( t ) (
1
2
C
0
1
C
1
C
0
2
C
2
) ) x
+ ( B
1
+ Y C
2
) y ( t ) + ( B
2
+
1
2
Y C
1
) u ( t ) ;
_
Y = ( A B
1
C
2
) Y + Y ( A B
1
C
2
)
0
+ Y (
1
2
C
0
1
C
1
C
0
2
C
2
) Y ;
_
=
1
2
j C
1
x + u j
2
2
j y C
2
x j
2
] ;
-
7/28/2019 nolcos.ps
10/12
w i t h i n i t i a l d a t a p
0
s p e c i e d b y ^ x
0
= 0 , Y
0
0 ,
0
= 0 . C o n s e q u e n t l y , t h e i n n i t e d i m e n s i o n a l
s t a t e v a r i a b l e p c a n b e r e p l a c e d b y t h e n i t e d i -
m e n s i o n a l s t a t e ( ^ x ; Y ; ) . N o t e t h a t w e a r e u s i n g
a R i c c a t i d i e r e n t i a l e q u a t i o n f o r Y ( t ) , w h e r e Y
0
i s c h o s e n i n t h e d o m a i n o f a t t r a c t i o n o f t h e s t a b i -
l i z i n g s o l u t i o n o f t h e c o r r e s p o n d i n g a l g e b r a i c R i c -
c a t i e q u a t i o n ( 1 . 4 ) , a n d s h o u l d s a t i s f y Y
0
X <
2
I ,
w h e r e X 0 i s a s t a b i l i z i n g s o l u t i o n o f t h e R i c c a t i
e q u a t i o n ( 1 . 3 ) . T h e v a l u e f u n c t i o n i s :
W ( x ; Y ; ) =
1
2
x
0
X ( 1
1
2
Y X )
1
x +
N o t e t h a t d o m W c o n t a i n s p o i n t s ( ^ x ; Y ; ) f o r
w h i c h Y X <
2
I w h e n e v e r ^ x 6= 0 . T h e o p t i m a l
c o n t r o l a n d o b s e r v a t i o n a r e :
u
( x ; Y ; ) = ( C
1
+ ( B
2
+
1
2
Y C
1
) X ( 1
1
2
Y X )
1
) x ;
y
( x ; Y ; ) = ( C
2
+ ( B
1
+ Y C
2
) X ( 1
1
2
Y X )
1
) x
T h e s t o r a g e f u n c t i o n i s
e ( x ; x ; Y ; ) =
1
2
2
( x x )
0
Y
1
( x x )
+ x
0
X ( I
1
2
Y X )
1
x ]
I n s u m m a r y , t h e s o l u t i o n t o t h e n o n l i n e a r o u t p u t
f e e d b a c k H
1
c o n t r o l p r o b l e m i n v o l v e s :
( i ) t h e e x i s t e n c e o f a s o l u t i o n W ( p ) t o t h e i n n i t e
d i m e n s i o n a l P D E ( 5 . 1 2 ) ,
( i i ) t h e e x i s t e n c e o f a s o l u t i o n p
t
t o t h e i n f o r m a -
t i o n s t a t e d y n a m i c s ( 5 . 9 ) , a n d
( i i i ) c o r r e c t c h o i c e o f t h e i n i t i a l c o n d i t i o n p
0
2
d o m W
A n a p p r o p r i a t e c h o i c e f o r p
0
i s t h e s t a b i l i z i n g
e q u i l i b r i u m s o l u t i o n p
e
o f ( 5 . 9 ) . F o r f u r t h e r
d e t a i l s , s e e ( J a m e s & B a r a s , 1 9 9 5 ) , ( H e l t o n &
J a m e s , 1 9 9 4 ) , ( H e l t o n & J a m e s , 1 9 9 7 ) . N o t e t h a t
t h e i n f o r m a t i o n s t a t e f r a m e w o r k i s q u i t e g e n e r a l ,
a n d a p p l i e s i n o t h e r c o n t e x t s , s e e ( B a r a s & J a m e s ,
1 9 9 4 ) .
C e r t a i n t y e q u i v a l e n c e . A n a p p r o a c h t o o u t -
p u t f e e d b a c k g a m e s b u i l d i n g o n a c e r t a i n t y e q u i v -
a l e n c e p r i n c i p l e w a s b e e n d e v e l o p e d b y ( B e r n h a r d ,
1 9 9 0 ) , ( B a s a r & B e r n h a r d , 1 9 9 1 ) , a n d i s s i m i l a r
t o t h e f r a m e w o r k o f ( W h i t t l e , 1 9 8 1 ) . I n t h i s a p -
p r o a c h , t h e k e y a s s u m p t i o n i s t h a t t h e m a x i m u m
o f
p
t
( x ) + V ( x )
i s a t t a i n e d a t a u n i q u e p o i n t x ( t ) , c a l l e d t h e m i n i -
m u m s t r e s s e s t i m a t e . W h e n t h i s i s t r u e ( a s s u m i n g
a d e q u a t e s m o o t h n e s s ) , t h e o u t p u t f e e d b a c k c o n -
t r o l l e r i s
u
( t ) = u
( x ( t ) ) ;
w h e r e u
( x ) i s t h e o p t i m a l s t a t e f e e d b a c k c o n -
t r o l l e r ( 4 . 4 ) . T h i s p r i n c i p l e i s d i s c u s s e d f u r t h e r
i n ( J a m e s , 1 9 9 4 ) , ( J a m e s & B a r a s , 1 9 9 6 ) , w h e r e
i t i s p l a c e d i n t h e i n f o r m a t i o n s t a t e f r a m e w o r k .
R i s k - s e n s i t i v e s t o c h a s t i c c o n t r o l . H i s t o r i -
c a l l y , t h e o u t p u t f e e d b a c k r i s k - s e n s i t i v e s t o c h a s -
t i c o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m w a s r s t s o l v e d b y
( W h i t t l e , 1 9 8 1 ) ( f o r d i s c r e t e - t i m e l i n e a r s y s t e m s ) ,
b y ( B e n s o u s s a n & v a n S c h u p p e n , 1 9 8 5 ) ( f o r
c o n t i n u o u s - t i m e l i n e a r s y s t e m s ) , a n d b y ( J a m e s
e t a l , 1 9 9 4 ) ( f o r d i s c r e t e - t i m e n o n l i n e a r s y s t e m s ) .
S i g n i c a n t l y , t h e c o n d i t i o n a l d e n s i t y i s n o t a s u f -
c i e n t s t a t i s t i c f o r t h e r i s k - s e n s i t i v e p r o b l e m , a n d
a n e w i n f o r m a t i o n s t a t e w a s n e e d e d . T h i s o b -
s e r v a t i o n b y W h i t t l e w a s f u n d a m e n t a l t o s t o c h a s -
t i c c o n t r o l a n d t o H
1
c o n t r o l , ( G l o v e r & D o y l e ,
1 9 8 8 ) . A n i n t e r e s t i n g e x a m p l e o f r i s k - s e n s i t i v e
c o n t r o l n o t d i r e c t l y r e l a t e d t o H
1
c o n t r o l i s b e i n g
i n v e s t i g a t e d b y ( F e r n a n d e z - G a u c h e r l a n d & M a r -
c u s , 1 9 9 4 ) .
A s m e n t i o n e d a b o v e , t h e d e n i t i o n o f i n f o r m a t i o n
s t a t e p
t
f o r t h e o u t p u t f e e d b a c k g a m e p r o b l e m w a s
m o t i v a t e d ( i n f a c t o r i g i n a l l y d e r i v e d ) f r o m a n i n -
f o r m a t i o n s t a t e
t
f o r a r e l a t e d o u t p u t f e e d b a c k
r i s k - s e n s i t i v e p r o b l e m , s e e ( J a m e s e t a l , 1 9 9 4 ) ,
( J a m e s e t a l , 1 9 9 3 ) . I n d e e d , o n e h a s
l i m
" ! 0
"
2
l o g
t
( x ) = p
t
( x )
( u p t o a c o n s t a n t ) . I f S ( ; T ) d e n o t e s t h e v a l u e
f u n c t i o n f o r a n i t e h o r i z o n o u t p u t f e e d b a c k r i s k -
s e n s i t i v e p r o b l e m ( c . f . ( 3 . 3 ) ) , t h e n
l i m
" ! 0
"
2
l o g S ( e
p
"
2
; T ) = W ( p ; T )
i s t h e v a l u e f u n c t i o n f o r a n i t e h o r i z o n o u t p u t
f e e d b a c k g a m e .
F a c t o r i z a t i o n . T h e i n f o r m a t i o n s t a t e f r a m e w o r k
c a n b e a p p l i e d t o s o l v e t h e J - i n n e r o u t e r f a c t o r -
i z a t i o n p r o b l e m f o r t h e p l a n t
~
G o b t i n e d f r o m G
b y r e v e r s i n g t h e w a n d y a r r o w s . T h e p r o b l e m
i s t o n d a f a c t o r i z a t i o n
~
G = R , w h e r e i s J -
i n n e r ( J - d i s s i p a t i v e a n d l o s s l e s s ) , a n d R i s o u t e r
( R a n d R
1
s t a b l e ) . T h e s e f a c t o r s c a n b e o b -
t a i n e d b y a u g m e n t i n g t h e i n f o r m a t i o n s t a t e c e n -
t r a l c o n t r o l l e r . F o r p r e l i m i n a r y r e s u l t s , s e e ( H e l -
t o n & J a m e s , 1 9 9 4 ) .
6 . C O N C L U S I O N
I n t h i s p a p e r w e h a v e a t t e m p t e d t o s u m m a r i z e
s o m e o f t h e k e y r e c e n t d e v e l o p m e n t s i n n o n l i n e a r
H
1
c o n t r o l t h e o r y . A s w e h a v e s h o w n , p a r t i a l
d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d i n e q u a l i t i e s o f v a r i o u s
t y p e s r e l a t e d t o t h e t h e o r y o f d i s s i p a t i v e s y s t e m s
a r e t h e f u n d a m e n t a l m a t h e m a t i c a l e q u a t i o n s o f
H
1
c o n t r o l . T h e s e e q u a t i o n s a r e a l s o r e l a t e d t o
t h e e q u a t i o n s o f d y n a m i c g a m e t h e o r y a n d r i s k -
s e n s i t i v e s t o c h a s t i c c o n t r o l . T h e m a i n t e c h n i c a l
-
7/28/2019 nolcos.ps
11/12
( a n d p r a c t i c a l ) d i c u l t y c o n c e r n s s o l v i n g t h e s e
P D I ' s a n d P D E ' s , w h i c h i n g e n e r a l h a v e s o l u t i o n s
w h i c h a r e n o t s m o o t h . F u r t h e r , o n e i s f a c e d w i t h
B e l l m a n ' s \ c u r s e o f d i m e n s i o n a l i t y " i n g e n e r a l . I n
s p i t e o f t h i s , c o n s i d e r a b l e i n s i g h t i n t o t h e n o n l i n -
e a r H
1
c o n t r o l p r o b l e m h a s b e e n a t t a i n e d , a n d
i n f u t u r e , m u c h w o r k n e e d s t o b e d o n e t o o b t a i n
a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s , a n d t o p r o d u c e c o n t r o l l e r s
w h i c h a r e i n f a c t r o b u s t
7 . R E F E R E N C E S
B a l l , J . A . , a n d J . W . H e l t o n , ( 1 9 8 9 ) . H
1
C o n t r o l
f o r N o n l i n e a r P l a n t s : C o n n e c t i o n s w i t h D i f -
f e r e n t i a l G a m e s . I n : P r o c . 2 8 t h I E E E C D C ,
T a m p a , F L , p p . 9 5 6 - 9 6 2 .
B a l l , J . A . , a n d J . W . H e l t o n , ( 1 9 9 2 ) . N o n l i n e a r
H
1
C o n t r o l T h e o r y f o r S t a b l e P l a n t s . M a t h .
C o n t r o l S i g n a l s S y s t e m s , 5 p p . 2 3 3 - 2 6 1 .
B a l l , J . A . , a n d J . W . H e l t o n , ( 1 9 9 3 ) . V i s c o s i t y S o -
l u t i o n s o f H a m i l t o n - J a c o b i E q u a t i o n s A r i s i n g
i n N o n l i n e a r H
1
C o n t r o l . M C S S , t o a p p e a r .
B a l l , J . A . , J . W . H e l t o n a n d M . L . W a l k e r , ( 1 9 9 3 ) .
H
1
C o n t r o l f o r N o n l i n e a r S y s t e m s w i t h O u t -
p u t F e e d b a c k . I E E E T r a n s . A u t . C o n t r o l , A C -
3 8 , p p . 5 4 6 - 5 5 9 .
B a r a s , J . S . , a n d M . R . J a m e s , ( 1 9 9 4 ) . R o b u s t a n d
R i s k - S e n s i t i v e O u t p u t F e e d b a c k C o n t r o l f o r F i -
n i t e S t a t e M a c h i n e s a n d H i d d e n M a r k o v M o d -
e l s . J . M a t h . S y s t e m s , E s t i m a t i o n a n d C o n t r o l ,
t o a p p e a r .
B a s a r , T . , a n d P . B e r n h a r d , ( 1 9 9 1 ) . H
1
{ O p t i m a l
C o n t r o l a n d R e l a t e d M i n i m a x D e s i g n P r o b -
l e m s : A D y n a m i c G a m e A p p r o a c h , B i r k h a u s e r ,
B o s t o n .
B e n s o u s s a n , A . , a n d J . H . v a n S c h u p p e n , ( 1 9 8 5 ) .
O p t i m a l C o n t r o l o f P a r t i a l l y O b s e r v a b l e
S t o c h a s t i c S y s t e m s w i t h a n E x p o n e n t i a l - o f -
I n t e g r a l P e r f o r m a n c e I n d e x . S I A M J . C o n t r o l
O p t i m . , 2 3 p p . 5 9 9 - 6 1 3 .
B e r n h a r d , P . , ( 1 9 9 0 ) . A M i n - M a x C e r t a i n t y
E q u i v a l e n c e P r i n c i p l e a n d i t s A p p l i c a t i o n t o
C o n t i n u o u s T i m e , S a m p l e d D a t a a n d D i s c r e t e
T i m e H
1
O p t i m a l C o n t r o l . I N R I A R e p o r t ,
S o p h i a A n t i p o l i s .
B e r n h a r d , P . , ( 1 9 9 4 a ) . A M i n - M a x C e r t a i n t y
E q u i v a l e n c e P r i n c i p l e f o r N o n l i n e a r D i s c r e t e -
T i m e C o n t r o l P r o b l e m s . S y s t e m s & C o n t r o l
L e t t e r s , t o a p p e a r .
B e r n h a r d , P . , ( 1 9 9 4 b ) . D i s c r e t e a n d C o n t i n u o u s
T i m e P a r t i a l I n f o r m a t i o n M i n i m a x C o n t r o l .
P r e p r i n t .
C a m p i , M . a n d M . R . J a m e s , ( 1 9 9 6 ) . D i s c r e t e -
T i m e N o n l i n e a r R i s k - S e n s i t i v e C o n t r o l . I n t . J .
R o b u s t N o n l i n e a r C o n t r o l , 6 , p p . 1 - 1 9 .
D o y l e , J . C . , K . G l o v e r , P . P . K h a r g o n e k a r a n d
B . A . F r a n c i s , ( 1 9 8 9 ) . S t a t e - S p a c e S o l u t i o n s t o
S t a n d a r d H
2
a n d H
1
C o n t r o l P r o b l e m s . I E E E
T r a n s . A u t . C o n t r o l , A C - 3 4 ( 8 ) p p . 8 3 1 - 8 4 7 .
D o n s k e r , M . D . , a n d S . R . S V a r a d h a n , ( 1 9 7 5 ) .
A s y m p t o t i c E v a l u a t i o n o f C e r t a i n M a r k o v P r o -
c e s s E x p e c t a t i o n s f o r L a r g e T i m e , I , I I , I I I .
C o m m . P u r e A p p l . M a t h . , 2 8 ( 1 9 7 5 ) p p . 1 - 4 5 ,
2 7 9 - 3 0 1 ; 2 9 ( 1 9 7 6 ) p p . 3 8 9 - 4 6 1 .
F e r n a n d e z - G a u c h e r l a n d , E . , a n d S . I . M a r c u s ,
( 1 9 9 4 ) . R i s k - S e n s i t i v e O p t i m a l C o n t r o l o f H i d -
d e n M a r k o v M o d e l s : A C a s e S t u d y . 3 3 r d I E E E
C D C , O r l a n d o .
F l e m i n g , W . H . , a n d W . M . M c E n e a n e y , ( 1 9 9 1 ) .
R i s k S e n s i t i v e O p t i m a l C o n t r o l a n d D i e r e n -
t i a l G a m e s . I n : P r o c . C o n f . o n A d a p t i v e a n d
S t o c h a s t i c C o n t r o l , U n i v . o f K a n s a s , S p r i n g e r
V e r l a g .
F l e m i n g , W . H . , a n d W . M . M c E n e a n e y , ( 1 9 9 3 ) .
R i s k S e n s i t i v e C o n t r o l o n a n I n n i t e T i m e
H o r i z o n . S I A M J . C o n t r o l O p t i m . , 3 3 , p p . 1 8 8 1 -
1 9 1 5 .
F l e m i n g , W . H . , a n d M . R . J a m e s , ( 1 9 9 5 ) . T h e
R i s k - S e n s i t i v e I n d e x a n d t h e H
2
a n d H
1
N o r m s f o r N o n l i n e a r S y s t e m s . M C S S , 8 ,
p p . 1 9 9 - 2 2 1 .
F l e m i n g , W . H . , a n d H . M . S o n e r , ( 1 9 9 3 ) . C o n -
t r o l l e d M a r k o v P r o c e s s e s a n d V i s c o s i t y S o l u -
t i o n s , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k .
G l o v e r , K . , a n d J . C . D o y l e , ( 1 9 8 8 ) . S t a t e S p a c e
F o r m u l a e f o r a l l S t a b i l i z i n g C o n t r o l l e r s t h a t
S a t i s f y a n H
1
N o r m B o u n d a n d R e l a t i o n s t o
R i s k S e n s i t i v i t y . S y s t e m s a n d C o n t r o l L e t t e r s ,
1 1 p p . 1 6 7 - 1 7 2 .
G r e e n , M . , a n d D . L i m e b e e r , ( 1 9 9 4 ) . L i n e a r R o -
b u s t C o n t r o l , P r e n t i c e - H a l l .
H e l t o n , J . W . , a n d M . R . J a m e s , ( 1 9 9 4 ) . A n I n -
f o r m a t i o n S t a t e A p p r o a c h t o N o n l i n e a r J -
I n n e r / O u t e r F a c t o r i z a t i o n . 3 3 r d I E E E C D C ,
O r l a n d o .
H e l t o n , J . W . , a n d M . R . J a m e s , ( 1 9 9 7 ) . A G e n e r a l
F r a m e w o r k f o r E x t e n d i n g H
1
C o n t r o l t o N o n -
l i n e a r S y s t e m s . I n p r e p a r a t i o n f o r S I A M F r o n -
t i e r s i n A p p l i e d M a t h e m a t i c s S e r i e s .
H i l l , D . J . , a n d P . J . M o y l a n ( 1 9 7 6 ) . T h e S t a b i l i t y
o f N o n l i n e a r D i s s i p a t i v e S y s t e m s . I E E E T r a n s .
A u t o m a t . C o n t r . , 2 1 p p . 7 0 8 - 7 1 1 .
H i l l , D . J . , a n d P . J . M o y l a n ( 1 9 8 0 ) . C o n n e c t i o n s s
B e t w e e n F i n i t e { G a i n a n d A s y m p t o t i c S t a b i l i t y .
I E E E T r a n s . A u t o m a t . C o n t r . , 2 5 p p . 9 3 1 - 9 3 6 .
I s i d o r i , A . , a n d A . A s t o l , ( 1 9 9 2 ) . D i s t u r b a n c e
A t t e n u a t i o n a n d H
1
C o n t r o l v i a M e a s u r m e n t
F e e d b a c k i n N o n l i n e a r S y s t e m s . I E E E T r a n s .
A u t o m a t . C o n t r . , 3 7 9 p p . 1 2 8 3 - 1 2 9 3 .
J a c o b s o n , D . H . , ( 1 9 7 3 ) . O p t i m a l S t o c h a s t i c L i n -
e a r S y s t e m s w i t h E x p o n e n t i a l P e r f o r m a n c e C r i -
t e r i a a n d T h e i r R e l a t i o n t o D e t e r m i n i s t i c D i f -
f e r e n t i a l G a m e s . I E E E T r a n s . A u t . C o n t r o l ,
A C - 1 8 ( 2 ) p p . 1 2 4 - 1 3 1 .
J a m e s , M . R . ( 1 9 9 2 ) . A s y m p t o t i c A n a l y s i s o f N o n -
l i n e a r S t o c h a s t i c R i s k - S e n s i t i v e C o n t r o l a n d
D i e r e n t i a l G a m e s . M a t h . C o n t r o l , S i g n a l s ,
a n d S y s t e m s , 5 ( 4 ) p p . 4 0 1 - 4 1 7 .
J a m e s , M . R . ( 1 9 9 3 ) . A P a r t i a l D i e r e n t i a l I n -
-
7/28/2019 nolcos.ps
12/12
e q u a l i t y f o r D i s s i p a t i v e N o n l i n e a r S y s t e m s .
S y s t e m s a n d C o n t r o l L e t t e r s , 2 1 p p . 3 1 5 - 3 2 0 .
J a m e s , M . R . ( 1 9 9 4 ) . O n t h e C e r t a i n t y E q u i v a -
l e n c e P r i n c i p l e f o r P a r t i a l l y O b s e r v e d D y n a m i c
G a m e s . I E E E T r a n s . A u t o m a t . C o n t r . , A C -
3 9 ( 1 1 ) , p p . 2 3 2 1 - 2 3 2 4 .
J a m e s , M . R . a n d J . S . B a r a s , ( 1 9 9 5 ) . R o b u s t H
1
O u t p u t F e e d b a c k C o n t r o l f o r N o n l i n e a r S y s -
t e m s , I E E E T r a n s . A u t . C o n t r o l . , A C - 4 0 ( 6 ) ,
p p . 1 0 0 7 - 1 0 1 7 .
J a m e s , M . R . , a n d J . S . B a r a s , ( 1 9 9 6 ) . P a r t i a l l y
O b s e r v e d D i e r e n t i a l G a m e s , I n n i t e D i m e n -
s i o n a l H J I E q u a t i o n s , a n d N o n l i n e a r H
1
C o n -
t r o l . S I A M J . C o n t r o l O p t i m . , 3 4 ( 4 ) , p p . 1 3 4 2 -
1 3 6 4 .
J a m e s , M . R . , J . S . B a r a s a n d R . J . E l l i o t t , ( 1 9 9 3 ) .
O u t p u t F e e d b a c k R i s k - S e n s i t i v e C o n t r o l a n d
D i e r e n t i a l G a m e s f o r C o n t i n u o u s - T i m e N o n -
l i n e a r S y s t e m s . 3 2 n d I E E E C D C , S a n A n t o n i o .
J a m e s , M . R . , J . S . B a r a s a n d R . J . E l l i o t t , ( 1 9 9 4 ) .
R i s k - S e n s i t i v e C o n t r o l a n d D y n a m i c G a m e s
f o r P a r t i a l l y O b s e r v e d D i s c r e t e - T i m e N o n l i n e a r
S y s t e m s . I E E E T r a n s . A u t . C o n t r o l , A C - 3 9 - 4
p p . 7 8 0 - 7 9 2 .
J a m e s , M . R . , a n d S . Y u l i a r , ( 1 9 9 5 ) . N u m e r i c a l
A p p r o x i m a t i o n o f t h e H
1
N o r m f o r N o n l i n e a r
S y s t e m s . A u t o m a t i c a , 3 1 ( 8 ) , p p . 1 0 7 5 - 1 0 8 6 .
J a m e s , M . R . , a n d S . Y u l i a r ( 1 9 9 5 ) , A N o n l i n e a r
P a r t i a l l y O b s e r v e d D i e r e n t i a l G a m e w i t h a F i -
n i t e D i m e n s i o n a l I n f o r m a t i o n S t a t e . S y s t e m s &
C o n t r o l L e t t e r s , 2 6 , p p . 1 3 7 - 1 4 5 .
K r e n e r , A . J . ( 1 9 9 4 ) . N e c e s s a r y a n d S u c i e n t
C o n d i t i o n s f o r N o n l i n e a r W o r s t C a s e ( H
1
)
C o n t r o l a n d E s t i m a t i o n . 3 3 r d I E E E C D C , O r -
l a n d o .
K u m a r , P . R . , a n d P . V a r a i y a , ( 1 9 8 6 ) . S t o c h a s t i c
S y s t e m s : E s t i m a t i o n , I d e n t i c a t i o n , a n d A d a p -
t i v e C o n t r o l . P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d C l i s .
M c E n e a n e y , W . M . , ( 1 9 9 5 ) . U n i q u e n e s s f o r V i s c o s -
i t y S o l u t i o n s o f N o n s t a t i o n a r y H J B E q u a t i o n s
u n d e r s o m e a p r i o r i C o n d i t i o n s ( w i t h A p p l i c a -
t i o n s ) . S I A M J . C o n t r o l O p t i m . , 3 3 ( 5 ) p p . 1 5 6 0 -
1 5 7 6 .
M c E n e a n e y , W . M . , ( 1 9 9 5 ) . R o b u s t C o n t r o l a n d
D i e r e n t i a l G a m e s o n a F i n i t e T i m e H o r i z o n .
M C S S , 8 p p . 1 3 8 - 1 6 6 .
P e t e r s e n , I . R . , B . D . O A n d e r s o n a n d E . A . J o n c k -
h e e r e , ( 1 9 9 1 ) . A F i r s t P r i n c i p l e s S o l u t i o n t o t h e
N o n s i n g u l a r H
1
C o n t r o l P r o b l e m . I n t . J . R o -
b u s t N o n l i n e a r C o n t r o l , 1 p p . 1 7 1 - 1 8 5 .
R h e e , I . , a n d J . L . S p e y e r , ( 1 9 9 1 ) . A G a m e T h e -
o r e t i c A p p r o a c h t o a F i n i t e - T i m e D i s t u r b a n c e
A t t e n u a t i o n P r o b l e m . I E E E T r a n s . A u t . C o n -
t r o l , 3 6 p p . 1 0 2 1 - 1 0 3 2 .
R u n o l f s s o n , T . ( 1 9 9 1 ) . T h e E q u i v a l e n c e B e t w e e n
I n n i t e H o r i z o n C o n t r o l o f S t o c h a s t i c S y s t e m s
w i t h E x p o n e n t i a l - o f - I n t e g r a l P e r f o r m a n c e I n -
d e x a n d S t o c h a s t i c D i e r e n t i a l G a m e s . J o h n s
H o p k i n s T R J H U / E C E 9 1 - 0 7
S o r a v i a , P . ( 1 9 9 4 ) . H
1
C o n t r o l o f N o n l i n e a r S y s -
t e m s : D i e r e n t i a l G a m e s a n d V i s c o s i t y S o l u -
t i o n s . P r e p r i n t .
T e o l i s , C . A . ( 1 9 9 4 ) . R o b u s t O u t p u t F e e d b a c k C o n -
t r o l f o r N o n l i n e a r S y s t e m s , P h . D . D i s s e r t a t i o n ,
U n i v e r s i t y o f M a r y l a n d .
T e o l i s , C . A . , S . Y u l i a r , M . R . J a m e s a n d
J . S . B a r a s , ( 1 9 9 4 ) . R o b u s t H
1
O u t p u t F e e d -
b a c k C o n t r o l o f B i l i n e a r S y s t e m s , 3 3 r d I E E E
C D C , O r l a n d o .
v a n d e r S c h a f t , A . J . , ( 1 9 9 1 ) . O n a S t a t e S p a c e
A p p r o a c h t o N o n l i n e a r H
1
C o n t r o l . S y s t e m s
a n d C o n t r o l L e t t e r s , 1 6 p p . 1 - 8 .
v a n d e r S c h a f t , A . J . , ( 1 9 9 2 ) . L
2
G a i n A n a l y s i s o f
N o n l i n e a r S y s t e m s a n d N o n l i n e a r S t a t e F e e d -
b a c k H
1
C o n t r o l . I E E E T r a n s . A u t . C o n t r o l ,
A C - 3 7 ( 6 ) p p . 7 7 0 - 7 8 4 .
v a n d e r S c h a f t , A . J . , ( 1 9 9 3 ) . N o n l i n e a r S t a t e
S p a c e H
1
T h e o r y . I n : H . L . T r e e n t l e m a n a n d
J . C . W i l l e m s , E s s a y s o n C o n t r o l : P e r s p e c t i v e s
i n t h e T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n s , B i r k h a u s e r ,
B e r l i n .
v a n d e r S c h a f t , A . J . , ( 1 9 9 6 ) . L
2
- G a i n a n d P a s s i v -
i t y T e c h n i q u e s i n N o n l i n e a r C o n t r o l , S p r i n g e r
V e r l a g , N e w Y o r k .
W i l l e m s , J . C . ( 1 9 7 2 ) . D i s s i p a t i v e D y n a m i c a l S y s -
t e m s P a r t I : G e n e r a l T h e o r y . A r c h . R a t i o n a l
M e c h . A n a l . , 4 5 3 2 1 - 3 5 1 .
W h i t t l e , P . , ( 1 9 8 1 ) . R i s k S e n s i t i v e L i n e a r
Q u a d r a t i c G a u s s i a n C o n t r o l . A d v . A p p l . P r o b . ,
1 3 p p . 7 6 4 - 7 7 7 .
W h i t t l e , P . , ( 1 9 9 0 a ) . A R i s k - S e n s i t i v e M a x i m u m
P r i n c i p l e , S y s t e m s a n d C o n t r o l L e t t e r s , 1 5
p p . 1 8 3 - 1 9 2 .
W h i t t l e , P . , ( 1 9 9 0 b ) . R i s k - S e n s i t i v e O p t i m a l C o n -
t r o l . W i l e y , N e w Y o r k .
W h i t t l e , P . , ( 1 9 9 1 ) . A R i s k - S e n s i t i v e M a x i m u m
P r i n c i p l e : T h e C a s e o f I m p e r f e c t S t a t e O b s e r -
v a t i o n . I E E E T r a n s . A u t . C o n t r o l , 3 6 p p . 7 9 3 -
8 0 1 .
Z a m e s , G . ( 1 9 8 1 ) . F e e d b a c k a n d O p t i m a l S e n s i -
t i v i t y : M o d e l R e f e r e n c e T r a n s f o r m a t i o n s , M u l -
t i p l i c a t i v e S e m i n o r m s , a n d A p p r o x i m a t e I n -
v e r s e s . I E E E T r a n s . A u t . C o n t r o l , 2 6 p p . 3 0 1 -
3 2 0 .
