Newton's Laws of Motion Inertia  It was Galileo who introduced the idea that any "material body" (a body with mass), whether or not it  moves, tends to resist a change in its motion. This resistance to change in motion is referred to as inertia. Through a series of carefully thought‐out experiments, Galileo came to the conclusions that a body at rest tends to remain at rest, and that once a body is moving, nothing at all is required to keep it moving.  Galileo's idea of inertia was a clear philosophical break from the earlier Aristotelian tradition, which decreed that some constantly applied force would be needed to keep an earthly body moving. On the contrary, Galileo saw forces such as friction and gravity as opposing the tendency of a moving body to persist in a given state of motion.  Only under somewhat contrived circumstances do we see any everyday examples of unrestrained inertia in moving bodies. A bowling ball rolling down a flat, hard surface and a hockey puck sliding on an ice rink approximate Galileo's vision of what the world would be like without friction and gravity. Gravity is certainly present in these instances; however, it cannot act to change the motion of a body that remains on a flat surface.  Measurements and common experience alike show that the more mass a body has, the more inertia (or resistance to change of motion) it has. If you kick a soccer ball and then a bowling ball, it is obvious which of the two has more resistance to change of motion. We do not know why inertia exists. However, we do know that a body's inertia is proportional to the quantity of matter contained in it.  In 1642, the same year that Galileo died, Isaac Newton was born. Newton, who devoted much of his life to creative mental pursuits, paid close attention to the work of his predecessors, including Galileo. Newton carried on where Galileo had left off, conceiving his three laws of motion and the law of gravitation while in his early twenties. Together, these four laws constitute a unified theoretical framework describing motion and gravity throughout the universe.  Newton's First Law  Newton's first law of motion, which is also called the law of inertia, is a rephrasing of Galileo's concept of inertia. Using the terminology introduced earlier, we shall state Newton's first law as follows: A body remains at rest or continues in uniform motion except when compelled to change its motion by forces acting upon it.  In the first law, Newton does not describe what these forces are or how they act; however, we already know that they include agents such as friction and gravity. The first law also contains an important hidden assumption. It applies only to a frame of reference that is either at rest or moving with constant velocity ‐ not accelerating. Thus, the first law does not apply to how a body might move inside a train, with respect to the train, whenever the train is increasing or decreasing its speed, changing its direction of motion, or both.  What are the consequences of inertia according to the first law? When a car hits a brick wall, any front‐seat passenger not wearing a seat belt simply continues in uniform motion toward the dashboard and 

front window. (Hopefully, an inflated air bag intercedes at that point to slow the passenger's motion gradually.) Similarly, when a car with bald tires rounding a curve hits oil‐soaked, or ice‐coated, flat pavement, friction between the tires and road nearly disappears and the car moves uniformly ‐ not necessarily in the direction the driver wishes.  More abstractly, let us imagine that in the moment after a home run is hit, all forces on the moving baseball ‐ gravity, air resistance, and others were to suddenly disappear: The baseball sails out of the ballpark in a straight line and maintains a constant speed forever. (To be truthful, the idea of anything sailing through outer space in perfectly uniform motion is unrealistic. Beyond Earth lie the moon, the sun, other planets, and everything else in the universe. Each of these bodies tugs on the baseball with some very tiny but nonzero force.)  Momentum and Force  Greater inertia (resistance to change in motion) is associated with bodies of greater mass. Similarly, it is everyone's common experience that greater weight is associated with greater mass. From all experimental evidence gathered so far, it appears that these two properties of mass‐inertia and weight‐are exactly proportional to each other when measured in the same gravitational environment.   Whether we think of a body's mass in terms of its weight or in terms of its inertia, mass alone insufficiently describes the properties of a body in motion. Similarly, velocity alone does not embody all the properties a moving body has at some instant, even though it describes perfectly well where and how that body is moving through space. Newton made use of both concepts, mass and velocity, in his explanations of how a body responds in its motion when acted on by a force (an agent capable of changing a body’s motion).  Momentum  When we take into account both a body's mass and its motion at some instant, we are referring to what is called momentum, or "quantity of motion." A body's linear momentum (p), or momentum in the direction it is moving, is defined as its mass multiplied by its velocity:  p =mv  Equation 1  Note that p is a vector; it has both a magnitude and a direction associated with it. The p and v vectors for a given body in motion point in the same direction. The S1 units for the magnitude of momentum are kg*m/s.  For example, a I ‐ kg mass moving at 1 m/s speed has a momentum of 1 kg*m/s. A 5 ‐ kg mass moving at 7 m/s has a momentum of 35 kg‐m/s.  Since velocity is relative ‐ it can be measured with respect to any reference frame ‐ so too, is momentum relative. The pencil resting in your hand has zero momentum relative to you, but it has a rather significant 100 kg‐m/s or so of momentum relative to the sun (as a consequence of Earth's motion around the sun).  The utility of linear momentum becomes apparent when you consider how it feels to be beaned on the head with a fast‐moving Ping‐Pong ball and a similarly fast‐moving golf ball. Both objects rebound (change their velocity) in about the same manner, which makes it clear that velocity alone does not say much about either object's quantity of motion. Obviously, the golf ball's greater mass (and therefore 

greater momentum) imparts a far greater wallop. The momenta of various bodies listed in Table 5.2 will give you some idea of the quantity of motion carried by various earthly and celestial bodies.  

Typical Masses and Momenta 

Body  Mass (kg)  Body in Motion  Momentum (kg*m/s) 

Sun  2 x 1030  Sun around the galaxy  5 x 1035 

Earth  6 x 1024  Earth around the sun  2 x 1029 

Moon  7 x 1022  Moon around the earth  7 x 1025 

Space Shuttle  3 x 104  Shuttle in low speed earth orbit  2 x 108 

Car  1000  Car at legal speed limit  3 x 104 

Human being  60  Human at record sprint  600 

Tennis ball  .06  Tennis ball after hard serve  2 

Spitball  .001  Spitball flung at 5 m/s  .005 

   Force  According to Newton's first law, a body will not change its motion unless compelled to by a force or forces acting upon it. But what is force? Force is the push or the pull you can exert with your muscles. Forces are responsible for holding together the tiny particles of a solid. A force called friction retards objects that are sliding, spinning, rolling, or in some other way moving against or through something. Force is the downward pull of gravity and also the gravitational attraction between Earth and other celestial bodies. Generally speaking, forces are agents of change. All forces, and all changes, are traceable to the four fundamental forces of nature: the strong, weak, electromagnetic, and gravitational forces.  Force (F) is a vector, which is intuitively obvious if you consider how you are able to exert pushes or pulls in various directions with your muscles. Like all vectors, forces add in a way that takes their direction into account. In some instances, two or more forces acting upon a body may produce no apparent change on the body. If you try to squeeze together the covers of this book with your hands or knees by applying equal forces in opposite directions, the net force (vector sum of the forces) on the book is zero and the book goes nowhere. We say that the book is in equilibrium, which means that its motion remains unchanged. If both hands push in the same direction on the book, the book accelerates and is not in equilibrium. An entire branch of mechanical engineering called statics deals with forces in equilibrium. A force or forces acting on a body might not result in any observable change, but change is always there. If you lean against a brick wall, the wall flexes imperceptibly and the molecules inside the bricks undergo very slight shifts in position. The change is reversible in this instance, because the wall will return to its earlier state when you stop leaning on it.  When dealing with bodies capable of some change in motion, we are concerned with forces capable of changing motion. These forces are called external forces, because they act on a body from the outside. External forces are exemplified by pushing or pulling on a car from the outside to change the cars motion. We will not be concerned here with the internal forces that act from within a body, such as the electromagnetic forces that bind the atoms of a solid body. These forces do not change the motion of the body as a whole. Internal forces are exemplified by pushing or pulling on the front seat of a car while 

sitting in the back seat in order to speed it up or slow it down. Such efforts are as fruitless as trying to raise yourself by pulling upward on your clothing.  Newton's Second Law of Motion  The rate of change of a body's momentum is equal to the net external force impressed upon the body; the change of momentum is made in the same direction as the applied force.  Force and Momentum  Newton's second law of motion, in its original form, relates force and momentum. It describes how an external force, acting on an unrestrained body, changes that body's momentum: The rate of change of a body's momentum is equal to the net external force impressed upon the body; the change of momentum is made in the same direction as the applied net force. In the language of mathematics,  F = Δp/Δt  Equation 2  The expression F = Δp / Δt means the time rate of change of momentum. The net force vector F and the change of momentum vector Δp point in the same direction. The larger the net force applied to a body, the faster the momentum changes. Conversely, the smaller the force applied, the more slowly the momentum changes. For intervals of time Δt that are not infinitesimally small, F is interpreted to be the average net force over the time interval.  Notice that the second law does not say that force is related to any particular value of momentum but that it causes a change of momentum. Momentum itself (and velocity, too) is relative. Momentum (a vector) may increase or decrease in magnitude as a result of an applied force. Or it may remain the same in magnitude yet change in direction. For example, a car's momentum increases when the car is accelerating forward and decreases when the car is braking. When the car makes a turn at constant speed (and constant momentum magnitude), the car's momentum changes in direction only.  Using Equation 2, we can work out the units for force (in the SI). We divide the SI units for momentum (kg‐m/s) by the SI unit for time (s); the result is kg*m/s2. For simplicity, this ungainly collection of mass, length, and time units is given a name: newton (abbreviated N), named in honor of Isaac Newton. One newton is not much force; it is roughly equivalent to the force (weight) exerted by a small apple resting in the palm of your hand.   Equation 2 tells us that a strong average force applied over a short time interval can accomplish the same change of momentum as a weak average force applied over a longer time. For example, consider the force required to stop a car moving at typical highway speeds. With normal braking, it takes about 10 s to bring the car to a halt. If the car crashes into a brick wall, the same thing is accomplished in about 0.1 s. Let us find out how much average force must be applied in each case if the car has (from Table 5.2) an initial momentum of 30,000 kg*m/s and a final momentum of zero. We are assuming no change of direction, so we are concerned only with the scalar form of Equation 5.5. For the braking car,  F = Δ p / Δt = (30,000 kg‐m/s) / lO s = 3000 kg*m/s2 = 3000 N  

Newton's Second Law of Motion  The rate of change of a body's momentum is equal to the net external force impressed upon the body; the change of momentum is made in the same direction as the applied force.  For the crashing car, F = Δp/ Δ.t = (30,000 kg‐m/s)/O.l s = 300,000 kg‐m/s2 = 300,000 N  The momentum change (Δp) for the car is the same, but the average forces and the times are different. The crashing car experiences a very large average force applied over a short time. As is typical in collisions, the magnitude of that force quickly increases to a maximum and quickly decreases thereafter. The braking car experiences an average force 100 times smaller, which is applied over a time interval 100 times longer. The driver of the braking car can choose to apply steady braking force or to pump the brakes, thereby applying intermittent braking forces. Either way, the average force is the same as long as the car slows to a stop in 10 s.    Force and Acceleration   Newton's second law as expressed in Equation 2 is valid over an extremely broad range of circumstances. We will now introduce an alternative (but limited) form of the law that is more commonly applied to everyday phenomena involving force and motion. Recall from Equation 1 that p = mv. With this equation in mind, Equation 2 can be written as   F = Δp/ Δt = Δ(mv)/ Δt  If, moreover, we are dealing with a body of unchanging mass m, then momentum can change only by virtue of a change of velocity v. With that assumption, we can therefore rewrite the above equation as F = m(Δ.v) / Δt  Since, from the formula for acceleration, we know that a = Δv/Δt, we can substitute a forΔv / Δt, and rewrite the equation as  F=ma    Equation 3    Equation 3 is Newton's second law of motion as stated in terms of the familiar concepts of force, mass, and acceleration. Both F and a are vectors, and they point in the same direction‐which means simply that a body will accelerate in the direction of the net force that acts upon it. The second law says that for a body of constant mass, the larger the net external force, the larger the acceleration  When a net force is applied to a body, the body accelerates in the same direction as that net force. Notice we did not say that a body's velocity must be parallel to the force applied. Velocity and force vectors are parallel only if the body is stationary to begin with or if the force is applied in the same direction as the body's velocity vector.    

The equal sign in F = ma is valid if we use consistent units, such as those of the SI: N for force, kg for mass, and m/s2 for acceleration. One newton of force can be thought of as the force required to give a 1‐kg mass an acceleration of 1 m/ S2. One newton of force is equivalent to 0.225 pound of force, or roughly 1/4 pound, which is the weight of a small apple.    Newton's second law meets with difficulty when the speed of the body (relative to some reference frame) being accelerated is extremely high. As the body approaches the speed of light, the mass of the body changes significantly, in accordance with Einstein's special theory of relativity. Changes of momentum, however, remain proportional to whatever force is applied no matter what reference frame is chosen for measuring speed.  Interaction  In many elegant: way, the natural world is full of symmetry. Visual symmetry (the geometrical symmetry that we can see with our eyes) exists in the internal design and often in the external shape of crystals. Abstract symmetry, such as the way that positive and negative electrical charges can electrically balance each other, pervades the worlds of the small and the large.   Newton's Third Law ‐ Action and Reaction  Newton's third law is a simple statement of symmetry, which is often paraphrased as "for every action, there is a reaction." Explicitly, Newton's third law of motion says: Whenever one body exerts a force on a second body, the second body exerts a force of equal magnitude and opposite direction on the first body. This law means that forces are really interactions. No force that is exerted on a body can exist by itself. Anyone force must be accompanied by a twin force exerted in the opposite direction.  You cannot exert a force on something without that something exerting an oppositely directed force on you. If you kick a brick wall, your foot will hurt. The force you exert on the wall results in an equal and opposite force exerted by the wall on your foot. When you drive a nail with a hammer, the action of the hammer on the nail is mirrored by the action of the nail on the hammer in bringing the hammer to rest.  When a bat strikes a ball, the ball momentarily accelerates in one direction, while the bat momentarily accelerates in the opposite direction. The acceleration of the bat is felt as recoil during the brief moment of contact. It is clear that the two objects, bat and ball, do not have equal accelerations. Why? Because their masses are unequal. By Newton's second law, the same force exerted on bat and ball should result in a greater acceleration for the ball, because its mass is less. The moving bat accelerates (in this case it slows down while in contact with the ball), but not by as much.  Note that each application of Newton's third law applies to forces that act on two different interacting bodies. As we saw earlier, it is possible for two or more forces to act on a single body. Two equal but opposite forces acting on the same body are not an action‐reaction pair.  To clarify this notion, imagine a book lying on a table. There are two forces acting on this book: the downward force of gravity and the upward force the table exerts on the book that keeps the book from falling. Because these two forces are equal and opposite, the net force on the book is zero and the book does not accelerate. Newton's third law does not apply to these forces, because we are considering 

forces exerted on one body‐the book alone. The third law applies to equal and opposite forces on two bodies that are interacting with each other. Here are two examples of action reaction pairs for a book resting on a table: (l) The book presses down on the table and the table pushes up on the book. (2) Earth's entire mass attracts the book with a downward force of a certain magnitude (which is why the book would fall if the table were not there) and, in turn, the book attracts Earth with a force of the same magnitude.  What happens when a book is released from an elevated position and allowed to fall? According to Newton's third law, there are two consequences: The book accelerates downward toward Earth and, at the same time, Earth accelerates upward to meet the book. This really does happen! However, Earth's acceleration is far too small to be noticed or measured because Earth's mass (and therefore its inertia) is so large.  The third law's significance is often overlooked in common experience, though its effects can be noticed. When a cannon is fired and the cannonball accelerates through the barrel, the cannon receives an equal and opposite push, which is why it jumps back. Any mechanism that throws a projectile ‐ a gun firing a bullet, a taut bow releasing an arrow ‐ experiences similar recoil. When you walk, your feet push against the ground and the ground in turn pushes against your feet. The ground's reaction force on your feet propels you forward.  A jet airplane operates by forcing air and exhaust gases through its engines, front to back. As the exhaust is pushed toward the rear of the plane, the plane is pushed forward by the exhaust. Spacefaring rockets carry propellants that need no influx of air (or oxygen) from the outside, so they, unlike jet planes, can operate perfectly well above the atmosphere. The exhaust gases resulting from the combustion of the propellants are accelerated to very high speeds and expelled from rear nozzles. The accelerated gases, in turn, push back and accelerate the rocket and its payload. In order to receive a forward thrust, a rocket need not push against anything except what it expels.  Conservation of Momentum  Conservation of Linear Momentum  All the experiments that have been performed on moving bodies (on both the microscopic and macroscopic scale) have led physicists to conclude that in the absence of a net external force, the linear momentum of a body, or of a system of bodies, is always conserved. This statement is known as conservation of linear momentum. Some examples of this law follow.  When billiard balls roll short distances over a smooth, flat surface, there is very little friction and gravity does not act to change motion. If we could eliminate all friction, a ball of given mass would maintain the same linear momentum, p = mv, in accordance with both the law of inertia and the law of conservation of momentum. Let us assume these conditions are in place. What happens when one moving billiard ball A collides head‐on with a stationary ball B of equal mass? Experiments show that ball A suddenly stops on contact and ball B starts moving at the speed ball A had just before the collision. Before the collision, all the momentum in the system of ball A and ball B resided in the motion of ball A. After the collision, all the momentum resides in the motion of ball B. What remains the same in this system before, during, and after the collision is the total momentum; linear momentum is conserved.  

If a moving hockey puck with a very sticky rim collides with an identical but stationary hockey puck on a flat, icy surface. Measurements show that the two pucks, which stick together after colliding, move at half the speed of the puck that was moving before the collision took place. An accounting of the total momentum (mv) of the two pucks after the collision shows that it equals the momentum carried by the one moving puck before the collision. If collisions take place head‐on, there is no change of direction associated with the momentum vector. Oblique collisions would certainly introduce some complications, but measurements would still show that the vector sum of the momentum before and after the collision is the same.  Conservation of Angular Momentum   The simple examples of straight‐line (linear) motion we have introduced thus far are relatively easy to analyze, but they are not necessarily typical of much of the motion taking place around us and at every scale. Molecules undergo both translational (point‐to‐point) and rotational (spin) motion as they move about chaotically within a body. Even subatomic particles of vanishingly small size are known to behave as if they spin. In the macroscopic world, moving fluids feature vortices, ranging from the miniature whirlpools set up in a stirred cup of coffee to the powerful currents of moist air whirling about in a tornado. In the larger universe, virtually all bodies‐from moons and planets to galaxies‐rotate and revolve. Thus, angular motion, or motion around a point or an axis, is important to consider if we are to understand a great many aspects of our universe.  Experiments show that some agent is needed to cause a body to spin faster or to cause a body to slow its spin. This agent, which is a force applied in some manner sideways to the body's axis of rotation, is called a torque. When you grasp a steering wheel and apply forces to turn the wheel, you are applying torques to the shaft that runs down the steering column. Torque can be loosely thought of as the result of a force that tends to produce rotation. In everyday life, spinning toy tops and freely spinning bicycle wheels experience frictional torques that slow their rate of spin. However, in the absence of a net external torque, the angular momentum of a body, or of a system of bodies, is always conserved. The truth of this statement, which is known as conservation of angular momentum, has been demonstrated in a wide variety of experiments. Since angular momentum is a vector, its direction as well as its magnitude is conserved.  A spinning bicycle wheel would turn forever, thereby maintaining its angular momentum, if its hub had frictionless bearings and if it were spinning in a vacuum with no air resistance. Earth, too, has been spinning on its axis for billions of years by virtue of its tendency to maintain its angular momentum. However, it has always been subject to weak torques caused by its gravitational interactions with the sun and the moon. For over four billion years, these torques have acted as a brake to slow our planet's rotation rate from about once every 10 h to once every 24 h.   Because the direction associated with a body's angular momentum tends to stay fixed, it is difficult to reorient the axis of a spinning body, such as the axle of a spinning bicycle wheel or the spinning disk inside a gyroscope. A toy top's angular momentum keeps it spinning and contributes to its stability; but once its angular momentum is decreased by friction, gravity pulls it over.       

Gravitation  Newton's laws of motion describe how things move (or don't move, as case may be) in response to applied forces or a lack of them. They do not, however, address the fundamental nature of any force in particular. We now know that all forces operating in the physical world are derived from just four fundamental forces or interactions. In the 16th and 17th centuries, only one of these four‐gravity‐could be described with any degree of confidence. Newton showed that the same gravity that everyone was familiar with on Earth extends beyond Earth. While doing so, he deduced the mathematical formula that quantitatively describes how gravity works‐not just for some particular environment (such as at Earth's surface), but for all circumstances anywhere in the universe. Consequently, his formula is sometimes called the law of universal gravitation.  How Gravity Affects Motion  Newton believed, as Galileo did before him, that when air resistance is eliminated (or at least greatly minimized), all bodies falling toward Earth's surface have the same constant acceleration. According to legend, Galileo dramatically demonstrated this in front of numerous witnesses when he dropped various dense objects of different weights from the top of the Leaning Tower at Pisa in Italy and showed that their times of fall were virtually identical. Obviously, Galileo was clever enough not to drop a feather during the same demonstration. He knew that the effect of air resistance on a feather would nearly overwhelm any tendency of the feather to fall.  When we repeat this kind of experiment today, we find that over relatively small distances of, say, 50 m or less, various dense bodies hit the ground at essentially the same time. A low‐density object such as a Ping‐Pong ball or a feather takes longer to fall in air, because air resistance (the frictional force of the air moving upward relative to the object) increases quickly in intensity until it is equal to the object's weight (the downward gravitational force on it). When the two forces, air resistance and weight, become equal in magnitude, the falling object accelerates no further. We then say it has reached its terminal speed   There is no air resistance when bodies fall in a vacuum (a space with nothing in it). Under vacuum conditions, experiments show that all freefalling masses accelerate at exactly the same rate. This rate, which is called the acceleration of gravity at Earth's surface (g), is approximately 9.8 m/s2 downward. For several reasons, g varies slightly at different places on Earth's surface. For simplicity, we shall assume from now on that the magnitude of the acceleration of gravity (g) is 10 m/ S2. This rounded‐off value makes calculations easier, though we do sacrifice a little accuracy. Remember that for the following discussion we are assuming a negligible air resistance.  What Is Weight?  Experiments confirm that all bodies, regardless of mass or weight, falling side by side in a vacuum experience the same acceleration. Why? First, let us state explicitly what weight is: The weight of a body is the gravitational force exerted on it.  Since weight is a force, it can be calculated by means of Newton's second law, F = ma. When calculating the weight Fg of a given mass m, we substitute g for a, since g is the acceleration that applies to masses that are allowed to fall freely near Earth's surface. The magnitude of the weight (Fg) is then    Fg = mg   Equation 4 

 The direction of the weight is, of course, downward. Since weight is proportional to mass, a body with (say) twice the mass of another has twice the weight. It also has twice the inertia, or resistance to change in motion. In other words, twice as much gravitational force is available to accelerate an object that is twice as hard to accelerate because of its doubled inertia. The result is that the acceleration is the same. The interplay between the two characteristics of mass‐inertia and weight‐explains why the various objects Galileo released from the top of the tower arrived on the ground at the same time.  Newton's Formulation of Gravity  It is said that Newton began thinking intensely about gravity after watching a ripe apple break free from a branch and accelerate toward the ground. Newton's thoughts were certainly not restricted to this rather mundane occurrence. Galileo had already demonstrated that all massive bodies fall at the same constant acceleration toward Earth. Newton, however, envisioned that the same "gravity" that attracts an apple to the ground is responsible for keeping the moon in its orbit around Earth and for keeping Earth and the other planets in their orbits around the sun. Putting all the pieces together, Newton came to the following conclusion: There exists an attractive (gravitational) interaction between any two material bodies in the universe, and the magnitude of the force on each body is directly proportional to the product of the masses of the bodies and inversely proportional to the square of the distance between their centers.  Today, Newton's law of gravitation in symbolic form looks like this: Fg = Gm1 m2 / R

2       Equation 5  There are four variables in this equation: Fg is the attractive force of gravity on each of the two interacting bodies; ml and m2 are the masses of these two bodies; and R is the distance between the centers of the two bodies. The word center as used here refers to center of gravity, which is the same as the geometric center of a spherically symmetric body like a planet or a star. The symbol G, called the universal constant of gravitation, is a constant of proportionality. It expresses the inherent strength of the gravitational force; that is, it tells us how strong gravitational interactions are in a general sense. In SI units, G has the experimentally determined value 6.67 X 10‐11 N*m2/kg2. As far as we know, the value of the universal constant G is the same everywhere and remains constant over time. Newton's law of gravitation says that the attractive force due to gravity between any two bodies is greater whenever either or both of the masses of those bodies is greater, and whenever the distance between the bodies is less. Of course, bodies may interact by forces other than gravity. Magnets can both attract and repel each other by a force that has nothing to do with gravity. Since R appears in the denominator of the expression on the right of Equation 5, and because R itself is squared, the gravitational force between any two bodies decreases rapidly as the distance between them increases.